Bài tập xác suất thống kê có lời giải chi tiết

Nhóm: 021Trưởng nhóm: Lê Hà ThuĐẠI HỌC THÁI NGUYÊNTRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ THÔNG TIN VÀ TRUYỀN THÔNGBÀI THẢO LUẬNCHỦ ĐỀ: BÀI TẬP CHƯƠNG VÀ NHỮNG KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ XÁC SUẤT VÀ ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊNGiảng viên hướng dẫn: Trương Hà HảiNhóm: 02Thành viên: Lê Hà Thu (Nhóm trưởng)Ma Nguyễn LệnhHà Thị Ngọc LinhNguyễn Đăng TùngĐỗ Thị HồngCao Văn TúThái Nguyên, tháng 09 năm 2014Nhóm: 022Trưởng nhóm: Lê Hà ThuMỤC LỤCA. Lý thuyết căn bản chương 1. Những khái niệm cơ bản về xác suất. ................................... 31. Định lý cộng xác suất. ............................................................................................................ 32. Định lý nhân xác suất. ............................................................................................................ 33. Công thức Becnuni. ................................................................................................................ 44. Công thức xác suất đầy đủ. .................................................................................................... 45. Công thức Bayes. .................................................................................................................... 4B. Bài tập. ...................................................................................................................................... 41. Phần 1.1 Các công thức xác suất ........................................................................................... 42. 1.2.Công thức xác suất đầy đủ. công thức Bayes ................................................................. 123. 1.3 Công thức Becnulli. ........................................................................................................ 20A. Lý thuyết căn bản. Chương 2: Đại lượng ngẫu nhiên. ....................................................... 221. Bảng phân phối xác suất. ....................................................................................................... 222. Hàm phân phối xác suất. ......................................................................................................... 233. Hàm mật độ phân phối xác suất. (chỉ áp dụng được với biến ngẫu nhiên liên tục) ............ 234. Các tham số đặc trưng của ĐLNN. ...................................................................................... 245. Một số các tham số khác. ..................................................................................................... 256. Một số quy luật phân phối thường gặp. .................................................................................. 25B. Bài tập chương 2. Đại lượng ngẫu nhiên. .............................................................................. 25Nội dung và nhiệm vụ các thành viên:Thành viên Nội dung phụ trách Ghi chúLê Hà Thu (Nhóm trưởng) Phân nội dung, làm các ý 1; 1.1; 2; 2.2 Bài làm theo khung:Chương, Mục và câuNguyễn Thị Hồng Làm các ý 1; 1.2; 12Ma Nguyễn Lệnh Làm các ý 2; 1.2; 12Hà Ngọc Linh Làm các ý1;1.3; 2; 2.1;12Nguyễn Đăng Tùng Làm các ý 2; 2.1; 12Cao Văn Tú Tổng hợp lý thuyết, Làm câu số: 2; 2.2Nhóm: 023Trưởng nhóm: Lê Hà ThuA. Lý thuyết căn bản chương 1. Những khái niệm cơ bản về xác suất.CHƯƠNG 1: NHỮNG KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ XÁC SUẤT1. Định lý cộng xác suất.Định lý: c u t c a t ng hai i n c ung h c ng t ng c c c u t c a c c i n c đó. Hệ quả 1: Cho A1, A2, …, Anlà c c i n c ung h c từng đôi hi đó:   niniiA P A P1 1) ( ) ( Hệ quả 2: N u c c i n c A1, A2, …, Anlà nhóm đầy đ c c i n c thì t ng c c c u t c a chúng ng 1. Hệ quả 3: T ng c u t c a hai i n c đ i lập nhau ng 1.2. Định lý nhân xác suất.Định nghĩa 1: Hai i n c A và B gọi là độc lập với nhau n u việc ảy ra hay hông ảy ra c a i n c này hông làm thay đ i c u t c a i n c ia và ngược lại. còn n u hông như th tức là việc ảy ra hay hông ảy ra c a i n c này làm thay đ i c u t c a i n c ia thì hai i n c đó gọi là phụ thuộc nhau.Chú ý: N u A và B độc lâp thì A và B; Avà B ; Bvà Acũng độc lập với nhau.Định nghĩa 2: C c i n c A1, A2, …, Angọi là độc lập từng đôi với nhau n u mỗi cặp hai trong n i n c đó độc lập với nhau.Định nghĩa 3: C c i n c A1, A2, …, Angọi là độc lập toàn phần với nhau n u mỗi i n c độc lập với một t hợp tùy ý c a c c i n c còn lại. Hệ quả 1: N u A và B độc lập thì: ) () . () (B PB A PA P và) () . () (A PB A PB P khi P(B) > 0 và P(A) >0. Hệ quả 2: c u t c a tích n i n c độc lập toàn phần ng tích c c c u t thành phần:   niiniiA P A P1 1) ( ) (Đinh nghĩa 4: c u t c a i n c A được tính với điều iện i n c B đã ảy ra gọi là c u t có điều iện c a A và ý hiệu là P(AB).Định lý 2: c u t c a tích hai i n c phụ thuộc A và B ng tích c u t c a một trong hai i n c với c u t có điều iện c a i n c còn lại:P(A.B) = P(A).P(BA) = P(B).P(AB)  Hệ quả 1: N u P(B) > 0 thì c u t c a i n c A với điều iện i n c B đã ảy ra được tính ng: ) () . () (B PB A PB A P , còn n u P(B) = 0 thì c u t trên hông c định. Hệ quả 2: c u t c a tích n i n c phụ thuộc ng tích c u t c a n i n c đó, trong đó c u t c a mỗi i n c ti p theo au đều được tính với điều iện t t cả c c i n c ét trước đó đã ảy ra: P( A1A2….An) = P(A1).P(A2A1).p(A3A1A2)..….P(AnA1A2…..An1) Nhóm: 024Trưởng nhóm: Lê Hà Thu N u A và B là c c i n c độc lập thì: P(AB) = P(A) và P(BA) = P(B) 3. Công thức Becnuni.