Toán Lớp 9: Chủ Đề 1. Biến Đổi Đại Số

Để giải bài toán này ta cần có bổ đề sau:.. Bổ đề được chứng minh.[r]

Chủ đề 1: BIẾN ĐỔI ĐẠI SỐ Chương 1: Căn thức

1.1 CĂN THỨC BẬC 2 Kiến thức cần nhớ:

 Căn bậc hai số thực a số thực x cho x2 a

 Cho số thực a không âm Căn bậc hai số học a kí hiệu a số thực khơng âm x mà bình phương a:

2

0

a x

x a a x

 

 





 

 

 



 Với hai số thực khơng âm a b, ta có: a  b  a b

 Khi biến đổi biểu thức liên quan đến thức bậc ta cần lưu ý:

+

2 A

A A

A



 



 0

A A

 

+

A B A B A B với A B , 0; A B2 A B  A B với

0;

A B

+

2

A A B A B

B  B  B

với AB0,B0

+

M M A

A

A  với A 0;(Đây gọi phép khử thức mẫu)

+

 

M A B

M

A B

A B  



với A B, 0,A B (Đây gọi phép trục thức mẫu)

1.2 CĂN THỨC BẬC 3, CĂN BẬC n. 1.2.1 CĂN THỨC BẬC 3.

Kiến thức cần nhớ:



Cho

 3

3

3

;

a R a  x x  a a

 Mỗi số thực a có bậc  Nếu a 0 a 0

 Nếu a 0 a 0  Nếu a 0 a 0



3

3

a a

b  b với b 0.

 ab3 a b.3 với a b,  a b  a 3b

 A B3 3 A B3



3 A AB

B  B với B 0



3

A A

B  B



3 3 3

1 A AB B

A B

A B

 

 



với AB.

1.2.2 CĂN THỨC BẬC n

Cho số a R n N n ,  ; 2 Căn bậc n số a số mà lũy thừa bậc n a

 Trường hợp nlà số lẻ: n2k1,kN

Mọi số thực a có bậc lẻ nhất:

2k1a  x x k a

, a 0 2k1a 0, a 0 thì

2k1a 0

, a 0 2k1a 0

 Trường hợp nlà số chẵn: n2 ,k k N

chẵn âm kí hiệu 2ka, 2ka  x x0 x2k a;

2ka x x 0

    x2k a.

Mọi số thực a 0 khơng có bậc chẵn Một số ví dụ:

Ví dụ 1: Phân tích biểu thức sau thành tích: a) P x 4 4

b) P8x33

c) P x 4x21

Lời giải:

a)         

2 2 2 2 2 2

P x  x   x x x 

.

b)        

3

3

2 3 3

P x   x x  x

.

c)      

2

2 1 2 1 1

P x   x  x  x x  x . Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức:

a)

1

A x x x

x 0

b) B 4x 4x1 4x2 4x1

1

x 

c) C  9 5 10 3  

Lời giải:

a)

2

1 1

4 2

A x x x  x  x   x x

+ Nếu

1

2

x  x

1 1

2 2

x  x  A

+ Nếu

1

0

2

x   x

1 1

2

2 2

x  x  A x

b)

4 4 4 1 4 1

B x x  x x  x  x   x  x 

Hay    

2

4 1 1 1 1

B x   x   x   x 

4x 1 4x 1

     

+ Nếu

1

4 1 1

2

x    x   x

4x1 1  4x1 1 suy B2 4x1.

+ Nếu

1

4 1 1

4

x    x    x

4x1 1  4x1 1

suy B 2

c)

Để ý rằng:

 2

7 3  2  3  2

Suy

9 5 10(2 3) 5 28 10

C         

 2

9 5

   

.Hay

9 5(5 3) 25

C          

Ví dụ 3) Chứng minh:

b)

31 84 31 84

9

B    

số nguyên ( Trích đề TS vào lớp 10 chuyên Trường THPT chuyên ĐHQG Hà Nội 2006)

c) Chứng minh rằng:

3 8

3 3

a a a a

x a    a  

với

1

a 

số tự nhiên

d) Tính x y biết    

2

2015 2015 2015

x x  y y  

Lời giải:

a) Dễ thấy A 0, Tacó

 2

2 7 6 7 6 7 7 6

A           

14 2.5

  

Suy A 2.

b) Áp dụng đẳng thức:     3

3

u v u v  uv u v

Ta có:

