khaûo saùt haøm soá

Vieát phöông trình tieáp tuyeán cuûa ñoà thò haøm soá (1), bieát tieáp tuyeán ñoù caét truïc hoaønh, truïc tung laàn löôït taïi hai ñieåm phaân bieät A, B vaø tam giaùc OAB caân taïi go[r]

 Chuyên đề 1: KHẢO SÁT HAØM SỐ

 Vấn đề 1: GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ

A PHƯƠNG PHÁP GIẢI

1/ Một số dạng vô định thường gặp: 0;



;   ; 0

Chú ý: Các trường hợp sau dạng vô định

(+) + (+) = +  (+) – (–) = +  (–) + (–) = –  a (a 0)

0   

a 0 (a 0)

  a.   (a 0) 2/ Khử dạng vô định

 Hàm số có chứa căn: Nhân chia với biếu thức liên hợp

 Hàm số có chứa lượng giác: Biến đổi để sử dụng ba giới hạn quen thuộc

x sinx

lim

x

  , x tan x

lim

x

  , x cosx lim

2 x



   Dạng vô định

0 x  a: Phân tích tử số mẫu số để có (x – a) làm nhân tử chung

 Daïng vô định 

: Đặt số hạng bậc cao tử số mẫu số làm thừa số chung

 Dạng vô định   , 0 : Biến đổi đưa dạng 0

  B ĐỀ THI

Baøi 1:

Tìm giới hạn

x

x x

I lim

x



  



Giaûi

Giới hạn I có dạng vơ định 0

Ta coù:

x

x 1 x

I lim

x



    

 =

x

x 1 x 1

lim +

x x



     

 

 

 

  

 

1 x 0 x 0

x 1 x 1

x 1

I lim lim

x x x 1

 

   

 

 

Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học –

 

x x

x 1 1

lim lim

2 x 1 x x 1

                                            

3 3

3

2 x 0 x 0 2

3

x 1 x x 1

x 1

I lim lim

x x x 1 x 1

   2

x 3 x 03

1 x 1

lim lim

3

x x 1

x x x 1

                    

Vaäy I = I1 + I2 = 1

2 6 

Bài 2: ĐỀ DỰ BỊ

Tìm giới hạn I = 2

x

3x 2x

lim cosx      Giaûi

Giới hạn I có dạng vơ định 0

Ta có    

                       

3 2 3

2

x x 2

3x 1 2x 1 3x 1 1 2x 1 1

I lim x lim x x

2sin 2sin 2sin

2 2

                                                 

3 2

1 x 0 x 0 2

2 2 3 2 3 2

2

x 3

3x 1 3x 1

I lim lim

x x

2sin 2sin 3x 1 3x 1 1

2 2

x

1 2

lim

x

sin

3x 3x 1 2

                           2

2 x 0 x 0 2

2

x

2x 2

I lim lim

x 2x 1 1 x

2sin 2x 1 sin

2

Vaäy I = I1 + I2 =

Bài 3: ĐỀ DỰ BỊ Tìm giới hạn L =

      x

x 6x

lim

Giaûi

Giới hạn L có dạng vơ định 0 Ta có L =

 

  

 

 

     

  

 

5

6

2

x x

x x x x x x

x 6x

lim lim

x x

=    

 



    



2

2 x

x x 2x 3x 4x

lim

x

=  

     

4

x

lim x 2x 3x 4x 15

 Vấn đề 2: TÍNH CHẤT ĐƠN ĐIỆU CỦA HAØM SỐ A PHƯƠNG PHÁP GIẢI

1/ Định nghóa:

Hàm số f xác định khoảng (đoạn nửa khoảng) K x1, x2 K

 Hàm số f gọi đồng biến K x1 < x2 f(x1) < f(x2)

 Hàm số f gọi nghịch biến K x1 < x2 f(x1) > f(x2)

Định nghĩa kết hợp với định lý sử dụng để chứng minh bất đẳng thức.

2/ Định lí:

Hàm số f có đạo hàm khoảng K

 Nếu f'(x) > 0, x  K hàm số f đồng biến K  Nếu f'(x) < 0, x  K hàm số f nghịch biến K

Định lý thường ứng dụng cho dạng tốn sau:

Dạng 1: Tìm tham số để hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến).

Thường sử dụng dấu tam thức bậc hai P(x) = ax2 + bx + c (a  0)

* P(x)  0, x       

 

 

0 a b

hay

a c

* P(x)  0, x       

 

 

0 a b

hay

a c

Dạng 2: Tìm tham số để hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) khoảng (a; b).

Hàm số y = f(x, m) đồng biến (hoặc nghịch biến) khoảng (a; b)  y'  (hoặc y'  0), x(a; b) dấu "=" xảy hữu hạn điểm (*) Thông thường điều kiện (*) biến đổi hai dạng: (*) h(m)  g(x), x(a; b)  h(m) 

Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học – (*) h(m)  g(x), x(a; b)  h(m) 

min g(x) a; b

(Xem Vấn đề 4: GTNN – GTLN hàm số, để xác định a; b

maxg(x) vaø

min g(x)) a; b

Dạng 3: Tìm tham số để phương trình (hệ phương trình) có nghiệm.

Biến đổi phương trình cho dạng g(x) = h(m)

Lập bảng biến thiên cho hàm số y = g(x) dựa vào bảng biến thiên để kết luận

Chú ý: Nếu tốn có đặt ẩn số phụ phải xác định điều kiện cho ẩn số phụ B ĐỀ THI

Bài 1: CAO ĐẲNG KHỐI A, B, D NĂM 2009 Cho a b hai số thực thỏa mãn < a < b < Chứng minh rằng: a2lnb  b2lna > lna  lnb

Giaûi

Bất đẳng thức cho tương đương với: (a2 + 1)lnb > (b2 + 1)lna  

 

2

ln b lna

b a

Xét hàm số f(x) lnx2 ; x

x

  



f (x) x2 2x lnx2 22 0, x (0; 1) x(x 1)

  

    

 f đđồng biến (0; 1)

Mặt khác < a < b < neân: f(b) > f(a)  

 

2

ln b lna

b a (Điều phải chứng minh)

Bài 2: ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2008

Tìm giá trị tham số m để phương trình sau có hai nghiệm thực phân biệt: 42x 2x x x m     (m )

Giaûi

Xét hàm số f(x)42x 2x x x      Tập xác ñònh: D = [0; 6]



3

4

1 1 1

f (x)

2 (2x) 2x (6 x) x

    



         

      

         

     

   

   

 

3 2

4

4

1 1 1

2 (2x) (6 x) 2x 6 x

          



 

  

4  4 4   4 

1 1 1 1

2

2x x (2x) 2x x (6 x) 2x x

 Vì     

    

4 4  4

1 1 1

2 (2x) 2x x (6 x) 2x 6 x > 0, x  (0; 6)

Neân          



4

4

1

f (x) 0 2x x x

2x x

 Bảng biến thiên:

x

f'(x) + 

f(x) 44  4

4 

2 6 412 12

Dựa vào bảng biến thiên ta có:

Phương trình f(x) = m có nghiệm phân biệt  64  m 4   4  4 CÁCH KHÁC Đặt g(u)4u u

3

/ 4 2

g (u) u u

4

 

  ;

7

// 4 2

g (u) u u 0, u (0;6)

16

 

     

Vậy g hàm giảm ( nghiêm cách ), Ta coù f(x) g(2x) 2g(6 x)/    Suy f (x) 2g (2x) 2g (6 x)/  /  / 

Neân) f (x) 0  g (2x) g (6 x)/  /  2x x (   g giaûm ) /

 x Suy f (x) 2g (2x) 2g (6 x) 0/  /  /   2x x   x f (x) 0/  g (2x) g (6 x)/  /  2x x  (do g giảm)/  x 2 Bài 3: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2007

Tìm giá trị tham số m để hệ phương trình sau có nghiệm thực:

3

3

1

x y

x y

1

x y 15m 10

x y

     



     



Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học –

 Đặt x u, y v (Đk : u 2, v 2)

x y

     

 Hệ cho trở thành:

  

     

 

        

    

 

 3  2

u v u v

u v u v uv 3(u v) 15m 10

u v 3(u v) 15m 10

   

   

         

  



2 u v

u v u v 3uv 3(u v) 15m 10

 

   

      

   

2 u v

5 3uv 3(5) 15m 10

      



u v

uv m

 Khi u, v (nếu có) nghiệm phương trình: t2 5t + – m = hay t2 5t + = m (1)

 Hệ cho có nghiệm phương trình (1) có nghiệm t = t1, t = t2

thỏa mãn: t1 2, t2 2 (t1, t2 không thiết phân biệt)

 Xét hàm số f(t) t 2 5t với t :  Suy f'(t) = 2t – f'(t) =  t =

2 Bảng biến thiên

t  2 5/2 + f'(t)   + f(t)

+

22

+

7/4

 Từ bảng biến thiên hàm số suy hệ cho có nghiệm

7m 2

4 m  22

Bài 4: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2007

Cho a  b > Chứng minh rằng: 2a 1a b 2b 1b a

2

     

   

   

Giaûi

Bất đẳng thức cho tương đương với:

 

 a b  b a   a   b ln(1 ) ln(1 )a  b

(1 ) (1 ) bln(1 ) aln(1 )

Xét hàm số f(x) ln(1 )x x 

 với x >

Ta coù:  

 

  

x

x x

2 ln4 x ln 4

f (x)

x

  





x x x

2 x

x.4 ln4 (1 )ln(1 ) x (1 )

    

 





x x x x

2 x

4 ln4 ln(1 ) ln(1 )

x (1 )

Nhận xét :  4x < + 4x ln4xln(1 ) x  + 4x >  ln(1 ) 0 x  Do f'(x) < 0, x >

Suy f(x) nghịch biến khoảng (0; +) Mặt khác a  b > nên:

f(a)  f(b)  ln(1 ) ln(1 ) a   b

a b (Điều phải chứng minh)

Bài 5: ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2007

Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực: x m x x    21

Giải

 Điều kiện: x 

 Chia hai vế phương trình cho x 1 , phương trình cho tương đương với x m 24 2x

x x

 

 

 

x x

m (1)

x x

 

   

 

 Đặt    x t

x 1, phương trình (1) trở thành 3t

2 + 2t = m (2)

Vì    

 

4 x

t

x x 1và x  nên  t <  Xét hàm số f(t) = 3t2 + 2t, với  t <

Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học –

t

3 f(t) 13

0 1  Dựa vào bảng biến thiên ta có:

Phương trình cho có nghiệm  (2) có nghiệm t  [0; 1)  m   

Bài 6: ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2007

Chứng minh với giá trị dương tham số m, phương trình sau có hai nghiệm thực phân biệt: x22x 8  m(x 2)

Giaûi

 Điều kiện: m(x – 2)   x  (Do xét m > 0)  Phương trình cho tương đương với

x x 4    m x 2  x x 4   2m x 2  

     

 x 2  x x 4  2m0   

   

 x

x 6x 32 m

 Nhận xét: Phương trình cho ln có nghiệm dương x = 2, nên từ yêu cầu toán, ta cần chứng minh phương trình: x3 + 6x2 32 = m (1) có

nghiệm khoảng (2; +)

 Xét hàm số f(x) = x3 + 6x232, với x >

Ta coù: f'(x) = 3x2 + 12x > 0,  x

Bảng biến thiên:

x + f'(x) +

f(x) +

 Từ bảng biến thiên ta thấy với m > 0, phương trình (1) ln có nghiệm khoảng (2; +)

Vậy với m > phương trình cho ln có hai nghiệm thực phân biệt

Xác định m để phương trình sau có nghiệm

m x   x 22 x  x  x 

Giải

 Điều kiện: 1  x 

 Đặt t = x  x   t2 2 x  Điều kiện:  t 

 Phương trình cho trở thành: m (t + 2) =  t2 + t  m t2 t

t    

  Xét hàm số f(t) =   



t t

t , với  t   f'(t) =

 

2

t 4t

t

 

 , f'(t) =  t = 0, t = 4

 Bảng biến thiên

t f’(t) 

f(t)

21

Từ bảng biến thiên hàm số suy phương trình cho có nghiệm   m 

Bài 8: ĐỀ DỰ BỊ

Cho hàm số     

2

x 5x m

y

x (1) (m tham số) Tìm m để hàm số (1) đồng biến khoảng (1; +)

Giaûi

Ta coù:     



2

2

x 6x m

y

(x 3)

