Nhƣợc điểm: Theo định nghĩa thống kê của xác suất, ta không thể xác định chính xác xác suất của một biến cố vì không thực hiện phép thử vô hạn lần đƣợc. Ta lấy ngẫu nhiên 2 bi. Tìm xác[r]
(1)1
ỦY BAN NHÂN DÂN TỈNH NGHỆ AN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KINH TẾ NGHỆ AN
Th.S Bùi Đình Thắng
GIÁO TRÌNH
LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỒNG KÊ TOÁN
(2)2
LỜI NÓI ĐẦU
Lý thuyết xác suất thống kê toán học ngành toán học đời khoảng kỷ XVII, đối tƣợng nghiên cứu tƣợng ngẫu nhiên, quy luật ngẫu nhiên thƣờng gặp thực tế Lý thuyết xác suất thống kê phát triển mạnh mẽ kỷ XX, xác suất thống kê đƣợc áp dụng rộng rãi nhiều lĩnh vực, có kinh tế, xã hội, điều khiển học, y học Do đó, ngày lý thuyết Xác suất thống kê toán đƣợc đƣa vào giảng dạy hầu hết ngành đào tạo trƣờng Đại học Cao đẳng nƣớc giới
Để kịp thời phục vụ việc học tập sinh viên, Khoa sở - Trƣờng Đại học Kinh tế Nghệ An tổ chức biên soạn giáo trình Lý thuyết xác suất thống kê tốn Đây giáo trình dùng chung cho hệ Cao đẳng hệ Đại học, dựa vào chƣơng trình giảng dạy mơn Khoa học tự nhiên – Khoa sở lựa chọn nội dung giảng dạy phù hợp với trình độ hệ đào tạo
Trong giáo trình không sâu vào việc chứng minh lý thuyết tốn học phức tạp mà trình bày kiến thức xác suất thống kê toán nhằm đảm bảo phần sở toán học cho trình thu thập xử lý thơng tin kinh tế - xã hội đƣợc tiếp tục nghiên cứu mơn học khác
Giáo trình đƣợc trình bày gồm chƣơng:
Chương Biến cố ngẫu nhiên xác suất
Chương Đại lượng ngẫu nhiên quy luật phân phối xác suất Chương Một số quy luật phân phối xác suất thường gặp Chương Đại lượng ngẫu nhiên hai chiều
Chương Các định lý giới hạn Chương Lý thuyết mẫu
(3)3
Giáo trình "Lý thuyết xác suất thống kê toán" đƣợc biên soạn lần đầu thời gian ngắn nên chắn giáo trình khơng tránh khỏi thiếu sót Tác giả mong nhận đƣợc góp ý bạn đọc để giáo trình ngày đƣợc hoàn thiện
(4)4
Chƣơng
BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN VÀ XÁC SUẤT
1.1 BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN
1.1.1 Phép thử ngẫu nhiên loại biến cố ngẫu nhiên
Phép thử ngẫu nhiên thuật ngữ để phép thử hay thực nghiệm hay quan sát mà kết ngẫu nhiên, trƣớc cách chắn Các kết (ký hiệu ) phép thử ngẫu nhiên gọi các biến cố ngẫu nhiên sơ cấp (biến cố sơ cấp).
1.1.1.1 Định nghĩa. Tập hợp tất biến cố ngẫu nhiên sơ cấp
gọi không gian mẫu của phép thử, ký hiệu là: Ω
Số biến cố sơ cấp Ω ta ký hiệu Card(Ω)
Ví dụ 1) Gieo đồng xu thực phép thử ngẫu nhiên Các kết S = "Xuất mặt sấp", N = "Xuất mặt ngửa" biến cố sơ cấp Không gian mẫu = {S, N} Card() =
2) Gieo ngẫu nhiên xúc xắc mặt thực phép thử ngẫu nhiên Các kết Mi: “Xúc xắc xuất mặt i chấm”
(i = 1, 2, , 6) biến cố sơ cấp Không gian mẫu Ω = {M1, M2,
M3, M4, M5, M6} Card(Ω) =
3) Từ hộp có 13 viên bi khác ta lấy ngẫu nhiên bi, hành động thực phép thử ngẫu nhiên Mỗi kết lấy đƣợc viên bi 13 viên bi biến cố sơ cấp Do khơng gian mẫu Ω tập hợp tổ hợp chập 13 phần tử Card(Ω) =
13
C = 715 1.1.1.2 Định nghĩa
Một tập hợp A đƣợc gọi một biến cố ngẫu nhiên (biến cố) Các biến cố ngẫu nhiên sơ cấp A đƣợc gọi biến cố ngẫu nhiên sơ cấp thuận lợi cho A Biến cố A đƣợc gọi xảy xảy biến cố ngẫu nhiên sơ cấp A Nhƣ A có, khơng xảy thực phép thử
Biến cố không xảy thực phép thử đƣợc gọi
(5)5
Biến cố định xảy thực phép thử đƣợc gọi biến cố chắn
Ví dụ 1) Xét phép thử gieo ngẫu nhiên xúc xắc mặt Các kết quả:
Ac: “Xúc xắc xuất mặt có số chấm chẵn”; Al: “Xúc xắc xuất mặt có số chấm lẻ”;
Ant: “Xúc xắc xuất mặt có số chấm số nguyên tố”; B: "Xúc xắc xuất mặt có số chấm lớn 4";
C: "Xúc xắc xuất mặt có số chấm bé thua 5" biến cố ngẫu nhiên
Biến cố "Xúc xắc xuất có số chấm lớn 0" biến cố chắn
Biến cố “Xúc xắc xuất mặt có số chấm lớn 6” biến cố
2) Một hộp có 13 viên bi có viên bi xanh, viên viên đỏ Xét phép thử lấy viên bi Các kết quả: A = "Lấy đƣợc bi xanh, bi đỏ"; B = "Lấy đƣợc bi xanh, bi đỏ"; C = "Lấy đƣợc bi đỏ"; D = "Lấy đƣợc nhiều bi xanh" biến cố ngẫu nhiên Biến cố "Lấy đƣợc viên bi màu vàng" biến cố
1.1.2 Quan hệ biến cố
Giả sử A, B hai biến cố phép thử
1.1.2.1 Quan hệ kéo theo Ta nói biến cố A kéo theo (hay
thuận lợi) biến cố B biến cố A xảy biến cố B xảy Ký hiệu A ⊂ B
Ví dụ 1) Xét phép thử gieo xúc xắc, ta có: M1⊂ Al, M4 ⊂ Ac
2) Chọn ngẫu nhiên tú-lơ-khơ gồm 52 quân Gọi A biến cố chọn đƣợc chất rô; B biến cố chọn đƣợc màu đỏ Khi A ⊂ B
(6)6
1.1.2.2 Quan hệ đồng nhất. Ta nói biến cố A đồng (hay
tương đương) với biến cố B phép thử biến cố A xảy biến cố B xảy
Ký hiệu: A = B
Ví dụ 1) Xét phép thử gieo xúc xắc Gọi B biến cố "con xúc xắc xuất mặt có số chấm bội 3”, B = M6
2) Thầy giáo chấm sinh viên cho điểm theo thang điểm 10 Gọi A biến cố sinh viên đạt điểm nhỏ thua 5; B biến cố sinh viên khơng đạt u cầu Khi ta có: A = B
1.1.2.3 Quan hệ xung khắc. Hai biến cố A B đƣợc gọi xung khắc nếu chúng đồng thời xảy thực phép thử
Trƣờng hợp ngƣợc lại, hai biến cố xảy phép thử đƣợc gọi là không xung khắc
Dãy biến cố A1, A2, …, An dãy biến cố xung khắc
đôi Ai, Aj (i j, i, j) xung khắc
Ví dụ 1) Xét phép thử gieo xúc xắc Các cặp biến cố Mi
và Mj (i ≠ j), M1 Ant, Ac Al xung khắc với
2) Hai ngƣời bắn vào mục tiêu Gọi A biến cố "ngƣời thứ bắn trúng"; B biến cố "ngƣời thứ hai bắn trúng" Khi A, B hai biến cố khơng xung khắc, thực phép thử cho hai ngƣời bắn vào mục tiêu ngƣời thứ ngƣời thứ hai bắn trúng nên A, B đồng thời xảy
3) Chọn ngẫu nhiên viên bi hộp có bi xanh, bi vàng, bi đỏ
Gọi A1 biến cố chọn đƣợc bi xanh; A2 biến cố chọn đƣợc
bi vàng; A3 biến cố chọn đƣợc bi khác màu Khi A1; A2; A3
xung khắc đôi
1.1.2.4 Quan hệ đối lập. Hai biến cố A, B đƣợc gọi đối lập với phép thử A xảy B không xảy
Ký hiệu biến cố đối lập biến cố A A
(7)7
2) Bắn viên đạn vào mục tiêu Gọi A biến cố: "bắn trúng mục tiêu", A biến cố "bắn trƣợt mục tiêu" A A hai biến cố đối lập với
3) Chọn ngẫu nhiên hai viên bi hộp có viên bi xanh, viên bi vàng viên bi đỏ Gọi A biến cố viên bi đƣợc chọn có viên bi màu xanh Gọi A biến cố viên bi chọn khơng có viên bi màu xanh
1.1.3 Các phép toán biến cố
Giả sử A, B hai biến cố phép thử 1.1.3.1 Tổng, tích hai biến cố
Tổng (Hợp) hai biến cố A B biến cố, ký hiệu A + B (hoặc AB), biến cố A + B xảy có hai biến cố A, B xảy
Tích (Giao) hai biến cố A B biến cố, ký hiệu AB(hoặc AB), biến cố AB xảy hai biến cố A B đồng thời xảy
Ví dụ 1) Xét phép thử gieo xúc xắc, ta có: M2 = AcAnt; = Ac + Al; = MiMj (i j; i, j 6)
2) Bắn hai viên đạn vào mục tiêu Gọi A biến cố "viên thứ trúng mục tiêu", B biến cố "viên thứ hai trúng mục tiêu" Khi A + B biến cố "mục tiêu trúng đạn" AB biến cố "cả viên đạn trúng mục tiêu"
3) Một sinh viên chọn ngẫu nhiên câu hỏi Gọi A biến cố "đƣợc câu lý thuyết", B biến cố "đƣợc câu khó" Khi AB biến cố "đƣợc câu lý thuyết khó"
1.1.3.2 Hiệu biến cố. Hiệu biến cố A với biến cố B là biến cố, ký hiệu A\B, biến cố A\B xảy biến cố A xảy nhƣng biến cố B khơng xảy
Ví dụ 1) Xét phép thử gieo xúc xắc, ta có: M2 = Ant\Al, Ant\Ac = M5 + M3,Ac\Ant = M4 + M6
(8)8
màu A\B biến cố chọn đƣợc viên bi màu xanh B\A biến cố
1.1.3.3 Hệ đầy đủ. Các biến cố A A1, 2, ,An đƣợc gọi hệ đầy
đủ nếu thỏa mãn:
i) A A1 2 An ;
ii) A A1, 2, ,An đôi xung khắc
Ví dụ 1) Xét phép thử gieo xúc xắc, ta có: Hệ {Ac, Al}, {M1, M2, …, M6} {Al, Ant, M4, M6} hệ đầy đủ
2)Cho A biến cố Khi {A, Ā} hệ đầy đủ
3) Gieo hạt giống, gọi Ai biến cố có số i hạt nảy mầm
(i = 0, 1, 2) Ta có {A0,A1,A2} hệ đầy đủ
1.1.4 Các tính chất phép tốn biến cố
Các phép toán biến cố A + B, AB, A tƣơng ứng với phép toán tập hợp nên chúng có tính chất tƣơng tự
i) Giao hoán: A + B = B + A; AB = BA;
ii) Kết hợp: A + (B + C) = (A + B) + C; A(BC) = (AB)C = ABC; iii)Phân phối: A(B + C) = AB + AC;
iv)Lũy đẳng: A + A = A, AA = A;
v) A ; A A; A A;A ;
vi) A = A;
vii) Luật đối ngẫu De Morgan: A B = A B; AB = A B ;
(9)9
1.2 XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ
Xác suất biến cố khái niệm lý thuyết xác suất, đại lƣợng xác định (về số lƣợng) đƣợc dùng để biểu thị cho khả xảy biến cố phép thử Biến cố có khả xảy nhiều gán cho giá trị lớn hơn, khả xảy nhƣ gán cho giá trị
Qua trình phát triển lý thuyết xác suất tùy theo đặc điểm phép thử, có định nghĩa xác suất nhƣ sau:
1.2.1 Định nghĩa cổ điển xác suất
1.2.1.1 Định nghĩa Xét phép thử, không gian mẫu
1, 2, n
hữu hạn (gồm số hữu hạn biến cố sơ cấp) Giả sử biến cố sơ cấp 1, 2, ., n có đồng khả xảy ra
(khả xảy biến cố thực phép thử nhƣ nhau) A biến cố ngẫu nhiên bất kỳ, m = Card(A) số biến cố sơ cấp thuận lợi cho biến cố A xảy
Khi xác suất để biến cố A xảy ra là: P(A) = m Card(A) n Card( ) 1.2.1.2 Tính chất xác suất
Từ định nghĩa cổ điển xác suất ta suy tính chất sau đây:
i) 0P(A) 1;
ii) P( ) = 0; P( ) = Chứng minh:
i) Vì Card(A) n Card(A) P(A) n
ii) Vì Card() = Card() = n P( ) 0, P() = 1.
Ví dụ 1) Gieo xúc xắc cân đối đồng chất Tìm xác suất biến cố:
A biến cố "xúc xắc xuất mặt có số chấm số chẵn"; B biến cố "xúc xắc xuất mặt có số chấm nhỏ thua 3"
(10)10
Khi khơng gian biến cố sơ cấp đồng khả có phần tử:
= {A1, A2, A3, A4, A5, A6}
Số biến cố sơ cấp thuận lợi cho biến cố A gồm {A2, A4, A6}
Do xác suất để biến cố A xảy là: P(A) 0,5
6
Số biến cố sơ cấp thuận lợi cho biến cố B gồm {A1, A2} Do
đó xác suất để biến cố B xảy P(B) = 2/6 = 1/3 0,333
2) Một lô hàng gồm 15 sản phẩm có 12 sản phẩm tốt sản phẩm xấu Lấy ngẫu nhiên sản phẩm Tính xác suất trƣờng hợp sau:
a) Một sản phẩm tốt sản phẩm xấu; b) Cả hai sản phẩm xấu
Giải. Số biến cố sơ cấp đồng khả : C152 105
a) Gọi A biến cố hai sản phẩm lấy có sản phẩm tốt sản phẩm xấu
Số biến cố sơ cấp thuận lợi cho biến cố A : 1 13
C C 36 Vậy xác suất để biến cố A xảy là: P(A) 36 0,343
105
b) Gọi B biến cố có hai sản phẩm tốt đƣợc lấy Số biến cố sơ cấp thuận lợi cho biến cố B
12 C 66 Vậy xác suất để biến cố B xảy là: P(B) 66 0, 629
105
1.2.1.3 Ưu điểm hạn chế định nghĩa cổ điển xác suất Ƣu điểm: Khi tìm xác suất biến cố ta không cần phải tiến hành thực nghiệm (phép thử tiến hành cách giả định); kết xác suất tìm xác đáp ứng đƣợc u cầu định nghĩa
(11)11
thiết cân đối đồng chất, nhiên thực tế có xúc xắc cân đối, đồng chất)
1.2.2 Định nghĩa thống kê xác suất
1.2.2.1 Tần suất Xét phép thử A biến cố liên quan đến phép thử Ta thực phép thử n lần (một cách độc lập) điều kiện giống nhau, n lần có m (0 m n) lần biến cố A xảy tỷ số f (A)n m
n
đƣợc gọi tần
suất xảy biến cố A n phép thử
Ví dụ 1) Một xạ thủ bắn 1000 viên đạn vào mục tiêu có 800 lần bắn trúng mục tiêu Gọi A biến cố xạ thủ bắn trúng mục tiêu Khi tần suất xảy biến cố A f1000(A) = 800/1000 = 0,8
2) Để nghiên cứu khả xuất mặt sấp thực phép thử tung đồng xu Ngƣời ta tiến hành tung đồng xu nhiều lần thu đƣợc kết sau đây:
Ngƣời làm
thí nghiệm Số lần tung
Số lần mặt sấp
xuất Tần suất
Buffon 4040 2048 0,5069
Pearson 12000 6019 0,5016
Pearson 24000 12012 0,5005
Qua ví dụ nhận thấy, số phép thử tăng lên tần suất xuất mặt sấp giao động ngày xung quanh giá trị khơng đổi 0,5 Điều cho phép hy vọng số phép thử tăng lên vơ hạn tần suất hội tụ giá trị 0,5
1.2.2.2 Định nghĩa Khi số phép thử n lớn tần suất f (A)n dao động xung quanh số p với biên độ giảm dần tới Hằng số p đƣợc gọi xác suất biến cố A, ký hiệu P(A) = p
Nhƣ f (A)n P(A) n
(12)12
Nhƣợc điểm: Theo định nghĩa thống kê xác suất, ta khơng thể xác định xác xác suất biến cố khơng thực phép thử vơ hạn lần đƣợc
1.3 CÁC ĐỊNH LÝ VỀ XÁC SUẤT 1.3.1 Định lý cộng
1.3.1.1 Định lý. i) Nếu A, B hai biến cố xung khắc với thì: P(A + B) = P(A) + P(B);
ii) Nếu A1, A2, …, An dãy biến cố xung khắc với
đơi thì: P(A1A2 A )n P(A ) P(A ) P(A ).1 2 n
Chứng minh: i) Vì A, B hai biến cố xung khắc nên khơng có biến cố sơ cấp thuận lợi cho A B Số biến cố sơ cấp thuận lợi cho A + B m = mA + mB, mA số biến cố sơ cấp thuận
lợi cho A mB biến cố sơ cấp thuận lợi cho B Từ suy ra:
A B A B
m m m m
P(A B) P(A) P(B)
n n n
ii) Ta chứng minh theo phƣơng pháp quy nạp toán học:
+ Với n = 2: Theo i) ta có P(A1A )2 P(A ) P(A )1 2 nên ii) với n =
+ Giả sử ii) với n = k, tức là:
1 2
P(A A A )k P(A ) P(A ) P(A ). k + Với n = k + 1, ta có:
1 k k 1 k k
P(A A A A )P(A A A ) P(A ) (theo i)) (P(A ) P(A ) P(A )) P(A1 k k1)
(theo giả thiết quy nạp) ii) với n = k +
Vậy theo phƣơng pháp chứng minh quy nạp toán học ta có: Nếu A1, A2, …, An dãy biến cố xung khắc với đôi thì:
1 2
P(A A A )n P(A ) P(A ) P(A ), n n ,n2. Ví dụ Một hộp bi đỏ bi xanh hoàn tồn giống kích thƣớc trọng lƣợng Ta lấy ngẫu nhiên bi Tìm xác suất để bi lấy màu
(13)13 C biến cố bi lấy màu Khi đó: C = A + B A, B xung khắc nên:
P(C) = P(A + B) = P(A) + P(B) Ta có:
2 10
C
P(A) 0,133
C 15
;
2 10
C
P(B) 0,333
C 15
Vậy xác suất để lấy bi màu là:
2
P(C) 0, 467
15 15 15
1.3.1.2 Hệ quả. i) Nếu A biến cố đối lập biến cố A xác suất biến cố A P(A) P(A);
ii) Nếu A1, A2, …, An hệ đầy đủ biến cố thì:
P(A1) + P(A2) + + P(An) =
Chứng minh: i) Vì A Ađối lập nên A A xung khắc theo Định lý 1.3.1.1 ta có:
P( ) P(A A) P(A) P(A) 1 P(A) P(A) P(A) P(A). ii) Nếu A1, A2, …, An hệ đầy đủ biến cố A1, A2, …, An
dãy biến cố đôi xung khắc A1 + A2 + …+ An =
Do đó:
1 n n
1 P( ) P(A A A )P(A )P(A ) P(A ). Ví dụ 2. Một hộp có 50 sản phẩm loại I 15 sản phẩm loại II Lấy ngẫu nhiên 10 sản phẩm để kiểm tra Tính xác suất để có sản phẩm loại II 10 sản phẩm đƣợc kiểm tra
Giải. Gọi A biến cố "có sản phẩm loại II 10 sản phẩm đƣợc kiểm tra" Khi A biến cố khơng có sản phẩm loại II 10 sản phẩm đƣợc kiểm tra
Ta có:
10 10
50 50
10 10
65 65
C C
P(A) P(A) 0,943
C C
1.3.1.3 Định lý cộng mở rộng
(14)14
ii) Nếu A, B, C biến cố P(A + B + C) = P(A) + P(B) + P(C) – P(AB) – P(BC) – P(CA) + P(ABC);
iii) Nếu A1, A2, …, An dãy biến cố
n n
i i i j i j k
i i 1 i j n i j k n
P A P(A ) P(A A ) P(A A A )
n
1 n
( 1) P(A A A )
Chứng minh: i) Ta có A B A BA; A BA xung khắc với Khi đó, P(AB)P(A)P(BA)
Mặt khác, B B(A A) BA BA nên P(B)P(BA) P(BA) P(BA) = P(B) – P(AB)
Từ đó, ta có: P(A + B) = P(A) + P(B) – P(AB) ii) P(A + B + C) = P(A) + P(B + C) – P(A(B+C))
= P(A) + P(B) + P(C) – P(BC) – P(AB + AC) = P(A) + P(B) + P(C) – P(BC) – P(AB + AC) – {P(AB) + P(AC) – P(ABC)}
P(A + B + C) = P(A) + P(B) + P(C) – P(BC) – P(AB + AC) – {P(AB) + P(AC) – P(ABC)}.
iii) Chứng minh tƣơng tự ii
Ví dụ Một lớp có 20 sinh viên, có 10 sinh viên biết tiếng Anh, 12 sinh viên biết tiếng Pháp, sinh viên biết thứ tiếng Gọi ngẫu nhiên sinh viên Tìm xác suất để:
a) Sinh viên biết ngoại ngữ; b) Sinh viên khơng biết ngoại ngữ
Giải: a) Gọi A biến cố sinh viên đƣợc gọi biết tiếng Anh: 10
P(A) 0,5 20
B biến cố sinh viên đƣợc gọi biết tiếng Pháp: P(B) 12 0,6 20
AB biến cố sinh viên biết thứ tiếng P(AB) 0,35 20
(15)15
10 12 15
P(C) 0,75
20 20 20 20
b) C biến cố sinh viên đƣợc gọi biết ngoại ngữ, nên Clà biến cố sinh viên đƣợc gọi ngoại ngữ: P(C) = P(C) 0, 25
1.3.2 Định lý nhân
1.3.2.1 Xác suất có điều kiện. Giả sử A, B biến cố, P(B) >
Xác suất có điều kiện biến cố A biến cố B xảy số không âm, ký hiệu P(A/B), đặc trƣng cho khả xảy biến cố A tình biến cố B xảy
Ví dụ Một hộp có bi đỏ bi xanh Lấy ngẫu nhiên lần lƣợt viên bi, lần viên (lấy khơng hồn lại) Tìm xác suất để:
a) Bi lấy lần bi đỏ, biết bi lấy lần bi đỏ b) Bi lấy lần bi xanh, biết bi lấy lần bi xanh
Giải. Gọi Ai biến cố bi lấy lần thứ i bi đỏ (i = 1, 2)
a) Khi bi lấy lần thứ bi xanh, hộp lúc lại viên bi gồm đỏ xanh Do xác suất lấy lần bi đỏ biết bi lấy lần bi đỏ là: P(A /A )2 1 0,5
6
b) Khi bi lấy lần thứ bi xanh, hộp lúc lại viên bi gồm đỏ xanh Do xác suất lấy lần bi xanh biết bi lấy lần bi xanh là: P(A /A )2 1 0,333
6
1.3.2.2 Định lý nhân. Giả sử A, B biến cố Khi ta có: P(AB) = P(B).P(A/B) P(B) >
P(AB) = P(A).P(B/A) P(A) >
Chứng minh: Giả sử n biến cố sơ cấp đồng khả xảy phép thử mA, mB số biến cố sơ cấp thuận lợi cho biến cố A, B; k
số biến cố sơ cấp thuận lợi cho A B
Khi đó: k mA
P(AB) ; P(A)
n n
(16)16 B
k P(A / B)
m
P(B) > (vì B xảy ra) Nhƣ vậy:
B B
k
k n P(AB)
P(A / B) P(AB) P(B).P(A / B)
m
m P(B)
n
Vì vai trị A, B nhƣ nên P(A) > P(AB) = P(A).P(B/A).
Ví dụ 5.Trong hộp có phẩm phế phẩm Lấy ngẫu nhiên lần lƣợt hai sản phẩm Tìm xác suất để hai sản phẩm lấy phẩm
Giải. Gọi Ai biến cố "sản phẩm lấy lần thứ i phẩm" (i = 1, 2) A biến cố "cả hai sản phẩm lấy phẩm"
Khi A = A1A2
P(A) = P(A1A2 ) = P(A1).P(A2/A1) =
5
0,357
1.3.2.3 Định lý nhân mở rộng. Giả sử A1, A2, …, An biến cố phép thử Khi đó:
P(A1A2…An) = P(A1).P(A2/A1).P(A3/A1A2)…P(An/A1A2…An-1) với điều kiện: P(A1A2…An-1) >
Chứng minh: Ta chứng minh theo phƣơng pháp quy nạp toán học: + Với n = 2: Theo Định lý 1.3.2.2, ta có:
P(A1A2) = P(A1).P(A2/A1) Định lý với n =
+ Giả sử định lý với n = k, tức là:
P(A1A2…Ak) = P(A1).P(A2/A1).P(A3/A1A2)…P(Ak/A1A2…Ak-1) + Ta chứng minh định lý với n = k +
Theo Định lý 1.3.2.2, ta có:
P(A1A2…Ak+1) = P(A1A2 Ak).P(Ak+1/A1A2…Ak
Theo giả thiết quy nạp, ta có:
P(A1A2…Ak+1) = P(A1).P(A2/A1).P(A3/A1A2)…P(Ak/A1A2…Ak-1) P(Ak+1/A1A2…Ak)
(17)17
Vậy theo phƣơng pháp quy nạp toán học ta suy Định lý 1.3.3.3
đúng với n
Ví dụ Một hộp có phẩm phế phẩm Lấy ngẫu nhiên lần lƣợt sản phẩm (khơng hồn lại) để kiểm tra lấy đƣợc phế phẩm thơi Tìm xác suất biến cố sau:
a) Việc kiểm tra dừng lại kiểm tra tới sản phẩm thứ b) Việc kiểm tra dừng lại kiểm tra tới sản phẩm thứ
c) Giả sử việc kiểm tra dừng lại kiểm tra sản phẩm thứ Tìm xác suất để sản phẩm kiểm tra lần phẩm
Giải
a) Gọi Ai biến cố sản phẩm lấy kiểm tra lần thứ i phế phẩm (i = 1, 2, 3)
i
A biến cố đối lập với biến cố Ai (i = 1, 2)
A biến cố việc kiểm tra dừng lại kiểm tra sản phẩm thứ Khi đó: A = A1A2
P(A) = P(A1A2) = P(A1)P(A2/A1) = 0,067 5
b) Gọi B biến cố việc kiểm tra dừng lại kiểm tra tới sản phẩm thứ
Khi đó: B = A1A A2 + A A1 2A3
Ta có biến cố A1A A2 3, A A1 2A3 xung khắc nên: P(B) = P(A1A A2 3) + P(A A1 2A3)
Mà P(A A1 2A3) = P(A1).P(A /A2 1).P(A3/A1A ) 2 đó: P(A1) =
2
6; P(A /A2 1) =
5; P(A3/A1A ) =
P(A1A A2 3) = 0, 067
Lại có: P(A A1 2A3) = P(A ).P(A1 2/A ).P(A1 3/A A1 2)
(18)18 Vậy P(B) = 0,133
15
c) Việc kiểm tra dừng lại kiểm tra sản phẩm thứ Xác suất để kiểm tra sản phẩm kiểm tra lần phẩm là:
P(A /B) = 1 P(A B)1 P(B)
Mà P(A B) = P(A A A )1 1 2 3 0,067 15
do đó: P(A /B) = 1
1
15 0,5.
2 2
15
1.3.2.4 Tính chất xác suất có điều kiện i) P(/B) = 0; P(/B) = 1;
ii) P((A + C)/B) = P(A/B) + P(C/B) – P(AC/B);
Nếu A, C xung khắc P((A + C)/B) = P(A/B) + P(C/B) iii) P(A/B) = P(A/B).
