Đang tải... (xem toàn văn)
Nhóm: 02 1 Trưởng nhóm: Lê Hà Thu ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ THÔNG TIN VÀ TRUYỀN THÔNG BÀI THẢO LUẬN CHỦ ĐỀ: BÀI TẬP CHƯƠNG VÀ NHỮNG KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ XÁC SUẤT VÀ ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN Giảng viên hướng dẫn: Trương Hà Hải Nhóm: 02 Thành viên: Lê Hà Thu (Nhóm trưởng) Ma Nguyễn Lệnh Hà Thị Ngọc Linh Nguyễn Đăng Tùng Đỗ Thị Hồng Cao Văn Tú Thái Nguyên, tháng 09 năm 2014 Nhóm: 02 2 Trưởng nhóm: Lê Hà Thu MỤC LỤC A. Lý thuyết căn bản chương 1. Những khái niệm cơ bản về xác suất. ................................... 3 1. Định lý cộng xác suất. ............................................................................................................ 3 2. Định lý nhân xác suất. ............................................................................................................ 3 3. Công thức Becnuni. ................................................................................................................ 4 4. Công thức xác suất đầy đủ. .................................................................................................... 4 5. Công thức Bayes. .................................................................................................................... 4 B. Bài tập. ...................................................................................................................................... 4 1. Phần 1.1 Các công thức xác suất ........................................................................................... 4 2. 1.2.Công thức xác suất đầy đủ. công thức Bayes ................................................................. 12 3. 1.3 Công thức Becnulli. ........................................................................................................ 20 A. Lý thuyết căn bản. Chương 2: Đại lượng ngẫu nhiên. ....................................................... 22 1. Bảng phân phối xác suất. ....................................................................................................... 22 2. Hàm phân phối xác suất. ......................................................................................................... 23 3. Hàm mật độ phân phối xác suất. (chỉ áp dụng được với biến ngẫu nhiên liên tục) ............ 23 4. Các tham số đặc trưng của ĐLNN. ...................................................................................... 24 5. Một số các tham số khác. ..................................................................................................... 25 6. Một số quy luật phân phối thường gặp. .................................................................................. 25 B. Bài tập chương 2. Đại lượng ngẫu nhiên. .............................................................................. 25 Nội dung và nhiệm vụ các thành viên: Thành viên Nội dung phụ trách Ghi chú Lê Hà Thu (Nhóm trưởng) Phân nội dung, làm các ý 1; 1.1; 2; 2.2 Bài làm theo khung: Chương, Mục và câu Nguyễn Thị Hồng Làm các ý 1; 1.2; 12 Ma Nguyễn Lệnh Làm các ý 2; 1.2; 12 Hà Ngọc Linh Làm các ý1;1.3; 2; 2.1;12 Nguyễn Đăng Tùng Làm các ý 2; 2.1; 12 Cao Văn Tú Tổng hợp lý thuyết, Làm câu số: 2; 2.2 Nhóm: 02 3 Trưởng nhóm: Lê Hà Thu A. Lý thuyết căn bản chương 1. Những khái niệm cơ bản về xác suất. CHƯƠNG 1: NHỮNG KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ XÁC SUẤT 1. Định lý cộng xác suất. Định lý: c u t c a t ng hai i n c ung h c ng t ng c c c u t c a c c i n c đó. Hệ quả 1: Cho A1, A2, …, A n là c c i n c ung h c từng đôi hi đó: n i n i i A P A P 1 1 ) ( ) ( Hệ quả 2: N u c c i n c A 1, A2, …, A n là nhóm đầy đ c c i n c thì t ng c c c u t c a chúng ng 1. Hệ quả 3: T ng c u t c a hai i n c đ i lập nhau ng 1. 2. Định lý nhân xác suất. Định nghĩa 1: Hai i n c A và B gọi là độc lập với nhau n u việc ảy ra hay hông ảy ra c a i n c này hông làm thay đ i c u t c a i n c ia và ngược lại. còn n u hông như th tức là việc ảy ra hay hông ảy ra c a i n c này làm thay đ i c u t c a i n c ia thì hai i n c đó gọi là phụ thuộc nhau. Chú ý: N u A và B độc lâp thì A và B ; A và B ; B và A cũng độc lập với nhau. Định nghĩa 2: C c i n c A 1, A2, …, A n gọi là độc lập từng đôi với nhau n u mỗi cặp hai trong n i n c đó độc lập với nhau. Định nghĩa 3: C c i n c A 1, A2, …, A n gọi là độc lập toàn phần với nhau n u mỗi i n c độc lập với một t hợp tùy ý c a c c i n c còn lại. Hệ quả 1: N u A và B độc lập thì: ) ( ) . ( ) ( B P B A P A P và ) ( ) . ( ) ( A P B A P B P khi P(B) > 0 và P(A) >0. Hệ quả 2: c u t c a tích n i n c độc lập toàn phần ng tích c c c u t thành phần: n i i n i i A P A P 1 1 ) ( ) ( Đinh nghĩa 4: c u t c a i n c A được tính với điều iện i n c B đã ảy ra gọi là c u t có điều iện c a A và ý hiệu là P(AB). Định lý 2: c u t c a tích hai i n c phụ thuộc A và B ng tích c u t c a một trong hai i n c với c u t có điều iện c a i n c còn lại: P(A.B) = P(A).P(BA) = P(B).P(AB) Hệ quả 1: N u P(B) > 0 thì c u t c a i n c A với điều iện i n c B đã ảy ra được tính ng: ) ( ) . ( ) ( B P B A P B A P , còn n u P(B) = 0 thì c u t trên hông c định. Hệ quả 2: c u t c a tích n i n c phụ thuộc ng tích c u t c a n i n c đó, trong đó c u t c a mỗi i n c ti p theo au đều được tính với điều iện t t cả c c i n c ét trước đó đã ảy ra: P( A1A2….An ) = P(A 1).P(A 2A 1).p(A 3A 1A2)..