 Hàm số y đồng biến (1; +)  y'  0,  x

 x2 + 6x +  m2 0,  x  x2+ 6x +  m2,  x

 Xeùt hàm số g(x) = x2 + 6x + 9,  x 1

g'(x) = 2x + > 0,  x

Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học –

x

min g(x) m

   g(1) = 16  m

2 4  m  Baøi 9:

Chứng minh rằng: ex cosx x x2

    , x 

Giaûi

Ta chứng minh hai bất đẳng thức sau:

1/ ex    1 x, x

2/ cosx x2, x

   

 Chứng minh ex   1 x, x

Xét hàm số f(x) = ex x   f'(x) = ex  f'(x) =  x =

Bảng biến thiên:

x  + f'(x)  +

f(x)

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy

f(x)  0, x  ex    x 1, x (1)  Chứng minh: cosx x2, x

2

   

Xeùt hàm số g(x) = cosx  + x2

Vì g(x) hàm số chẵn nên ta cần xét x  đủ  g'(x) = sinx + x

 g"(x) = cosx + 

 g'(x) đồng biến, x 0   g'(x)  g'(0) = 0, x 0   g(x) đồng biến, x 0   g(x)  0, x 0 

 cosx + x2 0, x cosx x2; x (2)          Từ (1) (2) suy ex + cosx  + x x ; x2

2

Bài 10: ĐỀ DỰ BỊ

Cho hàm số y = x2 2x m x

 

 (1) (m tham số) Xác định m để hàm số (1) nghịch biến đoạn [1; 0]



 

2

2

x 4x m

y

x     



 Hàm số nghịch biến đoạn [1; 0]  y'  0, x  [1; 0]

 x2 – 4x + – m  0, x  [1; 0]  x2 – 4x +  m, x  [1; 0]

 Xét hàm số g(x) = x2 – 4x + 4, x  [1; 0]; g'(x) = 2x –

Bảng biến thieân:

x  1 + g'(x)    +

g(x)

 Dựa vào bảng biến thiên, suy ra:

1;

m Max f(x) m

 

 

  

Baøi 11: CAO ĐẲNG GTVT III

Tìm giá trị tham số m để phương trình sau có nghiệm dương:

2

x 4x m 4x x   

Giải

 Đặt t x24x 5 , ta coù

2 x t

x 4x

  

  vaø t’ =  x = x +

t'  +

t 5 +

 Từ bảng biến thiên suy ra: + Điều kiện cho ẩn phụ là: t 

+ Ứng với giá trị t  1; 5 cho hai giá trị x dương + Ứng với giá trị t   5; + cho giá trị x dương  Phương trình cho trở thành: m = t2 + t  (1)

Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học –

t 5 +

f'(t) + +

f(t) +

3

Nhận xét phương trình (1) có nhiều nghiệm t  Vậy phương trình cho có nghiệm x >

phương trình (1) có nghiệm t1;   m  

Bài 12: CAO ĐẲNG KINH TẾ ĐỐI NGOẠI

Xác định m để phương trình sau có nghiệm thực: x = x + m

Giải

 Đặt t = x 1 Điều kiện t 

 Phương trình cho trở thành : 2t = t2 – + m  m = t2 + 2t +

 Xét hàm số y = t2 + 2t + 1, t  Ta có y' = 2t + y' =  t =

t + y' + 

y

1 

 Từ bảng biến thiên hàm số suy phương trình cho có nghiệm m 

 Vấn đề 3: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

A PHƯƠNG PHÁP GIẢI A TỔNG QUÁT

1. Hàm số f có cực trị  y' đổi dấu

2. Hàm số f khơng có cực trị  y' khơng đổi dấu

3. Hàm số f có cực trị  y' đổi dấu lần

4. Hàm số f có cực trị (cực đại cực tiểu)  y' đổi dấu lần

5. Hàm số f có cực trị  y' đổi dấu lần

6. Hàm số f đạt cực đại x0

7. Hàm số f đạt cực tiểu x0

0 f (x ) f (x )

8. Hàm số f có đạo hàm đạt cực trị x0 f (x ) 0

9. Hàm số f có đạo hàm đạt cực trị c x = x0

0 f (x ) f(x ) c

Chú ý :Đối với hàm số bất kì, hàm số đạt cực trị điểm mà đạo hàm triệt tiêu đạo hàm không xác định

B CỰC TRỊ CỦA HAØM SỐ BẬC

y = ax3 + bx2 + cx + d, y' = 3ax2 + 2bx + c

1. Đồ thị có điểm cực trị nằm phía Ox  Hàm số có hai giá trị cực trị dấu 

CÑ CT a

y

y y

     

 

 2. Đồ thị có điểm cực trị nằm phía Ox

 Hàm số có hai giá trị cực trị trái dấu 

CÑ CT a

y

y y

     

 

 3. Cho đường thẳng d: Ax + By + C =

Gọi M1(x1; y1) M2(x2; y2) điểm cực đại cực tiểu đồ thị

Khoảng cách đại số từ M1 M2 đến đường thẳng d :

t1 = 1

2

Ax By C

A B

 

 t2 =

2

2

Ax By C

A B

 

  Đồ thị có điểm cực đại, cực tiểu hai phía d



1

y có nghiệm phân biệt x , x t t

  

 



 Đồ thị có điểm cực trị phía đường thẳng d



1

y có nghiệm phân biệt x , x

t t   

 



4. Hàm số đạt cực trị x1, x2 thỏa hệ thức F(x1, x2) = (1)

 Điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu là: y' = có nghiệm phân biệt x1, x2 a

y     

Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học –

 x1 x2 thỏa hệ thức (1) 

1 2

b

x x

a c

x x a

Hệ thức (1)     



 

  

 Giải hệ suy m So với điều kiện nhận hay loại giá trị m

5. Đường thẳng qua điểm cực trị đồ thị hàm số bậc ba Lấy y chia cho y' giả sử ta được: y = (ux + v).y' + mx + n (*)

Gọi A(x0; y0) cực trị đồ thị y'(x0) = tọa độ điểm A thỏa phương

trình (*): y0 = (ux0 + v).y'(x0) + mx0 + n  y0 = mx0 + n

Do đường thẳng qua điểm cực trị đồ thị có phương trình y = mx + n C CỰC TRỊ CỦA HAØM SỐ BẬC TRÙNG PHƯƠNG

y = ax4 + bx2 + c

y' = 4ax3 + 2bx

y' =  2x(2ax2 + b) = 0  

  

x

2ax b (1)

 Hàm số có cực trị  (1) có nghiệm phân biệt khác  a.b <  Hàm số có cực trị

 (1) vô nghiệm có nghiệm kép có nghiệm

 a vaø b

a vaø ab

 



  



Chú ý :Nếu đồ thị hàm số bậc trùng phương có cực trị cực trị ln tạo thành tam giác cân đỉnh nằm trục tung

D CỰC TRỊ CỦA HAØM SỐ HỮU TỈ y = ax +bx +cb x +c2  y' =

 

  



2

ab'x 2ac'x bc' cb'

b'x c' ,

y' =  g(x) = ab'x2 + 2ac'x + bc' – cb' = (b'x +c'  0) 1. Hàm số có cực đại cực tiểu  y' = có nghiệm phân biệt

    

ab g

( Khi g(x) = có nghiệm phân biệt hiển nhiên nghiệm thỏa b'x +c'  0)

2. Hàm số khơng có cực trị  y' = vơ nghiệm có nghiệm kép

      

 

 CÑ CT ab

g

y y

   

  

  

 



   

 

ab

hoặc g

y có nghiệm phân biệt

4. Đồ thị có điểm cực trị nằm hai phía Ox 

     

 

 CÑ CT ab

g

y y

ab

hoặc

y vô nghiệm



   

   



 

5. Đường thẳng qua điểm cực trị đồ thị hàm số hữu tỉ y = ax2 bx c u(x)

a x b   v(x) (*)  y' = u v v u

v    Gọi A(x0; y0) cực trị đồ thị

 Tọa độ điểm A thỏa phương trình (*): 0 0 u(x ) y

v(x )   y'(x0) =         

 

0 0

2

u x v x v x u x

0 v x

  

 u x v x   0 0 v x u x   0 0

  

 00   00

u x u x

v x v x

 

  0

2ax b

y

a 

 

Vậy đường thẳng qua điểm cực trị đồ thị có phương trình y2ax ba B ĐỀ THI

Bài 1: ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2011

Cho hàm số y x 42(m 1)x 2m (1), m tham số

Tìm m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị A, B, C cho OA = BC, O gốc tọa độ, A điểm cực trị thuộc trục tung, B C hai điểm cực trị cịn lại

Giải

Ta có: y' = 4x3 – 4(m + 1)x

y' =  x = x2 = m +

 Hàm số có ba cực trị  Phương trình y' = có ba nghiệm  m + >  m > –1

 Khi m > –1 y' =  x = x =  m 1

Suy A(0; m), B m 1; m  2 m 1 vaø C m 1; m   2 m 1 Ta coù: OA = BC  m2 = 4(m + 1)  m 2 2  (thoûa m > –1)

Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Tốn học –

Bài 2: CAO ĐẲNG KHỐI A, B, D NĂM 2009

Cho hàm số y = x3 – (2m – 1)x2 + (2 – m)x + (1), với m tham số thực

Tìm giá trị m để hàm số (1) có cực đại, cực tiểu điểm cực trị đồ thị hàm số (1) có hồnh độ dương

Giải

 Tập xác định: D , y' =  3x2 – 2(2m – 1)x + – m = (*)

 Yêu cầu toán tương đương với

Phương trình (*) có hai nghiệm dương phân biệt

 

2

4m m

0

2 m

P 3

S 2m

0

   

 

 

  

  

  

   

  



5

m hay m

4 5

m m

4

m

   

 

    

   

Bài 3: ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2007

Cho hàm số: y = – x3 + 3x2 + 3(m2 – 1)x – 3m2 – (1), m tham số

Tìm m để hàm số (1) có cực đại, cực tiểu điểm cực trị đồ thị hàm số (1) cách gốc tọa độ O

Giaûi  Tập xác định: D

Ta coù: y' = 3x2 + 6x + 3(m2 1)

y' =  x2 2x  m2 + = (2)

 Hàm số (1) có cực trị  (2) có nghiệm phân biệt ∆' = m2 >  m 

Khi y' = 

3

x m y 2m

x m y 2m

       

       

 Gọi A, B điểm cực trị đồ thị hàm số (1) A(1  m; 2  2m3), B(1 + m; 2 + 2m3)

 O cách A B  OA = OB  8m3 = 2m  m 1

2 (vì m  0)

Bài 4: CAO ĐẲNG KỸ THUẬT CAO THẮNG NĂM 2007 Cho hàm số   



x mx

y

x m , (1) (m tham số)

1/ Tìm m để hàm số (1) có hai giá trị cực trị trái dấu

2/ Tìm m để hàm số (1) đạt cực đại x =

1/ Hai giá trị cực trị trái dấu

 Đồ thị hàm số (1) không cắt trục hoành

 x2 + mx + = vô nghiệm  = m2 – < 2 < m < Caùch khác:

Nghiệm y' = laø x1 = m + 1, x2 = m –

Ta coù y(x1) =  m + 2, y(x2) =  m –

Hai giá trị cực trị trái dấu  y(x1).y(x2) <

 ( m + 2)(  m – 2) < 2 < m <

2/  Tập xác định: D = \ m vaø        

2

2

x 2mx m

y

(x m) Hàm số đạt cực đại x = y'(2) = Nghĩa là: m2 + 4m + =  m = 1  m = 3

Khi m = 1    

2

x 2x

y

(x 1) , y' =  x =  x = Bảng biến thiên:

x  + y' +   + y



+

Hàm số không đạt cực đại x = Khi m = 3 y x2 6x 82 ,

(x 3)

 

 

 y' =  x =  x = Bảng biến thieân:

x  + y' +   + y



+ Hàm số đạt cực đại x =

Kết luận m = 3, giá trị cực đại tương ứng y(2) =

Bài 5: ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2007

Cho hàm số y x2 2(m 1)x m2 4m x

   



 (1), m tham số

Tìm m để hàm số (1) có cực đại cực tiểu, đồng thời điểm cực trị đồ thị với gốc tọa độ O tạo thành tam giác vuông O

Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học –

 Tập xác định: D = \ vaø   y x2 4x m2 (x 2)

  

 

  Hàm số (1) có cực đại cực tiểu

 g(x) = x2 + 4x +  m2 có nghiệm phân biệt

( Khi g(x) = có nghiệm phân biệt nghiệm thỏa x 2)      4 m2 0 m 

 y' =  x m y

x m y 4m

      

