Tài liệu học tập Toán 11 học kì 2 - Trần Quốc Nghĩa - TOANMATH.com

Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng ..... Ch ứng minh hai mặt phẳng vuông góc ...[r]

(1)

(2)

TÀI LIỆU HỌC TẬP TỐN 11 HỌC KÌ II NĂM HỌC 2020-2021

Chủ đề GIỚI HẠN – LIÊN TỤC

Vấn đề GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ

Dạng Dãy có giới hạn 0

Dạng Khử dạng vô định /

Dạng Khử dạng vô định  - 

Dạng Cấp số nhân lùi vô hạn 11

BÀI TẬP CƠ BẢN NÂNG CAO VẤN ĐỀ 1 12

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM VẤN ĐỀ 14

Vấn đề GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ 21

Dạng Định nghĩa giới hạn 22

Dạng Giới hạn bên 25

Dạng Khử dạng vô định/ 28

Dạng Khử dạng vô định 31

Dạng Khử dạng vô định  - ,  35

Dạng Sử dụng đồ thị để tìm giá trị giới hạn 37

BÀI TẬP CƠ BẢN NÂNG CAO VẤN ĐỀ 40

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM VẤN ĐỀ 47

Vấn đề HÀM SỐ LIÊN TỤC 51

Dạng Xét tính liên tục hàm số điểm 52

Dạng Xét tính liên tục hàm số trên khoảng, đoạn 57

Dạng Chứng minh phương trình có nghiệm 63

Dạng Xét dấu biểu thức 67

BÀI TẬP CƠ BẢN NÂNG CAO VẤN ĐỀ 69

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM VẤN ĐỀ 3 73

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM CHƯƠNG 75

CÁC ĐỀ KIỂM TRA CHƯƠNG 83

ĐỀ SỐ – THPT Nguyễn Trãi, Thanh Hóa 83

ĐỀ SỐ – THPT Hoàng Thái Hiếu, Vĩnh Long 84

ĐỀ SỐ – THPT Nguễn Trung Trực, Bình Định 86

(3)

ĐỀ SỐ – THPT Nho Quan A, Ninh Bình 91

ĐỀ SỐ – THPT An Hải, Hải Phòng 92

ĐỀ SỐ – THPT Đoàn Thượng, Hải Dương 93

ĐỀ SỐ – Nguồn Internet 95

ĐỀ SỐ – THPT Thị xã Quảng Trị 96

ĐỀ SỐ 10 – THPT Đoàn Thượng, Hải Dương (18-19) 98

Chủ đề ĐẠO HÀM Vấn đề ĐẠO HÀM VÀ Ý NGHĨA CỦA ĐẠO HÀM 101

Dạng Tìm số gia hàm số 103

Dạng Tính đạo hàm bằng định nghĩa 104

Dạng Quan hệ liên tục đạo hàm 106

Dạng Ý nghĩa hình học đạo hàm: Bài toán tiếp tuyến 108

Dạng Ý nghĩa Vật lí đạo hàm cấp 113

Vấn đề CÁC QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM 114

Dạng Tìm đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương hàm số 115

Dạng Tìm đạo hàm của hàm số lượng giác 117

Dạng Phương trình, bất phương trình chứa đạo hàm 120

Dạng Sử dụng đạo hàm chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức 122

Vấn đề VI PHÂN – ĐẠO HÀM CẤP CAO 124

Dạng Tìm vi phân của hàm số 125

Dạng Tính gần giá trị hàm số 127

Dạng Tính đạo hàm cấp cao hàm số 128

Dạng Ý nghĩa đạo hàm cấp hai 129

Dạng Tìm cơng thức đạo hàm cấp n 130

Dạng Chứng minh đẳng thức có chứa đạo hàm 131

Vấn đề SỬ DỤNG ĐẠO HÀM TRONG CÁC BÀI TỐN CĨ CHỨA Cnk 133 Vấn đề DÙNG ĐỊNH NGHĨA ĐẠO HÀM ĐỂ TÌM GIỚI HẠN 136

Vấn đề MỘT SỐ DẠNG TOÁN NÂNG CAO VỀ TIẾP TUYẾN 139

BÀI TẬP CƠ BẢN NÂNG CAO CHỦ ĐỀ 147

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM CHỦ ĐỀ 156

1 ĐỊNH NGHĨA VÀ Ý NGHĨA CỦA ĐẠO HÀM 156

(4)

3 ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC 165

4 VI PHÂN 170

5 ĐẠO HÀM CẤP CAO 172

CÁC ĐỀ KIỂM TRA CHƯƠNG 178

ĐỀ SỐ – THPT Chương Mỹ B, Hà Nội 178

ĐỀ SỐ – THPT Hoàng Văn Thụ , Hịa Bình 80

ĐỀ SỐ – THPT Vĩnh Lộc, Huế 182

ĐỀ SỐ - THPT Nho Quan A, Ninh Bình 184

ĐỀ SỐ – THPT Nguyễn Trung Trực, Bình Định 185

ĐỀ SỐ – THPT Nguyễn Khuyến, Bình Phước 186

ĐỀ SỐ – THPT Nam Hà, Đồng Nai 188

ĐỀ SỐ – THPT Đoàn Thượng, Hải Dương 190

ĐỀ SỐ – THPT Triệu Quang Phục, Hưng Yên 193

ĐỀ SỐ 10 – THPT Cây Dương, Kiên Giang 195

Chủ đề VÉCTƠ TRONG KHÔNG GIAN QUAN HỆ VUÔNG GĨC Vấn đề VÉCTƠ TRONG KHƠNG GIAN 197

Dạng Tính tốn véctơ 199

Dạng Chứng minh đẳng thức véctơ 203

Dạng Quan hệ đồng phẳng 205

Dạng Cùng phương song song 206

BÀI TẬP CƠ BẢN NÂNG CAO VẤN ðỀ 207

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 209

Vấn đề HAI ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC 210

Dạng Chứng minh vng góc 211

Dạng Góc hai đường thẳng 212

Vấn đề ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC MẶT PHẲNG 219

Dạng Chứng minh đường thẳng vng góc với mặt phẳng 221

Dạng Góc đường thẳng và mặt phẳng 226

Dạng Thiết diện qua một điểm và vng góc với đường thẳng cho trước 230

Dạng Điểm cố định - Tìm tập hợp điểm 233

(5)

Vấn đề HAI MẶT PHẲNG VNG GĨC 239

Dạng Góc hai mặt phẳng 241

Dạng 2. Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc 245

Dạng Thiết diện chứa đường thẳng a và vng góc với (α) 248

Dạng Hình lăng trụ– Hình lập phương – Hình hộp 250

Vấn đề KHOẢNG CÁCH 256

Dạng Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng, mặt phẳng 257

Dạng Khoảng cách hai đường thẳng chéo 260

BÀI TẬP TỔNG HỢP CHỦ ðỀ 269

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM TỔNG HỢP CHỦ ðỀ 3 275

PHỤ LỤC A – KIẾN THỨC CƠ BẢN 285

B – CÔNG THỨC CƠ BẢN 286

C – MỘT SỐ HÌNH THƯỜNG GẶP 287

HÌNH 287

HÌNH 289

HÌNH 290

HÌNH 292

HÌNH 294

HÌNH 6a 295

HÌNH 6b 296

(6)

GIỚI HẠN – LIÊN TỤC VVVVấn đề GIỚI HẠN CỦA Dấn đề GIỚI HẠN CỦA Dấn đề GIỚI HẠN CỦA Dấn đề GIỚI HẠN CỦA DÃY SÃY SÃY SỐỐỐỐ ÃY S

A A A

A GIGIGIGIỚỚỚỚI HI HI HẠI HẠẠẠN HN HỮN HN HỮỮU HỮU HU HẠU HẠẠẠNNNN

  

 Giới hạn hữu hạn

• lim n 0 n

n→+∞u = ⇔ u có th

ể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng đó trởđi

• Dãy số ( )un có giới hạn L nếu: lim n lim( n ) 0 n→+∞v =L⇔n→+∞ v −L = 

 

 Lưu ý: Ta có thể viết gọn: limun =0, limun =L 

 

 Giới hạn ñặc biệt 1) lim1

n= 2)

1

lim 0

n

= 3)

3 1

lim 0

n = 4) un =0⇒limun =0 5) limC=C,∀ ∈C ℝ 6) lim 0

n

q = nếu q <1) 7) lim 1k 0, k *

n = ∈

ℕ 8) limqn = +∞ nếu q>1 9) lim k , * n = +∞ k∈ℕ

  

 ðịnh lí giới hạn

• Nếu hai dãy số ( )un ( )vn có giới hạn ta có:

1) lim(un±vn)=limun±limvn 2) lim(u vn n)=lim limun vn 3) lim lim

lim

n n

u u

v = v (nếu limvn ≠0) 4) lim (k un)=k.limun, (k∈ )

ℝ

5) limun = limun 6) lim2k 2klim

n n

u = u (nếu un≥0) (căn bậc chẵn)

7) lim2k 2k 1lim

n n

u u

+ = + (căn bậc lẻ) 8) Nếu n n

u ≤v limvn =0 limun =0

- ðịnh lí kẹp giới hạn dãy số: Cho ba dãy số ( )un , ( )vn , (wn) L∈ℝ Nếu

n n n

u ≤v ≤w , ∀ ∈n ℕ* limun =limwn =L ( )vn có giới hạn limvn =L

• Nếu limun =a limvn = ±∞ lim 0 n

n u

v = 1) Dãy số tăng bị chặn có giới hạn

2) Dãy số giảm bị chặn dưới có giới hạn 



 Chú ý: e lim 2,718281828459 n

1 1+

n

 

=   ≈

  , một số vô tỉ

 

 Tổng cấp số nhân lùi vô hạn

• Một cấp số nhân có cơng bội q với |q|<1 ñược gọi cấp số nhân lùi vơ hạn

Ta có :

1 1

1

S u u q u q u

q

= + +… =

−

+ (với |q|<1)

4

(7)

B B B

B GIGIGIGIỚỚỚỚI HI HI HẠI HẠN VÔ CẠẠN VÔ CN VÔ CN VÔ CỰỰỰỰCCC C

  

 ðịnh nghĩa • lim n

n→+∞u

= +∞ nếu với mỗi số dương tùy ý cho trước, mọi số hạng của dãy số, kể từ một số

hạng đó trởđi, đều lớn hơn số dương đó

• lim n

n→+∞u = −∞ nếu với mỗi số âm tùy ý cho trước, mọi số hạng của dãy số, kể từ một số hạng

nào đó trởđi, đều nhỏ hơn số âm đó

• lim n lim( n)

n→+∞u = −∞ ⇔n→+∞ −u = +∞  Lưu ý: Ta có thể viết gọn: limun = ±∞ 

 

 ðịnh lí −− −− lim n = +∞ lim 1 =0

n

Neáu u thì

u

− Nếu lim =0, ( ≠0,∀ ∈ℕ)⇔lim 1 = ∞

n n

n

u u n

u 

 

 Một vài qui tắc tìm giới hạn Qui tắc 1:

Nếu limun = ±∞ và limvn = ±∞,

thì lim(u vn n) là:

Qui tắc 2: Nếu limun = ±∞ và limvn =L≠0, thì lim(u vn n) là:

Qui tắc 3:

Nếu limun =L≠0,

limvn =0 vn >0 hoặc

0

n

v < kể từ một số hạng đó trởđi thì:

Dạng1.Dãycógiớihạn0 A PHƯƠNG PHÁP GIẢI

• Dãy ( )un có giới hạn 0 nếu mỗi số dương nhỏ tùy ý cho trước, mọi số hạng của dãy

số, kể từ một số hạng đó trởđi, đều có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn số dương đó

Khi đó ta viết: lim( )un =0 hoặc limun =0 hoặc un →0 *

0

limun =0⇔ ∀ >ε 0,∃n ∈ℕ :n>n ⇒ un <ε • Một số kết quả: (xem phần tóm tắt lý thuyết)

  

 Chú ý: Sử dụng phương pháp quy nạp ñể chứng minh, ñánh giá biểu thức lượng giá,

nhân liên hợp của căn thức, …

B BÀI TẬP MẪU Ví dụ 1. Chứng minh ( )1

3 2

− =

+

n

n u

n dãy có giới hạn 0

Ta có: 0 1

3

≤ un = < < , ∀ ∈n ℕ* Mà lim1 =0 nên suy lim( )1 0

3 2

− =

n

L Dấu của vn lim n n

u v

+ + − −

+ − + −

+∞ −∞ −∞ +∞ limun

Dấu của

L lim(((( n. n))))

u v

+∞ +∞ −∞ −∞

+ − + −

+∞ −∞ −∞ +∞ limun limvn lim((((u vn. n))))

+∞ +∞ −∞ −∞

+∞ −∞ +∞ −∞

(8)

Ví dụ 2. Chứng minh dãy sau có giới hạn 0:

a)

3 n

u n =

+ b)

( )1 4

n

n u

n − =

+ c)

1 n

u n

= d) un 1k

n

= , k∈ℕ*

c)

3 n n

u = b) ( )1

2

n

n n

u = − c) (0,99)n n

u = d) ( 0,97)n

n u = −

Ví dụ 3. Chứng minh dãy sau có giới hạn 0: a)

( )

1 1

n u

n n =

+ b)

( )

2 1 cos

2

n

n v

n − =

+

(9)

Ví dụ 4. Tính giới hạn sau:

a) sin n

n u

n =

+ b)

cos3 1

n

n u

n =

+ c)

( )1 3 1

n

n n u = −

+ d) ( )

sin 1,

n n

n u =−

Ví dụ 5. Tính: a) ( )

3

2sin 1 lim

2

n n

n n n

+ +

+ b)

( )

3 2 lim

3 4

n

−

+ c) lim( n+ −1 n) d) ( )

lim 2 n + −1 n Ví dụ 6. Chứng minh dãy sau có giới hạn bằng 0: a) un =3 n+ −1 3n b) vn = n3+ −1 n

(10)

Ví dụ 7. Cho dãy số ( )un với n n

n u = a) Chứng minh 2

3

n

n u

u +

< với mọi n b) Chứng minh rằng dãy ( )un có giới hạn 0

Ví dụ 8. Cho dãy số ( )un với 1 1, 1 ,

4

n

n n

u

u = u + =u + n≥ a) Chứng minh 0

4 n

u

< ≤ với mọi n b) Tính limun

(11)

Dạng2.Khửdạngvơđịnh∞∞∞∞

∞ ∞ ∞

∞

A PHƯƠNG PHÁP GIẢI • ðối với dãy

1

0

1

0

, 0, 0

m m

m

n k k

k

a n a n a

u a b

b n b n b

−

+ + +

= ≠ ≠

+ + + chia cả tử lẫn mẫu của phân thức cho lũy thừa lớn nhất của n ở tử m

n hoặc mẫu k

n , việc cũng nhưñặt thừa số chung cho m

n hoặc mẫu nk rồi rút gọn, khử dạng vơ định Kết quả:

0 0

lim

khi n

m k a

u m k

b

m k

 <

 

= =



±∞ >



(dấu +∞ hoặc −∞ tùy theo dấu của

0 a b )

• ðối với biểu thức chứa căn bậc hai, bậc ba cũng đánh giá bậc tử mẫu để đặt thừa số

chung rồi đưa ngồi căn thức, việc cũng như chia tử mẫu cho lũy thừa số lớn của n ở tử hoặc mẫu

• ðối với biểu thức mũ chia tử mẫu cho mũ có cơ số lớn nhất ở tử hoặc mẫu, việc

cũng nhưñặt thừa số chung cho tử mẫu số hạng đó 

 

 Biến ñổi rút gọn, chia tách, tính tổng, kẹp giới hạn, … sử dụng kết quảñã biết B BÀI TẬP MẪU

Ví dụ 9. Tính giới hạn sau:

a) lim2

n n

+

+ b)

2

3 5

lim

3 4

n n

n

− +

+ c)

3

1 lim

2 2

n n n

n n

+ − +

+ + d)

4

2 1

lim

3 2

n n n

+ + +

(12)

Ví dụ 10.Tính giới hạn sau:

a) lim 33 2 1

4 6

n n

− +

+ + b)

4

4 lim

5 n n

+

+ c)

3

2 3 2

lim

3 2

n n

n

− + −

− d) lim 3 32 2

4 6 9

n n n

n n

+ − −

+ + e)

( )( )

2

2 3 1 lim

4 1

n n

+ +

+ + f)

( ) ( )

( )

2

2 1 4

lim

3 5

n n

n

+ −

+

a) lim 42 3 2

2 3

n n

+ −

− + b)

3 7 5 8

lim

12

n n n

n

− − +

+

c) lim 2 2 1 3

n n n

−

− d)

4

6 1

lim

2 1 n n

n + +

+

(13)

a) lim 4 2.3 4

n

n+ n b)

3 2.5 lim

7 3.5

n n

n

−

+ c)

1

3.2 2.3 lim

4 3

n n

n

+ +

−

+ d)

2

2 5

lim

3 5.4

n n

+

+ +

Dạng3.Khửdạngvôđịnh∞∞∞∞ ∞∞∞∞ A PHƯƠNG PHÁP GIẢI

• ðối với dãy un =a nm m+am−1nm−1+ +a0, am ≠0 đặt thừa số chung m cho thừa số lớn nhất của n nm Khi đó: limun = +∞ nếu am >0 limun = −∞ nếu am <0

• ðối với biểu thức chứa căn thức nhân, chia lượng liên hợp bậc hai, bậc ba ñể ñưa về

dạng: 

2 A B A B =

A B

− +

− 

3

2 2

A B A B =

A B A B

+ +

+

−

 A B = A B

A B

− +

− 

3

2 2

A B A B =

A B A B

− −

+

+ 

2 A B A B =

A B

− −

+ 

3

3 2 3 2

A B A B =

A A.B B

+ +

+

−

 A B = A B

A B

− −

+ 

3

3 2 3 2

A B A B =

A A.B B

− −

+ +

• ðặc biệt, đơi ta thêm, bớt đại lượng đơn giản để xác định giới hạn mới có

dạng vơ định, chẳng hạn:

( ) ( )

3 n3+2− n2+ =1 n3+ −2 n + n− n2+1 ;

( ) ( )

3

2 2 2

n +n+ −n = n +n−n + n+ −n

• ðối với biểu thức khác, biểu thức hỗn hợp xem xét đặt thừa số chung của mũ có cơ

(14)

B BÀI TẬP MẪU Ví dụ 13.Tính giới hạn sau:

a) lim( 14 7)

n − n− b) lim 2(− n2+3n−19) c) lim 2n2− +n 1 d) lim3−8n3+n2− +n 3

a) lim( 1 )

n + + −n n b) lim( n+ −1 n n) c) lim(3 n3+n2 −3 n3+1) d) lim(3 n3+ −1 n) e) lim(3 n3+n2 − n2+3n) f) 2

3 3

2

lim

2

n n

n n n

+ − +

(15)

a) lim(n n−2 n+1) b) lim(3n2+ −7 2n) c) lim( n2− −n n) d) lim( 2 1)

n + +n − n+ e) lim 1

2 1

n+ − n+ f)

2 lim

3n+2− 2n+1

(16)

Dạng4.Cấpsốnhânlùivôhạn A PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Một cấp số nhân có cơng bội q với |q|<1 được gọi cấp số nhân lùi vơ hạn

Ta có:

1+ 1 +

= + … = 1

S u u q uq u

1 q− , với |q|<1

B BÀI TẬP MẪU

Ví dụ 16.Biểu diễn số thập phân vơ hạn tuần hồn sau dưới dạng phân số: 0, 444…; 0, 212121…

Ví dụ 17.Tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn 5

3, tổng ba số hạng đầu tiên của 39

25 Tìm số hạng đầu cơng bội của cấp sốđó

Ví dụ 18.Cho q <1 Tính tổng vơ hạn sau:

a) 1 2 3 n

A= + q+ p + +nq − + b) 1 4 9 n B= + q+ p + +n q − +

(17)

BI T BI T BI T

BI TẬẬP CƠẬẬP CƠP CƠP CƠ BBBBẢẢẢN NÂNG CAO VẢN NÂNG CAO VẤN NÂNG CAO VN NÂNG CAO VẤẤẤN ĐN ĐN ĐỀỀỀỀ 1N Đ 111

Bài 1. Tìm giới hạn sau:

1) lim 2( 3 5)

n n

− + + 2) lim 3n4+5n3−7n 3) lim 3( n3−7n+11) 4) lim 2 2

n −n + +n 5) lim 23 + n−n3 6) lim(−n3−3n−2) Bài 2. Tìm giới hạn sau:

1) 2 4 1 lim 3 2 n n n − −

+ 2)

3

2 3 1

lim n n n n

− +

+ 3)

3

3 5 1

lim 4 n n n − + +

4) ( ) ( )

3

5

2 3 1

lim 1 4 n n n − + − 5) lim n n − + 6) 2

3 2 1

lim

4 5 2

n n n n − + + − 7) 4 3 lim 3 1 n n n −

+ + 8)

( )( )

1 lim

3

n n

+ −

+ +

9) ( )( )

( )2

3 2 4 5

lim

2 3

− +

−

n n n

n 10) ( ) ( ) ( )( ) 2

2 1 1

lim

2 5 2

n n n

− − +

− + −

11) ( ) ( )

( )

3

9

2 1 3

lim 3 1 n n n − − + 12) ( )( ) ( )( )

1 3 2

lim

2 1 3

n n n

n n + − + − + − 13) 2 1 lim 2 3 n n n n − +

− + 14)

3

6 2 1

lim 2 n n n n − + − 15) ( )( )( ) 4 1 lim

2 1 1 2

n n

n n n

− +

+ − + + 16)

( )( ) ( )( ) 2 1 lim

1

n n

+ −

17) lim2 3 2

3 2 n n n + − − 18) 2 3 lim 5 1 n n n − − − Bài 3. Tìm giới hạn sau:

1) lim 3 12 1 2

n n

n + +

− 2)

2 lim

2 1 n n

n + n− 3)

1 lim 1 n n + + 4) 3 lim 2 n n n + + 5) 2 2 3 lim 2 n n

n n n

+ +

+ − 6)

( )( )

2

lim

1

n n n

n n

+ +

+ −

7) lim22 3 1 n n n n

+

+ + 8)

1 2 lim

3 2

n n

n n + + + +

+ − 9)

2 3 lim 3 2 n n n n + + +

1)

2 lim n n n n − − + 2) ( ) 2

4 3 2 1

lim

3 2

n n

n n n

+ − +

+ −

3)

2

lim

3

n n n

n n

+ − + −

+ +

4)

2

4

lim

2

n n

n n n

+ − +

(18)

5) lim 3n2 1 n2 1 n

+ − −

6)

2

1 lim

2 4

n + − n +

7) ( )

3

2 lim

1

n n n

n n

− +

+ −

8) lim 2 1 3 1

n n

n − −

+ 9) lim 1 4 2

3

n n n

n

+ − − −

+ 10)

2

4

lim

4

n n

n n n

+ − −

+ + −

11)

2 lim

3

n n n

n n − + +

−

12)

2

4

lim

4

n n

n n n

+ − +

+ +

1) lim ( 1 2)

n n − − n + 2) limn( n2+ −1 n2−2) 3) lim 1( 3 1)

n n n

+ − + + 4) lim 2( n− −1 4n2−6n+7) 5) lim( 3 5)

n − n− +n 6) lim( n2+2n− −n 1) 7) lim( 2 1)

n + n− +n 8) lim( n2+n− n2−1) 9) lim( n+ −1 n) 10) lim( n2+ + −n 1 n) 11) lim( 2 1)

n + +n − n+ 12) lim(3 2n n− + −n 1) 13) lim 1

2 1

n+ − n+ 14)

2 1 1

lim

3 2

n n

n

+ − +

+

9) lim 1

3n+2− 2n+1 10) ( )

3 lim n +n −n 11) lim(3 2 )

n − n −n 12) lim(3n3−2n2 −2n+1) 13) lim(3 )

n−n +n 14) lim(3n3+ −1 n) 15) lim(32 )

n n

− + 16) ( )

3

2

2 lim

1

n n n

n n

− +

+ − 17) lim(38 1 2 )

n +n − + − n 18) lim(3n3−3n− n2+4n)

1) lim 4 n ( 2)n

+ −

  2) lim 2n 1n

 

+

 

  3)

( )2 4.5 lim

2.4 3.5

n n

+

− −

+

4) lim 2 3

4

n n

n

π

  

−  + 

 

  

 

5) lim1 2 1 2

n

−

+ 6)

( )

( ) 1

2 3

lim

2 3

n n

n+ n+

− +

7) lim3 4 3 4

n n

−

+ 8)

1

2 3

lim

2 3

n n

+ +

+

+ 9)

3

1

2 3 4

lim

2 3 4

n n n

+

+ −

(19)

10) ( ) ( ) 2 1 lim 2 1 n n n n + + −

+ − 11)

3 4 lim 1 3.4 n n +

+ 12)

3 4 5

lim

3 4 5

n n n

n n n+

− + + + 13) 2 3 lim 2 5.3 n n n n + + + 14)

3 4 1

lim 2.4 2 n n n n − + + 15) 4.3 7 lim 2.5 7 n n n n + + + 16) lim 2( n 3n)

− 17) lim3 2.5

7 3.5 n n n − + 18) 4 5 lim 2 3.5 n n n n − + 19)

1

2 3 4.5 lim

2 3 5

n n n

+

+ + +

− +

+ + 20)

2 1

lim ( 1; 1)

1

n

a a a

a b

b b b

+ + + + < < + + + + … … với

Bài 7. Tính tổng vơ hạn:

1) 1 1

2

S= + + + +… 2) 1 1

3 27 S= − + − +…

3)

2 27

S= + + + … 4) 2 1 1 1

2

2 2 2

S= + + + +

− −

…

5) 1

S= + + + + + 6)

1 1

3 27 81 3 27 81

S= …

7) S= +1 0,9+(0,9)2+(0,9)2+… 8) 34 34 34

100 10000 1000000

S= + + +…

Bài 8. Tìm phân số bằng số thập phân vơ hạn tuần hồn sau:

1) 34, 12( )… 2) 0, 25( )… 3) 3, 123( )… 4) 2,131131…

Bài 9. Cho hai dãy số ( )un ( )vn Chứng minh rằng nếu limvn =0 un ≤vn với mọi n limun =0 Áp dụng tính giới hạn của dãy số sau:

1)

! n

u n

= 2) ( )1

2 1 n n u n − = − 3) ( ) 2 1 1 2 n n n u n − − = + 4) (0,99 cos)n

n

u = n 5) 5n cos

n

u = − nπ

BI T BI T BI T

BI TẬẬẬP TRẬP TRP TRẮP TRẮẮẮC NGHIC NGHIC NGHIỆỆỆỆMC NGHI M VMM VVVẤẤẤN ĐẤN ĐN ĐN ĐỀỀỀỀ 1111

Câu 1. Dãy số sau đây có giới hạn khác 0?

A n 1

n −

B

n C

1 1

n+ D

cosn n Câu 2. Dãy số sau đây có giới hạn bằng 0?

A

2 n

   

  B

5 n   −  

  C

2

n

   

  D

4 n   −    

Câu 3. Dãy sau đây khơng có giới hạn?

A

3 n

   

  B

2 n   −  

  C ( 0,99)

n

− D ( )−1 n

Câu 4. lim( )1 2

n

n −

(20)

A 1

2 B 0 C −1 D

1 2 − Câu 5. lim

4 n n −

 

 

  có giá trị bằng

A 1

4 B

1 4

− C 1

2 D

1 2 − Câu 6. lim3

5 n n

n

+

có giá trị bằng

A 1 B 0 C 3

5 D

8 5 Câu 7. lim 24

2

n n

− + −

− + có giá trị bằng

A −∞ B −2 C 0 D −6 Câu 8.

4

2

lim

3

n n

− +

+ có giá trị bằng A 0 B 2

3 C +∞ D

2 5 Câu 9.

2

3

2

lim

2

n n

−

+ − có giá trị bằng A 3

2

− B 0 C 1 D 3

2 Câu 10.

3

2

lim

2 n n

n n

− +

+ − có giá trị bằng

A 2 B 0 C +∞ D −2 Câu 11. ( )( )( )

( )( )

2

4

2 2 1 4 5

lim

3 1 3 7

n n n n

n n n

+ + +

− − − có giá trị bằng A 0 B 8

3 C 1 D +∞

Câu 12. ( )( )

( )( )

3

4

2 3 1

lim

2 1 7

n n n

n n

− +

− − có giá trị bằng

A 1 B 3 C 3 2

− D +∞

Câu 13. lim 2( 2 3)

n n

− − + có giá trị bằng

A −2 B −1 C +∞ D −∞ Câu 14. lim 3( 4 1)

n + n − +n có giá trị bằng

A −∞ B +∞ C 3 D 7 Câu 15.

2

9 2

lim

3 2

n n n

n

− − +

− có giá trị bằng

A 1 B 3 C 0 D +∞ Câu 16. lim( 4 1)

(21)

A 3 B 1 C 0 D +∞ Câu 17. lim( 2 1 2 )

n + n− − n +n có giá trị bằng

A 1− 2 B +∞ C −1 D −∞ Câu 18. lim( 2 3 )

n − n+ −n có giá trị bằng

A −1 B 0 C +∞ D 1 Câu 19. lim( 2 1 2 3 2)

n − + −n n − n+ có giá trị bằng

A

2 B 0 C +∞ D −∞

Câu 20. lim 1 1

1 2

n n

 

−

 

+ +

A 1 B 0 C 1

2 D +∞

Câu 21. lim n( n+2− n−3) có giá trị bằng

A −1 B 0 C 1 D +∞ Câu 22. Nếu limun =L lim3

n

u + có giá trị bằng

A L+2 B 3 L+8 C 3 L+2 D 8 L+ Câu 23. Nếu limun =L lim 1

9

n

u + có giá trị bằng A

3

L+ B

1

L+ C

1

L+ D

1 L+ Câu 24.

3

1 lim

8 n n

+

+ có giá trị bằng A 1 B 1

2 C

1

8 D +∞

Câu 25.

3

2

8 2 1

lim

2 1

n n

n

+ −

+

A 2 B 2 C 1 D +∞ Câu 26. lim ( )1 cos

1 n

n n

n + −

− có giá trị bằng A

2 B 3 C 5 D −1

Câu 27. lim 3 n 5n −

 

  có giá trị bằng

(22)

Câu 28. ( )

( )

1

5 2 1

lim

5.2 5 3

n n n n + + − + + −

A 1 3

− B

5 C

2 5

− D 1

5 − Câu 29. lim 222 2

3

n n n

π

π +

+ +

− + có giá trị bằng A 1 B 1

4 C +∞ D −1

Câu 30. 2 1 lim 2 n n n n + + − −

A 1 B 2 C 0 D −1

Câu 31. lim(3 2 )

n − n −n có giá trị bằng

A 2 3

− B 1

3 C 1 D 0

Câu 32. lim(3 2 3 )

n −n + n có giá trị bằng

A 1

3 B +∞ C 1 D 0

Câu 33. Dãy số sau ñây có giới hạn bằng 0?

A 12 n n u n n + =

+ B

1 3 . 3 n n u n n − =

+ C

2 n n u n + =

+ D

1 2 . 5 n n u n − = + Câu 34. Dãy số sau đây có giới hạn +∞?

A 2 2 3 n n n u n n + = + B 1 2 . 3 3 n n u n + =

+ C

2 3 n n u n + =

+ D

2 n n u n n + = +

Câu 35. Dãy số sau đây có giới hạn +∞? A 32

2 n n n u n n + =

+ B

2018 2017 . 1 n n u n + = +

C

2017 2016 n

u = n− n D un =n2+1.

Câu 36. Trong giới hạn sau ñây, giới hạn bằng −1? A 3 lim n n −

− + B

3 3 lim n n −

− + C

2 3 lim 3 n n n −

− + D

3 lim n n − − −

Câu 37. Trong giới hạn sau ñây, giới hạn bằng 0?

A lim 23

5

n n

+

− − B

3 2 lim n n n −

− + C

2 2 lim n n n n −

− + D

3 lim n n + − Câu 38. Trong giới hạn sau ñây, giới hạn 1?

A lim 23 n

n +

− − B

3 2 lim n n n −

− C

2 3 lim n n n n −

− + D

4 lim n n + + Câu 39. Dãy số sau đây khơng có giới hạn?

A lim( )1 sin n n π π   −  + 

  B lim sin(nπ) C lim cos n π

π

 

+

 

(23)

Câu 40. Dãy số sau đây có giới hạn bằng 1?

A lim sin(nπ) B lim cos(nπ) C lim sin 2

n

n π

+

 

 

−

  D

cos 2 limn n

n −

Câu 41. Tổng 1 12 1

5 5 5n

S = + + + + có giá trị bằng

A 1

5 B

1

4 C

2

5 D

5 4 Câu 42. Tổng ( )

1 1

1 1 1

+ +

2 4 8 2

n

n S

+

−

 

= + − + +

 

A 1 B 1

3 C

3 .

4 D

2 3 Câu 43. lim1 2 (2 1)

5 4

n n

+ + + + +

− có giá trị bằng A 0 B 1

4

− C 1

5 D +∞

Câu 44. lim1 2 2

n n

+ + + +

A 1 B +∞ C 0 D 1 2 − Câu 45.

( )

1 1

lim

1.2 2.3 n n

 

+ + +

 

 + 

  có giá tr

ị bằng

A 1

2 B 1 C 0 D −∞

Câu 46. Kết quảñúng của lim cos 22

n n

n

 

−

 

+

  là:

A 4 B 5 C –4 D

4

Câu 47. Kết quảñúng của

2 2 5 lim

3 2.5

n

n n

−

+ là: A –

2

B 1 C

2

D –

2 25

Câu 48. Kết quảñúng của

2

2 1 lim

3 2

n n

n

− + +

+ A –

3 3

B –

3

C –

2

D

2

Câu 49. Giới hạn dãy số ( )un với

4 3

4 5

n

n n u

n − =

−

A –∞ B +∞ C

D 0

Câu 50. lim3 4.2 3 3.2 4

n n

n n −

− −

(24)

Câu 51. Chọn kết quảñúng của

3 2 5

lim

3 5

n n

n

− +

+

A 5 B

5

C –∞ D +∞

Câu 52. Giá trịñúng của lim( n2− −1 3n2+2)

A +∞ B –∞ C –2 D 0 Câu 53. Giá trịñúng của lim 3( n−5n)

A –∞ B C 2 D –2 Câu 54. lim 2sin 2

5 n

n π n

 

−

 

  bằng

A +∞ B 0 C –2 D –∞ Câu 55. Giá trịñúng của lim n( n+ −1 n−1)

A –1 B 0 C 1 D +∞ Câu 56. Cho dãy số ( )un với ( 1) 42 22

1

u

n

u n

n n +

= −

+ − Chọn kết quảñúng của limun A –∞ B 0 C 1 D +∞ Câu 57. lim5 1

3 1

n

−

+ bằng

A +∞ B 1 C 0 D –∞ Câu 58.

4

1 lim

1 n +n +

bằng

A +∞ B 10 C 0 D –∞ Câu 59. lim 200 35 2

n n

− + bằng

A 0 B 1 C +∞ D –∞

Câu 60. Cho dãy số có giới hạn ( )un xác ñịnh bởi:

1

1 1 2

1

, 1 2

n

n u

u n

u +



=

 

 = ≥

−



Tìm kết quảđúng của limun

A 0 B 1 C –1 D 1

2

Câu 61. Tìm giá trịđúng của 2 1 1 1 1

2 8 2n

S =  + + + + + + 

 

A 2 1+ B 2 C 2 D 1

2

Câu 62.

1

2 4 2 lim

3 4

n n

n n +

+

+ bằng: A 0 B

2

C

4

(25)

Câu 63. Tính giới hạn: lim 1 4

1 n

n n

+ − + +

A 1 B 0 C –1 D 1

2

Câu 64. Tính giới hạn lim1 5 2 (2 1)

3 4

n n

+ + + + +

+

A 0 B

3

1 C

3

2 D

1

Câu 65. Tính giới hạn

( )

1 1 1

lim

1.3 3.5 n 2n 1

 

+ + +

 

+

 

A 1 B 0 C

3

D 2

( )

1 1 1

lim

1.3 2.4 n n 2

 

+ + +

 

+

 

A

2

3 B

1 C 0 D

3 2

Câu 67. Tính giới hạn lim 1 12 1 12 1 12

2 3 n

     

− − −

     

 

     

 

A 1 B

2

C

4

D

2

Câu 68. Chọn kết quảñúng của

2 1 1 lim 3

3 2n

n n −

+ −

+

A 4 B 3 C 2 D 1 2 Câu 69. Tổng vô hạn 12 27 81

4 16

− + − + … bằng:

A 48

7 B

39

4 C

75

16 D Không tồn Câu 70. Biểu diễn số thập phân 1, 245454545… phân số:

A 249

200 B

137

110 C

27

22 D

(26)

VVVVấn đề GIỚI HẠN CỦA Hấn đề GIỚI HẠN CỦA Hấn đề GIỚI HẠN CỦA Hấn đề GIỚI HẠN CỦA HÀM SÀM SÀM SỐỐỐỐ ÀM S 



 Giới hạn hữu hạn

• Giới hạn điểm: Cho khoảng K chứa ñiểm x0 hàm số y= f x( ) xác ñịnh K

hoặc K\{ }x0 Dãy ( )xn bất kì, xn∈K\{ }x0 xn→x0, limf x( )n =L

• Giới hạn bên phải: Cho hàm số y= f x( ) xác ñịnh khoảng(x0; b):

( )

lim+

→ = ⇔

x x

f x L dãy ( )xn bất kì, x0 <xn <b xn→x0 lim f x( )n =L

• Giới hạn bên trái: Cho hàm số y= f x( ) xác ñịnh khoảng (a x; 0):

( )

lim− →

= ⇔

x x

f x L dãy ( )xn bất kì, a<xn <x0 xn→x0 lim f x( )n =L

• Cho hàm số y= f x( ) xác ñịnh khoảng (a;+∞):

( )

lim

→+∞ = ⇔

x f x L dãy ( )xn b

ất kì, xn >a xn → +∞ lim f x( )n =L • Cho hàm số y= f x( ) xác ñịnh khoảng (−∞; a):

( )

lim

→−∞ = ⇔

x f x L dãy ( )xn b

ất kì, xn <a xn→ −∞ lim f x( )n =L 



 Giới hạn vô cực

• Cho hàm số y= f x( ) xác ñịnh khoảng (a; + ∞)

dãy ( )xn bất kì, xn >a xn → +∞ lim f x( )n = −∞

• Cho khoảng K chứa điểm x0 hàm số y= f x( ) xác ñịnh K hoặc K\{ }x0

. ( )

0

lim

→ = +∞ ⇔

x x f x dãy ( )xn b

ất kì, xn∈K\{ }x0 xn→x0 lim f x( )n = +∞

• Các giới hạn: lim ( )

x→+∞ f x = +∞, xlim→−∞ f x( )= +∞, xlim→−∞ f x( )= −∞ ñược ñịnh nghĩa tương tự  Nhận xét: f x( ) có giới hạn +∞ ⇔ −f x( ) có giới hạn −∞

 

 Các giới hạn ñặc biệt 1)

0

0 lim

x x

→

= 2)

0

0 lim

x x

→

= (c: hằng số) 3) lim x

c x

→±∞ = (c: h

ằng số)

4) lim 1k

x→+∞x = 5) lim

k

x→+∞x = +∞ (k∈ *

ℕ ) 6) lim k

x x

∞ ∞

→−∞

+



=

−



neáu k chẵn nếu k lẻ 



 ðịnh lí giới hạn hữu hạn • ðịnh lí

- Nếu ( )

0

lim

x x

f x L →

= ( )

lim

x x

g x M

→

= , thì:

 ( )

0

lim .

x x

c f x c L →

= (với C hằng số)  ( ) ( )

0

lim

x x

f x g x L M →

+ = +

 

 

 ( ) ( )

0

lim

x x

f x g x L M →

− = −

 

   ( ) ( )

0

lim . .

x x

f x g x L M →

=

 

 

 ( )

0

lim

x x

L x

M →

= (M ≠0)  ( )

0

lim

x x

f x L

→

=

 ( )

0

3

lim

x x

f x L

→

=  Nếu ( )

0

lim

x x f x →

= + ∞

( )

1

lim 0

x→x f x

(27)

- Nếu f x( )≥0 ( )

lim

x x

f x L →

= L≥0 ( )

0

lim

x x

f x L

→

=  Chú ý: ðịnh lí vẫn đúng x→ ±∞

• ðịnh lí ( ) ( ) ( )

0 0 0

lim lim lim

x x x x x x

f x L f x f x L

+ −

→ → →

= ⇔ = =

• ðịnh lí ðịnh lí kẹp: Giả sử J một khoảng chứa x0 f , g, h ba hàm số xác ñịnh

trên tập hợpJ \{ }x0 Nếu f x( )≤g x( )≤h x( ), ∀ ∈x J\{ }x0

0

lim ( ) lim ( )

x x x x

f x h x L

→ →

= =

0

lim ( ) x x

g x L

→

= 

 

 Quy tắc giới hạn vô cực

• Quy tắc tìm giới hạn của tích

( ) ( )

f x g x • Quy tắc tìm giới hạn của thương

( ) ( )

f x g x

( ) 0

lim

x x x x x

f x

±

→ → →±∞

( ) 0

lim

x x x x x

g x

±

→ → →±∞

( ) ( )

0

lim

x x x x x

f x g x

±

→ → →±∞

0

L> +∞ +∞

−∞ −∞

0

L< +∞ −∞

−∞ +∞

( ) 0

lim

x x x x x

f x

±

→ → →±∞

( ) 0

lim

x x x x x

g x

±

→ → →±∞

Dấu

của

( )

g x

( ) ( ) 0

lim

x x x x x

f x g x

±

→ → →±∞

L ±∞ Tùy ý

0

L> 0 + +∞

− −∞

0

L< + −∞

− +∞

Dạng1.Địnhnghĩagiớihạn A PHƯƠNG PHÁP GIẢI • ðịnh nghĩa tính chất (Xem phần tóm tắt lí thuyết)

• Chú ý:

1) Theo định nghĩa giới hạn hàm số f x( ) cơ sở giới hạn dãy f x( )n Nếu có

dãy xn xn′ tiến ñến x0 mà lim f x( )n ≠lim f x( )n′ khơng tồn tại ( )

0

lim

x→x f x

2) Với mọi số nguyên dương k, ta có: lim k

x→+∞x = +∞;

2 lim k

x→−∞x = +∞,

2 lim k x x

+

→−∞ = −∞, lim k x→±∞x =

3) Xác ñịnh dấu +∞ hoặc –∞ dựa dấu của tích số, thương số, x→x0+, x→x0−, x→ ±∞

B BÀI TẬP MẪU Ví dụ 19.Dùng định nghĩa tìm giới hạn

2

3 4

lim

1

→−

− −

+

x

x x

x

Xét hàm số: f x( )=

2 3 4

1

− −

+

x x

(28)

và limxn = −1, ta có: f x( )n = ( )( )

2 3 4

1

4

1

− − + −

= = −

+ +

n n n n

n

n n

x x x x

x

x x

⇒ f x( )n =lim(xn−4)=limxn−lim 4= − −1 4= −5, nên

3 4

lim 5

1

→−

− −

= − +

x

x x

x

Ví dụ 20.Dùng định nghĩa, tính giới hạn sau:

a) ( )

4

lim 3 1

x→ x − +x b)

3

lim 6

x→− x− c)

2

3 4

lim

1

x

x x

x →−

− +

+ d)

1 lim

5

x→ −x

e)

2 lim cos

x→ x x

 