Định nghĩa: n phép thử độc lập được gọi là n phép thử Bernoulli n u thỏa mãn hai điều iện au: Mỗi phép thử ảy ra hai i n c A hoặc A. P(A) = p, P(A) như nhau với mọi phép thử. Ký hiệu : Pn(x) =x n x xnq p C..4. Công thức xác suất đầy đủ.Giả ử i n c A ảy ra đồng thời với một trong c c i n c H1,H2,…,Hn. Nhóm H1,H2,…,Hnlà nhóm đầy đ c c i n c . hi đó c u t c a i n c A được tính ng công thức: P(A) =nii iH A P H P1) ( ) (c c i n c H1,H2,…,Hn gọi là c c giả thuy t.5. Công thức Bayes.Giả ử i n c A có thể ảy ra đồng thời với một trong n i n c H1,H2,…,Hntạo nên một nhóm đầy đ c c i n c .Suy ra: P(HiA) =nii ii i i iH A P H PH A P H PA PH A P H P1) ( ) () ( ) () () ( ) (.Baye (công thức này cho phép đ nh gi lại c u t ảy ra c c giải thuy t au hi đã i t t quả c a phép thử là i n c A đã ảy ra.B. Bài tập.1. Phần 1.1 Các công thức xác suất Bài 1:Gọi Ai là i n c chọn được học inh thứ i ( i= 1..4 )a) c u t ao cho 4 em được chọn có ít nh t 1 em lớp 10AGọi A là i n c chọn đồng thời 4 học inh ao cho ít nh t 1 h lớp 10ATH1: Chọn được 1 học inh lớp 10AP(A1) = =TH2 : Chọn được 2 học inh lớp 10AP(A2) == = TH3 : Chọn được 3 học inh lớp 10A Nhóm: 025Trưởng nhóm: Lê Hà ThuP(A3) = = =TH 4: Chọn được 4 học inh lớp 10AP(A4) = =P(A) = P(A1) + P(A2) + P(A3) + P(A4) = 3599 + 1433 + 1499 + 199 =0,93b)Gọi Ā là i n c chọn được học inh c a cả 3 lớpTH1 : Chọn được 2 h lớp 10A, 1 h lớp 10B, 1 h lớp 10CP(Ā1) = = TH2: Chọn được 1 h lớp 10A, 2 học inh lớp 10B, 1 học inh lớp 10CP(Ā2)= = TH3: Chọn được 1 h lớp 10A, 1 h lớp 10B, 2 h lớp 10CP(Ā3)= = P(Ā) = P(Ā1) + p(Ā2) + P(Ā3) = .Vì A và Ā là đ i lập nên c u t chọn được 4 học inh hông qu 2 trong 3 lớp trên nên P(A) = 1 P(Ā) = 1 – 611 = 511Bài 2:a, Gọi A là i n c 4 quả l y được có 2 quả đỏ, 1 quả anh và 1 quả vàng.m = = 90n = P(A) = = = 0,18 , Gọi B là i n c 4 quả l y được thuộc đúng 2 trong 3 màu.P(B) = = =0,44Bài 3:S trường hợp có thể ảy ra hi rút ngẫu nhiên từ mỗi hòm ra 1 t m thẻ là: n= 5.5 = 25a. Gọi A là i n c t ng c c i n c “ t ng c c ghi trên 2 t m thẻ là 7 ”. Nhóm: 026Trưởng nhóm: Lê Hà ThuS thuận lợi cho A là: mA= 4.Ω = { 2 5, 5 2, 3 4, 4 3}P(A) = = 0,16b. Gọi B là i n c “t ng c c ghi trên 2 t m thẻ rút ra hông nhỏ hơn 3”Ta có: t ng ghi trên 2 t m thẻ nhỏ hơn 3 chỉ hi rút cả 2 hòm đều vào 1Chỉ có 1 trường hợpmB= 251 = 24P(B) = = 0,96Bài 4:Vì có 12 hành h ch lên 3 toa tàu nên ta có c ch lên tàu;a)Gọi A là i n c 12 hành h ch đều lên toa I,Ta có trường hợp thuận lợi cho A là: 1Vậy c u t để 12 hành h ch đều lên toa I là:P(A) = .b)Gọi B là i n c có 4 hành h ch lên toa I, 5 hành h ch lên toa II và còn lại lên toa III,Ta có trường hợp thuận lợi cho B là: . . = 2770,Vậy c u t để có 4 hành h ch lên toa I, 5 hành h ch lên toa II và còn lại lên toa III:P(B) = ≈ 0,052.Bài 5:Gọi A là i n c gồm 6 inh viên trong đó có ít nh t 2 nữ;Ta có = = n;+)TH1: Ban c n ự lớp có Cường mà hông có Hoa, + = 141 (c ch);+)TH2: Ban c n ự lớp có Hoa mà hông có Cường, + + = 185 (c ch);+)TH3: Ban c n ự lớp hông có cả Cường và Hoa, Nhóm: 027Trưởng nhóm: Lê Hà Thu + = 65 (c ch);Vậy P(A) = = 0,85.Bài 6 : a, Gọi Ai là i n c lần quay thứ i quay trúng màu đỏ ( i=1,2)Ta có c u t cả hai lần quay đều dừng ở con màu đỏ là: P(A1.A2)Do A1, A2 độc lập với nhau nên: P(A1.A2)=P(A1).P(A2) = = 0,224b,Gọi Bi là i n c lần quay thứ i quay trúng màu đen (i=1,2)Ta có c u t cần tính là P(A1.B2+A2.B1)=P(A1.B2)+P(A2.B1)P(A1.B2.A2.B1)= P(A1).P(B2)+P(A2).P(B1)Do đó: P(A1.B2+A2.B1)= + = 0,448Bài 7: S trường hợp có thể ảy ra là a, Gọi A là i n c 3 lần quay lần lượt dừng ở 3 vị trí h c nhau.Để 3 lần quay vào 3 vị trí h c nhau:Lần 1 vào 1 trong 7 vị trí=> có 7 hả năngLần 2 vào 1 trong 6 vị trí => có 6 hả năngLần 3 vào 1 trong 5 vị trí => có 5 hả năng=>m=765.Vậy P(A)= = b, Gọi B là i n c 3 lần quay liên ti p chỉ dừng ở đúng 1 vị trí Ta có lần 1 có 7 hả năng.Lần 2 có 1 hả năngLần 3 có 1 hả năngVậy: m=711=7P(B)= = Bài 8 :a, Nhóm: 028Trưởng nhóm: Lê Hà ThuGọi A1 là i n c quay lần đầu nh e dừng lại tại một thuộc 1,6Gọi A2 là i n c quay lần hai nh e dừng là tại một thuộc 1,6Ta có : P(A1)=P(A2) = ; P( )=1P(A2) =Ta có c u t cần tính là P(A1. ).Do A1 và là hai i n c độc lập lên ta có:P(A1. )=P(A1).P( )= = 0,133 ,Gọi A là i n c au 3 lần quay nhận được ộ a h c nhau từng đôi một.Ta có trường hợp thuận lợi cho việc u t hiện i n c A là =38.37.36S trường hợp đồng hả năng ( ộ a t ỳ) có thể ảy ra là: 38 38x38Vậy ta uy ra c u t cần tính là P(A)= = 0.922Bài 9: Không có đề ài trong tờ ài tập.Bài 10: a, Do chỉ có 3 lớp nên trong 4 em có luôn có 2 em cùng lớp.Vậy c u t 4 em được chọn hông cùng lớp là ng 0. , Có 2 th: TH1: học inh lớp 10A= học inh lớp 10C = 1, c ch là:53C(4,2)=90TH1: học inh lớp 10A= học inh lớp 10C = 2, c ch là:C(5,2)C(3,2)=30Vậy t ng c ch là : 120. c u t là : 120C(12,4) = 120495=0,2424Bài 11:Gọi A1là i n c m y 1 hoạt động t t và là i n c m y 1 hông hoạt động t tGọi A2là i n c m y 2 hoạt động t t và là i n c m y 2 hông hoạt động t tGọi A3là i n c m y 3 hoạt động t t và là i n c m y 3 hông hoạt đông t tP(A1) = 0,99 P(A2) = 0,95 P(A3) = 0,90a, Tìm c u t trong thời gian T có đúng 1 m y hoạt động t t.P = (10,99) .(10,95) .(0,90) + (10,99). (0,95).(10,90) + (0,99) . (10,95).