Phương pháp bình phương tối thiểu (Luận văn thạc sĩ)

Phương pháp bình phương tối thiểu (Luận văn thạc sĩ)Phương pháp bình phương tối thiểu (Luận văn thạc sĩ)Phương pháp bình phương tối thiểu (Luận văn thạc sĩ)Phương pháp bình phương tối thiểu (Luận văn thạc sĩ)Phương pháp bình phương tối thiểu (Luận văn thạc sĩ)Phương pháp bình phương tối thiểu (Luận văn thạc sĩ)Phương pháp bình phương tối thiểu (Luận văn thạc sĩ)Phương pháp bình phương tối thiểu (Luận văn thạc sĩ)Phương pháp bình phương tối thiểu (Luận văn thạc sĩ)Phương pháp bình phương tối thiểu (Luận văn thạc sĩ)Phương pháp bình phương tối thiểu (Luận văn thạc sĩ)Phương pháp bình phương tối thiểu (Luận văn thạc sĩ)Phương pháp bình phương tối thiểu (Luận văn thạc sĩ)Phương pháp bình phương tối thiểu (Luận văn thạc sĩ)Phương pháp bình phương tối thiểu (Luận văn thạc sĩ)Phương pháp bình phương tối thiểu (Luận văn thạc sĩ)Phương pháp bình phương tối thiểu (Luận văn thạc sĩ)Phương pháp bình phương tối thiểu (Luận văn thạc sĩ)Phương pháp bình phương tối thiểu (Luận văn thạc sĩ)Phương pháp bình phương tối thiểu (Luận văn thạc sĩ)Phương pháp bình phương tối thiểu (Luận văn thạc sĩ)Phương pháp bình phương tối thiểu (Luận văn thạc sĩ)Phương pháp bình phương tối thiểu (Luận văn thạc sĩ)Phương pháp bình phương tối thiểu (Luận văn thạc sĩ)Phương pháp bình phương tối thiểu (Luận văn thạc sĩ)Phương pháp bình phương tối thiểu (Luận văn thạc sĩ)Phương pháp bình phương tối thiểu (Luận văn thạc sĩ)Phương pháp bình phương tối thiểu (Luận văn thạc sĩ)Phương pháp bình phương tối thiểu (Luận văn thạc sĩ)Phương pháp bình phương tối thiểu (Luận văn thạc sĩ)Phương pháp bình phương tối thiểu (Luận văn thạc sĩ)Phương pháp bình phương tối thiểu (Luận văn thạc sĩ)

BỘ GIÁO DỤC VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ ĐÀO TẠO VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ − − − − − − − − − − − − − − − − − − −− Lê Thị Ngọc Quỳnh PHƯƠNG PHÁP BÌNH PHƯƠNG TỐI THIỂU LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2020 BỘ GIÁO DỤC VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ ĐÀO TẠO VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ − − − − − − − − − − − − − − − − − − −− Lê Thị Ngọc Quỳnh PHƯƠNG PHÁP BÌNH PHƯƠNG TỐI THIỂU Chun ngành: Tốn Giải tích Mã số: 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS TSKH ĐINH NHO HÀO Hà Nội - 2020 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan viết luận văn tìm tịi, học hỏi thân hướng dẫn tận tình thầy Đinh Nho Hào Mọi kết nghiên cứu ý tưởng tác giả khác, có trích dẫn cụ thể Đề tài