Chuyên đề nguyên hàm tích phân và ứng dụng - Đặng Việt Đồng

9.2 ỨNG DỤNG TÍNH DIỆN TÍCH CÓ ĐỒ THỊ ĐẠO HÀM VÀ ỨNG DỤNG THỰC TẾ 10.1 ỨNG DỤNG TÍNH THỂ TÍCH GIỚI HẠN BỞI CÁC ĐƯỜNG7. 10.2 ỨNG DỤNG THỰC TẾ THỂ TÍCH BỞI CÁC ĐƯỜNG VÀ ỨNG DỤNG THỰC TẾ 11[r]

MỤC LỤC

1.1 NGUYÊN HÀM ĐỊNH NGHĨA, TÍNH CHẤT VÀ NG.H CƠ BẢN 1.2 NGUYÊN HÀM ĐỊNH NGHĨA, TÍNH CHẤT VÀ NG.H CƠ BẢN 2 NGUYÊN HÀM ĐỔI BIẾN

3 NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN

4 TÍCH PHÂN ĐỊNH NGHĨA, TÍNH CHẤT VÀ TP CƠ BẢN 5 TÍCH PHÂN ĐỔI BIẾN

6 TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN

7 GTLN, GTNN – BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN 8.1 TÍCH PHÂN HÀM ẨN ÁP DỤNG TÍNH CHẤT 8.2 TÍCH PHÂN HÀM ẨN ÁP DỤNG ĐỔI BIẾN 8.3 TÍCH PHÂN HÀM ẨN ÁP DỤNG TỪNG PHẦN

9.1 ỨNG DỤNG TÍNH DIỆN TÍCH GIỚI HẠN BỞI CÁC ĐƯỜNG

9.2 ỨNG DỤNG TÍNH DIỆN TÍCH CĨ ĐỒ THỊ ĐẠO HÀM VÀ ỨNG DỤNG THỰC TẾ 10.1 ỨNG DỤNG TÍNH THỂ TÍCH GIỚI HẠN BỞI CÁC ĐƯỜNG

NGUYÊN HÀM CƠ BẢN A - KIẾN THỨC CƠ BẢN

1 Nguyên hàm

Định nghĩa:Cho hàm số f x  xác định K (K khoảng, đoạn hay nửa khoảng) Hàm số

 

F x gọi nguyên hàm hàm số f x  K F' x  f x  với xK Định lí:

1) Nếu F x  nguyên hàm hàm số f x  K với số C, hàm số    

G x F x C nguyên hàm f x  K

2) Nếu F x  nguyên hàm hàm số f x  K nguyên hàm f x 

K có dạng F x C, với C số

Do F x C C,  họ tất nguyên hàm f x  K Ký hiệu

  x  

f x d F x C



2 Tính chất nguyên hàm

Tính chất 1:  f x d  x  f x   f ' x dx f x C

Tính chất 2: kf x d  xk f x d   x với k số khác

Tính chất 3: f x g x dx f x d  xg x d  x

3 Sự tồn nguyên hàm

Định lí: Mọi hàm số f x  liên tục K có nguyên hàm K

4 Bảng nguyên hàm số hàm số sơ cấp

Nguyên hàm hàm số sơ cấp Nguyên hàm hàm số hợp uu x 

x

d xC

 duuC

 

1

1

x

1

x d x C 





   



 u d u 11u C 1





   





1 x lnd x C

x  

 u lnd u C

u  



x

x x

e d e C

 e du ueu C

 

x 0,

ln x

x a

a d C a a

a

   

 u ln  0, 1

u

u a

a d C a a

a

   

sin dxx  cos xC

 sin duu  cosuC

cos xdx sin xC

 cosudu sin uC

2

1 x tan

cos xd  x C



1 u tan

cos ud  uC 

2

1 x cot

sin xd   x C



1 u cot

sin ud   uC 

B - BÀI TẬP

DẠNG 1:SỬ DỤNG LÍ THUYẾT

Câu Trong khẳng định đây, có khẳng định đúng? (1): Mọi hàm số liên tục a b;  có đạo hàm a b; 

(2): Mọi hàm số liên tục a b;  có nguyên hàm a b; 

(3): Mọi hàm số đạo hàm a b;  có nguyên hàm a b; 

(4): Mọi hàm số liên tục a b;  có giá trị lớn giá trị nhỏ a b; 

A. B. C. D.

Câu Cho hai hàm số f x , g x  liên tục  Trong mệnh đề sau, mệnh đề sai? A. f x g x dx f x dxg x dx

B. f x g x    dx f x d x g x  dx

C. f x g x dx f x dxg x dx

D. kf x dxk f x  dx k0;k

Câu Cho f x , g x  hàm số xác định liên tục  Trong mệnh đề sau, mệnh

đề sai?

A.  f x g x   dx f x d x g x  dx B. 2f x dx2 f x dx

C. f x g x dx f x dxg x dx. D.

    d  d  d

f x g x x f x x g x x

 

 

  

Câu Khẳng định sau khẳng định sai?

A. kf x dxk f x  dx với k

B. f x g x dx f x dxg x dx với f x ; g x  liên tục 

C. d 1

1

x x x





 

 với   1

D  f x dx  f x 

Câu Cho hai hàm số f x , g x  hàm số liên tục, có F x , G x  nguyên hàm

của f x , g x  Xét mệnh đề sau:

 I F x G x  nguyên hàm f x g x   II k F x   nguyên hàm k f x   với k

A.  II III B.Cả mệnh đề C.  I III D.  I  II Câu Mệnh đề sau sai?

A. f x g x dx f x dx  g x dx  , với hàm số f x ,g x  liên tục  B.  f x dx f x C với hàm số f x  có đạo hàm 

C. f x g x dx f x dx  g x dx  , với hàm số f x ,g x liên tục  D. kf x dx  k f x dx  với số k với hàm số f x  liên tục  Câu Cho hàm số f x  xác định K F x  nguyên hàm f x  K Khẳng

định đúng?

A. f x F x ,  x K B. F x  f x ,  x K C. F x  f x ,  x K D. F x  f x ,  x K Câu Cho hàm số f x  xác định K Khẳng định sau sai?

A. Nếu hàm số F x  nguyên hàm f x  K với số C, hàm số    

G x F x C nguyên hàm f x  K

B.Nếu f x  liên tục K có ngun hàm K

C.Hàm số F x  gọi nguyên hàm f x  K F x  f x  với xK

D.Nếu hàm số F x  nguyên hàm f x  K hàm số Fx nguyên

hàm f x  K

DẠNG 2: ÁP DỤNG TRỰC TIẾP BẢNG NGUYÊN HÀM Câu Cho  

2

f x x



 , chọn mệnh đề sai mệnh đề sau:

A. Trên  2; , nguyên hàm hàm số f x  F x lnx2C1; khoảng  ; 2, nguyên hàm hàm số f x  F x ln x 2C2 (C C1, 2 số) B.Trên khoảng  ; 2, nguyên hàm hàm số f x  G x ln x 3

C. Trên  2; , nguyên hàm hàm số f x  F x lnx2

D. Nếu F x  G x  hai nguyên hàm của f x  chúng sai khác

số

Câu 10 Khẳng định sai?

A. cos dx x sinxC B. d lnx x C

x  



C. 2 d

x xx C

 D. e dx xexC

Câu 11 Tìm mệnh đề sai mệnh đề sau

A 3d

4

x C

x x 

 B. d lnx x C

x  



C. sin dx xCcosx D. 2e dx x2 e xC

Câu 12 Trong khẳng định sau, khẳng định sai?

A. dxx2C (C số). B

1

d

1 n

n x

x x C

n 

 



Câu 13 Tìm nguyên hàm F x 2dx

A. F x 2x C B. F x 2x C

C.  

3

3

F x  C D.  

2

2

x F x  C Câu 14 Họ nguyên hàm hàm số   e cosx 2018

f x   x

A.   e sinx 2018

F x   x x C B. F x e sinx x2018x C

C.   e sinx 2018

F x   x x D. F x e sinx x2018C

Câu 15 Nguyên hàm hàm số f x 2x39 là:

A 1 9

2x  x C B. 4x49xC C.

4x C D. 4x39x C

Câu 16 Họ nguyên hàm hàm số f x e.xe4

A 101376 B e 2 e

x  C C

e

4 e

x

x C 

 

 D.

e

e 4

e

x

x C 

 



Câu 17 Họ nguyên hàm hàm số f x 5x46x21

A. 20x312x C . B. x52x3 x C.

C. 20 12

x  x  x C D

4

2

4

x

x x C

  

Câu 18 Khẳng định sau sai?

A. 0dxC B

5 4d

5

x x x C

 C d lnx x C

x  

 D e dx xexC

Câu 19 Nguyên hàm hàm số y x2 3x

x

  

A 3 ln

3

x x

x C

   B

3

2

3

3

x x

C x

  

C 3 ln

3

x x

x C

   D

3 3

ln

3

x x

x C

  

Câu 20 Cho hàm số f x  a2 b

x x

   , với a, b số hữu tỉ thỏa điều kiện  

1

1

d 3ln

f x x 

 Tính T  a b

A. T  1 B. T 2 C. T  2 D. T 0

Câu 21 Họ nguyên hàm hàm số f x 3x22x5là

A. F x x3x25 B. F x x3 x C C. F x x3x25x C D. F x x3x2C

Câu 22 Hàm số sau nguyên hàm hàm số f x( )3 1x 5? A.    

6

3 18

x

F x    B.    

6

3 18

x

F x   

C.    

6

3 18

x

F x   D.    

6

3

x

Câu 23 Họ nguyên hàm hàm số   12

3

f x x

x

  

A

3

x x

C x

  

 B. 22 x C x



  C

4 3

3

x x

C x

 

  D

3 1

3

x x

C x



  

Câu 24 Họ nguyên hàm hàm số f x  7x6 12

x x

   

A. ln 2

x x x

x

   B. x7 ln x 2x C

x

   

C. x7 lnx 2x C

x

    D. x7 ln x 2x C

x

   

Câu 25 Nguyên hàm f x x3x22 x là:

A. 4

4x x 3 x C B. 3

1

4x 3x 3 x C

C 1 3

4x x 3 x C D. 3

1

4x 3x 3 x C

Câu 26 Họ nguyên hàm hàm số f x 3 xx2018là

A 2019

673

x

x C B

2019

2

2019

x

x  C C. 2019

673

x

C

x   D.

2017

1 6054

2 x  x C

Câu 27 Hàm số ( ) x tan

F x e  x C nguyên hàm hàm số f(x)

A ( ) 12 sin

x

f x e

x

  B ( ) 12

sin

x

f x e

x

 

C ( ) 2 cos

x

x e

f x e

x



 

   

  D.  

1 cos

x

f x e

x

 

Câu 28 Nếu f x dx ln 2x C x

  

 với x0; hàm số f x 

A. f x  1 2

x x

   B.  

2

f x x

x

 

C. f x  ln 2  x x

  D.   12

2

f x

x x

  

Câu 29 Tìm họ nguyên hàm hàm số  

2 1

1

x x f x

x

  



A.

1

x C

x

 

 B  2

1

1 C

x

 

 C

2

ln

2

x

x C

   D x2ln x 1 C Câu 30 Nguyên hàm F x  hàm số   12

sin

f x

x

 

A. F x 3xtanx C B. F x 3xtanx C

C. F x 3xcotx C D. F x 3xcotx C

Câu 31 Tìm nguyên hàm hàm số f x  3cosx 12 x

  0; 

Câu 32 Họ nguyên hàm hàm số f x 3x2sinx A. cos

x  x C B. x3sinxC C. x3cosxC D. 3x3sinxC

Câu 33 Tìm nguyên hàm hàm số ( ) 3 8sin

f x  x  x

A.  f x dx6x8cosx C B.  f x dx6x8cosxC

C.  f x dxx38cosx C D.  f x dxx38cosx C

Câu 34 Tìm nguyên hàm hàm số f x cos2  2x  

A.  f x dxxsinxC B.  f x dxxsinxC

C.  d 1sin

2

x

f x x  x C

 D.  f x dx2 2x1sinx C

Câu 35 Tìm họ nguyên hàm hàm số f x  x cosx A.  

2

d sin

2

x

f x x  x C

 B.  f x dx 1 sinxC

C.  f x dxxsinxcosxC D.  

2

d sin

2

x

f x x  x C



Câu 36  2 3

x  x dx

 có dạng 3ax3b4x4C, a b, hai số hữu tỉ Giá trị a bằng:

A. B.1 C. D. 32

Câu 37 3

3x x dx

  



 

 

 

 có dạng 12a x46bx6C, a b, hai số hữu tỉ Giá trị a bằng:

A 1 B 12 C 36 3 

5  D. Không tồn

Câu 38 2 1a x3bx2dx, a b, hai số hữu tỉ Biết

 

 2 1 2

4

a x bx dx x x C

 Giá trị a b, bằng:

A. 1; B. 3; C ;

8

 D

1 sin 2 1cos 2

4x x2 x

Câu 39 Tìm nguyên hàm hàm số f x thỏa mãn điều kiện:   3cos ,

2

f x  x x F   

A ( ) 3sin 6

4

F x x  x  B

2

( ) 3sin

4

F x x  x

C ( ) 3sin

4

F x x  x D

2

( ) 3sin

4

F x x  x 

Câu 40 Một nguyên hàm F(x) hàm số ( ) 12 sin

f x x

x

  thỏa mãn F( )

4



  là:

A F( ) ot 2

16

x  c xx  B

2

F( ) ot

16

x c xx 

C. F( ) ot

x  c xx D

2

Câu 41 Nếu ( ) x sin2

f x dxe  x C

 f x( ) hàm nào?

A x cos2

e  x B exsin 2x C. excos 2x D. exsin 2x

Câu 42 Tìm nguyên hàm F(x) f x( ) x3 21

x



 biết F(1) =

A ( ) 1

2

x F x

x

   B

2 1 3

( )

2

x F x

x

  

C ( ) 1

2

x F x

x

   D

2 1 3

(x)

2

x F

x

  

Câu 43 Họ nguyên hàm hàm số f x( )

x x

  :

A. x3ln x C B. x3ln x C

C. 4 x 3ln x C



  D. 16 x3ln x C

Câu 44 Tính

3

( x )dx x





A 33 4ln

5 x x C

   B. 33 4ln

5 x  x C

C. 53 4ln

3 x  x C D.

3 4ln

5 x  x C

Câu 45 Nguyên hàm F(x) hàm số ( ) 4 3 2 2

f x  x  x  x thỏa mãn F(1) 9 là:

A. F( ) 2

x x x x  B. F( )x x4x3x210

C. F( ) 2

x x x x  x D. F( )x x4x3x22 10x

Câu 46 Họ nguyên hàm hàm số (2 1)5

y x là:

A (2 1)6

12 x C B. (2 1)6 x 6C

C. (2 1)6

2 x C D.

4

10(2 1)x C

Câu 47 Nguyên hàm F x  hàm số f x 2x2x34 thỏa mãn điều kiện F 0 0

A 2 4

x  x B

4

2 4

3

x

x   x C. x3x42x D.Đáp án khác

Câu 48 Tìm hàm số F(x) biết F x’ 4 – 3x3 x22 F 1 3

A. F x x4 –x32x3 B. F x x4 –x3+2x3

C. F x x4 –x32x3 D. F x x4x32x3

Câu 49 Hàm số f x  xác định, liên tục  có đạo hàm f x  x1 Biết

 0

f  Tính f  2  f  4 ?

A. 10 B.12 C. D. 11

Câu 50 Cho hàm số f x  thỏa mãn đồng thời điều kiện f x  x sinx f  0 1 Tìm

  f x . A.  

2

cos

2

x

f x   x B.  

2

cos

2

x

f x   x

Câu 51 Cho hàm số f x  thỏa mãn f x  3 5cosx f  0 5 Mệnh đề đúng?

A. f x 3 5sinx x2 B. f x 3 5sinx x5

C. f x 3 5sinx x5 D. f x 3 5sinx x5

Câu 52 Biết F x  nguyên hàm của hàm số f x sinx đồ thị hàm số yF x 

qua điểm M0;1 Tính

2

F 

 

A.

2

F 

  B. F



     

  C. F



    

  D. F



    

 

Câu 53 Cho F x  nguyên hàm hàm số f x x22x3 thỏa mãn F 0 2, giá trị

của F 1

A 4 B 13

3 C. D.

11

Câu 54 Tìm nguyên hàmF x của hàm số f x  ax b2 x 0 x

   , biết F 1 1 ,

 1

F  , f  1 0

A.  

2

3

4

x F x

x

   B.  

2

3

4

x F x

x

  

C.  

2

3

2 4

x F x

x

   D.  

2

3

2 2

x F x

x

  

Câu 55 Biết hàm số y f x  có f x 3x2 2x m 1, f  2 1 đồ thị hàm số

 

y f x cắt trục tung điểm có tung độ 5 Hàm số f x  A. 3 5

x x  x B. x32x25x5. C 2x3x27x5. D x3x24x5

Câu 56 Gọi F x  nguyên hàm hàm số f x   2x32 thỏa mãn  0

F  Giá trị biểu

thức log 22 F  F 

A. 10 B. 4 C. D.

Câu 57 Gọi F x  nguyên hàm hàm số f x 4x32m1xm5, với m tham số

thực Một nguyên hàm f x  biết F 1 8 F 0 1 là:

A. F x x42x26 1x B. F x x4 6 1x

C – HƯỚNG DẪN GIẢI

DẠNG 1:SỬ DỤNG LÍ THUYẾT

Câu Trong khẳng định đây, có khẳng định đúng? (1): Mọi hàm số liên tục a b;  có đạo hàm a b; 

(2): Mọi hàm số liên tục a b;  có nguyên hàm a b; 

(3): Mọi hàm số đạo hàm a b;  có nguyên hàm a b; 

(4): Mọi hàm số liên tục a b;  có giá trị lớn giá trị nhỏ a b; 

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải

Chọn B

Khẳng định (1): Sai, hàm số y x liện tục 1;1 khơng có đạo hàm x0

nên khơng thể có đạo hàm 1;1

Khẳng định (2): hàm số liêntục a b;  có nguyênhàm a b; 

Khẳng định (3): Đúng hàm số có đạohàm a b;  liên tục a b;  nên

đều có nguyênhàm a b; 

Khẳng định (4): Đúng hàm số liên tục a b;  có giá trị lớn giá trị nhỏ

nhất a b; 

Câu Cho hai hàm số f x , g x  liên tục  Trong mệnh đề sau, mệnh đề sai? A. f x g x dx f x dxg x dx

B. f x g x    dx f x d x g x  dx

C. f x g x dx f x dxg x dx

D. kf x dxk f x  dx k0;k

Hướng dẫn giải

Chọn B

Câu Cho f x , g x  hàm số xác định liên tục  Trong mệnh đề sau, mệnh

đề sai?

A.  f x g x   dx f x d x g x  dx B. 2f x dx2 f x dx

C. f x g x dx f x dxg x dx. D.

    d  d  d

f x g x x f x x g x x

 

 

  

Hướng dẫn giải

Chọn A

Ngun hàm khơng có tính chất ngun hàm tích tích nguyên hàm Hoặc B, C, D tính chất ngun hàm nên A sai

Câu Khẳng định sau khẳng định sai?

A. kf x dxk f x  dx với k

B. f x g x dx f x dxg x dx với f x ; g x  liên tục 

C. d 1

1

x x x





 

Hướng dẫn giải

Chọn A

Ta có kf x dxk f x  dx với k sai tính chất k\ 0 

Câu Cho hai hàm số f x , g x  hàm số liên tục, có F x , G x  nguyên hàm

của f x , g x  Xét mệnh đề sau:

 I F x G x  nguyên hàm f x g x   II k F x   nguyên hàm k f x   với k

III F x G x    nguyên hàm f x g x   

Các mệnh đề

A.  II III B.Cả mệnh đề C.  I III D.  I  II

Hướng dẫn giải

Chọn D

Theo tính chất ngun hàm  I  II đúng, III sai Câu Mệnh đề sau sai?

A. f x g x dx f x dx  g x dx  , với hàm số f x , g x  liên tục  B.  f x dx f x C với hàm số f x  có đạo hàm 

C. f x g x dx f x dx  g x dx  , với hàm số f x , g x liên tục  D. kf x dx  k f x dx  với số k với hàm số f x  liên tục 

Hướng dẫn giải

Chọn D

Mệnh đề: kf x dx  k f x dx  với số k với hàm số f x  liên tục  mệnh đề sai k0 kf x dx  k f x dx  

Câu Cho hàm số f x  xác định K F x  nguyên hàm f x  K Khẳng định đúng?

A. f x F x ,  x K B. F x  f x ,  x K C. F x  f x ,  x K D. F x  f x ,  x K

Hướng dẫn giải

Chọn B

Ta có F x  f x dx,  x K F x   f x ,  x K Câu Cho hàm số f x  xác định K Khẳng định sau sai?

A. Nếu hàm số F x  nguyên hàm f x  K với số C, hàm số    

G x F x C nguyên hàm f x  K

B.Nếu f x  liên tục K có nguyên hàm K

C.Hàm số F x  gọi nguyên hàm f x  K F x  f x  với xK

D.Nếu hàm số F x  nguyên hàm f x  K hàm số Fx nguyên

hàm f x  K

Hướng dẫn giải

DẠNG 2: ÁP DỤNG TRỰC TIẾP BẢNG NGUYÊN HÀM Câu Cho  

2

f x x



 , chọn mệnh đề sai mệnh đề sau:

A. Trên  2; , nguyên hàm hàm số f x  F x lnx2C1; khoảng  ; 2, nguyên hàm hàm số f x  F x ln x 2C2 (C C1, 2 số) B.Trên khoảng  ; 2, nguyên hàm hàm số f x  G x ln x 3

C. Trên  2; , nguyên hàm hàm số f x  F x lnx2

D. Nếu F x  G x  hai nguyên hàm của f x  chúng sai khác

số

Hướng dẫn giải

Chọn D

D sai F x lnx2 G x ln x 3 nguyên hàm hàm số f x 

nhưng khoảng khác khác

Câu 10 Khẳng định sai?

A. cos dx x sinxC B. d lnx x C

x  



C. 2 d

x xx C

 D. e dx xexC

Hướng dẫn giải

Chọn A

Ta có cos dx xsinx C  A sai

Câu 11 Tìm mệnh đề sai mệnh đề sau

A 3d

4

x C

x x 

 B. d lnx x C

x  



C. sin dx xCcosx D. 2e dx e x 

x C



Hướng dẫn giải

Chọn B

Ta có d lnx x C

x  



Câu 12 Trong khẳng định sau, khẳng định sai?

A. dxx2C (C số). B

1

d

1 n

n x

x x C

n 

 



 (C số; n)

C. 0dxC(C số). D. e dx xexC(C số).

Hướng dẫn giải

Chọn B

Đáp án B sai cơng thức bổ sung thêm điều kiện n 1

Câu 13 Tìm nguyên hàm F x 2dx

A. F x 2x C B. F x 2x C

C.  

3

3

F x  C D.  

2

2

x F x  C

Hướng dẫn giải

Chọn A

A.   e sinx 2018

F x   x x C B.   e sinx 2018

F x   x x C

C.   e sinx 2018

F x   x x D. F x e sinx x2018C

Hướng dẫn giải

Chọn A

Câu 15 Nguyên hàm hàm số f x 2x39 là:

A. 9

2x  x C B. 4x4 9xC C.

4x C D. 4x39x C

Hướng dẫn giải

Chọn A 2x39 d x



4

2

4

x

x C

  

4

9

x

x C

  

Câu 16 Họ nguyên hàm hàm số f x e.xe4

A. 101376 B. e 2 e

x C C

e

4 e

x

x C 

 

 D.

e

e 4

e

x

x C 

 



Hướng dẫn giải

Chọn D

Ta có    

e

e e

d e d

e

x

f x x x x x C



    



 

Câu 17 Họ nguyên hàm hàm số f x 5x46x21

A. 20 12

x  x C B. x52x3 x C

C. 20 12

x  x  x C D

4

2

4

x

x x C

  

Hướng dẫn giải

Chọn B

Ta có 5x46x21 d xx52x3 x C



Câu 18 Khẳng định sau sai?

A. 0dxC B

5 4d

5

x x x C

 C d lnx x C

x  

 D e dx xexC

Hướng dẫn giải

Chọn C

Ta có: d lnx x C

x  

  C sai

Câu 19 Nguyên hàm hàm số 3

y x x

x

  

A 3 ln

3

x x

x C

   B

3

2

3

3

x x

C x

  

C 3 ln

3

x x

x C

   D

3 3

ln

3

x x

x C

  

Hướng dẫn giải

Chọn D

Áp dụng cơng thức ngun hàm ta có 3 d 3 ln

3

x x

x x x x C

x

 

     

 

 

Câu 20 Cho hàm số f x  a2 b

x x

   , với a, b số hữu tỉ thỏa điều kiện  

1

1

d 3ln

f x x 

 Tính T  a b

A. T  1 B. T 2 C. T  2 D. T 0

Hướng dẫn giải

Chọn C

Ta có  

1

1

d

f x x



1 2

2 d

a b

x

x x

 

 

 

 



1

1

ln

a

b x x

x

 

    

  a 1 bln

Theo giả thiết, ta có 3ln 2 a 1 bln Từ suy a1, b 3

Vậy T    a b

Câu 21 Họ nguyên hàm hàm số f x 3x22x5là

A. F x x3x25 B. F x x3 x C C. F x x3x25x C D. F x x3x2C

Hướng dẫn giải

Chọn C

Nguyên hàm hàm số f x 3x22x5 F x x3x25x C

Câu 22 Hàm số sau nguyên hàm hàm số f x( )3 1x 5? A.    

6

3 18

x

F x    B.    

6

3 18

x

F x   

C.    

6

3 18

x

F x   D    

6

3

x

F x  

Hướng dẫn giải

Chọn D

Áp dụng    

1

1 d

1

ax b

ax b x C

a

 

 



  



 với   1 C số

Vậy hàm số phương án D thỏa yêu cầu đề

Câu 23 Họ nguyên hàm hàm số   12

3

f x x

x

  

A

3

x x

C x

  

 B 22 x C x



  C

4 3

3

x x

C x

 

  D

3 1

3

x x

C x



  

Hướng dẫn giải

Chọn D

Ta có

2

1 1 d

3

x x

x

 

 

 

 

  x2x21 d3 x

 



3

1

3

x x

C x

    

Câu 24 Họ nguyên hàm hàm số f x  7x6 12

x x

   

A. ln 2

C. ln 2

x x x C

x

    D. x7 ln x 2x C

x

   

Hướng dẫn giải

Chọn D  d

f x x

 x7 ln x 2x C

x

    

Câu 25 Nguyên hàm f x x3x22 x là:

A. 4

4x x 3 x C B. 3

1

4x 3x 3 x C

C. 3

4x x 3 x C D. 3

1

4x 3x 3 x C

Hướng dẫn giải

Ta có:

 2  4

4 3

x x  x dx x  x  x C



Chọn A

Câu 26 Họ nguyên hàm hàm số f x 3 xx2018là

A 2019

673

x

x C B

2019

2

2019

x

x  C C. 2019

673

x

C

x   D.

2017

1 6054

2 x  x C

Hướng dẫn giải

Chọn B

Ta có:

3 2018d

xx x



1 2018

3x x dx

 

   

 



3

2019

3 2019

x x

C

  

2019

2

2019

x

x C

  

Câu 27 Hàm số ( ) x tan

F x e  x C nguyên hàm hàm số f(x)

A ( ) 12 sin

x

f x e

x

  B ( ) 12

sin

x

f x e

x

 

C ( ) 2 cos

x

x e

f x e

x



 

   

  D.  

1 cos

x

f x e

x

 

Hướng dẫn giải

Ta có:  tan  12

cos

x x

e x C e

x



   

Chọn D

Câu 28 Nếu f x dx ln 2x C x

  

 với x0; hàm số f x 

A. f x  1 2

x x

   B.  

2

f x x

x

 

C. f x  ln 2  x x

  D   12

2

f x

x x

  

Hướng dẫn giải

Do      

2

1 ln 2 ln 2 1

2

x

f x x x

x x x x x x



 

    

           

    với x0;

Câu 29 Tìm họ nguyên hàm hàm số  

2 1

1

x x f x

x

  



A.

1

x C

x

 

 B  2

1

1 C

x

 

 C

2

ln

2

x

x C

   D x2ln x 1 C

Hướng dẫn giải

Chọn C

Ta có  

2 1 1

1

x x

f x x

x x

 

  

 

 

2

d ln

2

x

f x x x C

    

Câu 30 Nguyên hàm F x  hàm số   12

sin

f x

x

 

A. F x 3xtanx C B. F x 3xtanx C

C. F x 3xcotx C D. F x 3xcotx C

Hướng dẫn giải

Chọn C

Nguyên hàm hàm số   12

sin

f x

x

  F x 3xcotx C

Câu 31 Tìm nguyên hàm hàm số f x  3cosx 12 x

  0; 

A 3sinx C x

   B. 3sinx C

x

  C. 3cosx C

x

  D. 3cosxlnx C

Hướng dẫn giải

Chọn B

Ta có  d 3cos 12 d 3sin

b

a

f x x x x x C

x x

 

      

 

 

Câu 32 Họ nguyên hàm hàm số f x 3x2sinx A. cos

x  x C B. x3sinxC C. x3cosxC D. 3x3sinxC

Hướng dẫn giải

Chọn C

Họ nguyên hàm hàm số f x 3x2sinx x3cosxC

Câu 33 Tìm nguyên hàm hàm số ( ) 3 8sin

f x  x  x

A.  f x dx6x8cosx C B.  f x dx6x8cosxC

C.  f x dxx38cosx C D.  f x dxx38cosx C

Hướng dẫn giải

Chọn C

Ta có:  f x dx 3x28sin dx x x38cosxC

Câu 34 Tìm nguyên hàm hàm số   cos2

2

x f x    

 

C.  d 1sin

2

x

f x x  x C

 D.  f x dx2 2x1sinx C

Lời giải

Chọn C

Ta có f x dx 1 cos 2 xdx2 2x1sinx C

 

 

Câu 35 Tìm họ nguyên hàm hàm số f x  x cosx A.  

2

d sin

2

x

f x x  x C

 B.  f x dx 1 sinxC

C.  f x dxxsinxcosxC D.  

2

d sin

2

x

f x x  x C



Hướng dẫn giải

Chọn A

   

2

d cos d sin

2

x

f x x x x x  x C

 

Câu 36 x22x3dx

 có dạng 3ax3b4x4 C, a b, hai số hữu tỉ Giá trị a bằng:

A. B.1 C. D. 32

Hướng dẫn giải

Cách 1:

Theo đề, ta cần tìm  2 3

x  x dx

 Sau đó, ta xác định giá trị a

Ta có:

 2 3

3

x  x dx x  x C



Suy để x2 x3dx

 có dạng a3x34bx4C a1,b2

Chọn B

Cách 2:Dùng phương pháp loại trừ

Ta thay giá trị a đáp án vào

3

a b

x  x C Sau đó, với a đáp án ta

lấy đạo hàm

3

a b

x  x C

Ví dụ:

A.Thay a2 vào

3

a b

x  x C ta

3

b

x  x C Lấy đạo hàm

3

b

x  x C

:

3

2 2

3

b

x x C x bx



 

   

 

  , khơng tồn số hữu tỉ

b cho

2 2 2 3,

x  x  x bx  x  nên ta loại

đáp án A

B.Thay a1 vào

3

a b

x  x C ta

3

b

x  x C Lấy đạo hàm

3

b

x  x C

:

3

1

3

b

x x C x bx



 

   

C. Thay a9 vào

3

a b

x  x C ta 3

4

b

x  x C Lấy đạo hàm 3

4

b

x  x C:

3

3

4

b

x x C x bx



 

   

 

  , khơng tồn số hữu tỉ

b cho

2 3

9x 2x 2x bx , x  nên ta loại

đáp án C

D. Thay a32 vào

3

a b

x  x C ta 32

3

b

x  x C Lấy đạo hàm

3

32

3

b

x  x C:

3

32 32

3

b

x x C x bx



 

   

 

  , khơng tồn số hữu tỉ

b cho

2 3

32x 2x 2x bx , x  nên ta loại

đáp án D

Chú ý:

Ta cần so sánh hệ số

x vế đẳng thức x22x32x2bx3;

2 3

9x 2x 2x bx ;

2 3

32x 2x 2x bx loại nhanh đáp án A, C, D

Sai lầm thường gặp: A. Đáp án A sai

Một số học sinh không đọc kĩ đề nên tìm giá trị b Nên khoanh đáp ánA C. Đáp án C sai

Một số học sinh sai lầm chỗ nhớ sai công thức nguyên hàm sau:

 2 3 3 8

x  x dx x  x C



Vì thế, a9 để x22x3dx3x38x4C có dạng

3

a b

x  x C

Học sinh khoanh đáp án C sai lầm

D. Đáp án D sai

Một số học sinh sai lầm chỗ nhớ sai công thức nguyên hàm sau:

 2 3 3 8

x  x dx x  x C



Học sinh không đọc kĩ yêu cầu đề nên tìm giá trị b

Để  2 3

x  x dx

 có dạng 3ax34bx4C b32

Thế là, học sinh khoanh đáp án D sai lầm

Câu 37 3

3x x dx

  



 

 

 

 có dạng 12a x46bx6C, a b, hai số hữu tỉ Giá trị a bằng:

A. B.12 C. 36 3 

5  D. Không tồn

Hướng dẫn giải

Cách 1:

Theo đề, ta cần tìm 3

3x x dx

  



 

 

 

 Sau đó, ta xác định giá trị a

3

1 1

3x x dx 12x 30 x C

   

   

 

 

 



Suy để 3

3x x dx

  



 

 

 

 có dạng 12a x46bx6 C ,

5

a  b  

Chọn D

Cách 2: Dùng phương pháp loại trừ

Ta thay giá trị a đáp án vào

12

a b

x  x C Sau đó, với a đáp án ta

lấy đạo hàm

12

a b

x  x C

Ví dụ:

A. Thay a1 vào

12

a b

x  x C ta

12

b

x  x C Lấy đạo hàm

4

1

12

b

x  x C:

4

1

12

b

x x C x bx



 

   

 

  , khơng tồn số hữu tỉ

b cho

3 5

1 ,

3x x 3x bx x



     nên ta

loại đáp ánA

B.Thay a12 vào

12

a b

x  x C ta

6

b

x  x C Lấy đạo hàm

6

b

x  x C:

4 4

6

b

x x C x bx



 

   

 

  , khơng tồn số hữu tỉ b cho

3 5

1 4 ,

3x x x bx x



     nên ta loại đáp án B

C. Loại đáp án C

Ta loại nhanh đáp án C 36 3 

5   a

Vậy đáp án xác đáp án D Sai lầm thường gặp:

A. Đáp án A sai

Một số học sinh không đọc kĩ đề nên sau tìm giá trị a ( khơng tìm giá trị b

).Học sinh khoanh đáp án A sai lầm

B.Đáp án B sai

Một số học sinh sai lầm chỗ nhớ sai công thức nguyên hàm tìm giá trị a sau:

 

3 6

1 3 6

3x x dx 3x x C x x C



   

        

 

 

 



Vì thế, a12 để 3 1 3

3x x dx x x C



  

   

 

 

 

 có dạng 12a x46bx6C

Thế là, học sinh khoanh đáp án B sai lầm

C. Đáp án C sai

 

3 6

1 3 6

3x x dx 3x x C x x C



   

        

 

 

 



Vì thế, 36 3 

5

b  để 3 1 3

3x x dx x x C



  

   

 

 

 

 có dạng

4

12

a b

x  x C

Thế là, học sinh khoanh đáp án C sai lầm

Câu 38 2 1a x3bx2dx, a b, hai số hữu tỉ Biết

 

 2 1 2

4

a x bx dx x x C

 Giá trị a b, bằng:

A. 1; B. 3; C ;

8

 D

1 sin 2 1cos 2

4x x2 x

Hướng dẫn giải

Cách 1:

Ta cần tìm 2 1a x3bx2dx Ta có:

 

 2 12 1

4

a x bx dx a x  bx C



Vì ta có giả thiết 2 1 2

4

a x bx dx x x C

 nên 142 1a x4 13bx3C có dạng

4

3

4x x C

Để 12 1

4 a x 3bx C có dạng

4

3

4x x C

 

1 2 1

4

1 1

3

a b



 

  

 

 

, nghĩa

3

a b

  

 

Vậy đáp án xác đáp ánA

Cách 2:

Ta loại nhanh đáp án C giá trị a đáp án C không thỏa điều kiện a

Tiếp theo, ta thay giá trị a b, đáp án A, B vào 2 1a x3bx2dx tìm

 

 2 1 2

a x bx dx



Ta có: 3 3 2

4

x  x dx x x C

 nên đáp án xác đáp ánA

Chú ý:

Giả sử giá trị a b, đáp án A, B, C khơng thỏa u cầu tốn đáp án xác

là Chọn D

Sai lầm thường gặp: B.Đáp án B sai

Một số học sinh không ý đến thứ tự xếp nên học sinh khoanh đáp án B sai lầm

C. Đáp án C sai

 

 2a1 x3bx2dx2a1x4bx3C



Vì ta có giả thiết 2 1 2

4

a x bx dx x x C

 nên 2 1a x4bx3C có dạng

4

3

4x x C

Để 12 1

4 a x 3bx C có dạng

3

4x x C

2 1 34

1

a b



 

    

,

nghĩa 18

1

a

b

       

Câu 39 Tìm nguyên hàm hàm số f x thỏa mãn điều kiện:   3cos ,

2

f x  x x F   

A ( ) 3sin 6

4

F x x  x  B

2

( ) 3sin

4

F x x  x

C ( ) 3sin

4

F x x  x D

2

( ) 3sin

4

F x x  x 

Hướng dẫn giải

Ta có: F x 2x3cosx dx  x23sinx C

2 2

3 3sin

2 2

F      C C 

   

Vậy ( ) 3sin 6

4

F x x  x 

Chọn D

Câu 40 Một nguyên hàm F(x) hàm số ( ) 12 sin

f x x

x

  thỏa mãn F( )

4



  là:

A F( ) ot 2

16

x  c xx  B

2

F( ) ot

16

x c xx 

C. F( ) ot

x  c xx D

2

F( ) ot

16

x  c xx 

Hướng dẫn giải

Ta có:   2

1

2 cot

sin

F x x dx x x C

x

 

      

 



2 2

1 cot

4 4 16

F      C  C

   

Vậy F( ) ot 2

16

x  c xx 

Chọn A

Câu 41 Nếu ( ) x sin2

f x dxe  x C

 f x( ) hàm nào?

