chuyên đề các dạng toán hình học

j PHẦN I LÝ THUYẾT CĂN BẢN S = a x h : 2 a = 2 x S : h h = 2 x S : a * Hai tam giác có diện tích bằng nhau khi chúng có đáy bằng nhau hoặc chung đáy và chiều cao bằng nhau hoặc chun

j PHẦN I LÝ THUYẾT CĂN BẢN

S = a x h : 2

a = 2 x S : h

h = 2 x S : a

* Hai tam giác có diện tích bằng nhau khi chúng có đáy bằng nhau ( hoặc chung đáy )

và chiều cao bằng nhau ( hoặc chung chiều cao)

* Hai tam giác có diện tích bằng nhau , đáy bằng nhau thì hai chiều cao tương ứng củng bằng nhau

* Hai tam giác có diện tích bằng nhau , chiều cao bằng nhau thì hai cạnh đáy tương ứng củng bằng nhau

* Hai tam giác có diện tích bằng nhau thì tỉ số chiều cao của fai tam giác đó tỉ lệ nghịch với tỉ số hai cạnh đáy tương ứng của chúng

* Hai tam giác có fieenj tích bằng nhau và có một phần diện tích chung thì các phần còn lại của chúng củng bằng nhau

*Hai tam giác có chung chiều cao (hoặc chiều cao bằng nhau)

Nếu cạnh đáy của tam giác này gấp bao nhiêu lần cạnh đáy của tam giác kia

Thì diện tích của tam giác này gấp bấy nhiêu lần diện tích của tam giác kia

*Hai tam giác có chung cạnh đáy (hoặc cạnh đáy bằng nhau)

Nếu chiều cao của tam giác này gấp bao nhiêu lần chiều cao của tam giác kia

Thì diện tích của tam giác này gấp bấy nhiêu lần diện tích của tam giác kia

Bài tập làm quen

Bài 1 : Cho tam giác ABC có cạnh đáy BC = 10 cm Nếu kéo dài đáy BC về phía C 1

đoạn CD =5 cm thì diện tích tăng thêm 35 cm2 Tính diện tích tam giác ABD ( bằng hai cách ) A

Cách 1 :

B H C D

AH cũng là chiều cao tam giác ACD

AH = 2 x SACD : CD

= 2 x 35 : 5 = 14 cm

SABC = AH x BC : 2

= 14 x 10 : 2 = 70 Cm 2

SABD = SABC + SACD

= 70 + 35 = 105 cm2

Cách 2

Tam giác ABC và tam giác ACD chung đường cao AH , đáy BC gấp 2 lần đáy CD ( 10 = 5 x 2 ) nên SABC = 2 x SACD

SABD = SABC + SACD = 70 + 35 = 105 cm2

Bài 2: Cho tam giác ABC có diện tích 150 cm2 Nếu kéo dài đáy BC về phía C 5 cm thì diện tích tăng thêm 37,5 cm2 Tính BC ( bằng hai cách )

A

Cách 1 :

B H C D

AH cũng là chiều cao tam giác ACD

AH = 2 x SACD : CD

= 2 x 37,5 : 5 = 15 cm

BC = 2 x SABC : AH

= 2 x 150 : 15 = 20 cm

Cách 2

Tam giác ABC và tam giác ACD chung đường cao AH

SABC = 4 x SACD ( 150 = 4 x 37,5 )

Nên đáy BC = 4 x CD

BC = 4 x 5 = 20 cm

CÁC BƯỚC CƠ BẢN GIẢI 1 BÀI TOÁN HÌNH HỌC

Bước 1 : Tóm tắt bài toán

Bước 2 : Phân tích bài toán ( Bước quan trọng nhất ) dùng hệ thống câu hỏi kết hợp

với sơ đồ phân tích

Bước 3 : Giải bài toán

Ví dụ

Bài 1

Cho tam giác ABC vuông ở A, có cạnh AB = 24 cm, cạnh AC = 32 cm Điểm M nằm trên cạnh AC sao cho AM = 6 cm Từ M kẻ đường song song với cạnh AB cắt BC tại

N Tính SCMN C

M N

A H B

Bước 1 : Tóm tắt : đã cho : AB = 28 cm

AC = 36 cm

AM = 9 cm MN // AB Cần tìm : SCMN

Bước 2

Phân tích

Muốn tính SCMN ta phải biết gì ? ( CM và MN ) ( CM tính được )

Muốn tìm MN ta cần biết gì ? ( SNCA và đáy CA ) ( CA đã biết )

Muốn tính SNCA ta phải biết gì ? ( SABC và SNAB ) ( SABC tính được )

Muốn tính SNAB ta cần biết gì ? ( AB và NH ) ( AB đã biết và NH = AM = 6cm )

