Sử dụng tính chất của đồ thị hàm số để tính diện tích hình phẳng

Câu 4: Diện tích phần hình phẳng gạch chéo trong hình vẽ bên dưới được tính theo công thức nào sau đây?... Lời giải?[r]

(1)

N

H

Ó

M

T

O

Á

N

V

D

–

V

D

C

N

H

Ó

M

T

O

Á

N

V

D

–

V

D

C

Chuyên đề:

SỬ DỤNG TÍNH CHẤT CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ ĐỂ TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG

I MỘT SỐ DẠNG TỐN

Nội dung dạng toán xoay quanh toán ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng với giả thiết toán cho đồ thị hàm liên quan

Dạng Sử dụng định nghĩa xác định cơng thức diện tích

Dạng Dựa vào điểm đồ thị qua xác định hàm số đến cơng thức tính

Dạng Dựa vào tâm đối xứng, trục đối xứng đồ thị xác định hàm số đến cơng thức tính Dạng Dựa vào tiếp tuyến đồ thị xác định hàm số đến cơng thức tính

Dạng Biến đổi đồ thị đưa tính tốn đơn giản Dạng Tính diện tích dựa vào việc chia nhỏ hình

(2)

N

H

Ó

M

T

O

Á

N

V

D

–

V

D

C

N

H

Ó

M

T

O

Á

N

V

D

–

V

D

C

II BÀI TẬP MINH HỌA

1) Dạng Sử dụng định nghĩa xác định cơng thức diện tích

Câu 1: (Đề THPT QG 2019)Cho hàm số y f x

 

bởi đường y  f x y

 

y

=

f(x)

y

x

O

1

5

-1

Mệnh đề sau đúng? A

1

( )d ( )d

S f x x f x x



 



1

( )d ( )d

S f x x f x x 





C

1

( )d ( )d

S f x x f x x 





1

( )d ( )d

S f x x f x x



 



Lời giải Chọn C

Ta có

 

1 5

1 1

( ) d d d d

S f x x f x x f x x f x x

 





Câu 2:Cho đồ thị hàm số y f x( )    0;8 hình vẽ

(S2)

(S1) (S

3) y

x

O

3

Biểu thức có giá trị lớn nhất? A

1

( )

f x dx



3

( )

f x dx



5

( )

f x dx



8

( )

f x dx



(3)

N

H

Ó

M

T

O

Á

N

V

D

–

V

D

C

N

H

Ó

M

T

O

Á

N

V

D

–

V

D

C

Dễ thấy S3 S2 Mà

3

1

0

( ), ( ), ( )

S 



8

1

0

( )

f x dx S  S S



nhất

Câu 3:Cho hàm số y f x

 

như hình vẽ Biết 1 4 2; 2 3 13

3 384

S S  S S  , tích phân

 

1

2 2x x

I f dx







y

=

f(x)

S

2

1

2

-1

y

x

O

A

3ln2

I   B 47

64

I  C

3

I  D 81

128 ln2

I   Lời giải

Chọn D

Đặt 2 2 ln2

ln2

x x dt

t  dt dx dx  t

Đổi cận: 1

2

x    t ; x   1 t 2

 





1 2

3

1 1/2 1/2

1 1 81

2 2x x ln2 ln2 ln2 128ln2

I f dx f t dt f t dt f t dt S S



 

 



        

 



(4)

N

H

Ó

M

T

O

Á

N

V

D

–

V

D

C

N

H

Ó

M

T

O

Á

N

V

D

–

V

D

C

2

y

x O

-1

A

2

4

1

1 4 d

2x x 2x x



 

    

 

 



2

4

1

1 1 d

2x x 2x x



 

    

 

 



C

2

4

1

1 1 d

2x x 2x x



 

    

 

 



2

4

1

1 4 d

2x x 2x x



 

    

 

 



Lời giải Chọn B

Từ hình vẽ ta thấy phần diện tích hình phẳng cần tính hình phẳng giới hạn đồ thị hai hàm

số:

 

2

y  f x  x ;

 

2

y g x  x  x hai đường thẳng x  1;x 2

Ngoài ta thấy đường y f x

 

2

4

1

3 5 d

2 2

S x x x x



    

  

       

   

 

 



1

1 1 d

2x x 2x x



 

 

      



Câu 5:Cho hình phẳng

 

;

a b

   

  hai đường thẳng x a , x b (tham khảo hình vẽ dưới) Cơng thức tính diện tích hình

 

y=f2(x)

y=f1(x)

c2

c1 b

a y

(5)

N

H

Ó

M

T

O

Á

N

V

D

–

V

D

C

N

H

Ó

M

T

O

Á

N

V

D

–

V

D

C

A 1

   

b

a

S 





   



b

a

S 



   

b

a

S 



 

b b

a a

S 



Chọn A

Theo định nghĩa ứng dụng tích phân tích diện tích hình phẳng

 

tích hình phẳng S S1; 2 giới hạn đồ thị hàm số y  f x

 

phân

 

1

3

f x dx 



-1

S2

S1

d y=f(x)

3

2

-4 -2 -3

y

x O

A

3

a b

   B

3

a b  C 2.

3

a b

   D

3

a b  Lời giải

Chọn A

Đặt 3 3

3

t x  dt dx dx  dt

 

1 3

1

3 3 3

f x dx f t dt f x dx

  

 



(6)

N

H

Ó

M

T

O

Á

N

V

D

–

V

D

C

N

H

Ó

M

T

O

Á

N

V

D

–

V

D

C

   

 

1 1

3 3

g x f x dx a g x dx f x dx a

  

      

 

 



 

1

3

12.2 12.2

2  f x dx a  f x dx a

  



   

 

3 3

1 1

1.4.4 1.2.2 6

2

f x g x dx b f x dx   b f x dx b

          

  

   



Do

 





1 3

1 1

3

3 3 a b3

f x dx f x dx f x dx f x dx a b

  

 

 

           

 

 



Câu 7:Cho hàm số y  f x( ) liên tục  có đồ thị

 

phẳng giới hạn đồ thị

 

2

y

x O

A

1

0

( )d ( )d

S  



1

0

( )d ( )d

S 



2

( )d

S 



2

( )d

S 



Chọn B

Diện tích Scủa hình phẳng cần tìm là:

 

2

d

S 



(7)

N

H

Ó

M

T

O

Á

N

V

D

–

V

D

C

N

H

Ó

M

T

O

Á

N

V

D

–

V

D

C

Do

 

1

0

d d

S 



Dựa vào đồ thị ta thấyf x

 

Vậy

 

1

0

d d

S 



 

b a

y

x

N M

P B A

O

Mệnh đề đúng? A

 

b

a

f x x



 

b

a

f x x



C

 

b

a

f x x



 

b

a

f x x



 

   

b b

a a

f x x f x  f b f a BM PM BP 



Câu 9:Cho hàm số y  f x

 

5

S  Tính tích phân

 

4

d

I 



A

4

I  B

2

I 

C I 10 D I 5

Lời giải Chọn D

Quan sát đồ thị ta thấy g x

 

S y=g(x)

2

y

(8)

N

H

Ó

M

T

O

Á

N

V

D

–

V

D

C

N

H

Ó

M

T

O

Á

N

V

D

–

V

D

C

S y=g(x)

2

y

x O

Từ giả thiết ta có

 

2

5

d 2

S I 



 

