Bài tập xác suất thống kê có lời giải chi tiết năm 2015

BÀI TẬP XÁC SUẤT THỐNG KÊ ĐẦY ĐỦ NHẤT Phần 1.1 Các công thức xác suất Bài 1: Gọi Ai là biến cố chọn được học sinh thứ i ( i= 1..4 ) a) Xác suất sao cho 4 em được chọn có ít nhất 1 em lớp 10A Gọi A là biến cố chọn đồng thời 4 học sinh sao cho ít nhất 1 hs lớp 10A TH1: Chọn được 1 học sinh lớp 10A P(A1) = = TH2 : Chọn được 2 học sinh lớp 10A P(A2) == = TH3 : Chọn được 3 học sinh lớp 10A P(A3) = = = TH 4: Chọn được 4 học sinh lớp 10A P(A4) = = ⇨ P(A) = P(A1) + P(A2) + P(A3) + P(A4) = 3599 + 1433 + 1499 + 199 =0,93 b) Gọi Ā là biến cố chọn được học sinh của cả 3 lớp TH1 : Chọn được 2 hs lớp 10A, 1 hs lớp 10B, 1 hs lớp 10C P(Ā1) = = TH2: Chọn được 1 hs lớp 10A, 2 học sinh lớp 10B, 1 học sinh lớp 10C P(Ā2)= = TH3: Chọn được 1 hs lớp 10A, 1 hs lớp 10B, 2 hs lớp 10C P(Ā3)= = ⇨ P(Ā) = P(Ā1) + p(Ā2) + P(Ā3) = .Vì A và Ā là đối lập nên xác suất chọn được 4 học sinh không quá 2 trong 3 lớp trên nên P(A) = 1 P(Ā) = 1 – 611 = 511 Bài 2: a, Gọi A là biến cố 4 quả lấy được có 2 quả đỏ, 1 quả xanh và 1 quả vàng. m = = 90 n = P(A) = = = 0,18 b, Gọi B là biến cố 4 quả lấy được thuộc đúng 2 trong 3 màu. ⇨ P(B) = = =0,44 Bài 3: Số trường hợp có thể xảy ra khi rút ngẫu nhiên từ mỗi hòm ra 1 tấm thẻ là: n= 5.5 = 25 a. Gọi A là biến cố tổng các biến cố “ tổng các số ghi trên 2 tấm thẻ là 7 ”. Số thuận lợi cho A là: mA = 4. Ω = { 2 5, 5 2, 3 4, 4 3} ⇨ P(A) = = 0,16 b. Gọi B là biến cố “tổng các số ghi trên 2 tấm thẻ rút ra không nhỏ hơn 3” Ta có: tổng số ghi trên 2 tấm thẻ nhỏ hơn 3 chỉ khi rút cả 2 hòm đều vào 1 ⇨ Chỉ có 1 trường hợp ⇨ mB = 251 = 24 ⇨ P(B) = = 0,96

BÀI TẬP XÁC SUẤT THỐNG KÊ ĐẦY ĐỦ NHẤTPhần 1.1 Các công thức xác suất

Bài 1:

Gọi Ai là biến cố chọn được học sinh thứ i ( i= 1 4 )

a)

Xác suất sao cho 4 em được chọn có ít nhất 1 em lớp 10A

Gọi A là biến cố chọn đồng thời 4 học sinh sao cho ít nhất 1 h/s lớp 10A

TH1: Chọn được 1 học sinh lớp 10A

TH2: Chọn được 1 h/s lớp 10A, 2 học sinh lớp 10B, 1 học sinh lớp 10C

Số trường hợp có thể xảy ra khi rút ngẫu nhiên từ mỗi hòm ra 1 tấm thẻ là: n= 5.5 = 25

a Gọi A là biến cố tổng các biến cố “ tổng các số ghi trên 2 tấm thẻ là 7 ”

Số thuận lợi cho A là: mA = 4

Ω = { 2 5, 5 2, 3 4, 4 3}

⇨ P(A) = = 0,16

b Gọi B là biến cố “tổng các số ghi trên 2 tấm thẻ rút ra không nhỏ hơn 3”

