Đề cương ôn tập giữa kì 2 nguyễn tất thành 1920

TRƯỜNG THCS – THPT NGUYỄN TẤT THÀNH ĐỀ CƯƠNG GIỮA KỲ – LỚP 11 NĂM HỌC 2019-2020 MƠN: TỐN Đại số Giải tích Giới hạn chương trình từ cấp số cộng đến hết giới hạn hàm số Học sinh cần nắm vững kết liên quan đến cấp số cộng cấp số nhân Một số dạng toán giới hạn dãy số: giới hạn hữu hạn, giới hạn vô cực Một số dạng toán giới hạn hàm số: giới hạn hữu hạn, giới hạn vô cực, giới hạn vô cực, giới hạn phía Hình học: Giới hạn chương trình từ véc tơ khơng gian đến hết đường thẳng vng góc với mặt phẳng Học sinh cần nắm vững quy tắc cộng hai véc tơ, quy tắc trừ hai véc tơ, quy tắc hình bình hành, tích vơ hướng hai véc tơ, quy tắc hình hộp, khái niệm: ba véc tơ đồng phẳng, góc hai đường thẳng không gian, hai đường thẳng song song, hai đường thẳng vng góc, góc đường thẳng mặt phẳng, đường thẳng vng góc với mặt phẳng Học sinh tham khảo số câu hỏi lí thuyết số tập sau PHẦN I CÂU HỎI NGẮN Câu Phát biểu khái niệm cấp số cộng, công thức xác định số hạng tổng quát cấp số cộng, tính chất số hạng cấp số cộng, cơng thức tính tổng n số hạng đầu cấp số cộng Câu Phát biểu khái niệm cấp số nhân, công thức xác định số hạng tổng quát cấp số nhân, tính chất số hạng cấp số nhân, cơng thức tính tổng n số hạng đầu cấp số nhân Câu Phát biểu số giới hạn đặc biệt liên quan đến giới hạn giới hạn vơ cực Câu Phát biểu định lí giới hạn hữu hạn dãy số hàm số Câu Phát biểu định lí giới hạn giới hạn vô cực dãy số Câu Phát biểu vài quy tắc giới hạn vô cực hàm số Câu Phát biểu khái niệm: góc hai đường thẳng khơng gian, hai đường thẳng song song, hai đường thẳng vng góc Câu Phát biểu khái niệm: góc đường thẳng mặt phẳng, đường thẳng vng góc với mặt phẳng Câu Phát biểu liên hệ quan hệ song song quan hệ vng góc đường thẳng mặt phẳng Câu 10 Phát biểu định lí đường vng góc PHẦN II CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Câu 11 Cho cấp số cộng  un  thỏa mãn u1  4, u3  10 Công sai cấp số cộng B 6 A D 3 C Câu 12 Cho cấp số nhân  un  thỏa mãn u1  3, u5  48 Công bội cấp số nhân B 2 A 16 D 2 C Câu 13 Dãy số dãy số sau có giới hạn n 3 A  an  , an    n  2 C  un  , un  n2 n  n3 * n n  n 1 B  bn  , bn  D   ,  * n  n * * Câu 14 Dãy số dãy số sau có giới hạn n n 5 A  an  , an    n  7 9 B  bn  , bn    n  8 D   ,  n n  * C  un  , un  n  n  * * * Câu 15 Dãy số dãy số sau có giới hạn dương vơ cực A  an  , an   0,  n  n C  un  , un  n  n * * B  bn  , bn  n n  * D   ,  n n  * Câu 16 Dãy số dãy số sau có giới hạn âm vơ cực A  an  , an  2n  n  C  un  , un  1 n  n * * B  bn  , bn  n  n2 * D   ,   n n  * n  1  1   Câu 17 Giới hạn lim 1         n     27 B  A  C D C D C D C D 11 Câu 18 Giới hạn lim 2n n B  A  Câu 19 Giới hạn lim n A B Câu 20 