Câu 4: Diện tích phần hình phẳng gạch chéo trong hình vẽ bên dưới được tính theo công thức nào sau đây?... Lời giải?[r]
(1)N
H
Ó
M
T
O
Á
N
V
D
–
V
D
C
N
H
Ó
M
T
O
Á
N
V
D
–
V
D
C
Chuyên đề:
SỬ DỤNG TÍNH CHẤT CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ ĐỂ TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG
I MỘT SỐ DẠNG TỐN
Nội dung dạng toán xoay quanh toán ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng với giả thiết toán cho đồ thị hàm liên quan
Dạng Sử dụng định nghĩa xác định cơng thức diện tích
Dạng Dựa vào điểm đồ thị qua xác định hàm số đến cơng thức tính
Dạng Dựa vào tâm đối xứng, trục đối xứng đồ thị xác định hàm số đến cơng thức tính Dạng Dựa vào tiếp tuyến đồ thị xác định hàm số đến cơng thức tính
Dạng Biến đổi đồ thị đưa tính tốn đơn giản Dạng Tính diện tích dựa vào việc chia nhỏ hình
(2)N
H
Ó
M
T
O
Á
N
V
D
–
V
D
C
N
H
Ó
M
T
O
Á
N
V
D
–
V
D
C
II BÀI TẬP MINH HỌA
1) Dạng Sử dụng định nghĩa xác định cơng thức diện tích
Câu 1: (Đề THPT QG 2019)Cho hàm số y f x liên tục . Gọi S diện tích hình phẳng giới hạn
bởi đường y f x y , 0,x 1 x 5 (như hình vẽ bên)
y=f(x)
y
x
O 1 5
-1
Mệnh đề sau đúng? A
1
1
( )d ( )d
S f x x f x x
B
1
1
( )d ( )d
S f x x f x x
C
1
1
( )d ( )d
S f x x f x x
D
1
1
( )d ( )d
S f x x f x x
Lời giải Chọn C
Ta có
1 5
1 1
( ) d d d d
S f x x f x x f x x f x x
Câu 2:Cho đồ thị hàm số y f x( ) 0;8 hình vẽ
(S2)
(S1) (S
3) y
x
O
3
Biểu thức có giá trị lớn nhất? A
1
( )
f x dx
B
3
( )
f x dx
C
5
( )
f x dx
D
8
( )
f x dx
(3)N
H
Ó
M
T
O
Á
N
V
D
–
V
D
C
N
H
Ó
M
T
O
Á
N
V
D
–
V
D
C
Dễ thấy S3 S2 Mà
3
1
0
( ), ( ), ( )
S f x S f x S f x , nên
8
1
0
( )
f x dx S S S
lớn
nhất
Câu 3:Cho hàm số y f x liên tục có đồ thị tạo với trục hồnh miền có diện tích S S S S1, , ,2 3 4
như hình vẽ Biết 1 4 2; 2 3 13
3 384
S S S S , tích phân
1
2 2x x
I f dx
y=f(x) S2 S3
S4 S1
2
1 1 2
-1
y
x O
A
3ln2
I B 47
64
I C
3
I D 81
128 ln2
I Lời giải
Chọn D
Đặt 2 2 ln2
ln2
x x dt
t dt dx dx t
Đổi cận: 1
2
x t ; x 1 t 2
1 2
3
1 1/2 1/2
1 1 81
2 2x x ln2 ln2 ln2 128ln2
I f dx f t dt f t dt f t dt S S
(4)N
H
Ó
M
T
O
Á
N
V
D
–
V
D
C
N
H
Ó
M
T
O
Á
N
V
D
–
V
D
C
2
y
x O
-1
A
2
4
1
1 4 d
2x x 2x x
B
2
4
1
1 1 d
2x x 2x x
C
2
4
1
1 1 d
2x x 2x x
D
2
4
1
1 4 d
2x x 2x x
Lời giải Chọn B
Từ hình vẽ ta thấy phần diện tích hình phẳng cần tính hình phẳng giới hạn đồ thị hai hàm
số: 3
2
y f x x ;
2
y g x x x hai đường thẳng x 1;x 2
Ngoài ta thấy đường y f x nằm đường y g x đoạn 1;2nên ta có diện tích phần gạch chéo hình vẽ là:
2
4
1
3 5 d
2 2
S x x x x
1
1 1 d
2x x 2x x
Câu 5:Cho hình phẳng H giới hạn đồ thị hai hàm số y f x1 y f x2 liên tục đoạn
;
a b
hai đường thẳng x a , x b (tham khảo hình vẽ dưới) Cơng thức tính diện tích hình H
y=f2(x)
y=f1(x)
c2
c1 b
a y
(5)N
H
Ó
M
T
O
Á
N
V
D
–
V
D
C
N
H
Ó
M
T
O
Á
N
V
D
–
V
D
C
A 1 2 d
b
a
S f x f x x B 1 2 d
b
a
S f x f x x C 1 2 d
b
a
S f x f x x D 2 d 1 d
b b
a a
S f x x f x x Lời giải
Chọn A
Theo định nghĩa ứng dụng tích phân tích diện tích hình phẳng
Câu 6:Cho hàm số y f x xác định liên tục đoạn 3;3 có đồ thị hình vẽ Biết diện
tích hình phẳng S S1; 2 giới hạn đồ thị hàm số y f x đường thẳng d a b; Tính tích
phân
1
3
f x dx
-1
S2
S1
d y=f(x)
3
2
-4 -2 -3
y
x O
A
3
a b
B
3
a b C 2.
3
a b
D
3
a b Lời giải
Chọn A
Đặt 3 3
3
t x dt dx dx dt
1 3
1 3
1
3 3 3
f x dx f t dt f x dx
(6)N
H
Ó
M
T
O
Á
N
V
D
–
V
D
C
N
H
Ó
M
T
O
Á
N
V
D
–
V
D
C
1 1
3 3
g x f x dx a g x dx f x dx a
1
3
12.2 12.2
2 f x dx a f x dx a
3 3
1 1
1.4.4 1.2.2 6
2
f x g x dx b f x dx b f x dx b
Do
1 3
1 3
1 1
3
3 3 a b3
f x dx f x dx f x dx f x dx a b
Câu 7:Cho hàm số y f x( ) liên tục có đồ thị C đường cong hình bên Diện tích hình
phẳng giới hạn đồ thị C , trục hoành hai đường thẳng x 0,x 2 (phần tô màu)
2
y
x O
A
1
0
( )d ( )d
S f x x f x x B
1
0
( )d ( )d
S f x x f x x C
2
( )d
S f x x D
2
( )d
S f x x Lời giải
Chọn B
Diện tích Scủa hình phẳng cần tìm là:
2
d
S f x x
(7)N
H
Ó
M
T
O
Á
N
V
D
–
V
D
C
N
H
Ó
M
T
O
Á
N
V
D
–
V
D
C
Do
1
0
d d
S f x x f x x
Dựa vào đồ thị ta thấyf x 0, x 0;1 f x 0, x 1;2
Vậy
1
0
d d
S f x x f x x
Câu 8:Cho hàm số y f x liên tục a b; , có đồ thị hình vẽ sau:
b a
y
x
N M
P B A
O
Mệnh đề đúng? A d
b
a
f x x
diện tích hình thang ABMN B d
b
a
f x x
dộ dài đoạn BP
C d
b
a
f x x
dộ dài đoạn MN D d
b
a
f x x
dộ dài đoạn cong AB
Lời giải Chọn B
d
b b
a a
f x x f x f b f a BM PM BP
Câu 9:Cho hàm số y f x liên tục hàm số y g x x f x 2 có đồ thị đoạn 0;2 hình vẽ bên Biết diện tích miền tơ màu
5
S Tính tích phân
4
d
I f x x
A
4
I B
2
I
C I 10 D I 5
Lời giải Chọn D
Quan sát đồ thị ta thấy g x 0, x 1;2
S y=g(x)
2
y
(8)N
H
Ó
M
T
O
Á
N
V
D
–
V
D
C
N
H
Ó
M
T
O
Á
N
V
D
–
V
D
C
S y=g(x)
2
y
x O
Từ giả thiết ta có
2
5
d 2
S I g x x 2
1
5
d d 2
g x x x f x x
Đặt x2 t 2 dx x dt Khi x 1 t 1, x 2 t 4
2
2
1
1
d d
2
x f x x f t t
1
d
f t t
1
d
f x x I
Câu 10:Cho hàm số y f x xác định liên tục tập số thực Miền hình phẳng hình vẽ
giới hạn đồ thị hàm số y f x trục hồnh đồng thời có diện tích S a Biết
1
2
2
b x f x dx
f 3 c Tính
1
f x dx
3
y
x O
y=f'(x)
A a b c . B a b c . C a b c. D a b c. Lời giải
(9)N
H
Ó
M
T
O
Á
N
V
D
–
V
D
C
N
H
Ó
M
T
O
Á
N
V
D
–
V
D
C
1
1 1
2
0 0
1
2 ' 1
2
b
x f x dx t f t dt t f t dt b x f x dx b
Đặt
1
u x du dx
dv f x dx v f x
1 1 1
0
0 0
1
x f x dx b x f x f x dx f x dx f f b
Ta lại có
1
0
1
a f x dx f x dx a f f f f f f a c
Do
1
2
f x dx f f b a b c
Câu 11:Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục Đồ thị hàm số y f x' hình bên
Biết diện tích hình phẳng H
3 f 1 1912; 2f 23 Tính
0
'
I f x dx
A
24
I B
13
I C
13
I D
26
I
(H) (K)
2 -1
y
x O
y=f'(x)
Lời giải Chọn A
0 0
2
1 1
2
1
' ' '
2
t x dt dx
I f x dx I f t dt f x dx
Ta có
2
1 1
8
' ' ' '
3
f x dx f x dx f x dx f f f x dx
(10)N
H
Ó
M
T
O
Á
N
V
D
–
V
D
C
N
H
Ó
M
T
O
Á
N
V
D
–
V
D
C
0
2 19 '
3 12 f x dx
0
5
' 12
f x dx
Do
0
1 ' .