A. x cos2

e  x B. exsin 2x C. excos 2x D. exsin 2x

Hướng dẫn giải

Ta có:  x sin2  x sin 2

Câu 42 Tìm nguyên hàm F(x) f x( ) x3 21

x



 biết F(1) =

A ( ) 1

2

x F x

x

   B

2 1 3

( )

2

x F x

x

  

C ( ) 1

2

x F x

x

   D

2 1 3

(x)

2

x F

x

  

Hướng dẫn giải

Ta có:  

3

2

1 1

2

x x

F x dx x dx C

x x x

  

       

 

 

 

2

1

1 0

2

F    C C 

Vậy (x)

2

x F

x

  

Chọn D

Câu 43 Họ nguyên hàm hàm số f x( )

x x

  :

A. x3ln x C B. x3ln x C

C. 4 x 3ln x C



  D. 16 x3ln x C

Hướng dẫn giải

Ta có: dx x 3ln x C

x x

 

   

 

 



Chọn A

Câu 44 Tính (3 x2 4)dx

x





A 33 4ln

5 x x C

   B. 33 4ln

5 x  x C

C. 53 4ln

3 x  x C D.

3 4ln

5 x  x C

Hướng dẫn giải

Ta có: 33 4ln

5

x

x dx x C

x

 

   

 

 



Chọn D

Câu 45 Nguyên hàm F(x) hàm số ( ) 4 3 2 2

f x  x  x  x thỏa mãn F(1) 9 là:

A. F( ) 2

x x x x  B. F( )x x4x3x210

C. F( ) 2

x x x x  x D. F( )x x4x3x22 10x

Hướng dẫn giải

Ta có: F x 4x33x22x2dxx4x3x22xC

 1 1 2.14 10 F( ) 2 10

F      C  C  x x x x  x

Chọn D

Câu 46 Họ nguyên hàm hàm số y(2 1)x 5 là:

A. (2 1)6

C. (2 1)6

2 x C D. 10(2 1)x C

Hướng dẫn giải

Ta có:      

6

5 1

2

2 12

x

x dx   x C



Chọn A

Câu 47 Nguyên hàm F x  hàm số f x 2x2x34 thỏa mãn điều kiện F 0 0

A. 2 4

x  x B

4

2 4

3

x

x   x C x3x42x D.Đáp án khác

Hướng dẫn giải

Ta có:    

3

2

2 4

3

x x

F x  x x  dx   x C

   

3 4

3

2.0

0 0

3 4

x

F    C C F x  x   x Chọn D

Câu 48 Tìm hàm số F(x) biết F x’ 4 – 3x3 x22 F 1 3

A. F x x4 –x32x3 B. F x x4 –x3+2x3

C. F x x4 –x32x3 D. F x x4x32x3

Hướng dẫn giải

Ta có: F x F x d  x4x 3x3 2 xd x4x32xC

 1  1  1 1  3

F         C C

Vậy F x x4 –x3+2x3

Chọn B

Câu 49 Hàm số f x  xác định, liên tục  có đạo hàm f x  x1 Biết rằng  0

f 

Tính f  2  f  4 ?

A. 10 B. 12 C. D. 11

Hướng dẫn giải

Chọn B

Ta có  

 

1

1

x x

f x

x x

 



  

  



Khi x1    

2

1

1 d

x

f x  x x  x C

Khi x1    

2

2

1 d

2

x

f x   x x  xC

 



Theo đề ta có f  0 3 nên C2 3

 

2

3

x

f x  x

    

  x1.

Mặt khác hàm số f x  liên tục x1 nên      

1

lim lim

x f x x f x f

 

2

1

1

lim lim

2

x x

x x

x x C

 

 

      

        

   

   

1 1 3 1

2 C

 

      

  C14

Câu 50 Cho hàm số f x  thỏa mãn đồng thời điều kiện f x  x sinx f  0 1 Tìm

  f x . A.  

2

cos

2

x

f x   x B.  

2

cos

2

x

f x   x

C.  

2

cos

x

f x   x D.  

2 1

cos

2

x

f x   x

Hướng dẫn giải

Chọn A

Ta có f x  x sinx  

2

cos

x

f x x C

    ; f  0 1   1 C1C2

Vậy  

2

cos

2

x

f x   x

Câu 51 Cho hàm số f x  thỏa mãn f x  3 5cosx f  0 5 Mệnh đề đúng?

A. f x 3 5sinx x2 B. f x 3 5sinx x5

C. f x 3 5sinx x5 D. f x 3 5sinx x5

Hướng dẫn giải

Chọn C

Ta có f x 3 5cos d x x3x5sinxC

Lại có: f 0 5 3.0 5sin 0 C  5 C5 Vậy f x 3 5sinx x5

Câu 52 Biết F x  nguyên hàm của hàm số f x sinx đồ thị hàm số yF x 

qua điểm M0;1 Tính

2

F 

 

A. 2

F 

  B. F



     

  C. F



    

  D. F



    

 

Hướng dẫn giải

Chọn A

* Ta có F x  cosx C , với C số tùy ý

* Đồ thị hàm số yF x  qua điểm M0;1 nên

1 cos0C C2F x  cosx2 Do

2

F 

 

Câu 53 Cho F x  nguyên hàm hàm số f x x22x3 thỏa mãn F 0 2, giá trị

của F 1

A. B. 13

3 C. D.

11

Hướng dẫn giải

Chọn B

Ta có: 2 3d 3

3

x

x  x x x  x C



 

F x nguyên hàm hàm số f x  có F 0 2C2

Vậy  

3

2 3 2

3

x

F x  x  x  1 13

F

Câu 54 Tìm nguyên hàmF x của hàm số f x  ax b2x 0 x

   , biết F 1 1 ,

 1

F  , f  1 0

A.  

2

3

4

x F x

x

   B.  

2

3

4

x F x

x

  

C.  

2

3

2 4

x F x

x

   D.  

2

3

2 2

x F x

x

  

Hướng dẫn giải

Chọn A

     

2

2

d d d

2

b ax bx ax b

F x f x x ax x ax bx x C C

x x

 

 

            



 

  

Ta có:

     

3

2

1

3

1 4

2

1 0 7

4

a

b C a

F

a

F b C b

f a b

C

 

   

 

 

  

  

       

  

  



    



 

 

Vậy  

2

3

4

x F x

x

  

Câu 55 Biết hàm số y f x  có f x 3x22x m 1, f  2 1 đồ thị hàm số

 

y f x cắt trục tung điểm có tung độ 5 Hàm số f x  A. 3 5

x x  x B. x32x25x5. C 2x3x27x5. D x3x24x5

Hướng dẫn giải

Chọn A

Ta có f x 3x22xm1 d xx3x21m x C 

Theo đề bài, ta có  

 

 

 

2 12

3

5

0 5

f m C m

f x x x x

C

f C



       

 

      

  

 

     

 



Câu 56 Gọi F x  nguyên hàm hàm số f x   2x32 thỏa mãn  0

F  Giá trị biểu

thức log 22 F  F 

A. 10 B. 4 C. D.

Hướng dẫn giải

Chọn D

Ta có:

   

3 2F  F 3F 1 F 2 F 2 F 0 F 0    

1

2

1

3 d d

3

f x x f x x

    4

   

2

log 2F F log

    

Câu 57 Gọi F x  nguyên hàm hàm số f x 4x32m1xm5, với m tham số

C. F x x42x21 D.Đáp án A và B

Hướng dẫn giải

Ta có:

     

3

4x m x m dx x m x m x C

           

 



Lại có:

   

0 1

1

1

F C C

m m C m

F



    



 

  

      

  

 

Vậy F x x46 1x

Chọn B

Câu 58 Tìm 2 3

1

2! 3! !

n

n x

T dx

x x x

x

n



    

 ?

A ! !ln

2! !

n

x x

T x n n x C

n

 

       

 

B ! !ln

2! !

n

x x

T x n n x C

n

 

       

 

C !ln

2! !

n

x x

T n x C

n

 

      

 

D !ln !

2! !

n n

x x

T n x x n C

n

 

       

 

Hướng dẫn giải

Đặt    

 

2

1

2! 3! 4! ! 2! 3! !

n n

x x x x x x x

g x x g x x

n n





             



Ta có:     !    

! n

n

x

g x g x x n g x g x

n

 

    

     

   

2

!

! ! !ln ! !ln

2! !

n

n g x g g x x x

T dx n dx n x n n x n x C

g x g x n

 

      

 

               

 

 

 

DẠNG 3:NGUYÊN HÀM CÁC PHÂN THỨC HỮU TỈ f(x) hàm hữu tỉ: ( ) ( )

( )

P x f x

Q x



– Nếu bậc P(x)  bậc Q(x) ta thực phép chia đa thức.

– Nếu bậc P(x) < bậc Q(x) Q(x) có dạng tích nhiều nhân tử ta phân tích f(x) thành tổng nhiều phân thức (bằng phương pháp hệ số bất định).

Chẳng hạn:

( )( )

A B

x a x b   x a x b

2

2

1 , 4 0

( )( )

A Bx C

với b ac

x m ax bx c x m ax bx c



     

     

2 2

1

( ) ( ) ( ) ( )

A B C D

x a x b  x a  x a  x b  x b

BÀI TẬP Câu 59 Cho hàm số f x( ) 22x4

x



 Khi đó:

A. ( )

x

f x dx C

x

  

 B. f x dx( ) 2x3 C

x

  

 C. ( )

3

x

f x dx C

x

  

 D

3

2

2

( ) 5ln

3

x

f x dx  x C 

Câu 60 Nguyên hàm F x( ) hàm số

2 1

( ) x

f x

x

  

  

 

hàm số hàm số sau?

A ( ) 3

x

F x x C

x

    B

3 1

( )

3

x

F x x C

x

   

C

3

2

3 ( )

2

x x

F x C

x



  D

3

2

3 ( )

2

x x

F x C

x

 



 

  

 

 

 

Câu 61 Nguyên hàm hàm số y 2x42 x



 là:

A. 3

3

x

C x

  B 3x3 C

x

   C.

3

2

3

x

C x

  D

3 3

3

x

C x

 

Câu 62 Tính nguyên hàm d

2x x

 

 



 



A. ln

2 x C B. ln 32  x C. C 2ln 2x3 C D ln 2x3C.

Câu 63 Nguyên hàm F x  hàm số  

2

f x x



 , biết

e

2

F  

  là:

A.   2ln 1

2

F x  x  B. F x 2ln 2x 1

C. F x 1 ln 12 x  D.   ln 1

2

Câu 64 Biết F x  nguyên hàm hàm số  

1

f x x



 F 2 1 Tính F 3

A. F 3 ln 1 B. F 3 ln 1 C  3

2

F  D.  3

4

F 

Câu 65 Biết F x  nguyên hàm  

1

f x x



 F 0 2 F 1

A. ln B. ln 2 C. D.

Câu 66 Họ nguyên hàm hàm số ( ) 3 (3 2x)

f x 

 :

A

 2

1

2 2x C





 B  

1

4 2 x C C.  2

2

3 2 x C D  2

1

2 2 x C

Câu 67 Hàm số không nguyên hàm hàm số ( ) (2 2) ( 1)

x x

f x x

 



A

1

x x x

 

 B

2 1

1

x x x

 

 C

2 1

1

x x x

 

 D

2

1

x x

Câu 68 Tính

( 3)dx

x x



A. ln

3

x C

x  B

1ln

3

x

C x



 C. ln

3

x C

x  D.

1ln

3

x

C x

 

Câu 69 F x  nguyên hàm hàm số  

2

f x x

x

 

 Biết F 0 0,  1 ln

b

F a

c

 

trong a, b, c số nguyên dương b

c phân số tối giản Khi giá trị biểu thức a b c 

A. B. C. D. 12

Câu 70 Hàm số sau không nguyên hàm hàm số  

 

2

2

x x

f x x

 



A.  

2

1 1

x x F x

x

  

 B  

2

2 1

x x F x

x

  

 C  

2

3 1

x x F x

x

  

 D  

2

4 1

x F x

x

 

Câu 71 Cho biết 13 d ln ln

( 1)( 2)

x

x a x b x C

x x



    

 

 Mệnh đề sau đúng?

A. a2b8 B. a b 8 C. 2a b 8 D. a b 8

Câu 72 Cho F x  nguyên hàm hàm số  

2

x f x

x

 

 thỏa mãn F(2) 3 Tìm F x 

:

A. F x( ) x 4ln 2x3 1 B. F x( ) x 2ln(2 3) 1x  .

C. F x( )x2ln 2x3 1 D. F x( ) x 2ln | 3| 1x  .

Câu 73 Tích phân  

2

2

1

d ln

1

x

I x a b c

x



  



 , a, b, c số ngun Tính giá trị

biểu thức a b c  ?

A. B. C. D.

Câu 74 Tính 2

4 3dx

A. 1ln x C x  

 B.

1ln

2 x C x  

 C.

2

ln x 4x3C. D ln x C x   

Câu 75 Nguyên hàm 2

7 6dx

x  x

 là:

A. 1ln

5 x C x  

 B.

1ln

5 x C x   

C. ln 7 6

5 x  x C D 1 ln5 x2 7x6C

Câu 76 Cho F x  nguyên hàm hàm số  

2

f x x



 , biết F 0 1 Giá trị F2

bằng

A. 1ln

 B.1 1ln

2

 C. ln 3 D. 1 ln3 

2 

Câu 77 Tìm nguyên hàm d 2 I x x    A. 1ln

2 x I C x     B.

1ln .

2 x I C x    

C. 1ln

4 x I C x     D.

1ln .

4 x I C x    

Câu 78 Tìm nguyên hàm 2 d

3 x x x x    

A 2 d 2ln ln

3

x

x x x C

x x



    

 



B 2 d 2ln ln

3

x

x x x C

x x



    

 



C 2 d 2ln ln

3

x

x x x C

x x



    

 



D 33 d ln 2ln 22

x

x x x C

x x



    

 



Câu 79 Nguyên hàm 26

3

x x x

dx

x x

  

 

 là:

A. ln

2 x x C x   

 B.

2

1 ln

2 x x C x    

C. ln

2 x x C x   

 D.

2 ln

1 x x C x    

Câu 80 Nguyên hàm 32 x dx x x    

 là:

A. 2ln x 1 ln x2C B. 2ln x 1 ln x2 C

C. 2ln x 1 ln x2 C D. 2ln x 1 ln x2 C

Câu 81 Nguyên hàm hàm số ( ) 23

x x x

f x

x x

  



  biết  

1

3

F 

A.  

2 2

13

2

x

F x x

x

   

 B.  

2 2

13

2

x

F x x

x

   

C.  

2

2

2

x

F x x

x

  

 D.  

2 2

2

x

F x x C

x

   



Câu 82 Biết ln có hai số a b để  

4

ax b F x

x

 

 4a b 0 nguyên hàm hàm số f x 

và thỏa mãn: 2f2 x F x 1 f x Khẳng định đầy đủ nhất?

A. a1, b4 B. a1, b 1 C. a1, b\ 4 . D a, b

DẠNG 4: NGUYÊN HÀM HÀM SỐ VÔ TỈ Câu 83 Họ nguyên hàm hàm số ( ) 3

f x  x x x :

A 2

4

x x x x C

  B.

3 2

5 27

3

x x x x

C

 

C.

3

x x x x

C

  D.

3 2

2

3

x x x x

C

 

Câu 84 Nguyên hàm f x  32

x x

   là:

A 2 33 3

x x  xC B. 43

3

x x  x C

C. 33 3

2 x x  x C D.

1 3

2 x3 x  x C

Câu 85 Tính

dx x



 thu kết là:

A

1

C x

 B 2 1xC C.

2

1x C D 1xC

Câu 86 Gọi F x  nguyên hàm hàm số f x  x 12 x

   Nguyên hàm f x  biết

 3

F  là:

A    13 1

3

F x x

x

    B.    13 1

3

F x x

x

   

C. F x  23 x 13 13 x

    D.    13 1

3

F x x

x

   

Câu 87 Cho (x 2) (x 1)

2

dx

a x b x C

x  x       

 Khiđó 3a b bằng:

A.

3



B.

3 C.

4

3 D

2

Câu 88 Tìm

1

x

Q dx

x

 



 ?

A. Q x2 1 ln x x2 1 C. B. Q x2  1 ln x x2 1 C.

Câu 89 Biết F x  nguyên hàm hàm số   1

2

f x m

x

  

 thỏa mãn F 0 0

 3

F  Khi đó, giá trị tham số m

A. 2 B. C. 3 D.

Câu 90 Hàm số F x   ax b  1x (a b, số thực) nguyên hàm   12

4

x f x

x



 Tính a b

A. B.1 C 2 D 3

Câu 91 Biết F x ax2bxc 2x3 a b c, ,  nguyên hàm hàm số

 

2

20 30 11

2

x x

f x

x

 



 khoảng 32;

 



 

  Tính T   a b c

A. T 8 B. T 5 C. T 6 D. T 7

DẠNG 5: NGUYÊN HÀM HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Câu 92 Họ nguyên hàm hàm số f x 2cos 2x

A. 2sin 2x C B. sin 2x C C. 2sin 2x C D. sin 2x C

Câu 93 Họ nguyên hàm hàm số f x sin 5x2

A. 5cos5x C B cos5

5 x x C

   C 1 cos5

5 x x C D cos5x2x C

Câu 94 Họ nguyên hàm hàm số f x 2xsin 2x

A. cos2

2

x  x C B cos2

2

x  x C C x22cos2x C D x22cos2x C

Câu 95 Họ nguyên hàm hàm số ( ) cos 22

f x  x là:

A 1 cos

2

x C

  B cos

2

x x

C

  C. cos4

2

x C

  D. cos

2

x x

C

 

Câu 96 Tìm nguyên hàm hàm số   cos

6

f x   x 

 

A.  d 3sin

6

f x x  x C

 

 B. f x dx 31sin 3 x6C

 



C.  d 6sin

6

f x x  x C

 

 D. f x dx31sin 3 x6C

 



Câu 97 Cho F x cos 2xsinx C nguyên hàm hàm số f x  Tính f  π

A. f  π  3 B. f  π 1 C. f  π  1 D. f  π 0

Câu 98 Tính: cos

dx x



 A. tan

2

x C

 B. tan

2

x C

 C. tan

2

x C

 D. tan

4

x C



Câu 99 Tìm nguyên hàm F x  hàm số f x 6xsin 3x, biết  0

F 

A.   cos3

3

x

F x  x   B.   cos3

3

C   cos3

3

x

F x  x   D.   cos3

3

x F x  x  

Câu 100 Họ nguyên hàm hàm số ( ) tan2

f x  x là:

A. cotx x C B. tanx x C C. cotx x C D. tanx x C Câu 101 Cho F x  nguyên hàm hàm số 12

cos

y

x

  F 0 1 Khi đó, ta có F x  là:

A tanx B. tanx1 C. tanx1 D. tanx1

Câu 102 Cho hàm số f x sin 24 x Khi đó:

A.   sin 1sin8

8

f x dx  x x xC

 

 B f x dx  183xcos4x81sin8xC

 



C.   cos 1sin8

8

f x dx  x x xC

 

 D f x dx  183 sin 4x x81sin8xC

 



Câu 103 Biết F x  nguyên hàm hàm số f x sin 2  x thỏa mãn 1

F    

Mệnh đề sau đúng?

A F x  12cos 2  x23 B. F x cos   x

C. F x cos 2  x1 D.   1cos 2 

2

F x   x 

Câu 104 Nguyên hàm sin 2xcosx dx là:

A 1 cos2 sin

2 x x C B cos2xsinx C

C cos2 sin

2 x x C

   D. cos 2xsinx C

Câu 105 Nguyên hàm sin 2 x3 cos 2   xdx là:

A. 2cos 2 x3 2sin 2   xC B. 2cos 2 x3 2sin 2   xC

C. 2cos 2 x3 2sin 2   xC D. 2cos 2 x3 2sin 2   xC

Câu 106 Nguyên hàm sin cos2 x  x dx là:

A 12x3sin 6 x2 sin x C B. x3sin 6 x2 sin x C

C. 12x3sin sin x  x C D. 3sin 6 sin

2x x  x C

Câu 107 Kết nguyên hàm sin3 cos3 

x x dx

 ?

A. 3cos sinx x3sin cosx x C . B. sin2 sin cos 

2 x x x C

C. sin sin

x x C

  D. sin cos sinx x x C



 

 

 

 

Câu 108 Cho hàm số f x cos3 cosx x Một nguyên hàm hàm số f x  x0 là:

A. 3sin3 sinx x B. sin sin

8

x x

 C. sin sin

2

x x

 D. cos4 cos

8

x x

Câu 109 Họ nguyên hàm F x  hàm số f x cot2x là:

A. cotx x C B. cotx x C C. cotx x C D. tanx x C Câu 110 Cho F x  nguyên hàm hàm số   sin 42

1 cos

x f x

x



 thỏa mãn F



    

  Tính F 0

A. F 0   4 6ln 2. B F 0   4 6ln 2. C F 0 4 6ln 2 D F 0 4 6ln 2

Câu 111 Biết F x  nguyên hàm hàm số f x tan2 x

F 

  Tính F



 



 

 

A

4

F  

  B. F

 

 

  

 

  C F



 

  

 

  D. F

 

 

  

 

 

Câu 112 Tìm nguyên hàm F x  hàm số f x   sin x2 biết

2

F    

A.   2cos 1sin

2

F x  x x x B.   2cos 1sin

2

F x  x x x

C. F x 32x2cosx41sin x D.   2cos 1sin

2

F x  x x x

Câu 113 Tìm họ nguyên hàm hàm số   3sin 2cos3

5sin cos3

x x

f x

x x

 





A 17 ln 5sin3 cos3

26x 78 x x C

    B 17 ln 5sin3 cos3

26x 78 x x C

   

C. 17 ln 5sin3 cos3

26x78 x x C D.

17 7 ln 5sin3 cos3 .

26x78 x x C

Câu 114 Biết sin 2x cos2x2dx x acos4x C b

   

 , với a, b số nguyên dương, a

b phân

số tối giản C Giá trị a b

A. B. C. D.

Câu 115 Tính I 8sin cos dx x xacos4xbcos 2x C Khi đó, a b

A. B. 1 C. D.

Câu 116 F x  nguyên hàm hàm số y2sin cos3x x F 0 0,

A F x cos 4xcos 2x B   cos2 cos4

4 8

x x

F x   

C. F x cos 22 xcos44 x14 D.   cos cos2

4

x x

F x   

Câu 117 Cho  Hàm số sau nguyên hàm hàm số f x sinx

A. F x1  cosx B. 2  2sin 2 sin 2

x x

F x   

C. 3  2sin 2 sin 2

x x

F x      

    D. 4  2cos sin

x x

F x   

Câu 118 Tìm họ nguyên hàm hàm số f x tan 22 x12

A. tan 22 d 2 tan 2 2

2

x x x x C

 

   

 

 

 B. tan 22 x21dxtan 2x2xC

 



C. tan 22 d tan 2

2

x x x x C

 

   

 

 

 D. tan 22 x12dxtan 22 x2xC

 

Câu 119 Hàm số F x ln sinx3cosx nguyên hàm hàm số hàm số sau đây?

A.   sin 3cos

cos 3sin

x x

f x

x x

 

 B.  

cos 3sin

sin 3cos

x x

f x

x x

 





C.   cos 3sin

sin 3cos

x x

f x

x x

 

 D. f x cosx3sinx

Câu 120 Hàm số   7cos 4sin

cos sin

x x

f x

x x

 

 có nguyên hàm F x  thỏa mãn

3

4

F  

  Giá trị

2

F 

  bằng?

A. 11ln

4



B.

4



C.

8



D. ln

4



Câu 121 Tìm

sin

sin cos

x

I dx

x x





 ?

A. 1 ln sin cos 

2

I  x x x C B. I xln sinxcosx C

C. I xln sinxcosx C D. 1 ln sin cos 

I  x x x C Câu 14 Biết sinx cos sinx

cos sinx cos sinx

x

I dx A B dx

x x



 

    

   

  Kết A, B

A.

2

AB B.

2

AB  C. 1,

2

A  B D. 1,

2

A B 

Câu 122 Tìm

4

4

cos

sin cos

x

I dx

x x





 ?

A. 1 ln sin

2 2 sin

x

I x C

x

   

    



 

 

B. ln sin

2 2 sin

x

I x C

x

  

   

  

 

C. 1 ln sin

2 2 sin

x

I x C

x

   

    



 

 

D. ln sin

2 2 sin

x

I x C

x

  

   

  

 

Câu 123 Họ nguyên hàm hàm số   3sin 2cos ex

f x   x x

A. 6cos2 2sin ex

x x C

    B. 6cos 2x2sinxexC

C. cos2 2sin e

2

x

x x C D. cos2 2sin e

2

x

x x C Câu 124 Cho hàm số y f x  liên tục đoạn 0; \

2

    

  thỏa mãn f x tanx,

5

; \

4

x      

     

   , f  0 0, f   1 Tỉ số

2

f   

  f



      bằng:

A 2 log e 1   B. C  

1 ln 2 ln



 D 2 log e  

DẠNG 6: NGUYÊN HÀM HÀM SỐ MŨ LÔGARIT Câu 125 Tìm họ nguyên hàm hàm số   52x

A. 5 d2x x 

2

5

ln5 x

C

  B. d2x

x

 2ln525

x

C

 

C. 5 d2x x

 2.5 ln 52x C D. d2x

x 

1

25 x

C x



 



Câu 126 Tìm họ nguyên hàm hàm số f x e2018x

A  

2018

1

d e

2018 x

f x x C

 . B.  d e2018x

f x x C

 .

C.  f x dx2018e2018xC D.  f x dxe2018xln 2018C

Câu 127 Tìm nguyên hàm F x  hàm số f x e2x, biết F 0 1

A.   e2x

F x  B.  

2

e

2

x

F x   C   2e2x

F x   D F x ex

Câu 128 Cho F x là nguyên hàm   e3x

f x  thỏa mãn F 0 1 Mệnh đề sau

đúng?

A.   1e3

3

x

F x   B.   e3

3 x

F x 

C.   e 13

3 x

F x   D.   1e3

3

x

F x   

Câu 129 Cho F x  nguyên hàm hàm số f x ex2x thỏa mãn  0

F  Tìm F x 

A.   ex 52

F x  x  B.   2e

2 x

F x  x 

C.   ex 32

F x  x  D.   e

2 x

F x  x 

Câu 130 Cho hàm số f x  thỏa mãn f x 2018 ln 2018 cosx  x f  0 2 Phát biểu sau

đúng?

A.   2018 sinx

f x   x B.   2018 sin

ln 2018 x

f x   x

C.   2018 sin

ln 2018 x

f x   x D.   2018 sinx

f x   x

Câu 131 Tính(2e3x)2dx

A. 3

3

x x

x e  e C B. 4

3

x x

x e  e C C. 4

3

x x

x e  e C D. 4

3

x x

x e  e C Câu 132 Nếu F x  nguyên hàm ( ) (1 )

x x

f x e e (0) 3F  ( )F x là? A. x

e x B. ex x C. ex x C D. ex x Câu 133 Họ nguyên hàm hàm số ( ) x x

f x e e : A. x x

e e C B. x x

e e C C. x x

e e C

   D. exexC

Câu 134 Hàm số ( ) x x

A. ( ) x x

f x e e  B. ( )

2

x x

f x e e  x C. ( ) x x

f x e e  D. ( )

2

x x

f x e e  x Câu 135 Họ nguyên hàm hàm số ( ) 2x 3x

f x e e : A

3

x x

e e

C 

  B

2

2

x x

e e

C 

 

C 3

2

x x

e e

C 

  D

2

3

x x

e e

C 

 

Câu 136 Họ nguyên hàm hàm số ( ) 32x 2 3x

f x    :

A. 32

2.ln3 3.ln

x x

C 

  B.

2

3

2.ln3 3.ln

x x

C 

 

C. 23

2.ln3 3.ln

x x

C 

  D.

2

3

2.ln3 3.ln

x x

C 

 

Câu 137 Hàm số y f x( ) có nguyên hàm   e2x

F x  Tìm nguyên hàm hàm số ( )

ex

f x 

A. ( ) 1d e e

e

x x

x

f x

x  C



  

 B. ( ) 1d 2e eex x x

f x

x  C



  



C. ( ) 1d 2e e

e

x x

x

f x

x  C



  

 D. ( ) 1ex d 12e ex x

f x

x  C



  



Câu 138 Tìm nguyên hàm hàm số   e ex x

f x   

A.  d e x

f x x  C

 

 B.  f x dxex x C

C.  d e ex x

f x x   C

 D.  f x dxexC

Câu 139 F x  nguyên hàm hàm số yxex2 Hàm số sau F x ?

A.   2

2 x

F x  e  B   1 5

2 x

F x  e 

C.  

2 x

F x   e C D.   2 2

2 x

F x   e Câu 140 Tìm nguyên hàm F x  hàm số   22

4

x x

x

x f x    

 

A.   12

ln12

x

x x

F x   C B. F x 12xx xC C.  

2

2

ln ln

x x

x

x x F x    

 

D.  

2

2 ln

ln ln

x x

x

x x F x    

 

Câu 141 Tính nguyên hàm hàm số   e 2017 2018e5

x x

f x

x



 

   

 

A.  d 2017ex 20184

f x x C

x

  

 B.  

504,5

d 2017ex

f x x C

x

  



C.  

504,5

d 2017ex

f x x C

x

  

 D.  

2018

d 2017ex

f x x C

x

  

Câu 142 Tính2 72x x xdx

A 84

ln84 x

C

 B.

2

2 ln 4.ln3.ln

x x x

C

 C 84xC D. 84 ln84x C Câu 143 Nguyên hàm 13x

x

e

dx e 



 là:

A 5 13

3

x x

e   e C B 5 13

3

x x

e   e C C 5 13

3

x x

e   e C D 5 13

3

x x

e   e C Câu 144 Cho F x  nguyên hàm hàm số  

3 x

f x e



  

1

0 ln

3

F   Tập nghiệm S

phương trình   ln x 3

F x  e  

A. S  2 . B. S  2;2. C. S 1;2 . D. S   2;1.

Câu 145 Hàm số   e 24 173 1 

27 x

F x   x  x C nguyên hàm hàm số

A.    2 e 1x

f x  x  x  B. f x x22 ex  1x

C.    2 e 1x

f x  x  x  D.    2 e 1x

f x  x  x 

Câu 146 Cho hai hàm số     x

F x x ax b e

      6 x

f x x x e

    Tìm a b để

 

F x nguyên hàm hàm số f x 

A. a1,b 7 B. a 1,b 7 C. a 1,b7 D. a1,b7

Câu 147 Tìm F x e dxn x ?

A x n n  1 n ! 1 n ! 1 n n

F e x nx  n n x   n   xn  x C

 

B x n n  1 n ! 1 n ! 1 n

F e x nx  n n x  n  x n  C

         

 

C. ! x

F n e C

D. n n  1 n ! 1 n ! 1 n x

F x nx  n n x   n   xn  e C

Câu 148 Giả sử 2x(2 5 2 4) ( ) 2x

e x  x  x dx ax bx cxd e C

 Khi a b c d  

A. -2 B.3 C.2 D.5

Câu 149 Tính nguyên hàm hàm số   e 2017 2018e5

x x

f x

x



 

   

 

A.  

2018

d 2017ex

f x x C

x

  

 B.  

504,5

d 2017ex

f x x C

x

  



C  d 2017ex 504,54

f x x C

x

  

 D  

2018

d 2017ex

f x x C

x

  



Câu 150 Giả sử 2x(2 5 2 4) ( ) 2x

e x  x  x dx ax bx cxd e C

 Khi a b c d  

A. -2 B.3 C.2 D.5

Câu 151 Cho    e2x

F x  ax bx c làmột nguyên hàm hàm số   2018 e 2x

f x  x  x

trên khoảng  ;  Tính T  a 2b4c

Câu 152 Biết     x

F x  ax bxc e nguyên hàm hàm số f x 2x25x2ex

 Tính giá trị biểu thức f F  0 

A.

e

 B. 20e2 C. 9e D. 3e

Câu 153 Gọi F x  nguyên hàm hàm số f x 2x, thỏa mãn  0

ln

F  Tính giá trị

biểu thức T F 0 F 1 F 2  F2017

A 1009.22017

ln

T   B T 22017.2018 C

2017

2

ln

T   D

2018

2

ln

HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 59 Cho hàm số f x( ) 22x4

x



 Khi đó:

A. ( )

x

f x dx C

x

  

 B. f x dx( ) 2x3 C

x

  



C. ( )

x

f x dx C

x

  

 D.