Giới hạn lim x  A  2n  3n  4x  x  11 B  2x  x  13x  Câu 21 Giới hạn lim A 13 Câu 22 Giới hạn A B  lim  11  x     x  3 D C  D  x4 x  11 B Câu 23 Giới hạn lim  A  C  4 11 x2 x3 B  C D   x x  1 Nếu lim  f  x   lim  f  x  Câu 24 Cho hàm số f ( x)   x  1 x  1 mx  x  1 A m  B m  1 D m  3 C m  Câu 25 Cho hình chóp S.ABCD có ABCD hình vng, SA=SB=AB Góc SA CD A 300 D 900 C 600 B 450 Câu 26: Cho tứ diện ABCD Gọi M, N, P trung điểm AB, BC, CD Biết góc MNP 1200 Góc hai đường thẳng AC BD A 600 B 450 C 1200 Câu 27 Cho hình chóp S.ABCD có ABCD vng cạnh a, SA D 300 a 3, SA ( ABCD) Góc đường thẳng SB mp(ABCD) A 300 C 600 B 450 D 900 Câu 28 Cho hình tứ diện ABCD Gọi M, N trung điểm AB, AC Bộ ba véc tơ sau đồng phẳng? A MN , AB, CD B MN , AC, BD C MN , AD, BC D MN , AC, AD Câu 29: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a Điểm M thuộc tia DD’ thỏa mãn DM  a Góc đường thẳng BM mặt phẳng (ABCD) A 300 B 450 C 750 D 600 Câu 30: Cho hình chóp S.ABC Góc đường thẳng SA, SB, SC mặt phẳng (ABC) Hình chiếu vng góc điểm S lên mặt phẳng (ABC) A Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC B Trực tâm tam giác ABC C Trọng tâm tam giác ABC D Tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC Câu 31 Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy hình chữ nhật CAD  400 Số đo góc hai đường thẳng AC B’D’ A 200 C 400 B 800 D 500 Câu 32: Khẳng định khẳng định sau khẳng định đúng? A Hai đường thẳng phân biệt vng góc với đường thẳng vng góc với B Hai đường thẳng phân biệt vng góc với đường thẳng song song với C Hai đường thẳng phân biệt vng góc với đường thẳng khơng vng góc với D Hai đường thẳng phân biệt vuông góc với mặt phẳng song song với Câu 33 Cho tứ diện ABCD có mặt tam giác Góc hai đường thẳng AB CD A 300 D 900 C 600 B 450 Câu 34 Cho hình chóp S.ABCD có ABCD hình chữ nhật, SA ( ABCD) Khẳng định sau đúng? C CD  SB B BC  SB A AB  SB Câu 35 Cho hình chóp S.ABCD có ABCD hình thoi, SA đúng? A SC  AC D SA  SB ( ABCD) Khẳng định sau D SC  BD C SC  AD B SC  AB PHẦN III TỰ LUẬN Câu 36 Tìm số x, y biết số x 1, y 1, x đồng thời số y,3x y theo thứ tự lập thành cấp số cộng, y,3x y theo thứ tự lập thành cấp số nhân Câu 37 Tìm giới hạn dãy số  un  trường hợp sau sin n 2n *  n  N u  n  N * b) n 3n  n2 a) un  4n  3n  n2  n * n  N d) un  c) un  n  N * 6n  2n  n  e) un  n  5n   n n  N * f) un   4n  5 g) un  n2  n  n  N *   n2  2n   n  n  N * h) un  4n2  5n  n  N * Câu 38 Tìm giới hạn sau x2  x a) lim x 4 x 2 e) lim x  2  i) lim x 1  3x  , x2 , x2  x  b) lim x 9 x 3 f) lim x  2   , 3x  , x2 1 x 1 3x   x  k ) lim , x 0 x 1 x Câu 39 Tìm giới hạn sau c) lim 2x  , x 1 d) lim g) lim x  11 , x 3 h) lim x 1 x 3 x 1 x 3 2x  , x 1 x  13 , x 3  c) lim  f ) lim