(10,99) = 0,00635 , Ít nh t 1 m y hoạt động t t. Nhóm: 029Trưởng nhóm: Lê Hà ThuCả 3 m y hông hoạt động t t: Do là 3 i n c độc lập =(1 – 0,99) . (1 – 0,95) . (1 – 0,90) = 0,00005Ít nh t 1 m y hoạt động t t tức là hông ảy ra trường hợp 3 m y hông hoạt động t tBài 12: Gọi A là i n c l y được i quả hỏng ( i= 0,1,2)Gọi A1 là i n c l y ra 1 quả hỏng :P(A1) = (C(60,9).C(20,1) C(80,10) = 0,175 Gọi A2 là i n c l y được 2 quả hỏng:P(A2) = C(60,8).C(20,2) C(80,10) = 0,295Gọi A0 là i n c hông l y phải quả hỏng nàoP(A0) = C(60,10).C(20,0) (80C10) = 0,046Vậy c u t l y được nhiều nh t 2 quả hỏng làP(A) = P(A0) + P(A1) + P(A2) = 0,175 + 0,295 + 0,046 = 0,5209Bài 13:a, Gọi A là i n c có đúng 2 người ném trúng r Gọi Ailà i n c người thứ i ném trúng r (i= 1..3)P(A) = P(Ā1) P(A2) P(A3) + P(A1) P(Ā2) P(A3) + P(A1) P(A2) P(Ā3)= 0,3 0,9 0,8 + 0,7 0,1 0,8 + 0,7 0,9 0,2 = 0,398 , Gọi B là i n c có ít nh t một người ném trúng r .Gọi là i n c hông ai ném trúng r ⇨ P( ) = P(Ā1) P(Ā2) P(Ā3) = 0,3 0,1 0,1 = 0,006Vậy P(B) = 1 – 0,006 = 0,994c, Gọi C là i n c người thứ 2 ném trúng r và có 2 người ném trúng r .P(C) = P(Ā1) P(A2) P(A3) + P(A1) P(A2) P(Ā3) = 0,3 0,9 0,8 + 0,7 0,9 0,2 = 0,342Bài 14.Gọi Ai là i n c “m y thứ i ị hỏng trong 1 ca làm việc” , i= 1,2, 3.a. Gọi A là i n c có ít nh t 1 m y ị hỏng Nhóm: 0210Trưởng nhóm: Lê Hà ThuTa có là i n c đ i lập c a A, trong đó là i n c hông có m y nào ị hỏng.= 1 2 3= P(1 2 3) = P(1)P(2)P(3)= (1 – 0,01)(1 0,1)(1 0,5) = 0,4455Vậy P(A) = 1 = 1 – 0,4455 = 0,5545b. Gọi B là i n c có đúng 1 m y hông ị hỏngTa có B = 1A2A3+A1 2A3+A1A2 3P(B) = P(1A2A3+A1 2A3+A1A2 3)= (10,01).0,1.0,5+0,01.(10,1).0,5+0,01.0,1.(10,5)=0,0545c. Ta có:P( 1B) = == = Bài 15:Gọi E là i n c l y được ít nh t 2 em inh viên h hoặc giỏi to n,Gọi Ailà i n c l y được i inh viên h hoặc giỏi to n là: i = 2,3,4,5.Ta có:P(A2) = ≈ 0,355.P(A3) = ≈ 0,26.P(A4) = ≈ 0,09.P(A5) = ≈ 0,011.Vậy c u t để l y được ít nh t 2 em inh viên h hoặc giỏi to n là: P(E) = P(A2) + P(A3) + P(A4) + P(A5)= 0,355 + 0,26 + 0,09 + 0,011 = 0,716.Bài 16: a)Gọi A là i n c có đúng một m y hỏng. Nhóm: 0211Trưởng nhóm: Lê Hà ThuA= + + ,→ P(A)= P( ) + P( ) + P( )=P( ).P( ).P( ) + P( ).P( ).P( ) + P( ).P( ).P( )= 0,09.0,05.0,1 + 0,01.0,95.0,1 + 0,01.0,05.0,9 =0,0063.b)Gọi B là i n c có ít nh t một m y hoạt động t t,P(B)= P(B1 + B2 + B3) = P(B1) + P(B2) + P(B3) – P(B1.B2) – P(B2B3) – P(B3B1) + P(B1.B2.B3)= 0,09 + 0,95 + 0,9 – 0,95.0,09 – 0,95.0,9 – 0,9.0,99 + 0,95.0,99.0,9 = 0,999c)Gọi C là i n c m y I hoạt động t t và có đúng 1 m y hoạt động t t,Ta có: P(C) = P( ).P( ).P( )=0,99.0,95.0,9 = 0,00495.Bài 17 A, Gọi Ai là i n c l y được 2 chính phẩm ở lô 1 (i=1,2) c u t để l y được cả 4 chính phẩm là P(A1.A2)=P(A1).P(A2) ( vì A1,A2 độc lập)P(A1.A2)= = 0,28 , Gọi Bi là i n c l y được 2 ph phẩm ở lô i (i=1,2)Ci là i n c l y được duy nh t 1 chính phẩm ở lô i (i=1,2)Ta có c u t cần tính là:P(A1.B2+A2.B1+C1.C2)=P(A1.B2)+P(A2.B1)+P(C1.C2)=P(A1).P(B2)+P(A2)P(B1) + P(C1).P(C2)= + + P(C1).P(C2)P(C1)= P(C2)= Suy ra P(A1.B2+A2.B1+C1.C2) = + + =0,02+0,07+0,15=0,24; Nhóm: 0212Trưởng nhóm: Lê Hà Thu2. 1.2.Công thức xác suất đầy đủ. công thức BayesBài 1 a, Gọi A1 là i n c t gặp 1 người dân là namA2 là i n c t gặp 1 người dân là nữ.A là i n c t gặp 1 người dân t t nghiệp đại học.⇨ A=A.A1+A.A2Ta có: P(A1)=0,45; P(A2)= 0,55; P(AA1)=0,2; P(AA2)=0,15Vậy P(A)=P(A1).P(AA1)+P(A2).P(AA2) = 0,450,2 + 0,550,15 =0,1725 , Ta cần tính c u t P(A1A)Có P(A1A)= = = 0,52Bài 2 :a,Gọi i n c A là i n c rút được ệnh n c a ệnh nhân ị i n chứng.A1 là i n c rút được ệnh n c a ệnh nhân ị ỏng do nóng. => P(A1)=0,8A2 là i n c rút được ệnh n c a ệnh nhân ị ỏng do hóa ch t. =>P(A2)=0,2Ta có: P(AA1)=0,3 , P(AA2)=0,5Mặt h c A1,A2 lập thành nhóm i n c đầy đ và A chỉ ảy ra đồng thời với 1 trong 2 i n c A1,A2.Do đó p dụng công thức c u t đầy đ ta có:P(A)=P(A1).P(AA1)+P(A2).P(AA2)P(A)=0,8x0,3+0,2x0,5=0,34 , Ta có c u t cần tính ẽ là P(A1A).Áp dụng công thức Baye ta có: P(A1A)= = = 0,705Bài 3:a)Gọi A là i n c l y được 2 chính phẩm từ lô II,A1là i n c l y được 1 chính phẩm từ lô I,A2là i n c l y được 1 ph phẩm từ lô I.Ta có: P(A1) =3040=0,75; P(A2) = 0,25;Theo định nghĩa c u t ta có: Nhóm: 0213Trưởng nhóm: Lê Hà ThuP(AA1) = ;P(AA2) = ;Vậy c u t để 2 ản phẩm l y ra từ lô II đều là chính phẩm là: P(A) = P(A1)P(AA1) + P(A2)P(AA) = 0,75 + 0,25 = 0,3887.b)Gọi B là i n c ản phẩm l y ra từ lô II có 1 chính phẩm và 1 ph phẩm,B1là i n c ản phẩm l y từ lô I là chính phẩm,B2là i n c ản phẩm l y từ lô I là ph phẩm.Ta có: P(B1) = = 0,75; P(B2) = = 0,25;Theo định nghĩa c u t ta có: P(BB1) = = = ;P(BB2) = = = ;Vậy c u t để 2 ản phẩm l y ra từ lô II có 1 chính phẩm và 1 ph phẩm là: P(B) = P(B1)P(BB1) + P(B2)P(BB2) = 0,75 + 0,25 = 0,4786;Bài 4: a, Gọi i n c mua được m y chính hãng là AA1 là i n c mua m y c a IBMA2 là i n c mua m y ACERCó A=A.A1+A.A2P(A1)=0,4;P(A2)=0,6; P(AA1)=0,8; P(AA2)=0,9Suy ra P(A)=P(A1).P(AA1)+P(A2).P(AA2)=0,40,8+0,60,9=0,86B,Ta tính P( ) và P( ) rồi o nh .P( ) . P( ) = P( A1).P(A1) => P( ).(10,86)=0,2 0,4=> P( )=0,57 Nhóm: 0214Trưởng nhóm: Lê Hà ThuP( ) . P( ) = P( A2).P(A2) => P( ).(10,86)=0,1 0,6> P( )=0,428Vậy c u t là m y c a I m nhiều hơn.Bài 5:Gọi E1: nhóm 5 thí inh có hả năng đạt giải u t cE2: nhóm 7 thí inh có hả năng đạt giải u t cE3; nhóm 4 thí inh có hả năng đạt giải u t cE4; nhóm 2 thí inh có hả năng đạt giải u t cTheo ài ra ta có;P(E1) = ; P(E2) = ; P(E3) = ; P(E4) = ;P(AE1) = 0,2 P(AE2) = 0,3 P(AE3) = 0,4 P(AE4) = 0,5Áp dụng công thức Bayet, nên ta có;P(E1A) = = P(E2A) = = P(E3A) = = P(E4A) = = Vậy thí inh có hả năng ở nhóm 2Bài 6:Gọi Ai là ạ th thứ i n trúng mục tiêu (i= 1,2,3)Gọi A1 là i n c ạ th thứ nh t n trúng mục tiêu: P(A1) = 0,8A2 là i n c ạ th thứ hai n trúng mục tiêu: P(A2) = 0,85 A3 là i n c ạ th thứ a n trúng mục tiêu: P(A3) = 0,9a, c u t để 2 viên đạn trúng đíchA = A1A2 Ā3 + A1 Ā2A3 + Ā1A2A3 P(A) = P(A1A2 Ā3 + A1 Ā2A3 + Ā1A2A3)= P( A1).P(A2).P( Ā3) + P (A1)P( Ā2)P(A3) + P (Ā1)(A2)(A3)= 0,8.0,85.