       

Gọi A, B điểm cực trị đồ thị hàm số (1)  A(2 m; 2), B(2 + m; 4m  2)

Do OA ( m 2; 2) 0     , OB (m 2; 4m 2) 0    Neân ba điểm O, A, B tạo thành tam giác vuông taïi O

 OA.OB  m2 8m + =  m  4 (thỏa mãn m  0)

Vậy giá trị cần tìm là: m  4

Bài 6: ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2005 Gọi (Cm) đồ thị hàm số y =

2

x (m 1)x m

x

   

 (m tham số)

Chứng minh với m bất kỳ, đồ thị (Cm) ln có điểm cực đại, điểm cực

tiểu khoảng cách hai điểm 20

Giải

Ta coù: y = x + m + x 1 Tập xác định : D = \{1}

y' =   

 

1 x(x 2)

(x 1) (x 1) ; y' =  x =  hay x =

Đồ thị hàm số ln có hai điểm cực trị M(2; m3) N(0; m + 1) đồng thời MN = 0 ( 2)   2 (m 1) (m 3)   2  20 (Điều phải chứng minh)

Bài 7: ĐỀ DỰ BỊ

Cho hàm số y = x4 2m2x2 + (1) với m tham số

Tìm m để đồ thị hàm số (1) có điểm cực trị đỉnh tam giác vng cân

Giải

 y' =  x(x2 – m2) = 

   



   



      

4

x y

x m y m

x m y m

 Hàm số có cực trị  y' = có nghiệm phân biệt  m   Ba điểm cực trị đồ thị A(0; 1), B(m; – m4), C(m; – m4)

 Ta coù: ABm; m , AC 4    m; m4

 Vì y hàm chẳn nên tam giác ABC ln cân A Do đó: Tam giác ABC vuông cân  AB AC AB.AC 0

m2 + m8 =     

   

m loại

m

Vaäy m = 

Bài 8: ĐỀ DỰ BỊ

Cho hàm số  

 

2

x 2m x m m

y

2 x m

    



 (1) (m tham số)

Tìm m để hàm số (1) có cực trị tính khoảng cách hai điểm cực trị đồ thị hàm số (1)

Giải  Tìm m để hàm số có cực trị

Tập xác định: D = \{m} y' =

 

  



2

2

x 2mx m

2 x m ;

y' = có nghiệm phân biệt  g(x) = x2 + 2mx + m2 – = (*)

coù nghiệm phân biệt

( Khi g(x) = có nghiệm phân biệt nghiệm thỏa x m) Hàm số có cực trị  (*) có nghiệm phân biệt

  g m2m2 4

Vậy với m hàm số ln có hai cực trị  Tính độ dài hai điểm cực trị

Gọi A(x1; y1), B(x2; y2) hai điểm cực trị đồ thị hàm số Khi đó:

 x1, x2 nghiệm (*) Theo Viét ta coù: x1 + x2 = 2m, x1.x2 = m2 –

 y1 = 2x1 2m

2

 

vaø y2 = 2x2 2m

2

 

Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học –

Ta coù AB x1x2 2 y1y22  x 1x22  x 1x228x x 1 2  8m28 m 24  32 2

Baøi 9:

Cho haøm soá y = x3 + 3mx2 + 3(1  m2) x + m3 m2 (1) (m tham số)

Viết phương trình đường thẳng qua điểm cực trị đồ thị hàm số (1)

Giải

 Tập xác định: D

Ta coù y' = 3x2 + 6mx + (1  m2)

y' =  x2 2mx + m2 = coù ' = > 0, m

Do phương trình y' = ln có nghiệm phân biệt, nghĩa hàm số (1) ln có cực trị với m

 Ta coù y1x m y 2x m m    

3 (*)

Gọi A(x0; y0) cực trị đồ thị hàm số (1) y'(x0) = tọa độ điểm A

thỏa phương trình (*):

y0 1x0m y' x  0 2x0 m m2

3 y0 2x0 m m2

Vậy đường thẳng qua điểm cực trị đồ thị hàm số (1) có phương trình

y = 2x + m  m2

Bài 10: ĐỀ DỰ BỊ

Cho hàm số y = (x  m)3 3x (m tham số)

Xác định m để hàm số cho đạt cực tiểu điểm có hồnh độ x =

Giaûi

 Tập xác định: D = , y' = 3(x – m)2 – 3, y" = 6(x – m)  Hàm số cho đạt cực tiểu điểm có hồnh độ x =

  

 



    

    

   

 

 

2

y (0) m m 1

y (0) 6 m 0

Baøi 11:

Cho haøm soá y = mx4 + (m2 9)x2 + 10 (1) (m tham số)

Tìm m để hàm số (1) có điểm cực trị

Giaûi

y' = 4mx3 + 2(m2 9)x, y' =   



  

 2 x

2mx m (*)

 Hàm số có cực trị  (*) có nghiệm phân biệt khác  m2 m <

2m

    hay < m < Bài 12: ĐỀ DỰ BỊ

Cho hàm số y = x2 mx x



 (1) (m tham số)

Tìm m để hàm số (1) có cực đại, cực tiểu Với giá trị m khoảng cách hai điểm cực trị đồ thị hàm số (1) 10 ?

Giải

Tập xác định: D = \  

 

  

  

2

x 2x m

y

1 x  Hàm số có cực đại, cực tiểu

 g(x) = x2 + 2x + m = (*) có nghiệm phân biệt

( Khi g(x) = có nghiệm phân biệt nghiệm thỏa x  1)  g(x) 1 m 0  m > 1

 Gọi A(x1; y1), B(x2; y2) hai điểm cực trị đồ thị hàm số Khi đó:

 x1, x2 nghiệm (*) Theo Viét ta coù x1 + x2 = 2, x1.x2 = – m

 y1 = 2x1m vaø y2 = 2x2m

 AB2 = (x

1 – x2)2 + (y1 – y2)2 = (x1 – x2)2 + 4(x1 – x2)2

 100 = x 1x22 4x x1 2

 20 = 4m  m = (Thỏa điều kiện m > 1)  Vấn đề 4:

GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HAØM SỐ

A PHƯƠNG PHÁP GIẢI I ĐỊNH NGHĨA

Cho hàm số y = f(x) xác định D

 Nếu f(x)  M; x  D x0 D cho f(x0) = M M gọi giá trị lớn

nhất hàm số y = f(x) D Kí hiệu:

x D

maxf(x) M

 Nếu f(x)  m; x  D vaø x0 D cho f(x0) = m m gọi giá trị nhỏ

nhất hàm số y = f(x) D Kí hiệu:

Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học –

II MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HAØM SỐ THƯỜNG GẶP

 Phương pháp 1: Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số f(x) = ax2 + bx + c (a  0)

Phân tích f(x) = a x b 2

2a 4a

+ Nếu a > x

b

m inf(x) 4a x 2a

+ Neáu a < x

b

max f(x) x

4a 2a

 Phương pháp 2: Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ f(x) = ax2 + bx + c (a  0) [; ].

Tìm hồnh độ đỉnh parabol x0 = b2a

+ Trường hợp 1: a >

x [ ; ]max f(x) = max {f(), f()}  Nếu x0 [; ] 0

x [ ; ]min f(x) f(x )  Nếu x0 [; ]

x [ ; ]  min f(x) min{f( ), f( )}  

+ Trường hợp 2: a < 0:

x [ ; ]min f(x) = {f(), f()}

 Nếu x0 [; ] 0

x [ ; ]max f(x) f(x )  Nếu x0 [; ]

x [ ; ]  max f(x) max{f( ) , f( )}  

 Phương pháp 3: Dùng tính chất đơn điệu hàm số

Bài tốn: Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y = f(x) liên tục [a; b]

– Tìm nghiệm x0 cuûa f'(x) [a; b]

– Khi

x [a; b]min f(x) = {f(a), f(b), f(x0)}

x [a; b]max f(x) = max {f(a), f(b), f(x0)}

Bài tốn: Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y = f(x) [a; b]

Dựa vào bảng biến thiên hàm số để tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số

 Nếu hàm số y = f(x) tăng [a, b] thì:

x [a; b]min f(x) = f(a) x [a; b]max f(x) = f(b)  Nếu hàm số y = f(x) giảm [a, b] thì:

x [a; b]min f(x) = f(b) vaø x [a; b]max f(x) = f(a)

 Nếu tốn phải đặt ẩn số phụ phải có điều kiện cho ẩn số phụ  Phương pháp 4: Dùng miền giá trị hàm số y = f(x) (x  D)

y thuộc miền giá trị hàm số y = f(x)  Phương trình y = f(x) có nghiệm x  D

Từ ta tìm điều kiện y suy giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số

Chú ý: Phương trình: asinx + bcosx = c có nghiệm x   a2 + b2 c2

 Phương pháp 5: Dùng bất đẳng thức

Dùng bất đẳng thức đại số để chặn biểu thức f(x) dùng định nghĩa giá trị lớn giá trị nhỏ để tìm đáp số

+ Lưu ý: Phải xét dấu “=” xảy tất bất đẳng thức dùng trình giải

B ĐỀ THI

Bài 1: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2011

Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn hàm số y 2x2 3x x

 



 đoạn [0; 2]

Giaûi

 y 2x2 3x

x   

   

2

2x 4x

y'

x  

 , y' = 

   

x 0;

x 0;

   

  



 Ta coù: y 0  = vaø y 2  17 

 Vì hàm số cho liên tục [0; 2] nên:

 

[0; 2]min y y 0 3 vaø [0; 2]   17 maxy y

3

 

Bài 2: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2009

Cho số thực không âm x, y thay đổi thỏa mãn x + y = Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức S = (4x2 + 3y)(4y2 + 3x) + 25xy

Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học –

 S = (4x2 + 3y)(4y2 + 3x) + 25xy = 16x2y2 + 12(x3 + y3) + 34xy

= 16x2y2 + 12[(x + y)3 – 3xy(x + y)] + 34xy = 16x2y2 + 12(1 – 3xy) + 34xy

= 16x2y2 – 2xy + 12

 Đặt t = x.y Vì x, y  x + y = nên  t  Khi S = 16t2 – 2t + 12

 S' = 32t – 2; S' =  t =

16 

0;

 

 

 

 Ta coù S(0) = 12, S(1

4) = 25

2 , S ( 16) =

191 16  Vì S liên tục [0;

4 ] nên: Max S = 25

2 x = y = Min S = 191

16

 

 

    

2

x

2

y

hay

 

 

    

2

x

2

y

Bài 3: CAO ĐẲNG KHỐI A, B, D NĂM 2008

Cho hai số thực x, y thay đổi thỏa mãn x2 + y2 =

Tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức P = 2(x3 + y3) – 3xy Giải

 Ta coù: P = 2(x3 + y3) – 3xy = x y x   2y2xy3xy = 2(x + y)(2 – xy) – 3xy

 Ta lại có: x2 + y2 =  (x + y)2 – 2xy =  xy (x y)2

2

 



 Do P = x y 2  (x y)2 3(x y)2

2

     

   

 

 Đặt t = x + y Khi t2 = (x + y)2 2(x2 + y2) = nên | t | 

vaø P = 2t t2 3t2

2

   

 

 

 

  =

3

t t 6t

2

    với | t |   Xét g(t) t3 3t2 6t

2

g'(t) =  t2 + t – =   

 

t 2;

t 2;

    

   



g(2) = 7; g(2) = 1; g(1) 13 

Vậy Pmax 13 x y x y

2 2 2

   

    

Pmin =  x = y = 1 Bài 4:

Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y ln x2 x

 đoạn [1; e3] Giải



2 2

2

1

2lnx .x 1.ln x ln x 2lnx x

y

x x

  

  



3

2

x = 1; e lnx

y

lnx x = e 1; e

  



   

    

  

   

 Ta coù y(1) = 0, y(e3) = 93

e , y(e

2) =

2 e  Vì y liên tục [1; e3] nên

1; e max y

 

 

 

max {0; 93 e ;

4 e } =

4

e vaø y 1; e3

 

 

= {0; 93 e ;

4 e } =

Bài 5: ĐỀ DỰ BỊ

Cho hàm số f(x) = ex sinx + x2

2 Tìm giá trị nhỏ hàm số f(x) chứng minh phương trình f(x) = có hai nghiệm

Giải

 Tập xác định: D =

 f'(x) = ex – cosx + x (1); f'(x) =  ex – cosx + x =

Nhận xét:

– (1) có nghiệm x =

– Vế trái (1): y = ex – cosx + x coù y' = ex + sinx + >

Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học –

x  + f'(x)  +

f(x) + +

Từ bảng biến thiên, GTNN f(x)

Và đường thẳng (d): y = cắt đồ thị hàm số y = f(x) hai điểm phân biệt nên phương trình f(x) = có hai nghiệm phân biệt

Bài 6:

Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số y = x

x



 đoạn [1; 2]

Giaûi



 

   

2

2

2 2

2x

x x

1 x

2 x

y

x x x

  

 

  

  

 y' =  x = 1[1; 2]  Ta coù: y(1) = 0, y(2) =

5, y(1) =  Vì y liên tục [1; 2] nên

max y1; 2 max{0; 35; } = vaøm im y1; 2 min{0; 35; } =

Bài 7: CAO ĐẲNG NGUYỄN TẤT THÀNH

Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số y = x2

x đoạn [5; 3]

Giaûi

 y' = x2 4x2

(x 2)  

 y' =  x2 + 4x =  x [ 5; 3]

x [ 5; 3]

    

      

 Ta coù: y(5) = 25

3 , y(4) = 8, y(3) = 9

 Vì y liên tục đoạn [5; 3] nên

[ 5; 3] [ 5; 3]

maxy 8, miny

       

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số y = x6 + 4(1  x2)3 đoạn

[1; 1]

Giải

 Đặt t = x2, 1  x  nên  t 

 Khi y = t3 + 4(1 – t)3 = 3t3 + 12t2 – 12t + = f(t) với  t 

 f'(t) = 9t2 + 24t – 12; f'(t) =     

2

t 0;

3

t 0;

    

    Ta coù: f(0) = 4, f(2

3) =

9, f(1) =  Vì f liên tục đoạn [0; 1] nên

maxy maxf(t) 41;1   0;1  vaø  1;1  0;1 y minf(t)

9

  

Baøi 9:

Giả sử x, y hai số dương thay đổi thỏa mãn điều kiện x + y =

4 Tìm giá trị nhỏ biểu thức S =

x 4y

Giaûi Cách 1: Dùng khảo sát hàm số

 Ta coù: x + y =

4  y =

5 x

4 Vì y > neân x <

S 4

x 4y x 4x

   

 ; < x <

 

  

 

2 2

4 5x 5 3x

4

S

x 4x x 4x

5

S x x

3

 



   

 

     

 Bảng biến thiên

x  S'  +

S

Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học –

 Dựa vào Bảng biến thiên ta có Smin = x = Cách 2: Dùng bất đẳng thức Cauchy:

S 1 1 1 55 41

x 4y x x x x 4y x 4y

       

S 55 5.5 25 25

x.x.x.x.4y x x x x 4y 4x 4y

    

    

Dấu “=” xảy 

1

x x 4y

1 y

x y

4

   

 

  

    

Vaäy Smin =

 Vấn đề 5: ĐIỂM UỐN CỦA ĐỒ THỊ HAØM SỐ

A PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp hai khoảng chứa điểm x0, f"(x0) =

và f"(x) đổi dấu x qua x0 điểm I(x0; f(x0))là điểm uốn đồ thị

hàm số y = f(x)

B ĐỀ THI

Baøi 1:

Cho hàm số y = x3 3mx2 + 9x + (1) (m laø tham số)

Tìm m để điểm uốn đồ thị hàm số (1) thuộc đường thẳng y = x +

Giaûi Ta coù y' = 3x2 6mx +

y" = 6x  6m, y" =  x = m  y = 2m3 + 9m +

Suy điểm uốn I(m; 2m3 + 9m + 1)

Ta có I thuộcđường thẳng y = x + 2m3 + 9m + = m +

 2m3 8m =  m = hay m = hay m = 2

 Vấn đề 6: ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HAØM SỐ

A PHƯƠNG PHÁP GIẢI Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C)

1 TIỆM CẬN ĐỨNG

Đường thẳng x = x0 tiệm cận đứng đồ thị (C) bốn

 

  x x0

lim f(x) ;

 

  x x0

lim f(x) ;

 

  x x0

lim f(x) ;

 

  x x0

lim f(x)

2 TIEÄM CAÄN NGANG

Đường thẳng y = y0 tiệm cận ngang đồ thị (C)

 

xlim f(x) y xlim f(x) y  

3 TIỆM CẬN XIEÂN

Đường thẳng y = ax + b (a  0) tiệm cận xiên đồ thị (C)

 

   

xlim f(x) ax b hoặcxlim f(x) ax b 0 Cách khác:

Đường thẳng y = ax + b (a  0) tiệm cận xiên đồ thị (C)



 x

f(x)

a lim

x vaø bxlim f(x) ax   



 x

f(x)

a lim

x vaø bxlim f(x) ax   

B ĐỀ THI

Bài 1: ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2008 Cho hàm số y mx2 (3m2 2)x

x 3m

  



 (C), với m tham số thực Tìm giá trị m để góc hai đường tiệm cận đồ thị (C) 450

Giaûi

Ta coù:    

 6m y mx

x 3m

 Khi m1

3 đồ thị khơng có tiệm cận

 Khi m1

3 đồ thị có hai tiệm cận là: 12

d : x 3m

d : y mx

  

  

 hay

  



   



1

d : x 3m d : mx y

d1 có vectơ pháp tuyến n1(1; 0), d2 có vectơ pháp tuyến n2 (m; 1)

  1 2

2

n n m

2 2

cos d ; d

2 n n m 1

    



Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học –

Bài 2: CAO ĐẲNG GTVT III KHỐI A NĂM 2007 Cho hàm số  

 2x y

x có đồ thị (C)

Tìm điểm M (C) có tổng khoảng cách đến tiệm cận (C)

Giaûi

Ta coù:

x

x 1lim y  , lim yx 1  , lim y 2 

Suy đồ thị (C) có x = tiệm cận đứng y = tiệm cận ngang M (C) nên M m; 2m

m 

 

  

 

Tổng khoảng cách từ M đến tiệm cận d = xM 1 yM2 = m 2m

m 

  

 =   

3 m

m

Ta coù:     



d m

m      

2

m m

       

             

   



m 1 m 1 1

m m m m

m

m

Vậy có điểm: M1(2; 5); M2(0; 1); M3(4; 3); M4(2; 1) Bài 3: CAO ĐẲNG KỸ THUẬT CAO THẮNG

Gọi Cm đồ thị hàm số

2 m

y x m

x m     

 (*) (m tham số) Tìm m để tiệm cận xiên Cm qua A(2; 0)

Giaûi

Khi m = (C0): y =  x, suy (C0) tiệm cận xiên

Khi m  0, ta coù m

x

m

lim Tiệm cậnxiên C : y = x + m +

x m

    

Điểm A(2; 0) thuộc tiệm cận xiên đồ thị (Cm) khi: = 2 + m +  m = (thỏa điều kiện m  )

Vậy m = tiệm cận xiên (Cm) qua điểm A(2; 0) Bài 4: CAO ĐẲNG KINH TẾ – KỸ THUẬT CÔNG NGHIỆP I

Cho hàm số    



x mx 2m

y

mx (1) có đồ thị (Cm), m tham số Xác định m để tiệm cận xiên (Cm) qua gốc tọa độ hàm số (1) có cực trị

Ta coù      

2

2

mx 2x 2m 2m

y

(mx 1) 

  

  



2

2

x m 2m 2m

y

m m m (mx 1)

Với 2m3 – 2m2 +  m  0, ta có



 



3

2 x

2m 2m

lim

m (mx 1) = Suy tiệm cận xiên (Cm) có phương trình y =

2 x m

m m





Yêu cầu toán tương đương với

    

     

     



2

2

3

mx 2x 2m 2m có nghiệm phân biệt

1 m

m

2m 2m m

    

   

     



3

3

' 2m 2m

m

2m 2m m

 m =

 Vấn đề 7:

KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VAØ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ

A PHƯƠNG PHÁP GIẢI

1. Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số y = f(x)

 Taäp xác định hàm số

 Sự biến thiên: + Chiều biến thiên:

Tính đạo hàm cấp tìm nghiệm đạo hàm (nếu có) Kết luận tính đơn điệu hàm số

+ Cực trị hàm số

+ Giới hạn hàm số đường tiệm cận (nếu có) đồ thị hàm số  Lập bảng biến thiên

 Vẽ đồ thị

B ĐỀ THI

Bài 1: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2010

Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số y = x4 – x2 + Giải

Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học –

 Sự biến thiên: + Chiều biến thiên:

Đạo hàm: y' = – 4x3 – 2x, y' =  x =

Hàm số đồng biến khoảng (; 0) nghịch biến khoảng (0; +) + Cực trị:

Hàm số đạt cực đại x = 0, yCĐ =

+ Giới hạn:

xlim y  

 Bảng biến thiên

x  + y' + 

y

 

 Đồ thị: (C) cắt Ox hai điểm A 2; , B  2; 0

Bài : ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2009

Khảo sát biến thiện vẽ đồ thị hàm số y = x4 – 2x2 Giải

 Tập xác định: D =  Sự biến thiên: + Chiều biến thiên:

Đạo hàm: y' = 4x3 – 4x; y' =  x =  x = 1

Hàm số đồng biến (1; 0) (1; +) Hàm số nghịch biến (; 1) (0; 1) + Cực trị:

Hàm số đạt cực đại x = 0, yCĐ =

Hàm số đạt cực tiểu x = 1, yCT = 1 + Giới hạn:

xlim y 

 Bảng biến thiên:

x  1 + y'  +  +

y + +

1 1  Đồ thị: Giao điểm đồ thị với trục hoành (0; 0); ( ; 0)

- 2

6

x O

y

x

-1 -1 O

Bài 3: ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2008

Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số y = 4x3 – 6x2 + Giải

 Tập xác định: D =

 Sự biến thiên: + Chiều biến thiên:

Đạo hàm: y' = 12x2 – 12x; y' =  x2 – x =   

  

x x

Hàm số đồng biến (; 0) (1; +); hàm số nghịch biến (0; 1) + Cực trị: Hàm số đạt cực đại x = 0, yCĐ =

Hàm số đạt cực tiểu x = 1, yCT = 1

+ Giới hạn:

xlim y   xlim y  

 Bảng biến thiên:

x – + y' + – +

y + – –1

 Đồ thị

Bài 4: ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2007

Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số y =  x3 + 3x2 Giải

 Tập xác định: D  Sự biến thiên: + Chiều biến thiên:

y

x

O

Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học –

Đạo hàm: y' = 3x2 + 6x, y' =  x = x =

Hàm số đồng biến (0; 2), hàm số nghịch biến (; 0) (2; +) + Cực trị: Hàm số đạt cực đại x = 2, yCĐ =

Hàm số đạt cực tiểu x = 0, yCT = 4

+ Giới hạn:

  

xlim y xlim y 

 Bảng biến thiên

x  + y'  + 

y +

4   Đồ thị:

Bài 5: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2007

Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số y 2x x 

 cho

Giaûi

 Tập xác định: D \  

 Sự biến thiên:

+ Chiều biến thiên:

Đạo hàm:      

2

y 0, x D

(x 1)

Hàm số cho đồng biến khoảng (; 1) (1; +)

+ Hàm số cho khơng có cực trị  Giới hạn tiệm cận:

xlim y1 ; lim yx1

     Tiệm cận đứng x = 1

xlim y 2   Tiệm cận ngang y =

 Bảng biến thiên:

x  1 + y' + +

y +



 Đồ thị: (hình trên)

Bài 6:

Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số y = x3 – 3x2 + 3x +

2 -1

-4 y

x O

2

-1 O

y

Giải

 Tập xác định: D

 Sự biến thiên: + Chiều biến thiên:

Đạo hàm: y' = 3x2– 6x + 3, y' = có nghiệm kép x =

neân y'  0, x D

Hàm số đồng biến (∞; +∞) + Cực trị: Hàm số khơng có cực trị + Giới hạn:

  

xlim y xlim y 

 Bảng biến thiên

x  + y' + +

y + 

  Đồ thị: (hình bên)

Bài 7:

Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số y =  x3 + 3x2 4x + Giải

 Tập xác định: D

 Sự biến thiên:

+ Chiều biến thiên:

Đạo hàm: y' = 3x2 + 6x – 4, y' < 0, x D

Hàm số nghịch biến (∞; +∞) + Cực trị: Hàm số khơng có cực trị + Giới hạn:

  

xlim y xlim y 

 Bảng biến thiên

x  + y' 

y +  

 Đồ thị: (hình bên)

