Chuyên đề 1+ 2 toán hình 10 NCT

CHUYÊN ĐỀ 1: HAI VECTO CÙNG PHƢƠNG – CÙNG HƢỚNG – BẰNG NHAU Giáo viên: Nguyễn Chí Thành LỚP TỐN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN – 0975.705.122 Phƣơng pháp: D Độ lớn Giá C B Điểm cuối A Điểm đầu - Các em cần hiểu điểm đầu, điểm cuối, độ dài, phương ( giá ) chiều ( hướng) - Hai véctơ hai véctơ có độ dài, hướng - Hai vecto hướng ( chiều) phương, phương chưa hẳn chiều ( ngược chiều) - Thông thường để chứng minh hai vecto nhau, ta thường đưa toán trung điểm, hình bình hành, thoi, vng, chữ nhật dựa vào tính chất đường trung bình tam giác Bài Cho tứ giác ABCD Có thể xác định véctơ (khác ) có điểm đầu điểm cuối điểm A, B, C, D ? HD: B A C D Từ điểm A nối đến đỉnh lại ta véctơ AB, AC, AD Cứ làm với đỉnh lại ta 3.4  12 véctơ ( em ý véctơ AB véctơ BA khác nhau) LỚP TỐN THẦY THÀNH - NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TỒN - 0975705122 Bài Cho hình bình hành ABCD , tâm O Gọi M , N trung điểm AD, BC 1) Có véctơ khác có điểm đầu điểm cuối số điểm A, B, C, D, O, M, N 2) Chỉ véctơ có điểm đầu, điểm cuối điểm A, B, C, D, O, M, N mà: a) Cùng phương với véctơ AB b) Cùng hướng với véctơ AB c) ngược hướng với véctơ AB HD: A B M N O D C 1) Từ điểm A nối đến điểm lại ta véctơ Cứ làm với điểm ta 6.7  42 véctơ 2) a) Các véctơ phương véctơ AB là: CD, DC , BA, MO, OM , MN , NM , ON , NO b) Các véctơ hướng véctơ AB là: DC, MO, ON , MN c) Các véctơ ngược hướng véctơ AB là: CD, OM, NO, NM Bài Cho ΔABC có D, E, F trung điểm BC, CA, AB Chứng minh FE  CD , kể tên véctơ HD: Chỉ CEFD hình bình hành  EF  CD A Các véctơ là: AE  EC  FD; EA  CE  DF EF  CD  DB; FE  DC  BD BF  FA  DE; FB  AF  ED? E F B D C Bài Cho ΔABC có trực tâm H , O tâm đường tròn ngoại tiếp ΔABC B ' điểm đối xứng B qua O Gọi I trung điểm AH K trung điểm BC 1) Chứng minh AH  B ' C 2) Chứng minh OK  IH HD: LỚP TOÁN THẦY THÀNH - NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN - 0975705122 1) Ta có:  AH  BC  AH / / B ' C Chứng minh tương tự : A  B ' C  BC B' B ' A / /CH  AHCB ' hình bình hành nên AH  B ' C I 2) Từ giả thiết suy OK  BC  IH / / OK  OK  B ' C O H B mà IH  AH , AH  B ' C  OIKH hình bình hành nên OK  IH C K Bài Cho tam giác ABC với trực tâm H, B điểm đối xứng với B qua tâm O đường tròn ngoại tiếp tam giác Hãy xét quan hệ véctơ AH vaø BC; AB vaø HC HD: Các em giải tƣơng tự A Chỉ AHCB ' hình bình hành nên B' I AH  BC; AB  HC O H B C K Bài Cho điểm A, B, C phân biệt thẳng hàng Khi AB, AC hướng, ngược hướng HD: A A C B C B C A B Hình a Hình a AB, AC hướng B nằm A, C C nằm A, B AB, AC ngược hướng A nằm B, C Bài Cho ABC có A, B, C trung điểm cạnh BC, CA, AB a) Chứng minh: BC  C A  AB b) Tìm véctơ BC , C A HD: LỚP TOÁN THẦY THÀNH - NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN - 0975705122 a) Vì C’ trung điểm AB nên BC  C A Vì A ' B ' đường trung bình tam giác ABC nên A C A  AB Vậy BC  C A  AB C' b) Các em dựa vào đường trung bình ra: BC  A ' B  CA '  CB C A  AB '  B ' C  AC B' B C A' Bài Cho tứ giác ABCD Gọi M, N, P, Q trung điểm cạnh AB, CD, AD, BC Chứng minh: MP  QN ; MQ  PN HD: Dựa vào đường trung bình tam giác MNPQ hình bình B M A hành nên: MP  QN ; MQ  PN Q P D C N Bài Cho tứ giác ABCD hình bình hành, có hai đường chéo AC , BD cắt O cho OD  OB Gọi M , N trung điểm AB,CD MN cắt AC I Chứng minh MI  IN HD: Gọi H , K trung điểm OA, OC   HM  OB   Suy  NK  OD  HM  NK  HMKN hình bình hành  OB  OD   B M A K O I H D N C nên I trung điểm MN  MI  IN Bài 10 Cho lục giác ABCDEF có tâm O Tìm véctơ khác nhận điểm đầu điểm cuối đỉnh lục giác phương OA HD: LỚP TỐN THẦY THÀNH - NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TỒN - 0975705122 véctơ khác nhận điểm đầu điểm cuối đỉnh lục A B giác phương OA EF BC ( vecto phải có điểm đầu điểm cuối đỉnh lục F giác nên vecto DO không thỏa mãn) C O E D CHUYÊN ĐỀ 2: CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC VECTO – PHÂN TÍCH VECTO Giáo viên: Nguyễn Chí Thành LỚP TỐN THẦY THÀNH – NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TỒN – 0975.705.122 Phƣơng pháp: Để chứng minh đẳng thức véctơ phân tích véctơ theo hai véctơ khơng phương, ta biến đổi vế trái thành vế phải ( ngược lại), biến đổi tương đương Trong trình biến đổi thường sử dụng: – Qui tắc ba điểm để phân tích véctơ ( chèn điểm) – Các hệ thức thường dùng như: hệ thức trung điểm, hệ thức trọng tâm tam giác – Tính chất hình Trong trình biến đổi ý dựa vào tƣơng quan vế dựa vào đẳng thức chứng minh bên Bài Cho điểm A, B, C, D, E, F Chứng minh: a) AB  DC  AC  DB b) AD  BE  CF  AE  BF  CD HD: Chèn điểm a) Cách 1: Biến đổi VT = VP             VT  AB  DC  AC  CB  DB  BC  AC  DB  CB  BC  AC  BD  VP ( điều phải cm) Cách 2: Biến đổi VP = VT:    VP  AC  DB  AB  BC  DC  CB  AB  DC  BC  CB  AB  DC  VT ( điều phải cm) Cách 3: Biến đổi tương đương Giả sử:    AB  DC  AC  DB  AB  DC  AC  DB   AB  AC  DC  DB   CB  BC  ( ln đúng) điều phải chứng minh LỚP TỐN THẦY THÀNH - NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN - 0975705122 b) Các em chọn cách giải để giải câu b       AE  BF  CD   EF  FE   AE  BF  CD   AD  BE  CF  AE  ED  BF  FE  CD  DF  AE  BF  CD  ED  DF  FE  Bài Cho điểm A, B, C, D Gọi I, J trung điểm AB CD Chứng minh: b) AC  BD  AD  BC  2IJ a) Nếu AB  CD AC  BD c) Gọi G trung điểm IJ Chứng minh: GA  GB  GC  GD  d) Gọi P, K trung điểm AC BD; M, N trung điểm AD BC Chứng minh đoạn thẳng IJ, PK, MN có chung trung điểm HD: a) Chèn điểm: Vì AB  CD  