bai tap xac suat thong ke co loi giai

Bài 1.3: Một lô hàng chứa 10 sản phẩm gồm 6 sản phẩm tốt và 4 sản phẩm xấu.Khách hàng kiểm tra bằng cách lấy ra từng sản phẩm cho đến khi nào được 3sản phẩm tốt thì dừng lại.. Tính xác s

CHƯƠNG 1

BÀI GIẢI

XÁC SUẤT THỐNG KÊ

P(A1A2A3) = P(A1)P(A2)P(A3) = 0, 7.0, 2.0, 5 = 0, 07;

P(A1A2A3) = P(A1)P(A2)P(A3) = 0, 3.0, 8.0, 5 = 0,12;

P(A1A2A3) = P(A1)P(A32)P(A3) = 0, 3.0, 2.0, 5 = 0, 03

Suy ra P(A) = 0,22

b) Gọi B là biến cố có 2 khẩu trúng Ta có

B = A1A2A3 + A1A2A3 + A1A2A3

NHỮNG ĐỊ NH LÝ CƠ BẢ

N TR ON

G

LÝ TH UY

ẾT XÁ

C SU ẤT

Bài 1.1: Có ba khẩu súng I, II

và III bắn độc lập vào mộtmục tiêu Mỗi khẩu bắn 1 viên

Xác suất bắn trúng mục tiêucuả ba khẩu I, II và III lần lượt

là 0,7; 0,8 và 0,5 Tính xácsuất để

Lời giải

Tính toán tương tự câu a) ta được P(B) = 0,47

c) Gọi C là biến cố có 3 khẩu trúng Ta có

C =

A1A2A3 Tính toán tương tự câu a) ta được P(C) = 0,28

d) Gọi D là biến cố có ít nhất 1 khẩu trúng Ta có

D = A +

B + C.Chú ý rằng do A, B, C xung

khắc từng đôi, nên theo công thức Cộng xác suất ta có:

P(D) = P(A) + P(B) + P(C) = 0,22 + 0,47 + 0,28

= 0,97

e) Gỉa sử có 2 khẩu trúng Khi

đó biến cố B đã xảy ra Do đóxác suất để khẩu thứ 2 trúngtrong trường hợp này chính làxác suất có điều kiện P(A2/B)

Theo công thức Nhân xác suất ta có:

2B) P(B)

B

= AAA+ AAAnê

n

lý luậntươn

g

tự nh

ư trê

n

ta đượcP(A2B)

=0,4a) Gọ

i A

là biế

n

cố

có 1 khẩu trúng

Ta có

Vì các biến cố A3A3A

3 khắc từng đôi, nêntheocôngthứcCộngxáctaPP2A2A)

= P(A+ P(A+ P(A

Vì các biến cố AAlập nên theo công thức Nhân xác suất

ta có

Suy raP(A2/B)

=0,851

Bài 1.2: Có

hai hộp

I và IImỗihộpchứa

10 bi,trong

bi đỏ,

trắng

Lấyngẫunhiên

từ mỗihộp 2bi

a) Tínhxácsuấtđểđượ

c 4biđỏ

b) Tínhxácsuấtđểđượ

c 2biđỏvà

2 bitrắng

c) Tínhxácsuấtđể

được 3 bi đỏ và 1 bi

xác suất để bi trắng có được của hộp I

12

Lời giải

Gọi Ai , Bi (i = 0, 1, 2) lần lượt là các biến cố có i bi đỏ và (2 - i) bi trắng có

trong 2 bi được chọn ra từ hộp I, hộp II

B = A0B2 + A1B1 + A2B0

Do tính xung khắc từng đôi của các biến cố A0B2 , A1B1 , A2B0, công thức Cộng xác suất cho ta:

P(B) = P(A0B2 + A1B1 + A2B0) = P(A0B2 ) + P(A1B1) + P(A2B0)

Từ đây, do tính độc lập , Công thức nhân xác suất thứ nhất cho ta: P(B) =

P(A0)P(B2 ) + P(A1)P(B1) + P(A2)P(B0) = 0,2133

c) Gọi C là biến cố chọn được 3 bi đỏ và 1 bi trắng Ta có:

P(A1) =9 1 =

;4510

C = A1B2 + A2

Lý luận tương tự như trên ta được

= P(A1)P(B2 ) + P(A2)P(B1)

= 0,4933

P(A2) =

- B0, B1, B2 xung khắc từng đôi và

ta có:

9 4510

d) Giả sử đã chọn được 3

bi đỏ và 1 bi trắng Khi

đó biến cố C đã xảy ra

Do đó xác suất để bitrắng có được thuộchộp I trong trường hợpnày chính là xác suất

có điều kiện P(A1/C)

Theo Công thức nhânxác

C2

t,tac

P(B0) = 6

4 =

;245

P(A C) =P(C)P(A /C)

2

C

2

C

P(A C)P(B1) =6

= A1B2nênP(B2) =6 4 =

.451

P(

A C)

= P(

A

B )

= P(

A )P(

- Ai và Bj độc lập

- Tổng số bi đỏ có trong 4 bi chọn ra phụ thuộc vào các biến cố Ai và Bj theo bảng sau:

1

1 1 2

Do

đó xácsuất cần tìm là:P(A1/C) = 0,1352

2

C

2

C

Bài 1.3: Một lô hàng chứa 10 sản phẩm gồm 6 sản phẩm tốt và 4 sản phẩm xấu.

Khách hàng kiểm tra bằng cách lấy ra từng sản phẩm cho đến khi nào được 3sản phẩm tốt thì dừng lại

a) Tính xác suất để khách hàng dừng lại ở lần kiểm tra thứ 3

b) Tính xác suất để khách hàng dừng lại ở lần kiểm tra thứ 4

b) Giả sử khách hàng đã dừng lại ở lần kiểm tra thứ 4 Tính xác suất để ở lần kiểm tra thứ 3 khách hàng gặp sản phẩm xấu

a) Gọi A là biến cố khách hàng dừng lại

ở lần kiểm tra thứ 3 Ta có:

b) Gọi B là biến cố chọn được 2 bi đỏ và 2 bi trắng Ta có:

34

A = T1T2T3.Suy ra P(A) = P(T1T2T3) = P(T1) P(T2/T1) P(T3/ T1T2)

= (6/10)(5/9)(4/8) = 0,1667

b) Gọi B là biến cố khách hàng dừng lại ở lần kiểm tra thứ 4 Ta có:

B = X1T2T3T4 + T1X2T3T4 + T1T2X3T4 .Suy ra

c) Giả sử khách hàng đã dừng lại ở lần kiểm tra thứ 4 Khi đó biến cố B đã xảy ra Do đó

xác suất để ở lần kiểm tra thứ 3 khách hàng gặp sản phẩm xấu trong trường hợp này

chính là xác suất có điều kiện P(X3/B)

Theo Công thức nhân xác suất , ta có

A = T1T2X3D4 + T1X2T3D4 + X1T2T3D4

Từ đây, do tính xung khắc từng đôi của các biến cố thành phần, ta có: P(A) =

P(T1T2X3D4)+ P(T1X2T3D4) + P(X1T2T3D4 )Theo Công thức Nhân xác suất, ta có

= P(

B)P(

X3/B)

P(X1T2T3D4) = P(X1)P(T2/X1)P(T3/X1T2)P(D4/X1T2T3)

= (3/12)(4/11)(3/10)(5/9) = 1/66

.P(B)

Suy ra P(A) = 3/66 = 1/22 = 0,0455.b) Gọi B là biến cố không có bi trắngnào được rút ra

Ta có:

P(X3B) = P(T1T2X3T4) = P(T1) P(T2/T1) P(X3/ T1T2) P(T4/

T1T2 X3)

= (6/10)(5/9)(4/8)(4/7) = 0,0952

Suy ra P(X3/B) = 0,3333

Bài 1.4: Một hộp bi gồm 5

bi đỏ, 4 bi trắng và 3 bi xanh

có cùng cỡ Từ hộp ta rútngẫu nhiên không hòan lại

từngmộtđếnđượcđỏdừngTínhsuấta)

b) không có bitrắng nàođược rút ra

⎢

Suy ra

Bxảyra Rútđược ⎢

⎢X-X-D

P(B) = P(D1)+ P(X1D2) + P(X1X2D3 ) + P(X1X2X3 D4)

Theo Công thức Nhân xác suất, ta có

56

⎣

P(B) = P(D1) + P(X1)P(D2/X1) + P(X1)P(X2/X1)P(D3/X1X2)

+ P(X1)P(X2/X1)P(X3/X1X2)P(D4/X1X2X3)

= 5/12+ (3/12)(5/11) + (3/12)(2/11)(5/10) + (3/12)(2/11)(1/10)(5/9)

