Bài tập xác suất thống kê có lời giải

BÀI TẬP XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ Mục lục CHƯƠNG 1 Biến cố ngẫu nhiên phép tính xác suất 1.1 Một số dạng tập 1.1.1 Tính xác suất theo dịnh nghĩa cổ diển 1.1.2 Tính xác suất cách dùng cơng thức cộng, nhân xác suất có điều kiện 1.1.3 Tính xác suất cách dùng cơng thức xác suất tồn phần cơng thức Bayes 1.1.4 Tính xác suất cách dùng công thức Bernoulli 1.1.5 Dạng tập tổng hợp 1.2 Bài tập 3 Đại lượng ngẫu nhiên luật phân phối xác suất 2.1 Một số dạng tập 2.1.1 Tìm phân phối xác suất đặc trưng đại lượng ngẫu nhiên rời rạc 2.1.2 Tìm phân phối xác suất đặc trưng đại lượng ngẫu nhiên liên tục 2.2 Bài tập 12 12 Mẫu thống kê ước lượng tham số 3.1 Một số dạng tập 3.1.1 Tính giá trị đặc trưng mẫu 3.1.2 Ước lượng điểm cho số tham số đặc biệt 3.1.3 Ước lượng khoảng tin cậy đối xứng cho kỳ vọng 3.1.4 Ước lượng khoảng tin cậy đối xứng cho phương sai 3.1.5 Ước lượng khoảng tin cậy đối xứng cho xác suất 3.1.6 Ước lượng cỡ mẫu tối thiểu biết độ xác độ dài khoảng ước lượng tin cậy đối xứng 3.2 Bài tập 20 20 20 22 23 24 25 6 12 14 15 27 30 Kiểm định giả thuyết 4.1 Tóm tắt lý thuyết 4.2 Một số dạng tập 4.2.1 Kiểm định giả thiết cho kỳ vọng hay trung 4.2.2 Kiểm định giả thiết cho phương sai 4.2.3 Kiểm định giả thiết cho tỷ lệ hay xác suất 4.3 Bài tập bình 37 37 37 37 39 40 43 Hướng dẫn giải tập chương 47 Hướng dẫn giải tập chương 50 Hướng dẫn giải tập chương 52 Hướng dẫn giải tập chương 54 Chương Biến cố ngẫu nhiên phép tính xác suất 1.1 Một số dạng tập 1.1.1 Tính xác suất theo dịnh nghĩa cổ diển Ví dụ 1.1 Một hộp có 100 thẻ đánh số từ đến 100 Rút ngẫu nhiên hai thẻ đặt theo thứ tự từ trái qua phải Tính xác suất để: a) Rút hai thẻ tạo thành số có hai chữ số b) Rút hai thẻ tạo thành số chia hết cho Giải a) Gọi A: "Hai thẻ rút tạo thành số có hai chữ số" Khi P (A) = 9.8 A29 = ≈ 0, 0073 A100 100.99 b) Gọi B: "Hai thẻ rút tạo thành số chia hết cho " Khi thẻ thứ hai phải 20 số 5, 10, , 100, thẻ thứ 99 thẻ lại.Vậy số trường hợp thuận lợi cho B 99.20, P (B) = 99.20 = 0, A2100 Ví dụ 1.2 Một hộp chứa cầu trắng cầu đen kích thước Rút ngẫu nhiên lúc cầu Tính xác suất để có: a) Hai cầu đen b) Ít cầu đen c) Tất cầu trắng Giải Số phần tử không gian mẫu C10 a) Gọi A: "Trong cầu rút có đen" Số trường hợp xảy A C32 C72 Do P (A) = C32 C72 = 0, C10 b) Gọi B: "Trong cầu rút có hai đen" Số trường hợp xảy B C32 C72 + C33 C71 C C + C C 1 Do P (B) = 7 = C10 c) Gọi C: "Tất cầu rút cầu trắng" Khi P (C) = 1.1.2 C74 = C10 Tính xác suất cách dùng cơng thức cộng, nhân xác suất có điều kiện Ví dụ 1.3 Một cơng ty cần tuyển nhân viên Có nam nữ dự tuyển, người có hội ứng tuyển ngang Tính xác suất để người đó: a) Có khơng q nam b) Có nữ c) Có nữ, biết có nữ tuyển Giải Đặt Ak : "Có k nam tuyển nhân viên" a) Gọi A:" Có khơng q nam" P (A) = P (A1 ) + P (A2 ) = C51 C33 + C52 C32 = C8 b) Gọi B: "Có nữ" Xác suất để khơng có người nữ tuyển P (A4 ) Khi P (B) = − P (A4 ) = − C54 13 = C8 14 c) Gọi C: "Có nữ, biết nữ tuyển".Vậy P (C) = P (A1 /B) = P (A1 ) C 13 = 54 = P (B) C8 14 13 Ví dụ 1.4 Một điều tra thành phố X hộ gia đình sử dụng dịch vụ truyền hình cáp internet, có 30% hộ sử dụng truyền hình cáp, 20% hộ sử dụng internet 15% hộ sử dụng hai dịch vụ Điều tra ngẫu nhiên hộ gia đình, tính xác suất để hộ này: a) Không sử dụng dịch vụ b) Khơng dùng internet, biết người dùng truyền hình cáp Giải Đặt A: "Hộ gia đình sử dụng truyền hình cáp"; B:"Hộ gia đình sử dụng internet " Ta có: P (A) = 0, 3; P (B) = 0, 2; P (AB) = 0, 15 ¯ B) ¯ = P (A) ¯ + P (B) ¯ − P (AB) ¯ = a) Xác suất để hộ gia đình khơng dùng dịch vụ P (A 15 13 +1− − (1 − )= 1− 10 10 100 20 ¯ P (AB) P (A) − P (AB) 0, − 0, 15 ¯ b) Xác suất cần tính P (B/A) = = = = P (A) P (A) 0, Ví dụ 1.5 Để thành lập đội tuyển quốc gia môn thể thao, người ta tổ chức thi tuyển gồm vòng Vòng thứ lấy 80% thí sinh, vòng thứ hai lấy 70% thí sinh qua vòng thứ nhất, vòng thứ ba lấy 45% thí