….P(A nA 1A2…..An1 ) Nhóm: 02 4 Trưởng nhóm: Lê Hà Thu N u A và B là c c i n c độc lập thì: P(AB) = P(A) và P(BA) = P(B) 3. Công thức Becnuni. Định nghĩa: n phép thử độc lập được gọi là n phép thử Bernoulli n u thỏa mãn hai điều iện au: Mỗi phép thử ảy ra hai i n c A hoặc A . P(A) = p, P(A) như nhau với mọi phép thử. Ký hiệu : P n (x) = x n x x n q p C . . 4. Công thức xác suất đầy đủ. Giả ử i n c A ảy ra đồng thời với một trong c c i n c H1,H 2,…,H n . Nhóm H1,H 2,…,H n là nhóm đầy đ c c i n c . hi đó c u t c a i n c A được tính ng công thức: P(A) = n i i i H A P H P 1 ) ( ) ( c c i n c H 1,H 2,…,H n gọi là c c giả thuy t. 5. Công thức Bayes. Giả ử i n c A có thể ảy ra đồng thời với một trong n i n c H1,H 2,…,H n tạo nên một nhóm đầy đ c c i n c . Suy ra: P(H i A) = n i i i i i i i H A P H P H A P H P A P H A P H P 1 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( . Baye (công thức này cho phép đ nh gi lại c u t ảy ra c c giải thuy t au hi đã i t t quả c a phép thử là i n c A đã ảy ra. B. Bài tập. 1. Phần 1.1 Các công thức xác suất Bài 1: Gọi Ai là i n c chọn được học inh thứ i ( i= 1..4 ) a) c u t ao cho 4 em được chọn có ít nh t 1 em lớp 10A Gọi A là i n c chọn đồng thời 4 học inh ao cho ít nh t 1 h lớp 10A TH1: Chọn được 1 học inh lớp 10A P(A1) = = TH2 : Chọn được 2 học inh lớp 10A P(A2) == = TH3 : Chọn được 3 học inh lớp 10A Nhóm: 02 5 Trưởng nhóm: Lê Hà Thu P(A3) = = = TH 4: Chọn được 4 học inh lớp 10A P(A4) = = P(A) = P(A1) + P(A2) + P(A3) + P(A4) = 3599 + 1433 + 1499 + 199 =0,93 b) Gọi Ā là i n c chọn được học inh c a cả 3 lớp TH1 : Chọn được 2 h lớp 10A, 1 h lớp 10B, 1 h lớp 10C P(Ā1) = = TH2: Chọn được 1 h lớp 10A, 2 học inh lớp 10B, 1 học inh lớp 10C P(Ā2)= = TH3: Chọn được 1 h lớp 10A, 1 h lớp 10B, 2 h lớp 10C P(Ā3)= = P(Ā) = P(Ā1) + p(Ā2) + P(Ā3) = .Vì A và Ā là đ i lập nên c u t chọn được 4 học inh hông qu 2 trong 3 lớp trên nên P(A) = 1 P(Ā) = 1 – 611 = 511 Bài 2: a, Gọi A là i n c 4 quả l y được có 2 quả đỏ, 1 quả anh và 1 quả vàng. m = = 90 n = P(A) = = = 0,18 , Gọi B là i n c 4 quả l y được thuộc đúng 2 trong 3 màu. P(B) = = =0,44 Bài 3: S trường hợp có thể ảy ra hi rút ngẫu nhiên từ mỗi hòm ra 1 t m thẻ là: n= 5.5 = 25 a. Gọi A là i n c t ng c c i n c “ t ng c c ghi trên 2 t m thẻ là 7 ”. Nhóm: 02 6 Trưởng nhóm: Lê Hà Thu S thuận lợi cho A là: m A = 4. Ω = { 2 5, 5 2, 3 4, 4 3} P(A) = = 0,16 b. Gọi B là i n c “t ng c c ghi trên 2 t m thẻ rút ra hông nhỏ hơn 3” Ta có: t ng ghi trên 2 t m thẻ nhỏ hơn 3 chỉ hi rút cả 2 hòm đều vào 1 Chỉ có 1 trường hợp mB = 251 = 24 P(B) = = 0,96 Bài 4: Vì có 12 hành h ch lên 3 toa tàu nên ta có c ch lên tàu; a) Gọi A là i n c 12 hành h ch đều lên toa I, Ta có trường hợp thuận lợi cho A là: 1 Vậy c u t để 12 hành h ch đều lên toa I là: P(A) = . b) Gọi B là i n c có 4 hành h ch lên toa I, 5 hành h ch lên toa II và còn lại lên toa III, Ta có trường hợp thuận lợi cho B là: . . = 2770, Vậy c u t để có 4 hành h ch lên toa I, 5 hành h ch lên toa II và còn lại lên toa III: P(B) = ≈ 0,052. Bài 5: Gọi A là i n c gồm 6 inh viên trong đó có ít nh t 2 nữ; Ta có = = n; +)TH1: Ban c n ự lớp có Cường mà hông có Hoa, + = 141 (c ch); +)TH2: Ban c n ự lớp có Hoa mà hông có Cường, + + = 185 (c ch); +)TH3: Ban c n ự lớp hông có cả Cường và Hoa, Nhóm: 02 7 Trưởng nhóm: Lê Hà Thu + = 65 (c ch); Vậy P(A) = = 0,85. Bài 6 : a, Gọi Ai là i n c lần quay thứ i quay trúng màu đỏ ( i=1,2) Ta có c u t cả hai lần quay đều dừng ở con màu đỏ là: P(A1.A2) Do A1, A2 độc lập với nhau nên: P(A1.A2)=P(A1).P(A2) = = 0,224 b, Gọi Bi là i n c lần quay thứ i quay trúng màu đen (i=1,2) Ta có c u t cần tính là P(A1.B2+A2.B1)=P(A1.B2)+P(A2.B1)P(A1.B2.A2.B1) = P(A1).P(B2)+P(A2).P(B1) Do đó: P(A1.B2+A2.B1)= + = 0,448 Bài 7: S trường hợp có thể ảy ra là a, Gọi A là i n c 3 lần quay lần lượt dừng ở 3 vị trí h c nhau. Để 3 lần quay vào 3 vị trí h c nhau: Lần 1 vào 1 trong 7 vị trí=> có 7 hả năng Lần 2 vào 1 trong 6 vị trí => có 6 hả năng Lần 3 vào 1 trong 5 vị trí => có 5 hả năng =>m=765. Vậy P(A)= = b, Gọi B là i n c 3 lần quay liên ti p chỉ dừng ở đúng 1 vị trí Ta có lần 1 có 7 hả năng. Lần 2 có 1 hả năng Lần 3 có 1 hả năng Vậy: m=711=7 P(B)= = Bài 8 : a, Nhóm: 02 8 Trưởng nhóm: Lê Hà Thu Gọi A1 là i n c quay lần đầu nh e dừng lại tại một thuộc 1,6 Gọi A2 là i n c quay lần hai nh e dừng là tại một thuộc 1,6 Ta có : P(A1)=P(A2) = ; P( )=1P(A2) = Ta có c u t cần tính là P(A1. ). Do A1 và là hai i n c độc lập lên ta có: P(A1. )=P(A1).P( )= = 0,133 ,Gọi A là i n c au 3 lần quay nhận được ộ a h c nhau từng đôi một. Ta có trường hợp thuận lợi cho việc u t hiện i n c A là =38.37.36 S trường hợp đồng hả năng ( ộ a t ỳ) có thể ảy ra là: 38 38x38 Vậy ta uy ra c u t cần tính là P(A)= = 0.922 Bài 9: Không có đề ài trong tờ ài tập. Bài 10: a, Do chỉ có 3 lớp nên trong 4 em có luôn có 2 em cùng lớp.Vậy c u t 4 em được chọn hông cùng lớp là ng 0. , Có 2 th: TH1: học inh lớp 10A= học inh lớp 10C = 1, c ch là:53C(4,2)=90 TH1: học inh lớp 10A= học inh lớp 10C = 2, c ch là:C(5,2)C(3,2)=30 Vậy t ng c ch là : 120. c u t là : 120C(12,4) = 120495=0,2424 Bài 11: Gọi A1 là i n c m y 1 hoạt động t t và là i n c m y 1 hông hoạt động t t Gọi A2 là i n c m y 2 hoạt động t t và là i n c m y 2 hông hoạt động t t Gọi A3 là i n c m y 3 hoạt động t t và là i n c m y 3 hông hoạt đông t t P(A 1 ) = 0,99 P(A 2 ) = 0,95 P(A 3 ) = 0,90 a, Tìm c u t trong thời gian T có đúng 1 m y hoạt động t t. P = (10,99) .(10,95) .(0,90) + (10,99). (0,95).(10,90) + (0,99) . (10,95).