1.3.3 Tính độc lập biến cố
1.3.3.1 Định nghĩa. Hai biến cố A B phép thử đƣợc gọi độc lập với nhau xảy hay không xảy biến cố không làm ảnh hƣởng đến xác suất biến cố kia, tức P(A/B) = P(A), P(B/A) = P(B)
Trong lý thuyết tính tốn, ngƣời ta nhận biết tính độc lập cơng thức, cịn thực tế ngƣời ta nhận biết tính độc lập biến cố trực giác
Ví dụ 7. Hai xạ thủ bắn vào mục tiêu Gọi A, B lần lƣợt biến cố ngƣời thứ nhất, ngƣời thứ hai bắn trúng mục tiêu Vì việc hai ngƣời bắn trúng hay trƣợt mục tiêu không ảnh hƣởng đến kết nên A, B hai biến cố độc lập
(19)19
lẻ xúc xắc không làm ảnh hƣởng đến nên A, B hai biến cố độc lập
1.3.3.2 Định lý. Nếu A với B độc lập A với B, A với B, A với B độc lập
Chứng minh: Vì A, B độc lập với nên P(A/B) = P(A), P(B/A) = P(B)
Ta có: P(B / A) P(B / A) P(B) P(B) B, A độc lập với
Vì vai trị A, B nhƣ nên A,B độc lập với
Lại có: P(B / A) P(B / A) P(B) P(B) A với B độc lập
1.3.3.3 Hệ quả. Hai biến cố A B với P(B) > độc lập P(AB) = P(A).P(B)
Chứng minh: +) Giả sử A, B độc lập với Khi P(B/A) = P(B), P(AB) = P(A).P(B)
+) Ngƣợc lại, giả sử P(AB) = P(A).P(B), mà P(AB) = P(A).P(B/A) nên P(B/A) = P(B) Tƣơng tự P(A/B) = P(A) Vậy A B độc lập với
Ví dụ 9. Hai cơng ty hoạt động độc lập với đƣợc mời tham gia đấu thầu dự án gồm nhiều gói thầu Khả trúng thầu công ty tƣơng ứng 0,8 0,9 Tính xác suất để có cơng ty trúng thầu
Giải Gọi A1, A2 lần lƣợt biến cố công ty thứ nhất, thứ hai trúng
thầu
A biến cố có cơng ty trúng thầu
Khi đó: A = A1 + A2 A1, A2 độc lập nhƣng không xung khắc
1 2
P(A A )P(A ) P(A ) P(A A )
P(A ) P(A ) P(A ).P(A )1 2 1 2 0,8 0,9 0,8.0,9 0,98 1.3.3.4 Định nghĩa Các biến cố A1, A2, …, An đƣợc gọi độc lập đôi cặp hai biến cố n biến cố độc lập với
(20)20
Ví dụ 10 Tung đồng xu lần, gọi Ai (i = 1, 2, 3) biến cố
"mặt sấp xuất lần tung thứ i" Khi A1, A2, A3 độc lập
đôi
1.3.3.5 Định nghĩa Các biến cố A1, A2, …, An đƣợc gọi độc
lập tồn phần chúng độc lập đơi biến cố độc lập với tích số tùy ý biến cố lại
Khi ta có: P(A1A2…An) = P(A1).P(A2)…P(An)
Chú ý Các biến cố độc lập tồn phần độc lập với đôi một, điều ngƣợc lại không
Ví dụ 11 Hộp có bi đỏ bi xanh; Hộp có bi đỏ bi xanh Lấy ngẫu nhiên từ hộp bi Tìm xác suất biến cố sau:
a) bi lấy màu đỏ; b) bi lấy màu
Giải. a) Gọi A biến cố bi lấy màu đỏ Ai biến cố bi lấy từ hộp i bi đỏ (i = 1, 2) Khi A = A1A2
Ta có biến cố A1, A2 độc lập nên P(A) = P(A1).P(A2) =
3
0,123 7
b) Ailà biến cố đối lập Ai (i = 1, 2) Gọi B biến cố bi lấy
ra màu xanh
Khi đó: B = A A1 2; A1, A2 độc lập
2 1
4
P B = P A A P A P A 0, 408 7
Gọi C biến cố bi lấy màu; C = A + B; A, B xung khắc
26
P C = P A + B = P(A) + P(B) 0,531 49
1.4 CÁC HỆ QUẢ CỦA ĐỊNH LÝ CỘNG, ĐỊNH LÝ NHÂN XÁC SUẤT
(21)21
Giả sử A1, A2, …, An biến cố tạo thành hệ đầy đủ
P(Ai) > (i = 1,n ) A biến cố phép thử Khi ta có:
P(A) = P(A1).P(A/A1) + …+ P(An).P(A/An) = i i
1
P(A )P(A/A ) n
i
Chứng minh: Vì A1, A2, …, An biến cố tạo thành hệ đầy đủ
nên:
1 n
A A A
A A AA1AA2 AA n
Vì A1, A2, …, An đôi xung khắc nên AA , AA , , AA1 n đôi
một xung khắc
Do đó: P(A)P(AA )1 P(AA ) P(AA )2 n
1 2 n n
P(A) P(A )P(A / A ) P(A )P(A / A ) P(A )P(A / A )
n
i i
i
P(A )P(A / A )
Ví dụ 1. Có hộp hồn tồn giống hình thức Hộp có phẩm, phế phẩm
Hộp có phẩm, phế phẩm Hộp có phẩm, phế phẩm
Lấy ngẫu nhiên hộp từ lấy sản phẩm Tìm xác suất để sản phẩm phẩm
Giải. Gọi Ai biến cố hộp i đƣợc lấy (i = 1, 2, 3)
P(A ) = P(A ) = P(A )1 2 3
Ta có: {A1, A2, A3} hệ đầy đủ
Gọi A biến cố lấy đƣợc phẩm Áp dụng cơng thức xác suất phần ta có:
P(A) = P(A1).P(A/A1) + P(A2).P(A/A2) + P(A3).P(A/A3) đó: P(A/A1) =
4
6; P(A/A2) =
6; P(A/A3) =
1
P(A)
3 6
(22)22
1.4.2 Định lý Bayes
Giả sử A1, A2, …, An biến cố tạo thành hệ đầy đủ
P(Ai) > (i = 1,n ) A biến cố phép thử P(A) >
Khi ta có:
i i
i
P(A ).P(A/A )
P(A /A) = , i=1,n P(A)
Chứng minh: Theo Định lý 1.3.2.2, ta có:
i i i i
P(AA )P(A)P(A / A)P(A )P(A / A ), i 1, n
Do đó: i i
i
P(A )P(A / A )
P(A / A) , i 1, n P(A)
Ví dụ Một cửa hàng bán bóng đèn loại sở sản xuất cung cấp Cơ sở 1, sở 2, sở cung cấp lƣợng hàng tƣơng ứng 40%, 35%, 25% Biết tỉ lệ bóng hỏng sở 1, sở 2, sở sản xuất tƣơng ứng 2%, 2%, 3% Ta mua ngẫu nhiên bóng cửa hàng
a) Tìm xác suất để bóng mua bị hỏng;
b) Giả sử bóng mua bị hỏng Hỏi bóng mua sở sản xuất có khả xảy cao
Giải. a) Gọi Ai biến cố bóng mua sở i sản xuất (i = 1, 2, 3)
Gọi A biến cố bóng mua bị hỏng
P(A1) = 0,4; P(A2) = 0,35; P(A3) = 0,25
Hệ {A1; A2; A3} tạo thành hệ đầy đủ Do áp dụng cơng thức
xác suất phần ta có:
P(A) = P(A1).P(A/A1) + P(A2).P(A/A2) + P(A3).P(A/A3) đó: P(A/A1) = 0,02; P(A/A2) = 0,02; P(A/A3) = 0,03
Vậy P(A) = 0,023
b) Bóng mua bị hỏng sở 1, sở 2, sở sản xuất
Xác suất để bóng hỏng mua sở sản xuất là:
1
1
P(A ).P(A/A ) 0, 4.0,02 80
P(A /A) = = =
(23)23
Xác suất để bóng hỏng mua sở sản xuất là:
2
2
P(A ).P(A/A ) 0,35.0,02 70
P(A /A) = = =
P(A) 0,0225 225 Xác suất để bóng hỏng mua sở sản xuất là:
3
3
P(A ).P(A/A ) 0, 25.0,03 75
P(A /A) = = =
P(A) 0,0225 225 Vậy bóng mua bị hỏng sở sản xuất xảy nhiều
1.4.3 Công thức Bernoulli
1.4.3.1 Định nghĩa Tiến hành n lần phép thử độc lập điều kiện nhƣ Giả sử phép thử, biến cố A xảy với xác suất p khơng đổi Khi xác suất để n phép thử biến cố A xảy k lần là:
k k n k
n n
P (k) = C p (1 p) , k = 1, 2, , n công thức đƣợc gọi công thức Bernoulli
1.4.3.2 Hệ Với giả thiết nhƣ ta có:
i) Xác suất để n phép thử biến cố A không xảy lần là: (1 – p)n;
ii) Xác suất để n phép thử biến cố A luôn xảy là: pn;
iii) Để n phép thử biến cố A xảy k1 lần nhiều k2 lần là: Pn(k1 ≤ k ≤ k2) =
2
k
k k n k
n k = k
C p (1 p)
Ví dụ 3. Một xạ thủ bắn phát vào bia cách độc lập Xác suất trúng đích phát bắn 0,8 Tìm xác suất để:
a) Trong 10 phát bắn có phát trúng b) Trong 10 phát bắn có phát trúng
Giải. Xem phát bắn phép thử Gọi A biến cố bắn trúng đích
Do theo giả thiết tốn, ta thực 10 phép thử độc lập Trong phép thử biến cố A xảy với xác suất không đổi p = P(A) = 0,8
(24)24
6
10 10
P (6)C (0,8) (1 0,8)
b) Xác suất để 10 phát bắn có phát trúng là:
10 10 10
P = P (8) + P (9) + P (10)
8 9 10 10 10
10 10 10
P C (0,8) (1 0,8) C (0,8) (1 0,8) C (0,8) (1 0,8)
(25)25
BÀI TẬP CHƢƠNG
Bài 1.1. Gieo xúc xắc đối xứng đồng chất Tìm xác suất để đƣợc:
a Mặt sáu chấm xuất
b Mặt có số chấm xuất mặt chấm chẵn lớn Đ/s: a 1/6; b 1/3
Bài 1.2. Có 100 bìa hình vng đƣợc đánh số từ đến 100 Ta lấy ngẫu nhiên bìa Tìm xác suất:
a Đƣợc bìa có số khơng có chữ số
c Đƣợc bìa có số chia hết cho cho cho cho
Đ/s: a 0,81; b 0,6
Bài 1.3 Một Tú- lơ-khơ có 52 quân Lấy ngẫu nhiên
2 quân Tính xác suất:
a Hai lấy
b Hai lấy có Át c Hai lấy có Át
Đ/s: a 221; b
8 663
; c 33 221
Bài 1.4. Một hộp chứa thẻ đánh số từ đến Chọn ngẫu nhiên thẻ Tính xác suất để thẻ lấy số chẵn
Đ/s: 21
Bài 1.5. Một hộp có 10 sản phẩm có phế phẩm, phẩm Lấy ngẫu nhiên sản phẩm Tính xác suất:
a sản phẩm lấy phẩm b Có phế phẩm
Đ/s: a
; b 10
Bài 1.6 Một lô hàng gồm 10 sản phẩm loại I, sản phẩm loại II
(26)26
b Hai sản phẩm loại I sản phẩm loại II c Cả sản phẩm loại
Đ/s: a 63 136
; b 34
; c 25 136
Bài 1.7. Gieo ngẫu nhiên hai đồng xu cân đối đồng chất Tìm xác suất để đƣợc:
a Cả đồng xu xuất mặt sấp b Một đồng xu xuất mặt sấp
c Ít đồng xu xuất mặt sấp Đ/s: a 0,25; b 0,5; c 0,75
Bài 1.8. Gieo ngẫu nhiên hai xúc xắc cân đối đồng chất Tìm xác suất biến cố sau:
a A biến cố "Tổng số chấm xuất mặt hai xúc xắc 7"
b B biến cố "Hiệu số chấm xuất mặt hai xúc xắc 1"
c C biến cố "Tích số chấm xuất mặt hai xúc xắc 12"
Đ/s: a 1/6; b 10/36; c 1/9
Bài 1.9. Một hộp có cầu trắng, cầu đỏ cầu đen Chọn ngẫu nhiên cầu Tìm xác suất để chọn đƣợc cầu trắng, cầu đỏ cầu đen
Đ/s: 20/77
Bài 1.10 Một hộp có 15 cầu kích thƣớc nhƣ nhau,
có cầu màu xanh, 10 cầu màu đỏ Lấy ngẫu nhiên từ hộp Tìm xác suất để:
a Ba cầu lấy không màu
b Trong ba cẩu lấy có màu xanh Đ/s: a 65
91
; b 67 91
Bài 1.11. Trong hộp có 10 sản phẩm, có sản phẩm phế phẩm Lấy ngẫu nhiên sản phẩm Tìm xác suất để:
(27)27 Đ/s: a.2 / ; b.13 /15
Bài 1.12. Một nhóm có 30 nhà đầu tƣ loại, có 13 nhà đầu tƣ vàng, 17 nhà đầu tƣ chứng khoán, 10 nhà đầu tƣ vàng chứng khoán Một đối tác gặp ngẫu nhiên nhà đầu tƣ nhóm Tính xác suất để ngƣời gặp đƣợc nhà đầu tƣ loại vàng, chứng khoán
Đ/s: 2/3
Bài 1.13. Xác suất để xạ thủ bắn bia trúng 10 điểm 0,1; trúng điểm 0,2; trúng điểm 0,25 điểm 0,45 Xạ thủ bắn viên đạn Tìm xác suất để xạ thủ bắn đƣợc điểm Đ/s: 0,3
Bài 1.14 Trong phân xƣởng có 10 máy hoạt động Qua
theo dõi thấy xác suất để ca có máy phải sửa 0,2; xác suất để có hai máy phải sửa 0,13 xác suất để có nhiều hai máy phải sửa 0,07 Tìm xác suất để ca phân xƣởng khơng phải sửa máy
Đ/s: 0,6
Bài 1.15 Có hộp đựng chi tiết Hộp thứ đựng 10 ốc,
trong có tốt Hộp thứ hai đựng 15 vít, có tốt Lấy ngẫu nhiên từ hộp chi tiết Tìm xác suất để lấy đƣợc ốc vít tốt
Đ/s: 9/15
Bài 1.16. Một ngƣời có bóng đèn có bóng đèn bị hỏng Ngƣời thử lần lƣợt bóng đèn (khơng hồn lại) chọn đƣợc bóng tốt Tính xác suất để ngƣời thử đến lần thứ
Đ/s: 1/3
Bài 1.17. Một lơ hàng có 100 sản phẩm Lấy ngẫu nhiên liên tiếp sản phẩm để kiểm tra Nếu có sản phẩm xấu khơng nhận lơ hàng Tìm xác suất để nhận lô hàng Biết tỷ lệ phế phẩm lô hàng 5%
Đ/s: 0,77
(28)28
một cầu sau hồn lại lấy tiếp lấy đƣợc cầu đỏ dừng lại Tìm xác suất để lấy cầu thứ tƣ dừng lại
Đ/s: 54/625
Bài 1.19. Một hộp có 36 bóng đèn điện, có loại bóng đèn màu xanh Ta lấy ngẫu nhiên lần lƣợt hai bóng đèn Tìm xác suất để lần thứ hai lấy đƣợc loại bóng đèn màu xanh lần thứ lấy đƣợc bóng đèn màu xanh
Đ/s: 3/35
Bài 1.20. Trong lơ hàng có 50 sản phẩm, có 10 sản phẩm loại I, 40 sản phẩm loại II Lấy ngẫu nhiên lần lƣợt sản phẩm (lấy khơng hồn lại) Tính xác suất để:
a Cả ba sản phẩm loại I b Cả ba sản phẩm loại Đ/s: a 3/490; b 25/49
Bài 1.21. Có ba ngƣời bắn vào mục tiêu Xác suất ngƣời thứ bắn trúng 0,7; ngƣời thứ hai bắn trúng 0,8 ngƣời thứ ba bắn trúng 0,5 Tìm xác suất để:
a Có ngƣời bắn trúng mục tiêu b Có hai ngƣời bắn trúng mục tiêu c Cả ba ngƣời bắn trật mục tiêu Đ/s: a 0,22; b 0,47; c 0,03
Bài 1.22. Có sinh viên làm thi Xác suất làm đƣợc sinh viên lần lƣợt là: 0,8; 0,7; 0,6
a Tìm xác suất để có sinh viên làm đƣợc thi b Tìm xác suất để có hai sinh viên làm đƣợc thi
c Nếu có hai sinh viên làm đƣợc thi, tìm xác suất để sinh viên thứ không làm đƣợc thi
(29)29 Chƣơng
ĐẠI LƢỢNG NGẪU NHIÊN
VÀ QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT
2.1 ĐỊNH NGHĨA VÀ PHÂN LOẠI ĐẠI LƢỢNG NGẪU NHIÊN
2.1.1 Định nghĩa. Cho phép thử ngẫu nhiên không gian mẫu phép thử Một đại lƣợng mà ứng với kết
nhận giá trị thực đƣợc gọi đại lượng
ngẫu nhiên chiều liên kết với phép thử cho (gọi tắt biến ngẫu nhiên hay đại lƣợng ngẫu nhiên)
2.1.1.1 Các ký hiệu
Đại lƣợng ngẫu nhiên (ĐLNN) liên kết với phép thử thƣờng đƣợc ký hiệu chữ in hoa: X, Y, Z, , X1, X2,
Giá trị ĐLNN X ứng với kết cụ thể phép thử số thực thƣờng đƣợc ký hiệu X() hay ký hiệu chữ in thƣờng x, y, z, , x1, x2,
Tập hợp giá trị thực mà ĐLNN X đƣợc ứng với tất kết đƣợc gọi tập giá trị ĐLNN X, ký hiệu DX
Ký hiệu: (X a) biến cố / X( ) a (Xa)là biến cố / X( ) a (Xa)là biến cố / X( ) a
(a X b)là biến cố / a X( ) b
Chú ý: Nếu X, Y, ĐLNN liên kết với phép thử ngẫu nhiên X, X + Y, XY, X/Y, ĐLNN
2.1.1.2 Các ví dụ
Ví dụ 1. Xét phép thử gieo lần đồng xu cân đối đồng chất, đồng xu có mặt S N, ta có = {SS, NN, SN, NS}
(30)30
Ứng với = SS ta có X() = 0, với = NN ta có X() = 2, với
= SN ta có X() = 1, với = NS ta có X() = Vậy tập giá trị ĐLNN X DX = {0, 1, 2}
Ví dụ 2. Một rổ cam có 10 có hỏng Lấy ngẫu nhiên Đại lƣợng Y số hỏng có lấy ĐLNN
Ứng với kết = lấy đƣợc tốt Y() = 0, với kết lấy đƣợc tốt hỏng Y() = 1,
Tập giá trị ĐLNN X DY = {0, 1, 2, 3, 4}
Ví dụ Xét phép thử gieo đồng thời xúc xắc cân đối đồng chất Ta có khơng gian mẫu = { = (x, y)/ x, y {1, 2, 3, 4, 5, 6}} Card() = 36
Đại lƣợng Z tổng số chấm xuất xúc xắc ĐLNN
Ứng với = (x, y) ta có gía trị Z Z() = x + y Tập giá trị ĐLNN Z là:
DZ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}
2.1.2 Phân loại đại lƣợng ngẫu nhiên
2.1.2.1 Đại lượng ngẫu nhiên rời rạc
ĐLNN X đƣợc gọi ĐLNN rời rạc tập giá trị có hữu hạn vơ hạn đếm đƣợc
Ví dụ 4. Tung xúc xắc cân đối, đồng chất Gọi X số chấm xuất Khi X ĐLNN rời rạc, nhận giá trị có: 1, 2, 3, 4, 5,
Ví dụ 5. Các ĐLNN ví dụ 1, ví dụ 2, ví dụ ĐLNN rời rạc
2.1.2.2 Đại lượng ngẫu nhiên liên tục
ĐLNN X đƣợc gọi ĐLNN liên tục nếu tập giá trị có lấp đầy khoảng trục số
(31)31
Ví dụ 7. ĐLNN chiều cao sinh viên trƣờng ĐH kinh tế Nghệ An ĐLNN ngẫu nhiên liên tục
2.2 QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT
Quy luật phân phối xác suất ĐLNN hình thức cho phép mơ tả mối quan hệ giá trị có ĐLNN với xác suất tƣơng ứng để ĐLNN nhận giá trị có
Trong thực tế ngƣời ta thƣờng sử dụng phƣơng pháp mô tả quy luật phân phối xác suất ĐLNN là: Bảng phân phối xác suất, hàm phân phối xác suất hàm mật độ phân phối xác suất
2.2.1 Bảng phân phối xác suất
2.2.1.1 Định nghĩa Cho X ĐLNN rời rạc nhận có tập giá trị DX = {x1, x2, …, xn} có xác suất tƣơng ứng pi = P(X = xi), (i = 1, 2, …, n)
Bảng phân phối xác suất X bảng số có dạng:
1 n
1 n
X x x x P p p p 2.2.1.2 Tính chất
i) ≤ pi≤ 1, (i =1, 2, …, n); ii) i
i
p n
;
iii) i
i x I
P X I P(X x )
, I
Chứng minh: i) Dễ dàng suy từ tính chất xác suất
ii) Vì dãy biến cố (X = x1), (X = x2), , (X = xn) lập thành
hệ đầy đủ biến cố nên: n i n i
i i
P(X x ) p
iii) Biến cố (X I) = (X = x1) + (X = x2) + + (X = xk) đó: i
x I, i 1,k (X = x1), (X = x2), , (X = xk) đôi xung khắc Do
i i
i i
x I x I
P X I P (X x ) P(X x )
(32)32
Ví dụ 1. Cho ĐLNN X có bảng phân phối xác suất
X -2
P 0,3 – m 0,2 + m 0,1 + 2m a) Tìm m
b) Tính P(0 < X 4) Giải a) Điều kiện:
0,3 m 0, m (*) 0,1 2m
Theo tính chất ii, ta có: (0,3 – m) + (0,2 + m) + (0,1 + 2m) =
m = 0,2 (thỏa mãn điều kiện (*)) Vậy m = 0,2 b) P(0 < X 4) = P(X = 1) + P(X = 3) = 0,4 + 0,5 = 0,9
Ví dụ 2. Có 10 sinh viên, sinh viên giỏi, sinh viên khá, sinh viên trung bình Chọn ngẫu nhiên sinh viên Gọi X số sinh viên giỏi đƣợc chọn Lập bảng phân phối xác suất X
Giải. DX = {0, 1, 2}
P(X = 0) =
0 10
7 15
C C
C ;
P(X = 1) =
1 2 10
7 15
C C
C ;
P(X = 2) =
2 10
2 15
C C
C
Do bảng phân phối xác suất X là:
X
P
15
7 15
1 15
Ví dụ 3. Hai ngƣời thi bắn súng, khả bắn trúng đích ngƣời là: 0,8; 0,9 Gọi X số ngƣời bắn trúng đích Lập bảng phân phối X
Giải. DX = {0, 1, 2}
(33)33 (X = 0) = A A1 2 P(X = 0) = P(A A1 2)
= P(A1).P(A2) (Vì A , A1 2 độc lập) P(X = 0) = (1 – 0,8).(1 – 0,9) = 0,02 (X = 1) = A A1 2+ A A1 2 A A1 2, A A1 2xung khắc
P(X = 1) = P(A A1 2) + P(A A1 2)
= P(A1).P(A2) + P(A1).P(A2) (Vì A1, A2và A1, A2 độc lập)
P(X = 1) = 0,8.(1 – 0,9) + (1 – 0,8).0,9 = 0,26 (X = 2) = A A1 2 P(X = 2) = P(A A ) 1 2
= P(A1).P(A2) (Vì A1, A2 độc lập)
= 0,8.0,9 = 0,72 Vậy bảng phân phối xác suất X là:
X
P 0,02 0,26 0,72
2.2.2 Hàm phân phối xác suất
2.2.2.1 Định nghĩa Cho X ĐLNN (rời rạc liên tục) Hàm số ký hiệu xác định nhƣ sau gọi hàm phân phối xác suất ĐLNN X
F(t) = P(X < t), với t
Ví dụ Lập hàm phân phối xác suất ĐLNN số mặt ngửa (N) xuất gieo hai đồng xu cân đối đồng chất cách ngẫu nhiên
Giải Ta có tập giá trị ĐLNN X DX = {0, 1, 2}
+ Nếu t ta có (X < t) = nên F(t) = P(X < t) = P() = + Nếu < t ta có (X < t) = (X = 0) = {SS} nên F(t) = P(X < t) = P({SS}) = 1/4
+ Nếu < t ta có (X < t) = (X = 0) + (X = 1) = {SS, SN, NS} nên F(t) = 3/4
(34)34
0 t / t F(t)
3 / t t
2.2.2.2 Tính chất i) 0≤ F(t) ≤ 1, t ; ii)
t t
F( ) lim F(t) 1;F( ) lim F(t)
;
iii) F(t) hàm không giảm
iv) Hàm F(t) liên tục trái điểm t = a
Nếu X ĐLNN liên tục F(t) liên tục điểm t = a ; v) Với a,b ,ab, ta có: P(a ≤ X < b) = F(b) – F(a)
Nếu X ĐLNN liên tục P(X < a) = P(X a) P(a ≤ X ≤ b) = P(a < X ≤ b) = P(a ≤ X < b) = P(a < X < b) = F(b) – F(a)
Chứng minh: i) Theo tính chất xác suất, ta có:
0P(X t) 1, t F(t) 1, t
ii) Khi t + biến cố (X < t) dần tới biến cố chắn Do t + P(X < t) 1, tức
t
F( ) lim F(t)
Khi t – biến cố (X < t) dần tới biến cố Do t – P(X < t) 0, tức
t
F( ) lim F(t)
iii) t , t1 2 , t1 t2 (Xt )2 (Xt ) (t1 1 X t )2
1 2
(X t ) (X t ) P(X t ) P(X t ) F(t ) F(t )
, nghĩa
là hàm F(t) không giảm.
iv) Với a , t a biến cố (X < t) (X < a)
t a t a
lim F(t) lim P(X t) P(X a) F(a)
F(t) liên tục bên
(35)35
+) Vì X ĐLNN liên tục nên tập giá trị X có dạng (a, b), a – , b + , hay [a, b] Khi hàm phân phối xác suất X có dạng:
0 t a
F(t) P(X t) a t b
1 b t
Vì F(t) xác định (a, b) nên F(t) liên tục (a, b) +) Xét tính liên tục t = a:
tlim F(t)a tlim P(Xa t) lim P( )ta 0 F(a)lim F(t)ta
F(t) liên tục t = a
+) Xét tính liên tục t = b:
tlim F(t)b tlim P(Xb t) tlim P( ) 1b F(b)lim F(t)tb
F(t) liên tục t = b
Vậy F(t) liên tục .
v) Vì a < b nên (X < b) = (X < a) + (a X < b)
P(X b) P(X a) P(a X b) F(b) F(a) P(a X b)
P(a X b) F(b) F(a)
+) Với t , cho t số gia t
Xét t 0: P(t X t t) F(t t) F(t) Vì X ĐLNN liên tục nên
t t
lim P(t X t t) lim F(t t) F(t)
P(X t) F(t) F(t)
Tƣơng tự với t 0 , ta có: P(X t) F(t) F(t) 0.
