BÀI TẬP XÁC SUẤT THỐNG KÊ ĐẦY ĐỦ NHẤT Phần 1.1 Các công thức xác suất Bài 1: Gọi Ai là biến cố chọn được học sinh thứ i ( i= 1..4 ) a) Xác suất sao cho 4 em được chọn có ít nhất 1 em lớp 10A Gọi A là biến cố chọn đồng thời 4 học sinh sao cho ít nhất 1 hs lớp 10A TH1: Chọn được 1 học sinh lớp 10A P(A1) = = TH2 : Chọn được 2 học sinh lớp 10A P(A2) == = TH3 : Chọn được 3 học sinh lớp 10A P(A3) = = = TH 4: Chọn được 4 học sinh lớp 10A P(A4) = = ⇨ P(A) = P(A1) + P(A2) + P(A3) + P(A4) = 3599 + 1433 + 1499 + 199 =0,93 b) Gọi Ā là biến cố chọn được học sinh của cả 3 lớp TH1 : Chọn được 2 hs lớp 10A, 1 hs lớp 10B, 1 hs lớp 10C P(Ā1) = = TH2: Chọn được 1 hs lớp 10A, 2 học sinh lớp 10B, 1 học sinh lớp 10C P(Ā2)= = TH3: Chọn được 1 hs lớp 10A, 1 hs lớp 10B, 2 hs lớp 10C P(Ā3)= = ⇨ P(Ā) = P(Ā1) + p(Ā2) + P(Ā3) = .Vì A và Ā là đối lập nên xác suất chọn được 4 học sinh không quá 2 trong 3 lớp trên nên P(A) = 1 P(Ā) = 1 – 611 = 511 Bài 2: a, Gọi A là biến cố 4 quả lấy được có 2 quả đỏ, 1 quả xanh và 1 quả vàng. m = = 90 n = P(A) = = = 0,18 b, Gọi B là biến cố 4 quả lấy được thuộc đúng 2 trong 3 màu. ⇨ P(B) = = =0,44 Bài 3: Số trường hợp có thể xảy ra khi rút ngẫu nhiên từ mỗi hòm ra 1 tấm thẻ là: n= 5.5 = 25 a. Gọi A là biến cố tổng các biến cố “ tổng các số ghi trên 2 tấm thẻ là 7 ”. Số thuận lợi cho A là: mA = 4. Ω = { 2 5, 5 2, 3 4, 4 3} ⇨ P(A) = = 0,16 b. Gọi B là biến cố “tổng các số ghi trên 2 tấm thẻ rút ra không nhỏ hơn 3” Ta có: tổng số ghi trên 2 tấm thẻ nhỏ hơn 3 chỉ khi rút cả 2 hòm đều vào 1 ⇨ Chỉ có 1 trường hợp ⇨ mB = 251 = 24 ⇨ P(B) = = 0,96
BÀI TẬP XÁC SUẤT THỐNG KÊ ĐẦY ĐỦ NHẤT Phần 1.1 Các công thức xác suất Bài 1: Gọi Ai là biến cố chọn được học sinh thứ i ( i= 1 4 ) a) Xác suất sao cho 4 em được chọn có ít nhất 1 em lớp 10A Gọi A là biến cố chọn đồng thời 4 học sinh sao cho ít nhất 1 h/s lớp 10A TH1: Chọn được 1 học sinh lớp 10A P(A1) = = TH2 : Chọn được 2 học sinh lớp 10A P(A2) == = TH3 : Chọn được 3 học sinh lớp 10A P(A3) = = = TH 4: Chọn được 4 học sinh lớp 10A P(A4) = = ⇨ P(A) = P(A1) + P(A2) + P(A3) + P(A4) = 35/99 + 14/33 + 14/99 + 1/99 =0,93 b) Gọi Ā là biến cố chọn được học sinh của cả 3 lớp TH1 : Chọn được 2 h/s lớp 10A, 1 h/s lớp 10B, 1 h/s lớp 10C P(Ā1) = = TH2: Chọn được 1 h/s lớp 10A, 2 học sinh lớp 10B, 1 học sinh lớp 10C P(Ā2)= = TH3: Chọn được 1 h/s lớp 10A, 1 h/s lớp 10B, 2 h/s lớp 10C P(Ā3)= = ⇨ P(Ā) = P(Ā1) + p(Ā2) + P(Ā3) = .Vì A và Ā là đối lập nên xác suất