= 5/9

Bài 1.5: Sản phẩm X bán ra ở thị trường do một nhà máy gồm ba phân xưởng I, II và

III sản xuất, trong đó phân xưởng I chiếm 30%; phân xưởng II chiếm 45% và phân

xưởng III chiếm 25% Tỉ lệ sản phẩm loại A do ba phân xưởng I, II và III sản xuất lần

lượt là 70%, 50% và 90%

a) Tính tỉ lệ sản phẩm lọai A nói chung do nhà máy sản xuất

b) Chọn mua ngẫu nhiên một sản phẩm X ở thị trường Giả sử đã mua

Suy ra P(B) = 0,66 = 66% Vậy tỉ lệ sản phẩm loại A nói chung do nhà máy sản xuất

được sản phẩm loại

A Theo bạn, sản phẩm ấy có khả năng

do phân xưởng nào sản xuất ra nhiều nhất?

c) Chọn mua ngẫu nhiên 121 sản phẩm X (trong rất nhiều sản phẩm X) ở thị trường

P(A

P(A

P(A1)P(B/A1)

= 0, 3.0, 7

= 22, 5 ;

1) Tín

h xá

c suấtđ

ể c

ó 8

0 sả

n phẩmloạiA

P(B)

0, 6666P(A )P(B/

A )0, 25.0, 922, 5

2) Tính xác

để

từ

80 đến

85 sản phẩ

m loạiA

P(A 3 /B) =

P(A1/B) nên sản phẩm loại A ấy

có khả năng do phân xưởng II hoặc III sản xuất

ra là nhiều nhất

c) Chọn mua ngẫu nhiên 121 sản phẩm X (trong rấtnhiều sản phẩm X) ở thị trường

1) Tính xác suất để có

80 sản phẩm loại A

2) Tính xác suất để có từ

80 đến 85 sản phẩm loại A

Theo công thức xác suất đầy

đủ, ta có:

P(B) =P(A1)P(B/A1)+P(A2)P(B/A2)+P(A3)P(B/A3)

Ap dụng công thức Bernoulli với n = 121, p = 0,66, ta có:

1) Xác suất để có 80 sản phẩm loại A là

P121(80) = C80 p80q41 = C80 (0, 66)80 (0, 34)41 = 0, 076

2) Xác suất để có từ 80 đến 85 sản phẩm loại Alà

85 85

P121 (0, 66)

Theo giả thiết,P(B/A1) = 70% = 0,7; P(B/A2) = 50% = 0,5;

P(B/A3) = 90% = 0,9

k=80

k=80

k= 80

78

Tỉ lệ sản lượng 30% 45% 25%

121

Bài 1.6: Có ba cửa hàng I, II và III cùng kinh doanh sản phẩm Y Tỉ lệ sản phẩm loại

A trong ba cửa hàng I, II và III lần lượt là 70%, 75% và

50% Một khách hàng chọn nhẫu nhiên một cửa hàng và từ đó mua một sản phẩm

P(A2/B) và P(A3/B) Nếu P(Ai/B) là lớn nhất thì cửa hàng thứ i có nhiều khả năng đượcchọn nhất

Theo công thức Bayes ta có:

a) Tính xác suất để khách hàng mua được sản phẩmloại A

b) Giả sử đã mua được sản phẩm loại A Theo bạn, khả năng người khách hàng ấy đã chọn cửa hàng nào là nhiều nhất?

= 70 ; P(B)

0, 65195P(A2)P(B/A) 2

= (1 / 3).0, 75

= 75; P(B)

0, 65195P(A )P(B/A ) (1 /

Tómtắt:

Cửa hàng

Tỉ lệ loại A

Chọn nhẫu nhiên một cửa hàng và từ đó mua một sản phẩm

P(A

1) =P(A

2) =P(A

3) =1/3.Theo công thức xác suất đầy

đủ, ta có:

P(B) =P(A1)P(B/A1)+ P(A2)P(B/

A2)+

P(A3)P(B/A3)Theo giả thiết,

P(B/

A1)

= 70

%

= 0,7;P(B/

A2)

= 75

%

=

Bài 1.7: Có hai hộp I và II

mỗi hộp chứa 12 bi, trong

đó hộp I gồm 8 bi đỏ, 4 bitrắng; hộp II gồm 5 bi đỏ, 7

bi trắng Lấy ngẫu nhiên từhộp I ba bi rồi bỏ sang hộpII; sau đó lấy ngẫu nhiên từhộp II bốn bi

a) Tính xác suất để lấy được

ba bi đỏ và một bi trắng từhộp II

b) Giả sử đã lấy được ba bi

đỏ và một bi trắng từ hộp II Tìm xác suất để trong ba bi lấy được từ hộp I có hai bi đỏ và một

P(A1) = 8 4 = 220;

12b) Giả sử đã

g ấyđãchọ

n cử

a hàn

g nà

o

là nhiềunhất

?