sinh qua vòng thứ hai a) Tính xác suất để thí sinh vào đội tuyển b) Biết thí sinh bị loại, tính xác suất để thí sinh bị loại vòng thứ hai Giải Đặt Ai : "Thí sinh chọn vòng thứ i ", i ∈ {1, 2, 3} Ta có: P (A1 ) = 0, 8; P (A2 /A1 ) = 0, 7; P (A3 /A1 A2 ) = 0, 45 a) Xác suất để thí sinh vào đội tuyển P (A1 A2 A3 ) Theo công thức nhân xác suất ta có: P (A1 A2 A3 ) = P (A1 ).P (A2 /A1 ).P (A3 /A1 A2 ) = 0, 8.0, 7.0, 45 = 0, 252 b) Đặt K: "Thí sinh bị loại" Khi P (K) = P (A¯1 ) + P (A1 A¯2 ) + P (A1 A2 A¯3 ) P (A¯1 ) = − P (A1 ) = 0, 2; P (A1 A¯2 ) = P (A1 ).P (A¯2 /A1 ) = P (A1 )(1 − P (A2 /A1 )) = 0, 8.0, = 0, 24; P (A1 A2 A¯3 ) = P (A1 )P (A2 /A1 )P (A¯3 /A1 A2 ) = 0, 8.0, 7.0, 55 = 0, 308 → P (A1 A2 A¯3 ) = 0, + 0, 24 + 0, 308 = 0, 748 Vậy xác suất để thí sinh bị loại vòng hai, biết thí sinh bị loại là: P (A¯2 /K) = P (A¯2 K) P (A1 A¯2 ) 0, 24 = = = 0, 3209 P (K) P (K) 0, 748 1.1.3 Tính xác suất cách dùng cơng thức xác suất tồn phần cơng thức Bayes Ví dụ 1.6 Có hai lơ sản phẩm: lơ gồm tồn phẩm, lơ có tỷ lệ phế phẩm phầm Chọn ngẫu nhiên lô lơ lây ngẫu nhiên sản phẩm, thấy phẩm, sau hồn lại sản phảm vào lô Hỏi lấy ngẫu nhiên từ lơ chọn sản phẩm xác suất để phế phẩm bao nhiêu? Giải Gọi Hi : "Chọn lô i, i ∈ {1, 2}, ta có; P (H1 ) = P (H2 ) = Gọi A: "Lấy phẩm lần thứ nhất" P (A/H1 ) = 1, P (A/H2 ) = Theo công thức xác suất toàn phần: P (A) = P (H1 )P (A/H1 ) + P (H2 )P (A/H2 ) = 10 Theo công thức Bayes: P (H1 /A) = , P (H2 /A) = 9 Gọi B: "Lấy phế phẩm lần thứ hai", theo công thức xác suất tồn phần, ta có: 4 P (B) = P (H1 /A)P (B/(H1 /A)) + P (H2 /A)P (B/(H2 /A)) = + = 9 45 1.1.4 Tính xác suất cách dùng cơng thức Bernoulli Ví dụ 1.7 Một nhân viên bán hàng ngày chào hàng 10 nơi vói xác suất bán hàng nơi 0,2 a) Tính xác suất để người bán hàng nơi b) Tính xác suất để người bán hàng nơi Giải Coi việc bán hàng nơi phép thử ta có 10 phép thử độc lập Gọi A biến cố: "người bán hàng" P (A) = 0, a) Người bán hàng nơi nghĩa biến cố A xuất lần, xác suất cần tính là: P10 (2) = C10 (0, 2)2 (1 − 0, 2)8 = 0, 302 b) Xác suất để người bán hàng nơi là: − P10 (0) = − C10 (0, 2)0 (1 − 0, 2)10 = 0, 8296 1.1.5 Dạng tập tổng hợp Ví dụ 1.8 Có ba hộp A, B, C đựng lọ thuốc Hộp A có 10 lọ tốt lọ hỏng, hộp B có lọ tốt lọ hỏng; hộp C có lọ tốt lọ hỏng a) Lấy ngẫu nhiên từ hộp lọ thuốc, tính xác suất để lọ loại b) Lấy ngẫu nhiên hộp từ lấy lọ thuốc lọ tốt lọ hỏng Tính xác suất để hộp chọn hộp A Giải a) Gọi Ai : " Lọ lấy từ hộp thứ i tốt", i ∈ {1, 2, 3} Xác suất để lọ loại P (A1 A2 A3 + A¯1 A¯2 A¯3 ) = P (A1 )P (A2 )P (A3 ) + P (A¯1 )P (A¯2 )P (A¯3 ) 10 · · + = = 15 10 10 15 15 · · 10 10 b) Gọi Hi : "Lấy hộp thứ i", i ∈ {A, B, C}; X:"Lấy lọ tốt lọ hỏng" Khi P (HA ) = P (HB ) = P (HC ) = Xác suất để hộp A chọn P (HA /X) Theo công thức Bayes: P (HA )P (X/HA ) P (XHA ) = P (HA /X) = P (X) P (X) Theo công thức xác suất tồn phần, ta có: P (X) = P (HA )P (X/HA ) + P (HB )P (X/HB ) + P (HC )P (X/HC ) C 2C C 1C C 1C Lần lượt có P (X/HA ) = 10 ; P (X/HB ) = ; P (X/HC ) = 5 C15 C10 C10 5113 ≈ 0, 312 Do P (HA /X) = 0, 2347 Thay vào cơng thức ta có: P (X) = 16380 Ví dụ 1.9 Thống kê năm học trước trường đại học, tỉ lệ sinh viên thi trượt mơn Tốn 34%, thi trượt môn Ngoại ngữ 20.5%, số sinh viên thi trượt Tốn có 50% sinh viên thi trượt môn Ngoại ngữ a) Chọn ngẫu nhiên 12 sinh viên trường, nhiều khả có sinh viên thi trượt hai mơn Tốn Ngoại ngữ? Tính xác suất tương ứng b) Phải chọn sinh viên cho số đó, với xác suất khơng bé 99%, có sinh viên đỗ hai môn? Giải Gọi T : " viên thi trượt mơn Tốn"; N :"Sinh viên thi trượt mơn Ngoại ngữ" Ta có: P (T ) = 0, 34; P (N ) = 0, 205; P (N/T ) = 0, a) Xác suất sinh viên trượt hai môn P (T.N ) = P (T ).P (N/T ) = 0, 34.0, = 0, 17 Chọn 12 sinh viên nghĩa thực phép thử Bernoulli với xác suất trượt hai môn p = 0, 17 Số sinh viên nhiều khả trượt hai môn [(n+1)p] = [13.0, 17] = 2 Xác suất tương ứng P12 (2) = C12 (0, 17)2 (1 − 0, 17)1 = 0, 