3 31 84 31 84 1 84 1 84 3 31 84 13 84

9 9 9

B              

   

   

31 84 31 84

9

 

    

 

  Hay

3 3 3

3 84 84 84

2 1 2

9 81

B          B B    B B   B B B 

   

   

B 1B2 B 2

    

mà

2

2

2

2

B B B   

  suy B 1

c) Áp dụng đẳng thức:     3 3

3

u v u v  uv u v

Ta có

      

3

2 2 2

x  a  a x x  a x a  x x  x a 

Xét đa thức bậc hai x2 x 2a với   1 8a0

+ Khi

1

a 

ta có

3 1

8

x   

+ Khi

1 ,

a 

ta có   1 8a âm nên đa thức (1) có nghiệm x 1

Vậy với

1

a 

ta có:

3 8 1

3 3

a a a a

x a    a   

số tự nhiên

d) Nhận xét:    

2 2015 2015 2015 2015 x  x x   x x   x 

Kết hợp với giả thiết ta suy x22015 x y22015y

2 2

2015 2015 2015 2015

y y x x x x y y x y

              

Ví dụ 4)

a) Cho x  4 10 5  4 10 5 Tính giá trị biểu thức:

4

2

4 12

2 12

x x x x

P

x x

   



  .

b) Cho x  1 32 Tính giá trị biểu thức 2 3 1942

B x  x x  x  .(Trích đề thi vào lớp 10 Trường PTC

Ngoại Ngữ - ĐHQG Hà Nội năm 2015-2016) c) Cho x  1 23 4 Tính giá trị biểu thức:

5 4 2 2015 P x  x x  x  x

a) Ta có:

2

2 4 10 5 4 10 5 8 4 10 4 10 5

x             

 

 2    2

2 8 2 5 1 8 2 5 1 6 5 5 1

x

             

5

x

   Từ ta suy  

2 2

1

x   x  x

Ta biến đổi:

 2   2

2

2 2 12 4 3.4 12

1

2 12 12

x x x x

P

x x

     

  

   .

b) Ta có  

3

3

1 2 3

x   x   x  x  x 

Ta biến đổi biểu thức P thành:

   

2( 3 3 3) 3 3 3 3 3 3 1945 1945

P x x  x  x x x  x  x  x  x  x  

c) Để ý rằng: x 322 32 1 ta nhân thêm vế với 3 1 để tận

dụng đẳng thức:   

3 2

a  b  a b a ab b

Khi ta có:

3 2 1x 3 2 13 22 2 1

    

3 2 1x 1 2x x 1 2x3 x 13 x3 3x2 3x 1 0

             

Ta biến đổi:

   

5 4 2 2015 1 3 3 1 2016 2016

P x  x x  x  x  x  x x  x  x  

Ví dụ 5) Cho x y z , , xy yz zx  1 a) Tính giá trị biểu thức:

 2  2  2  2  2  2

2 2

1 1 1

1 1

y z z x x y

P x y z

x y z

     

  

  

b) Chứng minh rằng:      

2 2 2 2 2

2

1 1 1 1 1

x y z xy

x  y  z  x y z

     

a) Để ý rằng: 1x2 x2xy yz zx  (x y x z )(  ) Tương tự 1y2;1z2 ta có:

           

     

2

2

1

1

y z y x y z z x z y

x x x y z

x x y x z

     

  

  

Suy P x y z   y z x  z x y   2xy yz zx   2 b) Tương tự câu a)

Ta có:

           

2 2

1 1

x y z x y z

x  y  z  x y x z  x y y z  z y z x

        

     

             2  2  2

2

1 1

x y z y z x z x y xy xy

x y y z z x x y y z z x x y z

    

  

        

Ví dụ 6)

a) Tìm x x1, , ,2 xn thỏa mãn:

 

2 2 2 2 2

1 2

1

1 2

2

n n

x   x   n x  n  x x  x

b) Cho

2

4

( )

2

n n

f n

n n

 



   với n nguyên dương Tính

(1) (2) (40)

f  f   f . Lời giải:

a) Đẳng thức tương đương với:

 2  2 2 2  2 2

1 1 2 n

x    x     x  n  n 

Hay

2

1 2, 2.2 , , n

b) Đặt

2 2 2

4

2 1,

2

x y n

x n y n xy n

x y

  

 

       

  





Suy

       

2 3

3

3 2

1

( ) 2

2

x xy y x y

f n x y n n

x y x y

  