luận văn chưa bảo vệ hội đồng bảo vệ luận văn thạc sĩ chưa công bố phương tiện Tôi xin chịu trách nhiệm lời cam đoan Hà Nội, tháng 11 năm 2020 Học viên Lê Thị Ngọc Quỳnh LỜI CẢM ƠN Đầu tiên, xin tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới GS TSKH Đinh Nho Hào, người trực tiếp hướng dẫn tìm hướng nghiên cứu Luận văn hồn thành hướng dẫn tận tình thầy thời gian dài Thầy quan tâm, giúp đỡ, động viên tơi suốt q trình học tập nghiên cứu Tôi xin chân thành cảm ơn thầy cơ, anh chị, bạn bè Viện Tốn học giúp đỡ, góp ý tạo điều kiện q trình học tập, nghiên cứu để tơi thực tốt luận văn Tơi xin trân trọng cảm ơn giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi sở đào tạo Học viện Khoa học Công nghệ, Viện Hàn lâm Khoa học Cơng nghệ Việt Nam q trình thực luận văn Đặc biệt, tơi xin cảm ơn gia đình, người thân bạn bè sát cánh, động viên khích lệ tơi suốt q trình học tập nghiên cứu Hà Nội, tháng 11 năm 2020 Học viên Lê Thị Ngọc Quỳnh Mục lục Lời cam đoan Lời cảm ơn Mục lục MỞ ĐẦU 1 Một số kiến thức sở 2 Phương pháp bình phương tối thiểu 11 2.1 Nghiệm bình phương tối thiểu phương trình tốn tử số tính chất 12 2.2 Phân tích giá trị kỳ dị 21 2.2.1 Toán tử compact 21 2.2.2 Phổ toán tử compact tự liên hợp 23 2.2.3 Phân tích giá trị kỳ dị 30 2.3 Tiêu chuẩn Picard 36 Ứng dụng phương pháp bình phương tối thiểu 40 3.1 Phân tích giá trị kỳ dị cho ma trận 40 3.2 Ứng dụng phương pháp bình phương tối thiểu khơng gian hữu hạn chiều 50 3.3 Ứng dụng phân tích kỳ dị nghiên cứu toán ngược 54 Kết luận 61 Tài liệu tham khảo 62 MỞ ĐẦU Giải tích số hay cịn gọi phương pháp số mơn khoa học thuộc lĩnh vực Tốn ứng dụng, nhằm mục đích nghiên cứu cách giải gần phương trình, toán xấp xỉ, toán tối ưu, Trong việc giải gần nghiệm phương trình, tơi xin đề cập luận văn phương pháp bình phương tối thiểu cho việc giải hệ phương trình tuyến tính Bình phương tối thiểu tuyến tính kỹ thuật để xấp xỉ nghiệm gần cho hệ phương trình tuyến tính với kiện khơng xác ứng dụng rộng rãi thống kê Hệ phương trình trường hợp xét thường hệ mà có số phương trình lớn số biến Các tốn bình phương tối thiểu chia thành hai loại: bình phương tối thiểu tuyến tính bình phương tối thiểu phi tuyến Trong luận văn này, nghiên cứu phương pháp bình phương tối thiểu cho hệ phương trình tuyến tính Cụ thể là, chúng tơi tập trung trình bày cách hệ thống số tính chất nghiệm bình phương tối thiểu, phương pháp phân tích giá trị kỳ dị số ứng dụng đại số tuyến tính giải tốn ngược Luận văn chia làm ba chương sau: Chương 1: Chương nhắc lại số định nghĩa, định lý tính chất