1

5

d d 2

g x x x f x x





Đặt x2 t 2 dx x dt Khi x   1 t 1, x   2 t 4

 

2

1

d d

2

x f x x f t t





 

1

d

f t t





 

1

d

f x x I





 

giới hạn đồ thị hàm số y  f x

 



  

1

2

b x f x dx 



 

1

f x dx



3

y

x O

y=f'(x)

A a b c  . B a b c  . C   a b c. D   a b c. Lời giải

(9)

N

H

Ó

M

T

O

Á

N

V

D

–

V

D

C

N

H

Ó

M

T

O

Á

N

V

D

–

V

D

C



  

   



  

1

1 1

2

0 0

1

2 ' 1

2

b

x f x dx   t f t dt  t f t dt b   x  f x dx b 



Đặt

 

u x du dx

dv f x dx v f x

 

    

 

 

  

   

 

 



  



  

 

   

1 1 1

0

0 0

1

x f x dx b   x f x  f x dx  f x dx  f f b



Ta lại có

 

       

   

1

0

1

a 



Do

 

   

1

2

f x dx  f f    b a b c



 

Biết diện tích hình phẳng

 

3 f

 

0

'

I f x dx 





A

24

I  B

13

I  C

13

I  D

26

I 

(H) (K)

2

-1

y

x

O

y=f'(x)

Lời giải Chọn A

 

0 0

2

1 1

2

1

' ' '

2

t x dt dx

I f x dx  I f t dt f x dx



 







Ta có

 

   

 

2

1 1

8

' ' ' '

3

f x dx f x dx f x dx f f f x dx

  

      

(10)

N

H

Ó

M

T

O

Á

N

V

D

–

V

D

C

N

H

Ó

M

T

O

Á

N

V

D

–

V

D

C

 

0

2 19 '

3 12  f x dx

   



 

0

5

' 12

f x dx 





Do

 

0

1 ' .

2 24

I f x dx







 

     

 

15 60 60 Tích phân











1

15 2f x 3x dxbằng

y=f(x)

(C) (B)

(A) y

x

O

-2

A 28 B 437

4 C 293 D 15815

Tính









3 3

2

1 1

15

15 2f x 3x dx 2 f x(2 4) (2d x 4) (3x 5)dx

 





2

15 36

2 f x dx

Mà

 

 

   

   

          



 

 



15 15 ( ) ( ) ( ) 15 124 37 53 64

2 f x dx f x dx f x dx f x dx 15 60 60

Vậy







3

2

(11)

N

H

Ó

M

T

O

Á

N

V

D

–

V

D

C

N

H

Ó

M

T

O

Á

N

V

D

–

V

D

C

Câu 13: (Đề thi thử THPT QG VTED năm 2019) Cho hàm số y f x

 

5;3

 

 

  có đồ thị hình vẽ bên Biết diện tích hình phẳng

       

 

f x trục hồnh 6;3;12;2 Tích phân





1

2 2f x 1 dx



 



3 -5

y

x O

(D)

(C)

(B)

(A)

A 27 B 25 C 17 D 21

Tính











 



1 1

3 3

2

2 1 2 2

2

d x

f x dx f x dx dx f x

   



       



 

3

4

f x dx 





Mà

 

3

f x dx 



 

Suy

 

3

6 12 23

f x dx 

    



Vậy





1

2 2f x 1 dx 23 27



    



Câu 14:Cho đường cong

 

trong góc phần tư thứ hệ trục tọa độ Oxy chia thành 2 miền phẳng có diện tích S S1, 2

(tham khảo hình vẽ) Mệnh đề đúng?

A

2

m

  B 1

(12)

N

H

Ó

M

T

O

Á

N

V

D

–

V

D

C

N

H

Ó

M

T

O

Á

N

V

D

–

V

D

C

S2

S1 y=m

y

x O

Phương trình hồnh độ giao điểm 8x27x3 m Giả sử hình vẽ, hồnh độ giao điểm

0 a b Ta có hệ

 

3

8 27

1

8 27

a a m

b b m

  



  

 Gọi F x

 

f x  x x m Khi diện tích

 

   

 

   

1

0

( ) ; ( )

a a b b

a a

S 



   

1 274b

S S F b F  b  mb 

Kết hợp với (1), ta 32

9 27

b  m

 

1

I f x dx 





S2

S1

3

1 -1

-2

y=g(x) y=f(x)

y

(13)

N

H

Ó

M

T

O

Á

N

V

D

–

V

D

C

N

H

Ó

M

T

O

Á

N

V

D

–

V

D

C

A

2

I   m n B

2

I   n m C

2

I   m n D

2

I   n m Lời giải

Chọn C

 

   

 

1 1 1

2 2 2

I f x dx f x dx g x dx g x dx f x g x dx g x dx

     

 





   

 

1 1

2

1.3.3

2

f x g x dx f x g x dx g x dx m n m n



  

(14)

N

H

Ó

M

T

O

Á

N

V

D

–

V

D

C

N

H

Ó

M

T

O

Á

N

V

D

–

V

D

C

2) Dạng Dựa vào điểm đồ thị qua xác định hàm số đến cơng thức tính

Câu 1:Cho hàm số f x

 

đường thẳng d (như hình vẽ) Biết AB 5 Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị

 

(phần tô màu) S p

q

 (trong đóp q N p q,  *; ( ; ) 1 ) Khẳng định sau đúng?

B A

5

d

(C) y

x O

A p q 20 B p11q C pq69 D p q 35

Ta có A c(0; ) ( ), (0; ) C B n d AB    5 c n 5 (c n )

Phương trình hoành độ giao điểm

 

2 ( ) 0 ( ) 5 0(*)

ax   bx c mx n ax  b m x c n   ax  b m x  

Lại có hồnh độ giao điểm

 

Đồng hệ số ta a 1

Diện tích hình phẳng giới hạn

 

5

2

1

32

( 1)( 5)

3

S 



Suy p32,q    3 p q 35.

Câu 2:Cho hai hàm số f x

 

thị hàm số y  f x

 

dưới); đồng thời diện tích S1 45 (phần hình phẳng tơ màu xanh) Tính diện tích S2 (phần hình phẳng tơ

màu đỏ) A 2

3

S  B 2

12

S  C 2 128

3

S  D 2

6

(15)

N

H

Ó

M

T

O

Á

N

V

D

–

V

D

C

N

H

Ó

M

T

O

Á

N

V

D

–

V

D

C

y=g(x)

y=f(x)

3

2

-1

S

y

x

O

Ta có phương trình hồnh độ giao điểm f x

    





Có







2

1

45

1 45 45

4

S a x x x dx a a







Vậy

 





3

2

7

4 3

S  



Câu 3:Hình phẳng tơ màu hình vẽ bên giới hạn đồ thị hàm số bậc 3 với

đường thẳng  với trục hoành trục tung Diện tích hình phẳng

A 4 B

3 C 13 D

2

1

-2

y

x

O

(16)

N

H

Ó

M

T

O

Á

N

V

D

–

V

D

C

N

H

Ó

M

T

O

Á

N

V

D

–

V

D

C

Ta có đồ thị hàm số bậc ba y ax 3bx2 cx d có:

+ Giao với Oy điểm có tung độ 2 d

+ Đi qua điểm

 

+ Đi qua điểm

 

+ Có x 1 điểm cực trị hàm số nên nghiệm phương trình

'

y   a  b c

Từ a 1;b 0;c  3

Vậy hàm số bậc ba là: y x 3 3x2

Ta có đường thẳng qua hai điểm

   