       

 

Áp dụng vào tốn ta có:

 1  2 40  33 13  53 33  813 793

2

f f   f         

 

 

 3

1

81 364

2

  

Ví dụ 7)

a) Chứng minh rằng:

1 1

1 2 3 4  79 80  Đề thi

chuyên ĐHSP 2011

b) Chứng minh rằng:

1 1 1

1 2 3 n n n

 

       

   .

c) Chứng minh:

1 1 1

2

1

n n

n

        

với số nguyên dương n 2

Lời giải:

a) Xét

1 1

1 79 80

A    

   ,

1 1

2 80 81

B    

  

Dễ thấy A B

Ta có

1 1 1

1 2 3 79 80 80 81

A B      

Mặt khác ta có:

 

   

1

1

1 1

k k

k k

k k k k k k

 

   

     

Suy A B  2 1  3 2  81 80  81 8  Do A B suy 2A A B   8 A4.

b) Để ý rằng:  

1 1

1 ( 1)

k  k  k k k  k  k k

với k nguyên dương

Suy

1 1 1

2 2

2 1

VT

n n n

     

 

             

 

       .

c) Đặt

1 1 1

1

P

n

     

Ta có:

2 2

1

n n  n  n  n n với số tự nhiên n 2.

Từ suy

  2  

2

1

n n n n

n n n n n

       

    hay

   

2 n n n n

n

     

Do đó: 2 2 1  3 2  n 1 n T và

     

1 2

T        n n 

 

a) Cho ba số thực dương a b c, , thỏa mãn

2 2

1 1

2

a  b b  c c  a 

.Chứng minh rằng: 2

2

a b c 

a) Tìm số thực x y z, , thỏa mãn điều kiện:

2 2

1 3

x  y y  z z  x  (Trích đề thi tuyến sinh vào lớp

10 chuyên Toán- Trường chuyên ĐHSP Hà Nội 2014) Lời giải:

a) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số khơng âm ta có

2 2 2

2 2 1

1 1

2 2

a b b c c a

a  b b  c c  a          

Đẳng thức xảy

2 2 2

2 2 2

2

2

1 1

3

1

2

1

a b a b

b c b c a b c

c a

c a

     

 



        

 

 

 

  



 (đpcm).

b) Ta viết lại giả thiết thành: 2x 1 y2 2y 2 z2 2z 3 x2 6 Áp dụng bất đẳng thức : 2ab a 2b2 ta có:

2 2 2 2 2

2x 1 y 2y 2 z 2z 3 x x  1 y y  2 z z  3 x 6

2 2

2 2

2

2 2

2

2 2

, , 3; , ,

1

1

2 1; 0;

2

3

3

x y z x y z x y z

x y

x y x y

y z x y z

y z y z

z x

z x z x

     



   



  

 

  

       

  

   

  

 

    

    

Ví dụ 9) Cho

 

2

4 4

8 16

x x x x x

A

x x

    



  với x 4

a) Rút gọn A.Tìm x để A đạt giá trị nhỏ

b) Tìm giá trị nguyên x để A có giá trị nguyên. Lời giải:

a) Điều kiện để biểu thức A xác định x 4.

   

 

 

2

2

4 4 2 4 2

4

x x x x x x

A

x x

 

    

      

 

  

 

 4 2

4

x x x

x

    



+ Nếu 4x8 x  0  nên

 2 4 4 16

4

4 4

x x x x

A

x x x

    

   

  

Do 4 x 8 nên 0 x 4  A8.

+ Nếu x 8 x  0  nên

 4 2 2 4 2 8

2 16

4 4

x x x x x x

A x

x x x x

     

       

   

(Theo bất đẳng thức Cô si) Dấu xảy

8

2 4

4

x x x

x

      

Vậy GTNN A x 8

b) Xét 4x8

16

4

A

x

 

 , ta thấy A Z khi 16

4

4 Z x

x    ước số nguyên dương 16 Hay

   

4 1;2; 4;8;16 5;6;8;12;20

x   x

đối chiếu điều kiện suy x 5

hoặc x 6

+ Xét x 8 ta có:

2

x A

x



 , đặt

2 4

4

2

x m

x m

m

  

   



 ta có:

 

2 8

2

m

A m

m m



  

suy m2;4;8  x8;20;68 Tóm lại để A nhận giá trị nguyên x 5;6;8;20;68 . MỘT SỐ BÀI TẬP RÈN LUYỆN

Câu (Đề thi vào lớp 10 thành phố Hà Nội – năm học 2013-2014)

Với x 0, cho hai biểu thức

2 x

A

x

 

1

x x

B

x x x

 

 

 .