3

2

2

( ) 5ln

3

x

f x dx  x C 

Hướng dẫn giải

Ta có:

2

5 2

3

x x

dx x dx C

x x x

  

      

 

 

Chọn A

Câu 60 Nguyên hàm F x( ) hàm số

2 1

( ) x

f x

x

  

  

  hàm số hàm số sau?

A ( ) 3

x

F x x C

x

    B.

3 1

( )

3

x

F x x C

x

   

C.

3

2

3 ( )

2

x x

F x C

x



  D.

3

2

3 ( )

2

x x

F x C

x

 



 

  

 

 

 

Hướng dẫn giải

Ta có:

2

2

2

2

1 2x x 2 2x

3

x x x

dx d x C

x x x x

      

       

   

 

 

  

Chọn A

Câu 61 Nguyên hàm hàm số y 2x42 x



 là:

A. 23x3 C x

  B. 3x3 C

x

   C.

3

2

3

x

C x

  D.

3 3

3

x

C x

 

Hướng dẫn giải

Ta có:

2

2 2 3

3

x x

dx x dx C

x x x

  

      

 

 

Chọn A

Câu 62 Tính nguyên hàm d

2x x

 

 



 

 A. ln

2 x C B. ln 32  x C. C. 2ln 2x3C D. ln 2x3C.

Hướng dẫn giải

Chọn A

Ta có: d 1 d 2 3 1ln

2x x 2x x x C

   

    

     

   

 

Câu 63 Nguyên hàm F x  hàm số  

2

f x x



 , biết

e

2

F  

  là:

A.   2ln 1

2

C.   ln 1

2

F x  x  D   ln 1

2

F x  x 

Hướng dẫn giải

Chọn C

Áp dụng công thức nguyên hàm mở rộng

  d

2

F x x

x

 

 1 ln 12 x C

Mà e

2

F  

 

1ln 2 e 1

2 C



 

    

  C1

Câu 64 Biết F x  nguyên hàm hàm số  

1

f x x



 F 2 1 Tính F 3

A. F 3 ln 1  B. F 3 ln 1  C  3

F  D.  3

4

F 

Hướng dẫn giải

Chọn B

Ta có: ( ) d ln

1

F x x x C

x

   





Theo đề F 2 1 ln1C 1 C1

Vậy F 3 ln 1 

Câu 65 Biết F x  nguyên hàm  

1

f x x



 F 0 2 F 1

A. ln B. ln 2 C. D.

Hướng dẫn giải

Chọn B

  d ln

1

F x x x C

x

   



 mà F 0 2 nên F x ln x 1

Do F 1 ln 2 

Câu 66 Họ nguyên hàm hàm số ( ) 3 (3 2x)

f x 

 :

A

 2

1

2 2x C

 

 B.  

1

4 2 x C C.  2

2

3 2 x C D.  2

1

2 2 x C

Hướng dẫn giải

Ta có:

 3  2

2

3 2 x dx 2 x C



Chọn D

Câu 67 Hàm số không nguyên hàm hàm số ( ) (2 2) ( 1)

x x

f x x

 



A

1

x x x

 

 B.

2 1

1

x x x

 

 C.

2 1

1

x x x

 

 D.

2

1

x x

Hướng dẫn giải

Ta có:

   

2

2

2

1 1 1

2

0 1 1

1 2

1 1

x x

x x x x

x x x

 

 



     

 

 

  

 

Câu 68 Tính

( 3)dx

x x



A. ln

3

x C

x  B.

1ln

3

x

C x



 C. ln

3

x C

x  D.

1ln

3

x

C x





Hướng dẫn giải

Ta có:

 

1 1 1.ln

3 3

x

dx dx C

x x x x x



 

     

   

 

Chọn D

Câu 69 F x  nguyên hàm hàm số  

2

f x x

x

 

 Biết F 0 0 ,

 1 bln

F a

c

  a, b, c số nguyên dương b

c phân số tối giản Khi giá trị biểu thức a b c 

A. B. C. D. 12

Hướng dẫn giải

Chọn A

Ta có F x  3x2 2 11 dx x

 

   



 

 x31 ln 12 x C Do F 0 0  C 0   ln

2

F x x  x

Vậy  1 1ln

2

F    a1; b1; c2  a b c  4

Câu 70 Hàm số sau không nguyên hàm hàm số  

 

2

2

x x

f x x

 



A.  

2

1 1

x x F x

x

  

 B  

2

2 1

x x F x

x

  

 C  

2

3 1

x x F x

x

  

 D  

2

4 1

x F x

x

 

Hướng dẫn giải

Chọn C  

 

 

2

1 22

1

x x

F x

x

  

 , đáp án A nguyên hàm  

f x

 

 

 

2

2 22

1

x x

F x

x

 

 

 , đáp án B nguyên hàm  

f x  

 

 

2

3

2

x x

F x

x

  

 , đáp án C nguyên hàm  

f x  

 

 

2

4

2

x x

F x

x

  

 , đáp án D nguyên hàm f x 

Câu 71 Cho biết 13 d ln ln

( 1)( 2)

x

x a x b x C

x x



    

 

 Mệnh đề sau đúng?

A. a2b8 B. a b 8 C. 2a b 8 D. a b 8

Hướng dẫn giải

Chọn D

2 13 d

( 1)( 2)

x

x

x x



 

 51 d2 x

x x

 

   

 

 

 11d 3x 11dx

x x

 

 

  5ln x 1 3ln x2 C

Vậy

3

a b

  

 



a b

  

Câu 72 Cho F x  nguyên hàm hàm số  

2

x f x

x

 

 thỏa mãn F(2) 3 Tìm F x 

:

A. F x( ) x 4ln 1x  B. F x( ) x 2ln(2x3) 1 .

C. F x( ) x 2ln 2x 3 1 D. F x( )x2ln | 2x3 | 1 .

Hướng dẫn giải

Chọn C

Ta có   d

2

x

F x x

x

 



 2 3 dx x 2ln 2x C

x

 

       



 



Lại có F(2) 3  2 2ln 1C3C1

Câu 73 Tích phân  

2

2

1

d ln

1

x

I x a b c

x



  



 , a, b, c số nguyên Tính giá trị

biểu thức a b c  ?

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải

Chọn D  2

1

1 d

x

I x

x

 





1

2

1 d

1

x x x

 

   



 

  

1

0

ln 1 ln

x x

    

Khi a 1, b2, c1

Vậy a b c  2

Câu 74 Tính 2

4 3dx

x  x

 , kết là:

A. 1ln

2

x

C x

 

 B.

1ln

2

x

C x

 

 C.

2

ln x 4x3C. D. ln

x

C x

 



Hướng dẫn giải

Ta có:

  

2

1 1 1ln

4 3

dx dx x

dx C

x x x x x x x



 

      

        

  

Chọn B

Câu 75 Nguyên hàm 2

7 6dx

x  x

 là:

A. 1ln

5

x

C x

 

 B.

1ln

5

x

C x

 



C. ln 7 6

5 x  x C D. 1 ln5 x27x6 C

Hướng dẫn giải

Ta có:

    

2

1 1 1 ln 6 ln 1 1ln

7 6 5

x

dx dx dx x x C C

x x x x x x x



 

           

        

  

Chọn B

Câu 76 Cho F x  nguyên hàm hàm số  

2

f x x



 , biết F 0 1 Giá trị

 2

F 

A. 1ln

 B.1 1ln

2

 C. ln3 D. 1 ln3 

2 

Hướng dẫn giải

Chọn A

Ta có    d d 1ln

2

x

F x f x x x C

x

    



 

 0 1ln1 1   1ln 1  1 1ln

2 2

F   C C F x  x  F   

Câu 77 Tìm nguyên hàm d 2

4

I x

x

 



A. 1ln

2

x

I C

x



 

 B.

1ln .

2

x

I C

x



 



C. 1ln

4

x

I C

x



 

 D.

1ln .

4

x

I C

x



 



Hướng dẫn giải

Chọn D

Ta có

  

1 d 1 d 1ln .

2 2

x

I x x C

x x x x x



 

        

      

 

Câu 78 Tìm nguyên hàm 2 d

3

x

x

x x



 



A. 2 d 2ln ln

3

x

x x x C

x x



    

 



B. 2 d 2ln ln

3

x

x x x C

x x



    

 



C. 2 d 2ln ln

3

x

x x x C

x x



    

 



D. 2 d ln 2ln

3

x

x x x C

x x



    

 



Hướng dẫn giải

Chọn B

Ta có

  

2

3 d d d

3 2

x x

x x x

x x x x x x

   

    

       

   2ln x 1 ln x2 C

Câu 79 Nguyên hàm 26

3

x x x

dx

x x

  

 

 là:

A. ln

2

x

x C

x



 

 B.

2

1 ln

2

x

x C

x



 



C. ln

2

x

x C

x



 

 D.

2 ln

1

x

x C

x



 



Hướng dẫn giải

3

2

2

2 2 2 1 ln

3 2 1

x x x x

dx x dx x dx x C

x x x x x x x

       

           

          

  

Chọn D

Câu 80 Nguyên hàm 32

2

x

dx

x x



  

 là:

A. 2ln x 1 ln x2 C B. 2ln x 1 ln x2 C C. 2ln x 1 ln x2 C D. 2ln x 1 ln x2 C

Hướng dẫn giải

Ta có:

  

2

3 3 2ln 1 ln 2

2 2

x x

dx dx dx x x C

x x x x x x

   

          

        

  

Chọn B

Câu 81 Nguyên hàm hàm số ( ) 23

x x x

f x

x x

  



  biết  

1

3

F 

A.  

2 2

13

2

x

F x x

x

   

 B.  

2 2

13

2

x

F x x

x

   



C.  

2

2

2

x

F x x

x

  

 D.  

2 2

2

x

F x x C

x

   



Hướng dẫn giải

Chọn A

Ta có 23 1d 2 d 2 ( )

2 ( 1)

x x x x

x x x x C F x

x x x x

 

  

         

     

 

Mà  1 1 1 13

3

F     C  C  nên  

2 2

13

2

x

F x x

x

   



Câu 82 Biết ln có hai số a b để  

4

ax b F x

x

 

 4a b 0 nguyên hàm hàm số f x 

và thỏa mãn: 2f2 x F x 1 f x Khẳng định đầy đủ nhất?

A. a1, b4 B. a1, b 1 C. a1, b\ 4 . D. a, b

Hướng dẫn giải

Chọn C

Ta có  

4

ax b F x

x

 

 nguyên hàm f x  nên      2

4

a b

f x F x

x

 

 



 

 3

2

b a

f x

x



 



Do đó: 2f2 x F x 1 f x  

   

2

4

2 1

4

4

a b ax b b a

x

x x

    

   



 

 

 

4a b ax b x

       x4 1 a0a1 (do x 4 0)

Với a1 mà 4a b 0 nên b4

Vậy a1, b\ 4 

+ Vì 4a b 0 nên loại phương án A: a1, b4 phương án D: a, b

+ Để kiểm tra hai phương án lại, ta lấy b0, a1 Khi đó, ta có

 

4

x F x

x



 ,    2

4

f x x



 ,    3

8

f x

x

  



DẠNG 4: NGUYÊN HÀM HÀM SỐ VÔ TỈ Câu 83 Họ nguyên hàm hàm số ( ) 3

f x  x x x :

A 2

4

x x x x C

  B.

3 2

5 27

3

x x x x

C

 

C.

3

x x x x

C

  D.

3 2

2

3

x x x x

C

 

Hướng dẫn giải

Ta có:  3 2 3.33 23

3 8

x x x x x x

x x x dx  C  C



Chọn D

Câu 84 Nguyên hàm f x  32

x x

   là:

A. 2 x33 x2 3x C . B. 2 3

3

x x  x C

C. 33 3

2 x x  x C D.

1 3

2 x3 x  x C

Hướng dẫn giải

Ta có:

1

1

3

3

2

3

1 2 3 2 3 2 3 3 2 3 3

dx x x dx x x x C x x x C

x x

 

 

 

              

 

   

 

Chọn A Câu 85 Tính

1

dx x



 thu kết là:

A.

1

C x

 B. 2 1 x C C.

2

1x C D. 1 x C

Hướng dẫn giải

Ta có:

1

dx

x C x    



 Chọn B

Câu 86 Gọi F x  nguyên hàm hàm số f x  x 12 x

   Nguyên hàm f x  biết

 3 F  là:

A.    13 1

3

F x x

x

    B.    13 1

3

F x x

x

   

C.    13 1

3

F x x

x

    D.    13 1

3

F x x

x

   

Hướng dẫn giải

Ta có:

 3

2

1

1

3

x dx x C

x x

 

     

 

 



Theo đề bài, ta lại có:  3 3 13

3 3

F     C C 

   13 1

3

F x x

x

   

Câu 87 Cho (x 2) (x 1)

2

dx

a x b x C

x  x       

 Khiđó 3a b bằng:

A.

3 

B.

3 C.

4

3 D.

2

Hướng dẫn giải

Chọn C

2

( 1)dx (x 2) (x 1)

3

2

dx

x x x x C

x  x           

 

2;

3

a b

   

4

3

a b

  

Câu 88 Tìm

1

x

Q dx

x

 



 ?

A. Q x2 1 ln x x2 1 C. B. Q x2 1 ln x x2 1 C.

C. ln 1 1

Q x x   x  C D.Cả đáp án B,C

Hướng dẫn giải

Điều kiện: 1

1

x x

x x

  

  

 

 

Trường hợp 1: Nếu x1

2

2 2

1 1 1 ln 1

1 1 1 1

x x x

Q dx dx dx dx x x x C

x x x x

 

         

   

   

Trường hợp 2: Nếu x 1

2

2 2

1 1 ln 1 1

1 1 1 1

x x x

Q dx dx dx dx x x x C

x x x x

 

         

   

   

Chọn D

Câu 89 Biết F x  nguyên hàm hàm số   1

2

f x m

x

  

 thỏa mãn F 0 0

 3

F  Khi đó, giá trị tham số m

A. 2 B. C. 3 D.

Hướng dẫn giải

Chọn B

Ta có F x  1 d

2 x m x

 

    



 

  x 1 m1x C

Theo giả thiết, ta có  

 

0

3

F F

 

 

 



1

3

C

C m

    

 



1

C m

    





Vậy F x   x 1 1x

Câu 90 Hàm số F x   axb 1x (a b, số thực) nguyên hàm

  12

4

x f x

x



A. B. C. D.

Hướng dẫn giải

Chọn B

Ta có    

4

x

F x a x ax b

x

    



6

4

ax a b x

  



Để F x  nguyên hàm f x  12

4

ax a b x

x x

  

 

6 12

2

a a

a b b

 

 

 

   

 

Do a b 1

Câu 91 Biết F x ax2bxc 2x3 a b c, ,  nguyên hàm hàm số

 

2

20 30 11

2

x x

f x

x

 



 khoảng ;2

 



 

  Tính T   a b c

A. T 8 B. T 5 C. T 6 D. T 7

Hướng dẫn giải

Chọn D

Ta có F x  f x 

Tính   2  2 3  .

2

F x ax b x ax bx c

x

      



2 2 3

2

ax b x ax bx c

x

    





 

2

5

2

ax b a x b c

x

   





Do 3 

2

ax b a x b c

x

   



2

20 30 11

2

x x

x

 





 

2

5ax 6b a x 3b c 20x 30 11x

       

5 20

3 30

3 11

a b a

b c

  

   

   

4

a b c

     

  

7

T

DẠNG 5: NGUYÊN HÀM HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Câu 92 Họ nguyên hàm hàm số f x 2cos2x

A. 2sin 2x C B. sin 2x C C. 2sin 2x C D. sin 2x C

Hướng dẫn giải

Chọn B

Ta có  f x dx2cos2 dx x sin 21 sin

2 x C x C

   

Câu 93 Họ nguyên hàm hàm số f x sin 5x2

A. 5cos5x C B cos5

5 x x C

   C 1 cos5

5 x x C D cos5x2x C

Hướng dẫn giải

Chọn B

Ta có  d sin d 1cos5

5

f x x x x  x x C

 

Câu 94 Họ nguyên hàm hàm số f x 2xsin 2x A. cos2

2

x  x C B cos2

x  x C C x22cos 2x C D x22cos 2xC

Hướng dẫn giải

Chọn A

Ta có  f x x d 2xsin dx x cos2

2

x x C

  

Câu 95 Họ nguyên hàm hàm số ( ) cos 22

f x  x là: A. cos4

2

x C

  B. cos4

2

x x

C

  C. cos

2

x C

  D. cos4

2

x x

C

 

Hướng dẫn giải

Ta có: cos 2 cos sin

2

x x x

x dx   dx  C

 

 

Chọn D

Câu 96 Tìm nguyên hàm hàm số   cos

6

f x   x 

 

A. f x dx3sin 3 x6C

 

 B. f x dx 31sin 3 x6C

 



C.  d 6sin

6

f x x  x C

 

 D. f x dx31sin 3 x6C

 



Hướng dẫn giải

Chọn D

Áp dụng công thức: cosax bdx 1sinax b C a

   

 .

Câu 97 Cho F x cos2xsinx C nguyên hàm hàm số f x  Tính f  π

A. f  π  3 B. f  π 1 C. f  π  1 D. f  π 0

Hướng dẫn giải

Chọn B

Ta có: f x F x  f x  2sin 2xcosx

Câu 98 Tính: cos dx

x





A. tan

x C

 B. tan

2

x C

 C. tan

2

x C

 D. tan

4

x C



Hướng dẫn giải

Ta có:

2 tan

1 cos 2cos

2

dx dx x

C x

x   



 

Chọn B

Câu 99 Tìm nguyên hàm F x  hàm số f x 6xsin 3x, biết  0

3

F 

A.   cos3

3

x

F x  x   B.   cos3

3

x

F x  x  

C.   cos3

3

x

F x  x   D   cos3

3

x

F x  x  

Hướng dẫn giải

Chọn D

Ta có:

 d 6 sin d cos3  

3

x

f x x x x x x  CF x

 

 0

3

F  1.1

3 C

    C1

Vậy   cos3

3

x

F x  x  

Câu 100 Họ nguyên hàm hàm số ( ) tan2

f x  x là:

A. cotx x C B. tanx x C C. cotx x C D. tanx x C

Hướng dẫn giải

Ta có: tan2 xdx tan2x 1 1dxtanx x C

 

Chọn B

Câu 101 Cho F x  nguyên hàm hàm số 12

cos

y

x

  F 0 1 Khi đó, ta có F x  là: A. tanx B. tanx1 C. tanx1 D. tanx1

Hướng dẫn giải

Ta có:   2 tan

cos

dx

F x x C

x

     Mà F 0 1  tan 0C 1 C1

Vậy F x  tanx1

Chọn B

Câu 102 Cho hàm số f x sin 24 x Khi đó:

A.   sin 1sin8

8

f x dx  x x xC

 

 B. f x dx  183 cos 4x x81sin8xC

 



C. f x dx  183xcos4x81sin8xC

 

 D. f x dx  183 sin 4x x81sin8xC

 



Ta có: sin 2x x4 1 cos4x2 1 2cos4 cos 42 

4

d   dx  x x dx

  

 

1 3 4cos 4 cos8 3 sin 4 1sin8

8 x x dx x x x C

 

       

 



Chọn D

Câu 103 Biết F x  nguyên hàm hàm số f x sin 2  x thỏa mãn 1

2

F    

Mệnh đề sau đúng?

A.   1cos 2 

2

F x    x  B. F x cos   x

C. F x cos 2  x1 D.   1cos 2 

2

F x   x 

Hướng dẫn giải

Chọn D

   d sin d  cos 2  1cos 2 

2

F x  f x x  x x    x C  x C

Mà F  21  1 12cos 2.  12C 1 21C 1 C 12F x 12cos 2  x21

   

Câu 104 Nguyên hàm sin 2xcosx dx là: A. cos2 sin

2 x x C B. cos2xsinx C

C. cos2 sin

2 x x C

   D. cos2xsinx C

Hướng dẫn giải

Ta có:

sin cos  1cos sin

2

x x dx  x x C



Chọn C

Câu 105 Nguyên hàm sin 2 x3 cos 2   xdx là:

A. 2cos 2 x3 2sin 2   xC B. 2cos 2 x3 2sin 2   xC C. 2cos 2 x3 2sin 2   xC D. 2cos 2 x3 2sin 2   xC

Hướng dẫn giải

Ta có:

       

sin 2x3 cos 2  x dx 2cos 2x3 2sin 2  x C

 

 



Chọn A

Câu 106 Nguyên hàm sin cos2 x  x dx là:

A. 3sin 6 sin

2x x  x C B. x3sin 6 x2 sin x C

C. 3sin sin 

2x x  x C D.  

1 3sin 6 2 sin

2x x  x C

Hướng dẫn giải

     

 

2 cos 1

sin cos cos cos cos

2 2

1 3sin 6 2 sin

2

x

x x dx x dx x x dx

x x x C

 

   

           

   

 

 

    

  

Chọn A

Câu 107 Kết nguyên hàm sin3 cos3 

x x dx

 ?

A. 3cos sin2 3sin cos2

x x x x C B. sin2 sin cos 

2 x x x C

C. sin sin

x x C

  D. sin cos sinx x x C



 

 

 

 

Hướng dẫn giải

Ta có:

 

 

3 2

sin cos 3cos sin 3sin cos

3sin sin cos 2sin sin

2

x x dx x x x x C

x x x C x x  C

   

 

      

 



Chọn C

Câu 108 Cho hàm số f x cos3 cosx x Một nguyên hàm hàm số f x  x0 là:

A. 3sin3xsinx B. sin sin

8

x x

 C. sin sin

2

x x

 D. cos cos

8

x x



Hướng dẫn giải

Ta có:   cos3 cos cos2  1sin 1sin

2

F x  x dx  x cos x dx  x x C

 0 1sin 1sin 0

8

F    C  C

Vậy   cos cos

8

x x

F x  

Chọn D

Câu 109 Họ nguyên hàm F x  hàm số f x cot2x là:

A. cotx x C B. cotx x C C. cotx x C D. tanx x C

Hướng dẫn giải

Ta có: cot2xdx cot2x 1 1dx cotx x C

 

Chọn B

Câu 110 Cho F x  nguyên hàm hàm số   sin 42

1 cos

x f x

x



 thỏa mãn F



    

  Tính F 0

A. F 0   4 6ln 2. B. F 0   4 6ln 2. C. F 0  4 6ln 2. D. F 0  4 6ln

Hướng dẫn giải

Chọn A Cách

Ta có F x  f x dx

   

'

2.cos cos

sin d 2sin cos d 4sin cos d d

1 cos

1 cos 1 cos cos2

2

x x

x x x x x

F x x x x x

x

x x x

 

   



  



 

   

3 cos2 3

2 d cos2 d cos

3 cos2 cos2

x

x x

x x

   

        

   

 

 

2 cos2x 6ln cos2x C

     

Do F20 2 cos  6ln cos  C0C 4 6ln

 

 0 cos0 6ln cos0 6ln 2  6ln

F

          

Cách 2:

     

2

2

2

0

sin d 0

1 cos

x

x F x F F F

x 

 

 

     

  



 

2

2

sin

0 d 0,15888

1 cos

x

F x

x 

   





Câu 111 Biết F x  nguyên hàm hàm số f x tan2x

4

F 

  Tính F



 



 

 

A.

4

F 

  B. F

 

 

  

 

  C. F



 

  

 

  D. F

 

 

  

 

 

Hướng dẫn giải

Chọn B

 

2

tan dx x  tan x1 d  xtanx x C

 

Do tan

4 4

F     C C  

Vậy tan

4 4

F        

     

Câu 112 Tìm nguyên hàm F x  hàm số f x   sin x2 biết

2

F   

A.   2cos 1sin

2

F x  x x x B.   2cos 1sin

2

F x  x x x

C.   2cos 1sin

2

F x  x x x D.   2cos 1sin

2

F x  x x x

Hướng dẫn giải

Chọn B

Ta có

1 sin 2 1 2sin sin2  1 2sin cos

2

x

x dx x x dx  x  dx

        

 

  

3 2cos 1sin 2

2x x x c

   

3 2cos 1sin 0

2 2 4

F         c  c

 

Vậy   2cos 1sin

2

F x  x x x

Câu 113 Tìm họ nguyên hàm hàm số   3sin 2cos3

5sin cos3

x x

f x

x x

 



A. 17 ln 5sin3 cos3

26x 78 x x C

    B. 17 ln 5sin3 cos3

26x 78 x x C

   

C. 17 ln 5sin3 cos3

26x78 x x C D.

17 7 ln 5sin3 cos3 .

26x78 x x C

Hướng dẫn giải

Chọn A

   

3sin 2cos3 5sin cos3 15cos3 3sin

17

5 3 26

15

78

x x A x x B x x

A

A B

A B

B

     

 

 

  

 

 

  

  

 

Câu 114 Biết sin 2x cos2x2dx x acos4x C b

   

 , với a, b số nguyên dương, a

b phân số tối giản C Giá trị a b

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải

Chọn A

Ta có sin 2xcos2x2dx 1 2sin cos2 d x x x 1 sin d x x cos4

4

x x C

  

Mà sin 2x cos2x2dx x acos4x C b

   

 nên ba14





a b

  

Câu 115 Tính I 8sin cos dx x xacos4xbcos 2x C Khi đó, a b

A. B. 1 C. D.

Hướng dẫn giải

Chọn C

8sin cos d

I  x x x 4 sin 4 xsin dx x  cos 4x2cos2x C a 1,b 2

Câu 116 F x  nguyên hàm hàm số y2sin cos3x x F 0 0 ,

A. F x cos 4xcos2x B.   cos2 cos4

4 8

x x

F x   

C.   cos cos4

2 4

x x

F x    D   cos cos2

4

x x

F x   

Hướng dẫn giải

Chọn C

Ta có ysin 4xsin 2x   cos cos

4

x x

F x C

     , F 0 0 nên

4

C 

Nên   cos cos4

2 4

x x

F x   

Câu 117 Cho  Hàm số sau nguyên hàm hàm số f x sinx A. F x1  cosx B. 2  2sin 2 sin 2

x x

F x   

C. 3  2sin 2 sin 2

x x

F x       

    D. 4  2cos sin

x x

F x   

Hướng dẫn giải

Ta có sin dx x cosx C Đáp án A nguyên hàm hàm số f x sinx

2sin sin cos cos

2

x x

x

 



 

  Đáp án B nguyên hàm hàm số f x sinx

 

2sin sin cos cos

2

x x

x

  

   

       

    Đáp án C nguyên hàm hàm số

  sin f x  x

2cos sin sin sin

2

x x

x

 



 

  Đáp án D nguyên hàm hàm số

  sin f x  x

Câu 118 Tìm họ nguyên hàm hàm số   tan 22

2

f x  x

A. tan 22 d 2tan 2 2

2

x x x x C

 

   

 

 

 B. tan 22 x21dxtan 2x2xC

 



C. tan 22 d tan 2

2

x x x x C

 

   

 

 

 D. tan 22 x12dxtan 22 x2xC

 



Hướng dẫn giải

Chọn D

Ta có:

2

1 1 tan

tan d d

2 cos 2 2

x x

x x x C

x

   

     

   

   

 

Câu 119 Hàm số F x ln sinx3cosx nguyên hàm hàm số hàm số sau

đây?

A.   sin 3cos

cos 3sin

x x

f x

x x

 

 B.  

cos 3sin sin 3cos

x x

f x

x x

 





C.   cos 3sin

sin 3cos

x x

f x

x x

 

 D. f x cosx3sinx

Hướng dẫn giải

Chọn C

Ta có

Câu 120 Hàm số   7cos 4sin

cos sin

x x

f x

x x

 

 có nguyên hàm F x  thỏa mãn

3

4

F  

  Giá trị

2

F 

  bằng?

A. 11ln

4

 

B.

4



C.

8



D. ln

4

 

Hướng dẫn giải

Chọn A

Ta có      

3 sin cos 11 sin cos

2

cos sin

x x x x

f x

x x

   





3 11 sin. cos

2 cos sin

x x

x x

 

 



   d

F x f x x

  11 sin cos d

2 cos sin

x x

x

x x

 

 

   



 

 32x 11 sin2 cos x sincosxdx

x x

 

 





 

3 11 d cos sin

2x cos sin x x

    11ln cos sin

2x x x C

   

    ln sin 3cos  cos 3sin

sin 3cos

x x

f x F x x x

x x

 



   

Mà

4

F    

3 11ln 2

8 C

 

    11ln2

4

C

  

Do 3 11ln2

2 4

F   C  

 

Câu 121 Tìm

sin sin cos

x

I dx

x x





 ?

A. 1 ln sin cos 

2

I  x x x C B. I  x ln sinxcosx C

C. I  x ln sinxcosx C D. 1 ln sin cos 

2

I  x x x C

Hướng dẫn giải

Đặt: cos

sin cos

x

T dx

x x







 

1

sin cos sin cos 1

sin cos sin cos sin cos

x x x x

I T dx dx dx x C

x x x x x x



      

  

  

Ta lại có:

 

 

2

sin cos sin cos

sin cos sin cos sin cos

sin cos

ln sin cos

sin cos

x x x x

I T dx dx dx

x x x x x x

d x x

I T x x C

x x



    

  



       



  



Từ    1 ; ta có hệ:  

 

1

2

1 ln sin cos

2

ln sin cos ln sin cos

2

I x x x C

I T x C

I T x x C

T x x x C



   



  



 



 

    



     

 

Chọn D

Câu 14 Biết sinx cos sinx

cos sinx cos sinx

x

I dx A B dx

x x



 

    

   

  Kết A, B

A.

2

AB B.

2

AB  C. 1,

2

A  B D. 1,

2

A B 

Hướng dẫn giải Chọn D

Ta có:

   

   

cos sin cos sin

sin cos sin

cos sin cos sin cos sin

sin = cos sin cos sin ( )cos ( )sin

A x x B x x

x x x

A B

x x x x x x

x A x x B x x A B x A B x

  



 

   

    

       

Do đó:

1

0 2

1

2

A A B

A B

B

  

 

 



 

 

   

 

Câu 122 Tìm

4

4

cos

sin cos

x

I dx

x x





 ?

A. 1 ln sin

2

x

I  x   C B. I x ln sin 2x C

  

C. 1 ln sin

2 2 sin

x

I x C

x

   

    



 

 

D. ln sin

2 2 sin

x

I x C

x

  

   



 

Hướng dẫn giải

Đặt: 4sin4 4

sin cos

x

T dx

x x







 

4 4

1

4 4 4

cos sin sin cos 1

sin cos sin cos sin cos

x x x x

I T dx dx dx x C

x x x x x x



      

  

  

Mặt khác:

 

4 4

4 4 4

2

2

2

2

cos sin cos sin

sin cos sin cos sin cos

cos sin cos

1

1 2sin cos 1 sin

2

2cos2 ln sin 2

2 sin 2 2 sin

x x x x

I T dx dx dx

x x x x x x

x x x

I T dx dx

x x

x

x x

I T dx C

x x



   

  



   





  

     

   

  

 



Từ    1 ; ta có hệ:

1

2

1 ln sin

2 2 sin

1 ln sin

1 sin

2 2 sin ln

2 2 sin

x

I x C

I T x C

x x

I T C x

x T x C

x

    

  

  

    

   



  

  

   

 

      

     

   

   

    



 

 



Chọn C

Câu 123 Họ nguyên hàm hàm số   3sin 2cos ex

f x   x x

A. 6cos 2sin ex

x x C

    B. 6cos 2x2sinxexC

C. cos2 2sin e

2

x

x x C D. cos2 2sin e

2

x

x x C

Hướng dẫn giải

Chọn D

 3sin 2cos e d 3cos 2sin e

x x

x x x x x C

      



Câu 124 Cho hàm số y f x  liên tục đoạn 0; \

2

    

  thỏa mãn f  x tanx

  ,

5

; \

4

x      

     

   , f  0 0, f   1 Tỉ số

2

f   

  f



      bằng:

A. log e 1   B. C.  

1 ln 2 ln



 D. log e  

Hướng dẫn giải

Chọn A

Ta có  

 

1

2

ln cos

2

tan d ln cos

ln cos

2

x C x

f x x x x C

x C x

 





   

 

     

    

 



Khi  

 

ln cos

2

ln cos

2

x x

f x

x x

 





  

   

    

 

Suy f 23ln 1 

  f ln22



    

 

DẠNG 6: NGUYÊN HÀM HÀM SỐ MŨ LÔGARIT Câu 125 Tìm họ nguyên hàm hàm số   52x

f x 

A. 5 d2x x 

2

5

ln5 x

C

  B. d2x

x

 2ln525

x

C

 

C. 5 d2x x

 2.5 ln 52x C D. 5 d2x x

1

25 x

C x



 



Hướng dẫn giải

Chọn B

Ta có 5 d2x x

 25 dx x 25

ln 25 x

C

  25

2ln5 x

C

 

Câu 126 Tìm họ nguyên hàm hàm số f x e2018x

A  

2018

1

d e

2018

x

f x x C

 . B.  d e2018x

f x x C

 .

C.  f x dx2018e2018xC D.  f x dxe2018xln 2018C

Hướng dẫn giải

Chọn A

Theo công thức nguyên hàm mở rộng

Câu 127 Tìm nguyên hàm F x  hàm số f x e2x, biết F 0 1

A.   e2x

F x  B.  

2

e

2

x

F x   C F x 2e2x1. D F x ex

Hướng dẫn giải

Chọn B

Ta có:    d e d2 1e2

2

x x

F x  f x x x C

Theo giả thiết:  0 1

2

F  C Vậy  

2

e

2

x

F x  

Câu 128 Cho F x là nguyên hàm f x e3x thỏa mãn F 0 1 Mệnh đề sau

đúng?

A.   1e3

3

x

F x   B.   e3

3

x

F x 

C.   e 13

3

x

F x   D   1e3

3

x

F x   

Hướng dẫn giải

Chọn A

Ta có   e d3 1e3

3

x x

F x  x C

Lại có  0 1

3

F   C C 

Câu 129 Cho F x  nguyên hàm hàm số f x e 2x x thỏa mãn  0

2

F  Tìm F x 

A.   e

2

x

F x  x  B.   2e

2

x

F x  x 

C.   e

2

x

F x  x  D.   e

2

x

Hướng dẫn giải

Chọn D

  ex d ex

F x   x x x C

 0

2

F  e0

2

C

  

2

C

 

  e

2

x

F x  x 

Câu 130 Cho hàm số f x  thỏa mãn f x 2018 ln 2018 cosx  x f  0 2 Phát biểu sau

đúng?

A.   2018 sinx

f x   x B.   2018 sin

ln 2018 x

f x   x

C.   2018 sin

ln 2018 x

f x   x D. f x 2018 sinx x1

Hướng dẫn giải

Chọn D

Ta có   2018 ln 2018 cos dx 

f x   x x 2018 sinx

x C

  

Mà f  0 2 2018 sin 00 C2C1

Vậy   2018 sinx

f x   x

Câu 131 Tính(2e3x)2dx

A. 3

3

x x

x e  e C B. 4

3

x x

x e  e C

C. 4

3

x x

x e  e C D. 4

3

x x

x e  e C

Hướng dẫn giải

Ta có: 2 3x2 4 4e3x 6x x 4x 4e3 6x

3

x

e

e dx e d C

       

 

Chọn D

Câu 132 Nếu F x  nguyên hàm ( ) (1 )

x x

f x e e F(0) 3 F x( ) là?