Bài 8:

Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số

 

  





x 3x

y

2 x

Giải

 Tập xác định: D = \ {1}

 Sự biến thiên:

x y

1

O

1

2 -2

y

Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học – + Chiều biến thiên:

Đạo hàm:

 

2

x 2x

y

2 x    

 , y' =  x = 0, x = Hàm số đồng biến khoảng (0; 1) (1; 2) Hàm số nghịch biến khoảng (; 0) (2; +) + Cực trị : Hàm số đạt cực đại x = 2, yCĐ =1

2 Hàm số đạt cực tiểu x = 0, yCT =

2

 Giới hạn tiệm cận: +

x x 1lim y ; lim y 

     x = phương trình tiệm cận đứng +    



1

y x

2 2(x 1) vaøx  

1

lim

2(x 1)  y = x

2 + phương trình tiệm cận xiên

 Bảng biến thiên

x  + y'  + + 

y + +

2



   Đồ thị

 Vấn đề 8:

DÙNG ĐỒ THỊ BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH

A PHƯƠNG PHÁP GIẢI

 Biến đổi phương trình cho g(x, m) = dạng f(x) = h(m) (*)

 Trong đồ thị (C) hàm số y = f(x) vẽ câu hỏi trước

1

3/2 x

y

Xem đường thẳng d: y = h(m) đường thẳng phương với trục hồnh Do phương trình (*) phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị (C) đường thẳng d

 Số điểm chung đồ thị (C) đường thẳng d số nghiệm phương trình cho

B ĐỀ THI

Bài 1: ĐỀ DỰ BỊ - ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2006

1/ Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số: y =   

x 2x

x

2/ Dựa vào đồ thị (C), tìm m để phương trình: x2 + 2x + = (m2 + 2m + 5) (x + 1)

có hai nghiệm dương phân biệt

Giải 1/  Tập xác định D = \ {1},

 Sự biến thiên:

+ Chiều biến thiên: Đạo hàm:    



2

x 2x

y

(x 1) , y' =  x = hay x = 3 Hàm số đồng biến khoảng (; 3) (1; +) Hàm số nghịch biến khoảng (3; 1) (1; 1) + Cực trị:

Hàm số đạt cực đại x = 3, yCĐ = 4

Hàm số đạt cực tiểu x = 1, yCT =

 Giới hạn tiệm cận: +

x

xlim y1  ; lim y     x = 1 phương trình tiệm cận đứng +   

 y x

x vaøx  

4

lim

x

 y = x + phương trình tiệm cận xiên

 Bảng biến thiên:

x  3 1 + y' +   + y 4

 

+ +

 Đồ thị

x y

5

1 O

Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học –

40

2/ Ta coù: x2 + 2x + = (m2 + 2m + 5)(x + 1)

     



2

x 2x m 2m 5

x (*)

(vì x > nên x +  0)

Gọi d đường thẳng có phương trình : y = m2 + 2m +

Suy phương trình (*) phương trình hồnh độ giao điểm (C) d Do đó: Phương trình (*) có hai nghiệm dương

 d cắt phần đồ thị (C) ứng với x > điểm  < m2 + 2m + <     



 

 2

m 2m

m 2m 

  

   

m

2 m

Bài 2: ĐỀ DỰ BỊ - ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2005

1/ Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số y = x4 6x2 + 2/ Tìm m để phương trình sau có nghiệm phân biệt: x4 6x2 log

2m = Giaûi

1/  Tập xác định: D =  Sự biến thiên: + Chiều biến thiên:

Đạo hàm: y' = 4x3 12x; y 0      x x 3

Hàm số đồng biến khoảng ( 3; 0) ( ; + ) Hàm số nghịch biến khoảng (–;  3) (0; ) + Cực trị:

Hàm số đạt cực đại x = 0, yCĐ =

Hàm số đạt cực tiểu x  3, yCT = 4

+ Giới hạn:

xlim y 

 Bảng biến thiên:

x   3 + y'  +  +

y + +

4 4

 Đồ thị

x y

5



2/ Ta coù x4 6x2 log

2m =  x46x2 5 log m (*) 2 

Gọi d đường thẳng có phương trình y = log m 2 

Suy phương trình (*) phương trình hoành độ giao điểm (C) d Do đó: Phương trình (*) có nghiệm  d (C) có điểm chung

          9 

2

4 log m 5 log m m

Baøi 3:

Cho hàm số y = x3 + 3x2 (1)

1/ Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1)

2/ Tìm k để phương trình x3 + 3x2 + k3 3k2 = có nghiệm phân biệt Giải

1/  Tập xác định: D =  Sự biến thiên: + Chiều biến thiên:

Đạo hàm: y' =  3x2 + 6x, y' =  x = 0, x =

Hàm số đồng biến khoảng (0; 2)

Hàm số nghịch biến khoảng (; 0) (2; +) + Cực trị:

Hàm số đạt cực đại x = 2, yCĐ =

Hàm số đạt cực tiểu x = 0, yCT =

+ Giới hạn:

xlim y  vaø xlim y  

 Bảng biến thiên :

x  + y'  + 

y +



 Đồ thị (hình bên)

2/ Ta coù: x3 + 3x2 + k3 3k2 =  x3 + 3x2 =  k3 + 3k2 (*)

Gọi (C) đồ thị hàm số y = x3 + 3x2 đường thẳng d: y =  k3 + 3k2

Suy phương trình (*) phương trình hồnh độ giao điểm (C) d Do đó: Phương trình (*) có nghiệm phân biệt

 Đường thẳng d đồ thị (C) có điểm chung  < k3 + 3k2 <



3

k 3k

k 3k

  

 

  



 

 

  

  

   



2

k k

k (k 1)

1 k k 0, k    

   



3 -1

y

Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học –

Bài 4: ĐỀ DỰ BỊ

Cho hàm số y = x2 2x x

 

 (1)

1/ Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1)

2/ Tìm a để phương trình sau có nghiệm: 91 t 2 a 3  1 t 2 2a 0 

Giải 1/  Tập xác định D \  

 Sự biến thiên:

+ Chiều biến thiên: Đạo hàm:

 

2

x 4x

y

x

 

 

 , y' =  x

2 – 4x + = x

x      Hàm số đồng biến khoảng (; 1) (3; +)

Hàm số nghịch biến khoảng (1; 2) (2; 3) + Cực trị:

Hàm số đạt cực đại x = 1, yCĐ =

Hàm số đạt cực tiểu x = 3, yCT =

Giới hạn tiệm cận:

+  

 y x

x vaøx 2   

1 lim

x ( x = phương trình tiệm cận đứng.)

+    y x

x vaøx  

1

lim

x  y = x phương trình tiệm cận xiên ( Bảng biến thiên )

x - + y' + + - - + y

 

+ +

 Đồ thị

2/ Điều kiện: – t2 1  t 

Đặt u 3 1 t 2

Ta coù: 1 t 2  31 31 t 2 32.

Nghóa là: u 9 

Phương trình cho trở thành:

y

x O

43 u2 a u 2a 0    u2 2u a u 2  u2 2u a (2)

u

 

      

 Gọi (C') phần đồ thị hàm số y u2 2u

u

 



 (đã đươc vẽ câu 1) giới hạn đoạn  3; đường thẳng d: y = a

Suy phương trình (*) phương trình hồnh độ giao điểm (C') d Do Phương trình cho có nghiệm

(2) có nghiệm u  3;  Đường cong (C') đường thẳng d có điểm chung   m  64

7

Bài 5: ĐỀ DỰ BỊ

Cho hàm số y = (x  1)3 3x (m tham số)

1/ Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số cho

2/ Tìm k để hệ sau có nghiệm

 

     



   



3

2

x 3x k

1log x 1log x 1 1

2

Giaûi 1  Tập xác định: D =

 Sự biến thiên: + Chiều biến thiên:

Đạo hàm: y' = 3x2  6x, y' =  x = 0, x =

Hàm số đồng biến khoảng (; 0) (2; +) Hàm số nghịch biến khoảng (0; 2)

+ Cực trị:

Hàm số đạt cực đại x = 0, yCĐ = 1

Hàm số đạt cực tiểu x = 2, yCT = 5

+ Giới hạn:

xlim y   xlim y  

 Bảng biến thieân

x  + y' +  +

y 1 +  5

 Đồ thị

y

x 1

Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học –

2/  Ta coù: 1log x2 21log x 12  31

2 2 2 

x

log x log x 1  



    



 

  

   

 x

log x x 1  

  

   

 x

x x

     

 x

1 x 2  1 x  Với x ta có   x 1 33x k 0   (x – 1)3 – 3x = k (*)

Gọi (C') phần đồ thị hàm số y = (x – 1)3 – 3x giới hạn nửa

khoảng 1; đường thẳng d: y = k 

Suy phương trình (*) phương trình hồnh độ giao điểm (C') d Do đó: Hệ có nghiệm  Phương trình (*) có nghiệm x 1; 2

 Đường thẳng d đồ thị (C') có điểm chung 5  k < 3

 Vấn đề 9:

ĐỒ THỊ CỦA HAØM SỐ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI

A PHƯƠNG PHÁP GIẢI Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C)

1. Vẽ đồ thị (C1); y1 =  f(x) Ta có: y1 = y f(x)

yneáu f(x)  

 



Vì y1 nên (C1) phía trục Ox Đồ thị (C1) từ đồ thị (C) cách:

 Phần (C) phía Ox giữ nguyên

 Bỏ phần (C) phía Ox lấy phần đối xứng phần qua trục Ox

2 Vẽ đồ thị (C1) hàm số: y1 = f( x) (với D tập xác định đối xứng) Ta có: f(x ) = f(x ): hàm số chẵn nên đồ thị (C1) nhận Oy làm trục

đối xứng

Đồ thị (C1) suy từ đồ thị (C) cách:

 Phần (C) bên phải trục Oy giữ nguyên

 Bỏ phần (C) bên trái Oy lấy phần đối xứng phần bên phải (C) qua trục Oy

3 Vẽ đường cong (C1);  y1 = f(x)

 Nếu y1 y1 = f(x): (C1)  (C) trục Ox

 Nếu y1 y1 = f(x): (C1) đối xứng (C) trục Ox qua Ox

 Phần (C) phía Ox giữ nguyên

 Bỏ phần (C) Ox lấy phần đối xứng (C) trục Ox qua trục Ox

Đồ thị hàm số y1 = f(x) Đồ thị hàm số y1 = f( x )

Đườngy1 = f(x) 4. Cho hàm số y = P(x)Q(x)có đồ thị (C)

a Veõ (C1): y1 = P(x)

Q(x) Ta có: y1 =

P(x) Q(x) Q(x)

P(x) neáu Q(x) Q(x)

Đồ thị (C1) suy từ đồ thị (C) cách:

 Phần (C) miền Q(x) > giữ nguyên

 Bỏ phần (C) miền Q(x) < lấy phần đối xứng phần qua trục Ox

b Veõ (C1): y1 = P(x)

Q(x) O

(C1) (C

1)

(C) y

x

(C)

O

(C1) y (C) (C1)

x (C)

(C1)

(C)

(C) (C1)

x O

Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học –

Ta coù: y1 =

 

 

 



P(x) neáu P(x) Q(x)

P(x) neáu P(x) Q(x)

Đồ thị (C1) suy từ đồ thị (C) cách:

 Phần (C) miền P(x)  giữ nguyên

 Bỏ phần (C) miền P(x) < lấy phần đối xứng phần qua trục Ox

Chú ý:

Dạng tốn thường kèm với biện luận số nghiệm phương trình có chứa dấu trị tuyệt đối

B ĐỀ THI

Bài 1: ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2009 Cho hàm số y = 2x4 – 4x2 (1)

1/ Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1)

2/ Với giá trị m, phương trình x x2 2 2 m có nghiệm thực phân biệt?