1) Tính giá trị biểu thức A x 64 2) Rút gọn biểu thức B

3) Tính x để

3

A B .

Câu (Đề thi năm học 2012 -2013 thành phố Hà Nội)

1) Cho biểu thức

4

x A

x

 

2) Rút gọn biểu thức

4 16

:

4

x x

B

x x x

  

  

    

  (với x0,x16

)

3) Với biểu thức A B nói trên, tìm giá trị ngun x để giá trị biểu thức B A  1 số nguyên.

Câu (Đề thi năm học 2011 -2012 thành phố Hà Nội).

Cho

10

25

5

x x

A

x

x x

  



  , với x0,x25.

1) Rút gọn biểu thức A

2) Tính giá trị A x 9 3) Tìm x để

1

A 

Câu (Đề thi năm học 2010 -2011 thành phố Hà Nội).

Cho

2

9

3

x x x

P

x

x x



  



  , với x0,x9.

1) Rút gọn P

2) Tìm giá trị x để

1

P  3) Tìm giá trị lớn P

Câu (Đè thi năm học 2014 – 2015 Thành phố Hồ Chí Minh) Thu gọn biểu thức sau:

5 5

5 5

A   

1 :

3 3

x B

x x x x x x

   

      

  

    x 0.

Câu (Đề thi năm học 2013 – 2014 TPHCM) Thu gọn biểu thức sau:

3

3

x x

A

x

x x

  

  

    

  với x0,x9.

  2 2

21 3 3 15 15

B         

Câu (Đề thi năm 2014 – 2015 TP Đà Nẵng)

Rút gọn biểu thức

2 2

2

2

x x

P

x x x



 



 , với x0,x2.

Câu (Đề thi năm 2012 – 2013 tỉnh BÌnh Định)

Cho

1 1

1 2 3 120 121

A     

    và

1

1

2 35

B    

Chứng minh BA.

Câu (Đề thi năm 2014 – 2015 tỉnh Ninh Thuận)

Cho biểu thức

3

2 2 2,

x y x y

P x y

x xy y x y

 

 

   .

1) Rút gọn biểu thức P.

Cho số thực dương a b, ; a b .

Chứng minh rằng:

 

 

3

3

3

0

a b

b b a a

a b a ab

b a a a b b



 

 

 



 .

Câu 11 (Đề thi năm 2014 – 2015 chuyên Hùng Vương Phú Thọ)

6 19

; 0,

9 12

x x x x x x

A x x

x x x x x

    

    

    .

Câu 12 (Đề thi năm 2014 – 2015 tỉnh Tây Ninh)

Cho biểu thức

1

4

2

x A

x

x x

  



  x0,x4.

Rút gọn A tìm x để

1

A 

Câu 13 (Đề thi năm 2014 – 2015 chuyên Lê Khiết Quảng Ngãi).

1) Cho biểu thức

3

3

x x x P

x x x x x



  

     Tìm tất

các giá trị x để P 2.

2) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho  

2

:

P yx

đường thẳng

 d :y mx 1

(m tham số) chứng minh với giá trị m, đường thẳng  d cắt  P hai điểm phân biệt có hồnh độ x x1, 2 thỏa mãn x1 x2 2.

Câu 14 (Đề thi năm 2014 – 2014 chuyên Lam Sơn Thanh Hóa)

Cho biểu thức

2

16 4

a C

a a a

  

1) Tìm điều kiện a để biểu thức C có nghĩa rút gọn C 2) Tính giá trị biểu thức C a  9

Câu 15 (Đề thi năm 2014 – 2015 chun Thái Bình tỉnh Thái BÌnh)

Cho biểu thức

2

:

2 2 10

x x

A

x x x x x x

   

   

    

 

x0,x4

1) Rút gọn biểu thức A

2) Tìm x cho A nhận giá trị số nguyên Câu 16 (Đề năm 2014 – 2015 Thành Phố Hà nội)

1) Tính giá trị biểu thức

1

x A

x

 

 , x 9.