2 24
I f x dx
Câu 12:Cho hàm số y f x xác định liên tục có đồ thị hình vẽ bên Biết diện tích hình phẳng A B C, , giới hạn đồ thị hàm số f x trục hoành 124 37 53; ;
15 60 60 Tích phân
3
1
15 2f x 3x dxbằng
y=f(x)
(C) (B)
(A) y
x
O
-2
A 28 B 437
4 C 293 D 15815
Lời giải Chọn A
Tính
3 3
2
1 1
15
15 2f x 3x dx 2 f x(2 4) (2d x 4) (3x 5)dx
2
2
15 36
2 f x dx
Mà
22 02 10 21
15 15 ( ) ( ) ( ) 15 124 37 53 64
2 f x dx f x dx f x dx f x dx 15 60 60
Vậy
3
2
(11)N
H
Ó
M
T
O
Á
N
V
D
–
V
D
C
N
H
Ó
M
T
O
Á
N
V
D
–
V
D
C
Câu 13: (Đề thi thử THPT QG VTED năm 2019) Cho hàm số y f x xác định liên tục đoạn
5;3
có đồ thị hình vẽ bên Biết diện tích hình phẳng A B C D, , , giới hạn đồ thị hàm số
f x trục hồnh 6;3;12;2 Tích phân
1
2 2f x 1 dx
3 -5
y
x O
(D)
(C)
(B)
(A)
A 27 B 25 C 17 D 21
Lời giải Chọn A
Tính
1 1
3 3
2
2 1 2 2
2
d x
f x dx f x dx dx f x
3
4
f x dx
Mà
3
f x dx
diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số f x trục hoành
Suy
3
6 12 23
f x dx
Vậy
1
2 2f x 1 dx 23 27
Câu 14:Cho đường cong C y: 8x 27x3 đường thẳng y m cắt C hai điểm phân biệt nằm
trong góc phần tư thứ hệ trục tọa độ Oxy chia thành 2 miền phẳng có diện tích S S1, 2
(tham khảo hình vẽ) Mệnh đề đúng?
A
2
m
B 1
(12)N
H
Ó
M
T
O
Á
N
V
D
–
V
D
C
N
H
Ó
M
T
O
Á
N
V
D
–
V
D
C
S2
S1 y=m
y
x O
Lời giải Chọn C
Phương trình hồnh độ giao điểm 8x27x3 m Giả sử hình vẽ, hồnh độ giao điểm
0 a b Ta có hệ
3
8 27
1
8 27
a a m
b b m
Gọi F x nguyên hàm hàm số
8 27
f x x x m Khi diện tích
1
0
( ) ; ( )
a a b b
a a
S f x dx f x dx F F a S f x dx f x dx F b F a Theo giả thiết
1 274b
S S F b F b mb
Kết hợp với (1), ta 32
9 27
b m
Câu 15:Cho hàm số y f x xác định liên tục đoạn 2;1 Biết diện tích hình phẳng S S1, 2 giới hạn đồ thị hàm số f x đường thẳng y g x ax b m n, Tính tích phân
1
I f x dx
S2
S1
3
1 -1
-2
y=g(x) y=f(x)
y
(13)N
H
Ó
M
T
O
Á
N
V
D
–
V
D
C
N
H
Ó
M
T
O
Á
N
V
D
–
V
D
C
A
2
I m n B
2
I n m C
2
I m n D
2
I n m Lời giải
Chọn C
1 1 1
2 2 2
I f x dx f x dx g x dx g x dx f x g x dx g x dx
1 1
2
1.3.3
2
f x g x dx f x g x dx g x dx m n m n
(14)N
H
Ó
M
T
O
Á
N
V
D
–
V
D
C
N
H
Ó
M
T
O
Á
N
V
D
–
V
D
C
2) Dạng Dựa vào điểm đồ thị qua xác định hàm số đến cơng thức tính
Câu 1:Cho hàm số f x ax2 bx c g x mx n có đồ thị đường cong C
đường thẳng d (như hình vẽ) Biết AB 5 Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị C đường thẳng d
(phần tô màu) S p
q
(trong đóp q N p q, *; ( ; ) 1 ) Khẳng định sau đúng?
B A
5
d
(C) y
x O
A p q 20 B p11q C pq69 D p q 35
Lời giải Chọn D
Ta có A c(0; ) ( ), (0; ) C B n d AB 5 c n 5 (c n )
Phương trình hoành độ giao điểm C d
2 ( ) 0 ( ) 5 0(*)
ax bx c mx n ax b m x c n ax b m x
Lại có hồnh độ giao điểm C d x 1 x 5 nên (*)có dạng a x( 1)(x 5) 0
Đồng hệ số ta a 1
Diện tích hình phẳng giới hạn C d
5
2
1
32
( 1)( 5)
3
S x x dx x x dx
Suy p32,q 3 p q 35.
Câu 2:Cho hai hàm số f x ax3 bx2 cx d g x mx n (a b c d m n, , , , , ) Biết đồ
thị hàm số y f x y g x cắt ba điểm có hồnh độ 1;2;3 (tham khảo hình vẽ phía bên
dưới); đồng thời diện tích S1 45 (phần hình phẳng tơ màu xanh) Tính diện tích S2 (phần hình phẳng tơ
màu đỏ) A 2
3
S B 2
12
S C 2 128
3
S D 2
6
(15)N
H
Ó
M
T
O
Á
N
V
D
–
V
D
C
N
H
Ó
M
T
O
Á
N
V
D
–
V
D
C
y=g(x) y=f(x)
3 2 -1
S2
S1
y
x O
Lời giải Chọn A
Ta có phương trình hồnh độ giao điểm f x g x a x 1x2x 3
Có
2
1
45
1 45 45
4
S a x x x dx a a
Vậy
3
2
7
4 3
S x x x dx
Câu 3:Hình phẳng tơ màu hình vẽ bên giới hạn đồ thị hàm số bậc 3 với
đường thẳng với trục hoành trục tung Diện tích hình phẳng
A 4 B
3 C 13 D
2
1 -2
y
x O
(16)N
H
Ó
M
T
O
Á
N
V
D
–
V
D
C
N
H
Ó
M
T
O
Á
N
V
D
–
V
D
C
Ta có đồ thị hàm số bậc ba y ax 3bx2 cx d có:
+ Giao với Oy điểm có tung độ 2 d
+ Đi qua điểm 1;0 a b c 2
+ Đi qua điểm 2;0 8a 4b 2c 2 4a 2b c 1
+ Có x 1 điểm cực trị hàm số nên nghiệm phương trình
'
y a b c
Từ a 1;b 0;c 3
Vậy hàm số bậc ba là: y x 3 3x2
Ta có đường thẳng qua hai điểm 2;0 ; 0;2 y x 2
Giao điểm hai đồ thị x 2;x 0;x 2
Vậy diện tích hình phẳng giới hạn với hai đồ thị hình vẽ là:
2
3
4
S x x dx Chọn đáp án A
Câu 4: (Đề THPT QG 2018) Cho hai hàm số
2
f x ax bx cx g x dx2 ex 1
a b c d e, , , , Biết đồ thị hàm số y f x y g x cắt điểm có hồnh độ
3
; 1; 1 (tham khảo hình vẽ) Hình phẳng giới hạn 2 đồ thị cho có diện tích
1 y
x O
-1 -3
A B
2 C D
Lời giải Chọn D
Từ giao điểm hai đồ thị ta có f x g x a x 3x 1 x1
Suy 3 1 1
2
a x x x ax b d x c d x
Xét hệ số tự suy 3
2
a a
Do 1 3 1 1
2
(17)N
H
Ó
M
T
O
Á
N
V
D
–
V
D
C
N
H
Ó
M
T
O
Á
N
V
D
–
V
D
C
Diện tích
1
3
1 3 1 1 d 3 1 1 d
2
S x x x x x x x x
4
Câu 5:Cho hai hàm số f x x3 ax2 bx c g x f dx e với a b c d, , , có đồ thị
hình vẽ bên, đường cong đậm đồ thị hàm số y f x Diện tích hình phẳng giới hạn
hai đường cong y f x và y g x gần với kết đây?
