Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng ..... Ch ứng minh hai mặt phẳng vuông góc ...[r]
(1)(2)TÀI LIỆU HỌC TẬP TỐN 11 HỌC KÌ II
NĂM HỌC 2020-2021
Chủ đề GIỚI HẠN – LIÊN TỤC
V
ấn đề GIỚI HẠN CỦA D
ÃY S
Ố
D
ạng D
ãy có gi
ới hạn 0
D
ạng Khử dạng vô định
/
D
ạng Khử dạng vô định
-
D
ạng Cấp số nhân l
ùi vô h
ạn
11
BÀI T
ẬP CƠ BẢN NÂNG CAO VẤN ĐỀ 1
12
BÀI T
ẬP TRẮC NGHIỆM VẤN ĐỀ
14
V
ấn đề GIỚI HẠN CỦA H
ÀM S
Ố
21
D
ạng Định nghĩa giới hạn
22
D
ạng Giới hạn b
ên 25
D
ạng Khử dạng vô định
/
28
D
ạng Khử dạng vô định
31
D
ạng Khử dạng vô định
-
,
35
D
ạng Sử dụng đồ thị để t
ìm giá tr
ị giới hạn
37
BÀI T
ẬP CƠ BẢN NÂNG CAO VẤN ĐỀ
40
BÀI T
ẬP TRẮC NGHIỆM VẤN ĐỀ
47
V
ấn đề H
ÀM S
Ố LI
ÊN T
ỤC
51
D
ạng Xét tính li
ên t
ục h
àm s
ố điểm
52
D
ạng Xét tính li
ên t
ục h
àm s
ố tr
ên kho
ảng, đoạn
57
D
ạng Chứng minh phương tr
ình có nghi
ệm
63
D
ạng Xét dấu biểu thức
67
BÀI T
ẬP CƠ BẢN NÂNG CAO VẤN ĐỀ
69
BÀI T
ẬP TRẮC NGHIỆM VẤN ĐỀ 3
73
BÀI T
ẬP TRẮC NGHIỆM CHƯƠNG
75
CÁC ĐỀ KIỂM TRA CHƯƠNG
83
ĐỀ SỐ
– THPT Nguy
ễn Tr
ãi, Thanh Hóa 83
ĐỀ SỐ
– THPT Hoàng Thái Hi
ếu, Vĩnh Long
84
ĐỀ SỐ
– THPT Ngu
ễn Trung Trực, B
ình
Định
86
(3)ĐỀ SỐ
– THPT Nho Quan A, Ninh Bình 91
ĐỀ SỐ
– THPT An H
ải, Hải Ph
òng 92
ĐỀ SỐ
– THPT
Đoàn Thượng, Hải Dương
93
ĐỀ SỐ
– Ngu
ồn Internet
95
ĐỀ SỐ
– THPT Th
ị x
ã Qu
ảng Trị
96
ĐỀ SỐ 10
–
THPT Đoàn Thượng, Hải Dương (18
-19) 98
Chủ đề ĐẠO HÀM
V
ấn đề ĐẠO H
ÀM VÀ Ý NGH
ĨA CỦA ĐẠO H
ÀM 101
D
ạng T
ìm s
ố gia h
àm s
ố
103
D
ạng Tính đạo h
àm b
ằng định nghĩa
104
D
ạng Quan hệ li
ên t
ục đạo h
àm 106
D
ạng Ý nghĩa h
ình h
ọc đạo h
àm: Bài toán ti
ếp tuyến
108
D
ạng Ý nghĩa Vật lí đạo h
àm c
ấp
113
V
ấn đề CÁC QUY TẮC TÍNH ĐẠO H
ÀM 114
D
ạng T
ìm
đạo h
àm c
ủa tổng,
hi
ệu, tích, thương h
àm s
ố
115
D
ạng T
ìm
đạo h
àm c
ủa h
àm s
ố lượng giác
117
D
ạng Phương tr
ình, b
ất phương tr
ình ch
ứa đạo h
àm 120
D
ạng Sử dụng đạo h
àm ch
ứng minh đẳng thức, bất đẳng thức
122
V
ấn đề VI PHÂN
–
ĐẠO H
ÀM C
ẤP CAO
124
D
ạn
g Tìm vi phân c
ủa h
àm s
ố
125
D
ạng Tính gần giá trị h
àm s
ố
127
D
ạng Tính đạo h
àm c
ấp cao h
àm s
ố
128
D
ạng Ý nghĩa đạo h
àm c
ấp hai
129
D
ạng T
ìm cơng th
ức đạo h
àm c
ấp n
130
D
ạng Chứng minh đẳng thức có chứa đạo h
àm 131
V
ấn đề SỬ DỤNG ĐẠO H
ÀM TRONG CÁC BÀI TỐN CĨ CH
ỨA Cnk
133
V
ấn đề DÙNG ĐỊNH NGHĨA ĐẠO HÀM ĐỂ T
ÌM GI
ỚI HẠN
136
V
ấn đề MỘT SỐ DẠNG TOÁN NÂNG CAO VỀ TIẾP TUYẾN
139
BÀI T
ẬP CƠ BẢN NÂNG CAO CHỦ ĐỀ
147
BÀI T
ẬP TRẮC NGHIỆM CHỦ ĐỀ
156
1 ĐỊNH NGHĨA V
À Ý NGH
ĨA CỦA ĐẠO H
ÀM 156
(4)3 ĐẠO H
ÀM C
ỦA H
ÀM S
Ố LƯỢNG GIÁC
165
4 VI PHÂN 170
5 ĐẠO H
ÀM C
ẤP CAO
172
CÁC ĐỀ KIỂM TRA CHƯƠNG
178
ĐỀ SỐ
–
THPT Chương Mỹ B, H
à N
ội
178
ĐỀ SỐ
–
THPT Hoàng Văn Thụ ,
Hịa Bình 80
ĐỀ SỐ
– THPT V
ĩnh Lộc, Huế
182
ĐỀ SỐ
- THPT Nho Quan A, Ninh Bình 184
ĐỀ SỐ
– THPT Nguy
ễn Trung Trực, B
ình
Định
185
ĐỀ SỐ
– THPT Nguy
ễn Khuyến, B
ình Ph
ước
186
ĐỀ SỐ
–
THPT Nam Hà, Đồng Nai
188
ĐỀ SỐ
–
THPT Đoàn Thượng,
H
ải Dương
190
ĐỀ SỐ
– THPT Tri
ệu Quang Phục, Hưng Yên
193
ĐỀ SỐ 10
–
THPT Cây Dương, Kiên Giang
195
Chủ đề VÉCTƠ TRONG KHÔNG GIAN
QUAN HỆ VUÔNG GĨC
V
ấn đề VÉCTƠ TRONG KHƠNG GIAN
197
D
ạng Tính tốn véctơ
199
D
ạng Chứng minh đẳng thức véctơ
203
D
ạng Quan hệ đồng phẳng
205
D
ạng Cùng phương song song
206
BÀI T
ẬP CƠ BẢN NÂNG CAO VẤN
ð
Ề
207
BÀI T
ẬP TRẮC NGHIỆM
209
V
ấn đề HAI ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC
210
D
ạng Chứng minh vng góc
211
D
ạng Góc hai đường t
h
ẳng
212
BÀI T
ẬP CƠ BẢN NÂNG CAO VẤN
ð
Ề
217
BÀI T
ẬP TRẮC NGHIỆM
218
V
ấn đề ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC MẶT PHẲNG
219
D
ạng Chứng minh đường thẳng vng góc với mặt phẳng
221
D
ạng Góc đường thẳng v
à m
ặt phẳng
226
D
ạng Thiết diện qu
a m
ột điểm v
à vng góc v
ới đường thẳng cho trước
230
D
ạng Điểm cố định
- Tìm t
ập hợp điểm
233
BÀI T
ẬP CƠ BẢN NÂNG CAO VẤN
ð
Ề
235
(5)V
ấn đề HAI MẶT PHẲNG VNG GĨC
239
D
ạng Góc hai mặt phẳng
241
D
ạng 2.
Ch
ứng minh hai mặt phẳng vuông góc
245
D
ạng Thiết diện chứa đường thẳng a v
à vng góc v
ới (α)
248
D
ạng H
ình l
ăng trụ
– Hình l
ập phương
– Hình h
ộp
250
BÀI T
ẬP TRẮC NGHIỆM
252
V
ấn đề KHOẢNG CÁCH
256
D
ạng Khoảng cách từ điểm đến đườn
g th
ẳng, mặt phẳng
257
D
ạng Khoảng cách hai đường thẳng chéo
260
BÀI T
ẬP TRẮC NGHIỆM
267
BÀI T
ẬP TỔNG HỢP CHỦ
ð
Ề
269
BÀI T
ẬP TRẮC NGHIỆM TỔNG HỢP CHỦ
ð
Ề 3
275
PHỤ LỤC
A – KI
ẾN THỨC CƠ BẢN
285
B – CÔNG TH
ỨC CƠ BẢN
286
C – M
ỘT SỐ H
ÌNH TH
ƯỜNG GẶP
287
HÌNH 287
HÌNH 289
HÌNH 290
HÌNH 292
HÌNH 294
HÌNH 6a 295
HÌNH 6b 296
(6)GIỚI HẠN – LIÊN TỤC
VVVVấn đề GIỚI HẠN CỦA D
ấn đề GIỚI HẠN CỦA D
ấn đề GIỚI HẠN CỦA D
ấn đề GIỚI HẠN CỦA DÃY S
ÃY S
ÃY SỐỐỐỐ
ÃY S
A
A
A
A GI
GI
GI
GIỚ
Ớ
Ớ
ỚI H
I H
I HẠ
I H
Ạ
Ạ
ẠN H
N HỮ
N H
N H
Ữ
ỮU H
Ữ
U H
U HẠ
U H
Ạ
Ạ
ẠN
N
N
N
Giới hạn hữu hạn
•
lim
n0
nn→+∞
u
=
⇔
u
có th
ể
nh
ỏ
h
ơ
n m
ộ
t s
ố
d
ươ
ng bé tùy ý, k
ể
t
ừ
m
ộ
t s
ố
h
ạ
ng
đ
ó tr
ở
đ
i
•
Dãy s
ố
( )
uncó gi
ớ
i h
ạ
n
Ln
ế
u:
lim
nlim
(
n)
0
n→+∞v
=
L
⇔
n→+∞v
−
L
=
L
ư
u ý: Ta có th
ể
vi
ế
t g
ọ
n: lim
u
n=
0, lim
u
n=
L
Giới hạn ñặc biệt
1)
lim1n=
2)
1
lim
0
n
=
3)
3
1
lim
0
n
=
4)
u
n=
0
⇒
lim
u
n=
0
5)
lim
C
=
C
,
∀ ∈
C
ℝ
6) lim
0
n
q
=
n
ế
u
q <1)
7)
lim 1k 0, k *n = ∈
ℕ
8) lim
q
n= +∞
n
ế
u
q
>
1
9) lim
k,
*
n
= +∞
k
∈
ℕ
ðịnh lí giới hạn
• N
ế
u hai dãy s
ố
( )
un( )
vncó gi
ớ
i h
ạ
n ta có:
1) lim
(
u
n±
v
n)
=
lim
u
n±
li
m
v
n2)
lim(
u vn n)
=lim limun vn3)
lim
lim
lim
n n
n n
u
u
v
=
v
(n
ế
u lim
v
n≠
0
)
4)
lim(
k un)
=k.limun, (k∈ )ℝ
5)
limun = limun6)
lim
2k 2klim
n n
u
=
u
(n
ế
u
u
n≥
0
) (c
ă
n b
ậ
c ch
ẵ
n)
7)
lim
2k 2k 1lim
n n
u
u
+
=
+(c
ă
n b
ậ
c l
ẻ
)
8) N
ế
u
n nu ≤v
lim
v
n=
0
lim
u
n=
0
-
ðịnh lí kẹp giới hạn dãy số:
Cho ba dãy s
ố
( )
un,
( )
vn,
(
wn)
L∈ℝ
N
ế
u
n n n
u
≤
v
≤
w
,
∀ ∈n ℕ*lim
u
n=
lim
w
n=
L
( )
vncó gi
ớ
i h
ạ
n lim
v
n=
L
• N
ế
u lim
u
n=
a
lim
v
n= ±∞
lim
0
nn
u
v
=
1) Dãy s
ố
t
ă
ng b
ị
ch
ặ
n có gi
ớ
i h
ạ
n
2) Dãy s
ố
gi
ả
m b
ị
ch
ặ
n d
ướ
i có gi
ớ
i h
ạ
n
Chú ý:
e lim 2,718281828459 n1 1+
n
= ≈
, m
ộ
t s
ố
vô t
ỉ
Tổng cấp số nhân lùi vô hạn
• M
ộ
t c
ấ
p s
ố
nhân có cơng b
ộ
i q v
ớ
i |
q
|
<
1
ñượ
c g
ọ
i c
ấ
p s
ố
nhân lùi vơ h
ạ
n
Ta có :
1 1
1
S
u
u q
u q
u
q
=
+
+… =
−
+
(v
ớ
i |
q
|
<
1
)
4
(7)B
B
B
B GI
GI
GI
GIỚ
Ớ
Ớ
ỚI H
I H
I HẠ
I H
ẠN VÔ C
Ạ
Ạ
N VÔ C
N VÔ C
N VÔ CỰ
Ự
Ự
ỰC
C
C
C
ðịnh nghĩa
•
lim
nn→+∞
u
= +∞
n
ế
u v
ớ
i m
ỗ
i s
ố
d
ươ
ng tùy ý cho tr
ướ
c, m
ọ
i s
ố
h
ạ
ng c
ủ
a dãy s
ố
, k
ể
t
ừ
m
ộ
t s
ố
h
ạ
ng
đ
ó tr
ở
đ
i,
đề
u l
ớ
n h
ơ
n s
ố
d
ươ
ng
đ
ó
•
lim
nn→+∞
u
= −∞
n
ế
u v
ớ
i m
ỗ
i s
ố
âm tùy ý cho tr
ướ
c, m
ọ
i s
ố
h
ạ
ng c
ủ
a dãy s
ố
, k
ể
t
ừ
m
ộ
t s
ố
h
ạ
ng
nào
đ
ó tr
ở
đ
i,
đề
u nh
ỏ
h
ơ
n s
ố
âm
đ
ó
•
lim
nlim
(
n)
n→+∞
u
= −∞ ⇔
n→+∞−
u
= +∞
L
ư
u ý: Ta có th
ể
vi
ế
t g
ọ
n: lim
u
n= ±∞
ðịnh lí
−
−
−
−
lim
n= +∞
lim
1
=
0
n
Neáu
u
thì
u
− N
ế
u
lim
=
0,
(
≠
0,
∀ ∈
ℕ
)
⇔
lim
1
= ∞
n n
n
u
u
n
u
Một vài qui tắc tìm giới hạn
Qui tắc 1:
N
ế
u lim
u
n= ±∞
và lim
v
n= ±∞
,
thì
lim(
u vn n)
là:
Qui tắc 2:
N
ế
u lim
u
n= ±∞
và lim
v
n=
L
≠
0
,
thì
lim(
u vn n)
là:
Qui tắc 3:
N
ế
u
lim
u
n=
L
≠
0
,
lim
v
n=
0
v
n>
0
ho
ặ
c
0
n
v
<
k
ể
t
ừ
m
ộ
t s
ố
h
ạ
ng
đ
ó tr
ở
đ
i thì:
Dạng1.Dãycógiớihạn0
A
PHƯƠNG PHÁP GIẢI
•
Dãy
( )
uncó gi
ớ
i h
ạ
n
0n
ế
u m
ỗ
i s
ố
d
ươ
ng nh
ỏ
tùy ý cho tr
ướ
c, m
ọ
i s
ố
h
ạ
ng c
ủ
a dãy
s
ố
, k
ể
t
ừ
m
ộ
t s
ố
h
ạ
ng
đ
ó tr
ở
đ
i,
đề
u có giá tr
ị
tuy
ệ
t
đố
i nh
ỏ
h
ơ
n s
ố
d
ươ
ng
đ
ó
Khi
đ
ó ta vi
ế
t:
lim( )
un =0ho
ặ
c lim
u
n=
0
ho
ặ
c
u
n→
0
*
0
limun =0⇔ ∀ >
ε
0,∃n ∈ℕ :n>n ⇒ un <ε
•
M
ộ
t s
ố
k
ế
t qu
ả
: (xem ph
ầ
n tóm t
ắ
t lý thuy
ế
t)
Chú ý: S
ử
d
ụ
ng ph
ươ
ng pháp quy n
ạ
p
ñể
ch
ứ
ng minh,
ñ
ánh giá bi
ể
u th
ứ
c l
ượ
ng giá,
nhân liên h
ợ
p c
ủ
a c
ă
n th
ứ
c, …
B
BÀI TẬP MẪU
Ví d
ụ
1.
Ch
ứ
ng minh
( )
1
3
2
−
=
+
n
n
u
n
dãy có giớ
i h
ạ
n
0Ta có:
0 13
≤ un = < <
,
∀ ∈
n
ℕ
*Mà
lim1 =0nên suy
lim
( )
1
0
3
2
−
=
n
L Dấu của vn
lim
n nu
v
+
+
− −+
−+
−+∞
−∞
−∞
+∞
lim
u
nDấu của
L lim
((((
n. n))))
u v
+∞
+∞
−∞
−∞
+
−+
−+∞
−∞
−∞
+∞
lim
u
nlim
v
n lim((((
u vn. n))))
+∞
+∞
−∞
−∞
+∞
−∞
+∞
−∞
(8)Ví d
ụ
2.
Ch
ứ
ng minh dãy sau có gi
ớ
i h
ạ
n
0:
a)
3 n
u n =
+
b)
( )
1
4
n
n
u
n
−
=
+
c)
1 n
u n
=
d)
un 1kn
=
,
k∈ℕ*c)
3 n n
u =
b)
( )
1
2
n
n n
u
=
−
c)
(
0,99
)
n nu
=
d)
(
0,97
)
nn
u
= −
Ví d
ụ
3.
Ch
ứ
ng minh dãy sau có gi
ớ
i h
ạ
n
0: a)
(
)
1
1
n
u
n n
=
+
b)
( )
2
1 cos
2
n
n
n
v
n
−
=
+
(9)Ví d
ụ
4.
Tính gi
ớ
i h
ạ
n sau:
a)
sin nn u
n =
+
b)
cos3
1
n
n
u
n
=
+
c)
( )
1
3
1
n
n n
u
=
−
+
d)
(
)
sin 1,
n n
n u =−
Ví d
ụ
5.
Tính: a)
(
)
3
2sin
1
lim
2
n
n
n n
n
+
+
+
b)
(
)
3
2
lim
3
4
n
n
−
+
c)
lim
(
n
+ −
1
n
)
d)
(
)
lim 2
n
+ −
1
n
Ví d
ụ
6.
Ch
ứ
ng minh dãy sau có gi
ớ
i h
ạ
n b
ằ
ng
0: a)
un =3 n+ −1 3nb)
v
n=
n
3+ −
1
n
(10)Ví d
ụ
7.
Cho dãy s
ố
( )
unv
ớ
i
n nn u =
a) Ch
ứ
ng minh
2
3
n
n
u
u
+<
v
ớ
i m
ọ
i
n
b) Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng dãy
( )
uncó gi
ớ
i h
ạ
n
0
Ví d
ụ
8.
Cho dãy s
ố
( )
unv
ớ
i
1 1, 1 ,4
n
n n
u
u = u + =u + n≥
a) Ch
ứ
ng minh
04 n
u
< ≤
v
ớ
i m
ọ
i
n
b) Tính lim
u
n(11)
Dạng2.Khửdạngvơđịnh
∞
∞
∞
∞
∞
∞
∞
∞
A
PHƯƠNG PHÁP GIẢI
•
ðố
i v
ớ
i dãy
1
0
0
1
0
,
0,
0
m m
m
n k k
k
a n
a n
a
u
a
b
b n
b n
b
−
−
+
+
+
=
≠
≠
+
+
+
chia c
ả
t
ử
l
ẫ
n m
ẫ
u c
ủ
a phân th
ứ
c
cho l
ũ
y th
ừ
a l
ớ
n nh
ấ
t c
ủ
a n
ở
t
ử
mn
ho
ặ
c m
ẫ
u
kn
, vi
ệ
c c
ũ
ng nh
ư
ñặ
t th
ừ
a s
ố
chung cho
mn
ho
ặ
c m
ẫ
u
n
kr
ồ
i rút g
ọ
n, kh
ử
d
ạ
ng vơ
đị
nh K
ế
t qu
ả
:
0 0
lim
khi n
m k a
u m k
b
m k
<
= =
±∞ >
(d
ấ
u
+∞
ho
ặ
c
−∞
tùy theo d
ấ
u c
ủ
a
0
a
b
)
•
ðố
i v
ớ
i bi
ể
u th
ứ
c ch
ứ
a c
ă
n b
ậ
c hai, b
ậ
c ba c
ũ
ng
đ
ánh giá b
ậ
c t
ử
m
ẫ
u
để
đặ
t th
ừ
a s
ố
chung r
ồ
i
đư
a ngồi c
ă
n th
ứ
c, vi
ệ
c c
ũ
ng nh
ư
chia t
ử
m
ẫ
u cho l
ũ
y th
ừ
a s
ố
l
ớ
n c
ủ
a
n
ở
t
ử
ho
ặ
c m
ẫ
u
•
ðố
i v
ớ
i bi
ể
u th
ứ
c m
ũ
chia t
ử
m
ẫ
u cho m
ũ
có c
ơ
s
ố
l
ớ
n nh
ấ
t
ở
t
ử
ho
ặ
c m
ẫ
u, vi
ệ
c
c
ũ
ng nh
ư
ñặ
t th
ừ
a s
ố
chung cho t
ử
m
ẫ
u s
ố
h
ạ
ng
đ
ó
Bi
ế
n
ñổ
i rút g
ọ
n, chia tách, tính t
ổ
ng, k
ẹ
p gi
ớ
i h
ạ
n, … s
ử
d
ụ
ng k
ế
t qu
ả
ñ
ã bi
ế
t
B
BÀI TẬP MẪU
Ví d
ụ
9.
Tính gi
ớ
i h
ạ
n sau:
a)
lim2n n
+
+
b)
2
3
5
lim
3
4
n
n
n
−
+
+
c)
3
3
1
lim
2
2
n
n
n
n
n
+
− +
+
+
d)
4
2
1
lim
3
2
n
n
n
+
+ +
(12)Ví d
ụ
10.
Tính gi
ớ
i h
ạ
n sau:
a)
lim
3
3 21
4
6
n
n
n
n
− +
+
+
b)
4
4
lim
5
n
n
+
+
c)
3
2
3
2
lim
3
2
n
n
n
−
+
−
−
d)
lim
33
22
4
6
9
n
n
n
n
n
+
−
−
+
+
e)
(
)(
)
2
2 3
1
lim
4
1
n
n
n
n
+
+
+ +
f)
(
) (
)
(
)
2
2
1
4
lim
3
5
n
n
n
+
−
+
Ví d
ụ
11.
Tính gi
ớ
i h
ạ
n sau:
a)
lim
423
2
2
3
n
n
n
n
+
−
− +
b)
3
7
5
8
lim
12
n
n
n
n
−
−
+
+
c)
lim
2
21 3
n
n
n
−
−
d)
4
6
1
lim
2
1
n
n
n
+ +
+
(13)Ví d
ụ
12.
Tính gi
ớ
i h
ạ
n sau:
a)
lim
4
2.3
4
n
n
+
nb)
3
2.5
lim
7 3.5
n n
n
−
+
c)
1
3.2
2.3
lim
4 3
n n
n
+ +
−
+
d)
2
2
5
lim
3
5.4
n n
n n
+
+
+
Dạng3.Khửdạngvôđịnh
∞
∞
∞
∞
∞
∞
∞
∞
A
PHƯƠNG PHÁP GIẢI
•
ðố
i v
ớ
i dãy
un =a nm m+am−1nm−1+ +a0, am ≠0đặ
t th
ừ
a s
ố
chung m cho th
ừ
a s
ố
l
ớ
n
nh
ấ
t c
ủ
a n n
mKhi
đ
ó: lim
u
n= +∞
n
ế
u
a
m>
0
lim
u
n= −∞
n
ế
u
a
m<
0
•
ðố
i v
ớ
i bi
ể
u th
ứ
c ch
ứ
a c
ă
n th
ứ
c nhân, chia l
ượ
ng liên h
ợ
p b
ậ
c hai, b
ậ
c ba
ñể
ñư
a v
ề
d
ạ
ng:
2
A B
A
B =
A
B
−
+
−
3
3
3
2 2
A
B
A
B =
A
B A
B
+
+
+
−
A
B =
A
B
A
B
−
+
−
3
3
3
2 2
A
B
A
B =
A
B A
B
−
−
+
+
2
A
B
A
B =
A
B
−
−
+
3
3 2 3 2
A
B
A
B =
A
A.B
B
+
+
+
−
A
B =
A B
A
B
−
−
+
3
3 2 3 2
A
B
A
B =
A
A.B
B
−
−
+
+
•
ðặ
c bi
ệ
t,
đ
ơi ta thêm, b
ớ
t
đạ
i l
ượ
ng
đơ
n gi
ả
n
để
xác
đị
nh gi
ớ
i h
ạ
n m
ớ
i có
d
ạ
ng vơ
đị
nh, ch
ẳ
ng h
ạ
n:
(
) (
)
3
n
3+
2
−
n
2+ =
1
n
3+ −
2
n
+
n
−
n
2+
1
;
(
) (
)
3
2
2
2
n
+
n
+
−
n
=
n
+
n
−
n
+
n
+
−
n
•
ðố
i v
ớ
i bi
ể
u th
ứ
c khác, bi
ể
u th
ứ
c h
ỗ
n h
ợ
p xem xét
đặ
t th
ừ
a s
ố
chung c
ủ
a m
ũ
có c
ơ
(14)B
BÀI TẬP MẪU
Ví d
ụ
13.
Tính gi
ớ
i h
ạ
n sau:
a)
lim
(
14
7
)
n
−
n
−
b)
lim 2
(
−
n
2+
3
n
−
19
)
c)
lim 2n2− +n 1d)
lim3−8n3+n2− +n 3
Ví d
ụ
14.
Tính gi
ớ
i h
ạ
n sau:
a)
lim
(
1
)
n
+ + −
n
n
b)
lim
(
n
+ −
1
n n
)
c)
lim
(
3n
3+
n
2−
3n
3+
1
)
d)
lim
(
3n
3+ −
1
n
)
e)
lim
(
3n
3+
n
2−
n
2+
3
n
)
f)
23 3
2
lim
2
n n
n n n
+ − +
+ − +
(15)Ví d
ụ
15.
Tính gi
ớ
i h
ạ
n sau:
a)
lim
(
n n
−
2
n
+
1
)
b)
lim
(
3n
2+ −
7 2
n
)
c)
lim
(
n
2− −
n
n
)
d)
lim
(
2
1
)
n
+ +
n
−
n
+
e)
lim
1
2
1
n
+ −
n
+
f)
2
lim
3
n
+
2
−
2
n
+
1
(16)Dạng4.Cấpsốnhânlùivôhạn
A
PHƯƠNG PHÁP GIẢI
M
ộ
t c
ấ
p s
ố
nhân có cơng b
ộ
i q v
ớ
i |
q
|
<
1
đượ
c g
ọ
i c
ấ
p s
ố
nhân lùi vơ h
ạ
n
Ta có:
1
+
1+
=
+
… =
1S
u
u q u
q
u
1 q
−
, v
ớ
i |
q
|
<
1
B
BÀI TẬP MẪU
Ví d
ụ
16.
Bi
ể
u di
ễ
n s
ố
th
ậ
p phân vơ h
ạ
n tu
ầ
n hồn sau d
ướ
i d
ạ
ng phân s
ố
: 0, 444…; 0, 212121…
Ví d
ụ
17.
T
ổ
ng c
ủ
a m
ộ
t c
ấ
p s
ố
nhân lùi vô h
ạ
n
53
, t
ổ
ng ba s
ố
h
ạ
ng
đầ
u tiên c
ủ
a
3925
Tìm s
ố
h
ạ
ng
đầ
u cơng b
ộ
i c
ủ
a c
ấ
p s
ố
đ
ó
Ví d
ụ
18.
Cho
q <1Tính t
ổ
ng vơ h
ạ
n sau:
a)
1 2
3
n
A
= +
q
+
p
+
+
nq
−+
b)
1 4
9
n
B
= +
q
+
p
+
+
n q
−+
(17)BI T
BI T
BI T
BI TẬ
ẬP CƠ
Ậ
Ậ
P CƠ
P CƠ
P CƠ B
BB
BẢ
Ả
ẢN NÂNG CAO V
Ả
N NÂNG CAO VẤ
N NÂNG CAO V
N NÂNG CAO V
Ấ
Ấ
ẤN Đ
N Đ
N ĐỀỀỀỀ 1
N Đ
1
1
1
Bài 1.
Tìm gi
ớ
i h
ạ
n sau:
1)
lim 2
(
3
5
)
n
n
−
+
+
2)
lim 3n4+5n3−7n3)
lim 3
(
n
3−
7
n
+
11
)
4)
lim 2 2n −n + +n
5)
lim 23 + n−n36)
lim
(
−
n
3−
3
n
−
2
)
Bài 2.
Tìm gi
ớ
i h
ạ
n sau:
1)
24
1
lim
3 2
n
n
n
− −
+
2)
3
3
2
3
1
lim
n
n
n
n
−
+
+
3)
3
3
5
1
lim
4
n
n
n
−
+
+
4)
(
) (
)
3
5
2 3
1
lim
1 4
n
n
n
−
+
−
5)
lim n n − +6)
23
2
1
lim
4
5
2
n
n
n
n
−
+
+
−
7)
4
3
lim
3
1
n
n
n
−
+
+
8)
(
)(
)
(
)(
)
1 lim
3
n n
n n
+ −
+ +
9)
(
)(
)
(
)
23
2 4
5
lim
2
3
−
+
−
n
n
n
n
10)
(
)
(
)
(
)
(
)
22
1
1
lim
2
5 2
n
n
n
n
n
n
−
− +
−
+
−
11)
(
) (
)
(
)
3
9
2
1
3
lim
3
1
n
n
n
−
−
+
12)
(
)
(
)
(
)
(
)
1
3
2
lim
2
1 3
n
n
n
n
n
+
−
+
−
+
−
13)
2
1
lim
2
3
n
n
n
n
−
+
− +
14)
3
6
2
1
lim
2
n
n
n
n
−
+
−
15)
(
)(
)
(
)
4
1
lim
2
1
1
2
n
n
n
n
n
− +
+
− +
+
16)
(
)
(
)
(
)(
)
2 1 lim1
n n
n n
+ −
+ −
17)
lim
2
3
2
3
2
n
n
n
+
−
−
18)
2
3
lim
5
1
n
n
n
− −
−
Bài 3.
Tìm gi
ớ
i h
ạ
n sau:
1)
lim
3
1
21 2
n
n
n
+ +
−
2)
2
lim
2
1
n n
n
+
n
−
3)
1
lim
1
n
n
+
+
4)
3lim
2
n
n
n
+
+
5)
22
3
lim
2
n
n
n
n
n
+
+
+ −
6)
(
)(
)
(
)(
)
2
lim
1
n n n
n n
+ +
+ −
7)
lim
2
23
1
n n
n
n
+
+ +
8)
1 2
lim
3
2
n
n
n
n
+ + +
+
+ −
9)
2
3
lim
3
2
n n
n
n
+
+
+
Bài 4.
Tìm gi
ớ
i h
ạ
n sau:
1)
2 lim n n n n − − +
2)
(
)
24
3 2
1
lim
3 2
n
n
n
n
n
+ −
+
+ −
3)
2
2
lim
3
n n n
n n
+ − + −
+ +
4)
2
4
lim
2
n n
n n n
+ − +
(18)5)
lim
3
n
21
n
21
n
+ −
−
6)
2
1
lim
2
4
n
+ −
n
+
7)
(
)
3
2 lim
1
n n n
n n
− +
+ −
8)
lim
2
1
3
1
n
n
n
− −
+
9)
lim
1
4
2
3
n
n
n
n
+ − −
−
+
10)
2
4
lim
4
n n
n n n
+ − −
+ + −
11)
2 lim
3
n n n
n n − + +
−
12)
2
4
lim
4
n n
n n n
+ − +
+ +
Bài 5.
Tìm gi
ớ
i h
ạ
n sau:
1)
lim
(
1
2
)
n
n
− −
n
+
2)
lim
n
(
n
2+ −
1
n
2−
2
)
3)
lim 1
(
3
1
)
n
n
n
+
−
+
+
4)
lim 2
(
n
− −
1
4
n
2−
6
n
+
7
)
5)
lim
(
3
5
)
n
−
n
− +
n
6)
lim
(
n
2+
2
n
− −
n
1
)
7)
lim
(
2
1
)
n
+
n
− +
n
8)
lim
(
n
2+
n
−
n
2−
1
)
9)
lim
(
n
+ −
1
n
)
10)
lim
(
n
2+ + −
n
1
n
)
11)
lim
(
2
1
)
n
+ +
n
−
n
+
12)
lim
(
32
n n
−
+ −
n
1
)
13)
lim
1
2
1
n
+ −
n
+
14)
2
1
1
lim
3
2
n
n
n
+ −
+
+
9)
lim
1
3
n
+
2
−
2
n
+
1
10)
(
)
3
lim
n
+
n
−
n
11)
lim
(
32
)
n
−
n
−
n
12)
lim
(
3n
3−
2
n
2−
2
n
+
1
)
13)
lim
(
3)
n
−
n
+
n
14)
lim
(
3n
3+ −
1
n
)
15)
lim
(
32
)
n
n
−
+
16)
(
)
3
2
2 lim
1
n n n
n n
− +
+ −
17)
lim
(
38
1 2
)
n
+
n
− + −
n
18)
lim
(
3n
3−
3
n
−
n
2+
4
n
)
Bài 6.
Tìm gi
ớ
i h
ạ
n sau:
1)
lim 4 n(
2)
n+ −
2)
lim 2
n1
n
+
3)
( )
2
4.5
lim
2.4
3.5
n n
n n
+
−
−
+
4)
lim
2
3
4
n n
n
π
−
+
5)
lim
1 2
1 2
n
n
−
+
6)
(
)
( )
12
3
lim
2
3
n n
n+ n+
−
+
−
+
7)
lim
3
4
3
4
n n
n n
−
+
8)
1
2
3
lim
2
3
n n
n n
+ +
+
+
9)
3
1
2
3
4
lim
2
3
4
n n n
n n n
+
+ −
+
−
(19)10)
( )
( )
21
lim
2
1
n nn
n
++ −
+ −
11)
3 4
lim
1 3.4
n n+
+
12)
3
4
5
lim
3
4
5
n n n
n n n+
−
+
+
+
13)
2
3
lim
2
5.3
n n n n ++
+
14)
3
4
1
lim
2.4
2
n n n n−
+
+
15)
4.3
7
lim
2.5
7
n n n n ++
+
16)
lim 2
(
n3
n)
−
17)
lim
3
2.5
7 3.5
n n n−
+
18)
4
5
lim
2
3.5
n n n n−
+
19)
1
2
3
4.5
lim
2
3
5
n n n
n n n
+
+ + +
−
+
+
+
20)
2
1
lim
(
1;
1)
1
n
n
a
a
a
a
b
b b
b
+ +
+
+
<
<
+ +
+
+
…
…
với
Bài 7.
Tính t
ổ
ng vơ h
ạ
n:
1)
1 12
S= + + + +…
2)
1 13 27 S= − + − +…
3)
2 27
S= + + + …
4)
2 1
1
1
2
2 2
2
S
=
+
+
+
+
−
−
…
5)
1S= + + + + +
6)
1 1
3 27 81
3 27 81
S
=
…7)
S
= +
1 0,9
+
(
0,9
)
2+
(
0,9
)
2+…
8)
34 34 34100 10000 1000000
S= + + +…
Bài 8.
Tìm phân s
ố
b
ằ
ng s
ố
th
ậ
p phân vơ h
ạ
n tu
ầ
n hồn sau:
1)
34, 12( )
…2)
0, 25( )
…3)
3, 123(
)
…4) 2,131131…
Bài 9.
Cho hai dãy s
ố
( )
un( )
vnCh
ứ
ng minh r
ằ
ng n
ế
u lim
v
n=
0
un ≤vn
v
ớ
i m
ọ
i
n
lim
u
n=
0
Áp d
ụ
ng tính gi
ớ
i h
ạ
n c
ủ
a dãy s
ố
sau:
1)
! n
u n
=
2)
( )
1
2
1
n nu
n
−
=
−
3)
( )
2
1
1 2
n nn
u
n
−
−
=
+
4)
(
0,99 cos
)
nn
u
=
n
5)
5n cosn
u = − nπ
BI T
BI T
BI T
BI TẬ
Ậ
ẬP TR
Ậ
P TR
P TRẮ
P TR
Ắ
Ắ
ẮC NGHI
C NGHI
C NGHIỆỆỆỆM
C NGHI
M V
M
M
V
V
VẤ
Ấ
ẤN Đ
Ấ
N Đ
N Đ
N ĐỀỀỀỀ 1
1
1
1
Câu 1.
Dãy s
ố
sau
đ
ây có gi
ớ
i h
ạ
n khác
0?
A
n
1
n
−
B
n
C
1
1
n
+
D
cosn n
Câu 2.
Dãy s
ố
sau
đ
ây có gi
ớ
i h
ạ
n b
ằ
ng
0?
A
2 n
B
5 n −
C
2
n
D
4 n −
Câu 3.
Dãy sau
đ
ây khơng có gi
ớ
i h
ạ
n?
A
3 n
B
2 n −
C
(
0,99
)
n
−
D
( )
−
1
nCâu 4.
lim
( )
1
2
n
n
−
(20)A
1
2
B
0C
−1D
1
2
−
Câu 5.
lim4 n n −
có giá tr
ị
b
ằ
ng
A
1
4
B
1
4
−
C
1
2
D
1
2
−
Câu 6.
lim35 n n
n
+
có giá tr
ị
b
ằ
ng
A
1B
0C
3
5
D
8
5
Câu 7.
lim 242
n n
n n
− + −
− +
có giá tr
ị
b
ằ
ng
A
−∞
B
−2C
0D
−6Câu 8.
4
2
lim
3
n n
n n
− +
+
có giá tr
ị
b
ằ
ng
A
0B
2
3
C
+∞D
2
5
Câu 9.
2
3
2
lim
2
n n
n n
−
+ −
có giá tr
ị
b
ằ
ng
A
3
2
−
B
0C
1D
3
2
Câu 10.
3
2
2
lim
2 n n
n n
− +
+ −
có giá tr
ị
b
ằ
ng
A
2B
0C
+∞D
−2Câu 11.
(
)(
)
(
)
(
)(
)
2
4
2
2
1 4
5
lim
3
1 3
7
n
n
n
n
n
n
n
+
+
+
−
−
−
có giá tr
ị
b
ằ
ng
A
0B
8
3
C
1D
+∞Câu 12.
(
)(
)
(
)
(
)
3
4
2
3
1
lim
2
1
7
n n
n
n
n
−
+
−
−
có giá tr
ị
b
ằ
ng
A
1B
3C
3
2
−
D
+∞Câu 13.
lim 2
(
2
3
)
n
n
−
−
+
có giá tr
ị
b
ằ
ng
A
−2B
−1C
+∞D
−∞
Câu 14.
lim 3
(
4
1
)
n
+
n
− +
n
có giá tr
ị
b
ằ
ng
A
−∞
B
+∞C
3D
7Câu 15.
2
9
2
lim
3
2
n
n
n
n
− −
+
−
có giá tr
ị
b
ằ
ng
A
1B
3C
0D
+∞Câu 16.
lim(
4 1)
(21)A
3B
1C
0D
+∞Câu 17.
lim(
2 1 2)
n + n− − n +n
có giá tr
ị
b
ằ
ng
A
1
−
2
B
+∞C
−1D
−∞
Câu 18.
lim(
2 3)
n − n+ −n
có giá tr
ị
b
ằ
ng
A
−1B
0C
+∞D
1Câu 19.
lim(
2 1 2 3 2)
n − + −n n − n+
có giá tr
ị
b
ằ
ng
A
2
B
0C
+∞D
−∞
Câu 20.
lim
1
1
1
2
n
n
−
+
+
có giá tr
ị
b
ằ
ng
A
1B
0C
1
2
D
+∞Câu 21.
lim n(
n+2− n−3)
có giá tr
ị
b
ằ
ng
A
−1B
0C
1D
+∞Câu 22.
N
ế
u lim
u
n=
L
lim3
n
u +
có giá tr
ị
b
ằ
ng
A
L+2B
3L
+
8
C
3L
+
2
D
8 L+Câu 23.
N
ế
u lim
u
n=
L
lim
1
9
n
u
+
có giá tr
ị
b
ằ
ng
A
3
L+
B
1
L+
C
1
L+
D
1 L+
Câu 24.
3
1
lim
8
n
n
+
+
có giá tr
ị
b
ằ
ng
A
1B
1
2
C
1
8
D
+∞Câu 25.
3
2
8
2
1
lim
2
1
n
n
n
+
−
+
có giá tr
ị
b
ằ
ng
A
2
B
2C
1D
+∞Câu 26.
lim( )
1 cos1 n
n n
n + −
−
có giá tr
ị
b
ằ
ng
A
2
B
3
C
5
D
−1Câu 27.
lim 3
n5
n
−
có giá tr
ị
b
ằ
ng
(22)Câu 28.
( )
( )
1
5
2
1
lim
5.2
5
3
n n n n + +
−
+
+
−
có giá tr
ị
b
ằ
ng
A
1
3
−
B
5
C
2
5
−
D
1
5
−
Câu 29.
lim 222 23
n n n
n n n
π
π
++ +
− +
có giá tr
ị
b
ằ
ng
A
1B
1
4
C
+∞D
−1Câu 30.
21
lim
2
n
n
n
n
+
+
−
−
có giá tr
ị
b
ằ
ng
A
1B
2C
0D
−1Câu 31.
lim(
3 2)
n − n −n
có giá tr
ị
b
ằ
ng
A
2
3
−
B
1
3
C
1D
0Câu 32.
lim(
3 2 3)
n −n + n
có giá tr
ị
b
ằ
ng
A
1
3
B
+∞C
1D
0Câu 33.
Dãy s
ố
sau
ñ
ây có gi
ớ
i h
ạ
n b
ằ
ng
0?
A
12 n n u n n + =+
B
1 3
.
3
nn
u
n
n
−
=
+
C
2 n n u n + =
+
D
1 2
.
5
nn
u
n
−
=
+
Câu 34.
Dãy s
ố
sau
đ
ây có gi
ớ
i h
ạ
n
+∞?A
2 2 3 n n n u n n + = +B
1 2
.
3
3
nn
u
n
+
=
+
C
2 3 n n u n + =
+
D
2 n n u n n + = +
Câu 35.
Dãy s
ố
sau
đ
ây có gi
ớ
i h
ạ
n
+∞?A
322 n n n u n n + =
+
B
2018 2017
.
1
nn
u
n
+
=
+
C
2017 2016 n
u = n− n
D
un =n2+1.Câu 36.
Trong gi
ớ
i h
ạ
n sau
ñ
ây, gi
ớ
i h
ạ
n b
ằ
ng
−1?A
3 lim n n −− +
B
3 3 lim n n −
− +
C
2 3 lim 3 n n n −
− +
D
3 lim n n − − −
Câu 37.
Trong gi
ớ
i h
ạ
n sau
ñ
ây, gi
ớ
i h
ạ
n b
ằ
ng
0?A
lim 235
n n
+
− −
B
3 2 lim n n n −
− +
C
2 2 lim n n n n −
− +
D
3 lim n n + −
Câu 38.
Trong gi
ớ
i h
ạ
n sau
ñ
ây, gi
ớ
i h
ạ
n
1?
A
lim 23 nn +
− −
B
3 2 lim n n n −
−
C
2 3 lim n n n n −
− +
D
4 lim n n + +
Câu 39.
Dãy s
ố
sau
đ
ây khơng có gi
ớ
i h
ạ
n?
A
lim( )
1 sin n nπ
π
− +
B
lim sin(
nπ
)
C
lim cos nπ
π
+
(23)Câu 40.
Dãy s
ố
sau
đ
ây có gi
ớ
i h
ạ
n b
ằ
ng
1?
A
lim sin(
nπ)
B
lim cos(
nπ)
C
lim sin 2n
n
π
+
−
D
cos
2
lim
n
n
n
−
Câu 41.
T
ổ
ng
1
1
21
5 5
5
nS
=
+
+
+
+
có giá tr
ị
b
ằ
ng
A
1
5
B
1
4
C
2
5
D
5
4
Câu 42.
T
ổ
ng
( )
1
1
1
1
1
+ +
2
4
8
2
n
n
S
+
−
=
+ −
+
+
A
1B
1
3
C
3
.
4
D
2
3
Câu 43.
lim
1
2(
2
1
)
5
4
n
n
+ + +
+
+
−
có giá tr
ị
b
ằ
ng
A
0B
1
4
−
C
1
5
D
+∞Câu 44.
lim
1
22
n
n
+ + +
+
−
có giá tr
ị
b
ằ
ng
A
1B
+∞C
0D
1
2
−
Câu 45.
(
)
1 1
lim
1.2 2.3 n n
+ + +
+
có giá tr
ị
b
ằ
ng
A
1
2
B
1C
0D
−∞
Câu 46.
K
ế
t qu
ả
ñ
úng c
ủ
a
lim cos 22n n
n
−
+
là:
A
4B
5C
–4D
4
Câu 47.
K
ế
t qu
ả
ñ
úng c
ủ
a
2
2 5
lim
3
2.5
n
n n
−
−
+
là:
A
–
2
B
1
C
2
D
–
2 25
Câu 48.
K
ế
t qu
ả
ñ
úng c
ủ
a
2
2
1
lim
3
2
n
n
n
−
+
+
+
A
–
3
3
B
–
3
C
–
2
D
2
Câu 49.
Gi
ớ
i h
ạ
n dãy s
ố
( )
unv
ớ
i
4
3
4
5
n
n n
u
n
−
=
−
A
–∞
B
+∞
C
D
0Câu 50.
lim
3
4.2
3
3.2
4
n n
n n −
−
−
(24)Câu 51.
Ch
ọ
n k
ế
t qu
ả
ñ
úng c
ủ
a
3
2
5
lim
3 5
n
n
n
−
+
+
A
5B
5
C
–∞
D
+∞
Câu 52.
Giá tr
ị
ñ
úng c
ủ
a
lim
(
n
2− −
1
3
n
2+
2
)
A
+∞
B
–∞
C
–2D
0Câu 53.
Giá tr
ị
ñ
úng c
ủ
a
lim 3
(
n−
5
n)
A
–∞
B
C
2D
–2Câu 54.
lim
2sin
2
5
n
n
π
n
−
b
ằ
ng
A
+∞
B
0C
–2D
–∞
Câu 55.
Giá tr
ị
ñ
úng c
ủ
a
lim n(
n+ −1 n−1)
A
–1B
0C
1D
+∞
Câu 56.
Cho dãy s
ố
( )
unv
ớ
i
(
1
)
42
22
1
u
n
u
n
n
n
+
=
−
+
−
Ch
ọ
n k
ế
t qu
ả
ñ
úng c
ủ
a lim
u
nA
–∞
B
0
C
1D
+∞
Câu 57.
lim
5
1
3
1
n
n
−
+
b
ằ
ng
A
+∞
B
1C
0D
–∞
Câu 58.
4
1
lim
1
n
+
n
+
b
ằ
ng
A
+∞
B
10C
0D
–∞
Câu 59.
lim 200 35 2n n
− +
b
ằ
ng
A
0B
1C
+∞
D
–∞
Câu 60.
Cho dãy s
ố
có gi
ớ
i h
ạ
n
( )
unxác
ñị
nh b
ở
i:
1
1
1
2
1
,
1
2
n
n
u
u
n
u
+
=
=
≥
−
Tìm k
ế
t qu
ả
đ
úng c
ủ
a lim
u
nA
0B
1C
–1D
12
Câu 61.
Tìm giá tr
ị
đ
úng c
ủ
a
2 1
1 1
1
2 8
2
nS
=
+
+
+
+
+
+
A
2 1
+
B
2C
2
D
12
Câu 62.
1
2
4
2
lim
3
4
n n
n n +
+
+
+
b
ằ
ng:
A
0B
2
C
4
(25)Câu 63.
Tính gi
ớ
i h
ạ
n:
lim
1 4
1
n
n
n
+ −
+ +
A
1B
0C
–1D
12
Câu 64.
Tính gi
ớ
i h
ạ
n
lim
1 5
2(
2
1
)
3
4
n
n
+ + + +
+
+
A
0B
3
1
C
3
2
D
1
Câu 65.
Tính gi
ớ
i h
ạ
n
(
)
1
1
1
lim
1.3 3.5
n
2
n
1
+
+
+
+
A
1B
0C
3
D
2Câu 66.
Tính gi
ớ
i h
ạ
n
(
)
1
1
1
lim
1.3 2.4
n n
2
+
+
+
+
A
2
3
B
1
C
0D
3 2
Câu 67.
Tính gi
ớ
i h
ạ
n
lim 1
1
21
1
21
1
22
3
n
−
−
−
A
1B
2
C
4
D
2
Câu 68.
Ch
ọ
n k
ế
t qu
ả
ñ
úng c
ủ
a
2
1
1
lim 3
3
2
nn
n
−
+
−
+
A
4B
3C
2D
1
2
Câu 69. Tổng vô hạn 12 27 81
4 16
− + − + … bằng:
A 48
7 B
39
4 C
75
16 D Không tồn Câu 70. Biểu diễn số thập phân 1, 245454545… phân số:
A 249
200 B
137
110 C
27
22 D
(26)VVVVấn đề GIỚI HẠN CỦA H
ấn đề GIỚI HẠN CỦA H
ấn đề GIỚI HẠN CỦA H
ấn đề GIỚI HẠN CỦA HÀM S
ÀM S
ÀM SỐỐỐỐ
ÀM S
Giới hạn hữu hạn
•
Giới hạn điểm: Cho kho
ả
ng
Kch
ứ
a
ñ
i
ể
m
x
0hàm s
ố
y= f x( )
xác
ñị
nh
Kho
ặ
c
K\{ }
x0Dãy
( )
xnb
ấ
t kì,
xn∈K\{ }
x0x
n→
x
0,
limf x( )
n =L•
Giới hạn bên phải: Cho hàm s
ố
y= f x( )
xác
ñị
nh kho
ả
ng
(
x0; b)
:
( )
lim+
→ = ⇔
x x
f x L dãy
( )
xnb
ấ
t kì,
x
0<
x
n<
b
x
n→
x
0 lim f x( )
n =L•
Giới hạn bên trái: Cho hàm s
ố
y= f x( )
xác
ñị
nh kho
ả
ng
(
a x; 0)
:
( )
lim− →
= ⇔
x x
f x L dãy
( )
xnb
ấ
t kì,
a
<
x
n<
x
0x
n→
x
0 lim f x( )
n =L•
Cho hàm s
ố
y= f x( )
xác
ñị
nh kho
ả
ng
(
a;+∞)
:
( )
lim
→+∞
=
⇔
x
f x
L
dãy( )
xnb
ấ
t kì,
x
n>
a
x
n→ +∞
lim f x
( )
n =L•
Cho hàm s
ố
y= f x( )
xác
ñị
nh kho
ả
ng
(
−∞; a)
:
( )
lim
→−∞
=
⇔
x
f x
L
dãy
( )
xnb
ấ
t kì,
x
n<
a
x
n→ −∞
lim f x
( )
n =L
Giới hạn vô cực
•
Cho hàm s
ố
y= f x( )
xác
ñị
nh kho
ả
ng (
a
;
+ ∞
)
dãy
( )
xnb
ấ
t kì,
x
n>
a
x
n→ +∞
lim f x
( )
n = −∞•
Cho kho
ả
ng
Kch
ứ
a
đ
i
ể
m
x
0hàm s
ố
y= f x( )
xác
ñị
nh
Kho
ặ
c
K\{ }
x0.
( )
0
lim
→
= +∞ ⇔
x x
f x
dãy
( )
xnb
ấ
t kì,
xn∈K\{ }
x0x
n→
x
0lim f x
( )
n = +∞•
Các gi
ớ
i h
ạ
n:
lim
( )
x→+∞
f x
= +∞
,
xlim
→−∞f x
( )
= +∞
,
xlim
→−∞f x
( )
= −∞
ñượ
c
ñị
nh ngh
ĩ
a t
ươ
ng t
ự
Nh
ậ
n xét:
f x( )
có gi
ớ
i h
ạ
n
+∞
⇔ −f x( )
có gi
ớ
i h
ạ
n
−∞
Các giới hạn ñặc biệt
1)
0
0 lim
x x
x x
→
=
2)
0
0 lim
x x
x x
→
=
(
c
: h
ằ
ng s
ố
)
3)
lim xc
x
→±∞ =
(
c
: h
ằ
ng s
ố
)
4)
lim 1kx→+∞
x
=5) lim
k
x→+∞
x
= +∞
(
k∈ *ℕ
)
6)
lim kx x
∞
∞
→−∞
+
=
−
neáu k chẵn nếu k lẻ
ðịnh lí giới hạn hữu hạn
•
ðịnh lí
- N
ế
u
( )
0
lim
x x
f x
L
→=
( )
lim
x x
g x
M
→
=
, thì:
( )
0
lim
.
x x
c f x
c L
→=
(v
ớ
i C h
ằ
ng s
ố
)
( )
( )
0
lim
x x
f x
g x
L M
→+
=
+
( )
( )
0
lim
x x
f x
g x
L M
→−
=
−
( ) ( )
0
lim
.
.
x x
f x g x
L M
→=
( )
0
lim
x x
L
x
M
→=
(
M ≠0)
( )
0
lim
x x
f x
L
→
=
( )
0
3
lim
x x
f x
L
→
=
N
ế
u
( )
0
lim
x x
f x
→= + ∞
( )
1
lim
0
x→x
f x
(27)- N
ế
u
f x( )
≥0( )
lim
x x
f x
L
→=
L≥0
( )
0
lim
x x
f x
L
→
=
Chú ý:
ðị
nh lí v
ẫ
n
đ
úng
x→ ±∞•
ðịnh lí
( )
( )
( )
0 0 0
lim
lim
lim
x x x x x x
f x
L
f x
f x
L
+ −
→ → →
=
⇔
=
=
•
ðịnh lí ðịnh lí kẹp: Gi
ả
s
ử
Jm
ộ
t kho
ả
ng ch
ứ
a
x
0f
,
g,
hba hàm s
ố
xác
ñị
nh
trên t
ậ
p h
ợ
p
J \{ }
x0N
ế
u
f x( )
≤g x( )
≤h x( )
,
∀ ∈x J\{ }
x00
lim ( ) lim ( )
x x x x
f x h x L
→ →
= =
0
lim ( ) x x
g x L
→
=
Quy tắc giới hạn vô cực
•
Quy t
ắ
c tìm gi
ớ
i h
ạ
n c
ủ
a tích
( ) ( )
f x g x
•
Quy t
ắ
c tìm gi
ớ
i h
ạ
n c
ủ
a th
ươ
ng
( )
( )
f x g x
( )
0lim
x x x x x
f x
±
→ → →±∞
( )
0lim
x x x x x
g x
±
→ → →±∞
( ) ( )
0
lim
x x x x x
f x g x
±
→ → →±∞
0
L>
+∞
+∞
−∞
−∞
0
L<
+∞
−∞
−∞
+∞
( )
0lim
x x x x x
f x
±
→ → →±∞
( )
0lim
x x x x x
g x
±
→ → →±∞
D
ấ
u
c
ủ
a
( )
g x
( )
( )
0lim
x x x x x
f x
g x
±
→ → →±∞
L
±∞
Tùy ý0
L> 0
+
+∞
−
−∞
0
L<
+
−∞
−
+∞
Dạng1.Địnhnghĩagiớihạn
A
PHƯƠNG PHÁP GIẢI
•
ðị
nh ngh
ĩ
a tính ch
ấ
t (Xem ph
ầ
n tóm t
ắ
t lí thuy
ế
t)
•
Chú ý:
1)
Theo
đị
nh ngh
ĩ
a gi
ớ
i h
ạ
n hàm s
ố
f x( )
c
ơ
s
ở
gi
ớ
i h
ạ
n dãy
f x( )
nN
ế
u có
dãy
x
nx
n′
ti
ế
n
ñế
n
x
0mà
lim f x( )
n ≠lim f x( )
n′khơng t
ồ
n t
ạ
i
( )
0
lim
x→x
f x
2)
V
ớ
i m
ọ
i s
ố
nguyên d
ươ
ng
k, ta có: lim
kx→+∞
x
= +∞
;
2
lim
kx→−∞
x
= +∞
,
2
lim
k xx
+
→−∞
= −∞
,
lim k x→±∞x =3)
Xác
ñị
nh d
ấ
u
+∞
ho
ặ
c –∞
d
ự
a d
ấ
u c
ủ
a tích s
ố
, th
ươ
ng s
ố
,
x→x0+,
x→x0−,
x→ ±∞B
BÀI TẬP MẪU
Ví d
ụ
19.
Dùng
đị
nh ngh
ĩ
a tìm gi
ớ
i h
ạ
n
2
3
4
lim
1
→−
−
−
+
x
x
x
x
Xét hàm s
ố
:
f x( )
=2
3
4
1
−
−
+
x
x
(28)và lim
x
n = −1, ta có:
f x( )
n =(
)(
)
2 3 4
1
4
1
− − + −
= = −
+ +
n n n n
n
n n
x x x x
x
x x
⇒
f x( )
n =lim(
xn−4)
=limxn−lim 4= − −1 4= −5, nên
3
4
lim
5
1
→−
−
−
= −
+
x
x
x
x
Ví d
ụ
20.
Dùng
đị
nh ngh
ĩ
a, tính gi
ớ
i h
ạ
n sau:
a)
(
)
4
lim 3
1
x→
x
− +
x
b)
3
lim
6
x→−
x
−
c)
2
3
4
lim
1
x
x
x
x
→−−
+
+
d)
1
lim
5
x→
−
x
e)
2
lim
cos
x→
x
x
f)
2(
)
25 lim
2 x→ x
−
−
g) lim sin
x→+∞x
h) lim cos 2
x→+∞x
(29)Ví d
ụ
21.
Bài Tìm gi
ớ
i h
ạ
n sau
a)
(
)
1
lim 3
2
1
→−
−
+
x
x
x
b)
(
)
(
)
2
3
1
lim
3
→
−
+
+
x
x
x
x
x
c)
4
2
2
3
2
lim
2
→−
+
+
− +
x
x
x
x
x
a)
(
)
1
lim 3
2
1
→−
−
+
x
x
x
( )
2
1 1
3 lim lim lim 2.1
→− →− →−
= − + = − + =
x x x x x
b) Do
(
)
2lim
3
2
3 0
→
+
=
+ =
≠
x
x
,
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2 2
lim
3
1
lim
3 lim
1
2
3.2 1
6
→
−
+
=
→−
→+
=
−
+
=
x
x
x
x
xx
x
xx
Nên
(
)
(
)
3 2
3
1
lim
3
→
−
+
+
x
x
x
x
x
6
=
c)
4
2
2
3
2
lim
2
→−
+
+
− +
x
x
x
x
x
;
4
3
2
2
2
3
2
7
2
3
2
7
28
lim
lim
2
2
2
2
2
→− →−
+
+
+
+
=
⇒
=
=
− +
− +
x x
x
x
x
x
x
x
x
x
Ví d
ụ
22.