(10,9) + 0,8.(10,85).0,9 + (10.8).0,85,0.9 Nhóm: 0215Trưởng nhóm: Lê Hà Thu= 0,329 , Gọi Ai là i n c có i viên đạn trúng đích (i= 0,1,2,3)Ai là hệ đầy đ Gọi A là i n c mục tiêu ị tiêu diệt c u t để đúng 1 mục tiêu ị trúng đích là:P1= P(A1).P(Ā2).P(Ā3) + P (Ā 1)P( A2)P(Ā 3) + P (Ā1)( Ā 2)(A3)= 0,8.0,15.0,1 + 0,2.0,85.0,1 + 0,2.0,15.0,9 = 0,056 c u t để đúng 2 mục tiêu ị trúng đích là:P2 = P( A1).P(A2).P( Ā3) + P (A1)P( Ā2)P(A3) + P (Ā1)(A2)(A3)= 0,8.0,85.(10,9) + 0,8.(10,85).0,9 + (10.8).0,85,0.9 = 0,329 c u t để đúng 3 mục tiêu ị trúng đích là:P3 = 0,8.0,85.0,9 = 0,612P(A) = 0,7.P1 + 0,9.P2 + 1.P3 = 0,7.0,056 + 0,9.0,329 + 1.0,612 = 0,9473Bài 7:a, Gọi Ailà i n c công u t c a m y i (i = 1,2)Gọi A là i n c tỷ lệ ph phẩm.Giả ử công u t c a m y là 100%Mà công u t c a m y 2 g p đôi công u t m y 1Công u t m y 1 = 33%Công u t m y 2 = 67%P() = P(A1) P(AA1) + P(A2) P(AA2) = 0,33 0,1 + 0,67 0,2 = 0,167 , L y ngẫu nhiên 2 ản phẩm c a ưởng thì chỉ có một ản phẩm t t.Gọi B là i n c ản phẩm t t đó là c a m y 1.P(B) = = = 0,198Bài 8:Gọi A1,A2,A3lần lượt là i n c chuyển 1,2,3 file. l từ thư mục 1 ang thư mục 2A là i n c chọn được file. l ở thư mục 2⇨ P(A) = P(AA1).P(A1)+P(AA2).P(A2)+P(AA3).P(A3)= 315.514+315.614+115.714 = 421 Bài 9:S trường hợp có thể ảy ra là: .a) Gọi A là i n c Nam mua được 2 óng t t,Ta có trường hợp thuận lợi cho A là: .Vậy c u t để Nam mua được 2 óng t t là: Nhóm: 0216Trưởng nhóm: Lê Hà ThuP(A) = = 0,625.b) Gọi B là i n c Nam mua ít nh t được 1 óng t t,Ta có: P(B) = + P(A) = 0,98.c)Gọi C là i n c Nam đưa cho Lan là óng t t,Cilà i n c Nam mua được I óng t t: i = 0,1,2.→ C1, C2, C3là 1 hệ i n c đầy đ , ung h c từng đôi.Ta có: P(C1) = 0,625; P(C2) = P(B) – P(A) = 0,355; P(C3) = = 0,023;P(CC1) = 1; P(CC2) = 0,5; P(CC3) = 0;Vậy c u t đề Nam đưa cho Lan óng t t là: P(C) = P(C1).P(CC1) + P(C2).P(CC2) + P(C3).P(CC3)= 0,625.1 + 0,355.0,5 + 0,023.0 = 0,8025.Bài 10: a) Gọi A = “Tín hiệu ph t ra là A”B = “Tín hiệu ph t ra là B”C = “ Thu được tín hiệu A”D = “Thu được tín hiệu B”Ta có: {A,B} là hệ i n c đầy đ .P(A) = 0,8; P(B) = 0,2;P(CA) = ; P(DB) = ;Áp dụng công thức c u t đầy đ ta có c u t thu được tín hiệu A:P(C) = P(A).P(CA) + P(B).P(DB)= 0,8.(1 ) + 0,2. = 0,665.b) c u t thu được đúng tín hiệu lúc ph t là: Nhóm: 0217Trưởng nhóm: Lê Hà ThuP(AC) = = = 0,96.Bài 11 :Gọi A là i n c anh ta ị viêm họng.B là i n c anh ta là người hút thu c l .là i n c anh ta hông hút thu c l .Ta có P(B)=0,35; P( )=0,65; P(AB)=0,65; P(A )=0,3;.a, P(A)=(P(B).P(AB)+P( ).P(A ) = 0,350,65+0,650,3= 0,4225 c u t để anh ta là người hút thu c l hi anh ta viêm họng: P(BA)= = = 0,54 , c u t để anh ta hông viêm họng:P( ) =1P(A)=10,4225=0,5775 c u t để anh ta là người hút thu c hi anh ta hông ị viên họng: P(B )= = = 0,2Bài 12 :a, Gọi A1 là i n c chuẩn đo n cho ệnh nhân có ệnhGọi A2 là i n c chuẩn đo n cho ệnh nhân hông có ệnhA là i n c chuẩn đo n đúng.Ta có A=A.A1+A.A2P(A1)=0,8; P(A2)=0,2; P(AA1)=0,9; P(AA2)=0,85=>P(A)=0,80,9 + 0,20,85 =0,89 , Ta cần tính P(A1A).Có P(A)P(A1A)=P(AA1)P(A1)Suy ra 0,89P(A1A)=0,80,9P(A1A)= = 0,809Bài 13 :a,Gọi A1 là i n c h ch hàng thuộc nhóm ít r i ro =>P(A1)=0,2Gọi A2 là i n c h ch hàng thuộc nhóm r i ro trung ình =>P(A2)=0,5Gọi A3 là i n c h ch hàng thuộc nhóm r i ro cao. =>P(A3)=0,3Gọi A là i n c h ch hàng ị r i ro trong 1 năm.Ta có P(AA1)=0,05 , P(AA2)=0,15; P(AA3)= 0,3Do A1,A2,A3 là nhóm i n c đầy đ và A đồng thời ảy ra với duy nh t 1 trong c c i n c đó nên p dụng công thức c u t đầy đ ta được: P(A)=P(A1).P(AA1)+P(A2).P(AA2)+P(A3).P(AA3)P(A)=0,20,05 + 0,50,15 + 0,30,3=0,175b, Nhóm: 0218Trưởng nhóm: Lê Hà Thu c u t cần tính là P(A1A).Áp dụng công thức Baye ta có: P(A1A)= = = 0,057Bài 14:Gọi Ailà i n c ản phẩm l y ra từ phân ưởng i: i={1;2};A là i n c ản phẩm l y ra là ph phẩm.Ta có: P(A1) = 0,4; P(A2) = 0,6;P(AA1) = 0,01; P(AA2) = 0,02;Vậy c u t ản phẩm l y ra là ph phẩm là: P(A) = P(A1)P(AA1) + P(A2)P(AA2)= 0,40,01 + 0,60,02 = 0,016. c u t để ph phẩm này do phân ưởng 1 ản u t là:P(A1A) = = = 0,25. c u t để ph phẩm này do phân ưởng 2 ản u t là:P(A2A) = = = 0,75.Bài 15: c u t chuẩn đo n đúng hi chuẩn đo n có ệnh là 0,9 c u t chuẩn đo n đúng hi chuẩn đo n hông có ệnh là 0,5a,Gọi A1 là i n c người đ n h m có ệnhA2 là i n c người đ n h m hông có ệnhA là i n c chuẩn đo n có ệnhTa có A=A.A1+A.A2P(A1)=0,8; P(AA1)=0,9; P(A2)=0,2; P(AA2)=0,5P(A) = P(A1)P(AA1) + P(A2)P(AA2) = 0,80,9+0,20,5 = 0,82b,P(A.A1 + .A2 ) =P(A.A1)+P( .A2)=P(A1).P(AA1)+P( ).P(A2 )= 0,80,9+0,180,5=0,81Bài 16: Gọi A1 là i n c inh viên do gi o viên 1 iểm traA2 là i n c inh viên do gi o viên 2 iểm tra Nhóm: 0219Trưởng nhóm: Lê Hà ThuA là i n c inh viên được công nhận au hi iểm traTa có A=A.A1+A.A2Và P(A1)=0,55 ;P(A2)=0,45; P(AA1)=0,94; P(AA2)=0,98P(A)=P(A1).P(AA1)+P(A2).P(AA2)=0,55.0,94+0,45.0,98=0,517+0,441=0,958 c u t đề ài yêu cầu tính là P(A2A).Ta có P(A).P(A2A)=P(AA2).P(A2) => 0,958.P(A2A)=0,45.0,98 P(A2A)=0,46Bài 17:Gọi Ai là m t i i đỏ (i = 0 ,1 )a,Gọi A là rút hú họa được i đỏ trong hộp còn lại A0 là hông m t i đỏ nào: P(A0) = 610 P(AA0) = 69A1 là m t 1 i đỏ P(A1) = 510 P(AA1)= 59P(A) = P(A0).P(AA0) + P(A1).P(AA1) = 610.69 + 510.59 = 619 ,Gọi A là i n c l y được 1 i màu đỏ và 1 i màu anh,A1là i n c viên ị ị m t có màu đỏA2 là i n c viên i ị m t có màu anh.Ta có P(A1)= 59; P(A2)= 39;Theo định nghĩa c u t ta có:P(AA1)= = =P(AA2)= = =0,5Vậy