2
3 3
1
y=g(x) y=f(x) y
x O
A 4,5 B 4,25 C 3,63 D 3,67
Lời giải Chọn A
Từ đồ thị suy f x( )a x( 3) 2x f(1) 4 a 1
( ) ( 3)
f x x x
( )
g x hàm số bậc ba nên ( ) ( 3) (2 3)
2
g x m x x g(1) 4 m 8
2
3
( ) 8( 2) ( 3)
g x x x
Vậy
1
9
2 4,5
S f x g x dx
Câu 6:Cho hai hàm số f x ax3bx2 cx
1
g x dx ex với a b c d e; ; ; ; số thực Biết đồ thị
của hàm số y f x y g x cắt ba điểm A B C, , có
hoành độ 1; 1; (tham khảo hình vẽ) Hình phẳng giới
hạn hai đồ thị cho có diện tích A 37
12 B 2712
C
3 D 125
Lời giải Chọn A
-1
-3
2 -1
y=g(x) y=f(x)
C B
A y
(18)N
H
Ó
M
T
O
Á
N
V
D
–
V
D
C
N
H
Ó
M
T
O
Á
N
V
D
–
V
D
C
Ta có
1 1 2
f x g x ax bx cx dx ex ax b d x c e x
Vì đồ thị hàm số y f x y g x cắt ba điểm A B C, , có hồnh độ
1; 1;
nên phương trình f x g x có ba nghiệm 1; 1; 2
Kết hợp với điều kiện giả thiết suy f x g x a x1 x1 x2
Đồng hệ số tự hai dạng biểu thức f x g x ta 2a 2 a
Vậy f x g x x 1 x1 x 2 x3 2x2 x Diện tích hình phẳng giới hạn hai đồ thị cho là:
2
3
1
37
2 2d
12
S x x x x
Câu 7:Hình phẳng H giới hạn đồ thị hai hàm số đa thức bậc bốn y f x( ) y g x ( ). Biết đồ thị hai hàm số cắt ba điểm phân biệt có hồnh độ −3;−1;2
Diện tích hình phẳng H (phần gạch sọc hình vẽ bên) gần với kết đây?
5 -3 -3
2 -1
-3 O
y
x
A 3,11 B 2,45 C 3,21 D 2,95
Lời giải Chọn A
Tại điểm có hồnh độ x 3 hai đồ thị hàm số tiếp xúc với
Có f x( )g x( )a x 3 (2 x 1)(x2)
Mà (0) (0) 3
5 10
f g a.9.1.( 2) 109 a 201
Vì
2
2 ( )
3
1 3733
( ) ( ) ( 1)( 2) 3,11
20 1200
H
S f x g x x x x dx
Câu 8:Cho hàm số bậc ba y f x( ) hàm số bậc hai y g x ( ) có đồ thị hình vẽ Biết phần diện
(19)N
H
Ó
M
T
O
Á
N
V
D
–
V
D
C
N
H
Ó
M
T
O
Á
N
V
D
–
V
D
C
S2
S1
3 1
-1 y=g(x)
y=f(x) y
x O
A S2 4 B S2 2 C S2 1 D 2
2
S Lời giải
Chọn A
Dựa vào đồ thị hai hàm số ta thấy hai đồ thị cắt điểm có hoành độ
1, 1,
nên f x g x a x1 x1 x3 a0 Mặt khác diện tích
1
1
4 ( 1)( 1)( 3) 4
S a x x x dx a
Từ suy
3
2
1
( ) ( ) 4( 1)( 1)( 3)
S g x f x dx x x x dx
Vậy chọn đáp án A
Câu 9:Cho hàm số y f x( ) xác định liên tục đoạn 5;3 Biết diện tích hình phẳng S S S1, ,2 3 giới hạn đồ thị hàm số y f x( ) đường thẳng y g x ax2 bx c m n p, , Tích phân
3
( )
f x dx
A 211
45
m n p B 208
45
m n p C 24
5
m n p D 26
5
m n p Lời giải
Chọn B
(20)N
H
Ó
M
T
O
Á
N
V
D
–
V
D
C
N
H
Ó
M
T
O
Á
N
V
D
–
V
D
C
0
4
9
c
a b
a b
2 15
4 15
a b c
2
15 15
g x x x
2
5
m n p f x g x dx g x f x dx f x g x dx
3
5
f x dx g x dx
5
208 45
f x dx m n p g x dx m n p
y=g(x)
y=f(x) S2
S3 S1
2 -1
5
-2
3
-5 O x
y
Câu 10:Cho hàm số y f x( ) hàm số đa thức bậc bốn có đồ thị hình vẽ
-1
1
y
x O
Hình phẳng giới hạn đồ thị hai hàm số y f x y( ); f x'( )có diện tích gần số sau
đây?