AC  CB  CB  BD  AC  BD A b) AC  BD  AD  DC  BC  CD  AD  BC I Gọi K trung điểm BD, suy AD  2IK ; BC  2KJ M c) Ta có: GA  GB  GC  GD  GI  IA  GI  IB  GJ  JC  GJ  JD    P G K  = GI  GJ  IA  IB  JC  JD  B N D d) IP//=KJ ( đường trung bình) nên IPJK hình bình hành, suy JI J C cắt KP trung điểm G KP IJ Tương tự MPNK hình bình hành nên KP cắt N trung điểm G Vậy đoạn thẳng IJ, PK, MN có chung trung điểm Bài Cho điểm A, B, C, D Gọi I, J trung điểm BC CD Chứng minh: 2( AB  AI  JA  DA)  3DB HD: Ta        AB  AI  JA  DA   DA  AB  JA  AI    có: A     DB  JI   DB  DB   3DB   B I D J C Bài Cho ABC Bên tam giác vẽ hình bình hành ABIJ, BCPQ, CARS Chứng minh: RJ  IQ  PS  HD: LỚP TOÁN THẦY THÀNH - NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN - 0975705122 Ta có: R       RA  CS    AJ  IB   BQ  PC    J A RJ  IQ  PS  RA  AJ  IB  BQ  PC  CS  S I C B P Q Bài Cho tam giác ABC, có AM trung tuyến I trung điểm AM a) Chứng minh: 2IA  IB  IC  b) Với điểm O bất kỳ, chứng minh: 2OA  OB  OC  4OI HD: 2IA  2MI ; IB  IC  2IM ( tc hình bình hành) nên a) Ta có: A 2IA  IB  IC  2MI  2IM  I b) Ta có:      2OA  OB  OC  OI  IA  OI  IB  OI  IC    C B M  4OI  2IA  IB  IC  4OI D Bài Cho ABC có M trung điểm BC, G trọng tâm, H trực tâm, O tâm đường tròn ngoại tiếp Chứng minh: a) AH  2OM b) HA  HB  HC  2HO c) OA  OB  OC  OH HD: a) Ta có: H, G, O thẳng hàng OM vng góc BC nên A AHG ∽ MOG (g.g) suy H AH AG   nên AH  2OM OM GM G O Cách khác: Có thể kẻ đường kính AK BHCK hình bình C M hành suy M trung điểm HK nên OM đường trung bình tam giác AHK b) Ta có:        HA  HB  HC  HG  GA  HG  GB  HG  GC  3HG  GA  GB  GC   3HG  2HO ( HG = 2GO)   Hoặc HA  HB  HC  HA  HK  2HO ( với AK đường kính) c) Ta có: LỚP TỐN THẦY THÀNH - NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN - 0975705122 B         OA  OB  OC  OH  HA  OH  HB  OH  HC  3OH  HA  HB  HC  3OH  2HO  OH Bài Cho hai ABC A ' B ' C ' có trọng tâm G G a) Chứng minh AA  BB  CC  3GG b) Từ suy điều kiện cần đủ để hai tam giác có trọng tâm HD: a) Ta có:      AA  BB  CC  AG  GA  BG  GB  CG  GC       AG  BG  CG  GA  GB  GC   AG  BG  CG 0          AG  GG '  BG  GG '  CG  GG '  AG  BG  CG  3GG '  3GG ' 0 b) Để hai tam giác có trọng tâm G  G ' nên GG '   AA '  BB '  CC '  Bài Cho tam giác ABC điểm G cho GA  GB  GC  a) Chứng minh rằng: G trọng tâm tam giác b) Nếu có điểm O cho OG    OA  OB  OC G trọng tâm tam giác ABC HD: a) Gọi D trung điểm AB, ta có: GA  GB  2GD ( quy tắc hbh) A GA  GB  GC   2GD  GC   G, D, C thẳng hàng mà GC  2GD Mà DC đường trung tuyến nên G trọng tâm D ABC N G b) OA  OB  OC  3OG  GA  GB  GC ( chèn điểm G) Suy OG   B  3OG  GA  GB  GC  GA  GB  GC  nên G trọng tâm ABC Bài Cho tam giác ABC Gọi M điểm cạnh BC cho MB = 2MC 