Vậy với X ĐLNN liên tục F(t) = 0, t
Do đó: P(X a) = P(X < a) + P(X = a) = P(X < a)
(36)36
Ví dụ 5. Cho X ĐLNN có bảng phân phối xác suất
X
P
15
7 15
1 15 Tìm hàm phân phối xác suất F(t) X
Giải. + Nếu t ≤ F(t) = P(X < t) = P() = + Nếu < t ≤ F(t) = P(X < t) = P(X = 0) =
15 + Nếu < t ≤ F(t) = P(X = 0) + P(X = 1) =
15+ 15 =
14 15 + Nếu t > F(t) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) =
Vậy
0 t 0,
< t 1, 15
F(t) 14
< t 2, 15
1 t >
Ví dụ Cho ĐLNN liên tục X có hàm phân phối xác suất
2
0 t 0, F(t) mt < t 3,
1 t >
a) Tìm hệ số m
b) Tính P(– < X 2)
Giải. a) Vì hàm số F(t) hàm phân phối ĐLNN X liên tục nên F(t) liên tục điểm t nên F(t) liên tục t = t = Do đó:
2
t t t t
2
t t t 3 t 3
F(0) lim F(t) lim F(t) lim(mt ) lim
F(3) lim F(t) lim F(t) 9m lim1 lim(mt )
(37)37
b) Sử dụng tính chất hàm phân phối, ta có: P(– < X 2) =F(2) – F(–1) = 4 0, 444
9 9
2.2.3 Hàm mật độ phân phối xác suất
2.2.3.1 Định nghĩa. Cho ĐLNN X có hàm phân phối xác suất F(t), F(t) khả vi điểm t Hàm mật độ phân phối xác suất ĐLNN X hàm số đƣợc ký hiệu xác định nhƣ sau:
f (t)F'(t), t 2.2.3.2 Tính chất i)f(t) 0, t ;
ii) F(x) f(t)dt, ;
x
x
iii)P(a ≤ X ≤ b) = P(a < X ≤ b) = P(a ≤ X < b) = P(a < X < b) f(t)dt
b
a
;
iv) f(t)dt
Chứng minh: i) Vì 0≤ F(t) ≤ 1, t nên f(t) = F'(t) 0,
t
ii) Do F(t) nguyên hàm f(t) nên với x ta có:
x
x
f (t) F(t) F(x) F( ) F(x)
iii) Vì F(t) nguyên hàm f(t) nên:
P(a ≤ X ≤ b) = P(a < X ≤ b) = P(a ≤ X < b) = P(a < X < b)
F(b) F(a) F(t) f(t)dt
b b a
a
iv) Vì f(t)dt F(t) F(+ ) F( ) 1
(38)38
0 t t
F(t) < t
1 t >
a) Tìm hàm mật độ phân phối X; b) Tính P(-1 < X 2)
Giải. a)
t t > f(t) = F'(t) 2t
< t
b) Sử dụng tính chất hàm mật độ phân phối, ta có:
2
1
2
0
2t P( X 2) f (t)dt 0.dt dt
9 t 0, 444 9
Ví dụ 8. Cho ĐLNN X có hàm mật độ xác suất:
2
0 t f(t) k
t > t
a) Tìm k;
b) Tìm hàm phân phối ĐLNN X; c) Tìm P(- ≤ X ≤ 3)
Giải. a)
2
2
2
k k k
1 f(t)dt 0dt dt k
t t
b) + Nếu x ≤ F(x) 0dt
x
+ Nếu x >
2
2
2
2
2 2
F(x) f(t)dt f(t)dt dt
(39)39 Vậy
x
F(x) 2
x >
x
c) Cách 1: Sử dụng tính chất hàm mật độ phân phối, ta có: P(- ≤ X ≤ 3) =
3
2
2
2
dx 0,333
t t 3
Cách 2: Sử dụng tính chất hàm phân phối, ta có: P(- ≤ X ≤ 3) = F(3) – F(-3) = (1 2) 0,333
3
2.3 CÁC THAM SỐ ĐẶC TRƢNG CỦA ĐẠI LƢỢNG NGẪU NHIÊN
2.3.1 Kỳ vọng
2.3.1.1 Định nghĩa Kỳ vọng ĐLNN X số thực đƣợc ký hiệu E(X) xác định nhƣ sau:
i) Nếu X ĐLNN rời rạc có bảng phân phối xác suất
1 n
1 n
X x x x P p p p
n i i i E(X) x p
;
ii) Nếu X ĐLNN liên tục có hàm mật độ phân phối xác suất f(t) E(X) t.f(t)dt
Ví dụ 1. Có ngƣời, ngƣời bắn viên đạn vào bia với xác suất bắn trúng tƣơng ứng 0,6 0,9 Hãy tính kỳ vọng số viên đạn trúng bia
Giải. Gọi X số viên đạn trúng bia DX = {0, 1, 2}
P(X = 0) = (1 – 0,6).(1 – 0,9) = 0,04
P(X = 1) = 0,6.(1 – 0,9) + (1 – 0,6).0,9 = 0,42 P(X = 2) = 0,6.0,9 = 0,54
(40)40
X
P 0,04 0,42 0,54 E(X) = 0.0,04 + 1.0,42 + 2.0,54 = 1,5
Ví dụ 2. Cho X ĐLNN liên tục có hàm mật độ xác suất
2
0 t (0,3) f(t) t
t 0,
Tính kỳ vọng ĐLNN X?
Giải.
3
0
0
t t
E(X) t.f(t)dt t.0dt t dt t.0dt 2, 25
9 36
2.3.1.2 Tính chất
i) E(C) = C, C số;
ii) E(C.X) = C.E(X), C số; iii)E(X Y) = E(X) E(Y);
iv)Nếu X, Y độc lập E(XY) = E(X)E(Y)
Chứng minh: i) Ta xem số ĐLNN nhận giá trị C với xác suất Do đó: E(C) = 1.C = C.
ii) Đặt Y = C.X Nếu X ĐLNN rời rạc Y = CX ĐLNN rời rạc có bảng phân phối xác suất:
1 n
1 n
Y = C.X k x kx kx
P p p p
thì
n n
i i i i
i i
E(Y) = E(C.X) (kx )p k x p k.E(X)
iii) Ta chứng minh trƣờng hợp X, Y ĐLNN rời rạc có bảng phân phối xác suất:
1 n
1 n
X x x x
P p p p
1 m
1 m
(41)41
1 1 n m
11 12 nm
X+Y x y x y x y
P p p p
trong n ij j i=1
p q
j 1, m m
ij i j=1
p p
i1, n
Thật vậy, biến cố (X = xi) xảy ĐLNN X + Y nhận
giá trị: xi + y1, xi + y2, , xi + ym Do đó:
pi P(Xx )i P(X Y xi y )1 P(X Y xi y ) 2
i m
P(X Y x y )
m
i i1 i2 im ij
j
p p p p p
Tƣơng tự chứng minh đƣợc: n ij j i=1
p q
Ta có: E(X + Y) =
n m n m n m
i j ij i ij j ij
i j i j i j
(x y )p (x p ) (y p )
n m m n
i ij j ij
i j j i
x p y p
n m
i i j j
i j
x p y q E(X) E(Y)
iv) Ta chứng minh trƣờng hợp X, Y ĐLNN độc lập, rời rạc có bảng phân phối xác suất:
1 n
1 n
X x x x
P p p p
1 m
1 m
Y y y y P q q q Khi đó, bảng phân phối xác suất XY là:
1 1 n m
1 1 n m
X+Y x y x y x y P p q p q p q
n m n m
i j i j i i j j
i j i j
E(XY) x y p q x p y q E(X).E(Y)
(42)42 2.3.1.3 Ý nghĩa
Kỳ vọng ĐLNN số đại diện giá trị trung bình theo xác suất giá trị ĐLNN
Ví dụ Một ngƣời tham gia trị chơi tung xúc xắc Mỗi lần tham gia trò chơi ngƣời bỏ a đồng Nếu có 1, mặt "1 chấm" xuất thu tƣơng ứng 2a, 3a 4a đồng Nếu mặt "1 chấm" xuất a đồng bỏ Hỏi ngƣời có nên tham gia trị chơi khơng?
Giải Gọi X số tiền thu cho lần tham gia trò chơi, ta có X ĐLNN nhận giá trị rời rạc 0, 2a, 3a, 4a
P(X = 0) =
3
5 125
6 216; P(X = 2a) =
1
3
C 75 216; P(X = 3a) =
2 3
C 15
6 216; P(X = 4a) =
3 3
C
6 216 Bảng phân phối xác suất X là:
X 2a 3a 4a
P 125 216
75 216
15 216
1 216 Kỳ vọng ĐLNN X E(X) = 199a
216 , nghĩa trung bình lần tham gia trị chơi ngƣời thu 199a
216 đồng Mà lần tham gia trị chơi ngƣời bỏ a đồng Do số tiền thực chất ngƣời nhận đƣợc 199a a 17a
216 216 nên ngƣời khơng nên tham gia trị chơi nhiều lần
2.3.2 Phƣơng sai
2.3.2.1 Định nghĩa. Giả sử ĐLNN X có kỳ vọng E(X) = µ
Phương sai ĐLNN X số thực không âm, ký hiệu D(X)
đƣợc xác định nhƣ sau: D(X) = E{(X – E(X))2}
i) Nếu X ĐLNN rời rạc D(X) = n
2
i i
i
(x μ) p
(43)43
ii) Nếu X ĐLNN liên tục D(X) = (x μ) f(x)dx2
Ví dụ 4. Cho X ĐLNN rời rạc có bảng phân phối xác suất
X
P 0,4 0,2 0,4 Tính phƣơng sai ĐLNN X?
Giải. Ta có kỳ vọng E(X) = 0.0,4 + 1.0,2 + 2.0,4 = D(X) = (0 – 1)2.0,4 + (1 – 1)2.0,2 + (2 – 1)2.0,4 = 0,8 2.3.2.2 Tính chất
i) D(C) = 0, với C số;
ii) D(CX) = C2D(X), với C số; iii)D(X) = E(X2) – [E(X)]2;
iv)Nếu X, Y ĐLNN độc lập D(X Y) = D(X) + D(Y)
Chứng minh: i) Theo định nghĩa phƣơng sai, ta có:
2 2
D(C)E (C E(C)) E(C C) E(0) 0 ii) Ta có: D(CX)E (CX E(CX)) 2 E (CX CE(X)) 2 E C (X E(X))2C E (X2 E(X))2 C D(X).2
iv) Ta có:
2 2 2
D(X)E (XE(X)) E X 2X.E(X) E(X)
E(X )2 E2X.E(X)E E(X) 2 Mà E(X) số, đó:
2
D(X)E(X ) 2E(X).E X E(X) = E(X2) – [E(X)]2. iv) Theo iii) ta có:
2
2
D(XY)E(XY) E(XY)
(44)44
D(X Y) = E(X2) + E(2XY) + E(Y2) – [E(X)]2 2E(X).E(Y) – [E(Y)]2 = E(X2) 2E(X).E(Y) + E(Y2) – [E(X)]2 2E(X).E(Y) – [E(Y)]2 = E(X2) – [E(X)]2 + E(Y2) – [E(Y)]2 = D(X) + D(Y).
Ví dụ 5. Cho X ĐLNN rời rạc có bảng phân phối xác suất
X
P 0,4 0,2 0,4 Tính phƣơng sai ĐLNN X?
Giải. Ta có E(X) =
E(X2) = 02.0,4 + 12.0,2 + 22.0,4 = 1,8 Vậy D(X) = E(X2
) – (E(X))2 = 1,8 – = 0,8
Ví dụ Cho X ĐLNN liên tục có hàm mật độ xác suất nhƣ sau:
2
0 t (0,3) f(t) t
t 0,3
Tính phƣơng sai ĐLNN X
Giải. Cách Ta có D(X) = E(X2) – (E(X))2; Theo ví dụ 10, E(X) =
4 E(X2) =
0
2 2
0
t f(t)dt t f(t)dt t f(t)dt t f(t)dt
0
t 243
5, 467
45 45
Vậy D(X) =
2
243 27
0,336
45 80
Cách
2 2
0
9 t
D(X) t f(t)dt t dt
4
(45)45 D(X)
3
5
0
t t 9t 27
+ 0,336
45 48 80
2.3.2.3 Ý nghĩa. Phƣơng sai ĐLNN X để đo mức độ phân tán giá trị ĐLNN X quanh giá trị kỳ vọng tốn E(X) Phƣơng sai lớn độ phân tán nhiều, phƣơng sai nhỏ độ phân tán
Ví dụ 7.Một nhà đầu tƣ cân nhắc việc đầu tƣ vào hai dự án A B hai lĩnh vực độc lập Khả thu hồi vốn sau năm (tính %) hai dự án ĐLNN có bảng phân phối xác suất nhƣ sau:
Dự án A:
XA 65 67 68 69 70 71 73
P 0,04 0,12 0,16 0,28 0,24 0,08 0,08 Dự án B:
XB 66 68 69 70 71
P 0,12 0,28 0,32 0,2 0,08 Từ bảng phân phối ta tìm đƣợc:
E(XA) = 69,16%; D(XA) = 3,094 E(XB) = 68,72%; D(XB) = 1,802
Nhƣ cần chọn phƣơng án đầu tƣ cho tỷ lệ thu hồi vốn có kỳ vọng cao nên chọn dự án A, song cần chọn phƣơng án đầu tƣ cho độ rủi ro tỷ lệ thu hồi vốn thấp tức khả thu hồi vốn ổn định ta nên chọn dự án B
2.3.3 Độ lệch chuẩn. Độ lệch chuẩn ĐLNN X đƣợc ký hiệu
là σ đƣợc xác định công thức: σ = D(X)
Ta thấy đơn vị đo phƣơng sai bình phƣơng đơn vị đo ĐLNN Vì cần đánh giá mức phân tán ĐLNN theo đơn vị đo ngƣời ta thƣờng tính độ lệch chuẩn
(46)46
2.3.4.1 Định nghĩa. Cho X ĐLNN, tồn số thực a cho P(X a)
2
P(X a)
số a đƣợc gọi trung vị ĐLNN X ký hiệu a = med(X)
2.3.4.2 Hệ
i) Nếu X ĐLNN rời rạc có i i x a p i i x a p
2
med(X) = a;
ii) Nếu X ĐLNN liên tục có F(a) = a
1 (hay f (t)dt )
2
med(X)a
Ví dụ Tìm trung vị ĐLNN X có bảng phân phối xác suất:
X
P 0,4 0,3 0,2 0,1
Giải. Ta có P(X < 2) = P(X = 1) = 0, < ; P(X > 2) = P(X = 3) + P(X = 4) = 0,3 <
2 Do med(X) = Ví dụ 9. Tìm trung vị ĐLNN X có hàm phân phối xác suất nhƣ sau:
2
0 x x
F(x) x 30 900
1 30 x
Giải Ta có
2
2
a
a 450
1
F a 900 a 15
2 a 30
0 a 30
(47)47
Nhận xét. - Số trung vị số đặc trƣng cho giá trị trung tâm ĐLNN
- Đối với ĐLNN rời rạc có nhiều số trung vị, nhƣng ĐLNN liên tục có số trung vị
2.3.5 Số mốt
Định nghĩa i) Cho X ĐLNN rời rạc, có P(X = a) = max{P(X = ai)} = max{pi}, i = 1, 2, , n số a đƣợc gọi số mốt
của X
ii) Cho X ĐLNN liên tục có hàm mật độ phân phối xác suất f(t) đạt giá trị lớn t = a a gọi là số mốt X
Ký hiệu: a = Mod(X)
Ví dụ 10 1) Tìm số mốt ĐLNN X tổng số chấm mặt xảy gieo ngẫu nhiên xúc xắc
Giải. Ta có bảng phân phối xác suất ĐLNN X là:
X 10 11 12
P 1 36
2 36
3 36
4 36
5 36
6 36
5 36
4 36
3 36
2 36
1 36 Ta có P(X = 7) = 6/36 = 1/6 = i
i 1,11 max p
Mod(X) = 1/36
2) Tìm số mốt ĐLNN liên tục X có hàm mật độ phân phối xác suất là:
2
1
f (t) , t
(1 t )
Giải Ta có (1 t )2 0, t 2 1, t
(1 t )
Do
t
1 max f (t)
(48)48
BÀI TẬP CHƢƠNG
Bài 2.1. Trong hộp có cầu trắng, cầu đỏ Lấy ngẫu nhiên cầu Gọi X số cầu đỏ đƣợc lấy Lập bảng phân phối xác suất X
Đ/s:
X
P
5
2
Bài 2.2. Một ngƣời đƣợc phát viên đạn để bắn lần lƣợt vào bia trúng với xác suất bắn trúng viên 0,8 Lập bảng phân phối xác suất số viên đạn đƣợc bắn
Đ/s: Gọi X ĐLNN số viên đạn đƣợc bắn
X
P 0,008 0,8 0,16 0,032
Bài 2.3. Một hộp có sản phẩm có phế phẩm, phẩm
a Lấy ngẫu nhiên sản phẩm Gọi X số phẩm có sản phẩm lấy Lập bảng phân phối xác suất X
b Lấy lần lƣợt sản phẩm lấy đƣợc phẩm thơi Gọi Y số sản phẩm đƣợc lấy Lập bảng phân phối xác suất Y, tính kỳ vọng phƣơng sai
c Lấy lần lƣợt sản phẩm lấy đƣợc phẩm thơi Gọi Z số sản phẩm đƣợc lấy Lập bảng phân phối xác suất Z
Đ/s: a Ta có bảng phân phối xác suất X
X
P
28
15 28
5 14
(49)49
Y
P
3 14
1 28 c Bảng phân phối xác suất Z
Z
P 15 28
5 14
3 28
Bài 2.4 Gieo đồng thời xúc xắc cân đối đồng chất Gọi
X tổng số chấm xuất mặt xúc xắc a Lập bảng phân phối xác suất X
b Lập hàm phân phối xác suất X Đ/s: a Bảng phân phối xác suất X
X 10 11 12
P 36
1 18
1 12
1
5 36
1
5 36
1
1 12
1 18
1 36
Bài 2.5 Trong bát có hạt đậu có hạt đậu
đỏ Lấy ngẫu nhiên hạt Gọi X số hạt đậu đỏ đƣợc lấy a Lập bảng phân phối xác suất X
b Lập hàm phân phối xác suất X c Tính P(0 < X < 3)
Đ/s: a Bảng phân phối xác suất X là:
X
P 3 10
3 5
1 10 c P(0 < X < 3) = 7/10
Bài 2.6 Cho X ĐLNN có bảng phân phối xác suất nhƣ sau:
X
P 0,3 0,5 0,2
a Tính E(X), D(X)
(50)50 d Tính D(3X – 2)
e Tìm số mod(X) Trung vị X
Bài 2.7. Cho ĐLNN X có bảng phân phối
X
P 0,1 0,4 + m 0,2 + 2m a Tìm m
b Tìm E(X), D(X)
c Tìm hàm phân phối xác suất X d Tính P(2 < X < 5)
e Tìm số mod(X) Trung vị X
Bài 2.8. Cho ĐLNN X có hàm phân phối xác suất:
2
0 ( )
1
khi x
F x mx khi x
khi x
a Tìm m
b Tìm hàm mật độ phân phối xác suất X
c Tìm xác suất để giá trị ĐLNN X thuộc khoảng (0,25; 0,75) d Tính kỳ vọng, phƣơng sai ĐLNN X
Đ/s: a m =
b
0 ( ) '( )
0
khi x
f x F x x khi x
khi x
c P(0,25 < X < 0,75) = 0,5 d E(X) = 2/3; D(X) = 1/18
Bài 2.9. Cho ĐLNN X có hàm mật độ phân phối xác suất:
m cos ; 2 ( )
0 ; 2
x khi x
f x
khi x
(51)51 b Tìm hàm phân phối xác suất X
c Tìm xác suất để giá trị ĐLNN X thuộc khoảng (0; /4) d Tính kỳ vọng, phƣơng sai ĐLNN X
Đ/s: a m = 1/2
b
0
2
( ) (sinx 1)
-2 2
1
khi x
F x khi x
khi x
c d E(X) =
Bài 2.10 Thời gian xếp hàng chờ mua hàng khách ĐLNN
có hàm phân phối xác suất nhƣ sau (đơn vị phút)
3
0 ( ) mx - 3x +2x
1
khi x
F x khi x
khi x
a Tìm tham số m
b Tìm thời gian xếp hàng trung bình
c Tìm xác suất để ngƣời xếp hàng có khơng q ngƣời phải chờ 0,5 phút
Đ/s: a m = 2; b E(X) = 0,5; c 0,875
Bài 2.11. Cho X ĐLNN có hàm phân phối xác suất nhƣ sau
1
( ) - mcosx
1
khi x
F x khi x
khi x
(52)52 c Tìm E(X)
Đ/s: a m = 1/2; P(0 < X < /2) = 1/2; E(X) = /2
Bài 2.12 Cho X1, X2, X3 ĐLNN độc lập có bảng phân
phối xác suất chúng nhƣ sau:
X1 X2 X3
P 0,6 0,4 P 0,4 0,6 P 0,8 0,2
Đặt X1 X2 X3 X
3
(53)53 Chƣơng
MỘT SỐ QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THƢỜNG GẶP
Trong thực tế, ĐLNN tuân theo quy luật phân phối xác suất ngƣợc lại quy luật phân phối xác suất lại tƣơng ứng với lớp ĐLNN Vì phân loại ĐLNN theo quy luật phân phối xác suất giúp cho việc sử dụng chúng đƣợc dễ dàng Ở chƣơng này, giới thiệu số qui luật phân phối xác suất thƣờng gặp với ĐLNN rời rạc liên tục Mỗi quy luật phân phối xác suất đƣợc giới thiệu dạng phân phối tham số đặc trƣng
3.1 MỘT SỐ QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT RỜI RẠC 3.1.1 Qui luật phân phối xác suất Không – Một
3.1.1.1 Định nghĩa
ĐLNN rời rạc X đƣợc gọi ĐLNN có quy luật phân phối không – với tham số p (0 < p < 1) bảng phân phối xác suất X có dạng:
X
P – p p
Ký hiệu ĐLNN có phân phối khơng – với tham số p là: A(p) hay X A(p)
Ví dụ 1. 1) ĐLNN X số mặt N xuất gieo ngẫu nhiên đồng xu ĐLNN có quy luật phân phối khơng – với tham số p = 1/2
2) ĐLNN Y số mặt chấm xuất gieo xúc xắc ĐLNN có quy luật phân phối khơng – với tham số p = 1/6
3.1.1.2 Các tham số đặc trưng
Cho X ĐLNN có quy luật phân phối A(p) Khi đó: E(X) = 0.(1 – p) + 1.p = p
Nhƣ vậy: E(X) = p
E(X2) = 02.(1 – p) + 12.p = p
(54)54
3.1.2 Quy luật phân phối xác suất nhị thức
3.1.2.1 Định nghĩa
ĐLNN rời rạc X đƣợc gọi ĐLNN có quy luật phân phối nhị thức X có bảng phân phối dạng:
X k n
P 0 n n
C p q C p qkn k n k C p q nn n với < p < 1, q = – p
Khi X có phân phối nhị thức ta ký hiệu X B(n, p) ; n, p gọi tham số phân phối nhị thức
Ví dụ Xác suất để sống sau thời gian trồng p (0 < p < 1) Trồng 1000 cây, gọi X số sống sau thời gian trồng Khi X ĐLNN có phân phối nhị thức B(1000, p)
3.1.2.2 Các tham số đặc trưng
Cho X ĐLNN có quy luật phân phối B(n, p) Khi đó: E(X) = np; D(X) = np(1 – p) = npq
Chứng minh: Áp dụng công thức khai triển nhị thức Newton, ta có:
n n
n k k n k n k k n k
n n
k k
(q x) C x q n(q x) kC x q
n
n k k n k
n k
n(n 1)(q x) k(k 1)C x q
Thay x = p, ta đƣợc: n
k k n k n
k
n kC p q
và
n
k k n k n
k
n(n 1) k(k 1)C p q
Ta có:
n n
k k n k k k n k
n n
k k
E(X) kC p q p kC p q pn
n n n
2 k k n k k k n k k k n k
n n n
k k k
E(X ) k C p q k(k 1)C p q kC p q
(55)55
n n
2 k k n k k k n k
n n
k k
E(X ) p k(k 1)C p q kC p q n(n 1)p np
2
D(X) n(n 1)p np (np) np(1 p) npq
Ví dụ 3. Một xạ thủ bắn 20 phát vào bia, xác suất trúng đích phát 0,8
a) Tính xác suất để bắn 20 phát có 18 phát trúng b) Tìm số phát trúng trung bình bắn 20 phát c) Tìm xác suất để có 18 phát trúng
Giải. Gọi X số phát bắn trúng đích bắn 20 phát Khi X ĐLNN có phân phối nhị thức với tham số n = 20, p = 0,8
a) Do xác suất để 20 phát có 18 phát trúng là: P(X = 18) = 18 18
20(0,8) (1 0,8)
C
b) Số phát trúng trung bình bắn 20 phát là: E(X) = np = 20.0,8 = 16 c) Xác suất để 20 phát bắn có 18 phát trúng là:
P(18 ≤ X ≤ 20) = P(X = 18) + P(X = 19) + P(X = 20)
18 18 19 19 20 20
20(0,8) (1 0,8) 20(0,8) (1 0,8) 20(0,8) (1 0,8)
C C C
3.1.3 Quy luật phân phối xác suất Poisson
3.1.3.1 Định nghĩa
ĐLNN rời rạc X đƣợc gọi ĐLNN có phân phối quy luật Poisson
nếu X có bảng phân phối:
X k n
P λ
e e λλ k k!
λ n e λ
n!
trong > tham số
Ký hiệu X có phân phối Poisson với tham số X P()
(56)56 3.1.3.2 Các tham số đặc trưng
Cho X ĐLNN có phân phối Poisson với tham số Khi đó: E(X) = ; D(X) =
3.1.3.3 Mối liên hệ phân phối B(n, p) với phân phối P() Giả sửX B(n, p) Khi n lớn, p bé X có phân phối xấp xỉ phân phối Poisson với tham số = np Khi đó:
P(X = k) =
λ k
k k n k
n n
e λ P (k) = C p (1 p)
k!
Trong thực tế công thức Poisson dùng thay cho cơng thức Bernoulli thỏa mãn n 20 p 0,1 (tức np np(1 - p))
Ví dụ 5. Gieo 1000 hạt giống biết xác suất không nảy mầm hạt 0,005 Tìm xác suất để 1000 hạt có 10 hạt khơng nảy mầm
Giải. Gọi X số hạt giống không nảy mầm gieo 1000 hạt X ĐLNN có phân phối nhị thức với tham số n = 1000, p = 0,005
Ta có n = 1000 lớn, p = 0,005 bé Khi áp dụng phân phối Poisson ta đƣợc xác suất để có 10 hạt không nảy mầm gieo 1000 hạt giống:
P(X = 10) =
5 10
10 990 10
1000
5 (0,995) (0,005)
10!
e C
3.2 MỘT SỐ QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT LIÊN TỤC 3.2.1 Quy luật phân phối U[a, b]
Quy luật phân phối quy luật phân phối đơn giản quy luật phân phối xác suất ĐLNN liên tục
3.2.1.1 Định nghĩa
ĐLNN liên tục X đƣợc gọi phân phối theo quy luật trong đoạn [a, b] hàm mật độ xác suất có dạng:
1
khi x a, b f (t) b a
0 x a, b
(57)57 Kỳ vọng:
b
b
a a
t t b a
E(X) tf (t)dt dt
b a 2(b a)
Phƣơng sai: D(X) = E(X2) – [E(X)]2
D(X)
2 b 2
2
a
b a t b a
t f (t)dt dt
2 b a
b a
t b a
3(b a)
= 2 2 b a
b ab a a b
3 12
Quy luật phân phối có ứng dụng rộng rãi thống kê toán Trong số kết luận lý thuyết thống kê ngƣời ta thƣờng xuất phát từ quy tắc sau đây: Nếu ta khơng biết giá trị tham số cần ƣớc lƣợng giá trị có tham số đồng khả Điều dẫn tới việc quan niệm tham số cần ƣớc lƣợng nhƣ ĐLNN tuân theo quy luật phân phối
Ví dụ Khi thâm nhập thị trƣờng mới, doanh nghiệp khẳng định đƣợc cách chắn doanh số hàng tháng đạt đƣợc mà dự kiến đƣợc doanh số tối thiểu 20 triệu đồng/tháng tối đa 40 triệu đồng/tháng Tìm xác suất để doanh nghiệp đạt đƣợc doanh số tối thiểu 35 triệu đồng/tháng
Giải Gọi X doanh số hàng tháng mà doanh nghiệp đạt đƣợc thị trƣờng
Do khơng có thơng tin X nên ta xem X ĐLNN có phân phối khoảng (20, 40)
Vậy hàm mật độ phân phối xác suất X là: 40 20
0, 05 x (20, 40) f (t)
0 x (20, 40)
(58)58
Từ xác suất để doanh nghiệp đạt đƣợc doanh số tối thiểu 35 triệu đồng/tháng đƣợc tìm theo tính chất hàm mật độ phân phối xác suất nhƣ sau:
P(X > 35) =
40
40 35
35 35
f (t)dt 0, 05dt 0, 05 0, 25
3.2.1 Quy luật phân phối chuẩn
3.2.1.1 Định nghĩa
ĐLNN liên tục X nhận giá trị (- ∞, + ∞) đƣợc gọi phân
phối theo quy luật chuẩn với tham số µ > 0, ký hiệu X N(µ, 2), hàm mật độ xác suất X có dạng:
2
1 x μ σ
1 f(x)
σ 2π e
Đặc biệt: Khi µ = 0, = phân phối chuẩn N(0, 1) đƣợc gọi
phân phối chuẩn hóa hay chuẩn tắc 3.2.1.2 Các tham số đặc trưng
Cho X ĐLNN có quy luật phân phối chuẩn N(µ, 2), đó:
E(X) = µ; D(X) = 2; Med(X) = µ; Mod(X) = µ 3.2.1.3 Định lý
Nếu ĐLNN X có phân phối chuẩn N(µ, 2) ĐLNN X μ
Y = σ
có phân phối chuẩn tắc N(0, 1) 3.2.1.4 Hàm số La-pla-ce
Hàm số đƣợc ký hiệu xác định nhƣ sau đƣợc gọi hàm La–
pla–ce:
2
x t
1
(x) e dt, x ( ; ) 2π
Các giá trị hàm La-pla-ce đƣợc tính theo bảng
a) Tính chất
i) (x) hàm số lẻ: (– x) = – (x);
ii) (x) hàm tăng thực sự: x1 < x2 (x1) < (x2);
iii) lim (x) 1; lim (x) 1;
2
(59)59
iv)Nếu F(x) hàm phân phối xác suất ĐLNN X có phân phối chuẩn N(µ, 2) thì:
F(x) = P(X < x) =
2
1 t μ
x x
2 σ
1 x μ
f(t)dt
2 σ
σ 2π e dt
và từ ta có:
P(α < x < β) = P(α ≤ x < β) = P(α < x ≤ β)
= F(β) – F(α) = β μ α μ
σ σ
b) Hệ X có phân phối chuẩn N(µ, 2), với > ta có:
ε
P X μ ε
σ
Chứng minh:
μ + ε μ μ ε μ
P X μ ε P μ ε X μ + ε
σ σ
ε ε ε ε ε
σ σ σ σ σ
.