A 34,8 B 60 C 63,5 D 72,3
(21)N
H
Ó
M
T
O
Á
N
V
D
–
V
D
C
N
H
Ó
M
T
O
Á
N
V
D
–
V
D
C
Hàm số cho có đồ thị đối xứng qua trục tung nên hàm số chẵn Lại có hàm số
( )
y f x hàm đa thức bậc bốn nên hàm số cho hàm trùng phương Do
4
( ) ,
f x ax bx c a
Từ hình vẽ ta thấy đồ thị hàm số qua điểm (1;0),(0;1)và có điểm cực tiểu (1;0), điểm cực đại
(0;1) nên ta có hệ
(1)
0
(0)
1
'(1)
4
'(0)
f
a b c a
f
c b
f
a b c
f
Với a1,b 2,c 1 ta có f x( ) x4 2x21 ; '( ) 4f x x34 ; ''( ) 12x f x x24 thỏa
''(0) 0, ''(1)
f f nên giá trị a 1,b 2,c1 thỏa mãn yêu cầu tốn
Phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị hai hàm số y f x y( ); f x'( ):
2
4 2
2
1
2 4 4 1 0
2
x x
x x x x x x x x x
x
Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hai hàm sốy f x y( ); f x'( )là
2 5
4
1
2
4
1
2
4
1
( ) ( ) 4
4 4
4 63,52
S f x f x dx x x x x dx
x x x x dx x x x x dx
x x x x dx
(22)N
H
Ó
M
T
O
Á
N
V
D
–
V
D
C
N
H
Ó
M
T
O
Á
N
V
D
–
V
D
C
3) Dạng Dựa vào tâm đối xứng, trục đối xứng đồ thị xác định hàm số đến cơng thức tính Câu 1:Cho hàm số y f x( )x416x321x220x 3
hàm số y g x a x 22 b có đồ thị hình vẽ Biết
diện tích hình phẳng S S S1, ,2 3 giới hạn đồ thị hàm số y f x( )
và đường cong y g x m n p, , Tính
M a b m p n
A 2456
15
M B 2531
15
M
C 2411
15
M D 2501
15
M Lời giải Chọn B
Đồ thị hàm y g x đi qua điểm O 0;0 ,A 2; 4 nên
4
4
a b b
1
a b
2 2
2 4
g x x x x
Nhận xét đồ thị hai hàm số nhận đường thẳng x 2 trục đối xứng nên m p m p
Do đó,
1
4
3
2531
5 20 24
15
a b n f x g x dx x x x x dx
Câu 2:Cho hàm số y x bx2 5 (*) có đồ thị hình vẽ Gọi
1, ,2
S S S diện tích hình phẳng A , B , C giới hạn đồ thị hàm số (*) trục hoành Biết S1 S3 S2 Giá trị S2
C B
A y
x O
A 32
5 B 16 C D 193
y=f(x)
y=g(x)
S2
S3
S1
-1
-3 -3
-1 -2
-4
-4
O x
(23)N
H
Ó
M
T
O
Á
N
V
D
–
V
D
C
N
H
Ó
M
T
O
Á
N
V
D
–
V
D
C
Chọn A
Đồ thị hàm số (*) cắt trục hoành điểm phân biệt b
Gọi t t t1 1, ( t2) nghiệm dương phương trình x4 bx2 5 0 Ta có
2 (1)
t bt
Vì đồ thị hàm số (*) nhận trục tung làm trục đối xứng nên
1 2
S S S S S
Do
1 2
1
4 4
0
( 5) - ( 5) ( 5)
t t t
t
x bx dx x bx dx x bx dx
5
2 2 2
1 5 0 1 5 0(2)
5t 3bt t 5t 3bt
Từ (1) (2) suy b2 36 b 6 (vì b <0)
1
t Vậy
1
4
2
32
2 ( 5)
5
(24)N
H
Ó
M
T
O
Á
N
V
D
–
V
D
C
N
H
Ó
M
T
O
Á
N
V
D
–
V
D
C
4) Dạng Dựa vào tiếp tuyến đồ thị xác định hàm số đến cơng thức tính
Câu 1: (Đề HSG Bắc Ninh 2019)Cho hàm số y f x hàm đa thức bậc bốn có đồ thị hình vẽ
Hình phẳng giới hạn đồ thị hai hàm số y f x y ; f x có diện tích
y = f(x)
1
-1
-2 -1 1
y
x O
A 127
40 B 1075 C 135 D 12710
Lời giải Chọn B
Từ giả thiết đến f x a x 2 2 x1
Vì đồ thị qua điểm A 0;1 nên
4
a f x 14 x2 2 x12
1 2 1 2 1
2 1 2
2 2
f x x x x x x x x
Phương trình
1
2 2
4
x
f x f x x x x x x x
x
Vậy hình phẳng giới hạn đồ thị f x f x là:
4 2
2
1 2 1 2 1 2 1 107
4
S x x x x x dx
Câu 2:Cho đồ thị hàm số f x( )x3 ax2bx c có đồ thị C Đường thẳng d qua hai điểm A B,
(25)N
H
Ó
M
T
O
Á
N
V
D
–
V
D
C
N
H
Ó
M
T
O
Á
N
V
D
–
V
D
C
d
y=f(x)
2 -1
-1 y
x O
A 6,75 B 4,5 C 8,45 D 4,75
Lời giải Chọn A
Đường thẳng d y mx n: cắt đồ thị hàm số f x( )x3ax2 bx c điểm có hồnh độ
1;
x x điểm có hồnh độ x 1 điểm tiếp xúc hai đường
Vì x3ax2 bx c (mx n ) (x 1) (2 x2) Diện tích hình phẳng cần tính bằng:
2
3 2
1
( ) ( ) ( 1) ( 2) 6,75
S x ax bx c mx n dx x x dx
Câu 3:Cho hàm số y x 3ax2 bx c có đồ thị C Biết tiếp tuyến d C điểm A có hồnh độ 1 cắt C B có
hồnh độ 2 (xem hình vẽ) Diện tích hình phẳng giới hạn d
và C (phần gạch chéo hình vẽ)
A 13
2 B 254
C 27
4 D 112
Lời giải Chọn C
Ta có A1;a b c 1
và y 3x22ax b y 1 3 2a b
y
x B
A
O
(26)N
H
Ó
M
T
O
Á
N
V
D
–
V
D
C
N
H
Ó
M
T
O
Á
N
V
D
–
V
D
C
Phương trình tiếp tuyến d C A : y 3 2a b x 1 a b c Phương trình hồnh độ giao điểm C d :
3 3 2 1 1
x ax bx c a b x a b c 1
Phương trình 1 có nghiệm x 1;x 2
4a 2b c 3 2a b a b c
9a 0 a Suy C : y x bx c d y: 3 b x 1 b c 1
Diện tích hình phẳng :
2
3
3 1
S b x b c x bx c dx
2
3
27
3x x dx 4
Câu 4:Cho hàm số y f x hàm bậc ba có đồ thị C hình vẽ bên y=f(x)
y
x O
1 -1
Diện tích hình phẳng giới hạn C trục hoành bằng:
A
3 B 34 C 53 D 35
Lời giải Chọn A
Phương trình đồ thị C có dạng y f x a x12 x1 C qua A 0;1 nên a1
Suy C y f x: x 12 x1 x3 x2 x Diện tích hình phẳng cần tìm
1
3
1
1 d
S x x x x
1
4
1
4
x x x x
4
Câu 5:Cho hàm số y ax bx2 c có đồ thị C , biết C qua điểm A 1;0 Tiếp tuyến
tại A đồ thị C cắt C hai điểm có hồnh độ Biết diện tích hình phẳng giới hạn
bởi , đồ thị C hai đường thẳng x 0; x 2 có diện tích 56
(27)N
H
Ó
M
T
O
Á
N
V
D
–
V
D
C
N
H
Ó
M
T
O
Á
N
V
D
–
V
D
C
B A
y
x O
3
2
-1
Tính diện tích hình phẳng giới hạn , đồ thị C hai đường thẳng x 1; x 0
A
5 B 201 C 101 D 15
Lời giải Chọn A
Cách 1:
Hàm số y ax bx2 c TXĐ: D
Ta có: y' 4 ax32bx
Phương trình tiếp tuyến đồ thị C A 1;0 có dạng y 4a 2b x 1 Do tiếp tuyến A đồ thị C cắt C hai điểm có hồnh độ nên phương trình ax4 bx2 c 4a 2b x 1 nhận ba nghiệm là: x 1; x 0; x 2 Suy ra:
3
c a b
b a
2
c a
b a
Vậy C :y ax 3ax2 2a a x 43x2 2 :y 2a x 1
Bài cho diện tích hình phẳng giới hạn , đồ thị C hai đường thẳng x 0; x 2 có diện
tích 56
5 nên:
2
4
0
56
2 d
5
a x a x x x
2
4
0
56
2 d
5
a x a x x x
2
4
0
56
3 d 5
a x x x x
2
3
0
56
5x
a x x
28 56
5
a
a
Diện tích hình phẳng giới hạn , đồ thị C hai đường thẳng x 1; x 0 là:
0
4
1
3 2 d
S a x x a x x
0
0
4
1 1
2
2x 6x dx x x5 x x 5
(28)N
H
Ó
M
T
O
Á
N
V
D
–
V
D
C
N
H
Ó
M
T
O
Á
N
V
D
–
V
D
C
Giả sử đường thẳng d y kx m: tiếp tuyến với C A 0; 1 nên c 1 m 1 Phương trình hồnh độ giao điểm d C ax4 bx2 kx 0 a x 1 2 x x 2 0
(do phương trình có nghiệm tốn cho)
Theo ta có phương trình
2
2
56
1 d
5
a x x x x a
Từ ta
0
4
1
2( 2) d
S x x x x
1
2
2x 6x 4x dx 5
Câu 6:Cho hàm số y ax bx2 c có đồ thị C , biết C qua điểm A 1;0 , tiếp tuyến d