8 4 = ;22012

Giả sử đã mua được sản phẩm loại A Khi đó biến cố B đã xảy

ra Do đó,

C3

C0 56

để biết sản phẩm loại A đó có khả năng khách hàng ấy

đã chọn cửa hàng nào là nhiều nhất ta cần so sánh các xác suất có điều kiện P(A1/B),

P(A3) =

8 4 = 220.12

a) Tính xác suấtđược 3 bi trắng từ hộp

910

Theo công thức xác suất đầy đủ, ta có:

P(A)=P(A0)P(A/A0)+P(A1)P(A/A1)+P(A2)P(A/A2)+P(A3)P(A/A3)

Theo công thức tính xác suất lựa chọn, ta có

A2,A3độclậpvà

P(A / A0) = 5

10

=

;136515

P(A ) = 1

; P(A ) =

4 ;

1 515

2P(A / A1) = 6

9

=

;1365

;

136515

1) GọiAlàbiếncốlấyđượccả3bitrắng.Tacó

Suy ra P(A) =P(A1) P(A2) P(A3) = 0,048

2)

Suy ra xác suất cần tìm là P(A) = 0,2076

b) Giả sử đã lấy được 3 bi

đỏ và 1 bi trắng từ hộp II

Tìm xác suất để

SuyraP(B)

=0,464

B = A1A2A3 + A1A2A3 + A1A2A3

trong 3 bi lấy được từ hộp I

có 2 bi đỏ và 1 bi trắng

Giả sử đã lấy được 3 bi đỏ

và 1 bi trắng từ hộp II Khi đóbiến cố A đã xảy ra Do dóxác suất để trong 3 bi lấyđược từ hộp I có 2 bi đỏ và 1

bi trắng trong trường hợp nàychính là xác suất có điều kiệnP(A2/A) Ap dụng công thứcBayes, ta có:

112 280

3) Giả sử trong 3 viên lấy ra cóđúng 1 bi trắng Khi đó biến

cố B đã xảy ra Do đó xácsuất để bi trắng đó là củahộp thứ nhất trong trườnghợp này chính là xác suất cóđiều kiện P(A1/B) Theocông thức Nhân xác suất tacó:

P(A1B)

=

P(B)P(A1/B)Suy ra

P(A /A) =

P(A2)P(

A/A2)

= 22

Gọi A là biến cố lấy được cả 3

bi đen

A1, A2, A3 lần lượt là các biến cố chọn được hộp I, II,III Khi đó A1, A2, A3 là một

hệ đầy đủ, xung khắc từng đôi và

P(A1) =P(A2) =

P(A3) =1/3

Theo công thức xác suất đầy

đủ, ta có:

P(A) =P(A1)P(A/

A1) +P(A2)P(A/

A2)+

P(A3)P(A/

A3)Theo công thức xác suất lựa chọn, ta có:

1112

P(A/A ) = C0C3 = 4 ; P(A/A ) = C0C3 = 1 ; P(A/A )

=0

Ap dụng Công thức Bayes và sử dụng kết quả vừa tìm được ở câu a) ta có

1 4 1

2

C310

3

P(A )P(A/

A )(10/

0,375

4 hộp của xí nghiệp III Tỉ lệ sảnphẩm tốt của các xí nghiệp lầnlượt là 50%, 65% và 75% Lấyngẫu nhiên ra một hộp và chọnngẫu nhiên ra 3 sản phẩm từ hộpđó

a) Tính xác suất để trong 3 sản phẩm chọn ra có đúng 2 sản phẩm tốt

b) Giả sử trong 3 sản phẩm chọn ra

có đúng 2 sản phẩm tốt Tính xác suất để 2 sản phẩm tốt đó của xí nghiệp I

L ờ i g i ả i

Gọi A là biến cố trong 3 sản phẩm chọn ra có đúng 2 sản phẩm tốt Aj (j = 1, 2, 3) là biến

cố chọn được hộp của xí nghiệp thứ j

Khi đó A1, A2, A3 là một đầy đủ,xung khắc từng đôi và ta có:

P(A)

0,4050

Bài 1.10: Có 10 sinh viên đi thi,

trong đó có 3 thuộc loại giỏi, 4 khá

và 3 trung bình Trong số 20 câuhỏi thi qui định thì sinh viên lọaigiỏi trả lời được tất cả, sinh viênkhá trả lời được 16 câu còn sinhviên trung bình được 10 câu Gọingẫu nhiên một sinh viên và phátmột phiếu thi gồm 4 câu hỏi thìanh ta trả lời được cả 4 câu hỏi

Tính xác suất để sinh viên đó thuộcloại khá

Lời giải

Tóm tắt:

Gọi A là biến cố sinh viên trả lờiđược cả 3 câu hỏi

A1, A2, A3 lần lượt là các biến cố sinh viên thuộc loại Giỏi, Khá;

run

g bình.10

1 20

C 1 66 20

Yêu cầu của bài toán là tính xác suất có điều kiệnP(A2/A)

3/10; P(A

= 4/10;

P(A3/10

P(A2/A)

(A

2)P(A/A

2)

.P(A)

3

P(A /

A2) =

C2 (0, 65)2 (1 - 0,65) =

0, 443625P(A /

A3) =

C2 (0, 75)2 (1 - 0,25) =

0,

421875Theo công thức xác suất đầy đủ, ta cóP(A) = P(A1)P(A/A1) + P(A2)P(A/A2) + P(A3)P(A/A3)

= (10/20).0,375+ (6/20)

0,443625 + (4/20)

0,421875 = 0,4050

Mặt khác, theo công thức xác suất đầy đủ, ta có

P(A) = P(A1)P(A/A1) +P(A2)P(A/A2) + P(A3)P(A/A3)

Theo công thức tính xác suất lựa chọn, ta có:

4 20

20P(A / A ) = C4 C0 = 1820 ;

= 1;C

16 4C

= 210 4845

1314

C CC

Suy ra P(A2/A) = 0,3243.

Bài 1.11: Có hai hộp I và II, trong đó hộp I chứa 10 bi trắng và 8 bi đen; hộp II chứa 8

bi trắng và 6 bi đen Từ mỗi hộp rút ngẫu nhiên 2 bi bỏ đi, sau đó bỏ tất cả các bi còn

lại của hai hộp vào hộp III (rỗng) Lấy ngẫu nhiên 2 bi từ hộp III Tính xác suất để

trong 2 bi lấy từ hộp III có 1 trắng, 1 đen

A1, A2 , A3, A4 là một hệ đầy

đủ, xung khắc từng đôi

Theo công thức xác suất đầy đủ, ta cóP(A) = P(A0)P(A/A0)+ P(A1)P(A/A1) +P(A2)P(A/A2)+

P(A3)P(A/A3) +P(A4)P(A/A4)

trong đó

P(A/A ) = C18C

1 = 10 (Vì khi A đã xảy ra thì trong hộp III có 28 bi gồm

P(A0) = P(B0)P(C0) = 20/663

A1 = B0C1 + B1C0

Þ P(A1) = P(B0)P(C1 ) + P(B1)P(C0) = 848/4641 A2 =

B0C2 + B1C1 + B2C0 Þ P(A2)

= P(B0)P(C2)+P(B1)P(C1)+P(B

2)P(C0)

=757/1989

A3 = B1C2 + B2C1

Þ P(A3) = P(B1)P(C2)+P(B2)P(C1) = 4400/13923 A4 = B2C2

Þ P(A4) = P(B2)P(C2) = 20/221

Từ đó suy ra P(A) = 0,5080

1 10 0

2818trắng,

10đen)

Tương tự,

1.1

2:

Có hai hộp cùng

cỡ Hộp

thứ nhất chứa 4 bi trắng 6 bi thứ hai chứa 5 bi

trắng và 7 bi xanh

Chọn ngẫu nhiên một hộp rồi

từ hộp đó lấy ra 2

bi thì được 2 bi trắng Tính xác tiếp

P(A/A)

=C

1

C

1

=5

; P(A/A )