 

  f) 2( )2

5 lim

2 x→ x

−

− g) lim sinx→+∞ x h) lim cos 2x→+∞ x

(29)

Ví dụ 21.Bài Tìm giới hạn sau

a) ( )

1

lim 3 2 1

→− − +

x x x b)

( )( )

2

3 1

lim

3

→

− +

+

x

x x x

x c)

4

2

2 3 2

lim

2

→−

+ +

− +

x

x x

a) ( )

1

lim 3 2 1

→− − +

x x x ( )

2

1 1

3 lim lim lim 2.1

→− →− →−

= − + = − + =

x x x x x

b) Do ( ) 2

lim 3 2 3 0

→ + = + = ≠

x x ,

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2 2

lim 3 1 lim 3 lim 1 2 3.2 1 6

→ − + = → − → + = − + =

x x x x x x x x x

Nên ( )( )

3 2

3 1

lim

3

→

− +

+

x

x x x

x

6

= c)

4

2

2 3 2

lim

2

→−

+ +

− +

x

x x

x x ;

4

3

2

2 3 2 7 2 3 2 7 28

lim lim

2 2 2 2 2

→− →−

+ + + +

= ⇒ = =

− + − +

x x

x x x x

a) ( )

2

lim 3 7 11

x→ x + x+ b)

2

lim

x→ x

− c)

( )( )

3

lim

2 1 3

x

x x

→

−

− −

d)

4 2

3 1 lim

2 1

x

x x

x →

+ −

− e)

1 lim 3

x→ x x

 

−

 

  f) 9

3 lim

9

x x x x →

− −

(30)

Dạng2.Giớihạnmộtbên A PHƯƠNG PHÁP GIẢI

• Nếu ( ) ( )

0

lim lim

x→x+ f x x→x− f x

≠ khơng tồn tại ( )

0

lim

x→x f x

• Nếu ( ) ( )

0

lim lim

x→x+ f x =x→x− f x =L ( )

lim

x→x f x =L 

 

 Chú ý: x x0 x x0

+

→ ⇒ > x→x0−⇒x<x0

B BÀI TẬP MẪU Ví dụ 23.Tìm giới hạn sau:

a)

15 lim

2

+

→

− −

x

x b)

2

1 3 2 lim

3

−

→

+ −

−

x

x x

x

a) Ta có: ( ) ( )

2

lim 15 2 15 13 0, lim 2 0,

+ +

→ →

− = − = − < − =

x x

x x x− >2 0 (do x→2+⇒x>2)

2

15 lim

2

+

→

−

⇒ = −∞

−

x

b) Ta có:

( ) ( )

2

3

1 3 2

lim 1 3.3 18 8 0, lim 3 0, 3 0 3 3

3

− −

−

→ →

+ −

= + − = − < − = − < → ⇒ <

−

x x

x x do x x

x

2

1 3 2 lim

3

−

→

+ −

⇒ = +∞

−

x

x x

x

Ví dụ 24.Tìm giới hạn sau: a)

( ) 2

3 1 lim

2

+

→ −

− +

+

x

x x

x b)

2

1 3 2 lim

1

+

→

− + − −

x

x x

x

3

2 lim

3 x

x x

+

→

+ − ;

2 lim

3 x

x x

−

→

+

− ;

2 lim

3 x

x x

→

+ −

0 x

0 x→x+

x→x−

(31)

2 2 lim

2

x x x

+

→

−

− ; 2 lim

2

x x x

−

→

−

− ; 2 lim

2

x x x →

− −

Ví dụ 27.Tính giới hạn sau: a)

0 2 lim

x

x x

+

→

+

− b)

2

4 lim

2

x

x x

−

→

− −

Ví dụ 28.Cho hàm số ( )

2

3 2

khi 1 1

khi 1 2

− +

>

 

 −

 

= −

 ≤

x x

f x

x

Tính giới hạn sau

a) ( )

1 lim−

→ x

f x b) ( ) lim+

→ x

f x c) ( )

1 lim

→

x f x , (n

ếu có)

a) ( )

1 lim

−

→ x

f x

1 lim

2 2

−

→

 

= − = −

 

x

b) ( )

1 lim

+

→

=

x

f x ( )( )

( )( )

2

1 1

1

3 2

lim lim lim

1 1

+ + +

→ → →

− −

− + −

= = = −

− − + +

x x x

x x

x x x

x x x x

c) Ta có ( )

1 lim

−

→ x

f x ( )

1

1 lim

2

+

→

= = −

x

f x Nên ( )

1

1 lim

2

→ = −

x f x

( )( ) ( )

1

lim 1 1

+

→

 

= − − − = − − − =

x

(32)

Ví dụ 29.Cho ( )

3

2

4 29

x x x

f x

x x

 − + ≤

=

− >

 Tính xlim→2+ f x( ), xlim→2− f x( ) limx→0 f x( ) (n ếu có)

Ví dụ 30.Cho ( )

2

2 1 khi 1

x x

f x

x x

 − ≤ −



=

+ > −

 Tính xlim( )1 ( ) f x

+

→ −

,

( )1 ( ) lim x

f x

−

→ −

( )

1 lim

x→− f x (n ếu có)

Ví dụ 31.Cho. ( )

2

4 5 khi 2

7 4 khi 2

x x x

f x

x a x

 − <



=

+ + ≥

 Tìm a để hàm số có giới hạn x→2

(33)

Dạng3.Khửdạngvôđịnh∞∞∞∞ ∞ ∞∞ ∞ A PHƯƠNG PHÁP GIẢI 1. Phương pháp chung:

• Trước giải tốn tìm giới hạn ta thế thử x=x0 hoặc x→ +∞, x→ ∞– theo yêu cầu ñề

xem xét giới hạn cần tìm có dạng vơ định khơng

• Nếu kết quả cho giá trị xác ñịnh, căn thức xác định, phân thức xác định, … dùng định lí về

các phép tốn tổng, hiệu, thương để giải

• Nếu mẫu thức tiến đến +∞ hoặc −∞ tử tiến ñến một số khác 0 giới hạn cho bằng 0

• Nếu mẫu thức tiến ñến 0 tử thức tiến ñến một số khác giới hạn dạng +∞ hoặc –∞,

tùy theo dấu thừa số, của tử của mẫu (Xem bảng Quy tắc tìm giới hạn của thương)

• Nếu có dạng vơ định: 0 0,

∞

∞, 0.∞, ∞ − ∞ chọn phương pháp tương ứng để khử dạng vơ định 2. Phương pháp khử dạng vô định ∞∞∞∞

∞ ∞ ∞

∞ x → +∞, x → –∞

• ðối với hàm phân thức, ta chia tử thức mẫu thức cho lũy thừa cao nhất của x, việc

cũng nhưñặt thừa số chung cho lũy thừa cao nhất đó (Làm tương tự như giới hạn của dãy số)

Xét hàm số: ( )

1

0

1

0

, 0, 0

m m

m

n n

n

a x a x a

f x a b

b x b x b

−

+ + +

= ≠ ≠

+ + +

( )

0

lim

x

m n a

f x m n

b

m n

→±∞

 <

 

= =



±∞ >



(dấu +∞ hoặc −∞ tùy theo dấu của

0 a b )

• ðối với biểu thức chứa căn, ta nhân lượng liên hợp ñể khử căn thức ñưa về dạng phân thức ñã nêu 

 

 Chú ý:

1) Hướng tìm giới hạn hàm số tương tự như dãy số

2) Với biểu thức hỗn hợp, ta thêm bớt ñại lượng ñơn giản nhất theo x hoặc hằng số ñể

chia tách thành phân thức mà giới hạn mới vẫn giữa ngun dạng vơ định ∞

∞ 3) ðưa biểu thức dấu căn:

 A2 = A, B3 =B

 Khi x→ −∞ x2 = x = −x; Khi x→ +∞ x2 = x =x

(34)

B BÀI TẬP MẪU Ví dụ 32.Tìm giới hạn sau

a)

3

2

3 1 lim

2 6 6

→+∞

+ +

− −

x

x x

x x b)

( ) ( )

( )

20 30

50

2 3 3 2

lim 2 1 →−∞ − + + x x x x

a)

2

lim

4

→+∞

+ +

+ − +

x

x x x

x x

b) lim 2 1 1 →+∞ + + + x x x x x

a) Ta có 2 3

3

3 1

1

3 1 1 1

lim lim

2 6

2 6 6 6 6 6

→+∞ →+∞ + + + + = = = − − − − − − x x

x x x x

x x

b) Ta có ( ) ( )

( )

20 30

20 30 20 30 30

50 50 50

3 2

2 3

2 3 3 2 2 3 3

lim lim

2 2

2 1 1

2 →−∞ →−∞     − +     − +       = = =    +   +     x x

x x x x

x

c) Ta có

2 2 2 1 3 2 3 lim lim 1

4 1 2 4 2

→+∞ →+∞ + + + + = + − + + − + x x x x

x x x x

x x

x

2

2 2

1 3 1 3

lim lim 4

1 1 2

4 2 4 1

→+∞ →+∞ + + + + = = = + − + + − + x x x x x x x x

x x x

d) Ta có 2

2

1

lim lim

1 1 1 →+∞ →+∞ + + = = + + + + x x

x x x x

x x

a) lim x x x →−∞ − + b) 3 2 10 lim 3 3 x x x x x →+∞ − +

+ − c)

4

3

3 5 7

lim 15 x x x x x →+∞ + + − d) 2

2 5 1

lim 7 4 x x x x x →−∞ − +

− + e)

4 3 lim 2 7 x x x x →+∞ − + − f) ( ) ( ) ( )( ) 2 3

1

lim

2

(35)

a)

2 2

lim

2 3

x

x x x

x →+∞

+ +

+ b)

2

2 7 1

lim

3 7

x

x x

x →−∞

− +

− c)

2

2 2 lim

8 5

x

x x

x x →−∞

+ − + d) lim 2 5

2

x

x x x x →+∞

−

− + e)

4 lim

1 3

x

x x x →−∞

−

− f)

6

4

8 lim

2 2

x

x x

→−∞

−

+ +

(36)

Dạng4.Khửdạngvơđịnh0 0 A PHƯƠNG PHÁP GIẢI • ðối với hàm phân thức: ( )

( )

lim x x

f x g x

→ , ta phân tích

( ) ( )

0 1

f x x x f x

g x x x g x

− =

− rồi rút gọn cho x−x0 • ðối với biểu thức chứa căn thức, ta nhân lượng liên hợp ñể khử căn thức, tạo thừa số x−x0

rồi rút gọn 

 

 Chú ý:

1) Sử dụng hằng đẳng thức, nhóm số hạng, phân tích thừa số bậc 2, chia đa thức, sơđồ

Hcner, …

2) Chia tách thành phân thức bằng cách thêm bớt ñại lượng ñơn giản nhất theo x hoặc

hằng số mà giới hạn mới vẫn giữ nguyên dạng vô ñịnh 0 0

3) Nếu ( ) ( )

0

lim ; lim

x→x f x = +∞ x→x g x = +∞ xlim→x0 ( )x +g x( ) = +∞; limx→x0 f x g x( ) ( ) = +∞

   

   

4) Mở rộng HðT: an−bn =(a b− )(an−1+an−2b+an−3 2b + +a b2 n−3+abn−2+bn−1) B BÀI TẬP MẪU

Ví dụ 35.Tìm giới hạn sau

a)

2

3 10 lim

3 5 2

→

+ −

− −

x

x x

x x b)

3

3 9 2

lim

6

→

+ − −

− −

x

x x x

x x c) 2

4 1 3 lim

4

→

+ − −

x

x d)

2 2 lim

7 3

→

+ − + −

x x

x

a) Ta có ( )( )

( )( )

2

2 2

5

3 10

lim lim lim

3 3

→ → →

+ −

+ − +

= = =

− − + − +

x x x

x x

x x x

x x x x x

b) Ta có ( )( )

( )( )

2

3 2

2 2

2 5 1

3 9 2 5 1 15

lim lim lim

6 2 2 3 2 3 11

→ → →

− + +

+ − − + +

= = =

− − − + + + +

x x x

x x x x x

x x x x x x x

c) Ta có 2

4 1 3 lim

4

→

+ − −

x

x 2( )( )

4 1 9 lim

4 4 1 3

→

+ − =

− + +

x

x x

( )

( )( )( ) ( )( )

2

4 2 4 4 1

lim lim

4.6 6

2 2 4 1 3 2 4 1 3

→ →

−

= = = =

− + + + + + +

x x

x

x x x x x

d) Ta có ( )( )

( )( )

2 2

2 7 3

2 2 7 3 6 3

lim lim lim

4 2

7 3 2 2 2 2 2

→ → →

− + +

+ − + +

= = = =

+ − − + + + +

x x x

x x

x x x x

(37)

a) 2

8 lim

4

x x x →

−

− b)

3

3 3 lim

3

x x

x →−

+

− c)

4 2

16 lim

6 8

→−

−

+ +

x x

d) 24

27 lim

2 3 9

x

x x

→

−

− − e) ( ) ( )

2

2 5 3

lim

3

x

x x

x

+

→ −

+ −

+ f) ( ) ( )

2

2 5 3

lim

3

x

x x

x

−

→ −

+ −

+ g)

1 1 lim

1

n

x x

x →

−

− h) 1 lim

1

n

m x

x x →

−

− i)

5

2

2 lim

1

x

x x x →

+ −

− j) ( )( )

5

3

4 5 1

lim

1 2

x

x x

x x x

→

− +

− + −

(38)

a)

3 lim

9

x

x x →

−

− b)

2 4

lim

x

x x →

− −

c) 32

1 1 lim

x x

x x →

+ − + d)

2

2 1

lim

x

x x x x →

− −

− e) ( 2)

8 2 2

lim

2

x

x x

+

→ −

+ −

+ f)

1

lim x

x x x x

−

→

− + −

−

(39)

a)

3 8 2 lim

5

x x

x →

+ −

b) 3

1

2 1 lim

1

x

x x

x →

− −

− c)

2 2

lim

1 3

x

x x

→

+ −

− − − d)

2

2 1

lim

1

x

x x

x →

− +

− e)

2

2 1 3 1

lim

1

x

x x x

x →

− + − +

− f)

2

2 1

lim

4 3

x

x x x

x x

→

− + − +

− +

(40)

Dạng5.Khửdạngvôđịnh∞∞∞∞ ∞∞∞∞,,,,0 ∞∞∞∞ A PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Phương pháp chung:

• ðặt nhân tử chung lũy thừa cao nhất của x • Quy đồng mẫu phân số

• Nhân chia lượng liên hợp để khử căn

• Chuyển về dạng 0 0 hoặc

∞

∞ ñã biết

B BÀI TẬP MẪU Ví dụ 39.Tìm giới hạn sau

a) ( ) 2

2

lim 2

4

+

→

−

x

x x

x b)

2

1 8 3

lim

4 2 4

→+∞

+ −

− +

x

x x

c) 2 2

2

1 1

lim

3 2 5 6

+

→

 

−

 

− + − +

 

x x x x x

d) lim 2( 1 4 4 3)

→+∞ − − − −

x x x x

a) Ta có ( ) 2

2 2

2

lim 2 lim lim 2 0

4 2 2 2

+ + +

→ → →

 

−

− = =  − ⋅ =

− − +  + 

x x x

x x x x

x x

x x x x

b) Ta có

( ) ( )

2 2 3

2

8 1 3

1 8 3 8 3

lim lim lim 0

4 2 4 4 2 4 2 4

4 1

→+∞ →+∞ →+∞

+ −

+ − + −

= = =

− + − +    

− +

   

   

x x x

x x x x x x x

x x x x

x x

c) Ta có ( )

( )( )( ) ( )( )

2

2 2

3

1

lim lim lim

3 3

+ + +

→ → →

− − − −

 

− = = ⋅

 

− + − + − − − − − −

 

x x x

x x

x x x x x x x x x x

Mà ( ( ) ( ) )

2 2

2

lim lim 1 0, lim 0,

2

+ + +

→ → →

−

= −∞ − = − < − = − >

−

x x x

x x

x ;

( )( ) ( )

2

1 1

lim 1 0

1 3 1 1

+

→

= = − <

− − −

x x x

Nên 2 2

2

1 1

lim

3 2 5 6

+

→

 

− = +∞

 

− + − +

 

x x x x x

d) Ta có ( ) ( ) ( )

2 2

2

2 1 4 4 3

lim 2 1 4 4 3 lim

2 1 4 4 3

→+∞ →+∞

− − − −

− − − − =

− + − −

x x

x x x

2

2 4

4

lim lim 0

1 1 3

2 1 4 4 3 2 2 1

4

→+∞ →+∞

= = =

− + − −

x x

x

x x x

(41)

a) lim 3( 8 7)

x→−∞ x − x + b)

4

lim 12 x→+∞ x − x+

c) lim( 3 )

x→+∞ x + −x d) ( )

2

lim 4

x→−∞ x +x− +x

a) 2

0

1 1 lim

x→ x x

 

−

 

  b) 2

1 1

lim

2 4

x→ − x x

 

−

 

− −

  c)

3

2 ( 1)

3 lim ( 1)

1

x

x x

x

+

→ −

+

− d) lim ( 2) 3 1

x

x x

x x →+∞

− +

+ e)

2 1

lim

1 1

x→ x x

 

−

 

− −

  f)

1 lim

1 n 1

x

n

x x

→

 

−

 

− −

 

(42)

Dạng6.Sửdụngđồthịđểtìmgiátrịcủagiớihạn A PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Một số lưu ý sử dụng ñồ thị:

Giả sử hàm số y= f x( ) có đồ thị đường cong ( )C gồm phần như hình

Khi đó:  lim ( )

x→−∞ f x =c  xlim→+∞ f x( )= −∞  lim ( )

x→a− f x b

=  lim ( )

x→a+ f x m

=  f a( )=m

 A∉( )C : hình trịn rỗng bên  B∈( )C : hình trịn tơ đen bên

B BÀI TẬP MẪU Ví dụ 42.Sử dụng đồ thị f ñã cho ñể xác ñịnh giá trị của mỗi

giới hạn sau nếu tồn tại

Nếu khơng tồn tại, giải thích sao?

a) f ( )2 ; f ( )4 b) ( )

2 lim

x→ − f x

; ( )

2 lim

x→ + f x

; ( )

2 lim

x→ f x

c) ( )

4 lim

x→ f x

Hình

x→ +∞ O

x y

x→ −∞

y→ +∞

y→ −∞

x

x→x− x→x0+ y

0 y→y

y→y

Hình

O x

y

a c

b A

m B

( )C

( )

A∉ C

( )

B∈ C

O x

y

2

(43)

Ví dụ 43.Cho đồ thị hàm h như hình bên, xác định giá trị của mỗi giới hạn sau nếu tồn tại

a) h( )−3 ; h( )0 ; h( )2 a)

( )3 ( ) lim x

h x

−

→ −

;

( )3 ( ) lim x

h x

+

→ −

; ( )

3 lim

x→− h x

b) ( )

0 lim

x

h x

−

→ ; xlim0 ( ) h x

+

→ ; limx→0h x( ) c) ( )

2 lim

x→ h x

d) ( )

5 lim

x

h x

−

→ ; xlim5 ( ) h x

+

→ ; limx→5h x( )

Ví dụ 44.Một bệnh nhân cứ mỗi 4 giờñồng hồ phải tiêm

một mũi thuốc 150 mg

ðồ thị cho thấy lượng thuốc f t( ) máu bệnh nhân sau t giờ

Tìm ( )

12 lim

t→ − f t tlim→12+ f t( )

và giải thích ý nghĩa giới hạn một bên

O x

y

2

−

4

−

O x

( )

f t 300 150

(44)

Ví dụ 45.Cho hai hàm số ( )

2

2 1 1

x x

f x

x

+ −

=

− ( )

2 1 x g x

x −

=

a) Tính

( )1 ( ) lim x

f x

+

→ −

,

( )1 ( ) lim x

f x

−

→ −

, ( )

1 lim

x→− f x , limx→1 f x( ), xlim→+∞ f x( ) xlim→−∞ f x( )

b) ( )

0 lim

x→+g x , xlim→0−g x( ), limx→0g x( ),xlim→+∞g x( ) xlim→−∞g x( )

c) Hai ñường cong sau dồ thị của hai hàm số ñã cho Từ kết quả câu 1), xác ñịnh xem ñường cong ñồ thị của hàm số nào?

Ví dụ 46.Hình bên ñồ thị của hàm số hàm sau ñây?

a)

1 x y

x + =

−

b)

2 x y

x + =

−

c) 2

1 x y

x + =

−

O x

y

1

− 1

Hình a

O

x y

Hình b

O x

y

(45)

BI T BI T BI T

BI TẬẬẬP CƠ BẬP CƠ BP CƠ BP CƠ BẢẢẢN NÂNG CAO ẢN NÂNG CAO N NÂNG CAO VN NÂNG CAO VẤVVẤẤẤNNN ĐN ĐĐĐỀỀỀỀ 2222

1)

3 1 lim 1 x x x →− − + 2) 2 4 lim 2 x x x →− − + 3) lim x x x →+∞ − − 4) lim 172

1

x→+∞x + 5)

3 3 lim 6 x x x → + − − 6) 2 1 lim 3 x x x x →+∞ − + − + 7)

( )2

2 lim x x x → −

− 8)

2 lim x x x − → −

− 9)

2 lim x x x + → − − 10) lim x x x + → −

− 11) ( )

4

lim 1

x→+∞ x −x + −x 12) ( )

3

lim 2 3 5

x→−∞ − x + x −

13) lim 2 5

x→−∞ x − x+ 14)

2 1 lim 5 2 x x x x →+∞ + +

− 15) 2

3 lim x x x x → + + + 16) 2

3 5 6 lim 3 x x x x x →− + +

+ 17)

2 lim x x x − → − − 18) lim x x x →−∞ + − 19) lim( 2 1)

x→+∞ −x +x − x+ 20)

2 2 4

lim

3 1

x

x x x

x →−∞

− + −

− Bài 11. Tìm giới hạn sau:

1)

1 3 4 lim 1 x x x x →− − −

+ 2)

1 lim

5

x→ −x 3) ( )

2

lim 3 7 11

x→ x + x+

4) 34

1 lim

(2 1)( 3)

x

x x

→

−

− − 5)

1 lim 1

x→ x x

 

+

 

  6)

3 lim 9 x x x x → − −

7)

3

lim

x→ x

− 8) 2 3 1 lim 2 1 x x x x → + − − 9) lim

x→ x

−

10) 22 1 lim 2 x x x x x → + + + 11) lim 3 x x x

→− − 12)

( ) 3 lim x x x x → + − 13) 2 1 3 lim 2 3 x x x x x →− − −

+ − 14)

3 8 lim 2 x x x →− + + 15) 2 2 2 lim 2 x x x →− + − 16) 24

3

27 lim

2 3 9

x

x x

→

−

− − 17)

4 2 16 lim 6 8 x x x x →− −

+ + 18)

2 2 1

lim

( 1) 2 3

x x x x →  +  ⋅   − −  

19) 2

0

1 1 lim

x→ x x

 

−

 

  20)

3 2 8 lim 4 x x x → − − 21) 2 2 1 lim x x x x x → − − − 22) 1 lim 3 2 x x x → −

+ − 23)

3 1 1 lim x x x x → + − + 24) 2

2 1 5 3

lim 2 3 x x x x →− − − − + 25) 3 lim 9 x x x → −

− 26)

2 4 lim x x x → − −

27) 2

3 3 3 lim 3 x x x →− + − 28) 4 lim 4 x x x →−∞ + + 29)

4 11

lim 2 7 x x x x →+∞ − +

− 30)

(46)

34) 2 3 lim x x x x →− +

+ − 35)

( )3

0 1 1 lim x x x → + −

26) 2 2

0

1 1

lim 1

1

x→ x x

  ⋅ −  +   37) 5 lim 5 x x x → − − 38) 2 1 lim 16 x x x → + − − + 39) ( )

2 5 4

lim 1 x x x x →− − − + 40) 2

2 lim x x x x →− +

+ − 41) 1( )( )

5 lim

1

x→ x− x − x+ 42) 2( )2

3 4 lim 4 2 x x x x → + − −

1) lim 3 3 7

2 1 x x x x →−∞ − + − 2) 4

2 7 15

lim 1 x x x x →−∞ + − + 3) 2 lim 3 1 x x x →+∞ + − 4) lim 63 2

3 1 x x x →−∞ + − 5) 2 lim 8 3 x x x x x →−∞ +

− + 6) xlim 2

x x x x →+∞ − +

7) lim 32 5 1 x x x →+∞ −

+ 8) ( )( )

5

3 22 3 1

lim

2 1

x

x x

x x x

→+∞

+ −

− + 9)

2 3 lim 5 x x x x →−∞ + + + 10) lim 2

2 3

x

x x x

x →−∞

+ +

+ 11) xlim( 1) 2 1 x x

x x

→+∞ + + + 12)

4 4 lim 4 x x x →−∞ + + 13) lim 10 x

x x x

x →−∞ + + + 14) lim 1 2 x x x x →−∞ −

− 15) ( )

2

lim 1

x→+∞ x + −x

16) lim( 2 1 )

x→−∞ x + +x 17)

2

2 7 12

lim 3 17 x x x x →−∞ − + − 18) 2 lim 3 x x x x x x →−∞ + − +

19) lim 11

2 7 x x x x →+∞ − + − 20) 5 lim 2 1 x x x x →−∞ − +

− 21) ( )

2

lim 4

x→−∞ x +x− +x

22) lim 2 3 12

x→±∞ x − x+ 23)

4 2 1 lim 1 2 x x x x →+∞ + − − 24) 2 10 lim 9 3 x x x x →+∞ + − − 25) lim 3

2 x x x x →±∞ −

+ 26)

1 lim x x x →+∞ − − 27) 5 lim 5 x x x →+∞ − + 28) 1 2 3 lim 9 x x x x →+∞ − + − 29) 4

2 5 1

lim 1 x x x x x →+∞ + −

− + 30)

( )( )5

7

1 lim x x x x x →−∞ − − + + 31) lim( 1)

x→±∞ x+ x − +x 32) ( )

3

lim

x→+∞ x + x x− 33) ( )

2

lim 1

x→+∞x x + −x

34) 4 1 lim 1 2 x

x x x

x →±∞ + − + − 35) 3 2 2 lim

3 2 10

x

x x

x x x

→−∞

− +

− + − 36) ( )

3

lim 3 5 7

x→−∞ x − x +

37) lim 4 33 7 5

2 2

x

x x x

x x →+∞

− + −

+ − 38)

2

3

2 4 3

lim

2 3 1

x

x x

x x x

→−∞

− +

+ − + 39)

2

2 lim

4 1

x

x x x

x x

→−∞

+ + +

+ − + Bài 13. Tìm giới hạn sau:

1)

lim 1

x→+ x− 2) xlim→5−( 5−x+2x) 3) 0

2 lim x x x x x + → + −

4)

2 4 lim 2 x x x − → −

− 5) ( )

2 3 2 lim x x x x x + → − + + +

6)

(47)

7) ( ) 3 2 lim x x x x x + → − + + + 8) 1 lim x x x x x − → − + − − 9) 2 lim x x x + → + − 10) 2 lim x x x − → +

− 11) ( ) ( )

3 lim 1 1 x x x x + → − +

− 12) 2

1 1

lim

2 4

x→− x x

  −   − −   13) ( ) ( ) 2

2 5 3

lim 3 x x x x + → − + −

+ 14) ( ) ( )

2

2 5 3

lim 3 x x x x − → − + −

+ 15)

1 lim x x x x + → − − 16) 2 lim x

x x x

x + → + − 17) 1 lim

2 1 1

x x x x x − → −

− + − 18) 3

3 lim 27 x x x − → − − 19) 23

2 8 lim 2 x x x x + → −

− 20) ( )

4 1 lim 4 3 x x x x − → − +

+ + 21) ( )3

8 2 2

lim 2 x x x + → − + − +

22) 2

2

1 1

lim

4 2

x→ + x x

 

−

 

− −

  23)

2

lim

x

x x

−

→

+ + 24)

1

3 3 1

lim 1 x x x x + → + − + − 25) 22

1 3 2 lim 5 4 x x x x x + → − +

− + 26)

2 5 10 lim 25 x x x x + → − + − 27) 2 3 2 lim 5 4 x x x x x − → − + − +

1)

1 lim

3

x→ + x− 2)

1 lim

3

x→− x− 3)

1 lim

3 x→ x−

4) 2 lim 2 x x x + → −

− 5)

2 lim 2 x x x − → −

− 6)

| 2 lim 2 x x x → − − Bài 15. Tìm giới hạn bên phải, bên trái giới hạn (nếu có) của cá hàm số:

1) ( )

2

2 1 khi 2

x x f x x x  − ≤ −  =

+ > −

 khi x→ −2

2) ( )

2 2 3 khi 2

4

x x x

f x

x x

 − + ≤

=

− >

 khi x→2

3) ( ) 22 1 khi 1

3 khi 1

x x f x x x + ≤  = − >

 khi x→1

4) ( )

2 4 khi 2 2 6 2 khi 2 2 x x x f x x x x  − ≤ −  + = + −  > −  + 

x→ −2

5) ( )

2 1

khi 1

5 3 khi 1

x

f x x

x x −  >  =  + ≤ 

khi x→1

6) ( )

7 2 khi 3 4 4 khi 3 5 x x x f x x  − − <  − =  ≥ 

x→3

7) ( )

2

khi 1

1

1 khi 1

x x

x

f x x

x x x

 + −

>



= −

 + + <



(48)

8) ( ) ( ) 2 3 2 khi 1 1

2 3 1

khi 1

4 3 5 2

x x x f x x x x x x  + − >  −  = − +  <  − + 

khi x→1

9) ( )

3 3 khi 0 2 1 1 khi 0 1 1 x f x x x x  ≤  = + −  >  + − 

khi x→0

10) ( )

2 4

khi 2

2

1 2 khi 2

x

f x x

x x

 −

<



= −

 − >



khi x→2

Bài 16. Với giá trị của m hàm số sau có giới hạn x→1 ? Tìm giới hạn đó

1) ( )

3 1

khi 1

1

2 khi 1

x

f x x

mx x  − <  = −  + ≥ 

2) ( )

1 3

khi 1

1 1

2 khi 1

x

f x x x

mx x  − >  = − −  + ≤ 

3) ( )

2 3 khi 1

khi 1

x x x

f x x m

x x  − + ≤  = + >  

4) ( )

3 1 khi 1 2 2 khi 1 x x

f x x

m x  − ≠  = −  = 

1)

2 2

2 3 2

lim 4 x x x x → − − − 2) 2 6 lim 9 x x x x →− − − − − 3) 2 8 lim 3 2 x x x x → − − +

4) 2

1

1 2

lim

1 1

x→ x x

 

−

 

− −

  5) 2

1 12

lim

2 8

x→ x x

 

−

 

− −

  6)

2 4 lim 8 x x x →− − + 7) ( ) 2 3 2 lim 2 x x x x → − + − 8)

2 3 1

lim

1

x

x x

x x x

→

− +

− − + 9)

2 3 9 lim 27 x x x →− − + 10) 4 lim 8 x x x → − − 11) 1 lim 1 x x x → − − 12) 2 1 lim 3 2 x

x x x

x x

→

− − +

− +

13) ( ) ( )

( ) ( )

2

3

2

1 2 1 3

lim

1 2 1 1

x

x x

→−

+ − + −

+ + + − 14)

3 1 lim 1 x x

x x x

→

−

− + − 15)

( )2

3 2 lim 12 16 x x x x x → − − − + 16) 2

2 5 7 2

lim

3 2

x

x x x

x x

→

+ − +

− + 17)

3

2

3 5 2

lim

3 5 2

x

x x

→

− +

− + 18)

2 2 2 lim 2 2 x x x x → − − + − 19) 3 1 lim

5 7 3

x

x x x

→

− − +

− + − 20)

3

3 9 2

lim

6

x

x x x

x x →

+ − −

− − 21)

3

1

2 3 5

lim

3 1

x

x x

x x x

→− + + + + − 23)

4 3 7

lim 1 x x x x →− − − + 24) 3

2 2 1

lim

1

x

x x x

x →−

− + −

+ Bài 18. Tìm giới hạn sau:

1) 3

1

3 1 3

lim 1 x x x x → + − +

− 2)

1 3 1 lim 3 x x x → + −

3) 2

2 3 2 lim 4 x x x x → − − −

4)

2

4 lim

3

x x x → + − − +

5)

2 1 lim 16 x x x → + − + − 6) 2 lim

4 1 3

(49)

7) 1 1 lim x

x x x

x →

+ − + +

8) 1 lim 1 x x x → −

− 9)

1 4 3

lim x x x x → + + + −

10)

0 1 1 lim 3 x x x → − − 11) 2 8 lim 3 3 x x x x x → + − +

+ + − 12)

1 1 lim x x x → − −

13) 1 1 lim x x x x → + − −

14)

1 3 2 lim 1 x x x x → + − − 15) 1 lim 1 x x x → − −

16) 4

2 3 2 lim 4 x x x x → − −

− 17)

3 9 lim x x x x → − +

+ 18)

2 lim 4 x x x x → +

19)

2 1 lim x x x →− + + − 20) 3 1 1 lim 1 1 x x x x x → + − −

+ − − 21)

2 4 lim 2 x x x → − − 22) 2

1 1 2

lim x x x x x → + − −

+ 23)

1 1 lim 1 1 x x x → + −

+ − 24)

2 lim

1 2 1

x

x x

→ + −

1) 3

1

1 3

lim

1 1

x→ x x

 

−

 

− −

  2)

2 1

lim

1 1

x→ x x

 

−

 

− −

 

3) lim 2( 1 4 6 3)

x→+∞ x− − x − x+ 4) ( )

2

lim 3 9 2 1

x→−∞ − x− x − x+

5) lim( 4 )

x→−∞ x − x−x 6) ( )

2

lim 3

x→−∞ x − + +x x

7) lim( 4 4 1 2 3)

x→+∞ x − x+ − x− 8) ( )

2

lim 4 3 1 2 5

x→+∞ x − x+ + x−

9) lim( 1 1)

x→−∞ x − + −x x + +x 10) ( )

2

lim 5 3 1

x→−∞ x + x− x − x+

11) lim ( 1 )

x→+∞x x + −x 12) ( )

2

lim 2 2

x→+∞x x + x− x +x+x

13) lim(3 )

x→−∞ x +x −x 14) ( )

3 2

lim 3 2

x→−∞ x + x − x − x

15) lim(3 5 3 8 )

x→+∞ x + x − x + x 16) xlim→−∞( 3−x− 5−x)

1) 3 1 lim x x x

x x x →−∞

+ −

+ 2)

2 lim 1 x x x x →+∞ −

− − 3)

2 1 lim 3 5 x x x x →−∞ + + + 4) lim1 2

3 x x x x →+∞ + −

+ 5) limx 1 | |

x x

→±∞ + 6)

2 2 3 lim 4 2 x x x →±∞ + + 7) lim 3 2 1

4 2 x x x x x →−∞ + −

− + 8)

4

3 2 5

lim

2 4 5

x

x x x x

x x

→+∞

− + −

+ − 9)

( ) ( ) ( )

2 3 3 1

lim

3 4 1

x

x x x

x x →+∞ − − + + 10) 3

2 3 5

lim

4 2 3

x

x x

→+∞

− +

+ − 11)

3

lim

2 1

x

x x x

x →+∞ − + + 12) 1 2 lim 3 4 x x x x →−∞ − + −

13) ( ) ( )

( ) ( )

6

2 2

4

3 3

4 3 3 1

lim

3 4 2 1

x x x x x →−∞ − + − +

14) ( ) ( )

( )

3

2 2

2

3 1 4 1

lim 2 1 x x x x →−∞ − + + 15) 2 lim x x x x x →+∞

(50)

16) 2

9

lim

2

x

x x x

x x

→−∞

− +

17)

2 lim 1 x x x x →−∞ + + + +

18)

3

2

lim

1

x

x x x

→+∞ − + − + − + + − 19) 1 lim 1 x x x x →±∞ +

− + 20) xlim 1

x x x →±∞

+ + 21)

3

2 lim

3

x x x x x →+∞   −   − +  

1) sin lim cos x x x π → − 2) cos lim sin x x x → −

3) 2

0

cos cos lim sin x x x x → − 4)

1 sin cos lim

1 sin cos x

x x

→

+ −

− − 5)

tan sin lim sin x x x x → −

6) 2

6

2sin lim

4 cos x x x π → − − 7)

cos cos lim sin x x x x → − 8) lim tan cos x x x π →   −  

  9)

2 1

lim

sin 1 cos

→   −   −  

x x x

10)

cos cos lim sin x x x x → − 11) 2

1 sin cos lim sin x x x x → + − 12)

cos cos lim

cos cos x x x x x → − − Bài 22. Cho

0 sin lim x x x

→ = Tìm giới hạn sau:

1) lim sin x x x

→ 2)

tan lim x x x →

3) 2

0

1 cos lim x x x → − 4)

sin 3 cos5 lim 3 x x x x → −

Bài 23. Với đồ thị làm f cho sẵn như hình bên, xác ñịnh giá trị của mỗi

Nếu không tồn tại, giải thích sao?

a) f ( )3 b) ( )

1 lim

x→ f x , xlim2 ( ) f x

+

→ , limx→2 f x( ) c) ( )

3 lim

x

f x

−

→ ; xlim3 ( ) f x

+

→ , limx→3 f x( )

Bài 24. Với ñồ thị làm g cho sẵn như hình bên, xác định giá trị của mỗi

a) g( )2 b) ( )

0 lim

t g t

−

→ , tlim0 ( ) g t

+

→ , limt→0 g t( ) c) ( )

2 lim

t g t

−

→ , tlim2 ( ) g t

+

→ , limt→2 g t( ) f) ( )

4 lim

t→ g t

(51)

Bài 25. Với ñồ thị làm f cho sẵn như hình bên, xác định giá trị của mỗi giới hạn sau nếu tồn tại Nếu

khơng tồn tại, giải thích sao?

a) ( )

2 lim

x→ f x b) limx→5 f x( ) c) x→ −lim( )3− f x( ) d)

( )3 ( ) lim x

f x

+

→ −

Bài 26. Với ñồ thị làm f cho sẵn như hình bên, xác định giá trị của mỗi giới hạn sau nếu tồn tại Nếu

khơng tồn tại, giải thích sao?

a) ( )

7 lim

x→− f x b) xlim→−3 f x( ) c) limx→0 f x( ) d) xlim6 ( ) f x

−

→ e) xlim6 ( ) f x

+

→

Bài 27. Cho hai hàm số ( )

2 1 x f x

x −

= ( )

3

2 1 x x g x

x

+ +

=

1) Tính ( )

0 lim

x→ f x , limx→0g x( ), xlim→+∞ f x( ), xlim→+∞g x( )

2) Hai ñường cong sau dồ thị của hai hàm số ñã cho Từ kết quả câu 1), xác ñịnh xem ñường cong ñồ thị của hàm số nào?

Bài 28. Cho hàm số: ( )

2

2 15 12

5 4

x x

f x

x x

− +

=

− + có đồ thị như hình vẽ 1) Dựa vào đồ thị, dựđốn giới hạn của hàm số f x( )

khi x→1+, x→1−, x→4+, x→4−, x→ +∞ x→ −∞

2) Chứng minh dựđốn đó

O x

y

3

−

7

−

O x

y

3

−

x

O 1 4

3 y

2

O x

y

1

O )

a b)

1

− y

(52)

BI T BI TBI T

BI TẬẬẬP TRẬP TRP TRP TRẮẮẮẮC NGHIC NGHIC NGHIC NGHIỆỆỆỆMM VMM VVẤVẤẤẤN ĐN ĐN ĐỀỀỀỀ 2N Đ 222

Câu 71. ( )

2 lim 2

x→− có giá trị bằng

A 2 B −2 C 0 D 4 Câu 72. ( )

2

lim 2

x→− x − +x có giá tr ị bằng

A 4 B 8 C 0 D −4

Câu 73.

2 lim

1

x x x →

−

+ có giá trị bằng

A −1 B −2 C 1 2

− D +∞

Câu 74. lim 33 2

2

x

x x

→+∞

− −

+ + có giá trị bằng A 1

2 B 2 C 0 D −1

Câu 75. lim 33 42

2

x

x x

→+∞

− −

− + có giá trị bằng A −2 B 3

2 C +∞ D −∞

Câu 76.

3

5

2 9 1

lim

4 2 3

x

x x

→+∞

+ +

2 B

3

2 C 1 D

9 4 Câu 77. 5 64

1 lim

5

x

x x

→

+

− + có giá trị bằng A 1

5 B 1 C 0 D

3 5 Câu 78. 44 2

1

2 lim

1 x

x x

→−

−

A 1 B −1 C 3 D +∞ Câu 79. 33

3

2 lim

3 x

x x

→−

−

− + có giá trị bằng A 21

16 B

21

20 C 0 D 1

Câu 80.

2

lim

2 x

x x

→

 − 

 

 − 

  có giá tr

ị bằng

A 1

(53)

Câu 81. 2

2

lim

49 x

x x

→

− −

A 1 B −1 C 2 D 1 56 − Câu 82.

2

lim 3 4 1

x→− x − x− có giá trị bằng

A 1 B 2 C −17 D 17

Câu 83. 32 32

2 3

lim

9 2

x

x x

→−

+ +

− − có giá trị bằng A

2 B

2

2 C

1

3 D

1 2 Câu 84. 32

3

10 3 lim

2

x

x x

x x →−

− +

+ + có giá trị bằng A 1 B 3

4 C

3

2 D +∞

Câu 85. 22

2 lim

x x x x

−

→

+

A 3 B 3 C 0 D 1 Câu 86.

2 1 lim

2

x x x

−

→

+

− có giá trị bằng A 1 B 1

2

− C +∞ D −∞

Câu 87.

1 lim

1

x x x

+

→−

−

A 1 B −1 C +∞ D −∞ Câu 88.

1 3 lim

1

x x

x

+

→

+

A −∞ B +∞ C 1 D 3 Câu 89. lim ( 1)

x→+∞ x+ − x− có giá trị bằng

A −∞ B +∞ C 0 D 1 Câu 90. lim ( 3 )

x→+∞x x + −x có giá trị bằng

A 3

2 B

3

2 C 3 D +∞

Câu 91. lim ( 1 )

x→+∞x x + +x có giá tr ị bằng

A 2 B +∞ C 1 D 3 Câu 92.

1 lim

1 x

x x

→

−

(54)

Câu 93.

1 lim

1 x

x x

→

−

A 4 B 2 C 1 D +∞ Câu 94. 43

1 lim

1 x

x x

→

−

− có giá trị bằng A 4

3 B

3

4 C 1 D +∞

Câu 95.

0

2 2

lim

x

x x x

x →

+ − − +

A 2 B

2 C 2 D 0

Câu 96. 2

3 lim

3 x

x x

x

→−

+ +

+ có giá trị bằng A 2

3 B

1

3 C

1 3

− D 1

Câu 97.

6 lim

2 x

x x x

→

+ −

A 6 B 0 C 1 D +∞ Câu 98.

2

6 lim

3 x

x x x

→

+ −

3 B

4

3 C

5 3

− D +∞

Câu 99.

12 lim

2 x

x x x

→−

+ −

2

− B 1 C +∞ D 7

2 − Câu 100. 2

2

6 lim

4 x

x x x

→

+ −

3 B

1 4

− C +∞ D 5

4 Câu 101. 23

2

8 lim

2 x

x

x x

→−

+

A −6 B −5 C 1 D 0 Câu 102. 3

1

3 lim

1 x

x x

x

→−

+ +

A 3 B 1 C 0 D 1 3 Câu 103.