Sơ đồ phân tích

SCMN CM ( CM = CA – MA )

MN SCNA SABC

SNAB AB ( 36 cm)

NH ( NH = MA = 9 cm )

Bước 3: Giải bài toán

Nối N với A, kẻ đường cao NH Vì NM // AB nên MN vuông góc với AC

Tứ giác AMNH là hình chữ nhật nên NH = MA = 9 cm

SNAB = AB x NH : 2

= 28 x 9 : 2 = 126 cm 2

SABC = AB x AC : 2

= 36 x 28 : 2 = 504 cm 2

SCNA = SABC- SNAB

= 504 – 126 = 378 cm 2

MN = 2 x SCNA : AC

= 2 x 378 : 36 = 21 cm

CM = CA – AM

= 36 – 9 = 27 cm

SCMN = CM x MN : 2

= 27 x 21 : 2 = 283,5 cm 2

Bài 2 :

Cho tam giác ABC M là trung điểm cạnh BC Trên AM lấy điểm N sao cho

AN =2 x MN BN kéo dài cắt AC tạ I Chứng tỏ AI = IC

A

Bước 1 tóm tắt : đã cho : BM = MC

AN = 2 x NM

Cần tìm AI = IC I K

N H

B M C

Bước 2:

phân tích

Muốn chứng tỏ AI = IC ta cần chứng tỏ điều gì ? ( SBAI = SBIC )

Muốn chứng tỏ SBAI = SBIC ta cần chứng tỏ điều gì ? ( đường cao AH = KC )

Muốn chứng tỏ AH = KC ta cần chứng tỏ điều gì ? ( SBNA = SBNC )

AI = IC SBAI = SBIC AH = KC SBNA = SBNC

Bước 3: Giải bài toán

( vì đáy AM = 2 x NM, chung đường cao kẻ từ B đến AM )

( vì đáy BC = 2 x BM, chung đường cao kẻ từ N đến BC )

Từ 1 và 2 ta có SBNA = SBNC

-Tam giác ANB và tam giác CNB chung đáy BN,

SBNA = SBNC nên đường cao AH = CK

-SBAI = SBIC

( vì chung đáy BI đường cao AH = CK )

-Tam giác BAI và tam giác BIC chung đường cao kẻ từ B đến AC

SBAI = SBIC đáy AI = IC

Các bài toán luyện tập

Bài 1:

Một thửa đất hình tam giác vuông có đáy là cạnh kề với góc vuông và dài 24m Nay người ta lấy bớt 4m chiều cao phần giáp với đáy để làm đường, mép đường mới song song với đáy trước đây của tam giác.Biết chiều cao trước đây của thửa đất làm 16 m tính diện tích còn lại của thửa đất

Tóm tắt B

AC = 24m

AB = 16 m

AM = 4 m

Tính SBIC

M N

A C

Bài 2:

Cho tam giác ABC M là trung điểm cạnh AB Từ M kẻ đường thẳng song song với đáy BC cắt AC tại N

a- Chứng tỏ AN = NC

b- MN = ½ BC

A

AM = MB

MN // BC

M N

B C

Bài 3:

Một thửa đất hình tam giác vuông có đáy là cạnh kề với góc vuông và dài 20m, chiều dài là 24m Nay người ta lấy bớt một phân diện tích của thửa đất để làm đường đi Đường đi mới vuông góc với chiều dài của thửa đất Do đó, đáy thửa đất chỉ còn là 15m Hỏi:

a) Diện tích còn lại của thửa đất?

b) Đường mở rộng mấy mét vào chiều cao của thửa đất?

c) Do thửa đất giáp mặt đường nên giá trị của thửa đất tăng lên gấp 400% giá trị trước đây Hỏi người chủ thửa đất lợi hay thiệt trong việc làm đường và lợi hay thiệt bao nhiêu phần trăm?

Bài 4:

Cho tam giác ABC D,E lần lượt là điểm giữa của các cạnh AB và AC

a- So sánh SADE và SABC

b- M là một điểm bất kì trên BC Nối A với M cắt DE tại I So sánh AI với IM A

D E

I

B M C

Bài 5 :

Cho tam giác ABC có diện tích 283,5cm2 Đáy BC dài 27 cm, điểm M trên AC và cách AC một đoạn bằng 1/3 AC Từ M kẻ đường thẳng song song với đáy BC cắt cạnh AB tại N

Tính diện tích thang MNBC A

M N

B C Bài 6 :

Cho tam giác ABC Trên đáy BC lấy 2 điểm M, N sao cho CM = 1/4 BC,

MN = 1/2 BC và NB = 1/4 BC Từ M kẻ đường song song với AC, từ N kẻ đường song song với AB chúng cắt nhau tại I

Tính diện tích các tam giác IAB IBC , ICA biết SABC = 500 cm2

A

I

B N M C

Bài 7 :