Tính gi
ớ
i h
ạ
n sau:
a)
(
)
2
lim 3
7
11
x→
x
+
x
+
b)
2
lim
x→ x
−
c)
(
)
(
)
3
lim
2
1
3
x
x
x
x
x
→
−
−
−
d)
4 2
3
1
lim
2
1
x
x
x
x
→+
−
−
e)
1
lim
3
x→
x
x
−
f)
93
lim
9
x
x
x
x
→−
−
(30)
Dạng2.Giớihạnmộtbên
A
PHƯƠNG PHÁP GIẢI
•
N
ế
u
( )
( )
0
lim lim
x→x+ f x x→x− f x
≠
khơng t
ồ
n t
ạ
i
( )
0
lim
x→x
f x
•
N
ế
u
( )
( )
0
lim lim
x→x+ f x =x→x− f x =L
( )
lim
x→x
f x
=
L
Chú ý:
x x0 x x0+
→ ⇒ >
x→x0−⇒x<x0
B
BÀI TẬP MẪU
Ví d
ụ
23.
Tìm gi
ớ
i h
ạ
n sau:
a)
15 lim
2
+
→
− −
x
x
x
b)
2
1 3
2
lim
3
−
→
+
−
−
x
x
x
x
a) Ta có:
(
)
(
)
2
lim
15
2 15
13 0, lim
2
0,
+ +
→ →
−
= −
= −
<
−
=
x x
x
x
x
− >
2 0
(
do x
→
2
+⇒
x
>
2
)
2
15 lim
2
+
→
−
⇒ = −∞
−
x
x
x
b) Ta có:
(
)
(
)
2
3
1 3
2
lim
1 3.3 18
8 0, lim
3
0,
3 0
3
3
3
− −
−
→ →
+
−
= +
−
= − <
−
=
− <
→
⇒
<
−
x x
x
x
x
x
do x
x
x
2
1 3
2
lim
3
−
→
+
−
⇒
= +∞
−
x
x
x
x
Ví d
ụ
24.
Tìm gi
ớ
i h
ạ
n sau: a)
( ) 2
3
1
lim
2
+
→ −
−
+
+
x
x
x
x
b)
2
1 3
2
lim
1
+
→
− +
−
−
x
x
x
x
Ví d
ụ
25.
Tính gi
ớ
i h
ạ
n sau:
3
2 lim
3 x
x x
+
→
+ −
;
2 lim
3 x
x x
−
→
+
−
;
2 lim
3 x
x x
→
+ −
0
x
0 x→x+
x→x−
(31)Ví d
ụ
26.
Tính gi
ớ
i h
ạ
n sau:
2
2
lim
2
x
x
x
+
→
−
−
;
2
lim
2
x
x
x
−
→
−
−
;
2
lim
2
x
x
x
→−
−
Ví d
ụ
27.
Tính gi
ớ
i h
ạ
n sau: a)
0
2
lim
x
x
x
x
x
+
→
+
−
b)
2
4
lim
2
x
x
x
−
→
−
−
Ví d
ụ
28.
Cho hàm s
ố
( )
2
3
2
khi
1
1
khi
1
2
−
+
>
−
=
−
≤
x
x
x
x
f x
x
x
Tính gi
ớ
i h
ạ
n sau
a)
( )
1
lim
−→ x
f x
b)
( )
lim
+→ x
f x
c)
( )
1
lim
→
x
f x
, (n
ế
u có)
a)
( )
1
lim
−
→ x
f x
1
lim
2
2
−
→
=
−
= −
x
x
b)
( )
1
lim
+
→
=
x
f x
(
)(
)
(
)(
)
2
1 1
1
3 2
lim lim lim
1 1
+ + +
→ → →
− −
− + −
= = = −
− − + +
x x x
x x
x x x
x x x x
c) Ta có
( )
1
lim
−
→ x
f x
( )
1
1 lim
2
+
→
= = −
x
f x
Nên
( )
1
1 lim
2
→ = −
x f x
(
)
(
)
(
)
1
lim 1 1
+
→
= − − − = − − − =
x
(32)Ví d
ụ
29.
Cho
( )
3
2
4 29
x x x
f x
x x
− + ≤
=
− >
Tính
xlim
→2+f x
( )
,
xlim
→2−f x
( )
lim
x→0f x
( )
(n
ế
u có)
Ví d
ụ
30.
Cho
( )
2
2
1
khi
1
2
1 khi
1
x
x
f x
x
x
−
≤ −
=
+
> −
Tính
xlim( )1( )
f x+
→ −
,
( )1
( )
lim xf x
−
→ −
( )
1
lim
x→−
f x
(n
ế
u có)
Ví d
ụ
31.
Cho.
( )
2
4
5
khi
2
7 4
khi
2
x
x
x
f x
x
a
x
−
<
=
+
+
≥
Tìm
a
để
hàm s
ố
có gi
ớ
i h
ạ
n
x→2(33)
Dạng3.Khửdạngvôđịnh
∞
∞
∞
∞
∞
∞
∞
∞
A
PHƯƠNG PHÁP GIẢI
1.
Phương pháp chung:
•
Tr
ướ
c gi
ả
i tốn tìm gi
ớ
i h
ạ
n ta th
ế
th
ử
x
=
x
0ho
ặ
c
x
→ +∞
,
x
→ ∞
–
theo yêu c
ầ
u
ñề
xem xét gi
ớ
i h
ạ
n c
ầ
n tìm có d
ạ
ng vơ
đị
nh khơng
•
N
ế
u k
ế
t qu
ả
cho giá tr
ị
xác
ñị
nh, c
ă
n th
ứ
c xác
đị
nh, phân th
ứ
c xác
đị
nh, … dùng
đị
nh lí v
ề
các phép tốn t
ổ
ng, hi
ệ
u, th
ươ
ng
để
gi
ả
i
•
N
ế
u m
ẫ
u th
ứ
c ti
ế
n
đế
n
+∞
ho
ặ
c
−∞
t
ử
ti
ế
n
ñế
n m
ộ
t s
ố
khác
0gi
ớ
i h
ạ
n cho b
ằ
ng
0•
N
ế
u m
ẫ
u th
ứ
c ti
ế
n
ñế
n
0t
ử
th
ứ
c ti
ế
n
ñế
n m
ộ
t s
ố
khác gi
ớ
i h
ạ
n d
ạ
ng +∞ ho
ặ
c –∞,
tùy theo d
ấ
u th
ừ
a s
ố
, c
ủ
a t
ử
c
ủ
a m
ẫ
u (Xem b
ả
ng Quy t
ắ
c tìm gi
ớ
i h
ạ
n c
ủ
a th
ươ
ng)
•
N
ế
u có d
ạ
ng vơ
đị
nh:
0 0,
∞
∞
,
0.∞,
∞ − ∞
ch
ọ
n ph
ươ
ng pháp t
ươ
ng
ứ
ng
để
kh
ử
d
ạ
ng vơ
đị
nh
2.
Phương pháp khử dạng vô định
∞
∞
∞
∞
∞
∞
∞
∞
x
→
+
∞
, x
→
–
∞
•
ðố
i v
ớ
i hàm phân th
ứ
c, ta chia t
ử
th
ứ
c m
ẫ
u th
ứ
c cho l
ũ
y th
ừ
a cao nh
ấ
t c
ủ
a
x
, vi
ệ
c
c
ũ
ng nh
ư
ñặ
t th
ừ
a s
ố
chung cho l
ũ
y th
ừ
a cao nh
ấ
t
đ
ó (Làm t
ươ
ng t
ự
nh
ư
gi
ớ
i h
ạ
n c
ủ
a dãy s
ố
)
Xét hàm s
ố
:
( )
1
0
0
1
0
,
0,
0
m m
m
n n
n
a x
a x
a
f x
a
b
b x
b x
b
−
−
+
+
+
=
≠
≠
+
+
+
( )
0
lim
x
m n a
f x m n
b
m n
→±∞
<
= =
±∞ >
(d
ấ
u
+∞
ho
ặ
c
−∞
tùy theo d
ấ
u c
ủ
a
0
a
b
)
•
ðố
i v
ớ
i bi
ể
u th
ứ
c ch
ứ
a c
ă
n, ta nhân l
ượ
ng liên h
ợ
p
ñể
kh
ử
c
ă
n th
ứ
c
ñư
a v
ề
d
ạ
ng phân th
ứ
c
ñ
ã nêu
Chú ý:
1) H
ướ
ng tìm gi
ớ
i h
ạ
n hàm s
ố
t
ươ
ng t
ự
nh
ư
dãy s
ố
2) V
ớ
i bi
ể
u th
ứ
c h
ỗ
n h
ợ
p, ta thêm b
ớ
t
ñạ
i l
ượ
ng
ñơ
n gi
ả
n nh
ấ
t theo
x
ho
ặ
c h
ằ
ng s
ố
ñể
chia tách thành phân th
ứ
c mà gi
ớ
i h
ạ
n m
ớ
i v
ẫ
n gi
ữ
a ngun d
ạ
ng vơ
đị
nh
∞∞
3)
ðư
a bi
ể
u th
ứ
c d
ấ
u c
ă
n:
A
2=
A
,
B
3=
B
Khi
x
→ −∞
x
2=
x
= −
x
; Khi
x
→ +∞
x
2=
x
=
x
(34)B
BÀI TẬP MẪU
Ví d
ụ
32.
Tìm gi
ớ
i h
ạ
n sau
a)
3
2
3
1
lim
2 6
6
→+∞
+
+
−
−
x
x
x
x
x
b)
(
) (
)
(
)
20 30
50
2
3
3
2
lim
2
1
→−∞−
+
+
xx
x
x
a)
2
2
lim
4
→+∞
+ +
+ − +
x
x x x
x x
b)
lim
21
1
→+∞+
+ +
xx x
x
x
a) Ta có
2 33
3
1
1
3
1
1
1
lim
lim
2
6
2 6
6
6
6
6
→+∞ →+∞
+
+
+
+
=
=
= −
−
−
−
−
−
x xx
x
x
x
x
x
x
x
b) Ta có
(
) (
)
(
)
20 30
20 30 20 30 30
50 50 50
3
2
2
3
2
3
3
2
2 3
3
lim
lim
2
2
2
1
1
2
→−∞ →−∞
−
+
−
+
=
=
=
+
+
x xx
x
x
x
x
x
c) Ta có
2 2
2
1
3
2
3
lim
lim
1
4
1
2
4
2
→+∞ →+∞
+
+
+
+
=
+ − +
+
− +
x xx
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
2
2
2
1
3
1
3
lim
lim
4
1
1
2
4
2
4
1
→+∞ →+∞
+
+
+
+
=
=
=
+
− +
+
− +
x xx
x
x
x
x
x
x
x
x
d) Ta có 2
2
1
1
lim lim
1 1 1 →+∞ →+∞ + + = = + + + + x x
x x x x
x x
x x
Ví d
ụ
33.
Tính gi
ớ
i h
ạ
n sau:
a)
lim x x x →−∞ − +b)
32
10
lim
3
3
xx
x
x
x
→+∞− +
+
−
c)
4
3
3
5
7
lim
15
xx
x
x
x
→+∞+
+
−
d)
22
5
1
lim
7
4
xx
x
x
x
→−∞−
+
− +
e)
4
3
lim
2
7
xx
x
x
→+∞−
+
−
f)
(
) (
)
(
)
(
)
2 31
lim
2
(35)
Ví d
ụ
34.
Tính gi
ớ
i h
ạ
n sau:
a)
2
2
lim
2
3
x
x
x
x
x
→+∞+
+
+
b)
2
2
7
1
lim
3
7
x
x
x
x
→−∞−
+
−
c)
2
2
2
lim
8
5
x
x
x
x
x
→−∞+
− +
d)
lim
25
2
x
x x
x
x
→+∞−
− +
e)
4
lim
1 3
x
x
x
x
→−∞−
−
f)
6
4
8
lim
2
2
x
x
x
x
x
→−∞
−
+
+
(36)Dạng4.Khửdạngvơđịnh
0
0
A
PHƯƠNG PHÁP GIẢI
•
ðố
i v
ớ
i hàm phân th
ứ
c:
( )
( )
lim x x
f x g x
→
, ta phân tích
( )
( )
(
)
( )
(
)
( )
0 1
f x x x f x
g x x x g x
− =
−
r
ồ
i rút g
ọ
n cho
x
−
x
0•
ðố
i v
ớ
i bi
ể
u th
ứ
c ch
ứ
a c
ă
n th
ứ
c, ta nhân l
ượ
ng liên h
ợ
p
ñể
kh
ử
c
ă
n th
ứ
c, t
ạ
o th
ừ
a s
ố
x
−
x
0r
ồ
i rút g
ọ
n
Chú ý:
1) S
ử
d
ụ
ng h
ằ
ng
đẳ
ng th
ứ
c, nhóm s
ố
h
ạ
ng, phân tích th
ừ
a s
ố
b
ậ
c 2, chia
đ
a th
ứ
c, s
ơ
đồ
Hcner, …
2) Chia tách thành phân th
ứ
c b
ằ
ng cách thêm b
ớ
t
ñạ
i l
ượ
ng
ñơ
n gi
ả
n nh
ấ
t theo
x
ho
ặ
c
h
ằ
ng s
ố
mà gi
ớ
i h
ạ
n m
ớ
i v
ẫ
n gi
ữ
nguyên d
ạ
ng vô
ñị
nh
0 03) N
ế
u
( )
( )
0
lim
; lim
x→x
f x
= +∞
x→xg x
= +∞
xlim→x0
( )
x +g x( )
= +∞; limx→x0 f x g x( ) ( )
= +∞
4) M
ở
r
ộ
ng H
ð
T:
a
n−
b
n=
(
a b
−
)
(
a
n−1+
a
n−2b
+
a
n−3 2b
+
+
a b
2 n−3+
ab
n−2+
b
n−1)
B
BÀI TẬP MẪU
Ví d
ụ
35.
Tìm gi
ớ
i h
ạ
n sau
a)
2
3
10
lim
3
5
2
→
+
−
−
−
x
x
x
x
x
b)
3
3
3
9
2
lim
6
→
+
−
−
− −
x
x
x
x
x
x
c)
24
1 3
lim
4
→
+ −
−
x
x
x
d)
2 2
lim
7 3
→
+
−
+
−
x
x
x
a) Ta có
(
)(
)
(
)(
)
2
2 2
5
3 10
lim lim lim
3 3
→ → →
+ −
+ − +
= = =
− − + − +
x x x
x x
x x x
x x x x x
b) Ta có
(
)
(
)
(
)
(
)
2
3 2
3 2
2 2
2
5
1
3
9
2
5
1 15
lim
lim
lim
6
2
2
3
2
3 11
→ → →
−
+
+
+
−
−
+
+
=
=
=
− −
−
+
+
+
+
x x x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
c) Ta có
24
1 3
lim
4
→
+ −
−
x
x
x
2(
)
(
)
4
1 9
lim
4
4
1 3
→
+ −
=
−
+ +
x
x
x
x
(
)
(
)(
)
(
)
(
)
(
)
2
4
2
4
4
1
lim
lim
4.6
6
2
2
4
1 3
2
4
1 3
→ →
−
=
=
=
=
−
+
+ +
+
+ +
x x
x
x
x
x
x
x
d) Ta có
(
)
(
)
(
)
(
)
2 2
2
7 3
2 2
7 3
6
3
lim
lim
lim
4
2
7 3
2
2 2
2 2
→ → →
−
+
+
+
−
+
+
=
=
=
=
+
−
−
+
+
+
+
x x x
x
x
x
x
x
x
x
x
(37)Ví d
ụ
36.
Tính gi
ớ
i h
ạ
n sau:
a)
28
lim
4
x
x
x
→−
−
b)
3
3 3
lim
3
x
x
x
→−+
−
c)
4 2
16
lim
6
8
→−
−
+
+
x
x
x
x
d)
2427
lim
2
3
9
x
x
x
x
x
→
−
−
−
e)
( )(
)
2
2
5
3
lim
3
x
x
x
x
+
→ −
+
−
+
f)
( )(
)
2
2
5
3
lim
3
x
x
x
x
−
→ −
+
−
+
g)
1
1
lim
1
n
x
x
x
→−
−
h)
1
lim
1
n
m x
x
x
→−
−
i)
5
2
2
lim
1
x
x
x
x
→+
−
−
j)
(
)
(
)
5
3
4
5
1
lim
1
2
x
x
x
x
x
x
→
−
+
−
+ −
(38)
Ví d
ụ
37.
Tính gi
ớ
i h
ạ
n sau:
a)
3
lim
9
x
x
x
→−
−
b)
2
4
lim
x
x
x
→−
−
c)
321 1
lim
x
x
x
x
→+ −
+
d)
2
2
1
lim
x
x
x
x
x
→−
−
−
e)
( 2)8 2
2
lim
2
x
x
x
+
→ −
+
−
+
f)
1
lim x
x x x x
−
→
− + −
−
(39)
Ví d
ụ
38.
Tính gi
ớ
i h
ạ
n sau:
a)
3
8 2
lim
5
x
x
x
→+ −
b)
31
2
1
lim
1
x
x
x
x
→− −
−
c)
2
2
lim
1
3
x
x
x
x
x
→
+
−
− −
−
d)
2
2
1
lim
1
x
x
x
x
→−
+
−
e)
2
2
1
3
1
lim
1
x
x
x
x
x
→− +
−
+
−
f)
2
2
1
lim
4
3
x
x
x
x
x
x
→
− +
− +
−
+
(40)Dạng5.Khửdạngvôđịnh
∞
∞
∞
∞
∞
∞
∞
∞
,,,,0∞
∞
∞
∞
A
PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Phương pháp chung:
•
ðặ
t nhân t
ử
chung l
ũ
y th
ừ
a cao nh
ấ
t c
ủ
a
x
•
Quy
đồ
ng m
ẫ
u phân s
ố
•
Nhân chia l
ượ
ng liên h
ợ
p
để
kh
ử
c
ă
n
•
Chuy
ể
n v
ề
d
ạ
ng
0 0ho
ặ
c
∞
∞
ñ
ã bi
ế
t
B
BÀI TẬP MẪU
Ví d
ụ
39.
Tìm gi
ớ
i h
ạ
n sau
a)
(
)
22
lim
2
4
+
→
−
−
x
x
x
x
b)
2
1
8
3
lim
4
2
4
→+∞
+ −
−
+
x
x
x
x
x
c)
2 22
1
1
lim
3
2
5
6
+
→
−
−
+
−
+
x
x
x
x
x
d)
lim 2
(
1
4
4
3
)
→+∞
− −
−
−
x
x
x
x
a) Ta có
(
)
22 2
2
lim
2
lim
lim
2
0
4
2
2
2
+ + +
→ → →
−
−
=
=
− ⋅
=
−
−
+
+
x x x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
b) Ta có
(
) (
)
2 2 3
2
8
1
3
1
8
3
8
3
lim
lim
lim
0
4
2
4
4
2
4
2
4
4
1
→+∞ →+∞ →+∞
+
−
+ −
+ −
=
=
=
−
+
−
+
−
+
x x x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
c) Ta có
(
)
(
)(
)(
)
(
)(
)
2
2 2
3
1
lim lim lim
3 3
+ + +
→ → →
− − − −
− = = ⋅
− + − + − − − − − −
x x x
x x
x x x x x x x x x x
Mà
(
( )
(
)
)
2 2
2
lim lim 1 0, lim 0,
2
+ + +
→ → →
−
= −∞ − = − < − = − >
−
x x x
x x
x
;
(
)(
)
( )
2
1
1
lim
1 0
1
3
1 1
+
→
=
= − <
−
−
−
x
x
x
Nên
2 22
1
1
lim
3
2
5
6
+
→
−
= +∞
−
+
−
+
x
x
x
x
x
d) Ta có
(
)
(
)
(
)
2 2
2
2
2
1
4
4
3
lim 2
1
4
4
3
lim
2
1
4
4
3
→+∞ →+∞
−
−
−
−
− −
−
−
=
− +
−
−
x x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
2
2
4
4
lim
lim
0
1
1
3
2
1
4
4
3
2
2 1
4
→+∞ →+∞
=
=
=
− +
−
−
−
+
−
−
x x
x
x
x
x
x
x
x
(41)Ví d
ụ
40.
Tính gi
ớ
i h
ạ
n sau:
a)
lim 3
(
8
7
)
x→−∞
x
−
x
+
b)
4
lim 12 x→+∞ x − x+
c)
lim
(
3
)
x→+∞
x
+ −
x
d)
(
)
2
lim
4
x→−∞
x
+
x
−
+
x
Ví d
ụ
41.
Tính gi
ớ
i h
ạ
n sau:
a)
20
1
1
lim
x→
x
x
−
b)
21
1
lim
2
4
x→ −
x
x
−
−
−
c)
3
2 ( 1)
3
lim (
1)
1
x
x
x
x
+
→ −
+
−
d)
lim (
2)
31
x
x
x
x
x
→+∞−
+
+
e)
2
1
lim
1
1
x→
x
x
−
−
−
f)
1
lim
1
n1
x
n
x
x
→
−
−
−
(42)Dạng6.Sửdụngđồthịđểtìmgiátrịcủagiớihạn
A
PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Một số lưu ý sử dụng ñồ thị:
Gi
ả
s
ử
hàm s
ố
y= f x( )
có
đồ
th
ị
đườ
ng cong
( )
Cg
ồ
m ph
ầ
n nh
ư
hình
Khi
đ
ó:
lim
( )
x→−∞
f x
=
c
xlim
→+∞f x
( )
= −∞
lim
( )
x→a−
f x
b
=
lim
( )
x→a+
f x
m
=
f a( )
=m
A∉( )
C: hình trịn r
ỗ
ng bên
B∈( )
C: hình trịn tơ
đ
en bên
B
BÀI TẬP MẪU
Ví d
ụ
42.
S
ử
d
ụ
ng
đồ
th
ị
f
ñ
ã cho
ñể
xác
ñị
nh giá tr
ị
c
ủ
a m
ỗ
i
gi
ớ
i h
ạ
n sau n
ế
u t
ồ
n t
ạ
i
N
ế
u khơng t
ồ
n t
ạ
i, gi
ả
i thích sao?
a)
f( )
2 ; f( )
4b)
( )
2
lim
x→ −
f x
;
( )
2
lim
x→ +
f x
;
( )
2
lim
x→
f x
c)
( )
4
lim
x→
f x
Hình
x
→ +∞
Ox
yx
→ −∞
y→ +∞
y→ −∞
x
x→x− x→x0+
y
0
y
→
y
y
→
y
Hình
O
x
y
a
c
b A
m
B( )
C( )
A
∉
C
( )
B
∈
C
O
x
y
2
(43)Ví d
ụ
43.
Cho
đồ
th
ị
hàm
hnh
ư
hình bên, xác
đị
nh giá tr
ị
c
ủ
a m
ỗ
i gi
ớ
i h
ạ
n sau n
ế
u t
ồ
n t
ạ
i
N
ế
u khơng t
ồ
n t
ạ
i, gi
ả
i thích sao?
a)
h( )
−3 ; h( )
0 ; h( )
2a)
( )3
( )
lim xh x
−
→ −
;
( )3
( )
lim xh x
+
→ −
;
( )
3
lim
x→−
h x
b)
( )
0
lim
x
h x
−
→ ; x
lim
0( )
h x
+
→ ;
lim
x→0h x
( )
c)
( )
2
lim
x→
h x
d)
( )
5
lim
x
h x
−
→ ; x
lim
5( )
h x
+
→ ;
lim
x→5h x
( )
Ví d
ụ
44.
M
ộ
t b
ệ
nh nhân c
ứ
m
ỗ
i
4gi
ờ
ñồ
ng h
ồ
ph
ả
i tiêm
m
ộ
t m
ũ
i thu
ố
c 150 mg
ðồ
th
ị
cho th
ấ
y l
ượ
ng thu
ố
c
f t( )
máu
b
ệ
nh nhân sau
t
gi
ờ
Tìm
( )
12
lim
t→ −
f t
t
lim
→12+f t
( )
và gi
ả
i thích ý ngh
ĩ
a gi
ớ
i h
ạ
n m
ộ
t bên
O
x
y
2
−
4
−
O
x
( )
f t
300
150
(44)Ví d
ụ
45.
Cho hai hàm s
ố
( )
2
2
1
1
x
x
f x
x
+
−
=
−
( )
2
1
x
g x
x
−
=
a) Tính
( )1
( )
lim xf x
+
→ −
,
( )1
( )
lim xf x
−
→ −
,
( )
1
lim
x→−
f x
,
lim
x→1f x
( )
,
xlim
→+∞f x
( )
x
lim
→−∞f x
( )
b)
( )
0
lim
x→+
g x
,
xlim
→0−g x
( )
,
lim
x→0g x
( )
,
xlim
→+∞g x
( )
x
lim
→−∞g x
( )
c) Hai
ñườ
ng cong sau d
ồ
th
ị
c
ủ
a hai hàm s
ố
ñ
ã cho T
ừ
k
ế
t qu
ả
câu 1), xác
ñị
nh xem
ñườ
ng cong
ñồ
th
ị
c
ủ
a hàm s
ố
nào?
Ví d
ụ
46.
Hình bên
ñồ
th
ị
c
ủ
a hàm s
ố
hàm sau
ñ
ây?
a)
1 x y
x + =
−
b)
2 x y
x + =
−
c)
21 x y
x + =
−
O
x
y
1
− 1
Hình a
O
x
yHình b
O
x
y
(45)BI T
BI T
BI T
BI TẬ
Ậ
ẬP CƠ B
Ậ
P CƠ B
P CƠ B
P CƠ BẢ
Ả
ẢN NÂNG CAO
Ả
N NÂNG CAO
N NÂNG CAO V
N NÂNG CAO
VẤ
V
V
Ấ
Ấ
ẤN
N
N Đ
N
Đ
Đ
ĐỀỀỀỀ 2
2
2
2
Bài 10.
Tìm gi
ớ
i h
ạ
n sau:
1)
3
1
lim
1
xx
x
→−−
+
2)
24
lim
2
xx
x
→−−
+
3)
lim x x x →+∞ − −4)
lim 1721
x→+∞x +
5)
3 3
lim
6
xx
x
→+ −
−
6)
2
1
lim
3
xx
x
x
→+∞−
+ −
+
7)
(
)
22 lim x x x → −
−
8)
2 lim x x x − → −
−
9)
2 lim x x x + → − −
10)
lim x x x + → −−
11)
(
)
4
lim
1
x→+∞
x
−
x
+ −
x
12)
(
)
3
lim
2
3
5
x→−∞
−
x
+
x
−
13)
lim 2 5x→−∞ x − x+
14)
2
1
lim
5 2
xx
x
x
→+∞+ +
−
15)
23 lim x x x x → + + +
16)
23
5
6
lim
3
xx
x
x
x
→−+
+
+
17)
2 lim x x x − → − −
18)
lim x x x →−∞ + −19)
lim
(
2
1
)
x→+∞
−
x
+
x
−
x
+
20)
2
2
4
lim
3
1
x
x
x
x
x
→−∞−
+
−
−
Bài 11.
Tìm gi
ớ
i h
ạ
n sau:
1)
1
3
4
lim
1
xx
x
x
→−−
−
+
2)
1
lim
5
x→
−
x
3)
(
)
2
lim 3
7
11
x→
x
+
x
+
4)
341
lim
(2
1)(
3)
x
x
x
x
x
→
−
−
−
5)
1
lim
1
x→
x
x
+
6)
3
lim
9
xx
x
x
→−
−
7)
3
lim
x→ x
−
8)
23
1
lim
2
1
xx
x
x
→+
−
−
9)
limx→ x
−
10)
221
lim
2
xx
x
x
x
→+ +
+
11)
lim
3
xx
x
→−
−
12)
(
)
3 lim x x x x → + −13)
21
3
lim
2
3
xx
x
x
x
→−−
−
+ −
14)
3
8
lim
2
xx
x
→−+
+
15)
22 2
lim
2
xx
x
→−+
−
16)
243
27
lim
2
3
9
x
x
x
x
x
→
−
−
−
17)
4 2
16
lim
6
8
xx
x
x
→−−
+
+
18)
2
2
1
lim
(
1) 2
3
x
x
x
x
→
+
⋅
−
−
19)
20
1
1
lim
x→
x
x
−
20)
3 2
8
lim
4
xx
x
→−
−
21)
22
1
lim
xx
x
x
x
→−
−
−
22)
1
lim
3 2
xx
x
→−
+ −
23)
3
1 1
lim
xx
x
x
→+ −
+
24)
22
1 5
3
lim
2
3
xx
x
x
→−− −
−
+
25)
3
lim
9
xx
x
→−
−
26)
2
4
lim
xx
x
→−
−
27)
23
3 3
lim
3
xx
x
→−+
−
28)
4
lim
4
xx
x
→−∞+
+
29)
4
11
lim
2
7
xx
x
x
→+∞−
+
−
30)
(46)34)
2 3 lim x x x x →− ++ −
35)
(
)
30
1
1
lim
xx
x
→+
−
26)
2 20
1
1
lim
1
1
x→
x
x
⋅
−
+
37)
5
lim
5
xx
x
→−
−
38)
2 1 lim 16 x x x → + − − +39)
(
)
2
5
4
lim
1
xx
x
x
→−−
−
+
40)
22 lim x x x x →− +
+ −
41)
1(
)
(
)
5 lim
1
x→ x− x − x+
42)
2(
)
23
4
lim
4
2
xx
x
x
→+
−
−
Bài 12.
Tìm gi
ớ
i h
ạ
n sau:
1)
lim
3
37
2
1
xx
x
x
→−∞− +
−
2)
42
7
15
lim
1
xx
x
x
→−∞+
−
+
3)
2
lim
3
1
xx
x
→+∞+
−
4)
lim
632
3
1
xx
x
→−∞+
−
5)
2
lim
8
3
xx
x
x
x
→−∞+
− +
6)
xlim
2
x x
x
x
→+∞− +
7)
lim
325
1
xx
x
→+∞−
+
8)
(
)(
)
5
3
2
2 31
lim
2
1
x
x
x
x
x
x
→+∞
+
−
−
+
9)
2
3
lim
5
xx
x
x
→−∞+
+ +
10)
lim
2
2
3
x
x
x
x
x
→−∞+
+
+
11)
xlim
(
1
)
2
1
x
x
x
x
→+∞
+
+
+
12)
4
4
lim
4
xx
x
→−∞+
+
13)
lim
10
xx
x
x
x
→−∞+
+
+
14)
lim
1 2
xx
x
x
→−∞−
−
15)
(
)
2
lim
1
x→+∞
x
+ −
x
16)
lim
(
2
1
)
x→−∞
x
+ +
x
17)
2
2
7
12
lim
3
17
xx
x
x
→−∞−
+
−
18)
2
lim
3
xx
x
x
x
x
→−∞+
−
+
19)
lim
11
2
7
xx
x
x
→+∞−
+
−
20)
5
lim
2
1
xx
x
x
→−∞− +
−
21)
(
)
2
lim
4
x→−∞
x
+
x
−
+
x
22)
lim 2 3 12x→±∞ x − x+
23)
4
2
1
lim
1 2
xx
x
x
→+∞+
−
−
24)
2
10
lim
9 3
xx
x
x
→+∞+ −
−
25)
lim
3
2
xx
x
x
→±∞−
+
26)
1 lim x x x →+∞ − −
27)
5
lim
5
xx
x
→+∞−
+
28)
1 2
3
lim
9
xx
x
x
→+∞−
+
−
29)
42
5
1
lim
1
xx
x
x
x
→+∞+
−
−
+
30)
(
)
(
)
57
1 lim x x x x x →−∞ − − + +
31)
lim
(
1
)
x→±∞
x
+
x
− +
x
32)
(
)
3
lim
x→+∞ x + x x−
33)
(
)
2
lim
1
x→+∞
x
x
+ −
x
34)
4
1
lim
1 2
xx
x
x
x
→±∞+
− +
−
35)
32
2
lim
3
2
10
x
x
x
x
x
x
→−∞
−
+
−
+ −
36)
(
)
3
lim 3
5
7
x→−∞
x
−
x
+
37)
lim
4
3
37
5
2
2
x
x
x
x
x
x
→+∞−
+
−
+ −
38)
2
3
2
4
3
lim
2
3
1
x
x
x
x
x
x
→−∞
−
+
+
−
+
39)
2
2 lim
4 1
x
x x x
x x
→−∞
+ + +
+ − +
Bài 13.
Tìm gi
ớ
i h
ạ
n sau:
1)
lim
1
x→+
x
−
2)
xlim→5−(
5−x+2x)
3)
02
lim
xx
x
x
x
+ →+
−
4)
2
4
lim
2
xx
x
− →−
−
5)
( )2
3
2
lim
xx
x
x
x
+ → −+
+
+
6)
(47)7)
( )3
2
lim
xx
x
x
x
+ → −+
+
+
8)
1 lim x x x x x − → − + − −9)
2 lim x x x + → + −10)
2 lim x x x − → +−
11)
( )(
)
3
lim
1
1
xx
x
x
+ → −+
−
12)
21
1
lim
2
4
x→−
x
x
−
−
−
13)
( )(
)
22
5
3
lim
3
xx
x
x
+ → −+
−
+
14)
( )(
)
2
2
5
3
lim
3
xx
x
x
− → −+
−
+
15)
1
lim
xx
x
x
+ →−
−
16)
2lim
xx
x
x
x
+ →+
−
17)
1
lim
2 1
1
x
x
x
x
x
− →−
−
+ −
18)
33
lim
27
xx
x
− →−
−
19)
232
8
lim
2
xx
x
x
+ →−
−
20)
( )4
1
lim
4
3
xx
x
x
− → −+
+
+
21)
( )38 2
2
lim
2
xx
x
+ → −+
−
+
22)
22
1
1
lim
4
2
x→ +
x
x
−
−
−
23)
2
lim
x
x x
−
→
+ +
24)
1
3
3
1
lim
1
xx
x
x
+ →+ −
+
−
25)
221
3
2
lim
5
4
xx
x
x
x
+ →−
+
−
+
26)
2
5
10
lim
25
xx
x
x
+ →−
+
−
27)
23
2
lim
5
4
xx
x
x
x
− →−
+
−
+
Bài 14.
Tìm gi
ớ
i h
ạ
n sau:
1)
1 lim
3
x→ + x−
2)
1 lim
3
x→− x−
3)
1 lim
3 x→ x−
4)
2
lim
2
xx
x
+ →−
−
5)
2
lim
2
xx
x
− →−
−
6)
|
2
lim
2
xx
x
→−
−
Bài 15.
Tìm gi
ớ
i h
ạ
n bên ph
ả
i, bên trái gi
ớ
i h
ạ
n (n
ế
u có) c
ủ
a cá hàm s
ố
:
1)
( )
2
2
1
khi
2
2
1 khi
2
x
x
f x
x
x
−
≤ −
=
+
> −
khi
x→ −22)
( )
2 2 3 khi 2
4
x x x
f x
x x
− + ≤
=
− >
khi
x→23)
( )
2
21 khi
1
3 khi
1
x
x
f x
x
x
+
≤
=
−
>
khi
x→14)
( )
2
4
khi
2
2
6 2
khi
2
2
x
x
x
f x
x
x
x
−
≤ −
+
=
+ −
> −
+
x→ −2
5)
( )
2
1
khi
1
5
3 khi
1
x
x
f x
x
x
x
−
>
=
+
≤
khi
x→16)
( )
7
2
khi
3
4
4
khi
3
5
x
x
x
f x
x
−
−
<
−
=
≥
x→3
7)
( )
2
2
2
khi
1
1
1
khi
1
x
x
x
f x
x
x
x
x
+ −
>
=
−
+ +
<
(48)8)
( )
(
)
23 2
khi
1
1
2
3
1
khi
1
4 3
5
2
x
x
x
f x
x
x
x
x
x
+ −
>
−
=
−
+
<
−
+
khi
x→19)
( )
3
3
khi
0
2
1 1
khi
0
1
1
x
f x
x
x
x
≤
=
+ −
>
+
−
khi
x→010)
( )
2
4
khi
2
2
1 2
khi
2
x
x
f x
x
x
x
−
<
=
−
−
>
khi
x→2Bài 16.
V
ớ
i giá tr
ị
c
ủ
a
m
hàm s
ố
sau có gi
ớ
i h
ạ
n
x→1? Tìm gi
ớ
i h
ạ
n
đ
ó
1)
( )
3
1
khi
1
1
2 khi
1
x
x
f x
x
mx
x
−
<
=
−
+
≥
2)
( )
1
3
khi
1
1
1
2
khi
1
x
f x
x
x
mx
x
−
>
=
−
−
+
≤
3)
( )
2
3 khi
1
khi
1
x
x
x
f x
x
m
x
x
− +
≤
=
+
>
4)
( )
3
1
khi
1
2
2
khi
1
x
x
f x
x
m
x
−
≠
=
−
=
Bài 17.
Tìm gi
ớ
i h
ạ
n sau:
1)
2 2
2
3
2
lim
4
xx
x
x
→−
−
−
2)
26
lim
9
xx
x
x
→−−
− −
−
3)
28
lim
3
2
xx
x
x
→−
−
+
4)
21
1
2
lim
1
1
x→
x
x
−
−
−
5)
21
12
lim
2
8
x→
x
x
−
−
−
6)
2
4
lim
8
xx
x
→−−
+
7)
(
)
23
2
lim
2
xx
x
x
→−
+
−
8)
2
3
1
lim
1
x
x
x
x
x
x
→
−
+
−
− +
9)
2 3
9
lim
27
xx
x
→−−
+
10)
4
lim
8
xx
x
→−
−
11)
1
lim
1
xx
x
→−
−
12)
21
lim
3
2
xx
x
x
x
x
→
−
− +
−
+
13)
(
)
(
)
(
)
(
)
2
3
2
1
2 1
3
lim
1
2
1
1
x
x
x
x
x
→−
+
−
+
−
+
+
+
−
14)
3
1
lim
1
xx
x
x
x
→
−
−
+ −
15)
(
)
23
2
lim
12
16
xx
x
x
x
→− −
−
+
16)
22
5
7
2
lim
3
2
x
x
x
x
x
x
→
+
−
+
−
+
17)
3
2
3
5
2
lim
3
5
2
x
x
x
x
x
→
−
+
−
+
18)
2 2
2
lim
2 2
xx
x
x
→−
− +
−
19)
31
lim
5
7
3
x
x
x
x
x
x
x
→
−
− +
−
+
−
20)
3
3
3
9
2
lim
6
x
x
x
x
x
x
→+
−
−
− −
21)
3
3
1
2
3
5
lim
3
1
x
x
x
x
x
x
→−
+
+
+
+ −
23)
4
3
7
lim
1
xx
x
x
→−−
−
+
24)
32
2
1
lim
1
x
x
x
x
x
→−−
+
−
+
Bài 18.
Tìm gi
ớ
i h
ạ
n sau:
1)
31
3
1
3
lim
1
xx
x
x
→+ −
+
−
2)
1 3
1
lim
3
xx
x
→+
−
3)
22
3
2
lim
4
xx
x
x
→−
−
−
4)
2
4 lim
3
x x x → + − − +
5)
2 1 lim 16 x x x → + − + −
6)
2
lim
4
1 3
(49)7)
1
1
lim
xx
x
x
x
→+ −
+ +
8)
1
lim
1
xx
x
→−
−
9)
1
4 3
lim
xx
x
x
→+ +
+
−
10)
0
1
1
lim
3
xx
x
→−
−
11)
2
8
lim
3
3
xx
x
x
x
→+ −
+
+ + −
12)
1
1
lim
xx
x
→−
−
13)
1
1
lim
xx
x
x
→+
−
−
14)
1
3
2
lim
1
xx
x
x
→+
−
−
15)
1
lim
1
xx
x
→−
−
16)
42
3
2
lim
4
xx
x
x
→−
−
−
17)
3
9
lim
xx
x
x
→−
+
+
18)
2
lim
4
xx
x
x
→+
19)
2 1 lim x x x →− + + −
20)
31
1
lim
1
1
xx
x
x
x
→+
−
−
+
−
−
21)
2
4
lim
2
xx
x
→−
−
22)
21
1 2
lim
xx
x
x
x
→+
−
−
+
23)
1
1
lim
1
1
xx
x
→+
−
+
−
24)
2
lim
1
2
1
x
x
x
→
+
−
Bài 19.
Tìm gi
ớ
i h
ạ
n sau:
1)
31
1
3
lim
1
1
x→
x
x
−
−
−
2)
2
1
lim
1
1
x→
x
x
−
−
−
3)
lim 2
(
1
4
6
3
)
x→+∞
x
− −
x
−
x
+
4)
(
)
2
lim 3
9
2
1
x→−∞
−
x
−
x
−
x
+
5)
lim
(
4
)
x→−∞
x
−
x
−
x
6)
(
)
2
lim
3
x→−∞
x
− + +
x
x
7)
lim
(
4
4
1 2
3
)
x→+∞
x
−
x
+ −
x
−
8)
(
)
2
lim
4
3
1 2
5
x→+∞
x
−
x
+ +
x
−
9)
lim
(
1
1
)
x→−∞
x
− + −
x
x
+ +
x
10)
(
)
2
lim
5
3
1
x→−∞
x
+
x
−
x
−
x
+
11)
lim
(
1
)
x→+∞
x
x
+ −
x
12)
(
)
2
lim
2
2
x→+∞
x
x
+
x
−
x
+
x
+
x
13)
lim
(
3)
x→−∞
x
+
x
−
x
14)
(
)
3 2
lim
3
2
x→−∞
x
+
x
−
x
−
x
15)
lim
(
35
38
)
x→+∞
x
+
x
−
x
+
x
16)
xlim→−∞(
3−x− 5−x)
Bài 20.
Tìm gi
ớ
i h
ạ
n sau:
1)
3
1
lim
xx
x
x
x
x
→−∞+
−
+
2)
2
lim
1
xx
x
x
→+∞−
−
−
3)
2
1
lim
3
5
xx
x
x
→−∞+ +
+
4)
lim
1 2
3
xx
x
x
→+∞+
−
+
5) lim
x1 | |
x
x
→±∞
+
6)
2
2
3
lim
4
2
xx
x
→±∞+
+
7)
lim
3
2
1
4 2
xx
x
x
x
→−∞+
−
−
+
8)
4
3
2
5
lim
2
4
5
x
x
x
x
x
x
x
→+∞
−
+
−
+
−
9)
(
)
(
)
(
)
2
3
3
1
lim
3
4
1
x
x
x
x
x
x
→+∞−
− +
+
10)
32
3
5
lim
4
2
3
x
x
x
x
x
→+∞
−
+
+
−
11)
3
lim
2
1
x
x
x
x
x
→+∞−
+
+
12)
1 2
lim
3 4
xx
x
x
→−∞−
+
−
13)
(
)
(
)
(
)
(
)
6
2 2
4
3 3
4
3
3
1
lim
3
4
2
1
x
x
x
x
x
→−∞−
+
−
+
14)
(
)
(
)
(
)
3
2 2
2
3
1
4
1
lim
2
1
xx
x
x
→−∞−
+
+
15)
2
lim
xx
x
x
x
→+∞ (50)16)
29
lim
2
x
x x x
x x
→−∞
− +
− +
17)
2 lim 1 x x x x →−∞ + + + +
18)
3
2
lim
1
x
x x x
x x x
→+∞ − + − + − + + −
19)
1
lim
1
xx
x
x
→±∞+
− +
20)
xlim
1
x
x
x
→±∞+ +
21)
3
2 lim
3
x x x x x →+∞ − − +
Bài 21.
Tìm gi
ớ
i h
ạ
n sau:
1)
sin lim cos x x x π → −2)
cos lim sin x x x → −3)
20
cos cos lim sin x x x x → −
4)
1 sin cos lim
1 sin cos x
x x
x x
→
+ −
− −
5)
tan sin lim sin x x x x → −
6)
26
2sin lim
4 cos x x x π → − −
7)
cos cos lim sin x x x x → −
8)
lim tan cos x x x π → −
9)
2
1
lim
sin
1 cos
→
−
−
x
x
x
10)
cos cos lim sin x x x x → −
11)
21 sin
cos
lim
sin
xx
x
x
→+
−
12)
cos cos lim
cos cos x x x x x → − −
Bài 22.
Cho
0 sin lim x x x
→ =
Tìm gi
ớ
i h
ạ
n sau:
1)
lim sin x x x→
2)
tan lim x x x →
3)
20
1 cos lim x x x → −
4)
sin
3 cos5
lim
3
xx
x
x
→−
Bài 23.
V
ớ
i
đồ
th
ị
làm
f
cho s
ẵ
n nh
ư
hình bên, xác
ñị
nh giá tr
ị
c
ủ
a m
ỗ
i
gi
ớ
i h
ạ
n sau n
ế
u t
ồ
n t
ạ
i
N
ế
u không t
ồ
n t
ạ
i, gi
ả
i thích sao?
a)
f( )
3b)
( )
1
lim
x→
f x
, xlim
2( )
f x
+
→ ,
lim
x→2f x
( )
c)
( )
3
lim
x
f x
−
→ ; x
lim
3( )
f x
+
→ ,
lim
x→3f x
( )
Bài 24.
V
ớ
i
ñồ
th
ị
làm
gcho s
ẵ
n nh
ư
hình bên, xác
đị
nh giá tr
ị
c
ủ
a m
ỗ
i
gi
ớ
i h
ạ
n sau n
ế
u t
ồ
n t
ạ
i
N
ế
u khơng t
ồ
n t
ạ
i, gi
ả
i thích sao?
a)
g( )
2b)
( )
0
lim
t
g t
−
→ , t
lim
0( )
g t
+
→ ,
lim
t→0g t
( )
c)
( )
2
lim
t
g t
−
→ , t
lim
2( )
g t
+
→ ,
lim
t→2g t
( )
f)
( )
4
lim
t→
g t
(51)Bài 25.
V
ớ
i
ñồ
th
ị
làm
f
cho s
ẵ
n nh
ư
hình bên, xác
đị
nh giá tr
ị
c
ủ
a m
ỗ
i gi
ớ
i h
ạ
n sau n
ế
u t
ồ
n t
ạ
i N
ế
u
khơng t
ồ
n t
ạ
i, gi
ả
i thích sao?
a)
( )
2
lim
x→
f x
b)
lim
x→5f x
( )
c) x→ −lim( )3− f x( )
d)( )3
( )
lim xf x
+
→ −
Bài 26.
V
ớ
i
ñồ
th
ị
làm
f
cho s
ẵ
n nh
ư
hình bên, xác
đị
nh giá tr
ị
c
ủ
a m
ỗ
i gi
ớ
i h
ạ
n sau n
ế
u t
ồ
n t
ạ
i N
ế
u
khơng t
ồ
n t
ạ
i, gi
ả
i thích sao?
a)
( )
7
lim
x→−
f x
b)
xlim
→−3f x
( )
c)lim
x→0f x
( )
d) xlim
6( )
f x
−
→ e) x
lim
6( )
f x
+
→
Bài 27.
Cho hai hàm s
ố
( )
2
1
x
f x
x
−
=
( )
3
2
1
x
x
g x
x
+
+
=
1) Tính
( )
0
lim
x→
f x
,
lim
x→0g x
( )
,
xlim
→+∞f x
( )
,
xlim
→+∞g x
( )
2) Hai
ñườ
ng cong sau d
ồ
th
ị
c
ủ
a hai hàm s
ố
ñ
ã cho T
ừ
k
ế
t qu
ả
câu 1), xác
ñị
nh xem
ñườ
ng cong
ñồ
th
ị
c
ủ
a hàm s
ố
nào?
Bài 28.
Cho hàm s
ố
:
( )
2
2
15
12
5
4
x
x
f x
x
x
−
+
=
−
+
có
đồ
th
ị
nh
ư
hình v
ẽ
1) D
ự
a vào
đồ
th
ị
, d
ự
đ
ốn gi
ớ
i h
ạ
n c
ủ
a hàm s
ố
f x( )
khi
x
→
1
+,
x
→
1
−,
x
→
4
+,
x
→
4
−,
x
→ +∞
x
→ −∞
2) Ch
ứ
ng minh d
ự
đ
ốn
đ
ó
O
x
y
3
−
7
−
O
x
y
3
−
x
O 1 4
3 y
2
O
x
y
1
O
)
a
b
)
1
− y
(52)BI T
BI T
BI T
BI TẬ
Ậ
ẬP TR
Ậ
P TR
P TR
P TRẮ
Ắ
Ắ
ẮC NGHI
C NGHI
C NGHI
C NGHIỆỆỆỆM
M V
M
M
V
VẤ
V
Ấ
Ấ
ẤN Đ
N Đ
N ĐỀỀỀỀ 2
N Đ
2
2
2
Câu 71.
( )
2
lim 2
x→−
có giá tr
ị
b
ằ
ng
A
2B
−2C
0D
4Câu 72.
(
)
2
lim
2
x→−
x
− +
x
có giá tr
ị
b
ằ
ng
A
4B
8C
0D
−4Câu 73.
2
lim
1
x
x
x
→−
+
có giá tr
ị
b
ằ
ng
A
−1B
−2C
1
2
−
D
+∞Câu 74.
lim 33 22
x
x x
x x
→+∞
− −
+ +
có giá tr
ị
b
ằ
ng
A
1
2
B
2C
0D
−1Câu 75.
lim 33 422
x
x x
x x
→+∞
− −
− +
có giá tr
ị
b
ằ
ng
A
−2B
3
2
C
+∞D
−∞
Câu 76.
3
5
2
9
1
lim
4
2
3
x
x
x
x
x
→+∞
+
+
+
−
có giá tr
ị
b
ằ
ng
A
1
2
B
3
2
C
1D
9
4
Câu 77.
5 641 lim
5
x
x x
x x
→
+
− +
có giá tr
ị
b
ằ
ng
A
1
5
B
1C
0D
3
5
Câu 78.
44 21
2 lim
1 x
x x
x x
→−
−
+ −
có giá tr
ị
b
ằ
ng
A
1B
−1C
3D
+∞Câu 79.
333
2 lim
3 x
x x
x x
→−
−
− +
có giá tr
ị
b
ằ
ng
A
21
16
B
21
20
C
0D
1Câu 80.
2
lim
2 x
x x
→
−
−
có giá tr
ị
b
ằ
ng
A
1
(53)Câu 81.
22
lim
49 x
x x
→
− −
−
có giá tr
ị
b
ằ
ng
A
1B
−1C
2D
1
56
−
Câu 82.
2
lim 3
4
1
x→−
x
−
x
−
có giá tr
ị
b
ằ
ng
A
1B
2C
−17D
17Câu 83.
32 322
3
lim
9
2
x
x
x
x
x
→−
+
+
−
−
có giá tr
ị
b
ằ
ng
A
2
B
2
2
C
1
3
D
1
2
Câu 84.
323
10
3
lim
2
x
x
x
x
x
→−−
+
+ +
có giá tr
ị
b
ằ
ng
A
1B
3
4
C
3
2
D
+∞Câu 85.
222
lim
x
x
x
x
−
→
+
−
có giá tr
ị
b
ằ
ng
A
3
B
3C
0D
1Câu 86.
2
1
lim
2
x
x
x
−
→
+
−
có giá tr
ị
b
ằ
ng
A
1B
1
2
−
C
+∞D
−∞
Câu 87.
1
lim
1
x
x
x
+
→−
−
+
có giá tr
ị
b
ằ
ng
A
1B
−1C
+∞D
−∞
Câu 88.
1
3
lim
1
x
x
x
+
→
+
−
có giá tr
ị
b
ằ
ng
A
−∞
B
+∞C
1D
3Câu 89.
lim(
1)
x→+∞ x+ − x−
có giá tr
ị
b
ằ
ng
A
−∞
B
+∞C
0D
1Câu 90.
lim(
3)
x→+∞x x + −x
có giá tr
ị
b
ằ
ng
A
3
2
B
3
2
C
3
D
+∞Câu 91.
lim(
1)
x→+∞x x + +x
có giá tr
ị
b
ằ
ng
A
2
B
+∞C
1D
3Câu 92.
1 lim
1 x
x x
→
−
−
có giá tr
ị
b
ằ
ng
(54)Câu 93.
1 lim
1 x
x x
→
−
−
có giá tr
ị
b
ằ
ng
A
4B
2C
1D
+∞Câu 94.
431 lim
1 x
x x
→
−
−
có giá tr
ị
b
ằ
ng
A
4
3
B
3
4
C
1D
+∞Câu 95.
0
2
2
lim
x
x
x
x
x
→+
−
− +
có giá tr
ị
b
ằ
ng
A
2
B
2
C
2D
0Câu 96.
23 lim
3 x
x x
x
→−
+ +
+
có giá tr
ị
b
ằ
ng
A
2
3
B
1
3
C
1
3
−
D
1Câu 97.
6 lim
2 x
x x x
→
+ −
−
có giá tr
ị
b
ằ
ng
A
6B
0C
1D
+∞Câu 98.
2
6 lim
3 x
x x x
→
+ −
−
có giá tr
ị
b
ằ
ng
A
5
3
B
4
3
C
5
3
−
D
+∞Câu 99.
12 lim
2 x
x x x
→−
+ −
+
có giá tr
ị
b
ằ
ng
A
1
2
−
B
1C
+∞D
7
2
−
Câu 100.
22
6 lim
4 x
x x x
→
+ −
−
có giá tr
ị
b
ằ
ng
A
4
3
B
1
4
−
C
+∞D
5
4
Câu 101.
232
8 lim
2 x
x
x x
→−
+
+
có giá tr
ị
b
ằ
ng
A
−6B
−5C
1D
0Câu 102.
31
3 lim
1 x
x x
x
→−
+ +
+
có giá tr
ị
b
ằ
ng
A
3B
1C
0D
1
3
Câu 103.
2
5
4
lim
2
x
x
x
x
→−
+
−
có giá tr
ị
b
ằ
ng
A
6B
0C
12D
1Câu 104.
20
2
lim
3 x
x
x x
→
− +
+
có giá tr
ị
b
ằ
ng
A
1
4
B
0C
1
4
(55)Câu 105.
2
4
8
lim
4 2
x
x
x
→+
−
+
−
có giá tr
ị
b
ằ
ng
A
3B
1C
0D
1
3
Câu 106.
1
5 lim
1 x
x x
→−
− −
+
có giá tr
ị
b
ằ
ng
A
1
4
B
1C
0D
1
4
−
Câu 107.
2
4
8
lim
4 2
x
x
x
→+
−
+
−
có giá tr
ị
b
ằ
ng
A
1
3
B
1C
0D
4
3
Câu 108.
1 lim
1 x
x x
+
→
−
−
có giá tr
ị
b
ằ
ng
A
+∞B
−∞
C
3D
0Câu 109.
2
2
lim
2 x
x x x
+
→
+ +
−
có giá tr
ị
b
ằ
ng
A
−∞
B
+∞C
2D
0Câu 110.
22
3
lim
4
x
x
x
+
→−
+
−
có giá tr
ị
b
ằ
ng
A
+∞B
3
4
−
C
0D
−∞
Câu 111.
23
lim
4
3
x
x
x
x
−
→
+
−
+
có giá tr
ị
b
ằ
ng
A
−∞
B
0C
+∞D
1Câu 112.
lim
(
1
)
32
8
x
x
x
x
→+∞−
+
+
có giá tr
ị
b
ằ
ng
A
0B
1C
+∞D
−∞
Câu 113.
31
1
lim
1
x→ x x
−
− −
có giá tr
ị
b
ằ
ng
A
−1B
+∞C
−∞
D
0Câu 114.
21
2
lim
1
x→ x x
−
− −
có giá tr
ị
b
ằ
ng
A
+∞B
−∞
C
0D
1
2
−
Câu 115.