296 ¯ ) = 1−P (T ∩N ) = 1−P (T )−P (N )+P (T.N ) = b) Xác suất sinh viên đỗ hai môn P (T¯.N 0, 625 Gọi n số sinh viên cần chọn, I: "Ít sinh viên đỗ hai mơn" Theo đề ta có: P (I) = − Pn (0) = − (1 − 0, 625)n ≥ 0, 99 ⇔ 0, 375n ≤ 0, 01 ⇔ n ≥ 4, 69 Vậy cần chọn sinh viên 1.2 Bài tập Bài 1.1 Trong hộp có phẩm phế phẩm Lấy ngẫu nhiên khơng hồn lại sản phẩm Tính xác suất để sản phẩm lấy phẩm Bài 1.2 Một lơ hàng có sản phẩm giống Mỗi lần kiểm tra, người ta chọn ngẫu nhiên sản phẩm, kiểm tra xong lại trả vào lơ hàng Tính xác suất để sau lần kiểm tra, sản phẩm kiểm tra Bài 1.3 Hai máy bay ném bom mục tiêu, máy bay ném với xác suất trúng mục tiêu tương ứng 0,6 0,7 Tính xác suất để mục tiêu bị trúng bom Bài 1.4 Trong mội đội tuyển có vận động viên A, B, C thi đấu với xác suất thắng 0, 6; 0, 0, Giả sử người thi đấu trận độc lập Tính xác suất để: a) Đội tuyển thắng trận b) Đội tuyển thắng hai trận c) Vận động viên A thua trường hợp đội tuyển thắng hai trận Bài 1.5 Hộp I có bi xanh, bi đỏ; hộp II có bi xanh bi đỏ Lấy ngẫu nhiên từ hộp viên bi Tính xác suất để: a) Lấy viên bi màu b) Lấy bi xanh bi đỏ c) Lấy bi xanh bi đỏ Bài 1.6 Một lô hàng gồm 100 sản phẩm, sản phẩm loại II sản phẩm loại III, số lại sản phẩm loại I Chọn ngẫu nhiên lúc sản phẩm Tính xác suất để được: a) sản phẩm khác loại b) sản phẩm loại c) Được sản phẩm loại I d) Được sản phẩm loại I Bài 1.7 Gieo đồng thời xúc xắc (cân đối, đồng chất) Tính xác suất: a) Được mặt b) Được tổng số chấm lớn c) Được hiệu số chấm d) Xúc xắc mặt lẻ, biết xúc xắc mặt e) Xúc xắc mặt lẻ, biết xúc xắc mặt chẵn Bài 1.8 Trong hộp có phẩm phế phẩm Lấy ngẫu nhiên sản phẩm (khơng hồn lại) Tính xác suất để a) sản phẩm lấy phẩm b) Lần thứ hai lấy phế phẩm, biết lần đầu phẩm Bài 1.9 Một điều tra cho thấy, xác suất để hộ gia đình có máy vi tính thu nhập hàng năm 50 triệu 0, 75 Trong số hộ điều tra 60% có thu nhập 50 triệu 52% có máy vi tính Tính xác suất để hộ gia đình chọn ngẫu nhiên: a) Có máy vi tính có thu nhập hàng năm 50 triệu b) Có máy vi tính, khơng có thu nhập hàng năm 50 triệu c) Có thu nhập hàng năm 50 triệu, biết hộ khơng có máy vi tính Bài 1.10 Một lô hàng nhà máy A, B, C sản xuất, tỉ lệ sản phẩm nhà máy 30%, 20%, 50% tỉ lệ phế phẩm tương ứng 1%, 2%, 3% Chọn ngẫu nhiên sản phẩm từ lơ hàng Tính xác suất để sản phẩm phế phẩm Bài 1.11 Có hộp thuốc, hộp I có ống tốt ống xấu, hộp II có ống tốt ống xấu, hộp III có ống tốt ống xấu Lấy ngẫu nhiên hộp rút từ hộp ống thuốc ống tốt Tính xác suất để ống thuộc hộp II Bài 1.12 Một nhân viên kiểm toán nhận thấy 15% bảng thu chi chứa sai lầm Trong bảng chứa sai lầm, 60% xem giá trị bất thường so với số xuất phát từ gốc Trong tất bảng thu chi 20% giá trị bất thường Nếu số bảng thu chi bất thường xác suất để số sai lầm bao nhiêu? 10 Kết luận: Ta thấy g ∈ / Wα , ta chấp nhận H0 , tức trọng lượng gà Ví dụ 4.6 Nếu máy móc hoạt động bình thường trọng lượng sản phẩm tuân theo quy luật chuẩn với độ lệch chuẩn trọng lượng kg Có thể coi máy móc hoạt động bình thường khơng ta cân thử ngẫu nhiên 30 sản phẩm thấy độ lệch tiêu chuẩn điều chỉnh mẫu 1, kg Yêu cầu kết luận với mức ý nghĩa α = 0, 01 Giải: Gọi X trọng lượng sản phẩm, X ∼ N (µ, σ ) với µ = EX, σ = DX Cặp giả thiết kiểm định H0 : σ = H : σ > Ta kiểm định H0 Mẫu W = (X1 , · · · , Xn ) cảm sinh từ X, có n = 30, s = 1, (n − 1)(S )2 Tiêu chuẩn kiểm định G = Giá trị quan sát: g = 35, 09 Mức ý nghĩa α = 0, 01, miền bác bỏ H0 Wα = (χ2(1−α) (n − 1); +∞) Tra bảng, ta thu χ2(1−α) (n − 1) = χ2(0,99) (29) = 49, 588 Do đó, ta thu Wα = (49, 588; +∞) Kết luận: Ta thấy g ∈ / Wα , ta chấp nhận H0 , tức máy móc hoạt động bình thường 4.2.3 Kiểm định giả thiết cho tỷ lệ hay xác suất Phương pháp: Ta tiến hành theo bước: a) Thiết lập cặp giả thiết kiểm định H0 : p = p0 H b) Kiểm tra toán kiểm định thuộc dạng phía hay hai phía Và kiểm tra điều kiện np0 ≥ n(1 − p0 ) ≥ với n cỡ mẫu c) Đưa tiêu chuẩn kiểm định tính giá trị mẫu quan