2

5 4

lim

2

x

x x

x →

− +

A 6 B 0 C 12 D 1 Câu 104. 2

0

2

lim

3 x

x

x x

→

− +

4 B 0 C

1 4

(55)

Câu 105.

2 4 8

lim

4 2

x

x x →

+ −

A 3 B 1 C 0 D 1 3 Câu 106.

1

5 lim

1 x

x x

→−

− −

4 B 1 C 0 D

1 4 −

Câu 107.

2 4 8

lim

4 2

x

x x →

+ −

3 B 1 C 0 D

4 3 Câu 108.

1 lim

1 x

x x

+

→

−

A +∞ B −∞ C 3 D 0 Câu 109.

2

lim

2 x

x x x

+

→

+ +

A −∞ B +∞ C 2 D 0 Câu 110. 2

2 3 lim

4

x x x

+

→−

+

− có giá trị bằng A +∞ B 3

4

− C 0 D −∞

Câu 111. 2

3 lim

4 3

x

x x

−

→

+

− + có giá trị bằng

A −∞ B 0 C +∞ D 1 Câu 112. lim ( 1) 3 2

8

x

x x

x →+∞

− +

A 0 B 1 C +∞ D −∞

Câu 113. 3

1

lim

1

x→ x x

 

−

 

− −

A −1 B +∞ C −∞ D 0 Câu 114. 2

1

2

lim

1

x→ x x

 

−

 

− −

A +∞ B −∞ C 0 D 1 2 −

Câu 115. Cho hàm số ( )

3 1 khi 1

2 khi 1

x x

f x

x

 + <

=

≥

 Khi đó limx→1 f x( ) b

ằng

(56)

VVVVấn đề Hấn đề Hấn đề Hấn đề HÀM SÀM SÀM SÀM SỐ LIỐ LIỐ LIỐ LIÊN TÊN TÊN TỤCÊN TỤCỤCỤC

  

 Hàm số liên tục tại một ñiểm

ðịnh nghĩa:

 Giả sử hàm số f xác ñịnh khoảng (a b; ) ( )

0 ;

x ∈ a b Hàm số f ñược gọi liên tục tại ñiểm x0

nếu: ( ) ( )

0

lim

x→x f x f x =

 Hàm số khơng liên tục tại điểm x0 ñược gọi gián

ñoạn tại ñiểm x0 ñiểm x0 ñược gọi ñiểm gián

ñoạn của hàm số f x( )

 Theo ñịnh nghĩa trên, hàm số f x( ) xác ñịnh khoảng (a b; ) liên tục tại ñiểm ( )

0 ;

x ∈ a b nếu chỉ nếu ( )

0

lim x x

f x −

→

( )

0

lim x x

f x +

→

tồn tại ( ) ( ) ( )

0

lim lim

x x x x

f x f x f x

+ −

→ →

= =

  

 Hàm số liên tục một khoảng, một ñoạn

 Hàm số f x( ) xác ñịnh khoảng (a b; ) ñược gọi liên tục khoảng đó, nếu liên tục tại mọi điểm của khoảng đó

 Hàm số f x( ) xác ñịnh ñoạn [a b; ] được gọi liên tục đoạn đó, nếu liên tục khoảng (a b; ) lim ( ) ( )

x a

f x f a +

→

= , lim ( ) ( ) x b

f x f b

−

→

= (liên tục bên phải tại a bên trái tại b) Chú ý: ðồ thị của một hàm số liên tục một khoảng một “đường liền” khoảng đó Tính liên tục của một số hàm số:

 Tổng, hiệu, tích, thương của hai hàm số liên tục tại một ñiểm những hàn số liên tục tại

điểm đó (giá trị của mẫu tại điểm đó phải khác 0)

 Hàm đa thức hàm phân thức hữu tỉ liên tục từng khoảng xác ñịnh của chúng  Các hàm y====sin , x y====cos , x y====tan , x y====cotx liên tục từng khoảng xác ñịnh của chúng 

 

 Tính chất của hàm số liên tục

 ðịnh lí: (ðịnh lí về giá trị trung gian của hàm số liên tục)

Giả sử hàm số f liên tục ñoạn [a b; ] Nếu f a( )≠ f b( ) với mỗi số thực M nằm giữa f a( ) f b( ), tồn tại nhất một điểm c∈(a b; ) cho f c( )=M

 Hệ quả 1: Nếu hàm f liên tục [a b; ] f a f b( ) ( ) <0 tồn tại nhất một ñiểm ( ; )

c∈ a b cho f c( )=0

 Hệ quả 2: Nếu hàm f liên tục [a b; ] f x( )=0 vô nghiệm [a b; ] hàm số f

có dấu khơng đổi [a b; ]

O x

y

a c b

( ) f a

( ) f b

M

( ) y= f x

( )a

O x

y

a b

( ) f a

( ) f b

M

( ) y= f x

( )b

1

c c2 c3

O x

y

( ) y= f x ( )

f x ( )0

f x

dần tới f x( )0

x

(57)

Dạng1.Xéttínhliêntụccủahàmsốtạimộtđiểm

A PHƯƠNG PHÁP GIẢI  Loại 1: Cho hàm số ( ) ( )

( )

1

2

≠ 

=

= 

f x x x

f x

f x x x

ðể xét tính liên tục hoặc xác ñịnh giá trị của tham sốñể hàm số liên tục tại ñiểm x0, ta thực hiện bước sau

  

 Bước Tính giới hạn ( ) ( )

0

1

lim lim

→ = → =

x x f x x x f x L

  

 Bước Tính f x( )0 = f2( )x0

  

 Bước ðánh giá hoặc giải phương trình L= f2( )x0 , từđó đưa kết luận.

 Loại 2: Cho hàm số ( ) ( )

( )

1

2

< 

=

≥ 

f x x x

f x

f x x x

ðể xét tính liên tục hoặc xác ñịnh giá trị của tham sốñể hàm số liên tục tại ñiểm x0, ta thực hiện bước sau

  

 Bước Tính f x( )0 = f2( )x0

  

 Bước (Liên tục trái) Tính giới hạn ( ) ( )

0

1

lim lim

− −

→ →

= =

x x x x

f x f x L

ðánh giá hoặc giải phương trình L1 = f2( )x0 , từđó đưa kết luận

  

 Bước (Liên tục phải) Tính giới hạn ( ) ( )

0

1

lim lim

+ +

→ →

= =

x x x x

f x f x L .

ðánh giá hoặc giải phương trình L2 = f2( )x0 , từđó đưa kết luận

  

Chú ý: Hàm số khơng liên tục tại x0 được gọi gián ñoạn tại x0 B BÀI TẬP MẪU

Ví dụ 1. Xét tính liên tục của hàm số

a) ( )

2

 −

≠



= −



=



x

x f x x

x

tại x= 2 b) ( )

( )2 5

5

2 1 3

5 3 5 −



> 

− − =

 − + ≤



x

x x

f x

x x

tại x=5

Lời giải a) Hàm số xác ñịnh với mọi x∈ℝ

Ta có  ( ) ( )( ) ( )

2

2 2

2

lim lim lim lim 2 2 2

2 2

→ → → →

− +

−

= = = + =

− −

x x x x

x x

x

f x x

x x

 f( )2 =2 2

Do ( ) ( )

2

lim 2

→

= =

x f x f nên hàm s

ố liên tục tại x= 2. b) Hàm số xác ñịnh với mọi x∈ℝ

(58)

 ( ) ( )2

5

lim lim 3

− −

→ →

 

=  − + =

x x

f x x

 ( ) ( )( )

5 5

5 2 1 3

lim lim lim lim 3

2 1 9 2

2 1 3

+ + + +

→ → → →

− − +

= = = =

− − − −

x x x x

x x

f x

x

Do ( ) ( )

5

lim lim

− +

→ →

=

x f x x f x nên hàm s

ố liên tục tại x=5. Ví dụ 2. Xét tính liên tục của hàm số sau tại x0 ñã chỉ ra:

a) ( ) 0

3

khi 1

( 1) 1

1 khi 1

x

f x x x

x

− 

≠ 

= + =

− =



b) ( )

2

0

3 2

khi 2

( 2) 2

1 khi 2

x x

x

f x x x

x

 − +

≠ 

= − =

 =

 c) ( )

0

1

khi 1

( 1) 1

2 khi 1

x

f x x x

x

 −

≠ 

= − =

 =



d) ( )

3 2

0

1

khi 1

( 1)

3 2

1 khi 1

x x x

x

f x x x x

x

 − − +

≠ 

= − + =

 =



(59)

Ví dụ 3. Xét tính liên tục của hàm số sau tại x0 ñã chỉ ra: a) ( ) ( )

2

0

1 khi 0

( 0)

1 khi 0

x x

f x x

x

 + ≤



= =

− >

 b) ( ) ( )2

5

khi 5

2 1 3 ( 5)

5 3 khi 5

x

x x

f x x

x x

− 

> 

− −

= =

 − + ≤



c) ( )

1

khi 1

2

( 1) 1

khi 1

x x

f x x

x x



≤  −

= =

− >



d) ( )

2

0

2 1

khi 1

( 1)

1

4 9 khi 1

x x

x

f x x x

x x

 − +

< − 

= + = −

 + ≥ −



(60)

Ví dụ 4. Tìm m để hàm số sau liên tục tại x0: a) ( )

3

0

2 2

khi 1

( 1) 1

3 khi 1

x x x

x

f x x x

x m x

 − + −

≠ 

= − =

 + =



b) ( )

2

0

3 2

khi 2

( 2) 2

1 khi 2

x x

x

f x x x x

mx m x

 − +

< 

= − =

 + + ≥



c) ( )

2

khi

( 2)

3

x

f x x x

x mx x

 + −

≠



= + − =



− =



d) ( )

2

0

4 3

khi 1

( 1) 1

12 khi 1

x x

x

f x x x

m x

 − +

≠ 

= − =

 − =



(61)

C BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1. Xét tính liên tục hàm số f tạix0:

1) ( )

3 2

1

khi 1

3 2

1 khi 1

x x x

x

f x x x

x  − − + ≠  = − +  = 

tại x0 =1, x0 =2,x0 =3

2) ( )

3 2 khi 1 1 4 khi 1 3 x x x x f x x  + + ≠ −  + =  = − 

tại x0 = −1, x0 =1

3) ( )

1 2 3

khi 2

2

1 khi 2

x

f x x

x  − − ≠  = −  = 

tại x0 =2, x0 =1, x0 =6

Bài 2. Xét tính liên tục hàm số f x0:

1) ( )

2

4 3

khi 3

3

2 4 khi 3

x x

x

f x x

x x  − + >  = −  − ≤ 

tại x0 =3, x0 =4

2) ( )

( )2 5

khi 5

2 1 3

5 3 khi 5

x x x f x x x −  >  − − =  − + ≤ 

tại x0 =5, x0 =6

3) ( )

2

khi

1

2

1 1 x x x x

f x x

x x x  + − <  −  = =  −  >  − 

tại x0 =1, x0 =4

Bài 3. ðịnh a ñể hàm số f liên tục x0:

1) ( )

2 6 5 khi 1 1 5 khi 1 2 x x x x f x a x  − + ≠  − =  + = 

tại x0 =1

2) ( )

3 2 4 3 khi 1 1 5 khi 1 2 x x x x f x ax x  − + ≠  − =  + = 

tại x0 =1

Bài 4. ðịnh a, b ñể hàm số f liên tục x0:

1) ( )

1 khi x x x x f x x a x x  − − + <  = −  + ≥  + 

tại x0 =0

2) ( )

3

3 2

khi 2 x x x f x ax x  + − >  − =  + ≤ 

(62)

Dạng2.Xéttínhliêntụccủahàmsốtrênkhoảng,đoạn

A PHƯƠNG PHÁP GIẢI

 ðể chứng minh hàm số y= f x( ) liên tục một khoảng, ñoạn ta dùng ñịnh nghĩa về hàm số liên tục khoảng, ñoạn nhận xét ñể suy kết luận

 Khi nói xét tính liên tục của hàm số (mà khơng nói rõ hơn) ta hiểu phải xét tính liên tục tập xác định của

 Tìm điểm gián đoạn của hàm số tức xét xem tập xác ñịnh của hàm số

khơng liên tục tại điểm

B BÀI TẬP MẪU Ví dụ 5. Cho hàm số f x( ) xác ñịnh bởi ( )

2

2 khi 3 3

khi 1 3 1 2

− − ≥

= −

   

 + − − < <

x x x

f x x

x x

Chứng minh rằng hàm số liên tục khoảng (− +∞1; ) Lời giải • Nếu x>3 Hàm số ( )

2 = − −

f x x x hàm ña thức nên liên tục (3;+∞) ( )1 • Nếu − <1 x<3 Hàm số ( ) 3

1 2 − =

+ −

x f x

x

Ta có  x+ −1 2≠0 với mọi x∈ −( 1;3)

 x−3 x+ −1 2 ñều liên tục (−1;3) Do đó hàm số f x( ) liên tục (−1;3) ( )2 • Xét tại x= −3 Ta có

 ( ) ( )( ) ( )

3 3

3 1 2

3

lim lim lim lim 1 2 4

3 1 2

− − − −

→ → → →

− + + −

= = = + + =

− + −

x x x x

x x

x

f x x

x

 ( ) ( )

3

lim lim 2 4

+ +

→ →

= − − =

x f x x x x

Vì ( ) ( )

3

lim lim 4

− +

→ →

= =

x x

f x f x nên hàm số f x( ) liên tục tại x=3 ( )3 Từ ( )1 , ( )2 ( )3 ta kết luận hàm số liên tục khoảng (− +∞1; )

Ví dụ 6. Xác ñịnh a ñể hàm số ( )

1

khi 1 1

khi 1 −

≠ = 

 −   =



x

f x x

a x

liên tục ñoạn [0;1]

Lời giải Hàm số xác ñịnh liên tục [0;1)

Xét bên trái x=1 Ta có  f ( )1 =a

 ( ) ( )( )

2

1 1

1

lim lim lim 1 1 4

1

− − −

→ → →

−  

= =  + + =

−

x x x

x

f x x x

x

ðể hàm số liên tục bên trái của chỉ ( ) ( )

1

lim 1 4

−

→

= ⇔ = x

f x f a

(63)

Ví dụ 7. Xét tính liên tục của hàm số sau:

a) ( ) 3

2 f x x x

x = + + +

− b) f x( )= 1−x+ 2−x

c) ( )

2

khi 2

2

2 2 khi 2

x

f x x

x

 −

≠ 

= − 

= 

d) ( )

3

8

khi 2

4 8

3 khi 2

x

f x x

x

 +

≠ − 

= +

 = −



e) ( ) 1

khi 1

2 1

khi 1

x x

f x

x x



≤  −

=

− >



f) ( )

3

27

khi 3

9

5 khi 3

2 1 khi 3

x

x x

f x x

x x

 +

< 

− 

= =

 − >

 

(64)

Ví dụ 8. Chứng minh rằng hàm số ( )

2 1 1

khi 1

2 3

1 khi 1

x x

x

f x x x

x

 − + −

> 

= + − 

≤ 

liên tục [1; + ∞)

Ví dụ 9. Tìm m để hàm số ( )

khi 1

1 khi 1

x x x

f x x

mx x

 + <



= =

 + >



liên tục tập xác ñịnh của nó.

(65)

Ví dụ 10.Tìm điểm gián ñoạn của hàm số: a) ( )

2

3 4 5

4 3

x x

f x

x x

− + =

− + b) ( )

1 cos khi 0

1 khi 0

x x

f x

x x

− ≤

 =

+ > 

(66)

C BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 5. Chứng minh rằng:

1) Các hàm số f x( )=x3–x+3 ( )

3 1 1 x x g x − +

= liên tục ℝ

2) Hàm số ( )

3 2

khi 2

2

1 khi 2

x x

x

f x x

x  − + ≠  = −  = 

liên tục tại ñiểm x=2

3) Hàm số ( )

1

khi 1

1

2 khi 1

x

f x x

x  − ≠  = −  = 

gián ñoạn tại ñiểm x=1

4) Hàm số ( ) ( ) 2

1 khi 0

2 khi 0

x x f x x x  + ≤  = + >

 gián ñoạn tại ñiểm x=0 5) Hàm số f x( )=x4 –x2+2 liên tục ℝ

6) Hàm số ( )

2 1 1 f x x = −

liên tục khoảng (−1; 1) 7) Hàm số f x( )= 8 2− x2 liên tục ñoạn [−2; 2] 8) Hàm số f(x) = 2x−1liên tục khoảng 1 ;

2

 

+ ∞

 

9) Hàm số ( )

2 3 4 2 1 x x f x x + + = −

= liên tục tập xác định của 10) Hàm số ( )

2

f x x

x x = + + +

− liên tục tập xác định của 11) Hàm số f ( )x = 1−x+ 2−x liên tục tập xác định của 12) Hàm số f x( )= x−3 liên tục tập xác định của

13) Hàm số f x( )=x2sin – cosx x+3 liên tục ℝ 14) Hàm số ( )

3

cos sin 2 sin 3

x x x x

f

x

x = + +

+ liên tục ℝ

15) Hàm số ( ) ( )

3

2 1 sin cos sin

x x

f x x

x x

+ −

= liên tục ℝ\{kπ, k∈ℝ} Bài 6. Xét tính liên tục của hàm số f tập xác ñịnh:

1) ( )

2 1 4 x x f x x + + =

− 2) ( )

1 2 3

2

x f

x

x = − −

−

3) ( )

3 2 khi 1 1 4 khi 1 3 x x x x f x x  + + ≠ −  + =  = − 

4) ( )

3 3 2 khi 1 1 1 khi 1 2 x x x x f x x  − + ≠  − = − =  5) ( )

3 1 x x x f x x  − ≠  − =  = 

6) ( )

( )2

3 1

khi 1

1

4 khi 1

x x x f x x x  −  + ≠ = −  = 

(67)

1) ( ) 2 2 khi 1 1 khi 1 x

x x x

x f x a x  − + − ≠  = −  = 

2) ( )

3 2

5 5 3

khi 3

9

4 khi 3

x x x

x f x a x x x − + − − >  = −  + ≤  Bài 8. ðịnh a ñể hàm số f liên tục ℝ:

1) ( )

2

3 2

khi 2

2

1 khi 2

x x

x

f x x x

ax a x

 − + <  = −  + + ≥ 

2) ( ) 1 2 khi 1

3 khi 1

x x f ax x x + ≤  = − > 

Bài 9. ðịnh , a b ñể hàm số f liên tục ℝ:

1) ( )

2

1

khi

4

x x

f ax b x

x x x

x

− <

 

= + ≤ ≤

 − − >



2) ( )

2 sin

2 sin 2 cos x x f x

x a x b x

x π π π π  − ≤   

= + − < <

 

≤ −

 

Bài 10. ðịnh a ñể hàm số f liên tục I :

1) ( ) ( )

4 khi 4 3 2 khi 4 x x x f a x x −  ≠  − =  = 

trên I =[0; 4]

2) ( )

3

3 3 5

khi 1

1

1 khi 1

x x x f x x x ax  + − + ≠  = −  + = 

trên I = −[ 3; + ∞)

3) ( )

2 1 khi 1 1 khi 1 x x f x a x x  − ≠  = −  = 

trên I =(0; + ∞) Bài 11. Tìm điểm gián đoạn của hàm số sau:

1) ( )

1 x f

x x

x = +

− 2) ( ) cos

x x f x = − 3) f x( )=tanx+cotx 4) f x( )= x

5) ( )

2

1

2

x

f x x

x

 − ≠

=

− =

 6) ( )

1 khi 1

1 khi 1 3 x x f x x x x + ≤   = >  − 

7) ( )

2 5 4 khi 1 1 3 khi 1 2 x x x x f x x  − + ≠  − = − = 

8) ( )

2 2 2 khi 1 3 2 1 khi 1 2 x x x x x f x −  ≠  − + =  = 

Bài 12. Xét xem hàm số sau có liên tục tại mọi x khơng, nếu khơng liên tục chỉ điểm gián ñoạn:

1) ( )

2

f x =x − x + x+ 2) ( ) 22

3 x f

x x

x = +

− + 3) ( )

2 5 6 2 x x f x x x − + =

− 4) ( )

2

16

khi 4

4

8 khi 4

(68)

Dạng3.Chứngminhphươngtrìnhcónghiệm

A PHƯƠNG PHÁP GIẢI • Biến đổi phương trình về dạng: f x( )=0

• Tìm hai số , a b cho f a f b( ) ( ) <0 (Dùng chức năng TABLE của máy tính tìm cho nhanh)

• Chứng minh f x( ) liên tục [a b; ] từđó suy f x( )=0 có nghiệm 



 Chú ý:

Nếu f a f b( ) ( ) ≤0 phương trình có nghiệm thuộc [a b; ]

ðể chứng minh f x( )=0 có nhất n

nghiệm [a b; ], ta chia ñoạn [a b; ] thành n khoảng nhỏ rời nhau, rồi chứng minh mỗi khoảng đó phương trình có ít nhất một nghiệm

B BÀI TẬP MẪU Ví dụ 11.Chứng minh rằng phương trình

a)

cos + sin + =1 0

x x x x có nhất một nghiệm thuộc khoảng (0;π) b)

1 0 + + =

x x có nhất một nghiệm âm lớn hơn −1

c) x4−3x2+5x−6=0 có nhất một nghiệm thuộc khoảng (1; 2) Lời giải

a) Xét hàm số f x( )=x2cosx+xsinx+ =1 0 ñoạn [0;π] Hàm số f x( ) liên tục ñoạn [0;π]

Mặt khác ( )

( ) 2

0 1 0

cos sin 1 1 0

= > 



= + + = − < 

f

f π π π π π π suy f ( ) ( )0 f π <0

Do đó tồn tại một số c∈(0;π) cho f c( )=0 nghĩa phương trình

2

cos + sin + =1 0

x x x x có nhất một nghiệm thuộc khoảng (0;π) b) Xét hàm số ( )

1 = + + =

f x x x ñoạn [−1; 0] Hàm số f x( ) liên tục ñoạn [−1; 0]

Mặt khác ( ) ( )

1 1 0

0 1 0

− = − < 



= > 

f

f suy f(−1 ) ( )f <0

Do đó tồn tại một số c∈ −( 1; 0) cho f c( )=0 nghĩa phương trình x3+ + =x 1 0 có nhất một nghiệm âm lớn hơn −1

c) Xét hàm số f x( )=x4−3x2+5x−6=0 ñoạn [1; 2]

O x

y ( ) f b

( ) f a

a

b

(69)

Hàm số f x( ) liên tục ñoạn [1; 2] Mặt khác ( )

( )

1 3 0

2 32 0 = − < 



= > 

f

f suy f ( ) ( )1 f <0

Do đó tồn tại một số c∈(1; 2) cho f c( )=0 nghĩa phương trình x4−3x2 +5x−6=0 có nhất một nghiệm thuộc khoảng (1; 2)

Ví dụ 12.Chứng minh rằng phương trình sau ln có nghiệm:

a) x5−3x+ =3 0 b) x4+x3−3x2+ + =x 1 0 c) ( 2)( )3

1−m x+1 +x − − =x 3 0 d) m(2 cosx− 2)=2 sin 5x+1

(70)

Ví dụ 13.Chứng minh phương trình:

a) 3x3+12x− =1 0 có nhất một nghiệm

b) x5−5x3+4x− =1 0 có đúng nghiệm

c) x2cosx+xsinx+ =1 0 có nhất một nghiệm thuộc (0; π) d) x3+ + =x 1 0 có nhất một nghiệm âm lớn hơn– 1

e) 2x3−6x+ =1 0 có ba nghệm phân biệt

Ví dụ 14.Chứng minh phương trình x4− − =x 3 0 có nhất một nghiệm x0 thỏa mãn 12

x >

(71)

Ví dụ 15. Cho a b c, , số thực khác

Chứng minh phương trình ax2+bx+ =c 0 với 2a+3b+6c=0 ln có nghiệm

Lời giải

Xét hàm số f x( )=ax2+bx+c liên tục ℝ

Ta có

( )0

2 4 4

2

3 3 12

=

 

      + +   

= + + = + + = = + + − = −

       



       



f c

a b c a b c c c

f a b c a b c

Suy ( )

2

0 0

3 3

 

= − ≤  

 

c

f f

Vậy phương trình ax2+bx+ =c 0 với 2a+3b+6c=0 ln có nghiệm

Ví dụ 16.Chứng minh phương trình ax2 +bx+ =c 0 ln ln có nghiệm với mọi tham số trường hợp 5a+4b+6c=0

Ví dụ 17.Chứng minh phương trình ax2 +bx+ =c 0 ln ln có nghiệm với mọi tham số trường hợp 12a+15b+20c=0

(72)

C BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 13. Chứng minh rằng phương trình:

1) 3x2+2 – 2x =0 có nhất một nghiệm 2) x3+ + =x 1 0 có nhất một nghiệm âm lớn hơn −1 3) 3x3+2 – 2x =0 có nhất một nghiệm 4) 4x4+2x2 –x– 3=0 .có nhất hai nghiệm phân biệt thuộc (−1;1) 5)

– 0

x +x = có nhất ba nghiệm thuộc (−1;1) 6) x3– 3x+ =1 0 có nhất ba nghiệm phân biệt thuộc (−2; 2) 7) 2x3 – 6x+ =1 0 có nhất ba nghiệm phân biệt thuộc (−2; 2) 8) 2x4 – 3x+5 – 6x =0 có nhất một nghiệm thuộc (1; 2) Bài 14. Chứng minh phương trình sau có nghiệm:

1) m x( – 1) (2 x+2)+2x+ =3 0 2) cosx+mcos 2x=0 3) sinx+cos –x msin cosx x=0 4) –1 tanx + x=0

Bài 15. Chứng minh rằng nếu m< −3 phương trình (3m2+m−1)x3+(3m−2)x2+(m+1)x− =3 0 có nhất một nghiệm thu ộc khoảng (−1;1)

Bài 16. Cho , , a b c số thực khác 0 Chứng minh rằng phương trình

0 + + =

ax bx c với

0 2+ 1+ =

+ +

a b c

m m m m>0 ln có nghiệm

Bài 17. Chứng minh rằng nếu 2a+3b+6c=0 phương trình atan2x+btanx+ =c 0 có nhất một nghiệm khoảng ;

4

 

+

 

k k 

π

π π

Bài 18. Cho , , a b c ba số dương phân biệt

Chứng minh rằng phương trình a x b( − )(x c− )+b x( −a)(x c− )+c x( −a)(x b− )=0 ln có hai nghiệm phận biệt

Dạng4.Xétdấubiểuthức

Ta áp dụng hệ quả: “Nếu y= f x( ) liên tục [a b; ] f x( )=0,∀ ∈x (a b; ) f x( )

khơng đổi dấu (a b; )” ñể xét dấu biểu thức f x( ) miền Dtheo bước sau:

Bước 1: Tìm ñiểm gián ñoạn của f x( ) D

Bước 2: Tìm tất cả , ( 1, )

i

x ∈D i= n cho f x( )i =0.

Bước 3: Chia miền D thành những khoảng nhỏ bởi ñiểm gián ñoạn của f x( ) ñiểm

, ( 1, ) i

x ∈D i= n vừa tìm được ở bước

Bước 4: Trên mỗi khoảng nhỏ lấy một số m tùy ý, tính f m( ), dấu của f x( ) khoảng đó

(73)

B BÀI TẬP MẪU Ví dụ 18.Xét dấu biểu thức sau:

a) f x( )=2x4−7x3−5x2+28x−12 b) f x( )=x2− +3 9−x2

C BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 19. Xét dấu biểu thức sau:

1) ( )

–

f x =x 2) f x( ) (= sin – 2x )( +2 cosx) với x∈[0; 2π] 3) f ( )x =3(x– 2)+ 12x−3x2 4) f( )x =2 – –x x2−2x+9

(74)

BI T BI T BI T

BI TẬẬẬP CƠẬP CƠP CƠ BP CƠ BBBẢẢẢẢN NÂNG CAO VN NÂNG CAO VẤN NÂNG CAO VN NÂNG CAO VẤẤẤN ĐN ĐN ĐN ĐỀỀỀỀ 3333 Bài 20. Xét tính liên tục hàm số f x0:

1) ( )

2

khi

5

1

x

f x x

x  − ≠  = + −  = 

tại x0 =4

2) ( )

3

3 2

khi 2 x x x f x x  + − ≠  − =  = 

tại x0 =2

3) ( )

| 2 |

khi 2

2

3 khi 2

x

x x

f x x

x −  + ≠  = −  = 

tại x0 =2

4) ( )

2

3 2 4 2

khi 1

3 2

1

khi 1

2

x x x

x x x f x x  − − − − ≠  − + =  = 

x0 =1

5) ( )

2

khi 2

2

3 khi 2

x

x x

f x x

x  − + ≠  = −  = 

tại x0 =2

6) ( )

3

8

khi 2

4 8

3 khi 2

x

f x x

x  + ≠ −  = +  = − 

tại x0 = −2

Bài 21. Xét tính liên tục hàm số f x0:

1) ( )

2 1 khi x x x

f x x

x x x x  + − >  −   = =   − <  + − 

tại x0 =1, x0 =2

2) ( )

2 2 khi 4 5 3 5 8 khi 4 6 x x x f x x x x  − >   + − = − +  ≤ 

tại x0 =4

3) ( )

2

khi 1 x x x f x x x  + − >   − = + −  ≤ 

(75)

4) ( ) sin cos khi 4 tan 4

2 sin khi

4 x x x x f x x x π π π −  >    −    =     ≤ 

tại 0

4 x =π

Bài 22. ðịnh a ñể hàm số f liên tục x0:

1) ( )

3 4 3 khi 1 4 3 3 khi 1 2 x x x x x f x a x  − + ≠  − + =  − = 

tại x0 =1

2) ( )

4 3

4 2 1

khi 1

1 1

khi 1

3

x x x

x x f x a x  − + + ≠  − =  + = 

tại x0 =1

3) ( )

2 khi 4 5 3 5 khi 4 2 x x x f x ax x  − ≠  + − =  − = 

tại x0 =4

4) ( )

2

3

khi 1 x x x x f x a x  + − + ≠  − =  − = 

tại x0 =1

5) ( )

4

khi

5

2

4 x x x f x a x  + − ≠  =  − = 

tại x0 =0

6) ( )

2 1 5

khi 4

4

2 khi 4

x x

x

f x x

a x  + − + ≠  = −  + = 

tại x0 =4

7) ( )

2 2 khi 2 2 khi 2 x x x

f x x

a x  − − ≠  = −  = 

tại x0 =2

8) ( )

3 2 3 4 khi 1 1 khi 1 x x x

f x x

a x  − + ≠  = −  = 

x0 =1

9) ( )

3

3 2

khi 2 x x x f x ax x  + − ≠  − =  + = 

(76)

Bài 23. ðịnh a, b ñể hàm số f liên tục x0:

1) ( )

3 1 1 khi 0 2 3 1 khi 0 2 x x x x f x x x a x x  − − + <  = − +  + ≥  + 

tại x0 =0

2) ( )

2

3 8 2

khi 2 2 1 khi 2 4 x x x f x ax x  − − >  − =  + ≤ 

tại x0 =2

3) ( )

2 sin

2 cos

3 x x x f x

a x x

π π π  − >  − =  + ≤ 

tại 0

3 x =π

Bài 24. Xét xem hàm số sau có liên tục tại mọi x khơng, nếu khơng liên tục chỉ điểm gián ñoạn:

1) ( )

2

f x =x − x + x+ 2) ( ) 22

3 x f

x x

x = +

− +

3) ( )

2 5 6 2 x x f x x x − + =

− 4) ( )

2

16

khi 4

4

8 khi 4

x x f x x x  − ≠  = −  = 

Bài 25. Xét tính liên tục của hàm số f tập xác ñịnh:

1) ( )

1 khi 1

2 khi 1

x x x x f  − + ≠  = −  =  x x

2) ( ) 1 khi 1 2 1 khi 1 x x f x x x  ≤  − =

− >



3) ( ) ( )2

2

1

2

x

f x x

x x x + ≤  

= − < <

 ≥



4) ( )

2

khi 0

0 khi 1

2 khi 2

x x f x x x x  ≤  = =  − ≥  5) ( )

3

khi

3

x x f x x x  ≥ = + <

 6) ( )

2

1

cos

x x x

f

x x

x = + + <

≥



7) ( )

2

khi

2

x x f x x x  − ≠  = −  = 

8) ( ) ( )2

khi

2

3

x x f x x x −  ≠  − =  = 

Bài 26. Xét tính liên tục của hàm số f theo a:

1) ( )

3 8 khi 2 2 khi 2 x x f x a x x  − ≠  = −  = 

2) ( )

(77)

Bài 27. ðịnh a ñể hàm số f liên tục ℝ: 1) ( )

2

1

3

x x

f

x a x

x = − ≥

+ <

 2) ( )

2

khi

3

x ax x

f

x

 ≤

=

>



3) ( )

3

3 2

khi

2

khi

4 x

x x

f

ax x

x

 + −

>

 −

= 

+ ≤



4) ( ) sin

3

khi

1 cos 3

tan khi

6 3

x

f x

a x

π

π π

  

−

 



 

 ≠

= − 

 + =



Bài 28. Chứng minh rằng phương trình:

1) x3– – 7x =0 ln có nghiệm

2) x5+7x4– 3x2+x+2=0 ln có nghiệm 3) x4 – – 5x =0 ln có nghiệm 4) x4 – 3x3+ =1 0 có nhất một nghiệm thuộc (−1;3) 5) x5– 3x4+5 – 2x =0 có nhất ba nghiệm thuộc (−2;5) 6) x3+6x+ −1 2=0 có nghiệm dương 7) cos 2x=2sin – 2x có nhất hai nghiệm thuộc ;

6 π

π

 

 

 

8) x2cosx+xsinx+ =1 0 có nhất một nghiệm thuộc (0;π) 9) cosx=x ln có nghiệm Bài 29. Liệu có tồn tại một số lớn hơn lập phương của ñơn vị?

Bài 30. Nếu a b số dương, chứng minh phương trình 3 2 3

2

a b

x + x − + x +x− = có nhất nghiệm nằm khoảng (−1;1)

Bài 31. Một thầy tu Tây Tạng rời tu viện lúc h sáng ñi lên ñỉnh núi như thường lệ, ñến nơi lúc h tối Sáng hơm sau, ơng bắt đầu đi từđỉnh núi vào lúc h sáng cũng ñi về bằng ñường cũ, vềñến tu viện lúc h tối Hãy sử dụng ðịnh lý Giá trị trung gian để chứng minh rằng có một điểm nằm ñường mà thầy tu sẽñi qua vào thời ñiểm như cả hai ngày Bài 32. Chứng minh phương trình sau có nghiệm:

(78)

BI T BI TBI T

BI TẬẬẬP TRẬP TRP TRP TRẮẮẮẮC NGHIC NGHIC NGHIC NGHIỆỆỆỆMM VMM VVẤVẤẤẤN ĐN ĐN ĐỀỀỀỀ 3N Đ 333 Câu 1. Cho hàm số f x( ) x 3 x

x + − −

= với x≠0 ðể hàm số f x( ) liên tục ℝ f ( )0 bằng A 2

3 B

3

3 C D 0

3

x x

f x

x − + =

− với x≠1 ðể hàm số f x( ) liên tục

ℝ f( )1 bằng

A 2 B C 0 D −1

4 x f x

x =

+ − v

ới x≠0 ðể hàm số f x( ) liên tục ℝ f( )0 bằng

A 0 B 2 C 4 D

8

khi 2

4 8

3 khi 2

x

f x x

x

 +

≠ − 

= +

 = −



Hàm số f x( ) liên tục tại

A x= −2 B x=3 C x=2 D x= −3

4 3

khi 3

3

khi 3

x x

x

f x x

a x

 − +

≠ 

= −

 =



ðể hàm số f x( ) liên tục tại x=3 a bằng

A 2 B 4 C 0 D −2

5 6

khi 3

4 3

1 khi 3

x x

x

f x x x

ax x

 − +

> 

= − − 

+ ≤



ðể hàm số f x( ) liên tục tại x=3 a bằng

A 4 3

− B −3 C 0 D 2 3

( ) 5 4

khi 1

1

4 khi 1

x x

x

f x x

a x x

 − −

< 

= −

 + ≥



ðể hàm số f x( ) liên tục ℝ a bằng

A 3 B −1 C D 0

3

3 1 2 6

khi 1 1

khi 1

x x

x

f x x

a x x

 + + − −

> 

= −

 − ≤



ðể hàm số f x( ) liên tục ℝ a bằng

A 2 B C 1

4 D

5 4

3 2 2

khi 2

2

khi 2

x

f x x

a x

 + −

≠ 

= −

 =



(79)

A 0 B 2 C 1

4 D

1

khi 3, 1

4

1 x

x x

x

f x x

x x

 −

< ≠



−



= =



+ ≥

 

Hàm số f x( ) liên tục tại:

A mọi ñiểm thuộc B mọi ñiểm trừ x=1

C mọi ñiểm trừ x=3 D mọi ñiểm trừ x=1 x=3

Câu 11. 2

2

1 1

l

4 im

2 −

→

 

−

 

 − − 

x x x b

ằng

A Không tồn B +∞ C −∞ D đáp số khác

Câu 12. lim ( 2) 3 1 x

x x

→+∞

− +

+

A 0 B 1 C +∞ D đáp số khác

Câu 13. Cho hàm số ( ) [ ]

( ] 0;

4;



=

+

∈ ∈



x x

f x

m x

ðịnh m ñể f x( ) liên tục [0; 6]:

A m=3 B m=4 C m=0 D m=1

Câu 14. Cho hàm số f x( )=x3−3x−1 xác ñịnh ℝ Số nghiệm phương trình f x( )=0 ℝ

A 0 B 1 C 2 D 3

Câu 15. Cho hàm số f liên tục ñoạn [−1; 4] cho f (−1)= −3, f ( )4 =5 Có thể nói số nghiệm phương trình f x( )=8 đoạn [−1; 4]:

A Vơ nghiệm B Có nghiệm

C Có hai nghiệm D Khơng thể kết luận

(80)

BÀI T BÀI T BÀI T

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆMẬP TRẮC NGHIỆMẬP TRẮC NGHIỆMẬP TRẮC NGHIỆM CHCHCHƯƠNG 4CHƯƠNG 4ƯƠNG ƯƠNG 4

Câu 16. Dãy số sau đây có giới hạn khác 0? A 1

n B

1

n C

1 n

n +

D sinn

n

Câu 17. Dãy số sau đây có giới hạn bằng 0? A

3 n

   

  B

4

n

 

−

 

  C

5

n

 

−

 

  D

1

n

     

Câu 18. Dãy số sau đây có giới hạn bằng 0?

A (0,999)n B (−1, 01)n C (1, 01)n D (−2, 001)n Câu 19. Dãy sau đây khơng có giới hạn?

A (0,99)n B ( )−1n C (−0, 99)n D (−0,89)n Câu 20. lim( )1

3 n

n

−

+ có giá trị bao nhiêu? A

3

− B −1 C 0 D

4 −

Câu 21. lim 3 4 5

n n

−

 

 

  có giá trị bao nhiêu? A 3

5 B

3

− C 4

5 D

4 −

Câu 22. lim2 3 3

n n

n +

có giá trị bao nhiêu?

A 0 B C 2

3 D

5 3 Câu 23. lim 4 cos 2n

n

− có giá trị bao nhiêu?

A 0 B 2 C 2 D 4

Câu 24.

3

3 2 1

lim

4 2 1

− + + +

n n

n n có giá trị bao nhiêu?

A 0 B +∞ C 3

4 D

2 7 Câu 25.

4

3 2 3

lim

4 2 1

n n

− +

+ + có giá trị bao nhiêu?

A 0 B +∞ C 3

4 D

4 7 Câu 26.

2 4

2 3

lim

4 5 1

n n

−

+ + có giá trị bao nhiêu? A

4

− B 0 C 1

2 D

(81)

Câu 27.

4

3 2 4

lim

4 2 3

− + + +

n n

n n có giá trị bao nhiêu?

A 0 B +∞ C 3

4 D

4 3 Câu 28. lim(−3n3+2n2 −5) có giá trị bao nhiêu?

A −3 B −6 C −∞ D +∞

Câu 29. ( )

lim 2n +n −5n có giá trị bao nhiêu?

A −∞ B 0 C 2 D +∞

Câu 30.

2

4 5 4

lim

2 1

n n

n

+ − +

A 0 B C 2 D +∞

Câu 31. lim( n+10− n) có giá trị bao nhiêu?

A +∞ B 10 C 10 D 0

Câu 32.

2

3 2 4

lim

4 5 3

n n

− +

+ − có giá trị bao nhiêu?

A 0 B C 3

4 D

4 − Câu 33. Nếu limun =L lim un+9 có giá trị bao nhiêu?

A L+9 B L+3 C L+9 D L+3 Câu 34. Nếu limun =L

3

1 lim

8 n

u + có giá tr

ị bao nhiêu?

A 1 8

L+ B

1 8

L+ C 3

1 2

L+ D

1 8

L+

Câu 35. lim 4 1

n n

+

+ có giá trị bao nhiêu?

A B 2 C 4 D +∞

Câu 36.

2

1 2 2

lim

5 5 3

n n

− +

A 0 B 1

5

C 2

5

D

5

−

Câu 37.

4

10 lim

10 2

n n

A +∞ B 10000 C 5000 D

Câu 38. lim1 2

n n + + + +

A 0 B 1

4 C

1

(82)

Câu 39.

3

lim

6 2

n n

n

+

+ có giá trị bao nhiêu? A 1

6 B

1

4 C

3

2

6 D 0

Câu 40. ( 2 )

limn n + −1 n −3 có giá trị bao nhiêu?

A +∞ B 4 C 2 D −1

Câu 41. lim sin

n n

n +

5 B

1

5 C 0 D

Câu 42. ( 3)

lim 3n−4n có giá trị bao nhiêu?

A −∞ B −4 C 3 D +∞

Câu 43. Dãy số sau đây có giới hạn bằng 0? A

2

5 5

n

n n

u

n n

− =

+ B

1 5 n

n u

n − =

+ C

2

1 2

5 5

n

n u

n

− =

+ D

1 5 n

n u

n n − =

+ Câu 44. Dãy số sau đây có giới hạn +∞?

A

3 n

u = n −n B

4 n

u =n − n C

3 n

u = n −n D

3 n

u = n −n Câu 45. Dãy số sau đây có giới hạn −∞?

A

3 n

u =n − n B

3 n

u = n −n C

3 n

u = n −n D

4 n

u = −n + n

Câu 46. Tổng của cấp số nhân vô hạn ( )

1

1 1

; ; ; ;

2 4 2

n

+

−

A B 1

3 C

1

− D

3 −

Câu 47. Tổng của cấp số nhân vô hạn 1 1; ; ;( )1 ;

2 4 2

n

n −

− có giá trị bao nhiêu? A 1

3 B

1

− C

3

− D −1

1

1 1

; ; ; ;

3 9 3

+

− −

n

n có giá trị bao nhiêu? A 1

4 B

1

2 C

3

4 D 4

Câu 49. Tổng của cấp số nhân vô hạn 1 1; ; ; 1;

2 2.3n− có giá trị bao nhiêu?

A 1

3 B

3

8 C

3

4 D

3 2 Câu 50. Tổng của cấp số nhân vô hạn ( )

1

1 1

; ; ; ;

2 6 2.3

n

+ −

−

− có giá trị bao nhiêu? A 8

3 B

3

4 C

2

3 D

(83)

1

1 1 1

1; ; ; ; ;

2 4 2

n

+ −

−

− có giá trị bao nhiêu? A

3

− B 2

3 C

3

2 D

Câu 52. Dãy số sau đây có giới hạn +∞? A 2 2 5 5 n n n u n n − =

+ B

1 5 n n u n + =

+ C

2 1 5 5 n n u n + =

+ D

2 2 5 5 n n u n n − = + Câu 53. Dãy số sau đây có giới hạn +∞?