Cho hàm s
ố
( )
3
1 khi
1
2
khi
1
x
x
f x
x
+
<
=
≥
Khi
đ
ó
lim
x→1f x
( )
b
ằ
ng
(56)VVVVấn đề H
ấn đề H
ấn đề H
ấn đề HÀM S
ÀM S
ÀM S
ÀM SỐ LI
Ố LI
Ố LI
Ố LIÊN T
ÊN T
ÊN TỤC
ÊN T
ỤC
ỤC
ỤC
Hàm s
ố
liên t
ụ
c t
ạ
i m
ộ
t
ñ
i
ể
m
ðị
nh ngh
ĩ
a:
Gi
ả
s
ử
hàm s
ố
f
xác
ñị
nh kho
ả
ng
(
a b;)
(
)
0 ;
x ∈ a b
Hàm s
ố
f
ñượ
c g
ọ
i liên t
ụ
c t
ạ
i
ñ
i
ể
m
x
0n
ế
u:
( )
( )
0
0
lim
x→x
f x
f x
=
Hàm s
ố
khơng liên t
ụ
c t
ạ
i
đ
i
ể
m
x
0ñượ
c g
ọ
i
gián
ñ
o
ạ
n t
ạ
i
ñ
i
ể
m
x
0ñ
i
ể
m
x
0ñượ
c g
ọ
i
ñ
i
ể
m gián
ñ
o
ạ
n c
ủ
a hàm s
ố
f x( )
Theo
ñị
nh ngh
ĩ
a trên, hàm s
ố
f x( )
xác
ñị
nh kho
ả
ng
(
a b;)
liên t
ụ
c t
ạ
i
ñ
i
ể
m
(
)
0 ;
x ∈ a b
n
ế
u ch
ỉ
n
ế
u
( )
0
lim x x
f x −
→
( )
0
lim x x
f x +
→
t
ồ
n t
ạ
i
( )
( )
( )
0
0
lim lim
x x x x
f x f x f x
+ −
→ →
= =
Hàm s
ố
liên t
ụ
c m
ộ
t kho
ả
ng, m
ộ
t
ñ
o
ạ
n
Hàm s
ố
f x( )
xác
ñị
nh kho
ả
ng
(
a b;)
ñượ
c g
ọ
i liên t
ụ
c kho
ả
ng
đ
ó, n
ế
u liên t
ụ
c
t
ạ
i m
ọ
i
đ
i
ể
m c
ủ
a kho
ả
ng
đ
ó
Hàm s
ố
f x( )
xác
ñị
nh
ñ
o
ạ
n
[
a b;]
đượ
c g
ọ
i liên t
ụ
c
đ
o
ạ
n
đ
ó, n
ế
u liên t
ụ
c kho
ả
ng
(
a b;)
lim
( )
( )
x a
f x f a +
→
=
,
lim
( )
( )
x bf x
f b
−
→
=
(liên t
ụ
c bên ph
ả
i t
ạ
i
a
bên trái t
ạ
i
b)
Chú ý:
ðồ
th
ị
c
ủ
a m
ộ
t hàm s
ố
liên t
ụ
c m
ộ
t kho
ả
ng m
ộ
t “
đườ
ng li
ề
n” kho
ả
ng
đ
ó
Tính liên t
ụ
c c
ủ
a m
ộ
t s
ố
hàm s
ố
:
T
ổ
ng, hi
ệ
u, tích, th
ươ
ng c
ủ
a hai hàm s
ố
liên t
ụ
c t
ạ
i m
ộ
t
ñ
i
ể
m nh
ữ
ng hàn s
ố
liên t
ụ
c t
ạ
i
đ
i
ể
m
đ
ó (giá tr
ị
c
ủ
a m
ẫ
u t
ạ
i
đ
i
ể
m
đ
ó ph
ả
i khác 0)
Hàm
đ
a th
ứ
c hàm phân th
ứ
c h
ữ
u t
ỉ
liên t
ụ
c t
ừ
ng kho
ả
ng xác
ñị
nh c
ủ
a chúng
Các hàm
y
=
=
=
=
sin ,
x y
=
=
=
=
cos ,
x y
=
=
=
=
tan ,
x y
=
=
=
=
cot
x
liên t
ụ
c t
ừ
ng kho
ả
ng xác
ñị
nh c
ủ
a chúng
Tính ch
ấ
t c
ủ
a hàm s
ố
liên t
ụ
c
ðị
nh lí:
(
ðị
nh lí v
ề
giá tr
ị
trung gian c
ủ
a hàm s
ố
liên t
ụ
c)
Gi
ả
s
ử
hàm
s
ố
f
liên t
ụ
c
ñ
o
ạ
n
[
a b;]
N
ế
u
f a( )
≠ f b( )
v
ớ
i m
ỗ
i s
ố
th
ự
c
Mn
ằ
m
gi
ữ
a
f a( )
f b
( )
, t
ồ
n t
ạ
i nh
ấ
t m
ộ
t
đ
i
ể
m
c∈(
a b;)
cho
f c( )
=M
H
ệ
qu
ả
1: N
ế
u hàm
f
liên t
ụ
c
[
a b;]
f a f b
( ) ( )
<0t
ồ
n t
ạ
i nh
ấ
t m
ộ
t
ñ
i
ể
m
(
;)
c∈ a b
cho
f c( )
=0
H
ệ
qu
ả
2:
N
ế
u hàm
f
liên t
ụ
c
[
a b;]
f x
( )
=0vô nghi
ệ
m
[
a b;]
hàm s
ố
f
có d
ấ
u khơng
đổ
i
[
a b;]
O
x
y
a
c
b( )
f a( )
f bM
( )
y= f x( )
aO
x
y
a
b( )
f a( )
f bM
( )
y= f x( )
b1
c
c
2c
3O
x
y
( )
y= f x( )
f x
( )
0f x
d
ầ
n t
ớ
i
f x( )
0x
(57)Dạng1.Xéttínhliêntụccủahàmsốtạimộtđiểm
A PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Lo
ạ
i 1: Cho hàm s
ố
( )
( )
( )
1
2
≠
=
=
f
x
x
x
f x
f
x
x
x
ðể
xét tính liên t
ụ
c ho
ặ
c xác
ñị
nh giá tr
ị
c
ủ
a tham s
ố
ñể
hàm s
ố
liên t
ụ
c t
ạ
i
ñ
i
ể
m
x
0, ta
th
ự
c hi
ệ
n b
ướ
c sau
B
ướ
c Tính gi
ớ
i h
ạ
n
( )
( )
0
1
lim
lim
→
=
→=
x x
f x
x xf
x
L
B
ướ
c Tính
f x( )
0 = f2( )
x0
B
ướ
c
ð
ánh giá ho
ặ
c gi
ả
i ph
ươ
ng trình
L= f2( )
x0, t
ừ
đ
ó
đư
a k
ế
t lu
ậ
n.
Lo
ạ
i 2: Cho hàm s
ố
( )
( )
( )
1
2
<
=
≥
f
x
x
x
f x
f
x
x
x
ðể
xét tính liên t
ụ
c ho
ặ
c xác
ñị
nh giá tr
ị
c
ủ
a tham s
ố
ñể
hàm s
ố
liên t
ụ
c t
ạ
i
ñ
i
ể
m
x
0, ta
th
ự
c hi
ệ
n b
ướ
c sau
B
ướ
c Tính
f x( )
0 = f2( )
x0
B
ướ
c (Liên t
ụ
c trái) Tính gi
ớ
i h
ạ
n
( )
( )
0
1
lim lim
− −
→ →
= =
x x x x
f x f x L
ð
ánh giá ho
ặ
c gi
ả
i ph
ươ
ng trình
L1 = f2( )
x0, t
ừ
đ
ó
đư
a k
ế
t lu
ậ
n
B
ướ
c (Liên t
ụ
c ph
ả
i) Tính gi
ớ
i h
ạ
n
( )
( )
0
1
lim lim
+ +
→ →
= =
x x x x
f x f x L
.
ð
ánh giá ho
ặ
c gi
ả
i ph
ươ
ng trình
L2 = f2( )
x0, t
ừ
đ
ó
đư
a k
ế
t lu
ậ
n
Chú ý: Hàm s
ố
khơng liên t
ụ
c t
ạ
i
x
0đượ
c g
ọ
i gián
ñ
o
ạ
n t
ạ
i
x
0B BÀI TẬP MẪU
Ví d
ụ
1.
Xét tính liên t
ụ
c c
ủ
a hàm s
ố
a)
( )
2
2
2
2
−
≠
= −
=
x
x f x x
x
t
ạ
i
x
=
2
b)
( )
(
)
25
5
2
1 3
5
3
5
−
>
− −
=
−
+
≤
x
x
x
f x
x
x
t
ạ
i
x=5L
ờ
i gi
ả
i
a) Hàm s
ố
xác
ñị
nh v
ớ
i m
ọ
i
x∈ℝTa có
( )
(
)(
)
(
)
2
2 2
2
2
2
lim
lim
lim
lim
2
2 2
2
2
→ → → →
−
+
−
=
=
=
+
=
−
−
x x x x
x
x
x
f x
x
x
x
f
( )
2
=
2 2
Do
( )
( )
2
lim 2
→
= =
x f x f
nên hàm s
ố
liên t
ụ
c t
ạ
i
x
=
2
.
b) Hàm s
ố
xác
ñị
nh v
ớ
i m
ọ
i
x∈ℝ(58)
( )
(
)
25
lim lim 3
− −
→ →
= − + =
x x
f x x
( )
(
)
(
)
5 5
5
2
1 3
5
2
1 3
lim
lim
lim
lim
3
2
1 9
2
2
1 3
+ + + +
→ → → →
−
− +
−
− +
=
=
=
=
− −
− −
x x x x
x
x
x
x
f x
x
x
Do
( )
( )
5
lim
lim
− +
→ →
=
x
f x
xf x
nên hàm s
ố
liên t
ụ
c t
ạ
i
x=5.
Ví d
ụ
2.
Xét tính liên t
ụ
c c
ủ
a hàm s
ố
sau t
ạ
i
x
0ñ
ã ch
ỉ
ra:
a)
( )
03
khi
1
(
1)
1
1
khi
1
x
x
f x
x
x
x
−
≠
=
+
=
−
=
b)
( )
2
0
3
2
khi
2
(
2)
2
1
khi
2
x
x
x
f x
x
x
x
−
+
≠
=
−
=
=
c)
( )
0
1
khi
1
(
1)
1
2
khi
1
x
x
f x
x
x
x
−
≠
=
−
=
=
d)
( )
3 2
0
1
khi
1
(
1)
3
2
1
khi
1
x
x
x
x
f x
x
x
x
x
−
− +
≠
=
−
+
=
=
(59)Ví d
ụ
3.
Xét tính liên t
ụ
c c
ủ
a hàm s
ố
sau t
ạ
i
x
0ñ
ã ch
ỉ
ra:
a)
( )
(
)
2
0
1
khi
0
(
0)
1
khi
0
x
x
f x
x
x
+
≤
=
=
−
>
b)
( )
(
)
25
khi
5
2
1 3
(
5)
5
3
khi
5
x
x
x
f x
x
x
x
−
>
− −
=
=
−
+
≤
c)
( )
1
khi
1
2
(
1)
1
khi
1
x
x
f x
x
x
x
≤
−
=
=
−
>
d)
( )
2
0
2
1
khi
1
(
1)
1
4
9
khi
1
x
x
x
f x
x
x
x
x
− +
< −
=
+
= −
+
≥ −
(60)Ví d
ụ
4.
Tìm
m
để
hàm s
ố
sau liên t
ụ
c t
ạ
i
x
0:
a)
( )
3
0
2
2
khi
1
(
1)
1
3
khi
1
x
x
x
x
f x
x
x
x
m
x
−
+
−
≠
=
−
=
+
=
b)
( )
2
0
3
2
khi
2
(
2)
2
1
khi
2
x
x
x
f x
x
x
x
mx
m
x
−
+
<
=
−
=
+
+
≥
c)
( )
2
2
khi
( 2)
3
x
x
f x x x
x mx x
+ −
≠
= + − =
− =
d)
( )
2
0
4
3
khi
1
(
1)
1
12
khi
1
x
x
x
f x
x
x
m
x
−
+
≠
=
−
=
−
=
(61)C BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1.
Xét tính liên tục hàm sốf
tạix
0:1)
( )
3 2
1
khi
1
3
2
1
khi
1
x
x
x
x
f x
x
x
x
−
− +
≠
=
−
+
=
tại
x
0=
1
,x
0=
2
,x
0=
3
2)
( )
3
2
khi
1
1
4
khi
1
3
x
x
x
x
f x
x
+ +
≠ −
+
=
= −
tại
x
0= −
1
,x
0=
1
3)
( )
1
2
3
khi
2
2
1
khi
2
x
x
f x
x
x
−
−
≠
=
−
=
tại
x
0=
2
,x
0=
1
,x
0=
6
Bài 2.
Xét tính liên tục hàm sốf
x
0:1)
( )
2
4
3
khi
3
3
2
4
khi
3
x
x
x
f x
x
x
x
−
+
>
=
−
−
≤
tại
x
0=
3,
x
0=
4
2)
( )
(
)
25
khi
5
2
1 3
5
3
khi
5
x
x
x
f x
x
x
−
>
− −
=
−
+
≤
tại
x
0=
5,
x
0=
6
3)
( )
2
2
khi
1
2
1 1 x x x x
f x x
x x x + − < − = = − > −
tại
x
0=
1,
x
0=
4
Bài 3.
ðị
nh
a
ñể hàm sốf
liên tụcx
0:1)
( )
2
6
5
khi
1
1
5
khi
1
2
x
x
x
x
f x
a
x
−
+
≠
−
=
+
=
tại
x
0=
1
2)
( )
3 2
4
3
khi
1
1
5
khi
1
2
x
x
x
x
f x
ax
x
−
+
≠
−
=
+
=
tại
x
0=
1
Bài 4.
ðịnha
, b ñể hàm sốf
liên tụcx
0:1)
( )
1 khi x x x x f x x a x x − − + < = − + ≥ +
tại
x
0=
0
2)
( )
3
3 2
khi 2 x x x f x ax x + − > − = + ≤
(62)Dạng2.Xéttínhliêntụccủahàmsốtrênkhoảng,đoạn
A PHƯƠNG PHÁP GIẢI
ðể
ch
ứ
ng minh hàm s
ố
y= f x( )
liên t
ụ
c m
ộ
t kho
ả
ng,
ñ
o
ạ
n ta dùng
ñị
nh
ngh
ĩ
a v
ề
hàm s
ố
liên t
ụ
c kho
ả
ng,
ñ
o
ạ
n nh
ậ
n xét
ñể
suy k
ế
t lu
ậ
n
Khi nói xét tính liên t
ụ
c c
ủ
a hàm s
ố
(mà khơng nói rõ h
ơ
n) ta hi
ể
u ph
ả
i xét tính
liên t
ụ
c t
ậ
p xác
đị
nh c
ủ
a
Tìm
đ
i
ể
m gián
đ
o
ạ
n c
ủ
a hàm s
ố
t
ứ
c xét xem t
ậ
p xác
ñị
nh c
ủ
a hàm s
ố
khơng liên t
ụ
c t
ạ
i
đ
i
ể
m
B BÀI TẬP MẪU
Ví d
ụ
5.
Cho hàm s
ố
f x( )
xác
ñị
nh b
ở
i
( )
2
2
khi
3
3
khi 1
3
1 2
− −
≥
=
−
+ −
− <
<
x
x
x
f x
x
x
x
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng hàm s
ố
liên t
ụ
c kho
ả
ng
(
− +∞1;)
L
ờ
i gi
ả
i
•
N
ế
u
x>3Hàm s
ố
( )
2 = − −
f x x x
hàm
ñ
a th
ứ
c nên liên t
ụ
c
(
3;+∞)
( )
1•
N
ế
u
− <1 x<3Hàm s
ố
( )
3
1 2
−
=
+ −
x
f x
x
Ta có
x
+ −
1 2
≠
0
v
ớ
i m
ọ
i
x∈ −(
1;3)
x−3x
+ −
1 2
ñề
u liên t
ụ
c
(
−1;3)
Do
đ
ó hàm s
ố
f x( )
liên t
ụ
c
(
−1;3)
( )
2•
Xét t
ạ
i
x= −3Ta có
( )
(
)
(
)
(
)
3 3
3
1 2
3
lim
lim
lim
lim
1 2
4
3
1 2
− − − −
→ → → →
−
+ +
−
=
=
=
+ +
=
−
+ −
x x x x
x
x
x
f x
x
x
x
( )
(
)
3
lim
lim
2
4
+ +
→ →
=
− −
=
x
f x
xx
x
Vì
( )
( )
3
lim
lim
4
− +
→ →
=
=
x x
f x
f x
nên hàm s
ố
f x( )
liên t
ụ
c t
ạ
i
x=3( )
3T
ừ
( )
1,
( )
2( )
3ta k
ế
t lu
ậ
n hàm s
ố
liên t
ụ
c kho
ả
ng
(
− +∞1;)
Ví d
ụ
6.
Xác
ñị
nh
a
ñể
hàm s
ố
( )
1
khi
1
1
khi
1
−
≠
=
−
=
x
x
f x
x
a
x
liên t
ụ
c
ñ
o
ạ
n
[
0;1]
L
ờ
i gi
ả
i
Hàm s
ố
xác
ñị
nh liên t
ụ
c
[
0;1)
Xét bên trái
x=1Ta có
f( )
1 =a
( )
(
)
(
)
2
1 1
1
lim
lim
lim
1
1
4
1
− − −
→ → →
−
=
=
+
+
=
−
x x x
x
f x
x
x
x
ðể
hàm s
ố
liên t
ụ
c bên trái c
ủ
a ch
ỉ
( )
( )
1
lim
1
4
−
→
=
⇔
=
xf x
f
a
(63)
Ví d
ụ
7.
Xét tính liên t
ụ
c c
ủ
a hàm s
ố
sau:
a)
( )
32 f x x x
x = + + +
−
b)
f x
( )
=
1
−
x
+
2
−
x
c)
( )
2
2
khi
2
2
2 2
khi
2
x
x
f x
x
x
−
≠
=
−
=
d)
( )
3
8
khi
2
4
8
3
khi
2
x
x
f x
x
x
+
≠ −
=
+
= −
e)
( )
1
khi
1
2
1
khi
1
x
x
f x
x
x
≤
−
=
−
>
f)
( )
3
27
khi
3
9
5
khi
3
2
1
khi
3
x
x
x
f x
x
x
x
+
<
−
=
=
−
>
(64)Ví d
ụ
8.
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng hàm s
ố
( )
2
1
1
khi
1
2
3
1
khi
1
x
x
x
f x
x
x
x
− + −
>
=
+
−
≤
liên t
ụ
c
[
1; + ∞)
Ví d
ụ
9.
Tìm m
để
hàm s
ố
( )
khi
1
1
khi
1
1 khi
1
x
x
x
f x
x
mx
x
+
<
=
=
+
>
liên t
ụ
c t
ậ
p xác
ñị
nh c
ủ
a nó.
(65)Ví d
ụ
10.
Tìm
đ
i
ể
m gián
ñ
o
ạ
n c
ủ
a hàm s
ố
:
a)
( )
2
3
4
5
4
3
x
x
f x
x
x
−
+
=
−
+
b)
( )
1 cos
khi
0
1
khi
0
x
x
f x
x
x
−
≤
=
+
>
(66)C BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 5.
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng:
1) Các hàm s
ố
f x( )
=x3–x+3( )
3
1
1
x
x
g
x
−
+
=
liên t
ụ
c
ℝ2) Hàm s
ố
( )
3
2
khi
2
2
1
khi
2
x
x
x
f x
x
x
−
+
≠
=
−
=
liên t
ụ
c t
ạ
i
ñ
i
ể
m
x=23) Hàm s
ố
( )
1
khi
1
1
2
khi
1
x
x
f x
x
x
−
≠
=
−
=
gián
ñ
o
ạ
n t
ạ
i
ñ
i
ể
m
x=14) Hàm s
ố
( )
(
)
21
khi
0
2
khi
0
x
x
f x
x
x
+
≤
=
+
>
gián
ñ
o
ạ
n t
ạ
i
ñ
i
ể
m
x=05) Hàm s
ố
f x( )
=x4 –x2+2liên t
ụ
c
ℝ6) Hàm s
ố
( )
2
1
1
f x
x
=
−
liên t
ụ
c kho
ả
ng
(
−1; 1)
7) Hàm s
ố
f x
( )
=
8 2
−
x
2liên t
ụ
c
ñ
o
ạ
n
[
−2; 2]
8) Hàm s
ố
f(x) = 2
x
−
1
liên t
ụ
c kho
ả
ng
1
;
2
+ ∞
9) Hàm s
ố
( )
2
3
4
2
1
x
x
f x
x
+
+
=
−
=
liên t
ụ
c t
ậ
p xác
đị
nh c
ủ
a
10) Hàm s
ố
( )
2
f x x
x x = + + +
−
liên t
ụ
c t
ậ
p xác
đị
nh c
ủ
a
11) Hàm s
ố
f
( )
x
=
1
−
x
+
2
−
x
liên t
ụ
c t
ậ
p xác
đị
nh c
ủ
a
12) Hàm s
ố
f x
( )
=
x
−
3
liên t
ụ
c t
ậ
p xác
đị
nh c
ủ
a
13) Hàm s
ố
f x( )
=x2sin – cosx x+3liên t
ụ
c
ℝ14) Hàm s
ố
( )
3
cos
sin
2 sin
3
x
x
x
x
f
x
x
=
+
+
+
liên t
ụ
c
ℝ15) Hàm s
ố
( )
(
)
3
2
1 sin
cos
sin
x
x
f x
x
x
x
+
−
=
liên t
ụ
c
ℝ
\
{
k
π
,
k
∈
ℝ
}
Bài 6.
Xét tính liên t
ụ
c c
ủ
a hàm s
ố
f
t
ậ
p xác
ñị
nh:
1)
( )
2
1
4
x
x
f x
x
+ +
=
−
2)
( )
1
2
3
2
x
f
x
x
=
−
−
−
3)
( )
3
2
khi
1
1
4
khi
1
3
x
x
x
x
f x
x
+ +
≠ −
+
=
= −
4)
( )
3
3
2
khi
1
1
1
khi
1
2
x
x
x
x
f
x
x
−
+
≠
−
=
−
=
5)
( )
3 1 x x x f x x − ≠ − = =
6)
( )
(
)
23
1
khi
1
1
4
khi
1
x
x
x
f
x
x
x
−
+
≠
=
−
=
(67)1)
( )
2
2
khi
1
1
khi
1
x
x
x
x
x
f
x
a
x
−
+
−
≠
=
−
=
2)
( )
3 2
5
5
3
khi
3
9
4
khi
3
x
x
x
x
f
x
a
x
x
x
−
+
−
−
>
=
−
+
≤
Bài 8.
ðị
nh
a
ñể
hàm s
ố
f
liên t
ụ
c
ℝ:
1)
( )
2
3
2
khi
2
2
1
khi
2
x
x
x
f
x
x
x
ax
a
x
−
+
<
=
−
+
+
≥
2)
( )
1
2khi
1
3
khi
1
x
x
f
ax
x
x
+
≤
=
−
>
Bài 9.
ðị
nh ,
a b
ñể
hàm s
ố
f
liên t
ụ
c
ℝ:
1)
( )
2
1
khi
4
x x
f ax b x
x x x
x
− <
= + ≤ ≤
− − >
2)
( )
2 sin
2 sin 2 cos x x f x
x a x b x
x
π
π
π
π
− ≤ = + − < <
≤ −
Bài 10.
ðị
nh
a
ñể
hàm s
ố
f
liên t
ụ
c
I:
1)
( )
(
)
4
khi
4
3
2
khi
4
x
x
x
f
a
x
x
−
≠
−
=
=
trên
I =[
0; 4]
2)
( )
3
3
3
5
khi
1
1
1
khi
1
x
x
x
f
x
x
x
ax
+
−
+
≠
=
−
+
=
trên
I = −[
3; + ∞)
3)
( )
2
1
khi
1
1
khi
1
x
x
f
x
a
x
x
−
≠
=
−
=
trên
I =(
0; + ∞)
Bài 11.
Tìm
đ
i
ể
m gián
đ
o
ạ
n c
ủ
a hàm s
ố
sau:
1)
( )
1 x f
x x
x = +
−
2)
( )
cosx x f x = −
3)
f x
( )
=
tan
x
+
cot
x
4)
f x
( )
=
x
5)
( )
2
1
2
x
f x x
x
− ≠
=
− =
6)
( )
1
khi
1
1
khi
1
3
x
x
f
x
x
x
x
+
≤
=
>
−
7)
( )
2
5
4
khi
1
1
3
khi
1
2
x
x
x
x
f
x
x
−
+
≠
−
=
−
=
8)
( )
2
2
2
khi
1
3
2
1
khi
1
2
x
x
x
x
x
f
x
−
≠
−
+
=
=
Bài 12.
Xét xem hàm s
ố
sau có liên t
ụ
c t
ạ
i m
ọ
i
x
khơng, n
ế
u khơng liên t
ụ
c ch
ỉ
đ
i
ể
m
gián
ñ
o
ạ
n:
1)
( )
2
f x =x − x + x+
2)
( )
223 x f
x x
x = +
− +
3)
( )
2
5
6
2
x
x
f
x
x
x
−
+
=
−
4)
( )
2
16
khi
4
4
8
khi
4
(68)Dạng3.Chứngminhphươngtrìnhcónghiệm
A PHƯƠNG PHÁP GIẢI
•
Bi
ế
n
đổ
i ph
ươ
ng trình v
ề
d
ạ
ng:
f x( )
=0•
Tìm hai s
ố
,
a b
cho
f a f b( ) ( )
<0(Dùng ch
ứ
c n
ă
ng TABLE c
ủ
a máy tính tìm
cho nhanh)
•
Ch
ứ
ng minh
f x( )
liên t
ụ
c
[
a b;]
t
ừ
đ
ó suy
f x( )
=0có nghi
ệ
m
Chú ý:
N
ế
u
f a f b( ) ( )
≤0ph
ươ
ng trình có
nghi
ệ
m thu
ộ
c
[
a b;]
ðể
ch
ứ
ng minh
f x( )
=0có nh
ấ
t
n
nghi
ệ
m
[
a b;]
, ta chia
ñ
o
ạ
n
[
a b;]
thành
n
kho
ả
ng nh
ỏ
r
ờ
i nhau, r
ồ
i ch
ứ
ng
minh m
ỗ
i kho
ả
ng
đ
ó ph
ươ
ng trình có
ít nh
ấ
t m
ộ
t nghi
ệ
m
B BÀI TẬP MẪU
Ví d
ụ
11.
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng ph
ươ
ng trình
a)
cos
+
sin
+ =
1
0
x
x
x
x
có nh
ấ
t m
ộ
t nghi
ệ
m thu
ộ
c kho
ả
ng
(
0;π
)
b)
1
0
+ + =
x
x
có nh
ấ
t m
ộ
t nghi
ệ
m âm l
ớ
n h
ơ
n
−1c)
x
4−
3
x
2+
5
x
−
6
=
0
có nh
ấ
t m
ộ
t nghi
ệ
m thu
ộ
c kho
ả
ng
(
1; 2)
L
ờ
i gi
ả
i
a) Xét hàm s
ố
f x( )
=x2cosx+xsinx+ =1 0ñ
o
ạ
n
[
0;π
]
Hàm s
ố
f x( )
liên t
ụ
c
ñ
o
ạ
n
[
0;π
]
M
ặ
t khác
( )
( )
20
1 0
cos
sin
1 1
0
= >
=
+
+ = −
<
f
f
π
π
π
π
π
π
suy
f( ) ( )
0 fπ
<0Do
đ
ó t
ồ
n t
ạ
i m
ộ
t s
ố
c∈(
0;π
)
cho
f c( )
=0ngh
ĩ
a ph
ươ
ng trình
2
cos
+
sin
+ =
1
0
x
x
x
x
có nh
ấ
t m
ộ
t nghi
ệ
m thu
ộ
c kho
ả
ng
(
0;π
)
b) Xét hàm s
ố
( )
1 = + + =
f x x x
ñ
o
ạ
n
[
−1; 0]
Hàm s
ố
f x( )
liên t
ụ
c
ñ
o
ạ
n
[
−1; 0]
M
ặ
t khác
( )
( )
1
1 0
0
1
0
−
= − <
= >
f
f
suy
f(
−1) ( )
f <0Do
đ
ó t
ồ
n t
ạ
i m
ộ
t s
ố
c∈ −(
1; 0)
cho
f c( )
=0ngh
ĩ
a ph
ươ
ng trình
x
3+ + =
x
1
0
có
nh
ấ
t m
ộ
t nghi
ệ
m âm l
ớ
n h
ơ
n
−1c) Xét hàm s
ố
f x( )
=x4−3x2+5x−6=0ñ
o
ạ
n
[
1; 2]
O
x
y
( )
f b( )
f aa
b
(69)Hàm s
ố
f x( )
liên t
ụ
c
ñ
o
ạ
n
[
1; 2]
M
ặ
t khác
( )
( )
1
3
0
2
32
0
= − <
=
>
f
f
suy
f( ) ( )
1 f <0Do
đ
ó t
ồ
n t
ạ
i m
ộ
t s
ố
c∈(
1; 2)
cho
f c( )
=0ngh
ĩ
a ph
ươ
ng trình
x
4−
3
x
2+
5
x
−
6
=
0
có nh
ấ
t m
ộ
t nghi
ệ
m thu
ộ
c kho
ả
ng
(
1; 2)
Ví d
ụ
12.
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng ph
ươ
ng trình sau ln có nghi
ệ
m:
a)
x
5−
3
x
+ =
3
0
b)
x
4+
x
3−
3
x
2+ + =
x
1 0
c)
(
2)
(
)
31
−
m
x
+
1
+
x
− − =
x
3
0
d)
m
(
2 cos
x
−
2
)
=
2 sin 5
x
+
1
(70)Ví d
ụ
13.
Ch
ứ
ng minh ph
ươ
ng trình:
a)
3
x
3+
12
x
− =
1 0
có nh
ấ
t m
ộ
t nghi
ệ
m
b)
x
5−
5
x
3+
4
x
− =
1 0
có
đ
úng nghi
ệ
m
c)
x
2cos
x
+
x
sin
x
+ =
1 0
có nh
ấ
t m
ộ
t nghi
ệ
m thu
ộ
c
(
0; π)
d)
x
3+ + =
x
1
0
có nh
ấ
t m
ộ
t nghi
ệ
m âm l
ớ
n h
ơ
n
– 1e)
2
x
3−
6
x
+ =
1
0
có ba ngh
ệ
m phân bi
ệ
t
Ví d
ụ
14.
Ch
ứ
ng minh ph
ươ
ng trình
x
4− − =
x
3
0
có nh
ấ
t m
ộ
t nghi
ệ
m
x
0th
ỏ
a mãn
12x >
(71)Ví dụ 15. Cho
a b c
, ,
số thực khácChứng minh phương trình
ax
2+
bx
+ =
c
0
với 2a+3b+6c=0 ln có nghiệmLời giải
Xét hàm số f x
( )
=ax2+bx+c liên tục ℝTa có
( )
02 4 4
2
3 3 12
=
+ +
= + + = + + = = + + − = −
f c
a b c a b c c c
f a b c a b c
Suy
( )
2
2
0
0
3
3
= −
≤
c
f
f
Vậy phương trình
ax
2+
bx
+ =
c
0
với 2a+3b+6c=0 ln có nghiệmVí d
ụ
16.
Ch
ứ
ng minh ph
ươ
ng trình
ax
2+
bx
+ =
c
0
ln ln có nghi
ệ
m v
ớ
i m
ọ
i tham s
ố
tr
ườ
ng
h
ợ
p
5a+4b+6c=0
Ví d
ụ
17.
Ch
ứ
ng minh ph
ươ
ng trình
ax
2+
bx
+ =
c
0
ln ln có nghi
ệ
m v
ớ
i m
ọ
i tham s
ố
tr
ườ
ng
h
ợ
p 12
a+15b+20c=0(72)
C BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 13.
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng ph
ươ
ng trình:
1)
3
x
2+
2 – 2
x
=
0
có nh
ấ
t m
ộ
t nghi
ệ
m
2)
x
3+ + =
x
1
0
có nh
ấ
t m
ộ
t nghi
ệ
m âm l
ớ
n h
ơ
n
−13)
3
x
3+
2 – 2
x
=
0
có nh
ấ
t m
ộ
t nghi
ệ
m
4)
4
x
4+
2
x
2–
x
– 3
=
0
.có nh
ấ
t hai nghi
ệ
m phân bi
ệ
t thu
ộ
c
(
−1;1)
5)
– 0
x
+
x
=
có nh
ấ
t ba nghi
ệ
m thu
ộ
c
(
−1;1)
6)
x
3– 3
x
+ =
1
0
có nh
ấ
t ba nghi
ệ
m phân bi
ệ
t thu
ộ
c
(
−2; 2)
7)
2
x
3– 6
x
+ =
1
0
có nh
ấ
t ba nghi
ệ
m phân bi
ệ
t thu
ộ
c
(
−2; 2)
8)
2
x
4– 3
x
+
5 – 6
x
=
0
có nh
ấ
t m
ộ
t nghi
ệ
m thu
ộ
c
(
1; 2)
Bài 14.
Ch
ứ
ng minh ph
ươ
ng trình sau có nghi
ệ
m:
1)
m x
(
– 1
) (
2x
+
2
)
+
2
x
+ =
3
0
2)
cosx+mcos 2x=03)
sinx+cos –x msin cosx x=04)
–1 tanx + x=0Bài 15.
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng n
ế
u
m< −3ph
ươ
ng trình
(
3
m
2+
m
−
1
)
x
3+
(
3
m
−
2
)
x
2+
(
m
+
1
)
x
− =
3
0
có nh
ấ
t m
ộ
t nghi
ệ
m thu
ộ
c kho
ả
ng
(
−1;1)
Bài 16.
Cho , ,
a b c
s
ố
th
ự
c khác
0Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng ph
ươ
ng trình
0
+
+ =
ax
bx
c
v
ớ
i
0 2+ 1+ =
+ +
a b c
m m m
m>0
ln có nghi
ệ
m
Bài 17.
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng n
ế
u
2a+3b+6c=0ph
ươ
ng trình
a
tan
2x
+
b
tan
x
+ =
c
0
có nh
ấ
t m
ộ
t
nghi
ệ
m kho
ả
ng
;
4
+
k
k
π
π
π
Bài 18.
Cho , ,
a b c
ba s
ố
d
ươ
ng phân bi
ệ
t
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng ph
ươ
ng trình
a x b(
−)(
x c−)
+b x(
−a)(
x c−)
+c x(
−a)(
x b−)
=0ln có
hai nghi
ệ
m ph
ậ
n bi
ệ
t
Dạng4.Xétdấubiểuthức
A PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Ta áp d
ụ
ng h
ệ
qu
ả
: “N
ế
u
y= f x( )
liên t
ụ
c
[
a b;]
f x
( )
=0,∀ ∈x(
a b;)
f x
( )
khơng
đổ
i d
ấ
u
(
a b;)
”
ñể
xét d
ấ
u bi
ể
u th
ứ
c
f x( )
mi
ề
n
Dtheo b
ướ
c sau:
B
ướ
c 1
: Tìm
ñ
i
ể
m gián
ñ
o
ạ
n c
ủ
a
f x( )
D
B
ướ
c 2
: Tìm t
ấ
t c
ả
, ( 1, )
i
x ∈D i= n
cho
f x( )
i =0.
B
ướ
c 3
: Chia mi
ề
n
Dthành nh
ữ
ng kho
ả
ng nh
ỏ
b
ở
i
ñ
i
ể
m gián
ñ
o
ạ
n c
ủ
a
f x( )
ñ
i
ể
m
, ( 1, ) i
x ∈D i= n
v
ừ
a tìm
đượ
c
ở
b
ướ
c
B
ướ
c 4
: Trên m
ỗ
i kho
ả
ng nh
ỏ
l
ấ
y m
ộ
t s
ố
m tùy ý, tính
f m( )
, d
ấ
u c
ủ
a
f x( )
kho
ả
ng
đ
ó
(73)B BÀI TẬP MẪU
Ví d
ụ
18.
Xét d
ấ
u bi
ể
u th
ứ
c sau:
a)
f x( )
=2x4−7x3−5x2+28x−12b)
f x
( )
=
x
2− +
3
9
−
x
2
C BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 19.
Xét d
ấ
u bi
ể
u th
ứ
c sau:
1)
( )
–
f x =x
2)
f x( ) (
= sin – 2x)
( +2 cosx)v
ớ
i
x
∈
[
0;
2
π
]
3)
f
( )
x
=
3
(
x
– 2
)
+
12
x
−
3
x
24)
f
( )
x
=
2 – –
x
x
2−
2
x
+
9
(74)BI T
BI T
BI T
BI TẬ
Ậ
ẬP CƠ
Ậ
P CƠ
P CƠ B
P CƠ
BB
BẢ
Ả
Ả
ẢN NÂNG CAO V
N NÂNG CAO VẤ
N NÂNG CAO V
N NÂNG CAO V
Ấ
Ấ
ẤN Đ
N Đ
N Đ
N ĐỀỀỀỀ 3
3
3
3
Bài 20.
Xét tính liên tục hàm sốf
x
0:1)
( )
2
khi
5
1
x
x
f x x
x − ≠ = + − =
tại
x
0=
4
2)
( )
3
3 2
khi 2 x x x f x x + − ≠ − = =
tại
x
0=
2
3)
( )
|
2 |
khi
2
2
3
khi
2
x
x
x
f x
x
x
−
+
≠
=
−
=
tại
x
0=
2
4)
( )
2
3
2
4
2
khi
1
3
2
1
khi
1
2
x
x
x
x
x
x
f x
x
− −
− −
≠
−
+
=
=
x
0=
1
5)
( )
2
khi
2
2
3
khi
2
x
x
x
f x
x
x
−
+
≠
=
−
=
tại
x
0=
2
6)
( )
3
8
khi
2
4
8
3
khi
2
x
x
f x
x
x
+
≠ −
=
+
= −
tại
x
0= −
2
Bài 21.
Xét tính liên tục hàm sốf
x
0:1)
( )
2 1 khi x x x
f x x
x x x x + − > − = = − < + −
tại
x
0=
1,
x
0=
2
2)
( )
2
2
khi
4
5 3
5
8
khi
4
6
x
x
x
f x
x
x
x
−
>
+
−
=
−
+
≤
tại
x
0=
4
3)
( )
2
2
khi 1 x x x f x x x + − > − = + − ≤
(75)4)
( )
sin
cos
khi
4
tan
4
2 sin
khi
4
x
x
x
x
f x
x
x
π
π
π
−
>
−
=
≤
tại 0
4 x =
π
Bài 22.
ðị
nh
a
ñể hàm sốf
liên tụcx
0:1)
( )
3
4
3
khi
1
4
3
3
khi
1
2
x
x
x
x
x
f x
a
x
−
+
≠
−
+
=
−
=
tại
x
0=
1
2)
( )
4 3
4
2
1
khi
1
1
1
khi
1
3
x
x
x
x
x
f x
a
x
−
+
+
≠
−
=
+
=
tại
x
0=
1
3)
( )
2
khi
4
5 3
5
khi
4
2
x
x
x
f x
ax
x
−
≠
+
−
=
−
=
tại
x
0=
4
4)
( )
2
3
khi 1 x x x x f x a x + − + ≠ − = − =
tại
x
0=
1
5)
( )
4
khi
5
2
4 x x x f x a x + − ≠ = − =
tại
x
0=
0
6)
( )
2
1
5
khi
4
4
2
khi
4
x
x
x
f x
x
a
x
+ −
+
≠
=
−
+
=
tại
x
0=
4
7)
( )
2
2
khi
2
2
khi
2
x
x
x
f x
x
a
x
− −
≠
=
−
=
tại
x
0=
2
8)
( )
3 2
3
4
khi
1
1
khi
1
x
x
x
f x
x
a
x
−
+
≠
=
−
=
x
0=
1
9)
( )
3
3 2
khi 2 x x x f x ax x + − ≠ − = + =
(76)Bài 23.
ðịnha
, b ñể hàm sốf
liên tụcx
0:1)
( )
3
1
1
khi
0
2
3
1
khi
0
2
x
x
x
x
f x
x
x
a
x
x
−
−
+
<
=
−
+
+
≥
+
tại
x
0=
0
2)
( )
2
3
8
2
khi
2
2
1
khi
2
4
x
x
x
f x
ax
x
− −
>
−
=
+
≤
tại
x
0=
2
3)
( )
2 sin
2 cos
3 x x x f x
a x x
π
π
π
− > − = + ≤ tại 0
3 x =
π
Bài 24.
Xét xem hàm s
ố
sau có liên t
ụ
c t
ạ
i m
ọ
i
x
khơng, n
ế
u khơng liên t
ụ
c ch
ỉ
đ
i
ể
m
gián
ñ
o
ạ
n:
1)
( )
2
f x =x − x + x+
2)
( )
223 x f
x x
x = +
− +
3)
( )
2
5
6
2
x
x
f
x
x
x
−
+
=
−
4)
( )
2
16
khi
4
4
8
khi
4
x
x
f
x
x
x
−
≠
=
−
=
Bài 25.
Xét tính liên t
ụ
c c
ủ
a hàm s
ố
f
t
ậ
p xác
ñị
nh:
1)
( )
1
khi
1
2
khi
1
x
x
x
x
f
−
+
≠
=
−
=
x x2)
( )
1
khi
1
2
1
khi
1
x
x
f
x
x
x
≤
−
=
−
>
3)
( )
(
)
22
1
2
x
f x x
x x x + ≤
= − < <
≥
4)
( )
2
khi
0
0
khi
1
2
khi
2
x
x
f
x
x
x
x
≤
=
=
−
≥
5)
( )
3
khi
3
x x f x x x ≥ = + <
6)
( )
2
1
cos
x x x
f
x x
x = + + <
≥
7)
( )
2
2
khi
2
2
x x f x x x − ≠ = − =
8)
( )
(
)
2khi
2
3
x x f x x x − ≠ − = =
Bài 26.
Xét tính liên t
ụ
c c
ủ
a hàm s
ố
f
theo
a
:
1)
( )
3
8
khi
2
2
khi
2
x
x
f
x
a
x
x
−
≠
=
−
=
2)
( )
(77)Bài 27.
ðị
nh
a
ñể
hàm s
ố
f
liên t
ụ
c
ℝ:
1)
( )
2
1
3
x x
f
x a x
x = − ≥
+ <
2)
( )
2
khi
3
x ax x
f
x
≤
=
>
3)
( )
3
3 2
khi
2
khi
4 x
x x
f
ax x
x
+ −
>
−
=
+ ≤
4)
( )
sin
3
khi
1 cos
3
tan
khi
6
3
x
x
x
f
x
a
x
π
π
π
π
−
≠
=
−
+
=
Bài 28.
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng ph
ươ
ng trình:
1)
x
3– – 7
x
=
0
ln có nghi
ệ
m
2)
x
5+
7
x
4– 3
x
2+
x
+
2
=
0
ln có nghi
ệ
m
3)
x
4– – 5
x
=
0
ln có nghi
ệ
m
4)
x
4– 3
x
3+ =
1 0
có nh
ấ
t m
ộ
t nghi
ệ
m thu
ộ
c
(
−1;3)
5)
x
5– 3
x
4+
5 – 2
x
=
0
có nh
ấ
t ba nghi
ệ
m thu
ộ
c
(
−2;5)
6)
x3+6x+ −1 2=0có nghi
ệ
m d
ươ
ng
7)
cos 2x=2sin – 2xcó nh
ấ
t hai nghi
ệ
m thu
ộ
c
;
6
π
π
8)
x
2cos
x
+
x
sin
x
+ =
1
0
có nh
ấ
t m
ộ
t nghi
ệ
m thu
ộ
c
(
0;π
)
9) cos
x
=
x
ln có nghi
ệ
m
Bài 29.
Li
ệ
u có t
ồ
n t
ạ
i m
ộ
t s
ố
l
ớ
n h
ơ
n l
ậ
p ph
ươ
ng c
ủ
a
ñơ
n v
ị
?
Bài 30.
N
ế
u
a
b
s
ố
d
ươ
ng, ch
ứ
ng minh ph
ươ
ng trình
3 2 32
a b
x + x − + x +x− =
có
nh
ấ
t nghi
ệ
m n
ằ
m kho
ả
ng
(
−1;1)
Bài 31.
M
ộ
t th
ầ
y tu Tây T
ạ
ng r
ờ
i tu vi
ệ
n lúc h sáng
ñ
i lên
ñỉ
nh núi nh
ư
th
ườ
ng l
ệ
,
ñế
n n
ơ
i lúc h
t
ố
i Sáng hơm sau, ơng b
ắ
t
đầ
u
đ
i t
ừ
đỉ
nh núi vào lúc h sáng c
ũ
ng
ñ
i v
ề
b
ằ
ng
ñườ
ng
c
ũ
, v
ề
ñế
n tu vi
ệ
n lúc h t
ố
i Hãy s
ử
d
ụ
ng
ðị
nh lý Giá tr
ị
trung gian
để
ch
ứ
ng minh r
ằ
ng có
m
ộ
t
đ
i
ể
m n
ằ
m
ñườ
ng mà th
ầ
y tu s
ẽ
ñ
i qua vào th
ờ
i
ñ
i
ể
m nh
ư
c
ả
hai ngày
Bài 32.
Ch
ứ
ng minh ph
ươ
ng trình sau có nghi
ệ
m:
(78)BI T
BI T
BI T
BI TẬ
Ậ
ẬP TR
Ậ
P TR
P TR
P TRẮ
Ắ
Ắ
ẮC NGHI
C NGHI
C NGHI
C NGHIỆỆỆỆM
M V
M
M
V
VẤ
V
Ấ
Ấ
ẤN Đ
N Đ
N ĐỀỀỀỀ 3
N Đ
3
3
3
Câu 1.
Cho hàm s
ố
f x( )
x 3 xx + − −
=
v
ớ
i
x≠0ðể
hàm s
ố
f x( )
liên t
ụ
c
ℝf
( )
0b
ằ
ng
A
23
B
3
3
C
D
0Câu 2.
Cho hàm s
ố
( )
3
x x
f x
x − + =
−
v
ớ
i
x≠1ðể
hàm s
ố
f x( )
liên t
ụ
c
ℝ
f
( )
1b
ằ
ng
A
2B
C
0D
−1Câu 3.
Cho hàm s
ố
( )
4 x f x
x =
+ −
v
ớ
i
x≠0ðể
hàm s
ố
f x( )
liên t
ụ
c
ℝf
( )
0b
ằ
ng
A
0B
2C
4D
Câu 4.
Cho hàm s
ố
( )
8
khi
2
4
8
3
khi
2
x
x
f x
x
x
+
≠ −
=
+
= −
Hàm s
ố
f x( )
liên t
ụ
c t
ạ
i
A
x= −2B
x=3C
x=2D
x= −3Câu 5.
Cho hàm s
ố
( )
4
3
khi
3
3
khi
3
x
x
x
f x
x
a
x
−
+
≠
=
−
=
ðể
hàm s
ố
f x( )
liên t
ụ
c t
ạ
i
x=3a
b
ằ
ng
A
2B
4C
0D
−2Câu 6.
Cho hàm s
ố
( )
5
6
khi
3
4
3
1
khi
3
x
x
x
f x
x
x
ax
x
−
+
>
=
− −
+
≤
ðể
hàm s
ố
f x( )
liên t
ụ
c t
ạ
i
x=3a
b
ằ
ng
A
4
3
−
B
−3C
0D
2
3
Câu 7.
Cho hàm s
ố
( )
(
)
5 4
khi
1
1
4
khi
1
x
x
x
f x
x
a
x
x
−
−
<
=
−
+
≥
ðể
hàm s
ố
f x( )
liên t
ụ
c
ℝa
b
ằ
ng
A
3B
−1C
D
0Câu 8.
Cho hàm s
ố
( )
3
3
1
2 6
khi
1
1
khi
1
x
x
x
f x
x
a
x
x
+ + − −
>
=
−
−
≤
ðể
hàm s
ố
f x( )
liên t
ụ
c
ℝa
b
ằ
ng
A
2B
C
1
4
D
5
4
Câu 9.
Cho hàm s
ố
( )
3
2
2
khi
2
2
khi
2
x
x
f x
x
a
x
+
−
≠
=
−
=
(79)A
0B
2C
1
4
D
Câu 10.
Cho hàm s
ố
( )
1
khi 3, 1
4
1 x
x x
x
f x x
x x
−
< ≠
−
= =
+ ≥
Hàm s
ố
f x( )
liên t
ụ
c t
ạ
i:
A m
ọ
i
ñ
i
ể
m thu
ộ
c
B m
ọ
i
ñ
i
ể
m tr
ừ
x=1C m
ọ
i
ñ
i
ể
m tr
ừ
x=3D m
ọ
i
ñ
i
ể
m tr
ừ
x=1x=3
Câu 11. 2
2
1
1
l
4
im
2
−→
−
−
−
x
x
x
bằng
A Không tồn B
+∞
C−∞
D đáp số khácCâu 12.
lim
(
2
)
31
xx
x
x
x
→+∞
−
+
+
A 0 B 1 C
+∞
D đáp số khácCâu 13. Cho
hàm
số( )
[
]
(
]
0;4;
=
+
∈ ∈
x x
f x
m x
ðịnh
m
ñể f x( )
liên tục[
0; 6]
:A m=3 B m=4 C m=0 D m=1
Câu 14. Cho
hàm
số f x( )
=x3−3x−1 xác ñịnh ℝ Số nghiệm phương trình f x( )
=0 ℝA 0 B 1 C 2 D 3
Câu 15. Cho hàm số
f
liên tục ñoạn[
−1; 4]
cho f(
−1)
= −3, f( )
4 =5 Có thể nói số nghiệm phương trình f x( )
=8 đoạn[
−1; 4]
:A Vơ nghiệm B Có nghiệm
C Có hai nghiệm D Khơng thể kết luận
(80)BÀI T
BÀI T
BÀI T
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
ẬP TRẮC NGHIỆM
ẬP TRẮC NGHIỆM
ẬP TRẮC NGHIỆM CH
CH
CHƯƠNG 4
CH
ƯƠNG 4
ƯƠNG
ƯƠNG 4
Câu 16.
Dãy s
ố
sau
đ
ây có gi
ớ
i h
ạ
n khác
0?
A
1n
B
1
n
C
1 n
n +
D
sin
n
n
Câu 17.
Dãy s
ố
sau
đ
ây có gi
ớ
i h
ạ
n b
ằ
ng
0?
A
3 n
B
4
n
−
C
5
n
−
D
1
n
Câu 18.
Dãy s
ố
sau
đ
ây có gi
ớ
i h
ạ
n b
ằ
ng
0?
A
(
0,999
)
nB
(
−
1, 01
)
nC
(
1, 01
)
nD
(
−
2, 001
)
nCâu 19.
Dãy sau
đ
ây khơng có gi
ớ
i h
ạ
n?
A
(
0,99
)
nB
( )
−
1
nC
(
−
0, 99
)
nD
(
−
0,89
)
nCâu 20.
lim
( )
1
3
nn
−
+
có giá tr
ị
bao nhiêu?
A
3
−
B
−1C
0D
4 −
Câu 21.
lim
3 4
5
n
n
−
có giá tr
ị
bao nhiêu?
A
35
B
3
−
C
45
D
4 −
Câu 22.
lim
2
3
3
n n
n
+
có giá tr
ị
bao nhiêu?
A
0B
C
23
D
5 3
Câu 23.
lim 4
cos 2
n
n
−
có giá tr
ị
bao nhiêu?
A
0B
2
C
2D
4Câu 24.
3
3
2
1
lim
4
2
1
−
+
+
+
n
n
n
n
có giá tr
ị
bao nhiêu?
A
0B
+∞
C
34
D
2 7
Câu 25.
4
3
2
3
lim
4
2
1
n
n
n
n
−
+
+
+
có giá tr
ị
bao nhiêu?
A
0B
+∞
C
34
D
4 7
Câu 26.
2 4
2
3
lim
4
5
1
n
n
n
n
−
+
+
có giá tr
ị
bao nhiêu?
A
4
−
B
0C
12
D
(81)Câu 27.
4
3
2
4
lim
4
2
3
−
+
+
+
n
n
n
n
có giá tr
ị
bao nhiêu?
A
0B
+∞
C
34
D
4 3
Câu 28.
lim
(
−
3
n
3+
2
n
2−
5
)
có giá tr
ị
bao nhiêu?
A
−3B
−6C
−∞
D
+∞
Câu 29.
(
)
lim 2
n
+
n
−
5
n
có giá tr
ị
bao nhiêu?
A
−∞
B
0C
2D
+∞
Câu 30.
2
4
5
4
lim
2
1
n
n
n
+
−
+
−
có giá tr
ị
bao nhiêu?
A
0B
C
2D
+∞
Câu 31.
lim
(
n
+
10
−
n
)
có giá tr
ị
bao nhiêu?
A
+∞
B 10
C
10
D
0Câu 32.
2
3 2
4
lim
4
5
3
n
n
n
n
−
+
+
−
có giá tr
ị
bao nhiêu?
A
0B
C
34
D
4 −
Câu 33.
N
ế
u lim
u
n=
L
lim
u
n+
9
có giá tr
ị
bao nhiêu?
A
L+9B
L+3C
L
+
9
D
L
+
3
Câu 34.
N
ế
u lim
u
n=
L
3
1
lim
8
nu
+
có giá tr
ị
bao nhiêu?
A
1
8
L
+
B
1
8
L
+
C
31
2
L
+
D
1
8
L
+
Câu 35.
lim
4
1
n
n
+
+
có giá tr
ị
bao nhiêu?
A
B
2C
4D
+∞
Câu 36.
2
1 2
2
lim
5
5
3
n
n
n
n
−
+
+
−
có giá tr
ị
bao nhiêu?
A
0B
15
C
25
D
5
−
Câu 37.
4
10
lim
10
2
n
n
+
có giá tr
ị
bao nhiêu?
A
+∞
B 10000
C
5000D
Câu 38.
lim1 2n n + + + +
có giá tr
ị
bao nhiêu?
A
0B
14
C
1
(82)Câu 39.
3
lim
6
2
n
n
n
+
+
có giá tr
ị
bao nhiêu?
A
16
B
1
4
C
3
2
6
D
0Câu 40.
(
2)
lim
n
n
+ −
1
n
−
3
có giá tr
ị
bao nhiêu?
A
+∞
B
4C
2D
−1Câu 41.
lim sinn n
n +
+
có giá tr
ị
bao nhiêu?
A
25
B
1
5
C
0D
Câu 42.
(
3)
lim 3
n
−
4
n
có giá tr
ị
bao nhiêu?
A
−∞
B
−4C
3D
+∞
Câu 43.
Dãy s
ố
sau
đ
ây có gi
ớ
i h
ạ
n b
ằ
ng 0?
A
2
2
5
5
n
n
n
u
n
n
−
=
+
B
1 5 n
n u
n − =
+
C
2
1 2
5
5
n
n
u
n
−
=
+
D
1 5 n
n u
n n − =
+
Câu 44.
Dãy s
ố
sau
đ
ây có gi
ớ
i h
ạ
n
+∞
?
A
3 n
u = n −n
B
4 n
u =n − n
C
3 n
u = n −n
D
3 n
u = n −n
Câu 45.
Dãy s
ố
sau
đ
ây có gi
ớ
i h
ạ
n
−∞
?
A
3 n
u =n − n
B
3 n
u = n −n
C
3 n
u = n −n
D
4 n
u = −n + n
Câu 46.
T
ổ
ng c
ủ
a c
ấ
p s
ố
nhân vô h
ạ
n
( )
1
1
1
1
;
; ;
;
2
4
2
n
n
+
−
−
có giá tr
ị
bao nhiêu?
A
B
13
C
1
−
D
3 −
Câu 47.
T
ổ
ng c
ủ
a c
ấ
p s
ố
nhân vô h
ạ
n
1 1
; ; ;
( )
1
;
2 4
2
n
n
−
−
có giá tr
ị
bao nhiêu?
A
13
B
1
−
C
3
−
D
−1Câu 48.
T
ổ
ng c
ủ
a c
ấ
p s
ố
nhân vô h
ạ
n
( )
1
1
1
1
;
; ;
;
3
9
3
+
−
−
n
n
có giá tr
ị
bao nhiêu?
A
14
B
1
2
C
3
4
D
4Câu 49.
T
ổ
ng c
ủ
a c
ấ
p s
ố
nhân vô h
ạ
n
1 1; ; ; 1;2 2.3n−
có giá tr
ị
bao nhiêu?
A
13
B
3
8
C
3
4
D
3 2
Câu 50.
T
ổ
ng c
ủ
a c
ấ
p s
ố
nhân vô h
ạ
n
( )
1
1
1
1
;
; ;
;
2
6
2.3
n
n
+ −
−
−
có giá tr
ị
bao nhiêu?
A
83
B
3
4
C
2
3
D
(83)Câu 51.
T
ổ
ng c
ủ
a c
ấ
p s
ố
nhân vô h
ạ
n
( )
1
1
1 1
1;
; ; ;
;
2 4
2
n
n
+ −
−
−
có giá tr
ị
bao nhiêu?
A
3
−
B
23
C
3
2
D
Câu 52.
Dãy s
ố
sau
đ
ây có gi
ớ
i h
ạ
n
+∞
?
A
22
5
5
nn
n
u
n
n
−
=
+
B
1 5 n n u n + =
+
C
2
1
5
5
nn
u
n
+
=
+
D
2
2
5
5
nn
u
n
n
−
=
+
Câu 53.
Dãy s
ố
sau
đ
ây có gi
ớ
i h
ạ
n
+∞
?
A
29
7
nn
n
u
n
n
+
=
+
B
2007 2008 n n u n + = +
C
2008 2007 n
u = m− n
D
1 n
u =n +
Câu 54.
Trong gi
ớ
i h
ạ
n sau
ñ
ây, gi
ớ
i h
ạ
n b
ằ
ng
−1?
A
2
3
lim
2
4
n
n
−
−
−
B
2
2
3
lim
2
1
n
n
−
−
−
C
2
2
3
lim
2
2
n
n
n
−
−
+
D
3
2
3
lim
2
1
n
n
−
−
−
Câu 55.
Trong gi
ớ
i h
ạ
n sau
ñ
ây, gi
ớ
i h
ạ
n b
ằ
ng 0?
A
2
3
lim
2
4
n
n
−
−
−
B
3
2
3
lim
2
1
n
n
n
−
−
−
C
2
2
3
lim
2
2
n
n
n
n
−
−
+
D
3
3 2
lim
2
1
n
n
+
−
Câu 56.
Trong gi
ớ
i h
ạ
n sau
ñ
ây, gi
ớ
i h
ạ
n b
ằ
ng
+∞
?
A
2
3
lim
4
n
n
+
+
B
3
2
3
lim
2
1
n
n
n
−
−
C
2
2
3
lim
2
2
n
n
n
n
−
−
+
D
3
3 2
lim
2
1
n
n
−
−
Câu 57.
Dãy s
ố
sau
đ
ây có gi
ớ
i h
ạ
n b
ằ
ng
15
?
A
22
5
5
−
=
+
nn
n
u
n
n
B
1 5 n n u n − =
+
C
2
1 2
5
5
nn
u
n
−
=
+
D
1 5 n n u n n − = +
Câu 58.
( )
1
lim 3
x→−
có giá tr
ị
bao nhiêu?
A
−2B
−1C
0D
3Câu 59.
(
)
1
lim
2
3
→−
−
+
x
x
x
có giá tr
ị
bao nhiêu?
A
0B
2C
4D
6Câu 60.
(
)
2
lim
3
5
x→
x
−
x
−
có giá tr
ị
bao nhiêu?
A
−15B
−7C
3D
+∞
Câu 61.
4
3
2
3
lim
5
3
1
x
x
x
x
x
→+∞
−
+
+
+
có giá tr
ị
bao nhiêu?
A
0B
49
C
3
5
D
+∞
Câu 62.
4
3
2
lim
5
3
2
x
x
x
x
x
→+∞
−
+
+
có giá tr
ị
bao nhiêu?
A
5
−
B
3 (84)Câu 63.
2
3
lim
5
xx
x
x
x
→+∞
−
+ +
có giá tr
ị
bao nhiêu?
A
+∞
B
C
−1D
−∞
Câu 64.
4
3
2
lim
5
3
1
x
x
x
x
x
→+∞
−
+
+
có giá tr
ị
bao nhiêu?
A
−∞
B
35
C
2
−
D
0Câu 65.
4
3
2
lim
5
3
1
x
x
x
x
x
→
−
+
+
có giá tr
ị
bao nhiêu?
A
19
B
3
5
C
2
−
D
3 −
Câu 66.
4
3
2
lim
5
3
1
x
x
x
x
x
→−
−
−
+
có giá tr
ị
bao nhiêu?
A
13
B
5
9
C
3
5
D
5 3
Câu 67.
4
3
lim
5
xx
x
x
x
→−
−
+ +
có giá tr
ị
bao nhiêu?
A
45
B
4
7
C
2
5
D
2 7
Câu 68.
4
3
2
lim
3
2
x
x
x
x
x
→−
−
−
+
có giá tr
ị
bao nhiêu?
A
136
−
B
74
C
11
6
D
13
Câu 69.
2 2
lim
3
xx
x
x
x
→−
−
− +
có giá tr
ị
bao nhiêu?
A
9
−
B
125
C
4
3
D
+∞
Câu 70.
4 5
2
lim
2
3
2
x
x
x
x
x
→
−
+
+
có giá tr
ị
bao nhiêu?
A
12
−
B
7
−
C
3
−
D
12
Câu 71.
3 2
lim
1
xx
x
x
x
→−
+
− +
có giá tr
ị
bao nhiêu?
A
107
−
B
103
−
C
67
D
−∞
Câu 72.
1
lim 4
2
3
x→−
x
x
−
−
có giá tr
ị
bao nhiêu?
A
9B
5C
D
−5Câu 73.
4 5
3
4
3
lim
9
5
1
x
x
x
x
x
→+∞
+
+
+
+
có giá tr
ị
bao nhiêu?