Ta có: tổng số ghi trên 2 tấm thẻ nhỏ hơn 3 chỉ khi rút cả 2 hòm đều vào 1

Gọi A là biến cố 12 hành khách đều lên toa I,

Ta có số trường hợp thuận lợi cho A là: 1

Vậy xác suất để 12 hành khách đều lên toa I là:

P(A) = b)

Gọi B là biến cố có 4 hành khách lên toa I, 5 hành khách lên toa II và còn lại lên toa III,

Ta có số trường hợp thuận lợi cho B là: = 2770,

Vậy xác suất để có 4 hành khách lên toa I, 5 hành khách lên toa II và còn lại lên toa III:

+)TH2: Ban cán sự lớp có Hoa mà không có Cường,

Gọi Ai là biến cố lần quay thứ i quay trúng số màu đỏ ( i=1,2)

Ta có xác suất cả hai lần quay đều dừng ở con số màu đỏ là: P(A1.A2)

Do A1, A2 độc lập với nhau nên: P(A1.A2)=P(A1).P(A2) = = 0,224

a, Gọi A là biến cố 3 lần quay lần lượt dừng ở 3 vị trí khác nhau

Để 3 lần quay vào 3 vị trí khác nhau:

Lần 1 vào 1 trong 7 vị trí=> có 7 khả năng

Lần 2 vào 1 trong 6 vị trí => có 6 khả năng

Lần 3 vào 1 trong 5 vị trí => có 5 khả năng

=>m=7*6*5

Gọi A1 là biến cố quay lần đầu bánh xe dừng lại tại một số thuộc [1,6]

Gọi A2 là biến cố quay lần hai bánh xe dừng là tại một số thuộc [1,6]

Ta có : P(A1)=P(A2) = ; P( )=1-P(A2) =

Ta có xác suất cần tính là P(A1 )

Do A1 và là hai biến cố độc lập lên ta có:

b,Gọi A là biến cố sau 3 lần quay nhận được bộ ba số khác nhau từng đôi một

Ta có số trường hợp thuận lợi cho việc xuất hiện biến cố A là =38.37.36

Số trường hợp đồng khả năng (bộ ba số bất kỳ) có thể xảy ra là: 38x38x38Vậy ta suy ra xác suất cần tính là P(A)= = 0.922

Bài 9: Không có đề bài trong tờ bài tập.

Bài 10 :

a, Do chỉ có 3 lớp nên xs trong 4 em có luôn có 2 em cùng lớp.Vậy xác suất 4 em được chọn không cùng lớp là bằng 0

b, Có 2 t/h:

T/H1: số học sinh lớp 10A=số học sinh lớp 10C = 1, số cách là:5*3*C(4,2)=90

T/H1: số học sinh lớp 10A=số học sinh lớp 10C = 2, số cách là:C(5,2)*C(3,2)=30

Vậy tổng số cách là : 120

Xác suất là : 120/C(12,4) = 120/495=0,2424

Bài 11:

Gọi A1 là biến cố máy 1 hoạt động tốt và là biến cố máy 1 không hoạt động tốt

Gọi A2 là biến cố máy 2 hoạt động tốt và là biến cố máy 2 không hoạt động tốt

Gọi A3 là biến cố máy 3 hoạt động tốt và là biến cố máy 3 không hoạt đông tốt

P(A1) = 0,99 P(A2) = 0,95 P(A3) = 0,90

a, Tìm sắc xuất trong thời gian T có đúng 1 máy hoạt động tốt

P = [(1-0,99) (1-0,95) (0,90) + (1-0,99) (0,95).(1-0,90) + (0,99) (1-0,95).(1-0,99) ] = 0,00635

Gọi A1 là biến cố lấy ra 1 quả hỏng :

Vậy xác suất lấy được nhiều nhất 2 quả hỏng là

P(A) = P(A0) + P(A1) + P(A2) = 0,175 + 0,295 + 0,046 = 0,5209

Bài 13:

a, Gọi A là biến cố có đúng 2 người ném trúng rổ

Gọi Ai là biến cố người thứ i ném trúng rổ (i= 1 3)