Giao điểm hai đồ thị x  2;x 0;x 2

Vậy diện tích hình phẳng giới hạn với hai đồ thị hình vẽ là:





2

3

4

S 



Câu 4: (Đề THPT QG 2018) Cho hai hàm số

 

2

f x ax bx  cx g x

 





 

3

 ; 1; 1 (tham khảo hình vẽ) Hình phẳng giới hạn 2 đồ thị cho có diện tích

1

y

x

O

-1

-3

A B

2 C D

Từ giao điểm hai đồ thị ta có f x

    



 

Suy





 

 

2

a x  x  x ax  b d x  c d x

Xét hệ số tự suy 3

2

a a

    

Do

    



 

2

(17)

N

H

Ó

M

T

O

Á

N

V

D

–

V

D

C

N

H

Ó

M

T

O

Á

N

V

D

–

V

D

C

Diện tích





 





 

1

3

1 3 1 1 d 3 1 1 d

2

S  x x x x x x x x

 





 

  



hình vẽ bên, đường cong đậm đồ thị hàm số y f x

 

hai đường cong y f x

 

2

3

1

y=g(x)

y=f(x)

y

x

O

A 4,5 B 4,25 C 3,63 D 3,67

Từ đồ thị suy f x( )a x( 3) 2x f(1) 4  a 1

( ) ( 3)

f x x x

  

( )

g x hàm số bậc ba nên ( ) ( 3) (2 3)

2

g x m x x g(1) 4   m 8

2

3

( ) 8( 2) ( 3)

g x x x

    

Vậy

   

1

9

2 4,5

S 



 

g x dx  ex với a b c d e; ; ; ; số thực Biết đồ thị

của hàm số y f x

 

hoành độ 1; 1; (tham khảo hình vẽ) Hình phẳng giới

hạn hai đồ thị cho có diện tích A 37

12 B 2712

C

3 D 125

-1

-3

2 -1

y=g(x) y=f(x)

C B

A y

(18)

N

H

Ó

M

T

O

Á

N

V

D

–

V

D

C

N

H

Ó

M

T

O

Á

N

V

D

–

V

D

C

Ta có

   



 



 

f x g x  ax bx   cx dx   ex ax  b d x  c e x

Vì đồ thị hàm số y  f x

 

1; 1;

 nên phương trình f x

   

Kết hợp với điều kiện giả thiết suy f x

    

 



Đồng hệ số tự hai dạng biểu thức f x

   

Vậy f x

    

 



2

3

1

37

2 2d

12

S x x x x







Câu 7:Hình phẳng

 

Diện tích hình phẳng

 

5 -3 -3

2 -1

-3 O

y

x

A 3,11 B 2,45 C 3,21 D 2,95

Tại điểm có hồnh độ x  3 hai đồ thị hàm số tiếp xúc với

Có f x( )g x( )a x





Mà (0) (0) 3

5 10

f g         a.9.1.( 2) 109  a 201

Vì





2

2 ( )

3

1 3733

( ) ( ) ( 1)( 2) 3,11

20 1200

H

S f x g x x x x dx

 





Câu 8:Cho hàm số bậc ba y f x( ) hàm số bậc hai y g x ( ) có đồ thị hình vẽ Biết phần diện

(19)

N

H

Ó

M

T

O

Á

N

V

D

–

V

D

C

N

H

Ó

M

T

O

Á

N

V

D

–

V

D

C

S

3

1

-1

y=g(x)

y=f(x)

y

x

O

A S2 4 B S2 2 C S2 1 D 2

2

S  Lời giải

Chọn A

Dựa vào đồ thị hai hàm số ta thấy hai đồ thị cắt điểm có hoành độ

1, 1,

 nên f x

    

 



1

4 ( 1)( 1)( 3) 4

S a x x x dx a



 



Từ suy





3

2

1

( ) ( ) 4( 1)( 1)( 3)

S 



Vậy chọn đáp án A

Câu 9:Cho hàm số y  f x( ) xác định liên tục đoạn 5;3 Biết diện tích hình phẳng S S S1, ,2 3 giới hạn đồ thị hàm số y  f x( ) đường thẳng y g x

 

3

( )

f x dx 



A 211

45

m n p   B 208

45

m n p   C 24

5

m n p   D 26

5

m n p   Lời giải

Chọn B

(20)

N

H

Ó

M

T

O

Á

N

V

D

–

V

D

C

N

H

Ó

M

T

O

Á

N

V

D

–

V

D

C

0

4

9

c

a b

        



2 15

4 15

a b c

         



 

15 15

g x  x  x

   

2

5

m n p  f x g x dx g x f x dx f x g x dx

 

     

  



 

3

5

f x dx g x dx

 







 

5

208 45

f x dx m n p g x dx m n p

 

       



y=g(x)

y=f(x) S2

S3 S1

2 -1

5

-2

3

-5 O x

y

Câu 10:Cho hàm số y  f x( ) hàm số đa thức bậc bốn có đồ thị hình vẽ

-1

1

y

x O

Hình phẳng giới hạn đồ thị hai hàm số y  f x y( ); f x'( )có diện tích gần số sau

đây?

A 34,8 B 60 C 63,5 D 72,3

(21)

N

H

Ó

M

T

O

Á

N

V

D

–

V

D

C

N

H

Ó

M

T

O

Á

N

V

D

–

V

D

C

Hàm số cho có đồ thị đối xứng qua trục tung nên hàm số chẵn Lại có hàm số

( )

y  f x hàm đa thức bậc bốn nên hàm số cho hàm trùng phương Do

4

( ) ,

f x ax bx c a 

Từ hình vẽ ta thấy đồ thị hàm số qua điểm (1;0),(0;1)và có điểm cực tiểu (1;0), điểm cực đại

(0;1) nên ta có hệ

(1)

0

(0)

1

'(1)

4

'(0)

f

a b c a

f

c b

f

a b c

f

 

  

      

   

  

     

  

   

     

  

   



Với a1,b 2,c 1 ta có f x( ) x4 2x21 ; '( ) 4f x  x34 ; ''( ) 12x f x  x24 thỏa

''(0) 0, ''(1)

f  f  nên giá trị a 1,b  2,c1 thỏa mãn yêu cầu tốn

Phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị hai hàm số y  f x y( );  f x'( ):









4 2

2

1

2 4 4 1 0

2

x x

x x x x x x x x x

x



     



              

  

 

Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hai hàm sốy f x y( );  f x'( )là













2 5

4

1

2

4

1

2

4

1

( ) ( ) 4

4 4

4 63,52

S f x f x dx x x x x dx

x x x x dx x x x x dx

x x x x dx

 

 



 





      

          

     



(22)

N

H

Ó

M

T

O

Á

N

V

D

–

V

D

C

N

H

Ó

M

T

O

Á

N

V

D

–

V

D

C

3) Dạng Dựa vào tâm đối xứng, trục đối xứng đồ thị xác định hàm số đến cơng thức tính Câu 1:Cho hàm số y  f x( )x416x321x220x 3

hàm số y g x

  



diện tích hình phẳng S S S1, ,2 3 giới hạn đồ thị hàm số y  f x( )

và đường cong y g x

 

M a b m p n    

A 2456

15

M  B 2531

15

M 

C 2411

15

M  D 2501

15

M  Lời giải Chọn B

Đồ thị hàm y g x

 

