Chuyên đề tích phân ôn thi ĐH

PHẦN 1 : ĐẠO HÀM A).TÓM TẮT LÝ THUYẾT : 1). Định nghĩa : ( ) ( ) ( ) 0 0 lim lim x x f x x f x y f x x x ∆ → ∆ → +∆ − ∆ ′ = = ∆ ∆ o o o 2). Các quy tắc tính đạo hàm: a). Đạo hàm một tổng, hiệu: ( ) 1 2 1 2 ′ ′ ′ ′ ± ± ± = ± ± ± L L n n u u u u u u b). Đạo hàm một tích: ( ) . . .u v u v u v ′ ′ ′ = + * Trường hợp đặc biệt: v k= ( k là hằng số) ta được: ( ) . .k u k u ′ ′ = c). Đạo hàm một thương: ( ) 2 0 .u u v u v v v v ′ ′ ′ −   = ≠  ÷   * Trường hợp đặc biệt: 1u = ta được: ( ) 2 1 0 v v v v ′ ′   = − ≠  ÷   3). Các công thức tính đạo hàm: ( ) ( ) 1 *n n u nu u n − ′ ′ = ∈¥ ( ) ( ) 2 cot sin u gu u k u π ′ ′ = − ≠ ( ) ( ) 0 2 u u u u ′ ′ = > ( ) u u e e u ′ ′ = ( ) sin cos .u u u ′ ′ = ( ) ( ) 0 1ln u u a a au a ′ ′ = < ≠ ( ) cos sin .u u u ′ ′ = − ( ) ( ) 0ln u u u u ′ ′ = > ( ) 2 2cos u tgu u k u π π ′   ′ = ≠ +  ÷   ( ) ( ) 0 1 0log ; ln a u u a u u a ′ ′ = < ≠ > 7 Chuyên đề: B).BÀI TẬP:  Ghi nhớ: Để làm các bài toán về giải phương trình, bất phương trình, chứng minh đẳng thức hoặc bất đẳng thức trong đó có chứa biểu thức ( ) , , , , , F x y y y y ′ ′′ ′′′ , với ( ) y f x= là hàm số cho trước, ta thực hiện các bước sau: • Tìm tập xác định của hàm số ( ) y f x= • Tính , , ,y y y ′ ′′ ′′′ K (có khi ta phải rút gọn hàm số ( ) y f x= trước, sau đó mới tính đạo hàm). • Thay , , ,y y y ′ ′′ ′′′ K vừa tìm được vào biểu thức F , tiếp theo thực hiện theo yêu cầu của từng bài toán. Bài 1: Cho hàm số ( ) 2 1 2 x y x= − . Giải phương trình 0y xy ′ + = . Bài 2: Cho hàm số 2 x y x e= . Chứng minh đẳng thức: ( ) 2xy x y ′ = + . Bài 3: Cho hàm số 2 2 cos x y = . Chứng minh đẳng thức: cos siny x y x y ′ − = . Bài 4: Cho hàm số sin x y e x= . Chứng minh rằng: 2 2 0y y y ′ ′′ ′′′ − + = . Bài 5: Cho hàm số ( ) 2 1 cosy x x= − . Hãy tìm các giá trị của x sao cho: ( ) ( ) 1 0x y y y ′′ ′ − + − = Bài 6: Cho hàm số 4 4 cos siny x x= − . a. Chứng minh rằng: 2 2 0siny x ′ + = . b. Giải phương trình 2 0y y ′ + = . Bài 7: Cho hàm số 2 lny x= . Giải bất phương trình 2 3y xy x y ′ ′′ + − ≤ Bài 8: Cho hàm số ( ) 2 1 x y e x − = + . Tìm các giá trị của x sao cho: 2 1 0 ′ ′′ ′′′ + + + − = y y y y Bài 9: Cho hàm số ( ) 2 1ln x y e x   = +   . 8 a. Giải phương trình ( ) 2 1 0y x y ′ ′′ + + = . b. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của y ′ . Bài 10: Cho hàm số x y xe − = . Chứng minh bất đẳng thức sau: 0,y y y y x ′′′ ′ ′′ + − − > ∀ ∈¡ . Bài 11: Cho hai hàm số: ( ) 2 2cos cosf x x x= ; ( ) 2 2 1 2 2 sin sing x x x= + . a. Tính ( ) f x ′ , ( ) g x ′ . b. Chứng minh rằng: ( ) ( ) 0f x g x ′ ′ + = . Bài 12: Cho hàm số ( ) 3 2. .y f x tg x tg x tgx= = . Chứng minh rằng: ( ) 2 2 2 3 3 2 2f x tg x tg x tg x ′ = − − . 