3 Chứng minh: AM  AB  AC HD: LỚP TOÁN THẦY THÀNH - NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN - 0975705122 C Cách 1: A    2 AB  AC  AM  MB  AM  MC 3 3 2 1  1    AM  AM    MB  MC  3 3  3   C Vì MB  2MC nên MB  2CM nên  B M  2 MB  MC  2CM  MC  CM  MC  3 3 Suy AB  AC  AM 3 Cách 2: AM  AB  BM  AB  BC  AB  2 2 BA  AC  AB  AB  AC  AB  AC 3 3   Bài 10.Cho tam giác ABC Gọi M trung điểm AB, D trung điểm BC, N điểm thuộc AC cho CN  NA K trung điểm MN Chứng minh: a) AK  1 AB  AC b) KD  1 AB  AC HD: a) 1 1 AB  AC  AM  AN 2  1 AM  AN  AK  AK ( quy tắc hbh) 2    A N  Hoặc AK  AN  AM ( hình bình hành) 11 1  AK   AC  AB   AC  AB 23  b) KD  KA  AD  KA    AK   AC  AB M K C D  1 1 1 1  AC  AB    AB  AC   AC  AB  AB  AC 2 4  Bài 11.Cho hình thang OABC M, N trung điểm OB OC Chứng minh rằng: a) AM  OB  OA b) BN  OC  OB c) MN  1 OC  OB  HD: LỚP TOÁN THẦY THÀNH - NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN - 0975705122 B a) OB  OA  OM  OA  AM ( hiệu hai vec tơ ) b) OC  OB  ON  OB  BN ( hiệu hai vec tơ) c) 1 OC  OB  BC  MN ( Tính chất đường trung bình) 2  O A N M  C B Bài 12.Cho ABC Gọi M, N trung điểm AB, AC Chứng minh rằng: a) AB   CM  BN 3 b) AC   CM  BN c) MN  BN  CM HD: Các em sử dụng tính chất trọng tâm tam giác để giải     4 a)  CM  BN  MC  NB  MA  AC  NA  AB  3 3 3 A AB 4 2  2  ; AC  AN   MA  AB    AC  NA  Mà MA   3 3  3  M N G nên 4 4 2  2   1  4  AB  AB    AN  NA   AB  MA  AB    AC  NA    3 3 3  3    3  C Cách khác:     2 AB  MB  MG  GB    CM  BN    CM  BN 3   b) c) em chọn hai cách làm câu a     AC  NC  NG  GC    BN  CM    CM  BN 3   1 MN  MG  GN  BN  CM 3 Bài 13.Cho ABC có trọng tâm G Gọi H điểm đối xứng B qua G a) Chứng minh: AH  1 AC  AB CH    AB  AC  3 b) Gọi M trung điểm BC Chứng minh: MH  AC  AB 6 HD: LỚP TOÁN THẦY THÀNH - NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TỒN - 0975705122 B a) Ta có: I trung điểm AC   4 BI  AB  BA  BC 3 2 2  AB  BA  BA  AC  AB  AB  AC  AC  AB 3 3 AH  AB  BH  AB       A H I G  1 Hoặc AH  GC   CA  CB   CA  CA  AB  AC  AB 3 3 B Chứng minh CH    AB  AC  3 Ta có: CH  CA  AH   AC  AC  AB    1 AB  AC   1 AB  AC    AB  AC  3 Hoặc CH  GA   AM   b) Chứng minh MH  MH  MA  AH   C M AC  AB 6   1 AB  AC  AC  AB  AC  AB 3 6 Hoặc MH  MC  CH  BC    1 1 AB  AC   BA  AC   AB  AC   AC  AB 3 6 Bài 14.Cho hình bình hành ABCD, đặt AB  a , AD  b Gọi I trung điểm CD, G trọng tâm tam giác BCI Phân tích véctơ BI , AG theo a, b HD: 1 BI  BC  CI  AD  AB  b  a 2  A  1  AG  AB  GG  AB  BI  BC  a   b  a  a   b  a 3  B G D I C Bài 15.Cho bốn điểm A, B, C, D Gọi I, J trung điểm AB CD a) Chứng minh: AC  BD  AD  BC  2IJ b) Gọi G trung điểm IJ Chứng minh: GA  GB  GC  GD  c) Gọi P, Q trung điểm đoạn thẳng AC BD; M, N trung