chọn được 4 học sinh không quá 2 trong 3 lớp trên nên P(A) = 1- P(Ā) = 1 – 6/11 = 5/11 Bài 2: a, Gọi A là biến cố 4 quả lấy được có 2 quả đỏ, 1 quả xanh và 1 quả vàng. m = = 90 n = P(A) = = = 0,18 b, Gọi B là biến cố 4 quả lấy được thuộc đúng 2 trong 3 màu. ⇨ P(B) = = =0,44 Bài 3: Số trường hợp có thể xảy ra khi rút ngẫu nhiên từ mỗi hòm ra 1 tấm thẻ là: n= 5.5 = 25 a. Gọi A là biến cố tổng các biến cố “ tổng các số ghi trên 2 tấm thẻ là 7 ”. Số thuận lợi cho A là: m A = 4. Ω = { 2 5, 5 2, 3 4, 4 3} ⇨ P(A) = = 0,16 b. Gọi B là biến cố “tổng các số ghi trên 2 tấm thẻ rút ra không nhỏ hơn 3” Ta có: tổng số ghi trên 2 tấm thẻ nhỏ hơn 3 chỉ khi rút cả 2 hòm đều vào 1 ⇨ Chỉ có 1 trường hợp ⇨ m B = 25-1 = 24 ⇨ P(B) = = 0,96 Bài 4: Vì có 12 hành khách lên 3 toa tàu nên ta có cách lên tàu; a) Gọi A là biến cố 12 hành khách đều lên toa I, Ta có số trường hợp thuận lợi cho A là: 1 Vậy xác suất để 12 hành khách đều lên toa I là: P(A) = . b) Gọi B là biến cố có 4 hành khách lên toa I, 5 hành khách lên toa II và còn lại lên toa III, Ta có số trường hợp thuận lợi cho B là: . . = 2770, Vậy xác suất để có 4 hành khách lên toa I, 5 hành khách lên toa II và còn lại lên toa III: P(B) = ≈ 0,052. Bài 5: Gọi A là biến cố gồm 6 sinh viên trong đó có ít nhất 2 nữ; Ta có = = n; +)TH1: Ban cán sự lớp có Cường mà không có Hoa, * + * = 141 (cách); +)TH2: Ban cán sự lớp có Hoa mà không có Cường, * + * + * = 185 (cách); +)TH3: Ban cán sự lớp không có cả Cường và Hoa, * + * = 65 (cách); Vậy P(A) = = 0,85. Bài 6 : a, Gọi Ai là biến cố lần quay thứ i quay trúng số màu đỏ ( i=1,2) Ta có xác suất cả hai lần quay đều dừng ở con số màu đỏ là: P(A1.A2) Do A1, A2 độc lập với nhau nên: P(A1.A2)=P(A1).P(A2) = = 0,224 b, Gọi Bi là biến cố lần quay thứ i quay trúng số màu đen (i=1,2) Ta có xác suất cần tính là P(A1.B2+A2.B1)=P(A1.B2)+P(A2.B1)-P(A1.B2.A2.B1) = P(A1).P(B2)+P(A2).P(B1) Do đó: P(A1.B2+A2.B1)= + = 0,448 Bài 7 Số trường hợp có thể xảy ra là a, Gọi A là biến cố 3 lần quay lần lượt dừng ở 3 vị trí khác nhau. Để 3 lần quay vào 3 vị trí khác nhau: Lần 1 vào 1 trong 7 vị trí=> có 7 khả năng Lần 2 vào 1 trong 6 vị trí => có 6 khả năng Lần 3 vào 1 trong 5 vị trí => có 5 khả năng =>m=7*6*5. Vậy P(A)= = b, Gọi B là biến cố 3 lần quay liên tiếp chỉ dừng ở đúng 1 vị trí Ta có lần 1 có 7 khả năng. Lần 2 có 1 khả năng Lần 3 có 1 khả năng Vậy: m=7*1*1=7 P(B)= = Bài 8 a, Gọi A1 là biến cố quay lần đầu bánh xe dừng lại tại một số