A. x

e x B. ex x C. ex x C D. ex x

Hướng dẫn giải

Ta có:   x 1 x  x 1 x

F x e e dx e  dxe  x C

 0 0

F  e  C  C

Vậy   x

F x e  x Chọn B

Câu 133 Họ nguyên hàm hàm số ( ) x x

f x e e : A. x x

e e C B. exexC

C. x x

e e C

   D. exexC

Hướng dẫn giải

Ta có:  x x x x

e e dxe e C



Chọn A

Câu 134 Hàm số ( ) x x

A. ( ) x x

f x e e  B. ( )

2

x x

f x e e  x

C. ( ) x x

f x e e  D. ( )

2

x x

f x e e  x

Hướng dẫn giải

Ta có:  x x 1 x x

e e  dxe e  x C



Chọn C

Câu 135 Họ nguyên hàm hàm số ( ) 2x 3x

f x e e : A

3

x x

e e

C 

  B.

2

2

x x

e e

C 

 

C. e23x e23x C 

  D.

2

3

x x

e e

C 

 

Hướng dẫn giải

Ta có:  

2

x x

x x e e

e e dx C

 

   



Chọn B

Câu 136 Họ nguyên hàm hàm số ( ) 32x 2 3x

f x    :

A. 32

2.ln3 3.ln

x x

C 

  B.

2

3

2.ln3 3.ln

x x

C 

 

C. 23

2.ln3 3.ln

x x

C 

  D.

2

3

2.ln3 3.ln

x x

C 

 

Hướng dẫn giải

Ta có: 32 2  32

2.ln3 3.ln

x x

x x

dx C

 

   



Chọn A

Câu 137 Hàm số y f x( ) có nguyên hàm F x e2x Tìm nguyên hàm hàm số ( ) ex

f x 

A. ( ) 1d e e

e

x x

x f x

x  C



  

 B. ( ) 1d 2e ee x x

x f x

x  C



  



C. ( ) 1d 2e e

e

x x

x f x

x  C



  

 D. ( ) 1ex d 12e ex x

f x

x  C



  



Hướng dẫn giải

Chọn B

Vì hàm số y f x( ) có nguyên hàm F x e2x nên ta có:      2e2x

f x  F x  

Khi đó: ( ) 1d 2e2 1d

e e

x

x x

f x

x x

 



  2e ex x

dx



  2e ex xC Câu 138 Tìm nguyên hàm hàm số   e ex x

f x   

A.  d e x

f x x  C

 B.  f x dxex x C

C.  d ex e x

f x x   C

 D.  d ex

f x x C



Hướng dẫn giải

Chọn B

Ta có  d e dx  ex

f x x  x  x C

Câu 139 F x  nguyên hàm hàm số yxex2 Hàm số sau F x ? A.   2

2

x

F x  e  B   1 5

2

x

F x  e 

C.  

2

x

F x   e C D   2 2

2

x

F x   e

Hướng dẫn giải

Chọn C

Ta thấy đáp án C 2

2

x x x

e C xe xe



 

    

 

  nên hàm số đáp án C không

nguyên hàm hàm x2

yxe

Câu 140 Tìm nguyên hàm F x  hàm số   32

4

x x

x

x f x    

 

A.   12

ln12

x

x x

F x   C B.   12x

F x  x xC

C.  

2

2

ln ln

x x

x

x x F x    

 

D.  

2

2 ln

ln ln

x x

x

x x F x    

 

Hướng dẫn giải

Chọn A

Ta có   32 12

4

x x x

x

x

f x      x

 

 

Nên   12 d ln1212 3

x

x x x

F x   x x  C

Câu 141 Tính nguyên hàm hàm số   e 2017 2018e5

x x

f x

x



 

   

 

A.  d 2017ex 20184

f x x C

x

  

 B.  

504,5 d 2017ex

f x x C

x

  



C.  d 2017ex 504,54

f x x C

x

  

 D.  d 2017ex 20184

f x x C

x

  



Hướng dẫn giải

Chọn B

 d 2017e 2018x 5d 2017ex 504,54

f x x x x C

x



    

 

Câu 142 Tính2 72x x xdx

A. 84

ln84 x

C

 B.

2

2 ln 4.ln3.ln

x x x

C

 C. 84x C

 D. 84 ln84x C

Hướng dẫn giải

Ta có: 2 72 84 84

ln84 x

x x x x

dx dx C

 

Chọn A

Câu 143 Nguyên hàm 1x3 x

e

dx e 



A. 5 13

3

x x

e   e C B. 5 13

3

x x

e   e C C. 5 13

3

x x

e   e C D. 5 13

3

x x

e   e C

Hướng dẫn giải

Ta có:

5

2 2 1 1 1

3 3 3

3

3

2 2 2

3

x x x x

x x

x x x

x x

x

e e

dx dx e e dx e e dx e e C

e e e

 

      

     

  

            

     

 

   

Chọn D

Câu 144 Cho F x  nguyên hàm hàm số  

3

x f x

e



  

0 ln

3

F   Tập nghiệm S

phương trình   ln x 3

F x  e  

A. S 2 . B. S  2;2. C. S 1;2 . D. S   2;1.

Hướng dẫn giải

Ta có:   d 1 d 1 ln 3

3 3

x

x

x x

x e

F x x x e C

e e

 

        

   

 

Do  0 1ln

3

F   nên C0 Vậy   1 ln 3

3

x

F x  x e 

Do đó:   ln x 3 2

F x  e   x

Chọn A

Câu 145 Hàm số   e 24 173 1 

27

x

F x   x  x C nguyên hàm hàm số

A.    2 e 1x

f x  x  x  B. f x x22 ex  1x

C.    2 e 1x

f x  x  x  D. f x x2 2 ex  1x

Hướng dẫn giải

Chọn C

  e3 19 24 17 3.e3 19 24 17 e 19 24 17

27 27

x x x

F x  x x  x x  x x

  

  

            

   

       

3 3

1 3.e 9 24 17 e 18 24 e 27 54 27 e 2 1

27 27

x x x x

x x x x x x x

   

 

           

Câu 146 Cho hai hàm số     x

F x  x axb e    6 x

f x  x  x e Tìm a b để  

F x nguyên hàm hàm số f x 

A. a1,b 7 B. a 1,b 7 C. a 1,b7 D. a1,b7

Hướng dẫn giải

Chọn B

Ta có    2   x  

F x  x  a x a b e  f x nên

6

a a

a b b

   

 



 

   

 

Câu 147 Tìm F x e dxn x ?

A. x n n  1 n ! 1 n ! 1 n n

B. x n n  1 n ! 1 n ! 1 n

F e x nx  n n x   n   xn  C

 

C. ! x F n e C

D. n n  1 n ! 1 n ! 1 n x

F x nx  n n x   n   xn  e C

Hướng dẫn giải

Lưu ý: ta ln có điều sau x   x   x   x    

e f x  e f x e f x C e f x f x C

        

 

               

     

1

1 2

1

1

1 ! 1 !

1 ! !

n n

x n n n n n n

n n

x n n n

F e x n x n x n x n n x n x n x n dx

F e x nx n n x n x n



    



 

 

              

 

 

         

 



Chọn B

Câu 148 Giả sử 2x(2 5 2 4) ( ) 2x

e x  x  x dx ax bx cxd e C

 Khi a b c d  

A. -2 B.3 C.2 D.

Hướng dẫn giải

Chọn B

Ta có 2x(2 5 2 4) ( ) 2x

e x  x  x dx ax bx cxd e C

 nên

 

 

3 2 2

3 2

3 2

( ) ' (3 ) ( )

2 (3 ) (2 )

(2 4)

x x x

x

x

ax bx cx d e C ax bx c e e ax bx cx d

ax a b x b c x c d e

x x x e

          

      

   

Do

2

3

2 2

2

a a

a b b

b c c

c d d

 

 

 

  

 



 

    

 

    

 

Vậy a b c d   3

Câu 149 Tính nguyên hàm hàm số   e 2017 2018e5

x x

f x

x



 

   

 

A.  d 2017ex 20184

f x x C

x

  

 B.  

504,5 d 2017ex

f x x C

x

  



C.  d 2017ex 504,54

f x x C

x

  

 D.  

2018 d 2017ex

f x x C

x

  



Hướng dẫn giải

Chọn B

 d 2017e 2018x 5d 2017ex 504,54

f x x x x C

x



    

 

Câu 150 Giả sử 2x(2 5 2 4) ( ) 2x

e x  x  x dx ax bx cxd e C

 Khi a b c d  

A -2 B 3 C 2 D 5

Hướng dẫn giải

Chọn B

Ta có 2x(2 5 2 4) ( ) 2x

e x  x  x dx ax bx cxd e C

 nên

 

 

3 2 2

3 2

3 2

( ) ' (3 ) ( )

2 (3 ) (2 )

(2 4)

x x x

x

x

ax bx cx d e C ax bx c e e ax bx cx d

ax a b x b c x c d e

x x x e

          

      

Do

2

3

2 2

2

a a

a b b

b c c

c d d

 

 

    

 



 

    

 

    

 

Vậy a b c d   3

Câu 151 Cho    e2x

F x  ax bxc làmột nguyên hàm hàm số f x 2018x23 ex  2x

trên khoảng  ;  Tính T  a 4b c

A. T  3035 B.T 1007 C. T  5053 D. T 1011

Hướng dẫn giải

Chọn A

Vì    e2x

F x  ax bxc làmột nguyên hàm hàm số   2018 e 2x

f x  x  x

khoảng  ;  nên ta có: F x   f x , với x   ; 

 

2 2 2 2 e2x 2018 3 e 2x

ax x b a c b x x

        , với x   ; 

2 2018

2

2

a

b a

c b

  

   

   

1009 2021

2 2023

4

a

b

c

    

  

 

   

Vậy T  a 4b c 1009 2021 2023

2

   

     

    3035

Câu 152 Biết     x

F x  ax bxc e nguyên hàm hàm số   2 2 x

f x  x  x e

 Tính giá trị biểu thức f F  0 

A. e1

 B. 20e2 C. 9e D. 3e

Hướng dẫn giải

Chọn C

Ta có

    x   x 2  x   x

F x  ax bxc e   ax bxc e   ax b e   ax bxc e

  2  x

F x ax a b x b c e

 

      

Vì     x

F x  ax bxc e nguyên hàm hàm số f x 2x2 5x2ex  nên:

   , 2  x 2 2 x,

F x  f x  x   ax  a b x b c e      x  x e  x 

2

2

2

a a

a b b

b c c

   

 

 

     

     

 

Như    2 1 x  0  2.0 12 

F x   x  x e F     e  

Bởi f F  0  f  1 2.1 5.1 22  e9e

Câu 153 Gọi F x  nguyên hàm hàm số f x 2x, thỏa mãn  0 ln

F  Tính giá trị

A. 1009.22017 ln

T   B. T 22017.2018 C.

2017

2

ln

T   D.

2018

2

ln

T  

Hướng dẫn giải

Chọn D

Ta có:    d d

ln x x

F x  f x x x C

Mà  0

ln

F  1  

ln ln ln

x

C C F x

      

Khi đó:

 0  1  2 2017

T F F F  F

0 2017 2018 2018

2 2 1 2.

ln ln ln ln ln 2 ln

 

      

PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN BÀI TẬP

PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM BẰNG CÁCH ĐƯA VÀO VI PHÂN

Câu Cho hàm số   22

1

x f x

x



 Khi đó:

A.  f x dx  2ln 1 x2C B.  f x dx  3ln 1 x2C

C.  f x dx  4ln 1 x2C D.  f x dx  ln 1 x2C

Câu Cho hàm số f x x x 214 Biết F(x) nguyên hàm f x( )đồ thị hàm số yF x 

đi qua điểm M 1;6 Khi F(x) là: A    

4 1

2

4

x

F x    B    

5 1

15

10

x

F x   

C    

5 1

15

10

x

F x    D    15 14

10

F x  x  

Câu Tính 2

1

x dx x

 

 thu kết là:

A.

1

x C x

 

 B 1

x C x



C.

1xC D.

2

ln 1x C

Câu Họ nguyên hàm hàm số ( ) 22

x f x

x x

 

  là:

A. 2ln 4

x  x C B. ln x2  x C

C

2

ln

2

x x

C

 

 D. 4ln x2 x C

Câu Họ nguyên hàm hàm số ( ) 2

4

x f x

x x

 

  :

A. ln 4 4

2 x  x C B. ln x24x4 C

C. 2ln x24x4 C. D. 4ln x24x4 C

Câu Họ nguyên hàm hàm số ( ) 22

x f x

x



 là:

A. 2ln 4

x  C B

2

ln

2

x

C

 

C. ln x24C D. 4ln x24 C

Câu Họ nguyên hàm hàm số ( ) 33

x f x

x



C. ln 4

x  C D. ln x34C

Câu Một nguyên hàm ( ) 2

x f x

x



 là:

A. ln

2 x B. 2lnx21 C. ln( 1)2 x2 D.

2

ln(x 1)

Câu Tính

3

( )

1

x

F x dx

x

 



A. F x( ) ln x4 1 C B. ( ) 1ln 1

4

F x  x  C

C. ( ) 1ln 1

2

F x  x  C D. ( ) 1ln

3

F x  x  C

Câu 10 Họ nguyên hàm hàm số ( ) sin

cos

x f x

x



 là:

A. ln cosx 3 C B. 2ln cosx 3 C

C ln cos

2

x

C



  D. 4ln cosx 3 C

Câu 11 Biết F x  nguyên hàm hàm số   sin

1 3cos

x f x

x



 F 2



    

  Tính F 0

A.  0 1ln 2

3

F    B  0 2ln 2

F    C  0 2ln 2

F    D

 0 1ln 2

3

F   

Câu 12 Nguyên hàm hàm số: .

ysin x cos x là: A. 1sin3 1sin5

3 x5 x C B

1sin 1sin

3 x x C

  

C. sin3 sin5

x xC D. sin3xsin5xC

Câu 13 Nguyên hàm hàm số: .

ysin x cosx là: A. cos4

4 x C B. sin4 4x C C. sin3 3x C D. cos2x C

Câu 14 Tínhcos sin x 2x dx

A 3sin sin

12

x x

C



 B. 3cos cos3

12

x x

C





C. sin3

3

x C

 D. sinx.cos2x C

Câu 15 Họ nguyên hàm hàm số  

sin

f x

x

 là:

A. ln cot

x C

 B. ln tan

2

x C



C. ln tan

2

x C

  D. ln sinx C

Câu 16 Họ nguyên hàm hàm số f x tanx là:

C. tan2

2

x C

 D. ln cos xC

Câu 17 Tìm nguyên hàm hàm số  

2

2

1 2sin 2sin

4

x f x

x 

 

 



 

 

A.  f x dxln sinxcosx C B.  d 1ln sin cos

2

f x x x x C



C.  f x dxln sin 2 x C D.  d 1ln sin

2

f x x  x C



Câu 18 Họ nguyên hàm hàm số ( )

3 x x

e f x

e



 là:

A. x

e C

   B. 3ex 9 C

C. 2ln x

e C

   D. ln x

e  C

Câu 19 Họ nguyên hàm hàm số

( ) 2x

f x  x là: A

1

ln 2.2x C B.

2

1 ln

x C

 C

ln

2x C D

2

ln 2.2x

C



Câu 20 Họ nguyên hàm hàm số

( ) x

f x  xe là:

A 2ex C B

2

2 x

e C



C. x

e C

  D. ex2 C

Câu 21 Tính

2 1

x

x e dx 

A. x2 1

e  C B.

2

x

e C

C. 1

2

x

e  C D.

2

x

e  C

Câu 22 Tìm nguyên hàm hàm số f x  lnx

x



A.  f x dxln2x C B.  d 1ln2

f x x x C



C.  f x dxlnxC D.  d x

f x xe C



Câu 23 Họ nguyên hàm hàm số f x( ) ln 2x

x

 :

A. ln 2x C B. ln2xC

C. ln 22

2

x C

 D. ln

2

x C



Câu 24 Nguyên hàm ln dx x x 0

x







A. ln2 ln

2 x x C B xln2xC C. ln2 xlnx C D. x1 ln2 2x C

Câu 25 Tính ( )

2ln

dx F x

x x







C. ( ) 2ln

F x  x C D. ( ) 2ln

2

F x  x C

Câu 26 Họ nguyên hàm hàm số f x( ) lnx

x

 là:

A. ln2

xC B. lnx C C.

2

ln

x C

 D. ln

2

x C



Câu 27 Họ nguyên hàm hàm số 2

2

( ) ln( 1)

1

x

f x x

x

 

 là:

A. ln ( 1) C2

2 x   B.

2

ln(x 1) C

C. ln ( 1) C2

2 x   D.

2

1 ln ( 1) C

2 x  

Câu 28 Tính

.ln

dx

x x



A. lnx C B. ln | |x C

C. ln(lnx) C D. ln | lnx | C

Câu 29 Tìm nguyên hàm F x của hàm số  

2

f x

x



 thỏa mãnF 5 7

A. F x 2 1x B. F x 2 1x 

C. F x  4x  D. F x  10x 

Câu 30 Họ nguyên hàm .3 1d

x x  x



A. ( 1)

8 x  C B. 83 ( 1) x2 C C. 83 ( 1)3 x2 C. D 81 ( 1)3 x2 C

Câu 31 Biết  f x dx2 ln 1x  x C với 1;

x 

 

Tìm khẳng định khẳng định sau

A.  f  3 dx x2 ln 1x  x C B.  f  3 dx x6 ln 1x  x C

C.  f  3 dx x6 ln 1x  x C D.  f  3 dx x3 ln 1x  x C

PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM BẰNG CÁCH ĐỔI BIẾN SỐ HÀM ĐA THỨC, PHÂN THỨC

Câu 32 Cho f x dx( ) F x( )C Khi với a  0, ta có  f(axb dx) bằng:

A (a ) C

2aF x b  B. a F (ax b ) C

C. (aF x b) C

a   D. F(axb) C

Câu 33 Hàm số f x( )x(1 )x 10 có nguyên hàm là:

A. ( ) ( 1)12 ( 1)11

12 11

x x

F x     C B.

12 11

( 1) ( 1)

( )

12 11

x x

F x     C

11 10

Câu 34 Tính x2

(1 )

d x x



 thu kết là:

A. ln  1

x x  C B. ln x 1x2 C

C ln 2

x

C x



 D

2

1.ln

x C x 



Câu 35 Tínhx x 13dx : A.    

5

1

5

x x

C

 

  B.    

5

1

5

x x

C

 

 

C

5

x x x

x C

    D

5

3

3

5

x x x

x C

   

Câu 36 Tìm nguyên hàm ( 7) d15

x x  x



A 1 716

2 x  C B  

16

1 7

32 x C

   C  716

16 x  C. D  

16

1 7

32 x  C

Câu 37 Xét I  x34x43 d5 x

 Bằng cách đặt: u4x43, khẳng định sau đúng?

A. 5d

16

I  u u B 5d

12

I  u u C I u u5d D. 5d

4

I  u u

Câu 38 Cho 2 dx x 6 x A3 2x 8B3 2x 7C với A, B C Giá trị

biểu thức 12A7B A 23

252 B.

241

252 C.

52

9 D.

7

Câu 39 Giả sử 1 2017d 1  1 

a b

x x

x x x C

a b

 

   

 với a b, số nguyên dương Tính

2a b bằng:

A. 2017. B. 2018. C. 2019. D. 2020. Câu 40 Nguyên hàm 2

1

x dx

x 

 là:

A. lnt C, với tx21 B. lnt C, với tx21

C. ln

2 t C, với tx21 D 1 ln2 t C, với t x21

Câu 41 Tính

 4

2 d

9

x x x 

 là:

A

 5

1

5 x C

 

 B  3

1

3 x C

 



C

 5

4

9 C

x

 

 D  3

1

9 C

x

 



Câu 42 Hàm số sau nguyên hàm  

 

2017 2019

7

x

K dx

x

 



 ?

A

2018

1 .7 1x  . B 18162 1 x 20187 1x 2018

C.    

 

2018 2018

2018

18162

18162

x x

x

   

 D.

   

 

2018 2018

2018

18162

18162

x x

x

  



Câu 43 Với phương pháp đổi biến số xt, nguyên hàm 21

1dx

x 

 bằng:

A 1

2t C B

1

2tC C. t2C D. tC

Câu 44 Giả sử  

     

2 d

1

x x

C

x x x x g x



  

   

 (C số)

Tính tổng nghiệm phương trình g x 0

A. 1 B.1 C. D. 3

HÀM CHỨA CĂN THỨC

Câu 45 Tìm họ nguyên hàm hàm số f x  2x3

A.  d 2

3

f x x x x C

 B.  f x dx132x3 2 x 3 C

C.  d 22 2

3

f x x x x C

 D.  f x dx 2x 3 C

Câu 46 Hàm số F x  nguyên hàm hàm số y x1?

A    

4

3 1

8

F x  x C

B.   43 14

3

F x  x C

C.   3 13

4

F x  x x C D.   34 13

4

F x  x C

Câu 47 Tìm hàm số F x  biết F x  nguyên hàm hàm số f x  x F 1 1

A.  

3

F x  x x B.  

3

F x  x x

C.   1

2 2

F x

x

  D  

3

F x  x x

Câu 48 Tìm họ nguyên hàm hàm số  

2

f x

x





A  d

2

f x x x C

 B.  f x x d  1x C

C  f x x d 2 1x C D.  

 

1 d

2

f x x C

x x

 

 



Câu 49 Một nguyên hàm hàm số: ( ) 1

f x x x là:

A. ( ) 1 1 23

3

F x  x B.  

2

1

( )

3

F x  x

C. ( ) 2 1 22

2

x

F x  x D.  

2

1

( )

2

F x  x

Câu 50 Họ nguyên hàm hàm số ( ) 2 1

f x  x x  là:

3

C x213 C D  13

3 x C



 

Câu 51 Họ nguyên hàm hàm số ( ) 1

f x  x x là:

A 1 1 23

3 x C B  

3

1 x C

  

C 2 1 x23 C D 1 23

3 x C

  

Câu 52 Họ nguyên hàm hàm số f x( ) x33 1x là:

A. 33 17 33 15

21 x 15 x C B.    

6

3

1 3 1 3 1

18 x 12 x C

C. 13 3 33 1

9 x  x C D.    

4

3

1 3 1 3 1

12 x 3 x C

Câu 53 Họ nguyên hàm hàm số f x( ) 2 x3  x là:

A    

3

3

3

6 12

x x

C

 

   B    

4

3

3

8 14

x x

C

 

  

C    

3

3

3

6 12

x x

C

 

  D    

4

3

3

8 14

x x

C

 

 

Câu 54 Cho 5d

I x x  x, đặt u x25 viết I theo u du ta A. ( 5 )d 2

I  u  u u B I u2d u C. I (u45 )d u3 u D.

4

( )d

I  u  u u

Câu 55 Cho

0

1 d

I x  x x u 1x Mệnh đề sai?

A. 2 

1 1 d

2

I  x x  x B.  

3 2

1 d

I u u  u C

3

5

1

1

2

u u

I    

  D.  

3 2

1 1 d

2

I  u u  u Câu 56 Khi tính nguyên hàm d

1

x x x

 

 , cách đặt u x1 ta nguyên hàm nào?

A. 2  4 d

u u  u

 B. u24 d u C. 2u24 d u D. u23 d u

Câu 57 Cho  

2

( )

1

x

f x x

x

  

 , biết  

F x nguyên hàm hàm số f x  thỏa  0

F  Tính

4

F  

 

A. 125

16 . B.

126

16 . C.

123

16 . D.

127 16 .

Câu 58 Tính tích phân:

1

d

x I

x x





 kết I aln3bln Tổng a b

A. B. C. 1 D.

Câu 59 Họ nguyên hàm hàm số  

3

1

x

A. 1 2 1

3 x  x C B  

1 1 1

3 x x C

   

C. 1 1 1

3 x  x C D  

1 2 1

3 x x C

   

Câu 60 Họ nguyên hàm hàm số ( ) 22

x f x

x



 là:

A x2 1 C B

2

1

2 x C

 

C 2 1

x  C D. x2 1 C

Câu 61 Họ nguyên hàm hàm số ( ) 2

x f x

x



 là:

A. 2 4x2 C. B. 4 4x2 C.

C.

2

x C



  D. 4 4x2 C

Câu 62 Với phương pháp đổi biến số xt, nguyên hàm

2

1

2

I dx

x x



  

 bằng:

A. sintC B.  t C C. costC D. tC Câu 63 Biết khoảng ;

2

 

 

 

 , hàm số  

2

20 30

2

x x

f x

x

 



 có nguyên hàm

   

F x  ax bxc x (a, b, c số nguyên) Tổng S   a b c

A. B. C. D.

Câu 64

2

1

1

2

x x dx

x

  

   

 

 

 

 có dạng a4x4 1 2 x b3 x 13 C

x



     , a b,

là hai số hữu tỉ Giá trị b a, bằng:

A. 2; B.1; C. a b,   D. 1;

Câu 65 Tìm  

1

1 n n n

dx T

x 







?

A

1

1 n

n

T C

x 

 

   

  B

1

1 n

n

T C

x

 

   

 

C  n 1 1n

T  x   C D  

1

1

n n

T  x  C Câu 66 Tìm 22

2

x

R dx

x x

 



 ?

A. tan 1 sin 2ln

2 sin

t t

R C

t



   

 với arctan2

x t   

 

B. tan 1 sin 2ln

2 sin

t t

R C

t



   

 với arctan2

x t   

 

C. tan 1 sin 2ln

2 sin

t t

R C

t



  

 với arctan2

x t   

 

HÀM LƯỢNG GIÁC

Câu 67 Theo phương pháp đổi biến số với tcos ,x usinx, nguyên hàm

tan cot 

I  x x dx là:

A. lnt lnu C B. lnt lnu C C. lnt lnu C D. lnt lnu C

Câu 68 Biết F x  nguyên hàm hàm số f x sin cos3x x F 0  Tính F 

 .

A F 



     

  . B

2

F

  C.

1

2

F  

  D

1

2

F  

 

Câu 69 Tìm nguyên hàm sin 2 d sin

x x x



 Kết

A. sin2

2

x C



 B sin xC C.  sin 2xC. D 2 sin xC Câu 70 Nguyên hàm F x  hàm số f x sin cos 22 x x thỏa

4

F 

 

A   1sin 23 sin 25

6 10 15

F x  x x B.   1sin 23 sin 25

6 10 15

F x  x x

C   1sin 23 sin 25

6 10 15

F x  x x D.   1sin 23 sin 25

6 10 15

F x  x x

Câu 71 Tìm họ nguyên hàm hàm số f x tan5 x. A  d 1tan4 1tan2 ln cos

4

f x x x x x C



B  d 1tan4 1tan2 ln cos

4

f x x x x x C



C  d 1tan4 1tan2 ln cos

4

f x x x x x C



D  d 1tan4 1tan2 ln cos

4

f x x x x x C



Câu 72 Theo phương pháp đổi biến số xt, nguyên hàm 2sin3 2cos

1 sin

x x

I dx

x

 



 là:

A 23tC. B 63tC. C 33 tC. D. 123tC

HÀM MŨ –LÔGARIT

Câu 73 Tìm họ nguyên hàm hàm số   x3

f x x e 

A 2 d ln

4

t t t t t t C

t

   

 

      

 

 

 B f x dx3ex31C C.  d

3

x

f x x e  C

 D  

3

d

x

x

f x x e  C



A. ln x

I x e C B. I xln 1ex C

C. ln x

I   x e C D. ln x

I x e C

Câu 75 Cho F x  nguyên hàm hàm số  

2e 3x

f x 

 thỏa mãn F 0 10 Tìm F x 

A.   1 ln 2e 3  10 ln

3

x

F x  x    B.   1 10 ln 2e 3 

3

x

F x  x  

C.   ln e 10 ln ln

3

x

F x  x     

 

  D

  ln e 10 ln ln

3

x

F x  x     

 

 

Câu 76 Với phương pháp đổi biến số xt, nguyên hàm ln 2xdx x

 bằng:

A 1

2t C B. t2C C. 2t2C D. 4t2C

Câu 77 Hàm số nguyên hàm hàm số 2sinx cosxcos sin 

y x x ?

A. y2sin cosx xC. B. 2sin cos

ln

x x

y C. yln 2.2sin cosx x. D.

sin cos

2 ln

x x

y C



  

Câu 78 Cho hàm số ( ) x ln

f x

x

 Hàm số không là nguyên hàm hàm số f x( )?

A. ( ) x

F x  C B. ( ) 2 x 1

F x   C

C. ( ) 2 x 1

F x   C D. F x( ) 2 x1C

Câu 79 Nguyên hàm   ln

.ln

x f x

x x





A. ln d ln ln

.ln

x

x x C

x x



 

 B. ln d ln ln.ln x x x2 x C

x x



 



C. ln d ln ln

.ln

x

x x x C

x x



  

 D. ln d ln ln.ln x x x x C

x x



 



Câu 80  1 x2 4x 3x cos2 

x e   e   x dx

 có dạng  

2

1 sin 2

6

x

a b

e   x C , a b, hai số hữu tỉ Giá trị a b, bằng:

A. 3; B.1; C. 3; D. 6;

Câu 81 Tìm  

 

3

1 1

x x

e x x

I dx

x e x

  



  

 ?

A. ln x 1

I x e x  C B. I xlnex x 1 1C

C. ln x 1

I  e x  C D. I lnex x 1 1C

Câu 82 Tìm nguyên hàm hàm số    

2

1

ln x 2017

x x

A. lnx21 1008ln ln  x21 1 

 

B. lnx21 2016ln ln  x21 1 

 

C. ln 1 2016ln ln  1 1

2 x    x   

D. ln 1 1008ln ln  1 1

2 x    x   

Câu 83 Tìm  

 

2

2

2 2ln ln

ln

x x x x

G dx

x x x

  





 ?

A 1

ln

G C

x x x



  

 B

1

ln

G C

x x x

  



C 1

ln

G C

x x x

  

 D

1

ln

G C

x x x

  



Câu 84 Hàm số sau nguyên hàm  

 

1

1 ln ln ln

n n n

x h x

x x x x

 

 ?

A 1ln 1ln n lnn 2016

x x x

n n   B.

1ln 1ln n lnn 2016

x x x

n n  

C 1ln 1ln n lnn 2016

x x x

n n

    D 1ln 1ln n lnn 2016

x x x

n n

HƯỚNG DẪN GIẢI

PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM BẰNG CÁCH ĐƯA VÀO VI PHÂN Câu 1. Cho hàm số   22

1

x f x

x



 Khi đó:

A.  f x dx  2ln 1 x2C B.  f x dx  3ln 1 x2C

C.  f x dx  4ln 1 x2C D.  f x dx  ln 1 x2C

Hướng dẫn giải

Ta có:  

2

2

2

1

2x ln 1

1

d x dx

x C

x x



   

 

 

Chọn D

Câu 2. Cho hàm số f x x x 214 Biết F(x) nguyên hàm f x( )đồ thị hàm số yF x 

đi qua điểm M1;6 Khi F(x) là: A    

4 1

2

4

x

F x    B.    

5 1

15

10

x

F x   

C.    

5 1

15

10

x

F x    D.    15 14

10

F x  x  

Hướng dẫn giải

Ta có    14  1 4 1  15

2 10

F x x x  dx  x  d x   x  C

1;6 ( ) : ( ) 1 15 14    15 14

10 10

M  C yF x    CC F x  x  

Chọn D Câu 3. Tính 2

1

x dx x

 

 thu kết là:

A.

1

x C x

 

 B.

x C x



C.

1xC D.

2

ln 1x C

Hướng dẫn giải

Ta có:  

2

2

2

1

2 ln 1

1

d x

x dx

x C

x x

 

   

 

 

Chọn D

Câu 4. Họ nguyên hàm hàm số ( ) 22

x f x

x x

 

  là:

A. 2ln x2 x 4C. B. ln x2 x 4 C.

C.

2

ln

2

x x

C

 

 D. 4ln x2 x C

Hướng dẫn giải

Ta có:  

2

2

2

4

2 ln 4

4

d x x x

dx x x C

x x x x

  

    

   

 

Câu 5. Họ nguyên hàm hàm số ( ) 2

4

x f x

x x

 

  :

A. ln 4 4

2 x  x C B. ln x24x4 C

C. 2ln 4 4

x  x C D. 4ln x24x4 C

Hướng dẫn giải

Ta có:  

2

2

2

4

2 1. 1.ln 4 4

4 4

d x x

x

dx x x C

x x x x

 



    

   

 

Chọn A

Câu 6. Họ nguyên hàm hàm số ( ) 22

x f x

x



 là:

A. 2ln 4

x  C B.

2

ln

2

x

C

 

C. ln x24C D. 4ln x24 C

Hướng dẫn giải

Ta có:  

2

2

2

4

2 ln 4

4

d x x

x C

x x



   

 

 

Chọn C

Câu 7. Họ nguyên hàm hàm số ( ) 33

x f x

x



 là:

A. 3ln 4

x  C B. 3ln x34C

C. ln x34 C D. ln x34 C

Hướng dẫn giải

Ta có:  

3

3

3

4

3 ln 4

4

d x x dx

x C

x x



   

 

 

Chọn C

Câu 8. Một nguyên hàm ( ) 2

x f x

x



 là:

A. ln

2 x B. 2lnx21 C. ln( 1)2 x2 D.

2

ln(x 1)

Hướng dẫn giải

Ta có:    

2

2

2

1

1 ln 1

1 2

d x x dx

x

x x



  

 

 

Chọn C

Câu 9. Tính ( ) 4

x

F x dx

x

 

 A. ( ) ln 1

F x  x  C B. ( ) 1ln

4

F x  x  C

C. ( ) 1ln 1

2

F x  x  C D. ( ) 1ln

3

F x  x  C

Ta có: 4

4

1 ( 1) ln 1

1 4

x d x

dx x C

x x



   

 

 

Ta có: 4

4 1 14 (4 11) ln4

x d x

dx x C

x x



   

 

 

Chọn B

Câu 10. Họ nguyên hàm hàm số ( ) sin

cos

x f x

x



 là:

A. ln cosx 3 C B. 2ln cosx 3 C

C. ln cos

2

x

C



  D. 4ln cosx 3 C

Hướng dẫn giải

Ta có: sin cos 3 ln cos

cos cos

d x

x

dx x C

x x

 

    

 

 

Chọn A

Câu 11. Biết F x  nguyên hàm hàm số   sin

1 3cos

x f x

x



 F 2



    

  Tính F 0

A.  0 1ln 2

3

F    B.  0 2ln 2

F    C.  0 2ln 2

F    D.

 0 1ln 2

3

F   

Hướng dẫn giải

Chọn B

Ta có: sin d d 3cos  1ln 3cos

1 3cos 3cos

x x

x x C

x x



     

 

 

Do 2  0 2ln 2

2

F  C F   

 

Câu 12. Nguyên hàm hàm số: .

ysin x cos x là: A. 1sin3 1sin5

3 x5 x C B.