điểm đoạn thẳng AD BC Chứng minh ba đoạn thẳng IJ, PQ MN có chung trung điểm HD: LỚP TOÁN THẦY THÀNH - NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN - 0975705122     a) Ta có: AC  BD  AD  DC  BD  CD  AD  BD  B I  A Gọi Q trung điểm BD suy AD  BD  2IQ  2QJ  IQ  QJ  2IJ P N G b) Ta có: M GA  GB  GC  GD   2GI  2GJ  GI  GJ   C Q J c) Chỉ MJNI QJPI hai hình bình hành nên MN, IJ, PQ đồng quy D G Bài 16 Cho tam giác ABC điểm M tuỳ ý a) Hãy xác định điểm D, E, F cho MD  MC  AB , ME  MA  BC , MF  MB  CA Chứng minh điểm D, E, F khơng phụ thuộc vào vị trí điểm M b) So sánh hai tổng véctơ: MA  MB  MC MD  ME  MF HD: a) Ta có:  MD  MC  AB  MD  MC  AB  CD  AB nên D đỉnh hình bình hành ABDC D khơng phụ thuộc vào vị trí A F E M  ME  MA  BC  ME  MA  BC  AE  BC nên E B C đỉnh hình bình hành ABCE E khơng phụ thuộc vào vị trí M  MF  MB  CA  MF  MB  CA  BF  CA nên F đỉnh D hình bình hành ACBF F khơng phụ thuộc vào vị trí M b) Ta có:  MD  MC  AB   ME  MA  BC Cộng theo vế đẳng thức ta được:  MF  MB  CA   MD  ME  MF  MA  MB  MC  AB  BC  CA  0 Suy MD  ME  MF  MA  MB  MC Bài 17 Cho hình bình hành ABCD tâm O Gọi I trung điểm BC G trọng tâm ABC Chứng minh: a) AI  AO  AB b) 3DG  DA  DB  DC HD: LỚP TOÁN THẦY THÀNH - NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN - 0975705122 a) Ta có: AO  AB  AC  AB  AI ( Quy tắc hình bình hành ) DA  DB  DC   DG  GA    DG  GB    DG  GC  (chèn b) B A G I O điểm G)  3DG   GA  GB  GC   3DG D C Bài 18 Cho hình bình hành ABCD tâm O Gọi I J trung điểm BC, CD a) Chứng minh: AI  1 AD  AB  b) Chứng minh: OA  OI  OJ  c) Tìm điểm M thoả mãn: MA  MB  MC  HD: a) Ta có:   1 1 1 AD  AB    AD  AB   AB  AC  AB 2 2 B A  1 AC  AB  AI  AI 2 I O D b) Hình OICJ hình bình hành nên OI  OJ  OC C J Suy OA  OI  OJ  OA  OC  Bài 19 Cho lục giác ABCDEF Phân tích véctơ BC ; BD theo véctơ AB ; AF HD: Ta có: BC  BO  OC  AF  AB ( ý vecto A B hình bình hành) BD  BO  BC ( quy tắc hình bình hành ) F  AF  AF  AB  AF  AB E Bài 20 C O D Cho hình thang OABC, AM trung tuyến tam giác ABC Hãy phân tích véctơ AM theo véctơ OA, OB, OC HD: LỚP TOÁN THẦY THÀNH - NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TỒN - 0975705122 Ta có: AM    AC  AB  ( quy tắc hình bình hành) A O 1 AO  OB  AO  OC    2OA  OB  OC   2 C Cho ABC Gọi D điểm xác định AD  Bài 21 a) Tính AM theo AB AC B M AC M trung điểm đoạn BD b) AM cắt BC I Tính IB AM IC AI HD: a) AM  AB  AD  ( quy tắc hình bình hành)   AB  AC   2  b) Kẻ ME / / BC , Vì ME DBC  CE   MI  đường trung bình 1 3 DC  AC  AC 2 10 A AM AI  AM  AI   10 10 AI 10 Ta có: IB  IA  AB IC  IA  AC D 1 mà theo câu M a, B AM   AB  AC   AC  AM  AB 2  5  IC  IA  AM  AB  IA  IA  AB   IA  AB   10 2 I C IB Từ (1)(2) suy IC   IB   IC Bài 22 * Cho hai tam giác ABC A1 B1C1 có trọng tâm G Gọi G1 , G2 , G3 trọng tâm tam giác BCA1 , ABC1 , ACB1 Chứng minh GG1  GG2  GG3  HD: Vì G1 trọng tâm tam giác BCA1 nên 3GG1  GB  GC  GA1 Tương tự G2 , G3 trọng tâm tam giác ABC1 , ACB1 suy 3GG2  GA  GB  GC1 3GG3  GA  GC  GB1 Công theo vế với vế đẳng thức ta có LỚP TỐN THẦY THÀNH - NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TỒN - 0975705122    GG1  GG2  GG3  GA  GB  GC  GA1  GB1  GC1  Mặt khác hai tam giác ABC A1 B1C1 có trọng tâm G nên GA  GB  GC  GA1  GB1  GC1 Suy GG1  GG2  GG3  Bài 23 * Cho tam giác ABC với AB  c, BC  a, CA  b có trọng tâm G Gọi D, E , F hình chiếu G lên cạnh BC, CA, AB Chứng minh a2 GD  b2 GE  c2 GF  HD: Trên tia GD, GE, MF lấy điểm N, P, Q cho GN  a, GP  b, GQ  c dựng hình bình hành GPRN P A Q E F Ta có a2 GD  b2 GE  c2 GF   a.GD.GN  b.GE.GP  c.GF GQ  (*) Ta có a.GD  2SGBC , b.GE  2SGCA , c.GF  2SGAB , mặt khác G trọng G C B D R tâm tam giác ABC nên SGBC  SGCA  SGAB suy a.GD  b.GE  c.GF N Vậy (*)  GN  GP  GQ  Ta có AC GP b, PR BC a ACB GPR (góc có cặp cạnh vng góc với nhau) Suy ACB  GPR  c.g.c   GR  AB  c PGR  BAC Ta có QGP  BAC  1800  QGP  GPR  1800  Q, G, R thẳng hàng G trung điểm QR Theo quy tắc hình bình hành hệ thức trung điểm ta có GN  GP  GQ  GR  GQ  Vậy a2 GD  b2 GE  c2 GF  Bài 24 * Cho tam giác ABC với cạnh AB  c, BC  a, CA  b Gọi I tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC Chứng minh aIA  bIB  cIC  HD: Cách 1: Gọi D chân đường phân giác góc A Do D đường phân giác giác góc A  nên  ta A có DB c c c   BD  DC  ID  IB  IC  ID   b  c  ID  bIB  cIC (1) DC b b b Do I chân đường phân giác nên ta có : B I C D LỚP TỐN THẦY THÀNH - NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TỒN - 0975705122 ID BD CD BD  CD a       b  c  ID  aIA (2) IA BA CA BA  CA b  c Từ (1) (2) ta có điều phải chứng minh Cách 2: Qua C dựng đường thẳng song song với AI cắt BI tai B ' ;song A B' song với BI cắt AI A ' Ta có IC  IA '  IB ' (*) Theo định lý Talet tính chất đường phân giác I C ta có: B D IB BA1 c b a    IB '   IB (1) Tương tự : IA '   IA (2) IB ' CA1 b c c C' a b Từ (1) (2) thay vào (*) ta có : IC   IA  IB  aIA  bIB  cIC  c c Bài 25 Cho tam giác ABC tâm O M điểm tùy ý tam giác Hạ MD, ME, MF tương ứng vng góc với BC, CA, AB Chứng minh: MD  ME  MF  MO HD: Qua M kẻ đường thẳng song song với cạnh  ABC, đường thẳng cắt điểm hình vẽ Dễ thấy ta có A tam giác MD1D2 , ME2 E2 , MF1F2 hình bình hành MF1 AE2 , ME1CD2 , MD1BF2 Ta có: MD  (MD1  MD2 ) , F1 ME  (ME1  ME ) , MF  (MF  MF ) E2 F E F2 M B E1 D1 D D2 C Cộng vế đẳng thức nhóm ta được: MD  ME  MF  MO Bài 26 Cho n vectơ đôi khác phương tổng n 1 vectơ n vectơ phương với vectơ lại Chứng minh tổng n vectơ cho vectơ không