quan trọng Giải tích hàm phục vụ cho luận văn Chương 2: Nội dung phần trình bày định nghĩa, tính chất nghiệm bình phương tối thiểu, nghịch đảo suy rộng chứng minh tiêu chuẩn Picard, có mối liên hệ quan trọng với phương pháp bình phương tối thiểu việc phân tích giá trị kỳ dị Chương 3: Trong chương này, chúng tơi trình bày ứng dụng phương pháp bình phương tối thiểu đại số tuyến tính tốn ngược CHƯƠNG Một số kiến thức sở Trong chương trình bày số khái niệm tính chất quan trọng Giải tích hàm để hỗ trợ cho phần sau Một số tính chất định lý khác chưa đề cập chương chúng tơi nêu cách xen kẽ chương Định nghĩa 1.0.1 [1], [2] Cho không gian vectơ X trường K = R Một ánh xạ cho : X → K, x→ x gọi chuẩn X thỏa mãn tính chất sau: (i) x + y ≤ x + y với x, y ∈ X (ii) αx = |α| x với x ∈ X , α ∈ K (iii) x ≥ với x ∈ X x = x = Khi không gian vectơ X với chuẩn gọi không gian định chuẩn Hơn nữa, không gian định chuẩn X gọi không gian Banach dãy (dãy Cauchy) X hội tụ tới điểm X , hay nói cách khác X khơng gian định chuẩn đầy đủ Định nghĩa 1.0.2 [1], [2] Cho không gian vectơ X trường K (K = R C) Một ánh xạ cho : X × X → K, (x, y) → x, y gọi tích vơ hướng X thỏa mãn tính chất sau (i) x, y = y, x với x, y ∈ X (ii) x + y, z = x, z + y, z với x, y, z ∈ X (iii) αx, y = α x, y với x, y ∈ X α ∈ K (iv) x, x ≥ với x ∈ X x, x = x = Một không gian vectơ X trường K với tích vơ hướng X gọi khơng gian tiền Hilbert Từ ta có định nghĩa khơng gian Hilbert khơng gian tiền Hilbert mà đồng thời không gian Banach với chuẩn x = x, x , ∀x ∈ X Định nghĩa 1.0.3 [1], [2] Một tập M không gian metric X gọi compact dãy M chứa dãy hội tụ tới điểm thuộc M Từ ta có tính chất: tập compact khơng gian metric đóng hồn tồn bị chặn, mệnh đề ngược chưa đúng, ví dụ đơn giản hình cầu đóng khơng gian định chuẩn vơ hạn chiều khơng compact Tập M gọi compact tương đối (hay tiền compact) bao đóng compact Nói cách khác, M gọi compact tương đối dãy M chứa dãy hội tụ không gian X Tập M gọi hoàn toàn bị chặn với ε > cho trước, tồn phủ gồm hữu hạn hình cầu mở (Si ) với bán kính ε chứa M Và ta có tính chất tập hồn tồn bị chặn bị chặn Định lý 1.0.4 [1] Định lý Heine-Borel: Một tập M không gian metric X gọi compact phủ mở M chứa phủ hữu hạn chứa M Chứng minh Giả sử M có tính chất Heine-Borel Xét dãy (xn ) ⊂ M Với k = 1, 2, , kí hiệu Ak = {xn : n ≥ k} Cho Ak bao đóng Ak Gk = X \ Ak Với tập hữu hạn I ⊂ {1, 2, }, rõ ràng ∅, k∈I Ak = ∅, X \ k∈I (X \ Ak ) = X \ k∈I k∈I Ak = Gk = ∅, tức hợp tập mở Gk (k ∈ I ) khơng phủ X Vì điều với họ hữu hạn {Gk , k ∈ I} nên theo tính chất