A C cắt C hai điểm có hồnh độ 2 diện tích hình phẳng giới hạn d, đồ
thị C hai đường thẳng x 0; x 2 có diện tích 28
5
2
1 -1
y
x O
Diện tích hình phẳng giới hạn C hai đường thẳng x 1; x 0 có diện tích
A
5 B 14 C 29 D 15
Lời giải Chọn D
Ta có y 4ax3 2bx d y: 4a 2b x 1
Phương trình hồnh độ giao điểm d C là: 4a 2b x 1 ax4 bx2c 1 Phương trình 1 phải cho 2 nghiệm x 0, x 2
124aa 2b c6b 16a 4b c
4 2
28 10
a b c
a b c
Mặt khác, diện tích phần tơ màu
2
4
0
28 4 2 1 d
5 a b x ax bx c x
28 4 4a 2b 32a 8b 2c
(29)N
H
Ó
M
T
O
Á
N
V
D
–
V
D
C
N
H
Ó
M
T
O
Á
N
V
D
–
V
D
C
Giải hệ phương trình 2 , 3 4 ta a 1, b 3, c2 Khi đó, C y x: 4 3x22, d y: 2 x 1
Diện tích cần tìm
0
4
1
3 2 d
S x x x x
1
1
3
5
x x x dx
(30)N
H
Ó
M
T
O
Á
N
V
D
–
V
D
C
N
H
Ó
M
T
O
Á
N
V
D
–
V
D
C
5) Dạng Biến đổi đồ thị đưa tính tốn đơn giản
Câu 1:Cho parabol P y1 : x2 2x3 cắt trục hoành hai điểm A, B đường thẳng d y a:
0 a 4 Xét parabol P2 qua A, B có đỉnh thuộc đường thẳng y a (đồ thị hình vẽ) Gọi
1
S diện tích hình phẳng giới hạn P1 d S2 diện tích hình phẳng giới hạn P2 trục hồnh Biết S1 S2, tính T a 3 8a248a
y = a B A
y
x O
A T 99 B T 64 C T 32 D T 72
Lời giải Chọn B
y = a B
A
N M
y
x O
Để việc tính tốn trở nên đơn giản, ta tịnh tiến hai parabol sang trái đơn vị Khi đó, phương
trình parabol
1 :
P y x ,
2 : a4
P y x a
Gọi A, B giao điểm P1 trục Ox A 2;0 , B 2;0 AB4 Gọi M , N giao điểm P1 đường thẳng d M 4 a a; , N 4a a; Ta có
4
1 d
a
S y y
4
4
3 y a
43 a 4a
2
2
0
2 d
4
a
S x a x
2
0
2 12
ax ax
8 3a
(31)N
H
Ó
M
T
O
Á
N
V
D
–
V
D
C
N
H
Ó
M
T
O
Á
N
V
D
–
V
D
C
Theo giả thiết S1 S2 44
3 a a 3a
4 a3 4a2 a3 8a248a64
Vậy T 64
Câu 2:Gọi ( )H hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y x2 4x trục hoành Hai đường thẳng
y m y n chia ( )H thành phần có diện tích Giá trị biểu thức
3
(4 ) (4 )
T m n
y = n y = m y
x O
A 320
9
T B 512
15
T C T 405 D 75
2
(32)N
H
Ó
M
T
O
Á
N
V
D
–
V
D
C
N
H
Ó
M
T
O
Á
N
V
D
–
V
D
C
6) Dạng Tính diện tích dựa vào việc chia nhỏ hình
Câu 1: (Đề tham khảo THPT QG 2018)Cho H hình phẳng giới hạn parabol y 3x2, cung tròn
có phương trình y 4x2 (với 0 x 2 ) trục hồnh (phần tơ đậm hình vẽ) Diện tích
H
2
2
y
x O
A
12
B 4
6
C 4 3
6
D 5
3
Lời giải Chọn B
Phương trình hồnh độ giao điểm parabol cung tròn ta 3x2 4x2 x 1
với 0 x 2 nên ta có x 1
Ta có diện tích
1
1 2
2 2
0 0 1
3
3 3 3
S x dx x dx x x dx x dx
Đặt 2sin 2cos ; ;
6
x t dx tdt x t x t
2
3 2 1sin2
3
S t t
Câu 2:Gọi S diện tích hình phẳng giới hạn đường y x 13, y 3x1 Đường cong
2
2 x
y chia S thành hai phần có diện tích
1,
S S (trong S1nằm trục hồnh) Tính tỉ số
2 S S A
2
9ln 4
S
S B SS12 ln 14 C SS21 9ln2 14 D SS12 9ln24
(33)N
H
Ó
M
T
O
Á
N
V
D
–
V
D
C
N
H
Ó
M
T
O
Á
N
V
D
–
V
D
C
8
2 1
3 2 1 -1
y=(x 1)3
y=3x 1
y=22 x y
x O
Phương trình hồnh độ giao điểm hai đường cong y x 13, y 3x1 là:
3
1
x x x33x2 0
3
x x
Do
3
3
27
3 1 4
S x x dx
Phương trình hồnh độ giao điểm hai đường cong y x 13, y 22x là:
3 2
1 x
x 1
Dễ thấy x 2 nghiệm 1 đồng thời hàm số y x 1 đồng biến , hàm số
2
2 x
y nghịch biến nên 1 có nghiệm x 2
Phương trình hồnh độ giao điểm hai đường cong y 3x1, y 22x là:
2
3x 1 2x (1)
Dễ thấy x 1 nghiệm 2 đồng thời hàm số y 3x1 đồng biến , hàm số y 22x
nghịch biến nên (1) có nghiệm x 1
Ta có
2
3
1
0
3 x 1
S x dx x x dx
274 ln 43
2 ln 43
S S S
Vậy
2
27
9ln
4 ln 1
3
ln
S S
(34)N
H
Ó
M
T
O
Á
N
V
D
–
V
D
C
N
H
Ó
M
T
O
Á
N
V
D
–
V
D
C
Câu 3:Gọi tam giác cong OAB hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y 2x2, y 3 x, y 0
(tham khảo hình vẽ bên) Diện tích OAB
B A
y
x O
y=3-x y=2x2
A
3 B 53 C 43 D 103
Lời giải Chọn A
S2
S1
3
y
x O
y=3-x y=2x2
Gọi parabol P y: 2x2 đường thẳng d y: 3 x
Ta có phương trình hồnh độ giao điểm P d là:
2
2 3 3
2
x
x x x x
x
Suy tọa độ điểm A(1;3) ( )d Ox B (3;0)
Khi
1
2
( )
0
2
2 d (3 )d 3 3
OAB
(35)N
H
Ó
M
T
O
Á
N
V
D
–
V
D
C
N
H
Ó
M
T
O
Á
N
V
D
–
V
D
C
Câu 4:Diện tích miền phẳng giới hạn đường: y 2 ,x y x y 1 là:
A S 1
ln2 2 B S ln21 1 C S 4750 D S ln21 3
Lời giải Chọn A
y
x
O
2
1 y=1
y=3-x y=2x
Xét phương trình hồnh độ giao điểm đường Ta có: * 2x x x
* 2x 1 x 0
* x 3 1 x 2 Diện tích cần tìm là:
1 2
0 1
2 1
2 d d
ln2 ln2
x
x x
S x x x x x
Câu 5:Cho H hình phẳng giới hạn đường cong có phương trình y x, nửa đường trịn có
phương trình y 2x2 (với 0 x 2) trục hồnh (phần tơ đậm hình vẽ) Diện tích H
(36)N
H
Ó
M
T
O
Á
N
V
D
–
V
D
C
N
H
Ó
M
T
O
Á
N
V
D
–
V
D
C
1 y
x O
A
12
B 3
12
C 4
6
D 4
12
Lời giải Chọn B
Phương trình hồnh độ giao điểm :
2
2
2
0
x x
x x x
x
Do
1
2
0
3
d d
12
S x x x x
Câu 6:Cho H hình phẳng giới hạn parabol 1
4
y x (với 0 x 2 2), nửa đường trịn có
phương trình y 8x2và trục hồnh, trục tung (phần tơ đậm hình vẽ) Diện tích H
1
y
x
O
A 14
6
B 2
3
C 3
6
D 3
3
Lời giải Chọn D
Phương trình hồnh độ giao điểm:
4
2 24 112
8
4 2
x x
x x x
x
(37)N H Ó M T O Á N V D – V D C N H Ó M T O Á N V D – V D C Do
2 2
2
0
1 1 d 8 d
4
S x x x x
Câu 7:Cho ( )H hình phẳng giới hạn parabol
2
y x đường Elip có phương trình 2 1
4
x y
(phần tơ đậm hình vẽ) Diện tích ( )H
1
-1
-2
y
x O
A
6
B 2
3 C 4 D 34
Lời giải Chọn A
Ta có 2 1
4
x y
1
x y
Phương trình hồnh độ giao điểm đường cong nửa Elip Parabol
2 x x
3x4 x2 4 0 2 1 1 x x x x
Suy diện tích hình phẳng ( )H cần tính
1 2 ( ) d H x
S x x
1
1 4 d
2 x x
Xét d
I x x
, đặt x 2sint ta
6
2
1 4 sin 2cos d
2
I t t t
6
2 cos dt t
6
1 cos2 dt t
6 sin2 t t 3
Do ( ) 3
3
H
S
6
(38)N
H
Ó
M
T
O
Á
N
V
D
–
V
D
C
N
H
Ó
M
T
O
Á
N
V
D
–
V
D
C
Vậy
4
a b c
9
P a b c
Câu 8:Tính diện tích S hình phẳng (phần tơ màu) hình sau
4
O x
y
A
3
S B 10
3
S C 11
3
S D
3
S Lời giải
Chọn B
Dựa hình vẽ, ta có hình phẳng giới hạn đường:
0
y x
y x y
Suy
2
0
d d
S x x x x x πa2 2
Câu 9:Cho H hình phẳng tơ đậm hình vẽ giới hạn đường có phương trình
2
10
y x x ,
khi
1
2
x x
y x x
Diện tích H bằng?