1sin 1sin

3 x x C

  

C. sin3 sin5

x xC D. sin3xsin5xC

Hướng dẫn giải

Ta có: sin cos 2x dx sin x2 sin4 x.cos x dx

 

   

3

2 sin4 sin sin sin

3

x x

sin x x d x C

    

Chọn A

Câu 13. Nguyên hàm hàm số: .

ysin x cosx là: A. cos4

4 x C B. sin4 4x C C. sin3 3x C D. cos2x C

Hướng dẫn giải

Ta có:  

4

3 sin

sin cos sin sin

4

x

x x dx x d x  C

 

Chọn B

Câu 14. Tínhcos sin x 2x dx

A. 3sin sin

12

x x

C



 B. 3cos cos3

12

x x

C





3

Hướng dẫn giải

Ta có:  

3

2 sin

cos sin sin sin

3

x

x x dx x d x  C

 

Chọn C

Câu 15. Họ nguyên hàm hàm số  

sin

f x

x

 là:

A. ln cot

x C

 B. ln tan

2

x C



C. ln tan

2

x C

  D. ln sinx C

Hướng dẫn giải

Ta có: sin 2 sin 2 cos2  1ln cos

sin cos cos cos cos

d x

dx x dx x dx x

C

x x x x x

 

    

   

   

Chọn B

Câu 16. Họ nguyên hàm hàm số f x tanx là:

A. ln cosx C B. ln cosx C

C. tan2

2

x C

 D. ln cos xC

Hướng dẫn giải

Ta có: tan sin   ln cos

cos cos

d cosx x dx

x dx x C

x x

     

  

Chọn B

Câu 17. Tìm nguyên hàm hàm số  

2

2

1 2sin 2sin

4

x f x

x 

 

 



 

 

A.  f x dxln sinxcosx C B.  d 1ln sin cos

2

f x x x x C



C.  f x dxln sin 2 x C D.  d 1ln sin

2

f x x  x C



Hướng dẫn giải

Chọn A

Áp dụng công thức 1 2sin 2xcos 2xcos2xsin2 x 2sin2 sin cos 2

4

x  x x

 

  

 

 

Hàm số rút gọn thành   cos sin

sin cos

x x

f x

x x

 



Nguyên hàm f x dx d sinsin x coscosx

x x

 



  =ln sinxcosx C

Câu 18. Họ nguyên hàm hàm số ( )

3 x x

e f x

e



 là:

A. x

e C

   B. 3ex 9 C

C. 2ln x

e C

   D. ln ex3C

Hướng dẫn giải

Ta có:  3 ln

x x

x

d e e

dx   e  C

Câu 19. Họ nguyên hàm hàm số

( ) 2x

f x  x là:

A.

1

ln 2.2x C B.

2

1 ln

x C

 C. ln 22

2x C D.

2

ln 2.2x

C



Hướng dẫn giải

Ta có: 2  2

2 2 ln 2

ln ln ln

x x x x

x dx x  d  C

  

Chọn B

Câu 20. Họ nguyên hàm hàm số

( ) x

f x  xe là: A

2 x

e C



 B.

2

2 x

e C



C. x

e C

  D. ex2C

Hướng dẫn giải

Ta có:  2

2 x x x

x e dx d e e C

 

Chọn D Câu 21. Tính

2 1

x

x e dx 

A. x2 1

e  C B.

2

x

e C

C. 1

2

x

e  C D.

2

x

e  C

Hướng dẫn giải

Ta có: 1 1 1

( )

2

x x x

I xe dx d e   e  C

Chọn C

Câu 22. Tìm nguyên hàm hàm số f x  lnx

x



A.  f x dxln2x C B.  d 1ln2

f x x x C



C.  f x dxlnxC D.  d x

f x xe C



Hướng dẫn giải

Chọn B

Ta có  f x dxln d lnx  x ln2

2 x C

 

Câu 23. Họ nguyên hàm hàm số f x( ) ln 2x

x

 :

A. ln 2x C B. ln2xC

C. ln 22

2

x C

 D. ln

2

x C



Hướng dẫn giải

Ta có:  

2

ln ln ln 2 ln

2

x x

dx x d x C

x   

 

Chọn C

Câu 24. Nguyên hàm ln dx x x 0

x







Hướng dẫn giải

Chọn A

Ta có lnxdx 1dx lnxdx

x x x



 

   1d ln d ln  ln 1ln2

2

x x x x x C

x

    

Câu 25. Tính ( ) 2ln

dx F x

x x







A. F x( ) 2ln x 1 C B. F x( ) 2lnx 1 C

C. ( ) 2ln

F x  x C D. ( ) 2ln

2

F x  x C

Hướng dẫn giải

Ta có: F x( )d( 2lnx1) 2lnx 1 C

Chọn B

Câu 26. Họ nguyên hàm hàm số f x( ) lnx

x

 là:

A. ln2xC B. lnx C C. ln2

2

x C

 D. ln

2

x C



Hướng dẫn giải

Ta có:  

2

ln ln lnx ln

2

x x

dx x d C

x   

 

Chọn C

Câu 27. Họ nguyên hàm hàm số 2

2

( ) ln( 1)

1

x

f x x

x

 

 là:

A. ln ( 1) C2

2 x   B.

2

ln(x 1) C

C. ln ( 1) C2

2 x   D. ln ( 1) C2 x2 

Hướng dẫn giải

Ta có: 2 2

2

2 ln( 1) ln( 1)d(ln( 1)) 1ln ( 1) C

1

x

x dx x x x

x        

 

Chọn D Câu 28. Tính

.ln

dx

x x



A. lnx C B. ln | |x C

C. ln(lnx) C D. ln | lnx | C

Hướng dẫn giải

Ta có: ln  ln ln

.ln ln

d x

dx

x C

x x x  

 

Chọn D

Câu 29. Tìm nguyên hàm F x của hàm số  

2

f x

x



 thỏa mãnF 5 7

A. F x 2 1x B. F x 2 1x 

C. F x  4x  D. F x  10x 

Hướng dẫn giải

Chọn B

Do F 5 7 nên 6C7 C1

Câu 30. Họ nguyên hàm x.3 x21dx



A. ( 1) 3

8 x  C B.

2

3 ( 1)

8 x  C C.

2

3

3 ( 1)

8 x  C D.

2

3

1 ( 1)

8 x  C

Hướng dẫn giải

Chọn C

Ta có .3 1d

x x  x

    

1

2 3

1 1 d 1

2 x x

     

4

2 3

3 1

8 x C

   33 14

8 x C

  

Câu 31. Biết  f x dx2 ln 1x  x C với 1;

x 

 

Tìm khẳng định khẳng định sau

A.  f  3 dx x2 ln 1x  x C B.  f  3 dx x6 ln 1x  x C

C.  f  3 dx x6 ln 1x  x C D.  f  3 dx x3 ln 1x  x C Lởi giải

Chọn A

Cách 1:

 d ln 1 

f x x x x C

  f  3 dx x    3 d

3 f x x

  ln 3.3 1   

3 x x C

  

 

2 ln 1x x C

  

Cách 2:

Ta có  f x dx2 ln 1x  x C  f x 2 ln 1x  x C 2ln 1 

3

x x

x

  



Khi  3 2ln 1  18

9

x

f x x

x

  



 3 d

f x x

 2ln 1 x  9 118x dx

x

 

    



 

 ln d x  x 9 12 dx

x

 

     



 

 

     

2 9 ln 9 2 2ln 1

9 x x x x x C

PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM BẰNG CÁCH ĐỔI BIẾN SỐ

Nếu  f x dxF x C  f u x   'u x dxF u x  C

Giả sử ta cần tìm họ nguyên hàm I  f x dx, ta phân tích

     ' 

f x g u x u x ta thực phép đổi biến số tu x , suy dtu x' dx

Khi ta nguyên hàm: g t dt G t CG u x  C

Chú ý: Sau tìm họ nguyên hàm theo t ta phải thay tu x  HÀM ĐA THỨC, PHÂN THỨC

Câu 32. Cho f x dx( ) F x( )C Khi với a  0, ta có  f(axb dx) bằng:

A. (a ) C

2aF x b  B. a F (ax b ) C

C. (aF x b) C

a   D. F(axb) C

Hướng dẫn giải

Ta có: I  f ax b dx  

Đặt: t ax b dt adx 1dt dx

a

     

Khi đó: I f t dt  1F t  C

a a

   

Suy ra: I 1F ax b  C

a

  

Chọn C

Câu 33. Hàm số ( ) (1 )10

f x x x có nguyên hàm là:

A. ( ) ( 1)12 ( 1)11

12 11

x x

F x     C B.

12 11

( 1) ( 1)

( )

12 11

x x

F x     C C. ( 1)11 ( 1)10

11 10

x x

C

 

  D.

11 10

( 1) ( 1)

( )

11 10

x x

F x     C

Hướng dẫn giải

Ta có: I x 1 x10.dx Đăt: t   1 x dtdx x,  1 t

Khi   10 (11 10) 12 11

12 11

I  t t dt t t dt t  t c

Suy 1 12 1 11

12 11

I  x  x C

Chọn A Câu 34. Tính x2

(1 )

d x x



 thu kết là:

A. ln  1

x x  C B. ln x 1x2 C

C. ln 2

x

C

 D.

2

1.ln

x C x 

Ta có: x2 2x 2

(1 ) (1 )

d xd

x x x x

 

  Đặt: t 1 x212dtx dx x ,  t

Khi đó:

 

2

1. 1.ln 1ln .

2 2

t x

I dt C I C

t t t x



     

 



Chọn D Câu 35. Tính  

3

1

x x dx

 :

A.    

5

1

5

x x

C

 

  B.    

5

1

5

x x

C

 

 

C.

5

x x x

x C

    D.

5

3

3

5

x x x

x C

   

Hướng dẫn giải

Ta có: I x x 13dx

Đặt: tx 1 dtdx x,  t

Khi đó:    

5

3

1

5

t t

I  t t dt t t dt   C

 

 

Suy ra:    

5

1

5

x x

I     C

Chọn B

Câu 36. Tìm nguyên hàm ( 7) d15

x x  x



A. 1 716

2 x  C B.  

16

1 7

32 x C

   C.  716

16 x  C. D.  

16

1 7

32 x  C

Hướng dẫn giải

Chọn D

Đặt 7 d d d 1d

2

tx   t x xx x t

Ta có ( 7) d15 15d 1. 16  716

2 16 32

t

x x  x t t C x  C

 

Câu 37. Xét 34 3 d5

I x x  x Bằng cách đặt: u4x43, khẳng định sau đúng?

A. 5d

16

I  u u B. 5d

12

I  u u C. I u u5d D. 5d

4

I  u u

Hướng dẫn giải

Chọn A

4 3

4 d 16 d d d

16

u x   u x x ux x

5

1 d

16

I u u

  

Câu 38. Cho 2 dx x 6 xA3 2x 8B3 2x 7C với A, B C Giá trị biểu

thức 12A7B A. 23

252 B.

241

252 C.

52

9 D.

7

Đặt t3x2

3

t

x 

  d d

3 t x

 

Ta có: 2 d6

3

t

t t



 29t7+2 dt6 t

8

2. 4.

9

t t

C

   3 28 3 27

36 x 63 x C

    

Suy

36

A ,

63

B , 12 7

36 63 9

Câu 39. Giả sử 1 2017d 1  1 

a b

x x

x x x C

a b

 

   

 với a b, số nguyên dương Tính 2a b

bằng:

A. 2017. B. 2018. C. 2019. D. 2020.

Hướng dẫn giải

Tacó:

             

2018 2019

2017 2017 2017 2018 1

1 d 1 d 1 d

2018 2019

x x

x x x x  x x x  x x     C

  

Vậy a2019,b20182a b 2020

Chọn D

Câu 40. Nguyên hàm 2

1

x dx

x 

 là:

A. lnt C, với tx21 B. lnt C, với tx21

C. ln

2 t C, với tx21 D. 1 ln2 t C, với t x21

Hướng dẫn giải

Đặt 1 2

tx  dt xdx

2

1 1

ln

1 2

x

dx dt t C

x t

    



 

Chọn C

Câu 41. Tính  

4

2 d

9

x x x 



là:

A.

 5

1

5 x C

 

 B.  3

1

3 x C

 



C.

 5

4

9 C

x

 

 D.  3

1

9 C

x

 



Hướng dẫn giải

Ta có:

 4

2 d

9

x

I x

x







Đặt: 9 2

tx  dt x dx

Khi đó: I

4

1

3

dt

t dt C

t t



    

Suy ra:

 

1

3

I C

x

  



Chọn B

Câu 42. Hàm số sau nguyên hàm  

2017

7 1x

A. 2018 18162

x x



 

 



  B.

   

 

2018 2018

2018

18162

18162

x x

x

  



C.    

 

2018 2018

2018

18162

18162

x x

x

   

 D.

   

 

2018 2018

2018

18162

18162

x x

x

  



Hướng dẫn giải

Ta có:  

   

2017 2017

2019

7 .

2

2

x x

K dx dx

x

x x

   

   



 

 

 

Đặt

 2  2

7

2 98

x dt

t dt dx dx

x x x



    

  

2018 2018

2017

1 .

9 18162 18162

t x

K t dt C C

x



 

       



 



Chọn D

Câu 43. Với phương pháp đổi biến số xt, nguyên hàm 21

1dx

x 

 bằng:

A.

2t C B.

1

2tC C. t2C D. tC

Hướng dẫn giải

Ta đặt: tan , ; 12

2 cos

x t t dx dt

t  

 

    

 

2

1

1dx dt t C

x

    



 

Chọn D

Câu 44. Giả sử  

     

2 d

1

x x

C

x x x x g x



  

   

 (C số)

Tính tổng nghiệm phương trình g x 0

A. 1 B.1 C. D. 3

Hướng dẫn giải

Chọn D

Ta có x x 1x2x3 1 x23xx23x2 1 x23x12

 

Đặt 3

tx  x, dt2x3 d x

Tích phân ban đầu trở thành

 2

d

1

t

C t

t

  

 



Trở lại biến x, ta có  

   

2 d

1 3

x x

C

x x x x x x



  

     



Vậy g x x23 1x

  3

2

g x  x  x  x  

2

x  

HÀM CHỨA CĂN THỨC

Câu 45. Tìm họ nguyên hàm hàm số f x  2x3

A.  d 2

3

f x x x x C

 B.  d 12 2

3

f x x x x C



C.  d 22 2

3

f x x x x C

 D.  f x dx 2x 3 C

Hướng dẫn giải

Chọn B

Xét I  2x3 d x

Đặt 2x 3 t t2 2x3 2 d 2dt t x

2

d t d

I t t t t

3t C

  3 3

3 x C

    d 12 2

3

f x x x x C

    

Câu 46. Hàm số F x  nguyên hàm hàm số y x1?

A.    

4

3 1

8

F x  x C

B.   43 14

3

F x  x C

C.   3 13

4

F x  x x C D.   34 13

4

F x  x C

Hướng dẫn giải

Chọn C

Ta có: I  x1dx



Đặt: t x1 1

t x

   3 dt2 tdx

2

.3 d

I t t t

  3 dt t3

4t C

  33 14

4 x C

   3 13

4 x x C

   

Vậy   3 13

4

F x  x x C

Câu 47. Tìm hàm số F x  biết F x  nguyên hàm hàm số f x  x F 1 1

A.  

3

F x  x x B.  

3

F x  x x

C.   12

2

F x

x

  D.  

3

F x  x x

Hướng dẫn giải

Chọn B

Ta có: F x  x xd

Đặt t x suy t2  x dx2dt Khi d

3

I t t t t C

3

I x x C

  

Vì F 1 1 nên

C Vậy  

3

F x  x x

Câu 48. Tìm họ nguyên hàm hàm số  

2

f x

x





A.  d

2

f x x x C

C.  f x x d 2 1x C D.  

 

1 d

2

f x x C

x x

 

 



Hướng dẫn giải

Chọn A

Đặt 1x t 2 1x t2 dxtdt

Khi ta có 1d

2 x x

 1 dt2tt  dt

2

 

2t C

 

2 x C

  

Câu 49. Một nguyên hàm hàm số: f x( )x 1x2 là:

A. ( ) 1 1 23

3

F x  x B.  

2

1

( )

3

F x  x

C. ( ) 2 1 22

2

x

F x  x D.  

2

1

( )

2

F x  x

Hướng dẫn giải

Ta có: 1

I x x dx

Đặt: 1 2 1 . .

t x t  x t dt x dx Khi đó: I

3

3

t t t dt t dt C

   

Suy ra: I 1 23

3 x C

  

Chọn A

Câu 50. Họ nguyên hàm hàm số f x( ) 2 x x2 1 là:

A.  13

3 x  C B.  

3

2 x C

  

C.  13

x  C D.  13

3 x C



 

Hướng dẫn giải

Ta có: 2 1

I  x x  dx

Đặt: t x2 1 t2 x2 1 2tdt2xdx

Khi đó: I .2 2 2

3

t

t t dt t dt C

   

Suy ra: I  13

3 x C

  

Chọn A

Câu 51. Họ nguyên hàm hàm số ( ) 1

f x  x x là:

A. 1 23

3 x C B.  

3

1 x C

  

C. 2 1 23

x C

  D. 1 23

3 x C

  

Hướng dẫn giải

Ta có: I  2 1x x dx2



Đặt: 1 2 1 2 2

t x t  x   tdt xdx

Khi đó: I  

3

2

3

t

t t dt t dt K

Suy ra: I 1 23

3 x C

   

Chọn D

Câu 52. Họ nguyên hàm hàm số f x( ) x33 1x là:

A. 33 17 33 15

21 x 15 x C B.    

6

3

1 3 1 3 1

18 x 12 x C

C. 13 3 33 1

9 x  x C D.    

4

3

1 3 1 3 1

12 x 3 x C

Hướng dẫn giải

Ta có: I  x33 1x dx

 Đặt: t 33 1x t3 3 1x t dt2 dx

Khi đó: 1 .2  4

3 3

t t t

I   t t dt t t dt   C

 

 

Suy 133 17 133 15

3

I   x  x C

 

Chọn A

Câu 53. Họ nguyên hàm hàm số f x( ) 2 x3  x là:

A.    

3

3

3

6 12

x x

C

 

   B.    

4

3

3

8 14

x x

C

 

  

C.    

3

3

3

6 12

x x

C

 

  D.    

4

3

3

8 14

x x

C

 

 

Hướng dẫn giải

Ta có: I  2 2x3  xdx



Đặt: 31 2 1 2 2.

2

t  xt   x  t dtdx

Mặt khác: 2 1

x t

Khi đó: I (1 3) 2. (t3 6)

2 2

t t

t t t dt t dt   C

          

 

 

Suy ra: I    

4

3 1 2 1 2

3

2

x x

C

   

 

   

 

 

Chọn B

Câu 54. Cho I  x3 x25dx

 , đặt u x25 viết I theo u du ta A. ( 5 )d 2

I  u  u u B. I u2d u C. I (u45 )d u3 u D.

4

( )d

I  u  u u

Hướng dẫn giải

Chọn A

Đặt u x25 2 5 d d

u x u u x x

    

Khi đó:I  x3 x25dx

 x x2 x25dxu25 du u u u45u2du

Câu 55. Cho

0

1 d

A. 2 

1 1 d

2

I  x x  x B.  

3 2

1 d

I u u  u C.

3

5

1

1

2

u u

I    

 

D. 2 

1

1 1 d

2

I  u u  u

Hướng dẫn giải

Chọn B

4

0

1 d

I x  x x

Đặt u 1x 1 1

2

x u

   dxu ud , đổi cận: x 0 u1, x4u3

Khi 3 

1

1 1 d

2

I   u  u u Câu 56. Khi tính nguyên hàm d

1

x x x

 

 , cách đặt u x1 ta nguyên hàm nào?

A. 2  4 d

u u  u

 B. u24 d u C. 2u24 d u D. u23 d u

Hướng dẫn giải

Chọn C

Đặt u x1, u0 nên u2 x1 d d2

x u u

x u

   

 



Khi d

1

x x x

 



2

1 3.2 d

u

u u u

 

 2u24 d u

Câu 57. Cho  

2

( )

1

x

f x x

x

  

 , biết  

F x nguyên hàm hàm số f x  thỏa  0

F  Tính

4

F  

 

A. 125

16 . B.

126

16 . C.

123

16 . D.

127 16 .

Hướng dẫn giải

Chọn A

Đặt 1 d d

t x  t tx x

 

2

( )d d

1

x

f x x x x

x

  



  2 dt  tt25tC x21 5 x2 1 C

(0)

F  C 

Vậy 125

4 16

F  

 

Câu 58. Tính tích phân:

1

d

x I

x x





 kết I aln3bln Tổng a b

A. B. C. 1 D.

Hướng dẫn giải

Chọn D

5

3

dx I

x x





Đặt u 1x

2 1

3

u

x 

 

3

dx udu

 

Đổi cận: x 1 u2 x 5 u4

Vậy  

  

4

4

2

2

2

1

2 ln ln3 ln1 2ln ln 5

1 1

u u u

I du du

u u u u

   

      

   

 

Do a2; b 1   a b Câu 59. Họ nguyên hàm hàm số  

3

1

x f x

x



 là:

A. 1 2 1

3 x  x C B.  

1 1 1

3 x x C

   

C. 1 1 1

3 x  x C D.  

2

1 2 1

3 x x C

   

Hướng dẫn giải

Ta có :

2

1

x

I dx

x

 



Đặt t 1x2 t2  1 x2 tdtxdx

Khi đó: (1 2) ( 1)

3

t t

I tdt t dt t C

t



      

Thay t 1x2 ta ( 3) 1 1 2 1

3

x

I    x C   x  x C Chọn D

Câu 60. Họ nguyên hàm hàm số ( ) 22

x f x

x



 là:

A. 1

x  C B.

2

1

2 x C

 

C. 2 x2 1 C D. 4 x2 1 C

Hướng dẫn giải

Ta có: 22

1

x

I dx

x







Đặt: t x2 1 t2 x2 1 t dt2 x dx

Khi đó: I t dt 2t C t

  

Suy ra: I 2 x2 1 C

Chọn C

Câu 61. Họ nguyên hàm hàm số

2

4 ( )

4

x f x

x



 là:

A. 2 4x2 C. B. 4 4x2 C.

C.

2

x C



  D. 4 4x2 C

Hướng dẫn giải

Ta có: 2

4

x

Khi đó: 4tdt 4 4 4

I t C I x C

t



        

Chọn D

Câu 62. Với phương pháp đổi biến số xt, nguyên hàm

2

1

2

I dx

x x



  

 bằng:

A. sintC B.  t C C. costC D. tC

Hướng dẫn giải

Ta biến đổi:

 2

1

4

I dx

x



 



Đặt 2sin , , 2cos

2

x  t t   dx tdt

 

I dt t C

   

Chọn D

Câu 63. Biết khoảng ;

 

 

 

 , hàm số  

2

20 30

2

x x

f x

x

 



 có nguyên hàm

   

F x  ax bxc x (a, b, c số nguyên) Tổng S   a b c

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải

Chọn B

Đặt 2 3 2 d d

t x t  x  xt t

Khi 20 30 d

2

x x

x x

 





2

2 3 3

20 30

2

d

t t

t t t

     

 

   

   

 5t415t27 d t

5 5 7

t t t C

     2x35 5 2 x33 7 2x 3 C

2x 32 2x 2 x 2 x 2x C

         4x22 2x  x 3 C

Vậy F x 4x22 2x  x3 Suy S   a b c Câu 64.

2

1

1

2

x x dx

x

  

   

 

 

 

 có dạng a4x4 1 2 3x b3 x 13 C

x



     , a b,

là hai số hữu tỉ Giá trị b a, bằng:

A. 2; B.1; C. a b,   D. 1;

Hướng dẫn giải

Cách 1:

Theo đề, ta cần tìm

2

1

1

2

x x dx

x

  

   

 

 

 

 Sau đó, ta xác định giá trị a

Ta có:

3

2

1 1

1

2

x x dx x dx x dx

x x

     

        

   

   

   

  

Để tìm 2x x2  1 xlnx dx

 ta đặt

1

2

I x dx

x

  

    

 

 I2  x1dx tìm

,

*Tìm

1

1

2

I x dx

x

  

    

 



3

1

1 1

2

I x dx x x C

x x

   

        

 

 , C1 số

*Tìm I2  x1dx Dùng phương pháp đổi biến

Đặt t x1,t0 ta t2  x 1, 2tdtdx

Suy  3

2 23 23

I  x dx t dt t C  x C

 3

3 4

1 2

2

1 1 1

1 1

2 4

x x dx I I x x C x C x x x C

x x x

    

                  

 

 

 



Suy để

2

1

1

2

x x dx

x

  

   

 

 

 

 có dạng a4x4 1 2 x 3b x 13 C

x



    

1 ,

a  b 

Vậy đáp án xác đáp án D Cách 2:Dùng phương pháp loại trừ

Ta thay giá trị a b, đáp án vào 1  13

4

a b

x x x C

x



     Sau đó, với

mỗi a b, đáp án A, B, D ta lấy đạo hàm  

3

2 1 2ln

3

a b

x   x x x C

Sai lầm thường gặp: A. Đáp án A sai

Một số học sinh không ý đến thứ tự b a, nên học sinh khoanh đáp án A sai lầm

B.Đáp án B sai

Một số học sinh sai lầm sau: *Tìm I2  x1dx

Dùng phương pháp đổi biến

Đặt t x1,t0 ta t2  x 1,tdtdx

Suy  3

2 13 13

I  x dxt dt t C  x C

 3

3 4

1 2

2

1 1 1 1

1 1

2 4

x x dx I I x x C x C x x x C

x x x

    

                  

 

 

 



Suy để

2

1

1

2

x x dx

x

  

   

 

 

 

 có dạng a4x4 1 2 x 3b x 13 C

x



    

1 ,

a  b 

Thế là, học sinh khoanh đáp án B sai lầm

C. Đáp án C sai

Một số học sinh sai lầm sau: *Tìm I2  x1dx

Suy

2

1

1

2

x x dx

x             

 khơng thể có dạng

 3

4 1 1

4

a b

x x x C

x



     , với a b, 

Nên không tồn a b, thỏa yêu cầu toán

Thế là, học sinh khoanh đáp án C sai lầm

Câu 65. Tìm  

1 n n n dx T x     ? A.

1 n

n T C x       

  B.

1

1 n

n T C x        

C.  n 1 1n

T  x   C D.  

1

1

n n

T  x  C

Hướng dẫn giải

Ta có:   1 1

1 1

1

1 1

1 . 1 1

n n n n n n n n n n n n n

dx dx x

T dx x dx

x x x x x                                        

Đặt:

1

1 n

n n

n

t dt nx

x x           1 1

1 1 1 n

n n

n

T t dt t C C

n x                   Chọn A Câu 66. Tìm

1 2 x R dx x x     ?

A. tan 1 sin 2ln

2 sin

t t

R C

t



   

 với arctan2

x t   

 

B. tan 1 sin 2ln

2 sin

t t

R C

t



   

 với arctan2

x t   

 

C. tan 1 sin 2ln

2 sin

t t

R C

t



  

 với arctan2

x t   

 

D. tan 1 sin 2ln

2 sin

t t

R C

t



  

 với arctan2

x t   

 

Hướng dẫn giải

Đặt x2cos 2t với 0;

t   

 

Ta có:

2

4sin

2 2sin 4sin sin

2 2cos2 4cos cos

dx t dt

x t t t

x t t t

             

2 2

1 .sin .4sin 2sin cos

4cos cos cos cos

1 tan 1 sin

t t t

R t dt dt dt

t t t t



Chọn A

HÀM LƯỢNG GIÁC

Câu 67. Theo phương pháp đổi biến số với t cos ,x usinx, nguyên hàm I tanxcotx dx là:

A. lnt lnu C B. lnt lnu C C. lnt lnu C D. lnt lnu C

Hướng dẫn giải

Ta có: tan cot  sin cos

cos sin

x x

x x dx dx dx

x x

  

  

Xét 1 sin

cos

x

I dx

x

 Đặt t cosx dt sinxdx I1 1dt lnt C1

t

         

Xét 2 cos

sin

x

I dx

x

 Đặt u sinx du cosxdx I2 1du lnu C2

u

      

1 ln ln

I I I t u C

      

Chọn A

Câu 68. Biết F x  nguyên hàm hàm số f x sin cos3x x F 0  Tính F



     .

A. F 



     

  . B.

2

F

  C.

1

2

F  

  D.

1

2

F  

 

Hướng dẫn giải

Chọn D

Đặt tsinxd cos dt x x    d

F x  f x x sin cos d3x x x t t3d

4

4

t C

 

4

sin

x C

 

 0 F 

4

sin

4 C





   C  

4

sin

x

F x 

  

4

sin

2

F

 

 



 

 

1 

 

Câu 69. Tìm nguyên hàm

2

sin d

1 sin

x x x



 Kết

A. sin2

2

x C



 B. sin xC C.  sin 2xC. D. sin xC

Hướng dẫn giải

Chọn D

Đặt t 1 sin x

2 1 sin2 2 d sin d

t x t t x x

     

2

sin d d

1 sin

x t

x t

t x

 

 

2

2dt 2t C sin x C

A.   1sin 23 sin 25

6 10 15

F x  x x B.   1sin 23 sin 25

6 10 15

F x  x x

C.   1sin 23 sin 25

6 10 15

F x  x x D.   1sin 23 sin 25

6 10 15

F x  x x

Hướng dẫn giải

Chọn C

Đặt tsin 2x d 2.cos dt x x d cos2 d

2 t x x

 

Ta có:

  sin cos d2

F x  x x x 1 2d

2 t t t

    4d

2 t t t

  

6t 10t C

  

3

1sin 2 sin 2

6 x 10 x C

  

0

F   

3

1sin sin 0

6 10 C

 

   

15

C

  

Vậy   1sin 23 sin 25

6 10 15

F x  x x

Câu 71. Tìm họ nguyên hàm hàm số f x tan5 x. A.  d 1tan4 1tan2 ln cos

4

f x x x x x C



B.  d 1tan4 1tan2 ln cos

4

f x x x x x C



C.  d 1tan4 1tan2 ln cos

4

f x x x x x C



D.  d 1tan4 1tan2 ln cos

4

f x x x x x C



Hướng dẫn giải

ChọnD

 

5

5

sin

d tan d d

cos

x

I f x x x x x

x

  

   

2

5

1 os os sinx

sin sin sinx d d

cos cos

c x c x

x

x x

x x

 

 

Đặt tcosxdt sin dx x       

2 2 4

5

1 1 2

d d

t t t t

I t t

t t

   

   

5

1 dt

t t t

 

     

 

 t 2t dt 14t t lnt C t

   

 

      

 

 



4

4

1cos cos ln cos 1. 1 ln cos

4 x x x C cosx cosx x C

 

       

  2 

1 tan tan ln cos

4 x x x C

     

   

1 tan tan tan ln cos

4 x x x x C

      

4

1tan 1tan ln cos

4 x x x C

    

Câu 72. Theo phương pháp đổi biến số xt, nguyên hàm

3

2sin 2cos

1 sin

x x

I dx

x

 



 là:

A. 23tC. B. 63tC. C. 33 tC. D. 123tC

Hướng dẫn giải

Ta có:

 

 

3 3

2 sin cos 2sin 2cos

1 sin sin cos

x x

x x

I dx dx

x x x

 

 

 

 

Đặt tsinxcosxdtsinxcosx dx

1

3

3

2 2. 6

2

3

I dt t C t C

t

     

 

  

 



Chọn B

HÀM MŨ –LƠGARIT

Câu 73. Tìm họ ngun hàm hàm số   x3

f x x e 

A. 2 d ln

4

t t t t t t C

t

   

 

      

 

 

 B. f x dx3ex31C C.  d

3

x

f x x e  C

 

 D.  

3

d

x

x

f x x e  C



Hướng dẫn giải

ChọnC

Đặt 1 d d2

tx   t x x

Do đó, ta có  d 1d d1 1

3 3

x t t x

f x x x e  x e t e C e  C

     

   .

Vậy  d

3

x

f x x e  C



Câu 74. Tìm nguyên hàm d

1 x

x I

e

 



A. ln x

I x e C B. I xln 1ex C

C. ln x

I   x e C D. ln x

I x e C

Hướng dẫn giải

Chọn D

 

d d

1

x

x x x

x e x

I

e e e

 

 

 

Đặt x x

te dt e dx

 

d 1 ln ln 1 ln ln 1 ln 1

(1 )

1

x

x x x

x x

e x dt

I t t C e e C x e C

t t t t

e e

 

                

 

  

  

Câu 75. Cho F x  nguyên hàm hàm số  

2e 3x

f x 

 thỏa mãn F 0 10 Tìm F x 

C.   ln e 10 ln ln

3

x

F x  x     

 

  D.

  ln e 10 ln ln

3

x

F x  x     

 

 

Hướng dẫn giải

Chọn A

   

 

1 e

d d d

2e 2e e

x

x x x

F x  f x x x x

 

  

Đặt ex d e dx

t  t  x Suy

 

    

1 d 1ln 1ln e ln 2e 3

2 3 3 2e 3

x

x x

t

F x t C C x C

t t t

 

         

    



Vì F 0 10 nên 10 10 ln 5 10 ln

3 C C

     

Vậy   1 ln 2e 3  10 ln

3

x

F x  x   

Câu 76. Với phương pháp đổi biến số xt, nguyên hàm ln 2xdx x

 bằng:

A.

2t C B. t2C C. 2t2C D. 4t2C

Hướng dẫn giải

Đặt ln 2 1

2

t x dt dx dt dx

x x

    

2

ln

2

x

dx tdt t C

x

    

Chọn A

Câu 77. Hàm số nguyên hàm hàm số 2sinx cosxcos sin 

y x x ?

A. y2sin cosx xC. B. 2sin cos

ln

x x

y C. ln 2.2sin cosx x

y  D.

sin cos

2 ln

x x

y C



  

Hướng dẫn giải

Chọn B

Ta có: 2sinx cosxcos sin d

I  x x x 2sin cosx xcos sin d

x x x



 

Đặt: tsinxcosx dtcosxsin dx x

2 d

ln t t

I t C

   

sin cos

2 ln

x x

C 

 

sin cos

2 ln

x x

C

 

Vậy hàm số cho có nguyên hàm hàm số: 2sin cos ln

x x

y

Câu 78. Cho hàm số ( ) x ln

f x

x

 Hàm số không là nguyên hàm hàm số f x( )?