thuộc [1,6] Gọi A2 là biến cố quay lần hai bánh xe dừng là tại một số thuộc [1,6] Ta có : P(A1)=P(A2) = ; P( )=1-P(A2) = Ta có xác suất cần tính là P(A1. ). Do A1 và là hai biến cố độc lập lên ta có: P(A1. )=P(A1).P( )= = 0,133 b,Gọi A là biến cố sau 3 lần quay nhận được bộ ba số khác nhau từng đôi một. Ta có số trường hợp thuận lợi cho việc xuất hiện biến cố A là =38.37.36 Số trường hợp đồng khả năng (bộ ba số bất kỳ) có thể xảy ra là: 38x38x38 Vậy ta suy ra xác suất cần tính là P(A)= = 0.922 Bài 9: Không có đề bài trong tờ bài tập. Bài 10 : a, Do chỉ có 3 lớp nên xs trong 4 em có luôn có 2 em cùng lớp.Vậy xác suất 4 em được chọn không cùng lớp là bằng 0. b, Có 2 t/h: T/H1: số học sinh lớp 10A=số học sinh lớp 10C = 1, số cách là:5*3*C(4,2)=90 T/H1: số học sinh lớp 10A=số học sinh lớp 10C = 2, số cách là:C(5,2)*C(3,2)=30 Vậy tổng số cách là : 120. Xác suất là : 120/C(12,4) = 120/495=0,2424 Bài 11: Gọi A 1 là biến cố máy 1 hoạt động tốt và là biến cố máy 1 không hoạt động tốt Gọi A 2 là biến cố máy 2 hoạt động tốt và là biến cố máy 2 không hoạt động tốt Gọi A 3 là biến cố máy 3 hoạt động tốt và là biến cố máy 3 không hoạt đông tốt P(A 1 ) = 0,99 P(A 2 ) = 0,95 P(A 3 ) = 0,90 a, Tìm sắc xuất trong thời gian T có đúng 1 máy hoạt động tốt. P = [(1-0,99) .(1-0,95) .(0,90) + (1-0,99). (0,95).(1-0,90) + (0,99) . (1-0,95).(1-0,99) ] = 0,00635 b, Ít nhất 1 máy hoạt động tốt. Cả 3 máy không hoạt động tốt: Do là 3 biến cố độc lập =(1 – 0,99) . (1 – 0,95) . (1 – 0,90) = 0,00005 Ít nhất 1 máy hoạt động tốt tức là không xảy ra trường hợp 3 máy không hoạt động tốt Bài 12: Gọi A là biến cố lấy được i quả hỏng ( i= 0,1,2) Gọi A1 là biến cố lấy ra 1 quả hỏng : P(A1) = [(C(60,9).C(20,1)]/ C(80,10) = 0,175 Gọi A2 là biến cố lấy được 2 quả hỏng: P(A2) = [C(60,8).C(20,2)]/ C(80,10) = 0,295 Gọi A0 là biến cố không lấy phải quả hỏng nào P(A0) = [C(60,10).C(20,0)]/ (80C10) = 0,046 Vậy xác suất lấy được nhiều nhất 2 quả hỏng là P(A) = P(A0) + P(A1) + P(A2) = 0,175 + 0,295 + 0,046 = 0,5209 Bài 13: a, Gọi A là biến cố có đúng 2 người ném trúng rổ Gọi A i là biến cố người thứ i ném trúng rổ (i= 1 3) P(A) = P(Ā 1 ) P(A 2 ) P(A 3 ) + P(A 1 ) P(Ā 2 ) P(A 3 ) + P(A 1 ) P(A 2 ) P(Ā 3 ) = 0,3 0,9 0,8 + 0,7 0,1 0,8 + 0,7 0,9 0,2 = 0,398 b, Gọi B là biến cố có ít nhất một người ném trúng rổ. Gọi là biến cố không ai ném trúng rổ ⇨ P( ) = P(Ā 1 ) P(Ā 2 ) P(Ā 3 ) = 0,3 0,1 0,1 = 0,006 Vậy P(B) = 1 – 0,006 = 0,994 c, Gọi C là