Giải 1/  Tập xác định: D =

 Sự biến thiên: + Chiều biến thiên:

Đạo hàm: y' = 8x3 – 8x; y' =  x = x = 1

Hàm số đồng biến khoảng (–1; 0) (1; +) Hàm số nghịch biến khoảng (; –1) (0; 1) + Cực trị:

Hàm số đạt cực đại x = 0, yCĐ =

Hàm số đạt cực tiểu x =  1, yCT = –2

+ Giới hạn:

xlim y  

 Bảng biến thiên:

x  1 + y'  +  +

y + + 2 2

2/ x x2 2 2 m 2x44x2 2m

Số nghiệm phương trình cho số giao điểm đồ thị hàm số y = 2x44x2 với đường thẳng d: y = 2m

Từ đồ thị hàm số cho, ta suy đồ thị (C1):y 2x 44x2 vẽ sau:

 Phần (C) phía Ox giữ nguyên  Bỏ phần (C) phía trục Ox lấy phần bỏ đối xứng qua trục Ox Từ đồ thị (C1): suy phương trình cho

có nghiệm phân biệt khi: d cắt (C1) điểm phân biệt

0 < 2m <  < m <

Bài 2: ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2006

1/ Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số: y = 2x3 9x2 + 12x  2/ Tìm m để phương trình sau có nghiệm phân biệt: x39x212 x m

Giaûi 1/  Tập xác định: D =

 Sự biến thiên: + Chiều biến thiên:

Đạo hàm: y' = 6(x2 3x + 2), y' =  x = 1, x =

Hàm số đồng biến khoảng (; 1) (2; +) Hàm số nghịch biến khoảng (1; 2)

+ Cực trị:

Hàm số đạt cực đại x = 1, yCĐ =

Hàm số đạt cực tiểu x = 2, yCT =

x y

2

1 O

4

(C) y

16

x

1

2 2

O

y 16

x

1 O 1 2

Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học – + Giới hạn:

xlim y  vaø xlim y  

 Bảng biến thiên:

x  +  y' +  +

y +    Đồ thị: (hình bên)

2/ Phương trình cho tương đương với x39 x212 x m 4   Số nghiệm phương trình cho số giao điểm đồ thị hàm số y = x39 x212 x 4 với đường thẳng d: y = m 

Hàm số y = x39 x212 x 4 hàm chẵn, nên đồ thị nhận Oy làm trục đối xứng

Từ đồ thị hàm số cho ta suy đồ thị (C'): y = x39x212 x 4

 Phần (C) bên phải trục Oy giữ nguyên

 Bỏ phần (C) bên trái Oy lấy phần giữ nguyên đối xứng qua trục Oy Từ đồ thị (C'): suy phương trình cho có nghiệm phân biệt khi: d cắt (C') điểm phân biệt

0 < m  <  < m <

Bài 3: ĐỀ DỰ BỊ - ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2005

1/ Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số y x2 3x x   

 2/ Tìm m để phương trình x2 3x

x

 

 = m có nghiệm phân biệt

Giải 1/   



x 3x

y (C)

x

 Tập xác định D = \ {1}

 Sự biến thiên: + Chiều biến thiên: Đạo hàm:   



2

x 2x

y

(x 1) ; y 0      x x

x y

2

1 O

4 2 1

y = m 

Hàm số đồng biến khoảng (; 2) (0; +) Hàm số nghịch biến khoảng (2; 1) (1; 0) + Cực trị:

Hàm số đạt cực đại x = 2, yCĐ = 1

Hàm số đạt cực tiểu x = 0, yCT =

 Giới hạn tiệm cận:

+

x xlim y1 ; lim y 

     x = 1 phương trình tiệm cận đứng +   

 y x

x vaøx  

1

lim

x  y = x + phương trình tiệm cận xiên

 Bảng biến thiên:

x  2 1 + y' +   +

y 1

 

+ +

 Đồ thị

2/ Ta có:  C : y1 x2x 13x 3   x2x 13x 3  Số nghiệm phương trình cho số giao điểm đồ thị hàm số   



x 3x

y

x với đường thẳng d: y = m

Từ đồ thị hàm số cho, ta suy đồ thị (C1):   



x 3x

y

x vẽ sau :  Phần (C) phía Ox giữ nguyên

 Bỏ phần (C) phía trục Ox lấy phần bỏ đối xứng qua trục Ox Từ đồ thị (C1): suy phương trình cho có nghiệm phân biệt khi:

x y

1 2

1 O

Đồ thị (C1)

x y

1 2

1 O

2

Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học – d cắt (C1) điểm phân biệt  m > Bài 4: ĐỀ DỰ BỊ

1/ Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số

 





2x 4x

y

2 x

2/ Tìm m để phương trình 2x2 4x  + 2m x  1 = có nghiệm phân biệt Giải

1/  Tập xác định D = \ {1}  Sự biến thiên:

+ Chiều biến thiên: Đạo hàm:

 

 

    



2

2x 4x

y 0, x D

2 x

Hàm số đồng biến khoảng (; 1) (1; +) + Hàm số khơng có cực đại cực tiểu

 Giới hạn tiệm cận: +

x

x 1lim y  ; lim y     x = phương trình tiệm cận đứng

+

 

    y x

2 x vaøx   

5

lim

2 x  y = x – phương trình tiệm cận xiên

 Bảng biến thiên

x  + y' + +

y +



+ 

 Đồ thị

2/ Do x = khơng nghiệm phương trình cho nên:

2x2 – 4x – + 2mx –  =

 g(x) = 2x2 4x m (1) x

 

  

Số nghiệm phương trình cho số giao điểm đồ thị hàm số y = 2x2 4x

2 x

 

 với đường thẳng d: y =  m

2 10

2



2 10

2



3

1 O y

x

Đồ thị (C) y

x

Từ đồ thị hàm số cho, ta suy đồ thị (C1): y =

2

2x 4x

2 x

 

 vẽ sau:  Phần x > giữ nguyên đồ thị (C)

 Phần x < lấy đồ thị (C) đối xứng qua Ox  (C1) hợp hai phần

Từ đồ thị (C1): suy phương trình cho có

2 nghiệm phân biệt khi:

d cắt (C1) điểm phân biệt  m

 Vấn đề 10: TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HAØM SỐ

A PHƯƠNG PHÁP GIẢI Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C)

Dạng : Tiếp tuyến đồ thị (C) điểm M(x0; y0) (C) có phương trình

y  y0 = f'(x0)(x  x0) (*)

Dạng : Tiếp tuyến đồ thị (C) có hệ số góc k cho trước  Gọi M(x0; y0) (C) tiếp điểm

 Tiếp tuyến có hệ số góc k  f’(x0) = k (1)

 Giải phương trình (1), tìm hồnh độ tiếp điểm x0

 Tung độ tiếp điểm: y0 = f(x0)

 Phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) có hệ số góc k cho trước

xác định cách thay giá trị x0, y0 f'(x0) = k vào phương trình (*)

dạng

+ Chú ý: Hệ số góc k tiếp tuyến cho thơng qua dạng:  Tiếp tuyến (C) vng góc với đường thẳng d: y = ax + b (a  0)  f'(x0) = 1

a

 Tiếp tuyến (C) phương với đường thẳng d: y = ax + b  f'(x0) = a

 Tiếp tuyến (C) song song với đường thẳng d: y = ax + b

 f’(x0) = a Sau kiểm tra lại tiếp tuyến trùng với đường thẳng

d loại tiếp tuyến (Do ta dùng kí tự ) Dạng 3: Tiếp tuyến đồ thị (C) qua điểm M(x0; y0)

TH1: Xeùt x = x0 có tiếp tuếyn không

TH2: Tiếp tuyến có hệ số góc k tùy ý

Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Tốn học –

Phương trình d có dạng:y  y0 = k(x  x0)  y = kx  kx0 + y0

 Đường thẳng d tiếp xúc với đồ thị (C) hệ phương trình sau có nghiệm f(x) kx kx y (1)0

f '(x) k (2)

   

 

 

 Thế (2) vào (1) để tìm hồnh độ tiếp điểm x Thế hồnh độ tiếp điểm x

vào phương trình (2) để tìm hệ số góc k tiếp tuyến

+ Chú ý : Khi (2) vào (1) giả sử thu phương trình ẩn số x kí hiệu (*)

Thơng thường phương trình (*) có nghiệm x qua điểm M có nhiêu tiếp tuyến đến đồ thị (C).Từ ta giải tốn “Tìm điều kiện để qua điểm M vẽ đến đồ thị (C) n tiếp tuyến"

Dạng : Cho hai đồ thị (C1): y = f(x) (C2): y = g(x)

(C1) tiếp xúc với (C2) hệ phương trình sau có nghiệm

f(x) g(x) f '(x) g'(x)

 

 



B ĐỀ THI

Bài 1: ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2011 Cho hàm số  



x y

2x Chứng minh với m đường thẳng y = x + m

luôn cắt đồ thị (C) hai điểm phân biệt A B Gọi k1, k2 hệ số góc

của tiếp tuyến với (C) A B Tìm m để tổng k1 + k2 đạt giá trị lớn Giải

Phương trình hồnh độ giao điểm (C) đường thẳng d: y = x + m  



x

2x = x + m – x + = (2x – 1)(x + m) ( x =

2 không nghiệm)

2x2 + 2mx – (m + 1) = (1)

Phương trình (1) có ' = m2 + 2m + = (m + 1)2 + > 0, mR

Suy phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt nên d cắt (C) hai điểm phân biệt A, B

Hoành độ tiếp điểm A B x1 x2 nghiệm phương trình (1) nên theo

định lý Viét ta có: x1x2   b m

a vaø

   

1 c m

x x

a

Theo ý nghĩa hình học đạo hàm ta có:

   

     

 

1 2 2 2

1

1

k k y'(x ) y'(x )

   

   

  

 

 

2

1

2

1

2x 2x

2x 2x

   

 

   

 

    

 

2

1 2

2

1 2

4 x x x x

4x x x x

   

 

    

 

    

 

2

1 2

2

1 2

4 x x 8x x x x

4x x x x

   

 

  

     

 

 

      

   

 

 

2

2

m

4 m m

2 m

4 m

2

   

 

    

 

2

2

4m 4m 4m

2m 2m

   

  4m28m 6  4 m 1 2  2

Do k1 + k2 đạt giá trị lớn – m = –1

Vậy m = –1 k1 + k2 đạt giá trị lớn Bài 2: CAO ĐẲNG KHỐI A, B, D NĂM 2011

Cho hàm số y 1x3 2x2 3x

    

Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) giao điểm (C) với trục tung

Giaûi

Giao điểm (C) trục tung: A(0; 1) y' = –x2 + 4x –  y'(0) = –3

Phương trình tiếp tuyến (C) taïi A: y – = –3 (x – 0)  y = –3x +

Baøi 3: CAO ĐẲNG KHỐI A, B, D NĂM 2010

Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) hàm số y = x3 + 3x2 –

điểm có hồnh độ –1

Giải

Gọi A điểm (C) có hồnh độ x = –1  tung độ điểm A Hệ số góc tiếp tuyến A y'(–1) = –3

Vậy phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) điểm A: d : y – = –3(x + 1)  y = –3x –

Bài 4: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2010

Cho hàm số y = –x4 – x2 + đồ thị (C)

Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C), biết tiếp tuyến vng góc với đường thẳng y1x 1

6

Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học –

Tập xác định: D = R; y' = – 4x3 – 2x Caùch 1:

Tiếp tuyến  vuông góc d: y 1x

  nên phương trình  có dạng y =  6x + b  tiếp xúc (C)  Hệ sau có nghiệm:      

   



4

x x 6x b

4x 2x 

x b 10    



Vậy tiếp tuyến  có phương trình y =  6x + 10

Cách 2:

Gọi M(x0; y0) (C) tiếp điểm

Tiếp tuyến  vuông góc d:y 1x

 

 f'(x0) =  4x 30  2x0 =   x0 =  y0 =

Vậy tiếp tuyến  có phương trình: y  = 6(x  1)  y =  6x + 10

Bài 5: ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2009 Cho hàm số y = x

2x 

 (1)

Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số (1), biết tiếp tuyến cắt trục hoành, trục tung hai điểm phân biệt A, B tam giác OAB cân gốc tọa độ O

Giải

 Tập xác định: D \     

 , y' =  2

1 0

2x

 

 , x  D

Tam giác OAB vuông cân O, suy hệ số góc tiếp tuyến 1 Gọi tọa độ tiếp điểm (x0; y0), ta có:

 2 0

0

1 1 x 2 x 1

2x 3      

 x0 = 1, y0 = 1; phương trình tiếp tuyến y =  x (loại tiếp tuyến qua gốc

tọa độ)

 x0 = 2, y0 = 0; phương trình tiếp tuyến y =  x – (thỏa mãn)

Vậy tiếp tuyến cần tìm có phương trình y =  x –

Bài 6: ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2008

Cho hàm số y = 4x3 – 6x2 + (1)

Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số (1), biết tiếp tuyến qua điểm M(–1; –9)

Nhận thấy đường thẳng x = 1 không tiếp tuyến đồ thị hàm số (1)

 Gọi  đường thẳng qua M(1; 9) có hệ số góc k : y = k(x + 1) –

  tiếp tuyến đồ thị hàm số (1) hệ sau có nghiệm

2

4x 6x k(x 1) (2)