A
0B
1
3
C
3
5
D
(85)Câu 74.
4 2
4
3
lim
7
9
1
x
x
x
x
x
→−
−
+
+
−
có giá tr
ị
bao nhiêu?
A
1
15
B
1
3
C
35
9
D
+∞
Câu 75.
4 2
4
3
lim
16
1
xx
x
x
x
x
→−
−
+
+
−
có giá tr
ị
bao nhiêu?
A
1
8
B
3
8
C
3
8
D
+∞
Câu 76.
3
1
lim
3
xx
x
x
−
→
−
+
có giá tr
ị
bao nhiêu?
A
0B
C
1
2
D
1
3
Câu 77.
1
2 lim
1 x
x x −
→
+
−
có giá tr
ị
bao nhiêu?
A
2
−
B
12
C
−∞
D
+∞
Câu 78.
3
10
lim
3
xx
x
x
→−
−
+
có giá tr
ị
bao nhiêu?
A
32
B
11
4
C
9
2
D
11
2
Câu 79.
lim(
5)
x→+∞ x x
+ − −
có giá tr
ị
bao nhiêu?
A
0B
3
+
5
C
−∞
D
+∞
Câu 80.
4
2
2
1
lim
2
xx
x
x
x
x
→+∞
+
−
−
−
có giá tr
ị
bao nhiêu?
A
–2B –
C
D
Câu 81.
lim
(
5
)
x→+∞
x
x
x
+
−
có giá tr
ị
bao nhiêu?
A
5
2
B
5
2
C
5
D
+∞
Câu 82.
(
)
lim
1
x→+∞
x
x
x
+ −
có giá tr
ị
bao nhiêu?
A
+∞
B
0C
1
2
D
1 2
Câu 83.
4
1
lim
1
yy
y
→
−
−
có giá tr
ị
bao nhiêu?
A
+∞
B
C
D
−∞
Câu 84.
4
lim
y ay
a
y
a
→
−
−
có giá tr
ị
bao nhiêu?
(86)Câu 85.
4
1
lim
1
yy
y
→
−
−
có giá tr
ị
bao nhiêu?
A
+∞
B
0C
34
D
4 3
Câu 86.
2
4
2
3
lim
2
3
x
x
x
x
→+∞
+
−
+
−
có giá tr
ị
bao nhiêu?
A
0B
C
2D
+∞
Câu 87.
2
1
1
lim
xx
x
x
x
→
+ −
+ +
có giá tr
ị
bao nhiêu?
A
0B
–1C
2
−
D
−∞
Câu 88.
2
3
2
lim
2
4
x
x
x
x
→
−
+
−
có giá tr
ị
bao nhiêu?
A
+∞
B
32
C
1
2
D
1 −
Câu 89.
2
12
35
lim
5
xx
x
x
→
−
+
−
có giá tr
ị
bao nhiêu?
A
+∞
B
C
–5D
–14Câu 90.
2
12
35
lim
5
25
xx
x
x
→
−
+
−
có giá tr
ị
bao nhiêu?
A
+∞
B
15
C
2
5
D
2 −
Câu 91.
2
2
15
lim
2
10
xx
x
x
→−
+
−
+
có giá tr
ị
bao nhiêu?
A
–8B
–4C
12
D
+∞
Câu 92.
2
2
15
lim
2
10
xx
x
x
→
−
−
−
có giá tr
ị
bao nhiêu?
A
–4B
–1C
4D
+∞
Câu 93.
2
9
20
lim
2
10
xx
x
x
→
−
−
+
có giá tr
ị
bao nhiêu?
A
2
−
B
–2C
2
−
D
+∞
Câu 94.
4
3
2
lim
5
3
2
x
x
x
x
x
→−∞
−
+
+
có giá tr
ị
bao nhiêu?
A
5
−
B
35
C
−∞
D
+∞
Câu 95.
3
1
lim
xx
x
x
→−
+
+
có giá tr
ị
bao nhiêu?
(87)Câu 96.
lim
(
2
)
1
xx
x
x
→+∞
+
−
có giá tr
ị
bao nhiêu?
A
−∞
B
0C
D
+∞
Câu 97.
2
3
2
lim
1
xx
x
x
→
−
+
−
có giá tr
ị
bao nhiêu?
A
3
−
B
13
C
0D
Câu 98.
lim(
5)
x→+∞ x+ − x−
có giá tr
ị
bao nhiêu?
A
+∞
B
4C
0D
−∞
Câu 99.
2
3
7
lim
2
3
x
x
x
x
→
−
+
có giá tr
ị
bao nhiêu?
A
3
2
B
2C
6D
+∞
Câu 100.
3
6
lim
2
xx
x
x
x
→−
−
+
−
có giá tr
ị
bao nhiêu?
A
3
−
B
–2C
3
−
D
83
Câu 101.
2
1
lim
1
xx
x
+
→
+
−
có giá tr
ị
bao nhiêu?
A
+∞
B
2C
D
−∞
Câu 102.
Cho
f x
( )
x
2
2
x
x
+
−
−
=
v
ớ
i
x≠0Ph
ả
i b
ổ
sung thêm giá tr
ị
f( )
0b
ằ
ng
hàm s
ố
liên t
ụ
c
ℝA
0B
C
1
2
D
1
2 2
Câu 103.
Cho
( )
1 1
x
f x
x
=
+ −
v
ớ
i
x≠0Ph
ả
i b
ổ
sung thêm giá tr
ị
f( )
0b
ằ
ng hàm s
ố
liên t
ụ
c
ℝA
0B
C
2
D
Câu 104.
Cho
( )
2
5
3
x
x
f x
x
−
=
v
ớ
i
x≠0Ph
ả
i b
ổ
sung thêm giá tr
ị
f( )
0b
ằ
ng hàm s
ố
liên
t
ụ
c
ℝA
53
B
1
3
C
D
5 −
Câu 105.
Cho hàm s
ố
( )
<
≠
=
=
≥
2
khi
1,
0
0
khi
0
khi
1
x
x
x
x
f x
x
x
x
Hàm s
ố
f x
( )
liên t
ụ
c t
ạ
i:
A m
ọ
i
ñ
i
ể
m thu
ộ
c
ℝB m
ọ
i
ñ
i
ể
m tr
ừ
x=0(88)
CÁC Đ
CÁC Đ
CÁC Đ
CÁC ĐỀ KIỂM TRA CHƯƠNG 4
Ề KIỂM TRA CHƯƠNG 4
Ề KIỂM TRA CHƯƠNG 4
Ề KIỂM TRA CHƯƠNG
ĐỀSỐ1–THPTNguyễnTrãi,ThanhHóa
I.
PH
Ầ
N TR
Ắ
C NGHI
Ệ
M: ( 2,5
đ
i
ể
m)
Câu 1.
[1D4-1] Tính
1
1 lim
2 x
x x
→
+
−
ta
ñượ
c:
A
B
32
C
1
−
D
−2Câu 2.
[1D4-2] Tính
2
2
15
lim
3
xx
x
x
→
+
−
−
ta
ñượ
c:
A
∞
B
18
C
8D
2Câu 3.
[1D4-3] Cho hàm s
ố
:
( )
2
1
khi
1
1
khi
1
x
x
f x
x
a
x
−
≠
=
−
=
ðể
f x( )
liên t
ụ
c t
ạ
i
x
0=
1
a
b
ằ
ng
A
−1B
0C
D
2Câu 4.
[1D4-2] Tính
lim
1 3
4 3
n
n
+
+
ta
ñượ
c:
A
14
B
3
4
C
D
+∞
Câu 5.
[1D4-2] Tính
(
)
lim 3
5
7
4
x→−∞
x
x
x
−
+
−
ta
ñượ
c:
A
+∞
B
−∞
C
3D
2Câu 6.
[1D4-2] Tính
2
7
3
lim
2
n
n
−
−
ta
ñượ
c:
A
0B
7C
∞
D
2 −
Câu 7.
[1D4-3] S
ố
nghi
ệ
m th
ự
c c
ủ
a ph
ươ
ng trình
2
x
3−
6
x
+ =
1
0
thu
ộ
c kho
ả
ng
(
−2;1)
A
2B
0C
3D
Câu 8.
[1D4-2] Tính
2
3
1
lim
2
1
n
n
n
+ +
+
ta
ñượ
c:
A
0B
4
−
C
+∞
D
32
Câu 9.
[1D4-2] Tính
2
5
4
3
lim
2
7
1
x
x
x
x
x
→∞
+
−
−
+
ta
ñượ
c:
A
B
5 (89)Câu 10.
[1D4-2] Tính
1
3 lim
1 x
x x +
→
+
−
ta
ñượ
c:
A
2B
+∞
C
−∞
D
0II.
PH
Ầ
N T
Ự
LU
Ậ
N: ( 7,5
ñ
i
ể
m)
Câu 11.
(4,5
đ
i
ể
m) Tìm gi
ớ
i h
ạ
n sau:
a)[1D4-1]
4
2
2
lim
1
n
n
n
+
+
+
b)[1D4-1]
(
)
30
2
8
lim
xx
x
→
−
+
c)[1D4-2]
(
)
lim 2
4
4
2
x→−∞
x
+
x
+
x
−
Câu 12.
(2,0
ñ
i
ể
m)[1D4-3] Cho hàm s
ố
:
( )
7
10
2
khi
2
2
3
khi
2
x
x
f x
x
mx
x
−
−
>
=
−
+
≤
Tìm
m
để
hàm s
ố
liên t
ụ
c
t
ạ
i
x=2Câu 13.
(1,0
đ
i
ể
m)[1D4-4]
Cho ph
ươ
ng trình
(
m
4+
m
+
1
)
x
2010+
x
5−
32
=
0
,
m
tham s
ố
Ch
ứ
ng
minh r
ằ
ng ph
ươ
ng trình ln có nh
ấ
t m
ộ
t nghi
ệ
m d
ươ
ng v
ớ
i m
ọ
i giá tr
ị
c
ủ
a tham s
ố
m
ĐỀSỐ2–THPTHoàngTháiHiếu,VĩnhLong
I PH
Ầ
N TR
Ắ
C NGHI
Ệ
M
Câu 1.
[1D4-1] Gi
ớ
i h
ạ
n sau
đ
ây có k
ế
t qu
ả
b
ằ
ng
3?
A
1
3 lim
2 x
x x
→ −
B
3 lim
2 x
x x
→
−
−
C
2
3
3
6
lim
1
xx
x
x
→
−
+
+
−
+
D
3 lim
2 x
x x
→
− −
Câu 2.
[1D4-2] Gi
ớ
i h
ạ
n sau
đ
ây có k
ế
t qu
ả
b
ằ
ng 1?
A
2
3
2
lim
1
xx
x
x
→−
+
+
+
B
2
4
3
lim
1
xx
x
x
→−
+
+
+
C
2
3
2
lim
1
xx
x
x
→−
+
+
−
D
2
3
2
lim
1
xx
x
x
→−
+
+
−
Câu 3.
[1D4-1]
2
5
2
lim
7
2
1
n
n
n
−
+
+
là
A
7
−
B
5C
57
D
−∞
Câu 4.
[1D4-2]
lim
2
5.3
3
2
n n
n n
+
+
A
5B
6C
23
D
3 2
Câu 5.
[1D4-2]
lim
(
−
2
n
3+
3
n
+
5
)
A
0B
−2C
+∞
D
−∞
Câu 6.
[1D4-1]
2
4
lim
2
xx
x
→−
−
−
(90)
Câu 7.
[2D4-2]
2
9
lim
3
xx
x
→−
−
+
A
2B
−3C
6D
−5Câu 8.
[2D4-2]
lim 315 x→+∞x +là
A 15
B
152
C
0D
+∞
Câu 9.
[1D4-2]
2
2
3
15
lim
2
xx
x
x
→+∞
−
+
−
+
A
−1B
−2C
+∞
D
−∞
Câu 10.
[1D4-3]
(
)
lim
3
1
x→−∞
x
+
x
+ +
x
A
2B
43
C
3
−
D
−∞
Câu 11.
[1D4-2]
1
2 lim
1 x
x x −
→
+ −
A
2B
5C
+∞
D
−∞
Câu 12.
[1D4-2]
2
7 lim
2 x
x x +
→
+ −
A
B
72
C
+∞
D
−∞
Câu 13.
[1D4-2] Gi
ớ
i h
ạ
n
lim
2
5.7
2
7
n n
n n
−
+
b
ằ
ng bao nhiêu?
A
−35B
C
5D
−5Câu 14.
[1D4-2] Gi
ớ
i h
ạ
n
21
2 lim
1 x
x x +
→
+
−
b
ằ
ng bao nhiêu?
A
12
B
−∞
C
+∞
D
2 7
II PH
Ầ
N T
Ự
LU
Ậ
N
Câu 1.
[1D4-2] Tính gi
ớ
i h
ạ
n c
ủ
a hàm s
ố
sau:
a)
(
)
lim 3
5
7
4
x→−∞
x
x
x
−
+
+
b)
2
3
11
6
lim
3
xx
x
x
→
−
+
−
Câu 2.
[1D4-2] Xét tính liên t
ụ
c c
ủ
a hàm s
ố
sau t
ạ
i
ñ
i
ể
m
x
0=
2
( )
2
5
6
khi
2
2
1
khi
2
x
x
x
f x
x
x
x
−
+
≠
=
−
− +
=
(91)ĐỀSỐ3–THPTNguễnTrungTrực,BìnhĐịnh
Ph
ầ
n tr
ắ
c nghi
ệ
m:
Câu 1:
[1D4-1] M
ệ
nh
ñề
d
ướ
i
ñ
ây sai?
A Hàm s
ố
f x( )
liên t
ụ
c
ñ
o
ạ
n
[
a b;]
f a f b
( ) ( )
<0ph
ươ
ng trình
f x( )
=0có
nh
ấ
t m
ộ
t nghi
ệ
m thu
ộ
c
(
a b;)
B Hàm s
ố
f x( )
ñượ
c g
ọ
i gián
ñ
o
ạ
n t
ạ
i
x
0n
ế
u
x
0khơng thu
ộ
c t
ậ
p xác
đị
nh c
ủ
a
C Hàm s
ố
f x( )
ñượ
c g
ọ
i liên t
ụ
c t
ạ
i
x
0thu
ộ
c t
ậ
p xác
đị
nh c
ủ
a n
ế
u
( )
( )
0
0
lim
x→x
f x
f x
=
D Hàm s
ố
f x( )
liên t
ụ
c kho
ả
ng
(
a b;)
f a f b
( ) ( )
<0ph
ươ
ng trình
f x( )
=0có
ít nh
ấ
t m
ộ
t nghi
ệ
m thu
ộ
c
đ
o
ạ
n
[
a b;]
Câu 2:
[1D4-2] Gi
ớ
i h
ạ
n
2
2
3
2
lim
1
n
n
n
n
−
+
+
+
b
ằ
ng
A
2B
C
0D
−2Câu 3:
[1D4-2] Gi
ớ
i h
ạ
n
2
5
4
lim
4
xx
x
x
→−
+
+
+
b
ằ
ng
A
3B
+∞
C
5D
−3Câu 4:
[1D4-2]
Cho hàm s
ố
( )
1
khi
1
1
khi
1
x
x
f x
x
a
x
−
≠
=
−
=
,
a
tham s
ố
th
ự
c
ðể
hàm s
ố
liên t
ụ
c t
ạ
i
0
1
x
=
giá tr
ị
c
ủ
a
a
b
ằ
ng
A
0B
2C
−1D
Câu 5:
[1D4-2] Gi
ớ
i h
ạ
n
2
4
lim
2
xx
x
→−
−
+
b
ằ
ng
A
+∞
B
−2C
−4D
0Câu 6:
[1D4-3] Gi
ớ
i h
ạ
n
2
4
1
lim
2
3
x
x
x
x
x
→−∞
−
−
+
+
b
ằ
ng
A
12
B
−∞
C
1
−
D
+∞
Câu 7:
[1D4-1] Gi
ớ
i h
ạ
n
lim
2
5
5
1
n n
n
−
+
b
ằ
ng
A
−∞
B
+∞
C
−1D
0Câu 8:
[1D4-2] Hàm s
ố
d
ướ
i
ñ
ây liên t
ụ
c
ℝ?
A
y sinx
π
=
B
y
=
cot
x
C
y= x−3D
22 x yx − =
+
Câu 9:
[1D4-1] Gi
ớ
i h
ạ
n
(
)
lim
2
x→−∞
x
x
−
+
b
ằ
ng
(92)Câu 10:
[1D4-2] Gi
ớ
i h
ạ
n
lim
(
2
21 2
)(
)
3
1
n
n
n
n
−
−
−
+
b
ằ
ng
A
2B
C
−2D
4Câu 11:
[1D4-1] Gi
ớ
i h
ạ
n
3
2
5
3
lim
3
n
n
n
n
−
+
−
b
ằ
ng
A
3B
0C
+∞
D
23
Câu 12:
[1D4-2] Gi
ớ
i h
ạ
n
2
1 lim
2 x
x x −
→
−
−
b
ằ
ng
A
+∞
B
C
0D
−∞
Ph
ầ
n t
ự
lu
ậ
n:
ðề
A
Câu 1:
[1D4-2] Tính gi
ớ
i h
ạ
n sau
a)
21
3
1 2
lim
1
xx
x
→
+ −
−
b)
(
)
2
lim
n
− + −
n
3
n
Câu 2:
[1D4-3] Xét tính liên t
ụ
c c
ủ
a hàm s
ố
( )
1
khi
3
2
3
khi
3
2
6
x
x
f x
x
x
x
x
−
≤
=
−
−
>
−
ℝ
ðề
B
Câu 1:
[1D4-2] Tính gi
ớ
i h
ạ
n sau
a)
24
2
1 3
lim
16
xx
x
→
+ −
−
b)
(
)
2
lim
n
+
2
n
− −
1
n
Câu 2:
[1D4-3] Xét tính liên t
ụ
c c
ủ
a hàm s
ố
( )
2
khi
2
3
2
khi
2
3
6
x
x
f x
x
x
x
x
+
≤
=
−
+
>
−
ℝ
ðề
C
Câu 1:
[1D4-2] Tính gi
ớ
i h
ạ
n sau
a)
21
3
2
lim
3
2
x
x
x
x
→
+
−
−
+
b)
(
)
2
lim
4
n
−
2
n
+ −
1 2
n
Câu 2:
[1D4-3] Xét tính liên t
ụ
c c
ủ
a hàm s
ố
( )
2
1
khi
1
2
3
khi
1
2
2
x
x
f x
x
x
x
x
−
≤
=
+
−
>
−
ℝ
ðề
D
Câu 1:
[1D4-2] Tính gi
ớ
i h
ạ
n sau
a)
22
2
5 3
lim
4
xx
x
→
+
−
−
b)
(
)
2
lim
n
− + −
n
3
n
Câu 2:
[1D4-3] Xét tính liên t
ụ
c c
ủ
a hàm s
ố
( )
1
khi
3
6
khi
3
2
6
x
x
f x
x
x
x
x
+
≤
=
− −
>
−
ℝ
ðề
E
Câu 1:
[1D4-2] Tính gi
ớ
i h
ạ
n sau
a)
21
2
2
2
lim
1
xx
x
→
+
−
−
b)
(
)
2
lim
n
−
2
n
−
n
Câu 2:
[1D4-3] Xét tính liên t
ụ
c c
ủ
a hàm s
ố
( )
3 2
khi
4
12
khi
4
2
8
x
x
f x
x
x
x
x
−
≤
=
− −
>
−
(93)ðề
F
Câu 1:
[1D4-2] Tính gi
ớ
i h
ạ
n sau
a)
22
5
1 3
lim
4
xx
x
→− −
−
b)
(
)
2
lim
n
+
n
+ −
1
n
Câu 2:
[1D4-3] Xét tính liên t
ụ
c c
ủ
a hàm s
ố
( )
2
1
khi
4
3
4
khi
4
3
12
x
x
f x
x
x
x
x
−
≤
=
−
−
>
−
ℝ
ðề
G
Câu 1:
[1D4-2] Tính gi
ớ
i h
ạ
n sau
a)
23
6
3
lim
9
xx
x
→+
−
−
b)
(
)
2
lim
n
+
2
n
−
n
Câu 2:
[1D4-3] Xét tính liên t
ụ
c c
ủ
a hàm s
ố
( )
1 3
khi
2
3
2
khi
2
3
6
x
x
f x
x
x
x
x
−
≤
=
−
+
>
−
ℝ
ðề
H
Câu 1:
[1D4-2] Tính gi
ớ
i h
ạ
n sau
a)
23
1 2
lim
9
xx
x
→+ −
−
b)
(
)
2
lim
4
n
− + −
n
1 2
n
Câu 2:
[1D4-3] Xét tính liên t
ụ
c c
ủ
a hàm s
ố
( )
2
3
khi
4
5
4
khi
4
2
8
x
x
f x
x
x
x
x
−
≤
=
−
+
>
−
ℝ
ðề
I
Câu 1:
[1D4-2] Tính gi
ớ
i h
ạ
n sau
a)
22
3
2
2
lim
4
xx
x
→−
−
−
b)
(
)
2
lim
n
−
3
n
+
2
−
n
Câu 2:
[1D4-3] Xét tính liên t
ụ
c c
ủ
a hàm s
ố
( )
1 2
khi
2
2
khi
2
2
3
x
x
f x
x
x
x
x
−
≤
=
− −
>
−
ℝ
ðề
J
Câu 1:
[1D4-2] Tính gi
ớ
i h
ạ
n sau
a)
22
4
1 3
lim
4
xx
x
→+ −
−
b)
(
)
2
lim
n
+
4
n
− −
3
n
Câu 2:
[1D4-3] Xét tính liên t
ụ
c c
ủ
a hàm s
ố
( )
3
khi
4
3
4
khi
4
3
12
x
x
f x
x
x
x
x
−
≤
=
−
−
>
−
ℝ
ðề
K
Câu 1:
[1D4-2] Tính gi
ớ
i h
ạ
n sau
a)
21
5
1 2
lim
1
xx
x
→− −
−
b)
(
)
2
lim
n
+ +
n
2
−
n
Câu 2:
[1D4-3] Xét tính liên t
ụ
c c
ủ
a hàm s
ố
( )
2
3
khi
3
4
3
khi
3
2
6
x
x
f x
x
x
x
x
−
≤
=
−
+
>
−
ℝ
ðề
L
Câu 1:
[1D4-2] Tính gi
ớ
i h
ạ
n sau
a)
23
5
1 4
lim
9
xx
x
→+ −
−
b)
(
)
2
lim
n
+
3
n
− −
1
n
Câu 2:
[1D4-3] Xét tính liên t
ụ
c c
ủ
a hàm s
ố
( )
4
1
khi
1
2
3
khi
1
x
x
f x
x
x
x
−
≤
=
+
−
>
(94)ĐỀSỐ4–THPTNhưXuân,ThanhHóa
Câu 1.
[1D4-3] Cho
lim
(
2+a +5
)
5
x→+∞
x
x
x
−
=
Khi
đ
ó giá tr
ị
c
ủ
a
a
A
6B 10
C 10
D
6Câu 2.
[1D4-2]
Cho hàm s
ố
( )
3
2
x x x
f x
x x x
− ≥
=
− <
Tính gi
ớ
i h
ạ
n c
ủ
a hàm s
ố
t
ạ
i
x=2ta
ñượ
c k
ế
t qu
ả
A
2B
C Không t
ồ
n t
ạ
i
D
−2Câu 3.
[1D4-1] Tính gi
ớ
i h
ạ
n
1
2 lim
1 x
x x +
→
− +
−
ta
ñượ
c k
ế
t qu
ả
A
−∞
B
+∞
C
0D
2Câu 4.
[1D4-3]
ðồ
th
ị
hàm s
ố
ở
hình bên
ñồ
th
ị
c
ủ
a hàm s
ố
nào?
A
2 x y
x + =
+
B
3
2
2 y= x − x+
C
2 =
+ x y
x
D
2
3
2
y
=
x
−
x
+
Câu 5.
[1D4-3] Tính
(
)
2
2
1
lim
x
x
a
x a
x
a
→+∞
−
+
+
−
ñượ
c k
ế
t qu
ả
A
2 a
a −
B
a
C
a−1D
a+1Câu 6.
[1D4-2] Tính gi
ớ
i h
ạ
n
2
4
3
lim
1
xx
x
x
→
−
+
−
ta
ñượ
c k
ế
t qu
ả
A
−3B
C
3D
−2Câu 7.
[1D4-2] Tính gi
ớ
i h
ạ
n
(
)
lim 7
5
7
x→+∞
x
+
x
− +
x
ta
ñượ
c k
ế
t qu
ả
A
3B
−∞
C
+∞
D
0Câu 8.
[1D4-2] Tìm gi
ớ
i h
ạ
n
lim
(
−
3
n
2−
2
n
+
1
)
ta
ñượ
c k
ế
t qu
ả
A
+∞
B
2C
3D
−∞
Câu 9.
[1D4-2] Tìm gi
ớ
i h
ạ
n
5
2
2
1
lim
1
n
n
n
+
−
+
ta
ñượ
c k
ế
t qu
ả
A
4B
+∞
C
−∞
D
−1Câu 10.
[1D4-2] Cho ph
ươ
ng trình
2
x
4−
5
x
2+ + =
x
1 0
( )
1.m
ệ
nh
ñề
ñ
úng m
ệ
nh
đề
sau:
A Ph
ươ
ng trình
( )
1có nh
ấ
t hai nghi
ệ
m thu
ộ
c kho
ả
ng
(
0; 2)
B Ph
ươ
ng trình
( )
1khơng có nghi
ệ
m kho
ả
ng
(
−2;0)
C Ph
ươ
ng trình
( )
1khơng có nghi
ệ
m kho
ả
ng
(
−1;1)
D Ph
ươ
ng trình
( )
1ch
ỉ
có
1 nghiệ
m kho
ả
ng
(
−2;1)
Câu 11.
[1D4-2] Tìm gi
ớ
i h
ạ
n
3
3
2
2
lim
1
n
n
n
−
+
+
ta
ñượ
c k
ế
t qu
ả
A
−∞
B
3C
12
D
+∞
Câu 12.
[1D4-2] Tìm gi
ớ
i h
ạ
n
lim
5
2.3
4
5
n
n n
n
+
−
ta
ñượ
c k
ế
t qu
ả
A
+∞
B
−∞
C
−1D
O
x
y
1 −
(95)Câu 13.
[1D4-2] Cho hàm s
ố
f x( )
xác
ñị
nh
[
a b;]
, m
ệ
nh
ñề
sau m
ệ
nh
ñề
ñ
úng?
A N
ế
u hàm s
ố
f x( )
liên t
ụ
c, t
ă
ng
[
a b;]
f a f b
( ) ( )
>0ph
ươ
ng trình
f x( )
=0khơng có nghi
ệ
m kho
ả
ng
(
a b;)
B N
ế
u hàm s
ố
f x( )
liên t
ụ
c
[
a b;]
f a f b
( ) ( )
>0ph
ươ
ng trình
f x( )
=0khơng
có nghi
ệ
m kho
ả
ng
(
a b;)
C N
ế
u ph
ươ
ng trình
f x( )
=0có nghi
ệ
m kho
ả
ng
(
a b;)
hàm s
ố
f x( )
ph
ả
i liên t
ụ
c
trên
(
a b;)
D N
ế
u
f a f b( ) ( )
<0ph
ươ
ng trình
f x( )
=0có nh
ấ
t m
ộ
t nghi
ệ
m kho
ả
ng
(
a b;)
Câu 14.
[1D4-2] Tìm giá tr
ị
ñ
úng c
ủ
a
2 1
1
1
1
1
2
4
8
2
nS
=
+
+
+
+
+
+
ta
ñượ
c k
ế
t qu
ả
A
2
B
2C
12
D
2
Câu 15.
[1D4-3] Tìm gi
ớ
i h
ạ
n
lim2 322
n n
+ + + + −
+
ta
ñượ
c k
ế
t qu
ả
A
+∞
B
34
C
−1D
−∞
Câu 16.
[1D4-2] Tính gi
ớ
i h
ạ
n lim
1
a b
x
x
x
x
→+∞
−
−
v
ớ
i
*
,
a b
∈
ℕta
ñượ
c k
ế
t qu
ả
A
abB
a b−C
b a−D
ab
Câu 17.
[1D4-3]
ðể
hàm s
ố
( )
4
khi
7
2
4 x
x x
f x
a x
+ −
≠
=
− =
liên t
ụ
c t
ạ
i
đ
i
ể
m
x=0giá tr
ị
c
ủ
a
a
A
B
3C
2D
Câu 18.
[1D4-2] Tính gi
ớ
i h
ạ
n
4
5
lim
5
xx
x
x
→+∞
−
+
ta
ñượ
c k
ế
t qu
ả
A
2B
−5C
25
D
0Câu 19.
[1D4-2] Hàm s
ố
( )
2
5 15
x x
f x
x
≠
=
− =
có tính ch
ấ
t:
A Liên t
ụ
c t
ạ
i
x=2x=0
B Liên t
ụ
c t
ạ
i
x=2nh
ư
ng không liên t
ụ
c t
ạ
i
x=0C Liên t
ụ
c t
ạ
i m
ọ
i
ñ
i
ể
m
D Liên t
ụ
c t
ạ
i
x
=
1,
x
=
3,
x
=
0
Câu 20.
[1D4-2]
ðể
hàm s
ố
( )
2
2
3
2
khi
2
2
+1
khi
2
x
x
x
f x
x
ax
x
−
−
>
=
−
≤
liên t
ụ
c t
ạ
i
đ
i
ể
m
x=2giá tr
ị
c
ủ
a
a
(96)
ĐỀSỐ5–THPTNhoQuanA,NinhBình
I – PH
Ầ
N TR
Ắ
C NGHI
Ệ
M
Câu 1:
[1D4-1] Trong b
ố
n gi
ớ
i h
ạ
n sau
ñ
ây, gi
ớ
i h
ạ
n
0?
A
lim n n n − +−
B
2
3 limn n
n n − +
+
C
3 lim n n n n + −
−
D
2 3 lim n n n n − +
Câu 2:
[1D4-3] Trong b
ố
n gi
ớ
i h
ạ
n sau
ñ
ây, gi
ớ
i h
ạ
n
0?
A
lim 3.2n
n n
+
−
B
2 lim n n +
−
C
3 lim n n n −
+
D
(
)(
)
23
2
1
3
lim
2
n
n
n
n
+
−
−
Câu 3:
[1D4-3] Trong m
ệ
nh
ñề
sau
ñ
ây, ch
ọ
n m
ệ
nh
ñề
sai
A
lim 2
(
n
−
3
n
3)
= −∞
B
3 2 lim n n n − = +∞ −
C
lim n n n − = −∞+
D
2 3
3
lim
2 2
n n
n n
−
= −
+ −
Câu 4:
[1D4-1] V
ớ
i
ks
ố
nguyên d
ươ
ng,
c
h
ằ
ng s
ố
K
ế
t qu
ả
c
ủ
a gi
ớ
i h
ạ
n
lim k xc x
→+∞
A
0kx
B
+∞
C
0D
−∞
Câu 5:
[1D4-3] Trong b
ố
n gi
ớ
i h
ạ
n sau
ñ
ây, gi
ớ
i h
ạ
n
−1?
A
1 lim x x x → − −B
2 lim x x x →+∞ − −
C
21 lim x x x x → + − +
−
D
1(
)
22
1
lim
1
xx
x
→−
−
Câu 6:
[1D4-2] Trong b
ố
n gi
ớ
i h
ạ
n sau
ñ
ây, gi
ớ
i h
ạ
n
2 −
?
A
lim22 n
n +
−
B
2 lim n n n n +
− −
C
3
lim n
n +
D
2 3 lim n n n − +
Câu 7:
[1D4-1] V
ớ
i s
ố
knguyên d
ươ
ng K
ế
t qu
ả
c
ủ
a gi
ớ
i h
ạ
n
0
lim
k x→xx
A
+∞
B
−∞
C
0D
0kx
Câu 8:
[1D4-2] Tính gi
ớ
i h
ạ
n:
(
)
1
1
1
lim
1.2
2.3
n n
1
+
+
+
+
A
B
0C
32
D
2Câu 9:
[1D4-4] Trong b
ố
n gi
ớ
i h
ạ
n sau
ñ
ây, gi
ớ
i h
ạ
n
−1?
A
2 lim x x x x →−∞ + − −B
(
)
(
)
2 lim x x x x − → − + −C
1
lim
1
xx
x
+ →−
−
D
( 2)
8 2
2
(97)Câu 10:
[1D4-2] Trong b
ố
n gi
ớ
i h
ạ
n sau
ñ
ây, gi
ớ
i h
ạ
n
+∞
?
A
lim x x x + → − +−
B
3 lim x x x − → − +
−
C
3 lim x x x →+∞ − +
−
D
3 lim x x x →−∞ − + −
Câu 11:
[1D4-1] V
ớ
i s
ố
knguyên d
ươ
ng K
ế
t qu
ả
c
ủ
a gi
ớ
i h
ạ
n
0
lim
k x→xx
A
k
x
B
0C
+∞
D
−∞
Câu 12:
[1D4-2] Gi
ớ
i h
ạ
n c
ủ
a hàm s
ố
d
ướ
i
đ
ây có k
ế
t qu
ả
b
ằ
ng 1?
A
lim x x x x →− + ++
B
2 lim x x x x →− + +
+
C
2 lim x x x x →− + +
−
D
2 lim x x x x →− + + +
Câu 13:
[1D4-3] Tìm m
ệ
nh
ñề
ñ
úng m
ệ
nh
ñề
sau:
A
1
5
2
3
lim
2
2
1
xx
x
→−
−
=
−
−
B
23
lim 16 x x x x → − − = − −
C
1 lim 12 x x x x → − = −−
D
3
1 1
lim x x x x → + − + = −
Câu 14:
[1D4-4] Tính t
ổ
ng:
1 13 27 S = + + + +
A
2
−
B
C
32
D
2II – PH
Ầ
N T
Ự
LU
Ậ
N
Câu 15:
[1D4-2] Tìm
m
để
hàm s
ố
sau liên t
ụ
c t
ạ
i
ñ
i
ể
m
x=1:
( )
2
3
4
1
,
1
1
5
3,
1
neáu
neáu
x
x
x
f x
x
m
x
−
+
≠
=
−
−
=
Câu 16:
[1D4-3] Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng ph
ươ
ng trình sau có nh
ấ
t hai nghi
ệ
m:
2
x
310
x
7
0
−
−
=
ĐỀSỐ6–THPTAnHải,HảiPhòng
A TR
Ắ
C NGHI
Ệ
M: (0,5
ñ
i
ể
m/ câu * câu =
ñ
i
ể
m)
Câu 1.
Gi
ớ
i h
ạ
n c
ủ
a hàm s
ố
sau
ñ
ây b
ằ
ng bao nhiêu:
lim kx→+∞x
( v
ớ
i
k
nguyên d
ươ
ng)
A
+∞
B
0
C 14
D
k
Câu 2.
Gi
ớ
i h
ạ
n c
ủ
a hàm s
ố
sau
ñ
ây b
ằ
ng bao nhiêu:
(
)
2 2 lim x x x x → − + −A
0
B
C
2
D
+∞
Câu 3.
Gi
ớ
i h
ạ
n c
ủ
a hàm s
ố
sau
ñ
ây b
ằ
ng bao nhiêu:
(
)
lim
2
x→+∞
x
+
x
−
x
A
0
B
−∞C
D
2
Câu 4.
Cho hàm s
ố
:
( )
2khi 1 x x x f x x x x x − ≥ = − < −
.Trong m
ệ
nh
đề
sau, tìm m
ệ
nh
ñề
sai?
A
( )
1
lim
x − f x
→
=
B
( )
1
lim
x + f x
→
=
(98)
Câu 5.
Cho hàm s
ố
:
( )
I
y
=
sin
x
,
( )
II y
=
cos
x
,(
III y
)
=
tan
x
,
(
IV
)
y
=
cot
x
Trong hàm
s
ố
sau hàm s
ố
liên t
ụ
c
ℝ
A
( )
I
( )
II
B
(
III
)
(
IV
)
C
( )
I
(
III
)
D
( )
I
,
( )
II
,
(
III
)
(
IV
)
Câu 6.
Cho hàm s
ố
f x
( )
ch
ư
a xác
ñị
nh t
ạ
i
x
=
0 :
( )
2
2
x
x
f x
x
−
=
ðể
f x
( )
liên t
ụ
c t
ạ
i
x
=
0
, ph
ả
i
gán cho
f
( )
0
giá tr
ị
b
ằ
ng bao nhiêu?
A
−
3
B
−
2
C
−
1
D
0
B T
Ự
LU
Ậ
N: (7
ñ
i
ể
m)
Bài 1: (
đ
i
ể
m) Tính gi
ớ
i h
ạ
n c
ủ
a hàm s
ố
sau:
a)
2
2 lim
1 x
x x
→
−
+
b)
2
1
lim
2
1
x
x
x
x
x
→+∞
− +
+ +
c)
7
10
2
lim
2
xx
x
→
−
−
−
Bài 2: (
đ
i
ể
m) Tìm
m
ñể
hàm s
ố
( )
2 2
3
11
6
3
3
3
x
x
x
f x
x
m
x
x
−
+
≠
=
−
−
=
liên t
ụ
c t
ạ
i
x
0=
3
Bài 3: (
ñ
i
ể
m) Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng ph
ươ
ng trình:
a)
1
x +x − =
có nh
ấ
t m
ộ
t nghi
ệ
m thu
ộ
c kho
ả
ng
(
0;
)
b) cos
x
+
m
cos 2
x
=
0
ln có nghi
ệ
m v
ớ
i m
ọ
i giá tr
ị
c
ủ
a tham s
ố
m
ĐỀSỐ7–THPTĐoànThượng,HảiDương
PH
Ầ
N (3
đ
i
ể
m):Câu h
ỏ
i tr
ắ
c nghi
ệ
m
Câu 1:
Tìm m
ệ
nh
đề
sai m
ệ
nh
ñề
:
A
lim
x→−∞
x
= +∞
B
3
lim
x→−∞
x
= −∞
C
4
lim 2.
x→−∞
x
= +∞
D
3
lim
x→−∞
x
= +∞
Câu 2:
Cho
lim
( )
2
x→+∞
f x
=
,
xlim
→+∞g x
( )
= −∞
h
ỏ
i
lim
( ) ( )
.
x→+∞
f x g x
b
ằ
ng giá tr
ị
sau:
A
+∞
B
300C
20D
−∞
Câu 3:
Cho hàm s
ố
( )
1 x f x
x − =
−
, m
ệ
nh
ñề
sau, m
ệ
nh
ñề
sai?
A Hàm s
ố
liên t
ụ
c t
ạ
i
x=3B Hàm s
ố
liên t
ụ
c t
ạ
i
x=2C Hàm s
ố
liên t
ụ
c t
ạ
i
x=1D Hàm s
ố
liên t
ụ
c t
ạ
i
x=4Câu 4:
Dãy s
ố
sau có gi
ớ
i h
ạ
n b
ằ
ng
173
?
A
2
2
5
3
n
n
n
u
n
n
−
=
+
B
1 n
n u
n n − =
+
C
2
1 2
5
3
n
n
u
n
n
−
=
+
D
2
17
2
5
3
n
n
u
n
n
−
=
+
Câu 5:
Tính gi
ớ
i h
ạ
n
2
1
lim
2
n
n
−
−
(99)
Câu 6:
Tính gi
ớ
i h
ạ
n
1
2
3.5
3
lim
3.2
7.4
n n
n n
+
−
+
+
A
−1B
C
−∞
D
+∞
Câu 7:
Tính gi
ớ
i h
ạ
n
2
2
15
lim
3
xx
x
x
→
+
−
−
A
+∞
B
2C
18
D
8Câu 8:
Cho hàm s
ố
( )
1
f x =x +x−
Xét ph
ươ
ng trình:
f x( )
=0( )
1, m
ệ
nh
đề
sau, tìm
m
ệ
nh
đề
sai?
A
( )
1có nghi
ệ
m kho
ả
ng
(
−1;1)
B
( )
1có nghi
ệ
m kho
ả
ng
(
0;1)
C
( )
1có nghi
ệ
m
ℝD
( )
1Vô nghi
ệ
m
Câu 9:
Tìm m
ệ
nh
đề
sai m
ệ
nh
ñề
sau (v
ớ
i
ks
ố
nguyên d
ươ
ng):
A
lim 1kn =
B
lim
kn
= +∞
C
lim19kn =
D
lim
kn
= −∞
Câu 10:
Tìm m
ệ
nh
đề
sai m
ệ
nh
ñề
sau
A
(
)
lim
n
−
n
+
n
= +∞
B
lim
(
−
2
n
3+
2
n
2+ −
n
1
)
= −∞
C
lim(
−2n+1)
= −1D
lim 2
(
n
2−
3
n
)
= +∞
Câu 11:
Trong hàm s
ố
sau, hàm s
ố
liên t
ụ
c
ℝA
( )
3
f x =x − x
B
( )
x f xx + =
−
C
( )
2
3
x
f x
x
=
+
D
( )
f xx =
Câu 12:
Trong ph
ươ
ng pháp tìm gi
ớ
i h
ạ
n
lim(
)
x→+∞ x x
+ −
d
ướ
i
đ
ây, ph
ươ
ng pháp ph
ươ
ng
pháp thích h
ợ
p?
A Nhân chia v
ớ
i bi
ể
u th
ứ
c liên h
ợ
p
(
1
+
x
+
x
)
B Chia cho
x
2C Phân tích nhân t
ử
r
ồ
i rút g
ọ
n
D S
ử
d
ụ
ng
ñị
nh ngh
ĩ
a v
ớ
i
x
→ +∞
Câu 13:
Cho hàm s
ố
y= f x( )
liên t
ụ
c t
ạ
i
x
0, h
ỏ
i
( )
0
lim
x→x
f x
b
ằ
ng giá tr
ị
sau
ñ
ây:
A
f x( )
0B
f( )
2C
f(
−2)
D
f( )
3Câu 14:
Cho
( )
0
lim
2
x→x
f x
=
,
xlim
→x0g x
( )
=
3
, h
ỏ
i
lim
( )
( )
x→+∞f x
+
g x
b
ằ
ng giá tr
ị
sau:
A
2B
5C
3D
4Câu 15:
Cho
( )
2
7
3
x
x
f x
x
−
=
v
ớ
i
x≠0ph
ả
i b
ổ
sung thêm giá tr
ị
f( )
0b
ằ
ng hàm s
ố
( )
f x
liên t
ụ
c
ℝ?
(100)PH
Ầ
N (7
ñ
i
ể
m): Câu h
ỏ
i t
ự
lu
ậ
n
ðỀ
CH
Ẵ
N
Câu 16:
(2,0
đ
i
ể
m) Tính gi
ớ
i h
ạ
n dãy s
ố
: a)
lim2 n n+
−
b)
3.2
7
lim
2.7
3.4
n n n n+
−
Câu 17:
(2,0
đ
i
ể
m) Tính gi
ớ
i h
ạ
n hàm s
ố
:
a)
(
)
2
lim
3
2
1
x→
−
x
−
x
+
b)
(
)
32017
1 5
2017
lim
xx
x
x
→+
−
−
Câu 18:
(2,0
đ
i
ể
m) Tìm
m
ñể
hàm s
ố
( )
2
3
7
6
khi
3
3
2
khi
3
f x
x
x
x
x
x
mx
x
=
−
−
>
−
+
+
≤
liên t
ụ
c v
ớ
i m
ọ
i
x∈ℝCâu 19:
(1,0
ñ
i
ể
m) Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng ph
ươ
ng trình
x
2cos
x
+
x
sin
5x
+ =
1 0
có nh
ấ
t nghi
ệ
m
ℝðỀ
L
Ẻ
Câu 16:
(2,0
đ
i
ể
m) Tính gi
ớ
i h
ạ
n dãy s
ố
: a)
lim3 n n−
+
b)
2.3
5
lim
3.5
4.2
n n n n+
−
Câu 17:
(2,0
đ
i
ể
m) Tính gi
ớ
i h
ạ
n hàm s
ố
:
a)
(
)
1
lim
3
2
1
x→
−
x
−
x
+
b)
(
)
32016
1 3
2016
lim
xx
x
x
→+
+
−
Câu 18:
(2,0
đ
i
ể
m) Tìm giá tr
ị
c
ủ
a
m
để
hàm s
ố
( )
2
2
5
2
khi
2
2
1
khi
2
f x
x
x
x
x
x
mx
x
=
−
+
>
−
+
+
≤
liên t
ụ
c
ℝCâu 19:
(1,0
ñ
i
ể
m) Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng ph
ươ
ng trình
ax
2+
bx
+ =
c
0
có nghi
ệ
m bi
ế
t r
ằ
ng
10a− b+ c=
ĐỀSỐ8–NguồnInternet
ðề
A
Câu 1: (3
đ
) Tìm gi
ớ
i h
ạ
n sau:
a)
3
4
3
1
lim
2
4
n
n
n
+
−
+
b)
3
27
4
5
lim
6
n
n
n
−
+
−
c)
25
6
lim
3 2
n
n
n
n
−
+ −
−
Câu 2: (4
ñ
) Tìm gi
ớ
i h
ạ
n sau:
a)
22
3
lim
9
xx
x
x
→−
−
−
b)
6
3
9
2
3
2
lim
3
xx
x
x
x
→−∞−
+ −
−
c)
lim x x x − → −−
d)
2
5
6
6
lim
3
2
2
x
x
x
x
→+
+
+
−
+
−
Câu 3: (1,5
ñ
) Xác
ñị
nh
a
ñể
hàm s
ố
( )
2
3
2
khi
1
1
3
khi
1
x
x
x
f x
x
ax
x
x
+
+
≠ −
=
+
+
= −
liên t
ụ
c t
ạ
i
x= −1(101)
ðề
B
Câu 1: (3
đ
) Tìm gi
ớ
i h
ạ
n sau:
a)
2
3
2
lim
3
1
n
n
n
−
+
+
b)
3
8
2
6
lim
7 2
n
n
n
−
+
−
c)
3
3
6
lim
4
3
n
n
n
−
+ −
−
Câu 2: (4
đ
) Tìm gi
ớ
i h
ạ
n sau:
a)
2 2
6
lim
4
xx
x
x
→
+ −
−
b)
2
4
2
3 6
lim
2
5
x
x
x
x
x
→−∞
−
+ −
−
c)
3
3 lim
3 x
x x +
→
−
−
d)
31
2
3 5
lim
7
6 3
x
x
x
x
→
+ +
+ −
+
−
Câu 3: (1,5
ñ
) Xác
ñị
nh
a
ñể
hàm s
ố
( )
2
3
2
khi
2
2
3
1 khi
2
x
x
x
f x
x
x
ax
x
−
+
≠
=
−
−
+
=
liên t
ụ
c t
ạ
i
x=2Câu 4: (1,5
đ
) Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng ph
ươ
ng trình
x
7−
3
x
+ =
1 0
có nh
ấ
t ba nghi
ệ
m
ĐỀSỐ9–THPTThịxãQuảngTrị
ðỀ
S
Ố
Câu (2,0
đ
i
ể
m) Tính gi
ớ
i h
ạ
n
a)
lim2 + + nn
b)
(
)
2
lim
4
n
+
8
n
+ −
5
2
n
.
Câu (5,0
ñ
i
ể
m) Tính gi
ớ
i h
ạ
n
a)
(
)
2
lim
1
→
+ +
x
x
x
b)
2
9
lim
.
3
→
−
−
xx
x
c)
2
3
4
lim
.
1
→
+ +
+ −
−
xx
x
x
x
d)
(
)
3 2
2x 1
3x
3x 1
lim
.
1
→
− −
−
+
−
x
x
Câu (2,0
đ
i
ể
m) Xét tính liên t
ụ
c c
ủ
a hàm s
ố
sau
ñ
ây t
ạ
i
ñ
i
ể
m
ñ
ã ch
ỉ
( )
2
4
khi
− ≤ −
=
> −
x x
f x
x x v
ới x= −2
Câu (1,0
đ
i
ể
m) Ch
ứ
ng minh ph
ươ
ng trình
mx
7+
x
3+
5
x
2−
mx
− =
1 0
ln có nh
ấ
t hai nghi
ệ
m v
ớ
i
m
ọ
i giá tr
ị
c
ủ
a
m
-H
Ế
T -
ðỀ
S
Ố
Câu (2,0
đ
i
ể
m) Tính gi
ớ
i h
ạ
n
a)
lim2 − − nn
b)
(
)
2
lim
9
n
+
12
n
+
7
−
3
n
.
Câu (5,0
đ
i
ể
m) Tính gi
ớ
i h
ạ
n
a)
(
)
3
lim
3
1
→
−
+
x
x
x
b)
2
4
lim
.
2
→
−
−
xx
(102)c)
2
3
1
2
lim
.
1
→
+ +
− −
−
xx
x
x
x
d)
(
)
3
2
3
3
1
2
1
lim
.
1
→
−
+
− +
−
−
x
x
x
x
x
Câu (2,0
đ
i
ể
m) Xét tính liên t
ụ
c c
ủ
a hàm s
ố
sau
ñ
ây t
ạ
i
ñ
i
ể
m
ñ
ã ch
ỉ
( )
2
khi
0
1
khi
0
<
=
−
≥
x
x
f x
x
x
với x=0
Câu (1,0
ñ
i
ể
m) Ch
ứ
ng minh ph
ươ
ng trình
mx
5+
x
3+
3
x
2−
mx
− =
1 0
ln có nh
ấ
t hai nghi
ệ
m phân
bi
ệ
t v
ớ
i m
ọ
i giá tr
ị
c
ủ
a m
-H
Ế
T -
ðỀ
S
Ố
Câu (2,0
đ
i
ể
m) Tính gi
ớ
i h
ạ
n
a)
2
2
1
lim
.
2
+ +
+
n
n
n
b)
(
)
3
lim
n
+
3
n
−
n
.
Câu (5,0
đ
i
ể
m) Tính gi
ớ
i h
ạ
n
a)
(
)
2
lim 4
3
1
→
−
+
x
x
x
b)
2
5
6
lim
.
3
→
−
+
−
xx
x
x
c)
2
3
3
4
lim
.
1
→
+ +
+
−
−
x
x
x
x
x
d)
(
)
2018(
)
20192
1 2019
1 2018
lim
.
→
+
−
+
x
x
x
x
Câu (2,0
đ
i
ể
m) Xét tính liên t
ụ
c c
ủ
a hàm s
ố
sau
ñ
ây t
ạ
i
ñ
i
ể
m
ñ
ã ch
ỉ
( )
2
9
khi
3
3
9
khi
3
−
≠
=
−
=
x
x
f x
x
x
với x=3
Câu (1,0
ñ
i
ể
m) Ch
ứ
ng minh ph
ươ
ng trình
ax
2+
3
x b
+
=
0
ln có nghi
ệ
m
(
0;1)
, bi
ế
t
2a+21b+9=0
-H
Ế
T -
ðỀ
S
Ố
Câu (2,0
ñ
i
ể
m) Tính gi
ớ
i h
ạ
n
a)
2
1
lim
.
2
1
− +
−
n
n
n
b)
(
)
3
lim
n
−
3
n
−
n
.
Câu (5,0
đ
i
ể
m) Tính gi
ớ
i h
ạ
n
a)
(
)
4
lim
4
1
→
−
+
x
x
x
b)
2
6
lim
.
3
→
− −
−
xx
x
x
c)
2
3
1
3
4
lim
.
1
→
+ +
+
−
−
x
x
x
x
x
d)
(
)
2019(
)
20182
1 2018
1 2019
lim
.
→
+
−
+
x
x
x
x
Câu (2,0
đ
i
ể
m) Xét tính liên t
ụ
c c
ủ
a hàm s
ố
sau
ñ
ây t
ạ
i
ñ
i
ể
m
ñ
ã ch
ỉ
( )
2
4
khi
2
2
6
khi
2
x
x
f x
x
x
−
≠
=
−
=
với x=2
Câu (1,0
ñ
i
ể
m) Ch
ứ
ng minh ph
ươ
ng trình
3
x
2+
bx
+ =
c
0
ln có nghi
ệ
m
(
0;1)
, bi
ế
t
5b+21c+6=0(103)
ĐỀSỐ10–THPTĐồnThượng,HảiDương(18-19)
Câu 1.
Tìm m
ệ
nh
đề
đ
úng m
ệ
nh
ñề
sau:
A
1
5
2
3
lim
2
2
1
xx
x
→−
−
=
−
−
B
23
2
1
lim
4
16
xx
x
x
→−
−
= −
−
C
1
1
1
lim
6
xx
x
x
→+ −
+
= −
D
3
1
lim
1
12
xx
x
x
→−
= −
−
Câu 2.
Cho hàm s
ố
y= f x( )
liên t
ụ
c kho
ả
ng
(
a b;)
ð
i
ề
u ki
ệ
n c
ầ
n
ñủ
ñể
hàm s
ố
liên t
ụ
c
ñ
o
ạ
n
[
a b;]
A
lim
( )
( )
x a
f x
f a
−
→
=
lim
( )
( )
x bf x
f b
−
→
=
B
lim
( )
( )
x af x
f a
−
→
=
lim
( )
( )
x bf x
f b
+
→
=
C
lim
( )
( )
x a
f x
f a
+
→
=
lim
( )
( )
x bf x
f b
+
→
=
D
lim
( )
( )
x af x
f a
+
→
=
lim
( )
( )
x bf x
f b
−
→
=
Câu 3.
Trong b
ố
n gi
ớ
i h
ạ
n sau
ñ
ây, gi
ớ
i h
ạ
n
−1?
A
(
)
21 lim x x x → −
−
B
1
lim
1
xx
x
→−∞−
−
C
21
1
3
lim
1
xx
x
x
→+ −
+
−
D
1
1
lim
xx
x
→−
−
Câu 4.
Tính t
ổ
ng:
1 1 27 S = + + + +A
12
B
C
D
3 2
Câu 5.
Cho hàm s
ố
( )
3
2
khi
2
2
3
khi
2
x
x
x
f x
x
x
a
x
−
+
>
=
−
+
≤
V
ớ
i giá tr
ị
c
ủ
a
a
hàm s
ố
đ
ã cho liên t
ụ
c
ℝ?A
B
C
−5D
3Câu 6.
Cho hàm s
ố
( )
2
khi
1
2
khi
0
1
1
sin
khi
0
x
x
x
f x
x
x
x
x
x
≥
=
≤
<
+
<
Tìm kh
ẳ
ng
đị
nh
đ
úng kh
ẳ
ng
ñị
nh sau:
A
f x( )
liên t
ụ
c
ℝ\ 0;1{ }
B
f x( )
liên t
ụ
c
ℝC
f x( )
liên t
ụ
c
ℝ\ 0{ }
D
f x( )
liên t
ụ
c
ℝ\ 1{ }
Câu 7.
2
4
1
2
lim
2
3
n
n
n
+ −
+
−
b
ằ
ng
A
+∞
B
32
C
D
Câu 8.
Tính gi
ớ
i h
ạ
n
(
)
1
1
1
lim
1.2
2.3
n n
1
+
+
+
+
A
B
32
C
D
2Câu 9.
Tính gi
ớ
i h
ạ
n
2
5
6
lim
2
xx
x
I
x
→−
+
=
−
A
I =0B
I =1C
I = −1D
I =5(104)
( )
I( )
1
1
x
f x
x
+
=
−
liên t
ụ
c v
ớ
i m
ọ
i
x≠1( )
IIf x
( )
=sinxliên t
ụ
c
ℝ(
III)
f x
( )
x
x
=
liên t
ụ
c t
ạ
i
x=1A Ch
ỉ
( )
I( )
IIB Ch
ỉ
( )
Ivà
(
III)
C Ch
ỉ
( )
Iñ
úng
D Ch
ỉ
( )
II(
III)
Câu 11.
V
ớ
i k s
ố
nguyên d
ươ
ng, c h
ằ
ng s
ố
K
ế
t qu
ả
c
ủ
a gi
ớ
i h
ạ
n
lim k xc x
→+∞
A
−∞
B
C
+∞
D
k x
Câu 12.
Hàm hàm s
ố
sau khơng có gi
ớ
i h
ạ
n t
ạ
i
đ
i
ể
m
x=2A
y= x−2B
1
3
y
x
=
−
C
1 y
x =
−
D
1
2
y
x
=
+
Câu 13.
V
ớ
i k s
ố
nguyên d
ươ
ng K
ế
t qu
ả
c
ủ
a gi
ớ
i h
ạ
n
0
lim
k x→xx
A
+∞
B
k
x
C
−∞
D
Câu 14.
Tính gi
ớ
i h
ạ
n
(
)
1
1
1
1
lim
1.2
2.3
3.4
n n
1
+
+
+
+
+
A
B
2C
32
D
0Câu 15.
Trong b
ố
n gi
ớ
i h
ạ
n sau
ñ
ây, gi
ớ
i h
ạ
n
+∞
?
A
lim2 x x x →+∞ − +
−
B
3 lim x x x − → − + −
C
lim x x x →−∞ − +−
D
3 lim x x x + → − + −
Câu 16.
Gi
ả
s
ử
ta có
lim
( )
x→+∞f x
a
=
lim
( )
x→+∞g x
b
=
Trong m
ệ
nh
ñề
sau, m
ệ
nh
ñề
sai?
A
( )
( )
lim xf x a g x b
→+∞
=
B
lim
( ) ( )
.
.
x→+∞
f x g x
a b
=
C
lim
( )
( )
x→+∞
f x
g x
a b
−
=
−
D
lim
( )
( )
x→+∞
f x
g x
a
b
+
=
+
Câu 17.
Gi
ớ
i h
ạ
n c
ủ
a hàm s
ố
d
ướ
i
đ
ây có k
ế
t qu
ả
b
ằ
ng 1?
A
3
2
lim
1
xx
x
x
→−+
+
−
B
3
2
lim
1
xx
x
x
→−+
+
+
C
23
2
lim
2
xx
x
x
→−+
+
+
D
4
3
lim
1
xx
x
x
→−+
+
+
Câu 18.
Trong b
ố
n gi
ớ
i h
ạ
n sau
ñ
ây, gi
ớ
i h
ạ
n
−?
A lim
22
n
n
n n
+
−
−
B lim
3n n +
−
C lim
2 3
2
1
n
n
n
−
+
D lim
3
3
n
n
+
Câu 19.
Cho hàm s
ố
f x
( )
=
x
2−
4
Ch
ọ
n câu
ñ
úng câu sau:
(I)
f x( )
liên t
ụ
c t
ạ
i
x=2(II)
f x( )
gián
ñ
o
ạ
n t
ạ
i
x=2(III)
f x( )
liên t
ụ
c
ñ
o
ạ
n
[
−2; 2]
A Ch
ỉ
( )
IIB Ch
ỉ
( )
Ivà
(
III)
C Ch
ỉ
( )
ID Ch
ỉ
( )
IIvà
(
III)
Câu 20.
Tính gi
ớ
i h
ạ
n:
lim
1
1
21
1
21
1
22
3
n
−
−
−
A
B
14
C
3
2
D
1 2
(105)
B Ph
ươ
ng trình
đ
ã cho có nh
ấ
t m
ộ
t nghi
ệ
m trong
(
−2;)
C Ph
ươ
ng trình
đ
ã cho có nh
ấ
t m
ộ
t nghi
ệ
m trong
1 1
;
.