A. ( ) x

F x  C B. ( ) 2 x 1

F x   C

C. ( ) 2 x 1

Chọn A

Cách 1: Đặt t x 2dt dx x

  

2 ln

( ) ( ) x 2.ln 2t 2.2t 2.2 x

F x f x dx dx dt C C

x

       nên A sai

Ngoài ra:

+ D ( ) 2.2 x

F x  C

+ Bđúng ( ) 2.2 x 2.2 x

F x   C C

+ C ( ) 2.2 x 2.2 x

F x   C C

Cách 2: Ta thấy B, C, D khác số nên theo định nghĩa nguyên hàm chúng phải nguyên hàm hàm số Chỉ cịn A “ lẻ loi” nên chắn sai A sai thơi

Cách 3: Lấy phương án A, B, C, D đạo hàm tìm A sai

Câu 79. Nguyên hàm  

1 ln ln

x f x

x x

 

A. ln d ln ln

.ln

x

x x C

x x



 

 B. ln d ln ln.ln x x x2 x C

x x



 



C. ln d ln ln

.ln

x

x x x C

x x



  

 D. ln d ln ln.ln x x x x C

x x



 



Hướng dẫn giải

Chọn D

Ta có  d ln d

.ln

x

I f x x x

x x



 

Đặt xlnxt lnx1 d xdt Khi ta có ln d

.ln

x

I x

x x



 1dt

t

 lnt C

ln lnx x C

 

Câu 80.  1 x2 4x 3x cos2 

x e   e   x dx

 có dạng 6aex12 b2sin 2x C , a b, hai số hữu

tỉ Giá trị a b, bằng:

A. 3; B.1; C. 3; D. 6;

Hướng dẫn giải

Cách 1:

Theo đề, ta cần tìm  1 2x 1 cos 

x e   x dx

 Sau đó, ta xác định giá trị a

Ta có:

 

 1 x2 4x 3x cos 2   1 x2 4x  7 3x  cos 2  1 x12 cos 2

x e   e   x dx  x e      x dx  x e  dx x dx

 

   

Để tìm  1 x2 4x  3x cos

x e   e  x dx

    

 

 

 ta đặt I1 x 1ex12dx



  I2 cos 2x dx tìm I I1, 2

*Tìm I1x1ex12dx

Đặt tx1 ;2 dt2x1x1dx2x1dx

 12 1  12

1 x x

*Tìm I2 cos 2x dx

2 cos2 12sin 2

I  x dx x C

 

   12  12

1 1 1

1 cos sin sin

2 2

x x

x x x

x e   e   x dxI I  e  C  x C  e   x C



Suy để  1 x2 4x 3x cos2 

x e   e   x dx

 có dạng 6aex12 b2sin 2x C

3 ,

a  b 

Chọn A Cách 2:

Sử dụng phương pháp loại trừ cách thay giá trị a b, đáp án vào

 12 sin 2

6

x

a b

e   x C lấy đạo hàm chúng

Sai lầm thường gặp B.Đáp án B sai

Một số học sinh sai lầm chỗ không để ý đến thứ tự xếp b a, nên khoanh đáp án B

sai lầm

C. Đáp án C sai

Một số học sinh sai lầm chỗ: Tìm I2 cos 2x dx

2 cos sin 2

I  x dx xC

 

   12  12

1 1

1 cos2 sin sin

2

x x

x x x

x e   e  x dx I I e  C x C e  x C

           



Suy để  1 x2 4x 3x cos2 

x e   e   x dx

 có dạng 6aex12 b2sin 2x C

3 ,

a  b 

D. Đáp án D sai

Một số học sinh sai lầm chỗ:

Tìm  1  12

x

I  x e  dx

Đặt tx1 ;2 dt x1x1dxx1dx

   12  12

1 x t t x

I  x e  dxe dt e C e  C , C1 số

Học sinh tìm 2 sin2 2

2

I  x C nên ta được:

 

   12  12

1 1

1 cos2 sin sin

2

x x

x x x

x e   e   x dxI I e  C  x C e   x C



Suy để  1 x2 4x 3x cos2 

x e   e   x dx

 có dạng  

2

1 sin 2

6

x

a b

e   x C

6 ,

a  b 

Câu 81. Tìm

 

 

3

1 1

x x

e x x

I dx

x e x

  



  



?

A. ln x 1

Hướng dẫn giải

 

 

   

 

 

 

1 1

3 2

1 1 1 1

x x

x x

x x x

x e x e x

e x x e x

I dx dx dx dx

x e x x e x x e x

    

   

   

        

   

Đặt: 1 2 1

2

x x

x e x e x

t e x dt e x dx dx

x x



 

        

 

 

Vậy

 

   

2 1 ln ln . 1 1

1 1

x

x x

e x

I dx dx x dt x t C x e x C

t

x e x



            

  

  

Chọn A

Câu 82. Tìm nguyên hàm hàm số      

2

1

ln 2017

ln

x

x

x x

f x

e x e 

 



 



 

 

?

A. lnx21 1008ln ln  x21 1 

 

B. lnx21 2016ln ln  x21 1 

 

C. ln 1 2016ln ln  1 1

2 x    x   

D. ln 1 1008ln ln  1 1

2 x    x   

Hướng dẫn giải

Đặt  

  2

1

ln 2017

ln

x

x

x x

I dx

e x e 

 



  

 

 



+Ta có:

 

 

     

     

2

2

2 2

1

ln 2017

ln 2017 ln 2017

1 ln lne ln 1

ln

x

x

x x

x x x x x

I dx dx dx

x x x x

e x e 

   

     

  

            

 

 

  

+ Đặt:  2

2

2

ln 1

1

x

t x dt dx

x

    



       

2016 1 2016 1008ln C

2 2

1ln 1 1008ln ln 1 1 1ln 1 1008ln ln 1 1

2 2

t

I dt dt t t

t t

I x x C x x C

  

        

 

   

             

   

 

Chọn D

Câu 83. Tìm

 

 

2

2

2 2ln ln

ln

x x x x

G dx

x x x

  







?

A. 1

ln

G C

x x x



  

 B.

1

ln

G C

x x x

  



Ta có:

 

   

   

 

     

2

2 2

2

2 2 2

2

2 2

2

2 ln ln

2 2ln ln ln

ln ln

ln

1 1 1

ln ln ln

x x x x x x

x x x x x x x x

G dx dx dx

x x x x x x

x x x

x x x

G dx dx J J dx

x x x x x x x x x x x x

    

       

  

 



       

            

      

   

  

  

Xét nguyên hàm:

 2

1 ln

x

J dx

x x x

 





+ Đặt: t x lnx dt 1 x

x x



     

2

1 1

ln

J dt C C

t t x x

 

     





Do đó: 1

ln

G J C

x x x x

 

    



Chọn A

Câu 84. Hàm số sau nguyên hàm  

 

1

1 ln ln ln

n n n

x h x

x x x x

 

 ?

A. 1ln 1ln n lnn 2016

x x x

n n   B.

1ln 1ln n lnn 2016

x x x

n n  

C. 1ln 1ln n lnn 2016

x x x

n n

    D. 1ln x 1ln xn lnn x 2016

n n

   

Hướng dẫn giải

Ta có:

   

1

1 ln ln . 1 ln .

ln ln

.ln ln ln ln 1 n

n n n n n n

n

x x x

L dx dx dx

x x x x

x x x x x x x x

x x

  

  

  

 

 



 

 

  

Đặt: t lnx dt ln2 xdx

x x



  

   

1

1

n

n n n

dt t dt

L

t t t t



  

 

 

+ Đặt n 1 . n

ut  dun t dt

 

1 1 1 ln 1 ln 1.ln

1

ln

1.ln 1.ln 1.ln ln

ln

1 1 ln

n

n n n

n

n n n

n

du u

L du u u C C

n u u n u u n n u

x

t x x

L C C C

x

n t n n x x

x



 

             

   

      

 



 

PHƯƠNG PHÁP NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN

Cho hai hàm số u v liên tục đoạn a b;  có đạo hàm liên tục đoạn a b; 

Khi đó:u vd uvv ud  *

Để tính nguyên hàm  f x dx phần ta làm sau:

Bước Chọn u v, cho f x dxu vd (chú ý dvv x' dx)

Sau tính vdv duu'.dx

Bước Thay vào cơng thức  * tính v ud

Chú ý. Cần phải lựa chọn dv hợp lí cho ta dễ dàng tìm v tích phân v ud dễ tính

d

u v

 Ta thường gặp dạng sau

●Dạng 1.   sin d

cos

x

I P x x

x

 

  

 

 , P x  đa thức.u

Với dạng này, ta đặt

 

sin

d d

cos

u P x

x

v x

x

  

  



  

 



●Dạng   ax bd

I P x e  x, trong P x  đa thức

Với dạng này, ta đặt  

d ax bd

u P x v e  x

   

  

●Dạng I P x  ln mxndx, P x  đa thức

Với dạng này, ta đặt  

 

ln

d d

u mx n

v P x x

 

  

  

●Dạng 4. sin d

cos x

x

I e x

x

 

  

 

 .

Với dạng này, ta đặt

sin cos

d xd

x u

x

v e x

  



  

  

  

BÀI TẬP

DẠNG

Câu Tìm xsin 2xdx ta thu kết sau đây?

A. xsinxcosx C B. sin 1cos

4x x2 x C

C. xsinxcosx D. sin 1cos

4x x2 x

C. F x  xcosxsinx C D. F x xcosxsinx C

Câu Biết xcos dx xaxsin 2xbcos 2x C với a, b số hữu tỉ Tính tích ab? A

8

ab B

4

ab C

8

ab  D

4

ab 

Câu Cho biết  

3

F x x x

x

   nguyên hàm    

2

2

x a

f x

x



 Tìm nguyên hàm

của g x xcosax

A. xsinxcosx C B. sin 1cos

2x x4 x C

C. xsinxcosx C D. sin 1cos2

2x x4 x C

Câu Nguyên hàm I  xsin2xdx

 là:

A 1 2 sin 2 cos 2 

8 x x x x C B.  

1cos2 sin 2

8 x4 x x x C

C. cos2 sin 2

4 x x x x C

 

  

 

  D.Đáp án A C

Câu Tìm nguyên hàm I x1 sin d x x

A 1 cos 2 sin

2

x x x

I    C B 2 cos sin 2

2

x x x

I    C

C 1 cos 2 sin

4

x x x

I    C D 2 cos sin 2

4

x x x

I    C

Câu Tìm nguyên hàm sin x xd

A sin d cos

2

x x x C

x

 

 B. sin x xd  cos xC

C sin x xd cos xC D. sin x xd  2 xcos x2sin xC

Câu Nguyên hàm I  xsin cosx 2xdx

 là:

A 3

1 cos 13 , sin

I  x x t  t C t x B. 1 cos3 , sin

3

I  x x t  t C t  x

C. 3

1 cos 13 , sin

I x x t  t C t x D. 1 cos3 , sin

3

I x x t  t C t  x

Câu Một nguyên hàm   2

cos

x f x

x

 :

A. xtanxln cos x B. xtanxln cos x 

C. xtanxln cos x D. xtanxln sinx

Câu 10 Một nguyên hàm   2

sin

x f x

x

 :

A. xcotxln sinx B. xcotxln sin x

Câu 11 Cho   2

cos

x f x

x

 ;

2

 

 



 

  F x  nguyên hàm xf x thỏa mãn

 0

F  Biết ;

2

a    

  thỏa mãn tana3 Tính  

2

10

F a  a  a A ln10

2

 B ln10

4

 C. ln10

2 D ln10

DẠNG

Câu 12 Họ nguyên hàm x1 

e x dx

 là:

A. x x

I e xe C B.

2

x x

I e  xe C

C.

2

x x

I  e xe C D. x x

I  e xe C

Câu 13 Biết 2xd 2x 2x ,  

xe xaxe be C a b

  Tính tích ab

A

4

ab  B

4

ab C

8

ab  D

8

ab

Câu 14 Cho biết e d2x

x x

 1 e4 2xax b C, a b,  C số Mệnh đề

nào

A. a2b0 B. ba C. ab D. 2a b 0

Câu 15 Biết     x

F x  ax b e lànguyênhàmcủahàmsố y2x3ex.Khiđó a b

A. B.3 C.4 D.5

Câu 16 Biết   2xd 2x2 

x e x e x n C

m

 

    

 , với m n,  Tính S m2n2

A. S 10 B. S5 C. S65 D. S 41

Câu 17 Tìm nguyên hàm 2 1 xd

I x e x

 

A. 2 1 x

I   x e C B. I  2 1x exC C. 2 3 x

I   x e C D. I  2x3exC

Câu 18 Cho F x( )là nguyên hàm hàm số f x   ex  x F 0 3 TínhF 1 A. F 1 11e 3  B. F 1 e 3  C. F 1 e 7  D. F 1 e 2 

Câu 19 Cho hàm số f x   3x ex Nếu F x   mxn e x m n,  nguyên hàm

 

f x hiệu

mn

A. B. C. 1. D.

Câu 20 Cho F x  nguyên hàm hàm số f x e3x F 0 2 Hãy tính F 1

A. 15 e

 B. 10

e

 C. 15

e  D.

10 e

DẠNG

Câu 21 Kết lnxdx là:

A. xlnx x C B.Đáp án khác

A ln

x

xxdx C B

2 1

ln

2

x

x xdx C

C. 2ln

2

x x xdx C D. x2lnxxdx C

Câu 23 Tìm nguyên hàm hàm số f x xlnx2

A.    

2 4

d ln

2

x x x

f x x x   C



B.    

2 4 4

d ln

2

x x x

f x x  x   C



C.    

2 4

d ln

2

x x x

f x x x   C



D.    

2 4 4

d ln

2

x x x

f x x  x   C



Câu 24 Hàm số sau nguyên hàm  

 2

ln

x g x

x



 ?

A. ln ln ln 1999

1

x x x

x x

 

 

  B.

ln ln 1998

1

x x

x x



 

 

C. ln ln 2016

1

x x

x  x  D.

ln ln 2017

1

x x

x  x 

Câu 25 Họ nguyên hàm ln cos 2  sin

x

I dx

x

 là:

A. cot ln cosx  x x C B. cot ln cosx  x x C

C. cot ln cosx  x x C D. cot ln cosx  x x C

Câu 26 Tìm nguyên hàm hàm số f x  xlnx

A.    

3

1

d 3ln

9

f x x x x C

 B.    

3

2

d 3ln

3

f x x x x C



C.    

3

2

d 3ln

9

f x x x x C

 D.    

3

2

d 3ln

9

f x x x x C



Câu 27 Giả sử F x  nguyên hàm f x  lnx2 3 x



 cho F 2 F 1 0 Giá trị

của F 1 F 2 A. 10ln 5ln

3 6 B. C. ln23 D.

2ln 2 3ln 5

3 6

Câu 28 Tìm nguyên hàm hàm số  

2

2

4 ln

4

x

f x x

x

  

  



 

?

A 2

2

4

ln

4

x

x x

x

  



 



  B

4

2

16 ln 2

4

x x

x x

     



   



   

C 2

2

4

ln

4

x

x x

x

  



 



 

D 2

2

16 ln 2

4

x x

x x

     



   



   

A.

  tan

cos sin cos

x

H x C

x x x x

  



B.

  tan

cos sin cos

x

H x C

x x x x

  



C.

  tan

cos sin cos

x

H x C

x x x x



  



D.

  tan

cos sin cos

x

H x C

x x x x



  



Câu 30 2 1 ln 

x x  x x dx

 có dạng  

3

2 1 2ln

3

a b

x   x x x C, a b, hai số

hữu tỉ Giá trị a bằng:

A. B. C. D.Không tồn

Câu 31 Cho ( ) 12

F x x

 nguyên hàm hàm số f x( )

x Tính

e

1

( )ln d

f x x x

 bằng:

A e 32 2

2e

I   B

2

2 e e

I   C

2

e e

I   D

2

3 e 2e

I  

Câu 32 Cho F x  alnx b

x

  nguyên hàm hàm số f x  ln2 x

x



 , a, b

Tính Sa b

A. S  2 B. S1 C. S2 D. S 0

Câu 33 Cho số thực a, b khác không Xét hàm số  

 13 e

x a

f x bx

x

 

 với x khác 1

Biết f 0  22  

1

0

d

f x x

 Tính a b ?

A. 19 B. C. D. 10

Câu 34 Cho a số thực dương Biết F x  nguyên hàm hàm số   e lnx  

f x ax

x

 

   

  thỏa mãn

1 0

F a

    

   

2018

2018 e

F  Mệnh đề sau

đúng?

A. ;1

2018

a 

  B.

1 0;

2018

a  

  C. a1;2018 D. a2018;

DẠNG 4:

Câu 35 Phát biểu sau đúng?

A. e sin dx e cosx e cos d x

x x x x x

  B. e sin dx x x e cosx xe cos d x x x

C. e sin dx e cosx e cos d x

x x x x x

  D. e sin dx x x e cosx xe cos d x x x

Câu 36 Tìm J ex.sinxdx?

A. cos sin 

2 x

e

J  x x C B. sin cos 

2 x

e

J  x x C C. sin cos 

x

e

J  x x C D. sin cos 1

x

e

HƯỚNG DẪN GIẢI DẠNG

Câu Tìm xsin 2xdx ta thu kết sau đây?

A. xsinxcosx C B. sin 1cos

4x x2 x C

C. xsinxcosx D 1 sin 1cos

4x x2 x

Hướng dẫn giải

Ta có: I xsin 2xdx

Đặt: 1

sin cos

2

du dx u x

dv xdx v x

  

 



 

  

 



Khi đó: cos2 cos cos 1sin

2 2

I uvvdu  x x  xdx  x x x C

Chọn B

Câu Nguyên hàm hàm số f x xsinx là:

A. F x  xcosxsinx C B. F x xcosxsinx C

C. F x  xcosxsinx C D. F x xcosxsinx C

Hướng dẫn giải

Chọn C

Ta có: I  f x dxxsin dx x Đặt

d sin d

u x

v x x

  

 

Ta có d d

cos

u x

v x

  

  

 d sin d cos cos d cos sin

I  f x xx x x x x x x x x x C

Câu Biết xcos dx xaxsin 2xbcos 2x C với a, b số hữu tỉ Tính tích ab? A

8

ab B

4

ab C

8

ab  D

4

ab 

Hướng dẫn giải

Chọn A

Đặt d 1d

d cos d sin

2

u x

u x

v x x v x

  

 



 

 

 



Khi cos2 d sin sin d

2

x x x x x x x

  12xsin 2x14cos 2x C

1

a

  ,

4

b

Vậy

8

ab

Câu Cho biết  

3

F x x x

x

   nguyên hàm    

2

2

x a

f x

x



A. xsinxcosx C B. sin 1cos 2x x4 x C

C. xsinxcosx C D 1 sin 1cos2

2x x4 x C

Hướng dẫn giải

Chọn C

Ta có    

2 2

2

1

2 x a

F x x

x x



     Suy a1

Khi g x dxxcos dx xxd sinxx.sinxsin dx xx.sinxcosx C

Câu Nguyên hàm sin2

I x xdx là:

A 1 2 sin 2 cos 2 

8 x x x x C B  

1cos2 sin 2

8 x4 x x x C

C. cos2 sin 2

4 x x x x C

 

  

 

  D.Đáp án A C

Hướng dẫn giải

Ta biến đổi:

1

2

1

1 cos 1 1

sin cos cos

2 2

I x

I  x xdx x  dx xdx x xdx x  x xdx C

 

    

1 cos

I x xdx.

Đặt 1

cos sin

2

du dx u x

dv x v x

  

 



 

 

 



1 cos2 12 sin 12 sin 12 sin 14cos2

I x xdx x x xdx x x x C

       

 

 

2

2

1 1cos2 sin 2 2 2 sin 2 cos 2

4

1cos 2 sin 2

8

I x x x x C x x x x C

x x x x C

 

         

 

    

Chọn C

Câu Tìm nguyên hàm I x1 sin d x x

A I 1 cos 2 x 2 xsin 2xC B 2 cos sin 2

2

x x x

I    C

C I 1 cos 2 x 4 xsin 2xC D 2 cos sin 2

4

x x x

I    C

Hướng dẫn giải

Chọn D

Đặt d d1

d sin d cos

2

u x

u x

v x x v x

   

 



 

  

 



Khi

 sin d 1 cos2 cos d 1 cos2 1sin

2 2

A. sin d cos

x x x C

x

 

 B. sin x xd  cos xC

C. sin x xd cos xC D. sin x xd  2 xcos x2sin xC

Hướng dẫn giải

Chọn D

Đặt t x, ta có sin x xd 2 sin dt t t

Đặt

d sin d

u t

v t t

  



 ta có

d 2d

cos

u t

v t

  

  

2 sin dt t t 2 cost t 2cos dt t 2 cost t2sintC 2 xcos x2sin xC

 

Câu Nguyên hàm I  xsin cosx 2xdx

 là:

A 3

1 cos 13 , sin

I  x x t  t C t x B 1 cos3 , sin

3

I  x x t  t C t  x

C. 3

1 cos 13 , sin

I x x t  t C t x D. 1 cos3 , sin

3

I x x t  t C t  x

Hướng dẫn giải

Ta đặt:

2

sin cos cos

u x du dx

du x x u xdx

 

 



 

  

 

1

2 3

1

sin cos cos cos

I

I x x xdx x x xdx C

     



Xét  

1 cos cos sin

I  xdx x  x dx

Đặt tsinxdtcosxdx  2

1 13

I t dt t t C

     

3 3

1

cos cos

3

I x x I x x t t C

        

Chọn A

Câu Một nguyên hàm   2

cos

x f x

x

 :

A. xtanxln cos x B. xtanxln cos x 

C. xtanxln cos x D. xtanxln sinx

Hướng dẫn giải

Ta có: 2

cos

x

I dx

x



Đặt:

2

1 tan

cos

u x

du dx

v x

dv dx

x

 

  



 



 

 

Khi đó: I uvvduxtanxtanxdxxtanxln cosx C

Chọn C

Câu 10 Một nguyên hàm   2

sin

x f x

x

 :

C. xtanxln cos x D. xtanxln sinx

Hướng dẫn giải

Ta có: 2

sin

x

I dx

x



Đặt:

2

1 cot

sin

u x

du dx

v x

dv dx

x

 

  



 

 

 

 

Khi đó: I uvvdu xcotxcotxdx xcotxln sinx C

Chọn B

Câu 11 Cho   2

cos

x f x

x

 ;

2

 

 



 

  F x  nguyên hàm xf  x

 thỏa mãn

 0

F  Biết ;

2

a    

  thỏa mãn tana3 Tính  

2

10

F a  a  a A ln10

2

 B. ln10

4

 C. ln10

2 D. ln10

Hướng dẫn giải

Chọn C

Ta có: F x xf x dxx f xd   xf x  f x dx

Ta lại có:  d 2 d

cos

x

f x x x

x



  = d tanx  xxtanxtan dx x tan sin d

cos

x

x x x

x

 

 

1

tan d cos

cos

x x x

x

  xtanxln cosx C F x xf x xtanxln cosx C

Lại có: F 0 0 C 0, đó: F x xf x xtanxln cosx

    tan ln cos

F a af a a a a

   

Khi   2

cos

a f a

a

 a1 tan 2a10a 12 tan2

cos a  a 10

2

cos

10

a

 

1 cos

10

a

 

Vậy F a 10a23a 10 ln 10

10

a a a a

     ln10

2



DẠNG

Câu 12 Họ nguyên hàm x1 

e x dx

 là:

A. x x

I e xe C B.

2

x x

I e  xe C

C.

2

x x

I  e xe C D. x x

I  e xe C

Hướng dẫn giải

Ta có:

 

1

1

1

x x x x x

I I e x dxe dxe xdxe C xe dx



Xét 1 x

I e xdx

1 x x 12 x

I xe xe dx I xe C

     

1

x x

I e xe C

   

Chọn B

Câu 13 Biết 2xd 2x 2x ,  

xe xaxe be C a b

  Tính tích ab

A

4

ab  B

4

ab C

8

ab  D

8

ab

Hướng dẫn giải

Chọn C

Đặt 2 d 1d2

d d

2 x x

u x

u x

v e

v e x

  

 



 

 

 

Suy ra: d 2 d

2

x x x

xe x xe  e x

  12 2x 14 2x

xe e C

  

Vậy: 1; 1

2

a b  ab 

Câu 14 Cho biết e d2x

x x

 e2  

4

x

ax b C

   , a b,  C số Mệnh đề

nào

A. a2b0 B. ba C. ab D. 2a b 0

Hướng dẫn giải

Chọn A

Đặt uxdudx,

2

2 e

d e d

2 x x

v x v

Ta có e d2x

x x



2

e e d

2

x x

x

x

 

2

e e

2

x x

x

C

    

2

e

x

x C

   Suy a2, b 1

Câu 15 Biết     x

F x  ax b e nguyênhàmcủahàmsố y2x3ex.Khiđó a b

A. B.3 C.4 D.

Hướng dẫn giải

Tacó: 2x+3 d x ax+b x

e x e

 , nghĩalà:

ax+b x ' 2x+3 x

e e

  

 

   

x x ax = 2x+3 x

a e e b e

  

ax  = 2x+3

x x

e a b e

  

Đồngnhấthệsốtađược:a=2vàb=1 Vậy a b 3

Chọn B

Câu 16 Biết   2xd 2x2 

x e x e x n C

m

 

    

 , với m n,  Tính S m2n2

A. S 10 B. S5 C. S 65 D. S 41

Hướng dẫn giải

Chọn C

Đặt d d

u x

u x  

Khi   d  3 d

2

x x x

x e x  e x  e x

   21.e2xx341e2xC

   

2

1 2 6 1 2 7

4

x x

e x C e x C

         m4;n7

2 65.

S m n 

Câu 17 Tìm nguyên hàm 2 1 xd

I  x e x

A. 2 1 x

I   x e C B. I  2 1x exC C. 2 3 x

I   x e C D. I  2x3exC

Hướng dẫn giải

Chọn A

Đặt d 2d

d

x x

u x u x

dv e x v e

  

 



 

  

 

Ta có 2 1 x dx 2 1 x x 2 1 x

I   x e  e x  x e  e C   x e C

Câu 18 Cho F x( )là nguyên hàm hàm số f x   ex  x F 0 3 TínhF 1 A. F 1 11e 3  B. F 1 e 3  C. F 1 e 7  D. F 1 e 2 

Hướng dẫn giải

Chọn C

Ta có   5 e d x

F x  x x

Đặt

d e dx

u x

v x

 

 

 

d 5d

ex

u x

v

   





  5 e x 5e dx

F x  x  x 5 e 5ex  x xC 5x4 e xC

Mặt khác F 0 3   4 C3C7

  5 e 7 x

F x x

   

Vậy F 1 e 7 

Câu 19 Cho hàm số   2 3 x

f x  x e Nếu F x   mxn e x m n,  nguyên hàm

  f x

hiệu mn

A. B. C. 1. D.

Hướng dẫn giải:

Chọn A

Tính 2 d x

x e x



Đặt d 2d ; d xd x

u x  u x ve x v e Suy ra:

2 d x 2 3 x xd

x e x x e  e x C

  2 3x ex2exC 2x5exC

Suy ra: m2; n 5 Vậy m n 7

Câu 20 Cho F x  nguyên hàm hàm số   e3x

f x  F 0 2 Hãy tính F 1

A. 15 e

 B. 10

e

 C. 15

e  D.

10 e

Hướng dẫn giải

Đặt x  t xt3 d 3 d2

x t t

  I e d3x x3 e d tt t2

Đặt 2 d d

e

e d dt t

t t u t u

v t v



  





 

 

 

  

2

3 et e dt

I t t t

    3ett26 e d tt t Tính e dt

t t



Đặt d d

e dt d et

t u t u

t v v

 

 



 

 

 

e dt et e dt e et t

t t t t t

    

Vậy 3et 6 e t et

I t t C

       3e3x3 e 3x3 e3x

F x x x C

    

Theo giả thiết ta có F 0 2C 4   3e3x3 e 3x3 e3x

F x x x

    

 1 15

e

F

   

DẠNG

Câu 21 Kết lnxdx là:

A. xlnx x C B.Đáp án khác

C. xlnx C D. xlnx x C

Hướng dẫn giải

Ta có: I lnxdx

Đặt: ln

dx

u x du

x

dv dx

v x



 

 



 



  



Khi đó: I uvvduxlnxdx xlnx x C

Chọn D

Câu 22 Nguyên hàm I xlnxdx với:

A ln

x

xxdx C B

2 1

ln

2

x

x xdx C

C. 2ln

2

x x xdx C D. x2lnxxdx C

Hướng dẫn giải

Ta đặt:

2

1 ln

2

du dx

u x x

dv xdx x

v

   

 



 



  

 

2 1

ln ln

2

x

I x xdx x xdx

   

Chọn B

Câu 23 Tìm nguyên hàm hàm số f x xlnx2

A.    

2 4

d ln

2

x x x

f x x x   C



B.    

2 4 4

d ln

2

x x x

f x x  x   C

C.    

2 4

d ln

2

x x x

f x x x   C



D.    

2 4 4

d ln

2

x x x

f x x  x   C



Hướng dẫn giải

Chọn B

Đặt   2

d d

ln 2

d d

2

x u

u x x

x v x x

v

  

 



  



 

 

  

 

suy      

2 1

d ln d ln d

2 2

x x

f x x x x x x x

x

    



  

   

2 1 4 4 4

ln 2 d ln

2 2 2

x x x x

x x x x C

x

 

 

          



 



Câu 24 Hàm số sau nguyên hàm  

 2

ln

x g x

x



 ?

A. ln ln ln 1999

1

x x x

x x

 

 

  B.

ln ln 1998

1

x x

x x



 

 

C. ln ln 2016

1

x x

x  x  D.

ln ln 2017

1

x x

x  x 

Hướng dẫn giải

Đặt

 2

1 ln

1

1

1

u x du dx

x

dv dx

v x

x

 

 



 



  



   

  

 

 

ln ln 1 lnx

1 1 1

ln ln ln 1 ln ln

1 1

x x dx

S dx dx dx

x x x x x x x x x

x x x

S x x C C

x x x

    

           

       

 

        

  

   

Chọn A

Câu 25 Họ nguyên hàm ln cos 2  sin

x

I dx

x

 là:

A. cot ln cosx  x x C B. cot ln cosx  x x C

C. cot ln cosx  x x C D. cot ln cosx  x x C

Hướng dẫn giải

Ta đặt:

 

2

ln cos tan

cot sin

u x

du xdx

dx

v x

dv

x

 

   



 

 

 

 

   

cot ln cos cot ln cos

I x x dx x x x C

       

Chọn B

A.    

3

1

d 3ln

9

f x x x x C

 B.    

3

2

d 3ln

3

f x x x x C



C.    

3

2

d 3ln

9

f x x x x C

 D.    

3

2

d 3ln

9

f x x x x C



Hướng dẫn giải

Chọn A

 d ln d

I  f x x x x x

Đặt: d d d d

2

t x t x t t x

x

    

2 2

2 ln d ln d

I t t t t t t

    

Đặt: 2 3

1

d d

ln

d d

3

u t

u t t

v t t t

v

   

 



 



  

 

 

3 3

1 1

2 ln d ln 3ln

3 3 9

I  t t t t  t t t C t t C

          

    

 

3

2 3ln 1

9x x C

  

 

3

1 3ln 2

9x x C

  

Câu 27 Giả sử F x  nguyên hàm f x  lnx2 3 x



 cho F 2 F 1 0 Giá trị

của F 1 F 2 A. 10ln 5ln

3 6 B. C. ln23 D.

2ln 2 3ln 5

3 6

Hướng dẫn giải

Chọn A

Cách1: Ta có hàm số f x  liên tục khoảng 3;0 0;

Tính lnx2 3dx x





Đặt  

2

1

ln d d

3

d 1 1 3

d

3

u x u x

x x

x v

v x

x x



 

  

  



 

 

      

 



(Chọn

3

C  )

Suy ra:   ln 2 3d 3ln 3 d

3

x x

F x x x x

x x x

 

     3ln 3 1ln

3

x

x x C

x



    

Xét khoảng 3;0, ta có:  2 1ln 1

F   C ;  1 2ln 1

3

F   C

Xét khoảng 0;, ta có:

 1 43ln 83ln 2

F   C   C ;  2 5ln 1ln 2

6

F    C

Do đó:    

2

1 ln ln5 ln

3

F  F  C      C 

   

2ln 2 5ln 5 1ln 2 7ln 2 10ln 2 5ln 5

3 3

     

Cách2: (Tận dụng máy tính)

Xét khoảng 3;0, ta có:

       

1

2

2

ln

1 d x d 0,231

F F f x x x A

x

 

 



        (lưu vào A) 1

Xét khoảng 0;, ta có:

       

2

2

1

ln

2 d x d 0,738

F F f x x x B

x



     (lưu vào A) 2

Lấy  1 cộng  2 theo vế ta được:

 1  2  2  1  1  2 0,969

F  F F  F  A B F  F A B 

So phương án ta

Chọn A

Câu 28 Tìm nguyên hàm hàm số  

2

2

4 ln

4

x

f x x

x

  

  



 

?

A 2

2

4

ln

4

x

x x

x

  



 



 

B 2

2

16 ln 2

4

x x

x x

     



   



   

C 2

2

4

ln

4

x

x x

x

  



 



 

D 2

2

16 ln 2

4

x x

x x

     



   



   

Hướng dẫn giải

Đặt:

2

4

4

3

16

ln 16

4

16

4

x

x du

u x

x

x x

v dv x dx



     



    

 

   



    



 

2 4

4

2 2

4 16 16

ln ln ln

4 4 4

x x x x x

x dx xdx x C

x x x

              

           

  

         

 

Chọn B Câu 29 Tìm

 

2

2

sin cos

x dx H

x x x





 ?

A.

  tan

cos sin cos

x

H x C

x x x x

  



B.

  tan

cos sin cos

x

H x C

x x x x

  



C.

  tan

cos sin cos

x

H x C

x x x x



  



D.

  tan

cos sin cos

x

H x C

x x x x



  



Ta có:

   

2

2

cos .

cos

sin cos sin cos

x x x x

H dx dx

x

x x x x x x

 

 

 

Đặt

 

 

 

2

2

sin cos

cos cos

sin cos

cos 1

sin cos sin cos sin cos

x x x x

u du dx

x x

d x x x

x x

dv dx v

x x x x x x x x x

  

 

 

 



  

     



    



 

2

1

tan

cos x sin cos cos cos sin cos

x x

H dx x C

x x x x x x x x



      

  

Chọn C

Câu 30 2x x2 1 xlnx dx

 có dạng  

3

2 1 2ln

3

a b

x   x x x C, a b, hai số

hữu tỉ Giá trị a bằng:

A. B. C. D. Không tồn

Hướng dẫn giải

Cách 1:

Theo đề, ta cần tìm 2x x2 1 xlnx dx

 Sau đó, ta xác định giá trị a

Ta có:

2x x2 1 xlnx dx  2x x21dx xlnx dx

  

Để tìm 2x x2 1 xlnx dx

 ta đặt I12x x21dx I2 xlnx dx tìm I I1,

*

1

I  x x  dx

Dùng phương pháp đổi biến

Đặt 1, 1

t x  t ta t2 x21, xdxtdt

Suy ra:

 3

2

1 2 23 23 1

I  x x  dx t dt t C  x  C , C1 số

*I2 xlnx dx

Dùng phương pháp nguyên hàm phần Đặt

2

1 ln

1

du dx

u x x

dv xdx

v x

   

 



 



  

 

, ta được:

2

2 2 2

2

ln

1 ln 1 ln 1 ln

2 2 2

I x x dx udv uv vdu

x x x dx x x xdx x x x C

x

   

       

  

 

   

 

3

2 2

1 2

3

2 2

2 1

2 ln ln

3

2 1 ln

3

x x x x dx I I x C x x x C

x x x x C

         

    



Suy để 2 1 ln 

x x  x x dx

 có dạng  

3

2 1 2ln

3

a b

x   x x x C

Cách 2:Dùng phương pháp loại trừ

Ta thay giá trị a đáp án vào  

3

2 1 2ln

3

a b

x   x x x C Sau đó, với a

của đáp án ta lấy đạo hàm  13 2ln

3

a b

x   x x x C

Khơng khuyến khích cách việc tìm đạo hàm hàm hợp phức tạp có đáp án nên việc tìm đạo hàm trở nên khó khăn

Sai lầm thường gặp: A. Đáp án A sai

Một số học sinh không đọc kĩ đề nên tìm giá trị b Học sinh khoanh đáp án A

sai lầm

C. Đáp án C sai

Một số học sinh sai lầm sau:

*

1

I  x x  dx

Dùng phương pháp đổi biến

Đặt 1, 1

t x  t ta t2 x21,tdt2xdx

Suy ra:

 3

2

1 13 13 1

I  x x  dxt dt t C  x  C , C1 số

Học sinh tìm 2

2 12 ln 14

I  x x x C theo phân tích

   

 

3

2 2

1 2

3

2 2

1 1

2 ln ln

3

1 1 ln

3

x x x x dx I I x C x x x C

x x x x C

         

    



Suy để 2 1 ln 

x x  x x dx

 có dạng  

3

2 1 2ln

3

a b

x   x x x C a1,b3

Thế là, học sinh khoanh đáp án C sai lầm

D. Đáp án D sai

Một số học sinh sai lầm sau:

*

1

I  x x  dx

Dùng phương pháp đổi biến

Đặt t x2 1,t1 ta 2 1, 2

t x  tdt xdx

Suy ra:

 3

2

1 13 13 1

I  x x  dxt dt t C  x  C , C1 số

Học sinh tìm 2

2 12 ln 14

I  x x x C theo phân tích

   

 

3

2 2

1 2

3

2 2

1 1

2 ln ln

3

1 1 ln

3

x x x x dx I I x C x x x C

x x x x C

         

    



Suy để 2x x2 1 xlnx dx

 có dạng  

3

2 1 2ln

3

a b

x   x x x C

Thế là, học sinh khoanh đáp án D sai lầm tính sai giá trị b Câu 31 Cho ( ) 12

2

F x x

 nguyên hàm hàm số f x( )

x Tính

e

1

( )ln d

f x x x

 bằng:

A e 32 2

2e

I   B

2

2 e e

I   C

2

e e

I   D

2

3 e 2e

I  

Hướng dẫn giải

Chọn A

Do ( ) 12

2

F x x

 nguyên hàm hàm số f x( )

x nên

( )

2 f x x x      

   

1

f x x

  

Tính e

1

( )ln d

I  f x x x Đặt

   

1

ln d d

d d

x u x u

x f x x v

f x v

               

Khi      

e e

1

.ln f x d

I f x x x

x      e e 2 1

1 .ln

2 x x x    2 e 2e  

Câu 32 Cho F x  alnx b

x

  nguyên hàm hàm số f x  ln2 x

x



 , a, b

Tính S a b

A. S  2 B. S 1 C. S 2 D. S 0

Hướng dẫn giải

Chọn B

Ta có  

1 ln

d x d

I f x x x

x            Đặt ln d d

x u x v x        

1 d d x u x v x          

  2

1 1 ln d

I x x

x x

    11 lnx C

x x

     ln 2 x  C

x

    a 1;b2

Vậy S   a b

Câu 33 Cho số thực a, b khác không Xét hàm số  

 13 e

x a

f x bx

x

 

 với x khác 1

Biết f 0  22  

1

0

d

f x x

 Tính a b ?