-1
1
O y
x
A 11
6 B 132 C 112 D 143
(39)N
H
Ó
M
T
O
Á
N
V
D
–
V
D
C
N
H
Ó
M
T
O
Á
N
V
D
–
V
D
C
Hoành độ giao điểm hai đồ thị hàm số y x y x 2 x x x
Diện tích hình phẳng cần tính
1
2
0
10 d 10 2 d
3
S x x x x x x x x
1
2
0
13 d 2 d
3
S x x x x x x
1
2
0
13 d 2 d
3
S x x x x x x
1
3
2
0
13 2 13
6 x3 x3
S x x x
Câu 10:Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số 2; 2; 27
27
x
y x y y
x
A 27 ln2 B 27 ln C 28 ln D 29ln
Lời giải Chọn B
Xét pthđgđ 2 0; 27 3; 27
27 27
x x
x x x x x
x x
3
9
y=
27
x
27x
2 y=
y=x2 y
x O
Suy
3 2 2
2
0
27 27 ln 3
27 27
x x
S x dx dx
x
Câu 11:Cho parabol :
2
P y x đường trịn C có bán kính tiếp xúc với trục hồnh đồng
thời có chung điểm A với P Diện tích hình phẳng giới hạn P , C trục hoành
(40)N
H
Ó
M
T
O
Á
N
V
D
–
V
D
C
N
H
Ó
M
T
O
Á
N
V
D
–
V
D
C
B A
I
x y
O y=0.5x2
A 27
24 B 9 4 12 C 29 924 D 3 2 3
Lời giải Chọn A
Gọi I b ;1 tậm đường tròn C b0; ;1
2
A a a
tiếp điểm P C a0
Phương trình tiếp tuyến chung P C : : 2
2
y ax a ax y a
Tiếp tuyến có véctơ phương u 1;a ;1
2
IA a b a
Ta có . 0 1 0
2
IA u IA a b a a b a Hơn
2 2
2
2
4
1 1
1 1 1
2 2
1 3 0 3 3.
4
IA a b a a a a
a a a b
Phần tơ đậm hình vẽ hình giới hạn nhánh bên phải parabol P x 0, bên trái đường
tròn 3
2
C x
(41)N
H
Ó
M
T
O
Á
N
V
D
–
V
D
C
N
H
Ó
M
T
O
Á
N
V
D
–
V
D
C
Ta có:
2
2
3 3
: 1 1
2
C x y x y
(vì
3
x )
: 2
2
P y x x y (vì x 0)
Vậy diện tích phần tô đậm:
3
2 2
0
3 1 1 2 27 .
2 24
S y y dy
Câu 12:Cho parabol P y x: đường trịn C có bán kính
bằng 17
2 tiếp xúc với hai nhánh P (như hình vẽ) Diện tích
hình phẳng giới hạn P C (phần tơ đậm hình) gần với giá trị sau đây?
A 5,12 B 7,06
C 8,74 D 6,03
Lời giải Chọn D
Gọi I b 0; tậm đường tròn C b0; A a a ; tiếp điểm nhánh bên phải P C a0
Phương trình tiếp tuyến chung P C : :y 2ax a 2 2ax y a 2 0
Tiếp tuyến có véctơ phương u 1;2a IA a a; 2b
Ta có . 0 2 0
2
IA u IA a a a b b a
Hơn 17 2 17 17
4 4
IA a a b a a b
Phần tơ đậm hình vẽ hình giới hạn parabol P bên đường tròn
2
C y
Ta có
2
2 17 17
: 2 4 2 4
C x y y x
(vì
9
y )
4,5
2
A I
y
(42)N
H
Ó
M
T
O
Á
N
V
D
–
V
D
C
N
H
Ó
M
T
O
Á
N
V
D
–
V
D
C
Vậy diện tích phần tơ đậm
2
2
0
9 17
2 6,03
2
S x x dx
Câu 13:Cho parabol P y x: đường tròn C có bán kính tiếp xúc với P gốc tọa độ
(như hình vẽ) Diện tích hình phẳng giới hạn P C (phần tơ đậm hình) bằng:
I
y=x2
y
x O
2
A 2 3
3 B 433 C 835 D 833
Lời giải Chọn D
Vì tính đối xứng, ta cần tính phần tơ màu phía bên phải trục Oy x 0
Qua hình vẽ, ta thấy: C có tâm I 0;2 C x: y 2 4 x 4 y 2
Phương trình hồnh độ giao điểm P C :
2
2 2 4 3 0 0 .
3
x y
x x x x
x y
Khi diện tích phần tô màu
3
2
1
2 3
S y y dy
Câu 14:Cho hàm số y f x Đồ thị hàm số y f x 5;3 hình vẽ (phần cong đồ thị
(43)N
H
Ó
M
T
O
Á
N
V
D
–
V
D
C
N
H
Ó
M
T
O
Á
N
V
D
–
V
D
C
-1 4 3
2
2 1 -1
-4 -5
y
x O
Biếtf 0 0, giá trị 2f 5 2f A 109
3 B 33 C 353 D 11
Lời giải Chọn C
Cách
Parabol y ax bx c có đỉnh I 1;4 qua điểm 2;3 nên ta có:
2
1 1
2
4 2
4 3
b
a a
a b c b y x x
a b c c
Do f 0 0 nên 2f 5 3 2f 2f 5 f 1 2f 1 f 0 3 2f f 0
1
2
5
2 f x dx x 2x dx x 2x dx
0
2
1
1
2.7 22 35
2S x 2x dx x 2x dx 2 2.3 3 3
Trong S1 diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y f x , trục Ox hai đường thẳng
5,
x x ta có: 1 11 1.2. .1.
2 3
S
(44)N
H
Ó
M
T
O
Á
N
V
D
–
V
D
C
N
H
Ó
M
T
O
Á
N
V
D
–
V
D
C
Ta tính được:
2
3 14 ,
2 2 , 4 1
3
2 3,
x x
f x x x
x x x
Ta có
4
5
1
4 14
2
f f f x dx x dx f f
(1)
4
2
1 3 3
f f f x dx x dx f f
(2)
Từ (1) (2) 1
2
f f
(3)
1
5
0
3
f f f x dx x x dx f f
(4)
0
22 22
2
3
f f f x dx x x dx f f (5) Mà f 0 0 (6)
Từ (3),(4),(5),(6) 1 5, 2 22, 5 31
3
f f f
Do đó: 5 2 35
3
(45)N
H
Ó
M
T
O
Á
N
V
D
–
V
D
C
N
H
Ó
M
T
O
Á
N
V
D
–
V
D
C
7) Dạng Toán thực tế với giả thiết có đồ thị hàm liên quan
Câu 1: (Đề tham khảo THPT QG 2019)Một biển quảng cáo có dạng hình elip với bốn đỉnh A A B B1, , ,2 1 2
như hình vẽ bên Biết chi phí để sơn phần tơ đậm 200.000 / mđ phần lại 100.000 / mđ
Hỏi số tiền để sơn theo cách gần với số tiền đây, biết AA1 2 8m, B B1 2 6m tứ giác
MNPQ hình chữ nhật có MQ 3m?