a) lim x2  x   5x 3x  10 b) lim  x  x   3x d ) lim x2  6x   x 4x  e) lim  x2  x   x x  x  x  x  x  e) lim  x3  x2  5x 1 f ) lim  x3  x2  x   h) lim  5x3  x2  3x 1 i) lim  x  x  1 x  x  x  x    x   3x  x  1  x   3x  2 x  3 x   g ) lim  4 x3  x2  x  3 x  k ) lim   x4  x2  3 x  Câu 40 Cho hình lập phương ABCD A ' B ' C ' D ' có cạnh Các điểm M, N thuộc cạnh CD BB ' thỏa mãn BN  DM  Đặt AB  a, AD  b, AA '  c Phân tích véc tơ AC ', MN theo a, b, c chứng minh AC '  MN Câu 41 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng, cạnh bên cạnh đáy a AC cắt BD O a) Chứng minh SO  ( ABCD), SA  BD, SB  AC b) Tính góc hai đường thẳng SA CD c) Tính góc đường thẳng SA mặt phẳng (ABCD) Câu 42 Cho tứ diện SABC có ASB  BSC  CSA  900 H trực tâm ABC Chứng minh a) SH  ( ABC ) b) 1 1  2 2 SH SA SB SC c)  S ABC    SSBC    SSCA    SSAB  2 2 Câu 43 Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác đều, cạnh bên cạnh đáy a Gọi O hình chiếu vng góc S lên (ABC) a) Chứng minh OA=OB=OC b) Tính sin góc đường thẳng SA mp(ABC) Câu 44 Cho tứ diện S.ABC có SA   ABC  , gọi H, K trực tâm tam giác ABC SBC Chứng minh rằng: a) AH, SK, BC đồng quy b) SC   BHK  c) HK   SBC  Câu 45 Cho hình chóp S.ABCD có ABCD hình vng tâm O, SA   ABCD  Gọi H, I, K hình chiếu vng góc A lên SB, SC, SD Chứng minh:a) HK  ( SAC ), b) HK  AI Câu 46 Cho hình chóp S.ABC có ABC  900 , SA  ( ABC ), SA  AB  3a, BC  4a Tính sin góc hai đường thẳng SC AB 1  Câu 47 Chứng minh rằng: lim  x sin   x 0 x  Câu 48 Tìm giới hạn a) lim x 2 x3  x  14 , b) lim x 4 x2  4x   6x x   5x  c) lim x 0 x x4 Câu 49 Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ Một đường thẳng cắt đường thẳng AA’, BC, C’D’ M, N, P cho NM  NP Tính MA MA ' Câu 50 Cho tứ diện ABCD có AB  AC, AB  BD, PA  k PB, QC  kQD  k  1 Chứng minh AB  PQ GIẢI CHI TIẾT PHẦN II CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Câu 11 Cho cấp số cộng  un  thỏa mãn u1  4, u3  10 Công sai cấp số cộng B 6 A D 3 C Lời giải Chọn C Gọi d công sai cấp số cộng  un  u1  u   Ta có u1  4, u3  10 suy  d  u1  2d  10 Vậy công sai cấp số cộng  un  d  Câu 12 Cho cấp số nhân  un  thỏa mãn u1  3, u5  48 Công bội cấp số nhân B 2 A 16 D 2 C Lời giải Chọn D Gọi q công bội cấp số nhân  un  u1  u1  u    Với u1  3, u5  48 suy  q  2 u1.q  48 q  16 Vậy công bội cấp số nhân  un  q  2 Câu 13 Dãy số dãy số sau có giới hạn 0? n 3 A  an  , an    n  2 n2 C  un  , un  n  n3 B  bn  , bn  n n  n 1 * D   ,  n  n * * * Lời giải Chọn D Ta có lim  lim  n Câu 14 Dãy số dãy số sau có giới hạn 0? n n 5 A  an  , an    n  7 C  un  , un  n  n  9 B  bn  , bn    n  8 * D   ,  n n  * Lời giải Chọn A * * n Vì q  5  nên lim an  lim    7 n  1  1   Câu 17 Giới hạn lim 1         n     