HD: Giả sử n vectơ , i  1, 2, , n Đặt u  a1  a2   an Vì tổng n 1 vectơ n vectơ phương với vectơ cịn lại u phương với hai vectơ a1 , a2 nên u  Bài 27 Cho tam giác ABC với cạnh AB  c, BC  a, CA  b Gọi I tâm đường tròn nội tiếp D, E, F tiếp điểm cạnh BC, CA, AB đường tròn nội tiếp tam giác LỚP TỐN THẦY THÀNH - NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TỒN - 0975705122 ABC M, N, P trung điểm BC, CA, AB Chứng minh rằng: B C C A A B    a)  cot  cot  IA   cot  cot  IB   cot  cot  IC  2 2 2    b) cot A B C IM  cot IN  cot IP  2 c)  b  c  a  IM   a  c  b  IN   a  b  c  IP  d) aAD  bBE  cCF  HD: a) Gọi r bán kính đường trịn nội tiếp ABC ta có A B C C A A B    a  r  cot  cot  ; b  r  cot  cot  ; c  r  cot  cot  2 2 2    F N P Ta có aIA  bIB  cIC  ( chứng minh trên) B C C A A B      cot  cot  IA   cot  cot  IB   cot  cot  IC  2 2 2    b) Ta có IM   Theo câu a) ta có cot Suy cot     1 IB  IC ; IN  IC  IA ; IP  IA  IC 2      C B M   A B C IB  IC  cot IA  IC  cot IA  IB  2 A B C IM  cot IN  cot IP  2 c) Ta có IA  IP  IN  IM ; IB  IM  IP  IN ; IC  IM  IN  IP Kết hợp ví dụ suy aIA  bIB  cIC    b  c  a  IM   a  c  b  IN   a  b  c  IP  d) ID   p  c  IB   p  b  IC DC DB IB  IC  BC BC a a  aID   p  c  IB   p  a  IC với p nửa chu vi Tương tự ta có : bIE   p  a  IC   p  c  IA ; cIF   p  b  IA   p  a  IB  aID  bIE  cIF   p  b  c  IA   p  c  a  IB   p  a  b  IC  aIA  bIB  cIC  a AD  bBE  cCF  Bài 28 E I Cho tam giác ABC M điểm nằm tam giác Chứng minh : S MBC MA  S MCA MB  S MAB MC =0 HD: LỚP TOÁN THẦY THÀNH - NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN - 0975705122 D Gọi A' giao điểm AM với BC ta có MA '  Mặt khác Và A'C A' B MB  MC (*) BC BC A S S MAB A ' C S MA 'C S MAC A 'C A' B      MAC    A ' B S MA ' B S MAB A' B S MAB BC S MAB  S MAC S MAC A'C  (1) BC S MAB  S MAC M B A' C S MBC MA ' MA   MA (2) MA S MAB  S MAC mà MA '   Thay (1) (2) vào (*) ta điều phải chứng minh Bài 29 Cho đa giác lồi A1 A2 An ( n  ); ei ,1  i  n vectơ đơn vị vng góc với Ai Ai 1 (xem An 1  A1 ) hướng phía ngồi đa giác Chứng minh A1 A2 e1  A2 A3 e2   An A1 en  (định lý nhím) HD: Ta chứng minh quy nạp Với n  đẳng thức trở thành a.e1  b.e2  c.e3  (đúng đẳng thức tương đương với đẳng thức 11) Giả sử với n  k  1, k  Gọi e vectơ đơn vị vng góc với A1 Ak 1 hướng tam giác A1 Ak 1 Ak Theo giả thiết quy nạp ta có   A1 A2 e1  A2 A3 e2   Ak 2 Ak 1 ek 2  Ak 1 A1 e  (1) Mặt khác xét tam giác A1 Ak 1 Ak ta có A1 Ak 1 e  Ak 1 Ak ek 1  Ak A1 ek  (2) Từ (1) (2) suy điều phải chứng minh Bài 30 Cho đa giác lồi A1 A2 An ( n  ) với I tâm đường tròn tiếp xúc cạnh đa giác; gọi ei ,1  i  n véc tơ đơn vị hướng với véc tơ IAi Chứng minh cos A A1 A e1  cos e2   cos n en  2 HD: Gọi Bi , i  