2 2
−
D Ph
ươ
ng trình
đ
ã cho ch
ỉ
có m
ộ
t nghi
ệ
m kho
ả
ng
(
0;1)
Câu 22.
Trong b
ố
n gi
ớ
i h
ạ
n sau
ñ
ây, gi
ớ
i h
ạ
n 0?
A lim
2
1
3.2
3
nn n
+
−
B lim
3
1
2
n
n
n
−
+
C lim
(
)(
)
23
2
1
3
2
n
n
n
n
+
−
−
D lim
2
3
1 2
n n+
−
Câu 23.
V
ớ
i k s
ố
nguyên d
ươ
ng ch
ẵ
n K
ế
t qu
ả
c
ủ
a gi
ớ
i h
ạ
n lim
k x→−∞x
A
+∞
B
C
k
x
D
Câu 24.
Trong b
ố
n gi
ớ
i h
ạ
n sau
ñ
ây, gi
ớ
i h
ạ
n 0?
A lim
1
2
1
n
n
n
− +
−
B lim
3
2
1
2
n
n
n
n
+
−
−
;
C lim
2
3
2
n
n
n
n
−
+
+
;
D lim
2
2
3
3
n
n
n
n
−
+
;
Câu 25.
Cho s
ố
th
ự
c
a
,
b,
c
th
ỏ
a mãn
c
2+
a
=
18
lim
(
)
2
x→+∞
ax
+
bx
−
cx
= −
Tính
5 P=a+ +b c
A
P=5B
P=12C
P=18D
P=9Câu 26.
Hàm s
ố
hàm s
ố
sau liên t
ụ
c R?
A
( )2 f x x = −
B
1
( )
2
f x
x
=
−
C
1 ( ) f x x = +
D
1
( )
2
f x
x
=
−
Câu 27.
Trong m
ệ
nh
ñề
sau
ñ
ây, ch
ọ
n m
ệ
nh
ñề
sai
A
2 3
3
3
lim
.
2
5
2
2
n
n
n
n
−
= −
+
−
B
3
2
lim
1 3
n
n
n
−
= +∞
−
;
C
(
3)
lim 2
n
−
3
n
= −∞
D
3
1
lim
2
n
n
n
−
= −∞
+
;
Câu 28.
Cho hàm s
ố
( )
1
1
khi
0
2
khi
0
x
x
f x
x
a
x
x
+
−
>
=
+
≤
V
ớ
i giá tr
ị
c
ủ
a
a
hàm s
ố
đ
ã cho liên t
ụ
c t
ạ
i
x=0?
A
32
B
C
D
−Câu 29.
Cho hàm s
ố
( )
1
khi
0
1
khi
0
4
1 khi
0
x
x
f x
x
x
x
−
>
=
=
+
<
Tìm kh
ẳ
ng
ñị
nh sai kh
ẳ
ng
ñị
nh sau
A Hàm s
ố
ñ
ã cho liên t
ụ
c n
ử
a kho
ả
ng
[
0;+∞)
B Hàm s
ố
ñ
ã cho liên t
ụ
c n
ử
a kho
ả
ng
(
−∞;]
C Hàm s
ố
gián
ñ
o
ạ
n t
ạ
i
x=0D Hàm s
ố
ñ
ã cho liên t
ụ
c t
ạ
i
x=2Câu 30.
Cho hàm s
ố
( )
2
1
5
6
x
f x
x
x
+
=
+
+
Khi
đ
ó hàm s
ố
y= f x( )
liên t
ụ
c kho
ả
ng sau
ñ
ây?
A
(
−∞;3)
B
(
−3; 2)
C
(
2;3)
D
(
−2;+∞)
(106)
T -Chương 5: ĐẠO HÀM
ĐẠO H
ÀM
V
ấn đề ĐẠO H
ÀM VÀ Ý NGH
ĨA
C
ỦA ĐẠO H
ÀM
M
ở
đầ
u
Nhi
ề
u toán c
ủ
a toán h
ọ
c, v
ậ
t lí, hóa h
ọ
c, sinh h
ọ
c, k
ĩ thuật, … đ
ịi h
ỏ
i ph
ả
i tìm gi
ớ
i h
ạ
n d
ạ
ng:
0
0
0
lim
x x
f x
f x
x
x
trong
f x
m
ộ
t hàm s
ố
đ
ã cho c
ủa đố
i s
ố
x
Qua Đạ
i s
ố
Gi
ả
i tích 11, ta bi
ết đị
nh ngh
ĩa v
à kí hi
ệ
u c
ủ
a s
ố
gia đố
i s
ố
s
ố
gia tương ứ
ng
c
ủ
a hàm s
ố
:
S
ố
gia đố
i s
ố
x
x
–
x
0
S
ố
gia tương ứ
ng c
ủ
a hàm s
ố
y f x
– f x
0Ta s
ẽ
dùng khái ni
ệ
m kí hi
ệu viế
t gi
ớ
i h
ạ
n trên:
0
0
0
lim
lim
x x x
f x
f x
y
x
x
x
Đị
nh ngh
ĩa đạ
o hàm
Cho hàm s
ố
y f x
, xác đị
nh
a b;
x0
a b;
Gi
ớ
i h
ạ
n, n
ế
u có, c
ủ
a t
ỉ
s
ố
gi
ữ
a s
ố
gia c
ủ
a hàm s
ố
s
ố
gia c
ủa đố
i s
ố
t
ạ
i
x
0, s
ố
gia đố
i s
ố
d
ầ
n t
ớ
i
0, đượ
c g
ọi đạ
o hàm c
ủ
a hàm s
ố
y f x
t
ại điể
m
x
0Đạ
o hàm c
ủ
a hàm s
ố
y f x
t
ạ
i
x
0đượ
c kí hi
ệ
u
y x
0ho
ặ
c
f
x0:
0
0
0
lim
x x
f x
f x
f
x
x
x
ho
ặ
c
0 limxy y x
x
Đạ
o hàm m
ộ
t bên
a.
Đạ
o hàm bên trái c
ủ
a hàm s
ố
y f x
t
ại điể
m
x
0, kí hi
ệ
u
f
x
0được đị
nh ngh
ĩa
là
0
0
0
0
lim
lim
x x x
f x
f x
y
f
x
x
x
x
trong
xx0đượ
c hi
ể
u
xx0xx0
b.
Đạ
o hàm bên ph
ả
i c
ủ
a hàm s
ố
y f x
t
ại điể
m
x
0, kí hi
ệ
u
f
x
0
được đị
nh ngh
ĩa
là
0
0
0
0
lim
lim
x x x
f x
f x
y
f
x
x
x
x
trong
0x x
đượ
c hi
ể
u
xx0xx0
Đị
nh lí: Hàm s
ố
y f x
có đạ
o hàm t
ại điể
m
x
0thu
ộ
c t
ập xác đị
nh c
ủ
a nó, n
ế
u ch
ỉ
n
ế
u
0f
x
f
x
0t
ồ
n t
ạ
i b
ằng Khi ta có:
f
x
0
f
x
0
f
x
0
Đạ
o hàm m
ộ
t kho
ả
ng
Đị
nh ngh
ĩa:
a.
Hàm s
ố
y f x
đượ
c g
ọi có đạ
o hàm kho
ả
ng
a b;
n
ếu có đạ
o hàm t
ạ
i m
ọ
i
điể
m kho
ảng đó.
5
(107)b.
Hàm s
ố
y f x
đượ
c g
ọi có đạo hàm đoạ
n
a b;
n
ếu có đạ
o hàm kho
ả
ng
a b;
và có đạ
o hàm bên ph
ả
i t
ạ
i
a
, đạ
o hàm bên trái t
ạ
i
bQui ướ
c: T
ừ
nay, ta nói hàm s
ố
y f x
có đạ
o hàm, mà khơng nói rõ kho
ả
ng nào,
thì
điều có nghĩa đạ
o hàm t
ồ
n t
ạ
i v
ớ
i m
ọ
i giá tr
ị
thu
ộ
c t
ập xác đị
nh c
ủ
a hàm s
ố
đ
ã cho
Quan h
ệ
gi
ữ
a s
ự
t
ồ
n t
ạ
i c
ủa đạ
o hàm tính liên t
ụ
c c
ủ
a h.s
ố
Đị
nh lí: N
ế
u hàm s
ố
y f x
có đạ
o hàm t
ại điể
m
x
0liên t
ụ
c t
ại điểm đó.
Chú ý:
Đả
o l
ại không đúng, tứ
c
m
ộ
t hàm s
ố
liên t
ụ
c t
ại điể
m
x có thể
0khơng có
đạ
o hàm t
ại điểm đó
2
Như vậ
y, hàm s
ố
không liên t
ụ
c t
ạ
i x
0khơng có
đạ
o hàm t
ại điểm đó.
Ý ngh
ĩa đạ
o hàm
1.
Ý ngh
ĩa h
ình h
ọ
c
a.
Ti
ế
p tuy
ế
n c
ủa đườ
ng cong ph
ẳ
ng:
Cho đườ
ng cong ph
ẳ
ng
Cm
ột điể
m c
ố
đị
nh
M
0
C, M điểm di độ
ng
CKhi
M M
0m
ộ
t cát
tuy
ế
n c
ủ
a
CĐị
nh ngh
ĩa:
N
ế
u cát tuy
ế
n
M M
0có v
ị
trí gi
ớ
i h
ạ
n
M T
0khi điể
m
Mdi chuy
ể
n
Cd
ầ
n t
ới điể
m
M
0đườ
ng th
ẳ
ng
M T
0đượ
c g
ọ
i ti
ế
p tuy
ế
n c
ủa đườ
ng cong
Ct
ại điể
m
M
0Điể
m
M
0đượ
c g
ọ
i ti
ếp điể
m
b.
Ý ngh
ĩa h
ình h
ọ
c c
ủa đạ
o hàm:
Cho hàm s
ố
y f x
xác đị
nh kho
ả
ng
a b;
có đạ
o hàm t
ạ
i
x0
a b;
, g
ọ
i
Clà đồ
th
ị
hàm s
ố
đó.
Đị
nh lí 1:
Đạ
o hàm
c
ủ
a hàm s
ố
f x
t
ại điể
m
x
0h
ệ
s
ố
góc c
ủ
a ti
ế
p tuy
ế
n
M T
0c
ủ
a
Ct
ại điể
m
0 0;
M x f x
c.
Phương tr
ình c
ủ
a ti
ế
p tuy
ế
n:
Đị
nh lí 2:
Phương tr
ình ti
ế
p tuy
ế
n c
ủa đồ
th
ị
Cc
ủ
a hàm s
ố
y f x
t
ại điể
m
0 0;
M x f x
0
–
–
y
y
f
x
x
x
2.
Ý ngh
ĩa vậ
t lí
a.
V
ậ
n t
ố
c t
ứ
c th
ờ
i: Xét chuy
ển độ
ng th
ẳng xác đị
nh b
ởi phương tr
ình:
s f t
, v
ớ
i
f t
hàm s
ố
có đạ
o hàm Khi
đó, vậ
n t
ố
c t
ứ
c th
ờ
i c
ủ
a ch
ất điể
m t
ạ
i th
ời điể
m
t
0đạ
o hàm c
ủ
a hàm s
ố
s f t
t
ạ
i
t
0
0
0
0v t s t f t
b.
Cường độ
t
ứ
c th
ờ
i
: Điện lượ
ng
Q
truy
ề
n dây d
ẫn xác đị
nh b
ởi phương
trình:
Q f t
, v
ớ
i
f t
hàm s
ố
có đạo hàm Khi đó, cường độ
t
ứ
c th
ờ
i c
ủ
a dòng
điệ
n t
ạ
i th
ời điể
m t
0là đạ
o hàm c
ủ
a hàm s
ố
Q f t
t
ạ
i
t
0
0
0
0I t Q t f t
0 M
M T (C)
O f (x ) f (x x)
y
x
x x0 x
x y
M T
(108)Chương 5: ĐẠO HÀM
D
ạ
ng Tìm s
ố
gia c
ủ
a hàm s
ố
A PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Để
tính s
ố
gia c
ủ
a hàm s
ố
y f x
t
ại điể
m x
0tương ứ
ng v
ớ
i s
ố
gia
xcho trướ
c ta áp
d
ụ
ng cơng th
ứ
c tính sau:
y
f x
0
x
f x
0B BÀI TẬP MẪU
VD 1.
Tìm s
ố
gia c
ủ
a hàm s
ố
y
2
x
2
3
x
5
, tương ứ
ng v
ớ
i s
ự
bi
ế
n thiên c
ủa đố
i s
ố
:
a) T
ừ
x
0
1
đế
n
x
0
x
2
b) T
ừ
x
0
2
đế
n
x
0
x
0,9
c) T
ừ
x
0
1
đế
n
x 1 xd) T
ừ
x
0
2
đế
n
x 2 x
VD 2.
Tính
y
y
x
hàm số sau theo x x:
a)
y
3
x
5
b)
3
7
y
x
c)
2
4
1
y
x
x
d)
y
cos 2
x
C BÀI TẬP TỰ LUYỆN
(109)D
ạng Tính đạ
o hàm b
ằng đị
nh ngh
ĩa
A PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Để
tính đạ
o hàm c
ủ
a hàm s
ố
y f x
t
ại điể
m
x
0b
ằng đị
nh ngh
ĩa ta làm sau:
Cách 1:
Cho
x
0m
ộ
t s
ố
gia
xtìm s
ố
gia
y f x
0 x
f x
0
T
ậ
p t
ỉ
s
ố
y x
Tìm gi
ớ
i h
ạ
n
0 lim
x
y x
N
ế
u:
0 lim
x
y x
t
ồ
n t
ạ
i h
ữ
u h
ạ
n t
ạ
i
x
0hàm s
ố
có đạ
o hàm
0 limxy f x
x
0 lim
x
y x
khơng t
ồ
n t
ạ
i h
ữ
u h
ạ
n t
ạ
i
x
0hàm s
ố
khơng có đạ
o hàm
Cách 2:
Tính
00
lim
x
f x
f x
x
x
N
ế
u
0
0
0
lim
x x
f x
f x
x
x
t
ồ
n t
ạ
i h
ữ
u h
ạ
n t
ạ
i
x
0hàm s
ố
có đạ
o hàm
0
0
0
lim
x x
f x
f x
f
x
x
x
N
ế
u
0
0
0
lim
x x
f x
f x
x
x
không t
ồ
n t
ạ
i h
ữ
u h
ạ
n t
ạ
i
x
0hàm s
ố
kh
ơng có đạ
o hàm
B BÀI TẬP MẪU
VD 3.
Dùng đị
nh ngh
ĩa để
tính đạ
o hàm hàm s
ố
3
2
y
x
x
tạ
i
x2L
ờ
i gi
ả
i
Cho bi
ế
n s
ố
m
ộ
t s
ố
gia
x 0t
ạ
i
x2Ta có
y
f x
x
f x
x
x
2
3
x
x
2
x
2
3
x
2
2
x x
x
2
3
x
Suy
y 2x xx
Do
0
lim lim 3
x x
y
x x x x
, suy
f
2 2.2 1 VD 4.
Tính đạ
o hàm c
ủ
a hàm s
ố
y
x
2
2
x
4
t
ạ
i
x
0
2
(110)Chương 5: ĐẠO HÀM
VD 5.
Cho hàm s
ố
y
f x
2
x
2
1
a) Tìm
đạ
o hàm c
ủ
a hàm s
ố
t
ạ
i
x
0
2
b) Suy giá trị3
f
2
5
f
2 3
VD 6.
Cho hàm s
ố
2
0
khi
khi
4
x
x x
f x
x
Tính đạ
o hàm c
ủ
a hàm s
ố
t
ạ
i
x0L
ờ
i gi
ả
i
Do
0 0
2 1
lim lim lim
4
2
x x x
x
f x f
x x
Suy
f x
liên t
ụ
c t
ạ
i
x0Ta có
2
2
0 0
2
4
1
0
4
1
0
lim
lim
lim
0
4
8
4 4
64
x x x
x
f x
f
x
x
f
x
x
x
x
x
V
ậ
y
0 64f
VD 7.
Cho
sin 3
khi
0
3
2
khi
0
x
x
y
f x
x
x
Tính đạ
o hàm c
ủ
a hàm s
ố
t
ạ
i
x
0
0
b
ằng đị
nh ngh
ĩa.
(111)C BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 2.
Dùng đị
nh ngh
ĩa, tính đạ
o hàm c
ủ
a m
ỗ
i hàm s
ố
sau t
ại điể
m
x
0:
a)
y
2
x
1
t
ạ
i
x
0
2
b)
y
x
x
t
ạ
i
x
0
1
c)
1
x y
x
t
ạ
i
x
0
0
d)
y 2x7t
ạ
i
x
0
1
Bài 3.
Cho hàm s
ố
:
2
sin
khi
0
0
khi
0
x
x
y
f x
x
x
a) Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng
f x
liên t
ụ
c t
ạ
i
x
0
0
b)
Tính đạ
o hàm (n
ế
u có) c
ủ
a
f x
t
ại điể
m
x
0
0
Bài 4.
Dùng đị
nh ngh
ĩa, tính đạ
o hàm c
ủ
a hàm s
ố
2
1
cos
khi
0
0
khi
0
x
x
y
f x
x
x
t
ại điể
m
x
0
0
Bài 5.
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng hàm s
ố
:
2
2
1
khi
0
khi
0
x
x
y
f x
x
x
khơn
g có đạ
o hàm t
ại điể
m
x
0
0
nhưng có đạ
o hàm t
ạ
i
x
0
2
Bài 6.
Dùng đị
nh ngh
ĩa, tính đạ
o hàm c
ủ
a hàm s
ố
1
x
y
x
t
ạ
i
x
0
0
Bài 7.
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng hàm s
ố
2
2
3
3
1
x
x
y
x
liên t
ụ
c t
ạ
i
x–3nhưng khơng có đạ
o hàm t
ại điể
m
ấ
y
Bài 8.
Tìm
a
,
bđể
hàm s
ố
2
khi
khi
x x
y f x
ax b x
có đạ
o hàm t
ại điể
m
x1Bài 9.
Cho hàm s
ố
:
cos
sin
khi
0
1
khi
0
p
x
q
x
x
y
f x
px
q
x
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng v
ớ
i m
ọ
i cách ch
ọ
n
p
,
qhàm s
ố
không th
ể
có đạ
o hàm t
ại điể
m
x0Bài 10.
Dùng đị
nh ngh
ĩa, tính đạ
o hàm c
ủ
a m
ỗ
i hàm s
ố
sau (
a
h
ằ
ng s
ố
):
a)
y
ax
3
b)
2
y ax
c)
2
y x
v
ớ
i
x
d)
y 3xv
ớ
i
x3D
ạ
ng Quan h
ệ
gi
ữ
a liên t
ục đạ
o hàm
A PHƯƠNG PHÁP GIẢI
M
ố
i quan h
ệ
gi
ữ
a liên t
ục đạ
o hàm ta c
ầ
n nh
ớ
k
ế
t lu
ậ
n sau:
f x
liên t
ụ
c t
ạ
i
x
0
0
0 0
lim
lim
0
xx
f x
f x
xy
f x
có đạ
o hàm t
ạ
i
x
0
f x
liên t
ụ
c t
ạ
i
x
0 (112)Chương 5: ĐẠO HÀM
B BÀI TẬP MẪU
VD 8.
a) Ch
ứ
ng minh hàm s
ố
1
x
y
x
liên t
ụ
c t
ạ
i
x0nhưng khơng có đạ
o hàm t
ạ
i
x0b) Ch
ứ
ng minh hàm s
ố
y
x
2liên t
ụ
c t
ạ
i
x0nhưng khơng có đạ
o hàm t
ạ
i
x0L
ờ
i gi
ả
i
a) Ta có
0 0
lim
lim
lim
0
1
1
x x x
x
x
f x
x
x
;
f
0 0;
0 0
lim
lim
lim
0
1
1
x x x
x
x
f x
x
x
Do
f x
liên t
ụ
c t
ạ
i
x0T
ạ
i
x0cho s
ố
gia
x●
x 0suy
0 x 0nên
0 0 0
0
1
1
1
lim
lim
lim
lim
lim
1
1
x x x x x
x
x
f
x
f
y
x
x
x
x
x
x
x
●
x 0suy
0 x 0nên
0 0 0
0
1
1
1
lim
lim
lim
lim
lim
1
1
x x x x x
x
x
f
x
f
y
x
x
x
x
x
x
x
Do
0
lim lim
x x
y y
x x
nên hàm s
ố
khơng có đạ
o hàm t
ạ
i
x0b) Ta có
0
lim
0
0
x
f x
f
Do
f x
liên t
ụ
c t
ạ
i
x0T
ạ
i
x0cho s
ố
gia
x, ta có
3
23
0 0
0
0
0
0
1
lim
lim
lim
lim
x x x x
x
f
x
f
y
x
x
x
x
V
ậ
y hàm s
ố
khơng có đạ
o hàm t
ạ
i
x0VD 9.
Cho hàm s
ố
2
2
1
x
y
f x
x
(113)
VD 10.
Cho
2
2
3
sin
khi
0
0
khi
0
x
x
x
y
f x
x
x
a) Xét s
ự
liên t
ụ
c c
ủ
a hàm s
ố
t
ạ
i
x
0
0
b) Xét xem t
ạ
i
x
0
0
hàm s
ố
có đạ
o hàm không?
C BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 11.
CMR: hàm s
ố
2
2
3
3
1
x
x
y
x
liên t
ụ
c t
ạ
i
x 3nhưng khơng có đạ
o hàm t
ại điể
m
ấ
y
Bài 12.
Cho hàm s
ố
:
2
1
sin
khi
0
0
khi
0
x
x
y
f x
x
x
a)
Tính đạ
o hàm c
ủ
a hàm s
ố
t
ạ
i m
ỗ
i
xb) Ch
ứ
ng t
ỏ
r
ằng đạ
o hàm
f
xkhông liên t
ụ
c t
ại điể
m
x
0
0
D
ạ
ng Ý ngh
ĩa h
ình h
ọ
c c
ủa đạ
o hàm:
Bài toán ti
ế
p tuy
ế
n
A PHƯƠNG PHÁP GIẢI
S
ử
d
ụ
ng ý ngh
ĩa h
ình h
ọ
c c
ủa đạ
o hàm
H
ệ
s
ố
góc
kc
ủ
a cát tuy
ế
n
MNv
ới đườ
ng cong
C :y f x
, bi
ế
t
M,
Ntheo
th
ứ
t
ự
có hồnh độ
x
M,
x
Nđượ
c cho b
ở
i:
N MN M
y
y
y
k
x
x
x
(114)Chương 5: ĐẠO HÀM
Ti
ế
p tuy
ế
n c
ủa đồ
th
ị
1 Ti
ế
p tuy
ế
n t
ạ
i m
ột điể
m:
Phương tr
ình ti
ế
p tuy
ế
n v
ới đồ
th
ị
C :y f x
t
ại điể
m
M0
x0; y0
: (Xem VD47)
0 0
y
y
f
x
x
x
Trong đó
:
-
M0
x0; y0
g
ọ
i ti
ếp điể
m
-
k f
x0h
ệ
s
ố
góc
Các ý:
-
N
ế
u cho
x
0th
ế
vào
y f x
tìm
y
0-
N
ế
u cho
y
0th
ế
vào
y f x
tìm
x
02 Ti
ế
p tuy
ến qua điể
m: (Xem VD450)
Để
l
ập phương tr
ình ti
ế
p tuy
ế
n
dv
ớ
i
Cbi
ế
t
dđi qua
A x
A; yA
:
Cách 1: - G
ọ
i
M0
x0; y0
ti
ếp điể
m
-
Phương tr
ình
đườ
ng th
ẳ
ng
dqua
M
0v
ớ
i h
ệ
s
ố
góc
k f
x0:
0 0
– –
y y f x x x
-
A x
A;yA
d yA –y0 f
x0 xA –x0
- Gi
ả
i p
hương
trình tìm
x
0, tìm
f
x0, th
ế
vào
y f x
tìm
y
0Cách 2:
Dùng điề
u ki
ệ
n ti
ế
p xúc (S
ẽ
h
ọ
c
ở
l
ớ
p 12)
3.
Ti
ế
p tuy
ế
n bi
ế
t h
ệ
s
ố
góc: (Xem VD48-49)
- Gi
ải phương tr
ình:
f
x k
các hoành độ
ti
ếp điể
m
- Th
ế
vào
y f x
để
tìm tung
độ
- Vi
ế
t ti
ế
p tuy
ế
n:
y–y0 k x.
–x0
Chú ý:
- ti
ế
p tuy
ế
n
d
// :
y
ax b
k
a
- ti
ế
p tuy
ế
n
d
:
y
ax b
k a
.
1
-
ktan
, v
ớ
i
góc gi
ữ
a
dv
ớ
i tia
OxB BÀI TẬP MẪU
VD 11.
Cho
đườ
ng cong
C :y x3và hai điể
m
A
1; 1
B
1 x;1 y
Ca) Tính h
ệ
s
ố
góc c
ủ
a cát tuy
ế
n
ABv
ớ
i
xl
ần lượ
t
0,1 0, 01
b) Tìm h
ệ
s
ố
góc c
ủ
a ti
ế
p tuy
ế
n v
ớ
i
Ct
ạ
i
A
x
y
(115)VD 12.
Cho hàm s
ố
y f x
x
có đồ
th
ị
CVi
ết phương tr
ình ti
ế
p tuy
ế
n v
ớ
i
C, bi
ế
t:
a) ti
ếp điểm có hồnh độ
b
ằ
ng
2b) Ti
ếp điểm có tung độ
b
ằ
ng
3c) H
ệ
s
ố
góc c
ủ
a ti
ế
p tuy
ế
n
k–4d) Ti
ế
p tuy
ế
n song song v
ớ
i
d x
:
9
y
2018
e) Ti
ế
p tuy
ế
n vng góc v
ớ
i
d x
:
4
y
0
f) Ti
ế
p tuy
ến qua điể
m
A
8; 0
(116)Chương 5: ĐẠO HÀM
VD 13.
Vi
ết phương tr
ình ti
ế
p tuy
ế
n c
ủa đồ
th
ị
hàm s
ố
y
x
3, bi
ế
t:
a) Ti
ếp điểm có hồnh độ
b
ằ
ng
– 1b) Ti
ếp điểm có tung độ
b
ằ
ng
8c) H
ệ
s
ố
góc c
ủ
a ti
ế
p tuy
ế
n b
ằ
ng
3(117)
C BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 13.
Cho Parabol
y
x
2và hai điể
m
A
2; 4
B
(
2
x
; 4
y
)
trên parabol đó.
a) Tính h
ệ
s
ố
góc c
ủ
a cát tuy
ế
n
ABbi
ế
t
xl
ần lượ
t b
ằ
ng 1;
0,1 0, 001
b) Tính h
ệ
s
ố
góc c
ủ
a ti
ế
p tuy
ế
n c
ủa parabol đ
ã cho t
ại điể
m
ABài 14.
Tìm h
ệ
s
ố
góc c
ủ
a cát tuy
ế
n
MNv
ới đườ
ng cong
C, bi
ế
t:
a)
C :yx22xvà hoành độ
M N
,
theo th
ứ
t
ự
x
M
2,
x
N
1
b)
2
1
:
x
x
C
y
x
và hoành độ
M N
,
theo th
ứ
t
ự
x
M
1,
x
N
3
Bài 15.
Vi
ết phương tr
ình ti
ế
p tuy
ế
n c
ủa đườ
ng hypebol
y x
, bi
ế
t:
a) T
ại điể
m
1
; 2
2
b) Ti
ếp điểm có hồnh độ
b
ằ
ng
–1c) H
ệ
s
ố
góc c
ủ
a ti
ế
p tuy
ế
n b
ằ
ng
4
Bài 16.
Cho đườ
ng cong
C
:
y
x
Vi
ết phương tr
ình ti
ế
p tuy
ế
n c
ủ
a
C:
a) Bi
ế
t h
ệ
s
ố
góc c
ủ
a ti
ế
p tuy
ế
n b
ằ
ng
b) Bi
ế
t ti
ế
p tuy
ế
n song song v
ớ
i
: – 4
x
y
3
0
Bài 17.
Vi
ết phương tr
ình ti
ế
p tuy
ế
n c
ủa đồ
th
ị
hàm s
ố
:
a)
1
x y
x
, bi
ết hoành độ
ti
ếp điể
m
x
0
0
b)
y x2, bi
ết tung độ
ti
ếp điể
m
y
0
2
Bài 18.
Cho hai hàm s
ố
1
2
y
x
2
2
x
y
Vi
ết phương tr
ình ti
ế
p tuy
ế
n v
ới đồ
th
ị
c
ủ
a m
ộ
i hàm s
ố
đ
ã cho t
ại giao điể
m c
ủ
a chúng Tính góc gi
ữ
a hai ti
ế
p tuy
ế
n k
ể
Bài 19.
Cho parabol
P :yx2G
ọ
i
M
1M
2là hai điể
m thu
ộ
c
Pl
ần lượt có hồnh độ
x
1
–2
và
x
2
1
Hãy tìm
Pm
ột điể
m
Echo ti
ế
p tuy
ế
n t
ạ
i
Esong song v
ớ
i cát tuy
ế
n
1
M M
Vi
ết phương tr
ình ti
ế
p tuy
ến đó.
Bài 20.
Cho hàm s
ố
3
2
y
x
x
Vi
ết phương tr
ình ti
ế
p tuy
ế
n c
ủa đồ
th
ị
, bi
ế
t r
ằ
ng ti
ế
p tuy
ế
n
vng góc v
ới đườ
ng th
ẳ
ng
: – – 2018
x
y
0
Bài 21.
Vi
ết phương tr
ình ti
ế
p tuy
ế
n v
ớ
i
:P yx
, bi
ế
t r
ằ
ng ti
ế
p tuy
ến qua điể
m
A
0 ; –1
Bài 22.
Cho hàm s
ố
– 3
2
y
x
x
Vi
ết phương tr
ình ti
ế
p tuy
ế
n c
ủ
a
C, bi
ế
t r
ằ
ng ti
ế
p tuy
ến
(118)Chương 5: ĐẠO HÀM
Bài 23.
Cho hàm s
ố
: – –
m
C y f x x mx m
Tìm t
ấ
t c
ả
giá tr
ị
c
ủ
a tham s
ố
m
để
ti
ế
p tuy
ế
n c
ủ
a
Cm
t
ạ
i
A
1; 0
B
–1; 0
vng góc v
ớ
i
Bài 24.
Cho h.s
ố
cos
sin
y
x
m
x
(
m
tham s
ố) có đồ
th
ị
CTìm
m
m
ỗi trườ
ng h
ợ
p sau:
a) Ti
ế
p tuy
ế
n c
ủ
a
Ct
ại điể
m có
x
có h
ệ
s
ố
góc b
ằ
ng
1b) Ti
ế
p tuy
ế
n c
ủ
a
Ct
ại điểm có hồnh độ
4
x
x
song song ho
ặ
c trùng
Bài 25.
Tìm giao
điể
m c
ủa hai đườ
ng cong
P :yx2 x 1
: 1H y x
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng hai
đường cong có tiế
p tuy
ế
n chung t
ại giao điể
m c
ủ
a chúng
Bài 26.
Cho parabol
P :yx2Vi
ết phương tr
ình ti
ế
p tuy
ế
n v
ớ
i
P, bi
ế
t:
a) Ti
ế
p tuy
ế
n song song v
ới đườ
ng th
ẳ
ng
d y
:
4
x
3
b) Ti
ế
p tuy
ến qua điể
m
A
0; 1
D
ạ
ng Ý ngh
ĩa Vậ
t lí c
ủa đạ
o hàm c
ấ
p
A PHƯƠNG PHÁP GIẢI
C
ầ
n nh
ớ
k
ế
t qu
ả
sau:
N
ế
u m
ộ
t ch
ất điể
m chuy
ển độ
ng v
ới phương tr
ình
ss t
v
ậ
n t
ố
c t
ứ
c th
ờ
i c
ủ
a ch
ấ
t
điểm tạ
i th
ời điể
m
t
0là
v t
0 s t
0
M
ộ
t dòng
điện có điện lượ
ng
QQ t
cường độ
t
ứ
c th
ờ
i c
ủ
a dòng
điệ
n t
ạ
i th
ờ
i
điể
m
t
0I t
0 Q t
0B BÀI TẬP MẪU
VD 14.
M
ộ
t ch
ất điể
m chuy
ển động có phương tr
ình
s f t
t22t3 s,m
a)
Tính đạ
o hàm c
ủ
a hàm s
ố
f t
t
ạ
i th
ời điể
m
t
0b) Tính v
ậ
n t
ố
c t
ứ
c th
ờ
i c
ủ
a chuy
ển độ
ng t
ạ
i th
ời điể
m
t5
VD 15.
Cho bi
ết điện lượ
ng m
ộ
t dây d
ẫ
n theo th
ờ
i gian bi
ể
u th
ị
b
ở
i hàm s
ố
Q
5
t
3
(
t
tính
b
ằ
ng giây,
Q
tính b
ằng culơng) Tính cường độ
c
ủ
a dịng
điệ
n dây d
ẫ
n t
ạ
i
t8(119)
C BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 27.
M
ột viên đạn đượ
c b
ắ
n lên t
ừ
v
ị
trí
Mcách m
ặt đấ
t m
, theo phương thẳng đứ
ng v
ớ
i v
ậ
n t
ố
c
ban đầ
u
v
0
196 m/s
(b
ỏ
qua s
ứ
c c
ả
n c
ủ
a khơng khí)
a) Tìm th
ời điể
m
t
0mà t
ại vậ
n t
ố
c c
ủa viên đạ
n b
ằ
ng
0Khi viên đạ
n cách m
ặt đấ
t bao
nhiêu mét ?
b) Sau kho
ả
ng giây (k
ể
t
ừ
lúc b
ắ
n) viê
n đạn rơi xuố
ng m
ặt đấ
t ? (l
ấ
y
g
9,8 m/s
2)
Bài 28.
M
ộ
t v
ật rơi tự
do có phương tr
ình chuy
ển độ
ng
2s gt
,
g
9,8 m/s
2t
đượ
c tính
b
ằ
ng giây
a) Tìm v
ậ
n t
ố
c trung bình c
ủ
a chuy
ển độ
ng kho
ả
ng th
ờ
i gian t
ừ
t
đế
n
t tv
ới độ
chính xác đế
n
0, 001 , bi
ế
t
tl
ần lượ
t nh
ậ
n giá tr
ị
0,1 ; 0, 01 ; 0, 001
b) Tìm v
ậ
n t
ố
c t
ạ
i th
ời điể
m
t5giây
Bài 29.
M
ộ
t chi
ế
c xe ch
ạy đượ
c quãng
đườ
ng
s
km
sau
t
(gi
ờ) đượ
c tính b
ở
i
s
t
2
3
t
2
Hãy
tính v
ậ
n t
ố
c t
ứ
c th
ờ
i c
ủa xe sau chạy đượ
c
4gi
ờ
V
ấn đề CÁC QUY TẮC TÍNH ĐẠO H
ÀM
Đạ
o hàm c
ủ
a hàm t
ổ
ng, hi
ệu, tích thương, hàm hợ
p
1)
u–vw
u–vw2)
ku k u , v
ớ
i
kh
ằ
ng s
ố
3)
u v
u v v u4)
u v w
u vw uv w uvw 5)
u
u v v u
'
2'
v
v
6)
1
v
'
v
v
7)
y
x
y u
u
.
x
B
ảng đạ
o hàm c
ủ
a hàm s
ố
sơ cấp bả
n
Đạ
o hàm c
ủ
a hàm s
ố
sơ cấp bả
n
Đạ
o hàm c
ủ
a hàm s
ố
h
ợ
p
C 0,
Ch
ằ
ng s
ố
x 12
1
1
x
x
1
u
u
u
1
2
x
x
2
u
u
u
.
x
x
u
.
u
1.
u
sinx
cosx
sinu
u.cosu
cosx
sinx
cosu
u.sinu
2
tan tan
cos
x x
x
tan
2
1 tan2
cos
u
u u u
u
2
cot cot
sin
x x
x
cot
2
1 cot2
sin
u
u u u
u
(120)Chương 5: ĐẠO HÀM
D
ạ
ng Tìm
đạ
o hàm c
ủ
a t
ổ
ng, hi
ệu, tích, thương củ
a hàm s
ố
Đạ
o hàm c
ủ
a hàm s
ố
h
ợ
p
A PHƯƠNG PHÁP GIẢI
S
ử
d
ụ
ng quy t
ắ
c, cơng th
ức tính đạ
o hàm c
ủ
a m
ộ
t s
ố
hàm s
ố
ph
ầ
n tóm t
ắ
t lí
thuy
ết để
tính
Chú ý:
M
ộ
t s
ố
toán ta c
ầ
n rút g
ọn trước để
vi
ệc tính đạ
o hàm s
ẽ
đơn giản hơn.
Sau tính đạ
o hàm xong, rút g
ọ
n
để
đưa về
k
ế
t qu
ả
đjep (nếu đượ
c)
B BÀI TẬP MẪU
VD 16.
Tính đạ
o hàm c
ủ
a hàm s
ố
sau:
a)
yx73x4 4x24 x4b)
y 2x4 10x 25x
c)
y
x
2
x
1
2
x
2
3
x
1
d)
y
2
x
1 4
x
3
e)
4
x y
x
f)
2
2
3
7
2
3
x
x
y
x
x
(121)VD 17.
Tính đạ
o hàm c
ủ
a hàm s
ố
sau:
a)
20202
3
y
x
x
b)
4
3
2
y
x
x
c)
45
2
3
y
x
d)
y
2
x
3
21x
4
23
C BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 30.
Tính đạ
o hàm c
ủ
a m
ỗ
i hàm s
ố
sau (
a
h
ằ
ng s
ố
):
a)
34
y x x x x a
b)
51
1
y
x
x
c)
y
3
x
5
8 3
x
2
d)
y
x1
x2
x3
e)
22x y
x
f)
5
1
x y
x x
g)
y
1
x x
h)
2
1
x
y
x
i)
y
2 5
x
x
2j)
1
yx x x
k)
1
1
x
y
x
l)
2x
y
a
x
(122)Chương 5: ĐẠO HÀM
D
ạ
ng Tìm
đạ
o hàm c
ủ
a hàm s
ố
lượ
ng giác
A PHƯƠNG PHÁP GIẢI
S
ử
d
ụ
ng quy t
ắ
c, cơng th
ức tính đạ
o hàm c
ủ
a m
ộ
t s
ố
hàm s
ố
lượ
ng giác ph
ầ
n
tóm t
ắ
t lí thuy
ết để
tính
Cơ Hàm hợp Dùng cho trắc nghiệm
sinx
cosx
sinu
u.cosu
sin
nu
n
.sin
n1u
sin
u
cosx
sinx
cosu
u.sinu
cos
nu
n
.cos
n1u
cos
u
1 tan
cos
x
x
tan
2cos
u u
u
tan
nu
n
.tan
nu
tan
u
1 cot
sin
x
x
cot
2sin
u u
u
cot
nu
n
.cot
nu
cot
u
Chú ý:
S
ử
d
ụ
ng công th
ức lượng giác để
rút g
ọ
nm k
ế
t qu
ả
sau tính (n
ếu đượ
c)
Có th
ể
rút g
ọn trước tính đạo hàm để
vi
ệ
c tính tốn d
ễ
dàng hơn.
B BÀI TẬP MẪU
VD 18.
Tính đạ
o hàm c
ủ
a hàm s
ố
sau:
a)
sin sin sin2 2sin sin22
x
y x x x
x
b)
y
sin
2
2
x
2
3
x
1
c)
y sin 4
x2x
(123)
VD 19.
Tính đạ
o hàm c
ủ
a hàm s
ố
sau:
a)
sin1 cos
x y
x
b)
2
1 cos
2
x
y
c)
20 2
1 tan
1 tan
x
y
x
d)
cos cosx y
x
e)
y
x
sin
x
cos
x
f)
y
3 tan
x
tan 3
x
tan
3x
tan
x
2g)
y
x
cot
x
2
1
h)
y
cot 2
3x
3cot 2
x
i)
sin cossin cos
x x y
x x
j)
2
2
sin 2
4 cos
4
sin 2
4 cos
x
x
y
x
x
(124)Chương 5: ĐẠO HÀM
C BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 31.
Tính
đạ
o hàm c
ủ
a m
ỗ
i hàm s
ố
sau:
a)
y
5sin
x
3cos
x
b)
y
sin
x
2
3
x
2
c)
ycos 2x1d)
y
sin cos 5
x
x
e)
y tan xf)
y
tan 3
x
cot 3
x
g)
y
4sin
x
3cos
x
h)
y
4 sin
2x
3cos
4x
i)
1 cos
x y
x
j)
sin1 sin
x y
x
k)
cos
sin
x y
x
l)
2
2 cot
y
x
x
x
m)
y tan xn)
y
sin cos 4
x
x
o)
cos sin cos
22
x
y x x
p)
y
sin
2x
.cos
3x
q)
tan
32
4
y
x
r)
2
sin
cos
tan
y
x
u)
2cot
1
y
x
v)
sin
1
y
x
w)
2
sin cos
y x
Bài 32.
Cho hàm s
ố
y f x
x3
sin2
x
yg x x
Tính t
ổ
ng
f
1 g
1?
Bài 33.
Tính
đạ
o hàm c
ủ
a hàm s
ố
sau:
1
1
1
1
1
1
cos
2
2
2
2
2
2
(125)D
ạng Phương tr
ình, b
ất phương tr
ình ch
ứa đạ
o hàm
A PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Bài toán thường đặt dướ
i d
ạ
ng:
“Cho hàm s
ố
y f x
, gi
ải phương tr
ình
g y y
,
0”
Khi đó, ta thự
c hi
ện theo bướ
c sau:
Bướ
c
Tính đạ
o hàm
y
Bướ
c Chuy
ể
n ph
ương tr
ình
g y y
,
0v
ề
phương tr
ình
đạ
i s
ố
thông thường để
gi
ả
i
Chú ý: Cho tam th
ứ
c
f x
ax2bxc, (a0)1/
0,
0
0
a
f x
x
2/
0,
0
0
a
f x
x
3/
0,
0
0
a
f x
x
4/
0,
0
0
a
f x
x
B BÀI TẬP MẪU
VD 20.
Cho hàm s
ố
y
x
3
3
x
2
x
2
Tìm
x
cho: a)
y
2
b)
y
10
VD 21.
Gi
ả
i b
ấ
t
phương tr
ình:
a)
y
0
v
ớ
i
2
3
3
1
x
x
y
x
b)
y
0
v
ớ
i
21
1
x
x
y
x
x
(126)Chương 5: ĐẠO HÀM
VD 22.
a) Cho
y
sin 2
x
2 cos
x
Hãy gi
ải phương tr
ình
y
0
b) Cho
y
3sin 2
x
4 cos
x
12
x
Hãy gi
ải phương tr
ình
y
2
VD 23.
Cho hàm s
ố
3
3
5
3
mx
f x
x
mx
Xác đị
nh
m
để
f
x
0
v
ớ
i m
ọ
i
xL
ờ
i gi
ả
i
Ta có
f
x
mx
2
6
x
m
Yêu c
ầ
u toán
mx
2
6
x
m
0
,
x
*●
m0, b
ất phương tr
ình tr
ở
thành
6x0x0: khơng th
ỏ
a mãn u c
ầ
u tốn
●
m0Khi
2
3
'
*
0
m m
m
m m
m
V
ậ
y
m3th
ỏ
a yêu c
ầ
u toán
VD 24.
Cho hàm s
ố
:
y f x
x32x2mx3Tìm
m
để
:
a)
f
xbình ph
ương củ
a m
ộ
t nh
ị
th
ứ
c b
ậ
c nh
ấ
t
b)
f
x 0, x c)
f
x 0có hai nghi
ệ
m phân bi
ệt dương
(127)
C BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 34.
Tìm nghi
ệ
m c
ủa phương tr
ình sau:
a)
f
x 0v
ớ
i
23
f x x x x
b)
f
x –5v
ớ
i
34
f x x x x
Bài 35.
Cho hàm s
ố
3
f x x x
Hãy gi
ả
i b
ất phương tr
ình sau: a)
f
x 0b)
f
x 3Bài 36.
Gi
ải phương tr
ình
y
0
m
ỗi trườ
ng h
ợ
p sau:
a)
y
sin 2
x
2 cos
x
b)
y
cos
2x
sin
x
c)
y
cos
2x
sin
x
d)
y
tan
x
cot
x
e)
y
3cos
x
4 sin
x
5
x
f)
1 sin(
)
2 cos
2
2
x
y
x
Bài 37.
Cho hàm s
ố
y
mx
3
x
2
x
5
Tìm
m
để
:
a)
y
b
ằ
ng bình ph
ương củ
a m
ộ
t nh
ị
th
ứ
c b
ậ
c nh
ấ
t
b)
y
có hai nghi
ệ
m trái d
ấ
u
c)
y
0
v
ớ
i m
ọ
i
xD
ạ
ng S
ử
d
ụng đạ
o hàm ch
ứng minh đẳ
ng th
ứ
c, b
ất đẳ
ng th
ứ
c
A PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Ta
đ
ã bi
ế
t n
ế
u m
ộ
t hàm s
ố
không đổ
i kho
ả
ng
a b;
đạ
o hàm ln tri
ệ
t tiêu
trong kho
ảng Đả
o l
ại ta có đị
nh lí sau:
“N
ế
u hàm s
ố
y f x
có đạ
o hàm kho
ả
ng
a b;
f
x 0, x
a b;
thì hàm s
ố
y f x
khơng đổ
i kho
ả
ng
a b;
”
T
ừ
đó ta thự
c hi
ệ
n d
ạ
ng toán:
D
ạ
ng
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng:
A x
c, x DTa th
ự
c hi
ện bướ
c:
Bướ
c Tính
A x
, r
ồ
i kh
ẳng đị
nh
A x
0, x DBướ
c Ch
ọ
n
x0DA x
0 cD
ạ
ng Tìm
điề
u ki
ệ
n c
ủ
a tham s
ố
để
A x
không ph
ụ
thu
ộ
c vào
x
Ta th
ự
c hi
ện bướ
c:
Bướ
c Tính
A x
, r
ồ
i tìm
điề
u ki
ện để
A x
0, xBướ
c K
ế
t lu
ậ
n
B BÀI TẬP MẪU
VD 25.
Cho hai hàm s
ố
f x
sin4xcos4x
1cos 4 (128)Chương 5: ĐẠO HÀM
VD 26.
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng hàm s
ố
4
6
sin
3cos
1
sin
cos
3cos
1
x
x
y
x
x
x
(129)C BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 38.
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng:
a) Hàm s
ố
y
tan
x
th
ỏ
a mãn h
ệ
th
ứ
c
y
–
y
2– 0
b) Hàm s
ố
y
cot 2
x
th
ỏ
a mãn h
ệ
th
ứ
c
y
2
y
2
2
0
Bài 39.
Ch
ứ
ng minh v
ớ
i m
ọ
i
x
thu
ộ
c t
ập xác đị
nh:
a) N
ế
u
2
2 cos
f x x
f x
8
Tìm giá tr
ị
c
ủ
a
x
để
đẳ
ng th
ứ
c x
ả
y
b) N
ế
u
f x
tan 3xf
x 3Tìm giá tr
ị
c
ủ
a
x
để
đẳ
ng th
ứ
c x
ả
y
Bài 40.
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng v
ớ
i m
ọ
i
x
ta đề
u có:
2 2
cos xa sin x b 2 cos xa sin x b sin a b cos a b
Bài 41.
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng bi
ể
u th
ứ
c
sin
22
sin
2sin
22
3
3
A
x
x
x
không phụ
thu
ộ
c vào
x
Bài 42.
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng hàm s
ố
sau có đạ
o hàm không ph
ụ
thu
ộ
c
x
:
a)
6 2sin
cos
3sin
.cos
y
x
x
x
x
b)
cos
2cos
2cos
22
cos
22
2sin
23
3
3
3
y
x
x
x
x
x
V
ấn đề VI PHÂN
–
ĐẠO H
ÀM C
ẤP CAO
A VI PHÂN
Đị
nh ngh
ĩa
Cho hàm s
ố
y f x
xác đị
nh
a b;
và có đạ
o hàm t
ạ
i
x
a b;
Cho s
ố
gia
xt
ạ
i
x
cho
x x
a b;
Ta g
ọ
i tích
f
x x (hoặ
c
y
.
x
) vi phân c
ủ
a hàm s
ố
y f x
t
ạ
i x
ứ
ng v
ớ
i s
ố
gia
xký hi
ệ
u dy ho
ặ
c
df x
Như vậ
y, ta có:
d
y
y x
ho
ặ
c
df x
f
x xÁp d
ụ
ng: V
ớ
i hàm s
ố
yx, ta đượ
c:
dx
x x 1 x xV
ậ
y ta có:
d
y
y x
d
ho
ặ
c
df x
f
x dx
Ứ
ng d
ụ
ng c
ủ
a vi phân vào phép tính g
ần đúng
Theo đị
nh ngh
ĩa đạ
o hàm, ta có:
0 limx
y f x
x
Do đó, vớ
i
xđủ
nh
ỏ
thì:
0
0
0
0y
f x y f x x f x x f x f x x x
(130)Chương 5: ĐẠO HÀM
B ĐẠO HÀM CẤP CAO
Đị
nh ngh
ĩa
Gi
ả
s
ử
hàm s
ố
y f x
có đạ
o hàm
f
x
Đạ
o hàm c
ủ
a hàm s
ố
f
x, n
ếu có, đượ
c g
ọ
i
đạ
o hàm c
ấ
p hai c
ủ
a hàm s
ố
f x
Kí hi
ệ
u
y
hay
f
x
Tương tự, đạ
o hàm c
ủ
a hàm s
ố
f
x, n
ếu có, đượ
c g
ọ
i
đạ
o hàm c
ấ
p ba c
ủ
a hàm s
ố
f x
Kí hi
ệ
u
y
hay
f
x
Đạ
o hàm c
ủ
a hàm s
ố
f
x, n
ếu có, đượ
c g
ọ
i
đạ
o hàm c
ấ
p b
ố
n c
ủ
a hàm s
ố
f x
Kí hi
ệ
u
y 4hay
f
4
x
T
ổ
ng quát,
đạ
o hàm c
ủa đạ
o hàm c
ấ
p
n–1đượ
c g
ọi đạ
o hàm c
ấ
p
n c
ủ
a hàm s
ố
y f x
Kí hi
ệ
u
y nhay
f
n
x
Ý ngh
ĩa họ
c c
ủa đạ
o hàm c
ấ
p hai
Xét chuy
ển độ
ng th
ẳng xác đị
nh b
ởi phương tr
ình:
s f t
v
ớ
i
f t
hàm s
ố
có đạ
o hàm
Khi đó, gia tố
c t
ứ
c th
ờ
i
c
ủ
a chuy
ển độ
ng t
ạ
i th
ời điể
m
t
là đạ
o hàm c
ấ
p hai c
ủ
a hàm s
ố
s f t
t
ạ
i
t
t f
tD
ạ
ng Tìm vi phân c
ủ
a hàm s
ố
A PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Tính vi phân c
ủ
a hàm s
ố
f x
t
ạ
i
x
0cho trướ
c:
Tính đạ
o hàm c
ủ
a hàm s
ố
t
ạ
i
x
0
Suy vi phân c
ủ
a hàm s
ố
t
ạ
i
x
0ứ
ng v
ớ
i s
ố
gia
xd
f x
0
f
x
0
x
Tính vi phân c
ủ
a hàm s
ố
f x
:
Tính đạ
o hàm c
ủ
a hàm s
ố
Suy vi phân c
ủ
a hàm s
ố
d
y
d
f x
f
x
d
x
B BÀI TẬP MẪU
VD 27.
Tính s
ố gia v
à vi phân c
ủa h
àm s
ố
a)
y f x
3x2xt
ại điểm
x1ứng với
x
0, 01
b)
y f x
tanxt
ại điểm
3
x
ứng với
180
x
(131)a) S
ố gia
y
f x
x
f x
3
x
x
2
x
x
3
x
2
x
6
x
1
x
3
x
2T
ại điểm
x1ứng với
x
0, 01
y
0, 05 0, 0003
0, 0503
Vi phân
dy
6x1
x 0, 01
0, 05b) S
ố gia
y f x
x
f x
tan
x x
tanxT
ại điểm
3
x
ứng với
180
x
tan
tan
3
180
3
y
Vi phân
d tan 0, 0698
180 45
y x x
VD 28.
Cho hàm s
ố
f x
6x32x24x1Tính vi phân c
ủ
a hàm s
ố
t
ại điể
m
x
0
1
,
ứ
ng v
ớ
i s
ố
gia
x
0, 01
VD 29.
Tìm vi phân c
ủ
a hàm s
ố
y f x
sin cos 2x x
VD 30.
Bài 38 Ch
ứ
ng minh
a)
1x yd dx0v
ớ
i
y 2 1xb)
x2y
dxx yd 0v
ớ
i
y
2
x
2
x
C BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 43.
Tính vi phân c
ủ
a hàm s
ố
y
sin 2
x
t
ại điể
m
x
ứ
ng v
ớ
i a)
x
0, 01
b)
x
0, 001
Bài 44.
Tính vi phân c
ủ
a m
ỗ
i hàm s
ố
sau:
(132)Chương 5: ĐẠO HÀM
D
ạ
ng Tính g
ần giá trị
c
ủ
a hàm s
ố
A PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Để
tính g
ần giá trị
c
ủ
a hàm s
ố
f x
t
ại điể
m
x
0
x
cho trướ
c, ta áp d
ụ
ng công
th
ứ
c:
f x
0
x
f x
0
f
x
0.
x
B BÀI TẬP MẪU
VD 31.
Tính g
ần giá trị
8,99(l
ấy chữ
s
ố thập phân kết quả)
L
ờ
i gi
ả
i
Ta có
8,99
9
0, 01
Xét hàm s
ố
f x
x
Suy
1
2
f
x
x
Áp d
ụng cơng thức tính gần
f x
0 x
f x
0 f
x0 x, ta có
0,019 0, 01 0,01 9 0, 01 0, 01 2,9983
6
f f f
VD 32.
Tính g
ần đ
úng giá tr
ị
:
a)
25, 75b)
5, 99c)
sin 30 10d)
cos 46
C BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 45.
Tính giá tr
ị
g
ần củ
a:
a)
1
0,9995
b)
cos 45 30c)
tan 29 30d)
4, 01e)
1
20,3
f)
(133)D
ạng Tính đạ
o hàm c
ấ
p cao c
ủ
a hàm s
ố
A PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Áp d
ụ
ng tr
ụ
c ti
ếp đị
nh ngh
ĩa để
tính đạ
o hàm c
ấ
p cao:
1
;
;
;
n ny
y
y
y
y
y
y
y
B BÀI TẬP MẪU
VD 33.
Tính đạ
o hàm c
ấ
p ba c
ủ
a hàm s
ố
y
x
sin
x
cos
x
VD 34.
Cho hàm s
ố
1
x y
x
Tìm
x
cho
y
10
C BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 46.
Tính đạ
o hàm c
ấ
p hai c
ủ
a hàm s
ố
sau:
a)
y
ax
bx
cx
d
b)
2
x y
x
c)
2
1
1
x
x
y
x
d)
y
x
.sin
x
e)
1
y
x
x
f)
cos
y
x
g)
1
y
x
x
Bài 47.
a) Cho
f x
x
10
6Tính
f
2b) Cho
f x
sin 3xTính
2
f
,
f
0 ,
18
f
Bài 48.
Tính đạ
o hàm c
ủ
a m
ỗ
i hàm s
ố
sau đế
n c
ấ
p cho kèm theo:
a)
f x
x
4
cos ,
x f
4
x
b)
f x
cos
2x f
,
5
x
(134)Chương 5: ĐẠO HÀM
D
ạ
ng Ý ngh
ĩa đạ
o hàm c
ấ
p hai
A PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Xét chuy
ển độ
ng th
ẳng xác đị
nh b
ởi phương tr
ình:
s f t
v
ớ
i
f t
hàm s
ố
có đạ
o
hàm
Khi đó,
gia t
ố
c t
ứ
c th
ờ
i
ac
ủ
a chuy
ển độ
ng t
ạ
i th
ời điể
m
t
là đạ
o hàm c
ấ
p hai
c
ủ
a hàm s
ố
s f t
t
ạ
i
t
t
t a fB BÀI TẬP MẪU
VD 35.
Tính gia t
ố
c t
ứ
c th
ờ
i c
ủ
a chuy
ển độ
ng
s f t
t
ạ
i th
ời điể
m
t
0trong trườ
ng h
ợ
p sau:
a)
s f t
t33t27t2, t0 2b)
3sin 2 cos , 04
s f t t t t
C BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 49.
V
ậ
n t
ố
c c
ủ
a m
ộ
t ch
ất điể
m chuy
ển động đượ
c bi
ể
u th
ị
b
ở
i công th
ứ
c
3
s f t t t t
, đó
t 0,
t
tính b
ằ
ng giây
sv t
tính b
ằ
ng
m/sTìm
gia t
ố
c c
ủ
a ch
ất điể
m:
a) T
ạ
i th
ời điể
m
t4sb) T
ạ
i th
ời điể
m mà v
ậ
n t
ố
c c
ủ
a chuy
ển độ
ng b
ằ
ng 11
Bài 50.
V
ậ
n t
ố
c c
ủ
a m
ộ
t ch
ất điể
m chuy
ển động đượ
c bi
ể
u th
ị
b
ở
i công th
ứ
c
8
v t t t
, v
ớ
i
t0,
t
tính b
ằ
ng giây
sv t
tính b
ằ
ng
m/sa) Tính v
ậ
n t
ố
c t
ạ
i th
ời điể
m
t2sb) Tính gia t
ố
c t
ạ
i th
ời điể
m
t3s(135)
D
ạ
ng Tìm cơng th
ức đạ
o hàm c
ấ
p n
A PHƯƠNG PHÁP GIẢI
V
ớ
i hàm s
ố
y f x
, tìm
đượ
c cơng th
ứ
c
f
n
x
ta th
ự
c hi
ện theo bướ
c sau:
Bướ
c Tính
f
x,
f
xđơi cầ
n tính t
ớ
i
f
x,
f
4
x
Bướ
c D
ự
đốn cơng thứ
c t
ổ
ng qt
f
n
x
Bướ
c Ch
ứ
ng minh cơng th
ứ
c d
ự
đốn phương pháp qui nạ
p
B BÀI TẬP MẪU
VD 36.
Tính đạ
o hàm c
ấ
p
n
c
ủ
a hàm s
ố
:
y
sin
x
, v
ớ
i
n*
VD 37.
Tính đạ
o hàm c
ấ
p
n
c
ủ
a hàm s
ố
:
y ax b
, v
ớ
i
a
,
bvà
n*
C BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 51.
