Hình 11 chuyên đề 1 đt mặt phẳng không gian quan hệ song song

Chương 1: ĐƯỜNG THẲNG, MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN QUAN HỆ SONG SONG §1 ĐẠI CƯƠNG VỀ ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG A TĨM TẮT LÍ THUYẾT KHÁI NIỆM MỞ ĐẦU a) Để biểu diễn mặt phẳng ta thường dùng hình bình hành hay miền góc Kí hiệu mặt phẳng: dùng chữ in hoa chữ Hi Lạp đặt dấu ngoặc đơn Ví dụ: mặt phẳng (P ), mặt phẳng (α) viết tăt mp(P ), mp(α) (P ), (α), b) Điểm A thuộc mặt phẳng (P ) kí hiệu A ∈ (P ) Điểm B không thuộc mặt phẳng (P ) kí hiệu B ∈ (P ) c) Qui tắc vẽ hình khơng gian: • Hai đường song song vẽ thành hai đường song song; hai đường cắt vẽ thành hai đường cắt • Giữ nguyên quan hệ thuộc điểm đường thẳng • Dùng nét liền để vẽ đường nhìn thấy; dùng nét đứt để vẽ đường bị che khuất CÁC TÍNH CHẤT THỪA NHẬN Tính chất Có đường thẳng qua hai điểm phân biệt Tính chất Có mặt phẳng qua ba điểm khơng thẳng hàng Tính chất Nếu đường thẳng có hai điểm phân biệt thuộc mặt phẳng điểm đường thẳng thuộc mặt phẳng Tính chất Tồn bốn điểm khơng thuộc mặt phẳng Tính chất Nếu hai mặt phẳng phân biệt có điểm chung chúng cịn có điểm chung khác Tính chất Trên mặt phẳng, kết biết hình học phẳng HDedu - Page CÁCH XÁC ĐỊNH MỘT MẶT PHẲNG Có ba cách xác định mặt phẳng: a) qua ba điểm không thẳng hàng b) qua điểm chứa đường thẳng khơng qua điểm c) chứa hai đường thẳng cắt HÌNH CHĨP VÀ HÌNH TỨ DIỆN a) Trong mặt phẳng (α) cho đa giác A1 A2 An Lấy điểm S (α) nối S với tất đỉnh đa giác A1 A2 An Hình gồm đa giác A1 A2 An n tam giác SA1 A2 , SA2 A3 , , SAn A1 gọi hình chóp kí hiệu S.A1 A2 An b) Hình chóp tam giác S.ABC cịn gọi tứ diện SABC B CÁC DẠNG TOÁN Dạng Xác định giao tuyến hai mặt phẳng Để tìm giao tuyến hai mặt phẳng phân biệt (P ), (Q) ta tìm hai điểm phân biệt A, B thuộc hai mặt phẳng ĄĄĄ BÀI TẬP DẠNG ĄĄĄ Ví dụ Cho tứ giác ABCD có cặp cạnh đối AB, CD không song song với S điểm khơng nằm mặt phẳng (ABCD) Tìm giao tuyến cặp mặt phẳng (SAC) (SBD), (SAB) (SCD) Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành, M N trung điểm cạnh SD BC Tìm giao tuyến mặt phẳng (DM N ) (SAB) Ví dụ Cho tứ diện ABCD, gọi I, K trung điểm cạnh AD BC a) Tìm giao tuyến hai mặt phẳng (IBC) (KAD) b) Gọi M, N điểm thuộc cạnh AB, AC không trùng với đầu mút đoạn thẳng Tìm giao tuyến hai mặt phẳng (IBC) (DM N ) Ví dụ Cho tứ diện ABCD, gọi G1 , G2 trọng tâm tam giác ACD BCD Chứng minh AG1 giao tuyến mặt phẳng (BG1 G2 ) (ACD) HDedu - Page Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi M, P trung điểm SA, BC N điểm cạnh SB cho BN = BS Xác định giao tuyến mặt phẳng (M N P ) với mặt phẳng a) (ABCD) b) (SAD) c) (SCD) Dạng Tìm giao điểm đường thẳng mặt phẳng Muốn tìm giao điểm đường thẳng a mặt phẳng (P ), ta tìm giao điểm a đường thẳng b nằm (P ) a ∩ b = M b ⊂ (P ) Q Suy M = a ∩ (P ) a b M P Phương pháp: - Bước 1: Xác định mặt phẳng (Q) chứa a - Bước 2: Tìm giao tuyến b = (P ) ∩ (Q) - Bước 3: Gọi M = a ∩ b Suy M = a ∩ (P ) ĄĄĄ BÀI TẬP DẠNG ĄĄĄ Ví dụ Cho hình chóp S.ABC Gọi I trung điểm cạnh SA, H trung điểm cạnh AB, K điểm cạnh SC cho SC = 4KC a) Tìm giao điểm M IK mặt phẳng (ABC) b) Tìm giao điểm N HM mặt phẳng (SBC) Ví dụ Cho hình chóp tứ giác lồi S.ABCD, có AB CD khơng song song a) Tìm giao điểm AB mặt phẳng (SCD) b) Tìm giao điểm AC mặt phẳng (SBD) HDedu - Page Ví dụ Cho hình chóp tứ giác lồi S.ABCD, có AB CD khơng song song Gọi I trung điểm cạnh SA a) Tìm giao điểm CI mặt phẳng (SBD) b) Tìm giao điểm BI mặt phẳng (SCD) Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD hình bình hành Gọi G trọng tâm tam giác SCD a) Tìm giao điểm M BG mặt phẳng (SAD) b) Tìm giao điểm N AG mặt phẳng (SBD) Dạng Xác định thiết diện ∗Thiết diện tạo mặt phẳng (P ) hình H đa giác nằm mặt phẳng (P ), có cạnh giao tuyến (P ) với mặt hình H, có đỉnh giao điểm mặt phẳng (P ) với cách cạnh hình H Hay đơn giản hơn: Thiết diện hình H cắt mp(P ) phần chung hình H mp(P ) ∗Muốn tìm thiết diện mặt phẳng hình cho trước, ta tìm giao mặt phẳng cắt với cạnh hình đó, sau nối lại Ta có thiết diện cần tìm ∗ Lưu ý làm bài: dạng tìm thiết diện thực chất dạng tìm giao tuyến hai mặt phẳng Vì thế, để làm tốt dạng cần phải nắm vững cách tìm giao tuyến Chú ý làm cần dự đoán trước mặt phẳng cắt cắt đâu để dễ xác định ĄĄĄ BÀI TẬP DẠNG ĄĄĄ Ví dụ Cho tứ diện ABCD, M, N trung điểm AC, BC K ∈ BD cho BK = 3KD, xác định thiết diện (M N K) với tứ diện Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình bình hành M, N, P trung điểm cạnh CB, CD, SA Tìm thiết diện tạo mp(M N P ) hình chóp Ví dụ Cho tứ diện ABCD E, F, G trung điểm cạnh BD, BC, CD Trên AE, AF, AG lấy điểm M, N, P cho M N, M P, N P không song với EF, EG, F G Xác định thiết diện tứ diện cắt mp(M N P ) HDedu - Page Dạng Chứng minh điểm thẳng hàng đồng qui đường thẳng đồng qui • Chứng minh ba điểm thẳng hàng: Ta chứng minh ba điểm thuộc mặt phẳng phân biệt Khi chúng phải thuộc đường thẳng giao tuyến hai mặt, tức thẳng hàng • Chứng minh ba đường đồng qui: Giả sử cần chứng minh AB, CD, M N đồng qui Ta tìm K giao AB CD, sau chứng minh K, M, N thẳng hàng ĄĄĄ BÀI TẬP DẠNG ĄĄĄ Ví dụ Cho mặt phẳng (α) ba điểm A, B, C khơng thẳng hàng nằm ngồi mặt phẳng (α) Giả sử đường thẳng BC, CA, AB cắt (α) D, E, F Chứng minh ba điểm D, E, F thẳng hàng Ví dụ Trong mặt phẳng (α), cho tam giác BCD, A điểm không thuộc (α) Gọi E, F, G ba điểm ba cạnh AB, AC, BD cho EF cắt BC I, EG cắt AD H Chứng minh CD, IG, HF đồng qui Ví dụ Cho tứ diện ABCD Gọi I điểm nằm đường thẳng BD đoạn BD Trong mặt phẳng (ABD) ta vẽ đường thẳng qua I cắt hai đoạn AB AD K L Trong mặt phẳng (BCD) ta vẽ đường thẳng qua I cắt hai đoạn CB CD M N a) Gọi E = BN ∩ DM ; F = BL ∩ DK J = LM ∩ KN Chứng minh ba điểm A, J, E thẳng hàng ba điểm C, J, F thẳng hàng b) Giả sử hai đường thẳng KM LN cắt H, chứng minh điểm H nằm đường thẳng AC Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD cho ABCD khơng phải hình thang, AC ∩BD = O.Trên cạnh SC lấy điểm M a) Tìm giao điểm N đường thẳng SD với (AM B) b) Chứng minh đường thẳng AB, CD, M N đồng qui HDedu - Page Ví dụ Trong mặt phẳng (α), cho tứ giác ABCD, S điểm không thuộc (α) Gọi I, J hai điểm cố định SA SC với SI > IA SJ < JC Một mặt phẳng (β) qua IJ cắt SB M , SD N a) Chứng minh IJ, M N, SO đồng qui (với O giao điểm AC BD) Từ suy cách dựng điểm N biết điểm M b) AD cắt BC E, IN cắt M J F Chứng minh S, F, E thẳng hàng c) IN cắt AD P , M J cắt BC Q Chứng minh P Q qua điểm cố định (α) di động Dạng Bài toán cố định a) Chứng minh đường thẳng qua điểm cố định Trong không gian muốn chứng minh