1, 2, , n tiếp điểm đường tròn nội tiếp với cạnh Ai Ai 1 Xét tứ giác A1 B1 IBn có A1Bn I  A1B1I  900 Bn A1I  B1 A1I Suy Bn IA1  B1IA1 Mặt khác IB1  IBn dó IA1  B1Bn LỚP TOÁN THẦY THÀNH - NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TỒN - 0975705122 Tương tự ta có IAi  Bi 1Bi , i  2,3, , n Xét đa giác lồi B1B2 Bn theo định lý nhím ta có Bn B1.e1  B1B2 e2   Bn 1Bn en   IB1.cos A A1 A e1  IB2 cos e2   IBn cos n en  2 Mà IB1  IB2   IBn suy đpcm Cho tam giác ABC vuông A I trung điểm đường cao AH Chứng minh : Bài 31 a2 IA  b2 IB  c2 IC  HD: Ta có HB HB.BC c   , HC HC.BC b2 b2 c2 Suy IH  2 IB  2 IC c b c b b2 c2 Mà b  c  a IH   IA nên suy  IA  IB  IC a a 2 Hay a2 IA  b2 IB  c2 IC  Bài 32 Cho tam giác ABC ba số thức  ,  ,  không đồng thời không Chứng minh rằng: a) Nếu       tồn điểm M cho  MA   MB   MC  b) Nếu       khơng tồn điểm N cho  NA   NB   NC  HD: a) Vì                        Khơng tính tổng quát giả sử      ! D :  DA   DB  Suy  MA   MB   MC       MD   MC  Do tồn điểm M b) Giả sử tồn điểm N   Ta có  NA   NB   NC   CA   Bài 33  CB (mâu thuẫn với ABC tam giác)  Cho n điểm A1 , A2 , , An n số k1 , k2 , , kn mà k1  k2   kn  k  a) Chứng minh có điểm G cho k1 GA1  k2 GA2   kn GAn  Điểm G gọi tâm tỉ cự hệ điểm Ai gắn với hệ số ki Trong trường hợp hệ số ki LỚP TOÁN THẦY THÀNH - NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TỒN - 0975705122 nhau(ta chọn ki ) G gọi trọng tâm hệ điểm Ai b) Chứng minh G tâm tỉ cự nói câu a) với điểm M ta có  k MA  k2 MA2   kn MAn   OG k 1 HD: O điểm tùy ý, ta có: k1 GA1  k2 GA2   kn GAn         k1 OA1  OG  k2 OA2  OG   kn OAn  OG   OG   k1 OA1  k2 OA2   kn OAn k  Suy G xác định BÀI TẬP TỰ GIẢI Bài 34 Cho ABC Gọi A1, B1, C1 trung điểm BC, CA, AB a) Chứng minh: AA1  BB1  CC1  b) Đặt BB1  u , CC1  v Tính BC, CA, AB theo u v Bài 35 Cho ABC Gọi I điểm cạnh BC cho 2CI = 3BI Gọi F điểm cạnh BC kéo dài cho 5FB = 2FC a) Tính AI , AF theo AB AC b) Gọi G trọng tâm ABC Tính AG theo AI vaø AF Bài 36 Cho ABC có trọng tâm G Gọi H điểm đối xứng G qua B a) Chứng minh: HA  5HB  HC  b) Đặt AG  a, AH  b Tính AB, AC theo a b LỚP TOÁN THẦY THÀNH - NGÕ 58 NGUYỄN KHÁNH TOÀN - 0975705122 ... điểm hình vẽ Dễ thấy ta có A tam giác MD1D2 , ME2 E2 , MF1F2 hình bình hành MF1 AE2 , ME1CD2 , MD1BF2 Ta có: MD  (MD1  MD2 ) , F1 ME  (ME1  ME ) , MF  (MF  MF ) E2 F E F2 M B E1 D1 D D2... có HB HB.BC c   , HC HC.BC b2 b2 c2 Suy IH  2 IB  2 IC c b c b b2 c2 Mà b  c  a IH   IA nên suy  IA  IB  IC a a 2 Hay a2 IA  b2 IB  c2 IC  Bài 32 Cho tam giác ABC ba số thức... minh: 2IA  IB  IC  b) Với điểm O bất kỳ, chứng minh: 2OA  OB  OC  4OI HD: 2IA  2MI ; IB  IC  2IM ( tc hình bình hành) nên a) Ta có: A 2IA  IB  IC  2MI  2IM  I b) Ta có:      2OA