27 A  B  C D Lời giải Chọn D n  1  1   Đặt S  1             27 u Nhận thấy S tổng cấp số nhân lùi vô hạn với u1  1; q   Khi S   1 q n  1  1   Vậy lim 1          n     27 Câu 18 Giới hạn lim 2n n A  B  D D D 11 C Lời giải Chọn A Ta có lim q n   (q  1) Với q  ta lim q n   n  2n  n 3n  Câu 19 Giới hạn lim A B C Lời giải Chọn D 5 5   n2   2   2n  n n lim  lim   lim   n  3n  n   n  7 7  n3  3  n n   4x  x  x  11 Câu 20 Giới hạn lim A  B  C Lời giải Chọn C 9  x4   4 4x  x x 4 lim  lim   lim x  x  11 x   x  11 11  5 x5   x x  2x  x  13x  Câu 21 Giới hạn lim A 13 B  C  D Lời giải Chọn A 2 2x  x  (vì lim  lim  ) Ta có: lim  lim x  13 x  x  x  x x  x 13 13  x Câu 22 Giới hạn x4   11  x  11 x    lim  2 A B  C  D  11 Lời giải Chọn C   lim x    19     11   x      2  x4   lim    Ta có:  lim   x  11   11   11  x  11 x   x         2     x    11   x   11  x  11      2 Câu 23 Giới hạn lim  x  3 A x2 x3 B  C D  Lời giải Chọn B  x   3  x  3  x    x2  lim     lim   x    3   1   x 3 x  x  3   x x  1 Câu 24 Cho hàm số f ( x)   Nếu lim  f  x   lim  f  x  x  1 x  1 mx  x  1 B m  1 A m  C m  D m  Lời giải Chọn A lim  f  x   lim   mx    m  x  1 x  1 lim  f  x   lim  x  x  1 x  1  lim  f  x   lim  f  x   m    m  x  1 x 1 Câu 25 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng, SA  SB  AB Góc SA CD A 300 B 450 C 600 D 900 Lời giải Chọn C Vì ABCD hình vng nên AB // CD nên góc SA CD góc SA AB SAB 1800  SAB Ta có SA  SB  AB nên SAB  SAB  600  900 Vậy góc SA CD SAB  600 Câu 26 Cho tứ diện ABCD Gọi M , N , P trung điểm AB, BC , CD Biết góc MNP 1200 Góc hai đường thẳng AC BD A 600 B 450 C 1200 Lời giải D 300 Chọn A Vì M , N trung điểm AB, BC nên MN // AC N , P trung điểm CB, CD nên NP // BD Do góc đường thẳng AC BD góc hai đường thẳng MN NP MNP 1800  MNP Từ giả thiết ta có MNP  1200  900 nên góc đường thẳng AC BD 600 Câu 27 Cho hình chóp S ABCD có ABCD vng cạnh a, SA  a 3, SA  ( ABCD) Góc đường thẳng SB mp  ABCD  A 300 B 450 D 900 C 600 Lời giải Chọn C Do SA  ( ABCD) nên góc đường thẳng SB mp  ABCD  góc SBA Xét tam giác vng SBA vng A ta có: tan SBA  SA a    SBA  600 AB a Vậy góc đường thẳng SB mp  ABCD  600 Với x   suy y  11 11 Câu 37 Tìm giới hạn dãy số  un  trường hợp sau a) un  sin n n  n2 * 4n  c) un  n  6n  b) un  * d) un  e) un  n  5n   n n  N * 2n n  3n  3n  n  n 2n  n  f) un   4n  5 Lời giải sin n n  n2 Ta có: un  sin n  với n  n n Mặt khác lim b un  * *  lim un  n2 2n n  3n  * n 2   n Ta có: lim un  lim n  lim   n 4 1    3 n n 2 1 Do lim    0, lim    nên lim un  3  3 c un  4n  n  6n  * 4 4n  n  lim Ta có: lim un  lim 6n  6 n Do lim  nên lim un   n d un  3n  n  n 2n  n  n   n  * * n  lim Ta có: lim un  lim 2n  n   1 n 3n  n  n  1  n2  2n   n  n  