đường thẳng a qua điểm cố định M , ta dự đốn điểm cố định, sau ta chuyển toán chứng minh điểm thẳng hàng Thơng thường ta tìm mặt phẳng cho chúng có giao tuyến a điểm M nằm mặt Tìm mặt (α) (β) cho β • M ∈ (α) ∩ (β) M • a = (α) ∩ (β) a ⇒ M nằm a hay a qua điểm M cố định α b) Chứng minh điểm thuộc đường thẳng cố định Trong không gian muốn chứng minh điểm M thuộc đường thẳng cố định ta chứng minh điểm thuộc mặt phẳng cố định, M nằm giao tuyến hai mặt phẳng • (α) (β) cố định β • M ∈ (α) ∩ (β) • c = (α) ∩ (β), c cố định M c ⇒ M nằm c α HDedu - Page ĄĄĄ BÀI TẬP DẠNG ĄĄĄ Ví dụ Cho mặt phẳng (α) hai điểm M , N nằm ngồi (α), M N ln cắt (α) S điểm thay đổi không gian cho SM , SN cắt (α) A, B Chứng minh đường thẳng AB qua điểm cố định Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD, đường thẳng AB cắt đường thẳng CD Điểm M thay đổi SA Mặt phẳng (CDM ) cắt SB N a) Chứng minh M N qua điểm cố định b) Chứng minh giao điểm AN (SCD) thuộc đường thẳng cố định Ví dụ Cho hai đường thẳng d1 d2 cắt O đường thẳng ∆ không qua O cho d1 ∆ chéo nhau, d2 ∆ chéo Điểm M thay đổi ∆ Chứng minh giao tuyến hai mặt phẳng (M, d1 ) (M, d2 ) thuộc mặt phẳng cố định Ví dụ Cho hai mặt phẳng (α) (β) cắt theo giao tuyến m Đường thẳng ∆ cắt (α) A, (β) B Trên ∆ lấy hai điểm phân biệt S1 , S2 cố định Điểm M thay đổi (β) cho M S1 , M S2 cắt (α) M1 , M2 a) Chứng minh M1 M2 qua điểm cố định b) Giả sử M1 M2 cắt m K Chứng minh K, B, M thẳng hàng c) M thay đổi đường thẳng d cố định thuộc (β) (d cắt m không qua B) Chứng minh M1 , M2 thuộc đường thẳng cố định HDedu - Page §2 HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU VÀ HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG A TĨM TẮT LÍ THUYẾT VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHƠNG GIAN Cho hai đường thẳng a b không gian Trường hợp Có mặt phẳng chứa a b (a b đồng phẳng) a b M b a b a α α a ∩ b = {M } α a∥b a≡b Hình i) a b có điểm chung M , ta nói a b cắt M kí hiệu a ∩ b = {M } hay a ∩ b = M ii) a b khơn có điểm chung Ta nói a b song song với nhau, kí hiệu a ∥ b iii) a trùng b, kí hiệu a ≡ b Hai đường thẳng song song hai đường thẳng nằm mặt phẳng khơng có điểm ! chung Trường hợp Khơng có mặt phẳng chứa a b, ta nói a b chéo hay a chéo với b (hình 2) A a I b α B D C Hình Hình Tứ diện ABCD (hình 3) có cặp đường thẳng chéo AB CD; BC AD; AC BD HDedu - Page TÍNH CHẤT Định lí Trong khơng gian, qua điểm nằm đường thẳng cho trước, có đường thẳng song song với đường thẳng cho M d d α Hình ! Hai đường thẳng song song a b xác định mặt phẳng, kí hiệu mp (a, b) hay (a, b) Định lí Nếu ba mặt phẳng đơi cắt theo ba giao tuyến phân biệt ba giao tuyến đồng quy đôi song song với (hình hình 6) c γ β α β α a b a b c γ Hình Hình Hệ Nếu hai mặt phẳng phân biệt chứa hai đường thẳng song song giao tuyến chúng (nếu có) song song với hai đường thẳng trùng với hai đường thẳng (hình 7) β d α β d α d2 β d α d1 d1 d2 d2 d1 a) b) Hình c) HDedu - Page Định lí Hai đường thẳng phân biệt song song với đường thẳng thứ ba song song với b c a α γ β Hình B CÁC DẠNG TOÁN Dạng Chứng minh hai đường thẳng song song Cơ sở phương pháp cần thực hai bước cho định nghĩa a ∥ b ⇔ a, b ⊂ (α) a∩b=∅ • Bước 1: Kiểm tra hai đường thẳng mặt phẳng hay hiểu điều hiển nhiên xảy chúng nằm hình phẳng • Bước 