Ví dụ 2. Cho X ĐLNN có phân phối chuẩn E(X) = 3, = Tính P(X < 2); P(X > 1,5); P(1,3 < X < 2)
Giải. Ta có P(X 2) 1 0,5
2 2 2
= 0,5 – 0,192 = 0,308
1
P(X 1,5) P(X 1,5) 0,75
0,5 0,750,50,75 = 0,5 + 0,273 = 0,773
0,5 0,85 0,191 0,302 0,111
(60)60
Giải. Tỷ lệ vòng bi đạt tiêu chuẩn xác suất để lấy vịng bi đạt tiêu chuẩn Nếu gọi X độ sai lệch đƣờng kính vịng bi sản xuất với đƣờng kính vịng bi thiết kế vịng bi đạt tiêu chuẩn X 0,7
Do ta có:
P( X 0,7)P( X 0,7) 0,7 1,75 0,9189
0,
3.2.1.5 Định nghĩa Cho U N(0, 1) < α < cho trƣớc Khi giá trị Uα thỏa mãn P(U > Uα) = α đƣợc gọi phân vị chuẩn mực α.
Tính chất i) U1 – α = – Uα;
ii) (Uα) = 0,5 – α Ví dụ 4. Tìm U0,025; U0,975; U0,05
Giải Ta có: (U0,025) = 0,5 – 0,025 = 0,475 = (1,96) U0,025 = 1,96 U0,975 = – U1 – 0,975 = – U0,025 = – 1,96
(U0,05) = 0,5 – 0,05 = 0,45 (1,64) U0,05 = 1,64 3.2.1.6 Một số định lý phân phối chuẩn
a) Định lý. Cho C số, ĐLNN X N(µ, 2) Khi đó: CX N(Cµ, C22); X C N(µ C, 2)
b) Định lý Giả sử n ĐLNN X1, X2, ., Xn độc lập Xi N(µi, i2) (i1, n) Khi đó: X = X1 + X2 + + Xn ĐLNN có
phân phối chuẩn N(µ, 2) với µ = µ
1 + µ2 + + µn 2 = 12 + 22 +
+ n2
c) Định lý Lindeberg – Levy. Nếu Xi N(µ, 2) (i1, n) n lớn n ĐLNN Xi độc lập với ĐLNN
n
2 i
i
X X N(n , n )
và
2 n
i i
1
Y X N ,
n n
Tức với n lớn thì: P(X < x) x μ
2 σ
n n
P(Y < x)
1 (x μ) n
2 σ
,
(61)61
c) Định lý Moa-vơ-rơ. Cho X B(n, p) Với n lớn ĐLNN X xấp xỉ có phân phối chuẩn N(np, np(1 – p))
Tức P(α < x < β) = P(α ≤ x < β) = P(α < x ≤ β) = P(α ≤ x ≤ β)
= β np α np
np(1 p) np(1 p)
với hàm La-pla-ce
Ví dụ 5. Gieo ngẫu nhiên độc lập 10000 lần đồng xu cân đối Tính xác suất để 10000 lần gieo có số lần mặt ngửa (N) xuất nằm khoảng (5050; 5100)
Giải. Gọi X số lần mặt N xuất 10000 lần gieo đó, ta có X ĐLNN có phân phân phối nhị thức B(10000; 0,5) Xác suất cần tìm P(5050 < X < 5100)
Vì n lớn nên X xấp xỉ có phân phối chuẩn N(5000; 25002),
đó:
P(5050 < X < 5100) = 5100 10000.0,5 5050 10000.0,5 10000.0,5.0,5 10000.0,5.0,5
= 2 0, 474 0,314 0,160
Ví dụ Một công ty bảo hiểm, bảo hiểm 10000 xe máy Mỗi chủ xe phải nộp 100000 đồng/năm trung bình nhận lại triệu đồng xe họ bị tai nạn giao thông Qua thống kê biết tỷ lệ để xe máy bị tai nạn giao thông năm 0,006 Tìm xác suất để:
a) Sau năm hoạt động công ty bị lỗ
b) Sau năm hoạt động cơng ty lãi 800 triệu
Giải a) Gọi X số xe bị tai nạn giao thơng năm, ta có X ĐLNN có phân phối nhị thức n = 10000; p = 0,006
np = 60; np(1 – p) = 59,69; np(1 p) 7, 726
Công ty bị lỗ số xe tai nạn lớn 200 (vì số tiền chi trả nhiều số tiền thu vào)
(62)62
P(A) = 10000 60 200 60
60.0,994 60.0,994
Vậy xác suất công ty bị lỗ sau năm hoạt động
b) Công ty lãi 600 triệu số xe bị tai nạn nhỏ 80 chiếc, số tiền chi trả cho xe bị tai nạn nhỏ số tiền thu vào 400 triệu
Gọi B biến cố sau năm hoạt động cơng ty lãi 600 triệu đồng
P(B) = (0 80) 80 60 80 60 0,995
60.0,994 60.0,994
P X
3.2.2 Quy luật phân phối – bình phƣơng
3.2.2.1 Định nghĩa. Cho dãy ĐLNN X1, X2, , Xn có phân phối
chuẩn hóa N(0, 1) Khi ĐLNN n i i
χ X
phân phối theo quy luật - bình phương (khi bình phƣơng) với n bậc tự do, ký hiệu là:
2
χ χ (n)
Hàm mật độ phân phối xác suất ĐLNN 2 có dạng:
x n 2 n
2
0 x
1
f (x) e x x
n
2
trong x t
(x) t e dt
hàm Gamma 3.2.2.2 Các tham số đặc trưng
Cho χ2là ĐLNN có phân phối theo quy luật bình phƣơng với n bậc tự do, đó: E(2) = n; D(2) = 2n
3.2.2.3 Định nghĩa Cho χ2 χ (n) < α < cho trƣớc Khi giá trị
α
χ (n) cho P(χ > χ (n)) = α đƣợc gọi 2α phân vị
bình phương n bậc tự Các giá trị phân vị
α
(63)63 Ví dụ 7.(Tra bảng 3b)
0,05
χ (14) 23,685 ; 0,01
χ (24) 42,980
3.2.3 Quy luật phân phối Student – T(n)
3.2.3.1 Định nghĩa Nếu U N(0, 1), χ2 χ (n)2 ĐLNN
U T
χ n
phân phối theo quy luật Student với n bậc tự do, ký hiệu
là: T T(n)
3.2.3.2 Các tham số đặc trưng
Cho T ĐLNN có phân phối Student với n bậc tự do, đó: E(T) = 0; D(T) = n
n2
3.2.3.3 Định nghĩa. Cho T T(n) < α < cho trƣớc Khi giá trị t (n)α cho P(T > t (n)) = α đƣợc gọi α phân vị Student n
bậc tự do với mức ý nghĩa α
Các giá trị phân vị t (n)α đƣợc tính sẵn thành bảng
Nhận xét: i) t (n) = α t1 α (n);
ii) Với n 30 t (n) = Uα α Ví dụ 8. t0,025(8)2,306;
t0,99(24)t1 0,01 (24)t0,01(24)2, 492;
0,005 0,005
(64)64
BÀI TẬP CHƢƠNG
Bài 3.1. Gieo xúc xắc đối xứng đồng chất Tìm quy luật phân phối xác suất tham số đặc trƣng số lần xuất mặt chấm
Đ/s: Gọi X số lần xuất mặt chấm gieo xúc xắc E(X) 1; D(X)
6 36
Bài 3.2 Điều tra ý kiến khách hàng sản phẩm
doanh nghiệp thấy có 60% khách hàng thích sản phẩm Tìm quy luật phân phối xác suất tham số đặc trƣng thái độ ƣa thích khách hàng sản phẩm
Đ/s: Gọi X ĐLNN thái độ ƣa thích khách hàng sản phẩm
X A(0,6) E(X) = 0,6 D(X) = 0,24
Bài 3.3. Bắn viên đạn vào mục tiêu Xác xuất trúng đích lần bắn nhƣ 0,2 Muốn phá hủy mục tiêu phải có viên trúng mục tiêu Tính xác suất để mục tiêu bị phá hủy
Đ/s: P = 0,0579
Bài 3.4 Gieo 10.000 hạt giống với xác suất để hạt giống nảy
mầm 0,85 Gọi X số hạt nảy mầm Hỏi X tuân theo quy luật phân phối xác suất gì? Tìm E(X), D(X)
Bài 3.5 Tổng đài điện thoại phục vụ 100 máy điện thoại Xác suất
để phút máy gọi đến tổng đài 0,02 Tìm số máy gọi đến tổng đài trung bình phút
Đ/s: máy
Bài 3.6 Cho U N(0, 1) Tìm xác suất sau:
a P(U > 1,96) b P(U > 1,64) c P(U < - 1,64) d P(U < 1,64) e P(1 < U < 1,5) d P(-1 < U < 2)
Bài 3.7. Cho X N(10, 25) Tìm xác suất sau: a P(X > 20) b P(20 < X < 25)
(65)65
Bài 3.8. Trong hệ thống tỷ giá hối đoái thả nổi, biến động tỷ giá hối đoái chịu tác động nhiều nhân tố xem nhƣ biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn Giả sử giai đoạn tỷ giá USD với VNĐ có trung bình 15000đ độ lệch chuẩn 500đ Tìm xác suất để ngày
a Tỷ giá cao 16000đ b Tỷ giá thấp 14500đ
c Tỷ giá nằm khoảng từ 14500 đến 16500đ
Bài 3.9. Trọng lƣợng sản phẩm X máy tự động sản xuất ĐLNN tuân theo quy luật chuẩn với E(X) = 100 gam độ lệch chuẩn gam Sản phẩm đƣợc coi đạt tiêu chuẩn kỹ thuật trọng lƣợng đạt từ 98 đến 102 gam
a Tìm tỷ lệ sản phẩm đạt tiêu chuẩn nhà máy b Tìm tỷ lệ phế phẩm nhà máy
(66)66 Chƣơng
ĐẠI LƢỢNG NGẪU NHIÊN HAI CHIỀU
Ở chƣơng trƣớc xét ĐLNN mà tập giá trị chúng đƣợc biểu diễn số thực, ĐLNN chiều Ngồi ĐLNN chiều, thực tế cịn gặp biến số mà tập giá trị đƣợc xác định n số (x1, x2, , xn) với
n 2, ĐLNN gọi ĐLNN n chiều Việc nghiên cứu ĐLNN nhiều chiều cho ta xác định đƣợc quy luật xác suất nhƣ việc tác động qua lại thành phần với Trong kinh tế xã hội điều quan trọng, chẳng hạn muốn đánh giá ảnh hƣởng thu nhập đến tiêu dùng nhƣ ta xét ĐLNN hai chiều thu nhập tiêu dùng
4.1 ĐỊNH NGHĨA Cho X1, X2, , Xn n ĐLNN liên kết với phép thử có khơng gian mẫu Bộ (X1, X2, , Xn) đƣợc gọi
là đại lượng ngẫu nhiên n chiều, x1, x2, ., xn n giá trị tƣơng ứng X1, X2, , Xn số thực (x1, x2, , xn) gọi giá trị
ĐLNN n chiều (X1, X2, , Xn)
Ví dụ 1. Gieo ngẫu nhiên lần xúc xắc, gọi X1, X2
ĐLNN tƣơng ứng số chấm xuất xúc xắc thứ thứ Khi ĐLNN (X1, X2) có 36 giá trị (x1, x2) = {(1, 1);
(1, 2); ; (6, 6)}
ĐLNN n chiều (X1, X2, , Xn) đƣợc gọi ĐLNN n chiều rời rạc
nếu X1, X2, , Xn ĐLNN rời rạc; gọi ĐLNN n chiều liên
tục X1, X2, , Xn ĐLNN liên tục
Trong chƣơng nghiên cứu ĐLNN hai chiều
4.2 HÀM PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CỦA ĐLNN HAI CHIỀU 4.2.1 Định nghĩa Cho (X, Y) ĐLNN hai chiều Hàm số hai
biến số ký hiệu xác định nhƣ sau gọi hàm phân phối xác suất ĐLNN hai chiều
F(x, y)P(Xx; Yy), x, y biến cố (X x;Y y) (X x) (Y y)
(67)67 i) 0F(x, y) 1 ;
ii) F(x, y) hàm không giảm theo biến, nghĩa là:
1 2
F(x , y)F(x , y), x x F(x, y )1 F(x, y ), y2 1y2;
iii)
x y x
y
lim F(x, y) 0; lim F(x, y) 0; lim F(x, y)
;
x y x
y
lim F(x, y) F(y); lim F(x, y) F(x); lim F(x, y)
4.3 PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CỦA ĐLNN HAI CHIỀU 4.3.1 Bảng phân phối xác suất ĐLNN hai chiều rời rạc
4.3.1.1 Định nghĩa Cho X, Y hai ĐLNN ngẫu nhiên liên kết với phép thử có miền giá trị lần lƣợt DX = {x1, x2, , xn}
DY = {y1, y2, , ym}
Đặt pij = P(X = xi; Y = yj), i 1, n; j 1, m
Khi bảng số có dạng dƣới gọi bảng phân phối xác suất
của ĐLNN hai chiều (X, Y) X
Y x1 x2 xi xn
y1 p11 p21 pi1 pn1 y2 p12 p22 pi2 pn2 yj p1j p2j pij pnj
ym p1m p2m pim pnm
Ví dụ 1. Cho X, Y ĐLNN số mặt ngửa xuất đồng tiền thứ thứ gieo ngẫu nhiên đồng tiền cân đối
Ta có tập giá trị X DX = {0, 1}; DY = {0, 1}
11
1 p P(X 0; Y 0) P(SS)
4
;
21
1 p P(X 1; Y 0) P(NS)
4
(68)68 12
1 p P(X 0; Y 1) P(SN)
4
;
22
1 p P(X 1; Y 1) P(NN)
4
Vậy bảng phân phối ĐLNN ngẫu nhiên hai chiều (X, Y) là: X
Y
0
4
1
1
4
1
4.3.1.2 Tính chất Cho (X, Y) ĐLNN hai chiều rời rạc có bảng phân phối nhƣ mục 4.3.1.1 Khi ta có:
i) 0pij 1, i 1, n, j 1, m ; ii)
m n n m
j i i j
p p
ij ij ;
iii) n
j j
i
p q P(Y y )
ij ;
m
i i
j
p p P(X x )
ij
Qua tính chất iii) ta thấy biết phân phối ĐLNN hai chiều (X, Y) ta biết luật phân phối biến ngẫu nhiên X, Y
Ví dụ 2. Cho X, Y ĐLNN rời rạc có bảng phân phối xác suất nhƣ sau:
X
Y
1 0,4 0,3
2 0,12 0,18
(69)69
X
P 0,4 0,42 0,18 Tƣơng tự bảng phân phối ĐLNN Y là:
Y
P 0,7 0,3
4.3.1.3 Định lý. Điều kiện cần đủ để hai ĐLNN rời rạc X Y độc lập với pij = P(X = xi; Y = yj) = P(X = xi).P(Y = yj) = piqj ,
i 1, n; j 1, m
Ví dụ 3. Cho X, Y ĐLNN số mặt ngửa xuất đồng tiền thứ thứ gieo ngẫu nhiên đồng tiền cân đối Khi X Y độc lập với
Ví dụ 4. Cho X, Y ĐLNN rời rạc có bảng phân phối xác suất nhƣ sau:
X
Y
1 0,4 0,3
2 0,12 0,18
Ta thấy X Y phụ thuộc nhau, P(X = 0; Y = 1) = 0,4 P(X = 0)P(Y = 1) = 0,4.0,7
4.3.2 Hàm mật độ phân phối xác suất ĐLNN hai chiều liên tục
4.3.2.1 Định nghĩa Cho ĐLNN hai chiều liên tục (X, Y) có hàm phân phối xác suất F(x, y) Nếu tồn hàm hai biến f(x, y) khơng âm, khả tích 2và thỏa mãn đẳng thức:
y x
F(x, y) f u, v dudv
thì hàm f(x, y) đƣợc gọi hàm mật độ phân phối xác suất ĐLNN liên tục hai chiều (X, Y)
4.3.2.2 Tính chất Cho f(x, y) hàm mật độ phân phối xác suất ĐLNN hai chiều (X, Y) Khi ta có:
i) f x, y dxdy
(70)70
ii)
D
P (X, Y)D f x, y dxdy, D ;
iii) Nếu F(x, y) có đạo hàm riêng cấp hỗn hợp điểm
(x, y) F (x, y)xy" f (x, y);
iv) Gọi fX(x), fY(y) hàm mật độ phân phối xác suất ĐLNN X, Y Khi đó: f (x)X f x, y dy
; f (y)Y f x, y dx
Ví dụ 5. Tìm hàm mật độ ĐLNN chiều (X, Y) có hàm phân phối xác suất là:
1 1
F(x, y) arctan x arctan y , x, y
2
Giải. Ta có: F (x, y)x' 2 1arctan y
(1 x )
''
xy 2
1
F (x, y)
(1 x ) (1 y )
Hàm mật độ ĐLNN chiều (X, Y) là:
2 2
1 f (x, y)
(1 x )(1 y )
Ví dụ Cho ĐLNN chiều (X, Y) có hàm mật độ phân phối xác suất:
2 2
A
f (x, y)
(16 x )(25 y )
a) Xác định số A;
b) Tìm hàm phân phối (X, Y); c) Tìm hàm phân phối X Y
Giải
a) Ta có: f x, y dxdy 2 A2 2 dxdy (16 x )(25 y )
A2 2 dx 2 dy
(16 x ) (25 y )
(71)71
A 12 arctanx arctan1 y
4 5
A2 ( ) ( ) A
20 2 2 20
A = 20
Vậy f (x, y) 2 202 2 (16 x )(25 y )
b) Ta có:
y y
x x
2 2
20 1
F(x, y) f x, y dxdy dx dy
(16 x ) (25 y )
12 arctanx arctany
4
c) Ta có:
X y y
1 x y
F (x) lim F(x, y) lim arctan arctan
4
12 arctanx arctanx
4 2
Y
x
F (y) lim F(x, y)
arctany
5
4.3.2.3 Định lý Giả sử f (x),f (y)X Y lần lƣợt hàm mật độ ĐLNN X Y; f(x, y) hàm mật độ phân phối ĐLNN (X, Y) Điều kiện cần đủ để X Y độc lập với f(x, y) = fX(x).fY(y)
4.4 PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CÓ ĐIỀU KIỆN CỦA ĐLNN HAI CHIỀU 4.4.1 Phân phối có điều kiện ĐLNN hai chiều rời rạc
Cho X, Y hai ĐLNN ngẫu nhiên liên kết với phép thử có miền giá trị lần lƣợt DX = {x1, x2, , xn} DY = {y1, y2, , ym}
Gọi P x y i j P X x Yi yji1, n; j 1, m là xác suất
có điều kiện để thành phần X nhận giá trị xi với điều kiện thành
(72)72
Bảng phân phối xác suất có điều kiện thành phần X với điều kiện Y = yj có dạng:
j
X y x1 x2 xi xn
P P x y 1 j P x y 2 j P x y i j P x y n j xác suất có điều kiện đƣợc tính cơng thức:
i j ij
i j
j j
P x , y p P x y
P(Y y ) P(Y y )
i1, n; j 1, m
Tƣơng tự, ta có bảng phân phối xác suất có điều kiện thành phần Y với điều kiện X = xi có dạng:
i
Y x y1 y2 yj ym
P P y x i P y x i P y x j i P y x m i xác suất có điều kiện đƣợc tính cơng thức:
i j ij
j i
i i
P x , y p
P y x
P(X x ) P(X x )
i1, n; j 1, m Ví dụ 1. Phân phối xác suất lƣơng tháng Y (triệu đồng) giới tính X cơng nhân công ty nhƣ sau:
Y
X 0,5 1,5
Nữ: 0,1 0,3 0,2 Nam: 0,06 0,18 0,16
Tìm phân phối xác suất lƣơng tháng nữ công nhân
Giải. Trƣớc hết ta tìm P(x1) = P(X = 0) = 0,1 + 0,3 + 0,2 = 0,6
từ đó: 1
1
1
P(x , y ) 0,1 P y x
P(x ) 0,6
;
2
1
P(x , y ) 0,3 P y x
P(x ) 0,6
(73)73
3
1
P(x , y ) 0, P y x
P(x ) 0,6
Vậy bảng phân phối xác suất lƣơng tháng nữ công nhân là:
1
Y x 0,5 1,5
P
6
1
1
4.4.2 Phân phối có điều kiện ĐLNN hai chiều liên tục
Giả sử (X, Y) ĐLNN hai chiều liên tục có hàm mật độ phân phối xác suất f(x, y) Hàm mật độ xác suất có điều kiện thành phần X với Y = y, ký hiệu f(x/y) biểu thức:
X f (x, y) f x y
f (x)
Tƣơng tự, hàm mật độ xác suất có điều kiện thành phần Y với X = x, ký hiệu f(y/x) biểu thức:
Y f (x, y) f y x
f (y)
trong fX(x), fY(y) lần lƣợt hàm mật độ phân phối xác suất X, Y Ví dụ 2. Cho ĐLNN chiều (X, Y) có hàm mật độ phân phối xác suất:
2 2
2 2
1
khi x y r
f x, y r
0 x y r
Tìm hàm mật độ phân phối xác suất có điều kiện thành phần
Giải Với 2
x y r , ta có f(x, y) = nên fX(x) =
Với 2 2
x y r x r y , ta có f x, y 12 r
nên
2
2
r y 2
X 2
r y
2 r y
1
f (x) f (x, y)dx dx dx
r r r
(74)74
2
2 2
2 X
2 2
2 r y
khi x y r
f (x) r
0 x y r
Do
2
2
X 2 2
1
khi x r y
f (x, y) 2 r y f x y
f (x)
0 x r y
Tƣơng tự, ta xác định đƣợc:
2
2
Y 2
1
khi y r x
f (x, y)
2 r x
f y x
f (y)
0 y r x
4.5 KỲ VỌNG CÓ ĐIỀU KIỆN
4.5.1 Kỳ vọng có điều kiện ĐLNN hai chiều rời rạc
Cho X, Y hai ĐLNN ngẫu nhiên liên kết với phép thử có miền giá trị lần lƣợt DX = {x1, x2, , xn} DY = {y1, y2, , ym}
- Kỳ vọng có điều kiện ĐLNN X với điều kiện (Y = yj)
số đƣợc ký hiệu xác định nhƣ sau:
n
j i i j
i
E X / y x P x / y ; j 1, m
- Kỳ vọng có điều kiện ĐLNN Y với điều kiện (X = xi)
số đƣợc ký hiệu xác định nhƣ sau:
i m j j i j
E Y / x y P y / x ;i 1, n
Ví dụ Tìm kỳ vọng có điều kiện ĐLNN rời rạc hai chiều có bảng phân phối xác suất sau đây:
X
Y
1 0,4 0,3
2 0,12 0,18
(75)75
1
X y 1
P(xi/1)
4
3
7
Do
4 3
E X y 1 2.0
7 7
Tƣơng tự ta có:
8 E X y
5
; E Y x 01; E Y x 2 1 9;
5
E Y x 3 22
4.5.2 Kỳ vọng có điều kiện ĐLNN hai chiều liên tục
Giả sử (X, Y) ĐLNN hai chiều liên tục có hàm mật độ xác suất có điều kiện f(x/y) f(y/x)
- Kỳ vọng có điều kiện ĐLNN X với điều kiện Y = y số đƣợc ký hiệu xác định nhƣ sau: E X / y x.f (x / y)dx
- Kỳ vọng có điều kiện ĐLNN Y với điều kiện X = x số đƣợc ký hiệu xác định nhƣ sau: E Y / x y.f (y / x)dy
(76)76
BÀI TẬP CHƢƠNG
Bài 4.1. Cho bảng phân phối xác suất đồng thời ĐLNN chiều rời rạc
X
Y 26 30 41 50
2,3 0,05 0,08 0,12 0,04 2,7 0,09 0,3 0,11 0,21
a Tìm bảng phân phối xác suất thành phần X, Y Tính E(X); EY)
b Hỏi X, Y có độc lập khơng? Vì sao?