2) Cho biểu thức

2 1

2

x x

P

x x x x

 

 

  

  

  với x 0 x 1.

a) Chứng minh

1

x P

x

 

b) Tìm giá trị x để 2P2 x5

Câu 17) Cho a  3 3  3 3 Chứng minh 2 2 0

a  a  .

Câu 18) Cho a  4 10 5  4 10 5

Tính giá trị biểu thức:

2

2

4

2 12

a a a a

T

a a

   



  .

Chứng minh rằng:

 2  2   2 2  2  2

2 2

a y a z a z a x a x a y

x y z a

a x a y a z

     

  

   .

Câu 20 Cho a  2 7 361 46 1  a) Chứng minh rằng: a414a2 9 0.

b) Giả sử f x x52x414x3 28x29x19 Tính f a 

Câu 21 Cho a 338 17 5 338 17 5

Giả sử có đa thức     2016 3 1940 f x  x  x

Hãy tính f a 

Câu 22 Cho biểu thức  

 

2 1

1

n n n

f n

n n

  



  .

Tính tổng S f  1 f  2 f  3  f 2016

Câu 23) Chứng minh với số nguyên dương n, ta có:

2 2

1 1

1

1 n

     

Câu 24) Chứng minh với số nguyên dương n 3, ta có

3 3

1 1 65

1 2 3  n 54.

Câu 25) Chứng minh rằng:

43 1 44

442 1 2 3    2002 2001 2001 2002 45

Câu 26) Chứng minh với số nguyên dương n, ta có:

 

1 1

2 1 3 2     n1 n 1 n n   n1

Câu 27) Chứng minh với số nguyên dương n 2, ta có:

1 10 3 1

3 12 3 3

n n

n n n

 



  .

LỜI GIẢI BÀI TẬP RÈN LUYỆN CHỦ ĐỀ 1 1) Lời giải:

1) Với x 64 ta có

2 64

8

64

A    

     

 

1 2 1 2

1

1

x x x x x x x x x

B

x x x x x

x x x

     

    

  



Với x 0, ta có:

3 2 3

:

2 2

A x x x

B x x x

  

    



2 x x x x

        (do x 0).

2 Lời giải:

1) Với x 36, ta có

36 10

8

36

A   

 .

2) Với x0,x16 ta có:

      

   

4 4 2 16 2

16 16 16 16 16 16

x x x x x x x

B

x x x x x x

     

 

 

   

       

 

3) Biểu thức

 1 2

16 16

x x x

B A

x x x

 

   

   

 1

B A 

nguyên, x nguyên x 16 ước 2, mà

  2 1; 2

U    Ta có bảng giá trị tương ứng:

Kết hợp điều kiện, để B A  1 nguyên x 14;15;16;17 3) Lời giải:

   

   

10 5

10

25

5 5

x x x x

x x

A

x

x x x x

   

   



   

       

5 10 25 10 25

5 5

x x x x x x

x x x x

     

 

   

 

   

2

5 5

5

5

x x

A x

x x

 

  



 

Với x 9 ta có: x 3 Vậy

3

3

A   

 .

4) Lời giải:

1)

   

   

3 3 3

3

3

x x x x x

P

x

x x

    

 



 

2)

1

3 36

3 3

P x x

x

       

 (thỏa mãn ĐKXĐ)

3) Với max

3

0, 1

0 3

x P P

x

     



 x 0 (TM).

5 Lời giải:

5 5

5 5

A   

   

   

 

   

 

   

5 5 5 5

5 5 5

   

  

     

5 15 5 15

3 5 5

4 4

    

      

3 5 5

     .

 

1

:

3 3

x

B x

x x x x x x

   

       

  

   

 

1

:

3 3

x x

x x x x x

 

  

 

   

      

   

   

   

2

1

:

3

x x

x x

x

x x x x x

    

  

   

 

  

  .

6 Lời giải:

Với x 0 x 9 ta có:

   

3

9

3

x x x x

A

x x

x x

 

   

 

  

    

  .

  2 2

21

4 6 15 15

2

B          

 2  2

21

3 3 15 15

2

        

 2

15

3 15 15 60

2

   

 

 

   

2

2

1

2

2 2

x

x x

P

x x

x x x x



    

 

  

8 Lời giải:

Ta có:

1 1

1 2 3 120 121

A     

   

           

1 2 120 121

1 2 3 120 121 120 121

  

   

     

1 2 120 121

1 1

  

   

  

2 121 120 121 10

          (1)

Với k  *, ta có:  

1 2

2

1 k k

k  k  k  k  k   

Do

1

1

2 35

B    

 

2 36 35

B

         

   

2 36 10

B

       

(2) Từ (1) (2) suy BA.