2: Dùng định lý Thales, tam giác đồng dạng, tính chất bắc cầu (hai đường thẳng song song với đường thẳng thứ ba), hai đáy hình thang, hai cạnh đối hình bình hành để khẳng định hai đường thẳng khơng có điểm chung Suy điều phải chứng minh ĄĄĄ BÀI TẬP DẠNG ĄĄĄ Ví dụ Cho tứ diện ABCD có I, J trọng tâm tam giác ABC, ABD Chứng minh IJ song song với CD Ví dụ Cho tứ diện ABCD Gọi M, N theo thứ tự trung điểm AB, BC Q điểm nằm cạnh AD (QA = QD) P giao điểm CD với mặt phẳng (M N Q) Chứng minh P Q ∥ M N P Q ∥ AC Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi M , N , P , Q điểm nằm cạnh BC, SC, SD, AD cho M N ∥ BS, N P ∥ CD, M Q ∥ CD Chứng mình: P Q ∥ SA Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD với đáy ABCD hình bình hành Gọi A , B, C , D trung điểm cạnh SA, SB, SC, SD Chứng minh A B C D hình bình hành HDedu - Page 10 Tính chất a) Cho đường thẳng a mặt phẳng (α) song song với Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (α) vng góc với a ! Tóm tắt: a ∥ (α) b ⊥ (α) a b ⇒ b ⊥ a b) Nếu đường thẳng mặt phẳng (khơng chứa đường thẳng đó) vng góc với đường thẳng khác chúng song song với   a ⊂ (α)   Tóm tắt: a ⊥ b ⇒ a ∥ (α)    (α) ⊥ b α ! PHÉP CHIẾU VNG GĨC VÀ ĐỊNH LÝ BA ĐƯỜNG VNG GĨC Phép chiếu vng góc Cho đường thẳng ∆ vng góc với mặt phẳng (α) Phép A ∆ B chiếu song song theo phương ∆ lên mặt phẳng (α) gọi phép chiếu vng góc lên mặt phẳng (α) A B α Định lí ba đường vng góc B b A Định lí Cho đường thẳng a nằm mặt phẳng (α) b đường thẳng khơng thuộc (α) đồng thời khơng vng góc với (α) Gọi b hình chiếu vng góc b (α) b A Khi a vng góc với b a vng góc với b α   a ⊂ (α)     b ⊂ (α) ! Tóm tắt: b ⊥ (α) B a ⇒a⊥b⇔a⊥b    b hình chiếu vng góc b (α) HDedu - Page 39 Góc Giữa đường thẳng mặt phẳng d Định nghĩa Cho đường thẳng d mặt phẳng (α) Trường hợp đường thẳng d vng góc với mặt phẳng (α) ta nói góc đường thẳng d mặt phẳng (α) ◦ 90 A ϕ d O H α Trường hợp đường thẳng d khơng vng góc với mặt phẳng (α) góc đường thẳng d hình chiếu d (α) gọi góc đường thẳng d mặt phẳng (α) ! Chú ý: Nếu ϕ góc đường thẳng d mặt phẳng (α) ta ln có ◦ B ≤ ϕ ≤ 90◦ CÁC DẠNG TOÁN Dạng Đường thẳng vng góc với mặt phẳng Để chứng minh đường thẳng ∆ vng góc với mặt phẳng (α), ta thực theo hai cách sau: a) Chứng minh ∆ vng góc với hai đường thẳng cắt thuộc (α) ∆ a b α b) Chứng minh ∆ song song với đường thẳng (d), (d) vng góc với (α) ∆ d α Để chứng minh đường thẳng (∆) vng góc với đường thẳng (d), ta thực theo cách sau: a) Chứng minh (∆) vng góc với mặt phẳng (α) chứa (d) ∆ d α b) Sử dụng định lý ba đường vng góc HDedu - Page 40 ∆ d α c) Nếu hai đường thẳng cắt ta sử dụng phương pháp chứng minh hai đường thẳng vng góc mặt phẳng ĄĄĄ BÀI TẬP DẠNG ĄĄĄ Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh bên Gọi I giao điểm AC BD Chứng minh SI ⊥ (ABCD) Ví dụ Cho lăng trụ ABCD.A B C D có đáy ABCD hình bình hành, cạnh bên vng góc với mặt đáy ACD vuông A, AC = AA Chứng minh AC ⊥ (A D C) √ a Ví dụ Cho hình chóp S.ABC với đáy ABC tam giác cạnh a, SA ⊥ (ABC), SA = Gọi I, K trung điểm BC, SI Chứng minh AK ⊥ (SBC) Dạng Góc đường thẳng mặt phẳng Cho đường thẳng d mặt phẳng (P ) cắt Nếu d ⊥ (P ) (d, (P )) = 90◦ d A ϕ d α O H Nếu d ⊥ (P ) để xác định góc d (P ), ta thường làm sau a) Xác định giao điểm O d (P ) b) Lấy điểm A d (A khác O) Xác định hình chiếu vng góc (vng góc) H A ’ lên (P ) Lúc (d, (P )) = (d, d ) = AOH HDedu - Page 41 ĄĄĄ BÀI TẬP DẠNG ĄĄĄ !0 ◦ ≤ (d, (P )) ≤ 90◦ √ Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA = a SA vng góc (ABCD) Hãy xác định góc a) SC (ABCD) b) SC (SAB) c) SB (SAC) d) AC (SBC) Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a, tâm O, SO vng góc (ABCD) Gọi M, N trung điểm SA, BC Biết góc M N (ABCD) 60◦ Tính góc M N (SBD) Dạng Xác định thiết diện khối đa diện cắt mặt phẳng qua điểm vng góc với đường thẳng cho trước Để xác định thiết diện khối đa diện cắt mặt phẳng ( α) qua điểm M vng góc với cho trước, ta thực sau: • Dựng hai đường thẳng cắt vng góc với có đường thẳng qua M Mặt phẳng xác định hai đường thẳng ( α) Sau ta cần tìm giao tuyến ( α) với mặt khối đa diện • Nếu có sẵn hai đường thẳng chéo cắt a, b vng góc với ta dựng ( α) qua M song song với a, b ĄĄĄ BÀI TẬP DẠNG ĄĄĄ Ví dụ Cho lăng trụ đứng ABC.A B C có đáy ABC tam giác vuông cân đỉnh C, CA = a mặt bên ABB A hình vng Gọi ( P ) mặt phẳng qua C vng góc với AB Xác định thiết diện hình lăng trụ cho cắt mặt phẳng ( P ) tính diện tích thiết diện Ví dụ Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a, SA = a vng góc với mặt phẳng (ABC) Gọi M điểm thuộc cạnh AC cho AM = 3M C Gọi (α) mặt phẳng qua M vng góc với cạnh AC Xác định thiết diện hình chóp cho cắt mặt phẳng (α) tính diện tích thiết diện HDedu - Page 42 §4 HAI MẶT PHẲNG VNG GĨC A TĨM TẮT LÍ THUYẾT ĐỊNH NGHĨA GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG m Định nghĩa Góc hai mặt phẳng góc hai n đường thẳng vng góc với hai mặt phẳng Hai mặt phẳng song song trùng góc chúng 0◦ α β CÁCH XÁC ĐỊNH GÓC CỦA HAI MẶT PHẲNG CẮT NHAU a) Tìm giao tuyến c (α) (β) b) Tìm hai đường thẳng a, b thuộc hai mặt phẳng vng góc với c điểm β c c) Góc (α) (β) góc a b a α I b DIỆN TÍCH HÌNH CHIẾU CỦA MỘT ĐA GIÁC Định nghĩa Cho đa giác H nằm mặt phẳng (α) có diện tích S H hình chiếu vng góc H mặt phẳng (β) Khi diện tích S hình H tính theo cơng thức sau: S = S · cos ϕ với ϕ góc (α) (β) HAI MẶT PHẲNG VNG GĨC Định nghĩa Hai mặt phẳng gọi vng góc với góc hai mặt phẳng góc vng HDedu - Page 43 Định lí Điều kiện cần đủ để hai mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng chứa đường thẳng vng góc với mặt phẳng α c a b O β Hệ Nếu hai mặt phẳng vng góc với đường thẳng nằm mặt phẳng vng góc với giao tuyến vng góc với mặt phẳng Hệ Cho hai mặt phẳng (α) (β) vng góc với Nếu từ điểm thuộc mặt phẳng (α) ta dựng đường thẳng vng góc với mặt phẳng (β) đường thẳng nằm mặt phẳng (α) Định lí Nếu hai mặt phẳng cắt vng góc với mặt phẳng giao tuyến chúng vng góc với mặt phẳng HÌNH LĂNG TRỤ ĐỨNG, HÌNH HỘP CHỮ NHẬT, HÌNH LẬP PHƯƠNG Định nghĩa Hình lăng trụ đứng hình lăng trụ có cạnh bên vng góc với đáy Độ dài cạnh bên gọi chiều cao hình lăng trụ đứng Nhận xét: Các mặt bên hình lăng trụ đứng hình chữ nhật vng góc với mặt đáy Định nghĩa Hình lăng trụ hình lăng trụ đứng có đáy đa giác Nhận xét: Các mặt bên hình lăng trụ hình chữ nhật vng góc với mặt đáy Định nghĩa Hình hộp đứng hình lăng trụ đứng có đáy hình bình hành Nhận xét: Trong hình hộp đứng mặt bên hình chữ nhật Định nghĩa Hình hộp chữ nhật hình hộp đứng có đáy hình chữ nhật Nhận xét: Tất mặt hình hộp chữ nhật hình chữ nhật