N * h) un  4n2  5n  n  N * g) un  n2  n  n  N * a un  * Do lim  nên lim un  n e) Ta có: lim  lim  n  5n   n n  5n   n  n  5n   n     lim  lim n  5n   n   n  5n   n n  5n   n   n  lim    n  5n   n     1 n n   5 5n    f) Ta có: lim  4n  5    n  2n   n   lim  4n          4n  5  n2  2n    n  12       lim  lim    n  2n   n           4n    n  2n   n  5  2   n   lim 4  1  1  1  n n n  g) Ta có: lim  n  n  1  lim n 1    n     n2  h) Ta có: lim  4n  5n    lim n  4    n     n2  Câu38 Tìm giới hạn sau x2  2x a) lim c) lim x1 x  2  g) lim x3  x2  x 3 2x  x 1 e) lim x2  4x  b) lim x2  x 2 d) lim x1 3x  x2 f) lim 2x  x 1 x  2  x  11 x 3 h) lim x3 3x   x  i) lim x1 x2 1  k) lim x 0 3x  x2 x  13 x 3 1 x 1 x Lời giải a) Ta có: lim x 2 x2  2x x2   lim x 2  n  2n   n     n  2n   n   n  2n   n  x2  2x x( x  2) x  lim  lim  x  x2 ( x  2)( x  2) x2 x  2  x2  x  b) Ta có: lim  lim x 9 x3 2x    x 1 d) Ta có: lim 2x    x 1 x1 e) Ta có: lim x 2  f) Ta có: lim x 2    x 9 x3 c) Ta có: lim x1   x  x  3 3x    x2 x  11   x 3 h) Ta có: lim x  13   x 3 i) Ta có: lim 3x   x   lim x1 x2 1 x3 x1  lim x1  x  1 x  1  x0  lim  2( x  1) k) Ta có: lim 3x   x   x 1  lim x0 x x  x0 x3   x  1 x  3 1 x  lim   x  3 x  3 x3 x  3 3x    x2 g) Ta có: lim x3  lim  (1  x)2   x    3x   x  x   1  lim x1   3x   x  3x   x   x  1  3x   x  x      (1  x)2   x  1  111 Câu 38 Tìm giới hạn sau x2  2x a) lim x2  x 2 c) lim x1 x  2  g) lim x3  x2  x 3 2x  x 1 e) lim x2  4x  b) lim d) lim x1 3x  x2 f) lim 2x  x 1 x  2  x  11 x 3 h) lim x3 3x   x  i) lim x1 x2 1  x  13 x 3 k) lim x 0 3x  x2 1 x 1 x Lời giải a) Ta có: lim x 2 x2  2x x2   lim x 2 x2  2x x( x  2) x  lim  lim  x  x2 ( x  2)( x  2) x2 x  2  2.   x2  x  b) Ta có: lim x 9 x3  lim   x  x  3 x 9 x3  lim x3   x  1 x  3 1 x  lim   x  3 x  3 x3 x  3 x  1)  0, x   x  Do đó: lim x  3)  , lim( c) Ta có: lim(2   x1 x1 x1 2x    x 1 2x    x 1 x  1)  0, x   x  Do đó: lim x  3)  1 , lim( d) Ta có: lim(2   x1 x1 x1 e) Ta có: lim  (3x  7)  , lim  ( x  2)  0, x   x  2 Do đó: lim  x 2  x( 2) x( 2) f) Ta có: lim  (3x  5)  1 , lim  ( x  2)  0, x   x  2 Do đó: lim  x 2  x( 2) x( 2) x  3)  0, x   x  Do đó: lim x  11)  , lim( g) Ta có: lim(4   x 3 x3 x3 i) Ta có: lim x1 x3  x  1 x  1  x1 k) Ta có: lim x0   2( x  1)  lim  lim x3 3x   x   lim x1 x2 1 3x   x   x 1  lim x0 x x x0  (1  x)2   x    3x   x  x   1  lim x1   3x   x  3x   x   x  1  3x   x  x   3x    x2 x  11   x 3 x  3)  0, x   x  Do đó: lim x  13)  1 , lim( h) Ta có: lim(4   x3 3x    x2 x  13   x 3    2.    (1  x)2   x  1  111 Câu 39 Tìm giới hạn sau x2  x   5x 3x  10 a) lim x  e) lim  c) lim x x b) lim x  x   3x  x  1 x2  x   x   x  x   3x x2  x   x 4x  d) lim x f) lim x    x   x  2 x   g) lim  x3  x2  5x 1 h) lim  x3  x2  x  2 i) lim  4 x3  x2  x  3 k) lim  5x3  x2  3x 1 x x   l) lim x4  x2  x x x   m) lim  x4  x2  x Lời giải  3 x 1     x x    5x x x   x x  lim x  3x  10 3x  10 x  x   5x  lim x 3x  10 a) lim x 3 x    5x 1   1 x x x x  lim  lim  2 x  x  10 3x  10 3 x Chú thích: Do b) lim x  x   nên  x0 x x x2  x   x2 x  x   3x  lim x x  x   3x  lim x x9   x      3x x x   1 x9 x9 x  lim  lim  lim  x  x  x  9 x    3x x    3x 9  3 x x x x x x Chú thích: Do c) lim x  x   x   3x  nên x0 9x  x  1  lim x x x   x   x  1 x   3x  lim x 8x  4  x     3x x   8 8x  8x  x  lim  lim  lim  x  x  x 4 x   3x x   3x 9 3 x x x Chú thích: Do x   nên x0 x  6x   2x  lim x 4x  d) lim x x x  1 x 1     x x    2x  x x  x x  lim x  4x  4x  6 x    2x  1   1  x x x x  lim  lim   x  x  4x  4 4 x Chú thích: Vì x   nên e) lim x  x2  x   x  x0 x  x   lim 4x2  x   2x  4x2  x   2x 4x  x   2x x   lim  x 4x2  x    4x 2  4x  x   x2    2x x2    lim x x5 x    2x x x 1  x5 x5 x  lim  lim  lim  x  x  x    5 x    2x 4  2  x      x x x x x x   Chú thích: Vì f) lim x  x   x   3x  nên x0 x  x 9x  2 x  3  lim x   x   2 x  3 x   3x  lim x 12 8 8 x  12 8 x  12 x  lim  lim  lim  x  x x 4 x   3x  x   3x 9 3 x x x Chú thích: Vì x   nên x0 x  x    g) Ta có lim  x3  x  x  1  lim  x3         x x x x x     lim x3    x Do  1  lim      x   x x x3       h) Ta có lim  x3  x  x    lim  x3         x x x x x     lim x3    x Do  2  6      xlim  x x x        i) Ta có lim  4 x3  x  x  3  lim  x3  4        x x x x x     lim x3    x Do  3  4      4  xlim  x x x        k) Ta có lim  5 x3  x  3x  1  lim  x3  5        x x x x x    8 x  12 4  x     3x x    lim x3    x Do  1  lim        x   x x x3       l) Ta có lim  x  x  1  lim  x        x x x x     lim x    x Do  1  lim     x   x2 x4       m) Ta có lim   x  x  3  lim  x  1       x x x x     lim x    x Do  3  1     1  xlim  x x     Câu 40 Cho hình lập phương ABCD ABCD có cạnh Các điểm M , N thuộc cạnh CD BB thỏa mãn BN  DM  Đặt AB  a, AD  b, AA  c Phân tích véc tơ AC, MN theo a, b, c chứng minh AC  MN Lời giải * Theo quy tắc hình hộp, ta có AC  AB  AD  AA  a  b  c 1 * Ta có MN  MD  DB  BN   DC  AB  AD  BB  a  b  c 3 3 * Do ABCD ABCD hình lập phương ta có: a  b  c  3, c.a  c.b  a.b     2  AC .MN  a  b  c  a  b  c   3 2 2 2  a  a.b  a.c  a.b  b  b.c  c.a  c.b  c  3 3 3  AC  MN Câu 41 Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng, cạnh bên cạnh đáy a AC cắt BD O a) Chứng minh SO  ( ABCD), SA  BD, SB  AC b) Tính góc hai đường thẳng SA CD c) Tính góc đường thẳng SA mặt phẳng ( ABCD) Lời giải a) Do SBD SAC cân S nên : SO  AC    SO  ( ABCD) SO  BD  Ta lại có : BD  AC    BD  (SAC)  BD  SA BD  SO  Tương tự : AC  BD    AC  (SBD)  AC  SB AC  