12x 12x k (3)

     

 

 



Thay (3) vào (2) ta được: 4x3 – 6x2 + = (12x2 – 12x)(x + 1) –

 (x + 1)2(4x + 5) =    

  

x

5 x

4

 Với x = 1 k = 24 1: y = 24x + 15

 Với x5

4  15 k

4  2  

15 21

: y x

4

Các tiếp tuyến cần tìm là: 1: y = 24x + 15 2: y15x21

4

Bài 7: CAO ĐẲNG CÔNG NGHIỆP THỰC PHẨM KHỐI B NĂM 2007 Cho hàm số  

 x y

x (1)

Đường thẳng (d) qua điểm A(0; m) có hệ số góc Tìm m để (d) tiếp xúc với (C)

Giaûi

Đường thẳng (d) qua điểm A(0; m) có hệ số góc nên có phương trình y – m = 2(x – 0)  y = 2x + m

(d) tiếp xúc với (C) 

2

x 2x m (1) x

2 2 (2) (x 1)

     

 

 

  

có nghiệm (2)  x = hay x = 

Thế hai giá trị x vào phương trình (1) ta đáp số toán m = 1, m =

Bài 8: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2007 Cho hàm số y 2x

x 

 có đồ thị (C)

Tìm tọa độ điểm M thuộc (C), biết tiếp tuyến (C) M cắt hai trục Ox, Oy A, B tam giác OAB có diện tích

4

Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học –

 Tập xác định: D \   y 2 0, x D (x 1)

    



Vì M  (C) nên   

 

2m M m;

m

 Phương trình tiếp tuyến d (C) M: y = y'(m)(x  m) + 2m

m 1     

2

2

2 2m

y x

(m 1) (m 1)

 A d Ox  nên tọa độ A thỏa hệ phương trình:                    2 2 2m

y x x m

(m 1) (m 1)

y y

2 A( m ; 0)

 

 B d Oy  nên tọa độ B thỏa hệ phương trình :                      2 2 x 2m

y x 2m

(m 1) (m 1) y

x m

2 2m B 0; (m 1)        

 Tam giaùc OAB có diện tích  1OA.OB

2 4    

2

2

2m m

2 (m 1)                  2

2m m m

2

2m m m 1

Với m

2

  ta coù M 1; 2   

 

 ; với m = ta có M(1; 1) Vậy có hai điểm M thỏa mãn yêu cầu toán: M 1;

2   

 

  M(1; 1) Bài 9: ĐỀ DỰ BỊ ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2006

Cho hàm số y =   x

x (C)

Cho điểm M0(x0; y0)  (C) Tiếp tuyến (C) M0 cắt tiệm cận (C)

tại A B Chứng minh M0 trung điểm đoạn AB Giải

 M0(x0; y0)  (C)  y0 = 

 0

x

x

: y =

   

  

 0

0

4 x x y

x

 Giao điểm  với tiệm cận ngang nghiệm hệ phương trình         

  

0

2

4

y x x y

x

y

 A(2x0 – 1; 1)

 Giao điểm  với tiệm cận đứng nghiệm hệ phương trình         

  

2

2

4

y x x y

x

x

 B

0

x

1;

x

  

  

 

Ta thaáy A B

0

x x x

2

A, B, M thẳng hàng



 

 

  M0 trung điểm đoạn AB

Bài 10 : ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2006 Cho hàm số y x2 x

x   

 có đồ thị (C)

Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C), biết tiếp tuyến vng góc với tiệm cận xiên (C)

Giaûi

Ta coù y x2 x x 1

x x

 

   

 

Tiệm cận xiên đồ thị (C) có phương trình y = x  1, nên tiếp tuyến vng góc với tiệm cận xiên có hệ số góc k = 1

Hoành độ tiếp điểm nghiệm phương trình:

y' = 1 1 2 x 2

2 (x 2)

      



Với x 2 y 3

2

     

Phương trình tiếp tuyến là:(d ): y1   x 2 5 Với x  2 2  y 23

2

Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học – Cho hàm số:

4 x y

2

  2(x2  1) có đồ thị (C). Viết phương trình đường

thẳng qua điểm A(0; 2) tiếp xúc với (C)

Giaûi

Nhận thấy đường thẳng x = không tiếp tuyến (C)

 Gọi d đường thẳng qua A(0; 2) có hệ số góc k  d: y = kx + d tiếp xúc với (C) 



   

 

  



2

x 2(x 1) kx (1)

2

2x 4x k (2)

có nghiệm

Thế (2) vào (1) ta 3x4 – 8x2 = 

x k

8

x k

3 3

8

x k

3 3

   



   

  

      

Vậy có ba tiếp tuyến cần tìm: y = 2, y 2x 3   

Bài 12 : ĐỀ DỰ BỊ ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2006 Cho hàm số: y =  



x x

x

Viết phương trình tiếp tuyến (C) qua A(0; 5)

Giải

 Gọi  đường thẳng qua A(0; 5) có hệ số góc k (vì đường thẳng x = không tiếp tuyến đồ thị)

: y = k(x – 0) – = kx –

  tiếp xúc (C) 

 

   

  

 

 

  

 

  

2

2

x x kx 5 1

x

có nghiệm

x 2x k 2

x

Thay (2) vào (1) ta được:

      

2

2

x x x 2xx 5

x x 1

 (x2 – x – 1)(x + 1) = x3 + 2x2 – 5(x2 + 2x + 1)

 3x2 + 8x + =  1

2 2

x k : y

2

x k : y 8x

3

       

 

          



Bài 13: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2005

Gọi (Cm) đồ thị hàm số y 1x3 mx2

3

   (m laø tham soá)

Gọi M điểm thuộc (Cm) có hồnh độ 1 Tìm m để tiếp tuyến (Cm)

tại điểm M song song với đường thẳng 5x  y =

Giaûi

Tập xác định: D = Ta có: y' = x2 mx

Điểm M thuộc (Cm) có hoành độ x =  M 1; m

2 

 

 

  Tiếp tuyến M (Cm)

: y + m y ( 1)(x 1) y (m 1)x m

2

 

       

 song song với d: 5x  y = (hay d: y = 5x)

m

m m

2   

  

  

 Vaäy m =

Bài 14: ĐỀ DỰ BỊ

Gọi (Cm) đồ thị hàm số y = x3+ (2m + 1)x2 m  (m tham số)

Tìm m để đồ thị (Cm) tiếp xúc với đường thẳng y = 2mx  m  Giải

d tieáp xuùc (Cm)         

   



3

2

x (2m 1)x m 2mx m (1)

3x 2(2m 1)x 2m (2) coù nghieäm

     

   



2

x[x (2m 1)x 2m]

3x 2(2m 1)x 2m 

                        2 x

3x 2(2m 1)x 2m

x (2m 1)x 2m

3x 2(2m 1)x 2m

                   2 x m

x (2m 1)x 2m

2x (2m 1)x

                 x m x 1 m

Vậy có giá trị thỏa mãn yêu cầu toán làm m   

Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học – Cho hàm số y 2x

x  

 có đồ thị (C)

Gọi I giao điểm hai đường tiệm cận (C) Tìm điểm M thuộc (C) cho tiếp tuyến (C) M vng góc với đường thẳng IM

Giải

Vì M (C) nên M m; 2m m



 

  

 

 Hệ số góc tiếp tuyến M là: k1 = f (m) 2

(m 1) 

 



 (C) có đường tiệm cận đứng x = đường tiệm cận ngang y = I giao điểm hai đường tiệm cận (C)  I(1; 2)

 IM m 1; 2m

m           = m 1; m        

 Hệ số góc đường thẳng IM là: k2 = 2

1

a

a (m 1)

 Vì tiếp tuyến (C) M vuông góc IM nên ta coù:

k1.k2 = –          



  

4

2

m

1 1 (m 1) 1

m (m 1) (m 1)

Với m =  M(0; 1) Với m =  M(2; 3)

Bài 16 : ĐỀ DỰ BỊ

Cho hàm số y1x31x22x4

3 có đồ thị (C)

Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C), biết tiếp tuyến song song với đường thẳng d: y = 4x +

Giaûi

Do tiếp tuyến  song song với d nên  có phương trình: y = 4x + b (b  2)  tiếp xúc (C)  f(x) g(x)

f (x) g (x)        2

1x 1x 2x 4x b

3

x x

                   1 2 x nhaän 26 b x nhaän 73 b               Vậy ta có tieáp tuyeán 1: y = 4x  26

3 ; 2 = y = 4x + 73

6

Cho hàm số y 2m x m x

 



 (1) (m tham số) Tìm m để đồ thị hàm số (1) tiếp xúc với đường thẳng y = x

Giaûi

Đồ thị hàm số (1) tiếp xúc với đường thẳng y = x



 

 

 

  

 

 

 

 

  

2 2 2m x m

x x

m 1 x

có nghiệm   

   

  

 

   



2

2

x m

x m có nghiệm x 

 m 

 Vấn đề 11: SỰ TƯƠNG GIAO CỦA HAI ĐỒ THỊ

A PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Lập phương trình hoành độ giao điểm hai đồ thị

Dạng : Phương trình hồnh độ giao điểm có dạng: ax2 + bx + c = (*) 1. Hai đồ thị cắt điểm phân biệt

 Phương trình (*) có nghiệm phân biệt  a 0   

  

2. Hai đồ thị cắt điểm phân biệt nằm bên phải trục tung  Hai đồ thị cắt điểm phân biệt có hồnh độ dương  Phương trình (*) có nghiệm dương phân biệt

 S P        

Với S = b P = c

a a

  

 

 

3 Hai đồ thị cắt điểm phân biệt nằm bên trái trục tung  Hai đồ thị cắt điểm phân biệt có hồnh độ âm

 Phương trình (*) có nghiệm âm phân biệt  S P        

4 Hai đồ thị cắt điểm phân biệt nằm hai phía trục tung  Hai đồ thị cắt điểm phân biệt có hồnh độ trái dấu

 Phương trình (*) có nghiệm trái dấu  P <

Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học –

 Phương trình (*) có nghiệm phân biệt dấu  P     

Dạng : Phương trình hồnh độ giao điểm có dạng: ax3 + bx2 + cx + d = (*)

Ở ta xét phương trình (*) nhẩm nghiệm x = x0, nghĩa phương

trình (*) đưa dạng:

(x – x0) (ax2 + Bx + C) =  2

x x

g(x) ax Bx C (1) (a 0)

  

     

 1. Hai đồ thị có điểm chung  Phương trình (*) có nghiệm

 Phương trình (1) có vơ nghiệm có nghiệm kép x = x0



0 g

g vaø g(x )  



  



2. Hai đồ thị có điểm chung phân biệt  Phương trình (*) có nghiệm phân biệt



0

Phương trình (1) có nghiệm kép khác x

Phương trình (1) có nghiệm phân biệt có nghiệm x = x

   

0

g g

hoặc

g(x ) g(x )

   

 

   

 

3. Hai đồ thị có điểm chung phân biệt  Phương trình (*) có nghiệm phân biệt

 Phương trình (1) có nghiệm phân biệt khác x0

0 g g(x )   

 



Dạng 3: Phương trình hồnh độ giao điểm có dạng : ax4 + bx2 + c = (*)

Đặt t = x2 Phương trình (*) trở thành at2 + bt + c = (1) (a  0) 1. Hai đồ thị có điểm chung phân biệt

 Phương trình (*) có nghiệm

 Phương trình (1) có nghiệm nghiệm

Phương trình (1) có nghiệm nghiệm âm

  

 b = c =

c vaø a.b >

  



2 Hai đồ thị có điểm chung phân biệt  Phương trình (*) có nghiệm

 Phương trình (1) có nghiệm trái dấu  ac <

 Phương trình (*) có nghiệm

 Phương trình (1) có nghiệm nghiệm dương  c = ab <

4. Hai đồ thị có điểm chung phân biệt  Phương trình (*) có nghiệm

 Phương trình (1) có nghiệm dương phân biệt 

0 S P        

B ĐỀ THI

Bài : ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2011 Cho hàm số y 2x

x  

 Tìm k để đường thẳng y = kx + 2k + cắt đồ thị (C) hai điểm phân biệt A, B cho khoảng cách từ A B đến trục hồnh

Giải

Phương trình hồnh độ giao điểm đường thẳng d: y = kx+2k +1 (C) là:

 