Heine-Borel họ khơng thể phủ M Vậy phải có x ∈ Gk = X \ Ak , tức x ∈ Ak ∀k = 1, 2, Từ dễ dàng suy dãy (xnk ) hội tụ Thật vậy, với k , x ∈ Ak nên hình cầu tâm x bán kính 1/k phải chứa xnk ∈ (xn ) Ta có d(xnk , x) ≤ 1/k → k → ∞ Vậy M compact Để chứng minh phần đảo, giả sử M compact có phủ mở {Gα } khơng chứa phủ hữu hạn Ta lấy dãy số dương εn → Vì M compact nên phủ số hữu hạn hình cầu bán kính ε1 Trong số hình cầu phải có hình cầu, giả sử S1 cho M1 = M S phủ số hữu hạn tập Gα (nếu khơng M phủ số hữu hạn tập Gα ) Tập M1 compact (vì tập đóng tập compact) nên phủ số hữu hạn hình cầu bán kính ε2 , số có cái, giả sử S2 cho M2 = M1 S2 phủ số hữu hạn tập Gα Tập M2 compact nên phủ số hữu hạn hình cầu bán kính ε3 Tiếp tục thế, ta thu dãy hình cầu Sn tập Mn = Mn−1 S n (n = 1, 2, ) Ta lấy tập Mn điểm xn Dĩ nhiên Mn ⊂ Mn−1 ⊂ ⊂ M nên xn ∈ M M compact nên có dãy (xnk ) hội tụ tới điểm x0 ∈ M Ta có x0 ∈ Gα0 Gα0 mở nên có hình cầu K tâm x0 nằm trọn Gα0 Gọi r bán kính K , ta chọn k0 đủ lớn 48 = xT Cx + ϕn x∈V , x =1 Áp dụng cho không gian V := v1 , , vk ∈ Vkn xT Cx ≥ x∈V , x =1 λk Do µk ≥ λk + ϕn (**) Từ (∗) (∗∗) ta suy điều phải chứng minh (ii) Từ (i) ta có µk − λk ≤ |ϕ1 | λk − µk ≤ −ϕn ≤ |ϕn | Theo định nghĩa F := max{ F x : x ∈ Rn , x ≤ 1} nên lấy xi = với xi ≤ vectơ riêng ứng với giá trị riêng ϕi ma trận F F = max{ F xi } = max{ ϕi xi } = max{|ϕi | xi } Suy |ϕ1 |, |ϕn | ≤ F Do |λk − µk | ≤ F Định lý 3.1.8 [3] Cho A ∈ Rm,n lấy σ1 ≥ ≥ σn giá trị kỳ dị A Khi với k ∈ {1, , n} ta có σk = max n V ∈Vn−k+1 x∈V, x =1 Ax = maxn V ∈Vk x∈V, x =1 Ax Chứng minh Ta đặt C := AT A ∈ Rn,n Ta biết σ12 ≥ ≥ σn2 giá trị riêng AT A σ1 ≥ ≥ σn giá trị kỳ dị A Áp dụng Định lý 3.1.6 cho ma trận C , ta có σk2 = n max xT Cx = maxn V ∈Vn−k+1 x∈V, x =1 V ∈Vk x∈V, x =1 xT Cx 49 Suy σk2 = max xT AT Ax = maxn n V ∈Vn−k+1 x∈V, x =1 xT AT Ax Ax V ∈Vk x∈V, x =1 hay σk2 = Vậy σk = max n V ∈Vn−k+1 x∈V, x =1 max n V ∈Vn−k+1 x∈V, x =1 Ax = maxn V ∈Vk x∈V, x =1 Ax = maxn V ∈Vk x∈V, x =1 Ax Bây để thuận tiện hơn, ta ký hiệu giá trị kỳ dị ma trận C ∈ Rm,n σ1 (C), , σn (C) ta giả sử σ1 (C) ≥ ≥ σn (C) Định lý 3.1.9 [3] Cho A, F ∈ Rm.n Khi với k ∈ {1, , n} |σk (A) − σk (A + F )| ≤ F Chứng minh Áp dụng Định lý 3.1.8, ta có σk (A) = σk (A + F ) = max Ax max (A + F )x n V ∈Vn−k+1 x∈V, x =1 n V ∈Vn−k+1 x∈V, x =1 Suy |σk (A) − σk (A + F )| ≤ ≤ Ax − (A + F )x max max Ax − (A + F )x n V ∈Vn−k+1 x∈V, x =1 x∈V, x =1 ≤ max (A + F )x − Ax = max F x = F x =1 x =1 50 3.2 Ứng dụng phương pháp bình phương tối thiểu khơng gian hữu hạn chiều Trong chương trước, nghiên cứu