A 2 9 7 n n n u n n + =

+ B

2007 2008 n n u n + = +

C

2008 2007 n

u = m− n D

1 n

u =n + Câu 54. Trong giới hạn sau ñây, giới hạn bằng −1?

A 2 3 lim 2 4 n n −

− − B

2 2 3 lim 2 1 n n −

− − C

2 2 3 lim 2 2 n n n −

− + D

3 2 3 lim 2 1 n n − − − Câu 55. Trong giới hạn sau ñây, giới hạn bằng 0?

A 2 3 lim 2 4 n n −

− − B

3 2 3 lim 2 1 n n n −

− − C

2 2 3 lim 2 2 n n n n −

− + D

3 3 2 lim 2 1 n n + − Câu 56. Trong giới hạn sau ñây, giới hạn bằng +∞?

A 2 3 lim 4 n n +

+ B

3 2 3 lim 2 1 n n n −

− C

2 2 3 lim 2 2 n n n n −

− + D

3 3 2 lim 2 1 n n − − Câu 57. Dãy số sau đây có giới hạn bằng 1

5? A 2 2 5 5 − = + n n n u

n n B

1 5 n n u n − =

+ C

2 1 2 5 5 n n u n − =

+ D

1 5 n n u n n − = + Câu 58. ( )

1

lim 3

x→− có giá trị bao nhiêu?

A −2 B −1 C 0 D 3

Câu 59. ( )

1

lim 2 3

→−

− +

x x x có giá tr

ị bao nhiêu?

A 0 B 2 C 4 D 6

Câu 60. ( )

2

lim 3 5

x→ x − x− có giá tr

ị bao nhiêu?

A −15 B −7 C 3 D +∞

Câu 61.

4

3 2 3

lim

5 3 1

x

x x

→+∞

− +

A 0 B 4

9 C

3

5 D +∞

Câu 62.

4

3 2

lim

5 3 2

x

x x

→+∞

−

5

− B 3

(84)

Câu 63.

2

3 lim

5 x

x x

→+∞

−

A +∞ B C −1 D −∞

Câu 64.

4

3 2

lim

5 3 1

x

x x

→+∞

−

A −∞ B 3

5 C

2

− D 0

Câu 65.

4

3 2

lim

5 3 1

x

x x

→

−

+ + có giá trị bao nhiêu? A 1

9 B

3

5 C

2

− D

3 −

Câu 66.

4

3 2

lim

5 3 1

x

x x

→−

−

− + có giá trị bao nhiêu? A 1

3 B

5

9 C

3

5 D

5 3 Câu 67.

4

3 lim

5 x

x x

→−

−

+ + có giá trị bao nhiêu? A 4

5 B

4

7 C

2

5 D

2 7 Câu 68.

4

3 2

lim

3 2

x

x x

→−

−

6

− B 7

4 C

11

6 D

13 Câu 69.

2 2

lim

3 x

x x

→−

−

− + có giá trị bao nhiêu? A

9

− B 12

5 C

4

3 D +∞

Câu 70.

4 5

2 lim

2 3 2

x

x x

→

−

12

− B

7

− C

3

− D 1

2 Câu 71.

3 2

lim

1 x

x x

→−

+

7

− B 10

3

− C 6

7 D −∞

Câu 72.

1

lim 4 2 3

x→− x x

− − có giá trị bao nhiêu?

A 9 B 5 C D −5

Câu 73.

4 5

3 4 3

lim

9 5 1

x

x x

→+∞

+ +

A 0 B 1

3 C

3

5 D

(85)

Câu 74.

4 2

4 3

lim

7 9 1

x

x x

→−

− +

+ − có giá trị bao nhiêu? A 1

15 B

1

3 C

35

9 D +∞

Câu 75.

4 2

4 3

lim

16 1 x

x x x

x x

→−

− +

8 B

3

8 C

3

8 D +∞

Câu 76.

3

1 lim

3 x

x

x x

−

→

−

A 0 B C 1

2 D

1 3 Câu 77.

1

2 lim

1 x

x x −

→

+

2

− B 1

2 C −∞ D +∞

Câu 78.

3

10 lim

3 x

x

x x

→−

−

2 B

11

4 C

9

2 D

11 2 Câu 79. lim ( 5)

x→+∞ x x

+ − − có giá trị bao nhiêu?

A 0 B 3+ 5 C −∞ D +∞

Câu 80.

4

2 2 1

lim

2 x

x x x

x x

→+∞

+ − −

A –2 B – C D

Câu 81. lim ( 5 )

x→+∞x x x

2 B

5

2 C 5 D +∞

Câu 82. ( )

lim 1

x→+∞x x x

A +∞ B 0 C 1

2 D

1 2 Câu 83.

4

1 lim

1 y

y y

→

−

A +∞ B C D −∞

Câu 84.

4

lim y a

y a

→

−

(86)

Câu 85.

4

1 lim

1 y

y y

→

−

A +∞ B 0 C 3

4 D

4 3 Câu 86.

2

4 2 3

lim

2 3

x

x x

x

→+∞

+ − +

A 0 B C 2 D +∞

Câu 87.

2

1 1

lim x

x x x

x

→

+ − + +

A 0 B –1 C

2

− D −∞

Câu 88.

2

3 2

lim

2 4

x

x x

x

→

− +

A +∞ B 3

2 C

1

2 D

1 −

Câu 89.

2

12 35 lim

5 x

x x

x

→

− +

A +∞ B C –5 D –14

Câu 90.

2

12 35 lim

5 25 x

x x

x

→

− +

A +∞ B 1

5 C

2

5 D

2 −

Câu 91.

2

2 15 lim

2 10 x

x x

x

→−

+ −

A –8 B –4 C 1

2 D +∞

Câu 92.

2

2 15 lim

2 10 x

x x

x

→

− −

A –4 B –1 C 4 D +∞

Câu 93.

2

9 20 lim

2 10 x

x x

x

→

− −

+ có giá trị bao nhiêu? A

2

− B –2 C

2

− D +∞

Câu 94.

4

3 2

lim

5 3 2

x

x x

→−∞

−

5

− B 3

5 C −∞ D +∞

Câu 95.

3

1 lim x

x

x x

→−

+

(87)

Câu 96. lim ( 2)

1 x

x x

x

→+∞

+

A −∞ B 0 C D +∞

Câu 97.

2

3 2

lim

1 x

x x

x

→

− +

3

− B 1

3 C 0 D

Câu 98. lim ( 5)

x→+∞ x+ − x− có giá tr

ị bao nhiêu?

A +∞ B 4 C 0 D −∞

Câu 99.

2

3 7

lim

2 3

x

x x

x

→

−

+ có giá tr

ị bao nhiêu? A 3

2 B 2 C 6 D

+∞

Câu 100.

3

6 lim

2 x

x x x

x

→−

− +

3

− B –2 C

3

− D 8

3 Câu 101.

2

1 lim

1 x

x x

+

→

+

A +∞ B 2 C D −∞

Câu 102. Cho f x( ) x 2 2 x

x

+ − −

= với x≠0 Phải bổ sung thêm giá trị f ( )0 bằng hàm số liên tục ℝ

A 0 B C 1

2 D

1 2 2 Câu 103. Cho ( )

1 1

x f x

x

=

+ − v

ới x≠0 Phải bổ sung thêm giá trị f( )0 bằng hàm số

liên tục ℝ

A 0 B C 2 D

Câu 104. Cho ( )

2

5 3

x x

f x

x

−

= với x≠0 Phải bổ sung thêm giá trị f ( )0 bằng hàm số liên tục ℝ

A 5

3 B

1

3 C D

5 −



< ≠ 



= =



≥ 



2

khi 1, 0

0 khi 0

khi 1

x

x x

x

f x x

x x

Hàm số f x( ) liên tục tại:

A mọi ñiểm thuộc ℝ B mọi ñiểm trừ x=0

(88)

CÁC Đ CÁC Đ CÁC Đ

CÁC ĐỀ KIỂM TRA CHƯƠNG 4Ề KIỂM TRA CHƯƠNG 4Ề KIỂM TRA CHƯƠNG 4Ề KIỂM TRA CHƯƠNG

ĐỀSỐ1–THPTNguyễnTrãi,ThanhHóa

I. PHẦN TRẮC NGHIỆM: ( 2,5 điểm)

Câu 1. [1D4-1] Tính

1

1 lim

2 x

x x

→

+

− ta ñược:

A B 3

2 C

1

− D −2

Câu 2. [1D4-2] Tính

2

2 15 lim

3 x

x x

x

→

+ −

− ta ñược:

A ∞ B 1

8 C 8 D 2

Câu 3. [1D4-3] Cho hàm số: ( )

2

1

khi 1

1

khi 1

x

f x x

a x

 −

≠ 

= −

 =



ðể f x( ) liên tục tại x0 =1 a bằng

A −1 B 0 C D 2

Câu 4. [1D4-2] Tính lim1 3 4 3

n

n +

+ ta ñược: A 1

4 B

3

4 C D +∞

Câu 5. [1D4-2] Tính ( )

lim 3 5 7 4

x→−∞ x x x

− + − ta ñược:

A +∞ B −∞ C 3 D 2

Câu 6. [1D4-2] Tính

2

7 3

lim 2

n n

−

− ta ñược:

A 0 B 7 C ∞ D

2 − Câu 7. [1D4-3] Số nghiệm thực của phương trình 2x3−6x+ =1 0 thuộc khoảng (−2;1)

A 2 B 0 C 3 D

Câu 8. [1D4-2] Tính

2

3 1

lim

2 1

n n

n

+ +

+ ta ñược:

A 0 B

4

− C +∞ D 3

2 Câu 9. [1D4-2] Tính

2

5 4 3

lim

2 7 1

x

x x

→∞

+ −

− + ta ñược:

A B 5

(89)

Câu 10. [1D4-2] Tính

1

3 lim

1 x

x x +

→

+

− ta ñược:

A 2 B +∞ C −∞ D 0

II. PHẦN TỰ LUẬN: ( 7,5 ñiểm) Câu 11. (4,5 điểm) Tìm giới hạn sau:

a)[1D4-1]

4

2 2

lim

1

n n

n

+ +

+ b)[1D4-1]

( )3

0

2 8

lim x

x x

→

− +

c)[1D4-2] ( )

lim 2 4 4 2

x→−∞ x+ x + x−

Câu 12. (2,0 ñiểm)[1D4-3] Cho hàm số: ( )

7 10 2

khi 2

2

3 khi 2

x

f x x

mx x

 − −

> 

= −

 + ≤



Tìm m để hàm số liên tục

tại x=2

Câu 13. (1,0 điểm)[1D4-4] Cho phương trình (m4+m+1)x2010+x5−32=0, m tham số Chứng minh rằng phương trình ln có nhất một nghiệm dương với mọi giá trị của tham số m

ĐỀSỐ2–THPTHoàngTháiHiếu,VĩnhLong

I PHẦN TRẮC NGHIỆM

Câu 1. [1D4-1] Giới hạn sau đây có kết quả bằng 3? A

1

3 lim

2 x

x x

→ − B

3 lim

2 x

x x

→

−

− C

2

3 3 6

lim

1 x

x x

x

→

− + +

− + D

3 lim

2 x

x x

→

− − Câu 2. [1D4-2] Giới hạn sau đây có kết quả bằng 1?

A

2

3 2

lim

1 x

x x

x

→−

+ +

+ B

2

4 3

lim

1 x

x x

x

→−

+ +

+ C

2

3 2

lim 1 x

x x

x

→−

+ +

− D

2

3 2

lim

1 x

x x

x

→−

+ + − Câu 3. [1D4-1]

2

5 2

lim

7 2 1

n

n n

− + + là A

7

− B 5 C 5

7 D −∞ Câu 4. [1D4-2] lim2 5.3

3 2

n n

+

A 5 B 6 C 2

3 D

3 2 Câu 5. [1D4-2] lim(−2n3+3n+5)

A 0 B −2 C +∞ D −∞

Câu 6. [1D4-1]

2

4 lim

2 x

x x

→−

− −

(90)

Câu 7. [2D4-2]

2

9 lim

3 x

x x

→−

− +

A 2 B −3 C 6 D −5

Câu 8. [2D4-2] lim 315 x→+∞x + là

A 15 B 15

2 C 0 D +∞

Câu 9. [1D4-2]

2

2 3 15

lim 2 x

x x

x

→+∞

− + − +

A −1 B −2 C +∞ D −∞

Câu 10. [1D4-3] ( )

lim 3 1

x→−∞ x + x+ +x

A 2 B 4

3 C

3

− D −∞

Câu 11. [1D4-2]

1

2 lim

1 x

x x −

→

+ −

A 2 B 5 C +∞ D −∞

Câu 12. [1D4-2]

2

7 lim

2 x

x x +

→

+ −

A B 7

2 C +∞ D −∞

Câu 13. [1D4-2] Giới hạn lim2 5.7

2 7

n n

−

+ bằng bao nhiêu?

A −35 B C 5 D −5

Câu 14. [1D4-2] Giới hạn 2

1

2 lim

1 x

x x +

→

+

− bằng bao nhiêu? A 1

2 B −∞ C +∞ D

2 7 II PHẦN TỰ LUẬN

Câu 1. [1D4-2] Tính giới hạn của hàm số sau:

a) ( )

lim 3 5 7 4

x→−∞ x x x

− + + b)

2

3 11 6

lim 3 x

x x

x

→

− + − Câu 2. [1D4-2] Xét tính liên tục của hàm số sau tại ñiểm x0 =2

( )

2

5 6

khi 2

2

1 khi 2

x x

x

f x x

x x

 − +

≠ 

= −

− + =



(91)

ĐỀSỐ3–THPTNguễnTrungTrực,BìnhĐịnh

Phần trắc nghiệm:

Câu 1: [1D4-1] Mệnh ñề dưới ñây sai?

A Hàm số f x( ) liên tục ñoạn [a b; ] f a f b( ) ( ) <0 phương trình f x( )=0 có nhất một nghiệm thuộc (a b; )

B Hàm số f x( ) ñược gọi gián ñoạn tại x0 nếu x0 khơng thuộc tập xác định của C Hàm số f x( ) ñược gọi liên tục tại x0 thuộc tập xác định của nếu ( ) ( )

0

lim

x→x f x f x = D Hàm số f x( ) liên tục khoảng (a b; ) f a f b( ) ( ) <0 phương trình f x( )=0 có

ít nhất một nghiệm thuộc đoạn [a b; ] Câu 2: [1D4-2] Giới hạn

2

2 3 2

lim

1

n n

− + + +

bằng

A 2 B C 0 D −2

Câu 3: [1D4-2] Giới hạn

2

5 4

lim

4 x

x x

x

→−

+ +

+ bằng

A 3 B +∞ C 5 D −3

Câu 4: [1D4-2] Cho hàm số ( )

1

khi 1 1

khi 1

x

f x x

a x

 −

≠ 

= −

 =



, a tham số thực ðể hàm số liên tục tại

0 1

x = giá trị của a bằng

A 0 B 2 C −1 D

Câu 5: [1D4-2] Giới hạn

2

4 lim

2 x

x x

→−

−

+ bằng

A +∞ B −2 C −4 D 0

Câu 6: [1D4-3] Giới hạn

2

4 1

lim

2 3

x

x x x

x

→−∞

− − +

+ bằng A 1

2 B −∞ C

1

− D +∞

Câu 7: [1D4-1] Giới hạn lim2 5 5 1

n n

n −

+ bằng

A −∞ B +∞ C −1 D 0

Câu 8: [1D4-2] Hàm số dưới ñây liên tục ℝ? A y sin

x π

= B y=cotx C y= x−3 D 22 x y

x − =

+ Câu 9: [1D4-1] Giới hạn ( )

lim 2

x→−∞ x x

− + bằng

(92)

Câu 10: [1D4-2] Giới hạn lim(2 2 1 2)( )

3 1

n n

− −

− + bằng

A 2 B C −2 D 4

Câu 11: [1D4-1] Giới hạn

3

2 5 3

lim 3

n n

− +

− bằng

A 3 B 0 C +∞ D 2

3 Câu 12: [1D4-2] Giới hạn

2

1 lim

2 x

x x −

→

−

− bằng

A +∞ B C 0 D −∞

Phần tự luận:

ðề A

Câu 1: [1D4-2] Tính giới hạn sau a) 2

1

3 1 2

lim 1 x

x x

→

+ −

− b) ( )

2

lim n − + −n 3 n

Câu 2: [1D4-3] Xét tính liên tục của hàm số ( )

1 khi 3

2 3

khi 3

2 6

x x

f x x x

x x

− ≤

 

= − −

> 

− 

ℝ

ðề B

4

2 1 3

lim 16 x

x x

→

+ −

− b) ( )

2

lim n +2n− −1 n

2 khi 2

3 2

khi 2

3 6

x x

f x x x

x x

+ ≤

 

= − +

> 

− 

ℝ

ðề C

1

3 2 lim

3 2

x

x x

→

+ −

− + b) ( )

2

lim 4n −2n+ −1 2n

2 1 khi 1

2 3

khi 1

2 2

x x

f x x x

x x

− ≤

 

= + −

> 

− 

ℝ

ðề D Câu 1: [1D4-2] Tính giới hạn sau a) 2

2

2 5 3

lim 4 x

x x

→

+ −

− b) ( )

2

lim n − + −n 3 n

1 khi 3

6

khi 3

2 6

x x

f x x x

x x

+ ≤

 

= − −

> 

− 

ℝ

ðề E Câu 1: [1D4-2] Tính giới hạn sau a) 2

1

2 2 2

lim

1 x

x x

→

+ −

− b) ( )

2

lim n −2n−n

3 2 khi 4

12

khi 4

2 8

x x

f x x x

x x

− ≤

 

= − −

> 

− 

(93)

ðề F Câu 1: [1D4-2] Tính giới hạn sau a) 2

2

5 1 3

lim 4 x x x → − −

− b) ( )

2

lim n +n+ −1 n

2 1 khi 4

3 4

khi 4 3 12

x x

f x x x

x x − ≤   = − − >  − 

ℝ

ðề G Câu 1: [1D4-2] Tính giới hạn sau a) 2

3 6 3 lim 9 x x x → + −

− b) ( )

2

lim n +2n−n

1 3 khi 2

3 2

khi 2

3 6

x x

f x x x

x x − ≤   = − + >  − 

ℝ

ðề H Câu 1: [1D4-2] Tính giới hạn sau a) 2

3 1 2 lim 9 x x x → + −

− b) ( )

2

lim 4n − + −n 1 2n

2 3 khi 4

5 4

khi 4

2 8

x x

f x x x

x x − ≤   = − + >  − 

ℝ

ðề I Câu 1: [1D4-2] Tính giới hạn sau a) 2

2

3 2 2

lim 4 x x x → − −

− b) ( )

2

lim n −3n+2−n

1 2 khi 2

2

khi 2

2 3

x x

f x x x

x x − ≤   = − − >  − 

ℝ

ðề J Câu 1: [1D4-2] Tính giới hạn sau a) 2

2

4 1 3

lim 4 x x x → + −

− b) ( )

2

lim n +4n− −3 n

3 khi 4

3 4

khi 4 3 12

x x

f x x x

x x − ≤   = − − >  − 

ℝ

ðề K Câu 1: [1D4-2] Tính giới hạn sau a) 2

1

5 1 2

lim 1 x x x → − −

− b) ( )

2

lim n + +n 2−n

2 3 khi 3

4 3

khi 3

2 6

x x

f x x x

x x − ≤   = − + >  − 

ℝ

ðề L Câu 1: [1D4-2] Tính giới hạn sau a) 2

3

5 1 4

lim 9 x x x → + −

− b) ( )

2

lim n +3n− −1 n

4 1 khi 1

2 3

khi 1

x x

f x x x

x − ≤   = + − >  

(94)

ĐỀSỐ4–THPTNhưXuân,ThanhHóa

Câu 1. [1D4-3] Cho lim( 2+a +5 ) 5

x→+∞ x x x

− = Khi đó giá trị của a

A 6 B 10 C 10 D 6

Câu 2. [1D4-2] Cho hàm số ( )

3

2

x x x

f x

x x x

 − ≥

=

− <

 Tính giới hạn của hàm số tại x=2 ta ñược kết quả

A 2 B C Không tồn tại D −2 Câu 3. [1D4-1] Tính giới hạn

1

2 lim

1 x

x x +

→

− +

− ta ñược kết quả

A −∞ B +∞ C 0 D 2

Câu 4. [1D4-3] ðồ thị hàm sốở hình bên ñồ thị của hàm số nào?

A

2 x y

x + =

+ B

3

2

2 y= x − x+ C

2 =

+ x y

x D

2

3 2

y=x − x+

Câu 5. [1D4-3] Tính ( )

2

1 lim

x

x a x a

x a

→+∞

− + +

− ñược kết quả A

2 a

a −

B a C a−1 D a+1

Câu 6. [1D4-2] Tính giới hạn

2

4 3

lim

1 x

x x

x

→

− +

A −3 B C 3 D −2

Câu 7. [1D4-2] Tính giới hạn ( )

lim 7 5 7

x→+∞ x + x − +x ta

ñược kết quả

A 3 B −∞ C +∞ D 0

Câu 8. [1D4-2] Tìm giới hạn lim(−3n2−2n+1) ta ñược kết quả

A +∞ B 2 C 3 D −∞

Câu 9. [1D4-2] Tìm giới hạn

5

2 2 1

lim

1

n n

n

+ −

+ ta ñược kết quả

A 4 B +∞ C −∞ D −1

Câu 10. [1D4-2] Cho phương trình 2x4−5x2+ + =x 1 0 ( )1 .mệnh ñề ñúng mệnh đề sau: A Phương trình ( )1 có nhất hai nghiệm thuộc khoảng (0; 2)

B Phương trình ( )1 khơng có nghiệm khoảng (−2;0) C Phương trình ( )1 khơng có nghiệm khoảng (−1;1) D Phương trình ( )1 chỉ có 1 nghiệm khoảng (−2;1) Câu 11. [1D4-2] Tìm giới hạn

3

3 2 2

lim

1

n n

n

− +

A −∞ B 3 C 1

2 D +∞ Câu 12. [1D4-2] Tìm giới hạn lim5 2.3

4 5

n

n n

n+

A +∞ B −∞ C −1 D

O x

y

1 −

(95)

Câu 13. [1D4-2] Cho hàm số f x( ) xác ñịnh [a b; ], mệnh ñề sau mệnh ñề ñúng? A Nếu hàm số f x( ) liên tục, tăng [a b; ] f a f b( ) ( ) >0 phương trình f x( )=0

khơng có nghiệm khoảng (a b; )

B Nếu hàm số f x( ) liên tục [a b; ] f a f b( ) ( ) >0 phương trình f x( )=0 khơng có nghiệm khoảng (a b; )

C Nếu phương trình f x( )=0 có nghiệm khoảng (a b; ) hàm số f x( ) phải liên tục trên (a b; )

D Nếu f a f b( ) ( ) <0 phương trình f x( )=0 có nhất một nghiệm khoảng (a b; ) Câu 14. [1D4-2] Tìm giá trịñúng của 2 1 1 1 1 1

2 4 8 2n

S =  + + + + + + 

  ta ñược kết quả

A 2 B 2 C 1

2 D 2

Câu 15. [1D4-3] Tìm giới hạn lim2 32

2

n n

+ + + + −

A +∞ B 3

4 C −1 D −∞ Câu 16. [1D4-2] Tính giới hạn lim

1

a b

x

x x

x

→+∞

−

− với

*

,

a b∈ℕ ta ñược kết quả

A ab B a b− C b a− D a

b

Câu 17. [1D4-3] ðể hàm số ( )

4

khi

7

2

4 x

x x

f x

a x

 + −

≠



= 

− =



liên tục tại điểm x=0 giá trị của a

A B 3 C 2 D

Câu 18. [1D4-2] Tính giới hạn

4

5 lim

5 x

x

x x

→+∞

−

A 2 B −5 C 2

5 D 0 Câu 19. [1D4-2] Hàm số ( )

2

5 15

x x

f x

x

 ≠

=

− =

 có tính chất:

A Liên tục tại x=2 x=0

B Liên tục tại x=2 nhưng không liên tục tại x=0 C Liên tục tại mọi ñiểm

D Liên tục tại x=1, x=3, x=0 Câu 20. [1D4-2] ðể hàm số ( )

2

2 3 2

khi 2

2

+1 khi 2

x x

x

f x x

ax x

 − −

> 

= −

 ≤



liên tục tại điểm x=2 giá trị của a

(96)

ĐỀSỐ5–THPTNhoQuanA,NinhBình

I – PHẦN TRẮC NGHIỆM

Câu 1: [1D4-1] Trong bốn giới hạn sau ñây, giới hạn 0? A lim n n n − +

− B

2

3 limn n

n n − +

+ C

3 lim n n n n + −

− D

2 3 lim n n n n − + Câu 2: [1D4-3] Trong bốn giới hạn sau ñây, giới hạn 0?

A lim 3.2

n

n n

+

− B

2 lim n n +

− C

3 lim n n n −

+ D ( )( )2

3

2 1 3

lim 2 n n n n + − −

Câu 3: [1D4-3] Trong mệnh ñề sau ñây, chọn mệnh ñề sai A lim 2( n−3n3)= −∞ B

3 2 lim n n n − = +∞ − C lim n n n − = −∞

+ D

2 3

3

lim

2 2

n n

−

= −

+ −

Câu 4: [1D4-1] Với k số nguyên dương, c hằng số Kết quả của giới hạn lim k x

c x

→+∞

A 0k

x B +∞ C 0 D −∞

Câu 5: [1D4-3] Trong bốn giới hạn sau ñây, giới hạn −1? A 1 lim x x x → − −

B

2 lim x x x →+∞ − −

C 2

1 lim x x x x → + − +

− D 1( )2

2 1 lim 1 x x x → − − Câu 6: [1D4-2] Trong bốn giới hạn sau ñây, giới hạn

2 − ? A lim2

2 n

n +

− B

2 lim n n n n +

− − C

3

lim n

n + D

2 3 lim n n n − + Câu 7: [1D4-1] Với số k nguyên dương Kết quả của giới hạn

0

lim k x→x x

A +∞ B −∞ C 0 D 0k

x

Câu 8: [1D4-2] Tính giới hạn:

( )

1 1 1

lim

1.2 2.3 n n 1

 

+ + +

 

+

 

A B 0 C 3

2 D 2 Câu 9: [1D4-4] Trong bốn giới hạn sau ñây, giới hạn −1?

A 2 lim x x x x →−∞ + − −

B

( )( ) 2 lim x x x x − → − + − C 1 lim 1 x x x + → − −

D

( 2)

8 2 2

(97)

Câu 10: [1D4-2] Trong bốn giới hạn sau ñây, giới hạn +∞? A lim x x x + → − +

− B

3 lim x x x − → − +

− C

3 lim x x x →+∞ − +

− D

3 lim x x x →−∞ − + − Câu 11: [1D4-1] Với số k nguyên dương Kết quả của giới hạn

0

lim k x→x x A

k

x B 0 C +∞ D −∞

Câu 12: [1D4-2] Giới hạn của hàm số dưới đây có kết quả bằng 1? A lim x x x x →− + +

+ B

2 lim x x x x →− + +

+ C

2 lim x x x x →− + +

− D

2 lim x x x x →− + + + Câu 13: [1D4-3] Tìm mệnh ñềñúng mệnh ñề sau:

A

1

5 2 3

lim 2 2 1 x x x → − − =

− − B 2

3

lim 16 x x x x → − − = − − C 1 lim 12 x x x x → − = −

− D

3

1 1

lim x x x x → + − + = − Câu 14: [1D4-4] Tính tổng: 1 1

3 27 S = + + + + A

2

− B C 3

2 D 2 II – PHẦN TỰ LUẬN

Câu 15: [1D4-2] Tìm m để hàm số sau liên tục tại ñiểm x=1: ( )

2

3 4 1

, 1

1

5 3, 1

neáu neáu

x x

x

f x x

m x  − + ≠  = −  − = 

Câu 16: [1D4-3] Chứng minh rằng phương trình sau có nhất hai nghiệm: 2x3 10x 7 0

− − =

ĐỀSỐ6–THPTAnHải,HảiPhòng

A TRẮC NGHIỆM: (0,5 ñiểm/ câu * câu = ñiểm) Câu 1. Giới hạn của hàm số sau ñây bằng bao nhiêu: lim k

x→+∞x ( v

ới k nguyên dương)

A +∞ B 0 C 14 D k

Câu 2. Giới hạn của hàm số sau ñây bằng bao nhiêu:

( ) 2 2 lim x x x x → − + −

A 0 B C 2 D +∞

Câu 3. Giới hạn của hàm số sau ñây bằng bao nhiêu: ( )

lim 2

x→+∞ x + x−x

A 0 B −∞ C D 2

Câu 4. Cho hàm số: ( ) 2

khi 1 x x x f x x x x x −  ≥  = −  <  − 

.Trong mệnh đề sau, tìm mệnh ñề sai?

A ( )

1

lim

x − f x

→

= B ( )

1

lim

x + f x

→

=

(98)

Câu 5. Cho hàm số: ( )I y=sinx, ( )II y=cosx,(III y) =tanx,(IV) y=cotx Trong hàm số sau hàm số liên tục ℝ

A ( )I ( )II B (III) (IV)

C ( )I (III) D ( )I , ( )II ,(III) (IV) Câu 6. Cho hàm số f x( ) chưa xác ñịnh tại x=0 : ( )

2

x x

f x

x

−

= ðể f x( ) liên tục tại x=0, phải gán cho f ( )0 giá trị bằng bao nhiêu?

A −3 B −2 C −1 D 0

B TỰ LUẬN: (7 ñiểm)

Bài 1: ( điểm) Tính giới hạn của hàm số sau: a)

2

2 lim

1 x

x x

→

−

+ b)

2

1 lim

2 1

x

x x

→+∞

− +

+ + c)

7 10 2 lim

2 x

x x

→

− − − Bài 2: ( điểm) Tìm m ñể hàm số ( )

2 2

3 11 6

3 3

3

x x

x

f x x

m x x

 − +

≠ 

= −

 − =



liên tục tại x0 =3 Bài 3: ( ñiểm) Chứng minh rằng phương trình:

a)

1

x +x − = có nhất một nghiệm thuộc khoảng (0; )

b) cosx+mcos 2x=0 ln có nghiệm với mọi giá trị của tham số m

ĐỀSỐ7–THPTĐoànThượng,HảiDương

PHẦN (3 điểm):Câu hỏi trắc nghiệm Câu 1: Tìm mệnh đề sai mệnh ñề:

A

lim

x→−∞x = +∞ B

3

lim

x→−∞x = −∞ C

4

lim 2.

x→−∞ x = +∞ D

3

lim

x→−∞x = +∞

Câu 2: Cho lim ( ) 2

x→+∞f x = , xlim→+∞g x( )= −∞ h

ỏi lim ( ) ( ).

x→+∞ f x g x

 

  bằng giá trị sau:

A +∞ B 300 C 20 D −∞

Câu 3: Cho hàm số ( )

1 x f x

x − =

− , mệnh ñề sau, mệnh ñề sai?

A Hàm số liên tục tại x=3 B Hàm số liên tục tại x=2 C Hàm số liên tục tại x=1 D Hàm số liên tục tại x=4 Câu 4: Dãy số sau có giới hạn bằng 17

3 ? A

2

5 3

n

n n

u

n n

− =

+ B

1 n

n u

n n − =

+ C

2

1 2

5 3

n

n u

n n

− =

+ D

2

17 2

5 3

n

n u

n n

− =

+ Câu 5: Tính giới hạn

2

1 lim

2

n n

− −

(99)

Câu 6: Tính giới hạn

1

2 3.5 3

lim

3.2 7.4

n n

+

− + +

A −1 B C −∞ D +∞

Câu 7: Tính giới hạn

2

2 15 lim

3 x

x x

x

→

+ − −

A +∞ B 2 C 1

8 D 8 Câu 8: Cho hàm số ( )

1

f x =x +x− Xét phương trình: f x( )=0 ( )1 , mệnh đề sau, tìm mệnh đề sai?

A ( )1 có nghiệm khoảng (−1;1) B ( )1 có nghiệm khoảng (0;1) C ( )1 có nghiệm ℝ D ( )1 Vô nghiệm

Câu 9: Tìm mệnh đề sai mệnh ñề sau (với k số nguyên dương): A lim 1k

n = B lim k

n = +∞ C lim19k

n = D lim k

n = −∞

Câu 10: Tìm mệnh đề sai mệnh ñề sau

A ( )

lim n −n+n = +∞ B lim(−2n3+2n2+ −n 1)= −∞ C lim(−2n+1)= −1 D lim 2( n2−3n)= +∞

Câu 11: Trong hàm số sau, hàm số liên tục ℝ A ( )

3

f x =x − x B ( ) x f x

x + =

− C ( )

2

3

x f x

x

=

+ D ( ) f x

x =

Câu 12: Trong phương pháp tìm giới hạn lim( )

x→+∞ x x

+ − dưới đây, phương pháp phương pháp thích hợp?

A Nhân chia với biểu thức liên hợp ( 1+x+ x) B Chia cho x2

C Phân tích nhân tử rồi rút gọn D Sử dụng ñịnh nghĩa với x→ +∞

Câu 13: Cho hàm số y= f x( ) liên tục tại x0, hỏi ( )

0

lim

x→x f x b

ằng giá trị sau ñây: A f x( )0 B f ( )2 C f (−2) D f ( )3

Câu 14: Cho ( )

0

lim 2

x→x f x = , xlim→x0g x( )=3, h

ỏi lim ( ) ( ) x→+∞ f x +g x

 

  bằng giá trị sau:

A 2 B 5 C 3 D 4

Câu 15: Cho ( )

2 7

3

x x

f x

x

−

= với x≠0 phải bổ sung thêm giá trị f( )0 bằng hàm số

( )

f x liên tục ℝ?

(100)

PHẦN (7 ñiểm): Câu hỏi tự luận

ðỀ CHẴN

Câu 16: (2,0 điểm) Tính giới hạn dãy số: a) lim2 n n

+

− b)

3.2 7 lim 2.7 3.4 n n n n + − Câu 17: (2,0 điểm) Tính giới hạn hàm số:

a) ( )

2

lim 3 2 1

x→ − x − x+ b)

( )3

2017 1 5 2017 lim x x x x → + − −

Câu 18: (2,0 điểm) Tìm m ñể hàm số ( )

2

3 7 6

khi 3

3

2 khi 3

f x

x x

x mx x

=  − − >  −   + + ≤ 

liên tục với mọi x∈ℝ

Câu 19: (1,0 ñiểm) Chứng minh rằng phương trình x2cosx+xsin5x+ =1 0 có nhất nghiệm ℝ

ðỀ LẺ

Câu 16: (2,0 điểm) Tính giới hạn dãy số: a) lim3 n n

−

+ b)

2.3 5 lim 3.5 4.2 n n n n + − Câu 17: (2,0 điểm) Tính giới hạn hàm số:

a) ( )

1

lim 3 2 1

x→ − x − x+ b)

( )3

2016 1 3 2016 lim x x x x → + + −

Câu 18: (2,0 điểm) Tìm giá trị của m để hàm số ( )

2

2 5 2

khi 2

2

1 khi 2

f x

x x

x mx x

=  − + >  −   + + ≤ 

liên tục ℝ

Câu 19: (1,0 ñiểm) Chứng minh rằng phương trình ax2+bx+ =c 0 có nghiệm biết rằng 10

a− b+ c=

ĐỀSỐ8–NguồnInternet ðề A

Câu 1: (3đ) Tìm giới hạn sau: a)

3

4 3 1

lim 2 4 n n n + − + b)

3

27 4 5

lim 6 n n n − + − c) 2 5 6 lim 3 2

n n n

n

− + − − Câu 2: (4ñ) Tìm giới hạn sau:

a) 2 2 3 lim 9 x x x x → − −

− b)

6

3

9 2 3 2

lim

3 x

x x x

x →−∞ − + − − c) lim x x x − → −

− d)

2 5 6 6

lim

3 2 2

x x x x → + + + − + −

Câu 3: (1,5ñ) Xác ñịnh a ñể hàm số ( )

2

3 2

khi 1

1

3 khi 1

x x

x

f x x

ax x x

 + + ≠ −  = +  + = − 

liên tục tại x= −1

(101)

ðề B Câu 1: (3đ) Tìm giới hạn sau:

a)

2

3 2

lim

3 1

n n

n

− +

+ b)

3

8 2 6

lim

7 2

n n

n

− +

− c)

3

3 6

lim

4 3

n n

n

− + − − Câu 2: (4đ) Tìm giới hạn sau:

a)

2 2

6 lim

4 x

x x

x

→

+ −

− b)

2

4 2 3 6

lim

2 5

x

x x x

x

→−∞

− + − − c)

3

3 lim

3 x

x x +

→

−

− d) 3

1 2 3 5

lim

7 6 3

x

x x

x

→

+ + + − + −

Câu 3: (1,5ñ) Xác ñịnh a ñể hàm số ( )

2

3 2

khi 2

2

3 1 khi 2

x x

x

f x x

x ax x

 − +

≠ 

= −

 − + =



liên tục tại x=2

Câu 4: (1,5đ) Chứng minh rằng phương trình x7−3x+ =1 0có nhất ba nghiệm

ĐỀSỐ9–THPTThịxãQuảngTrị ðỀ SỐ

Câu (2,0 điểm) Tính giới hạn a) lim2 + + n

n b) ( )

2

lim 4n +8n+ −5 2n . Câu (5,0 ñiểm) Tính giới hạn

a) ( )

2

lim 1

→ + +

x x x b)

2

9

lim .

3

→

− − x

x

c)

2

3 4

lim .

1

→

+ + + − − x

x x x

x d) ( )

3 2

2x 1 3x 3x 1

lim .

1

→

− − − + −

x x

Câu (2,0 điểm) Xét tính liên tục của hàm số sau ñây tại ñiểm ñã chỉ ( )

2

4

khi

 − ≤ −

=

> −



x x

f x

x x v

ới x= −2

Câu (1,0 điểm) Chứng minh phương trình mx7+x3+5x2−mx− =1 0 ln có nhất hai nghiệm với mọi giá trị của m

-HẾT -

ðỀ SỐ

Câu (2,0 điểm) Tính giới hạn a)lim2 − − n

n b) ( )

2

lim 9n +12n+7−3n . Câu (5,0 điểm) Tính giới hạn

a) ( )

3

lim 3 1

→ − +

x x x b)

2

4

lim .

2

→

− − x

x

(102)

c)

2

3 1 2

lim .

1

→

+ + − − − x

x x x

x d) ( )

3

2

3 3 1 2 1

lim .

1

→

− + − + − −

x

x x x

x

2

khi 0

1 khi 0

 <

 =

− ≥



x x

f x

x x

với x=0

Câu (1,0 ñiểm) Chứng minh phương trình mx5+x3+3x2−mx− =1 0 ln có nhất hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m

-HẾT -

ðỀ SỐ

Câu (2,0 điểm) Tính giới hạn a)

2

2 1

lim .

2 + +

+

n n

n b) ( )

3

lim n +3n −n . Câu (5,0 điểm) Tính giới hạn

a) ( )

2

lim 4 3 1

→ − +

x x x b)

2

5 6

lim .

3

→

− + − x

x x

x

c)

2

3 3 4

lim .

1

→

+ + + − −

x

x x x

x d)

( )2018 ( )2019

2

1 2019 1 2018

lim .

→

+ − +

x

x x

x

2

9

khi 3

3

9 khi 3

 −

≠ 

= −

 =



x

f x x

x

với x=3

Câu (1,0 ñiểm) Chứng minh phương trình ax2+3x b+ =0 ln có nghiệm (0;1), biết

2a+21b+9=0

-HẾT -

ðỀ SỐ

Câu (2,0 ñiểm) Tính giới hạn a)

2

1

lim .

2 1

− + −

n n

n b) ( )

3

lim n −3n −n . Câu (5,0 điểm) Tính giới hạn

a) ( )

4

lim 4 1

→ − +

x x x b)

2

6

lim .

3

→

− − − x

x x

x

c)

2

3 1 3 4

lim .

1

→

+ + + − −

x

x x x

x d)

( )2019 ( )2018

2

1 2018 1 2019

lim .

→

+ − +

x

x x

x

2

4

khi 2

2

6 khi 2

x

f x x

x

 −

≠ 

= −

 =



với x=2

Câu (1,0 ñiểm) Chứng minh phương trình 3x2+bx+ =c 0 ln có nghiệm (0;1), biết 5b+21c+6=0

(103)

ĐỀSỐ10–THPTĐồnThượng,HảiDương(18-19)

Câu 1. Tìm mệnh đềđúng mệnh ñề sau: A

1

5 2 3

lim 2 2 1 x x x → − − =

− − B 2

3 2 1

lim 4 16 x x x x → − − = − − C

1 1 1

lim 6 x x x x → + − +

= − D

3 1 lim 1 12 x x x x → − = − −

Câu 2. Cho hàm số y= f x( ) liên tục khoảng (a b; ) ðiều kiện cần ñủñể hàm số liên tục

ñoạn [a b; ] A lim ( ) ( )

x a

f x f a

−

→

= lim ( ) ( ) x b

f x f b

−

→

= B lim ( ) ( ) x a

f x f a

−

→

= lim ( ) ( ) x b

f x f b

+

→

= C lim ( ) ( )

x a

f x f a

+

→

= lim ( ) ( ) x b

f x f b

+

→

= D lim ( ) ( ) x a

f x f a

+

→

= lim ( ) ( ) x b

f x f b

−

→

=

Câu 3. Trong bốn giới hạn sau ñây, giới hạn −1? A

( )2

1 lim x x x → −

− B

1 lim 1 x x x →−∞ − −

C 2

1 1 3 lim 1 x x x x → + − +

− D

1 1 lim x x x → − −

Câu 4. Tính tổng: 1 1 27 S = + + + + A 1

2 B C D

3 2

khi 2

2

3 khi 2

x x

x

f x x

x a x

 − + >  = −  + ≤ 

Với giá trị của a hàm sốđã cho liên tục ℝ?

A B C −5 D 3

2

khi 1

2

khi 0 1

1

sin khi 0

x x

x

f x x

x

x x x

 ≥

 

= ≤ < +



< 



Tìm khẳng định đúng khẳng ñịnh sau:

A f x( ) liên tục ℝ\ 0;1{ } B f x( ) liên tục ℝ C f x( ) liên tục ℝ\ 0{ } D f x( ) liên tục ℝ\ 1{ }

Câu 7.

2

4 1 2

lim

2 3

n n

n

+ − +

− bằng

A +∞ B 3

2 C D

( )

1 1 1

lim

1.2 2.3 n n 1

 

+ + +

 

+

 

A B 3

2 C D 2

2 5 6 lim 2 x x x I x → − + = −

A I =0 B I =1 C I = −1 D I =5

(104)

( )I ( ) 1 1 x f x x + =

− liên tục với mọi x≠1 ( )II f x( )=sinx liên tục ℝ

(III) f x( ) x

x

= liên tục tại x=1

A Chỉ ( )I ( )II B Chỉ ( )I và (III) C Chỉ ( )I ñúng D Chỉ ( )II (III)

Câu 11. Với k số nguyên dương, c hằng số Kết quả của giới hạn lim k x

c x

→+∞

A −∞ B C +∞ D

k x

Câu 12. Hàm hàm số sau khơng có giới hạn tại điểm x=2 A y= x−2 B 1

3

y x

=

− C

1 y

x =

− D

1 2 y x = +

Câu 13. Với k số nguyên dương Kết quả của giới hạn

0

lim k x→x x

A +∞ B

k

x C −∞ D

( )

1 1 1 1

lim

1.2 2.3 3.4 n n 1

 

+ + + +

 

+

 

A B 2 C 3

2 D 0

Câu 15. Trong bốn giới hạn sau ñây, giới hạn +∞? A lim

2 x x x →+∞ − +

− B

3 lim x x x − → − + − C lim x x x →−∞ − +

− D

3 lim x x x + → − + −

Câu 16. Giả sử ta có lim ( ) x→+∞ f x a

= lim ( ) x→+∞g x b

= Trong mệnh ñề sau, mệnh ñề sai?