A2 B2
B1 A1
Q P
N M
A 5.526.000 đồng B 5.782.000 đồng C 7.322.000 đồng D 7.213.000 đồng Lời giải
Chọn C
4
A2 B2
B1 A1
y
x O
Q P
N M
Gọi phương trình tắc elip E có dạng: x22 y22 1
a b
Với
1
8
6
AA a a
B B b b
2
2
3
: 16
16x y9
E y x
Suy diện tích hình elip S E a b 12 m 2
Vì MNPQ hình chữ nhật 3 ;3
2
MQ M x E
2
1 1 12 2 3; ; 3;3
16 4x x M N
(46)N
H
Ó
M
T
O
Á
N
V
D
–
V
D
C
N
H
Ó
M
T
O
Á
N
V
D
–
V
D
C
Gọi S S1; 2 diện tích phần bị tơ màu khơng bị tơ màu
Ta có
4
2
2
2 3
3
4 16 d 16 d
4
S x x x x
Đặt x 4 sint ta tính 2
2 m
S
Suy S1 S E S2 86 3 Gọi T tổng chi phí Khi ta có
4 100 8 200 7.322.000
T (đồng)
Câu 2:Sàn viện bảo tàng mỹ thuật lát viên gạch hình vng cạnh 40 (cm)
hình bên Biết người thiết kế sử dụng đường cong có phương trình y2 2x 4x 13 y2
để tạo hoa văn cho viên gạch Diện tích tơ đậm gần với giá trị đây?
A 506 (cm2) B 747(cm2) C 507(cm2) D 746(cm2)
Lời giải Chọn B
2 1 y
x O
Gắn hệ trục tọa độ hình vẽ Diện tích phần tô đậm
1
3 2 2
0
112
4 2 747
15
S x dx x x dx dm cm
(47)N
H
Ó
M
T
O
Á
N
V
D
–
V
D
C
N
H
Ó
M
T
O
Á
N
V
D
–
V
D
C
Câu 3: (Đề thi thử THPT QG Bắc Ninh lần năm 2017)Một xưởng sản xuất gỗ muốn thiết kế có
hình dạng phần hình elip có kích thước giống hình bên Biết miếng gỗ dày 2 cm Thể tích miếng
gỗ cho tính theo cm3 nằm khoảng nào?
A 2340;2350 B 1170;1180 C 2240;2250 D 1200;1210 Lời giải
Chọn A
10 12,5
25 y
x M
O A
B
Chọn hệ tọa độ hình vẽ, Elip qua điểm B0;12,5 , M 25;10 ta có
2
2
2
25 100 1 25
9
12,5 a
a
Ta phương trình Elip: 23 22 12,5 23
25 12,5 25
9
x y y x
Diện tích bề mặt miếng
25
3
4 12,5 23,406 2340,6
25
x
S dx V
Câu 4:Một mặt bàn hình elip có chiều dài 120cm, chiều rộng là 60cm Anh Phượng muốn gắn đá hoa cương dán gạch tranh mặt bàn theo hình (phần đá hoa cương bên điểm nhấn bên
tranh gồm 2 miếng gạch với kích thước miếng 25cm40cm) Biết đá hoa cương có giá
tranh gạch có giá 300.000 vnđ/bộ Hỏi số tiền để gắn đá hoa cương dán gạch tranh theo cách gần
(48)N
H
Ó
M
T
O
Á
N
V
D
–
V
D
C
N
H
Ó
M
T
O
Á
N
V
D
–
V
D
C
A 519.000 đồng B 610.000 đồng C 639.000 đồng D 279.000 đồng
Lời giải Chọn A
Gọi phương trình tắc elip E có dạng: x22 y22
a b
Với
1
1,2 0,6
0,6 0,3
AA a a
B B b b
2
2
1
: 0,36
0,36 0,09x y
E y x
Suy diên tích hình elip là:
0,6 0,6
2 2
0
1
4 0,36 0,36 0,18
2
E
S x dx x dx m
Gọi S S1; 2 diện tích phần đá hoa cương tranh
Ta có S2 2x0,25x0,4 0,2 m2
Suy S1 S E S2 0,180,2 m2
Gọi T tổng chi phí Khi ta có
0,18 0,2 600000 300000 519.000
T (đồng)
Câu 5:Một mặt bàn hình elip có chiều dài 120cm, chiều rộng 60cm Anh Hải muốn gắn đá hoa cương cho mặt bàn theo hình (phần đá hoa cương trắng phần đá hoa cương màu vàng), biết phần màu vàng
cũng elip có chiều dài 100cm chiều rộng 40cm Biết đá hoa cương màu trắng có giá
đ
(49)N
H
Ó
M
T
O
Á
N
V
D
–
V
D
C
N
H
Ó
M
T
O
Á
N
V
D
–
V
D
C
A 355.000 đồng B 339.000 đồng C 368.000 đồng D 353.000 đồng
Lời giải Chọn A
O y
x B'2
B'1
B2
B1
A'2
A'1 A2
A1
Gọi phương trình tắc elip E có dạng: x22 y22
a b
Với
1
1,2 0,6
AA a
B B b
0,6 0,3
a b
: 2
0,36 0,09
L x y
E
0,36
2
y x
Suy diện tích hình elip lớn là:
0,6 0,6
2 2
0
1
4 0,36 0,36 0,18
2
L
E
S x dx x dx m
Với
1
' ' 0,5
' ' 0,4 0,2
A A a a
B B b b
2
2
2
: 0,25
0,25 0,04
N x y
E y x
Suy diện tích hình elip nhỏ là:
0,5 0,5
2 2
0
2
4 0,25 0,25 0,1
5
N
E
S x dx x dx m
Gọi S S1; 2 diện tích phần gắn đá hoa cương màu trắng phần gắn đá hoa cương màu
vàng Ta có 2 0,1 2
N
E
S S m
Suy 1 0,18 0,1 0,08
L N
E E
S S S Gọi T tổng chi phí Khi ta có
0,08 600000 0,1 650000 355.000
T (đồng)
(50)N
H
Ó
M
T
O
Á
N
V
D
–
V
D
C
N
H
Ó
M
T
O
Á
N
V
D
–
V
D
C
N
M B2
B1
A1 A2
Người ta chia elip Parabol có đỉnh B1, trục đối xứng B B1 2 qua điểm M N, Sau
sơn phần tô đậm với giá 200.000 đồng/m2 trang trí đèn led phần cịn lại với giá 500.000
đồng/m2 Hỏi kinh phí sử dụng gần với giá trị đây? Biết A A1 2 4m,
1 2m
B B ,MN 2 m
A 2.431.000 đồng B 2.057.000 đồng C 2.760.000 đồng D 1.664.000 đồng Lời giải
Chọn A
N M
-2
-1
y
x O
B2
B1
A1 A2
+ Chọn hệ trục tọa độ Oxy cho O trung điểm AA1 2 Tọa độ đỉnh A1 2;0 ,
2 2;0 ,
A B1 0; 1 , B2 0;1
+ Phương trình đường Elip E : 2 1 1
4
x y y x
+ Ta có 1; , 1;
2
M N E
+ Parabol P có đỉnh B1 0; 1 trục đối xứng Ox nên P có phương trình
2 1, 0
y ax a P qua M N,
2
a
P
có phương trình
2
y x
+ Diện tích phần tơ đậm
1 2
2
0
3
2 1 d
4
x
S x x
0
2
4 x xd 3 2 1
(51)N
H
Ó
M
T
O
Á
N
V
D
–
V
D
C
N
H
Ó
M
T
O
Á
N
V
D
–
V
D
C
Đặt 2sin , ;
2
x t t
dx 2cos dt t Đổi cận: x t 0;x t
6
2
0
2
4 sin 2cos d
3
S t t t
0
3
4 cos d
3
t t
6
3
2 cos2 d
3
t t
6
0
3 4
2 sin2
3 3
t t
+ Diện tích hình Elip S ab 2
Diện tích phần cịn lại 2 1
3
S S S
+ Kinh phí sử dụng là: 200000S1500000S2 2431000 (đồng)
Câu 7:Một người định xây non cách vẽ đường trịn bán kính 2m mặt đất sau
lấy tâm đường trịn làm tâm hình vng cạnh 2m hình vẽ Phần S1 (tất phần màu trắng) xây
thành bể để xếp non thả cá, phần S S2, 3 để trồng hoa Tính diện tích trồng hoa
2
2
S2
S1 S3
A 3,65m2 B 3,56m2 C 4,65m2 D 4,56m2
(52)N
H
Ó
M
T
O
Á
N
V
D
–
V
D
C
N
H
Ó
M
T
O
Á
N
V
D
–
V
D
C
2 -1
-1
1
1
S2
S1 S3
y
x O
Chọn gốc tọa độ trùng với tâm đường trịn, phương trình đường trịn tâm O bán kính 2
2 4 4
x y y x
Diện tích hình trịn 4 m2
Diện tích hình vng 4 m2
Các cạnh hình vng nằm đường thẳng y 1,x 1
Phương trình hồnh độ giao điểm đường tròn đường thẳng y 1
2
4x 1 x
Diện tích phần bể ngồi hình vng 3
3
2 4 x 1dx
3 2
1 3
S x dx
Diện tích phần trồng hoa S2S3 4 S1 3,65 m2
Câu 8:Nhà ông An có khn viên dạng nửa hình trịn có đường kính 5( )m Ơng An muốn thiết kế khuôn viên phần để lát gạch Ý (phần tơ đậm) hai phần cịn lại để trồng hoa Nhật Bản ( phần không tô màu) Phần tô đậm có dạng cánh hoa hình parabol có đỉnh trùng với tâm nửa hình trịn hai đầu mút cánh hoa nằm nửa đường tròn, cách khoảng (m) Biết kích thước cho
như hình vẽ, kinh phí để trồng hoa Nhật Bản 150.000 đồng / m2 kinh phí để lát gạch Ý 250.000
đồng/ m2 Hỏi kinh phíơng An để làm cơng trình gần với kết sau đây?