  



4

a b b

   

  

 

1

a b

     

 

  



2 2

2 4

g x  x   x x

Nhận xét đồ thị hai hàm số nhận đường thẳng x  2 trục đối xứng nên m p   m p

Do đó,



   







1

4

3

2531

5 20 24

15

a b n  f x g x dx  x x x x dx

 

   



Câu 2:Cho hàm số y x bx2 5 (*) có đồ thị hình vẽ Gọi

1, ,2

S S S diện tích hình phẳng

 

C B

A y

x O

A 32

5 B 16 C D 193

y=f(x)

y=g(x)

S2

S3

S1

-1

-3 -3

-1 -2

-4

O x

(23)

N

H

Ó

M

T

O

Á

N

V

D

–

V

D

C

N

H

Ó

M

T

O

Á

N

V

D

–

V

D

C

Chọn A

Đồ thị hàm số (*) cắt trục hoành điểm phân biệt  b

Gọi t t t1 1, ( t2) nghiệm dương phương trình x4 bx2 5 0 Ta có

2 (1)

t bt  

Vì đồ thị hàm số (*) nhận trục tung làm trục đối xứng nên

1 2

S S S S  S

Do

1 2

1

4 4

0

( 5) - ( 5) ( 5)

t t t

t

x bx  dx  x bx  dx  x bx  dx 



5

2 2 2

1 5 0 1 5 0(2)

5t 3bt t 5t 3bt

       

Từ (1) (2) suy b2 36  b 6 (vì b <0)

1

t  Vậy

1

4

2

32

2 ( 5)

5

(24)

N

H

Ó

M

T

O

Á

N

V

D

–

V

D

C

N

H

Ó

M

T

O

Á

N

V

D

–

V

D

C

4) Dạng Dựa vào tiếp tuyến đồ thị xác định hàm số đến cơng thức tính

Câu 1: (Đề HSG Bắc Ninh 2019)Cho hàm số y  f x

 

Hình phẳng giới hạn đồ thị hai hàm số y f x y

 

y

f

(

x

)

1

-1

-2 -1

1

y

x

O

A 127

40 B 1075 C 135 D 12710

Từ giả thiết đến f x

  

  

Vì đồ thị qua điểm A

 

4

a f x

  

  

  

 

 





 



2 1 2

2 2

f x x x x x x x x

          

Phương trình

 

  

 





1

2 2

4

x

f x f x x x x x x x

x

    

           

  Vậy hình phẳng giới hạn đồ thị f x

 



  



 



4 2

2

1 2 1 2 1 2 1 107

4

S  



Câu 2:Cho đồ thị hàm số f x( )x3 ax2bx c có đồ thị

 

(25)

N

H

Ó

M

T

O

Á

N

V

D

–

V

D

C

N

H

Ó

M

T

O

Á

N

V

D

–

V

D

C

d

y=f(x)

2 -1

-1 y

x O

A 6,75 B 4,5 C 8,45 D 4,75

Đường thẳng d y mx n:   cắt đồ thị hàm số f x( )x3ax2  bx c điểm có hồnh độ

1;

x   x  điểm có hồnh độ x  1 điểm tiếp xúc hai đường

Vì





2

3 2

1

( ) ( ) ( 1) ( 2) 6,75

S x ax bx c mx n dx x x dx

 





Câu 3:Cho hàm số y x 3ax2  bx c có đồ thị

 

hồnh độ 2 (xem hình vẽ) Diện tích hình phẳng giới hạn

 

và

 

A 13

2 B 254

C 27

4 D 112

Ta có A





và y 3x22ax b y

 

y

x B

A

O

(26)

N

H

Ó

M

T

O

Á

N

V

D

–

V

D

C

N

H

Ó

M

T

O

Á

N

V

D

–

V

D

C

Phương trình tiếp tuyến

 







 







3 3 2 1 1

x ax     bx c a b x     a b c

 

Phương trình

 





4a 2b c 3 2a b a b c

           9a   0 a Suy

 







Diện tích hình phẳng :

 







2

3

3 1

S b x b c x bx c dx



 









2

3

27

3x x dx 4







 

y

x O

1 -1

 

A

3 B 34 C 53 D 35

Phương trình đồ thị

 

    



 

Suy

 

    







1

3

1

1 d

S x x x x







1

4

1

4

x x x x



 

 

     

 

4



Câu 5:Cho hàm số y ax bx2 c có đồ thị

 

tại A đồ thị

 

bởi , đồ thị

 

(27)

N

H

Ó

M

T

O

Á

N

V

D

–

V

D

C

N

H

Ó

M

T

O

Á

N

V

D

–

V

D

C

B A

y

x O

3

2

-1

Tính diện tích hình phẳng giới hạn , đồ thị

 

A

5 B 201 C 101 D 15

Cách 1:

Hàm số y ax bx2 c TXĐ: D

Ta có: y' 4 ax32bx

Phương trình tiếp tuyến  đồ thị

 



 

 







3

c a b

b a

    

   

2

c a

b a

  

   

Vậy

 









Bài cho diện tích hình phẳng giới hạn , đồ thị

 

tích 56

5 nên:









2

4

0

56

2 d

5

a x a x  x  x 















2

4

0

56

2 d

5

a x a x x x









2

4

0

56

3 d 5

a x x x x





2

3

0

56

5x

a x x       

 

28 56

5

a

   a

Diện tích hình phẳng giới hạn , đồ thị

 









0

4

1

3 2 d

S a x x a x x











0

4

1 1

2

2x 6x dx x x5 x x 5

 

 

 

        

 



(28)

N

H

Ó

M

T

O

Á

N

V

D

–

V

D

C

N

H

Ó

M

T

O

Á

N

V

D

–

V

D

C

Giả sử đường thẳng d y kx m:   tiếp tuyến với

 



 



(do phương trình có nghiệm tốn cho)

Theo ta có phương trình



 



2

56

1 d

5

a



Từ ta





0

4

1

2( 2) d

S x x x x



 









1

2

2x 6x 4x dx 5







Câu 6:Cho hàm số y ax bx2 c có đồ thị

 

A

 

thị

 

5

2

1 -1

y

x O

 

A

5 B 14 C 29 D 15

Ta có y 4ax3 2bx  d y:   



 

Phương trình hồnh độ giao điểm d

 



 

 

  124aa 2b c6b 16a 4b c 

 

4 2

28 10

a b c

    

    

Mặt khác, diện tích phần tơ màu







2

4

0

28 4 2 1 d

5 







28 4 4a 2b 32a 8b 2c

(29)

N

H

Ó

M

T

O

Á

N

V

D

–

V

D

C

N

H

Ó

M

T

O

Á

N

V

D

–

V

D

C

Giải hệ phương trình

 

Diện tích cần tìm





0

4

1

3 2 d

S x x x x



 









1

3

5

x x x dx



(30)

N

H

Ó

M

T

O

Á

N

V

D

–

V

D

C

N

H

Ó

M

T

O

Á

N

V

D

–

V

D

C

5) Dạng Biến đổi đồ thị đưa tính tốn đơn giản

Câu 1:Cho parabol

 





 

1

S diện tích hình phẳng giới hạn

 

y = a B A

y

x O

A T 99 B T 64 C T 32 D T 72

y = a B

A

N M

y

x O

Để việc tính tốn trở nên đơn giản, ta tịnh tiến hai parabol sang trái đơn vị Khi đó, phương

trình parabol

 

