HOCTHUE.NET: Tổng hợp sách, giáo trình, bài giảng, bài tập xác suất thống kê (có lời giải)

Chương Biến ngẫu nhiên hai chiều rời rạc Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến Yêu cầu • • • • Phân phối lề Phân phối đặc trưng có điều kiện Cov(X, Y) Hệ số tương quan Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến Khái niệm vectơ ngẫu nhiên • • • Một vectơ ngẫu nhiên n chiều có thứ tự (X1, X2,…,Xn) với X1, X2,…,Xn biến ngẫu nhiên Vectơ ngẫu nhiên chiều ký hiệu (X,Y) với X biến ngẫu nhiên thứ nhất, Y biến ngẫu nhiên thứ Vectơ ngẫu nhiên n chiều liên tục hay rời rạc tất biến ngẫu nhiên thành phần liên tục hay rời rạc Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến Biến (Vectơ) hai chiều (X,Y) • • • • • Là có thứ tự (X,Y) với X, Y biến ngẫu nhiên Nếu X Y rời rạc ta có bnn hai chiều rời rạc Nếu X Y liên tục ta có bnn hai chiều liên tục Nếu biến rời rạc biến liên tục phức tạp nên ta không xét trường hợp Trong phần ta xét biến hai chiều rời rạc (X,Y) Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến Hàm ppxs đồng thời • • Cho biến ngẫu nhiên (X, Y) Hàm ppxs biến hai chiều (X,Y): F(x,y) F ( x, y ) = P ( X < x , Y < y ) , Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 ∀x, y ∈ R Nguyễn Văn Tiến Tính chất i) ≤ F ( x, y ) ≤ ii ) F ( x, y ) khô ng giả m theo từ ng biế n iii ) F ( −∞, y ) = F ( x, −∞ ) = F ( +∞, +∞ ) = iv) Vớ i x1 < x2 ; y1 < y2 tacoù : P ( x1 ≤ X < x2 , y1 ≤ Y < y2 ) = F ( x2 , y2 ) − F ( x2 , y1 ) − F ( x1 , y2 ) + F ( x1 , y1 ) Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến Chú ý F ( x; +∞ ) = P ( X < x, Y < +∞ ) = P ( X < x ) = FX ( x ) F ( +∞; y ) = P ( X < +∞; Y < y ) = P ( Y < y ) = FY ( y ) • Đây phân phối riêng X Y tương ứng Chúng gọi phân phối biên duyên (phân phối lề) biến hai chiều (X, Y) Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến Tính độc lập biến nn • • Hai biến ngẫu nhiên X Y gọi độc lập biến ngẫu nhiên nhận giá trị hay giá trị khác không ảnh hưởng đến phân bố xác suất biến ngẫu nhiên Định lý: Giả sử F(x,y) hàm phân bố biến ngẫu nhiên (X,Y) Khi đó, X Y độc lập khi: F ( x, y ) = FX ( x ) FY ( y ) Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến Bảng ppxs (X,Y) y1 y2 … yj … ym ∑ x1 p11 p12 … p1j … p1m p1● x2 p21 p22 … p2j … p2m p2● … xi … pi1 … pi2 … … pij … … pim … pi● … xn … pn1 … pn2 … … … … pnj … … pnm … pn● ∑ p●1 p●2 … p●j … P●m Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 … … Nguyễn Văn Tiến Ppxs đồng thời (X,Y) • Trong đó: i ) pij = P ( X = xi , Y = y j ) ii ) n m ∑∑ p i =1 j =1 ij =1 m n j =1 i =1 iii ) pi• = ∑ pij ; p• j = ∑ pij Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến 10 Kỳ vọng Y • Bảng phân phối xác suất Y: Y y1 p●1 P y2 p●2 … … ym p●m m E ( Y ) = ∑ y j P ( Y = y j ) = y j pã j = àY j =1 j E ( Y ) = ∑∑ y j pij j Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 i Nguyễn Văn Tiến 23 Kỳ vọng hàm theo X,Y • • Cho X,Y có phân phối biết Đặt Z=g(X,Y) biến Ta có: E ( g ( X , Y ) ) = ∑∑ g ( xi , y j ) P ( X = xi , Y = y j ) i j E ( g ( X , Y ) ) = ∑∑ g ( xi , y j ) pij i Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 j Nguyễn Văn Tiến 24 Ví dụ • Cho Z=X+Y bảng ppxs đồng thời sau: (X,Y) pij (0;0) 0,1 (0;1) (0;2) (1;0) (1;1) (1;2) 0,2 0,3 0,05 0,15 0,2 E ( Z ) = E ( X + Y ) = ( + ) 0,1 + ( + 1) 0, + ( + ) 0,3 + ( + ) 0, 05 + ( + 1) 0,15 + ( + ) 0, = 1, 75 Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến 25 Phương sai X, Y • • Được tính biến ngẫu nhiên chiều Sử dụng bảng phân phối xác suất lề X, Y V ( X ) = E( X −E( X )) = E( X V ( X ) = E(Y − E(Y)) = E(Y Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 2 ) −( µ ) X ) −( µ ) Nguyễn Văn Tiến 2 Y 26 Hiệp phương sai (Covariance) • Hiệp phương sai hai biến ngẫu nhiên X Y, ký hiệu cov(X,Y), kỳ vọng tốn tích sai lệch bnn kỳ vọng toán chúng cov ( X , Y ) = E ( X − µ X ) ( Y − µY ) cov ( X , Y ) = E ( XY ) − µ X µY Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến 27 Tính chất Covariance 1) cov ( X , Y ) = cov ( Y , X ) 2) cov ( X , X ) = V ( X ) 3) cov ( X + X ', Y ) = cov ( X , Y ) + cov ( X ', Y ) 4) cov ( kX , Y ) = k cov ( X , Y ) 5) cov ( aX + c, bY + d ) = ab cov ( X , Y ) Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến 28 Tính chất Covariance 6) Nế uX vàY độ c lậ p cov ( X , Y ) = 0, ngược lại khô ng chắ c đú ng 7) V ( X + Y ) = V ( X ) + V ( Y ) + cov ( X , Y ) 8) V ( aX ± bY ) = a 2V ( X ) + b 2V ( Y ) ± 2ab cov ( X , Y ) 9) cov ( X , Y )  ≤ V ( X ) V ( Y ) Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến 29 Hệ số tương quan • Hệ số tương quan hai biến ngẫu nhiên X, Y ký hiệu định nghĩa công thức: cov ( X , Y ) ρ X ,Y = σ XσY • Hệ số tương quan cịn ký hiệu là: ρ ( X ,Y ) ; r ( X ,Y ) Bài giảng Xác suất Thống kê 2015 Nguyễn Văn Tiến 30 Tính chất i ) − ≤ ρ X ,Y ≤ vớ i X, Y ii ) Nế u X vàY độ c lậ p ρ X ,Y = u ab>0  ρ X ,Y neá iii ) ρ aX + c ,bY + d =  u ab0 neá u a