A ( )

( ) lim x

f x a g x b

→+∞

= B lim ( ) ( ). .

x→+∞ f x g x a b

=

 

 

C lim ( ) ( )

x→+∞ f x g x a b

− = −

 

  D lim ( ) ( )

x→+∞ f x g x a b

+ = +

 

 

Câu 17. Giới hạn của hàm số dưới đây có kết quả bằng 1? A 3 2 lim 1 x x x x →− + + − B 3 2 lim 1 x x x x →− + + + C 2 3 2 lim 2 x x x x →− + + + D 4 3 lim 1 x x x x →− + + +

Câu 18. Trong bốn giới hạn sau ñây, giới hạn − ? A lim 2 2 n n n n +

− − B lim 3

n n +

− C lim

2 3 2 1 n n n −

+ D lim

3

n

n +

Câu 19. Cho hàm số f x( )= x2 −4 Chọn câu ñúng câu sau:

(I) f x( )liên tục tại x=2 (II) f x( )gián ñoạn tại x=2 (III) f x( )liên tục ñoạn [−2; 2]

A Chỉ ( )II B Chỉ ( )I và (III) C Chỉ ( )I D Chỉ ( )II và (III)

Câu 20. Tính giới hạn:lim 1 12 1 12 1 12

2 3 n

      − − −                

A B 1

4 C

3

2 D

1 2

(105)

B Phương trình đã cho có nhất một nghiệm trong(−2; ) C Phương trình đã cho có nhất một nghiệm trong 1 1; .

2 2

 

−

 

 

D Phương trình đã cho chỉ có một nghiệm khoảng (0;1 )

Câu 22. Trong bốn giới hạn sau ñây, giới hạn 0? A lim 2 1

3.2 3 n

n n

+

− B lim

3 1 2 n n n −

+ C lim

( )( )2

3

2 1 3

2

n n

+ −

− D lim

2 3 1 2 n n + −

Câu 23. Với k số nguyên dương chẵn Kết quả của giới hạn lim k x→−∞x

A +∞ B C

k

x D

Câu 24. Trong bốn giới hạn sau ñây, giới hạn 0? A lim 1 2 1 n n n − +

− B lim

3 2 1 2 n n n n + −

− ; C lim

2 3 2 n n n n − +

+ ; D lim

2 2 3 3 n n n n − + ;

Câu 25. Cho số thực a, b, c thỏa mãn c2+a=18 lim( ) 2

x→+∞ ax +bx−cx = − Tính

5 P=a+ +b c

A P=5 B P=12 C P=18 D P=9

Câu 26. Hàm số hàm số sau liên tục R? A ( )

2 f x x = − B 1 ( ) 2 f x x =

− C

1 ( ) f x x = + D 1 ( ) 2 f x x = −

Câu 27. Trong mệnh ñề sau ñây, chọn mệnh ñề sai A

2 3

3 3

lim .

2 5 2 2

n n

−

= −

+ − B

3 2 lim 1 3 n n n − = +∞ − ;

C ( 3)

lim 2n−3n = −∞ D

3 1 lim 2 n n n − = −∞ + ;

1 1

khi 0

2 khi 0

x

f x x

a x x

 + − >  =  + ≤ 

Với giá trị của a hàm sốđã cho liên tục tại x=0? A 3

2 B C D −

1 khi 0

4 1 khi 0

x x

f x x

x x

 − >



= =

 + <



Tìm khẳng ñịnh sai khẳng ñịnh sau A Hàm sốñã cho liên tục nửa khoảng [0;+∞) B Hàm sốñã cho liên tục nửa khoảng (−∞; ] C Hàm số gián ñoạn tại x=0

D Hàm sốñã cho liên tục tại x=2

2 1 5 6 x f x x x + =

+ + Khi đó hàm số y= f x( ) liên tục khoảng sau ñây? A (−∞;3) B (−3; 2) C (2;3) D (−2;+∞)

(106)

T -Chương 5: ĐẠO HÀM

ĐẠO HÀM

Vấn đề ĐẠO HÀM VÀ Ý NGHĨA

CỦA ĐẠO HÀM

 Mởđầu

Nhiều toán của toán học, vật lí, hóa học, sinh học, kĩ thuật, … địi hỏi phải tìm giới hạn dạng:

   

0

0 lim

x x

f x f x

x x



 

trong f x  một hàm sốđã cho của đối số x

Qua Đại số Giải tích 11, ta biết định nghĩa và kí hiệu của sốgia đối số sốgia tương ứng của hàm số:

 Sốgia đối số  x x–x0

 Sốgia tương ứng của hàm số  y f x – f x 0

Ta sẽ dùng khái niệm kí hiệu viết giới hạn trên:    

0

lim lim

x x x

f x f x y

x x x

  

 



 

Định nghĩa đạo hàm

Cho hàm số y f x , xác định a b;  x0a b; 

Giới hạn, nếu có, của tỉ số giữa số gia của hàm số số gia của đối số tại x0, sốgia đối số

dần tới 0, được gọi đạo hàm của hàm số y f x  tại điểm x0

Đạo hàm của hàm số y f x  tại x0 được kí hiệu y x 0 hoặc f x0 :

     

0

0 lim

x x

f x f x

f x

x x





 

 hoặc  0 limx

y y x

x

  

 



Đạo hàm một bên

a. Đạo hàm bên trái của hàm số y f x  tại điểm x0, kí hiệu f x0 được định nghĩa là

     

0

0 lim lim

x x x

f x f x

y f x

x x x

 



  

 

  

 

trong xx0 được hiểu xx0 xx0

b. Đạo hàm bên phải của hàm số y f x  tại điểm x0, kí hiệu f  x0 

 được định nghĩa là

     

0

0 lim lim

x x x

f x f x

y f x

x x x

 



  

 

  

 

trong   0

x x được hiểu xx0 xx0

Định lí: Hàm số y f x  có đạo hàm tại điểm x0 thuộc tập xác định của nó, nếu chỉ nếu  0

f x f x0 tồn tại bằng Khi ta có: f x0  f x0  f x0

Đạo hàm một khoảng

Định nghĩa:

a. Hàm số y f x  được gọi có đạo hàm khoảng a b;  nếu có đạo hàm tại mọi

điểm khoảng đó.

5

(107)

b. Hàm số y f x  được gọi có đạo hàm đoạn a b;  nếu có đạo hàm khoảng

a b;  và có đạo hàm bên phải tại a, đạo hàm bên trái tại b

Qui ước: Từ nay, ta nói hàm số y f x  có đạo hàm, mà khơng nói rõ khoảng nào, thì điều có nghĩa đạo hàm tồn tại với mọi giá trị thuộc tập xác định của hàm sốđã cho

 Quan hệ giữa sự tồn tại của đạo hàm tính liên tục của h.số

Định lí: Nếu hàm số y f x  có đạo hàm tại điểm x0 liên tục tại điểm đó.

 Chú ý: Đảo lại không đúng, tức một hàm số liên tục tại điểm x có thể0 khơng có đạo hàm tại điểm đó

2 Như vậy, hàm số không liên tục tại x0 khơng có đạo hàm tại điểm đó.

 Ý nghĩa đạo hàm 1. Ý nghĩa hình học

a. Tiếp tuyến của đường cong phẳng:

Cho đường cong phẳng  C một điểm cố định M0

 C , M điểm di động  C Khi M M0 một cát tuyến của  C

Định nghĩa: Nếu cát tuyến M M0 có vị trí giới hạn M T0 khi điểm M di chuyển

 C dần tới điểm M0 đường thẳng M T0 được gọi tiếp tuyến của đường cong

 C tại điểm M0 Điểm M0 được gọi tiếp điểm b. Ý nghĩa hình học của đạo hàm:

Cho hàm số y f x  xác định khoảng a b; 

có đạo hàm tạix0a b; , gọi  C là đồ thị hàm sốđó.

Định lí 1: Đạo hàm của hàm số f x  tại điểm x0 hệ số góc của tiếp tuyến M T0 của  C tại điểm

 

0 0;

M x f x

c. Phương trình của tiếp tuyến:

Định lí 2: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị  C của hàm số y f x  tại điểm

 

0 0;

M x f x

  

0

– –

y y  f x x x

2. Ý nghĩa vật lí

a. Vận tốc tức thời: Xét chuyển động thẳng xác định bởi phương trình: s f t , với

 

f t hàm số có đạo hàm Khi đó, vận tốc tức thời của chất điểm tại thời điểm t0

đạo hàm của hàm số s f t  tại t0

 0  0  0

v t s t  f t

b. Cường độ tức thời: Điện lượng Q truyền dây dẫn xác định bởi phương

trình:Q f t , với f t  hàm số có đạo hàm Khi đó, cường độ tức thời của dòng

điện tại thời điểm t0là đạo hàm của hàm số Q f t  tại t0

 0  0  0

I t Q t  f t

0 M

M T (C)

O f (x ) f (x  x)

y

x

x x0 x

x  y



M T

(108)

Chương 5: ĐẠO HÀM

Dạng Tìm số gia của hàm số A PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Để tính số gia của hàm số y f x  tại điểm x0tương ứng với số gia x cho trước ta áp

dụng cơng thức tính sau:  y f x 0 x f x 0

B BÀI TẬP MẪU

VD 1. Tìm số gia của hàm số y2x23x5, tương ứng với sự biến thiên của đối số: a) Từ x0 1 đến x0  x 2 b) Từ x0 2 đến x0  x 0,9 c) Từ x0 1 đến x  1 x d) Từ x0 2 đến x  2 x

VD 2. Tính y y

x



 hàm số sau theo x x: a) y3x5 b)

3 7

y x  c)

2 4 1

y x  x d) ycos 2x

C BÀI TẬP TỰ LUYỆN

(109)

Dạng Tính đạo hàm bằng định nghĩa A PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Đểtính đạo hàm của hàm số y f x  tại điểm x0 bằng định nghĩa ta làm sau:

 Cách 1:

 Cho x0 một số gia x tìm số gia  y f x 0 x f x 0

 Tập tỉ số y x

   Tìm giới hạn

0 lim

x

y x

  

 Nếu: 

0 lim

x

y x

  

 tồn tại hữu hạn tại x0 hàm sốcó đạo hàm  0 limx

y f x

x

  

 

 

0 lim

x

y x

  

 khơng tồn tại hữu hạn tại x0 hàm sốkhơng có đạo hàm  Cách 2:

 Tính    0

0 lim

x

f x f x

x x

 

 

 Nếu    

0

0 lim

x x

f x f x

x x





 tồn tại hữu hạn tại x0 hàm số có đạo hàm

     

0

0 lim

x x

f x f x

f x

x x





 



 Nếu    

0

0 lim

x x

f x f x

x x





 không tồn tại hữu hạn tại x0 hàm số khơng có đạo hàm B BÀI TẬP MẪU

VD 3. Dùng định nghĩa đểtính đạo hàm hàm số

3 2

yx  x tại x2 Lời giải

Cho biến số một số gia  x 0 tại x2

Ta có  y f x  x f x   x x23x x 2 x23x22x x   x2 3 x Suy y 2x x

x



   



Do  

0

lim lim 3

x x

y

x x x x

 



     

 , suy f 2 2.2 1 

VD 4. Tính đạo hàm của hàm số yx22x4 tại x0 2

(110)

VD 5. Cho hàm số y f x  2x21

a) Tìm đạo hàm của hàm số tại x0 2 b) Suy giá trị 3f 2 5f2 3

VD 6. Cho hàm số  

2

0

khi

4

x

x x

f x

x

   

 

 

 

 

Tính đạo hàm của hàm số tại x0

Lời giải Do  

   

0 0

2 1

lim lim lim

4

2

x x x

x

f x f

x x

  

 

   

 

Suy f x  liên tục tại x0

Ta có      

 

2

0 0

2 4 1

0 4 1

0 lim lim lim

0 4 8 4 4 64

x x x

x

f x f x x

f

x x x x x

  

 

    

   

Vậy  0 64

f 

VD 7. Cho   sin 3 khi 0 3 2 khi 0

x x

y f x

x x

 

  

 



Tính đạo hàm của hàm số tại x0 0 bằng định nghĩa.

(111)

Bài 2. Dùng định nghĩa, tính đạo hàm của mỗi hàm số sau tại điểm x0: a) y2x1 tạix0 2 b)

yx x tại x0 1 c)

1

x y

x

 

 tạix0 0 d) y 2x7 tại x0 1

Bài 3. Cho hàm số:  

2 sin

khi 0 0 khi 0

x

y f x x

x



 

  

 



a) Chứng minh rằng f x  liên tục tại x0 0 b) Tính đạo hàm (nếu có) của f x  tại điểm x0 0

Bài 4. Dùng định nghĩa, tính đạo hàm của hàm số  

2 1

cos khi 0 0 khi 0

x x

y f x x

x



 

  

 



tại điểm x0 0

Bài 5. Chứng minh rằng hàm số:    

2

1 khi 0 khi 0

x x

y f x

x x

  



  

 

 

khơng có đạo hàm tại điểm x0 0

nhưng có đạo hàm tại x0 2

Bài 6. Dùng định nghĩa, tính đạo hàm của hàm số

1

x y

x



 tại x0 0

Bài 7. Chứng minh rằng hàm số

2

2 3 3 1

x x

y

x

 



 liên tục tại x–3 nhưng khơng có đạo hàm tại điểm ấy

Bài 8. Tìm a, b để hàm số  

2

khi

x x

y f x

ax b x

 

  

 



có đạo hàm tại điểm x1

Bài 9. Cho hàm số:   cos sin khi 0

1 khi 0

p x q x x

y f x

px q x

 



  

  



Chứng minh rằng với mọi cách chọn

p, q hàm số không thểcó đạo hàm tại điểm x0

Bài 10. Dùng định nghĩa, tính đạo hàm của mỗi hàm số sau (a hằng số): a) yax3 b)

2

y ax c)

2

y x



 với

x d) y 3x với x3

Dạng Quan hệ giữa liên tục đạo hàm

A PHƯƠNG PHÁP GIẢI Mối quan hệ giữa liên tục đạo hàm ta cần nhớ kết luận sau:  f x  liên tục tại x0    

0

0 0

lim lim 0

xx f x f x  x y

    

 f x  có đạo hàm tại x0  f x  liên tục tại x0

(112)

Chương 5: ĐẠO HÀM B BÀI TẬP MẪU

VD 8. a) Chứng minh hàm số

1

x y

x



 liên tục tại x0 nhưng khơng có đạo hàm tại x0 b) Chứng minh hàm số y x2 liên tục tại x0 nhưng khơng có đạo hàm tại x0

Lời giải a) Ta có  

0 0

lim lim lim 0

1 1

x x x

x x

f x

x x

  

  

  

  ; f  0 0;

 

0 0

lim lim lim 0

1 1

x x x

x x

f x

x x

  

  



  

 

Do f x  liên tục tại x0 Tại x0 cho số gia x

●  x 0 suy 0  x 0 nên

   

0 0 0

0 1 1 1

lim lim lim lim lim 1

1

x x x x x

x x

f x f

y x x

x x x x x

    

         

 

 

    

    

     

●  x 0 suy 0  x 0 nên

   

0 0 0

0 1 1 1

lim lim lim lim lim 1

1

x x x x x

x x

f x f

y x x

x x x x x

    

         

 

 

     

     

     

Do

0

lim lim

x x

y y

x x

 

   

 



  nên hàm sốkhơng có đạo hàm tại x0 b) Ta có    

0

lim 0 0

x f x   f Do f x  liên tục tại x0 Tại x0 cho số gia x, ta có

    3 2

3

0 0

0 0 1

lim lim lim lim

x x x x

x

f x f

y

x x x x

       

  

   

    

   

Vậy hàm sốkhơng có đạo hàm tại x0

VD 9. Cho hàm số   2

2 1

x

y f x

x



 



(113)

VD 10. Cho  

2

2 3

sin khi 0

0 khi 0

x

x x

y f x x

x

 

 

  

 



a) Xét sự liên tục của hàm số tại x0 0 b) Xét xem tại x0 0 hàm sốcó đạo hàm không?

Bài 11. CMR: hàm số

2

2 3 3 1

x x

y

x

 



 liên tục tại x 3 nhưng khơng có đạo hàm tại điểm ấy

Bài 12. Cho hàm số:  

2 1

sin khi 0 0 khi 0

x x

y f x x

x



 

  

 



a) Tính đạo hàm của hàm số tại mỗi x

b) Chứng tỏ rằng đạo hàm f x không liên tục tại điểm x0 0

Dạng Ý nghĩa hình học của đạo hàm: Bài toán tiếp tuyến

A PHƯƠNG PHÁP GIẢI Sử dụng ý nghĩa hình học của đạo hàm

 Hệ số góc k của cát tuyến MN với đường cong  C :y f x , biết M , N theo thứ tựcó hồnh độ xM, xN được cho bởi: N M

N M

y y

y k

x x x

 

 

(114)

Chương 5: ĐẠO HÀM Tiếp tuyến của đồ thị

1 Tiếp tuyến tại một điểm:

Phương trình tiếp tuyến với đồ thị  C :y f x  tại điểm M0x0; y0: (Xem VD47)

  

0 0

yy  f x xx

Trong đó: - M0x0; y0 gọi tiếp điểm - k  f x0 hệ số góc

Các ý: - Nếu cho x0 thế vào y f x  tìm y0 - Nếu cho y0 thế vào y f x  tìm x0 2 Tiếp tuyến qua điểm: (Xem VD450)

Để lập phương trình tiếp tuyến d với  C biết d đi qua A x A; yA: Cách 1: - Gọi M0x0; y0 tiếp điểm

- Phương trình đường thẳng d qua M0 với hệ số góc k f x0 :

  

0 0

– –

y y  f x x x - A x A;yAd yA –y0  f x0 xA –x0

- Giải phương trình tìm x0, tìm f x0 , thế vào y f x  tìm y0 Cách 2: Dùng điều kiện tiếp xúc (Sẽ học ở lớp 12)

3. Tiếp tuyến biết hệ số góc: (Xem VD48-49)

- Giải phương trình: f x k  các hoành độ tiếp điểm - Thế vào y f x  để tìm tung độ

- Viết tiếp tuyến: y–y0 k x. –x0

 Chú ý:

- tiếp tuyến d// : yax b ka - tiếp tuyến d :yax b k a.  1 - ktan, với  góc giữa d với tia Ox

VD 11. Cho đường cong  C :y x3 và hai điểm A1; 1 B1 x;1 y  C a) Tính hệ số góc của cát tuyến AB với x lần lượt 0,1 0, 01

b) Tìm hệ số góc của tiếp tuyến với  C tại A

x

y

 

(115)

VD 12. Cho hàm sốy f x  x

  có đồ thị  C Viết phương trình tiếp tuyến với  C , biết: a) tiếp điểm có hồnh độ bằng 2 b) Tiếp điểm có tung độ bằng 3

c) Hệ số góc của tiếp tuyến k–4 d) Tiếp tuyến song song với d x: 9y2018 e) Tiếp tuyến vng góc với d x: 4y0 f) Tiếp tuyến qua điểm A8; 0

(116)

VD 13. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số yx3, biết: a) Tiếp điểm có hồnh độ bằng – 1

b) Tiếp điểm có tung độ bằng 8 c) Hệ số góc của tiếp tuyến bằng 3

(117)

Bài 13. Cho Parabol yx2và hai điểm A2; 4 B(2 x; 4 y) trên parabol đó.

a) Tính hệ số góc của cát tuyến AB biết x lần lượt bằng 1; 0,1 0, 001 b) Tính hệ số góc của tiếp tuyến của parabol đã cho tại điểm A

Bài 14. Tìm hệ số góc của cát tuyến MN với đường cong  C , biết:

a)  C :yx22xvà hoành độ M N, theo thứ tự xM 2, xN 1 b)  

2

1 : x x

C y

x

 

 và hoành độ M N, theo thứ tự xM 1, xN 3

Bài 15. Viết phương trình tiếp tuyến của đường hypebol y x

 , biết: a) Tại điểm 1 ; 2

2

 

 

 

b) Tiếp điểm có hồnh độ bằng –1 c) Hệ số góc của tiếp tuyến bằng

4 

Bài 16. Cho đường cong  C :y x Viết phương trình tiếp tuyến của  C : a) Biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng

b) Biết tiếp tuyến song song với : – 4x y 3 0

Bài 17. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số: a)

1

x y

x

 

 , biết hoành độ tiếp điểm x0 0 b) y x2, biết tung độ tiếp điểm y0 2

Bài 18. Cho hai hàm số 1

2

y

x



2

x

y Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị của mội hàm số đã cho tại giao điểm của chúng Tính góc giữa hai tiếp tuyến kể

Bài 19. Cho parabol  P :yx2 Gọi M1 M2 là hai điểm thuộc  P lần lượt có hồnh độ x1–2 và x2 1 Hãy tìm  P một điểm E cho tiếp tuyến tại E song song với cát tuyến

1

M M Viết phương trình tiếp tuyến đó.

Bài 20. Cho hàm số

3 2

yx  x  Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị, biết rằng tiếp tuyến vng góc với đường thẳng : – – 2018x y 0

Bài 21. Viết phương trình tiếp tuyến với   :

P yx , biết rằng tiếp tuyến qua điểm A0 ; –1

– 3 2

yx x  Viết phương trình tiếp tuyến của  C , biết rằng tiếp tuyến

(118)

Bài 23. Cho hàm số    

: – –

m

C y f x  x mx m Tìm tất cả giá trị của tham số m để tiếp tuyến của Cm tại A1; 0 B–1; 0 vng góc với

Bài 24. Cho h.số

cos sin

y xm x (m tham số) có đồ thị  C Tìm m mỗi trường hợp sau: a) Tiếp tuyến của  C tại điểm có x có hệ số góc bằng 1

b) Tiếp tuyến của  C tại điểm có hồnh độ

4

x 

x song song hoặc trùng

Bài 25. Tìm giao điểm của hai đường cong  P :yx2 x 1  : 1

H y x



 Chứng minh rằng hai

đường cong có tiếp tuyến chung tại giao điểm của chúng

Bài 26. Cho parabol  P :yx2 Viết phương trình tiếp tuyến với  P , biết: a) Tiếp tuyến song song với đường thẳng d y: 4x3

b) Tiếp tuyến qua điểm A0; 1

Dạng Ý nghĩa Vật lí của đạo hàm cấp

A PHƯƠNG PHÁP GIẢI Cần nhớ kết quả sau:

 Nếu một chất điểm chuyển động với phương trình ss t  vận tốc tức thời của chất

điểm tại thời điểm t0 là v t 0 s t 0

 Một dòng điện có điện lượng QQ t  cường độ tức thời của dòng điện tại thời

điểm t0 I t 0 Q t 0

VD 14. Một chất điểm chuyển động có phương trình s f t t22t3 s,m  a) Tính đạo hàm của hàm số f t  tại thời điểm t0

b) Tính vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t5

VD 15. Cho biết điện lượng một dây dẫn theo thời gian biểu thị bởi hàm số Q5t3 (t tính bằng giây, Q tính bằng culơng) Tính cường độ của dịng điện dây dẫn tại t8

(119)

Bài 27. Một viên đạn được bắn lên từ vị trí M cách mặt đất m, theo phương thẳng đứng với vận tốc

ban đầu v0 196 m/s (bỏ qua sức cản của khơng khí)

a) Tìm thời điểm t0 mà tại vận tốc của viên đạn bằng 0 Khi viên đạn cách mặt đất bao nhiêu mét ?

b) Sau khoảng giây (kể từ lúc bắn) viên đạn rơi xuống mặt đất ? (lấy g9,8 m/s2 )

Bài 28. Một vật rơi tựdo có phương trình chuyển động 2

s gt , g 9,8 m/s2 t được tính bằng giây

a) Tìm vận tốc trung bình của chuyển động khoảng thời gian từ t đến t t với độ chính xác đến 0, 001 , biết t lần lượt nhận giá trị 0,1 ; 0, 01 ; 0, 001

b) Tìm vận tốc tại thời điểm t5 giây

Bài 29. Một chiếc xe chạy được quãng đường s km sau t (giờ) được tính bởi st23t2 Hãy tính vận tốc tức thời của xe sau chạy được 4 giờ

Vấn đề CÁC QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM

 Đạo hàm của hàm tổng, hiệu, tích thương, hàm hợp

1) u–vw u–vw 2)  ku  k u , với k hằng số 3) u v  u v v u 4) u v w  u vw uv w uvw     5) u u v v u' 2 '

v v

 

    

  6)

1 v'

v v

  

   

  7) yx  y uu . x

 Bảng đạo hàm của hàm sốsơ cấp bản

Đạo hàm của hàm sốsơ cấp bản Đạo hàm của hàm số hợp

 C  0, C hằng số

 x  1

2 1 1

x x

  

   

 

1 u

u u

 

       

  1

2

x



  

2

u u

u

 

  

.

x   x

  u  .u1.u



sinx cosx sinu u.cosu

cosx  sinx cosu  u.sinu

 

2

tan tan

cos

x x

x

    tan  2 1 tan2 

cos

u

u u u

u



    

   

2

cot cot

sin

x x

x



     cot  2 1 cot2 

sin

u

u u u

u

 

(120)

Dạng Tìm đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương của hàm số Đạo hàm của hàm số hợp

Sử dụng quy tắc, cơng thức tính đạo hàm của một số hàm số phần tóm tắt lí thuyết để tính

 Chú ý:  Một số toán ta cần rút gọn trước để việc tính đạo hàm sẽđơn giản hơn.

 Sau tính đạo hàm xong, rút gọn đểđưa về kết quảđjep (nếu được) B BÀI TẬP MẪU

VD 16. Tính đạo hàm của hàm số sau:

a) yx73x4 4x24 x4 b) y 2x4 10x 25

x

   

c) yx2 x 12x23x1 d) y2 x1 4 x3 e)

4

x y

x

 

 f)

2

2 3 7 2 3

x x

y

x x

 



 

(121)

VD 17. Tính đạo hàm của hàm số sau: a)  2020

2 3

y x  x b)

4 3 2

y x  x 

c)

 4

5 2 3

y

x





d) y2x3 21 x423

Bài 30. Tính đạo hàm của mỗi hàm số sau (a hằng số): a) 3

4

y x  x  x  x a b)

 5 1

1

y

x x



 

c) y3x58 3 x2

d) yx1x2x3 e) 22

x y

x



 f)

5

1

x y

x x

 

  g) y 1

x x

 h)

2 1

x y

x



 i) y 2 5 xx2

j)

1

yx x x k) 1 1

x y

x

 

 l) 2

x y

a x

(122)

Dạng Tìm đạo hàm của hàm số lượng giác

Sử dụng quy tắc, cơng thức tính đạo hàm của một số hàm số lượng giác phần tóm tắt lí thuyết để tính

Cơ Hàm hợp Dùng cho trắc nghiệm

sinx cosx sinu u.cosu sinnu n.sinn1u sin u

cosx  sinx cosu  u.sinu cosnu n.cosn1u cos u

 

1 tan

cos

x

  tan  2

cos

u u

u



     

tannu  n.tann u tanu 

 

1 cot

sin

x



  cot  2

sin

u u

u

 

     

cotnu  n.cotn u cotu 

Chú ý:  Sử dụng công thức lượng giác để rút gọnm kết quả sau tính (nếu được)  Có thể rút gọn trước tính đạo hàm để việc tính tốn dễdàng hơn.

VD 18. Tính đạo hàm của hàm số sau:

a) sin sin sin2 2sin sin2

2

x

y x x x

x

     b) ysin22x23x1 c)y sin 4 x2x

(123)

VD 19. Tính đạo hàm của hàm số sau: a) sin

1 cos

x y

x



 b)

2 1 cos

2

x

y  c)

20 2 1 tan 1 tan

x y

x

  

  



 

d) cos cos

x y

x

 



e) yxsinxcosx f) y3 tanxtan 3xtan3xtanx2 g) y xcotx21 h) ycot 23 x3cot 2x i) sin cos

sin cos

x x y

x x

 

 j)

2

sin 2 4 cos 4 sin 2 4 cos

x x

y

x x

 





(124)

Bài 31. Tính đạo hàm của mỗi hàm số sau:

a) y5sinx3cosx b) ysinx23x2 c) ycos 2x1 d) ysin cos 5x x e) y tan x f) ytan 3xcot 3x

g) y4sinx3cosx h) y4 sin2x3cos4x i)

1 cos

x y

x

 

j) sin

1 sin

x y

x

 

 k)

cos

sin

x y

x



 l)

2 2 cot

y x xx

m) y tan x n) ysin cos 4x x o) cos sin cos 2

2

x

y  x x

p) ysin2x.cos3x q) tan3 2 4

y  x 

  r)  

2

sin cos tan

y  x 

u) 2 cot 1

y x  v)

sin 1

y x  w) 2 

sin cos

y x

Bài 32. Cho hàm số y f x x3   sin

2

x

yg x  x  Tính tổng f 1 g 1 ?

Bài 33. Tính đạo hàm của hàm số sau: 1 1 1 1 1 1cos

2 2 2 2 2 2

(125)

Dạng Phương trình, bất phương trình chứa đạo hàm

Bài toán thường đặt dưới dạng:

“Cho hàm số y f x , giải phương trình g y y ,   0”

Khi đó, ta thực hiện theo bước sau: Bước Tính đạo hàm y

Bước Chuyển phương trình g y y ,   0 vềphương trình đại sốthông thường để giải

 Chú ý: Cho tam thức f x ax2bxc, (a0)

1/   0, 0

0

a f x   x   

  

 2/   0, 0

0

a f x   x   

   

3/   0, 0

0

a f x   x   

  

 4/   0, 0

0

a f x   x   

    B BÀI TẬP MẪU

VD 20. Cho hàm số yx33x2 x 2 Tìm x cho: a) y  2 b) y 10

VD 21. Giải bất phương trình: a) y 0 với

2

3 3 1

x x

y

x

 



 b) y 0 với 2

1 1

x x

y

x x

  

 

(126)

VD 22. a) Cho ysin 2x2 cosx Hãy giải phương trình y 0

b) Cho y3sin 2x4 cosx12x Hãy giải phương trình y 2

3

3 5

3

mx

f x   x mx Xác định m để f x 0 với mọi x Lời giải

Ta có f x mx26xm

Yêu cầu toán mx26xm0,  x   *

● m0, bất phương trình trở thành 6x0x0: khơng thỏa mãn u cầu tốn

● m0 Khi  

2

3

'

*

0

m m

m

m m

m

   

    

   



 



Vậy m3 thỏa yêu cầu toán

VD 24. Cho hàm số: y f x x32x2mx3 Tìm m để: a) f x bình phương của một nhị thức bậc nhất b) f x 0, x 

c) f x 0 có hai nghiệm phân biệt dương

(127)

Bài 34. Tìm nghiệm của phương trình sau: a) f x 0 với   2

3

f x  x  x  x b) f x –5 với   3

4

f x  x x  x 

Bài 35. Cho hàm số  

3

f x x  x  Hãy giải bất phương trình sau: a) f x 0 b) f x 3

Bài 36. Giải phương trình y 0 mỗi trường hợp sau:

a) ysin 2x2 cosx b) ycos2xsinx

c) ycos2xsinx d) ytanxcotx

e) y3cosx4 sinx5x f) 1 sin( ) 2 cos 2 2

x y  x    

 

Bài 37. Cho hàm số ymx3x2 x 5 Tìm m để: a) y bằng bình phương của một nhị thức bậc nhất

b) y có hai nghiệm trái dấu c) y 0 với mọi x

Dạng Sử dụng đạo hàm chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức

Ta đã biết nếu một hàm số không đổi khoảng a b;  đạo hàm ln triệt tiêu trong khoảng Đảo lại ta có định lí sau:

“Nếu hàm số y f x  có đạo hàm khoảng a b;  f x 0, x a b; 

thì hàm số y f x  khơng đổi khoảng a b; ” Từđó ta thực hiện dạng toán:

Dạng Chứng minh rằng: A x c, x D Ta thực hiện bước:

Bước Tính A x , rồi khẳng định A x 0, x D

Bước Chọn x0DA x 0 c

Dạng Tìm điều kiện của tham sốđể A x  không phụ thuộc vào x

Ta thực hiện bước:

Bước Tính A x , rồi tìm điều kiện để A x 0, x

Bước Kết luận

VD 25. Cho hai hàm số f x sin4xcos4x   1cos 4

(128)

VD 26. Chứng minh rằng hàm số

4

6

sin 3cos 1 sin cos 3cos 1

x x

y

x x x

 



(129)

Bài 38. Chứng minh rằng:

a) Hàm số ytanx thỏa mãn hệ thức y– y2– 0 b) Hàm số ycot 2x thỏa mãn hệ thức y 2y2 2 0

Bài 39. Chứng minh với mọi x thuộc tập xác định: a) Nếu   2 

2 cos

f x  x f x  8 Tìm giá trị của x đểđẳng thức xảy b) Nếu f x tan 3x f x 3 Tìm giá trị của x đểđẳng thức xảy

Bài 40. Chứng minh rằng với mọi x ta đều có:

           

2 2

cos xa sin x b 2 cos xa sin x b sin a b cos a b

Bài 41. Chứng minh rằng biểu thức sin2 2 sin2 sin2 2

3 3

A x   x x  

    không phụ thuộc vào x

Bài 42. Chứng minh rằng hàm sốsau có đạo hàm không phụ thuộc x: a) 6 2

sin cos 3sin .cos

y x x x x

b) cos2 cos2 cos2 2 cos2 2 2sin2

3 3 3 3

y  x  x   x   x x

       

Vấn đề VI PHÂN – ĐẠO HÀM CẤP CAO

A VI PHÂN

 Định nghĩa

Cho hàm số y f x  xác định a b;  và có đạo hàm tại xa b;  Cho số gia x tại x cho x  x a b; 

Ta gọi tích f x x (hoặc y . x) vi phân của hàm số y f x  tại x ứng với số gia x ký hiệu dy hoặc df x  Như vậy, ta có:

dyy x hoặc df x  f x x Áp dụng: Với hàm số yx, ta được: dx x x 1 x x

Vậy ta có: dyy xd hoặc df x  f x dx

 Ứng dụng của vi phân vào phép tính gần đúng

Theo định nghĩa đạo hàm, ta có:  0 lim

x

y f x

x

  

 



Do đó, với x đủ nhỏ thì:

 0  0    0  0

y

f x y f x x f x x f x f x x x



             



(130)

Chương 5: ĐẠO HÀM B ĐẠO HÀM CẤP CAO

 Định nghĩa

Giả sử hàm số y f x  có đạo hàm f x

 Đạo hàm của hàm số f x , nếu có, được gọi đạo hàm cấp hai của hàm số f x  Kí hiệu y hay f x

 Tương tự, đạo hàm của hàm số f x , nếu có, được gọi đạo hàm cấp ba của hàm số

 

f x

Kí hiệu yhay f x

 Đạo hàm của hàm số f x , nếu có, được gọi đạo hàm cấp bốn của hàm số f x  Kí hiệu y 4 hay f 4  x

 Tổng quát, đạo hàm của đạo hàm cấp n–1 được gọi đạo hàm cấp n của hàm số

 

y f x

Kí hiệu y n hay f n  x

Ý nghĩa học của đạo hàm cấp hai

Xét chuyển động thẳng xác định bởi phương trình: s f t  với f t  hàm sốcó đạo hàm

Khi đó, gia tốc tức thời   của chuyển động tại thời điểm t là đạo hàm cấp hai của hàm số

 

s f t tại t   t  f t

Dạng Tìm vi phân của hàm số A PHƯƠNG PHÁP GIẢI  Tính vi phân của hàm số f x  tại x0 cho trước:

 Tính đạo hàm của hàm số tại x0

 Suy vi phân của hàm số tại x0 ứng với số gia x df x 0  f x0 x  Tính vi phân của hàm số f x :

 Tính đạo hàm của hàm số

 Suy vi phân của hàm số dydf x  f x dx

VD 27. Tính số gia và vi phân của hàm số

a) y f x 3x2x tại điểm x1 ứng với  x 0, 01 b) y f x tanx tại điểm

3

x ứng với

180

x 

(131)

a) Số gia  y f x  x f x 3x x2x x3x2 x 6x1 x 3x2 Tại điểm x1 ứng với  x 0, 01  y 0, 05 0, 0003 0, 0503

Vi phân dy6x1 x 0, 01 0, 05

b) Số gia  y f x  x f x tanx xtanx Tại điểm

3

x ứng với

180

x 

  tan tan 3 180 3

y    

    

 

Vi phân    

d tan 0, 0698

180 45

y  x  x     

VD 28. Cho hàm số f x 6x32x24x1

Tính vi phân của hàm số tại điểm x0 1, ứng với số gia  x 0, 01

VD 29. Tìm vi phân của hàm số y f x sin cos 2x x

VD 30. Bài 38 Chứng minh

a) 1x yd dx0 với y 2 1x b) x2ydxx yd 0 với y2x2x

Bài 43. Tính vi phân của hàm số ysin 2x tại điểm

x ứng với a)  x 0, 01 b)  x 0, 001

Bài 44. Tính vi phân của mỗi hàm số sau:

(132)

Dạng Tính gần giá trị của hàm số A PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Để tính gần giá trị của hàm số f x  tại điểm x0 x cho trước, ta áp dụng công thức: f x 0 x f x 0  f x0 .x

VD 31. Tính gần giá trị 8,99(lấy chữ số thập phân kết quả)

Lời giải

Ta có 8,99 9  0, 01 Xét hàm số f x  x Suy   1 2

f x

x

 

Áp dụng cơng thức tính gần f x 0 x f x 0  f x0 x, ta có

             0,01

9 0, 01 0,01 9 0, 01 0, 01 2,9983

6

f f f

             

VD 32. Tính gần đúng giá trị:

a) 25, 75 b) 5, 99 c) sin 30 10 d) cos 46

Bài 45. Tính giá trị gần của: a) 1

0,9995 b) cos 45 30 c) tan 29 30 d) 4, 01 e) 1

20,3 f)

(133)

Dạng Tính đạo hàm cấp cao của hàm số A PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Áp dụng trục tiếp định nghĩa đểtính đạo hàm cấp cao:

          1

; ; ; n n

y y  y y  y y  y  y  

VD 33. Tính đạo hàm cấp ba của hàm số yxsinxcosx

VD 34. Cho hàm số

1

x y

x

 

 Tìm x cho y  10

Bài 46. Tính đạo hàm cấp hai của hàm số sau: a)

yax bx cxd b)

2

x y

x

 

 c)

2 1 1

x x

y x

  

 d) yx.sinx e)

1

yx x f)

cos

y x g)

1

yx x Bài 47. a) Cho f x   x106 Tính f 2

b) Cho f x sin 3x Tính

2

f   

 , f  0  ,

18

f 

 

Bài 48. Tính đạo hàm của mỗi hàm sốsau đến cấp cho kèm theo:

a) f x x4cos ,x f 4  x b) f x cos2x f,  5  x

(134)

Dạng Ý nghĩa đạo hàm cấp hai

Xét chuyển động thẳng xác định bởi phương trình: s f t  với f t  hàm số có đạo hàm Khi đó, gia tốc tức thời  a của chuyển động tại thời điểm t là đạo hàm cấp hai của hàm số s f t  tại t

 t  t a  f B BÀI TẬP MẪU

VD 35. Tính gia tốc tức thời của chuyển động s f t  tại thời điểm t0 trong trường hợp sau: a) s f t t33t27t2, t0 2 b)   3sin 2 cos , 0

4

s f t  t t t 

Bài 49. Vận tốc của một chất điểm chuyển động được biểu thị bởi công thức

 

3

s f t t  t  t , đó t 0, t tính bằng giây  s v t  tính bằng m/s Tìm gia tốc của chất điểm:

a) Tại thời điểm t4s b) Tại thời điểm mà vận tốc của chuyển động bằng 11

Bài 50. Vận tốc của một chất điểm chuyển động được biểu thị bởi công thức  

8

v t  t t , với t0,

t tính bằng giây  s v t  tính bằng m/s

a) Tính vận tốc tại thời điểm t2s b) Tính gia tốc tại thời điểm t3s

(135)

Dạng Tìm cơng thức đạo hàm cấp n

Với hàm số y f x , tìm được cơng thức f n  x ta thực hiện theo bước sau: Bước Tính f x , f x đơi cần tính tới f x , f 4  x

Bước Dựđốn cơng thức tổng qt f n  x

Bước Chứng minh cơng thức dựđốn phương pháp qui nạp B BÀI TẬP MẪU

VD 36. Tính đạo hàm cấp n của hàm số: ysinx, với n*

VD 37. Tính đạo hàm cấp n của hàm số: y ax b



 , với a, bvà n*

Bài 51. Chứng minh rằng: Với mọi n*:

a) Nếu f x cosx f4n x cosx b) Nếu ysinx   sin

2 n

y  xn 

 

c) Nếu ysin2x y n  24n1cos 2x d) Nếu 1

y x





 

!