c Tìm bảng phân phối xác suất có điều kiện Y X = 26 X Y = 2,7
Đ/s: b X, Y không độc lập với c
Y/X = 26 2,3 2,7 P 0,357 0,643
X/Y = 2,7 26 30 41 50
P 0,1268 0,4225 0,1549 0,2958
Bài 4.2 Thống kê dân số nƣớc theo trình độ học vấn X
lứa tuổi Y cho kết sau: Y
X
(25 – 35) 30
(35 – 55) 45
(55 – 100) 70
Thất học 0,01 0,02 0,05
Tiểu học 0,03 0,06 0,10
Trung học 0,18 0,21 0,15
Đại học 0,07 0,08 0,04
(77)77
b Xây dựng bảng phân phối xác suất học vấn lứa tuổi c Xây dựng bảng phân phối xác học vấn ngƣời độ tuổi 30
Đ/s a 0,08 c P(X/y = 30) = 1/29; 3/29; 18/29; 7/29
Bài 4.3 Cho ĐLNN X Y có bảng phân phối xác xuất đồng
thời nhƣ sau:
Y
X
1 0,12 0,15 0,03
2 0,28 0,35 0,07
a Chứng minh X Y độc lập với
b Lập bảng phân phối xác suất ĐLNN XY Đ/s: b
XY
P 0,12 0,43 0,03 0,35 0,07
Bài 4.4 Cho X Y hai ĐLNN độc lập có phân phối xác suất
nhƣ sau:
X
P 0,4 0,3 0,2 0,1
Y
P 0,1 0,3 0,4 0,15 0,05 a Tìm bảng phân phối xác suất (X, Y)
b Tính P{X > Y}
Đ/s: b P{X > Y} = 0,19
Bài 4.5 Giả sử X = (X, Y) ĐLNN liên chiều có hàm mật độ
phân phối xác suất: f (x, y)k(4 x y) với < x, y <
a Tìm k b Xác định f (x) , X f (y) c Tính P(X + Y < 0,5) Y Đ/s: a k = 2/5; b f (x)X 2(3 x)
5
với < x < 1; c f (y)Y 7( 2y)
5
(78)78 Chƣơng
CÁC ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN
5.1 ĐỊNH NGHĨA Dãy ĐLNN {Xn} đƣợc gọi hội tụ theo
xác suất tới ĐLNN X với > 0, n
n
lim P X X
Khi
ta ký hiệu: P n
X X
5.2 BẤT ĐẲNG THỨC TRÊ-BƢ-SÉP Cho ĐLNN X có kỳ
vọng E(X) phƣơng sai D(X) hữu hạn Khi với > 0, ta có:
P X E(X) D(X)2 hay P X E(X) D(X)2
(1)
Các bất đẳng thức (1) đƣợc gọi bất đẳng thức Trê-bư-sép
Chứng minh: Giả sử X ĐLNN liên tục có hàm mật độ phân phối f(t)
Theo tính chất hàm mật độ, ta có:
E(X)
E(X)
P X E(X) P E(X) X E(X) f (t)dt
E(X) E(X)
1 f (t)dt f (t)dt
(2)
Mặt khác:
2
2 2
2 t E(X)
tE(X) t E(X) 1
2 t E(X)
f (t) f (t)
(vì f(t) 0)
Vì f(t) nên E(X)
E(X)
f (t)dt f (t)dt f (t)dt
E(X) 2 E(X)
t E(X)
f (t)dt f (t)dt f (t)dt t E(X) f (t)dt
E(X) E(X)
f (t)dt f (t)dt D(X)
(79)79
Từ (2) (3) suy ra: P X E(X) D(X)2
Về mặt thực tế bất đẳng thức Trê-bƣ-sép cho phép đánh giá cận cận dƣới xác suất để ĐLNN X nhận giá trị sai lệch so với kỳ vọng lớn bé thua Đôi đánh giá hiển nhiên khơng có ý nghĩa Chẳng hạn, D(X) 2 bất
đẳng thức hiển nhiên Song lại có ƣu điểm áp dụng đƣợc ĐLNN mà không cần biết quy luật phân phối xác suất
Ví dụ Thu nhập trung bình hàng năm dân cƣ vùng 700 USD độ lệch chuẩn 120 USD Hãy xác định khoảng thu nhập hàng năm xung quanh giá trị trung bình 95% dân cƣ vùng
Giải Gọi X thu nhập hàng năm dân cƣ vùng X ĐLNN với quy luật phân phối xác suất chƣa biết song có kỳ vọng toán E(X) = 700 độ lệch chuẩn D(X) = 120 Do theo bất đẳng thức Trê-bƣ-sép, ta có:
130
P X 700 1 0,95 536,656
Vậy 95% dân cƣ vùng có thu nhập hàng năm nằm khoảng (700 – 536,656; 700 + 536,656), tức khoảng (163,344; 1236,656)
5.3 ĐỊNH LÝ TRÊ-BƢ-SÉP
5.3.1 Định lý. Giả sử X1, X2, , Xn dãy ĐLNN độc lập đôi một, có kỳ vọng E(Xi) hữu hạn (i 1, n ) phƣơng sai
D(Xi) bị chặn số C (nghĩa D(Xi) C, C số,
i 1, n ) Khi > ta có:
n n
i i
n
i i
1
lim P X E(X )
n n
Khi ta nói: n (P) n
i i
i i
1
X E(X )
n n
(80)80 Đặt
n n n
n i n i i
i i i
1 1
S X E(S ) E X E(X )
n n n
n n
n i i
i i
1 nC C
D(S ) D X D(X )
n n n n
Áp dụng bất đẳng thức Trê-bƣ-sép ĐLNN Sn, ta có:
n
n n 2
D(S ) C
0, P S E(S ) 1
n
n n
n n
C
lim P S E(S ) lim 1
n
Mà xác suất biến cố không vƣợt nên:
n n
n
0, lim P S E(S )
n n
i i
n
i i
1
0, lim P X E(X )
n n
5.3.2 Hệ quả. Giả sử X1, X2, ., Xn dãy ĐLNN độc lập tuân theo quy luật phân phối xác suất với kỳ vọng E(Xi) = phƣơng sai D(Xi) = 2 hữu hạn (i1, n) Khi >
ta có: n i n i 1
lim P X
n
Qua hệ ta thấy n lớn trung bình cộng ĐLNN có kỳ vọng hầu nhƣ lấy giá trị xấp xỉ kỳ vọng chúng xấp xỉ tốt n lớn Điều có ý nghĩa thực tiễn lớn, chẳng hạn nhƣ muốn đo đạc đại lƣợng vật lý ta cần thực nhiều lần lấy trung bình cộng kết làm giá trị thực đại lƣợng
Nội dung hệ sở cho phƣơng pháp đƣợc áp dụng thống kê phƣơng pháp mẫu mà thực chất dựa vào mẫu ngẫu nhiên để đến kết luận cho tổng thể đối tƣợng đƣợc nghiên cứu
(81)81
Định lý: Giả sử fn(A) tần suất xuất biến cố A n phép thử độc lập p xác suất xuất biến cố A phép thử Khi > ta có: n
n
lim P f (A) p
Chứng minh: Gọi Xi số lần xuất biến cố A phép thử thứ i, i 1,n
Ta có:
Do đó: Xi A(p) (i1, n)
2
i i
p p
E(X ) p; D(X ) p(1 p) , i 1, n
2
D(Xi) bị chặn, i 1, n
n n n
n i n i i
i i i
1 1
f (A) X E f (A) E X E(X ) p
n n n
Áp dụng định lý Trê-bƣ-sép cho dãy ĐLNN X1, X2, ., Xn
trên ta có:
n n
i i
n
i i
1
0, lim P X E(X )
n n
n
n
lim P f (A) p
Định lý Bernoulli nêu lên hội tụ theo xác suất tần suất xuất biến cố n phép thử độc lập xác suất xuất biến cố phép thử số phép thử tăng lên vô hạn Do thực tế số phép thử tăng lên lớn ta lấy fn(A) làm giá trị xấp xỉ cho
xác suất P(A)
5.5 ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN TRUNG TÂM
Định lý Giả sử X1, X2, , Xn dãy ĐLNN độc lập tuân
theo quy luật phân phối xác suất với kỳ vọng E(Xi) =
phƣơng sai D(Xi) = 2 hữu hạn ( i 1, n ) Khi đó:
1 A xuất phép thử thứ i
0 A không xuất phép thử thứ i i
(82)82
Đại lƣợng ngẫu nhiên X X1 X2 Xn n
hội tụ theo xác suất tới ĐLNN có quy luật phân phối xác suất chuẩn
2
N ,
n
khi n
hay đại lƣợng ngẫu nhiên U X n
hội tụ theo xác suất tới
quy luật phân phối xác suất chuẩn hóa N(0, 1) n Trong thực hành tính tốn, n > 30 ta xấp xỉ:
2
X
X N , hay n N 0,1
n
Ví dụ 1) Chọn ngẫu nhiên 192 số đoạn [0, 1] Tìm xác suất để tổng số điểm thu đƣợc X nằm khoảng (88, 104)
Giải Ta coi nhƣ
192 i i
X X
, ĐLNN Xi độc
lập tuân theo quy luật phân phối U(0, 1) Từ ta có E(Xi) =
0 0,5
; D(Xi) =
2
(1 0)
12 12
, i1,192
E(X) = 192.0,5 = 96 D(X) = 192/12=16 =
Vì P(88 X 104) 104 96 88 96 2 0,954
4
2) Cho biến ngẫu nhiên X B(1000; 0,02) Tìm xác suất để X nhận giá trị khoảng (40, 50)
Giải Có thể coi
1000 i i
X X
, Xi độc lập có phân
phối khơng A(0,02) Từ theo định lý giới hạn trung tâm suy X N(, 2), = np = 1000.0,02 = 20; 2 = np(1 – p) = 19,6
P(40 X 50)
50 20 40 20 6,77 4,51 0,5 4,999 19,6 19,6
(83)83
BÀI TẬP CHƢƠNG
Bài 5.1. Xác suất xuất sản phẩm loại kiểm tra sản phẩm 0,5 Gọi X số lần xuất sản phẩm loại tiến hành kiểm tra 100 sản phẩm Đánh giá xác suất biến cố (40 < X < 60)
Đ/s: X B(100; 0,5)
Áp dụng BĐT Trê-bƣ-sép, ta có:
P(40 < X < 60) = P( X 50 10) 252 0,75 10
Bài 5.2 Cho X ĐLNN có E(X) = 1; D(X) = 0,04 Chứng minh
rằng:
a P(1 X 3) 0,84 2 2 b P(0 X 2)0,96
Bài 5.3. Hãy tìm , biết X ĐLNN có D(X) = 0,01 thỏa mãn: P( X E(X) ) 0,96
Đ/s: < 0,5
Bài 5.4. Gieo xúc xắc cân đối đồng chất n lần cách độc lập Gọi X số lần xuất mặt chấm Chứng minh rằng:
n n 31
P n X n
6 36
Bài 5.5. Giả sử tiền điện gia đình phải trả tháng ĐLNN với trung bình 16 USD độ lệch chuẩn USD Sử dụng bất đẳng thức Trê-bƣ-sép, xác định số M nhỏ để với xác suất 0,99 số tiền điện phải trả năm (12 tháng) không vƣợt M
Đ/s: M = 226,64
Bài 5.6. Gieo xúc xắc 120 lần Tính xác suất để số lần xuất mặt chấm nhỏ 15 Biết xúc xắc cân đối đồng chất
(84)84 Chƣơng LÝ THUYẾT MẪU
6.1 KHÁI NIỆM VỀ PHƢƠNG PHÁP MẪU
Trong thực tế thƣờng phải nghiên cứu tập hợp phần tử đồng theo hay nhiều dấu hiệu định tính hay định lƣợng đặc trƣng cho phần tử Để nghiên cứu tập hợp phần tử theo dấu hiệu định, ta sử dụng phƣơng pháp nghiên cứu toàn bộ, tức thống kê toàn tập hợp phân tích phần tử theo dấu hiệu nghiên cứu
Ví dụ 1. Nghiên cứu dân số nƣớc theo dấu hiệu nhƣ tuổi tác, trình độ văn hóa, địa bàn cƣ trú, cấu nghề nghiệp, tiến hành điều tra dân số phân tích ngƣời theo dấu hiệu từ tổng hợp thành dấu hiệu chung cho tồn dân số nƣớc
Tuy nhiên, thực tế việc áp dụng phƣơng pháp nghiên cứu tồn gặp phải khó khăn chủ yếu sau: Nếu quy mô tập hợp lớn việc nghiên cứu tồn địi hỏi nhiều chi phí vật chất, thời gian đơi dẫn tới trùng bỏ sót phần tử nó; Có q trình nghiên cứu đối tƣợng bị thay đổi hình dạng, bị phá hủy, chúng khơng cịn giá trị sử dụng nữa, chƣa xác định đƣợc tất đối tƣợng
Ví dụ 2. Kiểm tra chất lƣợng kho hàng có 106 sản phẩm, ta khơng thể kiểm tra tất 106 sản phẩm; Để xác định tổng số ngƣời
còn mù chữ Việt Nam, ta khơng thể điều tra tồn dân số Việt Nam; Để tìm hiểu tâm lý ngƣời mắc bệnh truyền nhiễm HIV, ta khơng thể tìm hiểu hết ngƣời mắc bệnh HIV, cịn phận ngƣời mắc bệnh ta chƣa phát
(85)85
cứu chọn số phần tử đại diện để nghiên cứu, khảo sát từ sở phƣơng pháp suy luận toán học ngƣời ta rút kết luận tính chất cần thiết dấu hiệu hay đặc điểm tập tất đối tƣợng nói chung
Việc thu thập, xếp trình bày số liệu tổng thể mẫu gọi thống kê mơ tả Cịn việc sử dụng thông tin mẫu để tiến hành suy đoán, kết luận tổng thể gọi thống kê suy diễn
Ví dụ 3. Muốn khảo sát chiều cao trung bình niên Việt Nam có tăng lên so với trƣớc hay khơng, ta phải đo chiều cao tất niên Việt Nam Điều làm đƣợc nhƣng rõ ràng tốn nhiều thời gian, tiền bạc, công sức,… Do ta khảo sát khoảng triệu niên từ chiều cao trung bình triệu ngƣời này, ta suy chiều cao trung bình toàn niên Việt Nam
6.2 TỔNG THỂ VÀ MẪU
Tập hợp có phần tử đối tƣợng mang dấu hiệu X mà ta cần nghiên cứu đƣợc gọi tổng thể Số phần tử tập hợp đƣợc gọi kích thước tổng thể, ký hiệu N
Từ tổng thể ta chọn n phần tử n phần tử đƣợc gọi
mẫu có kích thước n (gọi cỡ mẫu) Kích thƣớc mẫu thƣờng nhỏ nhiều so với kích thƣớc tổng thể Từ tổng thể ta lấy nhiều mẫu khác với kích thƣớc n Tập hợp tất mẫu lấy đƣợc từ tổng thể đƣợc gọi không gian mẫu
Ví dụ 1. Ở ví vụ 3, tổng thể tất niên Việt Nam, kích thƣớc mẫu triệu niên Việt Nam
(86)86
Thay nghiên cứu tất phần tử có mặt tổng thể ta chuyển sang nghiên cứu phận tổng thể mẫu, mẫu phải đại diện cách khách quan cho tổng thể Để đảm bảo yêu cầu ngƣời ta đƣa phƣơng pháp chọn mẫu sau
6.3 CÁC PHƢƠNG PHÁP CHỌN MẪU
6.3.1 Phƣơng pháp chọn mẫu có lặp là phƣơng pháp ban đầu
lấy ngẫu nhiên phần tử từ tổng thể nghiên cứu, khảo sát phần tử ghi nhận kết sau trả lại phần tử cho tổng thể tiếp tục chọn phần tử thứ từ tổng thể, nghiên cứu, khảo sát ghi nhận kết quả, trả lại phần tử cho tổng thể, tiếp tục nhƣ chọn đƣợc phần tử thứ n
Cách chọn có ƣu điểm phần tử chọn kết phép thử độc lập, thuận lợi cho việc xét điều kiện định lý tốn học, nhƣng có nhƣợc điểm phần tử mẫu lặp lại làm cho kích thƣớc mẫu giảm khơng thể áp dụng trƣờng hợp trình nghiên cứu phần tử chọn bị phá hủy cấu trúc
6.3.2 Phƣơng pháp chọn mẫu không lặp Từ tập hợp cần nghiên
cứu, rút ngẫu nhiên phần tử, ghi lại đặc số cần thiết từ phần tử khơng trả phần tử tập hợp ban đầu Tiếp tục lấy tiếp ngẫu nhiên lần sau
Ta nhận thấy với kích thƣớc n, số lƣợng mẫu trƣờng hợp lấy mẫu không lặp n
N
A , số lƣợng mẫu trƣờng hợp lặp Nn Khi N lớn nhiều so với n n
N
A Nn sai khác không đáng kể việc lấy mẫu có hồn lại gần giống nhƣ việc lấy mẫu khơng hồn lại
(87)87
6.4 MẪU NGẪU NHIÊN VÀ MẪU CỤ THỂ
Khi nghiên cứu dấu hiệu X, X ĐLNN tuân theo quy luật phân phối xác suất Giả sử ta tiến hành n phép thử (quan sát) độc lập để xác định n giá trị mẫu Gọi Xi ĐLNN ứng với giá trị
sẽ thu đƣợc phép thử thứ i (i 1,n ) Các ĐLNN Xi độc lập với
nhau có phân phối với X, sau thực phép thử Xi nhận
giá trị xi ( i 1, n )
6.4.1 Định nghĩa Một mẫu ngẫu nhiên có kích thƣớc n n đại lƣợng ngẫu nhiên độc lập, có phân phối xác suất với X, đƣợc ký hiệu W = (X1, X2, , Xn)
Thực phép thử W = (X1, X2, , Xn) ta thu
đƣợc mẫu cụ thể (x1, x2, , xn) Nhƣ mẫu cụ thể là giá trị
của mẫu ngẫu nhiên
6.4.2 Các ví dụ
Ví dụ 1. Khảo sát điểm thi mơn Tốn lớp Ta tiến hành quan sát sinh viên Khi dấu hiệu X cần nghiên cứu điểm mơn Tốn sinh viên, X ĐLNN Gọi Xi điểm Toán sinh
viên thứ i (i = 1,…, 5), Xi ĐLNN có phân phối với X
Khi W = (X1, X2, X3, X4, X5 ) mẫu ngẫu nhiên có kích thƣớc
Trong lần quan sát mẫu ngẫu nhiên W, sinh viên thứ đƣợc điểm, sinh viên thứ hai đƣợc điểm, sinh viên thứ ba đƣợc điểm, sinh viên thứ tƣ đƣợc điểm, sinh viên thứ năm đƣợc điểm Khi w = (x1, x2, …, xn) = (5, 7, 4, 6, 5) giá trị cụ thể (hay gọi
là mẫu cụ thể) mẫu ngẫu nhiên W = (X1, X2, X3, X4, X5 ) Ví dụ Gọi X ĐLNN "số sản phẩm làm tổ sản xuất nhà máy A tháng" X1, X2, X3 lần lƣợt ĐLNN
chỉ "sản lƣợng tổ 1, 2, 3"
Khi ta có mẫu ngẫu nhiên kích thƣớc n = W = (X1, X2, X3),
tập wx x x1, 2, 3xiX ,i 1,3i giá trị mẫu ngẫu nhiên
(88)88
Ví dụ 3. Khi nghiên cứu chiều cao cộng đồng ngƣời, gọi X ĐLNN chiều cao Ta chọn ngẫu nhiên 100 ngƣời, gọi Xi
ĐLNN chiều cao ngƣời thứ i (i 1,100 ) Xi ĐLNN, có phân phối với X Khi W = (X1, X2, , X100) mẫu ngẫu
nhiên có kích thƣớc 100 Sau đo đạc rồi, ta xác định đƣợc giá
trị Xi xi (i 1,100 ), n số thực
w = (x1, x2, , x100) mẫu cụ thể
6.5 CÁC PHƢƠNG PHÁP SẮP XẾP MẪU CỤ THỂ
Để nghiên cứu dấu hiệu X từ tổng thể ta rút mẫu ngẫu nhiên có kích thƣớc n W = (X1, X2, , Xn) Trong lần thực phép
thử mẫu ngẫu nhiên W ta đƣợc mẫu cụ thể w = (x1, x2, , xn), để khai
thác thông tin chứa đựng dãy số liệu ta cần xếp số liệu nhằm dễ dàng nhận đặc trƣng dãy số liệu
6.5.1 Sắp xếp theo số tăng dần giảm dần
Trong trƣờng hợp mẫu có kích thƣớc n nhỏ, ngƣời ta thƣờng xếp giá trị mẫu theo số khắc có giá trị tăng dần từ
nhỏ đến lớn hay từ lớn đến nhỏ, dƣới dạng (x1, x2, ., xn)
với x1 x2 xn hay x1 x2 xn
6.5.2 Sắp xếp theo bảng phân phối tần số, tần suất thực nghiệm
6.5.2.1 Bảng phân phối tần số, tần suất thực nghiệm không chia lớp Giả sử n giá trị mẫu cụ thể w = (x1, x2, , xn) có k giá trị
phân biệt, khơng tính tổng quát ta giả thiết k giá trị x1< x2 < < xk, x1 có số lần lặp lại n1, x2 có số lần lặp lại
n2, , xk có số lần lặp lại nk Số ni gọi tần số của giá trị xi
Khi số liệu mẫu cụ thể đƣợc xếp dƣới dạng bảng sau gọi bảng phân phối tần số
Giá trị xi x1 x2 … xk
Tần số ni n1 n2 … nk
(89)89
Giá trị xi x1 x2 … xk
Tần suất fi f1 f2 … fk
trong i i
n
f ( i 1, k)
n
gọi tần suất giá trị xi Bảng gọi
là bảng phân phân phối tần suất
Ví dụ 1. Khảo sát ngẫu nhiên thu nhập 30 ngƣời cơng ty ta có số liệu (đơn vị: triệu đồng/tháng): 2; 3; 4; 2; 5; 4; 6; 3; 6; 6; 5; 7; 2; 4; 8; 9; 10; 8; 9; 8; 8; 7; 5; 6; 3; 3; 9; 5; 7; 10
Sắp xếp số liệu lại ta có bảng phân phối tần số:
xi 10
ni 4 4
Hay bảng phân phối tần suất:
xi 10
fi 3/20 4/20 3/20 4/20 4/20 3/20 4/20 3/20 2/20 6.5.2.2 Bảng phân phối tần số, tần suất thực nghiệm chia lớp Trong trƣờng hợp mẫu có nhiều phần tử, giá trị phần tử chênh lệch khơng nhiều, để thuận tiện cho việc tính tốn ta phân miền giá trị mẫu thành k lớp (có thể chia khơng nhau): [a0, a1), [a1, a2), , [ak, ak+1) khoảng có tần
số tƣơng ứng ni, i 1, k Khi mẫu đƣợc xếp theo bảng sau:
Giá trị xi [a0, a1) [a1, a2) … [ak-1, ak)
Tần số ni n1 n2 … nk
gọi bảng phân phối tần số phân lớp
Khi khoảng, ta thay điểm đại diện, thông thƣờng ngƣời ta lấy điểm khoảng
Từ ta có bảng rút gọn:
Giá trị xi x1 x2 … xk
(90)90 đó: i i
i
a a
x , i 1, k
2
Và từ ta suy đƣợc bảng phân phối tần suất phân lớp:
Giá trị xi [a0, a1) [a1, a2) … [ak-1, ak)
Tần suất ni f1 f2 … fk
và bảng phân phối tần suất phân lớp rút gọn:
Giá trị xi x1 x2 … xk
Tần suất fi f1 f2 … fk
Ví dụ 2. Điều tra Glucoza máu 100 ngƣời, ta thu đƣợc kết nhƣ sau:
Khoảng GLucoza 65-80 80-95 95-110 110-125 125-140 Số ngƣời 16 34 33 Ta có bảng phân phối tần số rút gọn:
Khoảng GLucoza 72,5 87,5 102,5 117,5 132,5
Số ngƣời 16 34 33
6.6 CÁC ĐẶC TRƢNG MẪU
6.6.1 Hàm mẫu (thống kê) Hàm G = G(X1, X2, ., Xn) với
(X1, X2, , Xn) mẫu ngẫu nhiên gọi hàm mẫu hay thống kê
Vì mẫu (X1, X2, ., Xn) ĐLNN nên thống kê
G = G(X1, X2, , Xn) ĐLNN
Với mẫu cụ thể (x1, x2, , xn) mẫu ngẫu nhiên (X1, X2, , Xn)
thì thống kê G = G(X1, X2, ., Xn) có giá trị g = G(x1, x2, , xn)
Phân phối xác suất thống kê G(X1, X2, , Xn) phụ thuộc vào
phân phối xác suất ĐLNN X tổng thể
6.6.2 Trung bình mẫu, phƣơng sai mẫu, phƣơng sai mẫu điều chỉnh
(91)91
a Định nghĩa Cho mẫu ngẫu nhiên W = (X1, X2, ., Xn) ĐLNN X, thống kê n i
i=1
X X
n
gọi trung bình mẫu hay kỳ
vọng mẫu của X
Giả sử mẫu cụ thể (x1, x2, , xn) giá trị mẫu ngẫu nhiên
(X1, X2, , Xn), thống kê
n i i=1
X X
n
có giá trị tƣơng ứng là: n i
i=1
x x
n
b Cách tính giá trị trung bình mẫu
Giả sử số liệu mẫu cụ thể (x1, x2, , xn) đƣợc xếp dƣới
dạng bảng phân phối tần số:
Giá trị xi x1 x2 … xk
Tần số ni n1 n2 … nk
trong k
i k
i
n n n n n
Khi trung bình mẫu (kỳ vọng mẫu) đƣợc xác định nhƣ sau: k
i i i 1
x n x
n
6.6.1.2 Phương sai mẫu
a Định nghĩa Cho mẫu ngẫu nhiên W = (X1, X2, ., Xn) ĐLNN X, thống kê
n 2 n
2
2
i i
i =1 i =1
1
S X -X = X X
n n
đƣợc gọi
là phương sai mẫu X
Giả sử mẫu cụ thể (x1, x2, , xn) giá trị mẫu ngẫu nhiên
(X1, X2, , Xn), thống kê S2cũng có giá trị tƣơng ứng
là:
n 2 n
2
2
i i
i =1 i =1
1
s x -x = x x
n n
(92)92
Giả sử số liệu mẫu cụ thể (x1, x2, , xn) đƣợc xếp dƣới
dạng bảng phân phối tần số:
Giá trị xi x1 x2 … xk
Tần số ni n1 n2 … nk
trong k i 1 2 k
i
n n n n n
Khi phƣơng sai mẫu đƣợc xác định nhƣ sau: k
2
2
i i i 1
s n x x
n
6.6.1.3 Phương sai mẫu điều chỉnh
Cho mẫu ngẫu nhiên W = (X1, X2, ., Xn) ĐLNN X,
thống kê n i 2 i =1
1
S X X
n
đƣợc gọi là phương sai mẫu điều chỉnh.