9 Lời giải:

1)    

3

2

x y x y x y

P

x xy y x y x y x y

  

 

     .

2) Với x  3  2 y  3  1 Thay vào P ta được:    

2 3 1 3

3 3

2 3

P      



  

10.Lời giải:

Ta có:

 

 

3

3

3

a b

b b a a

a b a ab

Q

b a a a b b



 

 

 

 

   

 

   

 

   

3

3

3

0

a b a b

b b a a

a b a a b

a b a ab b a b a b

 

 

  

  

    

     

3 3

a a a b b a b b a a a

a b a ab b a b

   

 

   

   

3 3 3

0

a a a b b a a a a b b a a b a ab b

    

 

  

(ĐPCM) 11 Lời giải:

6 19

9 12

x x x x x x

A

x x x x x

    

  

   

   

2 19

3 4

x x x x

x x x x

   

  

   

   

2 19 15

3

x x x x x x

x x

       



 

   

   

1 1

3

3

x x x

x

x x

  

 



 

 

2

1 2

4 4

2 2

x

x x

A

x x x x

x x x



      

   

   Với

1

3

A

x

  

  x  4 x16 (nhận) Vậy

1

A 

x 16 13 Lời giải:

1) ĐKXĐ: x 3

3

3

x x x P

x x x x x



   

    

 

 1

3 3 3 3

3

x x

x x x

x x x



    

 

  

6

2

3

x

x x x



    

 .

Vì

 

2 3

P  x x   x  x  

 x 12 x x x

            

.Vậy x 3

4

x  .

2) Phương trình hồnh độ giao điểm  P  d là: x2mx1 0

có

2 4 0 m

    với m, nên phương trình ln có hai nghiệm phân

biệt x x1, 2 Theo hệ thức Viet ta có: x1x2 m x x 1

 2  2 2

1 2 2

x x m x x x x m

       

x1 x22 4x x1 m2 x1 x22 1  m2

        

 2

1 4

x x m

    

1) Biểu thức C có nghĩa khi:

0 0

16 16

0, 16

4 16

0

a a

a a

a a

a a

a a



  

   



 

   

 

  

 

    

 .

Rút gọn

2

16 4

a C

a a a

  

  

   

2

4

4

a

a a

a a

  

 

 

   

   

2 4

4

a a a

a a

   



         

2 8

4 4

a a a a a

a a a a

    

 

   

 

   

4

4

4

a a a

a

a a



 



 

2) Giá trị C a  9

Ta có:

 2

9 4 5

a a       

2 52

a

    

Vậy  

5

9

5

4

a C

a

 

    

  



15 Lời giải:

1) Với x0,x4 biểu thức có nghĩa ta có:

2 3

:

2 2 10

x A

x x x x x x

   

   

    

     

     

2 2 3

:

2

x x x x

x x x x

     



  

   

 

5

2

2

2

x x

x x

x x

x x

 

 

 

 

Vậy với x0,x4

5

2

x A

x



 .

2) Ta có x0, x 0,x4 nên

5

0, 0,

2

x

A x x

x

   



 

5 5

, 0,

2

2 2

x

A x x

x x

     

 

2

A

  

, kết hợp với A nhận giá trị số nguyên A1, 2

1

1

3

A  x  x  x   x

thỏa mãn điều kiện

2 2

A  x  x  x   x không thỏa mãn điều kiện.

Vậy với

1

x 

A nhận giá trị nguyên 16 Lời giải:

1) Với x 9 ta có

3

A  

 .

2) a)

 

   

 

1

2 1

1

2

x x

x x x x x

P

x x x

x x x x

     

    

   

  

       

    .

b) Theo câu a)

1

x P

x

2

2P x x x

x



     

2 x 2 2x5 x  2x3 x 0 x 0

 2 1

2

x  x  x x

         

 

17 Giải:

 

2 3 5 3 5 9 5 3 6 3

a            

 2    2

6 3

         

Do a 0 nên

3

a   Do a 12 3 hay a2 2a 0 .

18 Giải:

   2

2 8 16 10 5 8 2 5 1

a          

 

8

    

Vì a 0 nên a  1 Do  

2

1

a   hay

2 2 4

a  a Biểu diễn

 2   2

2

2 4 3.4 4 1

2 12 12

a a a a

T

a a

     

  

   .