1 :

P y  x ,

 

2 : a4

P y   x a

Gọi A, B giao điểm

 









4

1 d

a

S 







4

3 y a

 

 



    

   43





2

0

2 d

4

a

S   x a x 



2

0

2 12

ax ax

 

 

   

 

8 3a

(31)

N

H

Ó

M

T

O

Á

N

V

D

–

V

D

C

N

H

Ó

M

T

O

Á

N

V

D

–

V

D

C

Theo giả thiết S1 S2 4





3 a a 3a

     





Vậy T 64

Câu 2:Gọi ( )H hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y   x2 4x trục hoành Hai đường thẳng

y m y n chia ( )H thành phần có diện tích Giá trị biểu thức

3

(4 ) (4 )

T  m  n

y = n y = m y

x O

A 320

9

T  B 512

15

T  C T 405 D 75

2

(32)

N

H

Ó

M

T

O

Á

N

V

D

–

V

D

C

N

H

Ó

M

T

O

Á

N

V

D

–

V

D

C

6) Dạng Tính diện tích dựa vào việc chia nhỏ hình

Câu 1: (Đề tham khảo THPT QG 2018)Cho

 

có phương trình y  4x2 (với 0 x 2 ) trục hồnh (phần tơ đậm hình vẽ) Diện tích

 

2

y

x O

A

12

 B 4

6

 C 4 3

6

  D 5

3 

Phương trình hồnh độ giao điểm parabol cung tròn ta 3x2  4x2   x 1

với 0 x 2 nên ta có x 1

Ta có diện tích

1

1 2

2 2

0 0 1

3

3 3 3

S 



Đặt 2sin 2cos ; ;

6

x  t dx  tdt x   t  x   t 

2

3 2 1sin2

3

S t t

 



  

 

       

Câu 2:Gọi S diện tích hình phẳng giới hạn đường y  

 

2

2 x

y   chia S thành hai phần có diện tích

1,

S S (trong S1nằm trục hồnh) Tính tỉ số

2 S S A

2

9ln 4

S

S  B SS12  ln 14  C SS21  9ln2 14  D SS12  9ln24

(33)

N

H

Ó

M

T

O

Á

N

V

D

–

V

D

C

N

H

Ó

M

T

O

Á

N

V

D

–

V

D

C

8

2

1

3

2

1

-1

y=(x

1

)

y=

3

x

1

y=

2

y

x

O

Phương trình hồnh độ giao điểm hai đường cong y  

 

1

x  x x33x2 0

3

x x

  

  

Do

 

3

27

3 1 4

S 



Phương trình hồnh độ giao điểm hai đường cong y  

 

1 x

x  

 

Dễ thấy x 2 nghiệm

 

2

2 x

y   nghịch biến  nên

 

Phương trình hồnh độ giao điểm hai đường cong y 3x1, y 22x là:

2

3x 1 2x (1)

Dễ thấy x 1 nghiệm

 

nghịch biến  nên (1) có nghiệm x 1

Ta có





 

2

3

1

0

3 x 1

S  x   dx   x  x dx

 

 



2 ln 43

S   S S

Vậy

2

27

9ln

4 ln 1

3

ln

S S



(34)

N

H

Ó

M

T

O

Á

N

V

D

–

V

D

C

N

H

Ó

M

T

O

Á

N

V

D

–

V

D

C

Câu 3:Gọi tam giác cong





(tham khảo hình vẽ bên) Diện tích





B A

y

x O

y=3-x y=2x2

A

3 B 53 C 43 D 103

S2

S1

3

y

x O

y=3-x y=2x2

Gọi parabol

 

Ta có phương trình hồnh độ giao điểm

 

2

2 3 3

2

x

x x x x

x

  

        

 Suy tọa độ điểm A(1;3) ( )d Ox B  (3;0)

Khi

1

2

( )

0

2

2 d (3 )d 3 3

OAB

(35)

N

H

Ó

M

T

O

Á

N

V

D

–

V

D

C

N

H

Ó

M

T

O

Á

N

V

D

–

V

D

C

Câu 4:Diện tích miền phẳng giới hạn đường: y 2 ,x y   x y 1 là:

A S  1

ln2 2 B S  ln21 1 C S  4750 D S  ln21 3

y

x

O

2

1 y=1

y=3-x y=2x

Xét phương trình hồnh độ giao điểm đường Ta có: * 2x     x x

* 2x   1 x 0

*     x 3 1 x 2 Diện tích cần tìm là:









1 2

0 1

2 1

2 d d

ln2 ln2

x

x x

S   x   x x  x   x  

   



Câu 5:Cho

 

phương trình y  2x2 (với 0 x 2) trục hồnh (phần tơ đậm hình vẽ) Diện tích

 

(36)

N

H

Ó

M

T

O

Á

N

V

D

–

V

D

C

N

H

Ó

M

T

O

Á

N

V

D

–

V

D

C

1

y

x

O

A

12

 B 3

12

 C 4

6

 D 4

12



Phương trình hồnh độ giao điểm :

2

0

x x

x x x

x

    

      

 Do

1

2

0

3

d d

12

S 



Câu 6:Cho

 

4

y  x  (với 0 x 2 2), nửa đường trịn có

phương trình y  8x2và trục hồnh, trục tung (phần tơ đậm hình vẽ) Diện tích

 

1

y

x

O

A 14

6

 B 2

3

 C 3

6

 D 3

3



Phương trình hồnh độ giao điểm:

4

2 24 112

8

4 2

x x

x x x

x

   



       

(37)

N

H

Ó

M

T

O

Á

N

V

D

–

V

D

C

N

H

Ó

M

T

O

Á

N

V

D

–

V

D

C

2 2

2

0

1 1 d 8 d

4

S   x   x  x x   



Câu 7:Cho ( )H hình phẳng giới hạn parabol

2

y  x đường Elip có phương trình 2 1

4

x  y

(phần tơ đậm hình vẽ) Diện tích ( )H

1

-1

-2

y

x O

A

6

 B 2

3 C 4 D 34

Ta có 2 1

4

x  y

1

x y

   

Phương trình hồnh độ giao điểm đường cong nửa Elip Parabol

2 x x

  3x4   x2 4 0 2 1 1 x x x x                 

Suy diện tích hình phẳng ( )H cần tính

1 2 ( ) d H x

S x x

            



1

1 4 d

2 x x





I x x







6

2

1 4 sin 2cos d

2

I t t t









6

2 cos dt t













6

1 cos2 dt t









6 sin2 t t            3   

Do ( ) 3

3

H

S   

6



(38)

N

H

Ó

M

T

O

Á

N

V

D

–

V

D

C

N

H

Ó

M

T

O

Á

N

V

D

–

V

D

C

Vậy

4

a b c

       

9

P a b c

    

Câu 8:Tính diện tích S hình phẳng (phần tơ màu) hình sau

4

O x

y

A

3

S  B 10

3

S  C 11

3

S  D

3

S  Lời giải

Chọn B

Dựa hình vẽ, ta có hình phẳng giới hạn đường:

0

y x

y x y

       

Suy





2

0

d d

S 



Câu 9:Cho

 

2

10

y  x x ,

khi

1

2

x x

y   x x 

 Diện tích

 

-1

1

O y

x

A 11

6 B 132 C 112 D 143

(39)