1 n n

n

n y

x 

 



Bài 52. Tính đạo hàm cấp n của hàm số sau: a) y

x

 b) 2

3

y

x x



  c)

3 sin

(136)

Dạng Chứng minh đẳng thức có chứa đạo hàm

 Tìm đạo hàm đến cấp cao nhất có đẳng thức cần chứng minh

 Thay thế vài vịtrí tương ứng biến đổi vế cho bằng vế Từđó suy đẳng thức cần chứng minh

VD 38. Chứng minh hệ thức sau

a) xy2ysinxxy0 với yxsinx b) x y2  2x2y21y0 với yxtanx

Lời giải a) Ta có y sinxxcosx

Suy y y  cosxcosxxsinx2 cosxxsinx

Do xy2ysinxxyx2sinx2xcosxx2 cosxxsinx0 b) Ta có y tanxx1 tan 2x

Suy y y   1 tan2x 1 tan2 x2 tanx  2x tanx2 tan  2x1xtanx

Do x y2  2x2x2tan2x1xtanx2x2 y21y hay   

2 2

2 1 0

x y  x y y 

VD 39. Cho hàm số yxsinx Chứng minh xy2yxy 2 sinx

(137)

VD 40. Cho hàm số y x x21 Chứng minh rằng:

a) 2 x21.y y b) 4 1 x2y4xyy0

(138)

Chương 5: ĐẠO HÀM C BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 53. Chứng minh rằng:

a) Nếu ycotx sin tan

x

yy x  b) Nếu

2 cos 1 sin

x y

x



 f 4 3f 4 3

 

   



 

   

   

c) Nếu 1cot3 cot

y  x xx y cot4x

d) Nếu

x y

x

 

    

2 y  y1 y e) y y0 với

3

sin cos 1 sin cos

x x

y

x x

 



f) 2 y y1y với

x y

x

 



g) y 4 2xy4y40 với yx212 h) y y3   1 0 với y 2xx2

i) 4x21  y4 x yy0 với 1

y x x j) 1x2yxyk y2 0 với  1

k

y x x 

Vấn đề SỬ DỤNG ĐẠO HÀM TRONG CÁC BÀI

TỐN CĨ CHỨA k

n

C

A PHƯƠNG PHÁP GIẢI  Công thức khai triển nhị thức Newtơn:

  1 1

0 n

n k n k k n n k n k k n n n n

n n n n n n

k

a b C a  b C a C a b C a  b C ab  C b



      

    1    

0

1 1 1

n

n k k n k k n n k k n k k n n n

n n n n n

k

a b C a  b C a C a b C a  b C b



         

 Tính chất:

k n k n n

C C  (0k n); Cnk1Cnk Cnk1 (0kn); Cn0 Cnn 1 Phương pháp:

 Viết khai triển Newton của ax b n  Đạo hàm 2 vế một số lần thích hợp

 Chọn giá trị x sao cho thay vào ta đẳng thức phải chứng minh B BÀI TẬP MẪU

VD 41. Tính tổng

(139)

Lời giải a) Xét khai triển nhị thức New-ton của 1xn, ta có

  2 3

1x n Cn C x C xn  n C xn  C xnn n Lấy đạo hàm hai vế theo biến x, ta được

  1

1 n n 2 n 3 n nn n

n x  C  C x C x  nC x  Cho x1, ta

  1

1 1 n n 2 n 3 n nn

n   C  C  C  nC

Vậy

2 n 2n

n n n n

C  C  C  nC n 

b) Xét khai triển nhị thức New-ton của 1xn, ta có

  2 3  

1x n Cn C x C xn  n C xn   1 nC xnn n Lấy đạo hàm hai vế theo biến x, ta được

   1  

1 1 n n 2 n 3 n 1 n nn n

n  x   C  C x C x    C x 

hay

  1   1

1 n n 2 n 3 n 1 n nn n

n x  C  C x C x     nC x  Cho x1, ta

  1  

1 1 n n 2 n 3 n 1n nn

n   C  C  C     nC

Vậy Cn12Cn23Cn3   1 n1nCnn 0

VD 42. Cho n sốnguyên dương Chứng minh hệ thức sau: a) C1n2.Cn23Cn3 nCnn n.2n1

b) 1.2Cn2 2.3Cn3 3.4Cn4 n n 1Cnn n n 2 n 

      

c)    

2.Cn 3.Cn 4Cn n Cnn n 2n



      

(140)

VD 43. Cho x2100a0a x1 a x2 2a x100 100 Tính: a) a97

b) Sa0a1a2a3 a100

c) Sa12a23a3 100a100 (ĐH Hàng Hải – 1998)

Bài 54. Rút gọn biểu thức:

a) S1 Cn12Cn23Cn3n1Cnn1nCnn

b) S2 C1n2Cn23Cn3n1 1 n2Cnn1n 1n1Cnn

c) S3 3.2Cn04.3C1n5.4Cn2n3n2Cnn

d) S4 1.2Cn22.3Cn33.4Cn4n n 1 1 nCnn

ê) S5 2.3Cn03.4Cn14.5Cn2n2n3Cnn

f) 2 3 2

6 2.2 3.2 4.2 (2 1).2

n n

n n n n n

S C C C C n C 

    

     

Bài 55. Với n nguyên dương, chứng minh rằng: a) Cn22Cn33Cn4n1Cnn n2 2 n1

b) C21n3C23n2n1C22nn12C22n4C24n2nC22nn

c) 1.2Cn2 2.3Cn33.4Cn4n n 1Cnn n n 1 2 n2

d) n n 1 3 n2Cnnn1n2 3 n34Cnn12.1.4n2Cn2 n n 1 7 n2 e) 2n 1C1n 2.2n 1Cn2 3.2n 1Cn3 nCnn n.3n

   

   

f)    

2 n n 2n

n n n n n

C  C  C nC   n C  n 

Bài 56. Tìm sốnguyên dương n cho:

 

1 2 3 2

2 2.2 3.2 4.2 2 2 2011

n n

n n n n n

(141)

Vấn đề DÙNG ĐỊNH NGHĨA ĐẠO HÀM

ĐỂ TÌM GIỚI HẠN

 Bài tốn 1 Ta có thể sử dụng định nghĩa đạo hàm:      

0

0 0 lim

x x

f x f

f x

x x





 

 để tính các giới hạn có dạng vơ định Bằng cách viết giới hạn cần tìm thành dạng    

0 0

0 lim

x x

f x f

x x





 ,

sau tính đạo hàm của hàm f x  tại điểm x0 rồi áp dụng định nghĩa đạo hàm suy kết quả của giới hạn

 Bài tốn 2 Ta sử dụng cơng thức lượng giác để biến đổi sử dụng công thức

   

sin

lim

x x

u x u x

  với limxx0u x 0 B BÀI TẬP MẪU

VD 44. Tính giới hạn

3

0

1 4 1 lim

x

x x



 

Lời giải

Đặt  

1 4

f x   x, suy f  0 1

Ta có      

0

0 1 4 1

lim lim 0

0

x x

f x f

x

f

x x

 



 



 



Mà  

 2

3 4 3. 1 4

f x

x

 



, suy  0

f  Vậy

3

0

1 4 1 4 lim

3 x

x x



 



VD 45. Tính giới hạn sau a)

3

0

1 4 1 lim

x

x x



 

b)

3

2

5 7

lim

1 x

x x

x



  



(142)

VD 46. Tính giới hạn sau a)

0 sin lim

sin x

x x

 b)

tan lim

sin x

x x

 c)

1 cos lim

x

x x

 

d) 2

1 sin lim

2 x

x x

  



 



 

 

Lời giải a) Ta có

0 0

sin 3 sin 3 sin 3

lim lim lim lim

sin 2 sin 2 sin 2

x x x x

x x x x x

      

b) Ta có

0 0

tan sin 2 sin

lim lim lim

sin cos sin 5 sin cos

x x x

x x x x

x x x x x x

    

0 0

2 sin

.lim lim lim

5 x x sin x cos

x x

x x x

  

 

c) Ta có

2

0 0

2 sin sin sin

1 cos 2 1 2 1 2 1

lim lim lim .lim

2 2 2

2 2

x x x x

x x x

x

x x

   

   

   



       

   

   

b)

2

2 2

2

1 cos 2sin sin

1 sin 2 2

lim lim lim lim

2

2 2

2

x x x x

x x

x

x x x

   

 



  

   

 

   

 

    

     

     

    

  

   

        

  

         

       

 

2

2 sin

1 2

.lim

2

2 x

x





  



 

 

 

 

 

   



 

   

 

 

(143)

Bài 52 Tính giới hạn sau

a)

lim tan tan x

x x





 



 

 

b)

4 sin

4 lim

1 2 sin x

x x





 



 

 



Bài 57. Tính giới hạn sau a)

2

1

lim

1 n

x

x x x n

x



   

 b)  2

1 lim

1 n

x

x nx n

x



  



c) 2

8 3 lim

2 3 x

x

x x



 

  d)

3

2

3 4 24 2 2 3 lim

4 x

x x x

x



    



e)

4

1 lim

1 x

x x

 

 f)

1 2 1 lim

1 3 1 n

m x

x x



 

Bài 58. Tính giới hạn sau a) 2

0

1 cos lim

x

x x

 

b)

cos sin

lim

cos x

x x x

 



c)

3

0 1 cos lim

sin x

x

x x

 

(144)

Vấn đề 6 MỘT SỐ DẠNG TOÁN NÂNG CAO

VỀ TIẾP TUYẾN

A PHƯƠNG PHÁP GIẢI 1. Sử dụng kiến thức về tiếp tuyến ở Vấn đề 1, dạng

2. Một số kiến thức liên quan:

 Độdài đoạn thẳng AB: AB xB xA2yByA2

 Khoảng cách từđiểm M x M;yM đến đường thẳng :ax by  c 0

 ,  2 2

 M M

ax by c

d M

a b

 Khoảng cách từđiểm M x M;yM đến đường thẳng trục Ox d M Ox ,  yM  Khoảng cách từđiểm M x M;yM đến đường thẳng trục Oy d M Oy ,  xM  Diện tích tam giác OAB:

 Nếu AOx BOy 1. . 2  OAB

S OA OB

 Nếu A, B  1. . 2  OAB

S OH AB , với OH d M ,  Phương trình đường thẳng qua A a ; 0 B0;b x y

ab  (phương trình đoạn chắn)

B MỘT SỐ VÍ DỤ

3 1

yx  x Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị điểm có hồnh độ

Lời giải Với x0 2 suy

0 3

y x  x  

Ta có y 3x23 Suy hệ số góc tiếp tuyến: k  y 2 9

Phương trình tiếp tuyến đồ thị

 0 0 9 2 15



      

y y x x x y x x

VD 48. Cho hàm số 2

3

y x x  Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị, biết tiếp tuyến song

song với đường thẳng y 3x2015

Lời giải Gọi M x y 0; 0 tọa độ tiếp điểm.

Ta có ' 2

y  x  x Suy hệ số góc tiếp tuyến:  0 0

0

 

 



k y x x x Do tiếp tuyến song song với đường thẳng y 3x2015 nên

2

0

1

2 3 2

3 3 0

3

x

x x x

k x

x

  

         



  



(145)

● Với x0  1 suy 0 03 02

3

0

y   x x  

Phương trình tiếp tuyến cần tìm   10

3

y x    x

● Với x0 3 suy 0 30 02

3 2

y   x x  

Phương trình tiếp tuyến cần tìm y 3x3  2 3x11 Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm là:

3

y  x hoặc y 3x11

3 3

y x  x  Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị, biết tiếp tuyến vng

góc với đường thẳng x4y20160 Lời giải Gọi M x y 0; 0 tọa độ tiếp điểm.

Ta có y'2x26x Suy hệ số góc tiếp tuyến: k y' x0 2x026x0 Do tiếp tuyến vng góc với đường thẳng x4y20160 nên

 

0

2 2

0

1 1

. 1 6 6 6

4 4

1

2 1 2 4 2 4 0

2

x

x x x x

k x x

x

 

    

         

 



● Với x0 1 suy 0 03 02 3

8

3

y  x  x   

Phương trình tiếp tuyến cần tìm   4

3

x x

y     

● Với x0 2 suy 0 03 02

3

y  x  x   

Phương trình tiếp tuyến cần tìm y 4x2  7 4x1 Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm là: 4

3

y  x hoặc y 4x1

VD 50. Cho hàm số 3 1

yx  x  Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị, biết tiếp tuyến qua điểm A1;3

Lời giải Gọi M x y 0; 0 tọa độ tiếp điểm.

Ta có y 3x26x Suy hệ số góc tiếp tuyến: k  y x 0 3x026x0

Phương trình tiếp tuyến M của đồ thị có dạng

 0 0   0

2

0 0

3 6 3 1

 

  

  x x  x  x

y y x x x y x x

Do tiếp tuyến qua điểm A1;3 nên   

0 0 0

3 1

3 x  x 1x x  x  x  hoặc x0  2

Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm là: y9x6 hoặc y3

2 1

yx  mx  m x , với m tham số thực Viết phương trình tiếp tuyến  của đồ thị tại điểm có hồnh độ bằng Tìm m để giao điểm của  và đường thẳng

: 1

(146)

Chương 5: ĐẠO HÀM Lời giải

Với x0 2, suy y0 x032mx023m1x0 1 14m7

Ta có y 3x24mx3m1 Suy hệ số góc của tiếp tuyến k y 2 11m11

Phương trình tiếp tuyến  của đồ thị tại điểm có hồnh độ bằng có dạng

       

:y y x y 11m 11 x 14m

        

Giao điểm của  d nghiệm của hệ 11 11 2 14 7

1

y m x m

y x

    

  

  

 Suy 8 14 ; 3 4

11 10 11 10

m m

A

m m

  

 

 

 

 

Theo giả thiết tốn, ta có

1 8 14 3 4

8 14 3 4

18 8 14 3 4

11 10 11 10

5

m

m m

m m m

  

   



   

  



  

    



Vậy m 1 hoặc 18

m  thỏa yêu cầu toán

3

yx  mx  m x , với m tham số thực Tìm tất cả giá trị của m

để tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất của đồ thị vng góc với đường thẳng 2020

y x Lời giải

Ta có y 3x26mxm2 Suy hệ số góc của tuyến tại một điểm bất kỳ M x y 0; 0 thuộc

đồ thị k3x026mx0m 2 3x0m23m2m  2 3m2m2

Dấu '''' xảy chỉ khi: x0 m Khi kmin  3m2m2 Yêu cầu toán

  2

min

1 1

. 1 3 2 1 3 2 4 3 2 0

4 4

k   m m   m m m m

                     

   

1

m

  hoặc

m  Vậy m1 hoặc

m  thỏa mãn yêu cầu toán

VD 53. Cho hàm số y x42x21 Gọi A là điểm thuộc đồ thịcó hồnh độ m Tìm m để tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại A cắt đồ thị tại hai điểm phân biệt M , N khác A cho

4

AN  AM (M nằm giữa A N)

Lời giải

Tọa độđiểm A m m ; 42m21 Phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại A có dạng   

: 4 4 2 1

d y m  m x m m  m 

Phương trình hồnh độgiao điểm của tiếp tuyến d với đồ thị

4m34mxmm42m2 1 x42x21

   

 

2 2 2

2

2 3 2 0

2 3 2 0 *

x m

x m x mx m

x mx m

 

       

   



Đểđường d cắt đồ thị tại ba điểm phân biệt  phương trình  * có hai nghiệm phân biệt khác m

2

2 2

1 1 2 2 0

1 2 3 2 0

3

m m

m

m m m

  

 

    

 

 

 

   



 



(147)

Gọi M x y 1; 1, N x y 2; 2 với x1, x2 hai nghiệm của phương trình  * Theo Viet, ta có  

 

1

2 1

2 1 3 2 2

x x m

x x m



  

 

   

Theo giả thiết tốn, ta có AN 4AM x2m4x1m4x1x2 3m  

 3

Từ  1  3 , ta có

1

2

2 5

4 3 11

5

m x

x x m

x x m m

x

     

 



 

 

   

 

Thay vào  2 , ta được 1 3 2 86 50 5 4 1

.

5 3

5 m

m

m m

m

    

 

 

 

   (thỏa mãn) Vậy 5

43

m  giá trị cần tìm thỏa u cầu tốn

4 1

yx mx  m , với m tham số thực Tìm m để tiếp tuyến của đồ thị tại A

song song với đường thẳng y4x2020, với A là điểm cốđịnh có hồnh độ âm của đồ thị Lời giải

Gọi A x A;yA là điểm cốđịnh của đồ thị

4

A A A

y x mx m

     ,  m 

m x 2A4xA4 yA 1 0,  m 

2

4

4 0 2

17 1 0

A A

A A A

x x

y

x y

    



 



  

 



hoặc 17 A

A

x y

   

 

Do A có hồnh độ âm nên ta chọn A2;17

Yêu cầu toán  'y x A 4  'y  2 4  32 4  m4  m9 Vậy m9 giá trị cần tìm

1

x y

x

 

 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị, biết tiếp tuyến cắt hai trục Ox và Oy lần lượt tại A, B phân biệt cho đường trung trực của đoạn thẳng AB đi qua gốc tọa độ O

Lời giải Gọi ; 1

1

a M a

a



 

 



  với a1 là điểm thuộc đồ thị

Phương trình tiếp tuyến tại M của đồ thị có dạng

  

 2 

1

:

1 1

a a

d y y a x a x a

a a a

  



     

  

Ta có

2

;

a a dOxA   

 

;

 

2 0; 2 1

1

d O B a a

a

y  

 

  

 

 

 

Do AB nên a22a 1 0a  1 2

Đường trung trực của đoạn thẳng AB đi qua gốc tọa độ O nên

     

2

2 1 0 2 1 2 1

1 2 1 2

2 1 1 2

a a

a a a a

a a

O B

a

A O

a

   

   

       

 

 







(148)

● Với a 1 2 Suy phương trình tiếp tuyến y   x 2 2

Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm thỏa mãn u cầu toán y   x 2 2 hoặc 2

y   x

1

x y

x

 

 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị, biết tiếp tuyến cắt hai trục Ox và Oy lần lượt tại A, B phân biệt thỏa mãn OA2OB

Lời giải Gọi ;2 1

1

a M a

a



 

 



  với a 1 là điểm thuộc đồ thị

  

 2  

2

:

1 1

a a

d y y a x a x a

a a a

 



     

  

Ta có

2

;0

a a dOx A   

 

;

 

2 2 2 1

1 0; a

Oy B a

a

d  

 

  

 

 

 

Do AB nên 2a22a 1 0a 1 3

Theo giả thiết toán

   

2

2 2 1 0 2 2 1 2 2 1

2

3 1 1 6

2 a a a a a a

a

OA OB

a

   

    

  

 



 





a 12 6 a 1 6

      

● Với a  1 6 Suy phương trình tiếp tuyến

2

y x 

● Với a  1 6 Suy phương trình tiếp tuyến

2

y x  Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm thỏa mãn u cầu tốn

1

2

y x  hoặc

2

y x 

1

x y

x

 

 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị, biết tiếp tuyến cắt hai trục Ox

Oy lần lượt tại A, B cho tam giác OAB có diện tích bằng 2

3 và hồnh độ tiếp điểm nguyên Lời giải

Gọi ; 2 1

a M a

a



 

 



  với a1 a là điểm thuộc đồ thị

  

 2  

2

:

1 1

a a

d y y a x a x a

a a a

  



     

  

Ta có

2

4

;0

a a

dOx A   

 

;

 

2 0; 4 2

1

d O B a a

a

y  

 

  

 

 

 

Do AB nên

4 2 0 2 6

(149)

 

2

2 1 2 1

. 4 2 4 2 2

3 2 3 2 3 . 1 3

OAB

a a a

S OA OB a

a                      2 2

0 2 4 2 2 1

4 2 4 1

3 13 loai 4 2 2 1

a a

a a a

a

a a a

                              

● Với a0 Suy phương trình tiếp tuyến y 3x2

● Với a 2 Suy phương trình tiếp tuyến

3

y  x

Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm thỏa mãn u cầu tốn y 3x2 hoặc

3

y  x

2 x y x  

 Tìm điểm M thuộc đồ thịcó hoành độ âm, biết tiếp tuyến của đồ thị tại M cắt

hai đường thẳng d1:x2 d2:y1 lần lượt tại A B cho

2

40

IA IB  , với I2;1 Lời giải

Gọi ; 1 2 a M a a      

  với a2 a0 là điểm thuộc đồ thị

  

 2 

1

:

2 2

a a

d y y a x a x a

a a a

  



     

  

Ta có

4 2;

2

a

d d A

a



 

   



 ; dd2 B2a2;1 Suy

6 0; 2 IA a         

, IB2a4;0 Theo giả thiết tốn, ta có

   

2

2 36

40 40

2

IA IB a

a                2

2 1 1 3 4 2 40 2 36 0

1 5 2 9

a a a

a a a a a                           Do a2 a0 nên ta chọn a 1, suy M1;0

2 x y x  

 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị, biết tiếp tuyến cắt hai đường thẳng d1:x2 d2:y2 lần lượt tại A B cho AB 2IB, với I2; 2

2 a M a a      

Phương trình tiếp tuyến của đồ tại M thị có dạng

  

 2  

2 3

:

2 2

a a

d y y a x a x a

a a a

  



     

  

Ta có

2 2 2;

2

a

d d A

a



 

   



 ; dd2 B2a2; 2 Suy

2 0; 2 IA a         

, IB2a4;0 Nhận xét Tam giác IAB vuông tại I nên IA AB2IB2  2IB2IB2 IB

(150)

● Với a1 suy phương trình tiếp tuyến d y:   x 2

● Với a3 suy phương trình tiếp tuyến d y:   x 6

Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm thỏa mãn u cầu toán y  x 2 hoặc y  x 6

2

x y

x

 

 Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm M thuộc đồ thị, biết tiếp tuyến cắt hai đường thẳng d1:x2 d2:y2 lần lượt tại A B cho cơsin góc ABI bằng

4

17 , với I2; 2

2

a M a

a



 

 



  

 2 

2 3

2 2

a a

y y a x a x a

a a a

  



     

  

Ta có 1 2;2 2 2

a

d d A

a



 

   



 ; dd2 B2a2; 2 Suy

2 0;

2

IA

a

 

  



 



, IB2a4;0 Nhận xét Tam giác IAB vuông tại I nên cos 4

17

ABI  suy tan

ABI 

 4

2 0

1

16. 2 16

4 4

a IA

IB IA a

a IB

 

        

 

● Với a0 suy phương trình tiếp tuyến

4

y  x

● Với a4 suy phương trình tiếp tuyến

4

y  x

Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm thỏa mãn yêu cầu toán

4

y  x hoặc

4

y  x

1

x y

x

 

 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị, biết khoảng cách từ điểm

1; 2

I đến tiếp tuyến bằng

1

a M a

a



 

 



  

 2  

2 1

:

1 1

a a

d y y a x a x a

a a a

  



     

  

hay d x: a12 y2a22a 1 0 Khoảng cách từđiểm I đến tiếp tuyến d bằng 2

 4

0 2 2

2

2 1 1

a a



 

   

 

 

● Với a0 suy phương trình tiếp tuyến xy 1 0 hay y  x 1

● Với a2 suy phương trình tiếp tuyến xy 5 0 hay y  x 5

(151)

1

x y

x

 

 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm M có hồnh độ lớn

hơn 1, biết rằng tiếp tuyến cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại hai điểm phân biệt A, B cho 3MA2MB

1

a M a

a



 

 



  với a1 là điểm thuộc đồ thị

  

 2 

2 2

:

1 1

a a

d y y a x a x a

a a a

 



     

  

Ta có

 

2

4 2;0

2

0;

1

d Ox A a a

a a d Oy B

a a

     

 

 

 

     

  

 

  



Suy

 

2

3 2;

1

;

1

a MA a a

a a MB a

a

   

     

 

 



  

    

   

 





 

2

3 2

3 2 4 2

3

1 1

a a a

MA MB a a

a a

     

 

      

   

    



  

  



 

3

a

  hoặc

a (loại)

Với a3 suy phương trình tiếp tuyến cần tìm 1

2

y x

VD 63. Cho hàm số y 2mx x m

 

 , với m tham số thực Tìm m để tiếp tuyến tại một điểm bất kỳ của

đồ thị hàm số cắt hai đường thẳng d1:xm d2:y2m lần lượt tại A B cho diện tích tam giác IAB bằng 42, với I m ; 2m

Lời giải Giả sử M a;2ma 3

a m



 

 



  với am là điểm thuộc đồ thị Khi tiếp tuyến tại M của đồ thị có dạng

  

   

2

2 3 2 3 2 3

: ma m ma

d y y a x a x a

a m a m a m

   



     

  

Ta có

2

; m ma

d d A m

a m

   

   



 

; dd2 B2am m; 

Theo giả thiết, ta có 42 42 84

IAB

S   IA IB IA IB

2

2 2 84 42

m ma

m a m m m

a m

 

         



(152)

BÀI TẬP CƠ BẢN NÂNG CAO CHỦ ĐỀ 5

Bài 59. Xét sự tồn tại đạo hàm của hàm số sau : a)

2

2 khi 2 1

khi 2 1

x x x

y x x            b) khi 1 2 khi 1

x x x

y x x         

Bài 60. Tìm a, b để hàm sốsau có đạo hàm tại x1: a) 2 khi 1

khi 1

x x

y

ax b x

       b) 2

2 khi 2 1 khi 1

x x

y

x ax b x

            

Bài 61. Chứng minh rằng hàm số y ax b

cx d

 

 có đạo hàm  2

ad bc y cx d     Áp dụng tính đạo hàm của:

2 x y x    , y x   , x y x  

Bài 62. Chứng minh rằng hàm số

2

ax bx c

y

b x c

 



   có đạo hàm  

2

2 2

ab x ac x bc b c

y

b x c

       

   Áp dụng tính đạo hàm của:

2 2 7 2 x x y x     , 1 3 2 x y x    , 2 1 5 x x y x    

Bài 63. Chứng minh hàm số

2

ax bx c

y

a x b x c

 



     có đạo hàm  

2

a b a c b c

x x

a b a c b c

y

a x b x c

 

     

 

     Áp dụng tính đạo hàm của:

2 2 1 3 3 x x y x x      , 2

3 6 1 3 2 x x y x x      , 2 2 5 6

5 x x y x     

Bài 64. Tính đạo hàm của hàm số sau: a)

3

5 3 2

x x

y   x b) 42 53 64

7

y

x x x x

    c)

2

3 6 7 4 x x y x    d) y 2 3x  x 1

x

 

   

  e)

1 1 x y x    f) 2 7 5 3 x x y x x      g) yx7 x2 h) yxx232 i)

2 2 2 1 x x y x     j) 25

1 x y x x  

  k)  5

1 1 y x x    l) 1 x y x  

Bài 65. Tính đạo hàm của hàm số sau: a) y xsinx cosx

x

  b) 3cos

2 x y x   c) 2 cos sin x x y x  

d) cos sin

(153)

g) ysinx23x2 h) ycos 2x1 i) y2sin cos 5x x

j) y cos 2x k) y tanx 21

x



 l)

cot 1

y x 

m) ytan3xcot 2x n) y tan x o) sin

sin

x x y

x x

 

p)

2 sin 1 tan 2

x y

x



 q) ytan sin x r)  

2

2 cos 2 sin

y x x x x

s) cos2 2 4

y   x t) yx sin 3x u) ytan2xtanx2

Bài 66. Tính đạo hàm của hàm số sau: a) yx24x15 b)

2

2 3 1 2 3

x x

y

x

 



 c)

2

6 1 1

x x

y

x x

  



  d)

2

3 2 1

x x

y

x

  

 e)

1 1

x y

x

 

 f)

2 1 2

x y

x

 

 g)

2 1

1

x x

y

x x

  

  h)

1

x y

x

 

i) yx1 x2 x 1

Bài 67. Tính đạo hàm của hàm số sau:

a) ysin 1x2 b) ysin2cos 3x c) ycosx 1 sin 2x

d) ycos cos cos  x e) cos2 1 1

x y

x

  

  



 

f)

2

sin tan 1 cot 1 tan

x x

y

x x

 

 

g)

sin cos

x y

x x



 h)

2 sin

cos

x y

x

 i) y 1 cos 2x Bài 68. Cho hàm số y x22x24 Giải bất phương trình 2f x  f x 

Bài 69. Giải phương trình y 0 mỗi trường hợp sau:

a) 1sin sin

2

y x x b) ysin 2x2 cosx c) y3sin 2x4 cos 2x10x

d) ytanxcotx e) y2xcosx sinx

Bài 70. Giải bất phương trình f x g x , biết rằng: a) f x x3 x 2 và g x 3x2  x 2 b) f x 2x3x2 3  

2

3 2

x

g x  x  

Bài 71. Cho hàm số y x 2 x212 Giải bất phương trình f x 0. (TN THPT 2010) Bài 72. Tính đạo hàm đến cấp được kèm theo của hàm số sau (n  N*):

(154)

Chương 5: ĐẠO HÀM d) ,  

2

n

y y

x



 e)

 

1 ,

2

n

y y

x



 f)

2 

2

cos , n

y x y

Bài 73. Chứng minh rằng hàm số:

a) yxsinx thỏa hệ thức xy2ysinxxy0 b) y 2xx2 thỏa hệ thức

1 0

y y   c)  

3

1

y x x  thỏa hệ thức 1x2yxy9y0 d) y

x

  thỏa hệ thức xy  y 3 e)

4

x y

x

 

 thỏa hệ thức    

2

2 y  y1 y

Bài 74. Viết phương trình tiếp tuyến của: a)

1

x y

x

 

 tại điểm A2;3

b) yx34x21 tại điểm có hồnh độ x0  1 c) y4x24x4 tại điểm có tung độ y0 1 d) y 2x1 tại điểm có hoành độ x0 4 e)

2

2 15 3

x x

y

x

 



 biết hệ số góc tiếp tuyến 3 f) yx42x21 biết hệ số góc tiếp tuyến 24 g) yx33x22 biết tiếp tuyến d D x: 3y150 h) yx3 x 3 tại điểm có hồnh độ x0  1

i) 1

x y

x

 

 tại điểm có hoành độ x0 2

Bài 75. Cho  :  

1

x C y f x

x



 

 Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị  C : a) Tại điểm có hồnh độ bằng 2 b) Tại điểm có tung độ bằng 5

2 c) d//D y: –x25 d) d  : –x y2018

Bài 76. Gọi  C là đồ thị hàm số yx42x21 Viết phương trình tiếp tuyến của  C mỗi

trường hợp sau:

a) Biết rằng tiếp tuyến song song với đường thẳng d y: –3x1 b) Biết rằng tiếp tuyến vng góc với đường thẳng : – 7x y2018 c) Biết rằng tiếp tuyến qua điểm A0; 2

Bài 77. Gọi  C là đồ thị hàm số yx35x22 Viết phương trình tiếp tuyến của  C mỗi

trường hợp sau:

a) Biết tung độ của tiếp điểm bằng 2

b) Biết rằng tiếp tuyến song song với trục hoành

(155)

Bài 78. Cho hàm số yx3 Viết tiếp tuyến của đồ thị hàm sốđã cho

a) Biết tiếp điểm M 1;1 b) Biết hoành độ tiếp điểm 2 c) Biết tung độ tiếp điểm 5

1

x y

x

 

 Viết PTTT của đồ thị hàm số biết: a) Tiếp điểm M có tung độ bằng 4

b) Tiếp điểm M giao của đồ thị hàm số với trục hoành c) Tiếp điểm M là giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung

3 1

yx  x 

a) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hồnh độ x0 1.

b) CMR: tiếp tuyến của đồ thị hàm số tiếp tuyến ở câu a có hệ số góc nhỏ nhất

1

yx x  x

a) Viết PTT tại M thuộc đồ thị hàm số biết trung độđiểm M bằng 1.

b) CMR đồ thị hàm số không tồn tại những cặp điểm mà tiếp tuyến tại 2điểm vng

góc với

y x Tìm điểm M trên đồ thị hàm số (M  gốc tọa độ) cho tiếp tuyến tại M tạo với trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 6

1

x y

x



 Tìm M trên đồ thị hàm số cho tiếp tuyến tại M tạo với trục tọa

độ một tam giác có diện tích bằng 1

Bài 84. Cho hàm số 1

2

y x



2

x

y Gọi M là giao điểm của hai đồ thị hàm số Viết pttt của mỗi đồ thị hàm sốđã cho tại điểm M Tính góc góc giữa hai tiếp tuyến tìm được

Bài 85. Cho hàm số yx33mx2m1x1 Tìm m để tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có

hồnh độ x0  1 đi qua A1; 2

Bài 86. Cho hàm số 1;

1

x y

x

 

 I1;  Tìm điểm M thuộc đồ thị hàm số cho tiếp tuyến d của đồ thị hàm số tại M vuông góc với đường thẳng IM.

Bài 87. Cho hàm số 3;

1

x y

x

 

 I1;1  Tìm điểm M thuộc đồ thị hàm số cho tiếp tuyến d của

đồ thị hàm số tại M tạo với đường thẳng IMmột góc  mà cos

 

2 1.

y x  x  Với M là điểm thuộc đồ thị hàm sốcó hồnh độ bằng 2, 2 viết phương trình tiếp tuyến d của đồ thị hàm số tại M và tìm hồnh độ các giao điểm của

dvới đồ thị hàm sốđã cho

2

x y

x

 

(156)

1

x y

x

 

 Tìm hồnh độ điểm M thuộc đồ thị hàm số biết tiếp tuyến tại M tạo với hai đường thẳng d d1; 2 lần lượt có phương trình x 1 0 y 2 0 một tam giác vuông cân

2

x y

x

 

 Đường thẳng d1:x2 Đường thẳng d2:y2 I là giao điểm của 1&

d d Gọi đường thẳng d tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm M tùy ý A giao

&

d d , Blà giao điểm của d&d2 Viết pttt  d biết độ dài AB nhỏ nhất

2

x y

x

 

 Đường thẳng d1:x2 Đường thẳng d2:y2 I là giao điểm của 1&

d d Gọi đường thẳng d tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm M tùy ý A giao

&

d d , Blà giao điểm của d&d2

a) CMR:M là trung điểm của đoạn thẳng AB. b) Tìm M để d I d ;  đạt giá trị lớn nhất

Bài 93. Cho hàm số y4x36x21.Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số biết

2

x y

x

 

 Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số biết tiếp tuyến qua

điểm 1; 1 . 2

I  

 

2

1 . 1

x x

y x

  

 Chứng minh rằng qua điểm A1; 1  có thể kẻ được hai tiếp tuyến với đồ thị hàm số hai tiếp tuyến vng góc với

1

x y

x

 

 Hãy tìm m để từ điểm A0;mkẻ được hai trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số hai tiếp điểm nằm về hai phía của trục hoành

5

x y

x

 

 Hãy tìm m để từđiểm A m ; 0

a) Kẻđược hai tiếp tuyến với đồ thị hàm số tích hai hệ số góc của hai tiếp tuyến 144 b) Kẻđược hai tiếp tuyến với đồ thị hàm số hai tiếp điểm nằm về hai phía của trục tung c) Kẻ được hai tiếp tuyến với đồ thị hàm số hai tiếp điểm nằm về hai phía của đường thẳng

1.

y

2

3

y x  x  x Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số biết tiếp tuyến song song với đường thẳng d: 4x  y 2 0.

1

x y

x

 

(157)

x y

x

 

 Viết phương trình tiếp tuyến d với đồ thị hàm số biết d tạo với trục hồnh một góc  mà cos 1 .

17

 

2

yx  x Viết phương trình tiếp tuyến d với đồ thị hàm số biết d tạo với

đường thẳng :y  x 7 một góc  mà cos 1 . 26

 

Bài 102. Cho hàm số 2 

3 ;

yx  x C đường thẳng d y: 3x1. Tìm điểm M trên đồ thị C biết tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại M có hệ số góc âm tạo với d một góc  45 o

3

yx  x  C Tìm hai điểm A, B trên đồ thị hàm số cho tiếp tuyến của

đồ thị  C tại A, B song song với AB4 2.

1

x

y C

x

 

 Tìm điểm M trên đồ thị C biết tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại

M cắt trục o x, oy lần lượt tại A, B cho AB 82 OB

Bài 105. Cho hàm số 1 

1

x

y H

x

 

 Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số biết rằng tiếp điểm của tiếp tuyến với  H cách điểmA0;1 một khoảng bằng 2.

2 1,

y x  m x m m tham số.Tìm mđểđồ thị của hàm sốđã cho tiếp xúc với đường thẳng y2mx m 1.

Bài 107. Cho hàm số yx36x29x  1 Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số  1 biết tiếp tuyến tạo với đường thẳng   :xy 1 0 một góc  cho cos 4

41

  và tiếp điểm có tọa độ nguyên

Bài 108. Cho hàm số 2 

1

x

y C

x

 

 Viết phương trình tiếp tuyến d của đồ thị hàm số  C biết tiếp tuyến tạo với d1:x1, d2:y1 một tam giác có bán kính đường trịn nội tiếp lớn nhất

3

y x  x  C Tìm đường thẳng y3 các điểm mà từđó kẻ được ba tiếp tuyến phân biệt đến đồ thị  C

Bài 110. Cho hàm số 1 

1

x

y C

x

 

  Gọi d tiếp tuyến của đồ thị hàm số  C tại điểm I0;1.Tìm

điểm M C có hồnh độ lớn 1 cho khoảng cách từ M đếnd nhỏ nhất

2

x

y C

x

 

 Viết phương trình tiếp tuyến dcủa đồ thị hàm số  C biết dcắt trục hoành ,trục tung lần lượt tại A, B cho OABcân tại O.

Bài 112. Cho hàm số 1 

1

x y C

x

 

 Tìm mđể đường thẳng ymxm cắt  C tại hai điểm phân biệt ,

(158)

3 1.

yx  x  Đường thẳng  đi qua điểm A1;3có hệ số góc k.Tìm giá trị của kđể cắt  C tại ba điểm phân biệt A, D, E.Gọi d1, d2 lần lượt tiếp tuyến của

 C tại D, E.Chứng minh rằng khoảng cách từ A đến d1, d2bằng

2

yx  x  C Tìm điểm M  C đểqua kẻđược ba tiếp tuyến đến  C

Bài 115. Cho hàm số 3 

1

x

y C

x

 

 Tìm điểm M C có hai tọa độ số hữu tỉ cho tiếp tuyến

dcủa đồ thị hàm số  C tại M cắt trục hoành ,trục tung lần lượt tại A, B cho OAB

S 

2

x

y C

x

 

 Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số  C biết tiếp tuyến

đi qua điểm A1;10 

Bài 117. Cho hàm số yx44x310x212x6  C Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số

 C biết tiếp tuyến vng góc với đường thẳng 12

x y 

1

x

y C

x

 

 Chứng minh rằng mọi tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm M C

đều tạo với hai đường thẳng d1:x1 d2:y1 một tam giác có diện tích khơng đổi

Bài 119. Cho hàm số yx48x21  C Viết phương trình tiêp tuyến của đồ thị  C biết tiếp tuyến tạo với đường thẳng : 47x43y900 một góc 45 to ạo với tia ox một góc tù

Bài 120. Cho hàm số yx3mx22 1 và đường thẳng d y: 2mxm1,trong m tham số.Tìm m để d cắt đồ thị hàm số  1 tại ba điểm phân biệt I1;1m, A, Bsao cho tiếp tuyến tại A B có hệ số góc

Bài 121. Tìm trục hịanh điểm mà từ đó có thể kẻ được ba tiếp tuyến đến đồ thị hàm số

 

3

y x  x C

Bài 122. Cho hàm số 1 

2

x

y C

x

 

 và điểm

9 ; 2

P 

  Tìm  C cặp điểm A, Bsao cho tiếp tuyến của  C tại A, Bsong song với PAB cân tại P

3

yx  x m xm Đường thẳng d đi qua điểm I1; 2 có hệ số góc bằng m cắt đồ thị hàm số  1 tại ba điểm phân biệt A, B, I. Chứng minh rằng tiếp tuyến của đồ thị hàm số  1 tại A Bsong song với

1

x y

x



 Tìm những điểm đồ thị hàm số mà tiếp tuyến tại tạo với hai

đường thẳng d1:x1,d2:y1một tam giác có chu vi bằng 2.

Bài 125. Cho hàm số yx42mx2m  1 , mlà tham số.Biết A là điểm thuộc đồ thị hàm số  1 và có hồnh độ bằng 1.Tìm mđể khoảng cách từ 3;1

4

B 

(159)

6

yx  x  C .Tìm m để đồ thị của hàm số đã cho tiếp xúc với đường thẳng ymx m

1

x

y C

x

 

 Tìm m đểđồ thị hàm số tiếp xúc với đường thẳng ymx5.

Bài 128. Hàm số

2 1

. 2

x x

y x

  

 Chứng minh rằng mọi tiếp tuyến của đồ thị hàm số đều không qua

điểm A2;3 

Bài 129. Cho hàm số  1 4  1 

3 m

y x  m x   m x C Tìm mđể trên đồ thị Cmtồn tại nhất điểm A có hồnh độ âm mà tiếp tuyến của Cmtại A vng góc với đường thẳng

2 3 0.

x y 

Bài 130. Cho hàm số 1 

2

x

y C

x

  

 Chứng minh rằng với mọi m đường thẳng d y:  x m cắt

đồ thị  C tại hai điểm phân biệt A B.Khi gọi k1, k2lần lượt hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị  C tại A B,tìm mđể tổng k1k2đạt giá trị lớn nhất

3

yx  x C Với x1, x2 hai nghiệm của phương trình y x 0.

Gọi A x y x 1;  1 , B x y x 2;  2 .Tìm đồ thị  C điểm M cho tiếp tuyến với  C tại

M cách hai điểm A B.

Bài 132. Cho hàm số      

2 m

yx  m x  m x C Tìm m đểđồ thị hàm số tiếp xúc với trục hoành

Bài 133. Cho hàm số yx33mx2m1x1 Cm.Chứng minh rằng đồ thị hàm số Cmluôn tồn tại hai điểm mà tiếp tuyến tại vng góc với đường thẳng x9y0.Tìm m để đường thẳng nối hai điểm qua điểm I0; 

Bài 134. Cho hàm số 6 1  1

3

y x m x  m x có đồ thị Cm.Tìm m để Cmcó hai

điểm M x y 1; 1và N x y 2; 2sao cho tiếp tuyến tại mỗi điểm vng góc với đường thẳng 3 6 0

x y  x1 x2 2 3.

Bài 135. Cho hàm số yx33x2m x1  1 và đường thẳng d y: 1.Tìm m để hai đồ thị hàm số

cắt tại ba điểm phân biệt C0;1 , D, E cho tiếp tuyến của đồ thị hàm số  1 tại D

và Evng góc với

Bài 136. Cho hàm số yx33m x2 1 với mlà tham số.Tìm mđể đồ thị hàm số  1 có tiếp tuyến tạo với đường thẳng d x:   y 7 0 một góc  mà cos 1 .

26

 

(160)

Chương 5: ĐẠO HÀM a)

2 4

1

x x

y x

 

 , với A1; – 4 b)

4

2

yx  x , với A0; – 1 c) yx33x1, với A1; –6 d)

2

4 4 1

x x

y

x

 



 , với A–1; 0

Bài 138. Cho hàm số:    

3

3 2

mx mx

y f x    m x Tìm m để: a) f x 0, x 

b) f x có hai nghiệm phân biệt dấu

c) Chứng minh rằng trường hợp f x có hai nghiệm (hai nghiệm có thể trùng nhau) các nghiệm thỏa mãn một hệ thức độc lập với m

Bài 139. Tìm m để:

a) ymx–x3 có y 0, x  b)

4

3

y x mx  x có y 0, x  c) yx3– 3mx24mx có y 0, x 

d) yx3– 2 m1x22m5x2 có y 0, x  e) –1 2–

3

y x  x mx có y 0, x  f) 3– 2–

3

y x mx mx có y 0, x 0; 

Bài 140. Với mỗi hàm số sau đây: ① Tìm TXĐ ② Tính y ③ Xét dấu y, chỉ y 0, y 0 khoảng, khoảng nào:

a) y–x33x1 b) – –

3

y x x  x c) 2

x y

x

 

 d)

2

2 1

x x

y x

  

 e)

2

2 2 1

x x

y

x

  



 f)

1

2

y

x

   g)

– 4

y x  x h)

4 1

yx  x  i) –

1

y x x

 

 j) y 4 –x x2 k) 3

3

y x  x  x l) yx42x23 m) y x3x25 n) y 4x2 o)

2 2 1

x x

y

x

 

 p)

2

7 12 2 3

x x

y

x x

 



  q)

2 3

y xx r)

20

y x  x

s)

2

8 9 5

x x

y x

 



 t)

1

y x

x

 

 u)

2

2 3

(161)

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM CHỦ ĐỀ 5

BÀI ĐỊNH NGHĨA VÀ Ý NGHĨA CỦA ĐẠO HÀM

Câu 1. [1D5-1] Cho hàm số f x  liên tục x0 Đạo hàm của f x  tại x0

A f x 0

B f x h f x 0

h

 

C    0

0 lim

h

f x h f x h



 

(nếu tồn tại giới hạn)

D 0

0

( ) ( ) lim

h

f x h f x h

h



  

(nếu tồn tại giới hạn)

Câu 2. [1D5-1] Cho hàm số 1 3– 3 7 2

3

y x x  x Phương trình tiếp tuyến A0; 2

A y7x2 B y7x2 C y 7x2 D y 7x2

Câu 3. [1D5-1] Cho hàm số y f x  xác định trên khoảng a b;  x0a b;  Mệnh đề nào sau

đây đúng?