19 Giải:

Ta có: a x x2xy yz zx  x y x z    .Tương tự ta có:

       

2 ;

a y  y x y z a z    z x z y 

Từ ta có:

           

     

2

2

a y a z x y y z z x z y

x x x x y

a x x y x z

     

  

  

tự:

   

       

2 2

2 ;

a z a x a x a y

y y z x z z x y

a y a z

   

   

  Vậy

      2 

VT x y z y z x z x y  xy yz zx   a 20 Giải:

a) Vì

 3

361 46 5 3 1 5 1 5

    

Từ a  2 1    2

 2

2 2 5 7 10 14 9 0

a a a a

         

b) Do     

4 14 9 2 1 f x  x  x  x 

x414a2 9 0 nên ta

được f a   21 Giải:

Vì

3 38 17 38 17 3.3 38 17 38 17 53

a       

   2012

3 2016

76 3 76 76 1940 2016

a a a a f a

         

22 Nhân tử mẫu f n  với n 1 n, ta được:

   1

f n  n n  n n

Cho n từ đến 2016, ta được:

 1 2 1;  2 3 2; ; 2016 2017 2017 2016 2016

f   f   f  

Vì n số nguyên dương nên: 2 2

1 1 1

1

1 n

      

(1) Mặt khác, với k 1 ta có:

2 2

1 4 1

2

4 2

k k k k k

 

     

     Cho k 2,3, 4, ,n ta có:

2 2

1 4 2 2

2 4.2 4.2 1 2.2 2.2 5     

2 2

1 4 2 2

3 4.3 4.3 1 2.3 2.3 7     

2 2

1 4 2 2

4 4.4 4.4 1 2.4 2.4 9     

…………

2 2

1 4 2 2

4 2 2

n  n  n   n  n  n  n

Cộng vế với vế ta được:

2 2

1 1 2

1

1 2 3  n  3 2 n1 33 (2) Từ (1) (2) suy

điều phải chứng minh 24 Giải:

Đặt 3 3

1 1

1

P

n

    

Thực làm trội phân số vế trái cách làm giảm mẫu, ta có:

       

3

2 2 1

,

1 1 k

Cho k4,5, ,n

   

3 3

1 1 1 1 1

2

1 3.4 4.5 4.5 5.6 1

P

n n n n

 

     

           

 

       

 

251 1 251 65

108 3.4 n n 108 3.4 27

     



Do

65 64

P 

(đpcm) 25 Giải:

Đặt  

1 1

2 1 2 1

n

S

n n n n

   

    

Để ý :

 

 

   

 

 

2 2

1 1

1 1

,

1

1 1 1

k k k k k k k k

k k k

k k k k k k k k k k

     

     



      

Cho k 1, 2, ,n cộng vế với vế ta có:

1 1 1 1

1 2 1

n

S

n n n

        

 

Do 2001

1

2002

S  

Như ta phải chứng minh:

43 44 1

1

44  2002 45 45 2002 44

44 2002 45 1936 2002 2025

     

Bất đẳng thức cuối nên ta có điều phải chứng minh 26 Giải:

Bổ đề: với số thực dương x y, ta có: x y y x x x y y Chứng minh: Sử dụng phương pháp biến đổi tương đương

0

x y y x x x y y  x x y y x y y x   

      

x x y y y x x y x y

        

 x y  x y2

   

Bổ đề chứng minh Áp dụng bổ đề ta có:

n1 n 1 n n n n  1 n1 n

   

1

1 1

n n n n n n n n

 

     

Vì thế:  

1 1

2 1 3 2     n1 n 1 n n 

 

1 1

1

2 1 2 n 1 n nn

   



   

Mà theo kết câu 25

thì:  

1 1

2 1 2 3     n1 n n n 1  n1

Vậy toán chứng minh

Câu 27) Giải:

 2 

1

2

2

n n

n n n n

n n



      

 Kí hiệu

1 10 3

3 12 3

n n

P

n n

 



 Ta có:

2 10 3 . 3. 1 10 3 . 3.

3 12 3 3 12 3

n n n n

P

n n n n

   

   

   

 

   

1 3 10 3

3 10 3 12 3

n n n n

n n n n

  

   

    

  

   

1 3 3

3 10 3 3

n n n n

n n n n

  



      

1

3 3n n

 

 

Từ suy

1

3

P n