SO  b) Do CD / / AB nên ( SA, CD)  ( SA, AB)  SAB  600 ( SAB đều) c) Vì O hình chiếu S xuống ( ABCD) nên  SA,( ABCD)   SAO a OA cos SAO     SAO  450 SA a Vậy  SA,( ABCD )   450 Câu 42 Cho tứ diện SABC có ASB  BSC  CSA  900 H trực tâm ABC Chứng minh rằng: a) SH  ( ABC ) b) c)  S ABC    SSBC    SSCA    SSAB  1 1  2 2 SH SA SB SC 2 2 Lời giải a) SH  ( ABC ) Trong ABC vẽ AI  BC I (1) Ta có: SA  SB SA  SC , suy SA  mp(SBC )  SA  BC (2) Từ (1) (2), suy BC  mp(SAI )  BC  SH Tương tự, ta chứng minh AC  SH Từ đó, suy SH  mp( ABC ) b) 1 1  2 2 SH SA SB SC Ta có AS  SI (vì SA  mp( SBC ) ), suy ASI vuông S BC  SI (vì BC  mp( SAI ) ), suy SI đường cao SBC ( vuông S ) Vì SH đường cao   SAI SI đường cao SBC nên suy ra: 1 1 1     SH SI SB SC SA SI Từ đó, suy 1 1 (đpcm)  2 2 SH SA SB SC c)  S ABC    SSBC    SSCA    SSAB  2 2 Ta có SI  IH IA (*) Nhân vế (*) với BC , ta 2 1   BC.SI   IH BC IA.BC   SSBC   S HBC S ABC 2 2  Tương tự, ta có:  S SCA   S HCA S ABC  S SAB   S HAB S ABC 2 Cộng vế theo vế ta  S ABC    S SBC    S SCA    S SAB  (đpcm) 2 2 Câu 43 Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác đều, cạnh bên cạnh đáy a Gọi O hình chiếu vng góc S lên  ABC  a) Chứng minh OA  OB  OC b) Tính cơ-sin góc đường thẳng SA mặt phẳng  ABC  Lời giải a) Xét tam giác SOA , SOB , SOC vuông O Ta có: SA  SB  SC  a (giả thiết); SO cạnh chung Suy SOA  SOB  SOC Do OA  OB  OC (đpcm) b) Theo chứng minh ta suy O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC a a Suy AO   3 Vì OA hình chiếu SA mặt phẳng  ABC  nên ta có:  SA,  ABC    SA, OA  SAO Trong tam giác SOA vuông O ta có: cos SAO  AO  SA Vậy cơ-sin góc đường thẳng SA mặt phẳng  ABC  Câu 44 Cho tứ diện S ABC có SA   ABC  Gọi H , K trực tâm tam giác ABC SBC Chứng minh rằng: a) AH , SK , BC đồng quy b) SC   BHK  Lời giải a) Gọi I  AH  BC +) Từ giả thiết SA   ABC   SA  BC c) HK   SBC   BC  AI  BC  SI +)   BC  SA +) K trực tâm tam giác SBC nên suy K  SI Vậy AH , SK , BC đồng quy I b) Do H , K trực tâm tam giác ABC SBC nên BK  SC BH  AC +) Từ giả thiết SA   ABC   SA  BH  BH  AC  BH  SC +)   BH  SA  BH  SC  SC   BHK  +)   BK  SC c) Từ SC   BHK   HK  SC Mặt khác, theo phần a) ta có BC   SAI   BC  HK  HK  SC  HK   SBC  Vậy   HK  BC Câu 45 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng tâm O , SA   ABCD  Gọi H , I , K hình chiếu vng góc A lên SB, SC , SD a) Chứng minh HK   SAC  b) Chứng minh HK  AI Lời giải a) Chứng minh HK   SAC   SA  AB Ta có: SA   ABCD     SA  AD Hai tam giác SAB SAD vng A có cạnh SA chung, AB  AD nên chúng Từ suy SB  SD  SA  SB.SH Mặt khác:  SH  SK  SA  SD.SK Xét tam giác SBD , SH SK nên theo định lí Talet đảo ta có HK // BD (1)  SB SD  BD  AC   BD  SA  SA   ABCD  , BD   ABCD    