9 PHẦN 2 : NGUYÊN HÀM & TÍCH PHÂN §1. NGUYÊN HÀM: 1). Định nghĩa : Hàm số ( ) F x gọi là nguyên hàm của hàm số ( ) f x trên ( ) ,a b nếu ( ) ( ) ( ) , ,F x f x x a b ′ = ∀ ∈ . Ghi nhớ : Nếu ( ) F x là nguyên hàm của ( ) f x thì mọi hàm số có dạng ( ) F x C+ ( C là hằng số) cũng là nguyên hàm của ( ) f x và chỉ những hàm số có dạng ( ) F x C+ mới là nguyên hàm của ( ) f x . Ta gọi ( ) F x C+ là họ nguyên hàm hay tích phân bất định của hàm số ( ) f x và ký hiệu là ( ) f x dx ∫ . Như vậy: ( ) ( ) f x dx F x C = + ∫ 2). Tính chất: a.TC1: ( ) ( ) ( ) 0;kf x dx k f x dx k = ≠ ∫ ∫ b.TC2: ( ) ( ) ( ) ( ) f x g x dx f x dx g x dx ± = ±     ∫ ∫ ∫ c.TC3: Nếu ( ) ( ) f x dx F x C= + ∫ thì ( ) ( ) f u du F u C= + ∫ . 3). Nguyên hàm của những hàm số cần nhớ ( ) a,b a 0∈ & ≠¡ : dx x C = + ∫ 1 ln dx ax b C ax b a = + + + ∫ ( ) 1 1 1 , x x dx C α α α α + = + ≠ − + ∫ x x e dx e C = + ∫ sin cosxdx x C = − + ∫ 1 ax ax e dx e C a = + ∫ cos sinxdx x C = + ∫ 1 sin cosaxdx ax C a = − + ∫ 2 2 , cos dx tgx C x k x π π = + ≠ + ∫ 1 cos sinaxdx ax C a = + ∫ 10 2 cot , sin dx gx C x k x π = − + ≠ ∫ 2 1 2 , cos dx tgx C x k ax a π π = + ≠ + ∫ ( ) 0ln , dx x C x x = + ≠ ∫ 2 1 cot , sin dx gax C x k ax a π = − + ≠ ∫ 4). Bài tập: Ghi nhớ: − Nguyên hàm của một tổng (hiệu) của nhiều hàm số chính là tổng (hiệu) của các nguyên hàm của những hàm số thành phần. − Nguyên hàm của một tích (thương) của nhiều hàm số không bao giờ bằng tích (thương) của các nguyên hàm của những hàm số thành phần. − Muốn tìm nguyên hàm của một hàm số ta phải biến đổi hàm số này thành một tổng hoặc hiệu của những hàm số tìm được nguyên hàm. Bài 1: Cho hai hàm số ( ) 1 1 2 2 4 sinF x x x= + ; ( ) 2 cosf x x= . a. Chứng minh rằng ( ) F x là nguyên hàm của ( ) f x . b. Tìm nguyên hàm ( ) G x biết rằng 0 4 G π   =  ÷   . Bài 2: Cho hàm số ( ) 4 4 2 3cos cos cos cos sin x x x f x x x + + = − . Tìm nguyên hàm ( ) F x của hàm số ( ) f x biết rằng ( ) F π π = . Bài 3: Cho hàm số ( ) 2 2 4cos cosf x x x= . Tìm hàm số ( ) G x biết rằng ( ) ( ) G x f x ′′ = và ( ) 29 1 0 144 12 32 ;G G π   = − = −  ÷   . Bài 4: Cho hàm số ( ) 8 2 4sin cos cos cosf x x x x x= . a. Giải phương trình ( ) ( ) 0f x f x ′′ + = . b. Tìm nguyên hàm ( ) F x của hàm số ( ) f x biết rằng đồ thị của hàm số ( ) F x đi qua điểm 0 8 ;M π   −  ÷   . 11 Bài 5: Biết rằng hàm số ( ) 1 sin cos x F x x = + là nguyên hàm của ( ) f x . Hãy tìm các giá trị của x sao cho ( ) ( ) 0f x f x ′ − = . Bài 6: Cho hàm số x y xe= . a. Tính y ′ và ( ) 2y ′ . b. Tìm nguyên hàm của hàm số ( ) ( ) 2007 x f x x e= + . Bài 7: Cho hàm số ( ) sin x f x e x= . Chứng minh rằng hàm số ( ) ( ) f x f x ′ ′′ − là nguyên hàm của hàm số ( ) 2 f x . Bài 8: Tìm nguyên hàm ( ) F x của hàm số ( ) 3 2 2 3 3 1 2 1 x x x f x x x + + − = + + ,biết rằng ( ) 1 1 3 F = . (Đề thi tốt nghiệp trung học phổ thông năm 