(10,99) = 0,00635 , Ít nh t 1 m y hoạt động t t. Nhóm: 02 9 Trưởng nhóm: Lê Hà Thu Cả 3 m y hông hoạt động t t: Do là 3 i n c độc lập =(1 – 0,99) . (1 – 0,95) . (1 – 0,90) = 0,00005 Ít nh t 1 m y hoạt động t t tức là hông ảy ra trường hợp 3 m y hông hoạt động t t Bài 12: Gọi A là i n c l y được i quả hỏng ( i= 0,1,2) Gọi A1 là i n c l y ra 1 quả hỏng : P(A1) = (C(60,9).C(20,1) C(80,10) = 0,175 Gọi A2 là i n c l y được 2 quả hỏng: P(A2) = C(60,8).C(20,2) C(80,10) = 0,295 Gọi A0 là i n c hông l y phải quả hỏng nào P(A0) = C(60,10).C(20,0) (80C10) = 0,046 Vậy c u t l y được nhiều nh t 2 quả hỏng là P(A) = P(A0) + P(A1) + P(A2) = 0,175 + 0,295 + 0,046 = 0,5209 Bài 13: a, Gọi A là i n c có đúng 2 người ném trúng r Gọi Ai là i n c người thứ i ném trúng r (i= 1..3) P(A) = P(Ā 1 ) P(A 2 ) P(A 3) + P(A 1 ) P(Ā 2 ) P(A 3) + P(A 1 ) P(A 2 ) P(Ā 3 ) = 0,3 0,9 0,8 + 0,7 0,1 0,8 + 0,7 0,9 0,2 = 0,398 , Gọi B là i n c có ít nh t một người ném trúng r . Gọi là i n c hông ai ném trúng r ⇨ P( ) = P(Ā 1 ) P(Ā 2 ) P(Ā 3 ) = 0,3 0,1 0,1 = 0,006 Vậy P(B) = 1 – 0,006 = 0,994 c, Gọi C là i n c người thứ 2 ném trúng r và có 2 người ném trúng r . P(C) = P(Ā 1 ) P(A 2 ) P(A 3) + P(A 1 ) P(A 2 ) P(Ā 3 ) = 0,3 0,9 0,8 + 0,7 0,9 0,2 = 0,342 Bài 14. Gọi Ai là i n c “m y thứ i ị hỏng trong 1 ca làm việc” , i= 1,2, 3. a. Gọi A là i n c có ít nh t 1 m y ị hỏng Nhóm: 02 10 Trưởng nhóm: Lê Hà Thu Ta có là i n c đ i lập c a A, trong đó là i n c hông có m y nào ị hỏng. = 1 2 3 = P( 1 2 3 ) = P( 1 )P( 2 )P( 3 ) = (1 – 0,01)(1 0,1)(1 0,5) = 0,4455 Vậy P(A) = 1 = 1 – 0,4455 = 0,5545 b. Gọi B là i n c có đúng 1 m y hông ị hỏng Ta có B = 1A2A3+A 1 2A3+A 1A2 3 P(B) = P( 1A2A3+A 1 2A3+A 1A2 3 ) = (10,01).0,1.0,5+0,01.(10,1).0,5+0,01.0,1.(10,5) =0,0545 c. Ta có: P( 1 B) = = = = Bài 15: Gọi E là i n c l y được ít nh t 2 em inh viên h hoặc giỏi to n, Gọi Ai là i n c l y được i inh viên h hoặc giỏi to n là: i = 2,3,4,5. Ta có: P(A 2 ) = ≈ 0,355. P(A 3 ) = ≈ 0,26. P(A 4 ) = ≈ 0,09. P(A 5 ) = ≈ 0,011. Vậy c u t để l y được ít nh t 2 em inh viên h hoặc giỏi to n là: P(E) = P(A 2) + P(A 3) + P(A 4) + P(A 5 ) = 0,355 + 0,26 + 0,09 + 0,011 = 0,716. Bài 16: a) Gọi A là i n c có đúng một m y hỏng. Nhóm: 02 11 Trưởng nhóm: Lê Hà Thu A= + + , → P(A)= P( ) + P( ) + P( ) =P( ).P( ).P( ) + P( ).P( ).P( ) + P( ).P( ).P( ) = 0,09.0,05.0,1 + 0,01.0,95.0,1 + 0,01.0,05.0,9 =0,0063. b) Gọi B là i n c có ít nh t một m y hoạt động t t, P(B)= P(B 1 + B 2 + B 3 ) = P(B 1) + P(B 2) + P(B 3 ) – P(B 1.B 2 ) – P(B 2B3 ) – P(B 3B1) + P(B 1.B2.B 3 ) = 0,09 + 0,95 + 0,9 – 0,95.0,09 – 0,95.0,9 – 0,9.0,99 + 0,95.0,99.0,9 = 0,999 c) Gọi C là i n c m y I hoạt động t t và có đúng 1 m y hoạt động t t, Ta có: P(C) = P( ).P( ).P( ) =0,99.0,95.0,9 = 0,00495. Bài 17 A, Gọi Ai là i n c l y được 2 chính phẩm ở lô 1 (i=1,2) c u t để l y được cả 4 chính phẩm là P(A1.A2)=P(A1).P(A2) ( vì A1,A2 độc lập) P(A1.A2)= = 0,28 , Gọi Bi là i n c l y được 2 ph phẩm ở lô i (i=1,2) Ci là i n c l y được duy nh t 1 chính phẩm ở lô i (i=1,2) Ta có c u t cần tính là: P(A1.B2+A2.B1+C1.C2)=P(A1.B2)+P(A2.B1)+P(C1.C2) =P(A1).P(B2)+P(A2)P(B1) + P(C1).P(C2) = + + P(C1).P(C2) P(C1)= P(C2)= Suy ra P(A1.B2+A2.B1+C1.C2) = + + =0,02+0,07+0,15=0,24; Nhóm: 02 12 Trưởng nhóm: Lê Hà Thu 2. 1.2.Công thức xác suất đầy đủ. công thức Bayes Bài 1 a, Gọi A1 là i n c t gặp 1 người dân là nam A2 là i n c t gặp 1 người dân là nữ. A là i n c t gặp 1 người dân t t nghiệp đại học. ⇨ A=A.A1+A.A2 Ta có: P(A1)=0,45; P(A2)= 0,55; P(AA1)=0,2; P(AA2)=0,15 Vậy P(A)=P(A1).P(AA1)+P(A2).P(AA2) = 0,450,2 + 0,550,15 =0,1725 , Ta cần tính c u t P(A1A) Có P(A1A)= = = 0,52 Bài 2 : a, Gọi i n c A là i n c rút được ệnh n c a ệnh nhân ị i n chứng. A1 là i n c rút được ệnh n c a ệnh nhân ị ỏng do nóng. => P(A1)=0,8 A2 là i n c rút được ệnh n c a ệnh nhân ị ỏng do hóa ch t. =>P(A2)=0,2 Ta có: P(AA1)=0,3 , P(AA2)=0,5 Mặt h c A1,A2 lập thành nhóm i n c đầy đ và A chỉ ảy ra đồng thời với 1 trong 2 i n c A1,A2.Do đó p dụng công thức c u t đầy đ ta có: P(A)=P(A1).P(AA1)+P(A2).P(AA2) P(A)=0,8x0,3+0,2x0,5=0,34 , Ta có c u t cần tính ẽ là P(A1A). Áp dụng công thức Baye ta có: P(A1A)= = = 0,705 Bài 3: a) Gọi A là i n c l y được 2 chính phẩm từ lô II, A1 là i n c l y được 1 chính phẩm từ lô I, A2 là i n c l y được 1 ph phẩm từ lô I. Ta có: P(A 1) =3040=0,75; P(A 2 ) = 0,25; Theo định nghĩa c u t ta có: Nhóm: 02 13 Trưởng nhóm: Lê Hà Thu P(AA 1 ) = ; P(AA 2 ) = ; Vậy c u t để 2 ản phẩm l y ra từ lô II đều là chính phẩm là: P(A) = P(A 1)P(AA 1) + P(A 2 )P(AA) = 0,75 + 0,25 = 0,3887. b) Gọi B là i n c ản phẩm l y ra từ lô II có 1 chính phẩm và 1 ph phẩm, B1 là i n c ản phẩm l y từ lô I là chính phẩm, B2 là i n c ản phẩm l y từ lô I là ph phẩm. Ta có: P(B 1 ) = = 0,75; P(B 2 ) = = 0,25; Theo định nghĩa c u t ta có: P(BB 1 ) = = = ; P(BB 2 ) = = = ; Vậy c u t để 2 ản phẩm l y ra từ lô II có 1 chính phẩm và 1 ph phẩm là: P(B) = P(B 1)P(BB 1) + P(B 2)P(BB 2 ) = 0,75 + 0,25 = 0,4786; Bài 4: a, Gọi i n c mua được m y chính hãng là A A1 là i n c mua m y c a IBM A2 là i n c mua m y ACER Có A=A.A1+A.A2 P(A1)=0,4;P(A2)=0,6; P(AA1)=0,8; P(AA2)=0,9 Suy ra P(A)=P(A1).P(AA1)+P(A2).P(AA2)=0,40,8+0,60,9=0,86 B,Ta tính P( ) và P( ) rồi o nh . P( ) . P( ) = P( A1).P(A1) => P( ).(10,86)=0,2 0,4=> P( )=0,57 Nhóm: 02 14 Trưởng nhóm: Lê Hà Thu P( ) . P( ) = P( A2).P(A2) => P( ).(10,86)=0,1 0,6> P( )=0,428 Vậy c u t là m y c a I m nhiều hơn. Bài 5: Gọi E1 : nhóm 5 thí inh có hả năng đạt giải u t c E 2 : nhóm 7 thí inh có hả năng đạt giải u t c E 3 ; nhóm 4 thí inh có hả năng đạt giải u t c E 4 ; nhóm 2 thí inh có hả năng đạt giải u t c Theo ài ra ta có; P(E 1 ) = ; P(E 2 ) = ; P(E 3 ) = ; P(E 4 ) = ; P(AE 1 ) = 0,2 P(AE 2 ) = 0,3 P(AE 3 ) = 0,4 P(AE 4 ) = 0,5 Áp dụng công thức Bayet, nên ta có; P(E 1 A) = = P(E 2 A) = = P(E 3 A) = = P(E 4 A) = = Vậy thí inh có hả năng ở nhóm 2 Bài 6: Gọi Ai là ạ th thứ i n trúng mục tiêu (i= 1,2,3) Gọi A1 là i n c ạ th thứ nh t n trúng mục tiêu: P(A1) = 0,8 A2 là i n c ạ th thứ hai n trúng mục tiêu: P(A2) = 0,85 A3 là i n c ạ th thứ a n trúng mục tiêu: P(A3) = 0,9 a, c u t để 2 viên đạn trúng đích A = A1A2 Ā3 + A1 Ā2A3 + Ā1A2A3 P(A) = P(A1A2 Ā3 + A1 Ā2A3 + Ā1A2A3) = P( A1).P(A2).P( Ā3) + P (A1)P( Ā2)P(A3) + P (Ā1)(A2)(A3) = 0,8.0,85.