2x

x = kx + 2k +  kx

2 + (3k–1)x + 2k = (*) (Vì x =–1 không nghiệm)

 d cắt (C) hai điểm  Phương trình (*) có hai nghiệm     

         

 

 

k k

k 6k k 2 k 2 (I)

 Khi đó, hồnh độ xA, xB A B nghiệm phương trình (*) nên áp

dụng định lý Viét ta coù: xA + xB = b 3k

a k

 A B thuộc d nên yA = kxA + 2k + yB = kxB + 2k +

 Ta có: Khoảng cách từ A B đến trục hồnh

 yA  yB kxA2k kx  B2k 1 

 

     



     



A B

A B

kx 2k kx 2k

kx 2k kx 2k   

 



   



A B

A B

x x (Loại (*) có nghiệm)

k x x 4k

     

 

1 3k

k 4k

k  k = – (Thoûa (I))

Vậy k = thỏa yêu cầu toán

Bài 2: ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2010

Cho hàm số y = x3 – 2x2 + (1 – m)x + m (1), m số thực

Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học –

độx1, x2, x3 thỏa mãn điều kiện: x12x22x234 Giải

Phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị hàm số (1) trục hoành là: x3 – 2x2 + (1 – m)x + m =  (x – 1) (x2 – x – m) =

 x = hay g(x) = x2 – x – m = (2)

Gọi x1, x2 nghiệm phương trình (2) x3 =

Với điều kiện (2) có nghiệm, theo định lí Viét ta có: x1 + x2 = x1.x2 = – m

Do yêu cầu tốn tương đương với:

Phương trình (2) có hai nghiệm x1, x2 phân biệt khác thoûa x12x22124

 (2)

2

1

1 4m

g(1) m

x x

   



   

   





 2

1 2

1 m

4 m

x x 2x x

    

  

  

 



1 m

4 m 2m     

 

  

 

 m 14

m    

   

Bài : ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2010 Cho hàm số y = 2x

x   (C)

Tìm m để đường thẳng y = 2x + m cắt đồ thị (C) hai điểm phân biệt A, B cho tam giác OAB có diện tích (O gốc tọa độ)

Giải

Phương trình hồnh độ giao điểm (C) đường thẳng d: y = 2x +m

2x 2x m

x

   

  2x

2 + (4  m)x +  m = (*) (vì x = 1 không nghiệm)

 Phương trình (*) có  = m2 + > 0, m nên d cắt (C) điểm A, B

 Vì A, B thuộc đường thẳng y =  2x + m

nên yA =  2xA + m yB =  2xB + m, với xA,, xB nghiệm phương trình (*)

Ta có: OAB

S  31x yA A x yB B

2   xA2xBmxB2xAm 2 m x AxB 2  m x2 AxB2 12  m2m2 12

4    m4 + 8m2 48 =  m2 =  m = 

Bài : ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2009

2

x x

y

x  

 hai điểm phân biệt A, B cho trung điểm đoạn thẳng AB thuộc trục tung

Giải

Phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị đường thẳng y =  2x + m là:

x2 x 2x m

x

      x2 + x – = x(– 2x + m) (vì x = khômg nghiệm)

 3x2 + (1 – m)x – = (1)

 Vì a.c < nên phương trình (1) có nghiệm phân biệt 

Do đồ thị đường thẳng y =  2x + m cắt điểm phân biệt A, B

 Gọi I trung điểm AB, ta có A B I

x x b m

x

2 2a

 

   

Theo giả thiết ta có I  Oy  xI =  m =

Bài : ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2009

Tìm giá trị tham số m để đường thẳng y =  x + m cắt đồ thị hàm số y x2

x 

 điểm phân biệt A, B, cho AB =

Giải

Phương trình hoành độ giao điểm đồ thị đường thẳng y =  x + m :  x mx21

x  2x

2 – mx – = (*) (vì x = không nghiệm (*))

 Vì 2.(1) < nên phương trình (*) ln có nghiệm phân biệt khác Do đồ thị đường thẳng y =  x + m cắt điểm phân biệt A, B

 Vì A, B thuộc đường thẳng y =  x + m nên yA =  xA + m yB =  xB + m

Do A(xA;  xA + m ); B(xB;  xB + m ) với xA, xB nghiệm phương trình (*)

Ta coù : AB =  (xB – xA)2 + [(– xB + m) – (– xA + m)]2 = 16

 2(xB – xA)2 = 16

 (xB – xA)2 = 

2

m 8

4

   m = 6 Bài : ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2009

Cho hàm số y = x4 – (3m + 2)x2 + 3m có đồ thị (C

m), m tham số

Tìm m để đường thẳng y = –1 cắt đồ thị (Cm) điểm phân biệt có

hồnh độ nhỏ

Giaûi

Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học – x4 – (3m + 2)x2 + 3m = 

 x4 – (3m + 2)x2 + 3m + =  x = 1 hay x2 = 3m + (*)

Đường thẳng y = 1 cắt (Cm) điểm phân biệt có hồnh độ nhỏ

 Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt khác 1 nhỏ

 3m

3m 1

  



  

 

1 m

m    

   

Bài 7: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2008 Cho hàm số y = x3 – 3x2 + (1)

Chứng minh đường thẳng qua điểm I(1; 2) với hệ số góc k (k > –3) cắt đồ thị hàm số (1) ba điểm phân biệt I, A, B đồng thời I trung điểm đoạn thẳng AB

Giaûi

Gọi d đường thẳng qua I(1; 2) có hệ số góc k (k > 3) d: y = k(x – 1) +

Phương trình hồnh độ giao điểm (C) d là: x3 – 3x2 + = k(x – 1) +

 (x – 1)(x2 – 2x – k – 2) = (*)

 x x2I

g(x) x 2x k (1)   



     



 Do k > 3 nên phương trình (1) có: k

g(1) k

    

    



 Phương trình (1) có nghiệm phân biệt x1, x2 khác

 Phương trình (*) có nghiệm phân biệt

 Đường thẳng d cắt đồ thị (C) điểm phân biệt A, B, I

 Mặt khác

A B

I

x x x x

1 x

2

A, B, I thẳng hàng

 

   

 



 I trung điểm đoạn thẳng AB (Điều phải chứng minh)

Baøi : CAO ĐẲNG KHỐI A, B, D NĂM 2008 Cho hàm số 

 x y

x

Tìm m để đường thẳng d: y = x + m cắt đồ thị (C) hai điểm phân biệt

Giaûi

x x m x 1   

 x = (x + m)(x – 1) (vì x = nghiệm)  x2 – mx + m = (*)

d caét (C) điểm phân biệt  (*) có nghiệm phân biệt  >  m2 – 4m >  m <  m >

Bài 9: CAO ĐẲNG KINH TẾ ĐỐI NGOẠI KHỐI A, D NĂM 2007 Cho hàm số : y = (x – 1)(x2 – 2mx – m – 1) (1) (m tham số)

Định m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hồnh điểm phân biệt có hồnh độ lớn 1

Giải

Phương trình hoành độ giao điểm đồ thị với trục Ox là:

(x – 1)(x2 – 2mx – m – 1) =  x = hay f(x) = x2 – 2mx – m – = (2) Caùch 1:

Đồ thị cắt trục hồnh điểm phân biệt có hồnh độ lớn 1  Phương trình (2) có nghiệm phân biệt lớn 1 khác



2

m m

S m 1

2

f( 1) m

f(1) 3m

     



    

    

  



 m >

Caùch 2:

Đặt t = x + Phương trình (2) trở thành:

(t – 1)2 – 2m(t – 1) – m – =  g(t) = t2 – 2(1 + m)t + m = (3)

Đồ thị cắt trục hồnh điểm phân biệt có hồnh độ lớn 1  Phương trình (2) có nghiệm x phân biệt lớn 1 khác  Phương trình (3) có nghiệm t phân biệt lớn khác 

2

m m

S 2(1 m) P m

g(2) 3m

     



   



 



   



 m >

Bài 10: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2006 Cho hàm số: y = x3 3x + có đồ thị (C)

Gọi d đường thẳng qua điểm M(3; 20) có hệ số góc m Tìm m để đường thẳng d cắt đồ thị (C) điểm phân biệt

Giaûi

Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học –

x33x m(x 3) 20    (x 3)(x 23x m) 0   Đường thẳng d cắt đồ thị (C) điểm phân biệt khi: f(x) x 23x m  có hai nghiệm phân biệt khác

 4(6 m) m 154

f(3) 24 m m 24

       

 

  

  

Bài 11: ĐỀ DỰ BỊ

Cho hàm số y = x4 mx2 + m  (1) (m tham số)

Xác định m cho đồ thị hàm số (1) cắt trục hồnh điểm phân biệt

Giải

 Phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị hàm số (1) trục Ox là:

x4– mx2 + m – = (*)

Đặt t = x2 Phương trình (*) trở thành: t2 – mt + m – = (**)

 Đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành điểm phân biệt  Phương trình (*) có nghiệm phân biệt

 Phương trình (**) có hai nghiệm phân biệt dương

  

2

0 m m

m

S m 0

m

P m 0



    

  

   

   

 

  

   

 Vấn đề 12: TÍNH CHẤT ĐỐI XỨNG

A PHƯƠNG PHÁP GIẢI

1/ Điểm A(x; y) đối xứng với điểm B qua gốc tọa độ O  B(x; y) 2/ Điểm A(x; y) đối xứng với điểm B qua trục hoành  B(x; y) 3/ Điểm A(x; y) đối xứng với điểm B qua trục tung  B(x; y)

4/ Điểm A(x; y) đối xứng với điểm B qua đường phân giác góc phần tư thứ I : y = x  B(y; x)

5/ Điểm A(x; y) đối xứng với điểm B qua đường phân giác góc phần tư thứ II: y = x  B(y; x)

6/ Hai điểm A B đối xứng với qua điểm M  M trung điểm đoạn AB

7/ Hai điểm A B đối xứng với qua đường d: y = ax + b (a  0)  AB  d

Baøi 1: CAO ĐẲNG TÀI CHÍNH – HẢI QUAN NĂM 2007 Cho hàm số y =x2 4x

x có đồ thị (C)

Tìm (C) hai điểm phân biệt A, B đối xứng qua đường thẳng d: x – y + =

Giaûi

Gọi () đường thẳng vng góc với d  (): x + y + m = Hoành độ giao điểm I (d) () x1 = m

2  Phương trình hồnh độ giao điểm () (C) là: x +  



x 4x

x + m =  2x

2 + (m + 5)x + m + = (2) (x 1)

Với điều kiện (2) có nghiệm xA, xB phân biệt khác 1

Ta có: A, B đối xứng qua đường thẳng d: x – y + =  I trung điểm AB

 A B

I

I, A, B thẳng hàng (hiển nhieân)

x x

x

2 



  



m m

2

 

   2(m + 6) = m +  m = 7 Khi aáy (2)  2x2 – 2x =

 x =  x = (Thỏa điều kiện (2) có nghiệm phân biệt khác 1) Với x =  y = 7, x =  y =

Vậy: A(0; 7), B(1; 6) A(1; 6), B(0; 7)

Bài 2: ĐỀ DỰ BỊ - ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2006 Cho hàm số: y = x3 x2 3x 11

3

    (C)

Tìm đồ thị (C) hai điểm phân biệt M, N đối xứng qua trục tung

Giaûi

Gọi M(x1; y1), N(x2; y2)  (C) đối xứng qua Oy

Yêu cầu toán tương đương với

23

2

1

2 1 2

x x

x x

x 11 x 11

y y x 3x x 3x

3 3

   

  

 

  

      

 

    

 

       

 

2

3

2

1

1 1

x x

x x 3x 11 x x 3x 11

Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học –     

 



2

3

1

x x

x 9x

    

 

 

  

 

 

1

2

x x

x x



   

 

     

1

2

16

x y

3 16

x y

3

; 

     



   



1

2

16

x y

3 16

x y

3 Vaäy M 3;16 ; N 3;16

3

   

   

    hay

16 16

M ; ; N 3;

3

   

   

   

Baøi 3:

Cho haøm số y = x3 3x2 + m (1) (m tham số)

Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm phân biệt đối xứng với qua gốc tọa độ O

Giaûi

Gọi A B hai điểm đối xứng qua gốc tọa độ Giả sử A(x; y) B(x; y)

Vì A, B  (Cm) nên ta có: (I)

3

3

y x 3x m (1)

y x 3x m (2)

   

 

     

Cộng vế tương ứng (1) (2) suy ra: m = 3x2 (3)

Yêu cầu toán tương đương với (3) có nghiệm x   m > (vì có x ta tính y)