biến cố người thứ 2 ném trúng rổ và có 2 người ném trúng rổ. P(C) = P(Ā 1 ) P(A 2 ) P(A 3 ) + P(A 1 ) P(A 2 ) P(Ā 3 ) = 0,3 0,9 0,8 + 0,7 0,9 0,2 = 0,342 Bài 14. Gọi A i là biến cố “máy thứ i bị hỏng trong 1 ca làm việc” , i= 1,2, 3. a. Gọi A là biến cố có ít nhất 1 máy bị hỏng Ta có là biến cố đối lập của A, trong đó là biến cố không có máy nào bị hỏng. = 1 2 3 ⇨ = P( 1 2 3 ) = P( 1 )P( 2 )P( 3 ) = (1 – 0,01)(1 - 0,1)(1 - 0,5) = 0,4455 Vậy P(A) = 1 - = 1 – 0,4455 = 0,5545 b. Gọi B là biến cố có đúng 1 máy không bị hỏng Ta có B = 1 A 2 A 3 +A 1 2 A 3 +A 1 A 2 3 ⇨ P(B) = P( 1 A 2 A 3 +A 1 2 A 3 +A 1 A 2 3 ) = (1-0,01).0,1.0,5+0,01.(1-0,1).0,5+0,01.0,1.(1-0,5) =0,0545 c. Ta có: P( 1 /B) = = = = Bài 15: Gọi E là biến cố lấy được ít nhất 2 em sinh viên khá hoặc giỏi toán, Gọi A i là biến cố lấy được i sinh viên khá hoặc giỏi toán là: i = 2,3,4,5. Ta có: P(A 2 ) = ≈ 0,355. P(A 3 ) = ≈ 0,26. P(A 4 ) = ≈ 0,09. P(A 5 ) = ≈ 0,011. Vậy xác suất để lấy được ít nhất 2 em sinh viên khá hoặc giỏi toán là: P(E) = P(A 2 ) + P(A 3 ) + P(A 4 ) + P(A 5 ) = 0,355 + 0,26 + 0,09 + 0,011 = 0,716. Bài 16: a) Gọi A là biến cố có đúng một máy hỏng. A= + + , → P(A)= P( ) + P( ) + P( ) =P( ).P( ).P( ) + P( ).P( ).P( ) + P( ).P( ).P( ) = 0,09.0,05.0,1 + 0,01.0,95.0,1 + 0,01.0,05.0,9 =0,0063. b) Gọi B là biến cố có ít nhất một máy hoạt động tốt, P(B)= P(B 1 + B 2 + B 3 ) = P(B 1 ) + P(B 2 ) + P(B 3 ) – P(B 1 .B 2 ) – P(B 2 B 3 ) – P(B 3 B 1 ) + P(B 1. B 2 .B 3 ) = 0,09 + 0,95 + 0,9 – 0,95.0,09 – 0,95.0,9 – 0,9.0,99 + 0,95.0,99.0,9 = 0,999 c) Gọi C là biến cố máy I hoạt động tốt và có đúng 1 máy hoạt động tốt, Ta có: P(C) = P( ).P( ).P( ) =0,99.0,95.0,9 = 0,00495. Bài 17 A, Gọi Ai là biến cố lấy được 2 chính phẩm ở lô 1 (i=1,2) Xác suất để lấy được cả 4 chính phẩm là P(A1.A2)=P(A1).P(A2) ( vì A1,A2 độc lập) P(A1.A2)= * = 0,28 b, Gọi Bi là biến cố lấy được 2 phế phẩm ở lô i (i=1,2) Ci là biến cố lấy được duy nhất 1 chính phẩm ở lô i (i=1,2) Ta có xác suất cần tính là: P(A1.B2+A2.B1+C1.C2)=P(A1.B2)+P(A2.B1)+P(C1.C2) =P(A1).P(B2)+P(A2)*P(B1) + P(C1).P(C2) = * + * + P(C1).P(C2) P(C1)= P(C2)= Suy ra P(A1.B2+A2.B1+C1.C2) = * + * + * =0,02+0,07+0,15=0,24; 1.2.Công thức xác suất đầy đủ. công thức Bayes Bài 1 a, Gọi A1 là biến cố bắt gặp 1 người dân là nam A2 là biến cố bắt gặp 1 người dân là nữ. A là biến cố bắt gặp 1 người dân tốt nghiệp đại học. ⇨ A=A.A1+A.A2 Ta có: P(A1)=0,45; P(A2)= 0,55; P(A/A1)=0,2; P(A/A2)=0,15 Vậy P(A)=P(A1).P(A/A1)+P(A2).P(A/A2) = 0,45*0,2 + 0,55*0,15 =0,1725 b, Ta cần tính xác suất P(A1/A) Có P(A1/A)= = = 0,52 Bài 2 a, Gọi biến cố A là biến cố rút được bệnh án của bệnh nhân bị biến chứng. [...]