nghiệm bình phương tối thiểu cho phương trình tuyến tính tốn tử khơng gian Hilbert vô hạn chiều Trong phần này, tiếp tục nghiên cứu nghiệm bình phương tối thiểu phương trình tuyến tính ma trận thực không gian hữu hạn chiều Ta sử dụng số kết ký hiệu tương ứng hai chương để người đọc dễ theo dõi mối liên hệ chúng Chương trước Chương Toán tử A Ma trận A Toán tử liên hợp A∗ Ma trận chuyển vị AT ⊥ ⊥ R(A) = R(A)⊥ = N (A∗ ) R(A) = R(A)⊥ = N (AT ) Toán tử giả nghịch đảo A+ Ma trận giả nghịch đảo A+ Q : Y → R(A) phép chiếu trực giao Trong chương này, với A ∈ Rm,n   (AT A)−1 AT rankA = n, + A =  AT (AAT )−1 rankA = m Ta xét phương trình Ax = y với A ∈ Rm,n , y ∈ Rm cho trước Giả sử phương trình khơng có nghiệm Mục tiêu ta tìm vectơ x ∈ Rn cho chuẩn Ơclit Ax − y đạt giá trị nhỏ Lúc ta gọi x nghiệm bình phương tối thiểu phương trình Ax = y Định lý 3.2.1 [3] Cho A ∈ Rm,n , y ∈ Rm Khi 51 (i) Bài tốn min{ Ax − y : x ∈ Rn } (∗) ln có nghiệm x (ii) Nghiệm toán (∗) xác định N (A) = {0} (iii) Nghiệm tốn (*) nghiệm phương trình AT Ax = AT y Chứng minh Do A : Rn → Rm nên suy R(A), N (A) không gian vectơ khơng gian Hilbert hữu hạn chiều chúng khơng gian đóng Vì R(A) = R(A) Do Rm = R(A) ⊕ R(A)⊥ Suy với y ∈ Rm , ta có biểu diễn y = y1 + y2 với y1 ∈ R(A), y2 ∈ R(A)⊥ y1 , y2 = (i) Ta có Ax − y = Ax − y1 − y2 = Ax − y1 + y2 ≥ y2 Ở đây, ta áp dụng Định lý Pythagore với điều kiện Ax − y1 ∈ R(A), y2 ∈ R(A)⊥ Như x nghiệm (∗) x nghiệm phương trình Ax = y1 Do y1 ∈ R(A) nên x tồn Vậy toán (∗) có nghiệm (ii) Từ ý (i) ta suy tốn (∗) có nghiệm phương trình Ax = y1 có nghiệm hay N (A) = {0} (iii) Ta gọi x nghiệm (∗) Vì y1 = Ax ∈ R(A) nên y − Ax ∈ R(A)⊥ = N (AT ), suy AT (y − Ax) = hay AT y = AT Ax Vậy x nghiệm phương trình AT Ax = AT y Định nghĩa 3.2.2 [3] Cho A ∈ Rm,n , y ∈ Rm Khi vectơ x ∈ Rn gọi nghiệm bình phương tối thiểu phương trình Ax = y x nghiệm phương trình AT Ax = AT y 52 Theo kết trường hợp vô hạn chiều, ta thừa nhận L(y) := {x ∈ Rn : x nghiệm bình phương tối thiểu Ax = y} tập lồi, đóng, khác rỗng Rn Như tồn phần tử x∗ ∈ L(y) thỏa mãn x∗ = min{ x : x ∈ L(y)} Định nghĩa 3.2.3 [3] Cho A ∈ Rm,n , y ∈ Rm Khi nghiệm bình phương tối thiểu x phương trình Ax = y gọi nghiệm chuẩn tối thiểu x = min{ x : x ∈ L(y)} Trong chương này, việc sử dụng ký hiệu tương tự trường hợp vô hạn chiều chương trước Nghĩa D(A+ ) := R(A)⊕R(A)⊥ (D(A+ ) = Rm ) A+ : D(A+ ) → Rn , y→x x nghiệm chuẩn tối thiểu phương trình Ax = y Định lý 3.2.4 [3] Cho A ∈ Rm,n , y ∈ Rm Khi vectơ x := A+ y nghiệm chuẩn tối thiểu phương trình Ax = y Chứng minh Trong chương