N

H

Ó

M

T

O

Á

N

V

D

–

V

D

C

N

H

Ó

M

T

O

Á

N

V

D

–

V

D

C

Hoành độ giao điểm hai đồ thị hàm số y  x y x 2     x x x

Diện tích hình phẳng cần tính

1

2

0

10 d 10 2 d

3

S   x x x x   x x  x  x

   



1

2

0

13 d 2 d

3

S  x x  x  x x  x

         

   



1

2

0

13 d 2 d

3

S  x x  x  x x  x

         

   



1

3

2

0

13 2 13

6 x3 x3

S  x   x x         

   

Câu 10:Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số 2; 2; 27

27

x

y x y y

x

  

A 27 ln2 B 27 ln C 28 ln D 29ln

Xét pthđgđ 2 0; 27 3; 27

27 27

x x

x x x x x

x x

        

3

9

y=

27

x

27x

2 y=

y=x2 y

x O

Suy

3 2 2

2

0

27 27 ln 3

27 27

x x

S x dx dx

x

   

   

        

   



Câu 11:Cho parabol

 

2

P y  x đường trịn

 

thời có chung điểm A với

 

(40)

N

H

Ó

M

T

O

Á

N

V

D

–

V

D

C

N

H

Ó

M

T

O

Á

N

V

D

–

V

D

C

B A

I

x y

O y=0.5x2

A 27

24  B 9 4 12  C 29 924  D 3 2 3 

Gọi I b

 

 



2

A a a 

 tiếp điểm

 





Phương trình tiếp tuyến chung

 

2

y ax a ax y a

      

Tiếp tuyến  có véctơ phương u 

 

2

IA a b a    

Ta có . 0 1 0

2

IA  u IA    a b a a     b a Hơn

 





2 2

2

4

1 1

1 1 1

2 2

1 3 0 3 3.

4

IA a b a a a a

a a a b

     

     

             

     

      

Phần tơ đậm hình vẽ hình giới hạn nhánh bên phải parabol

 



tròn

 

2

C x  

(41)

N

H

Ó

M

T

O

Á

N

V

D

–

V

D

C

N

H

Ó

M

T

O

Á

N

V

D

–

V

D

C

Ta có:

 

2

3 3

: 1 1

2

C  x   y   x   y

  (vì

3

x  )

 

2

P y  x  x y (vì x 0)

Vậy diện tích phần tô đậm:

 

3

2 2

0

3 1 1 2 27 .

2 24

S     y  y dy    

 



Câu 12:Cho parabol

 

bằng 17

2 tiếp xúc với hai nhánh

 

hình phẳng giới hạn

 

A 5,12 B 7,06

C 8,74 D 6,03

Gọi I b

 

 



 





Phương trình tiếp tuyến chung

 

Tiếp tuyến  có véctơ phương u 

 





Ta có . 0 2





2

IA  u IA   a a a     b b a

Hơn 17





4 4

IA   a a b  a      a b

Phần tơ đậm hình vẽ hình giới hạn parabol

 

2

C y   

Ta có

 

2

2 17 17

: 2 4 2 4

C x  y     y x

 (vì

9

y )

4,5

2

A I

y

(42)

N

H

Ó

M

T

O

Á

N

V

D

–

V

D

C

N

H

Ó

M

T

O

Á

N

V

D

–

V

D

C

Vậy diện tích phần tơ đậm

2

0

9 17

2 6,03

2

S     x x dx 

 



Câu 13:Cho parabol

 

(như hình vẽ) Diện tích hình phẳng giới hạn

 

I

y=x

y

x

O

2

A 2 3

3 B 433 C 835 D 833

Vì tính đối xứng, ta cần tính phần tơ màu phía bên phải trục Oy x





Qua hình vẽ, ta thấy:

 

   

 

Phương trình hồnh độ giao điểm

 





2 2 4 3 0 0 .

3

x y

x x x x

x y

    

          



Khi diện tích phần tô màu

 





3

2

1

2 3

S 



 

(43)

N

H

Ó

M

T

O

Á

N

V

D

–

V

D

C

N

H

Ó

M

T

O

Á

N

V

D

–

V

D

C

-1

4

3

2

1

-1

-4

-5

y

x

O

Biếtf

 

3 B 33 C 353 D 11

Cách

Parabol y ax  bx c có đỉnh I

 

2

1 1

2

4 2

4 3

b

a a

a b c b y x x

a b c c

  

   

 

          

 

 

     

 

 



Do f

 

   

 









1

2

5

2 f x dx x 2x dx x 2x dx

 

 











0

2

1

2.7 22 35

2S x 2x dx x 2x dx 2 2.3 3 3



  



Trong S1 diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  f x

 

5,

x   x   ta có: 1 11 1.2. .1.

2 3

S   

(44)

N

H

Ó

M

T

O

Á

N

V

D

–

V

D

C

N

H

Ó

M

T

O

Á

N

V

D

–

V

D

C

Ta tính được:

 

2

3 14 ,

2 2 , 4 1

3

2 3,

x x

f x x x

x x x

     

 

       

    



Ta có

   

 





   

4

5

1

4 14

2

f f  f x dx  x dx f f

 



   



   

 

   

4

2

1 3 3

f f  f x dx  x dx f f

 

 



 

             





Từ (1) (2)

   

2

f f

     (3)

 





   

1

5

0

3

f f f x dx x x dx f f

 



  



   

 





   

0

22 22

2

3

f f 



 

Từ (3),(4),(5),(6)

 

3

f f f

       

Do đó:

 

3

(45)

N

H

Ó

M

T

O

Á

N

V

D

–

V

D

C

N

H

Ó

M

T

O

Á

N

V

D

–

V

D

C

7) Dạng Toán thực tế với giả thiết có đồ thị hàm liên quan

Câu 1: (Đề tham khảo THPT QG 2019)Một biển quảng cáo có dạng hình elip với bốn đỉnh A A B B1, , ,2 1 2

như hình vẽ bên Biết chi phí để sơn phần tơ đậm 200.000 / mđ phần lại 100.000 / mđ

Hỏi số tiền để sơn theo cách gần với số tiền đây, biết AA1 2 8m, B B1 2 6m tứ giác

MNPQ hình chữ nhật có MQ 3m?

A2 B2

B1 A1

Q P

N M

A 5.526.000 đồng B 5.782.000 đồng C 7.322.000 đồng D 7.213.000 đồng Lời giải

Chọn C

4

A2 B2

B1 A1

y

x O

Q P

N M

Gọi phương trình tắc elip

 

a b 

Với

1

8

6

AA a a

B B b b

 

    

 

 

    

 

 

 

2

3

: 16

16x y9

E y x

      

Suy diện tích hình elip S E a b 12 m

 

Vì MNPQ hình chữ nhật 3 ;3

 

2

MQ  M x  E

2

1 1 12 2 3; ; 3;3

16 4x x M N

   

   

         

(46)

N

H

Ó

M

T

O

Á

N

V

D

–

V

D

C

N

H

Ó

M

T

O

Á

N

V

D

–

V

D

C

Gọi S S1; 2 diện tích phần bị tơ màu khơng bị tơ màu

Ta có

4

2

2 3

3

4 16 d 16 d

4

S 



Đặt x 4 sint ta tính

 

2 m

S  

Suy S1 S E  S2 86 3 Gọi T tổng chi phí Khi ta có









T      (đồng)

Câu 2:Sàn viện bảo tàng mỹ thuật lát viên gạch hình vng cạnh 40 (cm)

hình bên Biết người thiết kế sử dụng đường cong có phương trình y2 2x 4





để tạo hoa văn cho viên gạch Diện tích tơ đậm gần với giá trị đây?