4m
4m
4m
(53)N
H
Ó
M
T
O
Á
N
V
D
–
V
D
C
N
H
Ó
M
T
O
Á
N
V
D
–
V
D
C
Chọn B
(P) M y
x O
4
2
Đặt hệ trục tọa độ hình vẽ Khi phương trình nửa đường trịn là:
2
2 2 5 20
y R x x x
Phương trình Parabol ( )P có đỉnh gốc O có dạng y ax 2.Mặt khác ( )P qua điểm M(2;4)
nên 4a.(2)2 a
Gọi S1 phần diện tích hình phẳng hạn ( )P nửa đường tròn ( phần tơ màu)
Diện tích phần lát gạch Ý khuôn viên là:
2
2
1
( 20 ) 11,940
S x x dx
Phần diện tích trồng cỏ Nhật Bản khn viên là:
2
2 2
2
2
1 1 (2 5) ( 20 ) 19,476
2 hinh tron
S S S x x dx
Vậy số tiền cần có là: T 250.000.S 150.000.S1 2 5.906.400 (đồng)
Câu 9:Một cổng hình parabol hình vẽ Chiều cao GH 4m, chiều rộng AB 4m,
0,9
AC BD m Chủ nhà làm hai cánh cổng đóng lại hình chữ nhật CDEF tơ đậm giá
1200000đồng/m2, phần để trắng làm xiên hoa có giá 900000đồng/m2
H G
F E
D
C B
A
Hỏi tổng chi phí để hai phần nói gần với số tiền đây?
(54)N
H
Ó
M
T
O
Á
N
V
D
–
V
D
C
N
H
Ó
M
T
O
Á
N
V
D
–
V
D
C
Chọn A
Gắn hệ trục tọa độ Oxy cho AB trùng Ox, A trùng O parabol có đỉnh G 2;4
đi qua gốc tọa độ
y=-x2+4x
H G
F E
D
C B
A y
x
O 0,9 2 3,1
4
4
Gọi phương trình parabol y ax bx c
Do ta có
2
0 1
2
2 0
2a
c a
b b
c
a b c
Nên phương trình parabol y f x( ) x2 4x
Diện tích cổng
4
2
0
32
( 4x) 10,67( )
3
x
S x dx x m
Do chiều cao CF DE f 0,9 2,79( )m
4 2.0,9 2,2
CD m
Diện tích hai cánh cổng SCDEF CDCF. 6,138 6,14 m2
Diện tích phần xiên hoa Sxh S SCDEF 10,67 6,14 4,53( ) m2
Nên tiền hai cánh cổng 6,14.1200000 7368000 đ
và tiền làm phần xiên hoa 4,53.900000 4077000 đ
(55)N
H
Ó
M
T
O
Á
N
V
D
–
V
D
C
N
H
Ó
M
T
O
Á
N
V
D
–
V
D
C
Câu 10:Bồn hoa trường X có dạng hình trịn bán kính 8m Người ta chia bồn hoa thành
phần hình vẽ có ý định trồng hoa sau: Phần bên hình vng ABCD để trồng hoa
Phần phần gạch xọc dùng để trồng cỏ Ở 4 góc cịn lại góc trồng cọ Biết AB 4m, giá trồng
hoa 200.000đ/m2, giá trồng cỏ 100.000đ/m2, cọ giá 150.000đ Hỏi cần tiền để thực
hiện việc trang trí bồn hoa (làm trịn đến hàng nghìn)
A 13.265.000 đồng B 12.218.000 đồng C 14.465.000 đồng D 14.865.000 đồng Lời giải
Chọn A
8 2
y
x O
Chọn hệ trục tọa độ cho gốc tọa độ trùng với tâm hình trịn, suy phương trình
đường trịn là: x2 y2 64
(56)N
H
Ó
M
T
O
Á
N
V
D
–
V
D
C
N
H
Ó
M
T
O
Á
N
V
D
–
V
D
C
Số tiền để trồng hoa là: T1 16 200.000 3.200.000 (đồng)
+ Diện tích trồng cỏ là:
2
2
2
4 64 d 94,654
S x x m
Số tiền trồng cỏ là: T2 94,654 100.000 9.465.000 (đồng)
+ Số tiền trồng cọ là: T3 150.000 600.000 (đồng)
Vậy tổng số tiền để thực việc trang trí bồn hoa là:
1 13.265.000
T T T T (đồng)
Câu 11:Người ta lát gạch trang trí mảnh sân hình chữ nhật hình đây, đó P1 , P2
parabol giống nhau, C đường trịn có tâm trùng với tâm mảnh sân có điểm
chung với parabol đỉnh parabol Tính làm trịn đến hai chữ số thập phân diện
tích phần lát gạch mảnh sân trường hợp diện tích hình trịn bao C lớn
A 8,39 B 10,12 C 9,18 D 11,45
Lời giải Chọn A
(57)N H Ó M T O Á N V D – V D C N H Ó M T O Á N V D – V D C y x 4a-r S -r r O M
Lúc ta có C x: 2 y2 r P y ax2, : 2r a( 0)
Do C P1 có điểm chung đỉnh P1 nên hệ phương trình
2 2
2
x y r
y ax r
có nghiệm 0;r (*)
Do
2
2 2 2 2
2
2 2
2
0
2 x 2 1
x y r x a x arx r r ar
x
y ax r y ax r a
y ax r
nên (*)
2
r a
Do 2; 1
2
M P nên
8
r
a Tức
1 2 r a r a
Từ tìm
1 2 r r a
Do hình trịn có diện tích lớn nên 12
1 r a
Lúc P1 cắt tia Ox điểm có hồnh độ
2
Diện tích cần tính
2
2 2
1 4 4 .d 8,39
2 S 4 x x
Câu 12:Cho mơ hình 3D mơ đường hầm Biết đường hầm mơ hình có chiều dài
5 cm ; cắt hình mặt phẳng vng góc với đáy nó, ta thiết diện hình parabol có
độ dài đáy gấp đơi chiều cao parabol hình vẽ Chiều cao thiết diện parobol cho công thức
2
5
y x cm , với x cm khoảng cách tính từ lối vào lớn đường hầm mơ hình Tính thể tích
(58)N
H
Ó
M
T
O
Á
N
V
D
–
V
D
C
N
H
Ó
M
T
O
Á
N
V
D
–
V
D
C
5m h
h h
A 29 B 27 C 31 D 33
Lời giải Chọn A
h
h y
x O
Xét thiết diện parabol có chiều cao h độ dài đáy 2h chọn hệ trục Oxy hình vẽ
trên Parabol P có phương trình y ax h a, 0
Ta có B h ;0 P 0 ah2h a do h 0
h
Diện tích S thiết diện: d
3
h
h
h
S x h x
h
, 3
5
h x
2
4 3
3
S x x Suy thể tích khơng gian bên đường hầm mơ hình:
5
0
4
d d 28,888
3
V S x x x x