(10,9) + 0,8.(10,85).0,9 + (10.8).0,85,0.9 Nhóm: 02 15 Trưởng nhóm: Lê Hà Thu = 0,329 , Gọi Ai là i n c có i viên đạn trúng đích (i= 0,1,2,3) Ai là hệ đầy đ Gọi A là i n c mục tiêu ị tiêu diệt c u t để đúng 1 mục tiêu ị trúng đích là: P1= P(A1).P(Ā2).P(Ā3) + P (Ā 1)P( A2)P(Ā 3) + P (Ā1)( Ā 2)(A3) = 0,8.0,15.0,1 + 0,2.0,85.0,1 + 0,2.0,15.0,9 = 0,056 c u t để đúng 2 mục tiêu ị trúng đích là: P2 = P( A1).P(A2).P( Ā3) + P (A1)P( Ā2)P(A3) + P (Ā1)(A2)(A3) = 0,8.0,85.(10,9) + 0,8.(10,85).0,9 + (10.8).0,85,0.9 = 0,329 c u t để đúng 3 mục tiêu ị trúng đích là: P3 = 0,8.0,85.0,9 = 0,612 P(A) = 0,7.P1 + 0,9.P2 + 1.P3 = 0,7.0,056 + 0,9.0,329 + 1.0,612 = 0,9473 Bài 7: a, Gọi A i là i n c công u t c a m y i (i = 1,2) Gọi A là i n c tỷ lệ ph phẩm. Giả ử công u t c a m y là 100% Mà công u t c a m y 2 g p đôi công u t m y 1 Công u t m y 1 = 33% Công u t m y 2 = 67% P() = P(A 1 ) P(AA 1) + P(A 2 ) P(AA 2 ) = 0,33 0,1 + 0,67 0,2 = 0,167 , L y ngẫu nhiên 2 ản phẩm c a ưởng thì chỉ có một ản phẩm t t. Gọi B là i n c ản phẩm t t đó là c a m y 1. P(B) = = = 0,198 Bài 8: Gọi A1,A 2,A 3 lần lượt là i n c chuyển 1,2,3 file. l từ thư mục 1 ang thư mục 2 A là i n c chọn được file. l ở thư mục 2 ⇨ P(A) = P(AA1).P(A1)+P(AA2).P(A2)+P(AA3).P(A3) = 315.514+315.614+115.714 = 421 Bài 9: S trường hợp có thể ảy ra là: . a) Gọi A là i n c Nam mua được 2 óng t t, Ta có trường hợp thuận lợi cho A là: . Vậy c u t để Nam mua được 2 óng t t là: Nhóm: 02 16 Trưởng nhóm: Lê Hà Thu P(A) = = 0,625. b) Gọi B là i n c Nam mua ít nh t được 1 óng t t, Ta có: P(B) = + P(A) = 0,98. c) Gọi C là i n c Nam đưa cho Lan là óng t t, Ci là i n c Nam mua được I óng t t: i = 0,1,2. → C1, C 2, C 3 là 1 hệ i n c đầy đ , ung h c từng đôi. Ta có: P(C 1 ) = 0,625; P(C 2 ) = P(B) – P(A) = 0,355; P(C 3 ) = = 0,023; P(CC 1 ) = 1; P(CC 2 ) = 0,5; P(CC 3 ) = 0 ; Vậy c u t đề Nam đưa cho Lan óng t t là: P(C) = P(C 1).P(CC 1 ) + P(C 2).P(CC 2) + P(C 3).P(CC 3 ) = 0,625.1 + 0,355.0,5 + 0,023.0 = 0,8025. Bài 10: a) Gọi A = “Tín hiệu ph t ra là A” B = “Tín hiệu ph t ra là B” C = “ Thu được tín hiệu A” D = “Thu được tín hiệu B” Ta có: {A,B} là hệ i n c đầy đ . P(A) = 0,8; P(B) = 0,2; P(CA) = ; P(DB) = ; Áp dụng công thức c u t đầy đ ta có c u t thu được tín hiệu A: P(C) = P(A).P(CA) + P(B).P(DB) = 0,8.(1 ) + 0,2. = 0,665. b) c u t thu được đúng tín hiệu lúc ph t là: Nhóm: 02 17 Trưởng nhóm: Lê Hà Thu P(AC) = = = 0,96. Bài 11 : Gọi A là i n c anh ta ị viêm họng. B là i n c anh ta là người hút thu c l . là i n c anh ta hông hút thu c l . Ta có P(B)=0,35; P( )=0,65; P(AB)=0,65; P(A )=0,3;. a, P(A)=(P(B).P(AB)+P( ).P(A ) = 0,350,65+0,650,3= 0,4225 c u t để anh ta là người hút thu c l hi anh ta viêm họng: P(BA)= = = 0,54 , c u t để anh ta hông viêm họng:P( ) =1P(A)=10,4225=0,5775 c u t để anh ta là người hút thu c hi anh ta hông ị viên họng: P(B )= = = 0,2 Bài 12 : a, Gọi A1 là i n c chuẩn đo n cho ệnh nhân có ệnh Gọi A2 là i n c chuẩn đo n cho ệnh nhân hông có ệnh A là i n c chuẩn đo n đúng. Ta có A=A.A1+A.A2 P(A1)=0,8; P(A2)=0,2; P(AA1)=0,9; P(AA2)=0,85 =>P(A)=0,80,9 + 0,20,85 =0,89 , Ta cần tính P(A1A). Có P(A)P(A1A)=P(AA1)P(A1) Suy ra 0,89P(A1A)=0,80,9 P(A1A)= = 0,809 Bài 13 : a, Gọi A1 là i n c h ch hàng thuộc nhóm ít r i ro =>P(A1)=0,2 Gọi A2 là i n c h ch hàng thuộc nhóm r i ro trung ình =>P(A2)=0,5 Gọi A3 là i n c h ch hàng thuộc nhóm r i ro cao. =>P(A3)=0,3 Gọi A là i n c h ch hàng ị r i ro trong 1 năm. Ta có P(AA1)=0,05 , P(AA2)=0,15; P(AA3)= 0,3 Do A1,A2,A3 là nhóm i n c đầy đ và A đồng thời ảy ra với duy nh t 1 trong c c i n c đó nên p dụng công thức c u t đầy đ ta được: P(A)=P(A1).P(AA1)+P(A2).P(AA2)+P(A3).P(AA3) P(A)=0,20,05 + 0,50,15 + 0,30,3=0,175 b, Nhóm: 02 18 Trưởng nhóm: Lê Hà Thu c u t cần tính là P(A1A). Áp dụng công thức Baye ta có: P(A1A)= = = 0,057 Bài 14: Gọi Ai là i n c ản phẩm l y ra từ phân ưởng i: i={1;2}; A là i n c ản phẩm l y ra là ph phẩm. Ta có: P(A 1 ) = 0,4; P(A 2 ) = 0,6; P(AA 1 ) = 0,01; P(AA 2 ) = 0,02; Vậy c u t ản phẩm l y ra là ph phẩm là: P(A) = P(A 1)P(AA 1) + P(A 2)P(AA 2 ) = 0,40,01 + 0,60,02 = 0,016. c u t để ph phẩm này do phân ưởng 1 ản u t là: P(A 1 A) = = = 0,25. c u t để ph phẩm này do phân ưởng 2 ản u t là: P(A 2 A) = = = 0,75. Bài 15: c u t chuẩn đo n đúng hi chuẩn đo n có ệnh là 0,9 c u t chuẩn đo n đúng hi chuẩn đo n hông có ệnh là 0,5 a, Gọi A1 là i n c người đ n h m có ệnh A2 là i n c người đ n h m hông có ệnh A là i n c chuẩn đo n có ệnh Ta có A=A.A1+A.A2 P(A1)=0,8; P(AA1)=0,9; P(A2)=0,2; P(AA2)=0,5 P(A) = P(A 1)P(AA 1) + P(A 2)P(AA 2 ) = 0,80,9+0,20,5 = 0,82 b, P(A.A1 + .A2 ) =P(A.A1)+P( .A2)=P(A1).P(AA1)+P( ).P(A2 ) = 0,80,9+0,180,5=0,81 Bài 16: Gọi A1 là i n c inh viên do gi o viên 1 iểm tra A2 là i n c inh viên do gi o viên 2 iểm tra Nhóm: 02 19 Trưởng nhóm: Lê Hà Thu A là i n c inh viên được công nhận au hi iểm tra Ta có A=A.A1+A.A2 Và P(A1)=0,55 ;P(A2)=0,45; P(AA1)=0,94; P(AA2)=0,98 P(A)=P(A1).P(AA1)+P(A2).P(AA2)=0,55.0,94+0,45.0,98=0,517+0,441=0,958 c u t đề ài yêu cầu tính là P(A2A). Ta có P(A).P(A2A)=P(AA2).P(A2) => 0,958.P(A2A)=0,45.0,98 P(A2A)=0,46 Bài 17: Gọi Ai là m t i i đỏ (i = 0 ,1 ) a,Gọi A là rút hú họa được i đỏ trong hộp còn lại A0 là hông m t i đỏ nào: P(A0) = 610 P(AA0) = 69 A1 là m t 1 i đỏ P(A1) = 510 P(AA1)= 59 P(A) = P(A0).P(AA0) + P(A1).P(AA1) = 610.69 + 510.59 = 619 ,Gọi A là i n c l y được 1 i màu đỏ và 1 i màu anh, A1 là i n c viên ị ị m t có màu đỏ A2 là i n c viên i ị m t có màu anh. Ta có P(A 1)= 59; P(A 2 )= 39; Theo định nghĩa c u t ta có: P(AA 1 )= = = P(AA 2 )= = =0,5 Vậy P(A)=P(A1).P(AA 1) + P(A 2).P(AA 2 ) = 59.59 + 39.0,5= 0,475 Bài 18: Gọi A là i n c chọn được thỏ tr ng Ai là i n c chọn được thỏ ở chuồng i (i = 1,2) P(A) = P(A 1 ) P(AA 1) + P(A 2 ) P(AA 2 ) = + = 0,52 Vậy c u t để con thỏ tr ng đó được t từ chuồng thứ nh t là: P(A 1 A) = = =0,32 Bài 19 Gọi A1 là i n c đoàn thanh tra l y lô hàng thứ nh t I __ A 2 _____________________________________ II Nhóm: 02 20 Trưởng nhóm: Lê Hà Thu A là i n c ản phẩm được iểm tra là ph phẩm ADCT Bayes P(A 1 A) = = = 713 Bài 20: Gọi Ai là i n c iểm tra loại ản phẩm i: i = 1,2; A là i n c iểm tra ản phẩm đưa ra thị trường, Ta có: P(A 1 ) = 0,75; P(A 2 ) = 0,25; P(AA 1 ) = 0,9; P(AA 2 ) = 0,99; a) Ta có: P(A) = 0,75.0,9 + 0,25.0,99 = 0,9225, Phần trăm c a ản phẩm c a lô hàng hông được đưa ra thị trường là: 100% (0,9225.100%) = 7.75% b) c u t ản phẩm được đưa ra thị trường là: P(A 1 A) = = = 0,732. Vậy phần trăm ản phẩm được đưa ra thị trường là: 73,2% 3. 1.3 Công thức Becnulli. Bài 1 Gọi A là i n c để trong 5 tín hiệu đã ph t có 4 tín hiệu ph t thành công, B là i n c để trong 4 tín hiệu ph t thành công có 3 tín hiệu chính c, Theo công thức Becnoulli ta có: c u t để trong 5 tín hiệu đã ph t có 4 tín hiệu ph t thành công là: = . .0,01 = 0,048; c u t để trong 4 tín hiệu ph t thành công có 3 tín hiệu chính c là: = . .0,05 = 0,16 Nhóm: 02 21 Trưởng nhóm: Lê Hà Thu Bài 2 : a, Gọi p là c u t chọn được đ p n đúng: p=0,25 q là c u t chọn đ p n ai, q=0,75 Gọi A là i n c thí inh được 15 điểm, để có 15 điểm thí inh phải trả lời đúng 5 câu nên P(A)= (5)= = 0,058 , Gọi B là i n c thí inh đỗ, để đỗ thí inh phải trả lời đúng 7 câu trở lên. Vậy P(B)= (7,10)= + + + = 0,00351 Bài 3 : Coi việc trả lời mỗi câu hỏi là một phép thử thì ta có 12 phép thử độc lập, trong mỗi phép thử có hai hả năng đ i lập là : đúng , ai. Mỗi câu có 4 phương n trả lời nên c u t trả lời đúng là 14=0,25; Bài to n thỏa mãn lược đồ Becnulli. a, Để thi được 13 điểm thí inh phải làm đúng 5 câu.Ta có : (5)= =0,1032 b, Thí inh ị âm điểm hi thí inh làm được câu đúng nhỏ hơn hoặc ng 2. Vậy (0,2)= + + = 0,6733 Bài 4 : a, Gọi A là i n c n được hàng ở đúng 2 nơi trong 10 nơi. Áp dụng công thức Becnulli ta có: P(A)= =450,040,17=0,306 b, Gọi B là i n c n được hàng ở ít nh t một nơi.Ta có: P(B)=1P( ); Mặt h c là i n c hông n được hàng ở đúng 10 nơi.=> P( )= = Suy ra P(B)=1 = 10.107=0,893 Bài 5: a) Gọi A là i n c lớp học đ nh ng, Ai là i n c lớp có i óng đèn ng: i={4,5,6}. Theo đề ài, mỗi óng có c u t ch y là 0,25; → c u t ng c a mỗi óng là 0,75. c u t để lớp học lần lượt có 4, 5, 6 óng đèn ng là P(A 4 ) = 0,2966; P(A 5 ) = 0,25 0,3559; Nhóm: 02 22 Trưởng nhóm: Lê Hà Thu P(A 6 ) = 0,1779. Vậy c u t để lớp học có đ nh ng là: P(A) = P(A 4) + P(A 5) + P(A 6 ) 0,8305. b) Gọi là i n c để lớp học hông có đ nh ng; Ta có là i n c đ i c a i n c A nên: c u t để lớp học hông đ nh ng là: P( ) = 1 – P(A) = 1 – 0,8305 = 0,1695. Bài 6: a, Người ay rượu trở về điểm u t ph t au 8 ước hi anh ta có đúng 4 ước ước về phía trước . Vậy (4)=C(8,4) =0,27 ,Để c ch đích >4m chỉ có 2 th: Th1: ước ti n là 1 và lùi là 7: (1)=C(8,1) =0,03125 Th2: ước ti n là 7 và ước lùi là 1 (7)=C(8,7) =0,03125 Suy ra c u t cần tính là: 0,0625. A. Lý thuyết căn bản. Chương 2: Đại lượng ngẫu nhiên. CHƯƠNG 2 : ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN 1. Bảng phân phối xác suất. Giả ử i n ngẫu nhiên rời ạc có thể nhận c c gi trị: x 1 , x 2 , …., n với c c c u t tương ứng là: p 1 , p 2 ,…., p n . Ta lập ảng au: X x 1 x 2 … x i …… x n P(x i ) p 1 p 2 p i p n Với: n i i i p i p 1 1 , 1 0 Nhóm: 02 23 Trưởng nhóm: Lê Hà Thu 2. Hàm phân phối xác suất. Định nghĩa: Hàm phân c u t c a i n ngẫu nhiên , ý hiệu F( ), là để i n ngẫu nhiên nhận gi trị nhỏ hơn , với là một thực t ỳ: F x (x) = P(X < x) N u là i n ngẫu nhiên rời rạc thì 1 1 1 0 1 i i x j i i j n khi x x F x p khi x x x khi x x . N u là đại lượng ngẫu nhiên liên tục thì x x F x f u du . Trong đó: f(u) là mật độ c u t c a đại lượng ngẫu nhiên liên tục . Các tính chất: + Tính chất 1: Hàm phân c u t luôn nhận gi trị trong đoạn 0; 1: 0 ≤ F(x) ≤ 1 + Tính chất 2: Hàm phân c u t là hàm hông giảm, tức là với 2 > x 1 thì F(x 2 ) ≥ F( 1 ). Các hệ quả: Hệ quả 1: c u t để i n ngâu nhiên nhận gi trị trong hoảng a; ) ng hiệu c a hàm phân c u t tại hai đầu hoảng đó: P(a ≤ X < b) = F(b) –F(a) Hệ quả 2: c u t để i n ngẫu nhiên liên tục nhận một gi trị c định = thì ng 0: P(X = x) = 0. Hệ quả 3: Đỗi với i n ngẫu nhiên liên tục ta có c c đẳng thức au: P(a ≤ X ≤ b) = P (a ≤ X < b) = P(a < X ≤ b) = P(a < X < b) + Tính chất 3: Ta có iểu thức giới hạn au: 1 ) ( ; 0 ) ( F F 3. Hàm mật độ phân phối xác suất. (chỉ áp dụng được với biến ngẫu nhiên liên tục) Định nghĩa: Hàm mật độ c u t c a bi n ngẫu nhiên liên tục ( ý hiệu là f( )) là độ hàm ậc nh t c a hàm phân c u t c a bi n ngẫu nhiên đó: F x ’(x) = f(x) Các tính chất: + Tính chất 1: Hàm mật độ c u t luôn hông âm: f( ) ≥ 0 với mọi x. + Tính chất 2: c u t để bi n ngẫu nhiên liên tục X nhận gi trị trong khoảng (a;b) b ng tích phân c định c a hàm mật độ c u t trong khoảng đó: P(a < X < b) = b a dx x f ) ( + Tính chất 3: Hàm phân c u t c a bi n ngẫu nhiên liên tục X b ng tích phân uy rộng c a hàm mật độ c u t trong khoảng ( ∞ ; ): F(x) = x dx x f ) ( + Tính chất 4: Tích phân uy rộng trong khoảng ( ∞ ; +∞ ) c a hàm mật độ c u t b ng 1: 1 ) ( dx x f Nhóm: 02 24 Trưởng nhóm: Lê Hà Thu Chú ý: Để f(x) là hàm mật độ xác suất của địa lượng ngẫu nhiên liên tục nào đó thì nó phải thỏa mãn hai điều kiện: 0 x1 f x x f x d 4. Các tham số đặc trưng của ĐLNN. a. Kỳ vọng. Định nghĩa: Giả ử i n ngẫu nhiên rời rạc nhận một trong c c gi trị có thể có x 1 , x 2 ,…., n với c c c u t tương ứng là: p 1 , p 2 ,….,p n . Kỳ vọng to n c a i n ngẫu nhiên rời rạc , ý hiệu là E( ) là t ng c a c c tích giữa c c gi trị có thể có c a i n ngẫu nhiên rời rạc với c u t tương ứng: E(X) = n i i i p x 1 N u là i n ngẫu nhiên liên tục với hàm mật độ c u t f( ) thì ỳ vọng to n E( ) được c định: E(X) = dx x xf ) ( Chú ý: Nếu f(x) chỉ trong khoảng (a; b) thì E(X) = () b a xf x dx Các tính chất: Tính chất 1: E(C) = C với C là h ng . Tính chất 2: E(C.X) = C.E(X) với C h ng , là i n ngẫu nhiên. Tính chất 3: E(X + Y) = E(X) + E(Y) với ; Y là c c i n ngẫu nhiên độc lập (mở rộng cho n biến ngẫu nhiên độc lập) Tính chất 4: E(X.Y) = E(X).E(Y) với , Y là c c i n ngẫu nhiên độc lập ( mở rộng cho n biến ngẫu nhiên độc lập ) b. Phương sai. Định nghĩa: Phương sai c a i n ngẫu nhiên là một thực hông âm, ý hiệu D( ) được c định ởi D(X) = E(X E(X)) 2 . + Đ i với i n ngẫu nhiên rời rạc ta có thể tính phương ai ng công thức: D(X) = n i i i X E p x 1 2 2 )) ( ( + Đ i với i n ngẫu nhiên liên tục: D(X) = 2 2 )) ( ( ) ( X E dx x f x . Các tính chất: Tính chất 1: D(C) = 0 với C là h ng . Tính chất 2: D(CX) = C 2 D( ) với C là h ng là i n ngẫu nhiên Tính chất 3: D( + Y) = D( ) + D(Y) với , Y là c c i n độc lập nhau. Hệ quả: V(X – Y) = V( ) + V(Y) với ; Y là c c i n ngẫu nhiên. Chú ý: Trong thực tế: 2 2 X EX EX D Nếu X_rời rạc: 2 2 11 X nn i i i i ii D x p x p Nếu X_liên tục: 2 2 X x x x D x f d xf x d c. Độ lệch chuẩn. Nhóm: 02 25 Trưởng nhóm: Lê Hà Thu Đại lượng () DX được gọi là độ lệch chuẩn c a i n ngẫu nhiên . 5. Một số các tham số khác. a. Mod. M t ý hiệu là Mod(X) là gi trị c a i n ngẫu nhiên tương ứng với c u t lớn nh t n u là i n ngẫu nhiên rời rạc, là cực đại c a hàm mật độ c u t n u là i n ngẫu nhiên liên tục. b. Med. Công thức: d 1 d 2 me Me X F X 6. Một số quy luật phân phối thường gặp. 6.1 Phân phối không – một: Ta có: E(X) = p; D(X) = pq nên: X pq . 6.2 Phân phối nhị thức: N u , X B n p thì ta có: E( ) = np; D( ) = npq; X npq ; d1 mo X n p . Chú ý: Áp dụng cho n rất lớn và p khá nhỏ. i) x 1 x n x xn P C p q f u npq trong đó: 2 1 ;. 2 u x np u f u e npq ii) 21 P x X x h u u trong đó: 1 2 11 0 1 ; ; . 2 u x np x h np u u u e dt npq npq 6.3 Công thức Poisson: k k P P X k e k . 6.4 Phân phối chuẩn: _liên tục thì: 2 2 2 1 . 2 x f x e . C c đặc trưng c a là 2 EX= , DX . Khi đó ta ý hiệu: 2 , XN . 6.5 Phân phối student: Ký hiệu: 2 . B. Bài tập chương 2. Đại lượng ngẫu nhiên. 2.1 Đại lượng ngẫu nhiên. Bài 1: GTBài 2: a. Gọi là ộ phận ị hỏng: 0,1,2,3 X Gọi Ai là i n c m y ình thường. Nhóm: 02 26 Trưởng nhóm: Lê Hà Thu 11 22 33 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 0,8; 0,2 0,3; 0,7 0,25; 0,75 0 0,8.0,7.0,75 0,42 1 0,8.0,7.0,75 0,42 0,425. 3 0,015 2 1 3 P A P A P A P A P A P A P X P A A A P X P A A A P A A A P A A A P A P A P A P A P A P A P A P A P A P X P A A A P A P A P A P X P X 0,14. X 0 1 2 3 P(X = X i ) 0,42 0,425 0,14 0,015 b. 00 0,42 0 1 0,845 1 2 0,985 2 3 13 khi x khi x F x khi x khi x khi x . c. Tính 04 Px . Tính trực ti p: 0 4 ( 1) ( 1) ( 2) ( 3) ( 4) 0,425 0,14 0,015 0 0,58 P x P X P X P X P X P X . Bài 3: GTBài 4: a. Ta có: 222 2 21 0,2 4 5 1 1 ( ) k k k k k k k k kk kl Với = 0,2 ta có: X 0 1 2 3 4 5 6 7 P 0 0,2 0,2 0,2 0.2 0.08 0.04 0.08 ( ) 0 1.0,2 2.0,2 4.0,2 5.0,08 6.0,04 7.0,08 3,2 ii E X x p b. 5 5 6 7 0,2 3 0 1 2 0,4 P X P X P X P X P X P X P X P X . Bài 6: a. Gọi là l y được quả cầu vàng 0,1,2,3 X Vậy hi đó, ta có: 0 4 1 1 2 2 3 1 3 9 3 9 3 9 3 9 4 4 4 4 12 12 12 12 ( 0) ; ( 1) ; ( 2) ; ( 3) C C C C C C C C P X P X P X P X C C C C . Bảng phân ph i: X 0 1 2 3 P(X = x i ) 14 55 28 55 12 55 1 55 b. Tính: Nhóm: 02 27 Trưởng nhóm: Lê Hà Thu 22 2 2 14 28 12 1 ( ) 0. 1. 2. 3. 1 55 55 55 55 () 17 17 6 ( ) 1 . 11 11 11 ii E X x p D X E X E X E X E X E X P X Bài 7: Gọi là em lớp C được chọn 0,1,2,3 X . 0 4 1 3 2 2 3 1 3 9 3 9 3 9 3 9 4 4 4 4 12 12 12 12 14 28 12 1 ( 0) ; ( 1) ; ( 2) ; ( 3) 55 55 55 55 C C C C C C C C P X P X P X P X C C C C Bảng phân ph i: X 0 1 2 3 P 14 55 28 55 12 55 1 55 Nên: 22 2 2 14 28 12 1 ( ) 0. 1. 2. 3. 1 55 55 55 55 () 17 17 6 ( ) 1 . 11 11 11 ii E X x p D X E X E X E X E X E X D X . Bài 8: Gọi là ph phẩm l y được: 0,1,2,3 X 0 3 1 2 2 1 3 0 4 8 4 8 4 8 8 8 3 3 3 3 12 12 12 12 14 28 12 1 ( 0) ; ( 1) ; ( 2) ; ( 3) 55 55 55 55 C C C C C C C C P X P X P X P X C C C C . a. Bảng phân phối xác suất: X 0 1 2 3 P 14 55 28 55 12 55 1 55 b. Tính: 22 2 2 2 2 2 2 2 2 14 28 12 1 ( ) 0. 1. 2. 3. 1 55 55 55 55 () 14 28 12 1 17 0 . 1 . 2 . 3 . 55 55 55 55 11 17 6 ( ) 1 . 11 11 ii E X x p D X E X E X E X E X EX D X E X E X Bài 9: Gọi là ph phẩm l y được 0,1,2,3 X có chính phẩm là: 1 6 1 10 6 10 C p C . S ph phẩm 4 10 q . Áp dụng công thức Becnuli ta được: Nhóm: 02 28 Trưởng nhóm: Lê Hà Thu 3 0 2 1 01 33 1 2 0 3 23 33 6 4 6 4 ( 0) 0,216; ( 1) 0,432; 10 10 10 10 6 4 6 4 ( 2) 0,288; ( 3) 0,064; 10 10 10 10 k k n k nn P k C p q P X C P X C P X C P X C a. Bảng phân phối xác suất: X 0 1 2 3 P 0,216 0,432 0,288 0,064 b. Tính: 2 2 2 2 3 2 2 2 0.0,216 1.0,432 2.0,288 3.0,064 1,2 0 .0,216 1 .0,432 2 .0,288 3 .0,064 2,16 ( ) 2,16 1,2 EX EX D X E X E X Bài 10: Gọi là viên đạn n trúng 3,4,5 X 3 viên đạn liên ti p. 2 ( 3) 0,8.0,8.0,8 0,512 ( 4) 0,2.