sát cho đưa miền bác bỏ giả thiết H0 d) Kết luận Ví dụ 4.7 Tỉ lệ sử dụng mặt hàng A hộ gia đình 60% Công ty cung ứng mặt hàng A tung chiêu quảng cáo để tăng mức sử dụng mặt hàng A Sau quảng cáo, họ điều tra ngẫu nhiên 200 hộ có 130 hộ sử dụng sản phẩm A Với mức ý nghĩa 0, 05, kiểm định xem quảng cáo có hiệu khơng Giải: Gọi p tỉ lệ sử dụng sản phẩm A hộ ngẫu nhiên Cặp giả thiết kiểm định H0 : p = p0 = 0, H : p > 0, Ta kiểm định H0 Xét mẫu quan sát W = (X1 , · · · , Xn ) với n = 200, tần suất mẫu f = 130 = 0, 65 200 Ta thấy n.p0 = 120 > n(1 − p0 ) = 80 > f − 0, Tiêu chuẩn kiểm định G = 0, 6(1 − 0, 6) n Giá trị quan sát: g = 1, 4434 Mức ý nghĩa α = 0, 05, miền bác bỏ H0 Wα = (u1−α ; +∞) Tra bảng, ta thu u(1−α) = 1, 645 Do đó, ta thu Wα = (1, 645; +∞) Kết luận: Ta thấy g ∈ / Wα , chấp nhận H0 , tức quảng cáo hiệu thấp 41 Ví dụ 4.8 Theo công bố cũ chiều cao, sinh viên nam gọi có chiều cao đạt tiêu chuẩn chiều cao nằm 1, 65 1, 77, tỉ lệ sinh viên nam có chiều cao đạt tiêu chuẩn 0, 45 Các nhà thống kê nghi ngờ tỉ lệ cao Họ khảo sát ngẫu nhiên 100 sinh viên nam chiều cao (đơn vị mét) thu bảng số liệu sau Chiều cao Số lượng 1,53-1,59 1,59-1,65 1,65-1,71 1,71-1,77 1,77-1,83 1,83-1,89 1,89-1,91 15 41 15 6 Với mức ý nghĩa 5%, kiểm định nghi ngờ nhà thống kê Giải: Gọi p tỉ lệ sinh viên nam có chiều có đạt tiêu chuẩn Cặp giả thiết H0 : p = p0 = 0, 45 H : p > 0, 45 Ta kiểm định H0 Xét mẫu ngẫu nhiên W = (X1 , X2 , · · · , Xn ) để quan sát số sinh viên có chiều cao đạt tiêu chuẩn mẫu Khi n = 100 tần suất mẫu f = 0, 56 Ta thấy n.p0 = 45 > n(1 − p0 ) = 55 > f − 0, 45 Tiêu chuẩn kiểm định: G = 0, 45(1 − 0, 45) n Giá trị quan sát: g = 2, 21108 Mức ý nghĩa α = 0, 05, miền bác bỏ H0 Wα = (u1−α ; +∞) Tra bảng, ta thu u(1−α) = 1, 645 Do đó, ta thu Wα = (1, 645; +∞) Kết luận: Ta thấy g ∈ Wα , bác bỏ H0 , tức nghi ngờ nhà thống kê có lý Ví dụ 4.9 Một tòa báo niên thơng báo có 24% học sinh độc giả Một mẫu ngẫu nhiên gồm 200 học sinh chọn cho thấy có 45 em đọc báo thường xun Kiểm định tính xác thơng báo với mức ý nghĩa 5% Giải: Gọi p tỉ lệ học sinh đọc báo thường xuyên Cặp giả thiết H0 : p = p0 = 0, 25 H : p = 0, 25 Ta kiểm định H0 Xét mẫu ngẫu nhiên W = (X1 , X2 , · · · , Xn ) để quan sát số học sinh đọc báo thường 45 xuyên Khi n = 200 tần suất mẫu f = 200 Ta thấy n.p0 = 50 > n(1 − p0 ) = 150 > f − 0, 25 Tiêu chuẩn kiểm định: G = 0, 25(1 − 0, 25) n Giá trị quan sát: g −0, 806 Mức ý nghĩa α = 0, 05, miền bác bỏ H0 Wα = (−∞; −u1− α2 ) ∪ (u1− α2 ; +∞) Tra bảng, ta thu u(1− α2 ) = 1, 96 Do đó, ta thu Wα = (−∞; −1, 96) ∪ (1, 96; +∞) Kết luận: Ta thấy g ∈ / Wα , ta chấp nhận H0 , tức khơng có để bác bỏ thơng báo tòa báo Ví dụ 4.10 Người ta sản xuất thử 136 sản phẩm thu thời gian để sản xuất sản phẩm có dạng [a; b) sau Thời gian để sản xuất sản phẩm (phút) 42 Số sản phẩm tương ứng 14-15 15-16 16-17 17-18 18-19 19-20 20-21 21-22 22-23 23-24 24-25 25-26 10 25 36 19 12 Biết thời gian để sản xuất sản phẩm đại lượng ngẫu nhiên tuân theo quy luật chuẩn thời gian sản xuất tiêu chuẩn để hoàn thành sản phẩm thuộc khoảng [18; 21) a) Theo thử nghiệm cũ thời gian trung bình để sản xuất sản phẩm 21, (phút) Theo liệu thử nghiệm với mức ý nghĩa 1%, kiểm định xem liệu thời gian trung bình sản xuất sản phẩm rút ngắn hay không? b) Biết tỷ lệ cũ sản phẩm có thời gian sản xuất tiêu chuẩn 90% Nghi nghờ tỷ lệ giảm xuống Dựa vào liệu cho mức ý nghĩa 1%, kiểm định nghi ngờ Giải: Gọi X (phút) thời gian sản xuất sản phẩm, đặt µ = EX, σ = DX Ta có X ∼ N (µ, σ ) vơi σ chưa biết Xét mẫu W = (X1 , · · · , Xn ) cảm sinh từ X với n = 136, x 19, 7574; s 2, 264 tỷ 80 lệ sản phẩm có thời gian sản xuất tiêu chuẩn f = 136 a) Cặp giả thiết kiểm định H0 : µ = 21, H : µ < 21, Ta kiểm định H0 X − 21, Tiêu chuẩn kiểm định G = s √ n Giá trị quan sát: g −8, 9762 Mức ý nghĩa α = 0, 01, miền bác bỏ H0 Wα = (−∞; −u(1−α) ) Tra bảng, ta thu u(1−α) = u0,99 = 2, 325 Do đó, ta thu Wα = (−∞; −2, 