P(A)=P(A1).P(AA1) + P(A2).P(AA2) = 59.59 + 39.0,5= 0,475Bài 18:Gọi A là i n c chọn được thỏ tr ngAi là i n c chọn được thỏ ở chuồng i (i = 1,2)P(A) = P(A1) P(AA1) + P(A2) P(AA2)= + = 0,52 Vậy c u t để con thỏ tr ng đó được t từ chuồng thứ nh t là:P(A1A) = = =0,32Bài 19Gọi A1là i n c đoàn thanh tra l y lô hàng thứ nh t I__ A2_____________________________________ II Nhóm: 0220Trưởng nhóm: Lê Hà ThuA là i n c ản phẩm được iểm tra là ph phẩmADCT Bayes P(A1A) = = = 713Bài 20:Gọi Ailà i n c iểm tra loại ản phẩm i: i = 1,2;A là i n c iểm tra ản phẩm đưa ra thị trường,Ta có:P(A1) = 0,75; P(A2) = 0,25;P(AA1) = 0,9; P(AA2) = 0,99;a) Ta có: P(A) = 0,75.0,9 + 0,25.0,99 = 0,9225,Phần trăm c a ản phẩm c a lô hàng hông được đưa ra thị trường là: 100% (0,9225.100%) = 7.75%b) c u t ản phẩm được đưa ra thị trường là: P(A1A) = = = 0,732.Vậy phần trăm ản phẩm được đưa ra thị trường là: 73,2%3. 1.3 Công thức Becnulli.Bài 1Gọi A là i n c để trong 5 tín hiệu đã ph t có 4 tín hiệu ph t thành công,B là i n c để trong 4 tín hiệu ph t thành công có 3 tín hiệu chính c,Theo công thức Becnoulli ta có: c u t để trong 5 tín hiệu đã ph t có 4 tín hiệu ph t thành công là: = . .0,01 = 0,048; c u t để trong 4 tín hiệu ph t thành công có 3 tín hiệu chính c là:= . .0,05 = 0,16 Nhóm: 0221Trưởng nhóm: Lê Hà ThuBài 2 :a, Gọi p là c u t chọn được đ p n đúng: p=0,25q là c u t chọn đ p n ai, q=0,75Gọi A là i n c thí inh được 15 điểm, để có 15 điểm thí inh phải trả lời đúng 5 câu nên P(A)= (5)= = 0,058 , Gọi B là i n c thí inh đỗ, để đỗ thí inh phải trả lời đúng 7 câu trở lên.Vậy P(B)= (7,10)= + + + = 0,00351Bài 3 :Coi việc trả lời mỗi câu hỏi là một phép thử thì ta có 12 phép thử độc lập, trong mỗi phép thử có hai hả năng đ i lập là : đúng , ai.Mỗi câu có 4 phương n trả lời nên c u t trả lời đúng là 14=0,25;Bài to n thỏa mãn lược đồ Becnulli.a,Để thi được 13 điểm thí inh phải làm đúng 5 câu.Ta có : (5)= =0,1032b,Thí inh ị âm điểm hi thí inh làm được câu đúng nhỏ hơn hoặc ng 2.Vậy (0,2)= + + = 0,6733Bài 4 :a,Gọi A là i n c n được hàng ở đúng 2 nơi trong 10 nơi.Áp dụng công thức Becnulli ta có: P(A)= =450,040,17=0,306b,Gọi B là i n c n được hàng ở ít nh t một nơi.Ta có:P(B)=1P( );Mặt h c là i n c hông n được hàng ở đúng 10 nơi.=>P( )= = Suy ra P(B)=1 = 10.107=0,893Bài 5: a)Gọi A là i n c lớp học đ nh ng, Ailà i n c lớp có i óng đèn ng: i={4,5,6}.Theo đề ài, mỗi óng có c u t ch y là 0,25;→ c u t ng c a mỗi óng là 0,75. c u t để lớp học lần lượt có 4, 5, 6 óng đèn ng làP(A4) = 0,2966;P(A5) = 0,25 0,3559; Nhóm: 0222Trưởng nhóm: Lê Hà ThuP(A6) = 0,1779.Vậy c u t để lớp học có đ nh ng là: P(A) = P(A4) + P(A5) + P(A6) 0,8305.b)Gọi là i n c để lớp học hông có đ nh ng;Ta có là i n c đ i c a i n c A nên: c u t để lớp học hông đ nh ng là: P( ) = 1 – P(A) = 1 – 0,8305 = 0,1695.Bài 6: a, Người ay rượu trở về điểm u t ph t au 8 ước hi anh ta có đúng 4 ước ước về phía trước .Vậy (4)=C(8,4) =0,27 ,Để c ch đích >4m chỉ có 2 th:Th1: ước ti n là 1 và lùi là 7: (1)=C(8,1) =0,03125Th2: ước ti n là 7 và ước lùi là 1 (7)=C(8,7) =0,03125Suy ra c u t cần tính là: 0,0625.A. Lý thuyết căn bản. Chương 2: Đại lượng ngẫu nhiên.CHƯƠNG 2 : ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN 1. Bảng phân phối xác suất.Giả ử i n ngẫu nhiên rời ạc có thể nhận c c gi trị: x1, x2, …., nvới c c c u t tương ứng là: p1, p2,…., pn. Ta lập ảng au:Xx1x2 … xi …… xnP(xi) p1p2pipnVới:   niiipi p11, 1 0Nhóm: 0223Trưởng nhóm: Lê Hà Thu2. Hàm phân phối xác suất.Định nghĩa: Hàm phân c u t c a i n ngẫu nhiên , ý hiệu F( ), là để i n ngẫu nhiên nhận gi trị nhỏ hơn , với là một thực t ỳ: Fx(x) = P(X < x) N u là i n ngẫu nhiên rời rạc thì 11101iix j i ijnkhi x xF x p khi x x xkhi x x   . N u là đại lượng ngẫu nhiên liên tục thì    xxF x f u du. Trong đó: f(u) là mật độ c u t c a đại lượng ngẫu nhiên liên tục . Các tính chất:+ Tính chất 1: Hàm phân c u t luôn nhận gi trị trong đoạn 0; 1: 0 ≤ F(x) ≤ 1+ Tính chất 2: Hàm phân c u t là hàm hông giảm, tức là với 2> x1thì F(x2) ≥ F( 1). Các hệ quả: Hệ quả 1: c u t để i n ngâu nhiên nhận gi trị trong hoảng a; ) ng hiệu c a hàm phân c u t tại hai đầu hoảng đó:P(a ≤ X < b) = F(b) –F(a) Hệ quả 2: c u t để i n ngẫu nhiên liên tục nhận một gi trị c định = thì ng 0: P(X = x) = 0. Hệ quả 3: Đỗi với i n ngẫu nhiên liên tục ta có c c đẳng thức au:P(a ≤ X ≤ b) = P (a ≤ X < b) = P(a < X ≤ b) = P(a < X < b)+ Tính chất 3: Ta có iểu thức giới hạn au: 1 ) ( ; 0 ) (     F F3. Hàm mật độ phân phối xác suất. (chỉ áp dụng được với biến ngẫu nhiên liên tục)Định nghĩa: Hàm mật độ c u t c a bi n ngẫu nhiên liên tục ( ý hiệu là f( )) là độ hàm ậc nh t c a hàm phân c u t c a bi n ngẫu nhiên đó: Fx’(x) = f(x)Các tính chất:+ Tính chất 1: Hàm mật độ c u t luôn hông âm: f( ) ≥ 0 với mọi x.+ Tính chất 2: c u t để bi n ngẫu nhiên liên tục X nhận gi trị trong khoảng (a;b) b ng tích phân c định c a hàm mật độ c u t trong khoảng đó: P(a < X < b) =badx x f ) (+ Tính chất 3: Hàm phân c u t c a bi n ngẫu nhiên liên tục X b ng tích phân uy rộng c a hàm mật độ c u t trong khoảng ( ∞ ; ): F(x) = xdx x f ) (+ Tính chất 4: Tích phân uy rộng trong khoảng ( ∞ ; +∞ ) c a hàm mật độ c u t b ng 1:   1 ) ( dx x fNhóm: 0224Trưởng nhóm: Lê Hà ThuChú ý: Để f(x) là hàm mật độ xác suất của địa lượng ngẫu nhiên liên tục nào đó thì nó phải thỏa mãn hai điều kiện:   0x1f x xf x d 4. Các tham số đặc trưng của ĐLNN.a. Kỳ vọng.