(0,8) 0,1024 ( 5) 1 ( 3) ( 4) 0,3856 PX PX P X P X P X a. Bảng phân ph i: X 3 4 5 P 0,512 0,1024 0,385 b. Hàm phân ph i: 03 0,512 3 4 0,6144 4 5 15 khi x khi x Fx khi x khi x 2 2 2 2 2 2 2 3.0,512 4.0,1024 5.0,3856 3,8736 3 .0,512 4 .0,1024 5 .0,3856 15,8964 ( ) 15,8964 3,8736 EX EX D X E X E X . Bài 11: Gọi là quả ném trúng 0,1,2,3 X ( 0) 0,3.0,1.0,2 0,006; ( 1) 0,7.0,1.0,8 0,3.0, 9.0,8 0,7.0,9.0,2 0,398; ( 3) 0,7.0,9.0,8 0,504; ( 2) 1 ( 0) ( 1) ( 3) 0,092 P X P X P X P X P X P X P X a. Bảng phân ph i c u t: X 0 1 2 3 P 0,006 0,398 0,092 0,504 b. Tính: 2 2 2 2 2 2 2 2 0.0,016 1.0,398 2.0,092 3.0,504 2,094 0 .0,016 1 .0,398 2 .0,092 3 .0,504 5,302 ( ) 5,302 2,094 EX EX D X E X E X . Bài 12: Gọi là m y hỏng 0,1,2,3 X ( 0) 0,9.0,7.0,6 0,378; ( 1) 0,1.0,7.0,6 0,9.0, 3.0,6 0,9.0,7.0,4 0,456; ( 3) 0,1.0,3.0,4 0,012; ( 2) 1 ( 0) ( 1) ( 3) 0,154 P X P X P X P X P X P X P X a. Bảng phân ph i c u t: Nhóm: 02 29 Trưởng nhóm: Lê Hà Thu X 0 1 2 3 P 0,378 0,456 0,154 0,012 b. Tính: 2 2 2 2 2 2 2 2 0.0,378 1.0,456 2.0,154 3.0,012 0,8 0 .0,378 1 .0,456 2 .0,154 3 .0,012 1,18 ( ) 1,18 0,8 0,54. EX EX D X E X E X . 2.2 Đại lượng nhẫu nhiên liên tục. Bài 1: a. Xác định k = ? Vì f(x) là hàm mật độ c u t c a đại lượng ngẫu nhiên liên tục nên: ( ) 0 (1) ( ) x 1 (2) f x x f x d . Từ điều iện (1) ta có ( ) 0 .cos 0 0 cos 0 ; 44 f x k x k x x . Giải phương trình (2) ta được: 4 4 4 4 4 4 4 4 ( ) x 1 .cos .cos .cos .cos .cos sin 2. 2 2 .1 22 f x d k xdx k xdx k xdx k xdx k xdx k x kk b.tính kì vọng E(x)và D(x) +)D( E( = Nhóm: 02 30 Trưởng nhóm: Lê Hà Thu = = = c.tính p( = = Bài 2: F(x)= a. c định C: GIẢI HỆ PT (1) (2) = ây dựng hàm pp F( ) N u x = N u 0 Nhóm: 02 31 Trưởng nhóm: Lê Hà Thu N u x .F(X)= =>F(x)= c.tìm ì vọng ps = =>E(x)= = E( 0dx+ == )= .sinx = D(x)=E(
Nhóm: 02 1 Trưởng nhóm: Lê Hà Thu TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ THÔNG TIN VÀ TRUYỀN THÔNG BÀI THẢO LUẬN CHỦ ĐỀ: BÀI TẬP CHƯƠNG VÀ NHỮNG KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ XÁC SUẤT VÀ ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN Giảng viên hướng dẫn: Trương Hà Hải Nhóm: 02 Thành viên: Lê Hà Thu (Nhóm trưởng) Ma Nguyễn Lệnh Hà Thị Ngọc Linh Nguyễn Đăng Tùng Đỗ Thị Hồng Cao Văn Tú Thái Nguyên, tháng 09 năm 2014 Nhóm: 02 2 Trưởng nhóm: Lê Hà Thu MỤC LỤC A. Lý thuyết căn bản chương 1. Những khái niệm cơ bản về xác suất. 3 1. Định lý cộng xác suất. 3 2. Định lý nhân xác suất. 3 3. Công thức Becnuni. 4 4. Công thức xác suất đầy đủ. 4 5. Công thức Bayes. 4 B. Bài tập. 4 1. Phần 1.1 Các công thức xác suất 4 2. 1.2.Công thức xác suất đầy đủ. công thức Bayes 12 3. 1.3 Công thức Becnulli. 20 A. Lý thuyết căn bản. Chương 2: Đại lượng ngẫu nhiên. 22 1. Bảng phân phối xác suất. 22 2. Hàm phân phối xác suất. 23 3. Hàm mật độ phân phối xác suất. (chỉ áp dụng được với biến ngẫu nhiên liên tục) 23 4. Các tham số đặc trưng của ĐLNN. 24 5. Một số các tham số khác. 25 6. Một số quy luật phân phối thường gặp. 25 B. Bài tập chương 2. Đại lượng ngẫu nhiên. 25 Nội dung và nhiệm vụ các thành viên: Thành viên Nội dung phụ trách Ghi chú Phân nội dung, làm các ý 1; 1.1; 2; 2.2 khung: Làm các ý 1; 1.2; 1/2 Làm các ý 2; 1.2; 1/2 Làm các ý1;1.3; 2; 2.1;1/2 Làm các ý 2; 2.1; 1/2 Tổng hợp lý thuyết, Làm câu số: 2; 2.2 Nhóm: 02 3 Trưởng nhóm: Lê Hà Thu A. Lý thuyết căn bản chương 1. Những khái niệm cơ bản về xác suất. CHƯƠNG 1: NHỮNG KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ XÁC SUẤT 1. Định lý cộng xác suất. Định lý: . Hệ quả 1: Cho A 1, A 2 n : n i n i i APAP 11 )()( Hệ quả 2: 1, A 2 n . 1. 2. Định lý nhân xác suất. Định nghĩa 1: . *Chú ý: B ; A B A . Định nghĩa 2 1, A 2 n . Định nghĩa 3 1, A 2 n . Hệ quả 1: : )( ).( )( BP BAP AP )( ).( )( AP BAP BP khi P(B) > 0. Hệ quả 2 : n i i n i i APAP 11 )()( Đinh nghĩa Định lý 2: : P(A.B) = P(A).P(B/A) = P(B).P(A/B) Hệ quả 1 )( ).( )/( BP BAP BAP . Hệ quả 2: : P( A 1 A 2 n ) = P(A 1 ).P(A 2 /A 1 ).p(A 3 /A 1 A 2 n /A 1 A 2 n-1 ) Nhóm: 02 4 Trưởng nhóm: Lê Hà Thu : P(A/B) = P(A) P(B/A) = P(B) 3. Công thức Becnuni. Định nghĩa : A . . KP n (x) = xnxx n qpC . . 4. Công thức xác suất đầy đủ. 1 ,H 2 n H 1 ,H 2 n : P(A) = n i ii HAPHP 1 )/()( 1 ,H 2 n . 5. Công thức Bayes. 1 ,H 2 n . Suy ra: P(H i /A) = n i ii iiii HAPHP HAPHP AP HAPHP 1 )/()( )/()( )( )/()( . . B. Bài tập. 1. Phần 1.1 Các công thức xác suất Bài 1: a) P(A1) = = P(A2) == = Nhóm: 02 5 Trưởng nhóm: Lê Hà Thu P(A3) = = = P(A4) = = P(A) = P(A1) + P(A2) + P(A3) + P(A4) = 35/99 + 14/33 + 14/99 + 1/99 =0,93 b) = = = . P(A) = 1- 6/11 = 5/11 Bài 2: m = = 90 n = P(A) = = = 0,18 P(B) = = =0,44 Bài 3: : n= 5.5 = 25 a. Nhóm: 02 6 Trưởng nhóm: Lê Hà Thu A = 4. P(A) = = 0,16 b. m B = 25-1 = 24 P(B) = = 0,96 Bài 4: a) P(A) = . b) . . = 2770, P(B) = Bài 5: = = n; * + * ch); * + * + * Nhóm: 02 7 Trưởng nhóm: Lê Hà Thu * + * = 0,85. Bài 6 : a, i=1,2) = 0,224 b, 2.B1)=P(A1.B2)+P(A2.B1)-P(A1.B2.A2.B1) = P(A1).P(B2)+P(A2).P(B1) + = 0,448 Bài 7: =>m=7*6*5. = b, P(B)= = Bài 8 : a, Nhóm: 02 8 Trưởng nhóm: Lê Hà Thu ; P( )=1-P(A2) = ). P(A1. )=P(A1).P( )= = 0,133 =38.37.36 x38 = 0.922 Bài 9: Bài 10: Bài 11: 1 2 3 P(A 1 ) = 0,99 P(A 2 ) = 0,95 P(A 3 ) = 0,90 P = [(1-0,99) .(1-0,95) .(0,90) + (1-0,99). (0,95).(1-0,90) + (0,99) . (1-0,95).