A Nếu tồn tại giới hạn (hữu hạn)    

0

0 lim

x x

f x f x

x x





 giới hạn gọi đạo hàm của hàm số y f x  tại x0

B Nếu tồn tại giới hạn (hữu hạn)    

0

0 lim

x x

f x f x

x x





 giới hạn gọi đạo hàm của hàm số y f x  tại x0

C Nếu tồn tại giới hạn (hữu hạn)    

0

0 lim

x x

f x f x

x x





 giới hạn gọi đạo hàm của hàm số y f x  tại x0

D Nếu tồn tại giới hạn (hữu hạn)    

0

0 lim

x x

f x f x

x x





 giới hạn gọi đạo hàm của hàm số y f x  tại x0

Câu 4. [1D5-1] Số gia hàm số  

1

f x x  tại điểm x0 1 ứng với   x 0,1

A 1,19 B 0, 01 C 0,19 D 0, 21

Câu 5. [1D5-1] Cho hàm số y2x5 Tìm biểu thức y y

x



 tính theo x x

A y x, y

x



   

 B

10

10 , y

y x

x x



     

 

C y x 10 , y 10

x x



     

  D ,

y y x

x



   



Câu 6. [1D5-1] Tính giới hạn

sin lim x

x x



(162)

Câu 7. [1D5-1] Gọi d tiếp tuyến với đồ thị hàm số  : 21

C y x



 song song với trục hoành Tìm

hồnh độ tiếp điểm x0 của d  C

A x0 1 B x0 2 C x0  1 D x0 0

Câu 8. [1D5-1] Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số f x x32x22 tại điểm có hoành

độ x0  2

A y20x22 B y4x10 C y10x11 D y20x58

Câu 9. [1D5-1] Tiếp tuyến đồ thị hàm số

2

3 1 2 1

x x

y

x

 



 tại điểm M0; 1  có phương trình

A y x 1 B y5x1 C y x 1 D y5x1

Câu 10. [1D5-1] Trong mệnh đề sau đây, mệnh đề nào sai:

A Nếu hàm số f x  liên tục điểm x0 f x  có đạo hàm tại x0

B Nếu tiếp tuyến điểm M0x0;f x 0  của đồ thị hàm số y f x  song song với trục hoành f x0 0

C Nếu f x0 0 tồn tại tiếp tuyến tại điểm M0x0; f x 0  của đồ thị hàm số y f x  song song hoặc trùng với trục hoành

D Nếu hàm số f x  có đạo hàm tại điểm x0 và đồ thị hàm số là một đường cong  C tiếp tuyến của  C tại điểm M0x0;f x 0  có hệ số góc k  f x0

Câu 11. [1D5-1] Xét mệnh đề sau

 I Nếu hàm số y f x  có đạo hàm tại điểm x0 liên tục tại điểm đó.

 II Nếu hàm số y f x  gián đoạn tại điểm x0 khơng có đạo hàm tại điểm đó.

III Nếu hàm số y f x  liên tục tại điểm x0 khơng có đạo hàm tại điểm đó.

Trong ba mệnh đề

A Có  I ,  II đúng. B Có ba mệnh đềđúng.

C Cả ba mệnh đềđều sai D Có  I đúng.

Câu 12. [1D5-1] Giả sử u x , v x  hàm số có đạo hàm tại điểm x thuộc khoảng xác định

Trong mệnh đề sau mệnh đề nào Sai?

A u x v x     u x v x    u x v x     B    

       

 

2

u x u x v x u x v x

v x v x



    



 

 

C  

   

2

1 v x

v x v x



  , (Với v x 0) D u x v x  u x v x 

Câu 13. [1D5-2] Gọi  P là đồ thị hàm số y2x2 x 3 Phương trình tiếp tuyến với  P tại điểm mà  P cắt trục tung là

A y  x 3 B y  x 3 C y4x1 D y11x3

Câu 14. [1D5-2] Đồ thị  C của hàm số 3 1

1

x y

x

 

 cắt trục tung điểm A Tiếp tuyến  C tại

điểm A có phương trình

(163)

Câu 15. [1D5-2] Gọi  C là đồ thị hàm số yx4x Tiếp tuyến  C vng góc với đường

thẳng d x: 5y0 có phương trình

A y5x3 B y3x5 C y2x3 D y x 4

Câu 16. [1D5-2] Cho hàm số f x  hàm số trên  định  

f x x x0 Chọn câu đúng.

A f x0 x0 B f x0 x02

C f x0 2x0 D f x0 không tồn tại

Câu 17. [1D5-2] Cho hàm số f x  xác định trên 0; bởi f x  1 x

 Đạo hàm của f x  tại

0

x 

A 1

2 B 1 2

 C

2 D

1 

Câu 18. [1D5-2] Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số yx1 2 x– 2 tại điểm có hoành độ

2

x

A y–8x4 B y9x18 C y–4x4 D y9x18

Câu 19. [1D5-2] Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số yx3 –x2 tại điểm có hồnh độ

2

x

A y–3x8 B y–3x6 C y3 – 8x D y3 – 6x

Câu 20. [1D5-2] Cho hàm số yx3– 6x27x5  C Tìm  C những điểm có hệ số góc tiếp

tuyến điểm 2

A –1; –9 ; 3; –1   B 1; ; 3; –1   C 1;7 ; –3; –97   D 1; ; –1; –9  

Câu 21. [1D5-2] Tìm hệ số góc tiếp tuyến với đồ thị ytanx tại điểm có hoành độ

4

x

A k 1 B 1

2

k  C

2

k  D 2

Câu 22. [1D5-2]Cho đường cong  

:

C yx Phương trình tiếp tuyến  C tại điểm M–1;1

A y–2x1 B y2x1 C y–2 –1x D y2 – 1x

Câu 23. [1D5-2] Cho hàm số

2

x x y

x

 

 Phương trình tiếp tuyến A1; –2

A y–4x– – 2 B y–5x– 12 C y–5x– – 2 D y–3x–1 – 2

Câu 24. [1D5-2] Biểu thức y của hàm sốy x21tính theox x

A  y 0 B   y  x22x x

C  y 2x x   x22 D   y  x21

Câu 25. [1D5-2] Một vật rơi tự theo phương trình  

2

S t  gt với g9,8 m/s2 Vận tốc tức thời

của vật thời điểm t5 giây

(164)

Câu 26. [1D5-2] Một chất điểm chuyển động thẳng xác định phương trình  

2

S t t  t  t ,

trong t được tính giây và S tính bằng mét Gia tốc chuyển động t2 giây

A 12 m/s 2 B 8 m/s 2 C 9m/s 2 D 6 m/s 2

Câu 27. [1D5-2] Hệ số góc tiếp tuyến đồ thị hàm số

1

x y

x

 

 tại giao điểm với trục hoành bằng

A 9 B 1

9 C 4 D 9

Câu 28. [1D5-2] Số tiếp tuyến đường cong  

:

C yx  x  x song song với đường

thẳng:y x 28

A 0 B 1 C 2 D 3

Câu 29. [1D5-2] Tính giới hạn

0 tan lim

sin x

x x



A 3

5 B 1 C

5

3 D

1 5

Câu 30. [1D5-2] Cho hàm số ysin 2x C  Hệ số góc tiếp tuyến đồ thị  C tại điểm có hoành

độ

2

x  bằng.

A 2. B 2. C 0. D 1

Câu 31. [1D5-2] Cho hàm số yx33x1 C Có tiếp tuyến đồ thị  C song song với đường thẳng d: 9x y 150

A 2. B 1. C 0. D 3

Câu 32. [1D5-2] Cho hàm số y f x x x21 Số nghiệm phương trình f x 0

A 1. B 2. C 3. D 0

Câu 33. [1D5-2] Cho hàm số y f x  x22x f 0 có giá trị bằng

A 2 B 2

C 0 D Không tồn tại đạo hàm tại x0

Câu 34. [1D5-3] Cho hàm số

2

x y

x



 Phương trình tiếp tuyến  C cắt trục Ox, Oy lần lượt tại A B cho AB 2OA

A y x B y  x 4 C y  x 8 D y  x 8

Câu 35. [1D5-3] Điểm M trên đồ thị hàm số yx3– 3x2–1 mà tiếp tuyến có hệ số góc k bé nhất tất tiếp tuyến đồ thị thì M , k

A M1; –3, k–3 B M1;3, k–3

C M1; –3, k3 D M1; –3, k–3

Câu 36. [1D5-3] Cho hàm số

1

ax b y

x

 

 có đồ thị cắt trục tung A0; –1, tiếp tuyến A có hệ số góc k 3 Các giá trị a, b

A a1, b1 B a2, b1

(165)

Câu 37. [1D5-3] Cho hàm số

2

3

2

x x y

x

 



 và xét phương trình tiếp tuyến có hệ số góc k2 của

đồ thị hàm số là

A y2 –1;x y2 – 3x B y2 – 5;x y2 – 3x

C y2 –1;x y2 – 5x D y2 –1;x y2x5

Câu 38. [1D5-3] Cho hàm số

2

3

2

x x y

x

 



 , tiếp tuyến đồ thị hàm số vng góc với đường thẳngd: –y x 6 0

A y–3 – 3;x y–3 –11x B y–3 – 3;x y–3x11

C y–3x3; y–3 –11x D y–3 – 3;x y3 – 11x

Câu 39. [1D5-3] Tìm m để tiếp tuyến đồ thị hàm số 2 – 1 – 5

4

y m x m tại điểm có hồnh độ

–1

x vng góc với đường thẳng d: –x y– 30

A 3

4 B 1

4 C 7

16 D 9 16

Câu 40. [1D5-3] Cho hàm số 2

2

x y

x

 

 , tiếp tuyến đồ thị hàm số kẻ từ điểm –6;5

A y– – 1x ; 1 7 4 2

y x B y– – 1x ; 1 7 4 2

y x

C y–x1 ; 1 7 4 2

y x D y–x1 ; 1 7

4 2

y x

Câu 41. [1D5-3] Tiếp tuyến kẻ từ điểm 2;3 tới đồ thị hàm số 3 4

1

x y

x

 



A y 28x59 ; y x 1 B y–24x51; y x 1

C y 28x59 D y 28x59; y 24x51

Câu 42. [1D5-3] Cho hàm số  C :yx33mx2m1xm Gọi A là giao điểm đồ thị hàm số

với trục tung Khi giá trị m để tiếp tuyến đồ thị hàm số A vng góc với đường

thẳng y2x3

A

 B 1 C 3. D

2 

Câu 43. [1D5-3] Một viên đạn bắn lên trời từ vị trí cách mặt đất 1000 m theo phương thẳng đứng với vận tốc ban đầu v0 245 m/s (bỏ qua sức cản khơng khí) Tại thời điểm viên đạn đạt độ cao lớn cách mặt đất bao nhiêu mét?

A 3062, m  B 4062, m 

C 3461 m  D 4026, m 

Câu 44. [1D5-4] Có giá trị nguyên của tham số m để đồ thị hàm số 4 3

y x  x tiếp xúc

với đường thẳng ymx1?

(166)

Câu 45. [1D5-4] Cho hàm số

 

1 2 1

x y

x

 

 có đồ thị là  C Gọi điểm M x y 0; 0 với x0  1 là điểm thuộc  C ,biết tiếp tuyến của  C tại điểm M cắt trục hoành, trục tung hai điểm

phân biệt A B, và tam giác OAB có trọng tâm G nằm đường thẳng d: 4xy0 Hỏi giá

trị x02y0 bằng bao nhiêu?

A

2

 B 1 C 5

2 D

5 

Câu 46. [1D5-4] Cho hàm số y f x , yg x ,  

 

3

f x y

g x

 

 Hệ số góc tiếp tuyến

các đồ thị hàm số đã cho tại điểm có hoành độ x1 bằng và khác 0 Khẳng định nào

dưới là khẳng định đúng?

A  1 11

f   B  1 11

f  C  1 11

f   D  1 11

f 

Câu 47. [1D5-4] Cho hàm số

2

x mx m y

x m

 



 Giá trị m để đồ thị hàm số cắt trục Ox tại hai điểm và tiếp tuyến đồ thị hai điểm vng góc là

A 3 B 4 C 5 D 7

BÀI QUI TẮC TÍNH ĐẠO HÀM

Câu 48. [1D5-1]Đạo hàm cấp một hàm số y1x35

A y 5 1 x34 B y  15x21x35 C y  3 1 x34 D y  5x21x34

Câu 49. [1D5-1]Đạo hàm của hàm số f x x214 tại điểm x 1

A 32 B 30 C 64 D 12

Câu 50. [1D5-1] Hàm số 2 1

1

x y

x

 

 có đạo hàm

A y 2 B

 2

1

y

x

   

C

 2

3

y

x

   

D

 2

1

y x

  

Câu 51. [1D5-1] Cho hàm số y x33x2 9x5 Phương trình y 0 có nghiệm là

A 1; 2 B 1;3 C 0;  D  1;

Câu 52. [1D5-1] Cho hàm số f x  xác định trên  bởi f x 2x21 Giá trị f  1 bằng

A 2 B 6 C 4 D 3

Câu 53. [1D5-1] Cho hàm số f x  xác định trên \ 1 bởi   2

1

x f x

x



 Giá trị f  1 bằng

A 1

2 B 1 2

 C 2 D Không tồn tại

Câu 54. [1D5-1] Cho hàm số f x  xác định trên  bởi f x ax b , với a, b hai số thực đã cho Chọn câu đúng:

(167)

Câu 55. [1D5-1]Tính đạo hàm của hàm số

3

2

yx  x  x

A 4 2

y  x  x  B

y  x  x C

y  x  x D

y  x  x

Câu 56. [1D5-1]Tính đạo hàm của hàm số

3

x y

x

 



A

 2

7

y

x

   

B

 2

4

3

x y

x

  



C

 2

5

y

x

   

D

 2

4

3

x y

x

   



Câu 57. [1D5-1] Tính đạo hàm của hàm số yx32x210

A y 10 3 x24x9 B y 10 3 x22xx32x29

C y 10 3 x24xx32x29 D y 10x32x29

Câu 58. [1D5-1]Tính đạo hàm của hàm số yax3bx2cxd, (Với a b c d, , ,  a0)

A

3

y  ax bx c B

y ax bx c

C

3 2

y  ax  bx c D

y ax bx d

Câu 59. [1D5-2] Cho hàm số

2

x y

x x

 

 đạo hàm của hàm số x1

A y 1  4 B y 1  5 C y 1  3 D y 1  2

Câu 60. [1D5-2] Cho hàm số

2

x y

x



  

0

y bằng

A  0 1 2

y  B  0 1

3

y  C y 0 1 D y 0 2

Câu 61. [1D5-2] Cho hàm số f x  xác định trên  bởi f x  x2 Giá trị f 0 bằng

A 0 B 2 C 1 D Không tồn tại

Câu 62. [1D5-2] Hàm số  

2 2 1

x y

x

 

 có đạo hàm

A

 

2 1

2x x y

x

   

 B  

2 2 1

x x y

x

  

 C y  2x2 D  

2 2 1

x x y

x

  



Câu 63. [1D5-3] Cho hàm số

2 1

1

x y

x

  

   

 

Đạo hàm của hàm số f x 

A    

 3

2 1

x f x

x

 

 



B    

 3

2 1

x f x

x x

 

 



C    

 2

2 1

x f x

x x



 



D    

2 1

x f x

x



 

(168)

Câu 64. [1D5-3] Cho hàm số f x  xác định trên  bởi  

f x  x Giá trị f  8 bằng

A 1

12 B 1 12

 C 1

6 D 1 6 

Câu 65. [1D5-2] Cho hàm số f x  xác định  

2

khi

1

0

x

x f x x

x

 

 

 

   

Giá trị f 0 bằng

A 0 B 1 C 1

2 D Không tồn tại

Câu 66. [1D5-2] Cho hàm số f x xác định trên  bởi  

2

f x   x  x Hàm số có đạo hàm f x

bằng

A 4x3 B 4x3 C 4x3 D 4x3

Câu 67. [1D5-2] Cho hàm số f x xác định trên D0; cho bởi f x x x có đạo hàm

A   1

2

f x  x B   3

2

f x  x C  

2

x f x

x

  D  

2

x f x x

Câu 68. [1D5-2] Hàm số  

2 1

f x x

x

 

  

 

xác định trên D0; Có đạo hàm của f x là

A f  x x 1 2

x

    B f  x x 12 x

   C f  x x

x

   D f  x 1 12

x

  

Câu 69. [1D5-2] Hàm số  

3 1

f x x

x

 

  

 

xác định trên D0; Đạo hàm của hàm f x 

A   3 1 1 21

2

f x x

x x x x x

 

      

 

B   3 1 1 21

2

f x x

x x x x x

 

      

 

C  

2

3 1 1 1

2

f x x

x x x x x

 

      

 

D f  x x x x x x x

    

Câu 70. [1D5-2] Cho hàm số  

4

f x  x  x  x  x xác định trên  Giá trị f  1 bằng

A 4 B 14 C 15 D 24

Câu 71. [1D5-2] Cho hàm số   2 1

1

x f x

x

 

 xác định \ 1  Đạo hàm của hàm số f x 

A  

 2

2

f x x

 

 B    2

1

f x x

 

 C    2

1

f x x

 

 D    2

1

f x x



 



Câu 72. [1D5-2] Cho hàm số  

3 1

f x

x

   xác định \ 0  Đạo hàm của hàm số f x 

A   1 . 3

f x   x x B   1

. 3

f x  x x C  

3

f x

x x

   D  

3

1

f x

x x

  

Câu 73. [1D5-3] Cho hàm số  

f x k x x (k) Để  1 3 2

f  ta chọn:

A k1 B k 3 C k3 D 9

2

(169)

Câu 74. [1D5-2]Đạo hàm của 2

2

y

x x



  kết sau đây?

A

2

y x

 

 B  2

2 2 x y x x      

C

 2

2 2 x y x x     

D 22

2 x y x x      

Câu 75. [1D5-2]Tính đạo hàm của hàm số 2 1

2 x y x    A

 2

5 2 x y x x     

 B  2

1

2 2

x y x x       

C 1 2

2 2 1

x y

x

   

 D  2

1

2 2

x y x x        .`

Câu 76. [1D5-3] Cho hàm số  

f x k x x (k) Để  1 3 2

f  ta chọn:

A k 1 B k  3 C k 3 D 9

2

k

Câu 77. [1D5-3] Với  

2 x x f x x   

 Thì f  1 bằng

A 1 B 3 C 5 D 0

Câu 78. [1D5-3] Cho hàm số  

2

x y f x

x

 



Tính y 0 bằng

A  0 1 2

y  B  0 1

3

y  C y 0 1 D y 0 2

Câu 79. [1D5-3] Cho hàm số

2 x x y x  

 , đạo hàm của hàm số x1

A y 1  4 B y 1  3 C y 1  2 D y 1  5

Câu 80. [1D5-3]Đạo hàm của hàm số  

2 1

y x x x là

A 2 4 1 2 2 x

y x x

x x



   



B

2

2 4 1

2 x

y x x

x x       C 2 4 1 2 2 x

y x x

x x



   



D

2 2 4 1 2 2 x

y x x

x x



   



Câu 81. [1D5-3]Đạo hàm của hàm số 1

1 1

y

x x



   là

A

 2

1 1 1 y x x      

B 1

2 1 2 1

y

x x

 

  

C 1 1

4 1 4 1

y

x x

  

  D

1 1

2 1 2 1

y

x x

  

 

Câu 82. [1D5-3] Cho hàm số f x  5x214x9 Tập hợp giá trị x để f x 0

(170)

Câu 83. [1D5-3] Cho hàm số

2

x x m

y x

  

 Tìm m để phương trình y 2 có hai nghiệm phân biệt.

A m2 m 2 B m 2 C m 2 D m 2

Câu 84. [1D5-3] Cho hàm số  

2

3 2 1 2 2

x m x m

y

x

   



 Tìm giá trị m để y 0 với x thuộc tập xác định.

A

8

m B

8

m C

8

m D

8

m

Câu 85. [1D5-3] Cho hàm số  

2

3

2 2 1 3

m m

y  x  mx  x m Với giá trị nào của m 0

y   x ?

A  1 m0 B

3 m

   C

3 m

   D

3 m

  

Câu 86. [1D5-4] Cho hàm số 3 1

3

m

y x mx  m x Có giá trị nguyên của tham số

m thuộc 2018; 2018 để y 0, x 

A 2019 B 2018 C 2017 D 2016

Câu 87. [1D5-4] Cho hàm số y f x  liên tục, có đạo hàm  và đồ thị  C của qua điểm A0; 15, B1; 13 Biết f x một đa thức bậc bốn và có bảng xét dấu là

x  1 0 

 

f x     Hỏi điểm số bốn điểm thuộc  C ?

A Q2; 1 B M2; 71 C N2; 41 D P2; 41

Câu 88. [1D5-4] Cho hàm số y x33x24 có đồ thị là  C Hai đường thẳng d1, d2 có hệ số góc

âm, song song với và lần lượt tiếp xúc với  C tại x1, x2 Khẳng định sau đúng?

A 0 x12x22 4 B 4 x12x22 6 C 6 x12x22 8 D 8 x12x22 16

Câu 89. [1D5-4] Cho hàm số yx33m1x29xm Tìm m để phương trình y 0 có nghiệm

phân biệt x1, x2 thỏa mãn điều kiện x1x2 2

A m    3; 1 3   1 3;1. B m    3; 1 3   1 3;1.

C m   1 3; 1  3. D m    3; 1 3.

BÀI 3 ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐLƯỢNG GIÁC

Câu 90. [1D5-1] Trong mệnh đề sau mệnh đề đúng?

A sinu cosu, (với uu x ) B cosu sinu, (với uu x )

C tan  2 cos

u u

u



  , (với uu x ) D cot  2 sin

u u

u



(171)

Câu 91. [1D5-1] Hàm số ysinx có đạo hàm

A y cosx B y  cosx C y  sinx D 1

cos

y

x

 

Câu 92. [1D5-1] Hàm số ycosx có đạo hàm

A y sinx B y  sinx C y  cosx D 1

sin

y

x

 

Câu 93. [1D5-1] Hàm số ytanx có đạo hàm

A y cotx B 12

cos

y

x

  C 12

sin

y

x

  D y  1 tan2 x

Câu 94. [1D5-1] Hàm sốycotx có đạo hàm

A y  tanx B 12

cos

y

x

   C 12

sin

y

x

   D y  1 cot2 x

Câu 95. [1D5-1] Hàm số 11 tan 2

2

y  x có đạo hàm

A y  1 tanx B y 1 tan x2

C y 1 tan x1 tan 2x D y  1 tan2x

Câu 96. [1D5-1]Tính đạo hàm của hàm số y5sinx3cosx

A y  5sinx3cosx B y  5sinx3cosx

C y 5 cosx3sinx D y 5 cosx3sinx

Câu 97. [1D5-1]Tính đạo hàm của hàm số ycos 2x1

A sin 2 1

2 2 1

x y

x

   

 B

sin 2 1 2 1

x y

x

  

 C

sin 2 1 2 1

x y

x

   

 D y  sin 2x1

Câu 98. [1D5-1]Tính đạo hàm của hàm số ysin 2x

A y 2 sin 2 x B y cos 2x C y 2 cos 2 x D y 2 cos 2x

Câu 99. [1D5-2] Cho hàm số   3sin2 2

4

f x   x 

  Giá trị lớn và nhỏ f  x

 lần lượt là

A 1; 1. B 12; 12. C 6; 6. D 6 ; 6.

Câu 100. [1D5-2]Đạo hàm của hàm số tan

2

x y  là

A

2 1

1 2 cos

2

y

x

 

 B

1 1 cos

2

y

x

 

 C

1 1 2 cos

2

y

x

  

 D

1 1 cos

2

y

x

  



Câu 101. [1D5-2] Cho hàm sốysinx cosx Tìm nghiệm phương trình y 0.

A , 

3

x k k B , 

x k k

C , 

x k  k D , 

(172)

Câu 102. [1D5-2]Tính đạo hàm của hàm số  

sin 3 2

y x  x

A y cosx23x2 B y 2x3 sin x23x2

C y 2x3 cos x23x2 D y  2x3 cos x23x2

Câu 103. [1D5-2]Đạo hàm của hàm số sin 2

2

y   x

 

A 2 sin 2x B cos 2

2 x



 



 

  C 2sin 2x D 2 cos 2 2x



 



 

 

Câu 104. [1D5-2] Hàm số sau có đạo hàm hàm số ycos 2xsinx?

A ysin 2xcosx B 1sin cos

y x x

C ysin 2xcosx D 1sin cos

y x x

Câu 105. [1D5-2] Cho hàm số y f x sinxcosx 2x Nghiệm dương nhỏ phương trình

 

f x 

A 5

4



B  

4

x  k  k

C

4

x  D 11

4

x 

Câu 106. [1D5-2] Hàm số y sinx x

 có đạo hàm

A y xcosx2 sinx x



  B y xcosx2 sinx x



  C y xsinx2 cosx x



  D y xsinx2cosx x



 

Câu 107. [1D5-2] Hàm số yx2.cosx có đạo hàm

A y 2 cosx xx2sinx B y 2 cosx xx2sinx

C y 2 sinx xx2cosx D y 2 sinx xx2cosx

Câu 108. [1D5-2] Hàm số ytanxcotx có đạo hàm

A 12

cos 2

y

x

  B 42

sin 2

y

x

  C 42

cos 2

y

x

  D 12

sin 2

y

x

 

Câu 109. [1D5-3] Hàm số y2 sinx2 cosx có đạo hàm

A 1

sin cos

y

x x

   B 1

sin cos

y

x x

  

C cos sin

sin cos

x x y

x x

   D cos sin

sin cos

x x y

x x

  

Câu 110. [1D5-3] Hàm số  

 

2 cos

y f x

x



  có f 3 bằng

A 2 B 8

3



C 4

(173)

Câu 111. [1D5-3] Hàm số tan2 2

x

y có đạo hàm

A

3 sin

2 cos

2

x y

x

  B

3 2 sin

2 cos

2

x y

x

  C

3 sin

2 2 cos

2

x y

x

  D tan3

2

x y   

 

Câu 112. [1D5-3] Hàm số y cot 2x có đạo hàm

A

2 1 cot 2

cot 2

x y

x



  B  

2 1 cot 2

cot 2

x y

x

 

  C

2 1 tan 2

cot 2

x y

x



  D  

2 1 tan 2

cot 2

x y

x

 

 

Câu 113. [1D5-3] Cho hàm số ycos sin 2x x Tính

y  

  bằng

A

3

y  

  B y



   

  C

1

3

y  

  D

1

3

y   

Câu 114. [1D5-3] Cho hàm số cos 2

1 sin

x y

x



 Tính y



   

  b

ằng

A

6

y   

B

y    

C

y   

D

y    

Câu 115. [1D5-3] Xét hàm số  

cos

f x  x Chọn đáp án sai:

A

2

f  

  B  

2 sin cos

x f x

x



 

C

2

f 

  D

2

3.y y.  2 sin 2x0

Câu 116. [1D5-3] Cho hàm số y f x sin xcos x Giá trị

2

16

f 

 

bằng

A 0 B 2 C 2

 D

2



Câu 117. [1D5-3] Cho hàm số y f x  tanxcotx Giá trị

4

f  

  bằng

A 2 B

2 C 0 D

1 2

Câu 118. [1D5-3] Cho hàm số  

sin

y f x

x

  Giá trị

2

f   

  bằng

A 1 B 1

2 C 0 D Không tồn tại

Câu 119. [1D5-3] Xét hàm số   sin

6

y f x    x

  Tính giá trị f



    

  bằng

A 1 B 0 C 2 D 2

Câu 120. [1D5-3] Cho hàm số   tan

3

y f x  x  

(174)

Câu 121. [1D5-3] Cho hàm số y f x 2sin x Đạo hàm của hàm số y

A y 2 cos x B y cos x

x

  C y x.cos

x

  D

.cos

y

x x

 

Câu 122. [1D5-3] Cho hàm số cos

1 sin

x y

x



 Tính y



   

  bằng

A

6

y 

  B y



    

  C y



   

  D y



    

 

Câu 123. [1D5-3] Hàm số ysin2x.cosx có đạo hàm

A y sinx3cos2x1 B y sinx3cos2x1

C y sinxcos2x1 D y sinxcos2x1

Câu 124. [1D5-3]Đạo hàm của hàm số cot2cos  sin

2

y x  x là

A  

 

2

1 cos

2 cot cos

sin cos

2 sin

x

y x

x

x 

   



B  

 

2

1 cos

2 cot cos sin

sin cos

2 sin

x

y x x

x

x 

  



C  

 

2

1 cos

2 cot cos

sin cos

sin

x

y x

x

x 

   



D  

 

2

1 cos

2 cot cos sin

sin cos

sin

x

y x x

x

x 

  



Câu 125. [1D5-4] Cho hàm số f x sin 2x2 2  mcos 2x2mx1 Với giá trị nào của tham số

mthì phương trình f x 0 có nghiệm

A m B m  1;1

C ;1 5; 2 6

m   

    D

1 ; 3

m   

Câu 126. [1D5-4] Cho hàm số f x mcosx2 sinx3x1, tìm tất giá trị tham số m để phương trình f x 0 có nghiệm.

A m  5 hoặc m 5 B  5m 5

C m  5 D m 5

Câu 127. [1D5-4] Cho hàm số   2

sin tan 3cos

f x  x x x g x 4 sin2xtan2x Khi đó:

A f x g x sin 2x B f x g x 3

C f x g x 1 D f x g x 0

Câu 128. [1D5-4] Cho hàm số y cosx, x

x

  Chọn đẳng thức đúng.

A y x 2ycosx0 B y x 2ycosx0

(175)

BÀI VI PHÂN

Câu 129. [1D5-1] Cho hàm số y f x   x12 Biểu thức sau vi phân hàm số f x ?

A dy2x1 d x B dyx1 d2 x C dy2x1 D dy2x1 d x

Câu 130. [1D5-1] Cho hàm số yx35x6 Vi phân của hàm số là

A dy3x25 d x B dy 3x25 d x C dy3x25 d x D dy3x2 5 d x

Câu 131. [1D5-1] Cho hàm số 2

1

x y

x

 

 Vi phân của hàm số là

A

 2

d d

1

x y

x



 B  2

3d d

1

x y

x



 C  2

3d d

1

x y

x

 

 D  2

d d

1

x y

x

 



Câu 132. [1D5-1] Cho hàm số

2

1

x x y

x

  

 Vi phân của hàm số là

A

 

2 2 2

d d

1

x x

y x

x

 

  

B

 2

2

d d

1

x

y x

x

 



C

 2

2

d d

1

x

y x

x

  



D

 

2 2 2

d d

1

x x

y x

x

 

 

Câu 133. [1D5-1] Cho hàm số yx39x212x5 Vi phân của hàm số là

A dy3x218x12 d x B dy  3x218x12 d x

C dy 3x218x12 d x D dy  3x218x12 d x

Câu 134. [1D5-1] Tìm vi phân của hàm số y x33x22x4

A dy3x26x2 d x B dy3x26x2dx

C dy  3x26x2 d x D dyx23x2 d x

Câu 135. [1D5-1] Vi phân của hàm số ycosx

A dycos dx x B dy cos dx x C dy sin dx x D dysin dx x

Câu 136. [1D5-2] Cho hàm số 13

3

y x

 Vi phân của hàm số là

A d 1d 4

y x B dy 14 dx

x

 C dy 14 dx

x

  D dyx x4d

Câu 137. [1D5-2] Cho hàm số ysinx3cosx Vi phân của hàm số là

A dy  cosx3sinxdx B dy  cosx3sinxdx

C dycosx3sinxdx D dy cosx3sinxdx

Câu 138. [1D5-2] Cho hàm số ysin2x Vi phân của hàm số là

A dy– sin dx x B dysin dx x C dysin dx x D dy2cos dx x

Câu 139. [1D5-2] Hàm số yxsinxcosx có vi phân

A dyxcos – sinx xdx B dyxcosxdx

(176)

Câu 140. [1D5-2] Hàm số 2

1

y x

x



 Có vi phân

A

 

2 d 1 d

1 x y x x   

B

 

1 d

2

dy x x

x



 C  

2 1

1 dy x dx

x

 

 D  2

1

dy dx

x

 

Câu 141. [1D5-2] Cho hàm số y5sin 2x vi phân của hàm số

3

x

A dy5dx B dy10 cos dx x C dy 10 cos dx x D dy 5dx

Câu 142. [1D5-2] Cho hàm số

1 x y x  

 , vi phân của hàm số x 3

A d 1d

y x B dy7dx C d 1d

y  x D dy 7dx

Câu 143. [1D5-2] Cho hàm số ysin sin x vi phân của hàm số x

A dycos sin xdx B dysin cos xdx

C dycos sin x.cos dx x D dycos sin x.sin dx x

Câu 144. [1D5-2] Cho hàm số ytan x vi phân của hàm số x

A d 1 d

2 .cos

y x

x x

 B d 1 2 d

2 .cos y x x x  C 1 d d 2 .cos y x x x

 D d 1 d

2 .cos

y x

x x



Câu 145. [1D5-2] Cho hàm số

cos 2

y x vi phân của hàm số x

A dy4 cos sin dx x x B dy2 cos sin dx x x

C dy 4 cos sin dx x x D dy 2 cos sin dx x x

Câu 146. [1D5-2] Cho hàm số

2 1 1 x y x  

 vi phân của hàm số x

A

 22 4 d d 1 y x x   

B

 22 4 d d 1 x y x x   

C

 22 d d 1 x y x   

D d 42 d y x x   

Câu 147. [1D5-2] Cho hàm số  

2

khi

2

x x x f x x x       

Kết đúng?

A    

0

0 lim 0 x

f x x

 



    B  

2

0

0 lim lim 1 1

x x x x f x x            

C  

0

0 lim 2 0 x

f x

 



   D df 0  dx

Câu 148. [1D5-2] Cho hàm số   sin khi 0

khi 0 x x f x x x      

Khẳng định là sai?

A f 0 1 B f 0 1

C df  0 dx D Hàm số khơng có vi phân tại x0

Câu 149. [1D5-2] Hàm số

2 1 1 x x y x   

 có vi phân

A   2 2 2 d d 1 x x y x x    

 B  2

2 d d x y x x  

 C  2

2 d d x y x x   

 D  

(177)

Câu 150. [1D5-2] Hàm số 2 x y x 

 có vi phân

A   2 1 d d 1 x y x x   

B

  d d x y x x 

 C  

2 1 d d 1 x y x x  

 D  2

1 d d 1 y x x  

Câu 151. [1D5-2] Vi phân của hàm số y x25x bằng biểu thức sau đây?

A 1 d d 2 5 y x x x  

B

2 2 5 d d 5 x y x x x    C 2 5 d d 2 5 x y x x x    

D

2 2 5 d d 2 5 x y x x x   

Câu 152. [1D5-2] Biểu thứcnào sau vi phân hàm số 2

1 x y x   ? A   2 3 1 d 1 x x x  

B

  2 1 d 1 x x x   

C

2 1 d 1 x x x  

 D  

2 2 1 1 x x   

Câu 153. [1D5-3] Vi phân của hàm số y tan x x

 là

A d 2 2 d 4 cos

x

y x

x x x

 B  2

sin

d d

4 cos

x

y x

x x x



C  

2

2 sin

d d

4 cos

x x

y x

x x x



 D  

2

2 sin

d d

4 cos

x x

y x

x x x



 

Câu 154. [1D5-3] Xét hàm số y f x  1 cos 2 x Chọn câu đúng:

A  

2 sin

d d

2 cos

x

f x x

x

 



B  

2 sin

d d

1 cos

x

f x x

x

 



C  

2 cos

d d

1 cos

x

f x x

x

 

D  

2 sin

d d

2 cos

x

f x x

x

 



Câu 155. [1D5-4] Tính  

 

d sin d cos

x x

A cotx B tanx C cotx D tanx

BÀI ĐẠO HÀM CẤP CAO

Câu 156. [1D5-1] Hàm số

2

x y

x



 có đạo hàm cấp hai

A y 0 B

 2

1

y x

 

 C  2

4

y

x

  

 D  3

4 y x   

Câu 157. [1D5-1] Hàm số yx2 13 có đạo hàm cấp ba

A y  12x2  1 B y  24x2 1

(178)

Câu 158. [1D5-1] Cho hàm số f x   x13 Giá trị f 0 bằng

A 3 B 6 C 12 D 24

Câu 159. [1D5-2] Hàm số y 2x5 có đạo hàm cấp hai bằng

A

 

1

2 5 2 5

y

x x

 

  B

1 y x    C   1

2 5 2 5

y

x x

  

  D

1 y x    

Câu 160. [1D5-2] Hàm số

2 1 x x y x   

 có đạo hàm cấp 5 bằng

A  

  120 y x  

 B

    5 120 y x 

 C

    5 1 y x 

 D

    5 1 y x   

Câu 161. [1D5-2] Hàm số yx x21 có đạo hàm cấp 2 bằng

A   2 1 x x y x x      

B

2 2 1 1 x y x     C   2 1 x x y x x     

D

2 2 1 1 x y x     

Câu 162. [1D5-2] Hàm số y2x55 có đạo hàm cấp 3 bằng

A y 80 2 x53 B y 480 2 x52

C y  480 2 x52 D y  80 2 x53

Câu 163. [1D5-2] Hàm số ytanx có đạo hàm cấp 2 bằng

A 2 sin3

cos

x y

x

   B 12

cos

y

x

  C 12

cos

y

x

   D 2sin3

cos

x y

x

 

Câu 164. [1D5-2] Cho hàm số ysinx Chọn câu sai

A sin

y  x 

  B y sinx 

   C sin

2

y  x     D

 

4

sin

y  x

Câu 165. [1D5-2] Hàm số

2 x x y x   

 có đạo hàm cấp 2 bằng

A

 2

1 y x   

 B  3

2

y

x

 

 C  3

2 y x   

 D  4

2 y x   

Câu 166. [1D5-2] Hàm số   cos

3

y f x   x 

  Phương trình

 

4

8

f x   có nghiệm 0;

x  

 

A

2

x B x0

6

x C x0 3

x D x0 2

x

Câu 167. [1D5-2] Cho hàm số ysin2x Chọn khẳng định đúng.

A 4yy0 B 4yy0

(179)

Câu 168. [1D5-2] Cho hàm số y f x  1 x

   Xét hai mệnh đề:

   

2 :

I y f x

x

    II :y f  x 64

x

    Mệnh đềnào đúng?

A Chỉ  I đúng. B Chỉ  II đúng. C Cảhai đúng. D Cảhai đều sai

Câu 169. [1D5-2] Nếu   2sin3

cos

x

f x

x

  f x  bằng

A 1

cosx B

1 cosx

 C cotx D tanx

Câu 170. [1D5-2] Cho hàm số  

2

x x y f x

x

  

 

 Xét hai mệnh đề:

 I :y f x 2 0,

(x 1) x

     

  II :y f x

0,

(x 1) x

   



Mệnh đềnào đúng?

A Chỉ  I đúng. B Chỉ  II đúng. C Cảhai đúng. D Cảhai đều sai

Câu 171. [1D5-2] Cho hàm số  

sin

f x  xx Giá trị

2

f   

  bằng

A 0 B 1 C 2 D 5

Câu 172. [1D5-2] Cho hàm số f x 5x134x1 Tập nghiệm của phương trình f x 0

A 1; 2 B ;0 C  1 D 

Câu 173. [1D5-2] Cho hàm số 1

3

y x



 Khi đó:

A  1 3 8

y  B  1 1

8

y  C  1 3

8

y   D  1 1

4

y  

Câu 174. [1D5-2] Cho hàm số yax b 5 với a, b tham số Khi đó:

A y 10  1 0 B y 10  1 10a b C y 10  1 5a D y 10  1 10a

Câu 175. [1D5-2] Cho hàm số ysin 22 x Tính  4

y  

  bằng

A 64 B 64 C 64 D 64 3

Câu 176. [1D5-2] Nếu f x sin3xx2

2

f      bằng

A 0 B 1 C 2 D 5

Câu 177. [1D5-2] Cho hàm số

1

y x



 Đạo hàm cấp hai y của hàm sốđã cho

A

 4

2

y x

 

 B  3

2

y x

 

 C  3

2

y x

  

 D  4

2

y x

  



Câu 178. [1D5-2] Cho hàm số ycos2x Đạo hàm cấp hai y bằng

(180)

Câu 179. [1D5-2] Cho hàm số f x   x14 Giá trị của f 2 bằng

A 27 B 81 C 96 D 108

Câu 180. [1D5-2] Cho hàm số ysin3x Giá trị biểu thức M  y9y bằng

A sinx B 6 sinx C 6 cosx D 6sinx

Câu 181. [1D5-2] Cho hàm số yAsinx Tính M  y2y

A M 1 B M  1 C M cos2x4 D M 0

Câu 182. [1D5-2] Cho hàm số

2

x y

x

 

 Tính y

A

 3

2

y x

 

 B  3

2

y x



 C  4

2

y x

 

 D  4

2

y x





Câu 183. [1D5-2] Cho yxsinx Tính y

A y2 sinxxcosx B y2 cosxxsinx C ysinxxcosx D ycos + sinx x x

Câu 184. [1D5-2] Cho ycos2x Tính y

A y sin 2x B ysin 2x C y 2cos2x D y2cos2x

Câu 185. [1D5-2] Cho yax3bx2 cxd Tính y

A 3 2

y ax  bxc B

3 2

y ax  bx c C y6ax2b D y 6ax2b

Câu 186. [1D5-2] Cho f x   x106 Giá trị của f 2 bằng

A 622080 B 1492992 C 124416 D 103680

Câu 187. [1D5-2] Cho f x sin 3x Giá trị của

2

f   

 

bằng

A 9 B 0 C 9 D 3

Câu 188. [1D5-2] Cho f x sin 3x Giá trị của f 0 bằng

A 0 B 3 C 3 D 1

Câu 189. [1D5-2]Tính đạo hàm cấp hai của hàm số f x x3x21 tại điểm x2

A f 2 14 B f 2 1 C f 2 10 D f 2 28

Câu 190. [1D5-2] Tìm đạo hàm cấp hai của hàm số ytanx

A 14

cos

y

x

   B y 2 tanx

C 23

cos

y

x

   D  

2 tan tan

y  x  x

Câu 191. [1D5-2]Đạo hàm cấp hai của hàm số

2

x y

x

 



A

 3

6

y x

  

B

 4

6

y x

  



C

 3

6

y x

  



D

 4

6

y x

  

Câu 192. [1D5-2] Tính đạo hàm cấp hai của hàm số ysin 2x, biết đạo hàm cấp một của hàm số cos

y  x

A y  4 sin 2x B y 4 sin 2x C y  4 cos 2x D y 4 cos 2x

Câu 193. [1D5-2] Tính đạo hàm cấp hai của hàm số y2xcosx, biết đạo hàm cấp một của hàm số sin

y   x

(181)

Câu 194. [1D5-2] Cho hàm sốycos2x Đạo hàm cấp hai y bằng

A y  2 cos 2x B y  4 cos 2x C y 2 cos 2x D y  2sinx

Câu 195. [1D5-2] Cho hàm số

1

x y

x

 

 Giải bất phương trình y 0

A x1 B x1 C x1 D vô nghiệm

Câu 196. [1D5-2] Cho hàm số yx.sinx Đẳng thức sau đúng?