P(A) = P(Ā1) P(A2) P(A3) + P(A1) P(Ā2) P(A3) + P(A1) P(A2) P(Ā3) = 0,3 0,9 0,8 + 0,7 0,1 0,8 + 0,7 0,9 0,2 = 0,398

b, Gọi B là biến cố có ít nhất một người ném trúng rổ

Gọi là biến cố không ai ném trúng rổ

⇨ P( ) = P(Ā1) P(Ā2) P(Ā3) = 0,3 0,1 0,1 = 0,006

Vậy P(B) = 1 – 0,006 = 0,994

c, Gọi C là biến cố người thứ 2 ném trúng rổ và có 2 người ném trúng rổ

P(C) = P(Ā1) P(A2) P(A3) + P(A1) P(A2) P(Ā3)

= 0,3 0,9 0,8 + 0,7 0,9 0,2 = 0,342

Bài 14.

Gọi Ai là biến cố “máy thứ i bị hỏng trong 1 ca làm việc” , i= 1,2, 3

a Gọi A là biến cố có ít nhất 1 máy bị hỏng

Ta có là biến cố đối lập của A, trong đó là biến cố không có máy nào bị hỏng

P(A5) = ≈ 0,011.

Vậy xác suất để lấy được ít nhất 2 em sinh viên khá hoặc giỏi toán là:

P(E) = P(A2) + P(A3) + P(A4) + P(A5)

Gọi C là biến cố máy I hoạt động tốt và có đúng 1 máy hoạt động tốt,

Ta có: P(C) = P( ).P( ).P( )

=0,99.0,95.0,9 = 0,00495

Bài 17

A, Gọi Ai là biến cố lấy được 2 chính phẩm ở lô 1 (i=1,2)

Xác suất để lấy được cả 4 chính phẩm là P(A1.A2)=P(A1).P(A2) ( vì A1,A2 độc lập)P(A1.A2)= * = 0,28

b, Gọi Bi là biến cố lấy được 2 phế phẩm ở lô i (i=1,2)

Ci là biến cố lấy được duy nhất 1 chính phẩm ở lô i (i=1,2)

Gọi A1 là biến cố bắt gặp 1 người dân là nam

A2 là biến cố bắt gặp 1 người dân là nữ

A là biến cố bắt gặp 1 người dân tốt nghiệp đại học

Gọi biến cố A là biến cố rút được bệnh án của bệnh nhân bị biến chứng

A1 là biến cố rút được bệnh án của bệnh nhân bị bỏng do nóng => P(A1)=0,8

A2 là biến cố rút được bệnh án của bệnh nhân bị bỏng do hóa chất =>P(A2)=0,2

Gọi A là biến cố lấy được 2 chính phẩm từ lô II,

A1 là biến cố lấy được 1 chính phẩm từ lô I,

A2 là biến cố lấy được 1 phế phẩm từ lô I

Ta có: P(A1) =30/40=0,75; P(A2) = 0,25;

Theo định nghĩa xác suất ta có:

P(A/A1) = ;

P(A/A2) = ;Vậy xác suất để 2 sản phẩm lấy ra từ lô II đều là chính phẩm là:

P(A) = P(A1)*P(A/A1) + P(A2)*P(A/A)

= 0,75* + 0,25* = 0,3887

Gọi B là biến cố sản phẩm lấy ra từ lô II có 1 chính phẩm và 1 phế phẩm,

B1 là biến cố sản phẩm lấy từ lô I là chính phẩm,

B2là biến cố sản phẩm lấy từ lô I là phế phẩm

Bài 4:

a, Gọi biến cố mua được máy chính hãng là A

A1 là biến cố mua máy của IBM

A2 là biến cố mua máy ACER

Vậy xác suất là máy của Ibm nhiều hơn.