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng: V
ớ
i m
ọ
i
n*:
a) N
ế
u
f x
cosxf
4n
x
cos
x
b) N
ế
u
y
sin
x
sin
2
ny
x
n
c) N
ế
u
y
sin
2x
y n 24n1cos 2x
d) N
ế
u
1y x
!
1 n n
n
n y
x
Bài 52.
Tính đạ
o hàm c
ấ
p
n
c
ủ
a hàm s
ố
sau:
a)
yx
b)
23
y
x x
c)
3
sin
(136)Chương 5: ĐẠO HÀM
D
ạ
ng Ch
ứng minh đẳ
ng th
ứ
c có ch
ứa đạ
o hàm
A PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Tìm
đạo hàm đế
n c
ấ
p cao nh
ất có đẳ
ng th
ứ
c c
ầ
n ch
ứ
ng minh
Thay th
ế
vài v
ị
trí tương ứ
ng bi
ến đổ
i v
ế
cho b
ằ
ng v
ế
T
ừ
đó suy đẳ
ng th
ứ
c
c
ầ
n ch
ứ
ng minh
B BÀI TẬP MẪU
VD 38.
Ch
ứng minh hệ thức sau
a)
xy2
ysinx
xy0v
ới
y
x
sin
x
b)
x y
2
2
x
2
y
2
1
y
0
v
ới
y
x
tan
x
L
ờ
i gi
ả
i
a) Ta có
y
sin
x
x
cos
x
Suy
y
y cosxcosxxsinx2 cosxxsinxDo
xy2
ysinx
xyx2sinx2
xcosx
x
2 cosxxsinx
0b) Ta có
y
tan
x
x
1 tan
2x
Suy
y
y 1 tan2x 1 tan2 x2 tanx
2x
tanx2 tan
2x
1xtanx
Do
x y
2
2
x
2
x
2tan
2x
1
x
tan
x
2
x
2
y
2
1
y
hay
2 2
2
1
0
x y
x
y
y
VD 39.
Cho hàm s
ố
y
x
sin
x
Ch
ứ
ng minh
xy
2
y
xy
2 sin
x
(137)VD 40.
Cho hàm s
ố
y
x
x
2
1
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng:
a)
2
x
2
1.
y
y
b)
4 1
x
2
y
4
xy
y
0
(138)Chương 5: ĐẠO HÀM
C BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 53.
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng:
a) N
ế
u
y
cot
x
sin tan
x
yy x
b) N
ế
u
2
cos
1 sin
x
y
x
f
4
3
f
4
3
c) N
ế
u
1cot3 coty x xx
y
cot
4x
d) N
ế
u
x y
x
2
y
y
1
y
e)
y
y
0
v
ớ
i
3
sin
cos
1 sin cos
x
x
y
x
x
f)
2
y
y
1
y
v
ớ
i
x y
x
g)
y 4 2xy4y40v
ớ
i
y
x
2
1
2h)
y y
3
1 0
v
ớ
i
y
2
x
x
2i)
4
x
2
1
y
4
x y
y
0
v
ớ
i
1
y
x
x
j)
1
x
2
y
xy
k y
2
0
v
ớ
i
1
k
y
x
x
V
ấn đề SỬ DỤNG ĐẠO H
ÀM TRONG CÁC BÀI
TỐN CĨ CH
ỨA
kn
C
A PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Công th
ứ
c khai tri
ể
n nh
ị
th
ức Newtơn:
1 10 n
n k n k k n n k n k k n n n n
n n n n n n
k
a b
C a
b
C a
C a
b
C a
b
C
ab
C b
1
0
1
1
1
n
n k k n k k n n k k n k k n n n
n n n n n
k
a b
C a
b
C a
C a
b
C a
b
C b
Tính ch
ấ
t:
k n k n n
C
C
(0
k
n
)
;
C
nk1
C
nk
C
nk1(0
k
n
)
;
C
n0
C
nn
1
Phương pháp
:
Vi
ế
t khai tri
ể
n Newton c
ủ
a
ax b
n
Đạ
o hàm
2v
ế
m
ộ
t s
ố
l
ầ
n thích h
ợ
p
Ch
ọ
n giá tr
ị
x
sao cho thay vào ta đẳ
ng th
ứ
c ph
ả
i ch
ứ
ng minh
B BÀI TẬP MẪU
VD 41.
Tính t
ổng
(139)L
ờ
i gi
ả
i
a) Xét khai tri
ển nhị thức New
-ton c
ủa
1
x
n, ta có
2 31
x
n
C
n
C x C x
n
n
C x
n
C x
nn nL
ấy đạo h
àm hai v
ế theo biến
x
, ta được
11
n n2
n3
nnn n
n
x
C
C x
C x
nC x
Cho
x1, ta
11 1
n n2
n3
nnn
n
C
C
C
nC
V
ậy
2 n 2n
n n n n
C C C nC n
b) Xét khai tri
ển nhị thức New
-ton c
ủa
1
x
n, ta có
2 3
1
x
n
C
n
C x C x
n
n
C x
n
1
nC x
nn nL
ấy đạo h
àm hai v
ế theo biến
x
, ta được
1
1 1
n n2
n3
n1
n nn nn
x
C
C x
C x
C x
hay
1
11
n n2
n3
n1
n nn nn
x
C
C x
C x
nC x
Cho
x1, ta
1
1 1
n n2
n3
n1
n nnn
C
C
C
nC
V
ậy
C
n1
2
C
n2
3
C
n3
1
n1nC
nn
0
VD 42.
Cho
n
s
ố
nguyên dương Chứ
ng minh h
ệ
th
ứ
c sau:
a)
C1n2.Cn23Cn3 nCnn n.2n1b)
1.2Cn2 2.3Cn3 3.4Cn4 n n
1
Cnn n n
2
n
c)
2.Cn 3.Cn 4Cn n Cnn n 2n
(140)Chương 5: ĐẠO HÀM
VD 43.
Cho
x
2
100
a
0
a x
1
a x
2 2
a x
100 100Tính:
a)
a
97b)
S
a
0
a
1
a
2
a
3
a
100c)
S
a
1
2
a
2
3
a
3
100
a
100(
ĐH Hàng Hả
i – 1998)
C BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 54.
Rút g
ọ
n bi
ể
u th
ứ
c:
a)
S1 Cn12Cn23Cn3
n1
Cnn1nCnnb)
S
2
C
1n
2
C
n2
3
C
n3
n
1
1
n2C
nn1
n
1
n1C
nnc)
S3 3.2Cn04.3C1n5.4Cn2
n3
n2
Cnnd)
S
4
1.2
C
n2
2.3
C
n3
3.4
C
n4
n n
1
1
nC
nnê)
S5 2.3Cn03.4Cn14.5Cn2
n2
n3
Cnnf)
2 3 26 2.2 3.2 4.2 (2 1).2
n n
n n n n n
S C C C C n C
Bài 55.
V
ớ
i
n
nguyên dương, chứ
ng minh r
ằ
ng:
a)
Cn22Cn33Cn4
n1
Cnn
n2 2
n1b)
C21n3C23n
2n1
C22nn12C22n4C24n2nC22nnc)
1.2Cn2 2.3Cn33.4Cn4n n
1
Cnn n n
1 2
n2d)
n n
1 3
n2Cnn
n1
n2 3
n34Cnn12.1.4n2Cn2 n n
1 7
n2e)
2n 1C1n 2.2n 1Cn2 3.2n 1Cn3 nCnn n.3n
f)
2 n n 2n
n n n n n
C C C nC n C n
Bài 56.
Tìm s
ố
nguyên dương
n
cho:
1 2 3 2
2 2.2 3.2 4.2 2 2 2011
n n
n n n n n
(141)V
ấn đề D
ÙNG
ĐỊNH NGHĨA ĐẠO H
ÀM
ĐỂ T
ÌM GI
ỚI HẠN
A PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Bài tốn 1
Ta có th
ể
s
ử
d
ụng đị
nh ngh
ĩa đạ
o hàm:
0
0
0
0
lim
x x
f x
f
f
x
x
x
để
tính
các gi
ớ
i h
ạ
n có d
ạng vơ đị
nh B
ằ
ng cách vi
ế
t gi
ớ
i h
ạ
n c
ầ
n tìm thành d
ạ
ng
0 0
0
lim
x x
f x
f
x
x
,
sau tính đạ
o hàm c
ủ
a hàm
f x
t
ại điể
m
x
0r
ồ
i áp d
ụng đị
nh ngh
ĩa đạ
o hàm suy k
ế
t
qu
ả
c
ủ
a gi
ớ
i h
ạ
n
Bài tốn 2
Ta s
ử
d
ụ
ng cơng th
ức lượng giác để
bi
ến đổ
i s
ử
d
ụ
ng công th
ứ
c
sin
lim
x x
u x u x
v
ớ
i
lim
xx0u x
0
B BÀI TẬP MẪU
VD 44.
Tính gi
ới hạn
3
0
1 4
1
lim
x
x
x
L
ờ
i gi
ả
i
Đặt
1 4
f x
x
, suy
f
0 1Ta có
0
0
1 4
1
lim
lim
0
0
x x
f x
f
x
f
x
x
Mà
23
4
3.
1 4
f
x
x
, suy
0f
V
ậy
3
0
1 4
1
4
lim
3
xx
x
VD 45.
Tính gi
ớ
i h
ạ
n sau
a)
3
0
1 4
1
lim
x
x
x
b)
3
3
2
5
7
lim
1
xx
x
x
(142)
Chương 5: ĐẠO HÀM
VD 46.
Tính gi
ớ
i h
ạ
n sau
a)
0 sin lim
sin x
x x
b)
tan lim
sin x
x x
c)
1 cos lim
x
x x
d)
21 sin lim
2 x
x x
L
ờ
i gi
ả
i
a) Ta có
0 0
sin 3 sin 3 sin 3
lim lim lim lim
sin 2 sin 2 sin 2
x x x x
x x x x x
x x x x x
b) Ta có
0 0
tan sin 2 sin
lim lim lim
sin cos sin 5 sin cos
x x x
x x x x
x x x x x x
0 0
2 sin
.lim lim lim
5 x x sin x cos
x x
x x x
c) Ta có
2
2
2
0 0
2 sin
sin
sin
1 cos
2
1
2
1
2
1
lim
lim
lim
.lim
2
2
2
2
2
x x x x
x
x
x
x
x
x
x
x
b)
2
2
2 2
2 2
2
1 cos 2sin sin
1 sin 2 2
lim lim lim lim
2
2
2 2
2
x x x x
x x
x x
x
x x x
2
2
2 sin
1 2
.lim
2
2 x
x
x
(143)Bài 52 Tính gi
ớ
i h
ạ
n sau
a)
lim tan tan x
x x
b)
4
sin
4
lim
1
2 sin
xx
x
C BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 57.
Tính gi
ớ
i h
ạ
n sau
a)
2
1
lim
1
nx
x
x
x
n
x
b)
21
lim
1
nx
x
nx
n
x
c)
28
3
lim
2
3
xx
x
x
d)
3
2
3 4
24
2 2
3
lim
4
xx
x
x
x
e)
4
1
lim
1
xx
x
f)
1 2
1
lim
1 3
1
nm x
x
x
Bài 58.
Tính gi
ớ
i h
ạ
n sau
a)
20
1 cos lim
x
x x
b)
cos sin
lim
cos x
x x x
c)
3
0
1 cos
lim
sin
xx
x
x
(144)Chương 5: ĐẠO HÀM
V
ấn đề
6 M
ỘT SỐ DẠNG TOÁN NÂNG CAO
V
Ề TIẾP TUYẾN
A PHƯƠNG PHÁP GIẢI
1.
S
ử
d
ụ
ng ki
ế
n th
ứ
c v
ề
ti
ế
p tuy
ế
n
ở
V
ấn đề
1, d
ạ
ng
2.
M
ộ
t s
ố
ki
ế
n th
ứ
c liên quan:
Độ
dài đoạ
n th
ẳ
ng
AB:
AB
x
B
x
A
2
y
B
y
A
2
Kho
ả
ng cách t
ừ
điể
m
M x
M;yM
đến đườ
ng th
ẳ
ng
:
ax by
c
0
,
2 2
M Max
by
c
d M
a
b
Kho
ả
ng cách t
ừ
điể
m
M x
M;yM
đến đườ
ng th
ẳ
ng tr
ụ
c
Oxd M Ox
,
y
M
Kho
ả
ng cách t
ừ
điể
m
M x
M;yM
đến đườ
ng th
ẳ
ng tr
ụ
c
Oy
d M Oy
,
x
M
Di
ệ
n tích tam giác
OAB:
N
ế
u
AOxB
Oy
1
.
.
2
OABS
OA OB
N
ế
u
A,
B 1
.
.
2
OABS
OH AB
, v
ớ
i
OH d M
,
Phương tr
ình
đườ
ng th
ẳ
ng qua
A a
; 0
B
0;b
x y
ab
(phương tr
ình
đoạ
n ch
ắ
n)
B MỘT SỐ VÍ DỤ
VD 47.
Cho hàm s
ố
3
1
y
x
x
Vi
ết phương tr
ình ti
ếp tuyến đồ thị điểm có hồnh độ
L
ờ
i gi
ả
i
V
ới
x
0
2
suy
0 3
y x x
Ta có
y
3
x
2
3
Suy h
ệ số góc tiếp tuyế
n:
k y
2 9Phương tr
ình ti
ếp tuyến đồ thị
0 0
9
2
15
y y x x x y x x
VD 48.
Cho hàm s
ố
23
y x x
Vi
ết phương tr
ình ti
ếp tuyến đồ thị, biết tiếp tuyến song
song v
ới đường thẳng
y 3x2015L
ờ
i gi
ả
i
G
ọ
i
M x y
0;
0
t
ọa độ tiếp điểm.
Ta có
'
2
y
x
x
Suy h
ệ số góc tiếp tuyến:
0 00
k y x x x
Do ti
ếp tuyến song song với đường thẳng
y 3x2015nên
2
0
0
0
1
2
3
2
3
3
0
3
x
x
x
x
k
x
x
(145)●
V
ới
x
0
1
suy
0 03 023
0
y x x
Phương tr
ình ti
ếp tuyến cần t
ìm
103
3
3
y x x
●
V
ới
x
0
3
suy
0 30 023 2
y x x
Phương tr
ình ti
ếp tuyến cần t
ìm
y
3
x
3
2
3
x
1
1
V
ậy có h
ai ti
ếp tuyến cần t
ìm là:
3
y x
ho
ặc
y 3x11VD 49.
Cho hàm s
ố
3 3
y x x
Vi
ết phương tr
ình ti
ếp tuyến đồ thị, biết tiếp tuyến vng
góc v
ới đường thẳng
x4y20160L
ờ
i gi
ả
i
G
ọi
M x y
0;
0
t
ọa độ tiếp điểm.
Ta có
y
'
2
x
2
6
x
Suy h
ệ số góc tiếp tuyến:
k
y
'
x
0
2
x
02
6
x
0Do ti
ếp tuyến vng góc với đường thẳng
x4y20160nên
0
2 2
0
0
0
1
1
.
1
6
6
6
4
4
1
2
1
2
4
2
4
0
2
x
x
x
x
x
k
x
x
x
●
V
ới
x
0
1
suy
0 03 02 38
3
y x x
Phương tr
ình ti
ếp tuyến cần t
ìm
43
3
x x
y
●
V
ới
x
0
2
suy
0 03 023
y x x
Phương tr
ình ti
ếp tuyến cần t
ìm
y
4
x
2
7
4
x
1
V
ậy có hai tiếp tu
y
ến cần t
ìm là:
43
y x
ho
ặc
y 4x1VD 50.
Cho hàm s
ố
3
1
y
x
x
Vi
ết phương tr
ình ti
ếp tuyến đồ thị, biết tiếp tuyến qua
điểm
A
1;3
L
ờ
i gi
ả
i
G
ọi
M x y
0;
0
t
ọa độ tiếp điểm.
Ta có
y
3
x
2
6
x
Suy h
ệ số góc tiếp tuyến:
k y x
0 3x026x0Phương tr
ình ti
ếp tuyến
Mc
ủa đồ thị có dạng
0 0
0
2
0 0
3
6
3
1
x
x
x
x
y
y x
x
x
y
x
x
Do ti
ếp tuyến qua điểm
A
1;3
nên
0 0 0
3 1
3 x x 1x x x x
ho
ặc
x
0
2
V
ậy có hai tiếp tuyến cần t
ìm là:
y9x6ho
ặc
y3VD 51.
Cho hàm s
ố
2 1
yx mx m x
, v
ớ
i
m
tham s
ố
th
ự
c Vi
ết phương tr
ình ti
ế
p tuy
ế
n
c
ủa đồ
th
ị
t
ại điểm có hồnh độ
b
ằ
ng Tìm
m
để
giao điể
m c
ủ
a
và đườ
ng th
ẳ
ng
:
1
(146)Chương 5: ĐẠO HÀM
L
ờ
i gi
ả
i
V
ớ
i
x
0
2
, suy
y0 x032mx02
3m1
x0 1 14m7Ta có
y 3x24mx
3m1
Suy h
ệ
s
ố
góc c
ủ
a ti
ế
p tuy
ế
n
k y
2 11m11Phương tr
ình ti
ế
p tuy
ế
n
c
ủa đồ
th
ị
t
ại điểm có hồnh độ
b
ằ
ng có d
ạ
ng
:y y x y 11m 11 x 14m
Giao điể
m c
ủ
a
d
nghi
ệ
m c
ủ
a h
ệ
11
11
2
14
7
1
y
m
x
m
y
x
Suy
8
14
;
3
4
11
10 11
10
m
m
A
m
m
Theo gi
ả
thi
ế
t tốn, ta có
1
8
14
3
4
8
14
3
4
18
8
14
3
4
11
10
11
10
5
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
V
ậ
y
m 1ho
ặ
c
18m
th
ỏ
a yêu c
ầ
u toán
VD 52.
Cho hàm s
ố
3
yx mx m x
, v
ớ
i
m
tham s
ố
th
ự
c Tìm t
ấ
t c
ả
giá tr
ị
c
ủ
a
m
để
ti
ế
p tuy
ế
n có h
ệ
s
ố
góc nh
ỏ
nh
ấ
t c
ủa đồ
th
ị
vng góc v
ới đườ
ng th
ẳ
ng
2020y x
L
ờ
i gi
ả
i
Ta có
y
3
x
2
6
mx
m
2
Suy h
ệ
s
ố
góc c
ủ
a tuy
ế
n t
ạ
i m
ột điể
m b
ấ
t k
ỳ
M x y
0; 0
thu
ộ
c
đồ
th
ị
k
3
x
02
6
mx
0
m
2
3
x
0
m
2
3
m
2
m
2
3
m
2
m
2
D
ấ
u
''''x
ả
y ch
ỉ
khi:
x
0
m
Khi
kmin 3m2m2Yêu c
ầ
u toán
2min
1
1
.
1
3
2
1
3
2
4
3
2
0
4
4
k
m
m
m
m
m
m
1
m
ho
ặ
c
m
V
ậ
y
m1ho
ặ
c
m
th
ỏ
a mãn yêu c
ầ
u toán
VD 53.
Cho hàm s
ố
y
x
4
2
x
2
1
G
ọ
i
Alà điể
m thu
ộc đồ
th
ị
có hồnh độ
m
Tìm
m
để
ti
ế
p
tuy
ế
n c
ủa đồ
th
ị
hàm s
ố
t
ạ
i
Ac
ắt đồ
th
ị
t
ại hai điể
m phân bi
ệ
t
M,
Nkhác
Acho
4
AN AM
(
Mn
ằ
m gi
ữ
a
AN
)
L
ờ
i gi
ả
i
T
ọa độ
điể
m
A m m
;
4
2
m
2
1
Phương tr
ình ti
ế
p tuy
ế
n c
ủa đồ
th
ị
t
ạ
i
Acó d
ạ
ng
:
4
4
2
1
d y
m
m
x m
m
m
Phương tr
ình hồnh
độ
giao điể
m c
ủ
a ti
ế
p tuy
ế
n
dv
ớ
i
đồ
th
ị
4
m
3
4
m
x
m
m
4
2
m
2
1
x
4
2
x
2
1
2 2 2
2
2
3
2
0
2
3
2
0 *
x
m
x m
x
mx
m
x
mx
m
Để
đườ
ng
dc
ắt đồ
th
ị
t
ại ba điể
m phân bi
ệ
t
phương tr
ình
*có hai nghi
ệ
m phân bi
ệ
t
khác
m
2
2 2
1
1
2
2
0
1
2
3
2
0
3
m
m
m
m
m
m
(147)G
ọ
i
M x y
1; 1
,
N x y
2; 2
v
ớ
i
x
1,
x
2hai nghi
ệ
m c
ủa phương tr
ình
*Theo Viet, ta có
1
2 1
2
1
3
2
2
x
x
m
x x
m
Theo gi
ả
thi
ế
t tốn, ta có
AN
4
AM
x
2
m
4
x
1
m
4
x
1
x
2
3
m
3T
ừ
1
3, ta có
1
1
1
2
2
5
4
3
11
5
m
x
x
x
m
x
x
m
m
x
Thay vào
2, ta đượ
c
1
3
2
86
50
5
4
1
.
5
3
5
m
m
m
m
m
(th
ỏ
a mãn)
V
ậ
y
5
43
m
giá tr
ị
c
ầ
n tìm th
ỏ
a u c
ầ
u tốn
VD 54.
Cho hàm s
ố
4
1
y
x
mx
m
, v
ớ
i
m
tham s
ố
th
ự
c Tìm
m
để
ti
ế
p tuy
ế
n c
ủa đồ
th
ị
t
ạ
i
Asong song v
ới đườ
ng th
ẳ
ng
y
4
x
2020
, v
ớ
i
Alà điể
m c
ố
định có hồnh độ
âm c
ủa đồ
th
ị
L
ờ
i gi
ả
i
G
ọ
i
A x
A;yA
là điể
m c
ố
đị
nh c
ủa đồ
th
ị
4
A A A
y x mx m
,
m
m x
2A
4
x
A4
y
A
1 0,
m
2
4
4
0
2
17
1 0
A A
A A A
x
x
y
x
y
ho
ặ
c
17 AA
x y
Do
Acó hồnh độ
âm nên ta ch
ọ
n
A
2;17
Yêu c
ầ
u toán
'y x
A 4 'y
2 4 32 4 m4 m9V
ậ
y
m9giá tr
ị
c
ầ
n tìm
VD 55.
Cho hàm s
ố
1
x y
x
Vi
ết phương tr
ình ti
ế
p tuy
ế
n c
ủa đồ
th
ị
, bi
ế
t ti
ế
p tuy
ế
n c
ắ
t hai tr
ụ
c
Oxvà
Oy
l
ần lượ
t t
ạ
i
A,
Bphân bi
ệt cho đườ
ng trung tr
ự
c c
ủa đoạ
n th
ẳ
ng
ABđi qua gố
c
t
ọa độ
OL
ờ
i gi
ả
i
G
ọ
i
;
1
1
a
M a
a
v
ớ
i
a1là điể
m thu
ộc đồ
th
ị
Phương tr
ình ti
ế
p tuy
ế
n t
ạ
i
Mc
ủa đồ
th
ị
có d
ạ
ng
2
1
:
1 1
a a
d y y a x a x a
a a a
Ta có
2
2
;
a a dOxA
;
2
0;
2
1
1
d
O
B
a
a
a
y
Do
ABnên
a
2
2
a
1
0
a
1
2
Đườ
ng trung tr
ự
c c
ủa đoạ
n th
ẳ
ng
ABđi qua gố
c t
ọa độ
Onên
2
2
2
2
2
1 0
2
1
2
1
1
2
1
2
2
1
1
2
a
a
a
a
a
a
a
a
O
B
a
A
O
a
(148)
Chương 5: ĐẠO HÀM
●
V
ớ
i
a
1
2
Suy phương tr
ình ti
ế
p tuy
ế
n
y x 2 2V
ậ
y có hai ti
ế
p tuy
ế
n c
ầ
n tìm th
ỏ
a mãn u c
ầ
u toán
y x 2 2ho
ặ
c
2y x
VD 56.
Cho hàm s
ố
1
x y
x
Vi
ết phương tr
ình ti
ế
p tuy
ế
n c
ủa đồ
th
ị
, bi
ế
t ti
ế
p tuy
ế
n c
ắ
t hai tr
ụ
c
Oxvà
Oy
l
ần lượ
t t
ạ
i
A,
Bphân bi
ệ
t th
ỏ
a mãn
OA2OBL
ờ
i gi
ả
i
G
ọ
i
;
2
1
1
a
M a
a
v
ớ
i
a 1là điể
m thu
ộc đồ
th
ị
Phương tr
ình ti
ế
p tuy
ế
n t
ạ
i
Mc
ủa đồ
th
ị
có d
ạ
ng
2
2
:
1 1
a a
d y y a x a x a
a a a
Ta có
2
2
;0
a a dOx A
;
2
2
2
1
1
0;
a
Oy
B
a
a
d
Do
ABnên
2
a
2
2
a
1
0
a
1
3
Theo gi
ả
thi
ế
t toán
2
2
2
2
2
1 0
2
2
1
2
2
1
2
3
1
1
6
2
a
a
a
a
a
a
a
OA
OB
a
a
1
26
a
1
6
●
V
ớ
i
a
1
6
Suy phương tr
ình ti
ế
p tuy
ế
n
2
y x
●
V
ớ
i
a
1
6
Suy phương tr
ình ti
ế
p tuy
ế
n
2
y x
V
ậ
y có hai ti
ế
p tuy
ế
n c
ầ
n tìm th
ỏ
a mãn u c
ầ
u tốn
1
2
2
y x
ho
ặ
c
2
y x
VD 57.
Cho hàm s
ố
1
x y
x
Vi
ết phương tr
ình ti
ế
p tuy
ế
n c
ủa đồ
th
ị
, bi
ế
t ti
ế
p tuy
ế
n c
ắ
t hai tr
ụ
c
OxOy
l
ần lượ
t t
ạ
i
A,
Bcho tam giác
OABcó di
ệ
n tích b
ằ
ng
23
và hồnh độ
ti
ếp điể
m nguyên
L
ờ
i gi
ả
i
G
ọ
i
;
2
1
a
M a
a
v
ớ
i
a1a
là điể
m thu
ộc đồ
th
ị
Phương tr
ình ti
ế
p tuy
ế
n t
ạ
i
Mc
ủa đồ
th
ị
có d
ạ
ng
2
2
:
1 1
a a
d y y a x a x a
a a a
Ta có
2
4
;0
a a
dOx A
;
2
0;
4
2
1
d
O
B
a
a
a
y
Do
ABnên
4
2
0
2
6
(149)Theo gi
ả
thi
ế
t toán
2
2
2
1
2
1
.
4
2
4
2
2
3
2
3
2
3
.
1
3
OAB
a
a
a
S
OA OB
a
a
2 20
2
4
2
2
1
4
2
4
1
3
13 loai
4
2
2
1
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
● Vớ
i
a0Suy phương tr
ình ti
ế
p tuy
ế
n
y
3
x
2
● Vớ
i
a 2Su
y phương tr
ình ti
ế
p tuy
ế
n
3
y x
V
ậ
y có hai ti
ế
p tuy
ế
n c
ầ
n tìm th
ỏ
a mãn u c
ầ
u tốn
y
3
x
2
ho
ặ
c
3
y x
VD 58.
Cho hàm s
ố
2 x y x
Tìm
điể
m
Mthu
ộc đồ
th
ị
có hoành độ
âm, bi
ế
t ti
ế
p tuy
ế
n c
ủa đồ
th
ị
t
ạ
i
Mc
ắ
t
hai đườ
ng th
ẳ
ng
d
1:
x
2
d
2:
y
1
l
ần lượ
t t
ạ
i
AB
cho
2
40
IA
IB
, v
ớ
i
I
2;1
L
ờ
i gi
ả
i
G
ọ
i
;
1
2
a
M a
a
v
ớ
i
a2a0
là điể
m thu
ộc đồ
th
ị
Phương tr
ình ti
ế
p tuy
ế
n t
ạ
i
Mc
ủa đồ
th
ị
có d
ạ
ng
2
1
:
2 2
a a
d y y a x a x a
a a a
Ta có
4
2;
2
a
d
d
A
a
;
dd2 B
2a2;1
Suy
6
0;
2
IA
a
,
IB
2
a
4;0
Theo gi
ả
thi
ế
t tốn, ta có
2
2
2 36
40 40
2
IA IB a
a
22
1
1
3
4
2
40
2
36
0
1
5
2
9
a
a
a
a
a
a
a
a
Do
a2a0
nên ta ch
ọ
n
a 1, suy
M
1;0
VD 59.
Cho hàm s
ố
2 x y x
Vi
ết phương tr
ình ti
ế
p tuy
ế
n c
ủa đồ
th
ị
, bi
ế
t ti
ế
p tuy
ế
n c
ắt hai đườ
ng
th
ẳ
ng
d
1:
x
2
d
2:
y
2
l
ần lượ
t t
ạ
i
AB
cho
AB
2
IB
, v
ớ
i
I
2; 2
L
ờ
i gi
ả
i
G
ọ
i
;
2
3
2
a
M a
a
v
ớ
i
a2là điể
m thu
ộc đồ
th
ị
Phương tr
ình ti
ế
p tuy
ế
n c
ủa đồ
t
ạ
i
Mth
ị
có d
ạ
ng
2
2 3
:
2 2
a a
d y y a x a x a
a a a
Ta có
2
2
2;
2
a
d
d
A
a
;
dd2 B
2a2; 2
Suy
2
0;
2
IA
a
,
IB
2
a
4;0
Nh
ậ
n xét Tam giác
IABvuông t
ạ
i
Inên
IA AB2IB2 2IB2IB2 IB (150)Chương 5: ĐẠO HÀM
● Vớ
i
a1suy phương tr
ình ti
ế
p tuy
ế
n
d y
:
x
2
● Vớ
i
a3suy phương tr
ình ti
ế
p tuy
ế
n
d y
:
x
6
V
ậ
y có hai ti
ế
p tuy
ế
n c
ầ
n tìm th
ỏ
a mãn u c
ầ
u toán
y
x
2
ho
ặ
c
y
x
6
VD 60.
Cho hàm s
ố
2
x y
x
Vi
ết phương tr
ình ti
ế
p tuy
ế
n t
ại điể
m
Mthu
ộc đồ
th
ị
, bi
ế
t ti
ế
p tuy
ế
n
c
ắt hai đườ
ng th
ẳ
ng
d
1:
x
2
d
2:
y
2
l
ần lượ
t t
ạ
i
AB
cho cơsin góc
ABI
b
ằ
ng
4
17
, v
ớ
i
I
2; 2
L
ờ
i gi
ả
i
G
ọ
i
;
2
3
2
a
M a
a
v
ớ
i
a2là điể
m thu
ộc đồ
th
ị
Phương tr
ình ti
ế
p tuy
ế
n t
ạ
i
Mc
ủa đồ
th
ị
có d
ạ
ng
2
2 3
2 2
a a
y y a x a x a
a a a
Ta có
12;
2
2
2
a
d
d
A
a
;
dd2 B
2a2; 2
Suy
2
0;
2
IA
a
,
IB
2
a
4;0
Nh
ậ
n xét Tam giác
IABvuông t
ạ
i
Inên
cos
4
17
ABI
suy
tanABI
42
0
1
16.
2
16
4
4
a
IA
IB
IA
a
a
IB
● Vớ
i
a0suy phương tr
ình ti
ế
p tuy
ế
n
4
y x
● Vớ
i
a4suy phương tr
ình ti
ế
p tuy
ế
n
4
y x
V
ậ
y có hai ti
ế
p tuy
ế
n c
ầ
n tìm th
ỏ
a mãn yêu c
ầ
u toán
4
y x
ho
ặ
c
4
y x
VD 61.
Cho hàm s
ố
1
x y
x
Vi
ết phương tr
ình ti
ế
p tuy
ế
n c
ủa đồ
th
ị
, bi
ế
t kho
ả
ng cách t
ừ
điể
m
1; 2
I
đế
n ti
ế
p tuy
ế
n b
ằ
ng
L
ờ
i gi
ả
i
G
ọ
i
;
2
1
1
a
M a
a
v
ớ
i
a2là điể
m thu
ộc đồ
th
ị
Phương tr
ình ti
ế
p tuy
ế
n t
ạ
i
Mc
ủa đồ
th
ị
có d
ạ
ng
2
2 1
:
1 1
a a
d y y a x a x a
a a a
hay
d x
:
a
1
2y
2
a
2
2
a
1
0
Kho
ả
ng cách t
ừ
điể
m
Iđế
n ti
ế
p tuy
ế
n
db
ằ
ng 2
40
2 2
2
2
1
1
a
a
a
a
● Vớ
i
a0su
y phương tr
ình ti
ế
p tuy
ế
n
x
y
1 0
hay
y
x
1
● Vớ
i
a2suy phương tr
ình ti
ế
p tuy
ế
n
x
y
5
0
hay
y
x
5
(151)
VD 62.
Cho hàm s
ố
1
x y
x
Vi
ết phương tr
ình ti
ế
p tuy
ế
n c
ủa đồ
th
ị
t
ại điể
m
Mcó hồnh độ
l
ớ
n
hơn
1, biế
t r
ằ
ng ti
ế
p tuy
ế
n c
ắ
t tr
ụ
c hoành, tr
ụ
c tung l
ần lượ
t t
ại hai điể
m phân bi
ệ
t
A,
Bcho 3
MA
2
MB
L
ờ
i gi
ả
i
G
ọ
i
;
2
4
1
a
M a
a
v
ớ
i
a1là điể
m thu
ộc đồ
th
ị
Phương tr
ình ti
ế
p tuy
ế
n t
ạ
i
Mc
ủa đồ
th
ị
có d
ạ
ng
2
2 2
:
1 1
a a
d y y a x a x a
a a a
Ta có
2
2
4 2;0
2
0;
1
d Ox A a a
a a d Oy B
a a
Suy
2
2
2
3 2;
1
;
1
a MA a a
a a MB a
a
Theo gi
ả
thi
ế
t toán
2
2
3 2
3 2 4 2
3
1 1
a a a
MA MB a a
a a
3
a
ho
ặ
c
a
(lo
ạ
i)
V
ớ
i
a3suy phương tr
ình ti
ế
p tuy
ế
n c
ầ
n tìm
12
y x
VD 63.
Cho hàm s
ố
y 2mx x m
, v
ớ
i
m
tham s
ố
th
ự
c Tìm
m
để
ti
ế
p tuy
ế
n t
ạ
i m
ột điể
m b
ấ
t k
ỳ
c
ủ
a
đồ
th
ị
hàm s
ố
c
ắ
t
hai đườ
ng th
ẳ
ng
d
1:
x
m
d
2:
y
2
m
l
ần lượ
t t
ạ
i
AB
cho di
ệ
n
tích tam giác
IABb
ằ
ng
42, v
ớ
i
I m
; 2m
L
ờ
i gi
ả
i
Gi
ả
s
ử
M a
;
2
ma
3
a
m
v
ớ
i
a
m
là điể
m thu
ộc đồ
th
ị Khi tiế
p tuy
ế
n t
ạ
i
Mc
ủa đồ
th
ị
có
d
ạ
ng
2
2
3
2
3
2
3
:
ma
m
ma
d y
y a
x a
x a
a m
a m
a m
Ta có
2
2
; m ma
d d A m
a m
;
dd2 B
2am m;
Theo gi
ả
thi
ế
t, ta có
42 42 84IAB
S IA IB IA IB
2
2
2
2 2 84 42
m ma
m a m m m
a m
(152)
Chương 5: ĐẠO HÀM
BÀI T
ẬP
C
Ơ BẢN NÂNG CAO CHỦ ĐỀ
5
Bài 59.
Xét s
ự
t
ồ
n t
ại đạ
o hàm c
ủ
a hàm s
ố
sau
:
a)
2
2
khi
2
1
khi
2
1
x
x
x
y
x
x
b)
khi
1
2
khi
1
x
x
x
y
x
x
Bài 60.
Tìm
a
,
bđể
hàm s
ố
sau có đạ
o hàm t
ạ
i
x1:
a)
2khi
1
khi
1
x
x
y
ax
b
x
b)
22
khi
2
1
khi
1
x
x
y
x
ax b
x
Bài 61.
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng hàm s
ố
y ax bcx d
có đạ
o hàm
2ad bc y cx d
Áp d
ụng tính đạ
o hàm c
ủ
a:
2 x y x
,
y x ,
x y x Bài 62.
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng hàm s
ố
2
ax
bx c
y
b x c
có đạ
o hàm
2
2
2
ab x
ac x bc
b c
y
b x c
Áp d
ụng tính đạ
o hàm c
ủ
a:
2
2
7
2
x
x
y
x
,
1
3
2
x
y
x
,
2
1
5
x
x
y
x
Bài 63.
Ch
ứ
ng minh hàm s
ố
2
ax
bx c
y
a x
b x
c
có đạ
o hàm
2
2
2
a
b
a
c
b
c
x
x
a
b
a
c
b
c
y
a x
b x
c
Áp d
ụng tính đạ
o hàm c
ủ
a:
2
2
1
3
3
x
x
y
x
x
,
23
6
1
3
2
x
x
y
x
x
,
22
5
6
5
x
x
y
x
Bài 64.
Tính đạ
o hàm c
ủ
a hàm s
ố
sau:
a)
3
5
3
2
x
x
y
x
b)
42 53 647
y
x x x x
c)
2
3
6
7
4
x
x
y
x
d)
y
2
3
x
x
1
x
e)
1
1
x
y
x
f)
27
5
3
x
x
y
x
x
g)
y
x
7
x
2h)
y
x
x
2
32i)
2
2
2
1
x
x
y
x
j)
251 x y x x
k)
51
1
y
x
x
l)
1
x
y
x
Bài 65.
Tính đạ
o hàm c
ủ
a hàm s
ố
sau:
a)
y xsinx cosxx
b)
3cos2 x y x
c)
2 cos
sin
x
x
y
x
d)
cos sin (153)g)
y
sin
x
2
3
x
2
h)
ycos 2x1i)
y
2sin cos 5
x
x
j)
y cos 2xk)
y tanx 21x
l)
cot
1
y
x
m)
y
tan
3x
cot 2
x
n)
y tan xo)
sinsin
x x y
x x
p)
2
sin
1 tan 2
x
y
x
q)
ytan sin
x
r)
2
2
cos
2 sin
y
x
x
x
x
s)
cos
22
4
y
x
t)
yx sin 3xu)
y
tan
2x
tan
x
2Bài 66.
Tính
đạ
o hàm c
ủ
a hàm s
ố
sau:
a)
y
x
2
4
x
1
5b)
2
2
3
1
2
3
x
x
y
x
c)
2
6
1
1
x
x
y
x
x
d)
2
3
2
1
x
x
y
x
e)
1
1
x
y
x
f)
2
1 2
x
y
x
g)
2
1
1
x
x
y
x
x
h)
1
x
y
x
i)
y
x
1
x
2
x
1
Bài 67.
Tính đạ
o hàm c
ủ
a hàm s
ố
sau:
a)
y
sin
1
x
2
b)
ysin2
cos 3x
c)
y
cos
x
1 sin
2x
d)
y
cos cos cos
x
e)
cos
21
1
x
y
x
f)
2
sin
tan
1 cot
1 tan
x
x
y
x
x
g)
sin cos
x y
x x
h)
2
sin
cos
x
y
x
i)
y
1 cos
2x
Bài 68.
Cho hàm s
ố
y
x
2
2
x
24
Gi
ả
i b
ất phương tr
ình
2f
x f x
Bài 69.
Gi
ải phương tr
ình
y
0
m
ỗi trườ
ng h
ợ
p sau:
a)
1sin sin2
y x x
b)
y
sin 2
x
2 cos
x
c)
y
3sin 2
x
4 cos 2
x
10
x
d)
y
tan
x
cot
x
e)
y2xcosx sinxBài 70.
Gi
ả
i b
ất phương tr
ình
f
x g x
, bi
ế
t r
ằ
ng:
a)
f x
x
3
x
2
và
g x
3
x
2
x
2
b)
f x
2
x
3
x
2
3
2
3
2
x
g x
x
Bài 71.
Cho hàm s
ố
y
x
2
x
2
12
Gi
ả
i b
ất phương tr
ình
f
x 0.
(TN THPT 2010)
Bài 72.
Tính đạo hàm đế
n c
ấ
p
đượ
c kèm theo c
ủ
a hàm s
ố
sau (n N*):
(154)Chương 5: ĐẠO HÀM
d)
, 2
n
y y
x
e)
1 ,
2
n
y y
x
f)
2
2
cos , n
y x y
Bài 73.
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng hàm s
ố
:
a)
y
x
sin
x
th
ỏ
a h
ệ
th
ứ
c
xy2
ysinx
xy0b)
y
2
x
x
2th
ỏ
a h
ệ
th
ứ
c
1 0
y y
c)
3
1
y
x
x
th
ỏa hệ thức
1
x
2
y
xy
9
y
0
d)
yx
th
ỏa hệ thức
xy
y
3
e)
4
x y
x
th
ỏa hệ thức
2
2
y
y
1
y
Bài 74.
Vi
ết phương tr
ình ti
ế
p tuy
ế
n c
ủ
a:
a)
1
x y
x
t
ại điểm
A
2;3
b)
y
x
3
4
x
2
1
t
ại điểm có hồnh độ
x
0
1
c)
y
4
x
2
4
x
4
t
ại điểm có tung độ
y
0
1
d)
y 2x1t
ại điểm có hoành độ
x
0
4
e)
2
2
15
3
x
x
y
x
bi
ết
h
ệ số góc tiếp tuyến
3f)
y
x
4
2
x
2
1
bi
ết hệ số góc tiếp tuyến
24g)
y
x
3
3
x
2
2
bi
ết tiếp tuyến
d
D x
:
3
y
15
0
h)
y
x
3
x
3
t
ại điểm có hồnh độ
x
0
1
i)
1x y
x
t
ại điểm có hoành độ
x
0
2
Bài 75.
Cho
:
1
x C y f x
x
L
ập phương tr
ình ti
ế
p tuy
ế
n c
ủ
a
đồ
th
ị
C:
a) T
ại điểm có hồnh độ
b
ằ
ng
2b) T
ại điểm có tung độ
b
ằ
ng
52
c)
d
//
D y
:
–
x
25
d)
d
: –
x
y
2018
Bài 76.
G
ọ
i
Clà đồ
th
ị
hàm s
ố
y
x
4
2
x
2
1
Vi
ế
t ph
ương tr
ình ti
ế
p tuy
ế
n c
ủ
a
Cm
ỗ
i
trườ
ng h
ợ
p sau:
a) Bi
ế
t r
ằ
ng ti
ế
p tuy
ế
n song song v
ới đườ
ng th
ẳ
ng
d y
:
–3
x
1
b) Bi
ế
t r
ằ
ng ti
ế
p tuy
ế
n vng góc v
ới đườ
ng th
ẳ
ng
: – 7
x
y
2018
c) Bi
ế
t r
ằ
ng ti
ế
p tuy
ến qua điể
m
A
0; 2
Bài 77.
G
ọ
i
Clà đồ
th
ị
hàm s
ố
y
x
3
5
x
2
2
Vi
ết phương tr
ình ti
ế
p tuy
ế
n c
ủ
a
Cm
ỗ
i
trườ
ng h
ợ
p sau:
a) Bi
ết tung độ
c
ủ
a ti
ếp điể
m b
ằ
ng
2b) Bi
ế
t r
ằ
ng ti
ế
p tuy
ế
n song song v
ớ
i tr
ụ
c hoành
(155)Bài 78.
Cho hàm s
ố
y
x
3Vi
ế
t ti
ế
p tuy
ế
n c
ủa đồ
th
ị
hàm s
ố
đ
ã cho
a) Bi
ế
t ti
ếp điể
m
M
1;1b) Bi
ết hoành độ
ti
ếp điể
m
2c) Bi
ết tung độ
ti
ếp điể
m
5Bài 79.
Cho hàm s
ố
1
x y
x
Vi
ế
t PTTT c
ủa đồ
th
ị
hàm s
ố
bi
ế
t:
a) Ti
ếp điể
m
Mcó tung độ
b
ằ
ng
4b) Ti
ếp điể
m
M giao của đồ
th
ị
hàm s
ố
v
ớ
i tr
ụ
c hoành
c) Ti
ếp điể
m
Mlà giao điể
m c
ủa đồ
th
ị
hàm s
ố
v
ớ
i tr
ụ
c tung
Bài 80.
Cho hàm s
ố
3
1
y
x
x
a) Vi
ết phương tr
ình ti
ế
p tuy
ế
n c
ủa đồ
th
ị
hàm s
ố
t
ại điểm có hồnh độ
x
0
1.
b) CMR: ti
ế
p tuy
ế
n c
ủa đồ
th
ị
hàm s
ố
ti
ế
p tuy
ế
n
ở
câu a có h
ệ
s
ố
góc nh
ỏ
nh
ấ
t
Bài 81.
Cho hàm s
ố
1
y
x
x
x
a) Vi
ế
t PTT t
ạ
i
M
thu
ộc đồ
th
ị
hàm s
ố
bi
ết trung độ
điể
m
M bằ
ng
1.b) CMR đồ
th
ị
hàm s
ố
không t
ồ
n t
ạ
i nh
ữ
ng c
ặp điể
m mà ti
ế
p tuy
ế
n t
ạ
i
2điểm vng
góc v
ớ
i
Bài 82.
Cho hàm s
ố
y
x
Tìm
điể
m
Mtrên đồ
th
ị
hàm s
ố
(
M g
ố
c t
ọa độ
) cho ti
ế
p tuy
ế
n
t
ạ
i
Mt
ạ
o v
ớ
i tr
ụ
c t
ọa độ
m
ộ
t tam giác có di
ệ
n tích b
ằ
ng
6Bài 83.
Cho hàm s
ố
1
x y
x
Tìm
Mtrên đồ
th
ị
hàm s
ố
cho ti
ế
p tuy
ế
n t
ạ
i
Mt
ạ
o v
ớ
i tr
ụ
c t
ọ
a
độ
m
ộ
t tam giác có di
ệ
n tích b
ằ
ng
1Bài 84.
Cho hàm s
ố
1
2
y
x
2
2
x
y
G
ọ
i
Mlà giao điể
m c
ủa hai đồ
th
ị
hàm s
ố
Vi
ế
t pttt
c
ủ
a m
ỗi đồ
th
ị
hàm s
ố
đ
ã cho t
ại điể
m
MTính góc góc gi
ữ
a hai ti
ế
p tuy
ế
n tìm
đượ
c
Bài 85.
Cho hàm s
ố
yx33mx2
m1
x1Tìm
m
để
ti
ế
p tuy
ế
n c
ủa đồ
th
ị
hàm s
ố
t
ại điể
m có
hồnh độ
x
0
1
đi qua
A
1; 2
Bài 86.
Cho hàm s
ố
1;1
x y
x
I
1;
Tìm
điể
m
Mthu
ộc đồ
th
ị
hàm s
ố
cho ti
ế
p tuy
ế
n
dc
ủa đồ
th
ị
hàm s
ố
t
ạ
i
Mvuông góc v
ới đườ
ng th
ẳ
ng
IM.Bài 87.
Cho hàm s
ố
3;1
x y
x
I
1;1
Tìm
điể
m
Mthu
ộc đồ
th
ị
hàm s
ố
cho ti
ế
p tuy
ế
n
dc
ủ
a
đồ
th
ị
hàm s
ố
t
ạ
i
Mt
ạ
o v
ới đườ
ng th
ẳ
ng
IMm
ộ
t góc
mà
cos
Bài 88.
Cho hàm s
ố
2
1.
y
x
x
V
ớ
i
Mlà điể
m thu
ộc đồ
th
ị
hàm s
ố
có hồnh độ
b
ằ
ng
2
,
2
vi
ết phương tr
ình ti
ế
p tuy
ế
n
dc
ủa đồ
th
ị
hàm s
ố
t
ạ
i
Mvà tìm hồnh
độ
các giao điể
m c
ủ
a
d
v
ới đồ
th
ị
hàm s
ố
đ
ã cho
Bài 89.
Cho hàm s
ố
2
x y
x
(156)Chương 5: ĐẠO HÀM
Bài 90.
Cho hàm s
ố
1
x y
x
Tìm hồnh
độ
điể
m
Mthu
ộc đồ
th
ị
hàm s
ố
bi
ế
t ti
ế
p tuy
ế
n t
ạ
i
Mt
ạ
o
v
ới hai đườ
ng th
ẳ
ng
d d
1;
2l
ần lượt có phương tr
ình
x 1 0y
2
0
m
ộ
t tam giác vuông
cân
Bài 91.
Cho hàm s
ố
2
x y
x
Đườ
ng th
ẳ
ng
d
1:
x
2
Đườ
ng th
ẳ
ng
d
2:
y
2
I
là giao điể
m c
ủ
a
1&
d
d
G
ọi đườ
ng th
ẳ
ng
dti
ế
p tuy
ế
n c
ủa đồ
th
ị
hàm s
ố
t
ại điể
m
Mtùy ý
Agiao
&
d
d
,
Blà giao điể
m c
ủ
a
d
&
d
2Vi
ế
t pttt
dbi
ết độ
dài
AB nhỏ
nh
ấ
t
Bài 92.
Cho hàm s
ố
2
x y
x
Đườ
ng th
ẳ
ng
d
1:
x
2
Đườ
ng th
ẳ
ng
d
2:
y
2
I
là giao điể
m c
ủ
a
1&
d
d
G
ọi đườ
ng th
ẳ
ng
dti
ế
p tuy
ế
n c
ủa đồ
th
ị
hàm s
ố
t
ại điể
m
Mtùy ý
Agiao
&
d
d
,
Blà giao điể
m c
ủ
a
d
&
d
2a) CMR:
Mlà trung điể
m c
ủa đoạ
n th
ẳ
ng
AB.b) Tìm
Mđể
d I d
;
đạ
t giá tr
ị
l
ớ
n nh
ấ
t
Bài 93.
Cho hàm s
ố
y
4
x
3
6
x
2
1.
Vi
ết phương tr
ình ti
ế
p tuy
ế
n v
ới đồ
th
ị
hàm s
ố
bi
ế
t
Bài 94.
Cho hàm s
ố
2
x y
x
Vi
ết phương tr
ình ti
ế
p tuy
ế
n v
ới đồ
th
ị
hàm s
ố
bi
ế
t ti
ế
p tuy
ến qua
điể
m
1;
1
.
2
I
Bài 95.
Cho hàm s
ố
2
1
.
1
x
x
y
x
Ch
ứ
ng minh r
ằng qua điể
m
A
1; 1
có th
ể
k
ẻ
đượ
c hai ti
ế
p tuy
ế
n
v
ới đồ
th
ị
hàm s
ố
hai ti
ế
p tuy
ế
n vng góc v
ớ
i
Bài 96.
Cho hàm s
ố
1
x y
x
Hãy tìm
m
để
t
ừ
điể
m
A
0;m
k
ẻ
đượ
c hai trình ti
ế
p tuy
ế
n v
ới đồ
th
ị
hàm s
ố
hai ti
ếp điể
m n
ằ
m v
ề
hai phía c
ủ
a tr
ụ
c hoành
Bài 97.
Cho hàm s
ố
25
x y
x
Hãy tìm
m
để
t
ừ
điể
m
A m
; 0
a) K
ẻ
đượ
c hai ti
ế
p tuy
ế
n v
ới đồ
th
ị
hàm s
ố
tích hai h
ệ
s
ố
góc c
ủ
a hai ti
ế
p tuy
ế
n
144b) K
ẻ
đượ
c hai ti
ế
p tuy
ế
n v
ới đồ
th
ị
hàm s
ố
hai ti
ếp điể
m n
ằ
m v
ề
hai phía c
ủ
a tr
ụ
c tung
c) K
ẻ
đượ
c hai ti
ế
p tuy
ế
n v
ới đồ
th
ị
hàm s
ố
hai ti
ếp điể
m n
ằ
m v
ề
hai phía c
ủa đườ
ng th
ẳ
ng
1.
y
Bài 98.
Cho hàm s
ố
2
3
y x x x
Vi
ết phương tr
ình ti
ế
p tuy
ế
n v
ới đồ
th
ị
hàm s
ố
bi
ế
t ti
ế
p
tuy
ế
n song song v
ới đườ
ng th
ẳ
ng
d
: 4
x
y
2
0.
Bài 99.
Cho hàm s
ố
1
x y
x
(157)Bài 100.
Cho hàm s
ố
2x y
x
Vi
ết phương tr
ình ti
ế
p tuy
ế
n
dv
ới đồ
th
ị
hàm s
ố
bi
ế
t
dt
ạ
o v
ớ
i tr
ụ
c
hồnh m
ộ
t góc
mà
cos
1
.
17
Bài 101.
Cho hàm s
ố
32
yx x
Vi
ết phương tr
ình ti
ế
p tuy
ế
n
dv
ới đồ
th
ị
hàm s
ố
bi
ế
t
dt
ạ
o v
ớ
i
đườ
ng th
ẳ
ng
:
y
x
7
m
ộ
t góc
mà
cos
1
.
26
Bài 102.
Cho hàm s
ố
2
3 ;
yx x C
đườ
ng th
ẳ
ng
d y
:
3
x
1.
Tìm
điể
m
Mtrên đồ
th
ị
Cbi
ế
t ti
ế
p
tuy
ế
n v
ới đồ
th
ị
hàm s
ố
t
ạ
i
Mcó h
ệ
s
ố
góc âm t
ạ
o v
ớ
i
dm
ộ
t góc
45
oBài 103.
Cho hàm s
ố
3
yx x C
Tìm hai
điể
m
A
,
Btrên đồ
th
ị
hàm s
ố
cho ti
ế
p tuy
ế
n c
ủ
a
đồ
th
ị
Ct
ạ
i
A
,
Bsong song v
ớ
i
AB
4 2.
Bài 104.
Cho hàm s
ố
1
x
y C
x
Tìm
điể
m
Mtrên đồ
th
ị
Cbi
ế
t ti
ế
p tuy
ế
n v
ới đồ
th
ị
hàm s
ố
t
ạ
i
M
c
ắ
t tr
ụ
c
o x, oyl
ần lượ
t t
ạ
i
A
,
Bcho
AB 82 OBBài 105.
Cho hàm s
ố
1
1
x
y H
x
Vi
ết phương tr
ình ti
ế
p tuy
ế
n v
ới đồ
th
ị
hàm s
ố
bi
ế
t r
ằ
ng ti
ếp điể
m
c
ủ
a ti
ế
p tuy
ến vớ
i
Hcách điể
m
A
0;1
m
ộ
t kho
ả
ng b
ằ
ng
2.Bài 106.
Cho hàm s
ố
2 1,
y x m x m
m
tham s
ố
.Tìm
m
để
đồ
th
ị
c
ủ
a hàm s
ố
đ
ã cho ti
ế
p
xúc v
ới đườ
ng th
ẳ
ng
y
2
mx m
1.
Bài 107.
Cho hàm s
ố
yx36x29x
1Vi
ết phương tr
ình ti
ế
p tuy
ế
n v
ới đồ
th
ị
hàm s
ố
1bi
ế
t ti
ế
p
tuy
ế
n t
ạ
o v
ới đườ
ng th
ẳ
ng
:xy 1 0m
ộ
t góc
cho
cos
4
41
và ti
ếp điể
m có
t
ọa độ
nguyên
Bài 108.
Cho hàm s
ố
2
1
x
y C
x
Vi
ết phương tr
ình ti
ế
p tuy
ế
n
dc
ủa đồ
th
ị
hàm s
ố
Cbi
ế
t ti
ế
p
tuy
ế
n t
ạ
o v
ớ
i
d
1:
x
1,
d
2:
y
1
m
ột tam giác có bán kính đườ
ng trịn n
ộ
i ti
ế
p l
ớ
n nh
ấ
t
Bài 109.
Cho hàm s
ố
3
y x x C
Tìm
đườ
ng th
ẳ
ng
y
3
các điể
m mà t
ừ
đó kẻ
đượ
c ba
ti
ế
p tuy
ế
n phân bi
ệt đến đồ
th
ị
CBài 110.
Cho hàm s
ố
1
1
x
y C
x
G
ọ
i
dti
ế
p tuy
ế
n c
ủa đồ
th
ị
hàm s
ố
Ct
ại điể
m
I
0;1
.Tìm
điể
m
M
Ccó hồnh độ
l
ớn
1 cho khoả
ng cách t
ừ
Mđế
n
dnh
ỏ
nh
ấ
t
Bài 111.
Cho hàm s
ố
2
x
y C
x
Vi
ết phương tr
ình ti
ế
p tuy
ế
n
dc
ủa đồ
th
ị
hàm s
ố
Cbi
ế
t
dc
ắ
t
tr
ụ
c hoành ,tr
ụ
c tung l
ần lượ
t t
ạ
i
A
,
Bcho
OABcân t
ạ
i
O.Bài 112.
Cho hàm s
ố
1
1
x y C
x
Tìm
m
để
đườ
ng th
ẳ
ng
ymxmc
ắ
t
Ct
ại hai điể
m phân bi
ệ
t
,
(158)Chương 5: ĐẠO HÀM
Bài 113.
Cho hàm s
ố
3
1.
y
x
x
Đườ
ng th
ẳ
ng
đi qua điể
m
A
1;3
có h
ệ
s
ố
góc
k.Tìm giá
tr
ị
c
ủ
a
kđể
c
ắ
t
Ct
ại ba điể
m phân bi
ệ
t
A
,
D
,
E.G
ọ
i
d
1,
d
2l
ần lượ
t ti
ế
p tuy
ế
n c
ủ
a
Ct
ạ
i
D
,
E.Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng kho
ả
ng cách t
ừ
Ađế
n
d
1,
d
2b
ằ
ng
Bài 114.
Cho hàm s
ố
2
yx x C
Tìm
điể
m
M
Cđể
qua kẻ
đượ
c ba ti
ế
p tuy
ến đế
n
CBài 115.
Cho
hàm s
ố
3
1
x
y C
x
Tìm
điể
m
M
Ccó hai t
ọa độ
s
ố
h
ữ
u t
ỉ
cho ti
ế
p tuy
ế
n
d
c
ủa đồ
th
ị
hàm s
ố
Ct
ạ
i
Mc
ắ
t tr
ụ
c hoành ,tr
ụ
c tung l
ần lượ
t t
ạ
i
A
,
Bcho
OABS
Bài 116.
Cho hàm s
ố
2
x
y C
x
Vi
ết phương tr
ình ti
ế
p tuy
ế
n v
ới đồ
th
ị
hàm s
ố
Cbi
ế
t ti
ế
p tuy
ế
n
đi qua điể
m
A
1;10
Bài 117.
Cho hàm s
ố
yx44x310x212x6
CVi
ết phương tr
ình ti
ế
p tuy
ế
n v
ới đồ
th
ị
hàm s
ố
Cbi
ế
t ti
ế
p tuy
ế
n vng góc v
ới đườ
ng th
ẳ
ng
12x y
Bài 118.
Cho
hàm s
ố
1
x
y C
x
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng m
ọ
i ti
ế
p tuy
ế
n c
ủa đồ
th
ị
hàm s
ố
t
ại điể
m
M
Cđề
u t
ạ
o v
ới hai đườ
ng th
ẳ
ng
d
1:
x
1
d
2:
y
1
m
ộ
t tam giác có di
ện tích khơng đổ
i
Bài 119.