Định nghĩa: Giả ử i n ngẫu nhiên rời rạc nhận một trong c c gi trị có thể có x1, x2,…., nvới c c c u t tương ứng là: p1, p2,….,pn. Kỳ vọng to n c a i n ngẫu nhiên rời rạc , ý hiệu là E( ) là t ng c a c c tích giữa c c gi trị có thể cóc a i n ngẫu nhiên rời rạc với c u t tương ứng: E(X) =nii ip x1 N u là i n ngẫu nhiên liên tục với hàm mật độ c u t f( ) thì ỳ vọng to n E( ) được c định: E(X) = dx x xf ) (Chú ý: Nếu f(x) chỉ trong khoảng (a; b) thì E(X) =()baxf x dxCác tính chất: Tính chất 1: E(C) = C với C là h ng . Tính chất 2: E(C.X) = C.E(X) với C h ng , là i n ngẫu nhiên. Tính chất 3: E(X + Y) = E(X) + E(Y) với ; Y là c c i n ngẫu nhiên độc lập (mở rộng cho n biến ngẫu nhiên độc lập) Tính chất 4: E(X.Y) = E(X).E(Y) với , Y là c c i n ngẫu nhiên độc lập ( mở rộng cho n biến ngẫu nhiên độc lập )b. Phương sai.Định nghĩa: Phương sai c a i n ngẫu nhiên là một thực hông âm, ý hiệu D( ) được c định ởi D(X) = E(X E(X))2.+ Đ i với i n ngẫu nhiên rời rạc ta có thể tính phương ai ng công thức:D(X) =nii iX E p x12 2)) ( (+ Đ i với i n ngẫu nhiên liên tục: D(X) = 2 2)) ( ( ) ( X E dx x f x  . Các tính chất: Tính chất 1: D(C) = 0 với C là h ng . Tính chất 2: D(CX) = C2D( ) với C là h ng là i n ngẫu nhiên Tính chất 3: D( + Y) = D( ) + D(Y) với , Y là c c i n độc lập nhau.Hệ quả: V(X – Y) = V( ) + V(Y) với ; Y là c c i n ngẫu nhiên.Chú ý: Trong thực tế: 22X EX EX D  Nếu X_rời rạc: 2211 Xnni i i iii D x p x p    Nếu X_liên tục:   22X x x x D x f d xf x d     c. Độ lệch chuẩn. Nhóm: 0225Trưởng nhóm: Lê Hà ThuĐại lượng () DX  được gọi là độ lệch chuẩn c a i n ngẫu nhiên .5. Một số các tham số khác.a. Mod. M t ý hiệu là Mod(X) là gi trị c a i n ngẫu nhiên tương ứng với c u t lớn nh t n u là i n ngẫu nhiên rời rạc, là cực đại c a hàm mật độ c u t n u là i n ngẫu nhiên liên tục.b. Med. Công thức: d1d2meMe X F X 6. Một số quy luật phân phối thường gặp.6.1 Phân phối không – một: Ta có: E(X) = p; D(X) = pq nên:   Xpq  . 6.2 Phân phối nhị thức:  N u   , X B n pthì ta có: E( ) = np; D( ) = npq;   Xnpq  ;     d1 mo X n p   .  Chú ý: Áp dụng cho n rất lớn và p khá nhỏ.i) x 1x n xxn P C p q f unpqtrong đó:  21;. 2ux npu f u enpq  ii)      21 P x X x h u u      trong đó:  1211 01; ; .2ux np x h npu u u e dtnpq npq     6.3 Công thức Poisson:  kkP P X k ek   .6.4 Phân phối chuẩn: _liên tục thì:   2221.2xf x e. C c đặc trưng c a là 2EX= , DX .  Khi đó ta ý hiệu:  2, XN .6.5 Phân phối student: Ký hiệu: 2.B. Bài tập chương 2. Đại lượng ngẫu nhiên.2.1 Đại lượng ngẫu nhiên.Bài 1: GTBài 2:a. Gọi là ộ phận ị hỏng:   0,1,2,3 X Gọi Ailà i n c m y ình thường. Nhóm: 0226Trưởng nhóm: Lê Hà Thu                                                1122331 2 31 2 3 1 2 3 1 2 31 2 3 1 2 3 1 2 31 2 3 1 2 30,8; 0,20,3; 0,70,25; 0,750 0,8.0,7.0,75 0,421 0,8.0,7.0,75 0,420,425.3 0,0152 1 3P A P AP A P AP A P AP X P A A AP X P A A A P A A A P A A AP A P A P A P A P A P A P A P A P AP X P A A A P A P A P AP X P X                   0,14.X 0 1 2 3P(X = Xi) 0,42 0,425 0,14 0,015b. 00 0,42 0 10,845 1 20,985 2 313khi xkhi xF x khi xkhi xkhi x    .c. Tính   04 Px .Tính trực ti p:   0 4 ( 1) ( 1) ( 2) ( 3) ( 4)0,425 0,14 0,015 0 0,58P x P X P X P X P X P X                .Bài 3: GTBài 4: a. Ta có: 2222210,24 5 11 ( )k k k k k k kkkkkl          Với = 0,2 ta có:X 0 1 2 3 4 5 6 7P 0 0,2 0,2 0,2 0.2 0.08 0.04 0.08( ) 0 1.0,2 2.0,2 4.0,2 5.0,08 6.0,04 7.0,08 3,2ii E X x p          b.              5 5 6 7 0,23 0 1 2 0,4P X P X P X P XP X P X P X P X              .Bài 6:a. Gọi là l y được quả cầu vàng   0,1,2,3 X Vậy hi đó, ta có: 0 4 1 1 2 2 3 13 9 3 9 3 9 3 94 4 4 412 12 12 12( 0) ; ( 1) ; ( 2) ; ( 3)C C C C C C C CP X P X P X P XC C C C       .Bảng phân ph i:X 0 1 2 3P(X = xi)145528551255155b. Tính: Nhóm: 0227Trưởng nhóm: Lê Hà Thu      22 2214 28 12 1( ) 0. 1. 2. 3. 155 55 55 55()17 17 6( ) 1 .11 11 11iiE X x pD X E X E X E X E XE X P X                    Bài 7: Gọi là em lớp C được chọn   0,1,2,3 X .0 4 1 3 2 2 3 13 9 3 9 3 9 3 94 4 4 412 12 12 1214 28 12 1( 0) ; ( 1) ; ( 2) ; ( 3)55 55 55 55C C C C C C C CP X P X P X P XC C C C           Bảng phân ph i:X 0 1 2 3P145528551255155Nên:      22 2214 28 12 1( ) 0. 1. 2. 3. 155 55 55 55()17 17 6( ) 1 .11 11 11iiE X x pD X E X E X E X E XE X D X                    .Bài 8: Gọi là ph phẩm l y được:   0,1,2,3 X 0 3 1 2 2 1 3 04 8 4 8 4 8 8 83 3 3 312 12 12 1214 28 12 1( 0) ; ( 1) ; ( 2) ; ( 3)55 55 55 55C C C C C C C CP X P X P X P XC C C C           .a. Bảng phân phối xác suất:X 0 1 2 3P145528551255155b. Tính:         22 22 2 2 2 22214 28 12 1( ) 0. 1. 2. 3. 155 55 55 55()14 28 12 1 170 . 1 . 2 . 3 .55 55 55 55 1117 6( ) 1 .11 11iiE X x pD X E X E X E X E XEXD X E X E X                           Bài 9:Gọi là ph phẩm l y được   0,1,2,3 X có chính phẩm là:16110610CpC.S ph phẩm 410q .Áp dụng công thức Becnuli ta được: Nhóm: 0228Trưởng nhóm: Lê Hà Thu 3 0 2 101 33 1 2 0 323 336 4 6 4( 0) 0,216; ( 1) 0,432;10 10 10 106 4 6 4( 2) 0,288; ( 3) 0,064;10 10 10 10k k n knn P k C p qP X C P X CP X C P X C                                                    a. Bảng phân phối xác suất:X 0 1 2 3P 0,216 0,432 0,288 0,064b. Tính:       2 2 2 2 32 220.0,216 1.0,432 2.0,288 3.0,064 1,20 .0,216 1 .0,432 2 .0,288 3 .0,064 2,16( ) 2,16 1,2EXEXD X E X E X             Bài 10:Gọi là viên đạn n trúng  3,4,5 X 3 viên đạn liên ti p.2( 3) 0,8.0,8.0,8 0,512( 4) 0,2.