BD   SAC  (2) Mặt khác :  AC  SA  A   AC , SA   SAC   Từ (1) (2) suy HK   SAC  b) Chứng minh HK  AI   HK   SAC   HK  AI Ta có:    AI   SAC  Câu 46 Cho hình chóp S ABC có ABC  90, SA  ( ABC ), SA  AB  3a, BC  4a Tính cosin góc hai đường thẳng SC AB Lời giải S D C A B Dựng hình bình hành ABCD , đó: AB // CD   SC, AB    SC , CD  Ta có: SA   ABC   SA  CD 1 ; CD  AD   Từ 1   suy ra: CD   SAD   CD  SD Ta có: CD  AB  3a, AD  BC  4a, SD  SA2  AD2  5a, SC  SD2  CD2  a 34 Trong tam giác SCD vng D , ta có: cos SCD  CD 3a   SC a 34 34 Vậy cơsin góc hai đường thẳng SC AB 34 1  Câu 47 Chứng minh rằng: lim  x sin   x 0 x  Lời giải Ta có : 1  sin  x Khi x  0 ,  x  x sin  x mà lim   x   lim  x   x 0 x 0 x Khi x  0 , Ta có x  x sin   x mà lim   x   lim  x   x 0 x 0 x 1 1 1    Ta có lim  x sin   lim  x sin   Vậy lim  x sin   x  x 0  x  x 0  x x  Câu 48 Tìm giới hạn a) lim x 2 x3  x  14 , b) lim x 4 x2  4x   6x x   5x  c) lim x 0 x x4 Lời giải    x3  x  14 x3  x  14 x3  x  14 x  x  64  lim  lim a) lim x 2 x 2 x 2 x2  x   x3  x  14  x   x3  x  14     x5  x  x  x  16 x  28  47  x    x5  x  x3  x  16 x  28   lim  lim  x 2 x 2  x    x3  x  14   x3  x  14  x   5x  x     5x  x 5 3  5x   lim  lim  lim b) lim x 4 x 4 x 4 x 4 x4 x4 x4 x4  lim  x 4  lim x 4  x 5 3  x  4   x5 3 x5 3 x5 3   lim x 4    lim 3   5x   3 5x   5x    x  4 x 4 9  5x   5 9  5x   3 5x     5x   2   1   27 54 c) lim  4x   6x  4x 1    6x  4x 1   6x  lim  lim  lim x 0 x 0 x 0 x x x x   lim  4x 1 1 4x 1   x 0 x 0  lim x 0 x     lim 1  1 4x 1  1 4x 1  lim x 0 1  x 0   x   x  1  x   x   x  1  x  6 1 6x  1  x      22  Câu 49 Cho hình hộp ABCD.ABCD Một đường thẳng cắt đường thẳng AA',BC,C D M ,N ,P cho NM  NP Tính MA MA Lời giải Theo ra, ta có NM  NP  P trung điểm MN (1) Mặt khác  AMN    ABCD   AN    AMN    ABC D   AP   AN   ABCD   ABC D   AP (2) Từ (1) (2) ta AP đường trung bình tam giác AMN Do MA  2MA hay MA  MA Câu 50 Cho tứ diện ABCD có AB  AC , AB  BD , PA  k PB, QC  kQD,  k  1 Chứng minh AB  PQ Lời giải   Có QC  kQD  PC  PQ  k PD  PQ  PQ  k PC  PD 1 k 1 k     k k   Ta PQ.AB   PC  PD  AB  PA  AC AB  PB  BD AB 1 k 1 k 1 k  1 k       k k PA.AB  AC.AB  PB.AB  BD.AB  PA.AB  PB.AB 1 k 1 k 1 k 1 k  AB PA  k.PB  1 k  Do AB  PQ  ... x1 x2 1  x  13 x 3 k) lim x 0 3x  x? ?2 1 x 1 x Lời giải a) Ta có: lim x ? ?2 x2  2x x2   lim x ? ?2 x2  2x x( x  2) x  lim  lim  x  x? ?2 ( x  2) ( x  2) x? ?2 x  2  2.    x2...  lim x ? ?2  n  2n   n     n  2n   n   n  2n   n  x2  2x x( x  2) x  lim  lim  x  x? ?2 ( x  2) ( x  2) x? ?2 x  2  x2  x  b) Ta có: lim  lim x 9 x3 2x   ... x  x2  x   x  x0 x  x   lim 4x2  x   2x  4x2  x   2x 4x  x   2x x   lim  x 4x2  x    4x 2  4x  x   x2    2x x2    lim x x5 x    2x x x 1