2003) §2. TÍCH PHÂN : 1). Định nghĩa : ( ) ( ) ( ) ( ) b b a a f x dx F x F b F a = = − ∫ 2). Tính chất : a. TC1: ( ) ( ) b a a b f x dx f x dx = − ∫ ∫ b. TC2: ( ) ( ) 0( ) b b a a kf x dx k f x dx k = ≠ ∫ ∫ c. TC3: ( ) ( ) ( ) ( ) b b b a a a f x g x dx f x dx g x dx ± = ±    ∫ ∫ ∫ d. TC4: ( ) ( ) ( ) b c b a a c f x dx f x dx f x dx = + ∫ ∫ ∫ e. TC5: Nếu ( ) [ ] 0, ;f x x a b≥ ∀ ∈ thì ( ) 0 b a f x dx ≥ ∫ f. TC6: Nếu ( ) ( ) [ ] , ;f x g x x a b≥ ∀ ∈ thì ( ) ( ) b b a a f x dx g x dx≥ ∫ ∫ 12 g. TC7: Nếu ( ) [ ] , ;m f x M x a b ≤ ≤ ∀ ∈ thì ( ) ( ) ( ) b a m b a f x dx M b a − ≤ ≤ − ∫ 3). Bài tập :  Ghi nhớ: − Muốn tính tích phân bằng định nghĩa ta phải biến đổi hàm số dưới dấu tích phân thành tổng hoặc hiệu của những hàm số đã biết nguyên hàm. − Nếu hàm số dưới dấu tích phân là hàm số hữu tỷ có bậc của tử lớn hơn hoặc bằng bậc của mẫu ta phải thực hiện phép chia tử cho mẫu. − Nếu hàm số dưới dấu tích phân có chứa dấu giá trị tuyệt đối (GTTĐ), ta phải xét dấu biểu thức nằm trong dấu GTTĐ. Tiếp theo phân đoạn cần tính tích phân thành những đoạn con sao cho trên mỗi đoạn con biểu thức nằm trong dấu GTTĐ không đổi dấu. Áp dụng định nghĩa GTTĐ để khử dấu GTTĐ. Bài 1: Tính các tích phân sau đây: a. 4 0 2cos cosx xdx π ∫ b. 4 cos sinx x dx π π + ∫ c. 2 1 1 2 3 2 x x dx x − + + + ∫ d. 2 2 1 lnx x e dx x + ∫ Bài 2: Cho hàm số ( ) 2 1 x f x x = + và hàm số ( ) 2 1lnF x x = + . a. Chứng minh rằng ( ) F x là nguyên hàm của ( ) f x . b. Áp dụng câu a. tính 1 2 0 1 xdx x + ∫ . Bài 3: Cho hàm số ( ) 2 2ln lnf x x x x x= − . a. Tính ( ) f x ′ . 13 b. Áp dụng câu a. tính 2 1 ln e xdx ∫ . Bài 4: Biết hàm số ( ) cos sin cos sin x x F x x x − = + là một nguyên hàm của ( ) f x . Hãy tính : ( ) 4 0 f x dx π ′ ∫ . §3. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ: 1). Công thức tổng quát : ( ) ( ) ( ) . b a f x x dx f t dt β α ϕ ϕ ′ =    ∫ ∫ Công thức trên, tích phân cần tính là tích phân ở vế trái. Hàm số dưới dấu tích phân có dạng tích của ( ) f x ϕ     (hàm số theo biến là ( ) x ϕ ) với đạo hàm của hàm ( ) x ϕ . Áp dụng công thức trên vào các trường hợp thường gặp, ta có cách đặt cụ thể như sau: a). TH1: ( ) sin .cosf x x dx β α ∫ . → Đặt sint x= → hoặc sint p x q= + ( ) ,p q∈¡ → hoặc sin n t p x q= + nếu như biểu thức sinp x q+ nằm trong n . b). TH2: ( ) cos .sinf x xdx β α ∫ . → Đặt cost x= → hoặc cost p x q= + ( ) ,p q∈¡ → hoặc cos n t p x q= + nếu như biểu thức cosp x q+ nằm trong n . c). TH3: ( ) 1 ln .f x dx x β α ∫ . → Đặt lnt x= → hoặc lnt p x q= + ( ) ,p q∈¡ 14 → hoặc ln n t p x q= + nếu như biểu thức lnp x q+ nằm trong dấu n . d). TH4: ( ) 2 1 . cos f tgx dx x β α ∫ . → Đặt t tgx= → hoặc t ptgx q= + ( ) ,p q∈¡ → hoặc n t ptgx q= + nếu như biểu thức ptgx q+ nằm trong dấu n . e). TH5: ( ) 2 1 . sin f cotgx dx x β α ∫ . → Đặt t cotgx= → hoặc t pcotgx q= + ( ) ,p q∈¡ → hoặc n t pcotgx q= + nếu như biểu thức pcotgx q+ nằm trong n . 