(0,8) 0,1024( 5) 1 ( 3) ( 4) 0,3856PXPXP X P X P X          a. Bảng phân ph i:X 3 4 5 P 0,512 0,1024 0,385b. Hàm phân ph i:  03 0,512 3 40,6144 4 515khi xkhi xFxkhi xkhi x          2 2 2 22 223.0,512 4.0,1024 5.0,3856 3,87363 .0,512 4 .0,1024 5 .0,3856 15,8964( ) 15,8964 3,8736EXEXD X E X E X           .Bài 11: Gọi là quả ném trúng   0,1,2,3 X ( 0) 0,3.0,1.0,2 0,006; ( 1) 0,7.0,1.0,8 0,3.0, 9.0,8 0,7.0,9.0,2 0,398;( 3) 0,7.0,9.0,8 0,504; ( 2) 1 ( 0) ( 1) ( 3) 0,092P X P XP X P X P X P X P X                  a. Bảng phân ph i c u t:X 0 1 2 3P 0,006 0,398 0,092 0,504b. Tính:       2 2 2 2 22 220.0,016 1.0,398 2.0,092 3.0,504 2,0940 .0,016 1 .0,398 2 .0,092 3 .0,504 5,302( ) 5,302 2,094EXEXD X E X E X             .Bài 12: Gọi là m y hỏng   0,1,2,3 X ( 0) 0,9.0,7.0,6 0,378; ( 1) 0,1.0,7.0,6 0,9.0, 3.0,6 0,9.0,7.0,4 0,456;( 3) 0,1.0,3.0,4 0,012; ( 2) 1 ( 0) ( 1) ( 3) 0,154P X P XP X P X P X P X P X                  a. Bảng phân ph i c u t: Nhóm: 0229Trưởng nhóm: Lê Hà ThuX 0 1 2 3P 0,378 0,456 0,154 0,012b. Tính:       2 2 2 2 22 220.0,378 1.0,456 2.0,154 3.0,012 0,80 .0,378 1 .0,456 2 .0,154 3 .0,012 1,18( ) 1,18 0,8 0,54.EXEXD X E X E X              .2.2 Đại lượng nhẫu nhiên liên tục.Bài 1:a. Xác định k = ?Vì f(x) là hàm mật độ c u t c a đại lượng ngẫu nhiên liên tục nên:( ) 0 (1)( ) x 1 (2)f x xf x d .Từ điều iện (1) ta có ( ) 0 .cos 0 0 cos 0 ;44f x k x k x x              .Giải phương trình (2) ta được:4 4 4444 4 4( ) x 1 .cos .cos .cos .cos .cos sin2. 2 2.1 22f x d k xdx k xdx k xdx k xdx k xdx k xkk                       b.tính kì vọng E(x)và D(x)+)D(E(=Nhóm: 0230Trưởng nhóm: Lê Hà Thu===c.tính p( ==Bài 2:F(x)=a. c định C:GIẢI HỆ PT(1)(2)= ây dựng hàm pp F( )N u x=N u 0 Nhóm: 0231Trưởng nhóm: Lê Hà ThuN u x.F(X)==>F(x)=c.tìm ì vọng ps==>E(x)==E( 0dx+ ==)= .sinx=D(x)=E( Nhóm: 02 1 Trưởng nhóm: Lê Hà Thu  TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ THÔNG TIN VÀ TRUYỀN THÔNG BÀI THẢO LUẬN CHỦ ĐỀ: BÀI TẬP CHƯƠNG VÀ NHỮNG KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ XÁC SUẤT VÀ ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN Giảng viên hướng dẫn: Trương Hà Hải Nhóm: 02 Thành viên: Lê Hà Thu (Nhóm trưởng) Ma Nguyễn Lệnh Hà Thị Ngọc Linh Nguyễn Đăng Tùng Đỗ Thị Hồng Cao Văn Tú Thái Nguyên, tháng 09 năm 2014 Nhóm: 02 2 Trưởng nhóm: Lê Hà Thu MỤC LỤC A. Lý thuyết căn bản chương 1. Những khái niệm cơ bản về xác suất. 3 1. Định lý cộng xác suất. 3 2. Định lý nhân xác suất. 3 3. Công thức Becnuni. 4 4. Công thức xác suất đầy đủ. 4 5. Công thức Bayes. 4 B. Bài tập. 4 1. Phần 1.1 Các công thức xác suất 4 2. 1.2.Công thức xác suất đầy đủ. công thức Bayes 12 3. 1.3 Công thức Becnulli. 20 A. Lý thuyết căn bản. Chương 2: Đại lượng ngẫu nhiên. 22 1. Bảng phân phối xác suất. 22 2. Hàm phân phối xác suất. 23 3. Hàm mật độ phân phối xác suất. (chỉ áp dụng được với biến ngẫu nhiên liên tục) 23 4. Các tham số đặc trưng của ĐLNN. 24 5. Một số các tham số khác. 25 6. Một số quy luật phân phối thường gặp. 25 B. Bài tập chương 2. Đại lượng ngẫu nhiên. 25 Nội dung và nhiệm vụ các thành viên: Thành viên Nội dung phụ trách Ghi chú  Phân nội dung, làm các ý 1; 1.1; 2; 2.2  khung:    Làm các ý 1; 1.2; 1/2   Làm các ý 2; 1.2; 1/2  Làm các ý1;1.3; 2; 2.1;1/2  Làm các ý 2; 2.1; 1/2  Tổng hợp lý thuyết, Làm câu số: 2; 2.2 Nhóm: 02 3 Trưởng nhóm: Lê Hà Thu A. Lý thuyết căn bản chương 1. Những khái niệm cơ bản về xác suất. CHƯƠNG 1: NHỮNG KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ XÁC SUẤT 1. Định lý cộng xác suất. Định lý: .  Hệ quả 1: Cho A 1, A 2  n :    n i n i i APAP 11 )()(  Hệ quả 2:   1, A 2  n  .   1. 2. Định lý nhân xác suất. Định nghĩa 1:    . *Chú ý:   B ; A  B  A . Định nghĩa 2 1, A 2  n  . Định nghĩa 3 1, A 2  n  .  Hệ quả 1: : )( ).( )( BP BAP AP   )( ).( )( AP BAP BP  khi P(B) > 0.  Hệ quả 2 :    n i i n i i APAP 11 )()( Đinh nghĩa   Định lý 2:  : P(A.B) = P(A).P(B/A) = P(B).P(A/B)  Hệ quả 1  )( ).( )/( BP BAP BAP   .  Hệ quả 2:   : P( A 1 A 2  n ) = P(A 1 ).P(A 2 /A 1 ).p(A 3 /A 1 A 2  n /A 1 A 2  n-1 ) Nhóm: 02 4 Trưởng nhóm: Lê Hà Thu  : P(A/B) = P(A)  P(B/A) = P(B) 3. Công thức Becnuni. Định nghĩa :   A .  .  KP n (x) = xnxx n qpC  . . 4. Công thức xác suất đầy đủ.  1 ,H 2  n  H 1 ,H 2  n  : P(A) =   n i ii HAPHP 1 )/()(  1 ,H 2  n . 5. Công thức Bayes.  1 ,H 2  n  . Suy ra: P(H i /A) =    n i ii iiii HAPHP HAPHP AP HAPHP 1 )/()( )/()( )( )/()( .  . B. Bài tập. 1. Phần 1.1 Các công thức xác suất Bài 1:  a)     P(A1) = =  P(A2) == =  Nhóm: 02 5 Trưởng nhóm: Lê Hà Thu P(A3) = = =  P(A4) = = P(A) = P(A1) + P(A2) + P(A3) + P(A4) = 35/99 + 14/33 + 14/99 + 1/99 =0,93 b)    =   =   =   .  P(A) = 1-  6/11 = 5/11 Bài 2:  m = = 90 n = P(A) = = = 0,18  P(B) = = =0,44 Bài 3: : n= 5.5 = 25 a.  Nhóm: 02 6 Trưởng nhóm: Lê Hà Thu  A = 4.  P(A) = = 0,16 b.    m B = 25-1 = 24 P(B) = = 0,96 Bài 4:   a)    P(A) = . b)   . . = 2770,  P(B) =  Bài 5:   = = n;  * + * ch);  * + * + *   Nhóm: 02 7 Trưởng nhóm: Lê Hà Thu * + *   = 0,85. Bài 6 : a,  i=1,2)   = 0,224 b,  2.B1)=P(A1.B2)+P(A2.B1)-P(A1.B2.A2.B1) = P(A1).P(B2)+P(A2).P(B1)  + = 0,448 Bài 7:       =>m=7*6*5.  = b,      P(B)= = Bài 8 : a, Nhóm: 02 8 Trưởng nhóm: Lê Hà Thu    ; P( )=1-P(A2) =  ).   P(A1. )=P(A1).P( )= = 0,133   =38.37.36 x38  = 0.922 Bài 9:  Bài 10:        Bài 11:  1    2    3   P(A 1 ) = 0,99 P(A 2 ) = 0,95 P(A 3 ) = 0,90   P = [(1-0,99) .(1-0,95) .(0,90) + (1-0,99). (0,95).(1-0,90) + (0,99) . (1-0,95).