Với mẫu cụ thể, thống kê S2có giá trị
n 2
2
i i =1
s x x
n
Ta tính s2 theo cơng thức: n
s s
n
Thống kê
S = S gọi độ lệch tiêu chuẩn mẫu
Thống kê S S2 gọi độ lệch tiêu chuẩn mẫu điều chỉnh Ví dụ Số xe bán đƣợc tuần đại lý 45 đại lý, cho bảng sau:
Số xe bán đƣợc tuần (xi)
Số đại lý bán (ni) 15 12
Gọi X số xe bán đƣợc tuần Tính số xe bán đƣợc trung bình mẫu phƣơng sai mẫu
Giải: Ta có
i i
n n 45
(93)93
i i i 1
x n x
n
1.15 2.12 3.9 4.5 5.3 6.1 2,378 45
Phƣơng sai mẫu là:
6
2
2
i i i 1
s n x x
n
2 2 2
15.1 12.2 9.3 5.4 3.5 1.6 2,38 1,791 45
Ví dụ 2. Xét kết điều tra Glucoza máu 100 ngƣời ví dụ 2, mục 6.5 Gọi X lƣợng Glocoza máu Tính lƣợng Glucoza trung bình mẫu bình phƣơng độ lệch mẫu
xi ni xini x n2i i
72,5 16 1160.00 84100.00 87,5 34 2975.00 260312.50 102,5 33 3382.50 346706.25 117,5 1057.50 124256.25 132,5 1060.00 140450.00 Tổng 100 9635.00 955825.00
Giải: Trung bình mẫu là:
5 i i i
1 9635
x n x 96,35
n 100
Phƣơng sai mẫu là:
2
2 2
i i i
1 955825
s n x x (96,35) 274,928
n 100
6.7 LUẬT PHÂN PHỐI CỦA CÁC ĐẶC TRƢNG MẪU
Trên tổng thể , cho ĐLNN gốc X có kỳ vọng E(X) = phƣơng sai D(X) = 2 Cho mẫu ngẫu nhiên (X
1, X2, , Xn), dựa vào
kỳ vọng phƣơng sai đặc trƣng mẫu, dựa vào tính chất phân phối chuẩn, phân phối bình phƣơng, phân phối Student dựa vào định lý giới hạn, ta suy phân phối đặc trƣng mẫu sau đây:
(94)94
Định lý Nếu ĐLNN X có phân phối chuẩn N(, 2) (X1, X2, , Xn) mẫu ngẫu nhiên thì:
n
2
i
i 1
(X ) (n)
2
2 n
S (n 1)
6.7.2 Phân phối trung bình mẫu
Vì quy luật phân phối xác suất X phụ thuộc vào kích thƣớc mẫu n mẫu ngẫu nhiên (X1, X2, , Xn) phƣơng sai tổng thể
D(X) = 2 biết hay chƣa biết nên ta chia thành trƣờng hợp sau: 6.7.2.1 Trường hợp n > 30, phương sai 2 biết
Theo kết định lý giới hạn trung tâm, kích thƣớc mẫu n > 30, trung bình mẫu X xấp xỉ phân phối chuẩn
2 N( , )
n
Do ta có:
X
Z n N(0,1)
6.7.2.2 Trường hợp n 30, X N(, 2), phương sai 2 biết
Vì X N(, 2) nên ĐLNN mẫu ngẫu nhiên (X1, X2, , Xn) có phân phối chuẩn, có nghĩa Xi N(, 2),
i1, n Do đó:
2 X N( , )
n
hay Z X n N(0,1)
6.7.2.3 Trường hợp n > 30, phương sai 2 chưa biết Khi n > 30, ta xấp xỉ S , đó:
X X
Z n n N(0,1)
S S
6.7.2.4 Trường hợp n 30, X N(, 2), phương sai 2 chưa biết Nếu X N(, 2) ĐLNN Z X n T(n 1)
S
có phân
(95)95
BÀI TẬP CHƢƠNG
Bài 6.1. Hãy tính trung bình mẫu, phƣơng sai mẫu, độ lệch chuẩn mẫu mẫu cụ thể chi bảng dƣới đây:
a
xi - 2 ni 2 2
b
xi 12 ni 10
c
xi 12 13 15 17 18 20
ni 4
d
xi 21 24 25 26 28 32 34
ni 10 20 30 15 10 10 e
xi 3,0 3,5 3,8 4,4 4,5
ni
f
xi 18,6 19,0 19,4 19,8 20,2 20,6
ni 30 40 18
g
xi 65 70 75 80 85
ni 25 15
Đ/s: a x = 2; s2
(96)96 g x = 76,2; s2 = 18,56; s = 4,352
Bài 6.2. Cho kết đo đạc ĐLNN X máy khơng có sai số hệ thống: 396, 378, 315, 420, 385, 401, 372, 383 Tính trung bình mẫu, phƣơng sai mẫu độ lệch tiêu chuẩn điều chỉnh
Đ/s: x = 381,25; s2
= 826,438; s = 30,733
Bài 6.3 Đo chiều cao 100 sinh viên trƣờng đại học
ngƣời ta thu đƣợc bảng số liệu sau:
Chiều cao (cm) Số sinh viên
154-158 10
158-162 14
162-166 26
166-170 28
170-174
174-178
178-182 12
Tính chiều cao trung bình độ lệch tiêu chuẩn điều chỉnh chiều cao qua mẫu nói
Đ/s: x = 166,56; s = 6,763
Bài 6.4. Các kết việc đo độ bền sợi ta thu đƣợc bảng số liệu sau dƣới đây:
Độ bền sợi Số sợi
120-140
140-160
160-180 10
180-200 14
200-220 12
220-240
240-260
(97)97
Tính độ bền trung bình mẫu, phƣơng sai mẫu độ lệch chuẩn mẫu mẫu nói
Đ/s: x = 195,2; s2 = 812,96 ; s = 28,513
Bài 6.5 Để xác định độ xác cân tạ khơng
có sai số hệ thống, ngƣời ta tiến hành cân lần cân độc lập (cùng vật), kết nhƣ sau: 94,1; 94,8; 96,0; 95,4; 95,2 (kg) Xác định trung bình mẫu, phƣơng sai mẫu độ lệch chuẩn mẫu mẫu
Bài 6.6 Lấy ngẫu nhiên 100 niên tỉnh đem đo
chiều cao ta thu đƣợc số liệu sau:
Chiều cao (cm) Số niên (ni)
154-158 10
158-162 14
162-166 26
166-170 28
170-174 12
174-178
178-182
Gọi X chiều cao niên Hãy xác định trung bình mẫu, phƣơng sai mẫu
Bài 6.7. Để điều tra suất lúa huyện đó, ta gặt ngẫu nhiên 365 điểm trồng lúa huyện thu đƣợc kết sau:
Năng suất
(tạ/ha) 25 30 33 34 35 36 37 39 40 Điểm gặt (ni) 13 38 74 106 85 30 10
Gọi X suất lúa canh tác Hãy xác định suất trung bình, độ phân tán suất
(98)98
Doanh thu (triệu đồng/ngày) Số cửa hàng
10 – 12
12 – 14
14 – 16
16 – 18
18 – 20
Hãy xác định trung bình mẫu độ lệch tiêu chuẩn mẫu điều chỉnh
Bài 6.9. Để nghiên cứu tuổi thọ loại bóng đèn, ngƣời ta thắp thử 100 bóng có số liệu sau:
Tuổi thọ (giờ) Số bóng tƣơng ứng
1010 – 1030
1030 – 1050
1050 – 1070
1070 – 1090 13
1090 – 1110 25
1110 – 1130 20
1130 – 1150 12
1150 – 1170 10
1170 – 1190
1190 – 1210
Sau cải tiến kỹ thuật ngƣời ta thắp thử 100 bóng, kết thu đƣợc nhƣ sau:
Tuổi thọ
(giờ) 1150 1160 1170 1180 1190 1200 Số bóng
tƣơng ứng 10 15 20 30 15 10
(99)99 Chƣơng
BÀI TOÁN ƢỚC LƢỢNG THAM SỐ
7.1 KHÁI NIỆM ƢỚC LƢỢNG Khi nghiên cứu đặc tính X
mỗi phần tử tổng thể, xác định đƣợc quy luật xác suất X việc đƣa đánh giá nhƣ dự báo biến động tổng thể liên quan đến đặc tính xác khách quan Tuy nhiên, khơng phải lúc xác định đƣợc quy luật xác suất X Trong số trƣờng hợp, biết đƣợc dạng toán học hàm phân phối hàm mật độ ĐLNN X mà chƣa biết tham số có mặt chúng Vì vậy, để xác định quy luật xác suất X, trƣớc hết ta phải đánh giá tham số
Trên thực tế, tham số tổng thể nhƣ: kỳ vọng = E(X), phƣơng sai 2
= D(X), độ lêch chuẩn (X), tỷ lệ xác suất p khơng biết, ta khảo sát hết tất phần tử tổng thể Tuy nhiên, nhiều toán cần phải ƣớc lƣợng chúng Việc ƣớc lƣợng tham số dựa vào mẫu thống kê (X1, X2, , Xn)
đƣợc gọi Bài toán ước lượng tham số
Giả sử tham số tổng thể ( kỳ vọng
= E(X), phƣơng sai 2 = D(X), độ lêch chuẩn (X), tỷ lệ xác suất p ) Khi mẫu (X1, X2, , Xn) ta cần xác định đại
lƣợng gần , hay khoảng (a, b) mà
P(a b) , xác suất cho trƣớc gọi độ tin cậy,
đủ lớn ( 1)
Nếu ƣớc lƣợng giá trị gần gọi ƣớc lƣợng điểm , cịn tìm khoảng (a, b) để P(a b) , (a, b) đƣợc gọi ƣớc lƣợng khoảng tin cậy với độ tin cậy
7.2 HÀM ƢỚC LƢỢNG VÀ PHƢƠNG PHÁP ƢỚC LƢỢNG ĐIỂM
Do đƣợc tính dựa vào mẫu (X1, X2, , Xn) nên phải giá trị thống kê G(X1, X2, , Xn), thống kê đƣợc gọi hàm
(100)100
= G(X1, X2, , Xn) đƣợc dùng để ƣớc lƣợng Tất nhiên ƣớc lƣợng cần phải thỏa mãn số tiêu chuẩn
Có nhiều hàm ƣớc lƣợng = G(X1, X2, , Xn) tham số khác Tuy nhiên hàm ƣớc lƣợng đƣợc coi tốt thỏa mãn tiêu chuẩn đƣợc định nghĩa sau
7.2.1 Ƣớc lƣợng không chệch
Thống kê G(X , X , , X )1 2 n đƣợc gọi ước lượng không
chệch tham số E( )
Thống kê G(X , X , , X )1 n đƣợc gọi ước lượng chệch tham số E( )
Ví dụ 1. Giả sử dấu hiệu X tổng thể ĐLNN có kỳ vọng E(X) = , phƣơng sai D(X) = 2 (X ,X , ,X )1 2 n mẫu ngẫu nhiên Khi ta có:
i) Thống kê
n i i 1 X X n
ƣớc lƣợng không chệch
ii) Thống kê
n 2
2
i i =1
S X -X
n
ƣớc lƣợng chệch 2
iii) Thống kê
n 2
2
i i =1
S X X
n
ƣớc lƣợng không
chệch 2
Giải. i)
n n n
i i
i i i
1 1
E(X) E X E(X )
n n n
Vậy X
một ƣớc lƣợng khơng chệch
ii) Ta có:
n 2 n 2
2
i i
i =1 i =1
1
S X X (X μ) (X μ)
n n
n n n
2
2
i i
i =1 i =1 i =1
1
S X μ 2(X μ) X μ (X μ)
n
n n n
2
2
i i
i =1 i =1 i =1
1 1
S X μ (X μ) X μ (X μ)
n n n
(101)101
n n n
2
2
i i
i =1 i =1 i =1
1 1
S X μ 2(X μ) X μ n(X μ)
n n n n
n 2 i i =1
1 1
S X μ 2(X μ) X nμ n(X μ)
n n n
n 2 i i =1
S X μ (X μ)
n Dođó: n n 2
2 2
i i
i =1 i =1
1
E(S ) E X μ (X μ) E X μ E(X μ)
n n
n n n
i
i =1 i =1 i =1
1 1
D(X ) D(X) D(X) D(X)
n n n
n 2 i i =1
1 D(X) n
D(X ) D(X) D(X) σ σ
n n n
Vậy S2
ƣớc lƣợng chệch
iii) Vì S2 n S2 E(S )2 E n S2 n E(S )2
n n n
Vậy S2là ƣớc lƣợng không chệch
7.2.2 Ƣớc lƣợng vững
Thống kê G(X , X , , X )1 2 n đƣợc gọi ƣớc lƣợng vững tham số với > cho trƣớc, ta có:
n
lim P
Ví dụ 1) Giả sử dấu hiệu X tổng thể ĐLNN có kỳ vọng E(X) = , phƣơng sai D(X) = 2 (X ,X , ,X )1 2 n mẫu ngẫu nhiên Khi ta có, thống kê n i
i 1
X X
n
ƣớc lƣợng vững
(102)102
2
P X
n
mà
2 n
lim
n
nên nlim P X Vậy
n i i 1
X X
n
ƣớc lƣợng vững
2) Xét dãy n phép thử độc lập, xác suất xuất biến cố A phép thử p = P(A) Gọi nA số lần xuất A n phép
thử, tần suất fn(A) = A
n
n ƣớc lƣợng vững p = p(A) Khẳng định đƣợc suy từ Định lý Bernoulli
7.3 PHƢƠNG PHÁP ƢỚC LƢỢNG KHOẢNG 7.3.1 Mở đầu
Ƣớc lƣợng điểm dù tốt cho ta giá trị tập vơ hạn nên ta khơng biết đƣợc độ xác nhƣ độ tin cậy ƣớc lƣợng, không đánh giá đƣợc mức độ sai lầm dùng
thay cho
Để khắc phục hạn chế ngƣời ta đƣa khái niệm ƣớc lƣợng khoảng tin cậy cho tham số , theo nghĩa dựa vào thống kê
1 n
G(X , X , , X )
xác suất cho trƣớc , tìm khoảng (a, b) cho:
P(a b) đó:
+ Xác suất gọi độ tin cậy ước lượng
+ Xác suất = 1- gọi mức ý nghĩa, đánh giá mức độ sai lầm ƣớc lƣợng
+ Khoảng (a, b) gọi khoảng tin cậy (khoảng ước lượng) + b – a = 2 gọi độ dài khoảng tin cậy
+ gọi độ xác ước lượng.
Bây ta xét cụ thể tốn tìm khoảng tin cậy cho tham số
(103)103
7.3.2 Ƣớc lƣợng khoảng tin cậy cho tỷ lệ tổng thể
Tiến hành dãy n phép thử độc lập có tần suất xuất biến cố A fn =fn(A) =
m
n Với độ tin cậy cho, tìm khoảng tin cậy đối xứng (p1, p2) p = P(A) chƣa biết cho: P(p1 p p )2
Khi n đủ lớn thống kê fn N p,p(1 p) n
hay
n
f p
Z n N(0,1)
p(1 p)
Vì p chƣa biết (chúng ta cố gắng ƣớc lƣợng nó) nên độ lệch chuẩn p(1 p)
n
ta đƣợc Tuy nhiên với số điều kiện (thƣờng n 100) ta xấp xỉ p fn Do đó:
n
n n
f p
Z n N(0,1)
f (1 f )
Do ta ln tìm đƣợc giá trị phân vị
2
Usao cho:
n n
2
n n n n
f p f p
P n U P n U
f (1 f ) f (1 f )
n
2 n n
f p
P U n U
f (1 f )
n n n n
n n
2
f (1 f ) f (1 f )
P f U p f U
n n
Do n n n n
n n
2
f (1 f ) f (1 f )
f U p f U
n n
khoảng
tin cậy đối xứng cho tỷ lệ tổng thể p
(104)104
Giải. Gọi B biến cố cử tri bỏ phiếu cho ứng viên A; p = p(B) tỷ lệ cử tri bỏ phiếu cho ứng viên A
Trong mẫu cụ thể 1600 cử tri có 960 ngƣời bỏ phiếu cho ứng viên A nên tỷ lệ mẫu là: f1600(B) = f =
960 0,6 1600 Với độ tin cậy = 99% = 0,99 0,005
2
U U 2,57 Độ xác ƣớc lƣợng 2,57 0, 6.0, 0, 032
1600
Vậy với độ tin cậy 99%, khoảng tin cậy cho tỷ lệ p phiếu bầu cho ứng viên A là:
(0,6 – 0,032; 0,6 + 0,032) = (0,568; 0,632)
2) Để ƣớc lƣợng số hải cẩu đảo ngƣời ta đánh dấu cho 2000 Sau thời gian bắt lại 400 thấy có 80 có đánh dấu Hãy ƣớc lƣợng số hải cẩu có đảo với độ tin cậy 95%
Giải. Gọi p tỷ lệ hải cẩu có đánh dấu đảo Tỷ lệ mẫu f = 80/400 = 0,2
Với độ tin cậy = 95%, ta có 0,025
U U 1,96 Độ xác ƣớc lƣợng 1,96 0, 2.0,8 0,039
400
Khoảng tin cậy cho tỷ lệ số hải cẩu có đánh dấu đảo là: (0,2 – 0,039; 0,2 + 0,039) = (0,161; 0,239)
Gọi số hải cẩu có đảo N, p = 2000
N , nên ta có:
2000 2000 2000
0,161 0, 239 N 8368 N 12422
N 0, 239 0,161
7.3.3 Ƣớc lƣợng khoảng tin cậy cho kỳ vọng (trung bình) tổng thể
Giả sử tổng thể ĐLNN X có tham số kỳ vọng = E(X) chƣa biết, phƣơng sai tổng thể 2 = D(X) biết chƣa biết
(105)105
tin cậy = - cho trƣớc, tìm khoảng tin cậy đối xứng (1, 2)
sao cho: P( 1 2)
Để ƣớc lƣợng trung bình tổng thể cần biết quy luật phân phối trung bình mẫu X , mà quy luật phân phối X lại phụ thuộc vào kích thƣớc mẫu n phƣơng sai tổng thể 2, nên ta
xét trƣờng hợp sau:
7.3.3.1 Kích thước mẫu n > 30, 2 biết Nhƣ ta biết, Z X n N(0,1)
, nên với độ tin cậy = - , ta tìm đƣợc phân vị
2
Usao cho:
2 X
P n U 1
2
P X U X U
n n
Với mẫu cụ thể (x1, x2, , xn) khoảng tin cậy cho kỳ vọng với độ tin cậy γ = - là: α α
2
σ σ
x U ;x + U
n n
Ví dụ Khảo sát thu nhập 100 nhân viên làm việc công ty thu đƣợc kết sau:
Thu nhập (triệu đồng/tháng Số ngƣời 12 17 16 24 16 Biết thu nhập nhân viên ĐLNN có độ lệch chuẩn
= 200 nghìn đồng Hãy ƣớc lƣợng thu nhập trung bình nhân viên làm việc công ty với độ tin cậy 95%
Giải. Gọi thu nhập trung bình nhân viên + Trung bình mẫu:
1
x (1.2 2.5 3.8 4.12 5.17 6.16 7.24 8.16) 5,61 100
(106)106
+ Với độ tin cậy γ = – α = 95%, ta suy α
U = U0,025 = 1,96
+ Độ xác ƣớc lƣợng:
2
0,
U 1,96 0,039
n 100
+ Khoảng tin cậy thu nhập trung bình nhân viên công ty là: (5,61 – 0,039; 5,61 + 0,039) = (5,571; 5,649)
Ví dụ 3. Để xác định chiều cao trung bình bạch đàn khu rừng, ta tiến hành đo ngẫu nhiên 350 Kết thu đƣợc nhƣ sau:
Khoảng chiều cao
(m)
6,5-7,0 7,0-7,5 7,5-8,0 8,0-8,5 8,5-9,0 9,0-9,5
Số 20 40 100 110 50 30
Với độ tin cậy 95%, ta nói chiều cao trung bình bạch đàn thuộc khu rừng nằm khoảng nào? Giả sử độ lệch chuẩn ĐLNN chiều cao bạch đàn 0,64
Giải: Gọi chiều cao trung bình bạch đàn khu rừng
Ta có: n = 35; = 0,64; x8,064; γ 0,95 ; U0,025 1,96
Do khoảng ƣớc lƣợng chiều cao trung bình bạch đàn với độ tin cậy 95% là:
α α
2
σ σ
x U ;x + U 7,997 ; 8,131
n n
7.3.3.2 Kích thước mẫu n 30, 2 biết, X có phân phối chuẩn Trƣờng hợp tƣơng tự nhƣ trƣờng hợp 7.3.3.1. Vì
X
Z n N(0,1)
, khoảng tin cậy cho kỳ vọng với độ
tin cậy γ = - là:
α α
2
σ σ
x U ;x + U
n n
(107)107
Vì n > 30 lớn nên ta xấp xỉ S , trƣờng hợp ta thay S Khi khoảng tin cậy là:
α α
2
S S
X U ; X + U
n n
hay α α
2
S S
X U ; X + U
n-1 n-1
Với mẫu cụ thể (x1, x2, , xn) khoảng tin cậy cho kỳ vọng với
độ tin cậy γ = - là: α α
2
s s
x U ;x + U
n n
hay α α
2
s s
x U ;x + U
n-1 n-1
7.3.3.4 Kích thước mẫu n 30, 2 chưa biết, X có phân phối chuẩn Vì X có phân phối chuẩn nên Z X n X n T(n 1)
S S
Do đó, với độ tin cậy = - , tìm đƣợc giá trị phân vị
t (n 1) cho:
2 X
P n t (n 1)
S 2 S S
P X t (n 1) X t (n 1)
n n
Vậy với mẫu cụ thể (x1, x2, , xn) khoảng tin cậy kỳ vọng
= E(X) với độ tin cậy γ = - là:
2
s s
x t (n 1) ; x t (n 1)
n n
2 s s
x t (n 1) ; x t (n 1)
(108)108 đó:
2
t (n 1) đƣợc xác định từ bảng giá trị phân vị hàm phân phối Student với n – bậc tự
Ví dụ 4. Xét ví dụ 3, với giả thiết độ lệch tiêu chuẩn chƣa biết, X có phân phối chuẩn Tìm khoảng ƣớc lƣợng chiều cao trung bình bạch đàn với độ tin cậy 95%
Giải: Ta có: x= 8,064; s2 = 0,401; s = 0,633; n = 350 γ 0,95 α α 0,95 0,05
0,025
1 0,05
U 0, 475
2
, tra bảng hàm La – pla – ce ta đƣợc 0,025
U 1,96
Vì n = 350 > 30, D(X) chƣa biết X có phân phối chuẩn nên áp dụng trƣờng hợp 7.3.3.3 ta có:
Khoảng ƣớc lƣợng chiều cao trung bình bạch đàn với độ
tin cậy 95% là: α α
2
s s
x U ;x + U
n n
0, 633 0, 633
8, 061 1,96 ; 8, 061 1,96 7,998 ; 8,131
349 349
Ví dụ Số liệu thống kê doanh số bán siêu thị số ngày cho bảng sau:
Doanh số
(triệu đồng/ngày) 24 30 36 42 48 54 60 65 70 Số ngày 12 25 35 24 15 12 10 a) Ƣớc lƣợng doanh số bán trung bình ngày siêu thị với độ tin cậy 98%
b) Những ngày có doanh số bán từ 60 triệu đồng trở lên ngày bán đắt hàng Hãy ƣớc lƣợng doanh số bán trung bình ngày "bán đắt hàng" siêu thị với độ tin cậy 95% (giả thiết doanh số bán ngày bán đắt hàng ĐLNN có phân phối chuẩn)
Giải.
(109)109
Từ mẫu ta tính đƣợc: x 45,847 ; s11,534 Với độ tin cậy 98%, ta có: 0,01
2
U U 2,33
Do khoảng tin cậy với độ tin cậy 98% là:
α α
2
s s
x U ;x + U
n n
11,534 11,534
45,847 2,33 ; 45,847 2,33 (43,607; 48,087)
144 144
b) Gọi c doanh số bán trung bình ngày bán đắt hàng siêu thị
Doanh số (triệu đồng/ngày) 60 65 70
Số ngày 12 10
Từ bảng ta tính đƣợc: xc 1790 63,929, 28
sc 3,934
Với độ tin cậy 95% ta có 0,25
t (n 1) t (27)2,052
Vì n = 28 < 30, X ĐLNN có phân phối chuẩn nên, khoảng tin cậy doanh số bán trung bình ngày bán đắt hàng siêu thị là:
c c
c c
2 c c
s s
x t (n 1) ; x t (n 1)
n n
3,934 3,934
63,929 2,052 ;63,929 2,052 (62, 424;65, 435)
28 28
7.3.4 Ƣớc lƣợng phƣơng sai
Trên tổng thể , cho ĐLNN X có phân phối chuẩn N(, 2), với phƣơng sai tổng thể D(X) = 2
chƣa biết, kỳ vọng tổng thể
E(X) = biết chƣa biết Từ mẫu kích thƣớc n (X1, X2, , Xn) độ tin cậy γ = – α cho trƣớc, tìm khoảng tin cậy
đối xứng 2 1;
cho:
2 2
1
(110)110
Để giải toán trên, ta xét hai trƣờng hợp sau:
7.3.4.1 Trường hợp biết trung bình tổng thể = 0
Giả sử (X1, X2, , Xn) mẫu ngẫu nhiên, ta có:
n
2 2
i
i 1
(X ) (n)
Với độ tin cậy = - cho trƣớc, ta tìm đƣợc giá trị phân vị 2 (n); 2 (n)
cho: n
2 2
i i 2
P (n) (X ) (n) 1
2 2
2 2
2 2
1
2
1
2
1 nS nS
P (n) nS (n) P
(n) (n)
Vậy khoảng tin cậy 2
với độ tin cậy = - là:
2 2 2 2 nS nS (n) (n)
trong đó: S2 phƣơng sai mẫu
2
1
2
(n); (n)
tra từ bảng phân phối2 với n bậc tự
7.3.4.2 Trường hợp chưa biết trung bình tổng thể = 0 Tƣơng tự nhƣ trên, ta có thống kê 2
2 n
S (n 1)
Do
với độ tin cậy = - cho trƣớc, ta tìm đƣợc giá trị phân vị
2
(n 1),
1
(n 1)
cho: 2 2 2 nS
P (n 1) (n 1) 1
(111)111 2 2 2 nS nS P
(n 1) (n 1)
Vậy khoảng tin cậy 2 với độ tin cậy = - là:
2 2 2 2 nS nS
(n 1) (n 1)
trong đó: S2 phƣơng sai mẫu
2
1
2
(n 1); (n 1)
tra từ bảng phân phối2 với n bậc tự
Ví dụ 6. Để khảo sát tiêu X loại sản phẩm, ngƣời ta quan sát mẫu có kết sau:
X (cm) 11-15) 15-19 19-23 23-27 27-31 31-35 35-39
Số sp ni 20 16 16 13 18
Giả sử X có phân phối chuẩn Hãy ƣớc lƣợng phƣơng sai X với độ tin cậy γ = 90%
Giải: Ta có n – = 99 100; X = 26,36 (cm); s2 = 55,4304 (cm2)
Tra bảng phân phối bình phƣơng
2 2
(n 1) (99) (100)
bậc tự do, ta đƣợc:
2 2
0,05 0,95
1
2
(n 1) (100) 124,324; (n 1) (100) 77,93
Vậy khoảng ƣớc lƣợng phƣơng sai là:
2 2 2 n.s n.s ;
(n 1) (n 1)
100 55, 4304 100 55, 4304
; 44,585 ; 71,128
124,324 77,93
(112)112
BÀI TẬP CHƢƠNG
Bài 7.1 Hãy ƣớc lƣợng tỷ lệ phẩm nhà máy
khoảng tin cậy đối xứng với độ tin cậy 0,95 biết kiểm tra 100 sản phẩm nhà máy thấy có 10 phế phẩm
Đ/s: (0,841; 0,959)
Bài 7.2. Bằng khoảng tin cậy đối xứng ƣớc lƣợng tỷ lệ hạt nảy mầm với độ tin cậy 95% sở kết thực nghiệm: gieo 1000 hạt, có 860 hạt nảy mầm
Đ/s: (0,86; 0,882)
Bài 7.3. Mở thử 200 hộp kho đồ hộp, ngƣời ta thấy có hộp bị biến chất Với độ tin cậy 0,97 ƣớc lƣợng khoảng tỷ lệ đồ hộp bị biến chất kho
Đ/s: (0,009; 0,07)
Bài 7.4. Trƣớc ngày bầu cử khối trƣởng khối dân cƣ, thăm dò dƣ luận đƣợc tiến hành Ngƣời ta chọn ngẫu nhiên 100 ngƣời để hỏi ý kiến có 60 ngƣời nói họ bỏ phiếu cho ơng A Tìm khoảng tin cậy cho tỷ lệ ngƣời bỏ phiếu cho ông A với độ tin cậy 90%
Đ/s: (0,52; 0,68)
Bài 7.5 Trong mẫu ngẫu nhiên gồm 200 ngƣời dùng xe máy,
có 162 ngƣời dùng xe máy 100 phân khối trở lên Tìm khoảng tin cậy với mức tin cậy 95% cho tỷ lệ ngƣời dùng xe lớn 100 phân phối
Đ/s: (75,5%; 86,5%)
Bài 7.6. Điều tra suất lúa diện tích 100 trồng lúa vùng, ngƣời ta thu đƣợc bảng số liệu sau:
Năng suất (tạ/ha) 41 44 45 46 48 52 54 Diện tích 10 20 30 15 10 10
a Tìm ƣớc lƣợng khơng chệch suất lúa trung bình vùng
(113)113
Đ/s: a
46 s 10,8
x ; b (45,35; 46,69)
Bài 7.7. Đo chiều dài 25 chi tiết máy máy sản xuất, với phƣơng sai 2
= 100 cm2, x100 cm Giả sử chiều dài tuân
theo quy luật phân phối chuẩn Hãy tìm khoảng tin cậy chiều dài loại chi tiết với độ tin cậy 99%
Đ/s: (94,86; 105,14)
Bài 7.8. Để xác định trọng lƣợng trung bình bao bột kho, ngƣời ta đem cân ngẫu nhiên 15 bao kho tìm
đƣợc
39,8 ; s 0, 414
x kg Hãy tìm khoảng ƣớc lƣợng
trọng lƣợng trung bình bao bột kho với độ tin cậy 99% Giả thiết trọng lƣợng đóng bao bao bột ĐLNN có phân phối chuẩn
Đ/s: (39,288; 40,312)
Bài 7.9 Cân thử 25 bao gạo, ngƣời ta tính đƣợc trọng lƣợng
trung bình bao gạo x40 kg, độ lệch tiêu chuẩn điều chỉnh mẫu s = kg Với độ tin cậy 95%, tìm ƣớc lƣợng khoảng cho trọng lƣợng trung bình bao gạo, biết trọng lƣợng bao gạo ĐLNN tuân theo quy luật phân phối chuẩn
Bài 7.10. Điểm trung bình mơn XSTK sinh viên trƣờng Đại học A biến ngẫu nhiên có độ lệch chuẩn 0,26 điểm Khảo sát ngẫu nhiên 100 sinh viên trƣờng thấy điểm trung bình mơn XSTK 5,12 điểm Hãy ƣớc lƣợng khoảng điểm trung bình mơn XSTK sinh viên trƣờng A với độ tin cậy 98%?