A 506 (cm2) B 747(cm2) C 507(cm2) D 746(cm2)

2

1

y

x

O

Gắn hệ trục tọa độ hình vẽ Diện tích phần tô đậm





 

1

3 2 2

0

112

4 2 747

15

S   x  dx   x  x dx  dm  cm

 

(47)

N

H

Ó

M

T

O

Á

N

V

D

–

V

D

C

N

H

Ó

M

T

O

Á

N

V

D

–

V

D

C

Câu 3: (Đề thi thử THPT QG Bắc Ninh lần năm 2017)Một xưởng sản xuất gỗ muốn thiết kế có

hình dạng phần hình elip có kích thước giống hình bên Biết miếng gỗ dày 2 cm Thể tích miếng

gỗ cho tính theo cm3 nằm khoảng nào?

A

















Chọn A

10 12,5

25 y

x M

O A

B

Chọn hệ tọa độ hình vẽ, Elip qua điểm B



 



2

25 100 1 25

9

12,5 a

a    

Ta phương trình Elip: 23 22 12,5 23

25 12,5 25

9

x  y   y  x

Diện tích bề mặt miếng

25

3

4 12,5 23,406 2340,6

25

x

S 



Câu 4:Một mặt bàn hình elip có chiều dài 120cm, chiều rộng là 60cm Anh Phượng muốn gắn đá hoa cương dán gạch tranh mặt bàn theo hình (phần đá hoa cương bên điểm nhấn bên

tranh gồm 2 miếng gạch với kích thước miếng 25cm40cm) Biết đá hoa cương có giá

tranh gạch có giá 300.000 vnđ/bộ Hỏi số tiền để gắn đá hoa cương dán gạch tranh theo cách gần

(48)

N

H

Ó

M

T

O

Á

N

V

D

–

V

D

C

N

H

Ó

M

T

O

Á

N

V

D

–

V

D

C

A 519.000 đồng B 610.000 đồng C 639.000 đồng D 279.000 đồng

 

a b 

Với

1

1,2 0,6

0,6 0,3

AA a a

B B b b

 

    

 

 

    

 

 

 

2

1

: 0,36

0,36 0,09x y

E y x

      

Suy diên tích hình elip là:

 

0,6 0,6

2 2

0

1

4 0,36 0,36 0,18

2

E

S 



Gọi S S1; 2 diện tích phần đá hoa cương tranh

Ta có S2 2x0,25x0,4 0,2

 

Suy S1 S E  S2 0,180,2

 

Gọi T tổng chi phí Khi ta có





T     (đồng)

Câu 5:Một mặt bàn hình elip có chiều dài 120cm, chiều rộng 60cm Anh Hải muốn gắn đá hoa cương cho mặt bàn theo hình (phần đá hoa cương trắng phần đá hoa cương màu vàng), biết phần màu vàng

cũng elip có chiều dài 100cm chiều rộng 40cm Biết đá hoa cương màu trắng có giá

đ

(49)

N

H

Ó

M

T

O

Á

N

V

D

–

V

D

C

N

H

Ó

M

T

O

Á

N

V

D

–

V

D

C

A 355.000 đồng B 339.000 đồng C 368.000 đồng D 353.000 đồng

O y

x B'2

B'1

B2

B1

A'2

A'1 A2

A1

 

a b 

Với

1

1,2 0,6

AA a

B B b

  



  



0,6 0,3

a b

  

  

 

0,36 0,09

L x y

E

   0,36

2

y x

   

Suy diện tích hình elip lớn là:

 

0,6 0,6

2 2

0

1

4 0,36 0,36 0,18

2

L

E

S 



Với

1

' ' 0,5

' ' 0,4 0,2

A A a a

B B b b

 

    

 

 

    

 

 

 

2

: 0,25

0,25 0,04

N x y

E y x

      

Suy diện tích hình elip nhỏ là:

 

0,5 0,5

2 2

0

2

4 0,25 0,25 0,1

5

N

E

S 



Gọi S S1; 2 diện tích phần gắn đá hoa cương màu trắng phần gắn đá hoa cương màu

vàng Ta có 2   0,1

 

N

E

S S   m

Suy 1     0,18 0,1 0,08

L N

E E

S S S     Gọi T tổng chi phí Khi ta có

0,08 600000 0,1 650000 355.000

T      (đồng)

(50)

N

H

Ó

M

T

O

Á

N

V

D

–

V

D

C

N

H

Ó

M

T

O

Á

N

V

D

–

V

D

C

N

M B2

B1

A1 A2

Người ta chia elip Parabol có đỉnh B1, trục đối xứng B B1 2 qua điểm M N, Sau

sơn phần tô đậm với giá 200.000 đồng/m2 trang trí đèn led phần cịn lại với giá 500.000

đồng/m2 Hỏi kinh phí sử dụng gần với giá trị đây? Biết A A1 2 4m,

1 2m

B B  ,MN 2 m

Chọn A

N M

-2

-1

y

x O

B2

B1

A1 A2

+ Chọn hệ trục tọa độ Oxy cho O trung điểm AA1 2 Tọa độ đỉnh A1

 

2 2;0 ,

A B1

 

+ Phương trình đường Elip

 

4

x y     y x

+ Ta có 1; , 1;

 

2

M   N  E

   

+ Parabol

 





2 1, 0

y ax  a

 

2

a

  

 

 có phương trình

2

y   x 

 

+ Diện tích phần tơ đậm

1 2

2

0

3

2 1 d

4

x

S      x   x

 

   

 



0

2

4 x xd 3 2 1

     

 

(51)

N

H

Ó

M

T

O

Á

N

V

D

–

V

D

C

N

H

Ó

M

T

O

Á

N

V

D

–

V

D

C

Đặt 2sin , ;

2

x  t t    

  dx 2cos dt t Đổi cận: x t 0;x t



     

6

2

0

2

4 sin 2cos d

3

S t t t



 

 



      



 



0

3

4 cos d

3

t t











6

3

2 cos2 d

3

t t











0

3 4

2 sin2

3 3

t t  

      

+ Diện tích hình Elip S ab 2

 Diện tích phần cịn lại 2 1

3

S   S S  

+ Kinh phí sử dụng là: 200000S1500000S2 2431000 (đồng)

Câu 7:Một người định xây non cách vẽ đường trịn bán kính 2m mặt đất sau

lấy tâm đường trịn làm tâm hình vng cạnh 2m hình vẽ Phần S1 (tất phần màu trắng) xây

thành bể để xếp non thả cá, phần S S2, 3 để trồng hoa Tính diện tích trồng hoa

2

S2

S1 S3

A 3,65m2 B 3,56m2 C 4,65m2 D 4,56m2

(52)

N

H

Ó

M

T

O

Á

N

V

D

–

V

D

C

N

H

Ó

M

T

O

Á

N

V

D

–

V

D

C

2 -1

-1

1

S2

S1 S3

y

x O

Chọn gốc tọa độ trùng với tâm đường trịn, phương trình đường trịn tâm O bán kính 2

2 4 4

x      y y x

Diện tích hình trịn 4

 

Diện tích hình vng 4

 

Các cạnh hình vng nằm đường thẳng y  1,x  1

Phương trình hồnh độ giao điểm đường tròn đường thẳng y 1

2

4x    1 x

Diện tích phần bể ngồi hình vng 3





3

2







3 2

1 3

S  x dx

  



Diện tích phần trồng hoa S2S3 4 S1 3,65

 

Câu 8:Nhà ông An có khn viên dạng nửa hình trịn có đường kính 5( )m Ơng An muốn thiết kế khuôn viên phần để lát gạch Ý (phần tơ đậm) hai phần cịn lại để trồng hoa Nhật Bản ( phần không tô màu) Phần tô đậm có dạng cánh hoa hình parabol có đỉnh trùng với tâm nửa hình trịn hai đầu mút cánh hoa nằm nửa đường tròn, cách khoảng (m) Biết kích thước cho

như hình vẽ, kinh phí để trồng hoa Nhật Bản 150.000 đồng / m2 kinh phí để lát gạch Ý 250.000

đồng/ m2 Hỏi kinh phíơng An để làm cơng trình gần với kết sau đây?