A. 19 B. C. D. 10

Hướng dẫn giải

Chọn D

Ta có  

 4

3 e e

1

x x

a

f x b bx

x



   

 nên  0 22

f   a b    1

 

 

1

3

0

d e d

1

x a

f x x bx x

x                1 0

d e d

1

x x

a b x x aI bJ

x        Tính   d x I x  

  2

1

1

0 x

  

Tính

0

e dx

J x x Đặt d d

d e dx ex

u x u x

v x v

 

 



 

 

 

Khi  

0

1

e e d e e

0

x x x x

J  x  x   Suy

8a b  2

Từ  1  2 ta có

3 22

3 5

8

a b a

b

   

  

  



8

a b

   



 Vậy 10

a b 

Câu 34 Cho a số thực dương Biết F x  nguyên hàm hàm số   e lnx  

f x ax

x

 

   

  thỏa mãn

1 0

F a

    

   

2018

2018 e

F  Mệnh đề sau

đúng?

A. ;1

2018

a 

  B.

1 0;

2018

a  

  C. a1;2018 D. a2018;

Hướng dẫn giải

Chọn A

    e

e lnx d e lnx d xd

I ax x ax x x

x x

 

     

 

   (1)

Tính e lnx  d

ax x

 :

Đặt  

1

ln d d

d e dx e

x

u ax u x

x

v x

v



  

 



 



 

 



    e

e lnx d e lnx xd

ax x ax x

x

  

Thay vào (1), ta được:   e lnx  

F x  ax C

Với

  2018

1 0

2018 e

F a F

      

  

 

  

1

2018 2018

e ln1

e ln 2018 e

a C

a C



  



  





 

0

ln 2018

C a

   

 



 e

2018

a



Vậy ;1

2018

a 

 

DẠNG 4:

Câu 35 Phát biểu sau đúng?

A. e sin dx e cosx e cos d x

x x x x x

  B. e sin dx x x e cosx xe cos d x x x

C. e sin dx e cosx e cos d x

x x x x x

  D. e sin dx x x e cosx xe cos d x x x

Hướng dẫn giải

Chọn B

Đặt

e d sin d

x u

v x x

  

 

d cos

x

du e x

v x

 

    

e sin dx e cosx e cos d x

x x x x x

   

Câu 36 Tìm J ex.sinxdx?

A. cos sin 

2 x

e

J  x x C B. sin cos 

2 x

e

C. sin cos 

2 x

e

J  x x C D. sin cos 1

2 x

e

J  x x C

Hướng dẫn giải

Đặt: 1

1

sin dx cos

x x

u e du e dx

dv x v x

   



 

  

 

 

cos cos cos cos

x x x x

J e x e xdx e x T T e xdx

       

Tính x.cos

T e xdx:

   

sin sin sin

cos sin sin cos sin cos

2

x x x

x

x x x

T e x e xdx e x J

e

J e x e x J J e x x J x x C

    

           

TÍCH PHÂN A KIẾN THỨC CƠ BẢN

1.Định nghĩa

Cho f hàm số liên tục đoạn [ ; ].a b Giả sử F nguyên hàm f [ ; ].a b Hiệu số

( ) ( )

F b F a gọi tích phân từ a đến b (hay tích phân xác định đoạn [ ; ]a b hàm số f x( ), kí hiệu b ( )

a

f x dx 

Ta dùng kí hiệu ( )b ( ) ( )

a

F x F b F a để hiệu số F b( )F a( ) Vậy

( ) ( ) ( ) ( )

b

b a a

f x dxF x F b F a



Nhận xét:Tích phân hàm số f từ a đến b kí hiệu ( )

b

a

f x dx

 hay ( )

b

a f t dt

 Tích phân

đó phụ thuộc vào f cận a, b mà không phụ thuộc vào cách ghi biến số

Ý nghĩa hình học tích phân: Nếu hàm số f liên tục không âm đoạn [ ; ]a b tích phân

( )

b

a

f x dx

 diện tích S hình thang cong giới hạn đồ thị hàm số y f x( ), trục Ox hai đường

thẳng xa x, b Vậy ( )

b

a

S  f x dx

2.Tính chất tích phân

1 a ( )

a

f x dx

 ( ) ( )

b a

a b

f x dx  f x dx

 

3 b ( ) c ( ) c ( )

a b a

f x dx f x dx f x dx

   (abc)4 ( ) ( ) ( )

b b

a a

k f x dx k f x dx k

  

5 b[ ( ) ( )] b ( ) b ( )

a a a

f x g x dx f x dx g x dx

  

B BÀI TẬP

ÁP DỤNG ĐỊNH NGHĨA, TÍNH CHẤT VÀ BẢNG NGUYÊN HÀM

Câu 1: Cho hàm số , liên tục số thực tùy ý Trong khẳng định sau, khẳng định sai?

A

B

C.

D

 

y f x yg x  a b;  k

 d  d

b a

a b

f x x  f x x

 

 d  d

b b

a a

xf x xx f x x

 

 d

a

a

kf x x



    d  d  d

b b b

a a a

f x g x x f x x g x x

 

 

A B

C D

Câu 3: Cho hai hàm số liên tục , Khẳng định sau khẳng định sai?

A B

C D

Câu 4: Cho hai số thực , tùy ý, nguyên hàm hàm số tập Mệnh đề đúng?

A B

C D

Câu 5: Cho hàm số liên tục đoạn Tìm mệnh đề đúng mệnh đề sau

A B

C D

Câu 6: Cho hàm số liên tục khoảng Mệnh đề sau sai?

A B

C D

Câu 7: Cho hàm số liên tục , nguyên hàm Chọn khẳng định sai khẳng định sau

A B

C D

    d  d  d

b b b

a a a

f x g x x f x x g x x

 

 

    d  d  d

b b c

a c a

f x x f x x f x x

  

 d  d

b a

a b

x

f x  f x x

   d  d

b b

a a

x

f x  f t t

 

 

f x g x  K a b, K

    d  d  d

b b b

a a a

f x g x x f x x g x x

 

 

    d  d

b b

a a

kf x xk f x x

 

   d  d  d

b b b

a a a

f x g x x f x x g x x

  

    d  d  d

b b b

a a a

f x g x x f x x g x x

 

 

  

a b F x  f x  

 d    

b

a

f x x f b  f a

  d    

b

a

f x xF b F a



 d    

b

a

f x xF a F b

  d    

b

a

f x xF b F a



 

f x a b;  ca b; 

 d  d  d

c b a

a c b

f x x f x x f x x

    d  d  d

b c b

a a c

f x x f x x f x x

  

 d  d  d

b c c

a a c

f x x f x x f x x

    d  d  d

b a b

a c c

f x x f x x f x x

  

 

y f x K a b c, , K

 d  d  d

b b c

a c a

f x x f x x f x x

    d  dt

b b

a a

f x x f t

 

 d  d

b a

a b

f x x  f x x

   d

a

a

f x x



 

f t K a b, K F t  f t  K

     d

b

a

F a F b  f t t  d  

b

b a a

f t tF t



 d  d

b

b  

 d  d

Câu 8: Cho hàm số liên tục đoạn Mệnh đề sai?

A

B

C. ,

D ,

Câu 9: Giả sử hàm số liên tục khoảng ba số khoảng Khẳng định sau sai?

A. B

C D

Câu 10: Cho hàm số liên tục đoạn Mệnh đề sai?

A B ,

C D

Câu 11: Cho nguyên hàm hàm số Khi hiệu số

A B C. D

Câu 12: Cho hàm số liên tục , có đồ thị hình vẽ sau:

Mệnh đề đúng?

A. diện tích hình thang B dộ dài đoạn

 

y f x a b; 

 d  d

b b

a a

f x x f t t

 

 d  d

b a

a b

f x x  f x x

 

 

d

b

a

k xk a b

  k 

 d  d  d

b c b

a a c

f x x f x x f x x

    c a b; 

f K a b c, , K

 

a

a

f x dx

    

b a

a b

f x dx  f x dx

 

      ,  ; 

c b b

a c a

f x dx f x dx f x dx c a b

      

b b

a a

f x dx f t dt

 

 

y f x a b; 

 d  d

b a

a b

f x x  f x x

   d  d  d

b c b

a a c

f x x f x x f x x

  

c

 

 d  d

b b

a a

f x x f t t

   d

a

a

f x x



 

F x f x  F 0 F 1

 

1

0

d

f x x

  

1

0

d

F x x



  

1

0

d

F x x



  

1

0

d

f x x





 

y f x a b;  y f x

 d

b

a

f x x

 ABMN  d

b

a

f x x

C. dộ dài đoạn D. dộ dài đoạn cong

Câu 13: Cho hai tích phân Giá trị tích phân là:

A B C D. Không thể xác

định

Câu 14: Cho tích phân Tích phân có giá trị là:

A B C D. Không thể xác

định

Câu 15: Tích phân phân tích thành:

A B

C. D.

Câu 16: Cho Tính tích phân

A B C D

Câu 17: Cho hàm có đạo hàm liên tục đồng thời , Tính

A B C D

Câu 18: Cho Khi

A B C D

Câu 19: Cho hàm số có đạo hàm liên tục đoạn , Tính

A B C D

Câu 20: Cho hàm số liên tục Tính tích phân

A B. C. D.

 d

b

a

f x x

 MN  d

b

a

f x x

 AB

 

a

a

f x dx m





  

a

a

g x dx n





    

a

a

f x g x dx





 

 



mn nm mn

 

1

b

a

I  f x dxm 2  

a

c

I  f x dxn  

b

c

I  f x dx

mn mn mn

 

b

a

f x dx 

   

b a

c c

f x  f x dx

     

b a

c c

f x  f x dx

 

   

b a

c c

f x  f x dx

     

b a

c c

f x f x dx

 

 

1

2

d

f x x 



  

1

2

2 d

I f x x



   

9

 3

 

f x 2;3 f  2 2 f  3 5  

3

2

d

f x x 

3

 10

 d

b

a f x x

 f b 5 f a 

12 2

 

f x a b;  f a  2 f b  4

 d

b

a

T  f x x

T   T 2 T 6 T  2

 

f x 0;1 f  1  f  0 2  

1

0

d

f x x



1

Câu 21: Cho hàm số y f x( ) thoả mãn điều kiện f(1) 12 , ( )f x liên tục 

1 f ( )dx x 17





 Khi f(4)

A. B. 29 C. 19 D.

Câu 22: Cho hàm số có đạo hàm liên tục đoạn thỏa mãn ;

Giá trị

A B C D.

Câu 23: Cho hàm số , với , số hữu tỉ thỏa điều kiện

Tính

A B C D

Câu 24: Tính tích phân

A. B. C. D.

Câu 25: Tính tích phân

A. B. C. C.

Câu 26: Tính

A B C D

Câu 27: Tính tích phân

A. B. C. D.

Câu 28: Cho hàm số Tính tích phân

A. B C. D.

Câu 29: Cho hàm số Tính tích phân

A B C D

 

f x 1;3 f  1 4 f  3 7

 

3

1

5 d

I f x x



 

20

I  I 3 I 10 I 15

  2

a b f x

x x

   a b  

1

1

d 3ln

f x x 



T a b

T   T 2 T  2 T 0

3

0

d

x I

x

 

 4581

5000

I  log5

2

I  ln5

2

I  21

100

I  

2018

2

1

dx I

x

 

2018.ln

I   I 22018 I 2018.ln I 2018

1

0

1 3 d

2

I x x

x

 

   



 



2 ln 3 ln3 ln3 ln 3

 

1 2018

1 d

I x x x

1

2018 2019

I   1

2020 2021

I   1

2019 2020

I   1

2017 2018

I  

 

2

3

4

x x

y f x

x x

  

  

  



 

2

0

d

f x x



2

5

3

 

2 khi 0 1

1

2

x

y f x x

x x



 



  

   



 

3

0

d

f x x



Câu 30: Cho hàm số Tính

A. B C. D.

Câu 31: Cho hàm số Hỏi có tất số

nguyên để ?

A . B C D

Câu 32: Biết Khẳng định sau đúng?

A B C D

Câu 33: Đặt ( tham số thực) Tìm để

A B C D

Câu 34: Cho , Khi bằng:

A B . C D

Câu 35: Giá trị để ?

A B C D

Câu 36: Có giá trị thực để có

A B C D. Vô số

Câu 37: Xác định số thực dương để tích phân có giá trị lớn

A B C D

Câu 38: Cho số thực thỏa mãn Giá trị biểu thức

A B C D

Câu 39: Tích phân có giá trị là:

A.I = B.I =2 C. I = 3 D. I = 4 Câu 40: Tích phân có giá trị là:

 

2

3

4

x x

y f x

x x

  

  

  



 

2

0

f x dx 

7

2

5

3

 

2

6

x x

y f x

a a x x

 



  

 

 

 

4

1

d

I f x x 



a I22 0

2

2 d

b

a

x x



b a  a2b2   a b b2a2   b a a b 1

 

2

1

2 d

I  mx x m m I 4

1

m  m 2 m1 m2

3

0

( )d

f x xa



3

2

( )d

f x xb 

2

0

( )d

f x x 

a b

  b a a b a b

b  

1

2 d

b

x x



0

b b3 b0 b1 b5 b0 b1 b5

AD  

0

2 d

a

x xa



1

m  2

0

d

m

xx x



m m2 m3 m4

a a 2  

2

2 d

a

x x

 1a3

0

2

1

2

I  x dx

 

1

3

I x x dx



Câu 41: Cho gá trị tích phân , Giá trị là:

A. B. C. D.

Câu 42: Tích phân có giá trị là:

A. B. C. D.

Câu 43: Tích phân có giá trị là:

A B. C. D.

Câu 44: Tích phân có giá trị là:

A. B. C. D.

Câu 45: Tích phân có giá trị là:

A. B. C. D.

Câu 46: Tích phân có giá trị là:

A. B. C. D.

Câu 47: Tích phân có giá trị là:

A. B. C. D.

Câu 48: Tích phân có giá trị là:

A. B. C. D.

Câu 49: Tích phân có giá trị là:

A. B. C. D.

  1

I x x dx a

      2

I x x dx b





    a

b

4 65

P  12

65

P 12

65

P 

65 P  

I x ax dx



  

7

a

I  

4

a

I  

4

a

I  

4

a I  

 

1

I  ax bx dx

2

a b I  

3

a b I  

2

a b I  

3

a b I  

2

1 a

I x dx

x          1 I a a

   

2

I a

a

   

2

I a

a

   

2 I a a     2

I x x dx 

 

3

I 

6

I 

2

I  

6

I  

1

3

1

I x x x dx



   

4

I 

2

I 

3

I  

2

I  

3 x x I dx x       

I   17

6

I 

6

I  17

6

I  

2 2 x x I dx x       2ln3

I   I  2ln3 I  3 2ln I  3 3ln

1

1

I ax dx

x           

15 ln 2

16

a

I    15 ln

16

a

I   15 ln

16

a

I   15 ln

16

Câu 50: Biết tích phân Giá trị là:

A. B C. D.

Câu 51: Cho tích phân Khẳng định khơng đúng?

A B

C D.Chỉ có A C

Câu 52: Số nghiệm nguyên âm phương trình: với là:

A. B.1 C.2 D.

Câu 53: Số nghiệm dương phương trình: , với , a và b là số hữu tỉ

là:

A. B.1 C.2 D.

Câu 54: Tìm tất giá trị thực tham số để có \

A B C D

Câu 55: Cho nguyên hàm hàm số tập thỏa mãn

Tính tổng

A B C D

Câu 56: Có giá trị nguyên dương thỏa mãn ?

A B C D

Câu 57: Cho hàm số Hàm số có đồ thị hình vẽ

1

0

2

I  xdxa  

2

2

a

I  x  x dx

2 173

I  2 19

3

I  2 16

3

I  2 13

3

I 

 1

b

a

I  x  dx

 1

b b b

a a a

I  x  dxx dxdx  b

a

I  x x

3

1

3

I  b  b a a

3 2 0

x ax 

3

1

1 e

a dx

x

 

3 2 0

x ax 

1

0

2

a xdx

k  

0

1

2 d 4lim

k

x x

x x

x



 

 



k k

    

1

k k

     

1

k k

      

1

k k

     

 

F x f x  1 x  1 x 

 1

F  F 0 F 2 F 3

8 12 14 10

n  

2

2

0

1 n d

n x x x nx  x

       



1

 

Biết diện tích hình phẳng giới hạn trục đồ thị hàm số đoạn

và Cho Giá trị biểu thức

A B C D

Câu 58: Cho Tìm điều kiện để

A B C D

Câu 59: Biết hàm số thỏa mãn ,

(với , , ) Tính giá trị biểu thức

A B. C. D.

TÍCH PHÂN HỮU TỈ

Câu 60: Biết với , số thực Mệnh đề đúng?

A B C D

Câu 61: Tích phân Giá trị a là:

A B C D

Câu 62: Cho Giá trị a + b là:

A. B. C. D.

Câu 63: Biết Gọi , giá trị thuộc khoảng sau đây?

A B C D

Câu 64: Tích phân có giá trị là:

A. B. C D

Ox y f x

2;1 1;4 12 f  1 3 f 2 f  4

21

 

2

2 d

I  x  x m x  

1

2 d

J  x  mx x m I J

3

m m2 m1 m0

 

f x ax bxc  

1

0

7 d

2

f x x 

  

2

0

d

f x x 



 

3

0

13 d

2

f x x

 a b c P  a b c

3

P 

3

P 

3

P

4

P

1

1

5 d ln

2

x

x a b

x



 



 a b

8 81

ab

24

a b 

8

ab

10

a b 

1

0

2 ln 2

1

ax

I dx

x

 



 ln ln

a 

ln 2 2ln

a 

ln ln

a 

ln 2 2ln

a 

 

1

2

1 ln 2 ln 3

3

I dx a b b

x x

   

 



1

1

1

 

2

0

d ln ,

1

x

x a b a b

x   

  S 2a b S

8;10 6;8 4;6 2;4

2

1

x

I x dx

x

 

   



 



10 ln2 ln3

I    10 ln2 ln3

3

I    10 ln2 ln3

3

I   

10 ln2 ln3

Câu 65: Nhận xét: Không thể dùng máy tính để tính kết mà ta dùng để kiểm

tra mà Tích phân có giá trị là:

A. B. C. D.

Câu 66: Tích phân có giá trị là:

A B C. D.

Câu 67: Tích phân ,với có giá trị là:

A B.

C D.

Câu 68: Tích phân có giá trị nhỏ số thực dương a có giá trị là:

A B. C. D

Câu 69: Tích phân có giá trị là:

A. B C. D.

Câu 70: Tích phân có giá trị là:

A. B. C. D.

Câu 71: Tích phân có giá trị là:

A. B. C. D.

Câu 72: Giá trị tích phân Biểu thức có giá trị là:

A B. C D

Câu 73: Giá trị tích phân Biểu thức có giá trị là:

2

1

I x dx

x

 

   

 



5

I 

2

I 

2

I  11

2

I 

1

0

2

ax

I ax dx

x

 

   



 

 ln

I  a I  2ln I 2ln I aln

1

a

a x

I dx

x a

 

   

 

 a0

2 1

ln

2

a I a a

a



 

2 1

ln

a I a a

a



 

2 1

ln

2

a I a a

a



 

2 1

ln

a I a a

a



 

3 2

2

2

a x x

I dx

ax

 

2

5

1

5

2

b

I ax dx

x

 

   

 



7 ln 2

3

I  a b I 3a b ln ln

3

I  a b I 3a b ln

1

1

b

I ax dx

x 

 

   



 



ln

I  b ln3

2

a

I  b ln3

2

a

I  b I bln3

2

2

1 e

e

x

I dx

x

 

2

1 1

I

e e

   I 1 12

e e

   I 1 12

e e

   I 1 12

e e

  

1

0

x

I dx a

x

 



 P2 1a

1 ln

P  P2 2ln 2 P 1 2ln P2 ln 2

2 2

1

e

e

x x

I dx a

x

   

   

 

 P a

C D

Câu 74: Biết , với Tính giá trị

A B C D

Câu 75: Tính tích phân:

A. B. C. D.

Câu 76: Tính tích phân

A B C. D

Câu 77: Biết với số nguyên Tính

A . B . C D

Câu 78: Biết Mệnh đề sau đúng?

A B C D

Câu 79: Giả sử Tính

A B. C. D.

Câu 80: Cho giá trị tích phân , Giá trị biểu

thức là:

A. B.

C. D.

Câu 81: Giá trị tích phân gần với gái trị sau đây?

A B C. D

Câu 82: Tích phân Giá trị a là:

2

1

2

P  e e  e

2

P e e  e

0

1

3 1d ln2

2

x x

I x a b

x 

 

  



 a b,  a2b

30 40 50 60

2

1

1d

x

I x

x

  ln

I   I 2ln I  1 ln

4

I 

1

d

x I

x

 

 1ln

6

I  1ln

6

I   ln2

6

I  I ln 26

4

dx ln 2 ln 3 ln 5,

I a b c

x x

   



 a b c, , S   a b c

6

S  S2 S 2 S 0

 

5

3 d ln ln ,

3 x a b a b Z

x  x   



2

a b 2a b 0 a b 0 a b 0

2

1 d ln ln 3; ,

4

x

x a b a b

x x



  

 

  Pab

8

P P 6 P 4 P 5

2,

a b 

2

1

2

x x

I dx a

x



 





2

2

e

e

I dx b

x

 

Pa b

7 ln2 ln3

P   ln2 ln3

2

P  

5 ln2 ln3

P   ln2 ln3

2

P  

0

2

3

2

x x

I dx

x x 

 



 



ln 2

 ln 1 ln4

2

ln3



2

1 2ln ln

3 5

ax

I dx

x x



  

 



Câu 83: Tích phân Giá trị a là:

A B C D

Câu 84: Biết , Tính giá trị biểu thức

A B C D

Câu 85: Biết , hai số nguyên dương phân số tối giản Tính ta kết

A B C D

Câu 86: Biết với , , Tính

A B C D

Câu 87: Giả sử Khi giá trị là:

A. 30. B.40. C.50. D. 60.

Câu 88: Biết Mệnh đề sau đúng?

A B

C D

Câu 89: Nếu giá trị

A. B. C. D.

Câu 90: Cho , với , , số hữu tỉ Tính

A B C D

Câu 91: Biết với , , Hỏi giá trị thuộc khoảng sau đây?

A B C D

Câu 92: Biết với số nguyên Tính

2

1 7ln

3

a

x

I dx

x x



 





1

a a2 a3 a4

  

1 d .ln 1 .ln 2

1

x

x a x b x C

x x



    

 

 a b,  a b

1

a b  a b 5 a b  1 a b  5

1

3 d 3ln

6

x a

x

x x b



 

 

 a b, a

b ab

5

ab  ab27 ab6 ab12

3 2

3 2 d ln 7 ln 3

1

x x

x a b c

x x

 

  

 

 a b c T  a 2b2 3c3

4

T  T 6 T 3 T 5

0

1

3 .ln2

2

x x

I dx a b

x 

 

  



 a2b

5

3 d ln 5 ln 2

3 x a b

x  x  

 a b, 

2

a b 2a b 0

0

a b  a b 0

3 2

2 d ln5 ln 3ln 2

2

x

x a b

x x



  

 

 a b,  P2a b

1

P P7 15

2

P  15

2

P

3

3 d ln ln ln

3

x

x m n p

x x



  

 

 m n p

2

S m  n p

6

S  S 4 S 3 S 5

2

0

d ln

1

x

x a b

x  

 a b b0 2a b

8;10 6;8 4;6 2;4

4

dx ln 2 ln 3 ln 5

I a b c

x x

   



Câu 93: Biết , với , số nguyên thuộc khoảng nghiệm phương trình sau đây?

A B C D.

Câu 94: Biết với , số nguyên Tính

A B C D

Câu 95: Biết , Giá trị biểu thức

bằng

A B C D

Câu 96: Tìm giá trị để

A B. C. D.

Câu 97: Cho với , số nguyên Mệnh đề ?

A B C D

Câu 98: Biết Tính

A B C D

Câu 99: Cho với , , số nguyên Mệnh đề đúng?

A B C D

Câu 100: Biết Tính

A B C D

Câu 101: Cho với , số nguyên Mệnh đề sau đúng?

A B C D

Câu 102: Biết tìm giá trị để

2

d 1

4

x

x  x  ab

 a b 7;3 a b

2

2x   x x24 12 0x  x25 0x  x2 9

5

3

1d ln

1

x x b

x a

x

 

 



 a b S a2b

2

S   S5 S2 S 10

  

3

0

d ln 2 ln 5 ln 7

2

x

a b c

x x   

 a b c, ,  2a3b c

5

a

  

4

3

1 d ln

1 x a

x x 



12

3

1

3

1

0

1 ln 2 ln 3

1 dx a b

x x

 

  

 

 

 

 a b

2

a b  a2b0 a b  2 a2b0

3 2

5 12 d ln ln ln

5

x

x a b c

x x



  

 

 S3a2b c

3 14 2 11

2

1 d ln 2 ln 3 ln 5

5 x a b c

x  x   

 a b c

4

a b c   a b c   3 a b c  2 a b c  6

     

2

3

1 d ln 1 2 3

6 11

m n p

x

x x x x C

x x x



    

  

 4mn p

5

3 2

8 d ln ln

2

x

x a b

x x



 

 

 a b

3

a b  a2b11 a b 5 a2b11

1

0

2 3d ln3

2

x x

x b

x a

 

 



 a b, 0 k

 1 2017

d lim

ab k x

x  

A B C D

TÍCH PHÂN HÀM VƠ TỈ Câu 103: Tính tích phân

A B C D.

Câu 104: Biết Giá trị là:

A. – 1 B.– 2 C.– 3 D. – 4

Câu 105: Tích phân

A. B C D

Câu 106: Cho , Tính

A B C D

Câu 107: Biết tích phân với , số thực Tính tổng

A B C D

Câu 108: Tích phân có giá trị là:

A B

C D

Câu 109: Tích phân có giá trị là:

A. B. C. D.

Câu 110: Biết Với , , số nguyên dương Tính

A B C D

0

k k0 k0 k

2

0

4 d

I  x x

13 13

3

4

 

1

0

1

6

a

I  x x dx b

4

a b

2

0

1

2

I dx

x





 1

2

I   I 2 2

2

I   I  2

1

0

d

3

2

x

a b a

x  x   

 a b, * a2b

2

a b a2b8 a2b 1 a2b5

1

0

3 d

9

3

x a b

x

x x

 

  

 a b T  a b

10

T   T  4 T 15 T 8

0

1

a

I x x dx

 5  3

2 4

5 15

a a

I         

5

2 4

5 15

a a

I     

 5  3

2 4

5 15

a a

I         

5

2 4

5 15

a a

I     

1

1 1

x

I dx

x 



 



4 2

I   2

3

I  

3

I  

3

I  

4

3

2 d

2

x x a b

I x

c

x x

  

 

 

 a b c a b c 

Câu 111: Biết với số nguyên dương Tính

A. B. C D

Câu 112: Biết với , , số nguyên dương Tính

A B C. D.

TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC Câu 113: Tính tích phân

A B. C D.

Câu 114: Tính tích phân

A. B. C. D.

Câu 115: Tích phân bằng?

A B C D

Câu 116: Biết , với , số hữu tỉ Tính

A B C D

Câu 117: Số số nguyên thỏa mãn

A B C D

Câu 118: Tích phân có giá trị là:

A B. C. D. Cả A, B, C

sai

Câu 119: Có số thực thuộc khoảng cho ?

 

2

d

2

x

a b c

x x  x x   

 a b c, ,

P  a b c

2

P P8 P46 P22

 

2

1

d

1

x

I a b c

x x x x

   

  

 a b c

P  a b c

24

P P12 P18 P46

0

sin dx x





3



3

2



3

2

0

sin d

4

I x x

 

 

   

 



4

I  I  1 I 0 I 1

3

d sin

x I

x 





cot cot

3

 

 cot cot

3

 

 cot cot

3

 

  cot cot

3

 

 

2

3

cosxdx a b





 

 a b T 2a6b

3

T  T  1 T  4 T 2

cot cot

3

 

  

0

cos x d

m

x



643 1284 1285 642

2

0

sin

I xdx





I  I 0 I  1

b ;3 4cos d

b

x x

Câu 120: Tích phân có giá trị là:

A. B. C. D.

Câu 121: Tích phân có giá trị là:

A. B. C. D.

Câu 122: Kết tích phân viết dạng , Khẳng định sau sai?

A B C D

Câu 123: Cho tích phân với Tính

A B. C. D.

Câu 124: Cho tích phân , Tính

A. 3 B.1 C. 2 D.

3

Câu 125: Biết 6 

3

3 4sin d

6

a c

x x

b





  

 , a,b nguyên dương a

b tối giản Tính a b c 

A. B.16 C. 12. D. 14

Câu 126: Cho giá trị tích phân  

3

2

sin cos

I x x dx a



 

    ,  

3

3

cos2 sin

I x x dx b



 

    Giá trị

của a + b là:

A. 3

4

P  B. 3

4

P  C. 3

4

P  D. 3

4

P 

Câu 127: Cho giá trị tích phân  

2

3

sin3 cos3

I x x dx a



 

    ,

2

2

1 1

1

e

e

I dx b

x x x

 

     



 

 Giá

trịa.b gần với giá trị sau đây?

A. B.16 C. 10. D.

 

2

2

sin cos

I x x dx



 

  

1

I  I 2 I  2 I  1

 

6

2

sin cos3

I x x dx



 

  

2

I 

4

I 

4

I  

3

I  

 

2

0

2 sin dx x x 

 

 a b

2

a b a b 5 2a3b2 a b 2

2

0

cos2 d sin

x

x a b x





  

 a, b P 1 a3b2

9

P P29 P11 P 25

 

2

0

1

4 cos dx x x c

a b 

  

     

 

Câu 128: Tích phân  

2

2

sin cos

I ax ax dx



 

   , với a0 có giá trị là:

A. sin sin

2 4

I a a

a

   

    

       

   

 

B. sin sin

2 4

I a a

a

   

    

       

   

 

C. sin sin

2 4

I a a

a

   

    

       

   

 

D. sin sin

2 4

I a a

a

   

    

       

   

 

Câu 129: Biết

π

3

2

0

cos sin d π

1 cos

x x x x b

I x

x a c

 

  



 Trong a, b, c số nguyên dương, phân số

b

c tối giản Tính

2 2

T a b c

A. T 16 B.T 59 C. T 69 D. T 50

Câu 130: Cho hàm số f x asin 2x b cos2x thỏa mãn '

2

f   

 

b

a

adx

 Tính tổng a b

bằng:

A. B. C. D.

Câu 131: Cho tích phân

3

cos cos4 dx x x a b

 

 

 , a, b số hữu tỉ Tính

2

e loga

b



A. 2 B. 3 C.

8 D.

Câu 132: Cho F x  nguyên hàm hàm số

1 sin

y

x



 với x \ k ,k

 



 

     

 

  , biết

 0

F  ; F( ) 0  Tính 11

12 12

PF F  

   

A P2 B P0 C Không tồn P. D P1

Câu 133: Cho M , N số thực, xét hàm số f x M.sin πxN.cos πx thỏa mãn f  1 3

 

1

0

1 d

π

f x x 

 Giá trị f  14

 

A. 5π

2 B

5π 2

 C π

2

 D. π

Câu 134: Tích phân  

2

2

cos cos

I x xdx



  có giá trị là:

A.

4

I   B.

4

I    C.

4

I   D.

4

I   

Câu 135: Biết tích phân

sin

I xdx a





  Giá trị

1

2

1 ln 2 ln5

a x

I dx b c

x x



  



 Thương số b

và c là:

A. – 2 B.– 4 C.2 D. 4

Câu 136: Cho    

3

2 6

0

sin cos cos3 sin sin

I x x dx a x bx c x





     Giá trị 3a2b4c là:

A. – 1 B.1 C.– 2 D. 2

Câu 137: Cho tan dn n

I  x x với n Khi I0I12I2I3 I8I9I10 A  

1

tan r r

x C r





 B  

1

1

tan

r

r

x

C r





 

 C. 10  

1

tan r r

x C r





 D.  

1 10

1

tan

r

r

x

C r





 



TÍCH PHÂN HÀM MŨ – LƠGARIT Câu 138: Tích phân

0

e dx x





A. e 1 B. 1

e C. e 1e

 . D.

e

Câu 139: Tích phân 2018

0

2 d

  x

I x

A. 22018 1

 B.

2018

2

ln 

C. 22018

ln D.

2018

2

Câu 140: Biết

1

1 ( )d

2

f x x







0

1

1 ( )d

2

f x x



 

 Tính tích phân

4

4e x ( ) d

I   f x  x

A. 2e8

I  . B. I 4e 28 . C. I 4e8. D. I 2e 48 .