Bài 5:

Gọi E1 : nhóm 5 thí sinh có khả năng đạt giải suất sắc

E2 : nhóm 7 thí sinh có khả năng đạt giải suất sắc

E3 ; nhóm 4 thí sinh có khả năng đạt giải suất sắc

E4 ; nhóm 2 thí sinh có khả năng đạt giải suất sắc

Theo bài ra ta có;

P(E1) = ; P(E2) = ; P(E3) = ; P(E4) = ;

P(A/E1) = 0,2 P(A/E2) = 0,3 P(A/E3) = 0,4 P(A/E4) = 0,5

Áp dụng công thức Bayet, nên ta có;

Gọi Ai là xạ thủ thứ i bắn trúng mục tiêu (i= 1,2,3)

Gọi A1 là biến cố xạ thủ thứ nhất bắn trúng mục tiêu: P(A1) = 0,8

A2 là biến cố xạ thủ thứ hai bắn trúng mục tiêu: P(A2) = 0,85

A3 là biến cố xạ thủ thứ ba bắn trúng mục tiêu: P(A3) = 0,9

a,Xác suất để 2 viên đạn trúng đích

A = A1A2 Ā3 + A1 Ā2A3 + Ā1A2A3

P(A) = P(A1A2 Ā3 + A1 Ā2A3 + Ā1A2A3)

= P( A1).P(A2).P( Ā3) + P (A1)P( Ā2)P(A3) + P (Ā1)(A2)(A3)

Giả sử công suất của máy là 100%

Mà công suất của máy 2 gấp đôi công suất máy 1

⇨ Công suất máy 1 = 33%

Công suất máy 2 = 67%

⇨ P() = P(A1) P(A/A1) + P(A2) P(A/A2)

= 0,33 0,1 + 0,67 0,2 = 0,167

b, Lấy ngẫu nhiên 2 sản phẩm của xưởng thì chỉ có một sản phẩm tốt

Gọi B là biến cố sản phẩm tốt đó là của máy 1

P(B) = = = 0,198

Bài 8

Gọi A1,A2,A3 lần lượt là biến cố chuyển 1,2,3 file.xls từ thư mục 1 sang thư mục 2

A là biến cố chọn được file.xls ở thư mục 2

Gọi A là biến cố Nam mua được 2 bóng tốt,

Ta có số trường hợp thuận lợi cho A là:

Vậy xác suất để Nam mua được 2 bóng tốt là:

Gọi C là biến cố Nam đưa cho Lan là bóng tốt,

Ci là biến cố Nam mua được I bóng tốt: i = 0,1,2

→ C1, C2, C3 là 1 hệ biến cố đầy đủ, xung khắc từng đôi

Bài 10:

a)

Gọi A = “Tín hiệu phát ra là A”

B = “Tín hiệu phát ra là B”

C = “ Thu được tín hiệu A”

D = “Thu được tín hiệu B”

Ta có: {A,B} là hệ biến cố đầy đủ

Gọi A là biến cố anh ta bị viêm họng

B là biến cố anh ta là người hút thuốc lá

là biến cố anh ta không hút thuốc lá

Xác suất để anh ta là người hút thuốc khi anh ta không bị viên họng:

Bài 12

a, Gọi A1 là biến cố chuẩn đoán cho bệnh nhân có bệnh

Gọi A2 là biến cố chuẩn đoán cho bệnh nhân không có bệnh

A là biến cố chuẩn đoán đúng

Gọi A1 là biến cố khách hàng thuộc nhóm ít rủi ro =>P(A1)=0,2

Gọi A2 là biến cố khách hàng thuộc nhóm rủi ro trung bình =>P(A2)=0,5

Gọi A3 là biến cố khách hàng thuộc nhóm rủi ro cao =>P(A3)=0,3

Gọi A là biến cố khách hàng bị rủi ro trong 1 năm

Ta có P(A/A1)=0,05 , P(A/A2)=0,15; P(A/A3)= 0,3

Do A1,A2,A3 là nhóm biến cố đầy đủ và A đồng thời xảy ra với duy nhất 1 trong các biến cố

đó nên áp dụng công thức xác suất đầy đủ ta được:

Gọi Ai là biến cố sản phẩm lấy ra từ phân xưởng i: i={1;2};

A là biến cố sản phẩm lấy ra là phế phẩm

Ta có:

P(A1) = 0,4; P(A2) = 0,6;

P(A/A1) = 0,01; P(A/A2) = 0,02;

Vậy xác suất sản phẩm lấy ra là phế phẩm là:

P(A) = P(A1)*P(A/A1) + P(A2)*P(A/A2)