2). Bài tập: Bài 1: Tính các tích phân sau đây: a. ( ) 6 3 0 2 1 cos sin xdx x π + ∫ b. 2 3 6 1cos sinx xdx π π + ∫ c. ( ) 1 3 2ln e dx x x + ∫ d. 19 2 3 0 8 xdx x + ∫ Bài 2: Tính các tích phân sau đây: a. ( ) 1 2 0 2 4 5 x dx x x − − + ∫ 15 b. 2 4 2 0 cos tgx e dx x π ∫ c. ( ) 2 2 6 3 1cot sin dx gx x π π + ∫ d. 4 2 1 1 x dx e x + ∫ Bài 3: Tính các tích phân sau đây: a. 3 3 0 cos tgxdx x π ∫ b. 2 2 3 6 sin cosx xdx π π ∫ c. 6 4 4 0 2sin cos sin xdx x x π − ∫ d. ( ) 4 2 0 2cos sin cos xdx x x π + ∫ Bài 4: Tính các tích phân sau đây: a. 3 3 4 0 sin cos xdx x π ∫ b. 3 2 3 0 1x x dx+ ∫ c. 6 0 2 2 1 sin sin xdx x π + ∫ 16 [...]... và suy nghĩ tìm cách tính tiếp vdu Bước 3: ∫ a (tích phân này có thể tính bằng định nghĩa hoặc đổi biến số hoặc tích phân từng phần tùy từng bài tốn cụ thể mà ta phải xem xét) 3) Các dạng tích phân tính bằng phương pháp từng phần: Tích phân từng phần thường được áp dụng để tính các tích phân có dạng như sau: b ∫ p ( x ) q ( x ) dx a) Dạng 1: a cosα ( x ) Trong đó p ( x ) là hàm số đa thức, còn q (... các tích phân sau đây: π a ∫ ( 2 x + 1) sin xdx 0 π b ∫( x 0 c π 4 2 + 2 x ) cos xdx ∫ x cos xdx 2 0 d π 4 xdx ∫ cos2 x 0 1 e ∫ ( x + 1) f 3x − 2 ∫ e x dx 0 2 e 2 x dx 0 1 1 ∫ x g ( x − 3)2 dx 0 1 h ∫( x + e ) x 2 dx 0 18 Bài 2: Tính các tích phân sau đây: 3 a ∫ ( 3x 2 1 + 1) ln xdx 1 b ∫ x ln ( x + 1) dx 0 e ∫ 2 c ln xdx 1 1 d ∫ x ln ( x 2 0 + 1) dx §5 CÁC BÀI TỐN TỔNG HỢP VỀ TÍCH PHÂN: Tính các tích. .. b có thể thi u một hoặc cả hai) b a) Cơng thức: S = ∫ f ( x ) − g ( x ) dx (2) a b) Các bước thực hiện: • Bước1: Nếu hai đường x = a, x = b đề bài cho thi u một hoặc cả hai thì giải phương trình f ( x ) = g ( x ) (PTHĐGĐ của ( C1 ) và ( C2 ) ) để tìm • Bước 2: Áp dụng cơng thức (2) • Bước 3: Rút gọn biểu thức f ( x ) − g ( x ) , sau đó xét dấu của hiệu này • Bước 4: Dùng phép phân đoạn tích phân và... diện tích các hình nhỏ sau đó tính tổng diện tích tất cả các hình nhỏ 3) Thể tích của hình tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường sau đây quanh trục Ox: ( C ) : y = f ( x ) ; Ox; x = a; x = b (trong đó hai đường thẳng x = a; x = b có thể thi u một hoặc cả hai) b a) Cơng thức: V = π ∫  f ( x )  dx   2 a 20 (3) b) Các bước thực hiện: • Bước 1: Nếu hai đường x = a, x = b đề bài cho thi u... nghĩa là, nếu trên một đoạn tích phân nào đó mà trên hình vẽ, ( C1 ) nằm trên ( C2 ) thì hiệu f ( x ) − g ( x ) ≥ 0 , và ( C1 ) nằm dưới ( C2 ) thì hiệu f ( x ) − g ( x ) ≤ 0 2) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường khơng rơi vào trường hợp 1: • Bước 1: Vẽ hình (khơng cần phải khảo sát) • Bước 2: Chia hình cần tính thành các hình nhỏ sao cho mỗi hình nhỏ tính được diện tích bằng cơng thức (2) •... tg x 6 §4 TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỪNG PHẦN: b 1) Cơng thức tổng qt: b b ∫ uv′dx = ( uv ) a − ∫ vu′dx a a b hay b b ∫ udv = ( uv ) a − ∫ vdu a (1) a 2) Các bước thực hiện: •  u = u( x ) du = u′( x )dx ( Đạo hàm) Đặt  ⇒ dv = v′( x )dx  v = v( x ) (nguyên hàm) Bước 1: • Bước 2: • Thế vào cơng thức (1) b b Tính ( uv ) a và suy nghĩ tìm cách tính tiếp vdu Bước 3: ∫ a (tích phân này có thể... 2: Áp dụng cơng thức (3) 4) Bài tập: Bài 1: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đường cong x2 − 6x + 5 và trục Ox ( C) : y = 2x − 1 Bài 2: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đường cong 2 ( C ) : y = x ( x − 3) và trục Ox Bài 3: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đường cong ( C ) : y = x 4 − x 2 và trục Ox Bài 4: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đường cong ( C ) : y... diện tích của hình phẳng giới hạn bởi ( P ) và các tiếp tuyến nói ở câu a 21 Bài 8: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường: ( C ) : y = x; d : y = 2 − x và trục Ox 2 Bài 9: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi parabol ( P ) : y = 4 x và đường thẳng d : y = 2 x − 4 2 Bài 10: Cho parabol ( P ) : y = 4 x a Viết phương trình tiếp tuyến của ( P ) tại điểm tung độ bằng 4 b Tính diện tích. .. PHÂN: Tính các tích phân sau đây: π 2 a ∫ π 6 2 b ∫ ( 1 − cos x ) dx sin 2 x ( ln x + x e ) dx 2 x x 1 π 2 c ∫ ( cot g x + sin 2 x ) dx 2 sin 2 x π 6 π 2 d  ∫  0 2  + x ÷sin xdx 3 cos x + 1  π e sin x cos xdx ∫ cos2 x + 1 0 1  ∫ x f  0 2 1 1 − x +2 e π  ∫ 0 g  cos 2 x + 1 h ∫ x ln  ÷xdx  2  ÷cos 2 xdx sin 2 x + 3  3x 2 + 1dx 0 19 §6 DIỆN TÍCH CỦA HÌNH PHẲNG: 1) Diện tích của hình phẳng... đường cong ( C ) : y = x 3 − 3x + 1 và đường thẳng d : y = 3 Bài 5: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các ( C) : y = đường: x + 2x + 2 ; đường tiệm cận xiên của ( C ) ; Ox; x = e − 1 x +1 2 Bài 6: Cho đường cong ( C ) : y = x 3 − 3x 2 + 4 x Viết phương trình tiếp tuyến d của ( C ) tại gốc tọa độ O Từ đó tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi ( C ) và d 2 Bài 7: Cho parabol ( P ) : y = . dx π ′ ∫ . §3. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ: 1). Công thức tổng quát : ( ) ( ) ( ) . b a f x x dx f t dt β α ϕ ϕ ′ =    ∫ ∫ Công thức trên, tích phân cần tính là tích phân ở vế trái nhớ: − Muốn tính tích phân bằng định nghĩa ta phải biến đổi hàm số dưới dấu tích phân thành tổng hoặc hiệu của những hàm số đã biết nguyên hàm. − Nếu hàm số dưới dấu tích phân là hàm số hữu. Tính các tích phân sau đây: a. ( ) 3 2 1 3 1 lnx xdx+ ∫ b. ( ) 1 0 1lnx x dx+ ∫ c. 2 1 ln e xdx ∫ d. ( ) 1 2 0 1lnx x dx+ ∫ §5. CÁC BÀI TOÁN TỔNG HỢP VỀ TÍCH PHÂN: Tính các tích phân sau