Cho hàm s
ố
yx48x21
CVi
ết phương tr
ình tiêp tuy
ế
n c
ủa đồ
th
ị
Cbi
ế
t ti
ế
p tuy
ế
n t
ạ
o
v
ới đườ
ng th
ẳ
ng
: 47
x
43
y
90
0
m
ộ
t góc
45 t
oạ
o v
ớ
i tia
ox m
ộ
t góc tù
Bài 120.
Cho hàm s
ố
yx3mx22 1
và đườ
ng th
ẳ
ng
d y
:
2
mx
m
1,
trong
m
tham
s
ố
.Tìm
m
để
dc
ắt đồ
th
ị
hàm s
ố
1t
ại ba điể
m phân bi
ệ
t
I
1;1m
,A
,
Bsao cho ti
ế
p tuy
ế
n
t
ạ
i
AB
có h
ệ
s
ố
góc
Bài 121.
Tìm tr
ụ
c hịanh
điể
m mà t
ừ
đó có thể
k
ẻ
đượ
c ba ti
ế
p tuy
ến đến đồ
th
ị
hàm s
ố
3
3
y x x C
Bài 122.
Cho hàm s
ố
1
2
x
y C
x
và điể
m
9
;
2
P
Tìm
Cc
ặp điể
m
A
,
Bsao cho ti
ế
p tuy
ế
n
c
ủ
a
Ct
ạ
i
A
,
Bsong song v
ớ
i
PABcân t
ạ
i
PBài 123.
Cho hàm s
ố
3
yx x m xm
Đườ
ng th
ẳ
ng
dđi qua điể
m
I
1; 2
có h
ệ
s
ố
góc
b
ằ
ng
m
c
ắt đồ
th
ị
hàm s
ố
1t
ại ba điể
m phân bi
ệ
t
A
,
B
,
I.Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng ti
ế
p tuy
ế
n
c
ủa đồ
th
ị
hàm s
ố
1t
ạ
i
AB
song song v
ớ
i
Bài 124.
Cho hàm s
ố
1
x y
x
Tìm nh
ững điểm đồ
th
ị
hàm s
ố
mà ti
ế
p tuy
ế
n t
ại tạ
o v
ớ
i hai
đườ
ng th
ẳ
ng
d
1:
x
1,
d
2:
y
1
m
ộ
t tam giác có chu vi b
ằ
ng 2.
Bài 125.
Cho hàm s
ố
yx42mx2m
1 ,m
là tham s
ố
.Bi
ế
t
Alà đ
i
ể
m thu
ộc đồ
th
ị
hàm s
ố
1và có
hồnh
độ
b
ằ
ng
1.Tìm
m
để
kho
ả
ng cách t
ừ
3
;1
4
B
(159)Bài 126.
Cho hàm s
ố
6
yx x C
.Tìm
m
để
đồ
th
ị
c
ủ
a hàm s
ố
đ
ã cho ti
ế
p xúc v
ới đườ
ng
th
ẳ
ng
ymx mBài 127.
Cho hàm s
ố
1
x
y C
x
Tìm
m
để
đồ
th
ị
hàm s
ố
ti
ế
p xúc v
ới đườ
ng th
ẳ
ng
y
mx
5.
Bài 128.
Hàm s
ố
2
1
.
2
x
x
y
x
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng m
ọ
i ti
ế
p tuy
ế
n c
ủa đồ
th
ị
hàm s
ố
đều không qua
điể
m
A
2;3
Bài 129.
Cho hàm s
ố
1
4
1
3 m
y x m x m x C
Tìm
m
để
trên đồ
th
ị
Cm
t
ồ
n t
ạ
i
nh
ất điể
m
Acó hồnh độ
âm mà ti
ế
p tuy
ế
n c
ủ
a
Cm
t
ạ
i
Avng góc v
ới đườ
ng th
ẳ
ng
2
3
0.
x
y
Bài 130.
Cho hàm s
ố
1
2
x
y C
x
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng v
ớ
i m
ọ
i
m
đườ
ng th
ẳ
ng
d y
:
x
m
c
ắ
t
đồ
th
ị
Ct
ại hai điể
m phân bi
ệ
t
AB.
Khi gọ
i
k
1,
k
2l
ần lượ
t h
ệ
s
ố
góc c
ủ
a ti
ế
p tuy
ế
n
v
ới đồ
th
ị
Ct
ạ
i
AB
,
tìm
m
để
t
ổ
ng
k
1
k
2đạ
t giá tr
ị
l
ớ
n nh
ấ
t
Bài 131.
Cho hàm s
ố
3
yx x C
V
ớ
i
x
1,
x
2hai nghi
ệ
m c
ủa phương tr
ình
y x
0.G
ọ
i
A x y x
1;
1
, B x y x
2;
2
.Tìm
đồ
th
ị
Cđiể
m
Mcho ti
ế
p tuy
ế
n v
ớ
i
Ct
ạ
i
M
cách hai điể
m
AB.
Bài 132.
Cho hàm s
ố
2 m
yx m x m x C
Tìm
m
để
đồ
th
ị
hàm s
ố
ti
ế
p xúc v
ớ
i tr
ụ
c
hoành
Bài 133.
Cho hàm s
ố
yx33mx2
m1
x1
Cm
.Ch
ứ
ng minh r
ằng đồ
th
ị
hàm s
ố
Cm
luôn
t
ồ
n t
ại hai điể
m mà ti
ế
p tuy
ế
n t
ại vng góc với đườ
ng th
ẳ
ng
x
9
y
0.
Tìm
m
để
đườ
ng
th
ẳ
ng n
ối hai điểm qua điể
m
I
0;
Bài 134.
Cho hàm s
ố
6
1
13
y x m x m x
có đồ
th
ị
Cm
.Tìm
m
để
Cm
có hai
điể
m
M x y
1; 1
và
N x y
2; 2
sao cho ti
ế
p tuy
ế
n t
ạ
i m
ỗi điểm vng góc với đườ
ng th
ẳ
ng
3
6
0
x
y
x
1
x
2
2 3.
Bài 135.
Cho hàm s
ố
yx33x2m x1
1và đườ
ng th
ẳ
ng
d y
:
1.
Tìm
m
để
hai đồ
th
ị
hàm s
ố
c
ắ
t t
ại ba điể
m phân bi
ệ
t
C
0;1 ,
D
,
Echo ti
ế
p tuy
ế
n c
ủa đồ
th
ị
hàm s
ố
1t
ạ
i
Dvà
Evng góc v
ớ
i
Bài 136.
Cho hàm s
ố
yx33m x2 1
v
ớ
i
m
là tham s
ố
.Tìm
m
để
đồ
th
ị
hàm s
ố
1có ti
ế
p tuy
ế
n
t
ạ
o v
ới đườ
ng th
ẳ
ng
d x
:
y
7
0
m
ộ
t góc
mà
cos
1
.
26
(160)
Chương 5: ĐẠO HÀM
a)
2
4
1
x
x
y
x
, v
ớ
i
A
1; – 4
b)
4
2
y
x
x
, v
ớ
i
A
0; – 1
c)
y
x
3
3
x
1
, v
ớ
i
A
1; –6
d)
2
4
4
1
x
x
y
x
, v
ớ
i
A
–1; 0
Bài 138.
Cho hàm s
ố
:
3
3
2
3
2
mx
mx
y
f x
m x
Tìm
m
để
:
a)
f
x 0, x b)
f
xcó hai nghi
ệ
m phân bi
ệ
t d
ấ
u
c) Ch
ứ
ng minh r
ằng trườ
ng h
ợ
p
f
xcó hai nghi
ệ
m (hai nghi
ệ
m có th
ể
trùng nhau)
các nghi
ệ
m th
ỏ
a mãn m
ộ
t h
ệ
th
ức độ
c l
ậ
p v
ớ
i
m
Bài 139.
Tìm
m
để
:
a)
y
mx
–
x
3có
y
0,
x
b)
4
3
y x mx x
có
y
0,
x
c)
y
x
3– 3
mx
2
4
mx
có
y
0,
x
d)
yx3– 2
m1
x2
2m5
x2có
y
0,
x
e)
–1 2–3
y x x mx
có
y
0,
x
f)
3– 2–3
y x mx mx
có
y 0, x
0;
Bài 140.
V
ớ
i m
ỗ
i hàm s
ố
sau đây:
①
Tìm TX
Đ
②
Tính
y
③
Xét d
ấ
u
y
, ch
ỉ
y
0
,
y
0
kho
ả
ng, kho
ả
ng nào:
a)
y
–
x
3
3
x
1
b)
– –3
y x x x
c)
2x y
x
d)
2
2
1
x
x
y
x
e)
2
2
2
1
x
x
y
x
f)
1
2
y
x
g)
–
4
y
x
x
h)
4
1
y
x
x
i)
–1
y x x
j)
y
4 –
x
x
2k)
33
y x x x
l)
y
x
4
2
x
2
3
m)
y
x
3
x
2
5
n)
y
4
x
2o)
2
2
1
x
x
y
x
p)
2
7
12
2
3
x
x
y
x
x
q)
2
3
y
x
x
r)
20
y
x
x
s)
2
8
9
5
x
x
y
x
t)
1
y x
x
u)
2
2
3
(161)BÀI T
ẬP TRẮC NGHIỆM
CH
Ủ ĐỀ 5
BÀI ĐỊNH NGHĨA VÀ Ý NGHĨA CỦA ĐẠ
O HÀM
Câu 1.
[1D5-1]
Cho hàm s
ố
f x
liên t
ục
x
0Đạo h
àm c
ủa
f x
t
ại
x
0A
f x
0B
f x
h
f x
0h
C
00 lim
h
f x h f x h
(n
ế
u t
ồ
n t
ạ
i gi
ớ
i h
ạ
n)
D
00
(
)
(
)
lim
h
f x
h
f x
h
h
(n
ế
u t
ồ
n t
ạ
i gi
ớ
i h
ạ
n)
Câu 2.
[1D5-1]
Cho hàm s
ố
1
3– 3
7
2
3
y
x
x
x
Phương tr
ình ti
ếp tuyến
A
0; 2
A
y
7
x
2
B
y
7
x
2
C
y
7
x
2
D
y
7
x
2
Câu 3.
[1D5-1]
Cho hàm s
ố
y f x
xác định tr
ên kho
ảng
a b;
x0
a b;
M
ệnh đề n
ào sau
đây đúng?
A
N
ế
u t
ồ
n t
ạ
i gi
ớ
i h
ạ
n (h
ữ
u h
ạ
n)
0
0
lim
x x
f x
f x
x
x
gi
ớ
i h
ạn gọi đạ
o hàm c
ủ
a hàm
s
ố
y f x
t
ạ
i
x
0B
N
ế
u t
ồ
n t
ạ
i gi
ớ
i h
ạ
n (h
ữ
u h
ạ
n)
0
0
lim
x x
f x
f x
x
x
gi
ớ
i h
ạn gọi đạ
o hàm c
ủ
a hàm
s
ố
y f x
t
ạ
i
x
0C
N
ế
u t
ồ
n t
ạ
i gi
ớ
i h
ạ
n (h
ữ
u h
ạ
n)
0
0
lim
x x
f x
f x
x
x
gi
ớ
i h
ạn gọi đạ
o hàm c
ủ
a hàm
s
ố
y f x
t
ạ
i
x
0D
N
ế
u t
ồ
n t
ạ
i gi
ớ
i h
ạ
n (h
ữ
u h
ạ
n)
0
0
lim
x x
f x
f x
x
x
gi
ớ
i h
ạn gọi đạ
o hàm c
ủ
a hàm
s
ố
y f x
t
ạ
i
x
0Câu 4.
[1D5-1]
S
ố gia h
àm s
ố
1
f x x
t
ại điểm
x
0
1
ứng với
x
0,1
A
1,19
B
0, 01
C
0,19
D
0, 21
Câu 5.
[1D5-1]
Cho hàm s
ố
y
2
x
5
Tìm bi
ểu thức
y
y
x
tính theo
x
x
A
y x, yx
B
10
10 , y
y x
x x
C
y x 10 , y 10x x
D
,y y x
x
Câu 6.
[1D5-1]
Tính gi
ới hạ
n
sin lim x
x x
(162)
Chương 5: ĐẠO HÀM
Câu 7.
[1D5-1]
G
ọi
dti
ếp tuyến với đồ thị h
àm s
ố
: 21C y x
song song v
ới trục ho
ành Tìm
hồnh độ tiếp điểm
x
0c
ủa
d
CA
x
0
1
B
x
0
2
C
x
0
1
D
x
0
0
Câu 8.
[1D5-1]
Vi
ết phương tr
ình ti
ếp tuyến đồ thị h
àm s
ố
f x
x32x22t
ại điểm có ho
ành
độ
x
0
2
A
y
20
x
22
B
y
4
x
10
C
y
10
x
11
D
y
20
x
58
Câu 9.
[1D5-1]
Ti
ếp tuyến đồ thị h
àm s
ố
2
3
1
2
1
x
x
y
x
t
ại điểm
M
0; 1
có phương tr
ình
A
y
x
1
B
y
5
x
1
C
y
x
1
D
y
5
x
1
Câu 10.
[1D5-1]
Trong m
ệnh đề sau đây, mệnh đề n
ào sai:
A
N
ế
u hàm s
ố
f x
liên t
ục điểm
x
0f x
có đạo h
àm t
ại
x
0B
N
ếu tiếp tuyến điể
m
M0
x0;f x
0
c
ủa đồ thị h
àm s
ố
y f x
song song v
ớ
i tr
ụ
c
hoành
f
x0 0C
N
ế
u
f
x0 0t
ồ
n t
ạ
i ti
ế
p tuy
ế
n t
ạ
i
điểm
M0
x0; f x
0
c
ủa đồ thị h
àm s
ố
y f x
song song ho
ặ
c trùng v
ớ
i tr
ụ
c hoành
D
N
ế
u hàm s
ố
f x
có đạo h
àm t
ại điểm
x
0và đồ thị h
àm s
ố l
à m
ột đường cong
Cti
ế
p tuy
ế
n c
ủ
a
Ct
ại điểm
M0
x0;f x
0
có h
ệ
s
ố
góc
k f
x0Câu 11.
[1D5-1]
Xét m
ệnh đề sau
IN
ế
u hàm s
ố
y f x
có đạ
o hàm t
ại điể
m
x
0liên t
ụ
c t
ại điểm đó.
IIN
ế
u hàm s
ố
y f x
gián đoạ
n t
ại điể
m
x
0khơng có
đạ
o hàm t
ại điểm đó.
III
N
ế
u hàm s
ố
y f x
liên t
ụ
c t
ại điể
m
x
0khơng có
đạ
o hàm t
ại điểm đó.
Trong ba m
ệnh đề
A
Có
I,
IIđúng.
B
Có ba m
ệnh đề
đúng.
C
C
ả
ba m
ệnh đề
đề
u sai
D
Có
Iđúng.
Câu 12.
[1D5-1]
Gi
ả sử
u x
,
v x
hàm s
ố có đạo h
àm t
ại điểm
x
thu
ộc khoảng xác định
Trong m
ệnh đề sau mệnh đề n
ào Sai?
A
u x v x
u x v x
u x v x
B
2
u x
u x v x
u x v x
v x
v
x
C
2
1 v x
v x v x
, (V
ớ
i
v x
0)
D
u x
v x
u x
v x
Câu 13.
[1D5-2]
G
ọi
Plà đồ thị h
àm s
ố
y
2
x
2
x
3
Phương tr
ình ti
ếp tuyến với
Pt
ại
điểm m
à
Pc
ắt t
r
ục tung l
à
A
y
x
3
B
y
x
3
C
y
4
x
1
D
y
11
x
3
Câu 14.
[1D5-2]
Đồ thị
Cc
ủa h
àm s
ố
3
1
1
x
y
x
c
ắt trục tung điểm
ATi
ếp tuyến
Ct
ại
điểm
Acó phương tr
ình
(163)Câu 15.
[1D5-2]
G
ọi
Clà đồ thị h
àm s
ố
y
x
4
x
Ti
ếp tuyến
Cvng góc v
ới đường
th
ẳng
d x
:
5
y
0
có phương tr
ình
A
y
5
x
3
B
y
3
x
5
C
y
2
x
3
D
y
x
4
Câu 16.
[1D5-2]
Cho hàm s
ố
f x
hàm s
ố tr
ên
định
f x x
x
0
Ch
ọn câu đúng.
A
f
x0 x0B
f
x0 x02C
f
x0 2x0D
f
x0không t
ồ
n t
ạ
i
Câu 17.
[1D5-2]
Cho hàm s
ố
f x
xác định tr
ên
0;
b
ởi
f x
1
x
Đạo h
àm c
ủa
f x
t
ại
0
x
A
1
2
B
1
2
C
2
D
1
Câu 18.
[1D5-2]
Phương tr
ình ti
ếp tuyến đồ thị h
àm s
ố
y
x
1
2x
– 2
t
ại điểm có hoành độ
2
x
A
y
–8
x
4
B
y
9
x
18
C
y
–4
x
4
D
y
9
x
18
Câu 19.
[1D5-2]
Phương
trình ti
ếp tuyến đồ thị h
àm s
ố
y
x
3 –
x
2t
ại điểm có hồnh độ
2
x
A
y
–3
x
8
B
y
–3
x
6
C
y
3 – 8
x
D
y
3 – 6
x
Câu 20.
[1D5-2]
Cho hàm s
ố
y
x
3– 6
x
2
7
x
5
CTìm
Cnh
ững điểm có hệ số góc tiếp
tuy
ến điểm
2A
–1; –9 ; 3; –1
B
1; ; 3; –1
C
1;7 ; –3; –97
D
1; ; –1; –9
Câu 21.
[1D5-2]
Tìm h
ệ số góc tiếp tuyến với đồ thị
y
tan
x
t
ại điểm có hoành độ
4
x
A
k 1B
1
2
k
C
2
k
D
2Câu 22.
[1D5-2]
Cho đường cong
:
C yx
Phương tr
ình ti
ếp tuyến
Ct
ại điểm
M
–1;1
A
y
–2
x
1
B
y
2
x
1
C
y
–2 –1
x
D
y
2 – 1
x
Câu 23.
[1D5-2]
Cho hàm s
ố
2
2
x x y
x
Phương tr
ình ti
ếp tuyến
A
1; –2
A
y–4
x– – 2
B
y–5
x– 1
2C
y–5
x– – 2
D
y–3
x–1 – 2
Câu 24.
[1D5-2]
Bi
ểu
th
ức
y
c
ủa h
àm s
ố
y
x
2
1
tính theo
x
x
A
y
0
B
y
x
2
2
x x
C
y
2
x x
x
2
2
D
y
x
2
1
Câu 25.
[1D5-2]
M
ột vật rơi tự theo phương tr
ình
2
S t gt
v
ớ
i
g
9,8 m/s
2V
ận tốc tức thời
c
ủa vật thời điểm
t5giây
(164)Chương 5: ĐẠO HÀM
Câu 26.
[1D5-2]
M
ột chất điểm chuyển động thẳng xác định phương tr
ình
2
S t t t t
,
trong
t
được tính giây v
à
Stính b
ằng mét Gia tốc chuyển động
t2giây
A
12 m/s
2B
8 m/s
2C
9m/s
2D
6 m/s
2Câu 27.
[1D5-2]
H
ệ số góc tiếp tuyến đồ thị h
àm s
ố
1
x y
x
t
ại giao điểm với
tr
ục ho
ành b
ằng
A
9B
19
C
4D
9Câu 28.
[1D5-2]
S
ố tiếp tuyến đường cong
:
C yx x x
song song v
ới đường
th
ẳng
:
y
x
28
A
0B
1C
2D
3Câu 29.
[1D5-2]
Tính gi
ới hạn
0 tan lim
sin x
x x
A
35
B
1C
5
3
D
1 5
Câu 30.
[1D5-2]
Cho hàm s
ố
ysin 2x C
H
ệ số góc tiếp tuyến đồ thị
Ct
ại điểm có ho
ành
độ
2
x
b
ằng.
A
2.B
2.C
0.D
1Câu 31.
[1D5-2]
Cho hàm s
ố
yx33x1
CCó ti
ếp tuyến đồ thị
Csong song
v
ới đường thẳng
d
: 9
x
y
15
0
A
2.B
1.C
0.D
3Câu 32.
[1D5-2]
Cho hàm s
ố
y
f x
x x
2
1
S
ố nghiệm phương tr
ình
f
x 0A
1.B
2.C
3.D
0Câu 33.
[1D5-2]
Cho hàm s
ố
y
f x
x
2
2
x
f
0có giá tr
ị bằng
A
2B
2C
0D
Không t
ồ
n t
ại đạ
o hàm t
ạ
i
x0Câu 34.
[1D5-3]
Cho hàm s
ố
2
x y
x
Phương
trình ti
ếp tuyến
Cc
ắt trục
Ox,
Oy
l
ần lượt
t
ại
AB
cho
AB
2
OA
A
y xB
y
x
4
C
y
x
8
D
y
x
8
Câu 35.
[1D5-3]
Điểm
Mtrên đồ thị h
àm s
ố
y
x
3– 3
x
2–1
mà ti
ếp tuyến có hệ số góc
kbé
nh
ất tất tiếp tuyến đồ thị th
ì
M,
kA
M
1; –3
,
k–3B
M
1;3
,
k–3C
M
1; –3
,
k3D
M
1; –3
,
k–3Câu 36.
[1D5-3]
Cho hàm s
ố
1
ax b
y
x
có đồ thị cắt trục tung
A
0; –1
, ti
ếp tuyến
Acó h
ệ số
góc
k 3Các giá tr
ị
a,
b
A
a1,
b
1
B
a2,
b
1
(165)
Câu 37.
[1D5-3]
Cho hàm s
ố
2
3
2
x x y
x
và xét phương tr
ình ti
ếp tuyến có hệ số góc
k2c
ủa
đồ thị h
àm s
ố l
à
A
y
2 –1;
x
y
2 – 3
x
B
y
2 – 5;
x
y
2 – 3
x
C
y
2 –1;
x
y
2 – 5
x
D
y
2 –1;
x
y
2
x
5
Câu 38.
[1D5-3]
Cho hàm s
ố
2
3
2
x x y
x
, ti
ếp tuyến đồ thị h
àm s
ố vng góc với đường
th
ẳng
d
: –
y
x
6
0
A
y
–3 – 3;
x
y
–3 –11
x
B
y
–3 – 3;
x
y
–3
x
11
C
y
–3
x
3;
y
–3 –11
x
D
y
–3 – 3;
x
y
3 – 11
x
Câu 39.
[1D5-3]
Tìm
mđể tiếp tuyến đồ thị h
àm s
ố
2
– 1
–
5
4
y
m
x
m
t
ại điểm có hồnh độ
–1
x
vng góc v
ới đường thẳng
d
: –
x
y
– 3
0
A
3
4
B
1
4
C
7
16
D
9
16
Câu 40.
[1D5-3]
Cho hàm s
ố
2
2
x
y
x
, ti
ếp tuyến đồ thị h
àm s
ố kẻ từ điểm
–6;5
A
y
– – 1
x
;
1
7
4
2
y
x
B
y
– – 1
x
;
1
7
4
2
y
x
C
y
–
x
1
;
1
7
4
2
y
x
D
y
–
x
1
;
1
7
4
2
y
x
Câu 41.
[1D5-3]
Ti
ếp
tuy
ến
k
ẻ từ điểm
2;3
t
ới đồ thị h
àm s
ố
3
4
1
x
y
x
A
y
28
x
59
;
y
x
1
B
y
–24
x
51
;
y
x
1
C
y
28
x
59
D
y
28
x
59
;
y
24
x
51
Câu 42.
[1D5-3]
Cho hàm s
ố
C :yx33mx2
m1
xmG
ọi
Alà giao điểm đồ thị h
àm s
ố
v
ới trục tung Khi giá trị
m
để tiếp tuyến đồ thị h
àm s
ố
Avng góc v
ới đường
th
ẳng
y
2
x
3
A
B
1C
3.D
2
Câu 43.
[1D5-3]
M
ột viên đạn bắn l
ên tr
ời từ vị trí cách mặt đất
1000 m
theo phương thẳng
đứng với vận tốc ban đầu
v
0
245 m/s
(b
ỏ qua sức cản khơng khí) Tại thời điểm viên đạn
đạt độ cao lớn cách mặt đất bao nhi
êu mét?
A
3062, m
B
4062, m
C
3461 m
D
4026, m
Câu 44.
[1D5-4]
Có giá tr
ị nguy
ên c
ủa tham số
mđể đồ thị h
àm s
ố
4
3
y
x
x
ti
ếp xúc
v
ới đường thẳng
y
mx
1
?
(166)Chương 5: ĐẠO HÀM
Câu 45.
[1D5-4]
Cho hàm s
ố
1
2
1
x
y
x
có đồ thị l
à
CG
ọi điểm
M x y
0; 0
v
ới
x
0
1
là điểm
thu
ộc
C ,bi
ết tiếp tuyến
c
ủa
Ct
ại điểm
Mc
ắt trục ho
ành, tr
ục tung hai điểm
phân bi
ệt
A B
,
và tam giác
OABcó tr
ọng tâm
Gn
ằm đường thẳng
d
: 4
x
y
0
H
ỏi giá
tr
ị
x
0
2
y
0b
ằng bao nhi
êu?
A
2
B
1C
52
D
5
Câu 46.
[1D5-4]
Cho hàm s
ố
y f x
,
yg x
,
3
f x y
g x
H
ệ số góc tiếp tuyến
các đồ thị h
àm s
ố đ
ã cho t
ại điểm có hoành độ
x1b
ằng v
à khác
0Kh
ẳng định n
ào
dưới l
à kh
ẳng định đúng?
A
1 11f
B
1 11f
C
1 11f
D
1 11f
Câu 47.
[1D5-4]
Cho hàm s
ố
2
x mx m y
x m
Giá tr
ị
mđể đồ thị h
àm s
ố cắt trục
Oxt
ại hai điểm v
à
ti
ếp tuyến đồ thị hai điểm vng góc l
à
A
3B
4C
5D
7BÀI QUI T
ẮC TÍNH ĐẠ
O HÀM
Câu 48.
[1D5-1]
Đạo h
àm c
ấ
p m
ột h
àm s
ố
y
1
x
3
5A
y
5 1
x
3
4B
y
15
x
2
1
x
3
5C
y
3 1
x
3
4D
y
5
x
2
1
x
3
4Câu 49.
[1D5-1]
Đạo h
àm c
ủa h
àm s
ố
f x
x
2
1
4t
ại điểm
x
1
A
32
B
30
C
64
D
12Câu 50.
[1D5-1]
Hàm s
ố
2
1
1
x
y
x
có đạo h
àm
A
y 2B
21
y
x
C
23
y
x
D
21
y x
Câu 51.
[1D5-1]
Cho hàm s
ố
y
x
3
3
x
2
9
x
5
Phương tr
ình
y 0có nghi
ệm l
à
A
1; 2
B
1;3
C
0;
D
1;
Câu 52.
[1D5-1]
Cho hàm s
ố
f x
xác định tr
ên
b
ởi
f x
2
x
2
1
Giá tr
ị
f
1
b
ằng
A
2B
6
C
4D
3
Câu 53.
[1D5-1]
Cho hàm s
ố
f x
xác định tr
ên
\ 1
b
ởi
2
1
x
f x
x
Giá tr
ị
f
1
b
ằng
A
1
2
B
1
2
C
2D
Không t
ồ
n t
ạ
i
Câu 54.
[1D5-1]
Cho hàm s
ố
f x
xác định tr
ên
b
ởi
f x
ax b
, v
ới
a,
b
hai s
ố thực đ
ã cho
Ch
ọn câu đúng:
(167)Câu 55.
[1D5-1]
Tính đạo h
àm c
ủa h
àm s
ố
3
2
yx x x
A
4 2y x x
B
y x x
C
y x x
D
y x x
Câu 56.
[1D5-1]
Tính đạo h
àm c
ủa h
àm s
ố
3
x y
x
A
27
y
x
B
24
3
x y
x
C
25
y
x
D
24
3
x y
x
Câu 57.
[1D5-1]
Tính
đạo h
àm c
ủa h
àm s
ố
y
x
3
2
x
2
10A
y
10 3
x
2
4
x
9B
y
10 3
x
2
2
x
x
3
2
x
2
9C
y
10 3
x
2
4
x
x
3
2
x
2
9D
y
10
x
3
2
x
2
9Câu 58.
[1D5-1]
Tính đạo h
àm c
ủa h
àm s
ố
y
ax
3
bx
2
cx
d
, (V
ới
a b c d, , , a
0
)
A
3
y
ax
bx c
B
y
ax
bx c
C
3
2
y
ax
bx c
D
y
ax
bx d
Câu 59.
[1D5-2]
Cho hàm s
ố
2
2
x y
x x
đạo h
àm c
ủa h
àm s
ố
x1A
y
1 4B
y
1 5C
y
1 3D
y
1 2Câu 60.
[1D5-2]
Cho hàm s
ố
2
x y
x
0
y
b
ằng
A
0
1
2
y
B
0
1
3
y
C
y
0 1D
y
0 2Câu 61.
[1D5-2]
Cho hàm s
ố
f x
xác định tr
ên
b
ởi
f x
x
2Giá tr
ị
f
0b
ằng
A
0B
2C
1D
Không t
ồ
n t
ạ
i
Câu 62.
[1D5-2]
Hàm s
ố
2
2
1
x
y
x
có đạo h
àm
A
2
1
2
x
x
y
x
B
2
2
1
x
x
y
x
C
y 2
x2
D
2
2
1
x
x
y
x
Câu 63.
[1D5-3]
Cho hàm s
ố
2
1
1
x
y
x
Đạo h
àm c
ủa h
àm s
ố
f x
A
32 1
x f x
x
B
32 1
x f x
x x
C
22 1
x f x
x x
D
2 1
x f x
x
(168)Chương 5: ĐẠO HÀM
Câu 64.
[1D5-3]
Cho hàm s
ố
f x
xác định tr
ên
b
ởi
f x x
Giá tr
ị
f
8b
ằng
A
1
12
B
1
12
C
1
6
D
1
6
Câu 65.
[1D5-2]
Cho hàm s
ố
f x
xác định
2
khi
1
0
x
x f x x
x
Giá tr
ị
f
0b
ằng
A
0B
1C
1
2
D
Không t
ồ
n t
ạ
i
Câu 66.
[1D5-2]
Cho hàm s
ố
f x
xác định tr
ên
b
ởi
2
f x x x
Hàm s
ố có đạo h
àm
f
xb
ằng
A
4x3B
4x3C
4x3D
4x3Câu 67.
[1D5-2]
Cho hàm s
ố
f x
xác định tr
ên
D
0;
cho b
ởi
f x
x xcó đạo h
àm
A
1
2
f
x
x
B
3
2
f
x
x
C
2
x f x
x
D
2
x f x x
Câu 68.
[1D5-2]
Hàm s
ố
2
1
f x
x
x
xác định tr
ên
D
0;
Có đạo h
àm c
ủa
f x
là
A
f
x
x
1
2
x
B
f
x
x
1
2x
C
f
x xx
D
f
x
1
1
2x
Câu 69.
[1D5-2]
Hàm s
ố
3
1
f x
x
x
xác định tr
ên
D
0;
Đạo h
àm c
ủa h
àm
f x
A
3
1
1
21
2
f
x
x
x
x x
x
x
B
3
1
1
21
2
f
x
x
x
x x
x
x
C
2
3
1
1
1
2
f
x
x
x
x x
x
x
D
f
x x x x x x x
Câu 70.
[1D5-2]
Cho hàm s
ố
4
f x x x x x
xác định tr
ên
Giá tr
ị
f
1b
ằng
A
4B
14C
15D
24Câu 71.
[1D5-2]
Cho hàm s
ố
2
1
1
x
f x
x
xác định
\ 1
Đạo h
àm c
ủa h
àm s
ố
f x
A
22
f x x
B
21
f x x
C
21
f x x
D
21
f x x
Câu 72.
[1D5-2]
Cho hàm s
ố
3 1
f x
x
xác định
\ 0
Đạo h
àm c
ủa h
àm s
ố
f x
A
1
.
3
f
x
x x
B
1
.
3
f
x
x x
C
3
f x
x x
D
3
1
f x
x x
Câu 73.
[1D5-3]
Cho hàm s
ố
f x
k x
x
(k)Để
1
3
2
f
ta ch
ọn:
A
k
1
B
k
3
C
k
3
D
9
2
(169)Câu 74.
[1D5-2]
Đạo h
àm c
ủa
22
y
x x
k
ết sau đây?
A
2
y x
B
22 2 x y x x
C
22 2 x y x x
D
222 x y x x
Câu 75.
[1D5-2]
Tính đạo h
àm c
ủa h
àm s
ố
2
1
2
x
y
x
A
25 2 x y x x
B
21
2 2
x y x x
C
1
2
2
2
1
x
y
x
D
21
2 2
x y x x
.`
Câu 76.
[1D5-3]
Cho hàm s
ố
f x
k x
x
(k)Để
1
3
2
f
ta ch
ọn:
A
k
1
B
k
3
C
k
3
D
9
2
k
Câu 77.
[1D5-3]
V
ới
2 x x f x x
Thì
f
1b
ằng
A
1B
3C
5D
0Câu 78.
[1D5-3]
Cho hàm s
ố
2
x y f x
x
Tính
y
0b
ằng
A
0
1
2
y
B
0
1
3
y
C
y
0 1D
y
0 2Câu 79.
[1D5-3]
Cho hàm s
ố
2 x x y x
, đạo h
àm c
ủa h
àm s
ố
x1A
y
1 4B
y
1 3C
y
1 2D
y
1 5Câu 80.
[1D5-3]
Đạo h
àm c
ủa h
àm s
ố
2
1
y
x
x
x
là
A
24
1
2
2
x
y
x
x
x
x
B
2
2
4
1
2
x
y
x
x
x
x
C
24
1
2
2
x
y
x
x
x
x
D
2 2
4
1
2
2
x
y
x
x
x
x
Câu 81.
[1D5-3]
Đạo h
àm c
ủa h
àm s
ố
1
1
1
y
x
x
là
A
21
1
1
y
x
x
B
1
2
1 2
1
y
x
x
C
1
1
4
1
4
1
y
x
x
D
1
1
2
1
2
1
y
x
x
Câu 82.
[1D5-3]
Cho hàm s
ố
f x
5
x
2
14
x
9
T
ập hợp giá trị
x
để
f
x 0(170)
Chương 5: ĐẠO HÀM
Câu 83.
[1D5-3]
Cho hàm s
ố
2
2
x
x
m
y
x
Tìm
m
để phương tr
ình
y
2
có hai nghi
ệm phân biệt.
A
m2m 2
B
m 2C
m 2D
m 2Câu 84.
[1D5-3]
Cho hàm s
ố
2
3
2
1 2
2
x
m
x
m
y
x
Tìm giá tr
ị
m
để
y
0
v
ới
x
thu
ộc tập xác định.
A
8
m
B
8
m
C
8
m
D
8
m
Câu 85.
[1D5-3]
Cho hàm s
ố
2
3
2
2
1
3
m
m
y
x
mx
x
m
V
ới giá trị n
ào c
ủa
m
0
y
x
?
A
1 m0B
3 m
C
3 m
D
3 m
Câu 86.
[1D5-4]
Cho hàm s
ố
3 1
3
m
y x mx m x
Có giá tr
ị nguy
ên c
ủa tham số
m
thu
ộc
2018; 2018
để
y
0,
x
A
2019B
2018C
2017D
2016Câu 87.
[1D5-4]
Cho hàm s
ố
y f x
liên t
ục, có đạo h
àm
và đồ thị
Cc
ủa qua
điểm
A
0; 15
,
B
1; 13
Bi
ết
f
xm
ột đa thức bậc bốn v
à có b
ảng xét dấu l
à
x
1
0
f x
H
ỏi điể
m s
ố
b
ốn điểm thuộ
c
C?
A
Q
2; 1
B
M
2; 71
C
N
2; 41
D
P
2; 41
Câu 88.
[1D5-4]
Cho hàm s
ố
y
x
3
3
x
2
4
có đồ thị l
à
CHai đường thẳng
d
1,
d
2có h
ệ số góc
âm, song song v
ới v
à l
ần lượt tiếp xúc với
Ct
ại
x
1,
x
2Kh
ẳng định sau đúng?
A
0
x
12
x
22
4
B
4
x
12
x
22
6
C
6
x
12
x
22
8
D
8
x
12
x
22
16
Câu 89.
[1D5-4]
Cho hàm s
ố
yx33
m1
x29xmTìm m
để phương tr
ình
y
0
có nghi
ệm
phân bi
ệt
x
1,
x
2th
ỏa m
ãn
điều kiện
x1x2 2A
m
3; 1
3
1
3;1
.
B
m
3; 1
3
1
3;1
.
C
m
1
3; 1
3
.
D
m
3; 1
3
.
BÀI 3
ĐẠ
O HÀM C
Ủ
A HÀM S
Ố
LƯỢ
NG GIÁC
Câu 90.
[1D5-1]
Trong m
ệnh đề sau mệnh đề đúng?
A
sinu
cosu, (v
ớ
i
uu x
)
B
cosu
sinu, (v
ớ
i
uu x
)
C
tan
2 cosu u
u
, (v
ớ
i
uu x
)
D
cot
2 sinu u
u
(171)Câu 91.
[1D5-1]
Hàm s
ố
y
sin
x
có đạo h
àm
A
y
cos
x
B
y
cos
x
C
y
sin
x
D
1
cos
y
x
Câu 92.
[1D5-1]
Hàm s
ố
ycosxcó đạo h
àm
A
y
sin
x
B
y
sin
x
C
y
cos
x
D
1
sin
y
x
Câu 93.
[1D5-1]
Hàm s
ố
y
tan
x
có đạo h
àm
A
y
cot
x
B
1
2cos
y
x
C
1
2sin
y
x
D
y
1 tan
2x
Câu 94.
[1D5-1]
Hàm s
ố
y
cot
x
có đạo h
àm
A
y
tan
x
B
1
2cos
y
x
C
1
2sin
y
x
D
y
1 cot
2x
Câu 95.
[1D5-1]
Hàm s
ố
1
1 tan
22
y
x
có đạo h
àm
A
y
1 tan
x
B
y
1 tan
x
2C
y
1 tan
x
1 tan
2x
D
y
1 tan
2x
Câu 96.
[1D5-1]
Tính đạo h
àm c
ủa h
àm s
ố
y5sinx3cosxA
y 5sinx3cosxB
y 5sinx3cosxC
y 5 cosx3sinxD
y 5 cosx3sinxCâu 97.
[1D5-1]
Tính đạo h
àm c
ủa h
àm s
ố
ycos 2x1A
sin 2
1
2 2
1
x
y
x
B
sin 2
1
2
1
x
y
x
C
sin 2
1
2
1
x
y
x
D
y sin 2x1Câu 98.
[1D5-1]
Tính đạo h
àm c
ủa h
àm s
ố
ysin 2xA
y 2 sin 2
x
B
y cos 2xC
y 2 cos 2
x
D
y 2 cos 2xCâu 99.
[1D5-2]
Cho hàm s
ố
3sin
22
4
f x
x
Giá tr
ị lớn v
à nh
ỏ
f
x
l
ần lượt l
à
A
1; 1.
B
12;
12.
C
6; 6.
D
6 ; 6.
Câu 100.
[1D5-2]
Đạo h
àm c
ủa h
àm s
ố
tan2
x y
là
A
2
1
1
2 cos
2
y
x
B
1
1
cos
2
y
x
C
1
1
2 cos
2
y
x
D
1
1
cos
2
y
x
Câu 101.
[1D5-2]
Cho hàm s
ố
ysinx cosxTìm nghi
ệm phương
trình
y
0.
A
,
3
x
k
kB
,
x
k
kC
,
x
k
kD
,
(172)Chương 5: ĐẠO HÀM
Câu 102.
[1D5-2]
Tính đạo h
àm c
ủa h
àm s
ố
sin
3
2
y
x
x
A
y
cos
x
2
3
x
2
B
y
2
x
3 sin
x
2
3
x
2
C
y
2
x
3 cos
x
2
3
x
2
D
y
2
x
3 cos
x
2
3
x
2
Câu 103.
[1D5-2]
Đạo
hàm c
ủa h
àm s
ố
sin
2
2
y
x
A
2 sin 2xB
cos
2
2
x
C
2sin 2xD
2 cos
2
2
x
Câu 104.
[1D5-2]
Hàm s
ố sau có đạo h
àm hàm s
ố
y
cos 2
x
sin
x
?
A
y
sin 2
x
cos
x
B
1sin cosy x x
C
y
sin 2
x
cos
x
D
1sin cosy x x
Câu 105.
[1D5-2]
Cho hàm s
ố
y
f x
sin
x
cos
x
2
x
Nghi
ệm dương nhỏ phương tr
ình
f x
A
54
B
4
x
k
kC
4
x
D
114
x
Câu 106.
[1D5-2]
Hàm s
ố
y
sin
x
x
có đạo h
àm
A
y
x
cos
x
2sin
x
x
B
y
x
cos
x
2sin
x
x
C
y
x
sin
x
2cos
x
x
D
y
x
sin
x
2cos
x
x
Câu 107.
[1D5-2]
Hàm s
ố
y
x
2.cos
x
có đạo h
àm
A
y
2 cos
x
x
x
2sin
x
B
y
2 cos
x
x
x
2sin
x
C
y
2 sin
x
x
x
2cos
x
D
y
2 sin
x
x
x
2cos
x
Câu 108.
[1D5-2]
Hàm s
ố
y
tan
x
cot
x
có đạo h
àm
A
1
2cos 2
y
x
B
4
2sin 2
y
x
C
4
2cos 2
y
x
D
1
2sin 2
y
x
Câu 109.
[1D5-3]
Hàm s
ố
y2 sinx2 cosxcó đạo h
àm
A
1sin cos
y
x x
B
1sin cos
y
x x
C
cos sinsin cos
x x y
x x
D
cos sinsin cos
x x y
x x
Câu 110.
[1D5-3]
Hàm s
ố
2
cos
y
f x
x
có
f
3b
ằng
A
2
B
8
3
C
4 (173)Câu 111.
[1D5-3]
Hàm s
ố
tan
22
x
y
có đạo h
àm
A
3
sin
2
cos
2
x
y
x
B
3
2 sin
2
cos
2
x
y
x
C
3
sin
2
2 cos
2
x
y
x
D
tan32
x y
Câu 112.
[1D5-3]
Hàm s
ố
y cot 2xcó đạo h
àm
A
2
1 cot 2
cot 2
x
y
x
B
2
1 cot 2
cot 2
x
y
x
C
2
1 tan 2
cot 2
x
y
x
D
2
1 tan 2
cot 2
x
y
x
Câu 113.
[1D5-3]
Cho hàm s
ố
y
cos sin 2
x
x
Tính
y
b
ằng
A
3
y
B
y
C
1
3
y
D
1
3
y
Câu 114.
[1D5-3]
Cho hàm s
ố
cos 2
1 sin
x
y
x
Tính
y
b
ằng
A
6
y
B
y
C
y
D
y
Câu 115.
[1D5-3]
Xét hàm s
ố
cos
f x x
Ch
ọn đáp án
sai:
A
2
f
B
2 sin cos
x f x
x
C
2
f
D
2
3.
y y
.
2 sin 2
x
0
Câu 116.
[1D5-3]
Cho hàm s
ố
y f x
sin xcos xGiá tr
ị
2
16
f
b
ằng
A
0B
2
C
2
D
2
Câu 117.
[1D5-3]
Cho hàm s
ố
y f x
tanxcotxGiá tr
ị
4
f
b
ằng
A
2
B
2
C
0D
1
2
Câu 118.
[1D5-3]
Cho hàm s
ố
sin
y f x
x
Giá tr
ị
2
f
b
ằng
A
1B
1
2
C
0D
Không t
ồ
n t
ạ
i
Câu 119.
[1D5-3]
Xét hàm s
ố
sin6
y f x
x
Tính giá tr
ị
f
b
ằng
A
1B
0C
2D
2Câu 120.
[1D5-3]
Cho hàm s
ố
tan3
y f x x
(174)Chương 5: ĐẠO HÀM
Câu 121.
[1D5-3]
Cho hàm s
ố
y f x
2sin xĐạo h
àm c
ủa h
àm s
ố
yA
y 2 cos xB
y cos xx
C
y x.cosx
D
.cos
y
x x
Câu 122.
[1D5-3]
Cho hàm s
ố
cos
1 sin
x
y
x
Tính
y
b
ằng
A
6
y
B
y
C
y
D
y
Câu 123.
[1D5-3]
Hàm s
ố
y
sin
2x
.cos
x
có đạo h
àm
A
y
sin
x
3cos
2x
1
B
y
sin
x
3cos
2x
1
C
y
sin
x
cos
2x
1
D
y
sin
x
cos
2x
1
Câu 124.
[1D5-3]
Đạo h
àm c
ủa h
àm s
ố
cot
2
cos
sin
2
y
x
x
là
A
2
1 cos
2 cot cos
sin cos
2 sin
x
y x
x
x
B
2
1 cos
2 cot cos sin
sin cos
2 sin
x
y x x
x
x
C
2
1 cos
2 cot cos
sin cos
sin
x
y x
x
x
D
2
1 cos
2 cot cos sin
sin cos
sin
x
y x x
x
x
Câu 125.
[1D5-4]
Cho hàm s
ố
f x
sin 2x2 2
m
cos 2x2mx1V
ới giá trị n
ào c
ủa tham số
m
thì ph
ương tr
ình
f
x 0có nghi
ệm
A
mB
m
1;1
C
;
1
5
;
2
6
m
D
1
;
3
m
Câu 126.
[1D5-4]
Cho hàm s
ố
f x
mcosx2 sinx3x1, tìm t
ất giá trị tham số
m
để
phương tr
ình
f
x 0có nghi
ệm.
A
m
5
ho
ặ
c
m
5
B
5
m
5
C
m
5
D
m
5
Câu 127.
[1D5-4]
Cho hàm s
ố
2sin tan 3cos
f x x x x
g x
4 sin2xtan2xKhi đó:
A
f
x g x
sin 2xB
f
x g x
3C
f
x g x
1D
f
x g x
0Câu 128.
[1D5-4]
Cho hàm s
ố
y cosx, xx
Ch
ọn đẳng thức đúng.
A
y x
2
y
cos
x
0
B
y x
2
y
cos
x
0
(175)
BÀI VI PHÂN
Câu 129.
[1D5-1]
Cho hàm s
ố
y
f x
x
1
2Bi
ểu thức sau vi phân h
àm s
ố
f x
?
A
dy2
x1 d
xB
d
y
x
1 d
2x
C
dy2
x1
D
dy2
x1 d
xCâu 130.
[1D5-1]
Cho hàm s
ố
y
x
3
5
x
6
Vi phân c
ủa h
àm s
ố l
à
A
d
y
3
x
2
5 d
x
B
d
y
3
x
2
5 d
x
C
d
y
3
x
2
5 d
x
D
d
y
3
x
2
5 d
x
Câu 131.
[1D5-1]
Cho hàm s
ố
2
1
x
y
x
Vi phân c
ủa h
àm s
ố l
à
A
2d d
1
x y
x
B
23d d
1
x y
x
C
23d d
1
x y
x
D
2d d
1
x y
x
Câu 132.
[1D5-1]
Cho hàm s
ố
2
1
x x y
x
Vi phân c
ủa h
àm s
ố l
à
A
2
2
2
d
d
1
x
x
y
x
x
B
22
d d
1
x
y x
x
C
22
d d
1
x
y x
x
D
2
2
2
d
d
1
x
x
y
x
x
Câu 133.
[1D5-1]
Cho hàm s
ố
y
x
3
9
x
2
12
x
5
Vi phân c
ủa h
àm s
ố
là
A
d
y
3
x
2
18
x
12 d
x
B
d
y
3
x
2
18
x
12 d
x
C
d
y
3
x
2
18
x
12 d
x
D
d
y
3
x
2
18
x
12 d
x
Câu 134.
[1D5-1]
Tìm vi phân c
ủa h
àm s
ố
y
x
3
3
x
2
2
x
4
A
d
y
3
x
2
6
x
2 d
x
B
d
y
3
x
2
6
x
2d
x
C
d
y
3
x
2
6
x
2 d
x
D
d
y
x
2
3
x
2 d
x
Câu 135.
[1D5-1]
Vi phân c
ủa h
àm s
ố
ycosxA
d
y
cos d
x x
B
d
y
cos d
x x
C
d
y
sin d
x x
D
d
y
sin d
x x
Câu 136.
[1D5-2]
Cho hàm s
ố
1
33
y
x
Vi phân c
ủa h
àm s
ố l
à
A
d
1
d
4
y
x
B
d
y
1
4d
x
x
C
d
y
1
4d
x
x
D
d
y
x x
4d
Câu 137.
[1D5-2]
Cho hàm s
ố
y
sin
x
3cos
x
Vi phân c
ủa h
àm s
ố l
à
A
dy
cosx3sinx
dxB
dy
cosx3sinx
dxC
dy
cosx3sinx
dxD
dy
cosx3sinx
dxCâu 138.
[1D5-2]
Cho hàm s
ố
y
sin
2x
Vi phân c
ủa h
àm s
ố l
à
A
d
y
– sin d
x x
B
d
y
sin d
x x
C
d
y
sin d
x x
D
d
y
2cos d
x x
Câu 139.
[1D5-2]
Hàm s
ố
y
x
sin
x
cos
x
có vi phân
A
dy
xcos – sinx x
dxB
dy
xcosx
dx(176)
Chương 5: ĐẠO HÀM
Câu 140.
[1D5-2]
Hàm s
ố
21
y
x
x
Có vi phân
A
2
d
1
d
1
x
y
x
x
B
1 d
2
dy x x
x
C
2
1
1
d
y
x
d
x
x
D
21
dy dx
x
Câu 141.
[1D5-2]
Cho hàm s
ố
y
5sin 2
x
vi phân c
ủa h
àm s
ố
3
x
A
d
y
5d
x
B
d
y
10 cos d
x x
C
d
y
10 cos d
x x
D
d
y
5d
x
Câu 142.
[1D5-2]
Cho hàm s
ố
1 x y x
, vi phân c
ủa h
àm s
ố
x 3A
d 1dy x
B
d
y
7d
x
C
d 1dy x
D
d
y
7d
x
Câu 143.
[1D5-2]
Cho hàm s
ố
ysin sin
x
vi phân c
ủa h
àm s
ố
x
A
dycos sin
x
dxB
dysin cos
x
dxC
dycos sin
x
.cos dx xD
dycos sin
x
.sin dx xCâu 144.
[1D5-2]
Cho hàm s
ố
ytan xvi phân c
ủa h
àm s
ố
x
A
d
1
d
2
.cos
y
x
x
x
B
d
1
2d
2
.cos
y
x
x
x
C
1
d
d
2
.cos
y
x
x
x
D
d
1
d
2
.cos
y
x
x
x
Câu 145.
[1D5-2]
Cho hàm s
ố
cos 2
y
x
vi phân c
ủa h
àm s
ố
x
A
d
y
4 cos sin d
x
x x
B
d
y
2 cos sin d
x
x x
C
d
y
4 cos sin d
x
x x
D
d
y
2 cos sin d
x
x x
Câu 146.
[1D5-2]
Cho hàm s
ố
2
1
1
x
y
x
vi phân c
ủa h
àm s
ố
x
A
2
24
d
d
1
y
x
x
B
2
24
d
d
1
x
y
x
x
C
2
2d
d
1
x
y
x
D
d 42 d y x x Câu 147.
[1D5-2]
Cho hàm s
ố
2
khi
2
x x x f x x x
K
ết đúng?
A
0
0
lim
0
xf
x
x
B
2
0
0
lim
lim
1
1
x x
x
x
f
x
x
C
0
0
lim 2
0
xf
x
D
df
0 dxCâu 148.
[1D5-2]
Cho hàm s
ố
sin
khi
0
khi
0
x
x
f x
x
x
Kh
ẳng định l
à sai?
A
f
0
1
B
f
0
1
C
df
0 dxD
Hàm s
ố
khơng có vi phân t
ạ
i
x0Câu 149.
[1D5-2]
Hàm s
ố
2
1
1
x
x
y
x
có vi phân
A
22
2
d
d
1
x
x
y
x
x
B
22 d d x y x x
C
22 d d x y x x
D
(177)Câu 150.
[1D5-2]
Hàm s
ố
2 x y x
có vi phân
A
21
d
d
1
x
y
x
x
B
d d x y x x
C
2
1
d
d
1
x
y
x
x
D
21
d
d
1
y
x
x
Câu 151.
[1D5-2]
Vi phân c
ủa h
àm s
ố
y
x
2
5
x
b
ằng biểu thức sau đây?
A
1
d
d
2
5
y
x
x
x
B
2
2
5
d
d
5
x
y
x
x
x
C
2
5
d
d
2
5
x
y
x
x
x
D
2
2
5
d
d
2
5
x
y
x
x
x
Câu 152.
[1D5-2]
Bi
ểu
th
ức
nào sau vi phân h
àm s
ố
21 x y x
?
A
23
1
d
1
x
x
x
B
21
d
1
x
x
x
C
2
1
d
1
x
x
x
D
2 2
1
1
x
x
Câu 153.
[1D5-3]
Vi phân c
ủa h
àm s
ố
y
tan
x
x
là
A
d
2
2d
4
cos
x
y
x
x x
x
B
2
sin
d d
4 cos
x
y x
x x x
C
2
2 sin
d d
4 cos
x x
y x
x x x
D
2
2 sin
d d
4 cos
x x
y x
x x x
Câu 154.
[1D5-3]
Xét hàm s
ố
y
f x
1 cos 2
x
Ch
ọn câu đúng:
A
2 sin
d d
2 cos
x
f x x
x
B
2 sin
d d
1 cos
x
f x x
x
C
2 cos
d d
1 cos
x
f x x
x
D
2 sin
d d
2 cos
x
f x x
x
Câu 155.
[1D5-4]
Tính
d sin d cos
x x
A
cotxB
tanxC
cotxD
tanxBÀI ĐẠ
O HÀM C
Ấ
P CAO
Câu 156.
[1D5-1]
Hàm s
ố
2
x
y
x
có đạ
o hàm c
ấ
p hai
A
y
0
B
21
y x
C
24
y
x
D
34 y x
Câu 157.
[1D5-1]
Hàm s
ố
y
x
2
1
3có đạ
o hàm c
ấ
p ba
A
y
12
x
2
1
B
y
24
x
2
1
(178)
Chương 5: ĐẠO HÀM
Câu 158.
[1D5-1]
Cho hàm s
ố
f x
x1
3Giá tr
ị
f
0
b
ằ
ng
A
3
B
6
C
12D
24Câu 159.
[1D5-2]
Hàm s
ố
y 2x5có đạ
o hàm c
ấ
p hai b
ằ
ng
A
1
2
5
2
5
y
x
x
B
1 y x
C
1
2
5
2
5
y
x
x
D
1 y x
Câu 160.
[1D5-2]
Hàm s
ố
2 1 x x y x
có đạ
o hàm c
ấ
p
5b
ằ
ng
A
120 y x
B
5 120 y x
C
5 1 y x
D
5 1 y x Câu 161.
[1D5-2]
Hàm s
ố
yx x21có đạ
o hàm c
ấ
p
2b
ằ
ng
A
2 1 x x y x x B
2
2
1
1
x
y
x
C
2 1 x x y x x D
2
2
1
1
x
y
x
Câu 162.
[1D5-2]
Hàm s
ố
y
2
x
5
5có đạ
o hàm c
ấ
p
3b
ằ
ng
A
y
80 2
x
5
3B
y
480 2
x
5
2C
y
480 2
x
5
2D
y
80 2
x
5
3Câu 163.
[1D5-2]
Hàm s
ố
y
tan
x
có đạ
o hàm c
ấ
p
2b
ằ
ng
A
2 sin
3cos
x
y
x
B
1
2cos
y
x
C
1
2cos
y
x
D
2sin
3cos
x
y
x
Câu 164.
[1D5-2]
Cho hàm s
ố
y
sin
x
Ch
ọ
n câu sai
A
siny x
B
y sin
x
C
sin2
y x
D
4
sin
y
xCâu 165.
[1D5-2]
Hàm s
ố
2 x x y x
có đạ
o hàm c
ấ
p
2b
ằ
ng
A
21 y x
B
32
y
x
C
32 y x
D
42 y x
Câu 166.
[1D5-2]
Hàm s
ố
cos3
y f x x
Phương tr
ình
4
8
f x
có nghi
ệ
m
0;x
A
2
x
B
x06
x
C
x03
x
D
x02
x
Câu 167.
[1D5-2]
Cho hàm s
ố
y
sin2
x
Ch
ọ
n kh
ẳng định đúng.
A
4
y
y
0
B
4
y
y
0
(179)
Câu 168.
[1D5-2]
Cho hàm s
ố
y
f x
1
x
Xét hai m
ệnh đề
:
2
:
I
y
f
x
x
II
:
y
f
x
6
4x
M
ệnh đề
nào đúng?
A
Ch
ỉ
Iđúng.
B
Ch
ỉ
IIđúng.
C
C
ả
hai đúng.
D
C
ả
hai đề
u sai
Câu 169.
[1D5-2]
N
ế
u
2sin
3cos
x
f
x
x
f x
b
ằ
ng
A
1
cos
x
B
1
cos
x
C
cotxD
tanxCâu 170.
[1D5-2]
Cho hàm s
ố
2
2
x x y f x
x
Xét hai m
ệnh đề
:
I :y f
x 2 0,(x 1) x
II :y f
x0,
(x 1) x
M
ệnh đề
nào đúng?
A
Ch
ỉ
Iđúng.
B
Ch
ỉ
IIđúng.
C
C
ả
hai đúng.
D
C
ả
hai đề
u sai
Câu 171.
[1D5-2]
Cho hàm s
ố
sin
f x xx
Giá tr
ị
2
f
b
ằ
ng
A
0B
1C
2D
5Câu 172.
[1D5-2]
Cho hàm s
ố
f x
5
x
1
3
4
x
1
T
ậ
p nghi
ệ
m c
ủa phương tr
ình
f
x 0A
1; 2
B
;0
C
1D
Câu 173.
[1D5-2]
Cho hàm s
ố
1
3
y
x
Khi đó:
A
1
3
8
y
B
1
1
8
y
C
1
3
8
y
D
1
1
4
y
Câu 174.
[1D5-2]
Cho hàm s
ố
y
ax b
5v
ớ
i
a,
btham s
ố Khi đó:
A
y 10
1 0B
y 10
1 10a bC
y 10
1 5aD
y 10
1 10aCâu 175.
[1D5-2]
Cho hàm s
ố
y
sin 2
2x
Tính
4y
b
ằ
ng
A
64B
64C
64
D
64 3
Câu 176.
[1D5-2]
N
ế
u
f x
sin
3x
x
22
f
b
ằ
ng
A
0B
1C
2
D
5Câu 177.