(1-0,99) ] = 0,00635  Nhóm: 02 9 Trưởng nhóm: Lê Hà Thu  Do  =(1  0,99) . (1  0,95) . (1  0,90) = 0,00005  Bài 12:   P(A1) = [(C(60,9).C(20,1)]/ C(80,10) = 0,175  P(A2) = [C(60,8).C(20,2)]/ C(80,10) = 0,295  P(A0) = [C(60,10).C(20,0)]/ (80C10) = 0,046  P(A) = P(A0) + P(A1) + P(A2) = 0,175 + 0,295 + 0,046 = 0,5209 Bài 13:   i   1 ) P(A 2 ) P(A 3 ) + P(A 1 )  2 ) P(A 3 ) + P(A 1 ) P(A 2 )  3 ) = 0,3 0,9 0,8 + 0,7 0,1 0,8 + 0,7 0,9 0,2 = 0,398    ⇨ P(  1 )  2 )  3 ) = 0,3 0,1 0,1 = 0,006  0,006 = 0,994   1 ) P(A 2 ) P(A 3 ) + P(A 1 ) P(A 2 )  3 ) = 0,3 0,9 0,8 + 0,7 0,9 0,2 = 0,342 Bài 14.  i  a.  Nhóm: 02 10 Trưởng nhóm: Lê Hà Thu    = 1 2 3 = P( 1 2 3 ) = P( 1 )P( 2 )P( 3 ) = (1  0,01)(1 - 0,1)(1 - 0,5) = 0,4455 - = 1  0,4455 = 0,5545 b.  Ta  1 A 2 A 3 +A 1 2 A 3 +A 1 A 2 3 P(B) = P( 1 A 2 A 3 +A 1 2 A 3 +A 1 A 2 3 ) = (1-0,01).0,1.0,5+0,01.(1-0,1).0,5+0,01.0,1.(1-0,5) =0,0545 c.  P( 1 /B) = = = = Bài 15:   i   P(A 2 ) =  P(A 3 ) =  P(A 4 ) =  P(A 5 ) =    P(E) = P(A 2 ) + P(A 3 ) + P(A 4 ) + P(A 5 ) = 0,355 + 0,26 + 0,09 + 0,011 = 0,716. Bài 16: a)  [...]... hả năng đạt giải u t c E2 : nhóm 7 thí inh có hả năng đạt giải u t c E3 ; nhóm 4 thí inh có hả năng đạt giải u t c E4 ; nhóm 2 thí inh có hả năng đạt giải u t c Theo ài ra ta có; P(E1) = ; P(E2) = P(A/E1) = 0,2 ; P(E3) = P(A/E2) = 0,3 ; P(E4) = P(A/E3) = 0,4 ; P(A/E4) = 0,5 Áp dụng công thức Bayet, nên ta có; P(E1/A) = = P(E2/A) = = P(E3/A) = = P(E4/A) = = Vậy thí inh có hả năng ở nhóm 2 Bài 6: Gọi... 15 điểm, để có 15 điểm thí inh phải trả lời đúng 5 câu nên P(A)= (5)= * * = 0,058 , Gọi B là i n c thí inh đỗ, để đỗ thí inh phải trả lời đúng 7 câu trở lên Vậy P(B)= (7,10)= * * + * * + * * + * * = 0,00351 Bài 3 : Coi việc trả lời mỗi câu hỏi là một phép thử thì ta có 12 phép thử độc lập, trong mỗi phép thử có hai hả năng đ i lập là : đúng , ai Mỗi câu có 4 phương n trả lời nên c u t trả lời đúng là... Becnulli Bài 1 Gọi A là i n c để trong 5 tín hiệu đã ph t có 4 tín hiệu ph t thành công, B là i n c để trong 4 tín hiệu ph t thành công có 3 tín hiệu chính c, Theo công thức Becnoulli ta có: c u t để trong 5 tín hiệu đã ph t có 4 tín hiệu ph t thành công là: = 0,01 = 0,048; c u t để trong 4 tín hiệu ph t thành công có 3 tín hiệu chính = Nhóm: 02 c là: 0,05 = 0,16 20 Trưởng nhóm: Lê Hà Thu Bài 2 :... thức c u t đầy đ ta có: P(A)=P(A1).P(A/A1)+P(A2).P(A/A2) P(A)=0,8x0,3+0,2x0,5=0,34 , Ta có c u t cần tính ẽ là P(A1/A) Áp dụng công thức Baye ta có: P(A1/A)= = = 0,705 Bài 3: a) Gọi A là i n c l y được 2 chính phẩm từ lô II, A1 là i n c l y được 1 chính phẩm từ lô I, A2 là i n c l y được 1 ph phẩm từ lô I Ta có: P(A1) =30/40=0,75; P(A2) = Theo định nghĩa Nhóm: 02 0,25; c u t ta có: 12 Trưởng nhóm:... hông ị viên họng: P(B/ )= = = 0,2 Bài 12 : a, Gọi A1 là i n c chuẩn đo n cho ệnh nhân có ệnh Gọi A2 là i n c chuẩn đo n cho ệnh nhân hông có ệnh A là i n c chuẩn đo n đúng Ta có A=A.A1+A.A2 P(A1)=0,8; P(A2)=0,2; P(A/A1)=0,9; P(A/A2)=0,85 =>P(A)=0,8*0,9 + 0,2*0,85 =0,89 , Ta cần tính P(A1/A) Có P(A)*P(A1/A)=P(A/A1)*P(A1) Suy ra 0,89*P(A1/A)=0,8*0,9 P(A1/A)= = 0,809 Bài 13 : a, Gọi A1 là i n c h ch hàng... 6/10.6/9 + 5/10.5/9 = 61/9 ,Gọi A là i n c l y được 1 i màu đỏ và 1 i màu anh, A1 là i n c viên ị ị m t có màu đỏ A2 là i n c viên i ị m t có màu anh Ta có P(A1)= 5/9; P(A2)= 3/9; Theo định nghĩa c u t ta có: P(A/A1)= = = P(A/A2)= = =0,5 Vậy P(A)=P(A1).P(A/A1) + P(A2).P(A/A2) = 5/9.5/9 + 3/9.0,5= 0,475 Bài 18: Gọi A là i n c chọn được thỏ tr ng Ai là i n c chọn được thỏ ở chuồng i (i = 1,2) P(A) = P(A1)... ản phẩm l y ra từ lô II có 1 chính phẩm và 1 ph phẩm, B1 là i n c ản phẩm l y từ lô I là chính phẩm, B2là i n c ản phẩm l y từ lô I là ph phẩm Ta có: P(B1) = = 0,75; P(B2) = Theo định nghĩa c u t ta có: P(B/B1) = = ; P(B/B2) = Vậy = = = = 0,25; ; c u t để 2 ản phẩm l y ra từ lô II có 1 chính phẩm và 1 ph phẩm là: P(B) = P(B1)*P(B/B1) + P(B2)*P(B/B2) = 0,75* + 0,25* = 0,4786; Bài 4: a, Gọi i n c mua... chuẩn đo n hông có ệnh là 0,5 a, Gọi A1 là i n c người đ n h m có ệnh A2 là i n c người đ n h m hông có ệnh A là i n c chuẩn đo n có ệnh Ta có A=A.A1+A.A2 P(A1)=0,8; P(A/A1)=0,9; P(A2)=0,2; P(A/A2)=0,5 P(A) = P(A1)*P(A/A1) + P(A2)*P(A/A2) = 0,8*0,9+0,2*0,5 = 0,82 b, P(A.A1 + A2 ) =P(A.A1)+P( A2)=P(A1).P(A/A1)+P( ).P(A2/ ) = 0,8*0,9+0,18*0,5=0,81 Bài 16: Gọi A1 là i n c A2 là i n c Nhóm: 02 inh viên do gi... là 1/4=0,25; Bài to n thỏa mãn lược đồ Becnulli a, Để thi được 13 điểm thí inh phải làm đúng 5 câu.Ta có : (5)= * * =0,1032 b, Thí inh ị âm điểm hi thí inh làm được câu đúng nhỏ hơn hoặc ng 2 Vậy (0,2)= * * + * * + * * = 0,6733 Bài 4 : a, Gọi A là i n c n được hàng ở đúng 2 nơi trong 10 nơi Áp dụng công thức Becnulli ta có: P(A)= * * b, Gọi B là i n c n được hàng ở ít nh t một nơi.Ta có: P(B)=1-P(... P( )= * Suy ra P(B)= 1Bài 5: * =45*0,04*0,17=0,306 = = 1-0.107=0,893 a) Gọi A là i n c lớp học đ nh ng, Ai là i n c lớp có i óng đèn Theo đề ài, mỗi óng có → c u t ng: i={4,5,6} c u t ch y là 0,25; ng c a mỗi óng là 0,75 c u t để lớp học lần lượt có 4, 5, 6 óng đèn P(A4) = * 0,2966; P(A5) = Nhóm: 02 * * *0,25 ng là 0,3559; 21 Trưởng nhóm: Lê Hà Thu P(A6) = Vậy * * c u t để lớp học có đ 0,1779 nh ng là: . khái niệm cơ bản về xác suất. 3 1. Định lý cộng xác suất. 3 2. Định lý nhân xác suất. 3 3. Công thức Becnuni. 4 4. Công thức xác suất đầy đủ. 4 5. Công thức Bayes. 4 B. Bài tập. 4 1. Phần. công thức xác suất 4 2. 1.2.Công thức xác suất đầy đủ. công thức Bayes 12 3. 1.3 Công thức Becnulli. 20 A. Lý thuyết căn bản. Chương 2: Đại lượng ngẫu nhiên. 22 1. Bảng phân phối xác suất. 22. A. Lý thuyết căn bản chương 1. Những khái niệm cơ bản về xác suất. CHƯƠNG 1: NHỮNG KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ XÁC SUẤT 1. Định lý cộng xác suất. Định lý: .