Xác suất chuẩn đoán đúng khi chuẩn đoán có bệnh là 0,9

Xác suất chuẩn đoán đúng khi chuẩn đoán không có bệnh là 0,5a,

Gọi A1 là biến cố người đến khám có bệnh

A2 là biến cố người đến khám không có bệnh

A là biến cố chuẩn đoán có bệnh

Ta có A=A.A1+A.A2

P(A1)=0,8; P(A/A1)=0,9; P(A2)=0,2; P(A/A2)=0,5

P(A) = P(A1)*P(A/A1) + P(A2)*P(A/A2) = 0,8*0,9+0,2*0,5 = 0,82b,

P(A.A1 + A2 ) =P(A.A1)+P( A2)=P(A1).P(A/A1)+P( ).P(A2/ )

= 0,8*0,9+0,18*0,5=0,81

Bài 16:

Gọi A1 là biến cố sinh viên do giáo viên 1 kiểm tra

A2 là biến cố sinh viên do giáo viên 2 kiểm tra

A là biến cố sinh viên được công nhận sau khi kiểm tra

Ta có A=A.A1+A.A2

Và P(A1)=0,55 ;P(A2)=0,45; P(A/A1)=0,94; P(A/A2)=0,98

P(A)=P(A1).P(A/A1)+P(A2).P(A/A2)=0,55*.0,94+0,45.0,98=0,517+0,441=0,958Xác suất đề bài yêu cầu tính là P(A2/A)

Ta có P(A).P(A2/A)=P(A/A2).P(A2) => 0,958.P(A2/A)=0,45.0,98

P(A2/A)=0,46

Bài 17

Gọi Ai là mất i bi đỏ (i = 0 ,1 )

a,Gọi A là rút hú họa được bi đỏ trong hộp còn lại

A0 là không mất bi đỏ nào: P(A0) = 6/10 P(A/A0) = 6/9

A1 là mất 1 bi đỏ P(A1) = 5/10 P(A/A1)= 5/9

P(A) = P(A0).P(A/A0) + P(A1).P(A/A1) = 6/10.6/9 + 5/10.5/9 = 61/9

b,Gọi A là biến cố lấy được 1 bi màu đỏ và 1 bi màu xanh,

A1 là biến cố viên bị bị mất có màu đỏ

A2 là biến cố viên bi bị mất có màu xanh

Gọi A là biến cố chọn được thỏ trắng

Ai là biến cố chọn được thỏ ở chuồng i (i = 1,2)

P(A) = P(A1) P(A/A1) + P(A2) P(A/A2)

= + = 0,52

Vậy xác suất để con thỏ trắng đó được bắt từ chuồng thứ nhất là:

Gọi Ai là biến cố kiểm tra loại sản phẩm i: i = 1,2;

A là biến cố kiểm tra sản phẩm đưa ra thị trường,

Vậy phần trăm sản phẩm được đưa ra thị trường là: 73,2%

1.3 Công thức Becnulli.

Bài 1

Gọi A là biến cố để trong 5 tín hiệu đã phát có 4 tín hiệu phát thành công,

B là biến cố để trong 4 tín hiệu phát thành công có 3 tín hiệu chính xác,

Theo công thức Becnoulli ta có:

Xác suất để trong 5 tín hiệu đã phát có 4 tín hiệu phát thành công là:

Coi việc trả lời mỗi câu hỏi là một phép thử thì ta có 12 phép thử độc lập, trong mỗi phép thử

có hai khả năng đối lập là : đúng , sai

Mỗi câu có 4 phương án trả lời nên xác suất trả lời đúng là 1/4=0,25;

Bài toán thỏa mãn lược đồ Becnulli

Gọi A là biến cố bán được hàng ở đúng 2 nơi trong 10 nơi

Theo đề bài, mỗi bóng có xác suất cháy là 0,25;

→ xác suất sáng của mỗi bóng là 0,75

Gọi là biến cố để lớp học không có đủ ánh sáng;

Ta có là biến cố đối của biến cố A nên:

Xác suất để lớp học không đủ ánh sáng là:

T/h1: số bước tiến là 1 và lùi là 7: (1)=C(8,1)* =0,03125

Th/2: bước tiến là 7 và số bước lùi là 1 (7)=C(8,7)* =0,03125

Suy ra xác suất cần tính là: 0,0625