Cho tam giác ABC có diện tích 900 cm2 Trên đáy BC lấy 2 điểm M, N sao cho M cách C một khoảng = 1/4 BC, N cách cách B một khoảng = 1/4 BC Từ M kẻ đường song song với AB, từ N kẻ đường song song với AC chúng cắt nhau tại I

Tính diện tích các tam giác IAB IAC IBC

A

N M

B C

I

Bài 8 :

Tam giác ABC vuông ở A , có AB = 30 cm; AC = 40 cm; BC = 50 cm Một đường thẳng song song với cạnh BC và cách cạnh BC 3 cm., cắt cạnh AB tại M và cắt cạnh

AC tại N

a- Tứ giác MNCB là hình gì ?

b- Tính diện tích tứ giác MNCB B

H

M

A N C Bài 9

Cho tam giác ABC có BC = 9 cm Gọi D là điểm chính giữa cạnh AC, kéo dài cạnh AB một đoạn BE = AB Nối D với E, đoạn DE cắt đoạn BC tại G

a- So sánh diện tích các tam giác GBE, GBA, GAD, GDC

b- Tính độ dài đoạn BG

A

D

B C

G

E

Bài 10 :

Cho tam giác ABC có diện tích 2000 cm2

a- Trên BC lấy điểm E sao cho BE = 1/4 BC Tính SABE

b- Trên AB lấy D sao cho AD = 1/3 DB

Trên AC lấy điểm F sao cho AF = 3/4AC A

Tính SDEF

D

F

B E C

Bài 11: cho tam giác ABC có diện tích 240 cm 2 D là điểm chính giữa cạnh AC Trên

AB lấy điểm E sao cho AE = 2 EB Nối BD cắt CE ở G

a- tính SBEC và SBDC

b- tính SBGC A

D

E

G

B C

Bài 11

Cho tam giác vuông ABC (góc A vuông ) có cạnh :

AB =30 ;AC =40 ;BC =50

a : Tính chiều cao hạ từ A của tam giác

b: D là trung điểm của BC ,trên AC lấy E sao cho AE =1/3 AC ;AD cắt BE tại M Tính diện tích tam giác AME ? B

c: so sánh AM với MD ?

D

M

A E C Bài 12 :

Cho tam giác ABC M là điểm chính giữa cạnh BC Trên cạnh AC lấy điểm N sao cho

AN = 1/4AC Nối M với N Kéo dài MN và AB cắt nhau tại P Nối P với C Cho biết

SAPN = 10 cm2 P

a- Tính SPNC

b- SABC A

N

B M C

Bài 13

Cho tam giác ABC có diện tích 216 m2 AB=AC và BC = 24 m Trên cạnh AB lấy điểm M sao cho MB = 2/3AB Trên cạnh AC lấy điểm N sao cho NC = 2/3AC Trên cạnh BC lấy điểm I sao cho BI = 2/3BC Nối M với N và N với I ta được hình thang MNIB Tính :

a- Diện tích hình thang MNIB A

b- Độ dài đoạn MN

M N

B I C

Bài 14 :

Cho tam giác ABC M là trung điểm cạnh BC Nối A với M Kẻ chiều cao MP của tam giác MAB và chiều cao MQ của tam giác MAC Biết MP = 6 cm, MQ = 3 cm

a- So sánh AB với AC

b- Tính SABC biết AB+AC = 21 cm A

P

Q

B M C Bài 15

Cho hình thang vuông ABCD vuông ở A và D có đáy bé AB = 30 cm, đáy lớn CD = 60

cm, cạnh bên AD là chiều cao dài 40 cm trên AD lấy điểm H sao cho AH = 8 cm Từ

H kẻ đường thẳng song song với CD cắt BC ở E

a- So sánh SHDC với SEDC( giải thích )

b- Tính diện tích tứ giác ABED A B

H E

D C

Bài 16:

Cho hình thang ABCD có CD = 2 AB Hai đường chéo AC và BD cắt nhau ở O

a- Tìm các cặp tam giác có diện tích bằng nhau ( giải thích )

b- So sánh SBDC với SABC

c- Tính SAOB biết SABC= 90 cm2 A B

O

D C

Bài 17

Cho hình thang ABCD có đáy CD = 3 AB

Hai cạnh bên DA và CB kéo dài cắt nhau tại P

a- so sánh PA với PD

b- Tính diện tích hình thang biết SPAB = 4 cm2

Bài 18

Cho tam giác ABC, M là trung điểm của BC, N là trung điểm của AC, Nối AM cắt BN tại I Nối CI cắt AB tại P Chứng minh rằng:

a SAMC = SBNC

b SAIN = SBIM

c AP = BP A

B

C M

I

C D

P