... P( ) P( ) = P( /A2).P(A2) => P( ).(1-0,86)=0,1 *0,6> P( Vậy xác suất là máy của Ibm nhiều hơn )=0,57 )=0,428 Bài 5: Gọi E1 : nhóm 5 thí sinh có khả năng đạt giải suất sắc E2 : nhóm 7 thí sinh có khả năng đạt giải suất sắc E3 ; nhóm 4 thí sinh có khả năng đạt giải suất sắc E4 ; nhóm 2 thí sinh có khả năng đạt giải suất sắc Theo bài ra ta có; P(E1) = ; P(A/E1) = 0,2 P(E2) = ; P(A/E2) = 0,3 P(E3) = ;... Theo đề bài, mỗi bóng có xác suất cháy là 0,25; → xác suất sáng của mỗi bóng là 0,75 Xác suất để lớp học lần lượt có 4, 5, 6 bóng đèn sáng là P(A4) = * * 0,2966; P(A5) = * *0,25 0,3559; P(A6) = * * 0,1779 Vậy xác suất để lớp học có đủ ánh sáng là: P(A) = P(A4) + P(A5) + P(A6) 0,8305 b) Gọi Ta có là biến cố để lớp học không có đủ ánh sáng; là biến cố đối của biến cố A nên: Xác suất để lớp học không... Ta có: = 0,057 P(A1) = 0,4; P(A2) = 0,6; P(A/A1) = 0,01; P(A/A2) = 0,02; Vậy xác suất sản phẩm lấy ra là phế phẩm là: P(A) = P(A1)*P(A/A1) + P(A2)*P(A/A2) = 0,4*0,01 + 0,6*0,02 = 0,016 Xác suất để phế phẩm này do phân xưởng 1 sản xuất là: P(A1/A) = = = 0,25 Xác suất để phế phẩm này do phân xưởng 2 sản xuất là: P(A2/A) = = = 0,75 Bài 15: Xác suất chuẩn đoán đúng khi chuẩn đoán có bệnh là 0,9 Xác suất. .. công là: = 0,01 = 0,048; Xác suất để trong 4 tín hiệu phát thành công có 3 tín hiệu chính xác là: = 0,05 = 0,16 Bài 2 a, Gọi p là xác suất chọn được đáp án đúng: p=0,25 q là xác suất chọn đáp án sai, q=0,75 Gọi A là biến cố thí sinh được 15 điểm, để có 15 điểm thí sinh phải trả lời đúng 5 câu nên P(A)= (5)= * * = 0,058 b, Gọi B là biến cố thí sinh đỗ, để đỗ thí sinh phải trả lời đúng 7 câu trở lên Vậy... Vậy P(B)= * (7,10)= * * + * * + * * + * = 0,00351 Bài 3 Coi việc trả lời mỗi câu hỏi là một phép thử thì ta có 12 phép thử độc lập, trong mỗi phép thử có hai khả năng đối lập là : đúng , sai Mỗi câu có 4 phương án trả lời nên xác suất trả lời đúng là 1/4=0,25; Bài toán thỏa mãn lược đồ Becnulli a, Để thi được 13 điểm thí sinh phải làm đúng 5 câu.Ta có : (5)= * * =0,1032 b, Thí sinh bị âm điểm khi thí... (0,9225.100%) = 7.75% b) Xác suất sản phẩm được đưa ra thị trường là: P(A1/A) = = = 0,732 Vậy phần trăm sản phẩm được đưa ra thị trường là: 73,2% 1.3 Công thức Becnulli Bài 1 Gọi A là biến cố