Đ/s: (5,06 ; 5,18)
Bài 7.11. Để ƣớc lƣợng chiều dài trung bình vật liệu nhà máy sản xuất, ngƣời ta tiến hành đo thu đƣợc kết sau: 2,015; 2,025; 2,015; 2,020; 2,015 (mm) Hãy ƣớc lƣợng chiều dày trung bình vật liệu nhà máy sản xuất với độ tin cậy 95% Biết chiều dày vật liệu ĐLNN tuân theo quy luật phân phối chuẩn
(114)114
Bài 7.12. Đo đƣờng kính 20 chi tiết máy tiện sản xuất ra, ta có số liệu nhƣ sau:
Đƣờng kính (mm) Số chi tiết máy
247
248
249
250
251
252
253
255
256
257
258
259
Giả sử đƣờng kính đại lƣợng ngẫu nhiên tuân theo quy luật phân phối chuẩn Hãy xác định khoảng ƣớc lƣợng đƣờng kính trung bình với độ tin cậy 95%
Đ/s: Khoảng ƣớc lƣợng (250,036; 253,363)
Bài 7.13 Để định mức thời gian gia công chi tiết máy, ngƣời
ta theo dõi ngẫu nhiên trình gia cơng ngẫu nhiên 25 chi tiết thu đƣợc số liệu sau:
Thời gian gia công (phút) Số chi tiết tƣơng ứng
15 – 17
17 – 19
19 – 21
21 – 23 12
23 – 25
25 – 27
(115)115
Bài 7.14. Để xác định giá trị trung bình loại hàng hóa thị trƣờng, ngƣời ta điều tra ngẫu nhiên 100 cửa hàng địa bàn thành phố thu đƣợc số liệu sau đây:
Giá (ngàn đồng) 83 85 87 89 91 93 95 97 99 101 Số cửa hàng 12 15 30 10
Với độ tin cậy 95% ƣớc lƣợng khoảng giá trị trung bình loại hàng hóa
Đ/s: (89,903; 91,537)
Bài 7.15. Trọng lƣợng loại sản phẩm biến ngẫu nhiên phân phối theo quy luật chuẩn với độ lệch chuẩn gam Cân thử 25 sản phẩm ta thu đƣợc kết sau:
Trọng lƣợng (gam) 18 19 20 21 Số sản phẩm 15
Với độ tin cậy 97% tìm khoảng ƣớc lƣợng trọng lƣợng trung bình loại sản phẩm nói
Đ/s: (19,206; 20,074)
Bài 7.16. Để xác định kích thƣớc trung bình chi tiết nhà máy sản xuất ngƣời ta lấy ngẫu nhiên 200 chi tiết để đo kích thƣớc thu đƣợc bảng sau:
Kích thƣớc chi tiết (cm) Số chi tiết tƣơng ứng
54,795 – 54,805
54,805 – 54,815 14
54,815 – 54,825 33
54,825 – 54,835 47
54,835 – 54,845 45
54,845 – 54,855 33
54,855 – 54,865 15
54,865 – 54,875
(116)116 Đ/s: (54,833; 54,837)
Bài 7.17. Đo đƣờng kính 100 trục máy nhà máy sản xuất đƣợc bảng số liệu:
Đƣờng kính (cm) 9,75 9,8 9,85 9,9
Số trục máy 37 42 16
Hãy ƣớc lƣợng khoảng giá trị trung bình đƣờng kính trục máy với độ tin cậy 97%?
Đ/s: (9,826; 9,843)
Bài 7.18. Giả sử chiều dài loại sản phẩm biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn Đo ngẫu nhiên 10 sản phẩm đƣợc chiều dài trung bình 10,02m độ lệch chuẩn mẫu chƣa hiệu chỉnh 0,04m Tìm khoảng ƣớc lƣợng trung bình chiều dài loại sản phẩm với độ tin cậy 95%?
Đ/s: (9,99;10,050)
Bài 7.19. Năng suất lúa vùng A biến ngẫu nhiên Gặt ngẫu nhiên 115 lúa vùng ta có số liệu:
Năng suất
(tạ/ha) 40–42 42–44 44–46 46–48 48–50 50–52 Diện tích (ha) 13 25 35 30
Hãy tìm khoảng ƣớc lƣợng trung bình cho suất lúa vùng A với độ tin cậy 95%?
Đ/s: (45,983; 46,904)
Bài 7.20. Để nghiên cứu nhu cầu loại hàng X phƣờng A ngƣời ta tiến hành khảo sát 400 gia đình Kết khảo sát là:
Nhu cầu
(kg/tháng) 0–1 1–2 2–3 3–4 4–5 5–6 6–7 7–8 Số gia đình 10 35 86 132 78 31 18 10 Hãy ƣớc lƣợng khoảng cho trung bình nhu cầu loại hàng X gia đình phƣờng A với độ tin cậy 95%?
(117)117
Bài 7.21. Một nhân viên chọn ngẫu nhiên mẫu n = 12 hóa đơn số hóa đơn bán hàng cơng ty thu đƣợc giá trị sau (đơn vị: ngàn đồng): 875, 1231, 453, 522, 2130, 1550, 309, 760, 498, 999, 1320, 1021 Hãy ƣớc lƣợng giá trị trung bình hóa đơn bán hàng ƣớc lƣợng phƣơng sai giá trị hóa đơn bán hàng
Bài 7.22 Kiểm tra ngẫu nhiên 16 viên thuốc từ lơ thuốc
mới nhập tìm đƣợc phƣơng sai mẫu điều chỉnh thành phần viên thuốc s2 = 0,078 gam2 Với độ tin cậy 95% ƣớc lƣợng độ phân tán thành phần viên thuốc lơ thuốc Biết trọng lƣợng thành phần viên thuốc có phân phối chuẩn
Đ/s: (0,176; 0,431)
Bài 7.23. Cho biết trọng lƣợng X sản phẩm nhà máy A sản xuất có phân phối chuẩn
N( , ) Chọn ngẫu nhiên 20 sản phẩm đƣợc sản xuất từ nhà máy cân 20 sản phẩm ta có kết cho theo bảng sau:
Trọng lƣợng X (kg) 19,3 19,8 20 20,3
Số sản phẩm
Hãy tìm khoảng tin cậy phƣơng sai D(X) = 2 với độ tin
cậy 95% hai trƣờng hợp a Cho biết kỳ vọng 20 b Không biết kỳ vọng
(118)118 Chƣơng
BÀI TOÁN KIỂM ĐỊNH GIẢ THUYẾT
8.1 KHÁI NIỆM CHUNG 8.1.1 Giả thuyết thống kê
Giả thuyết quy luật phân phối xác suất ĐLNN, tham số đặc trƣng ĐLNN tính độc lập ĐLNN đƣợc gọi
giả thuyết thống kê, ký hiệu H0
Một giả thuyết trái với giả thuyết H0 đƣợc gọi đối thuyết, ký
hiệu H1 H0 H1 thành lập cặp giả thuyết thống kê Khi giả
thuyết H0 bị bác bỏ thừa nhận giả thuyết H1 ngƣợc lại
Ví dụ 1) Khi nghiên cứu chiều cao trung bình loại A khu rừng với chiều cao X loại A có phân phối chuẩn N(, 2), ta đƣa giả thuyết sau:
Giả thuyết H0: "Chiều cao trung bình loại A = 20m"
Khi đối thuyết H0 là:
Đối thuyết H1: "Chiều cao trung bình 20m"
Đối thuyết H1: "Chiều cao trung bình > 20m"
Đối thuyết H1: "Chiều cao trung bình < 20m"
2) Khi tìm hiểu tuổi thọ loại bóng đèn nhà máy Điện Quang sản xuất, ta đƣa giả thuyết H0 nhƣ sau:
Giả thuyết H0: "Tuổi thọ loại bóng đèn có phân phối
chuẩn"
Đối thuyết H1: "Tuổi thọ loại bóng đèn khơng có phân
phối chuẩn"
Vì giả thuyết sai nên cần kiểm định, tức tìm kết luận thừa nhận hay khơng thừa nhận đƣợc giả thuyết Việc kiểm định gọi kiểm định thống kê phải dựa vào thông tin thực nghiệm mẫu để kết luận
8.1.2 Tiêu chuẩn kiểm định
Để kiểm định cặp giả thuyết thống kê H0, H1, từ tổng thể ta chọn
mẫu ngẫu nhiên kích thƣớc n W = (X1, X2, ., Xn) Dựa vào mẫu
(119)119
G = f(X1, X2, , Xn, 0)
trong 0 tham số liên quan đến giả thuyết H0, cho H0
đúng quy luật phân phối xác suất G hồn tồn xác định Khi thống kê G đƣợc gọi tiêu chuẩn kiểm định.
8.1.3 Miền bác bỏ
Để xây dựng miền bác bỏ, ta sử dụng nguyên lý xác suất nhỏ: Nếu một biến cố có xác suất bé ta coi khơng xảy một lần thực phép thử.
Vì quy luật phân phối xác suất G biết nên với xác suất
bé cho trƣớc, ta tìm đƣợc miền W tƣơng ứng cho giả thuyết H0 xác suất để G nhận giá trị thuộc miền W
bằng :
0 P(GW / H )
Vì bé, theo nguyên lý xác suất nhỏ ta coi biến cố (G W/H0) không xảy lần thực phép thử
Giá trị đƣợc gọi mức ý nghĩa của kiểm định miền W đƣợc
gọi miền bác bỏ giả thuyết H0 với mức ý nghĩa
Ký hiệu Wlà miền bù W, đƣợc gọi miền chấp nhận giả
thuyết H0
8.1.4 Giá trị quan sát tiêu chuẩn kiểm định
Thực phép thử mẫu ngẫu nhiên W = (X1, X2, , Xn) thu đƣợc mẫu cụ thể w = (x1, x2, , xn)
qua ta tìm đƣợc giá trị thực nghiệm thống kê G g = f(x1, x2, , xn, 0) giá trị gọi giá trị quan sát tiêu chuẩn
kiểm định
8.1.5 Quy tắc kiểm định giả thuyết thống kê
Sau tính đƣợc giá trị quan sát g tiêu chuẩn kiểm định, ta so sánh giá trị với miền bác bỏ W kết luận theo nguyên tắc sau:
i) Nếu g W ta có sở để bác bỏ H0 thừa nhận H1
(120)120
đó ta nói: Qua mẫu cụ thể chƣa có sở để bác bỏ H0
(trên thực tế thừa nhận H0)
8.1.6 Các sai lầm mắc phải thực toán kiểm định
Trong kiểm định giả thuyết, ta biết đƣợc chắn giả thuyết H0 hay sai, mẫu phần tổng thể Do vậy,
ta mắc phải hai loại sai lầm sau đây:
Sai lầm loại 1: Trên thực tế giả thuyết H0 nhƣng qua kiểm định, ta lại kết luận giả thuyết H0 sai Ngƣời ta ký hiệu khả mắc
sai lầm loại , đƣợc gọi mức ý nghĩa P(G W/H0 đúng) =
Sai lầm loại 2: Trên thực tế giả thuyết H0 sai nhƣng qua kiểm
định, ta lại kết luận giả thuyết H0 Ngƣời ta ký hiệu khả
mắc sai lầm loại
P(G W/H0 đúng) =
Ta mong muốn chọn W cho hai khả mắc sai lầm
nêu thấp Nhƣng ta biết giảm sai lầm loại khả sai lầm loại tăng lên ngƣợc lại Khi kiểm định giả thiết, ngƣời ta ấn định trƣớc mức ý nghĩa tìm miền W cho sai lầm loại không vƣợt sai lầm loại cực tiểu
8.1.7 Quy tắc chung kiểm định giả thuyết thống kê
Bước 1. Thiết lập giả thuyết H0 đối thuyết H1 Ta có loại tốn sau:
Bài toán Bài toán Bài toán Giả thiết H: = 0
Đối thiết K: 0
Giả thiết H: = 0 Đối thiết K: > 0
Giả thiết H: = 0 Đối thiết K: < 0
Với tham số chƣa biết ĐLNN X, 0 giá trị cụ thể đƣợc biết trƣớc
Bước Lập mẫu ngẫu nhiên X (X1, X2, , Xn); chọn tiêu
chuẩn kiểm định G = f(X1, X2, ., Xn, 0) xác định quy luật phân
phối với điều kiện giả thuyết H0
Bước 3.Với mức ý nghĩa , xác định miền bác bỏ giả thuyết H0 W Bước 4. Với mẫu cụ thể (x1, x2, , xn), ta có giá trị tiêu chuẩn
(121)121
Bước Nếu g W ta có sở để bác bỏ H0 thừa nhận H1
với mức ý nghĩa
Nếu g W ta chƣa có đủ sở để bác bỏ kết luận H0, tạm
thời chấp nhận H0 với mức ý nghĩa
8.2 KIỂM ĐỊNH THAM SỐ
8.2.1 Kiểm định kỳ vọng ĐLNN có phân phối chuẩn
8.2.1.1 Trường hợp phương sai 2 biết
Giả sử ĐLNN X tổng thể có phân phối chuẩn N(, 2) với phƣơng sai 2 biết nhƣng chƣa biết kỳ vọng Nếu có sở để giả
thiết giá trị 0, ta đƣa giả thuyết thống kê
H0: = 0
Từ mẫu ngẫu nhiên W = (X1, X2, , Xn) ta chọn thống kê:
0
(X )
G n
Nếu giả thuyết H0 đúng, G N(0,1)
Với mức ý nghĩa tùy thuộc vào dạng đối thuyết H1, ta xét
các trƣờng hợp sau:
a) Bài toán 1.Giả thuyết H0: = 0 Đối thuyết H1: 0
Vì G N(0,1) nên với mức ý nghĩa [0, 1], ta tìm đƣợc giá trị phân vị
2
Usao cho:
2
P( G U )
Mặt khác theo nguyên lý xác suất nhỏ, H0 đúng, ta tìm đƣợc
W cho: P(GW / H ) 0 Do đó:
0
2
(X )
P(GW / H ) P( G U ) P n U
Hay miền bác bỏ H0
2
(X )
W n U
Vậy với mẫu cụ thể w = (x1, x2, , xn) ta thực toán kiểm
(122)122 + Tính x g = μ0 n
σ
x
+ Với mức ý nghĩa , suy α
2 U
+ So sánh g α U :
Nếu α
2
g > U ta bác bỏ H0, chấp nhận H1
Nếu α
2
g U ta chấp nhận H0, bác bỏ H1
Ví dụ 1. Giám đốc xí nghiệp cho biết lƣơng trung bình cơng nhân thuộc xí nghiệp triệu/tháng Chọn ngẫu nhiên 36 cơng nhân thấy lƣơng trung bình 5,2 triệu/đồng Lời báo cáo giám đốc có tin cậy đƣợc không với mức ý nghĩa α = 5%, biết tiền lƣơng công nhân ĐLNN phân phối chuẩn với độ lệch chuẩn 0,4
Giải: Gọi X tiền lƣơng công nhân, tiền lƣơng trung bình thực cơng nhân X ĐLNN có phân phối chuẩn D(X) = (0,4)2 biết
Theo yêu cầu đề bài, ta có tốn kiểm định giả thuyết: Giả thuyết H0: μ =
Đối thuyết H1: μ Với n = 36; x= 5,2; = 0,4
0
( μ ) n (5, 6) 36
g 12
σ 0,4
x
Với α = 5%, tra bảng hàm La-pla-ce ta đƣợc: α
U = U0,025 1,96 Đối chiếu g α
2
U , ta thấy α
g > U nên bác bỏ H0, chấp nhận
H1; nghĩa với mức ý nghĩa 5% lời nói giám đốc sai
b) Bài toán 2.Giả thuyết H0: = 0
(123)123
Tƣơng tự nhƣ với mức ý nghĩa [0, 1], ta tìm đƣợc giá trị phân vị U cho:
0
(X )
P(GW / H ) P(G U ) P n U
Hay miền bác bỏ H0
(X )
W n U
Với mẫu cụ thể w = (x1, x2, , xn) ta thực toán kiểm định theo bƣớc sau:
+ Tính x g = μ0 n σ
x
+ Với mức ý nghĩa , suy U + So sánh g U
Nếu g > U ta bác bỏ H0, chấp nhận H1
Nếu g U ta chấp nhận H0, bác bỏ H1
Ví dụ 2. Một vƣờn phi lao có chiều cao trung bình chƣa xác định Theo hợp đồng ký ngƣời sản xuất lâm trƣờng trồng chiều cao đạt 1m đem trồng để đảm bảo sống cao
Ngƣời ta điều tra ngẫu nhiên 50 vƣờn tính đƣợc chiều cao trung bình x = 1,1 m Hỏi vƣờn phi lao nói đƣa trồng đƣợc chƣa? Cho biết chiều cao phi lao ĐLNN có phân phối chuẩn biến động chiều cao phi lao giai đoạn vƣờn ƣơm điều kiện tƣơng tự = 0,1 m;
= 0,05
Giải: Gọi X chiều cao phi lao vƣờn ƣơm
chiều cao trung bình phi lao vƣờn ƣơm X ĐLNN có phân phối chuẩn; kích thƣớc mẫu n = 50 > 30 Phƣơng sai D(X) = 2
= (0,1)2 biết Theo yêu cầu đề ta có toán:
(124)124 Đối thuyết H1: >
Ta có: n = 50; = 0,05; x = 1,1; 0 =
x μ0 n 1,1 1 50
g = 7,071
σ 0,1
Với α = 0,05 tra bảng hàm La-pla-ce ta đƣợc: U0,05 1,64
Ta có g > U0,05 nên bác bỏ H, chấp nhận K; nghĩa đƣa phi lao trồng đƣợc
c) Bài toán 3. Giả thuyết H0: = 0 Đối thuyết H1: < 0
Tƣơng tự nhƣ với mức ý nghĩa [0, 1], ta tìm đƣợc giá trị phân vị Usao cho:
0
(X )
P(GW / H ) P(G U ) P n U
Hay miền bác bỏ H0
(X )
W nU
Với mẫu cụ thể w = (x1, x2, , xn) ta thực toán kiểm định
theo bƣớc sau:
+ Tính x g = μ0 n σ
x
+ Với mức ý nghĩa , suy U α + So sánh g U α
Nếu g > U ta bác bỏ H0, chấp nhận H1 Nếu g U ta chấp nhận H0, bác bỏ H1
Ví dụ Trọng lƣợng X gói mì ăn liền tuân theo qui luật chuẩn N(, 25) Từ mẫu 25 gói mì ăn liền ta tìm đƣợc trung bình mẫu
x82g Với mức ý nghĩa = 0,05 kiểm định giả thuyết: Giả thuyết H0: = 85
(125)125
Giải. Ta có g = μ0 n (82 85) 25
σ
x
; U0,05 1,64
Vì g > U , nên ta bác bỏ H0
8.2.1.2 Trường hợp phương sai 2 chưa biết
Giả sử ĐLNN X tổng thể có phân phối chuẩn N(, 2) với phƣơng sai 2 kỳ vọng chƣa biết Nếu có sở để giả thiết
giá trị 0, ta đƣa giả thuyết thống kê H0: = 0
Từ mẫu ngẫu nhiên W = (X1, X2, , Xn) ta chọn thống kê:
0
(X )
G n
S
Nếu giả thuyết H0 đúng, G T(n 1)
Với mức ý nghĩa tùy thuộc vào dạng đối thuyết H1, ta xét trƣờng hợp sau:
a) Bài toán 1.Giả thuyết H0: = 0
Đối thuyết H1: 0
Vì G T(n 1) nên với mức ý nghĩa [0, 1], ta tìm đƣợc giá trị phân vị
2
t (n 1) cho:
2
P( G t (n 1))
Mặt khác theo nguyên lý xác suất nhỏ, H0 đúng, ta tìm đƣợc
W cho: P(GW / H ) 0
Do đó: 0
2
P(GW / H ) P( G t (n 1))
2
(X )
P n t (n 1)
S
Hay miền bác bỏ H0
2
(X )
W n t (n 1)
S
Vậy với mẫu cụ thể w = (x1, x2, , xn) ta thực toán kiểm
định theo bƣớc sau:
+ Tính x g = x μ0 n s
(126)126
+ Tra bảng phân phối Student tìm α
t (n 1) + So sánh g α
2
t (n 1)
Nếu α
2
g > t (n 1) ta bác bỏ H0, chấp nhận H1
Nếu α
2
g t (n 1) ta chấp nhận H0, bác bỏ H1
Ví dụ Năng suất lúa ĐLNN có phân phối chuẩn N(, 2) Điều tra suất giống lúa 200 ta thu đƣợc bảng số liệu sau:
Năng suất (tạ/ha) 46 48 49 50 51 53 54 58 Diện tích (ha) 17 18 35 45 42 23 10 10 Với mức ý nghĩa 5%, kiểm tra ý kiến sau hay sai: suất lúa trung bình giống lúa 52 tạ/ha
Giải. Gọi X suất giống lúa, suất lúa trung bình giống lúa
X ĐLNN có phân phối chuẩn D(X) = 2 chƣa biết n = 200,
0 = 52 tạ
Ta có toán: Giả thuyết H0: = 52
Đối thuyết H1: 52
Từ mẫu ta tính đƣợc x 50,16 ; s2 37,114 s 6,092 Ta có g = x μ0 n 50,16 52 199 4, 261
s 6,092
Với mức ý nghĩa = 5% t0,025(199) = U0,025 1,96
Vì α
2
g > t (n 1) nên ta bác bỏ H0, nghĩa ý kiến sai
b) Bài toán 2.Giả thuyết H0: = 0
Đối thuyết H1: > 0
Tƣơng tự mục 8.2.1.2 a) từ thống kê (X 0)
G n
S
có phân
(127)127
(X )
W n t (n 1)
S
Vậy với mẫu cụ thể w = (x1, x2, , xn) ta thực toán kiểm
định theo bƣớc sau:
+ Tính x g = x μ0 n s
+ Tra bảng phân phối Student tìm t (n 1)α + So sánh g t (n 1)α :
Nếu g > t (n 1)α ta bác bỏ H0, chấp nhận H1
Nếu g t (n 1)α ta chấp nhận H0, bác bỏ H1
Ví dụ 5. Trong điều kiện chăn ni bình thƣờng, lƣợng sữa trung bình bị 14kg/ngày Cải tiến chế độ chăn ni cho lƣợng sữa nhiều lên Để có thơng tin ngƣời ta điều tra ngẫu nhiên 40 bị tính đƣợc lƣợng sữa trung bình/ngày bị x 18kg độ lệch tiêu chuẩn s = 2,5 kg Với mức ý nghĩa = 0,1 thử xem lƣợng sữa trung bình bị có tăng thực hay khơng? Cho biết lƣợng sữa/ngày bị ĐLNN có phân phối chuẩn
Giải: Gọi X lƣợng sữa ngày bò X ĐLNN có phân phối chuẩn D(X) = 2
chƣa biết
Theo yêu cầu tốn, ta có tốn kiểm định giả thuyết: Giả thuyết H0: µ = 14
Đối thuyết H1: µ > 14
Ta có: n = 40; s = 2,5; x = 18
X μ0 n (18 14) 39
g 9,992
s 2,5
Vì = 0,1 tra bảng phân phối Student ta đƣợc t (39) = U0,1 0,11, 27 Vì U > t (39) = U0,1 0,11, 27nên bác bỏ H, chấp nhận K; lƣợng sữa tăng lên thực
c) Bài toán 3.Giả thuyết H0: = 0
(128)128
Tƣơng tự mục 8.2.1.2 a) từ thống kê G (X 0) n 1 S
có
phân phối T(n–1), ta có miền bác bỏ H0 nhƣ sau:
0
(X )
W n 1 t (n 1)
S
Vậy với mẫu cụ thể w = (x1, x2, ., xn) ta thực toán kiểm định theo bƣớc sau:
+ Tính x g = x μ0 n s
+ Tra bảng phân phối Student tìm t (n 1)α + So sánh – g t (n 1)α :
Nếu g > t (n 1)α ta bác bỏ H0, chấp nhận H1 Nếu g t (n 1)α ta chấp nhận H0, bác bỏ H1
Ví dụ 6. Trọng lƣợng đóng bao bao gạo kho ĐLNN có phân phối chuẩn với trọng lƣợng trung bình theo quy định 50 kg
Nghi ngờ gạo bị đóng thiếu, ngƣời ta đem cân ngẫu nhiên 25 bao thu đƣợc số liệu nhƣ sau:
Trọng lƣợng (kg) 48-48,5 48,5-49 49-49,5 49,5-50 50-50,5
Số bao 10
Với mức ý nghĩa α = 0,01 kết luận điều nghi ngờ nói
Giải. Gọi X trọng lƣợng đóng bao bao gạo X ĐLNN có phân phối chuẩn; D(X) chƣa biết
Trọng lƣợng đóng bao trung bình theo quy định tham số µ0 = 50 (kg)
Đây tốn kiểm định tham số µ phân phối chuẩn N(µ, 2
) chƣa biết 2 Theo u cầu tốn, ta có toán kiểm định
giả thuyết:
Giả thiết H0: µ = 50
Đối thiết H1: µ < 50
(129)129
x μ0 n (49, 27 50) 24
g = 6,891
s 0,519
Tra bảng phân phối Student ta tìm đƣợc t (n 1)α t0,01(24)2, 49 Đối chiếu ta thấy g = 6,891t0,01(24)2, 49 nên bác bỏ H, chấp nhận K; tức qua mẫu cụ thể thừa nhận gạo bị đóng thiếu với mức ý nghĩa 0,01
Chú ý Nếu mẫu ngẫu nhiên có phân phối kích thước mẫu n 30 trường hợp 8.2.1.1 8.2.1.2 áp dụng
8.2.2 Kiểm định phƣơng sai ĐLNN có phân phối chuẩn
Giả sử nghiên cứu dấu hiệu X tổng thể, X ĐLNN có phân phối chuẩn N(, 2) với phƣơng sai 2 chƣa biết, song có sở để giả thiết giá trị
0
Ta đƣa giả thuyết thống kê H0:
2 =
8.2.2.1.Trường hợp kỳ vọng E(X) = biết
Để kiểm định giả thuyết từ mẫu ta rút mẫu ngẫu nhiên có kích thƣớc n W = (X1, X2, , Xn) chọn tiêu chuẩn kiểm định
thống kê:
2
2
2
nS (n 1)S
G
Nếu giả thuyết H0 thống kê
2
2
2
nS
G (n)
,
với mức ý nghĩa cho trƣớc tùy thuộc vào dạng đối thuyết H1
ta xây dựng đƣợc miền bác bỏ W H0 theo trƣờng hợp sau
đây:
Trường hợp Giả thuyết H0: 2 = 02 Đối thuyết H1: 2 20 Miền bác bỏ H0
2
2
2 1
0 2
nS nS
W (n) (n)
Trường hợp Giả thuyết H0: 2 =
2
(130)130 Miền bác bỏ H0
2 2 nS
W G (n)
Trường hợp Giả thuyết H0: 2 =
2
Đối thuyết H1: 2 < 02 Miền bác bỏ H0
2 2 nS
W G (n)
Với mẫu cụ thể w = (x1, x2, , xn) ta thực toán kiểm định
theo bƣớc sau:
+ Tính s
2
n.s g
+ Tra bảng phân phối bình phƣơng tìm α(n) α
2 (n)
+ Nếu gW ta bác bỏ H0, chấp nhận H1
Nếu gW ta chấp nhận H0, bác bỏ H1
Ví dụ 7. Một máy đóng gói tự động đƣợc coi hoạt động bình thƣờng phƣơng sai trọng lƣợng gói hàng máy đóng khơng vƣợt q 100 (gam)2 Cân ngẫu nhiên 15 gói hàng máy đóng
và tính đƣợc phƣơng sai mẫu điều chỉnh 180 (gam)2 Với mức ý
nghĩa 5% nói máy hoạt động bình thƣờng hay khơng? Biết trọng lƣợng gói hàng máy đóng ĐLNN phân phối chuẩn N(5600, 2)
Giải: Gọi X trọng lƣợng gói hàng máy đóng X ĐLNN có phân phối chuẩn; E(X) = = 5600; = 0,05; n = 15
Ta có tốn kiểm định:
Giả thuyết H0: 2 = 100
Đối thuyết H1: 2 < 100
Theo giả thiết tốn, ta có:
2
2 n 14
s 180 s s 180 168
n 15
(131)131 2 n.s 15.168 g 15,5 100
Tra bảng phân phối bình phƣơng ta đƣợc α(n) = 0,95(15) = 7, 261
Vì 0,95 n.s
g 15,5 (n) (15) 7, 261
nên bác bỏ H1,
nghĩa máy hoạt động khơng bình thƣờng
8.2.2.2.Trường hợp kỳ vọng E(X) = chưa biết
Để kiểm định giả thuyết từ mẫu ta rút mẫu ngẫu nhiên có kích thƣớc n W = (X1, X2, , Xn) chọn tiêu chuẩn kiểm định
thống kê:
2
2
2
nS (n 1)S
G
Nếu giả thuyết H0 thống kê
2
2
2
nS
G (n 1)
,
đó với mức ý nghĩa cho trƣớc tùy thuộc vào dạng đối thuyết H1 ta xây dựng đƣợc miền bác bỏ W H0 theo trƣờng hợp sau đây:
Trường hợp Giả thuyết H0: 2 =
2
Đối thuyết H1: 2
2
Miền bác bỏ H0 là:
2
2
2 1
0 2
nS nS
W (n 1) (n 1)
Trường hợp Giả thuyết H0: 2 =
2
Đối thuyết H1: 2 > 02 Miền bác bỏ H0
2 2 nS
W G (n 1)
Trường hợp Giả thuyết H0: 2 =
2
Đối thuyết H1: 2 <
2
(132)132 Miền bác bỏ H0
2 2 nS
W G (n 1)
Với mẫu cụ thể w = (x1, x2, , xn) ta thực toán kiểm định
theo bƣớc sau: + Tính s
2 nS g
+ Tra bảng phân phối bình phƣơng tìm α(n-1) α
2 (n-1)
+ Nếu gW ta bác bỏ H0, chấp nhận H1
Nếu gW ta chấp nhận H0, bác bỏ H1
Ví dụ Một máy sản xuất chất dẻo đƣợc thƣờng xuyên theo dõi độ dày sản phẩm Biết độ dày X chất dẻo ĐLNN có phân phối chuẩn Nếu độ lệch chuẩn vƣợt 0,3 mm chất lƣợng sản phẩm khơng đƣợc đảm bảo kỹ thuật Ngƣời ta chọn ngẫu nhiên 10 chất dẻo đo độ dày đƣợc kết sau (đơn vị đo mm): 22; 22,6; 23,2; 22,7; 22,5; 22,8; 22,5; 22,8; 22,9; 23 Từ yêu cầu thực tế với mức ý nghĩa 5% lập cặp giả thuyết đối thuyết thích hợp đánh giá tình trạng làm việc máy sản xuất chất dẻo
Giải Ta có E(X) = chƣa biết
Độ lệch chuẩn mức cho phép không vƣợt 0,3 mm tƣơng ứng với phƣơng sai 2
khơng vƣợt q 0,09 mm2 Ta có toán kiểm định giả thuyết:
Giả thuyết H0: 2 = 0,09
Đối thuyết H1: 2 > 0,09
Với mẫu cho ta có: x 22,7 ; s2 = 0,098 s = 0,313 Ta có
2
nS 10.0,098
g 10,889
0,09
(133)133
Vì g = 10,889 W nên chấp nhận H0, nghĩa máy sản xuất
dẻo hoạt động bình thƣờng
8.2.3 Kiểm định tỷ lệ xác suất
Giả sử dãy n phép thử Bernoulli biến cố A xuất m lần Gọi p xác suất để biến cố A xuất phép thử (p chƣa biết) Từ sở ngƣời ta tìm đƣợc p = p0, nhƣng nghi ngờ
về điều Với mức ý nghĩa α cần kiểm định giả thuyết H0: p = p0
Với mức ý nghĩa , ta xây dựng quy tắc kiểm định cặp giả thuyết, đối thuyết sau:
Giả thuyết H0: p = p0
Đối thuyết H1: p p0 Xét thống kê G m np
np(1 p)
, thống kê theo định lý giới hạn
trung tâm có phân phối xấp xỉ chuẩn tắc N(0,1) Nếu H0
0
0
m np
G N(0,1)
np (1 p )
Tƣơng tự nhƣ toán kiểm định kỳ vọng ĐLNN có phân phối chuẩn, ta có quy tắc kiểm định toán là:
+ Nếu
2
0
m np
G U
np (1 p )
ta bác bỏ H0
+ Nếu
2
0
m np
G U
np (1 p )
ta chấp nhận H0
Ví dụ 9. Gieo 300 hạt giống đậu tƣơng Ta thấy có 261 hạt nảy mầm Ngƣời ta nói tỉ lệ nảy mầm hạt đậu tƣơng p = 0,9 Điều có hay không? Tại sao? Cho mức ý nghĩa α = 5%
Giải. Ta xem việc gieo 300 hạt giống đậu tƣơng nhƣ tiến hành 300 phép thử Bernoulli Xác suất nảy mầm hạt đậu tƣơng p
Bài toán kiểm định giả thuyết:
Giả thuyết H0: p = 0,9
Đối thuyết H1: p 0,9
(134)134
0
m np 261 300.0,9
g = 1,73
np (1 p ) 300.0,9.(1 0,9)
Tra bảng hàm La–pla–ce, tìm U 0,0250, 475U0,025 1,96 Vì
2
g < U nên ta chấp nhận H, bác bỏ K; nghĩa tỉ lệ nảy mầm hạt đậu tƣơng p = 0,9
Chú ý 1. Với cặp giả thuyết, đối thuyết Giả thiết H: p = p0
Đối thiết K: p > p0 Ta có quy tắc kiểm định tốn là:
+ Nếu
0
m np
U np (1 p )
ta bác bỏ H0
+ Nếu
0
m np
U np (1 p )
ta chấp nhận H0
Chú ý 2. Với cặp giả thuyết, đối thuyết Giả thuyết H0: p = p0
Đối thuyết H1: p < p0 Ta có quy tắc kiểm định tốn là:
+ Nếu
0
m np
U np (1 p )
ta bác bỏ H0
+ Nếu
0
m np
U np (1 p )
ta chấp nhận H0
Ví dụ 10. Một kho hạt giống có tỉ lệ nảy mầm xác định p0 = 0,9
Ngẫu nhiên có thiết bị bị hỏng làm thay đổi điều kiện bên kho Hỏi tỉ lệ nảy mầm kho hạt giống có cịn giữ ngun hay khơng với mức ý nghĩa = 0,05? Để có thơng tin tỷ lệ nảy mầm kho ta làm thí nghiệm 200 hạt thấy có 140 hạt nảy mầm
(135)135 Ta có:
0
0
m np 140 200.0,9
g = 9, 428 U 1,64
np (1 p ) 200.0,9(1 0,9)
Nên ta bác bỏ H0, chấp nhận H1; tức tỷ lệ nảy mầm kho bị
(136)136
BÀI TẬP CHƢƠNG
Bài 8.1. Trong nhà máy bánh kẹo A, máy tự động sản xuất chocolate với trọng lƣợng quy định 250gram độ lệch chuẩn 5gram Trong ngày, phận kiểm tra kỹ thuật chọn mẫu ngẫu nhiên gồm 32 chocolate tính đƣợc trọng lƣợng trung bình chúng 248gram Hãy kiểm định giả thuyết H: “Trọng lƣợng chocolate máy tự động sản xuất quy định”, với mức ý nghĩa α = 0,05?
Đ/s: Bác bỏ giả thuyết “Trọng lƣợng chocolate máy tự động sản xuất quy định”
Bài 8.2. Trọng lƣợng sản phẩm nhà máy sản xuất (X) ĐLNN phân phối theo quy luật chuẩn với độ lệch chuẩn kg trọng lƣợng trung bình 20 kg Nghi ngờ máy hoạt động khơng bình thƣờng làm thay đổi trọng lƣợng trung bình sản phẩm, ngƣời ta cân thử 100 sản phẩm thu đƣợc kết sau:
Trọng lƣợng sản phẩm (kg) 19 20 21 22 23 Số sản phẩm tƣơng ứng 10 60 20 5
Với mức ý nghĩa kết luận điều nghi ngờ với mức ý nghĩa 97%
Bài 8.3. Trọng lƣợng quy định loại chi tiết 250 (gam) Giả sử trọng lƣợng tuân theo quy luật phân phối chuẩn N(µ, 25) Ngƣời ta lấy mẫu gồm 16 chi tiết tính đƣợc trọng lƣợng trung bình 244 gam Hãy kiểm định giả thiết H: µ = 250 với đối thiết K: µ < 250, với mức ý nghĩa 5%
(137)137
Bài 8.5. Trọng lƣợng trung bình xuất chuồng trại chăn nuôi gà công nghiệp năm trƣớc 3,3 kg/con Năm ngƣời ta sử dụng loại thức ăn Cân thử 15 xuất chuồng, ta đƣợc số liệu sau (kg): 3,25; 2,5; 4,0; 3,8; 3,9; 4,02; 3,6; 3,8; 3,2; 3,82; 3,4; 3,75; 4,0; 3,5; 3,75 Giả sử trọng lƣợng gà ĐLNN phân phối theo quy luật chuẩn Với mức ý nghĩa 5% kết luận tác dụng loại thức ăn có thực làm tăng trọng lƣợng trung bình gà lên hay không
Bài 8.6. Chiều cao giống X (m) vƣờm ƣơm ĐLNN có phân phối chuẩn Ngƣời ta đo ngẫu nhiên 25 giống có bảng số liệu:
X (m) 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3
Số
Theo quy định vƣờn ƣơm cao m đem trồng Với mức ý nghĩa 5%, hỏi vƣờn ƣơm đem trồng đƣợc chƣa?
Bài 8.7. Trong điều kiện ni bình thƣờng, lƣợng sữa trung bình bò 14 kg/ngày Nghi ngờ điều kiện chăn ni bị làm cho lƣợng sữa giảm xuống Ngƣời ta điều tra ngẫu nhiên 25 bị tính đƣợc lƣợng sữa trung bình ngày 12,5 kg độ lệch chuẩn mẫu điều chỉnh 2,5 kg Với mức ý nghĩa 0,05 kết luận điều nghi ngờ nói Giả thiết lƣợng sữa bò đại lƣợng ngẫu nhiên có phân phối chuẩn
Đ/s: Lƣợng sữa bị có xu hƣớng giảm
Bài 8.8. Năng suất trung bình giống lúa 47 tạ/ha Sau thời gian canh tác, ngƣời ta nghi ngờ giống lúa bị thối hóa, suất giảm Dựa vào mẫu kích thƣớc n = 25, suất trung bình mẫu 45,5 tạ/ha độ lệch mẫu điều chỉnh tạ/ha Hãy kết luận điều nghi ngờ nói với mức ý nghĩa 3% Cho biết suất giống lúa ĐLNN tuân theo quy luật chuẩn
Đ/s: Giống lúa bị thối hóa
Bài 8.9 Mức hao phí xăng (X) cho loại xe tô chạy đoạn
(138)138
đƣờng đƣợc tu sửa lại, ngƣời ta cho mức hao phí xăng trung bình giảm xuống Quan sát 30 chuyến xe chạy đƣờng AB ta thu đƣợc bảng số liệu sau:
Mức xăng
hao phí (lít) 48,5-49,0 49,0-49,5 49,5-50,0 50,0-50,5 50,5-51,0 Số chuyến xe 10 10
Với mức ý nghĩa 5% kết luận ý kiến nêu
Đ/s: Có sở để kết luận mức xăng hao phí trung bình giảm xuống
Bài 8.10 Để kiểm tra độ xác máy ngƣời ta đo ngẫu
nhiên kích thƣớc 15 chi tiết máy máy sản xuất tính đƣợc s2 = 14,6 Với mức ý nghĩa 1% kết luận máy móc có hoạt động bình thƣờng khơng, biết kích thƣớc chi tiết ĐLNN phân phối chuẩn có dung sai theo thiết kế 2
= 12 Đ/s: Máy móc hoạt động bình thƣờng
Bài 8.11 Từ mẫu kích thƣớc n = 15 rút từ tổng thể phân
phối chuẩn ngƣời ta tìm đƣợc s2 = 144 Với mức ý nghĩa 1% kiểm
định cặp giả thuyết: H0: 2 = 138; H1: 2 > 138
Bài 8.12 Trọng lƣợng gà lúc nở ĐLNN có phân
phối chuẩn Nghi ngờ độ đồng trọng lƣợng gà bị giảm sút ngƣời ta cân thử 12 tìm đƣợc s2 = 11,41 gram2 Với mức ý
nghĩa 5% kết luận điều nghi ngờ trên, biết bình thƣờng độ phân tán trọng lƣợng gà 2 = 10 gram2
Đ/s: Chƣa có sở để nghi ngờ độ đồng trọng lƣợng gà giảm sút
Bài 8.13 Lô hàng đủ tiêu chuẩn xuất tỷ lệ phế phẩm
không vƣợt 3% Kiểm tra ngẫu nhiên 400 sản phẩm lô hàng thấy có 14 phế phẩm Với mức ý nghĩa 5% có cho phép lơ hàng xuất đƣợc không?
Đ/s: Lô hàng đủ tiêu chuẩn xuất
Bài 8.14 Tỷ lệ bệnh nhân khỏi bệnh T điều trị thuốc A
(139)139
kết luận thuốc B hiệu thuốc A hay không? Yêu cầu kết luận mức ý nghĩa 5%
Đ/s: Có thể kết luận thuốc B hiệu thuốc A
Bài 8.15 Tỷ lệ phế phẩm nhà máy trƣớc 5% Năm
nay nhà máy áp dụng biện pháp kỹ thuật Để nghiên cứu tác dụng biện pháp kỹ thuật có làm giảm tỷ lệ phế phẩm hay không ngƣời ta lấy mẫu gồm 800 sản phẩm để kiểm tra thấy có 24 phế phẩm mẫu Với mức ý nghĩa 5% kết luận xem biện pháp kỹ thuật có thực làm giảm tỷ lệ phế phẩm tồn nhà máy khơng?
Đ/s: Biện pháp kỹ thuật thực có tác dụng làm giảm tỷ lệ phế phẩm nhà máy
Bài 8.16 Tỷ lệ phế phẩm nhà máy tự động sản xuất
5% Kiểm tra ngẫu nhiên 300 sản phẩm thấy có 24 sản phẩm phế phẩm Từ ý kiến cho tỷ lệ phế phẩm máy sản xuất có chiều hƣớng tăng lên Hãy kết luận ý kiến với mức ý nghĩa 5%
Bài 8.17 Nếu áp dụng phƣơng pháp cơng nghệ thứ tỷ
lệ phế phẩm 6%, cịn áp dụng phƣơng pháp cơng nghệ thứ hai 100 sản phẩm có phế phẩm Vì kết luận áp dụng phƣơng pháp cơng nghệ thứ hai tỷ lệ phế phẩm thấp tỷ lệ phế phẩm phƣơng pháp công nghệ thứ không? với mức ý nghĩa 5%
Bài 8.18 Để kiểm tra loại súng thể thao, ngƣời ta cho bắn
1000 viên đạn vào bia thấy có 670 viên trúng mục tiêu Sau đó, cải tiến kỹ thuật ngƣời ta nâng đƣợc tỉ lệ trúng súng lên 70% Hãy cho kết luận việc cải tiến với mức ý nghĩa 1%
(140)140
Bảng Giá trị hàm tích phân La-pla-ce
2
2
0
1 ( )
2 t u
u e dt
U 0,00 0.00 0000 0039 0079 0197 0159 0199 0239 0279 0319 0359 0.10 0398 0438 0477 0517 0557 0596 0636 0675 0714 0753 0.20 0793 0832 0871 0909 0948 0987 1026 1064 1103 1141 0.30 1179 1217 1255 1293 1331 1368 1406 1443 1480 1517 0.40 1554 1591 1628 1664 1700 1736 1772 1808 1844 1879 0.50 1915 1950 1985 2019 2054 2088 2123 2157 2190 2224
0.60 2257 2291 2324 2357 2389 2422 2454 2486 2517 2549 0.70 2580 2611 2642 2673 2704 2734 2764 2794 2823 2852 0.80 2881 2910 2939 2967 2995 3023 3051 3078 3016 3133 0.90 3159 3186 3212 3238 3264 3289 3315 3340 3365 3389 1.00 3413 3438 3461 3485 3508 3531 3554 3577 3599 3621
1.10 3643 3665 3686 3708 3729 3749 3770 3779 3810 3730 1.20 3849 3869 3888 3907 3925 3944 3962 3980 3997 4015 1.30 4032 4049 4066 4082 4099 4115 4131 4147 4162 4177 1.40 4192 4207 4222 4236 4251 4265 4279 4292 4306 4319 1.50 4332 4345 4357 4370 4382 4394 4406 4418 4429 4441 1.60 4452 4463 4474 4484 4495 4505 4515 4525 4535 4545 1.70 4554 4564 4573 4582 4591 4599 4608 4616 4625 4633 1.80 4641 4649 4656 4664 4671 4678 4686 4693 4699 4706 1.90 4713 4719 4726 4732 4738 4744 .4750 4756 4761 4767 2.00 4772 4778 4783 4788 4793 4798 4803 4808 4812 4817
2.10 4821 4826 4830 4834 4838 4842 4846 4850 4854 4857 2.20 4861 4864 4868 4871 4875 4878 4881 4884 4887 4890 2.30 4893 4896 4898 4901 4904 4906 4909 4911 4913 4916 2.40 4918 4920 4922 4925 4927 4929 4931 4932 4934 4936 2.50 4938 4940 4941 4943 4945 4946 4948 4949 4951 4952
(141)141
Bảng Giá trị phân vị Student t n( )
Bậc tự do n
Mức ý nghĩa
0,1 0,05 0,025 0,01 0,005 0,001 0,0005
1 3,078 6,314 12,706 31,821 63,657 318,309 636,620 1,886 2,920 4,303 6,965 9,925 22,327 31,060 1,638 2,353 3,182 4,541 5,841 10,215 12,920 1,533 2,132 2,776 3,747 4,604 7,713 8,610 1,476 2,015 2,571 3,365 4,032 5,893 6,870 1,440 1,943 2,447 3,143 3,707 5,208 5,960 1,415 1,895 2,365 3,998 3,499 4,785 5,410 1,397 1,860 2,306 2,896 3,355 4,501 5,040 1,383 1,833 2,262 2,821 3,250 4,397 4,780 10 1,372 1,812 2,228 2,764 3,169 4,144 4,590 11 1,363 1,796 2,201 2,718 3,106 4,025 4,440 12 1,356 1,782 2,179 2,681 3,055 3,930 4,320 13 1,350 1,771 2,160 2,650 3,012 3,852 4,220 14 1,345 1,761 2,145 2,624 2,977 3,787 4,110 15 1,341 1,753 2,131 2,602 2,947 3,733 4,070 16 1,337 1,746 2,120 2,583 2,921 3,686 4,010 17 1,333 1,740 2,110 2,567 2,898 3,646 3,960 18 1,330 1,734 2,101 2,552 2,878 3,610 3,920 19 1,328 1,729 2,093 2,539 2,861 3,579 3,880 20 1,325 1,725 2,086 2,528 2,845 3,552 3,850 21 1,323 1,721 2,080 2,518 2,831 3,527 3,820 22 1,321 1,717 2,074 2,508 2,819 3,505 3,790 23 1,319 1,714 2,069 2,500 2,807 3,485 3,770 24 1,318 1,711 2,064 2,492 2,797 3,467 3,740 25 1,316 1,708 2,060 2,485 2,787 3,450 3,720 26 1,315 1,706 2,056 2,479 2,779 3,435 3,710 27 1,314 1,703 2,052 2,473 2,771 3,421 3,690 28 1,313 1,701 2,048 2,467 2,763 3,408 3,660 29 1,311 1,699 2,045 2,462 2,756 3,396 3,660 30 1,310 1,697 2,042 2,457 2,750 3,385 3,650 40 1,303 1,684 2,021 2,423 2,704 3,307 3,550 60 1,296 1,671 2,000 2,390 2,660 3,232 3,460 120 1,289 1,658 1,980 2,358 2,617 3,160 3,370 + 1,282 1,645 1,960 2,326 2,576 3,090 3,290
(142)142
Bảng 3a Giá trị phân vị
( )n
phân phối 2
(143)143
Bảng 3b Giá trị phân vị
( )n
phân phối 2
(144)144
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1 Đặng Ngọc Dục, Nguyễn Ngọc Siêng (2010), Lý thuyết xác
suất thống kê tốn, Nxb Đà Nẵng
2 Trần Dỗn Phú, Nguyễn Thọ Liễn (2010), Xác suất thống
kê toán, Nxb thống kê
3 Trần Bá Nhẫn, Đinh Thái Hoàng (2006), Thống kê ứng dụng
trong quản trị, kinh doanh nghiên cứu kinh tế, Nxb Thống kê Hoàng Ngọc Nhậm (2005), Bài tập xác suất thống kê, Đại học
kinh tế Tp Hồ Chí Minh
5 Đào Hữu Hồ (1996), Xác suất thống kê, Nxb Đại học quốc gia Hà Nội
6 Nguyễn Ngọc Siêng (2007), Xác suất thống kê toán, Nxb Đà Nẵng
7 Nguyễn Cao Văn (2012), Giáo trình lý thuyết xác suất thống
kê toán, Nxb Đại học kinh tế quốc dân
8. Lê Đức Vĩnh (2014), Xác suất thống kê, Nxb Đại học Nông
Nghiệp
(145)145 MỤC LỤC
CHƢƠNG BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN VÀ XÁC SUẤT
1.1 BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN
1.1.1 Phép thử ngẫu nhiên loại biến cố ngẫu nhiên
1.1.2 Quan hệ biến cố
1.1.3 Các phép toán biến cố
1.1.4 Các tính chất phép tốn biến cố
1.2 XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ
1.2.1 Định nghĩa cổ điển xác suất
1.2.2 Định nghĩa thống kê xác suất 11
1.3 CÁC ĐỊNH LÝ VỀ XÁC SUẤT 12
1.3.1 Định lý cộng 12
1.3.2 Định lý nhân 15
1.3.3 Tính độc lập biến cố 18
1.4 CÁC HỆ QUẢ CỦA ĐỊNH LÝ CỘNG, ĐỊNH LÝ NHÂN XÁC SUẤT 20
1.4.1 Công thức xác suất phần (đầy đủ) 20
1.4.2 Định lý Bayes 22
1.4.3 Công thức Bernoulli 23
BÀI TẬP CHƢƠNG 25
CHƢƠNG ĐẠI LƢỢNG NGẪU NHIÊN VÀ QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT 29
2.1 ĐỊNH NGHĨA VÀ PHÂN LOẠI ĐẠI LƢỢNG NGẪU NHIÊN 29
2.1.1 Định nghĩa 29
2.1.2 Phân loại đại lƣợng ngẫu nhiên 30
2.2 QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT 31
2.2.1 Bảng phân phối xác suất 31
(146)146
2.2.3 Hàm mật độ phân phối xác suất 37
2.3 CÁC THAM SỐ ĐẶC TRƢNG CỦA ĐẠI LƢỢNG NGẪU NHIÊN 39
2.3.1 Kỳ vọng 39
2.3.2 Phƣơng sai 42
2.3.3 Độ lệch chuẩn 45
2.3.4 Trung vị 45
BÀI TẬP CHƢƠNG 48
CHƢƠNG MỘT SỐ QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THƢỜNG GẶP 53
3.1 MỘT SỐ QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT RỜI RẠC 53
3.1.1 Qui luật phân phối xác suất Không – Một 53
3.1.2 Quy luật phân phối xác suất nhị thức 54
3.1.3 Quy luật phân phối xác suất Poisson 55
3.2 MỘT SỐ QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT LIÊN TỤC 56 3.2.1 Quy luật phân phối U[a, b] 56
3.2.1 Quy luật phân phối chuẩn 58
3.2.2 Quy luật phân phối – bình phƣơng 62
3.2.3 Quy luật phân phối Student – T(n) 63
BÀI TẬP CHƢƠNG 63
CHƢƠNG ĐẠI LƢỢNG NGẪU NHIÊN HAI CHIỀU 66
4.1 ĐỊNH NGHĨA 66
4.2 HÀM PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CỦA ĐLNN HAI CHIỀU 66
4.2.1 Định nghĩa 66
4.2.2 Tính chất 66
4.3 PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CỦA ĐLNN HAI CHIỀU 67
4.3.1 Bảng phân phối xác suất ĐLNN hai chiều rời rạc 67
(147)147
4.4 PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CÓ ĐIỀU KIỆN CỦA ĐLNN HAI
CHIỀU 71
4.4.1 Phân phối có điều kiện ĐLNN hai chiều rời rạc 71
4.4.2 Phân phối có điều kiện ĐLNN hai chiều liên tục 73
4.5 KỲ VỌNG CÓ ĐIỀU KIỆN 74
4.5.1 Kỳ vọng có điều kiện ĐLNN hai chiều rời rạc 74
4.5.2 Kỳ vọng có điều kiện ĐLNN hai chiều liên tục 75
BÀI TẬP CHƢƠNG 76
CHƢƠNG CÁC ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN 78
5.1 ĐỊNH NGHĨA 78
5.2 BẤT ĐẲNG THỨC TRÊ-BƢ-SÉP 78
5.3 ĐỊNH LÝ TRÊ-BƢ-SÉP 79
5.3.1 Định lý 79
5.3.2 Hệ 80
5.4 ĐỊNH LÝ BERNOULLI 80
5.5 ĐỊNH LÝ GIỚI HẠN TRUNG TÂM 81
BÀI TẬP CHƢƠNG 83
CHƢƠNG LÝ THUYẾT MẪU 84
6.1 KHÁI NIỆM VỀ PHƢƠNG PHÁP MẪU 84
6.2 TỔNG THỂ VÀ MẪU 85
6.3 CÁC PHƢƠNG PHÁP CHỌN MẪU 86
6.3.1 Phƣơng pháp chọn mẫu có lặp 86
6.3.2 Phƣơng pháp chọn mẫu không lặp 86
6.4 MẪU NGẪU NHIÊN VÀ MẪU CỤ THỂ 87
6.4.1 Định nghĩa 87
6.4.2 Các ví dụ 87
6.5 CÁC PHƢƠNG PHÁP SẮP XẾP MẪU CỤ THỂ 88
6.5.1 Sắp xếp theo số tăng dần giảm dần 88
6.5.2 Sắp xếp theo bảng phân phối tần số, tần suất thực nghiệm 88
(148)148
6.6.1 Hàm mẫu (thống kê) 90
6.6.2 Trung bình mẫu, phƣơng sai mẫu, phƣơng sai mẫu điều chỉnh 90
6.7 LUẬT PHÂN PHỐI CỦA CÁC ĐẶC TRƢNG MẪU 93
6.7.1 Phân phối phƣơng sai mẫu hiệu chỉnh 93
6.7.2 Phân phối trung bình mẫu 94
BÀI TẬP CHƢƠNG 95
CHƢƠNG BÀI TOÁN ƢỚC LƢỢNG THAM SỐ 99
7.1 KHÁI NIỆM ƢỚC LƢỢNG 99
7.2 HÀM ƢỚC LƢỢNG VÀ PHƢƠNG PHÁP ƢỚC LƢỢNG ĐIỂM 99
7.2.1 Ƣớc lƣợng không chệch 100
7.2.2 Ƣớc lƣợng vững 101
7.3 PHƢƠNG PHÁP ƢỚC LƢỢNG KHOẢNG 102
7.3.1 Mở đầu 102
7.3.2 Ƣớc lƣợng khoảng tin cậy cho tỷ lệ tổng thể 103
7.3.3 Ƣớc lƣợng khoảng tin cậy cho kỳ vọng (trung bình) tổng thể 104
7.3.4 Ƣớc lƣợng phƣơng sai 109
BÀI TẬP CHƢƠNG 112
CHƢƠNG BÀI TOÁN KIỂM ĐỊNH GIẢ THUYẾT 118
8.1 KHÁI NIỆM CHUNG 118
8.1.1 Giả thuyết thống kê 118
8.1.2 Tiêu chuẩn kiểm định 118
8.1.3 Miền bác bỏ 119
8.1.4 Giá trị quan sát tiêu chuẩn kiểm định 119
8.1.5 Quy tắc kiểm định giả thuyết thống kê 119
8.1.6 Các sai lầm mắc phải thực toán kiểm định 120
(149)149
8.2 KIỂM ĐỊNH THAM SỐ 121 8.2.1 Kiểm định kỳ vọng ĐLNN có phân phối chuẩn 121 8.2.2 Kiểm định phƣơng sai ĐLNN có phân phối chuẩn 129 8.2.3 Kiểm định tỷ lệ xác suất 133 BÀI TẬP CHƢƠNG 136 Bảng Giá trị hàm tích phân La-pla-ce
2
2
0
1 ( )
2 t u
u e dt
140 Bảng Giá trị phân vị Student t n( ) 141 Bảng 3a Giá trị phân vị
( )n
phân phối 2 142 Bảng 3b Giá trị phân vị
( )n
phân phối 2 143
TÀI LIỆU THAM KHẢO 144