Định nghĩa Hình lập phương hình hộp chữ nhật có tất cạnh Nhận xét: Tất mặt hình lập phương hình vng HÌNH CHĨP ĐỀU VÀ HÌNH CHĨP CỤT ĐỀU Định nghĩa Một hình chóp gọi hình chóp có đáy đa giác có chân đường cao trùng với tâm đa giác đáy Nhận xét: Hình chóp có: a) Các mặt bên tam giác cân Các mặt bên tạo với mặt đáy góc b) Các cạnh bên tạo với mặt đáy góc Định nghĩa Phần hình chóp nằm đáy thiết diện song song với đáy cắt cạnh bên hình chóp gọi hình chóp cụt HDedu - Page 44 Nhận xét: Hình chóp cụt có: a) Hai đáy hai đa giác đồng dạng với b) Các đường thẳng chứa cạnh bên đồng qui điểm c) Các mặt bên hình thang cân B CÁC DẠNG TỐN Dạng Tìm góc hai mặt phẳng Muốn tìm góc hai mặt phẳng ta tìm góc hai nửa đường thẳng nằm hai mặt phẳng vng góc với giao tuyến chúng Một số trường hợp thường gặp: TH1: ABC = DBC Gọi I chân đường cao ABC A DBC nên DI ⊥ BC ‘ ⇒ ((ABC), (DBC)) = AID Nối DI Vì ABC = C D I B TH2: Xét góc hai mặt phẳng (M AB) (N AB) với M AB N AB cân có cạnh đáy AB Gọi I trung điểm AB Khi N I ⊥ AB M I ⊥ AB ’ ⇒ ((M AB), (N AB)) = M IN N B M I A TH3: Hai mặt phẳng cắt (α) ∩ (β) = ∆ Tìm giao tuyến ∆ hai mặt phẳng B Dựng AB có hai đầu mút nằm hai mặt phẳng vng góc với mặt (giả sử (β)) I Chiếu vng góc A B lên ∆ điểm I ‘ góc hai mặt phẳng ⇒ AIB Ÿ ’ TH4: Nếu a ⊥ (α); b ⊥ (β) ((α), (β)) = (a, b) A TH5: Trường hợp khó vẽ góc hai mặt phẳng dùng cơng thức phép chiếu diện tích đa giác ĄĄĄ BÀI TẬP DẠNG ĄĄĄ Ví dụ Cho tứ diện S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a, SA ⊥ (ABC) SA = 3a Tính góc hai mặt phẳng (SBC) (ABC) HDedu - Page 45 √ Ví dụ Cho hình vng ABCD cạnh a, SA ⊥ (ABCD) SA = a Tính số đo góc mặt phẳng sau: a) Tính ((SBC), (ABC)) b) Tính ((SBD), (ABD)) c) Tính ((SAB), (SCD)) Dạng Tính diện tích hình chiếu đa giác Gọi S diện tích đa giác H (P ), S diện tích hình chiếu H H (Q), ϕ = ((P ), (Q)) Khi đó: S = S · cos ϕ ĄĄĄ BÀI TẬP DẠNG ĄĄĄ Ví dụ Cho √ ABC cân A, đường cao AH = a 3, BC = 3a có BC nằm (P ) Gọi A hình chiếu A lên (P ) Khi A BC vng A , tính ((P ), (ABC)) Dạng Chứng minh hai mặt phẳng vng góc Cách 1: Chứng minh mặt phẳng chứa đường thẳng vng góc với mặt phẳng Cách 2: Chứng minh góc hai mặt phẳng 90◦ ĄĄĄ BÀI TẬP DẠNG ĄĄĄ Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng, SA ⊥ (ABCD) Chứng minh rằng: a) (SAC) ⊥ (SBD) b) (SAB) ⊥ (SBC) Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng, SA ⊥ (ABCD) Gọi M N hình chiếu A lên SB SD Chứng minh (SAC) ⊥ (AM N ) Ví dụ Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông A, SA ⊥ (ABC) Gọi H K hình chiếu B đường thẳng SA SC Chứng minh rằng: a) (SAC) ⊥ (SAB) b) (SAC) ⊥ (BHK) √ 2a Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi tâm O với AB = a, AC = , SO ⊥ (ABCD), SB = a Chứng minh (SAB) ⊥ (SAD) HDedu - Page 46 Dạng Thiết diện chứa đường thẳng vng góc với mặt phẳng Xác định mặt phẳng (β) chứa đường thẳng d vng góc với mặt phẳng (α) cho trước cách: a) Từ điểm A thuộc đường thẳng d dựng AH ⊥ (α) Mặt phẳng (AH, d) mặt phẳng (β) b) Tìm giao điểm mặt phẳng (β) cạnh hình chóp, hình lăng trụ, Từ suy thiết diện ĄĄĄ BÀI TẬP DẠNG ĄĄĄ Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng SA vng góc với mặt đáy Gọi (P ) mặt phẳng chứa AD vng góc với mặt phẳng (SBC) Xác định thiết diện mặt phẳng (P ) cắt hình chóp Ví dụ Cho tứ diện OABC có cạnh OA, OB, OC đơi vng góc OA = OB = OC = a Gọi M điểm cạnh AC cho AC = 3M C Gọi H hình chiếu O lên mặt phẳng (ABC) Gọi (α) mặt phẳng chứa OM vng góc với mặt phẳng (ABC) Xác định tính diện tích thiết diện mặt phẳng (α) cắt tứ diện HDedu - Page 47 §5 KHOẢNG CÁCH A TÓM TẮT LÝ THUYẾT KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT ĐƯỜNG THẲNG Cho điểm O đường thẳng a Trong (O, a) gọi H hình chiếu vng góc O a Khi khoảng cách O OH gọi khoảng cách từ điểm O đến a, kí hiệu a d (O, a) = OH α H KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM TỚI MỘT MẶT PHẲNG Cho mặt phẳng (α) điểm O, gọi H hình chiếu vng O góc điểm O mặt phẳng (α) Khi khoảng cách OH gọi khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (α), kí hiệu d (O, (α)) = OH M H α ! OH ≤ M O, ∀M ∈ (α) KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐƯỜNG THẲNG TỚI MỘT MẶT PHẲNG SONG SONG Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng (α) Khoảng cách đường thẳng a mặt phẳng (α) khoảng cách từ điểm A a B a đến mặt phẳng (α), kí hiệu d(a, (α)) α M H ! d (a, (α)) = d (A, (α)) , ∀A ∈ a KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI MẶT PHẲNG SONG SONG HDedu - Page 48 Cho hai mặt phẳng (α) (β) song song với nhau, khoảng cách từ điểm mặt phẳng đến mặt phẳng α M β H gọi khoảng cách hai mặt phẳng (α) (β) d ((α) , (β)) = d (M, (β)) = d (N, (α)) , M ∈ (α) , N ∈ (β) ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC CHUNG VÀ KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU Định nghĩa a a Đường thẳng ∆ cắt hai đường thẳng chéo a, b vng góc với đường thẳng gọi đường vng góc chung a b b Nếu đường thẳng vuông góc chung ∆ cắt hai đường chéo a, b lần M b lượt M, N độ dài đoạn M N gọi khoảng cách hai đường thẳng chéo a b B N CÁC DẠNG TOÁN Dạng Khoảng cách từ điểm tới đường thẳng Để tính khoảng cách từ điểm O tới đường thẳng (d), ta thực O bước sau: • Trong mặt phẳng (O; d), hạ OH ⊥ (d) H • Tính độ dài OH dựa công thức hệ thức lượng tam giác, tứ giác đường tròn d H ĄĄĄ BÀI TẬP DẠNG ĄĄĄ Ví dụ Cho hình lập phương ABCD.A B C D có cạnh a Chứng minh khoảng cách từ điểm B, C, D, A , B , D đến đường chéo AC Tính khoảng cách Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, tâm O, SA a vng góc với mặt phẳng (ABCD) Gọi I, M theo thứ tự trung điểm SC, AB a) Chứng minh OI ⊥ (ABCD) b) Tính khoảng cách từ I đến CM , từ suy khoảng cách từ S tới CM HDedu - Page 49 Dạng Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Phương pháp: Cho mặt phẳng (α) điểm O, gọi H hình chiếu vng góc điểm O mặt phẳng (α) Khi khoảng cách OH gọi khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (α), kí hiệu d (O, (α)) = OH O M H α Tính chất Nếu đường thẳng d song song với mặt phẳng (P ) khoảng cách từ điểm đường thẳng d đến mặt phẳng (P ) # » # » Tính chất Nếu AM = k BM d(A, (P )) = |k|d(B, (P )), (P ) mặt phẳng qua M ĄĄĄ BÀI TẬP DẠNG ĄĄĄ √ Ví dụ Cho hình chóp S.ABC có SA = a 3, SA ⊥ (ABC), tam giác ABC vng B AB = a Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC) √ Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật có AB = a Cạnh bên SA = 2a vng góc với mặt đáy (ABCD) Tính khoảng cách từ D đến mặt phẳng (SBC) Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có tam giác SAB nằm mặt phẳng vng góc