325) Kết luận: Ta thấy g ∈ Wα , ta bác bỏ H0 chấp nhận H, tức thời gian sản xuất sản phẩm giảm b) Gọi p tỉ lệ sản phẩm có thời gian sản xuất tiêu chuẩn Cặp giả thiết H0 : p = p0 = 0, H : p < 0, Ta kiểm định H0 Ta thấy n.p0 = 122, > n(1 − p0 ) = 13, > f − 0, Tiêu chuẩn kiểm định: G = 0, 9(1 − 0, 9) n 43 Giá trị quan sát: g −12, 1192 Mức ý nghĩa α = 0, 01, miền bác bỏ H0 Wα = (−∞; −u1−α ) Tra bảng, ta thu u(1−α) = 2, 325 Do đó, ta thu Wα = (−∞; −2, 325) Kết luận: Ta thấy g ∈ Wα , ta bác bỏ H0 , chấp nhận H , tức tỷ lệ giảm xuống 4.3 Bài tập Bài 4.1 Một nhà sản xuất khẳng định khối lượng trung bình dây câu chịu kg, với độ lệch chuẩn 0, kg Người ta lấy 50 dây ngẫu nhiên để kiểm tra khối lượng trung bình dây chịu 7, kg Hãy kiểm định khẳng định nhà sản xuất với mức ý nghĩa 0, 01 biết khối lượng dây có phân phối chuẩn Bài 4.2 Tuổi thọ trung bình loại bóng đèn đại lượng ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với µ = 2000 h σ = 36 h Nghi ngờ chất lượng lơ bóng sản suất bị giảm sút, người ta lấy 16 bóng kiểm tra tính tuổi thọ trung bình 1975 h Với mức ý nghĩa 0, 01 kiểm định điều nghi ngờ Bài 4.3 Cân nặng trung bình SV trường ĐH X năm trước 55 kg Nghi ngờ năm SV chăm học nên bị giảm cân, người ta cân thử 100 SV trường thu cân nặng trung bình 52 kg với độ lệch chuẩn điều chỉnh 12 kg Với mức ý nghĩa 2%, kết luận xem điều nghi ngờ có hay khơng? Biết cân nặng sinh viên có phân phối chuẩn Bài 4.4 Một báo cáo khẳng định máy hút bụi tiêu thụ khoảng 46 kWh năm Từ mẫu gồm 12 gia đình nghiên cứu, cho thấy máy hút bụi tiêu thụ trung bình 42 kWh năm với độ lệch chuẩn hiệu chỉnh 11, kWh Liệu nói, với mức ý nghĩa 0, 05 trung bình máy hút bụi tiêu thụ khoảng 46 kWh năm hay không? Giả sử tổng thể xét có phân phối chuẩn Bài 4.5 Điều tra 15 sinh viên trường Đại học X, thấy trung bình tháng tiêu hết triệu đồng với độ lệch chuẩn hiệu chỉnh 900 nghìn đồng Có ý kiến cho rằng: Sinh viên trường X tiêu trung bình tháng 2,8 triệu đồng Hãy kiểm định ý kiến với mức ý nghĩa 1% Biết số tiền tiêu hết tháng có phân phối chuẩn Bài 4.6 Nếu máy móc hoạt động bình thường trọng lượng sản phẩm X đại lượng ngẫu nhiên tuân theo phân phối chuẩn N (100 g; g ) Sau thời gian sản xuất, người ta nghi ngờ trọng lượng sản phẩm tăng lên Cân thử 100 sản phẩm trọng lượng trung bình chúng 100, g Với mức ý nghĩa α = 0, 05, kết luận điều nghi ngờ Bài 4.7 Tỷ lệ phế phẩm máy tự động sản xuất 5% Kiểm tra ngẫu nhiên 300 sản phẩm thấy có 24 phế phẩm Có ý kiến cho tỷ lệ phế phẩm máy sản suất tăng lên Hãy kết luận điều nghi ngờ với mức nghĩa 0, 05 44 Bài 4.8 Trọng lượng gà nở đại lượng ngẫu nhiên có phân phối chuẩn Nghi ngờ độ đồng trọng lượng gà giảm sút, người ta cân thử 12 tìm s = 11, 41 gam2 Với mức ý nghĩa 5%, kết luận điều nghi ngờ trên, biết bình thường độ phân tán trọng lượng gà 10 gam2 Bài 4.9 Nếu máy móc hoạt động bình thường trọng lượng sản phẩm tuân theo quy luật phân phối chuẩn với độ lệch chuẩn kg Có thể coi máy móc hoạt động bình thường hay khơng cân thử ngẫu nhiên 30 sản phẩm thấy độ lệch chuẩn điều chỉnh mẫu 1, kg Yêu cầu kết luận với mức ý nghĩa 0, 01 Bài 4.10 Tỉ lệ cam hỏng 10% Sau thời gian bảo quản lấy ngẫu nhiên 400 cam kiểm tra thấy 60 bị hỏng Có ý kiến cho việc bảo quản cam khơng tốt Hãy kiểm định ý kiến với mức ý nghĩa 1% Bài 4.11 Tỉ lệ khách hàng tiêu dùng loại sản phẩm địa phương 30% Sau chiến dịch quảng cáo người ta cho tỉ lệ tăng lên Phỏng vấn 600 người ngẫu nhiên thấy có 198 người tiêu dùng loại sản phẩm Với mức ý nghĩa 2% kết luận ý kiến Bài 4.12 Khối lượng loại sản phẩm theo qui định kg Sau thời gian sản suất, người ta tiến hành kiểm tra 121 sản phẩm tính trung bình mẫu x = 5, 975 kg, phương sai mẫu hiệu chỉnh (s )2 = 0, 1024 kg2 Sản xuất xem bình thường khối lượng trung bình sản phẩm sản xuất với khối lượng qui định Với mức ý nghĩa α = 5%, kết luận tình hình sản suất Biết khối lượng sản phẩm có phân phối chuẩn Bài 4.13 Khối lượng trung bình xuất