để trong 5 tín hiệu đã phát có 4 tín hiệu phát thành công, B là biến cố để trong 4 tín hiệu phát thành công có 3 tín hiệu chính xác, Theo công thức Becnoulli ta có: Xác suất để trong 5 tín hiệu đã phát có 4 tín hiệu phát... + (1-0.8).0,85,0.9 = 0,329 Xác suất để đúng 3 mục tiêu bị trúng đích là: P3 = 0,8.0,85.0,9 = 0,612 ⇨ P(A) = 0,7.P1 + 0,9.P2 + 1.P3 = 0,7.0,056 + 0,9.0,329 + 1.0,612 = 0,9473 Bài 7: a, Gọi Ai là biến cố công suất của máy i (i = 1,2) Gọi A là biến cố tỷ lệ phế phẩm Giả sử công suất của máy là 100% Mà công suất của máy 2 gấp đôi công suất máy 1 ⇨ Công suất máy 1 = 33% Công suất máy 2 = 67% ⇨ P() = P(A1)... 0,355.0,5 + 0,023.0 = 0,8025 Bài 10: a) Gọi A = “Tín hiệu phát ra là A” P(C3) = = 0,023; B = “Tín hiệu phát ra là B” C = “ Thu được tín hiệu A” D = “Thu được tín hiệu B” Ta có: {A,B} là hệ biến cố đầy đủ P(A) = 0,8; P(C/A) = P(B) = 0,2; ; P(D/B) = ; Áp dụng công thức xác suất đầy đủ ta có xác suất thu được tín hiệu A: P(C) = P(A).P(C/A) + P(B).P(D/B) = 0,8.(1- ) + 0,2 = 0,665 b) Xác suất thu được đúng tín... nhân bị bỏng do hóa chất =>P(A2)=0,2 Ta có: P(A/A1)=0,3 , P(A/A2)=0,5 Mặt khác A1,A2 lập thành nhóm biến cố đầy đủ và A chỉ xảy ra đồng thời với 1 trong 2 biến cố A1,A2.Do đó áp dụng công thức xác suất đầy đủ ta có: P(A)=P(A1).P(A/A1)+P(A2).P(A/A2) ⇨ P(A)=0,8x0,3+0,2x0,5=0,34 b, Ta có xác suất cần tính sẽ là P(A1/A) Áp dụng công thức Bayes ta có: P(A1/A)= = = 0,705 Bài 3: a) Gọi A là biến cố lấy được 2... biến cố viên bị bị mất có màu đỏ A2 là biến cố viên bi bị mất có màu xanh Ta có P(A1)= 5/9; P(A2)= 3/9; Theo định nghĩa xác suất ta có: P(A/A1)= = = P(A/A2)= = =0,5 Vậy P(A)=P(A1).P(A/A1) + P(A2).P(A/A2) = 5/9.5/9 + 3/9.0,5= 0,475 Bài 18: Gọi A là biến cố chọn được thỏ trắng Ai là biến cố chọn được thỏ ở chuồng i (i = 1,2) P(A) = P(A1) = P(A/A1) + P(A2) + P(A/A2) = 0,52 Vậy xác suất để con thỏ trắng . BÀI TẬP XÁC SUẤT THỐNG KÊ ĐẦY ĐỦ NHẤT Phần 1.1 Các công thức xác suất Bài 1: Gọi Ai là biến cố chọn được học sinh thứ i ( i= 1 4 ) a) Xác suất sao cho 4 em được chọn có ít nhất 1. P(A)= = 0.922 Bài 9: Không có đề bài trong tờ bài tập. Bài 10 : a, Do chỉ có 3 lớp nên xs trong 4 em có luôn có 2 em cùng lớp.Vậy xác suất 4 em được chọn không cùng lớp là bằng 0. b, Có 2 t/h:. )=0,428 Vậy xác suất là máy của Ibm nhiều hơn. Bài 5: Gọi E 1 : nhóm 5 thí sinh có khả năng đạt giải suất sắc E 2 : nhóm 7 thí sinh có khả năng đạt giải suất sắc E 3 ; nhóm 4 thí sinh có khả năng