=C

1

C

1

= 14

theo cũng lấy từ hộp trên ra lại là bi trắng

P(A2); P(A3); P(A4)

biế

n

cố

2

bi

lấy

đầu

tiên

là

bi

trắng

A2là

biến

cố

bi

lấy

lần

sau

là

bi

trắng.Bài tóan yêu cầu tính P(A2/A1)

Theo công thức nhân xác suất,

ta có P(A1A2) = P(A1) P(A2/A1) Suy ra

10

2

8 =

153 ; P(B2) =18

14

C

II Khi đó

B1, B2 là một hệ đầy

đủ, xung khắc từng đôi và ta có:P(B1) = P(B2) = 0,5

C 148

C 2 C 028

Theo công thức xác suất đầy đủ, ta có

8 6

=

; P(C )

=2912

8

6

=.291

P(A ) = P(B ) P(A / P(A / B )

C0 6

a a - 1 P(A / A) = a + b a + b - 1 =

1 a + b - 1

2

C

C 2 C 0 Bài 1.14: Có 3 hộp phấn, trong đó hộp I chứa 15 viên tốt và 5 viên xấu,

Từ hộp đượcchọn lấy ngẫunhiên ra 4 viênphấn Tìm xácsuất để được ít nhấtviên tốt

P(A A /B ) = P(A /B )P(A / A B ) = =

1

1 2 2

1

661022

Gọi A là biến cố chọn được ít nhất 2 viên phấn tốt

nênP(A

2) 13/330

ra suấtcầntìmP(A

A1

=13/47=

0,2766

Bài 1.13

Mộthànggồmsảnphẩmloạivàsảnphẩmloạiđượcđónggới đểgửichokháchhàng

Nơinhậnkiểmtra lạithấythấtlạc sảnphẩm

Chọnngẫunhiên

ra 1sản

phẩmthìthấy

đó làsảnphẩmloại

I Tínhxácsuất

để sảnphẩmthấtlạccũngthuộcloại I

Gọi A

là biến

cố sảnphẩmđượcchọnrathuộclọai I

A

j (j

=1,2,3) là biến

cố chọnđượchộp thứ j

đủ, xungkhắc từng đôi

và ta có:

- A1 xảyr

a kh

i v

à ch

ỉ kh

i thảyconx

ú

c xắc,xuấthiệ

n mặt

1 chấm, d

o đ

ó P(A

1)

= 1/

6

- Tương tự,

P(A2) = 2/6;

P(A3) = 3/6

Theo công thức xác suất đầy

đủ, ta cóP(A)

= P(A)P(A

/AP(AP(ATừgiảthi

ết

ta có:

cố sản phẩm thất lạc thuộc loại I, loại II

Yêu cầu của bài toán là tính xác suất có điều kiệnP(A1/A)

Ta thấy

A1, A2 là một hệ đầy đủ, xung khắctừng đôi và

P(A C2 0

C2

C2C4

C

+C

C

+C4

C0C

4845

= 960

;1001

P(A ) =

10 4 14 14

C C

C C24795

2 1 0

2 1 4

a+b a+b

Theo công thức Bayes, ta có

P(A / A) = P(AP(A / A 1 )

= P(A 1 )P(A / A1 )

7405

1

Mà

P(A)P(A1)P(A /

A1) + P(A2 )P(A / A2 )

Bài 1.15:

Có hai kiện hàng I và

II Kiện thứ nhất chứa 10 sảnphẩm,P(A / A ) = C0 =a - 1

;P(A /

A

= a

Lời giải

18

Gọi C là biến cố

trong 2 sản phẩm chọn ra sau cùng có đúng 1 sản phẩm loạiA

4

16

=

;1902

Aj (j = 0, 1, 2, 3,

4 ) là biến cố có j sảnphẩm lọai A và (4-j)sản phẩm lọai B cótrong 4 sản phẩm lấy

từ hai kiện I và II

Khi đó A0, A1, A

A3, A4 là một hệ đầy

đủ, xung khắc từngđôi Theo công thứcxác suất đầy đủ, ta có

; 1906

P(C) =P(A0)P(

C/A0) +P(A1)P(

C/A1) +P(A2)P(

C/A2) +P(A3)P(

C/A3)+P(A4)P(C/A4)

- BP(C4 16

=

; 1902

Tacó:

P(C/A0) = 0;

P(C/A ) = C

- Tổng số sp A có trong 4 sp chọn ra phụ thuộc vào các biến cố Bi và Ctheo bảng sau:

1 2 4

P(C/A ) = C

= 4

2 2 4

P(C/A )

=C