với (ABCD), tứ giác ABCD hình vng cạnh a Gọi H trung điểm AB Tính khoảng cách từ điểm H đến mặt phẳng (SCD) HDedu - Page 50 Dạng Khoảng cách đường mặt song song - Khoảng cách hai mặt song song a) Cho đường thẳng d song song với mặt phẳng (α), để tính khoảng cách d (α) ta thực • Chọn điểm A d cho khoảng cách từ A tới (α) xác định dễ • Kết luận d(d; (α)) = d(A, (α)) b) Cho hai mặt phẳng song song (α), (β) Để tính khoảng cách hai mặt phẳng ta thực bước • Chọn điểm A (α) cho khoảng cách từ A tới (β) xác định dễ • Kết luận d((β); (α)) = d(A, (β)) ĄĄĄ BÀI TẬP DẠNG ĄĄĄ ’ = BAA ’ = DAA ’ = Ví dụ Cho hình hộp ABCD.A B C D có cạnh a BAD 60◦ Tính khoảng cách hai mặt phẳng đáy (ABCD) A B C D Ví dụ Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a, mặt bên (SBC) vng góc với đáy Gọi M, N, P theo thứ tự trung điểm AB, SA, AC Tính khoảng cách hai mặt phẳng (M N P ) (SBC) √ Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có SA = a vng góc với mặt phẳng (ABCD), đáy (ABCD) nửa lục giác nội tiếp đường trịn đường kính AD = 2a a) Tính khoảng cách từ A, B đến mặt phẳng (SCD) b) Tính khoảng cách từ đường thẳng AD đến mặt phẳng (SBC) c) Tính diện tích thiết diện hình chóp S.ABCD√với mặt phẳng (α) song song với mặt a phẳng (SAD) cách (SAD) khoảng HDedu - Page 51 Dạng Đoạn vng góc chung - Khoảng cách hai đường thẳng chéo Phương pháp: Ta có trường hợp sau: 1) Trường hợp Giả sử a b hai đường thẳng chéo a ⊥ b b • Ta dựng mặt phẳng (α) chứa a vuông góc với a b B • Trong (α) dựng BA ⊥ a A, ta độ dài B A đoạn AB khoảng cách hai đường thẳng α chéo a b 2) Trường hợp Giả sử a b hai đường thẳng chéo b B M A M khơng vng góc với • Ta dựng mặt phẳng (α) chứa a song song với b • Lấy điểm M tùy ý b dựng M M vng góc với (α) M • Từ M dựng b song song với b cắt a A α a • Từ A dựng AB song song với M M cắt b B, độ dài đoạn AB khoảng cách hai đường thẳng chéo a b Nhận xét a) Khoảng cách hai đường thẳng chéo khoảng cách hai đường thẳng mặt phẳng song song với chứa đường thẳng lại b) Khoảng cách hai đường thẳng chéo khoảng cách hai mặt phẳng song song chứa hai đường thẳng ĄĄĄ BÀI TẬP DẠNG ĄĄĄ Ví dụ Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC vng góc với đơi OA = OB = OC = a Gọi I trung điểm BC Hãy dựng tính độ dài đoạn vng góc chung cặp đường thẳng chéo nhau: a) OA BC b) AI OC Ví dụ Cho hình lăng trụ đứng ABC.A B C có đáy ABC tam giác vng A với AB = a, AC = 2a; cạnh bên AA = 2a Hãy dựng tính độ dài đoạn vng góc chung hai đường thẳng BC AA HDedu - Page 52 Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a, SA vng góc với đáy SA = a M trung điểm SB Tính khoảng cách đường thẳng: a) SC BD b) AC SD c) SD AM HDedu - Page 53 ... Nếu đường thẳng d song song với mặt phẳng (α) qua d có mặt phẳng song song với (α) Hệ Hai mặt phẳng phân biệt song với mặt phẳng thứ ba song song với Hệ Cho điểm A không nằm mặt phẳng (α) Mọi đường... A song song với (α) nằm mặt phẳng qua A song song với (α) Định lí HDedu - Page 18 Cho hai mặt phẳng song song Nếu mặt phẳng cắt mặt phẳng cắt mặt phẳng hai giao tuyến song song với γ b α a β Hệ. .. thẳng song song với mặt phẳng mặt phẳng song song với mặt phẳng, vấn đề liên quan đến song song như: chứng minh tứ giác hình bình hành, hình thang, tính chất hình Chú ý: Khi chứng minh yếu tố song