A y y 2 cosx B y y x1 sin x

C y y2 cosx D y   y 2 cosx

Câu 197. [1D5-2] Cho hàm số  

1

x y f x

x



 

 Phương trình f x  f x 0 có nghiệm

A

2

x  B

2

x C

2

x D

2

x 

Câu 198. [1D5-2] Cho hàm số ysin 22 x giá trị của biểu thức 1 2  2

4 64

M  y  y bằng

A 1 B 1. C 4 D 3

Câu 199. [1D5-3] Cho hàm số

3

x y

x

 

 Giá trị biểu thức    

2

M  y  y y bằng

A M 0 B M 1 C

4

M x



 D  2

2

x M

x





Câu 200. [1D5-3] Cho hàm số y 2xx2 Giá trị biểu thức M  y y3. 1 bằng

A 2 B 0 C 1 D

2 1 2xx

Câu 201. [1D5-3] Cho hàm số

1

y x  x Giá trị biểu thức y22 y y bằng

A 0 B 2 C 1 D 1

Câu 202. [1D5-3] Cho hàm số yxsin x Giá trị biểu thức xy2ysinxxy bằng

A 1 B 0 C 2 D sinx

Câu 203. [1D5-3] Cho hàm số yx.tanx Tính  2 

2

M x y x y y

A

2 cos

x

x B 1 C

2

tan

x  x D 0

Câu 204. [1D5-3] Cho chuyển động thẳng xác định bởi phương trình

3 2017

St  t  t (t tính bằng giây S tính bằng mét) Tính gia tốc t 3s

A 15 m/s 2 B 9 m/s 2 C 12 m/s 2 D 6 m/s 2

Câu 205. [1D5-3] Cho hàm số ysin 2xcos2x Giải phương trình y 0

A ,

4

x  k  k B ,

8

x k k

C ,

x k  k D ,

(182)

Câu 206. [1D5-3] Cho hàm số y3x55x43x2 Giải bất phương trình y 0

A x  ;1 \ 0   B x1; C x  1;1 D x  2; 2

Câu 207. [1D5-3] Cho hàm số  

2 4 cos

2

x

y m  x Tìm m cho y"0 với mọi x

A m3 B m2 C m3 D m3

Câu 208. [1D5-3] Cho hàm số y2m x 42x32mx22m1 Tìm m để phương trình y 0 có hai nghiệm phân biệt

A ;1 3; \ 2 

2

m   

    B  

3

; ; \

2

m   

   

C ;3 1; \ 2 

2

m    

    D  

1

; ; \

2

m   

   

Câu 209. [1D5-3] Cho hàm số

1

x y

x

 

 Giải bất phương trình y 0

A x1 B x1 C x1 D vô nghiệm.

Câu 210. [1D5-3] Cho hàm số

 3

1

y x



 Giải bất phương trình y 0

A x 1 B x 1 C x1 D vô nghiệm.

Câu 211. [1D5-3] Cho hàm số 2

1

x y

x

 

 Giải phương trình y 0

A x1; x 1 3 B x1; x  2 3

C x1; x  1 3 D x1; x  3 3

Câu 212. [1D5-3]Đạo hàm cấp 2018 của hàm số ycosx

A sinx B sinx C cosx D cosx

Câu 213. [1D5-3] Giả sử h x 5x134x1 Tập nghiệm của phương trình h x 0

A 1; 2 B ;0 C  1 D 

Câu 214. [1D5-3] Tính gia tốc tức thời của chuyển động S  f t t33t27t2 tại thời điểm t0 2 bằng

A 6 B 7 C 7 D 6

Câu 215. [1D5-3] Tính gia tốc tức thời của chuyển động s  f t 3sin 2t2 cos 2t tại thời điểm

4

t  bằng

A 12 B 12 C 20 D 20

Câu 216. [1D5-3] Cho hàm số y

x

 Khi y n  x bằng

A  1 n nn!1

x 

 B nn!1

x  C  

! n nn

x

 D nn!

x

Câu 217. [1D5-4]Đạo hàm cấp n, với n* của hàm số ysinx

A   sin

2

n n

y  x  

  B

 

!sin n

y n x

C   cos

2

n n

y  x  

  D

 

!cos n

(183)

CÁC ĐỀ KIỂM TRA CHƯƠNG 4

ĐỀ SỐ – THPT Chương Mỹ B, Hà Nội

I. PHẦN TRẮC NGHIỆM: ( 2,5 điểm)

Câu 1. [1D5-1] Cho hàm số f x  xác định trên tập số thực  thỏa mãn    

 

2

lim

2 x

f x f f





 Kết

quả sau đúng?

A f x 2 B f 2 3 C f x 3 D f 3 2

Câu 2. [1D5-1] Cho hàm số f x  xác định trên tập số thực , có đạo hàm x 1 Định nghĩa đạo hàm sau đúng?

A      

1

lim 1

1 x

f x f

f x



 



 

 B

   

 

1

lim 1

1 x

f x f

f x







 



C      

1

lim 1

1 x

f x f

f x



 



 

 D

   

 

1

1 lim

1 x

f x f

f x

x



 

 



Câu 3. [1D5-2] Đạo hàm của hàm số y f x x21 tại x 2 bằng:

A 3 B 2 C 4 D 1

Câu 4. [1D5-1] Cho hàm số y f x  f  1 2 điều sau đúng?

A  

2

lim

x x

    B

2

lim

x

x x

  



 C

2

lim

1 x

x x

   



  D  limx 1 x 22

Câu 5. [1D5-2] Tiếp tuyến đồ thị hàm số yx2 3x tại điểm M1; 2  có hệ số góc k là:

A k 1 B k 1 C k  7 D k 2

Câu 6. [1D5-2] Nếu tiếp tuyến đồ thị hàm số yx23x  C có tiếp tuyến song song với đường

thẳng y3x10 số tiếp tuyến của  C là:

A 3 B 0 C 2 D 1

Câu 7. [1D5-2] Hàm số

2 4 5

yx  x  x có đạo hàm là:

A y3x22x4 B y 3x24x4 C y3x2x4 D y3x24x 4 5

Câu 8. [1D5-2] Hàm số y x 22

x x

   có đạo hàm là:

A y 12 43

x x

    B y 12 44

x x

    C y 12 24

x x

    D y 12 43

x x

   

Câu 9. [1D5-2] Hàm số y 2x 1

x

  có đạo hàm y 4 là:

A 17

2 B

5

2 C

31

16 D

17

Câu 10. [1D5-2] Hàm số

2 3 5

y x  x  có đạo hàm y 0 tại điểm sau đây:

(184)

Câu 11. [1D5-2] Tìm phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số

1

x y

x

 

 tại điểm A2;3 là:

A y2x1 B

y x C y 2x1 D y 2x7

Câu 12. [1D5-3] Tiếp tuyến đồ thị hàm số yx42x2m (với m tham số) điểm có hoành

độ x0  1 là đường thẳng có phương trình:

A xm1 B y0 C ym1 D ym3

Câu 13. [1D5-2] Cho hàm số f x  x2 Giá trị P f   2  x2  f 2 là:

A 2  2

x

 B 2  2

2

x x

 

 C

 2

2

x

 D 2 x2

Câu 14. [1D5-2] Hàm số  13

2

x y x

x



  

 có đạo hàm là:

A  

 

2

3

2

12

2

x x

x

 

 B    

2

3

2

x

 



C  

 

2

3

2

12

2

x x

x

 



D  

 

3

3 5

4 1

2

x x

x

 



Câu 15. [1D5-2] Đạo hàm của biểu thức f x x23 x22x4 là:

A     

2

1 3 2 2 4

2 4

x x

f x x x x

x x

 

    

 

B     

2

1 3 2

2 4

x x

f x x

x x

 

 

 

C    

2

2 3 2 2 4

2 2 4

x

f x x x x

x x



    

 

D

      

2

1 3 2 3 2 4

2 4

x x

f x x x x

x x

 

     

 

Câu 16. [1D5-4] Cho hàm số 1   

1

3

y m  x  m x  x Giá trị m để y 2x 2 0 với

x thuộc 

A  ; ; 1;   B 0;4

 

 

  C Không t

ồn tại m D  1; ; 4;1

 

  

 

Câu 17. [1D5-3] Cho hàm số f x x33x22 Nghiệm bất phương trình f x 0 là:

A 0; 2 B ; 0 C 2; D ; 0  2;

Câu 18. [1D5-2] Hàm số f x sin 3x có đạo hàm f x là:

A 3 cos 3x B cos 3x C 3 cos 3x D cos 3x

Câu 19. [1D5-2] Đạo hàm của hàm số y3sinx5 cosx là:

A y 3cosx5sinx B y  3cosx5sinx

C y  3cosx5sinx D y 3cosx5sinx

Câu 20. [1D5-2] Đạo hàm của hàm số ycosxsinx2x là:

(185)

Câu 21. [1D5-2] Tính 2

f  

  biết  

cos sin

x f x

x





A 0 B

2

 C 1

2 D 2

Câu 22. [1D5-2] Đạo hàm của hàm số yxcotx là:

A cot 2 sin

x x

x

 B cot 2

sin

x x

x

 C cot 2

cos

x x

x

 D cot 2

cos

x x

x



Câu 23. [1D5-2] Đạo hàm của hàm số y tan x là:

A 2 1

cos 1 tan

y

x x

 

 B

1 sin 1 tan

y

x x

 



C 1 tan

2 tan

x y

x

  

 D

1 2 tan

y

x

 



Câu 24. [1D5-4] Cho hàm số   2 

2 cos

f x  x Miền giá trị f x là:

A  2 f x 2 B  4 f x 4 C  8 f x 8 D 16 f x 16

Câu 25. [1D5-4] Cho hàm số ycos 22 x Số nghiệm phương trình y 0 0; 2



 

 

  là:

A 4 B 3 C 2 D Vô số nghiệm -HẾT -

ĐỀ SỐ – THPT Hoàng Văn Thụ , Hịa Bình

I PHẦN TRẮC NGHIỆM ( 7 điểm)

Câu 1. [1D5-1] Số gia hàm số f x x21 biết x0 1  x 1

A 2 B 3 C 4 D 5

Câu 2. [1D5-1] Đạo hàm của hàm số 4

2

x yx  x x 

A 5 12 2 1 4

x  x  x B 5 12 2 1

2

x  x  x

C 5 12 2 1 2

x  x  x D 5 12 2 1

4

x  x  x

Câu 3. [1D5-2] Nghiệm bất phương trình f x 0 với f x x32x25

A 2 0 3

x  x B 0 2

3

x

  C 4 0

3

x  x D 0 4

3

x

 

Câu 4. [1D5-2] Phương trình tiếp đồ thị hàm số

2

x x y

x

 

 tại điểm A1; 2 

A y5x3 B 2 C y9x7 D y9x7

(186)

Câu 6. [1D5-3] Một vật rơi tự theo phương trình 1 2 m

2

s gt với  2

9,8 m/s

g Vận tốc tức thời

của vật thời điểm t5 s 

A 122, m/s   B 29,5 m/s   C 10 m/s   D 49 m/s  

Câu 7. [1D5-3] Cho hàm số yx2 x2 1 Khi đó:

A

2 2 2 1

x y

x

 



B

2

2 2 2 1

1

x x

y

x

 





C

2 2 1

1

x y

x

 

 

D

2

2 2 2 1

2 1

x x

y

x

 





Câu 8. [1D5-3] Đạo hàm của hàm số y1 2 x310

A 10x21 2 x39 B 60x31 2 x39 C 6x21 2 x39 D 60x21 2 x39

Câu 9. [1D5-3] Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số 1 2 1

2

y x  x biết tiếp tuyến song song

với đường thẳng y2x3

A y2x7 B y 2x7 C y3x5 D y2x5

Câu 10. [1D5-4] Cho hàm số yx21 Hai điểm A0,5;1, 25 B0,5 x;1, 25 ythuộc đồ thị

hàm số Hệ số góc cát tuyến AB với  x 1, 5

A 2 B 2,5 C 3,5 D 5

Câu 11. [1D5-3] Cho hàm số   1 4 5 17

3

f x   x  x  x Gọi x1, x2 hai nghiệm phương trình

  0

f x  x1x2 có giá trị bằng

A 5 B 8 C 5 D 8

Câu 12. [1D5-3] Cho

2

yx x  ta có y

y bằng

A

2 1

2

x 

B 1 C

2 1

2

x x 

D x22

Câu 13. [1D5-3] Tiếp tuyến với đồ thị hàm số   5

2

f x x



 tại điểm có hồnh độ x0 3 có hệ số góc là

A 5 B 5 C 2 D 3

Câu 14. [1D5-3] Cho f x sin2xcos2 xx khi f x bằng

A 1 sin cos x x B 1 sin 2 x C 1 sin 2 x D  1 sin 2x II TỰ LUẬN (3 điểm)

Câu 15. Tính đạo hàm của hàm số sau:

1) 2 4 3

y x  x x 2)

sin x

y x  x 

Câu 16. [1D5-3] Cho hàm số yx33x22 có đồ thị  C Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị

 C Biết tiếp tuyến vng góc với đường thẳng d có phương trình: 1 5 3

(187)

ĐỀ SỐ – THPT Vĩnh Lộc, Huế

I - PHẦN TRẮC NGHIỆM

Câu 1. [1D5-1] Tính đạo hàm của hàm số ycot 2x

A 22

sin

y

x

  B 22

sin

y

x

   C 22

sin 2

y

x



  D 22

sin 2

y

x

 

Câu 2. [1D5-2] Tính đạo hàm của hàm số y2 sin 2x3cot 2x

A 4 cos 2 32 sin 2

y x

x

   B 4 cos 2 62 sin 2

y x

x

  

C 4 cos 2 62 sin 2

y x

x

   D 4 cos 2 22 sin 2

y x

x

  

Câu 3. [1D5-2] Tính đạo hàm của hàm số y tan 4x4x

A tan

tan 4

x y

x x

 

 B

2 2 tan 4 tan 4 4

x y

x x

 

 C

2 tan 4 tan 4 4

x y

x x

 

 D

2 tan 4 tan 4 4

x y

x x

 



Câu 4. [1D5-2] Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số f x  x25 tại điểm M có tung độ

0

y   và hoành độ x0 0

A y2 6x 61 B y2 6x 61

C y 2 6x 61 D y2 6x 61

Câu 5. [1D5-3] Cho hàm số yxcosx Biết xy  y k xtanx với  

2

x k k Tìm giá trị k

A k2 B k 0 C k  1 D k1

Câu 6. [1D5-1] Tính đạo hàm của hàm số ycos 2x

A y  sin 2x B y 2 sin 2x C y sin 2x D y  2 sin 2x

Câu 7. [1D5-2] Tính đạo hàm của hàm số y5 7 x4

A y 20 7  x3 B y 4 7  x3 C y 28 7 x53 D y 28 7  x3

Câu 8. [1D5-3] Cho hàm số f x x32x2mx3 Tìm m để f x bằng bình phương

nhị thức bậc nhất.

A 4

3

m B 4

9

m C m4 D Khơng có giá trị nào

Câu 9. [1D5-1] Tại x dương Tính đạo hàm của hàm số y x

A  x 1 x



 B   1

2

x



 C  x   x D  x 2 x

Câu 10. [1D5-1] Tìm phương trình tiếp tuyến đồ thị  C của hàm số y f x  tại điểm

 

0 0;

M x f x

A yy0  f x0 x, y0  f x 0 B yx0  f x0 xx0

  

(188)

Câu 11. [1D5-1] Tính đạo hàm của hàm số y 2x43x3 x 2

A y  8x39x21 B y  16x39x1

C y  8x327x21 D y  8x39x1

Câu 12. [1D5-2] Cho hàm số cos

1 sin

x y

x



 Tính y 6



     

A 1

6

y 

  B y 6 0



   

  C y 6 2



   

  D y 6 2



    

 

Câu 13. [1D5-1] Tính đạo hàm của hàm số ytan 4x

A y  1 tan 42 x B 42

cos 4

y

x

   C 12

cos 4

y

x

  D y 4 tan 4  x

Câu 14. [1D5-2] Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số   5

f x x  tại điểm M có hồnh độ

0

x  

A y2x16 B y 2x16 C y 2x16 D y 2x16

Câu 15. [1D5-1] Chọn mệnh đề đúng trong mệnh đề đây.

A Hàm số y f x  có đạo hàm tại x0 chỉ hàm số này liên tục điểm

B Nếu hàm số y f x  có đạo hàm tại x0 liên tục điểm đó.

C Nếu hàm số y f x  khơng liên tục x0 vẫn có đạo hàm tại điểm đó.

D Nếu hàm số y f x  liên tục x0 có đạo hàm tại điểm đó.

Bài 1: [1D5-2] Tính đạo hàm của hàm số y 12

x x

 

A 23

2

y

x x



   B 23

2

y

x x x

   C 23

2

y

x x x



   D 23

2

y

x x



  

Bài 2: [1D5-1] Tại x Tính đạo hàm của hàm số yxnn,n1

A  xn n x. n1 B  xn  xn1 C  xn  n x. 1n D  xn  n x.

Bài 3: [1D5-1] Cho hàm số uu x  có đạo hàm a b;  Tính đạo hàm của hàm ysinu

A yucosu B y ucosu C y ucosu D y  ucosu

Bài 4: [1D5-2] Tính số gia y của hàm số f x x tại x0 1, với giả thiết x số gia đối số

tại x0

A     y 1 x x B    y 1 x C    y x x D   y x

Bài 5: [1D5-3] Cho hàm số y4x33x có đồ thị  C Tìm m để đường thẳng  d :ymx1 tiếp

xúc với  C

A m0 B m 6 C m2 D m 3 II - PHẦN TỰ LUẬN

Bài 6: [1D5-2] Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị  C của hàm số y f x  x32x23 tại

điểm có hồnh độ x0 1

Bài 7: [1D5-3] Tính đạo hàm của hàm số  

2

3 2 1

x x

y f x

x

 

 

(189)

ĐỀ SỐ – THPT Nho Quan A, Ninh Bình

Câu 1. [1D5-2] Tiếp tuyến với đồ thị hàm số   4

1

f x x



 tạiđiểm có hồnh độ x0  1 có hệ số góc là

A 1 B 2 C 2 D 1

Câu 2. [1D5-2] Một vật rơi tự theo phương trình 1 2 m 2

s gt , với  2

9,8 m/s

g  Vận tốc tức

thời vật thời điểm t5 s 

A 122,5 m/s   B 29,5 m/s   C 10 m/s   D 49 m/s  

Câu 3. [1D5-2] Hàm số sau có đạo hàm

 

2

2 15

1

x x x

 

 :

A

2

4 9 1

x x

y

x

 



 B

2

6 5 1

x x

y

x

 



 C

2

6 9 1

x x

y

x

 



 D

2

6 9 1

x x

y

x

 





Câu 4. [1D5-2] Cho  

3

3 2

x x

f x   x Tập nghiệm bất phương trình f x 0

A 2; 2 B  C 0;  D 

Câu 5. [1D5-2] Phương trình tiếp tuyến đồ hàm số

3

2 3 1 3

x

y  x  x , biết tiếp tuyến song song

với đường thẳng d y: 8x2

A 8 2 3

y x , y8x B 8 1

3

y x , 8 7

3

y x

C 8 11 3

y x , 8 97

3

y x D 1 11

8 3

y  x , 1 97

8 3

y  x

Câu 6. [1D5-2] Tính đạo hàm của hàm số 6

9

x y

x

 



A

 2

3

x

B

 2

15

x

C

 2

15

x

 

D

 2

3

x

 

Câu 7. [1D5-2] Cho f x sin2 xcos2 xx Khi f x bằng

A 1 sin 2 x B 1 sin cos x x C 1 sin 2 x D  1 sin 2x

Câu 8. [1D5-2] Đạo hàm của hàm số y sin 3x biểu thức sau đây?

A cos 3

2 sin 3

x

x B

3cos 3 2 sin 3

x

x C

cos3 2 sin 3

x x

 D 3cos3

2 sin 3

x x



Câu 9. [1D5-2] Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y f x x4 tại điểm có hồnh độ 1

A y 4x3 B y 4x4 C y 4x5 D y 4x5

Câu 10. [1D5-2] Cho y x x21 Ta có y

y bằng

(190)

Câu 11. [1D5-2] Cho hàm số

2

4

2

x y

x

  

  



 

Chọn câu trả lời đúng:

A

 

2 2

4 1 8 2

2 2 2

x x

y

x x x

   

   

  

 

B 2

2

4 1 8 2

2 2

x x

y

x x

   

   

 

 

C

2

4 1 8 2

2 2

x x

y

x x

   

   

 

 

D

 

2 2

4 1 8 2

2 2 2

x x

y

x x x

   

   

  

 

Câu 12. [1D5-2] Số gia y của hàm số yx22x tại điểm x0 1

A 2x 4 x B 2x 2 x C 2x 4 x D 2x  2 x 3

Câu 13. [1D5-2] Đạo hàm của hàm số ytanx:

A 12

sin x

 B 12

cos x C

1

sin x D

1 cos x



II PHẦN TỰ LUẬN

Bài 1. Tính đạo hàm của hàm số sau:

a) 2 4 3

y x  x x b) y xsin 2x x23

Bài 2. [1D5-2] Cho hàm số 1 3

3

y x  x Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị  C của hàm số biết

tiếp tuyến vng góc với đường thẳng  d :y  x 2020 -HẾT -

ĐỀ SỐ – THPT Nguyễn Trung Trực, Bình Định

I PHẦN TRẮC NGHIỆM

Câu 1. [1D5-2] Cho hàm số f x x4 2x23 Tập giá trị x để f x 0

A  0 B 1; 0 C 0; D  ; 1

Câu 2. [1D5-2] Cho hàm số ycos 2x Mệnh đề đúng?

A dysin dx x B dy2sin dx x C dy 2 sin dx x D dy sin dx x

Câu 3. [1D5-2] Đạo hàm của hàm số

sin

y x tại 0

2

x   bằng

A 0 B 1 C

2

 D 1

2

Câu 4. [1D5-2] Đạo hàm cấp hàm số ycosx tại x0 0 bằng

A 1 B

2



C 0 D 1

1

x y

x

 

 tại x0 2 bằng

A 1

9 B

1

3 C 3 D 1

Câu 6. [1D5-2] Với x để hàm số xác định, mệnh đề nào sai?

A tan  12 cos

x

  B sinx cosx C cosx sinx D cot  12 sin

x

(191)

Câu 7. [1D5-2] Đạo hàm của hàm số y 1x tại x0 3 bằng

A 1

4 B

1

2 2 C 2 D 2

Câu 8. [1D5-2] Cho hàm số  

1

f x x



 Hệ số góc tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm 0;1

M bằng

A 2 B 1 C 0 D 1

Câu 9. [1D5-2] Đạo hàm của hàm số yxcosx

A sinx B cosxxsinx C cosxxsinx D xsinx

Câu 10. [1D5-2] Đạo hàm của hàm số yx32x tại x0  1 bằng

A 0 B 1 C 5 D 3

3

x y

x

 



A

 2

5 3 2

y x

  

 B  2

7 3 2

y x

 

 C  2

5 3 2

y x

 

 D  2

7 3 2

y x

  



Câu 12. [1D5-3] Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số yx22 tại điểm A1; 1 

A y2x3 B y2x1 C y 3 2x D y2x3 II PHẦN TỰ LUẬN

Câu 13. [1D5-3] Cho hàm số yx32x23 có đồ thị  C Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị

 C tại điểm có hoành độ x0 2

Câu 14. [1D5-3] Cho hai hàm số f x 2x33x5 g x 3x23x4 Giải bất phương trình

   

f x g x

-HẾT -

ĐỀ SỐ – THPT Nguyễn Khuyến, Bình Phước

Câu 1. [1D5-1] Cho hàm số:

1

x y

x



 Khi số gia y của hàm số x0 3 là:

A

4

x x



  B

2

x x



  C

2

x x

 

  D 1

Câu 2. [1D5-3] Cho hàm số  

2

3

2 ,

x ax b x f x

ax bx x

   

  

 

 

Giá trị a b, để f x  có đạo hàm tại x1

A 1;

a  b B 1;

a b C 1;

a b D Khơng có

Câu 3. [1D5-2] Một đoàn tàu hỏa rời ga, chuyển động nhanh dần với gia tốc

0,1m s/ ( bỏ qua sức

cản khơng khí) Vận tốc tức thời thời điểm tàu đã đi 500m là:

A 10m s/  B 15m s/  C 12m s/  D 20m s/ 

Câu 4. [1D5-1] Hàm số có đạo hàm bằng 2x 12 x



A

3

x 

B

3

5

x  x

C  

2 3 x x

D

2

(192)

Câu 5. [1D5-3] Cho hàm số ytanx Hãy tìm mệnh đề đúng:

A

1

y   y B

1

y y   C

1

y y   D

1

y   y

Câu 6. [1D5-1] Cho hàm số

4

y x  x Đạo hàm của hàm số y bằng:

A

2 4 4 5

x

x x



 

B

2 1 2 x 4x5

C

2 2 4 5

x

x x



 

D

2 2 4

4 5

x

x x



 

Câu 7. [1D5-1] Cho hàm số y2x310 Đạo hàm của hàm số y bằng:

A 30 2 x39 B 10 2 x310 C 10 2 x39 D 20 2 x39

Câu 8. [1D5-2] Cho hàm số ycos 23 x Đạo hàm của hàm số y bằng:

A 3cos sin 22 x x B 3cos sin 22 x x C 6cos sin 22 x x D 6cos sin 22 x x

Câu 9. [1D5-1] Tiếp tuyến đồ thị hàm số

3

x

y  x  có hệ số góc k  9, là:

A y16 9x3 B y16 9x3 C y16 9x3 D y 9x3

Câu 10. [1D5-1] Hệ số góc tiếp tuyến đồ thị hàm số

1

x y

x

 

 tại điểm A1; 2 bằng:

A 2 B

2

 C 1

2 D 1

Câu 11. [1D5-4] Tọa độ điểm M trên đồ thị hàm số

1

y x



 cho tiếp tuyến cùng với trục tọa độ tạo thành một tam giác có diện tích 2 là:

A 1; 4 4 3

 



 

  B

1 4 ; 4 5

 

 

 

  C

3 ; 4 4

 



 

  D

3 4 ; 4 7

 

 

 

 

Câu 12. [1D5-3] Cho hàm số y x36x215x2 Giải bất phương trình y 0 ta có nghiệm:

A 1 x5 B  5 x 1 C  5 x1 D  1 x5

Câu 13. [1D5-3] Cho hàm số ysinxcosx Tập nghiệm củaphương trình y 0 là:

A ,

4 k k Z

 

 

  

 

  B 4 k2 ,k Z

 

 

 

 

  C 4 k ,k Z

 

 

 

 

  D 4 k2 ,k Z

 

 

  

 

 

Câu 14. [1D5-3] Cho hàm số

4

yx  x Nếu tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm M song song với đường thẳng: 8x y 20170 Thì hồnh độ x0 của điểm M

A x0  1 B x0 5 C x0 12 D x0 6 II PHẦN TỰ LUẬN

Câu 15. [1D5-2] Tính đạo hàm hàm số sau:

a

3

2 2017

2

x

y x

x

    b y2x2cos 3x3 sin 3x x

Câu 16. [1D5-2] Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số  

1

x y f x

x

 

 tại điểm có tung độ bằng 4

Câu 17. [1D5-3] Cho hai hàm số f x  2x23x2  

3

g x  x  x Hãy giải bất phương

trình:  

 

f x g x 

(193)

ĐỀ SỐ – THPT Nam Hà, Đồng Nai

Câu 1: Cho đồ thị  

1

x H y

x

 

 và điểm M H có tung độ 4 Phương trình tiếp tuyến  H tại điểm M có dạng yax b ,

b a bằng

A 6 B 19 C 1 D 1

Câu 2: Đạo hàm cuả hàm số y3x32 x3x2 bằng biểu thức có dạng ax2 b c x

  Khi

4

a bc là

A 12 B 10 C 16 D 8

Câu 3: Đạo hàm của hàm số y2sin 3x5 cos 2x biểu thức có dạng acos 3xbsin 2x Khi

2

b a

A 5

6 B

5 

C

2 

D 5

2

Câu 4: Đạo hàm của hàm số y2 tanx x biểu thức có dạng tan 2 cos

bx

a x

x

 



 

  Khi mệnh đề nào

sau đúng?

A a

b   B a

b  C a

b   D a b 

Câu 5: Trên đồ thị của hàm số

1

y x



 có điểm M cho tiếp tuyến cùng với trục tọa độ tạo thành một tam giác có diện tích Khi M có tung độ là

A yM  3 B yM 4 C yM 3 D yM  4

Câu 6: Cho hàm số   2  

1

yx  m x m x Gọi d là tiếp tuyến đồ thị hàm số (1) điểm có hồnh độ bằng1 Tổng giá trị tham số m để tiếp tuyến d song song với đường thẳng ∆: y4x3

A 2 B 4 C 2 D 4

Câu 7: Một chất điểm chuyển động thẳng xác định phương trình st32t24t1 trong t tính bằng giây,stính bằng mét Vận tốc chuyển động t2

A 25 m/s B 24 m/s C 16 m/s D 26 m/s

Câu 8: Cho hàm số ysin 2x Đẳng thức sau với x?

A 4yy0 B y2 y 4 C 4yy0 D y y.tan 2x

Câu 9: Cho hàm số   2

2 sin 3cos

f x  x x Khi 3

6

a f

b



   

  , mệnh đề sau sai?

A a b 7 B a b 10 C a b 5 D a2 b2 29

Câu 10: Đạo hàm cuả hàm số

2

2 1 1

x x

y x

 



 bằng biểu thức có dạng  

2 1

ax bx c

x

 



Khi a b c

(194)

Câu 11: Cho hàm số y x34x24x có đồ thị  C Gọi x1, x2 là hoành độ điểm M , N  C , mà tại tiếp tuyến  C vng góc với đường thẳng y  x 2020 Khi x x1. 2 bằng

A

3 

B 8

3 C

5 

D

3 

Câu 12: Cho hàm số y x

 Tính y 2

A

27 B

1 

C

8 

D 3

8

Câu 13: Đạo hàm của hàm số ycot 22 x biểu thức có dạng cos

sin 2n

a x

x Khi a n

A 2

3 B

4 

C 4

3 D

2 

Câu 14: Cho hàm số f x  1 s inx Chọn kết đúng

A d   cos d 1 sin

x

f x x

x

 

 B  

cos

d d

2 sin

x

f x x

x

 



C d   cos d 1 sin

x

f x x

x



 D  

cos

d d

2 sin

x

f x x

x





Câu 15: Cho hàm số f x 5x134x1.Tập nghiệm phương trình f x 0

A  1 B 1; 2 C ; 0 D 

Câu 16: Đạo hàm cuả hàm số

1

x y

x

 

 bằng biểu thức có dạng  12

a x

Khi mệnh đề sau đúng?

A a0; 2 B a  5; 0 C a2; 6 D a   6; 1

Câu 17: Đạo hàm của hàm số y2sinx3cosx biểu thức có dạng asinx b cosx Khi a2b2

A 5 B 1 C 14 D 5

Câu 18: Đạo hàm của hàm số yx2 x 36 biểu thức có dạng a x  x 3nbx c  Khi

a b cn

A 7 B 17 C 1 D 8

Câu 19: Đạo hàm của hàm số

3 2

y x  x biểu thức có dạng

2 ax

2 3 2

b

x x



 

Khi a b

A 1 B 2 C 4 D 1

Câu 20: Cho hàm số f x x 12019a0a x1 a x2 2 a2019x2019 Tính tổng: S a12a23a34a4 2019 a2019

A S 22018 B S 22019 C S 2019.22018 D S 2019.22019

Câu 21: Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số   3

f x x x  x tại điểm có hồnh độ x0  1 có dạng yax b khi 2

a b

(195)

Câu 22: Tiếp tuyến đồ thị hàm số

3 3 4 3

x

y  x  có hệ số góc k 9 có phương trình dạng

9

y  x b Mệnh đề sau đúng?

A b 13 B b 14 C b12 D b14

Câu 23: Cho hàm số yx33x

có đồ thị  C Gọi  là đường thẳng qua điểmA(1;2 ) có hệ

số góc m Tổng giá trị m để  tiếp xúc đồ thị  C

A

4 

B 0 C 1

2 D

3 

Câu 24: Cho hàm sốyx.sinx Tìm hệ thức đúng

A y y 2 cosx B yy2 cosx C yy2 cosx D y y2 cosx

Câu 25: Cho hàm số yx33mx2m2xm Tổng giá trị tham số m nguyên để

0,

y   x 

A 1 B 2 C 2 D 1 - HẾT -

ĐỀ SỐ – THPT Đoàn Thượng, Hải Dương

Câu Cho hàm số

 

2

1 khi 0 1 khi 0

ax bx x

f x

ax b x

   

 

  

 Khi hàm số f x  có đạo hàm tại x0 0 Hãy tính T a2b

A T 0 B T  4 C T  6 D T 4

Câu Cho hàm số f x   2018x20172x2016 3 x  2018 x Tính f 1

A 1009

2019.2018 B 1009.20192018 C 2018.20191009 D 2018.10092019

Câu Cho hàm số    

2

y f x  x

Biểu thức sau vi phân hàm số f ?

A dy2x1 B dyx1dx C dyx12dx D dy2x1dx

Câu Cho hàm số y f x  xác định và có đạo hàm trên  thỏa mãn

2 1 1 

f x  f x x

   

    Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y f x  tại

điểm có hồnh độ 1

A 1 5

7 7

y x B 1 6

7 7

y x C 1 6

7 7

y  x D 1 6

7 7

y  x

Câu Một vật rơi tự với phương trình chuyển động là 1 2, 2

S  gt trong đó t tính bằng giây  s ,

S tính bằng mét  m g 9,8

m/s Vận tốc vật thời điểm t 4s

A v78, 4m/s B v39, 2 m/s C v = 19, m/s D v9,8m/s

Câu Tổng C20181 2.5C20182 3.52C20183  2018.5 2017C20182018 bằng

A 4035 1009.2

 B 4034

1009.2

 C 4035

(196)

Câu Tính đạo hàm của hàm số f x sin 22 xcos 3x

A f x 2 sin 4x3sin 3x B f x sin 4x3sin 3x

C f x 2 sin 4x3sin 3x D f x 2 sin 2x3sin 3x

Câu Xét hai mệnh đề.

(I)   12 '  2sin3 cos cos

x

f x f x

x x



   ; (II)   1 '  sin2 cos cos

x

g x g x

x x

   

Mệnh đề nào sai?

A Cả hai đúng. B Cả hai sai.

C Chỉ (I). D Chỉ (II).

Câu Cho hàm số ycosxmsin 2x C  (m tham số) Tìm tất giá trị m để tiếp tuyến

 C tại điểm có hồnh độ x , 3

x song song hoặc trùng

A m 2 3 B m 3 C 3

6

m  D 2 3

3

m 

Câu 10 Tiếp tuyến với đồ thị hàm số yx33x22 tại điểm có hồnh độ –3 có phương trình

A y9x25 B y9x25

C y30x25 D y30x25

Câu 11 Cho hàm số f x  2x1 Tính f 1

A 3 B 0 C 3

2 D 3

Câu 12 Cho hàm số: 2 1  

1

x

y C

x

 

 Số tiếp tuyến đồ thị  C song song với đường thẳng

:y x 1

  

A 0 B 1 C 3 D 2

Câu 13 Cho hàm số  

2 3

khi 1 2

1

khi 1

x

x f x

x x

 

 

  

 

 

Khẳng định là sai?

A Hàm số f x  khơng có đạo hàm tại x1

B Hàm số f x  liên tục x1

C Hàm số f x  có đạo hàm tại x1

D Hàm số f x  liên tục x1 hàm số f x  cũng có đạo hàm tại x1

Câu 14 Hàm số ytanxcó đạo hàm

A y' tan  x B ' 12 cos

y

x

 C y'cotx D ' 12

sin

y

x

(197)

Câu 15 Cho hàm số f x  liên tục x0 Đạo hàm của f x  tại x0

A 0

0

( ) ( ) lim

h

f x h f x

h



 

(nếu tồn giới hạn).

B 0

0

( ) ( ) lim

h

f x h f x h

h



  

(nếu tồn giới hạn).

C f x 0

D f x( h) f x( )0

h

 

Câu 16 Cho hàm số cos

1 sin

x y

x



 Tính y



      

A

6

y 

  B y



   

  C y



    

  D y



    

 

Câu 17 Số gia hàm số yx22 tại điểm x0 2 ứng với số gia  x 1 bằng bao nhiêu?

A 5 B 13 C 2 D 9

Câu 18 Cho hàm số y f x  3x44x35x22x1 Lấy đạo hàm cấp 1, 2, 3, Hỏi đạo hàm đến

cấp nào ta được kết triệt tiêu?

A 3 B 4 C 6 D 5

Câu 19 Trong đường thẳng d1:y7x9, d2:y5x29, d3:y 5x5 có đường thẳng là tiếp tuyến đồ thị hàm số yx33x22x4

A 2 B 0 C 3 D 1

Câu 20 Cho f x sin3ax, a0 Tính f 

A f  0 B f  3sin2a.cosa

C f  3 sina 2a D f  3 sina 2a.cosa

Câu 21 Hàm số 2 1

1

x y

x

 

 có đạo hàm

A

 2

1 1   



y

x B y 2 C  2

3 1   



y

x D  2

1 1  



y

x

Câu 22 Một chất điểm chuyển động 20giây có phương trình   1 6 10 12

s t  t t  t  t,

trong t0 với t tính bằng giây  s s t  tính bằng mét  m Hỏi thời điểm gia tốc

của vật đạt giá trị nhỏ thì vận tốc vật bao nhiêu?

A 17 m/s   B 28 m/s   C 13 m/s   D 18 m/s  

Câu 23 Cho hàm số f x  xác định    

 

2 1 1

0

0 0

x

f x x

x

 

  

    

Giá trị f 0 bằng

A 1 B 0 C 1

(198)

Câu 24 Tìm hệ số k của tiếp tuyến đồ thị hàm số

1 



x y

x tại điểm M2 2; 

A k  1 B k  2 C 1

9 

k D k 1

Câu 25 Cho hàm số f x x42x23 Tìm x để f ' x 0?

A x0 B  1 x0 C x 1 D x0

Câu 26 Cho hàm số f x  xác định trên  bởi f x 2x21.Giá trị f  1

A 2 B 6 C 3 D 4

Câu 27 Xét hàm số   1 cos 2

y f x   x Chọn Câu đúng:

A d ( ) sin 42 d

1 cos

x

f x x

x

 

 B

cos

d ( ) d

1 cos

x

f x x

x





C d ( ) sin 22 d

2 cos

x

f x x

x

 

 D

sin

d ( ) d

2 cos

x

f x x

x

 



Câu 28 Cho hàm số y x33x2 2 có đồ thị  C và điểm A m ; 2 Tìm tập hợp S tập tất

giá trị thực m để có ba tiếp tuyến  C đi qua A

A  ; 1 5;3 3;  3

S      

  B    

4

; 1 ; 2 2; 3

S      

 

C  ; 2 5; 2 2;  3

S      

  D    

5

; 1 ; 2 2; 3

S      

 

Câu 29 Đạo hàm của hàm số y(x3a x. 3) (a hằng số) biểu thức sau đây?

A 3(x3a x. 2) B 3(x3a x. 2) (3x22 )a x

C 3 (a x3ax2 2) (3x22ax ) D 3 (a x3ax2)(3x2a x2 )

Câu 30 Cho hàm số y x

 Khẳng định đúng?

A y y 2 B y y 2 y 0

C y y 320 D y y 2 y 2 -HẾT -

ĐỀ SỐ – THPT Triệu Quang Phục, Hưng Yên

PHẦN 1: TRẮC NGHIỆM (8 điểm)

Câu Với x0 hàm số g x  3x2 12

x

   là đạo hàm của hàm số nào ?

A f x  x3 3x

x

    B   3

2

f x x x x

  

C f x  x3 3x

x

    D f x  3x3 3x

x

(199)

Câu Cho hàm số y f x x33x212 Tìm x để f x 0

A x  2; 0 B x   ; 2  0;

C x0; 2 D x  ;0  2;

Câu Tính tổng S C1n2Cn2 nCnn.

A 4 2n

n  B

2 2n

n  C

3 2n

n  D

.2n

n 

Câu Cho hàm số  

5

y f x x  x  có đồ thị  C Có tiếp tuyến  C đi qua điểm A 0; 2 ?

A 1 B 4 C 3 D 2

Câu Cho hàm số  

– – –

x x x

f x  Phương trình f x 0 có nghiệm là

A  1; B 1; 2 C 1;3 D 0; 4

Câu Gọi M a b ;  là điểm thuộc đồ thị hàm số y f x x33x22  C cho tiếp tuyến

 C tại điểm M có hệ số góc nhỏ Tính a b

A 3 B 0 C 1 D 2

Câu Đạo hàm của hàm số y3x1 cos x

A y 3cosx B y  3x1 sin x

C y 3cosx3x1 sin x D y 3cosx3x1 sin x

Câu Tính đạo hàm của hàm số

4

x y

x

 



A

 2

5

y x

  

B 11

4

y x

 

 C  2

11

y x

  



D

 2

11

y x

  

. .

Câu Đạo hàm của hàm số 1

y x 

A

2 2 1

x y

x

 



B

2 1

1

y x

  

C

2

2 1 2 1

x y

x

  



D

2 1

x y

x

  

Câu 10 Gọi d tiếp tuyến đồ thị hàm số y f x  x3x tại điểm M1; 0 Tìm hệ số góc d?

A 2 B 2 C 1 D 0

Câu 11 Đạo hàm của hàm số 2 1

y x  x 

A y 4x34x B y x34x C y x32x D y 4x32x

Câu 12 Cho hàm số y f x  xác định a b; ; x0a b;  Đạo hàm của hàm số y f x  tại

điểm x0

A  0

0 lim

y

y f x

x

  

 

 B  0 limx

y f x

x

  

 

 C  0 limx

y f x

x

 

 

 D  0 limx

x f x

y

 

 

(200)

Câu 13 Đạo hàm của hàm số

1

x y

x

 

 tại điểm x0 2

A -2 B 1 C 0 D 2

Câu 14 Hàm số ycosx có đạo hàm

A y sinx B

sin

y

x

  C y  cosx D y  sinx

Câu 15 Số gia hàm số  

2

y f x x  x ứng với số gia x của đối số x0 1

A 4

y x x

     B

2

y x x

     C   y 4 x D 4

y x x

    

Câu 16 Một chất điểm chuyển động có phương trình st33t (t tính bằng giây, s tính bằng mét)

Tính vận tốc chất điểm thời điểm t0 2 (giây)?

A 12 m/s B 15 m/s C 14 m/s D 7 m/s

Câu 17 Hàm số y = cotx có đạo hàm

A 12

cos

y

x

   B 12

sin

y

x

   C y tanx D 12

sin

y

x

 

Câu 18 Cho hai hàm số   2

f x x  ;   1

g x

x



 Tính

   

1

f g

 

A 0 B 2 C 2 D 1

Câu 19 Tìm phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số  

3

y f x   x  x tại điểm M 1;1

A y 5x6 B y5x6 C y 5x6 D y5x6

Câu 20 Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số

2

y x  x ; biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y2x3

A y2x5 B y3x5 C y 2x7 D y2 – 7x

PHẦN 2: TỰ LUẬN (2 điểm)

Câu 21 Cho hàm số

1

x y

x

 

 có đồ thị là  C Viết phương trình tiếp tuyến  C biết tiếp tuyến vng góc với đường thẳng có phương trình: x3y20190

Câu 22 Cho hàm số  

2

f x x  x mx Tìm m để f x 0 với mọi x0; 2 -HẾT -

ĐỀ SỐ 10 – THPT Cây Dương, Kiên Giang

PHẦN I: TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN

Câu Cho hàm số f x  x32x2 x 3 Nghiệm bất phương trình f x 0

A 1x3 B 1

x

   C 1

3x D

1

3 x

  

Câu Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y f x  x3x tại điểm M2;6

A y 11x16 B y 11x28 C y 11x28 D y 11x16

Câu Tính đạo hàm của hàm số ycot 3x

A 32

sin

y

x

   B 32

sin

y

x

  C 33

sin

y

x

   D 32

sin

y

x

Định dạng
Số trang	305
Dung lượng	5,39 MB