4m

(53)

N

H

Ó

M

T

O

Á

N

V

D

–

V

D

C

N

H

Ó

M

T

O

Á

N

V

D

–

V

D

C

Chọn B

(P) M y

x O

4

2

Đặt hệ trục tọa độ hình vẽ Khi phương trình nửa đường trịn là:

 

2 2 5 20

y  R x  x  x

Phương trình Parabol ( )P có đỉnh gốc O có dạng y ax 2.Mặt khác ( )P qua điểm M(2;4)

nên 4a.(2)2  a

Gọi S1 phần diện tích hình phẳng hạn ( )P nửa đường tròn ( phần tơ màu)

Diện tích phần lát gạch Ý khuôn viên là:

2

1

( 20 ) 11,940

S x x dx







Phần diện tích trồng cỏ Nhật Bản khn viên là:

2

2 2

2

1 1 (2 5) ( 20 ) 19,476

2 hinh tron

S S S  x x dx



   



Vậy số tiền cần có là: T 250.000.S 150.000.S1 2 5.906.400 (đồng)

Câu 9:Một cổng hình parabol hình vẽ Chiều cao GH 4m, chiều rộng AB 4m,

0,9

AC BD  m Chủ nhà làm hai cánh cổng đóng lại hình chữ nhật CDEF tơ đậm giá

1200000đồng/m2, phần để trắng làm xiên hoa có giá 900000đồng/m2

H G

F E

D

C B

A

Hỏi tổng chi phí để hai phần nói gần với số tiền đây?

(54)

N

H

Ó

M

T

O

Á

N

V

D

–

V

D

C

N

H

Ó

M

T

O

Á

N

V

D

–

V

D

C

Chọn A

Gắn hệ trục tọa độ Oxy cho AB trùng Ox, A trùng O parabol có đỉnh G

 

đi qua gốc tọa độ

y=-x

+4

x

H

G

F

E

D

C

B

A

y

x

O

0,9

2

3,1

4

Gọi phương trình parabol y ax  bx c

Do ta có

2

0 1

2

2 0

2a

c a

b b

c

a b c

  

   

 

 

 

   

 

 

  

    

 



Nên phương trình parabol y  f x( ) x2 4x

Diện tích cổng

4

2

0

32

( 4x) 10,67( )

3

x

S   x dx    x    m

 



Do chiều cao CF DE  f

 

4 2.0,9 2,2

CD    m

Diện tích hai cánh cổng SCDEF CDCF. 6,138 6,14

 

Diện tích phần xiên hoa Sxh  S SCDEF 10,67 6,14 4,53( )  m2

Nên tiền hai cánh cổng 6,14.1200000 7368000

 

và tiền làm phần xiên hoa 4,53.900000 4077000

 

(55)

N

H

Ó

M

T

O

Á

N

V

D

–

V

D

C

N

H

Ó

M

T

O

Á

N

V

D

–

V

D

C

Câu 10:Bồn hoa trường X có dạng hình trịn bán kính 8m Người ta chia bồn hoa thành

phần hình vẽ có ý định trồng hoa sau: Phần bên hình vng ABCD để trồng hoa

Phần phần gạch xọc dùng để trồng cỏ Ở 4 góc cịn lại góc trồng cọ Biết AB 4m, giá trồng

hoa 200.000đ/m2, giá trồng cỏ 100.000đ/m2, cọ giá 150.000đ Hỏi cần tiền để thực

hiện việc trang trí bồn hoa (làm trịn đến hàng nghìn)

Chọn A

8

2

y

x

O

Chọn hệ trục tọa độ cho gốc tọa độ trùng với tâm hình trịn, suy phương trình

đường trịn là: x2 y2 64

(56)

N

H

Ó

M

T

O

Á

N

V

D

–

V

D

C

N

H

Ó

M

T

O

Á

N

V

D

–

V

D

C

 Số tiền để trồng hoa là: T1  16 200.000 3.200.000 (đồng)

+ Diện tích trồng cỏ là:





 

2

4 64 d 94,654

S x x m







 Số tiền trồng cỏ là: T2 94,654 100.000 9.465.000  (đồng)

+ Số tiền trồng cọ là: T3 150.000 600.000  (đồng)

Vậy tổng số tiền để thực việc trang trí bồn hoa là:

1 13.265.000

T T T T    (đồng)

Câu 11:Người ta lát gạch trang trí mảnh sân hình chữ nhật hình đây, đó

   

parabol giống nhau,

 

chung với parabol đỉnh parabol Tính làm trịn đến hai chữ số thập phân diện

tích phần lát gạch mảnh sân trường hợp diện tích hình trịn bao

 

A 8,39 B 10,12 C 9,18 D 11,45

(57)

N

H

Ó

M

T

O

Á

N

V

D

–

V

D

C

N

H

Ó

M

T

O

Á

N

V

D

–

V

D

C

Lúc ta có

 

Do

 

2 2

2

x y r

y ax r

   

  



có nghiệm





Do





2

2 2 2 2

2

2 2

2

0

2 x 2 1

x y r x a x arx r r ar

x

y ax r y ax r a

y ax r

                                        

nên (*)

2

r a  

Do 2;

 

2

M   P nên

8

r

a  Tức

1 2 r a r a        

Từ tìm

1 2 r r a        

Do hình trịn có diện tích lớn nên 12

1 r a      

Lúc

 

2

Diện tích cần tính

2

2 2

1 4 4 .d 8,39

2 S 4 x x

        

 



Câu 12:Cho mơ hình 3D mơ đường hầm Biết đường hầm mơ hình có chiều dài

 

5 cm ; cắt hình mặt phẳng vng góc với đáy nó, ta thiết diện hình parabol có

độ dài đáy gấp đơi chiều cao parabol hình vẽ Chiều cao thiết diện parobol cho công thức

2

5

y   x

 

(58)

N

H

Ó

M

T

O

Á

N

V

D

–

V

D

C

N

H

Ó

M

T

O

Á

N

V

D

–

V

D

C

5m h

h h

A 29 B 27 C 31 D 33

h

y

x

O

Xét thiết diện parabol có chiều cao h độ dài đáy 2h chọn hệ trục Oxy hình vẽ

trên Parabol

 





Ta có B h

 





h

   

Diện tích S thiết diện: d

3

h

S x h x

h 

 

 

     



5

h   x

 

2

4 3

3

S x  x       Suy thể tích khơng gian bên đường hầm mơ hình:

 

5

0

4

d d 28,888

3

V S x x  x x

      