trước, chứng minh với y ∈ D(A+ ) vectơ x = A+ y nghiệm bình phương tối thiểu có chuẩn nhỏ tồn phương trình Ax = y Trong chương này, D(A+ ) = Rm nên vectơ x := A+ y nghiệm bình phương tối thiểu có chuẩn nhỏ nhất, tức nghiệm chuẩn tối thiểu Ax = y 53 Bây giờ, giả sử ma trận A ∈ Rm,n có phân tích giá trị kỳ dị A = U DV T trình bày phần trước Trong U = (u1 | |um ) ∈ Rm,m , V = (v1 | |vn ) ∈ Rn,n , D = diag(σ1 , , σr , 0, , 0) với σ1 ≥ ≥ σr > (uj ), (vj ) hệ trực chuẩn Rm , Rn chọn trình bày phần trước Khi x+ nghiệm chuẩn tối thiểu ( hiểu nghiệm bình phương tối thiểu có chuẩn nhỏ nhất) phương trình Ax = y từ định lý vừa chứng minh trên, ta biểu diễn cơng thức x+ sau r + σj−1 y, uj vj + x =A y= j=1 Ở đây, để hiểu rõ phân tích này, cần tham khảo Định lý 3.3.1 phần bên trường hợp tổng quát vô hạn chiều Từ phân tích trên, nhận thấy giá trị kỳ dị nhỏ nghiệm nhạy cảm với sai số Đồng thời từ cơng thức thấy phương pháp phân tích giá trị kỳ dị (hay cịn gọi tắt SV D) cơng cụ giải số hữu hiệu cho hệ phương trình đại số tuyến tính Ví dụ 3.2.5 Giải phương trình Ax = y ,      1     A =  1     −1 1     y = 2     Phương trình vơ nghiệm Ta tìm nghiệm x+ = A+ y Qua tính tốn, ta thu giá trị kỳ dị A σ1 = √ 3, σ2 = √ 54     1 0 v1 =   , v2 =      √ √  1/   1/  1/ 3     √  √        u1 = 1/ 3 , u2 =   , u3 = −2/ 6        √    √  √  1/ 1/ −1/  √   Suy x+ = A+ y = σ1−1 y, u1 v1 + σ2−1 3.3   −3/2 y, u2 v2 =   7/3 Ứng dụng phân tích kỳ dị nghiên cứu toán ngược Ta xét A : X → Y tốn tử compact hai khơng gian Hilbert X, Y Gọi (σj , ej , fj )j∈J hệ kỳ dị A Để giải phương trình Ax = y , đưa định nghĩa nghiệm suy rộng x+ = A+ y phần trình bày chương trước Chúng ta hiểu việc giải ngược tốn Chính vậy, để thấy rõ mối liên hệ phân tích giá trị kỳ dị giải toán ngược, vào kết quan trọng sau Định lý 3.3.1 [3] Cho A : X → Y tốn tử compact hai khơng 55 gian Hilbert X, Y (σj , ej , fj )j∈J hệ kỳ dị A Khi ∞ ∞ σj−1 + A y= σj−1 y, fj ej , y ∈ D(A+ ) Qy, fj ej = j=1 j=1 Chứng minh Nhận thấy Qy ∈ R(A) y ∈ D(A+ ) Do theo tiêu chuẩn Picard chứng minh chương trước, ta có ∞ σj−2 | Qy, fj |2 < ∞ j=1 Vì fj ∈ R(A) với j ∈ N nên Qy, fj = y, Qfj = y, fj Từ ta suy chuỗi ∞ ∞ σj−1 σj−1 y, fj ej Qy, fj ej , j=1 j=1 hội tụ Do ej ∈ N (A)⊥ , suy vectơ ∞ σj−1 Qy, fj ej x := j=1 thuộc N (A)⊥ Hơn ∞ ∞ σj−1 Ax = j=1 Qy, fj Aej = Qy, fj fj = Qy j=1 Qy ∈ R(A) span{fj : j ∈ N} = R(A) (theo Định lý 2.2.10) Vì x nghiệm bình phương tối thiểu Ax = y N (A)⊥ hay x = A+ y Tiếp theo, chúng tơi trình bày ví dụ cách chi tiết để người đọc hình 56 dung rõ ứng dụng phân tích kỳ dị