[1D5-2]
Cho hàm s
ố
1
y x
Đạ
o hàm c
ấ
p hai
yc
ủ
a hàm s
ố
đ
ã cho
A
42
y x
B
32
y x
C
32
y x
D
42
y x
Câu 178.
[1D5-2]
Cho hàm s
ố
y
cos
2x
Đạ
o hàm c
ấ
p hai
yb
ằ
ng
(180)Chương 5: ĐẠO HÀM
Câu 179.
[1D5-2]
Cho hàm s
ố
f x
x1
4Giá tr
ị
c
ủ
a
f
2
b
ằ
ng
A
27
B
81
C
96
D
108
Câu 180.
[1D5-2]
Cho hàm s
ố
y
sin
3x
Giá tr
ị
bi
ể
u th
ứ
c
M y9yb
ằ
ng
A
sin
x
B
6 sin
x
C
6 cos
x
D
6sin
x
Câu 181.
[1D5-2]
Cho hàm s
ố
yAsin
x
Tính
M
y
2y
A
M 1B
M 1C
M
cos
2
x
4
D
M
0
Câu 182.
[1D5-2]
Cho hàm s
ố
2
x y
x
Tính
yA
32
y x
B
32
y x
C
42
y x
D
42
y x
Câu 183.
[1D5-2]
Cho
yxsinxTính
yA
y2 sinxxcosxB
y2 cosxxsinxC
ysinxxcosxD
ycos + sinx x xCâu 184.
[1D5-2]
Cho
y
cos
2x
Tính
yA
y sin 2xB
ysin 2xC
y 2cos2xD
y2cos2xCâu 185.
[1D5-2]
Cho
y
ax
3
bx
2
cx
d
Tính
yA
3
2
y
ax
bx
c
B
3
2
y
ax
bx c
C
y6ax2bD
y 6ax2bCâu 186.
[1D5-2]
Cho
f x
x
10
6Giá tr
ị
c
ủ
a
f
2
b
ằ
ng
A
622080
B
1492992
C
124416
D
103680
Câu 187.
[1D5-2]
Cho
f x
sin 3
x
Giá tr
ị
c
ủ
a
2
f
b
ằ
ng
A
9
B
0
C
9
D
3
Câu 188.
[1D5-2]
Cho
f x
sin 3
x
Giá tr
ị
c
ủ
a
f
0
b
ằ
ng
A
0
B
3
C
3
D
1Câu 189.
[1D5-2]
Tính đạ
o hàm c
ấ
p hai c
ủ
a hàm s
ố
f x
x
3
x
2
1
t
ại điể
m
x
2
A
f
2
14
B
f
2
1
C
f
2
10
D
f
2
28
Câu 190.
[1D5-2]
Tìm
đạ
o hàm c
ấ
p hai c
ủ
a hàm s
ố
y
tan
x
A
14cos
y
x
B
y 2 tanxC
23cos
y
x
D
2 tan tan
y x x
Câu 191.
[1D5-2]
Đạ
o hàm c
ấ
p hai c
ủ
a hàm s
ố
2
x y
x
A
36
y x
B
46
y x
C
36
y x
D
46
y x
Câu 192.
[1D5-2]
Tính đạ
o hàm c
ấ
p hai c
ủ
a hàm s
ố
ysin 2x, bi
ết đạ
o hàm c
ấ
p m
ộ
t c
ủ
a hàm s
ố
cos
y x
A
y 4 sin 2xB
y 4 sin 2xC
y 4 cos 2xD
y 4 cos 2xCâu 193.
[1D5-2]
Tính đạ
o hàm c
ấ
p hai c
ủ
a hàm s
ố
y2xcosx, bi
ết đạ
o hàm c
ấ
p m
ộ
t c
ủ
a hàm s
ố
sin
y x
(181)Câu 194.
[1D5-2]
Cho hàm s
ố
y
cos
2x
Đạ
o hàm c
ấ
p hai
yb
ằ
ng
A
y 2 cos 2xB
y 4 cos 2xC
y 2 cos 2xD
y 2sinxCâu 195.
[1D5-2]
Cho hàm s
ố
1
x y
x
Gi
ả
i b
ất phương tr
ình
y 0A
x
1
B
x
1
C
x
1
D
vô nghi
ệ
m
Câu 196.
[1D5-2]
Cho hàm s
ố
y
x
.sin
x
Đẳ
ng th
ức sau đúng?
A
y
y
2 cos
x
B
y y
x1 sin
xC
y
y
2 cos
x
D
y
y
2 cos
x
Câu 197.
[1D5-2]
Cho hàm s
ố
1
x y f x
x
Phương tr
ình
f
x
f
x
0
có nghi
ệ
m
A
2
x
B
2
x
C
2
x
D
2
x
Câu 198.
[1D5-2]
Cho hàm s
ố
y
sin 2
2x
giá tr
ị
c
ủ
a bi
ể
u th
ứ
c
1
2
24 64
M y y
b
ằ
ng
A
1
B
1.
C
4
D
3
Câu 199.
[1D5-3]
Cho hàm s
ố
3
x y
x
Giá tr
ị
bi
ể
u th
ứ
c
2
M y y y
b
ằ
ng
A
M
0
B
M 1C
4
M x
D
22
x M
x
Câu 200.
[1D5-3]
Cho hàm s
ố
y
2
x
x
2Giá tr
ị
bi
ể
u th
ứ
c
M
y y
3.
1
b
ằ
ng
A
2B
0C
1D
2
1
2
x
x
Câu 201.
[1D5-3]
Cho hàm s
ố
1
y x x
Giá tr
ị
bi
ể
u th
ứ
c
y
2
2
y y
b
ằ
ng
A
0B
2C
1D
1Câu 202.
[1D5-3]
Cho hàm s
ố
yxsin xGiá tr
ị
bi
ể
u th
ứ
c
xy
2
y
sin
x
xy
b
ằ
ng
A
1B
0C
2D
sinxCâu 203.
[1D5-3]
Cho hàm s
ố
y
x
.tan
x
Tính
2
2
M x y x y y
A
2
cos
x
x
B
1C
2
tan
x x
D
0Câu 204.
[1D5-3]
Cho chuy
ển độ
ng th
ẳng xác đị
nh b
ởi phương tr
ình
3 2017
St t t
(
t
tính b
ằ
ng
giây
S
tính b
ằ
ng mét) Tính gia t
ố
c
t
3s
A
15 m/s
2B
9 m/s
2C
12 m/s
2D
6 m/s
2Câu 205.
[1D5-3]
Cho hàm s
ố
ysin 2xcos2xGi
ải phương tr
ình
y 0A
,4
x
k
kB
,8
x
k
kC
,x
k
kD
, (182)Chương 5: ĐẠO HÀM
Câu 206.
[1D5-3]
Cho hàm s
ố
y
3
x
5
5
x
4
3
x
2
Gi
ả
i b
ất phương tr
ình
y 0A
x
;1 \ 0
B
x
1;
C
x
1;1
D
x
2; 2
Câu 207.
[1D5-3]
Cho hàm s
ố
2
4
cos
2
x
y
m
x
Tìm
m
cho
y"0v
ớ
i m
ọ
i
x
A
m
3
B
m
2
C
m
3
D
m
3
Câu 208.
[1D5-3]
Cho hàm s
ố
y
2
m x
4
2
x
3
2
mx
2
2
m
1
Tìm
m
để
phương tr
ình
y 0có
hai nghi
ệ
m phân bi
ệ
t
A
;1 3; \ 2
2
m
B
3
; ; \
2
m
C
;3 1; \ 2
2
m
D
1
; ; \
2
m
Câu 209.
[1D5-3]
Cho hàm s
ố
1
x y
x
Gi
ả
i b
ất phương tr
ình
y 0A
x
1
B
x
1
C
x
1
D
vô nghi
ệm.
Câu 210.
[1D5-3]
Cho hàm s
ố
31
y x
Gi
ả
i b
ất phương tr
ình
y 0A
x
1
B
x
1
C
x
1
D
vô nghi
ệm.
Câu 211.
[1D5-3]
Cho hàm s
ố
21
x y
x
Gi
ải phương tr
ình
y 0A
x1; x 1 3B
x1; x 2 3C
x1; x 1 3D
x1; x 3 3Câu 212.
[1D5-3]
Đạ
o hàm c
ấ
p
2018c
ủ
a hàm s
ố
y
cos
x
A
sin
x
B
sin
x
C
cos
x
D
cos
x
Câu 213.
[1D5-3]
Gi
ả
s
ử
h x
5
x1
34
x1
T
ậ
p nghi
ệ
m c
ủa phương tr
ình
h
x
0
A
1; 2
B
;0
C
1
D
Câu 214.
[1D5-3]
Tính gia t
ố
c t
ứ
c th
ờ
i c
ủ
a chuy
ển độ
ng
S
f t
t
3
3
t
2
7
t
2
t
ạ
i th
ời điể
m
t
0
2
b
ằ
ng
A
6
B
7C
7
D
6Câu 215.
[1D5-3]
Tính gia t
ố
c t
ứ
c th
ờ
i c
ủ
a chuy
ển độ
ng
s
f t
3sin 2
t
2 cos 2
t
t
ạ
i th
ời điể
m
4
t
b
ằ
ng
A
12B
12C
20D
20
Câu 216.
[1D5-3]
Cho hàm s
ố
yx
Khi
y
n
x
b
ằ
ng
A
1 n nn!1x
B
nn!1x
C
! n nn
x
D
nn!x
Câu 217.
[1D5-4]
Đạ
o hàm c
ấ
p
n
, v
ớ
i
n
*c
ủ
a hàm s
ố
y
sin
x
A
sin
2
n
n
y
x
B
!sin n
y n x
C
cos
2
n
n
y
x
D
!cos n
(183)CÁC ĐỀ KIỂM TRA CHƯƠNG 4
ĐỀ
S
Ố
–
THPT Chương Mỹ
B, Hà N
ộ
i
I.
PH
Ầ
N TR
Ắ
C NGHI
ỆM: ( 2,5 điể
m)
Câu 1.
[1D5-1]
Cho
hàm s
ố
f x
xác định tr
ên t
ập số thực
th
ỏa m
ãn
2
2
lim
2 x
f x f f
K
ết
qu
ả sau đúng?
A
f
x 2B
f
2 3C
f
x 3D
f
3 2Câu 2.
[1D5-1]
Cho hàm s
ố
f x
xác định tr
ên t
ập số thực
, có đạo h
àm
x 1Định nghĩa
đạo hàm sau đúng?
A
1
1
lim
1
1
xf x
f
f
x
B
1
1
lim
1
1
xf x
f
f
x
C
1
1
lim
1
1
xf x
f
f
x
D
1
1
lim
1
xf x
f
f
x
x
Câu 3.
[1D5-2]
Đạo h
àm c
ủa h
àm s
ố
y f x
x21t
ại
x 2b
ằng:
A
3B
2C
4D
1Câu 4.
[1D5-1]
Cho hàm s
ố
y f x
f
1 2điều sau đúng?
A
2
lim
x x
B
2
lim
x
x x
C
2
lim
1 x
x x
D
limx 1
x 2
2Câu 5.
[1D5-2]
Ti
ếp tuyến đồ thị h
àm s
ố
y
x
2
3
x
t
ại điểm
M
1; 2
có h
ệ số góc
klà:
A
k 1B
k 1C
k 7D
k 2Câu 6.
[1D5-2]
N
ếu tiếp tuyến đồ thị h
àm s
ố
y
x
2
3
x
Ccó ti
ếp tuyến song song với đường
th
ẳng
y
3
x
10
s
ố tiếp tuyến của
Clà:
A
3B
0C
2D
1Câu 7.
[1D5-2]
Hàm s
ố
2
4
5
y
x
x
x
có đạo h
àm là:
A
y
3
x
2
2
x
4
B
y
3
x
2
4
x
4
C
y
3
x
2
x
4
D
y
3
x
2
4
x
4 5
Câu 8.
[1D5-2]
Hàm s
ố
y x 22x x
có đạo h
àm là:
A
y 12 43x x
B
y 12 44x x
C
y 12 24x x
D
y 12 43x x
Câu 9.
[1D5-2]
Hàm s
ố
y
2
x
1
x
có đạo h
àm
y
4là:
A
172
B
5
2
C
31
16
D
17
Câu 10.
[1D5-2]
Hàm s
ố
2
3
5
y
x
x
có đạo h
àm
y
0
t
ại điểm sau đây:
(184)Chương 5: ĐẠO HÀM
Câu 11.
[1D5-2]
Tìm ph
ương tr
ình ti
ếp tuyến đồ thị h
àm s
ố
1
x y
x
t
ại điểm
A
2;3
là:
A
y2x1B
y x
C
y 2x1D
y 2x7Câu 12.
[1D5-3]
Ti
ếp tuyến đồ thị h
àm s
ố
y
x
4
2
x
2
m
(v
ới
m
tham s
ố) điểm có ho
ành
độ
x
0
1
là đường thẳng có phương tr
ình:
A
xm1B
y0C
ym1D
ym3Câu 13.
[1D5-2]
Cho hàm s
ố
f x
x
2
Giá tr
ị
P f
2 x2
f
2là:
A
2
2
x
B
2
2
2
x x
C
2
2
x
D
2 x2Câu 14.
[1D5-2]
Hàm s
ố
1
32
x y x
x
có đạo h
àm là:
A
2
3
2
12
2
x x
x
B
2
2
3
2
x
x
C
2
3
2
12
2
x x
x
D
3
3
5
4
1
2
x
x
x
Câu 15.
[1D5-2]
Đạo h
àm c
ủa biểu thứ
c
f x
x
2
3
x
2
2
x
4
là:
A
2
2
1
3
2
2
4
2
4
x
x
f
x
x x
x
x
x
B
2
2
1
3
2
2
4
x
x
f
x
x
x
x
C
2
2
3
2
2
4
2
2
4
x
f
x
x x
x
x
x
D
2
2
1
3
2
3
2
4
2
4
x
x
f
x
x
x
x
x
x
Câu 16.
[1D5-4]
Cho hàm s
ố
1
1
3
y m x m x x
Giá tr
ị
m
để
y
2
x
2
0
v
ới
x
thu
ộc
A
; ; 1;
B
0;4
C
Không t
ồ
n t
ạ
i
m
D
1; ;
4;1
Câu 17.
[1D5-3]
Cho hàm s
ố
f x
x33x22Nghi
ệm bất phương tr
ình
f
x 0là:
A
0; 2
B
; 0
C
2;
D
; 0
2;
Câu 18.
[1D5-2]
Hàm s
ố
f x
sin 3xcó đạo h
àm
f
xlà:
A
3 cos 3xB
cos 3xC
3 cos 3xD
cos 3xCâu 19.
[1D5-2]
Đạo h
àm c
ủa h
àm s
ố
y
3sin
x
5 cos
x
là:
A
y
3cos
x
5sin
x
B
y 3cosx5sinxC
y
3cos
x
5sin
x
D
y
3cos
x
5sin
x
Câu 20.
[1D5-2]
Đạo h
àm c
ủa h
àm s
ố
y
cos
x
sin
x
2
x
là:
(185)Câu 21.
[1D5-2]
Tính
2
f
bi
ết
cos sin
x f x
x
A
0B
2
C
12
D
2Câu 22.
[1D5-2]
Đạo h
àm c
ủa h
àm s
ố
y
x
cot
x
là:
A
cot 2 sinx x
x
B
cot 2sin
x x
x
C
cot 2cos
x x
x
D
cot 2cos
x x
x
Câu 23.
[1D5-2]
Đạo h
àm c
ủa h
àm s
ố
y tan xlà:
A
21
cos
1 tan
y
x
x
B
1
sin
1 tan
y
x
x
C
1 tan
2 tan
x
y
x
D
1
2 tan
y
x
Câu 24.
[1D5-4]
Cho hàm s
ố
2
2 cos
f x x
Mi
ền giá trị
f
xlà:
A
2 f
x 2B
4 f
x 4C
8 f
x 8D
16 f
x 16Câu 25.
[1D5-4]
Cho hàm s
ố
y
cos 2
2x
S
ố nghiệm phương tr
ình
y
0
0;
2
là:
A
4B
3C
2D
Vô s
ố
nghi
ệ
m
-H
Ế
T -
ĐỀ
S
Ố
–
THPT Hoàng Văn Thụ
, Hịa Bình
I PH
Ầ
N TR
Ắ
C NGHI
Ệ
M (
7 điể
m)
Câu 1.
[1D5-1]
S
ố gia h
àm s
ố
f x
x
2
1
bi
ết
x
0
1
x 1
A
2B
3C
4D
5Câu 2.
[1D5-1]
Đạo h
àm c
ủa h
àm s
ố
4
2
x
y
x
x
x
A
5
12
2
1
4
x
x
x
B
5
12
2
1
2
x
x
x
C
5
12
2
1
2
x
x
x
D
5
12
2
1
4
x
x
x
Câu 3.
[1D5-2]
Nghi
ệm bất phương tr
ình
f
x
0
v
ới
f x
x
3
2
x
2
5
A
2
0
3
x
x
B
0
2
3
x
C
4
0
3
x
x
D
0
4
3
x
Câu 4.
[1D5-2]
Phương tr
ình ti
ếp đồ thị h
àm s
ố
2
2
x x y
x
t
ại điểm
A
1; 2
A
y
5
x
3
B
2C
y
9
x
7
D
y
9
x
7
(186)
Chương 5: ĐẠO HÀM
Câu 6.
[1D5-3]
M
ột vật rơi tự theo phương tr
ình
1
2
m
2
s
gt
v
ới
2
9,8 m/s
g
V
ận tốc tức thời
c
ủa vật thời điểm
t
5 s
A
122, m/s
B
29,5 m/s
C
10 m/s
D
49 m/s
Câu 7.
[1D5-3]
Cho hàm s
ố
y
x
2
x
2
1
Khi đó:
A
2
2
2
1
x
y
x
B
2
2
2
2
1
1
x
x
y
x
C
2
2
1
1
x
y
x
D
2
2
2
2
1
2
1
x
x
y
x
Câu 8.
[1D5-3]
Đạo h
àm c
ủa h
àm s
ố
y
1 2
x
3
10A
10
x
2
1 2
x
3
9B
60
x
3
1 2
x
3
9C
6
x
2
1 2
x
3
9D
60
x
2
1 2
x
3
9Câu 9.
[1D5-3]
Phương tr
ình ti
ếp tuyến đồ thị h
àm s
ố
1
2
1
2
y
x
x
bi
ết tiếp tuyến song song
v
ới đường thẳng
y
2
x
3
A
y
2
x
7
B
y
2
x
7
C
y
3
x
5
D
y
2
x
5
Câu 10.
[1D5-4]
Cho hàm s
ố
y
x
2
1
Hai điểm
A
0,5;1, 25
B
0,5
x
;1, 25
y
thu
ộc đồ thị
hàm s
ố Hệ số góc cát tuyến
ABv
ới
x
1, 5
A
2B
2,5
C
3,5
D
5Câu 11.
[1D5-3]
Cho hàm s
ố
1
4
5
17
3
f x
x
x
x
G
ọi
x
1,
x
2hai nghi
ệm phương tr
ình
0
f
x
x
1
x
2có giá tr
ị bằng
A
5B
8C
5D
8Câu 12.
[1D5-3]
Cho
2
yx x
ta có
yy
b
ằng
A
2
1
2
x
B
1C
2
1
2
x
x
D
x
2
2
Câu 13.
[1D5-3]
Ti
ếp tuyến với đồ thị h
àm s
ố
5
2
f x
x
t
ại điểm có hồnh độ
x
0
3
có h
ệ số góc l
à
A
5B
5C
2D
3Câu 14.
[1D5-3]
Cho
f x
sin
2x
cos
2x
x
khi
f
x
b
ằng
A
1 sin cos x xB
1 sin 2 xC
1 sin 2 xD
1 sin 2xII T
Ự
LU
Ậ
N (
3 điể
m)
Câu 15.
Tính đạo h
àm c
ủa h
àm s
ố sau:
1)
2
4
3
y
x
x
x
2)
sin x
y x x
Câu 16.
[1D5-3]
Cho hàm s
ố
y
x
3
3
x
2
2
có đồ thị
C
Vi
ết phương tr
ình ti
ếp tuyến với đồ thị
C
Bi
ết tiếp tuyến vng góc với đường thẳng
dcó phương tr
ình:
1
5
3
(187)ĐỀ
S
Ố
–
THPT Vĩnh Lộ
c, Hu
ế
I - PH
Ầ
N TR
Ắ
C NGHI
Ệ
M
Câu 1.
[1D5-1]
Tính đạo h
àm c
ủa h
àm s
ố
y
cot 2
x
A
2
2sin
y
x
B
2
2sin
y
x
C
22
sin 2
y
x
D
2
2sin 2
y
x
Câu 2.
[1D5-2]
Tính đạo h
àm c
ủa h
àm s
ố
y
2 sin 2
x
3cot 2
x
A
4 cos 2
3
2sin 2
y
x
x
B
4 cos 2
6
2sin 2
y
x
x
C
4 cos 2
6
2sin 2
y
x
x
D
4 cos 2
2
2sin 2
y
x
x
Câu 3.
[1D5-2]
Tính đạo h
àm c
ủa h
àm s
ố
y tan 4x4xA
tantan 4
x y
x x
B
2
2 tan 4
tan 4
4
x
y
x
x
C
2
tan 4
tan 4
4
x
y
x
x
D
2 tan 4
tan 4
4
x
y
x
x
Câu 4.
[1D5-2]
Vi
ết phương tr
ình ti
ếp tuyến đồ thị h
àm s
ố
f x
x
2
5
t
ại điểm
M
có tung độ
0
y
và hoành độ
x0 0A
y
2 6
x
6
1
B
y
2 6
x
6
1
C
y
2 6
x
6
1
D
y
2 6
x
6
1
Câu 5.
[1D5-3]
Cho hàm s
ố
y
x
cos
x
Bi
ết
xy
y k
x
tan
x
v
ới
2
x
k
k
Tìm giá tr
ị
kA
k2B
k 0C
k 1D
k1Câu 6.
[1D5-1]
Tính đạo h
àm c
ủa h
àm s
ố
y
cos 2
x
A
y
sin 2
x
B
y
2 sin 2
x
C
y
sin 2
x
D
y
2 sin 2
x
Câu 7.
[1D5-2]
Tính đạo h
àm c
ủa h
àm s
ố
y
5 7 x
4A
y 20 7
x
3B
y 4 7
x
3C
y 28 7
x5
3D
y 28 7
x
3Câu 8.
[1D5-3]
Cho hàm s
ố
f x
x
3
2
x
2
mx
3
Tìm
m
để
f
x
b
ằng b
ình ph
ương
nh
ị
th
ức bậc nhất.
A
4
3
m
B
4
9
m
C
m4D
Khơng có giá tr
ị n
ào
Câu 9.
[1D5-1]
T
ại
x
dương Tính đạo h
àm c
ủa h
àm s
ố
y xA
x
1
x
B
1
2
x
x
C
x
x
D
x
2
x
Câu 10.
[1D5-1]
Tìm ph
ương tr
ình ti
ếp tuyến đồ thị
C
c
ủa h
àm s
ố
y
f x
t
ại điểm
0 0
;
M
x
f x
A
y
y
0
f
x
0x
,
y
0
f x
0B
y
x
0
f
x
0x
x
0
(188)Chương 5: ĐẠO HÀM
Câu 11.
[1D5-1]
Tính đạo h
àm c
ủa h
àm s
ố
y 2x43x3 x 2A
y 8x39x21B
y 16x39x1C
y 8x327x21D
y 8x39x1Câu 12.
[1D5-2]
Cho hàm s
ố
cos
1 sin
x
y
x
Tính
y
6
A
1
6
y
B
y
6
0
C
y
6
2
D
y
6
2
Câu 13.
[1D5-1]
Tính đạo h
àm c
ủa h
àm s
ố
y
tan 4
x
A
y 1 tan 42 xB
4
2cos 4
y
x
C
1
2cos 4
y
x
D
y 4 tan 4
x
Câu 14.
[1D5-2]
Vi
ết phương tr
ình ti
ếp tuyến đồ thị h
àm s
ố
5
f x
x
t
ại điểm
M
có hồnh độ
0
x
A
y
2
x
1
6
B
y
2
x
1
6
C
y
2
x
1
6
D
y
2
x
1
6
Câu 15.
[1D5-1]
Ch
ọn mệnh đề
đúng
trong m
ệnh đề đây.
A
Hàm s
ố
y
f x
có đạo h
àm t
ại
x0ch
ỉ h
àm s
ố n
ày liên t
ục điểm
B
N
ếu h
àm s
ố
y
f x
có đạo
hàm t
ại
x0liên t
ục điểm đó.
C
N
ếu h
àm s
ố
y
f x
khơng liên t
ục
x0v
ẫn có đạo h
àm t
ại điểm đó.
D
N
ếu h
àm s
ố
y
f x
liên t
ục
x0có
đạo h
àm t
ại điểm đó.
Bài 1:
[1D5-2]
Tính đạo h
àm c
ủa h
àm s
ố
y 12x x
A
232
y
x x
B
232
y
x x x
C
232
y
x x x
D
232
y
x x
Bài 2:
[1D5-1]
T
ại
xTính đạo h
àm c
ủa h
àm s
ố
y
x
n
n
,
n
1
A
x
n
n x
.
n1B
x
n
x
n1C
x
n
n x
.
1nD
x
n
n x
.
Bài 3:
[1D5-1]
Cho hàm s
ố
u
u x
có đạo h
àm
a b
;
Tính đạo h
àm c
ủa h
àm
y
sin
u
A
y
u
cos
u
B
y
u
cos
u
C
y
u
cos
u
D
y
u
cos
u
Bài 4:
[1D5-2]
Tính s
ố gia
y
c
ủa h
àm s
ố
f x
x
t
ại
x0 1, v
ới giả thiết
xs
ố gia đối số
t
ại
x0A
y
1
x
x
B
y
1
x
C
y
x
x
D
y
x
Bài 5:
[1D5-3]
Cho hàm s
ố
y4x33xcó đồ thị
C
Tìm
m
để đường thẳng
d
:
y
mx
1
ti
ếp
xúc v
ới
C
A
m0B
m 6C
m2D
m 3II - PH
Ầ
N T
Ự
LU
Ậ
N
Bài 6:
[1D5-2]
Vi
ết phương tr
ình ti
ếp tuyến với đồ thị
C
c
ủa h
àm s
ố
y
f x
x
3
2
x
2
3
t
ại
điểm có hồnh độ
x0 1Bài 7:
[1D5-3]
Tính đạo h
àm c
ủa h
àm s
ố
2
3
2
1
x
x
y
f x
x
(189)ĐỀ
S
Ố
– THPT Nho Quan A, Ninh Bình
I PH
Ầ
N TR
Ắ
C NGHI
Ệ
M
Câu 1.
[1D5-2]
Ti
ếp tuyến với đồ thị h
àm s
ố
4
1
f x
x
t
ại
điểm có hồnh độ
x
0
1
có h
ệ số góc l
à
A
1
B
2
C
2
D
1
Câu 2.
[1D5-2]
M
ột vật rơi tự theo phương tr
ình
1
2
m
2
s
gt
, v
ới
2
9,8 m/s
g
V
ận tốc tức
th
ời vật thời điểm
t
5 s
A
122,5 m/s
B
29,5 m/s
C
10 m/s
D
49 m/s
Câu 3.
[1D5-2]
Hàm s
ố sau có đạo h
àm
2
2
2 15
1
x x x
:
A
2
4
9
1
x
x
y
x
B
2
6
5
1
x
x
y
x
C
2
6
9
1
x
x
y
x
D
2
6
9
1
x
x
y
x
Câu 4.
[1D5-2]
Cho
3
3
2
x
x
f x
x
T
ập nghiệm bất phương tr
ình
f
x
0
A
2; 2
B
C
0;
D
Câu 5.
[1D5-2]
Phương tr
ình ti
ếp tuyến đồ h
àm s
ố
3
2
3
1
3
x
y
x
x
, bi
ết tiếp tuyến song song
v
ới đường thẳng
d y
:
8
x
2
A
8
2
3
y
x
,
y
8
x
B
8
1
3
y
x
,
8
7
3
y
x
C
8
11
3
y
x
,
8
97
3
y
x
D
1
11
8
3
y
x
,
1
97
8
3
y
x
Câu 6.
[1D5-2]
Tính đạo h
àm c
ủa h
àm s
ố
6
9
x
y
x
A
23
x
B
215
x
C
215
x
D
23
x
Câu 7.
[1D5-2]
Cho
f x
sin
2x
cos
2x
x
Khi
f
x
b
ằng
A
1 sin 2 xB
1 sin cos x xC
1 sin 2 xD
1 sin 2xCâu 8.
[1D5-2]
Đạo h
àm c
ủa h
àm s
ố
y sin 3xbi
ểu thức sau đây?
A
cos 3
2 sin 3
x
x
B
3cos 3
2 sin 3
x
x
C
cos3
2 sin 3
x
x
D
3cos3
2 sin 3
x
x
Câu 9.
[1D5-2]
Phương tr
ình ti
ếp tuyến đồ thị h
àm s
ố
y
f x
x
4t
ại điểm có hồnh độ
1
A
y
4
x
3
B
y
4
x
4
C
y
4
x
5
D
y
4
x
5
Câu 10.
[1D5-2]
Cho
y
x
x
2
1
Ta có
y
y
b
ằng
(190)Chương 5: ĐẠO HÀM
Câu 11.
[1D5-2]
Cho hàm s
ố
2
2
4
2
x y
x
Ch
ọn câu trả lời đúng:
A
2 2
4
1
8
2
2
2
2
x
x
y
x
x
x
B
22
4
1
8
2
2
2
x
x
y
x
x
C
2
4
1
8
2
2
2
x
x
y
x
x
D
2 2
4
1
8
2
2
2
2
x
x
y
x
x
x
Câu 12.
[1D5-2]
S
ố gia
y
c
ủa h
àm s
ố
y
x
2
2
x
t
ại điểm
x
0
1
A
2x
4
x
B
2x
2
x
C
2x
4
x
D
2x
2
x
3
Câu 13.
[1D5-2]
Đạo h
àm c
ủa h
àm s
ố
y
tan
x
:
A
1
2sin
x
B
1
2cos
x
C
1
sin
x
D
1
cos
x
II PH
Ầ
N T
Ự
LU
Ậ
N
Bài 1.
Tính đạo h
àm c
ủa h
àm s
ố sau:
a)
2
4
3
y
x
x
x
b)
y
x
sin 2
x
x
2
3
Bài 2.
[1D5-2]
Cho hàm s
ố
1
3
3
y
x
x
Vi
ết phương tr
ình ti
ếp tuyến đồ thị
C
c
ủa h
àm s
ố biết
ti
ếp tuyến vng góc với đường thẳng
d
:
y
x
2020
-H
Ế
T -
ĐỀ
S
Ố
– THPT Nguy
ễ
n Trung Tr
ực, Bình Đị
nh
I PH
ẦN TRẮC NGHIỆM
Câu 1.
[1D5-2]
Cho hàm s
ố
f x
x4 2x23T
ập giá trị
x
để
f
x 0A
0B
1; 0
C
0;
D
; 1
Câu 2.
[1D5-2]
Cho hàm s
ố
y
cos 2
x
M
ệnh đề đúng?
A
d
y
sin d
x x
B
d
y
2sin d
x x
C
d
y
2 sin d
x x
D
d
y
sin d
x x
Câu 3.
[1D5-2]
Đạo h
àm c
ủa h
àm s
ố
sin
y
x
t
ại
02
x
b
ằng
A
0B
1C
2
D
12
Câu 4.
[1D5-2]
Đạo h
àm c
ấp h
àm s
ố
ycosxt
ại
x
0
0
b
ằng
A
1B
2
C
0D
1Câu 5.
[1D5-2]
Đạo
hàm c
ủa h
àm s
ố
1
x y
x
t
ại
x
0
2
b
ằng
A
19
B
1
3
C
3D
1Câu 6.
[1D5-2]
V
ới
x
để h
àm s
ố xác định, mệnh đề n
ào sai?
A
tan
12 cosx
x
B
sin
x
cos
x
C
cos
x
sin
x
D
cot
12 sinx
x
(191)Câu 7.
[1D5-2]
Đạo
hàm c
ủa h
àm s
ố
y 1xt
ại
x
0
3
b
ằng
A
14
B
1
2 2
C
2
D
2Câu 8.
[1D5-2]
Cho hàm s
ố
1
f x x
H
ệ số góc tiếp tuyến đồ thị h
àm s
ố điểm
0;1
M
b
ằng
A
2B
1C
0D
1Câu 9.
[1D5-2]
Đạo h
àm c
ủa h
àm s
ố
yxcosxA
sinxB
cosxxsinxC
cosxxsinxD
xsinxCâu 10.
[1D5-2]
Đạo
hàm c
ủa h
àm s
ố
y
x
3
2
x
t
ại
x
0
1
b
ằng
A
0B
1C
5D
3Câu 11.
[1D5-2]
Đạo h
àm c
ủa h
àm s
ố
3
x y
x
A
25
3
2
y
x
B
27
3
2
y
x
C
25
3
2
y
x
D
27
3
2
y
x
Câu 12.
[1D5-3]
Phương
trình ti
ếp tuyến
c
ủa đồ thị h
àm s
ố
y
x
2
2
t
ại điểm
A
1; 1
A
y
2
x
3
B
y
2
x
1
C
y
3 2
x
D
y
2
x
3
II PH
ẦN TỰ LUẬN
Câu 13.
[1D5-3]
Cho hàm s
ố
y
x
3
2
x
2
3
có đồ thị
CVi
ết phương tr
ình ti
ếp tuyế
n c
ủa đồ thị
Ct
ại điểm có hoành độ
x
0
2
Câu 14.
[1D5-3]
Cho hai hàm s
ố
f x
2x33x5g x
3x23x4Gi
ải bất phương tr
ình
f x g x
-H
Ế
T -
ĐỀ
S
Ố
– THPT Nguy
ễ
n Khuy
ến, Bình Phướ
c
I PH
Ầ
N TR
Ắ
C NGHI
Ệ
M
Câu 1.
[1D5-1]
Cho hàm s
ố:
1
x y
x
Khi số gia
y
c
ủa h
àm s
ố
x0 3là:
A
4
x x
B
2
x x
C
2
x x
D
1
Câu 2.
[1D5-3]
Cho hàm s
ố
2
3
2 ,
2 ,
x ax b x f x
ax bx x
Giá tr
ị
a b
,
để
f x
có đạo h
àm t
ại
x1A
1;a b
B
1;a b
C
1;a b
D
Khơng có
Câu 3.
[1D5-2]
M
ột đo
àn tàu h
ỏa rời ga, chuyển động nhanh dần với gia tốc
0,1m s/
( b
ỏ qua sức
c
ản khơng khí) Vận tốc tức thời thời điểm tàu đ
ã
đi
500
m
là:
A
10
m s
/
B
15
m s
/
C
12
m s
/
D
20
m s
/
Câu 4.
[1D5-1]
Hàm s
ố có đạo h
àm b
ằng
2x 12 x
A
3
x
B
3
5
x x
C
2
3
x
x
D
2
(192)Chương 5: ĐẠO HÀM
Câu 5.
[1D5-3]
Cho hàm s
ố
y
tan
x
Hãy tìm m
ệnh đề đúng:
A
1
y y
B
1
y y
C
1
y y
D
1
y y
Câu 6.
[1D5-1]
Cho hàm s
ố
4
y x x
Đạo h
àm c
ủa h
àm s
ố
y
b
ằng:
A
2
4
4
5
x
x
x
B
2
1
2
x
4
x
5
C
2
2
4
5
x
x
x
D
2
2
4
4
5
x
x
x
Câu 7.
[1D5-1]
Cho hàm s
ố
y
2x3
10Đạo h
àm c
ủa h
àm s
ố
y
b
ằng:
A
30 2
x3
9B
10 2
x3
10C
10 2
x3
9D
20 2
x3
9Câu 8.
[1D5-2]
Cho hàm s
ố
ycos 23 xĐạo h
àm c
ủa h
àm s
ố
y
b
ằng:
A
3cos sin 2
2x
x
B
3cos sin 2
2x
x
C
6cos sin 2
2x
x
D
6cos sin 2
2x
x
Câu 9.
[1D5-1]
Ti
ếp tuyến đồ thị h
àm s
ố
3
3
3
x
y x
có h
ệ số góc
k 9, là:
A
y
16
9
x
3
B
y
16
9
x
3
C
y
16
9
x
3
D
y
9
x
3
Câu 10.
[1D5-1]
H
ệ số góc tiếp tuyến đồ thị h
àm s
ố
1
x y
x
t
ại điểm
A
1; 2
b
ằng:
A
2
B
2
C
12
D
1
Câu 11.
[1D5-4]
T
ọa độ điểm
M
trên đồ thị h
àm s
ố
1
y x
cho ti
ếp tuyến c
ùng v
ới
tr
ục tọa độ tạo th
ành m
ột tam giác có diện tích
2 là:
A
1
;
4
4
3
B
1
4
;
4
5
C
3
; 4
4
D
3
4
;
4
7
Câu 12.
[1D5-3]
Cho hàm s
ố
y x36x215x2Gi
ải bất phương tr
ình
y
0
ta có nghi
ệm:
A
1 x5B
5 x 1C
5 x1D
1 x5Câu 13.
[1D5-3]
Cho hàm s
ố
y
sin
x
cos
x
T
ập nghiệm của
phương tr
ình
y
0
là:
A
,
4
k
k
Z
B
4
k
2 ,
k
Z
C
4
k
,
k
Z
D
4
k
2 ,
k
Z
Câu 14.
[1D5-3]
Cho hàm s
ố
4
yx x
N
ếu tiếp tuyến đồ thị h
àm s
ố điể
m
M
song song
v
ới đường thẳng:
8
x
y
2017
0
Thì hồnh
độ
x0c
ủa điểm
M
A
x0 1B
x0 5C
x0 12D
x0 6II PH
Ầ
N T
Ự
LU
Ậ
N
Câu 15.
[1D5-2]
Tính đạo h
àm hàm s
ố sau:
a
3
2 2017
2
x
y x
x
b
y
2x2
cos 3x3 sin 3x xCâu 16.
[1D5-2]
Vi
ết phương tr
ình ti
ếp tuyến đồ thị h
àm s
ố
1
x y f x
x
t
ại điểm có tung độ
b
ằng
4
Câu 17.
[1D5-3]
Cho hai hàm s
ố
f x
2
x
2
3
x
2
3
g x x x
Hãy gi
ải bất phương
trình:
f x g x
(193)
ĐỀ
S
Ố
–
THPT Nam Hà, Đồ
ng Nai
Câu 1:
Cho đồ thị
1
x H y
x
và điểm
M
Hcó tung độ
4Phương tr
ình ti
ếp tuyến
Ht
ại điểm
Mcó d
ạng
y
ax b
,
b a
b
ằng
A
6B
19C
1D
1Câu 2:
Đạo h
àm cu
ả h
àm s
ố
y3x32 x3x2b
ằng biểu thức có dạng
ax
2b
c
x
Khi
4
a bc
là
A
12B
10C
16D
8Câu 3:
Đạo h
àm c
ủa h
àm s
ố
y
2sin 3
x
5 cos 2
x
bi
ểu thức có dạng
acos 3xbsin 2xKhi
2
b a
A
56
B
5
C
2
D
52
Câu 4:
Đạo h
àm c
ủa h
àm s
ố
y
2 tan
x
x
bi
ểu thức có dạng
tan
2cos
bx
a
x
x
Khi mệnh đề n
ào
sau đúng?
A
ab
B
ab
C
ab
D
a b Câu 5:
Trên đồ
th
ị
c
ủa h
àm s
ố
1
y x
có điểm
Mcho ti
ếp tuyến c
ùng v
ới trục tọa độ
t
ạo th
ành m
ột tam giác có diện tích Khi
Mcó tung độ l
à
A
y
M
3
B
y
M
4
C
y
M
3
D
y
M
4
Câu 6:
Cho hàm s
ố
2
1
yx m x m x
G
ọi d l
à ti
ếp tuyến đồ thị h
àm s
ố (1) điểm có
hồnh độ bằng
1 Tổng giá trị tham số m để tiếp tuyến d song song với
đường thẳng ∆:
y
4
x
3
A
2B
4C
2D
4Câu 7:
M
ột chất điểm chuyển động thẳng xác định phương tr
ình
s
t
3
2
t
2
4
t
1
trong
t
tính
b
ằng giây,
s
tính b
ằng mét Vận tốc chuyển động
t2A
25 m/s
B
24 m/s
C
16 m/s
D
26 m/s
Câu 8:
Cho hàm s
ố
y
sin 2
x
Đẳng thức sau với
x
?
A
4
y
y
0
B
y
2
y
4
C
4
y
y
0
D
y
y
.tan 2
x
Câu 9:
Cho hàm s
ố
22 sin 3cos
f x x x
Khi
3
6
a
f
b
, m
ệnh đề sau
sai?
A
a b 7B
a b 10C
a b 5D
a
2
b
2
29
Câu 10:
Đạo h
àm cu
ả h
àm s
ố
2
2
1
1
x
x
y
x
b
ằng biểu thức có dạng
2
1
ax
bx c
x
Khi
a b c(194)
Chương 5: ĐẠO HÀM
Câu 11:
Cho hàm s
ố
y
x
3
4
x
2
4
x
có đồ thị
CG
ọi
x
1,
x
2là hoành độ điểm
M,
N
C,
mà t
ại tiếp tuyến
Cvng góc v
ới đường thẳng
y
x
2020
Khi
x x
1.
2b
ằng
A
3
B
83
C
5
D
3
Câu 12:
Cho hàm s
ố
y x
Tính
y
2A
27
B
1
C
8
D
38
Câu 13:
Đạo
hàm c
ủa h
àm s
ố
y
cot 2
2x
bi
ểu thức có dạng
cossin 2n
a x
x
Khi
a nA
23
B
4
C
43
D
2
Câu 14:
Cho hàm s
ố
f x
1 s inx
Ch
ọn kết đúng
A
d
cos
d
1 sin
x
f x
x
x
B
cos
d
d
2 sin
x
f x
x
x
C
d
cos
d
1 sin
x
f x
x
x
D
cos
d
d
2 sin
x
f x
x
x
Câu 15:
Cho hàm s
ố
f x
5
x
1
3
4
x
1
.T
ập nghiệm phương tr
ình
f
x 0A
1B
1; 2
C
; 0
D
Câu 16:
Đạo h
àm cu
ả h
àm s
ố
1
x y
x
b
ằng biểu thức có dạng
1
2a x
Khi mệnh đề sau đúng?
A
a
0; 2
B
a
5; 0
C
a
2; 6
D
a
6; 1
Câu 17:
Đạo h
àm c
ủa h
àm s
ố
y
2sin
x
3cos
x
bi
ểu thức có dạng
asinx b cosxKhi
a
2
b
2A
5B
1C
14D
5Câu 18:
Đạo h
àm c
ủa h
àm s
ố
y
x
2
x
3
6bi
ểu thức có
d
ạng
a x
x
3
n
bx c
Khi
a b cn
A
7B
17C
1D
8Câu 19:
Đạo h
àm c
ủa h
àm s
ố
3
2
y
x
x
bi
ểu thức có dạng
2
ax
2
3
2
b
x
x
Khi
a bA
1B
2C
4D
1Câu 20:
Cho hàm s
ố
f x
x
1
2019
a
0
a x
1
a x
2 2
a
2019x
2019Tính t
ổng:
S
a
1
2
a
2
3
a
3
4
a
4
2019
a
2019A
S
2
2018B
S
2
2019C
S
2019.2
2018D
S
2019.2
2019Câu 21:
Phương tr
ình ti
ếp tuyến đồ thị h
àm s
ố
3f x x x x
t
ại điểm có hồnh độ
x
0
1
có
d
ạng
y
ax b
khi
2a
b
(195)
Câu 22:
Ti
ếp tuyến đồ thị h
àm s
ố
3
3
4
3
x
y
x
có h
ệ số góc
k 9có phương tr
ình d
ạng
9
y
x b
M
ệnh đề sau đúng?
A
b 13B
b 14C
b12D
b14Câu 23:
Cho hàm s
ố
y
x
3
3
x
có đồ thị
CG
ọi
là đường thẳng qua điểm
A
(1;
2
) có h
ệ
s
ố góc
m
T
ổng giá trị
m
để
ti
ếp xúc đồ thị
CA
4
B
0C
12
D
3
Câu 24:
Cho hàm s
ố
y
x
.sin
x
Tìm h
ệ thức đúng
A
y
y
2 cos
x
B
y
y
2 cos
x
C
y
y
2 cos
x
D
y
y
2 cos
x
Câu 25:
Cho hàm s
ố
yx33mx2
m2
xmT
ổng gi
á tr
ị tham số
m
nguyên để
0,
y
x
A
1B
2C
2D
1- H
ẾT
-
ĐỀ
S
Ố
– THPT
Đoàn Thượ
ng, H
ải Dương
Câu
Cho hàm s
ố
2
1 khi
0
1
khi
0
ax
bx
x
f x
ax b
x
Khi hàm s
ố
f x
có đạo h
àm t
ại
x
0
0
Hãy
tính
T
a
2
b
A
T
0
B
T
4
C
T
6
D
T
4
Câu
Cho hàm s
ố
f x
2018
x
2017
2
x
2016 3
x
2018
x
Tính
f
1
A
10092019.2018
B
1009.2019
2018C
2018.2019
1009D
2018.1009
2019Câu
Cho hàm s
ố
2
y f x x
Bi
ểu thức sau vi phân h
àm s
ố
f
?
A
dy
2
x
1
B
dy
x
1
dx
C
dy
x1
2dxD
dy
2
x
1
dx
Câu
Cho
hàm
s
ố
y
f x
xác
định
và
có
đạo
h
àm
trên
th
ỏa
m
ãn
2
1
1
f
x
f
x
x
Vi
ết phương tr
ình ti
ếp tuyến đồ thị h
àm s
ố
y
f x
t
ại
điểm có hồnh độ
1
A
1
5
7
7
y
x
B
1
6
7
7
y
x
C
1
6
7
7
y
x
D
1
6
7
7
y
x
Câu
M
ột vật rơi tự với phương tr
ình chuy
ển động l
à
1
2,
2
S
gt
trong đ
ó
t
tính b
ằng giây
s ,
S
tính b
ằng mét
m
g
9,8
m/s V
ận tốc vật thời điểm
t
4s
A
v
78, 4
m/s
B
v
39, 2
m/s
C
v
= 19, m/s
D
v
9,8
m/s
Câu
T
ổng
C
20181
2.5
C
20182
3.5
2C
20183
2018.5
2017C
20182018b
ằng
A
40351009.2
B
40341009.2
C
4035 (196)Chương 5: ĐẠO HÀM
Câu
Tính đạo h
àm c
ủa h
àm s
ố
f x
sin 2
2x
cos 3
x
A
f
x
2 sin 4
x
3sin 3
x
B
f
x
sin 4
x
3sin 3
x
C
f
x
2 sin 4
x
3sin 3
x
D
f
x
2 sin 2
x
3sin 3
x
Câu
Xét hai m
ệnh đề.
(I)
1
2'
2sin
3cos
cos
x
f x
f
x
x
x
; (II)
1
'
sin
2cos
cos
x
g x
g x
x
x
M
ệnh đề n
ào sai?
A
C
ả hai đúng.
B
C
ả hai sai.
C
Ch
ỉ (I).
D
Ch
ỉ (II).
Câu
Cho hàm s
ố
y
cos
x
m
sin 2
x C
(
m
tham s
ố) T
ìm t
ất giá trị
m
để tiếp tuyến
C
t
ại điểm có hồnh độ
x
,
3
x
song song ho
ặc tr
ùng
A
m
2 3
B
m
3
C
3
6
m
D
2 3
3
m
Câu 10
Ti
ếp tuyến
v
ới đồ thị h
àm s
ố
y
x
3
3
x
2
2
t
ại điểm có hồnh độ
–3
có phương tr
ình
A
y
9
x
25
B
y
9
x
25
C
y
30
x
25
D
y
30
x
25
Câu 11
Cho hàm s
ố
f x
2
x
1
Tính
f
1
A
3
B
0
C
3
2
D
3
Câu 12
Cho hàm s
ố:
2
1
1
x
y
C
x
S
ố tiếp tuyến đồ thị
C
song song v
ới đường thẳng
:
y
x
1
A
0
B
1C
3
D
2Câu 13
Cho hàm s
ố
2
3
khi
1
2
1
khi
1
x
x
f x
x
x
Kh
ẳng định l
à sai?
A
Hàm s
ố
f x
khơng có đạo h
àm t
ại
x
1
B
Hàm s
ố
f x
liên t
ục
x
1
C
Hàm s
ố
f x
có đạo h
àm t
ại
x
1
D
Hàm s
ố
f x
liên t
ục
x
1
hàm s
ố
f x
c
ũng có đạo h
àm t
ại
x
1
Câu 14
Hàm s
ố
y
tan
x
có đạo h
àm
A
y
' tan
x
B
'
1
2cos
y
x
C
y'cotxD
'
1
2sin
y
x
(197)Câu 15
Cho hàm s
ố
f x
liên t
ục
x
0Đạo h
àm c
ủa
f x
t
ại
x
0A
00
(
)
( )
lim
h
f x
h
f x
h
(n
ếu tồn giới hạn).
B
00
(
)
(
)
lim
h
f x
h
f x
h
h
(n
ếu tồn giới hạn).
C
f x
0D
f x
(
h
)
f x
( )
0h
Câu 16
Cho hàm s
ố
cos
1 sin
x
y
x
Tính
y
A
6
y
B
y
C
y
D
y
Câu 17
S
ố gia h
àm s
ố
y
x
2
2
t
ại điểm
x
0
2
ứng với số gia
x
1
b
ằng bao nh
iêu?
A
5
B
13
C
2
D
9
Câu 18
Cho hàm s
ố
y
f x
3
x
4
4
x
3
5
x
2
2
x
1
L
ấy đạo h
àm c
ấp 1, 2, 3, Hỏi đạo hàm đến
c
ấp n
ào ta
được kết triệt ti
êu?
A
3
B
4
C
6
D
5Câu 19
Trong đường thẳng
d
1:
y
7
x
9
,
d
2:
y
5
x
29
,
d
3:
y
5
x
5
có đường
th
ẳng l
à ti
ếp tuyến đồ thị h
àm s
ố
y
x
3
3
x
2
2
x
4
A
2
B
0
C
3
D
1
Câu 20
Cho
f x
sin
3ax
,
a
0
Tính
f
A
f
0
B
f
3sin
2
a
.cos
a
C
f
3 sin
a
2
a
D
f
3 sin
a
2
a
.cos
a
Câu 21
Hàm s
ố
2
1
1
x
y
x
có đạo h
àm
A
21
1
y
x
B
y
2
C
23
1
y
x
D
21
1
y
x
Câu 22
M
ột
ch
ất điểm chuyển động
20
giây có phương tr
ình
1
6
10
12
s t
t
t
t
t
,
trong
t
0
v
ới
t
tính b
ằng giây
s
s t
tính b
ằng mét
m H
ỏi thời điểm gia tốc
c
ủa vật đạt giá trị nhỏ th
ì v
ận tốc vật bao nhi
êu?
A
17 m/s
B
28 m/s
C
13 m/s
D
18 m/s
Câu 23
Cho hàm s
ố
f x
xác định
2
1 1
0
0
0
x
x
f x
x
x
Giá tr
ị
f
0
b
ằng
A
1
B
0
C
1
(198)Chương 5: ĐẠO HÀM
Câu 24
Tìm h
ệ số
k
c
ủa tiếp tuyến đồ thị h
àm s
ố
1
x
y
x
t
ại điểm
M
2 2
;
A
k
1
B
k
2
C
1
9
k
D
k
1
Câu 25
Cho hàm s
ố
f x
x
4
2
x
2
3
Tìm
x
để
f
'
x
0
?
A
x
0
B
1
x
0
C
x
1
D
x
0
Câu 26
Cho hàm s
ố
f x
xác định tr
ên
b
ởi
f x
2
x
2
1
.Giá tr
ị
f
1
A
2
B
6
C
3
D
4
Câu 27
Xét hàm s
ố
1 cos 2
y
f x
x
Ch
ọn Câu đúng:
A
d ( ) sin 42 d1 cos
x
f x x
x
B
cos
d ( ) d
1 cos
x
f x x
x
C
d ( ) sin 22 d2 cos
x
f x x
x
D
sin
d ( ) d
2 cos
x
f x x
x
Câu 28
Cho hàm s
ố
y
x
3
3
x
2
2
có đồ thị
C
và điểm
A m
; 2
Tìm t
ập hợp
S
t
ập tất
giá tr
ị thực
m
để có ba tiếp tuyến
C
đi qua
A
A
; 1
5
;3
3;
3
S
B
4
; 1
; 2
2;
3
S
C
; 2
5
; 2
2;
3
S
D
5
; 1
; 2
2;
3
S
Câu 29
Đạo h
àm c
ủa h
àm s
ố
y
(
x
3
a x
.
3)
(a h
ằng số) biểu thức sau đây?
A
3(
x
3
a x
.
2)
B
3(
x
3
a x
.
2) (3
x
2
2 )
a x
C
3 (
a x
3
ax
2 2) (3
x
2
2
ax
)
D
3 (
a x
3
ax
2)(3
x
2
a x
2)
Câu 30
Cho hàm s
ố
y x
Kh
ẳng định đúng?
A
y y
2
B
y y
2
y
0
C
y y
3
2
0
D
y y
2
y
2-H
Ế
T -
ĐỀ
S
Ố
– THPT Tri
ệ
u Quang Ph
ục, Hưng Yên
PH
ẦN 1: TRẮC NGHIỆM (8 điểm)
Câu
V
ới
x0hàm s
ố
g x
3x2 12x
là đạo h
àm c
ủa h
àm s
ố n
ào ?
A
f x
x3 3xx
B
32
f x x x x
C
f x
x3 3xx
D
f x
3x3 3xx
(199)Câu
Cho hàm s
ố
y f x
x33x212Tìm
x
để
f
x 0A
x
2; 0
B
x
; 2
0;
C
x
0; 2
D
x
;0
2;
Câu
Tính t
ổ
ng
S C1n2Cn2 nCnn.
A
4 2
nn
B
2 2
nn
C
3 2
nn
D
.2
nn
Câu
Cho hàm s
ố
5
y f x x x
có đồ thị
CCó ti
ếp tuyến
Cđi qua
điểm
A 0; 2
?
A
1B
4C
3D
2Câu
Cho hàm s
ố
– – –
x x x
f x
Phương tr
ình
f
x 0có nghi
ệm l
à
A
1;B
1; 2
C
1;3
D
0; 4
Câu
G
ọi
M a b
;
là điểm thuộc đồ thị h
àm s
ố
y f x
x33x22
Ccho ti
ếp tuyến
Ct
ại điểm
Mcó h
ệ số góc nhỏ Tính
a bA
3B
0C
1D
2Câu
Đạo h
àm c
ủa h
àm s
ố
y
3x1 cos
xA
y
3cos
x
B
y
3x1 sin
xC
y 3cosx
3x1 sin
xD
y 3cosx
3x1 sin
xCâu
Tính đạo h
àm c
ủa h
àm s
ố
4
x y
x
A
25
y x
B
114
y x
C
211
y x
D
211
y x
.
.
Câu
Đạo h
àm c
ủa h
àm s
ố
1
y
x
A
2
2
1
x
y
x
B
2
1
1
y
x
C
2
2
1
2
1
x
y
x
D
2
1
x
y
x
Câu 10
G
ọ
i
dti
ếp tuyến đồ thị h
àm s
ố
y f x
x3xt
ại điểm
M
1; 0
Tìm h
ệ số góc
d?
A
2B
2C
1D
0Câu 11
Đạo h
àm c
ủa h
àm s
ố
2
1
y
x
x
A
y
4
x
3
4
x
B
y
x
3
4
x
C
y
x
3
2
x
D
y
4
x
3
2
x
Câu 12
Cho hàm s
ố
y f x
xá
c đị
nh
a b;
;
x0
a b;
Đạ
o hàm c
ủ
a hàm s
ố
y f x
t
ạ
i
điể
m
x
0A
00 lim
y
y f x
x
B
0 limxy f x
x
C
0 limxy f x
x
D
0lim
xx
f
x
y
(200)Chương 5: ĐẠO HÀM
Câu 13
Đạo h
àm c
ủa h
àm s
ố
1
x y
x
t
ại điểm
x
0
2
A
-2
B
1
C
0
D
2
Câu 14
Hàm s
ố
ycosxcó đạo h
àm
A
y
sin
x
B
sin
y
x
C
y
cos
x
D
y
sin
x
Câu 15
S
ố gia h
àm s
ố
2
y f x x x
ứng với số gia
xc
ủa đối số
x
0
1
A
4
y
x
x
B
2
y
x
x
C
y
4
x
D
4
y
x
x
Câu 16
M
ột chất điểm chuyển động có phương tr
ình
s
t
3
3
t
(
t
tính b
ằng giây,
s
tính b
ằng mét)
Tính v
ận tốc chất điểm thời điểm
t
0
2
(giây)?
A
12 m/s
B
15 m/s
C
14 m/s
D
7 m/s
Câu 17
Hàm s
ố y = cotx có đạo h
àm
A
12cos
y
x
B
12sin
y
x
C
y
tan
x
D
12sin
y
x
Câu 18
Cho hai hàm s
ố
2f x x
;
1g x
x
Tính
1
f g
A
0B
2C
2D
1Câu 19
Tìm ph
ương tr
ình ti
ếp tuyến đồ thị h
àm s
ố
3
y f x x x
t
ại điểm
M
1;1A
y
5
x
6
B
y
5
x
6
C
y
5
x
6
D
y
5
x
6
Câu 20
Ph
ương tr
ình ti
ếp tuyến đồ thị h
àm s
ố
2
2
y x x
; bi
ết tiếp tuyến song song với
đường thẳng
y
2
x
3
A
y
2
x
5
B
y
3
x
5
C
y
2
x
7
D
y
2 – 7
x
PH
ẦN 2: TỰ LUẬN (2 điểm)
Câu 21
Cho hàm s
ố
1
x y
x
có đồ thị l
à
CVi
ết phương tr
ình ti
ếp tuyến
Cbi
ết tiếp tuyến
vng góc v
ới đường thẳng có phương tr
ình:
x
3
y
2019
0
Câu 22
Cho hàm s
ố
2
f x x x mx
Tìm m
để
f
x 0v
ới mọi
x
0; 2
-H
Ế
T -
ĐỀ
S
Ố
10 –
THPT Cây Dương, Kiên Giang
PH
ẦN I: TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN
Câu
Cho hàm s
ố
f x
x
3
2
x
2
x
3
Nghi
ệm bất phương tr
ình
f
x
0
A
1
x
3
B
1x
C
13x
D
1
1
3 x
Câu
Vi
ết phương tr
ình ti
ếp tuyến đồ thị h
àm s
ố
y
f x
x
3
x
t
ại điểm
M
2;6
A
y 11x16B
y 11x28C
y 11x28D
y 11x16Câu
Tính đạo h
àm c
ủa h
àm s
ố
ycot 3xA
32sin
y
x
B
32sin
y
x
C
33sin
y
x
D
32sin
y
x