(1-0,99) ] = 0,00635 Nhóm: 02 9 Trưởng nhóm: Lê Hà Thu Do =(1 0,99) . (1 0,95) . (1 0,90) = 0,00005 Bài 12: P(A1) = [(C(60,9).C(20,1)]/ C(80,10) = 0,175 P(A2) = [C(60,8).C(20,2)]/ C(80,10) = 0,295 P(A0) = [C(60,10).C(20,0)]/ (80C10) = 0,046 P(A) = P(A0) + P(A1) + P(A2) = 0,175 + 0,295 + 0,046 = 0,5209 Bài 13: i 1 ) P(A 2 ) P(A 3 ) + P(A 1 ) 2 ) P(A 3 ) + P(A 1 ) P(A 2 ) 3 ) = 0,3 0,9 0,8 + 0,7 0,1 0,8 + 0,7 0,9 0,2 = 0,398 ⇨ P( 1 ) 2 ) 3 ) = 0,3 0,1 0,1 = 0,006 0,006 = 0,994 1 ) P(A 2 ) P(A 3 ) + P(A 1 ) P(A 2 ) 3 ) = 0,3 0,9 0,8 + 0,7 0,9 0,2 = 0,342 Bài 14. i a. Nhóm: 02 10 Trưởng nhóm: Lê Hà Thu = 1 2 3 = P( 1 2 3 ) = P( 1 )P( 2 )P( 3 ) = (1 0,01)(1 - 0,1)(1 - 0,5) = 0,4455 - = 1 0,4455 = 0,5545 b. Ta 1 A 2 A 3 +A 1 2 A 3 +A 1 A 2 3 P(B) = P( 1 A 2 A 3 +A 1 2 A 3 +A 1 A 2 3 ) = (1-0,01).0,1.0,5+0,01.(1-0,1).0,5+0,01.0,1.(1-0,5) =0,0545 c. P( 1 /B) = = = = Bài 15: i P(A 2 ) = P(A 3 ) = P(A 4 ) = P(A 5 ) = P(E) = P(A 2 ) + P(A 3 ) + P(A 4 ) + P(A 5 ) = 0,355 + 0,26 + 0,09 + 0,011 = 0,716. Bài 16: a) [...]... hả năng đạt giải u t c E2 : nhóm 7 thí inh có hả năng đạt giải u t c E3 ; nhóm 4 thí inh có hả năng đạt giải u t c E4 ; nhóm 2 thí inh có hả năng đạt giải u t c Theo ài ra ta có; P(E1) = ; P(E2) = P(A/E1) = 0,2 ; P(E3) = P(A/E2) = 0,3 ; P(E4) = P(A/E3) = 0,4 ; P(A/E4) = 0,5 Áp dụng công thức Bayet, nên ta có; P(E1/A) = = P(E2/A) = = P(E3/A) = = P(E4/A) = = Vậy thí inh có hả năng ở nhóm 2 Bài 6: Gọi... 15 điểm, để có 15 điểm thí inh phải trả lời đúng 5 câu nên P(A)= (5)= * * = 0,058 , Gọi B là i n c thí inh đỗ, để đỗ thí inh phải trả lời đúng 7 câu trở lên Vậy P(B)= (7,10)= * * + * * + * * + * * = 0,00351 Bài 3 : Coi việc trả lời mỗi câu hỏi là một phép thử thì ta có 12 phép thử độc lập, trong mỗi phép thử có hai hả năng đ i lập là : đúng , ai Mỗi câu có 4 phương n trả lời nên c u t trả lời đúng là... Becnulli Bài 1 Gọi A là i n c để trong 5 tín hiệu đã ph t có 4 tín hiệu ph t thành công, B là i n c để trong 4 tín hiệu ph t thành công có 3 tín hiệu chính c, Theo công thức Becnoulli ta có: c u t để trong 5 tín hiệu đã ph t có 4 tín hiệu ph t thành công là: = 0,01 = 0,048; c u t để trong 4 tín hiệu ph t thành công có 3 tín hiệu chính = Nhóm: 02 c là: 0,05 = 0,16 20 Trưởng nhóm: Lê Hà Thu Bài 2 :... thức c u t đầy đ ta có: P(A)=P(A1).P(A/A1)+P(A2).P(A/A2) P(A)=0,8x0,3+0,2x0,5=0,34 , Ta có c u t cần tính ẽ là P(A1/A) Áp dụng công thức Baye ta có: P(A1/A)= = = 0,705 Bài 3: a) Gọi A là i n c l y được 2 chính phẩm từ lô II, A1 là i n c l y được 1 chính phẩm từ lô I, A2 là i n c l y được 1 ph phẩm từ lô I Ta có: P(A1) =30/40=0,75; P(A2) = Theo định nghĩa Nhóm: 02 0,25; c u t ta có: 12 Trưởng nhóm:... hông ị viên họng: P(B/ )= = = 0,2 Bài 12 : a, Gọi A1 là i n c chuẩn đo n cho ệnh nhân có ệnh Gọi A2 là i n c chuẩn đo n cho ệnh nhân hông có ệnh A là i n c chuẩn đo n đúng Ta có A=A.A1+A.A2 P(A1)=0,8; P(A2)=0,2; P(A/A1)=0,9; P(A/A2)=0,85 =>P(A)=0,8*0,9 + 0,2*0,85 =0,89 , Ta cần tính P(A1/A) Có P(A)*P(A1/A)=P(A/A1)*P(A1) Suy ra 0,89*P(A1/A)=0,8*0,9 P(A1/A)= = 0,809 Bài 13 : a, Gọi A1 là i n c h ch hàng... 6/10.6/9 + 5/10.5/9 = 61/9 ,Gọi A là i n c l y được 1 i màu đỏ và 1 i màu anh, A1 là i n c viên ị ị m t có màu đỏ A2 là i n c viên i ị m t có màu anh Ta có P(A1)= 5/9; P(A2)= 3/9; Theo định nghĩa c u t ta có: P(A/A1)= = = P(A/A2)= = =0,5 Vậy P(A)=P(A1).P(A/A1) + P(A2).P(A/A2) = 5/9.5/9 + 3/9.0,5= 0,475 Bài 18: Gọi A là i n c chọn được thỏ tr ng Ai là i n c chọn được thỏ ở chuồng i (i = 1,2) P(A) = P(A1)... ản phẩm l y ra từ lô II có 1 chính phẩm và 1 ph phẩm, B1 là i n c ản phẩm l y từ lô I là chính phẩm, B2là i n c ản phẩm l y từ lô I là ph phẩm Ta có: P(B1) = = 0,75; P(B2) = Theo định nghĩa c u t ta có: P(B/B1) = = ; P(B/B2) = Vậy = = = = 0,25; ; c u t để 2 ản phẩm l y ra từ lô II có 1 chính phẩm và 1 ph phẩm là: P(B) = P(B1)*P(B/B1) + P(B2)*P(B/B2) = 0,75* + 0,25* = 0,4786; Bài 4: a, Gọi i n c mua... chuẩn đo n hông có ệnh là 0,5 a, Gọi A1 là i n c người đ n h m có ệnh A2 là i n c người đ n h m hông có ệnh A là i n c chuẩn đo n có ệnh Ta có A=A.A1+A.A2 P(A1)=0,8; P(A/A1)=0,9; P(A2)=0,2; P(A/A2)=0,5 P(A) = P(A1)*P(A/A1) + P(A2)*P(A/A2) = 0,8*0,9+0,2*0,5 = 0,82 b, P(A.A1 + A2 ) =P(A.A1)+P( A2)=P(A1).P(A/A1)+P( ).P(A2/ ) = 0,8*0,9+0,18*0,5=0,81 Bài 16: Gọi A1 là i n c A2 là i n c Nhóm: 02 inh viên do gi... là 1/4=0,25; Bài to n thỏa mãn lược đồ Becnulli a, Để thi được 13 điểm thí inh phải làm đúng 5 câu.Ta có : (5)= * * =0,1032 b, Thí inh ị âm điểm hi thí inh làm được câu đúng nhỏ hơn hoặc ng 2 Vậy (0,2)= * * + * * + * * = 0,6733 Bài 4 : a, Gọi A là i n c n được hàng ở đúng 2 nơi trong 10 nơi Áp dụng công thức Becnulli ta có: P(A)= * * b, Gọi B là i n c n được hàng ở ít nh t một nơi.Ta có: P(B)=1-P(... P( )= * Suy ra P(B)= 1Bài 5: * =45*0,04*0,17=0,306 = = 1-0.107=0,893 a) Gọi A là i n c lớp học đ nh ng, Ai là i n c lớp có i óng đèn Theo đề ài, mỗi óng có → c u t ng: i={4,5,6} c u t ch y là 0,25; ng c a mỗi óng là 0,75 c u t để lớp học lần lượt có 4, 5, 6 óng đèn P(A4) = * 0,2966; P(A5) = Nhóm: 02 * * *0,25 ng là 0,3559; 21 Trưởng nhóm: Lê Hà Thu P(A6) = Vậy * * c u t để lớp học có đ 0,1779 nh ng là: . khái niệm cơ bản về xác suất. 3 1. Định lý cộng xác suất. 3 2. Định lý nhân xác suất. 3 3. Công thức Becnuni. 4 4. Công thức xác suất đầy đủ. 4 5. Công thức Bayes. 4 B. Bài tập. 4 1. Phần. công thức xác suất 4 2. 1.2.Công thức xác suất đầy đủ. công thức Bayes 12 3. 1.3 Công thức Becnulli. 20 A. Lý thuyết căn bản. Chương 2: Đại lượng ngẫu nhiên. 22 1. Bảng phân phối xác suất. 22. A. Lý thuyết căn bản chương 1. Những khái niệm cơ bản về xác suất. CHƯƠNG 1: NHỮNG KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ XÁC SUẤT 1. Định lý cộng xác suất. Định lý: .