giải toán ngược Xét A : (L2 ([0, 1]), ) → (L2 ([0, 1]), ), x → Ax Ax : [0, 1] → R t t→ x(s)ds Ta A xác định, tuyến tính liên tục Trước hết ta xét bổ đề sau Bổ đề 3.3.2 Cho a < b, u ∈ L2 ([a, b]) Khi b b u(t)dt ≤ a u(t) dt ≤ √ b−a u L2 ([a,b]) a Chứng minh Bất đẳng thức Ta chứng minh bất đẳng thức thứ hai b u(t) dt ≤ √ b−a u L2 ([a,b]) a Thật theo bất ng thc Hăolder thỡ b b u(t) 1dt u(t) dt = a a b ≤ = b 12 dt u(t) dt √ a b−a u a L2 ([a,b]) 57 Trở lại tốn, ta có với x ∈ L2 ([0, 1]) t x(s)ds ∀t ∈ [0, 1] , Ax(t) = từ sử dụng Bổ đề 3.3.2 ta có 1 (Ax(t))2 dt = t x(s)ds dt ≤ x L2 ([0,t]) tdt x L2 ([0,1]) tdt ≤ = x 2 L2 ([0,1]) < ∞ Vì x ∈ L2 ([0, 1]) nên Ax ∈ L2 ([0, 1]), điều có nghĩa A xác định Dễ thấy A(α1 x1 + α2 x2 ) = α1 Ax1 + α2 Ax2 ∀α1 , α2 ∈ R, ∀x1 , x2 ∈ L2 ([0, 1]) Do A tuyến tính Ngồi từ (Ax(t)) dt ≤ x L2 ([0,1]) với x ∈ L2 ([0, 1]), suy Ax L2 ([0,1]) ≤√ x L2 ([0,1]) với x ∈ L2 ([0, 1]) Vậy A liên tục A ≤ √1 Tóm lại việc định nghĩa A rõ ràng, ngồi A cịn tuyến tính liên tục Ta có tốn ngược sau: Cho y ∈ L2 ([0, 1]), liệu có tồn x ∈ L2 ([0, 1]) mà Ax = y ? Dựa kiến thức trình bày luận văn, ta giải tốn bình phương tối thiểu tương ứng Cụ thể hơn, ta A compact, từ tính A∗ , hệ kỳ dị A A+ Chứng minh A compact: Ta lấy dãy (xn )n L2 ([0, 1]) bị chặn, nghĩa tồn M > cho xn L2 ([0,1]) ≤ M với n ∈ N Ta dãy (Axn )n có dãy hội tụ 58 cách áp dụng Định lý Arzelà-Ascoli Xét x tùy ý thuộc L2 ([0, 1]) mà x L2 ([0,1]) ≤ M , ta có t1 Ax(t1 ) − Ax(t2 ) = t2 x(s)ds − x(s)ds 0 t2 = x(s)ds t1 ≤ ≤ √ t1 − t2 x √ t1 − t2 x √ ≤ M t1 − t2 L2 ([t2 ,t1 ]) L2 ([0,1]) với ≤ t2 < t1 ≤ Do x tùy ý thuộc L2 ([0, 1]) cho x L2 ([0,1]) ≤ M , ta suy dãy (Axn )n đồng liên tục đều, nói riêng Axn ∈ C ([0, 1]), ∀n Ngồi từ bất đẳng thức trên, cho t2 = < t1 = t ≤ 1, ta nhận √ |Ax(t)| ≤ M t ≤ M, ý Ax(0) = Suy dãy (Axn )n bị chặn điểm (thậm chí bị chặn đều) Axn (0) = 0, ∀n |Axn (t)| ≤ M, ∀0 < t ≤ 1, ∀n Theo Định lý ArzelàAscoli, (Axn )n có dãy hội tụ hàm thuộc C ([0, 1]) theo chuẩn ∞ Hiển nhiên kết hội tụ thuộc C ([0, 1]) nên thuộc L2 ([0, 1]); dãy hội tụ theo chuẩn ∞ C ([0, 1]) hội tụ theo chuẩn Ta tính liên hợp A∗ : Bổ đề 3.3.3 t f (t) g(s)dsdt = g(s) f, g hàm khả tích [0, 1] Chứng minh Ta dùng Định lý Fubini f (t)dtds, s L2 ([0, 1]) 59 Để ý tập T = {(s, t) ∈ R2 : ≤ t ≤ 1, ≤ s ≤ t} viết lại tương đương T = {(s, t) ∈ R2 : ≤ s ≤ 1, s ≤ t ≤ 1} Áp dụng Định lý Fubini, ta có điều phải chứng minh Bây ta dùng bổ đề để tính A∗ Ta có với x ∈ X = L2 ([0, 1]) z ∈ Y = L2 ([0, 1]) Ax, z L2 ([0,1]) = t z(t) x(s)dsdt = s z(t)dt Suy A∗ z(s) = 1 x(s) z(t)dtds