chuồng trại chăn nuôi gà công nghiệp năm trước 2,8 kg/con Năm người ta sử dụng loại thức ăn Cân thử 25 xuất chuồng người ta tính trung bình mẫu 3,2 kg phương sai hiệu chỉnh (s )2 = 0,25 Biết khối lượng gà xuất chuồng có phân phối chuẩn a) Với mức ý nghĩa 5%, kết luận tác dụng loại thức ăn có làm tăng khối lượng trung bình đàn gà hay khơng? b) Nếu trại chăn ni báo cáo khối lượng trung bình xuất chuồng 3,3kg có chấp nhận hay không? (với mức ý nghĩa α = 5%) Bài 4.14 Tỉ lệ phế phẩm nhà máy trước 5% Năm áp dụng biện pháp kỹ thuật Người ta lấy mẫu gồm 800 sản phẩm để kiểm tra thấy có 24 phế phẩm a) Với mức ý nghĩa α = 5%, kết luận xem biện pháp kỹ thuật có thực làm giảm tỉ lệ phế phẩm nhà máy hay không? b) Với mức ý nghĩa α = 1%, kết luận xem biện pháp kỹ thuật có thực làm giảm tỉ lệ phế phẩm nhà máy hay không? 45 Bài 4.15 Khảo sát ngẫu nhiên 400 xồi vùng thấy khối lượng trung bình 397,5 g/quả độ lệch chuẩn s = 114,1329 g Có ý kiến cho khối lượng trung bình loại xồi 400 g/quả Với mức ý nghĩa 5%, kết luận xem ý kiến có chấp nhận hay khơng? Biết khối lượng xồi có phân phối chuẩn Bài 4.16 Trong điều tra nhịp mạch 64 niên làm nghề A, kết nhịp mạch trung bình 74 lần/phút độ lệch chuẩn (lần/phút) Với mức ý nghĩa α = 1%, kiểm định xem đặc điểm nghề A có làm cho nhịp mạch niên tăng mức bình thường khơng, biết nhịp mạch bình thường niên 72 nhịp/phút nhịp mạch có phân phối chuẩn Bài 4.17 Một nhà máy sản xuất bóng đèn cho chất lượng bóng đèn coi đồng tuổi thọ bóng đèn có độ lệch chuẩn khơng q 1000 h Lấy ngẫu nhiên 10 bóng để kiểm tra độ lệch chuẩn 1150 h Với mức ý nghĩa 5%, coi chất lượng bóng đèn nhà máy sản suất đồng khơng? Biết tuổi thọ bóng đèn đại lượng ngẫu nhiên có phân phối chuẩn Bài 4.18 Khối lượng trung bình loại mỳ đại lượng ngẫu nhiên phân phối chuẩn với khối lượng trung bình 500 g Sau thời gian sản suất người ta nghi ngờ khối lượng loại mỳ có xu hướng giảm sút nên tiến hành cân thử 25 túi thu kết cho bảng: Khối lượng (g) 480 485 490 495 Số túi 500 510 Với mức ý nghĩa 5%, kết luận nghi ngờ có hay không? Bài 4.19 Trong khu vực A có 10000 hộ chung cư Thống kê số điện (đơn vị: KWh) tháng Ba số ngẫu nhiên hộ chung cư khu vực A, người ta thu bảng số liệu: Số điện [100; 150) [150; 200) [200; 250) [250; 300) [300; 350) Số hộ 10 20 25 30 20 Số điện [350; 400) Số hộ 15 [400; 450) 15 Một hộ tiêu thụ điện mức trung bình từ 200 KWh đến 350 KWh Một hộ tiêu thụ điện mức cao từ 350 KWh đến 450 KWh Theo thống kê cũ, tỷ lệ hộ tiêu thu mức trung bình 80% tỷ lệ hộ tiêu thụ mức cao 20% Biết lượng tiêu thụ điện hộ có phân phối chuẩn a) Lấy bảng số liệu cho Có ý kiến cho khu vực A, tháng Ba hộ tiêu thụ điện trung bình 280 KWh Hãy kiểm định ý kiến có khơng với mức ý nghĩa 0, 05 b) Lấy số liệu cho Với mức ý nghĩa 1%, kiểm định xem liệu tỷ lệ hộ tiêu thu mức trung bình giảm xuống hay không? c) Lấy số liệu cho Với mức ý nghĩa 5%, hay kiểm đinh xem liệu tỷ lệ hộ tiêu thụ mức cao tăng lên hay không? 46 Bài 4.20 Ở trang trại nuôi vịt, tổng số 5000 trứng vịt, người ta cân thử mẫu ngẫu nhiên gồm 30 (đơn vị: gram) bảng số liệu: Trọng lượng [64; 66) [66; 68) [68; 70) [70; 72) [72; 74) [74; 76) Số trứng 8 Biết lượng trứng gà có phân phối chuẩn a) Theo thống kê cũ, trọng lượng trung bình trứng 69, g Dựa vào số liệu cho với mức ý nghĩa 1%, kiểm định xem liệu trọng lượng trung bình trứng tăng lên hay khơng? b) Các trứng vịt gọi đồng độ lệch chuẩn trọng lượng trứng vịt σ = 0, g Từ bảng số liệu cho với mức ý nghĩa α = 5%, kiểm tra xem trứng vịt trang trại có đồng khơng? 47 Hướng dẫn giải tập chương 8.7 ≈ 0, 43 12.11 Bài 1.2: Chia sản phẩm thành nhóm Gọi Ai : "kiểm tra nhóm i" Khi xác suất cần tính: C3 P (A1 A2 A3 ) = P (A1 )P (A2 /A1 )P (A3 /A1 A2 ) = 63 = C9 C9 1764 Bài 1.1: P = Bài 1.3: Gọi Ai : "máy bay thứ i bắn trúng mục tiêu" A1 , A2 hai biến cố độc lập Xác suất để mục tiêu trúng bom là: P (A1 + A2 ) = P (A1 ) + P (A2 ) − P (A1 A2 ) = P (A1 ) + P (A2 ) − P (A1 )P (A2 ) = 0, 48 Bài 1.4: a) 0,976 Bài 1.5: b) 0,452 c) 0,4956 a) P = C62 C52 + C42 C72 2 C10 C12 b) P = C41 C61 C52 + C62 C51 C71 2 C10 C12 c) P = C62 C72 + C42 C52 + C61 C41 C51 C71 2 C10 C12 Bài 1.6: a) P = 6.4.90 C100 b) P = C63 + C43 + C90 C100 c) P = C90 C10 (chọn sản phẩm loại I hai sản phẩm khác loại) C100 C10 d) P = − (tính theo xác suất biến cố đối: "khơng chọn sản phẩm loại I C100 nào") Bài 1.7: 11 a) P = b)P = 36 36 Bài 1.8: a) P = c) P = = 36 d) P = = e) P = = 8.7 12.11 b) A1 biến cố lần lấy phẩm, A2 biến cố lần lấy phế phẩm Xác suất cần tính là: P (A2 |A1 ) = 11 48 Bài 1.9: Gọi A: "chọn ngẫu nhiên hộ có máy tính", B: "chọn ngẫu nhiên hộ có thu nhập 50 triệu." a) P (AB) = P (B)P (A/B) = 0, 6.0, 75 = 0, 45 ¯ nên P (AB) ¯ = P (A) − P (AB) = 0, 07 b) A = AB + AB ¯ ¯ = P (B)P (A/B) = 0, 3125 c) P (B/A) ¯ P (A) Bài 1.10: Gọi A, B, C biến cố: "chọn ngẫu nhiên sản phẩm nhà máy A, B, C sản xuất", D biến cố: "chọn ngẫu nhiên phế phẩm" A, B, C hệ biến cố đầy đủ nên theo công thức xác suất toàn phần: P (D) = P (A)P (D/A) + P (B)P (D/B) + P (C)P (D/C) = 0, 3.0, 01 + 0, 2.0, 02 + 0, 5.0, 03 = 0, 022 Bài 1.11: P = 14 37 Bài 1.12: P = 0, 45 12 13 Bài 1.14: Gọi Ti , Xi biến cố: "lấy sản phẩm tốt, xấu lần lấy thứ i Bài 1.13: P = a) Gọi A: "người dừng lại lần lấy thứ 3" A = T1 T2 T3 Áp dụng cơng thức nhân ta có: P (A) = 0, 1667 b) Gọi B: "người dừng lại lần lấy thứ 4" B = X1 T2 T3 T4 + T1 X2 T3 T4 + T1 T2 X3 T4 Áp dụng cơng thức cộng nhân ta có: P (B) = 0, 2857 c) Xác suất cần tính là: P (X3 /B) = P (X3 B) P (T1 T2 X3 T4 ) = = 0, 3333 P (B) P (B) Bài 1.15: a) P = 29 63 b) Nhiều khả sản phẩm loại B thuộc hộp thứ hai Bài 1.16: a) P = 0, 83 b) P = 0, 67 14 c) P (H1 |B) = ; P (H2 |B) = Nhiều khả sản phẩm máy sản suất 17 17 Bài 1.17: Gọi Ai biến cố người i bốc thăm "có" Người thứ bốc thăm "có" với xác suất: P (A1 ) = Xác suất người thứ bốc thăm "có" là: 49 1 P (A1 A2 ) + P (A1 A2 ) = P (A1 )P (A2 |A1 ) + P (A1 )P (A2 |A1 ) = + = 3 Xác suất người thứ bốc thăm "có" là: P (A1 A2 A3 ) + P (A1 A2 A3 ) =P (A1 )P (A2 |A1 )P (A3 |A1 A2 ) 1 + P (A1 )P (A2 |A1 )P (A3 |A1 A2 ) = + 1.1 = 3 Vậy cách công Bài 1.18: P12 (5) = C12 (0, 65)5 (0, 35)7 Bài 1.19: − P50 (0) = − C50 (0, 02)0 (0, 98)50 Bài 1.20: P6 (0) = C60 (0, 06)0 (0, 94)6 Bài 1.21: 10 (0, 08)10 (0, 92)65 a) P75 (10) = C75 b) Trong lơ hàng nhiều khả có [(75 + 1)0, 08 = 6] phế phẩm (0, 08)6 (0, 92)69 Xác suất tương ứng là: P75 (6) = C75 Bài 1.22: Gọi k số hạt giống phải lấy, xác suất có hạt lép là: − Pk (0) = − (0, 97)k ≥ Suy k ≥ 0, 984 Vậy phải lấy 99 hạt 50 Hướng dẫn giải tập chương Bài 2.1: a) P (X > 0) = P (X = 1) + P (X = 2) b) P (|X − 1| ≤ 2) = P (−1 ≤ X ≤ 3) = P (X = −1) + P (X = 1) + P (X = 2) c) Y = − X nhận giá trị 1, 2, 4, Ta có bảng phân phối Y X P (X = x) 0,1 0,4 0,3 0,2 d) EX = (−2).0, + (−1).0, + 1.0, + 2.0, E(X ) = (−2)2 0, + (−1)2 0, + 12 0, + 22 0, Do DX = E(X ) − (EX)2 e) Hàm phân phối xác suất X:   0       0, F (x) = 0,     0,      x ≤ −2 − < x ≤ −1 − < x ≤ < x ≤ x > Bài 2.2: Sinh viên tự giải Bài 2.3: Số học sinh chăm lớp 0, 4.40 = 16 học sinh Gọi X số học sinh chăm học sinh chọn X nhận giá trị 0, 1, 2, C3 C16 C24 P (X = 0) = 24 0, 2049; P (X = 1) = 0, 447; 3 C40 C40 C C C3 P (X = 2) = 16 24 0, 2915; P (X = 3) = 16 0, 0566 C40 C40 Bài 2.5: +∞ f (x)dx = hay a) Ta có −∞ +∞ b) E(X) = f (x)dx = (cx2 + x)dx = Tính c = xf (x)dx = −∞ x( 32 x2 + x)dx +∞ Ta có E(X ) = x2 f (x)dx = −∞ x2 ( 32 x2 + x)dx Suy DX = E(X ) − (EX) 51 c) Hàm phân phối X F (x) =      x     1 x ≤ ( 32 t2 + t)dt < x ≤ x > a d) Đặt med(X) = a −∞ f (x)dx = 21 Từ biểu thức f (x), ta thấy < a < Ta giải phương trình a ( t2 + t)dt = , 2 tìm a Bài 2.6: Làm tương tự Bài 2.5 Bài 2.8: a) Ta có F (x) liên tục x Suy F (x liên tục x = hay F (1) = lim F (x) = = a x→1+ b) Hàm mật độ xác suất f (x) =  0 x ∈ / [0, 1] 2x x ∈ [0, 1] c) P (0, 25 < X < 0, 75) = F (0, 75) − F (0, 25) Bài 2.9: Ta có X ∼ N (µ, σ ) với µ = 300 σ = 502 hay σ = 50 62 362 − µ = 1−Φ với Φ(x) hàm Gauss- hàm phân phối σ 50 xác suất biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn tắc a) P (X > 362) = − Φ b) P (X ≤ 250) = Φ 250 − µ σ c) P (275 < X ≤ 350) = Φ =Φ 350 − µ σ −50 50 −Φ = − Φ(1) 275 − µ σ =Φ 50 50 −Φ −25 50 = Φ(1) − − Φ( 12 ) Bài 2.14: X chiêu cao Ta có X ∼ N (µ, σ ) với µ = EX = 5, σ = DX, σ = 0, 5, 35 − µ 5, − µ ) − Φ( ) σ σ 5, − µ b) Tính P (X ≥ 5, 2) = − Φ( ) = p Ta có A = {X ≥ 5, 2} biến cố phát triển σ tốt Do P (A) = p a) P (5, < X < 5, 35) = Φ( Xác suất để có từ 15 đến 18 tốt 20 là: 15 15 15 16 17 17 P20 (15) + P20 (16) + P20 (17) + P20 (18) = C20 p (1 − p)5 + C20 p (1 − p)4 + C20 p (1 − p)3 + 18 18 C20 p (1 − p)2 52 Hướng dẫn giải tập chương Bài 3.1: a) x = 4, 2, s2 b) y 26, 8182, s2 Bài 3.2: x 2, 76 (s )2 35, 3306 (s )2 7, 46, s Bài 3.3: x = 26, s2 3, 143 s 10, s 3, 3029 5, 6475 s Bài 3.5: x = 166 s 5, 7827 Tổ 2: x 48, s 50, s 35, 6547 3, 2078 Bài 3.4: x = 2, 05, s2 Bài 3.6: Tổ 1: x 2, 8163 2, 4382 7, 7354 1, 2122 Bài 3.7: X hao phí nguyên liệu Ta có σ = Mẫu cho có cỡ n = 36, x a) EX √ DX = 0, 03 19, 8778 19, 8778 b) EX ∈ (19, 868; 19, 8876) Bài 3.8: X tuổi thọ bóng đèn Ta có σ = √ DX = 40 Mẫu cho có cỡ n = 100, x = 1000 Độ tin cậy − α = 0, 95, suy α = 0, 05 a) EX ∈ (992, 16; 1007, 84) b) Cần kiểm tra tối thiểu 153664 bóng đèn Bài 3.12: b) cần quan sát tối thiểu 664 sản phẩm Bài 3.18: X khối lượng sản phẩm EX chưa biết Mẫu cho có cỡ n = 27 (s )2 a) DX 25, 3333 25, 3333 b) Độ tin cậy − α = 0, 95, suy α = 0, 05 Ước lượng khoảng tin cậy đối xứng cho DX Tính χ2(1− α ) (n − 1) = 41, 924 χ2(α ) (n − 1) = 13, 844 2 DX ∈ (15, 7485; 47, 5777) 53 Bài 3.19: p tỷ lệ phẩm nhà máy Mẫu cho có cỡ n = 100 f = 0, 89 a) p 0, 89 b) Độ tin cậy − α = 0, 95, suy α = 0, 05 Ta thấy nf > 10 n(1 − f ) > 10 Ước khoảng khoảng tin cậy đối xứng cho p Tính u(1− α2 ) = 1, 96 p ∈ (0, 8287; 0, 9513) c) n cỡ mẫu tối thiểu Độ tin cậy − α = 0, 95 f (1 − f ) ≤ 0, 04 n = 1, 96 nên ta tính n ≥ 235, 0579 Độ xác khoảng ước lượng u(1− α2 ) Mà u(1− α2 ) Vậy cần quan sát tối thiểu 236 sản phẩm Bài 3.20: p ∈ (0, 4974; 0, 7026) Bài 3.21: p ∈ (2, 375.10−3 ; 5, 625.10−3 ) Bài 3.22: b) cần quan sát tối thiểu 3150 hạt giống 54 Hướng dẫn giải tập chương Bài 4.1: X khối lượng dây câu chịu được, đặt EX = µ DX = σ với σ = 0, Mẫu cho có n = 50 x = 7, Cặp giả thiết kiểm định H0 : µ = H : µ = Mức ý nghĩa α = 0, 01, suy miền bác bỏ Wα = (−∞; −2, 575) ∪ (2, 575; +∞) x−8 −2, 8284 Giá trị quan sát g = σ √ n Ta thấy g ∈ Wα , ta bác bỏ H0 chấp nhận H hay khối lượng dây câu chịu kg Bài 4.2: tuổi thọ bóng đèn bị giảm sút Bài 4.3: sinh viên học chăm Bài 4.6: trọng lượng sản phẩm tăng lên Bài 4.7: p tỷ lệ phế phẩm Đặt p0 = 0, 05 24 = 0, 08 Mẫu cho có n = 300 f = 300 Ta thấy n.p0 > n(1 − p0 ) > Cặp giả thiết kiểm định H0 : p = 0, 05 H : p > 0, 05 Mức ý nghĩa α = 0, 05, suy miền bác bỏ Wα = (1, 645; +∞) f − 0, 05 2, 3842 Giá trị quan sát g = 0, 05.0, 95 n Ta có g ∈ Wα , ta bác bỏ H0 chấp nhận H hay tỷ lệ phế phẩm tăng lên Bài 4.8: nghi ngờ khơng có Bài 4.9: máy móc hoạt động bình thường Bài 4.10: bảo quản không tốt Bài 4.11: chiến dịch quảng cáo không hiệu Bài 4.12: X khối lượng sản phẩm , đặt EX = µ DX = σ với σ chưa biết Bài 4.13: a) khối lượng gà xuất chuồng tăng lên b) không đủ để bác bỏ giả thuyết 55 ... dẫn giải tập chương 47 Hướng dẫn giải tập chương 50 Hướng dẫn giải tập chương 52 Hướng dẫn giải tập chương 54 Chương Biến cố ngẫu nhiên phép tính xác suất 1.1 Một số dạng tập 1.1.1 Tính xác suất. .. nhân xác suất có điều kiện Ví dụ 1.3 Một cơng ty cần tuyển nhân viên Có nam nữ dự tuyển, người có hội ứng tuyển ngang Tính xác suất để người đó: a) Có khơng q nam b) Có nữ c) Có nữ, biết có nữ... người Tính xác suất để có người thích xem bóng đá Bài 1.19 Một trò chơi có xác suất thắng ván 1/50 Nếu người chơi 50 ván xác suất để người thắng ván bao nhiêu? Bài 1.20 Một lơ hàng có 6% phế phẩm