s với s ∈ [0, 1] Cuối ta tính hệ kỳ dị A: Xét σ > mà A∗ Ax = σ x Điều có nghĩa τ x(s)dsdτ, ∀t ∈ [0, 1] (1) σ x(t) = t Từ (1) ta có x(1) = Đạo hàm hai vế (1) theo t, ta t σ x (t) = − x(s)ds, ∀t ∈ [0, 1] (2) Từ (2) ta có x (0) = Đạo hàm hai vế (2) theo t, ta σ x (t) = −x(t), ∀t ∈ [0, 1] (3) Phương trình (3) phương trình vi phân bản, nghiệm có dạng x(t) = α cos t σ + β sin t σ , t ∈ [0, 1] 60 Từ x (0) = ta có β = Từ x(1) = ta có cos σ π = + kπ (k ∈ Z) Do σ > nên σ 2 π = + jπ (j ∈ N), hay σj = ta lấy σj π(2j + 1) = 0, suy t σj Xét ej (t) = αj cos , t ∈ [0, 1] ej 2L2 ([0,1]) = αj2 cos Do vậy, để đảm bảo ej L2 ([0,1]) ej σj fj (t) = A t σj v=t/σj dt = αj2 cos vdv = 1/σj αj2 σj = 1, ta lấy αj = (t) = √ sin t σj √ Từ , t ∈ [0, 1] Vậy hệ kỳ dị A σj = √ , ej (t) = cos π(2j + 1) t σj , fj (t) = Cuối với y ∈ D(A+ ), Định lý 3.3.1 nói rằng: ∞ σj−1 y, fj + A y= j=1 σj , ej , fj xác định L2 ([0,1]) ej √ sin t σj 61 KẾT LUẬN CHUNG Trong luận văn này, chúng tơi trình bày số vấn đề sau: - Hệ thống lại số kiến thức sở Giải tích hàm thơng qua việc nhắc lại định nghĩa, tính chất quan trọng để phục vụ cho luận văn - Trình bày số định nghĩa, tính chất nghiệm bình phương tối thiểu, nghịch đảo suy rộng, đồng thời chứng minh đưa ý nghĩa quan trọng tiêu chuẩn Picard - Trình bày phương pháp phân tích giá trị kỳ dị cho ma trận thực đưa số ứng dụng phương pháp bình phương tối thiểu đại số tuyến tính giải tốn ngược Tài liệu tham khảo [1] Hồng Tụy, Hàm thực Giải tích hàm, Nhà xuất Giáo dục Việt Nam, 2017 [2] Phạm Kỳ Anh - Trần Đức Long, Giáo trình Hàm thực Giải tích hàm, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội, 2001 [3] J Baumeister, Stable Solution of Inverse Problems, Friedr Vieweg & Sohn, Braunschweig/Wiesbaden, 1987 [4] H Engl, M Hanke, and A Neubauer Regularization of Inverse Problems Kluwer Acadademics, Dordrecht, Netherlands, 1996 [5] A Kirsch, An Introduction to the Mathematical Theory of Inverse Problems, 2011 62 ... thống kê Hệ phương trình trường hợp xét thường hệ mà có số phương trình lớn số biến Các tốn bình phương tối thiểu chia thành hai loại: bình phương tối thiểu tuyến tính bình phương tối thiểu phi... văn này, nghiên cứu phương pháp bình phương tối thiểu cho hệ phương trình tuyến tính Cụ thể là, chúng tơi tập trung trình bày cách hệ thống số tính chất nghiệm bình phương tối thiểu, phương pháp. .. liên hệ phương pháp bình phương tối thiểu phương pháp phân tích giá trị kỳ dị trường hợp cho toán tử Tới chương này, đối tượng làm việc ma trận Như vậy, để mơ tả phương pháp bình phương tối thiểu