Câu 141: Cho  

2

0

e d x

t

F x   t Tính F 2

A. F 2 4e4 B. F 2 8e16 C. F 2 4e16 D. F 2 e4

Câu 142: Cho hàm số  

1 d ln x

x

g x t

t

  với x0 Đạo hàm g x 

Câu 143:  

3

3

d

f x x 

 

   Gọi S tập hợp tất số nguyên dương k thỏa mãn

2

1

2018.e 2018

e dkx k

x

k

 

 Số phần tử tập hợp S

A. B. C.Vô số D.

Câu 144: Cho

0

e d

1 e

nx

n x

I x

 

 

 với n

Đặt un 1.I1I22I2I33I3I4 n I nIn1n

Biết limun L Mệnh đề sau đúng?

C HƯỚNG DẪN GIẢI

ÁP DỤNG ĐỊNH NGHĨA, TÍNH CHẤT VÀ BẢNG NGUYÊN HÀM

Câu Cho hàm số , liên tục số thực tùy ý Trong khẳng định sau, khẳng định sai?

A.

B.

C.

D.

Hướng dẫn giải

Chọn B

Dựa vào tính chất tích phân, A, C, D nên B sai

Câu Khẳng định sau sai?

A. B.

C. D.

Hướng dẫn giải

Chọn C

Câu Cho hai hàm số liên tục , Khẳng định sau khẳng định sai?

A B.

C. D.

Hướng dẫn giải

Chọn C

Câu Cho hai số thực , tùy ý, nguyên hàm hàm số tập Mệnh đề đúng?

A. B.

C. D.

Hướng dẫn giải

Chọn B

 

y f x yg x  a b;  k

 d  d

b a

a b

f x x  f x x

 

 d  d

b b

a a

xf x xx f x x

 

 d

a

a

kf x x



    d  d  d

b b b

a a a

f x g x x f x x g x x

 

 

  

    d  d  d

b b b

a a a

f x g x x f x x g x x

 

 

    d  d  d

b b c

a c a

f x x f x x f x x

  

 d  d

b a

a b

x

f x  f x x

   d  d

b b

a a

x

f x  f t t

 

 

f x g x  K a b, K

    d  d  d

b b b

a a a

f x g x x f x x g x x

 

 

    d  d

b b

a a

kf x xk f x x

 

   d  d  d

b b b

a a a

f x g x x f x x g x x

  

    d  d  d

b b b

a a a

f x g x x f x x g x x

 

 

  

a b F x  f x  

 d    

b

a

f x x f b  f a

  d    

b

a

f x xF b F a



 d    

b

a

f x xF a F b

  d    

b

a

f x xF b F a

Theo định nghĩa, ta có

Câu Cho hàm số liên tục đoạn Tìm mệnh đề đúng mệnh đề sau

A. B.

C. D.

Hướng dẫn giải

Chọn D

Câu Cho hàm số liên tục khoảng Mệnh đề sau sai?

A. B.

C. D.

Hướng dẫn giải

Chọn A

Mệnh đề là:

Câu Cho hàm số liên tục , nguyên hàm Chọn khẳng định sai khẳng định sau

A. B.

C. D.

Bài giải

Chọn A

Theo định nghĩa ta có: Suy phương án A sai

Câu Cho hàm số liên tục đoạn Mệnh đề sai?

A.

B.

C. ,

D. ,

 d    

b

a

f x xF b F a



 

f x a b;  ca b; 

 d  d  d

c b a

a c b

f x x f x x f x x

    d  d  d

b c b

a a c

f x x f x x f x x

  

 d  d  d

b c c

a a c

f x x f x x f x x

    d  d  d

b a b

a c c

f x x f x x f x x

  

 d  d        

b a

a c

f x x f x xF b F a F a F c

  F b F c   d

b

c

f x x



 

y f x K a b c, , K

 d  d  d

b b c

a c a

f x x f x x f x x

    d  dt

b b

a a

f x x f t

 

 d  d

b a

a b

f x x  f x x

   d

a

a

f x x



 d  d  d

b c c

a b a

f x x f x x f x x

  

 

f t K a b, K F t  f t  K

     d

b

a

F a F b  f t t  d  

b

b a a

f t t F t



 d  d

b b

a a

f t t  f t t

 

   d  d

b b

a a

f x x f t t

 

 d  

b

b a a

f t tF t

 F b F a 

 

y f x a b; 

 d  d

b b

a a

f x x f t t

 

 d  d

b a

a b

f x x  f x x

 

 

d

b

a

k xk a b

  k 

d d d

b c b

Hướng dẫn giải

Chọn C

Ta có:

Câu Giả sử hàm số liên tục khoảng ba số khoảng Khẳng định sau sai?

A. B.

C. D.

Hướng dẫn giải

Chọn A

Ta có:

Câu 10 Cho hàm số liên tục đoạn Mệnh đề sai?

A. B. ,

C. D.

Câu 11 Cho nguyên hàm hàm số Khi hiệu số

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải

Chọn D

Ta có:

Câu 12 Cho hàm số liên tục , có đồ thị hình vẽ sau:

Mệnh đề đúng?

A. diện tích hình thang B. dộ dài đoạn

C. dộ dài đoạn D. dộ dài đoạn cong

d

b

b a a

k xkx

 kb ka k b a

f K a b c, , K

 

a

a

f x dx

    

b a

a b

f x dx  f x dx

 

      ,  ; 

c b b

a c a

f x dx f x dx f x dx c a b

      

b b

a a

f x dx f t dt

 

     

a

a

f x dxF a F a 



 

y f x a b; 

 d  d

b a

a b

f x x  f x x

   d  d  d

b c b

a a c

f x x f x x f x x

  

c

 

 d  d

b b

a a

f x x f t t

   d

a

a

f x x



 

F x f x  F 0 F 1

 

1

0

d

f x x

  

1

0

d

F x x



  

1

0

d

F x x



  

1

0

d

f x x





   

1

0

1 d

0

f x x F x

  

  F 1 F 0  F 0 F 1

 

y f x a b;  y f x

 d

b

a

f x x

 ABMN  d

b

a

f x x

 BP

 d

b

a

f x x

 MN  d

b

a

f x x

Chọn B

Câu 13 Cho hai tích phân Giá trị tích phân là:

A B. C. D. Không thể xác

định

Hướng dẫn giải

Cho hai tích phân Giá trị tích phân

là:

Ta có kết quả:

Chọn A

Câu 14 Cho tích phân Tích phân có giá trị là:

A B. C. D. Không thể xác

định

Hướng dẫn giải

Cho tích phân Tích phân có giá trị

là:

Quy tắc “nối đuôi” cho ta:

Chọn A

Câu 15 Tích phân phân tích thành:

A B.

C. D.

Hướng dẫn giải

Tích phân phân tích thành:

Ta có:

Chọn A

Câu 16 Cho Tính tích phân

 d

b

a

f x x

  f x ba  f b  f a  BM PM BP

 

a

a

f x dx m





  

a

a

g x dx n





    

a

a

f x g x dx





 

 



mn nm mn

 

a

a

f x dx m





  

a

a

g x dx n





    

a

a

f x g x dx





 

 



       

a a a

a a a

f x g x dx f x dx g x dx m n

  

    

 

 

  

 

1

b

a

I  f x dxm 2  

a

c

I  f x dxn  

b

c

I  f x dx

mn mn mn

 

1

b

a

I  f x dxm 2  

a

c

I  f x dxn  

b

c

I  f x dx

     

b b a

c a c

I  f x dx f x dx f x dxmn

 

b

a

f x dx 

   

b a

c c

f x  f x dx

     

b a

c c

f x  f x dx

 

   

b a

c c

f x  f x dx

     

b a

c c

f x f x dx

 

 

b

a

f x dx 

         

b b c b a

a c a c c

f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx

    

 

1

2

d

f x x 



  

1

2

2 d

I f x x



   

Chọn C

Ta có

Câu 17 Cho hàm có đạo hàm liên tục đồng thời , Tính

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải

Chọn D

Ta có

Câu 18 Cho Khi

A. B. C D.

Hướng dẫn giải

Chọn D

Câu 19 Cho hàm số có đạo hàm liên tục đoạn , Tính

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải

Chọn D

Ta có:

Câu 20 Cho hàm số liên tục Tính tích phân

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải

Chọn C

Ta có:

Câu 21 Cho hàm số thoả mãn điều kiện , liên tục

Khi

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải

Chọn B

Ta có

Câu 22 Cho hàm số có đạo hàm liên tục đoạn thỏa mãn ;

Giá trị

 

1

2

2 d

I f x x



     

1

2

2 f x dx dx

 

    6 x12 3

 

f x 2;3 f  2 2 f  3 5  

3

2

d

f x x 

3

 10

   

3

2

3

d

f x x f x

  f  3  f  2 3

 d

b

a f x x

 f b 5 f a 

12 2

 d

b

a f x x

  f b  f a 7  f a  f b 7 2

 

f x a b;  f a  2 f b  4

 d

b

a

T  f x x

T   T 2 T 6 T  2

 d

b

a

T  f x x  f x  ab  f b  f a  2

 

f x 0;1 f  1  f  0 2  

1

0

d

f x x



1

I   I 1 I 2 I 0

       

1

0

1

d

0

f x x f x  f  f 



 

y f x f 1 12 f x 

 

4

1

d 17

f x x

 f  4

5 29 19

 

4

1

d 17

f x x

  f x 14 17  f  4  f 1 17  f  4 29

 

f x 1;3 f  1 4 f  3 7

 

3

5 d

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải

Chọn D

Câu 23 Cho hàm số , với , số hữu tỉ thỏa điều kiện

Tính

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải

Chọn C

Ta có

Theo giả thiết, ta có Từ suy ,

Vậy

Câu 24 Tính tích phân

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải

Chọn C

Ta có:

Câu 25 Tính tích phân

A. B. C. C.

Hướng dẫn giải

Chọn C

Ta có:

Câu 26 Tính

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải

Chọn A

Ta có

Câu 27 Tính tích phân

20

I  I 3 I 10 I 15

 

3

1

5 d

I f x x





  3

1

5f x 

 5 5f   f  1 5.7 5.4 15

  2

a b f x

x x

   a b  

1

1

d 3ln

f x x 



T a b

T   T 2 T  2 T 0

 

1

1

d

f x x



1 2

2 d

a b

x

x x

 

 

 

 



1

1

ln

a

b x x

x

 

    

    a bln

2 3ln 2 a 1 bln a1 b 3

2

T a b  

3

0

d

x I

x

 

 4581

5000

I  log5

2

I  ln5

2

I  21

100

I  

3

0

d

x I

x

 



3

0

5

ln ln

2

x

  

2018

2

1

dx I

x

 

2018.ln

I   I 22018 I 2018.ln I 2018

2018

2

ln

I  x ln 2 2018ln12018.ln

1

0

1 3 d

2

I x x

x

 

   



 



2 ln 3 ln3 ln3 ln 3

1

0

1 3 d

2

I x x

x

 

   



 



1

0

1 d d

2 1x x x x

 



 

1

0

1ln 1 3.2

2 x 3x x

   ln3

2

  ln 2

 

1 2018

1 d

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải

Chọn C

Ta có:

Câu 28 Cho hàm số Tính tích phân

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải

Chọn A

Ta có

Câu 29 Cho hàm số Tính tích phân

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải

Chọn A

Ta có:

Câu 30 Cho hàm số Tính

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải

Chọn A

Ta có,

Câu 31 Cho hàm số Hỏi có tất số

nguyên để ?

A. . B. C. D.

Hướng dẫn giải

Chọn C

Ta có

1

2018 2019

I   1

2020 2021

I   1

2019 2020

I   1

2017 2018

I  

 

1 2018

1 d

I x x x  

1

2018 2019

d

x x x

 

1 2019 2020

0

1

2019 2020 2019 2020

x x           

3

4

x x

y f x

x x             d

f x x

   d

f x x

    

1

0

d d

f x x f x x

     

1

2

0

3x dx x dx

   2 1 4 x x x            

2 khi 0 1

1

2

x

y f x x

x x               d

f x x



6 ln 4 ln 4 ln 2 2ln 2

     

3

0

d d d

f x x f x x f x x

    

1

0

2 d d

1 x x x

x

  



 

 3

1 2

0

2ln x x x

    ln 6

 

2

3

4

x x

y f x

x x            

f x dx       

1 2

2

0 1

1

3 4

0 2

x

f x dx f x dx x dx x dxx  x    

 

   

 

2

6

x x

y f x

a a x x

            d

I f x x 



a I22 0

2

     

4

0 4 0 2

2

Vậy có giá trị nguyên thỏa mãn

Câu 32 Biết Khẳng định sau đúng?

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải

Chọn C

Ta có:

Mà

Câu 33 Đặt ( tham số thực) Tìm để

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải

Chọn C

Ta có

Câu 34 Cho , Khi bằng:

A. B. . C. D.

Hướng dẫn giải

Chọn D

Do

Câu 35 Giá trị để ?

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải

Chọn D

Ta có

Theo ra, có

Câu 36 Có giá trị thực để có

A. B. C. D.Vơ số

Hướng dẫn giải

Chọn A

Ta có 22

I    2 8a a222 0 2a2  a

2 a

    a  1;0;1;2

a



  

4 a

2 d

b

a

x x



b a  a2 b2   a b b2a2   b a a b 1

2 d  

b

b a a

x x x x

 b2  b a2a

2 d

b

a

x x

 b2 b a2 a 1b2a2   b a

 

2

1

2 d

I  mx x m m I4

1

m  m 2 m1 m2

 

2

1

2 d

I  mx x  2

1

mx x

  4m2  m1 3m1

I  3m 1 4m1

3

0

( )d

f x xa



3

2

( )d

f x xb 

2

0

( )d

f x x 

a b

  b a a b a b

3

0

( )d ( )d ( )d

f x x f x x f x x

  

2 3

0

( )d ( )d ( )d

f x x f x x f x x

  

2

0

( )d

f x x a b

  

b  

1

2 d

b

x x



0

b b3 b0 b1 b5 b0 b1 b5

       

1

2 d 6 6

b

b

x x x  x  b  b   b  b



2 6 5 0

5

b

b b

b

 

    

 

AD  

0

2 d

a

x xa



1

2 d

a

Câu 37 Xác định số thực dương để tích phân có giá trị lớn

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải

Chọn A

Đặt

Lập bảng biến thiên

Vậy đạt GTLN

Câu 38 Cho số thực thỏa mãn Giá trị biểu thức

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải

Chọn B

Ta có: Theo đề:

Vậy

Câu 39 Tích phân có giá trị là:

A. I = B.I =2 C.I = 3 D. I = 4

Hướng dẫn giải

Tích phân có giá trị là:

Cách 1:

Chọn C

Cách 2: Kiểm tra máy tính, dễ dàng thu kết cách

Câu 40 Tích phân có giá trị là:

A. I = B.I = C.I = D. I =

Hướng dẫn giải

Tích phân có giá trị là:

Cách 1:

m  2

0

d

m

xx x



m m2 m3 m4

 2

d

m

P xx x

2

0

2

m

x x

 

  

 

2

2

m m

 

 

2

2

m m

f m    f m mm2  f m 0m0 m1

 

f m m1

a a 2  

2

2 d

a

x x

 1a3

0

 

2

2 d

a

x x

 x2xa2  6 a2a

2

1

6

a

a

a a

 



 



  

 

3

1a 2

2

1

2

I  x dx

2

1

2

I  x dx

2

2 2

1 1

2

2

x I  x dx x dx  

 

 

 

1

3

I x x dx



  

 

1

3

I x x dx



  

 

1

3 3 2 1 2  4

Chọn D

Cách 2: Dùng máy tính cầm tay

Câu 41 Cho gá trị tích phân , Giá trị là:

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải

Cho gá trị tích phân , Giá trị là:

Ta có:

Chọn C

Câu 42 Tích phân có giá trị là:

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải

Tích phân có giá trị là:

Chọn A

Câu 43 Tích phân có giá trị là:

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải

Tích phân có giá trị là:

Ta có:

Chọn D

Câu 44 Tích phân có giá trị là:

A. B. C. D.

  1

I x x dx a

      2

I x x dx b





    a

b

4 65

P  12

65

P 12

65

P 

65 P   1

I x x dx a

      2

I x x dx b





    a

b

 

1

4

1

1

1 2

2

5 5

I x x dx x x a

                 1

2

2

2

1 13 13

3

3 6

I x x dx x x b

                   12 65 a P b      

I x ax dx



  

7

a

I  

4

a

I  

4

a

I  

4

a I  

 

0

2

I x ax dx



  

 

0

3

1

1

2

4

a a

I x ax dx x x x

                 

I  ax bx dx

a b I  

3

a b I  

2

a b I  

3

a b I  

 

1

I  ax bx dx

 

1

2

0 3

a b a b

I  ax bx dx x  x   

   2 a

I x dx

x          1

I    a

2

I    a

2

I    a

2

Tích phân , với có giá trị là: Ta có:

Chọn D

Câu 45 Tích phân có giá trị là:

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải

Tích phân có giá trị là:

Ta có:

Từ bảng xét dấu ta được:

Chọn A

Câu 46 Tích phân có giá trị là:

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải

Tích phân có giá trị là:

Ta có:

Từ bảng xét dấu ta được:

Chọn A

Câu 47 Tích phân có giá trị là:

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải

Tích phân có giá trị là:

Ta có:

2

1 a

I x dx

x

 

   

 

 a0

2

2

2

1 2 1

2

a a

I x dx x a

x x a

   

          

   



2

I x x dx 

 

3

I 

6

I 

2

I  

6

I 

2

I x x dx 

 

 

2 0

f x

x x x x

   

0

2

2 2 3

1 1

1 1

3 2

I x x dx x x dx x x dx x x x x

  

   

              

   

  

1

3

1

I x x x dx



   

4

I 

2

I 

3

I  

2

I  

1

3

1

I x x x dx



   

 

  2

3 1 0 1 1 0 1 1

f x

x x   x  x x  x x 



 

1

1

3

1 1

1 1

1

4 3

I x x x dx x x x dx x x x x

  

 

               

 

 

3

2

3

1

x x

I dx

x





 







I   17

6

I 

6

I  17

6

I 

3

2

3

1

x x

I dx

x





 





Từ bảng xét dấu ta được:

Chọn C

Câu 48 Tích phân có giá trị là:

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải

Tích phân có giá trị là:

Ta có:

Từ bảng xét dấu ta được:

Chọn A

Câu 49 Tích phân có giá trị là:

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải

Tích phân có giá trị là:

Ta có:

Chọn C

Câu 50 Biết tích phân Giá trị là:

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải

 

  2 

3 3 2 0 1 2 0 1 2

f x

x  x   x x   x x 



 

1

1

2

2 2

3 2 1 2

1

x x

I dx x x dx x x x

x                         2 2 x x I dx x       2ln3

I   I  2ln3 I  3 2ln I  3 3ln

0 2 x x I dx x           2

0

1

x x

f x f x x x x

x

 

         



0 2

2

2 2

1 1

x x x x x x

I dx dx dx

x x x

                         

1 2

1

2 2

2 2ln 1 2ln 2ln 3

1 2

x x x

I dx x dx x

x x                                          

0 2

2

1 1

2 2ln 1 2ln 2

1 2

x x x

I dx x

x                        

1 2ln

I I I

     2

I ax dx

x           

15 ln 2

16

a

I    15 ln

16

a

I   15 ln

16

a

I   15 ln

16

a I   

1

1

I ax dx

x            1 2 15

2 ln ln

2 16

a a

I ax dx x x

x                        1

I  xdxa  

2

2

a

I  x  x dx

2 173

I  2 19

3

I  2 16

3

I  2 13

3

Biết tích phân Giá trị là: Ta có:

Chọn C

Câu 51 Cho tích phân Khẳng định không đúng?

A B.

C. D.Chỉ có A C

Hướng dẫn giải

Cho tích phân Khẳng định khơng đúng?

Ta có:

Phát biểu (A):

Phát biểu (B): sai Phát biểu (C): Phát biểu (D):

Chọn B

Câu 52 Số nghiệm nguyên âm phương trình: với là:

A. B.1 C.2 D.

Hướng dẫn giải

Số nghiệm nguyên âm phương trình: với là:

Ta có:

Chọn B

Câu 53 Số nghiệm dương phương trình: , với , a và b là số hữu tỉ

là:

A. B.1 C.2 D.

Hướng dẫn giải

Số nghiệm dương phương trình: , với là:

Ta có:

Chọn B

1

0

2

I  xdxa  

2

2

a

I  x  x dx

     

2

1 1 2

2 2

1 0

0 1

1 16

2 2

3

a

I  xdx x  I  x  x dx x  x dx x x  

 

  

 1

b

a

I  x  dx

 1

b b b

a a a

I  x  dxx dxdx  b

a

I  x x

3

1

3

I  b  b a a  1

b

a

I  x  dx

 1 3

3 3

b b

a a

I  x  dx x x  b  b a a

 



3 2 0

x ax 

3

1

1 e

a dx

x

 

3 2 0

x ax 

3

1

1 e

a dx

x

 

     

3 3

2

1

1 ln 3 3 2 0 1 2 0 1 2

e

e

a dx x x x x x x x

x

                

3 2 0

x ax 

1

0

2

a xdx

3 2 0

x ax 

1

0

2

a xdx

    

1 1

2

0

2 2

Câu 54 Tìm tất giá trị thực tham số để có \

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải

Chọn D

Ta có: Mà Khi đó:

Câu 55 Cho nguyên hàm hàm số tập thỏa mãn

Tính tổng

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải

Chọn C

Bảng khử dấu giá trị tuyệt đối:

Ta có: mà nên

 mà nên

 mà nên

 mà nên

Vậy

Câu 56 Có giá trị nguyên dương thỏa mãn ?

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải

k  

0

1

2 d 4lim

k x x x x x       k k      k k       k k        k k                 2

1 1

2

1

2 d d

2 4

k

k k

x k

x x x x     

 

  

 

0 0

1 1

1 1

4lim 4lim 4lim

1 1

x x x

x x

x

x x x x

               

  0

1

1

2 d 4lim

k x x x x x            2

2 1

2

1 k k k k               

F x f x  1 x  1 x 

 1

F  F 0 F 2 F 3

8 12 14 10

       

2

1

d 2

f x xF F F 

  

2

1

d 2d

f x x x

  F 2 5

       

1

0

d

f x xF F  F

  

1

2

0

d d

f x x x xx 

  F 0 2

       

0

1

d

f x x F F F

          0 1

d d

f x x x x x 

 

   

 

 1

F  

       

1

3

d 3

f x x F F F

            1 3

d 2d

f x x x

 

 

   

  F 3 7

 0  2  3 14

F F F     

n  

2

2

0

1 n d

n x x x nx  x

       



1

|

|

x  1



1x   

1x   

 

Ta có:

Thử với giá trị không thỏa mãn

Với , ta chứng minh Dễ thấy

Giả sử với với , Khi

Khi đó:

Do với Theo nguyên lý quy nạp

Vậy khơng tồn số nguyên

Câu 57 Cho hàm số Hàm số có đồ thị hình vẽ

Biết diện tích hình phẳng giới hạn trục đồ thị hàm số đoạn

và Cho Giá trị biểu thức

A. B C D

Hướng dẫn giải

Chọn C

Theo giả thiết ta có

Dựa vào đồ thị ta có:

Tương tự ta có

Như

Câu 58 Cho Tìm điều kiện để

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải

Chọn A

Ta có

 

2

2

0

1 n d

n x x x nx  x

       



 2 

n

x n x x x x x

        

2

2 2 2 2n

n

         2 22 n

n 

      

2

2 1n n 2n n

       

1;2;3;4

n

n n5 2n n22

 1 n5  1

 1 nk k k5 2k 2

k

 

 

1 2

2k 2 2

k k k



      k22k 1 2k122

 1 n k  1

n  

y f x y f x

Ox y f x

2;1 1;4 12 f  1 3 f 2 f 4

21

 

1

2

d

f x x 

 

  

4

1

d 12

f x x



         

1

1

2

d d

f x x f x x f x f f



 

          

 

 1  2

f f

    

 4  1 12

f f

  

 1  2  4  1

f f f f

       

   

     f2 f  4 1 f  3

 2  4

f f

       f 2 f  4 3

 

2

2 d

I  x  x m x  

1

2 d

J  x  mx x m I J

3

m m2 m1 m0

 

2

2 d

I  x  x m x

2

3

2x x

mx

 

Do

Câu 59 Biết hàm số thỏa mãn ,

(với , , ) Tính giá trị biểu thức

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải

Chọn B

Ta có

Do đó: Vậy

TÍCH PHÂN HỮU TỈ

Câu 60 Biết với , số thực Mệnh đề đúng?

A B. C. D.

Hướng dẫn giải

Chọn A

Ta có:

Vậy

Câu 61 Tích phân Giá trị a là:

A B. C. D.

Hướng dẫn giải

Tích phân Giá trị a là:

Ta có:   2 d

J  x  mx x

1 3 x mx        m  

I J 10

3 m m

    m3

 

f x ax bxc  

1

0

7 d

2

f x x 

  

2

0

d

f x x 

   13 d

f x x

 a b c P  a b c

3

P 

3

P 

3

P

4

P

  3

0

d

3

d d

a b a b

f x x x  x cx  d  d cd

         d d 13 d

f x x

f x x

f x x

                  

3 2

8 2 2 2

3 13 2 a b c

a b c

a b c

                    16 a b c           

P    a b c

1

1

5 d ln

2

x

x a b

x



 



 a b

8 81

ab

24

a b 

8

ab

10

a b 

1 d 2 x x x    1

1 1 d

2 x x

            1

1 6ln 1

2 x x

   1 6ln 6ln4

2 3

 

     

 

1 ln

3 27

  8

3 27 81

ab 

1

0

2 ln 2

1 ax I dx x     ln ln

a 

ln 2 2ln

a 

ln ln

a 

ln 2 2ln

a 

1

0

2 ln 2

Mà

Chọn B

Câu 62 Cho Giá trị a + b là:

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải

Cho Giá trị a + b là:

Ta có:

Chọn B

Câu 63 Biết Gọi , giá trị thuộc khoảng sau

?

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải

Chọn D

Ta có

Vậy

Câu 64 Tích phân có giá trị là:

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải

Tích phân có giá trị là:

Ta có:

   

1 1

0

0

2 2 1 2 ln 1 2 ln 2

1

ax

I dx a dx a x x a

x x

 

         

   

 

  ln

ln 2 ln ln

2 2ln

I   a   a



 

1

2

1 ln 2 ln 3

3

I dx a b b

x x

   

 



1

1

1

 

1

2

1 ln 2 ln 3

3

I dx a b b

x x

   

 



 

1 1

2 0

0

1

1 4 4 ln 1 ln 3 1ln 3 1

3 4

I dx x x a b a b

x x x x

 

 

              

     

 

 

 

2

0

d ln ,

1

x

x a b a b

x   

  S 2a b S

8;10 6;8 4;6 2;4

 

2

2 2

0 0

0

d d ln ln ln

3

1

a

x x

x x x x x a b S

b

x x



  

 

               



      

 

2;4

S

2

1

x

I x dx

x

 

   



 



10 ln2 ln3

I    10 ln2 ln3

3

I    10 ln2 ln3

3

I   

10 ln2 ln3

I   

2

1

x

I x dx

x

 

   



 



2

2

2

1 1

1

1 ln

1

8 2 ln 3 1 ln 2 10 ln ln 3

3 3

x x

I x dx x dx x x

x x

 

   

             

 

     

 

        

Câu 65 Nhận xét: Khơng thể dùng máy tính để tính kết mà ta dùng để kiểm

tra mà Tích phân có giá trị là:

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải

Tích phân có giá trị là:

Cách 1:

Chọn B

Cách 2: DÙng máy tính cầm tay

Câu 66 Tích phân có giá trị là:

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải

Tích phân có giá trị là:

Chọn A

Câu 67 Tích phân ,với có giá trị là:

A B.

C. D.

Hướng dẫn giải

Tích phân , với có giá trị là:

Ta có:

Chọn C

Câu 68 Tích phân có giá trị nhỏ số thực dương a có giá trị là:

A B. C. D.

Hướng dẫn giải

Tích phân có giá trị nhỏ số thực dương a có giá trị là:

2

1

I x dx

x

 

   

 



5

I 

2

I 

2

I  11

2

I 

2

1

I x dx

x

 

   

 



2

2

1

1 2

2

I x dx x

x x

   

        

   



1

0

2

ax

I ax dx

x

 

   



 

 ln

I  a I  2ln I 2ln I aln

1

0

2

ax

I ax dx

x

 

   



 



     

1 1 1 1

2

0

0 0

2 ln 1 ln ln

1

ax x

I ax dx a dx a xdx a x x a x a a a

x x

 

              

 

 

  

1

a

a x

I dx

x a

 

   

 

 a0

2 1

ln

2

a

I a a

a



 

2 1

ln

a

I a a

a



 

2 1

ln

2

a I a a

a



 

2 1

ln

a I a a

a



 

1

a

a x

I dx

x a

 

   

 

 a0

2

1

1

ln ln ln

2 2

a a

a x x a a

I dx a x a a a a

x a a a a

  

 

           

   



3 2

2

2

a x x

I dx

ax

 

2

5

1

5

3 a x2 2x

Vì a số thực dương nên

Chọn A

Câu 69 Tích phân có giá trị là:

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải

Tích phân có giá trị là:

Ta có:

Chọn C

Câu 70 Tích phân có giá trị là:

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải

Tích phân có giá trị là:

Ta có:

Chọn D

Câu 71 Tích phân có giá trị là:

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải

Tích phân có giá trị là:

Chọn D

Câu 72 Giá trị tích phân Biểu thức có giá trị là:

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải

3

3 2

2

2 2

2 2

2

a x x a a

I dx ax dx x x

ax a a a

    

         

   

 

5 2 2. 2 5

2

a a

I

a a

   

2

b

I ax dx

x

 

   

 



7 ln 2

3

I  a b I 3a b ln ln

3

I  a b I 3a b ln

2

b

I ax dx

x

 

   

 



2

2

1

7

ln ln

3

b a a

I ax dx x b x b

x

   

        

   



1

1

b

I ax dx

x 

 

   



 



ln

I  b ln3

2

a

I  b ln3

2

a

I  b I bln3

1

1

b

I ax dx

x 

 

   



 



1

3

1

ln ln

2

b a

I ax dx x b x b

x

 

   

        



   



2

2

1

e

e x

I dx

x

 

2

1 1

I

e e

   I 1 12

e e

   I 1 12

e e

   I 1 12

e e

  

2

2

1

e

e x

I dx

x

 

2

2

2 2

1 1 ln e 1 1

e e

e e e

x

I dx dx x

x x x x e e

    

          

   

 

1

0

x

I dx a

x

 



 P2 1a

1 ln

Giá trị tích phân Biểu thức có giá trị là: Tacó:

Chọn C

Câu 73 Giá trị tích phân Biểu thức có giá trị là:

A. B.

C. D.

Hướng dẫn giải

Giá trị tích phân Biểu thức có giá trị là:

Ta có:

Chọn B

Câu 74 Biết , với Tính giá trị

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải

Chọn B

Ta có:

Vậy

Câu 75 Tính tích phân:

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải

Chọn C

Ta có

Câu 76 Tính tích phân

1

0

x

I dx a

x

 



 P2 1a

 

1 1

0

0

1

1 ln 1 ln ln 2 1 2ln

1

x

I dx dx x x a P a

x x

 

                 

   

 

2 2

1 e

e

x x

I dx a

x

   

   

 

 Pa1

2

1

2

P e e  e

2

P  e e  e

2

1

2

P  e e  e

2

P e e  e

2 2

1

e

e

x x

I dx a

x

   

   

 

 P a

2

2 2 2 2 4

1 1 1 ln 1

2 2

e

e e

e e e

x x x e e

I dx x dx x x e

x x

       

               

 

   

 

2 4

1

2 2 2

e e e e e e

a e a e P e

               

0

1

3 1d ln2

2

x x

I x a b

x 

 

  



 a b,  a2b

30 40 50 60

0

0 2

1 1

3 1d 3 11 21 d 11 21ln 2 21.ln2 19.

2 2

x x x

I x x x x x

x x

  

 

   

            

     

 

2 40

a b

2

1

1d

x

I x

x

  ln

I   I 2ln I  1 ln

4

I 

2

1

1d

x

I x

x

 

2

1

1

1 dx

x

 

   

 

 xlnx12  1 ln

2

d

x I

x

 

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải

Chọn A

Ta có:

Câu 77 Biết với số nguyên Tính

A. . B. . C. D.

Hướng dẫn giải

Chọn B

Ta có: Khi đó:

Suy ra: Vậy

Câu 78 Biết Mệnh đề sau đúng?

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải

Chọn D

Ta có:

Câu 79 Giả sử Tính

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải

Chọn B

BN M

Suy ra: Do đó:

Câu 80 Cho giá trị tích phân , Giá trị biểu

thức là:

A. B.

C. D.

Hướng dẫn giải

1 1ln

I  1ln

6

I   ln2

6

I  I ln 26

1

d

x I

x

 



1

0

1 1 d

6 3

I x

x x

 

    

 

 



1

0

1ln

6

x x

 



1 ln1 ln1 1ln

6

 

   

 

4

dx ln 2 ln 3 ln 5,

I a b c

x x

   



 a b c, , S  a b c

6

S  S 2 S  2 S 0

4

dx I

x x

 



1 1 1

( 1)

x x x x  x x

 

4

4

3

d 1 d ln ln( 1) | (ln4 ln5) (ln3 ln4) 4ln2 ln3 ln5.

1

x

I x x x

x x x x

 

              

   

 

4, 1,

a b  c  S 2

 

5

3 d ln ln ,

3 x a b a b Z

x  x   



2

a b 2a b 0 a b 0 a b 0

 

5 5

2 1

1

3 d 1 d ln ln 3 ln ln 2

3 x x x x

x x x x

 

        

   

  a1 b 1

0

a b 

2

1 d ln ln 3; ,

4

x

x a b a b

x x



  

 

  Pab

8

P P 6 P 4 P 5

    

2 2

2

0 0

2

1 d d d ln 1 2ln 3 2ln 3ln 3

0

4 3

x x

x x x x x

x x x x x x

    

           

       

  

6

Pab 

2,

a b 

2

1

2

x x

I dx a

x



 





2

2

e

e

I dx b

x

  

Pa b

7 ln2 ln3

P   ln2 ln3

2

P  

5 ln2 ln3

P   ln2 ln3

2

Cho giá trị tích phân , Giá trị biểu thức có giá trị là:

Ta có:

Chọn B

Câu 81 Giá trị tích phân gần với gái trị sau đây?

A B. C. D.

Hướng dẫn giải

Giá trị tích phân gần với gái trị sau đây?

Ta có:

Chọn A

Câu 82 Tích phân Giá trị a là:

A B. C. D.

Hướng dẫn giải

Tích phân Giá trị a là:

Ta có:

Xét

Xét

2

1

2

x x

I dx a

x



 





2

2

e

e

I dx b

x

  Pa b

2

2 2

1

1 1

2 1 ln 1 ln ln 3 ln ln 3

1 2

x x x

I dx x dx x x a

x x

 

  

                 

     

 

 

2

2 ln 1

e e

e e

I dx x b

x

    

3 ln2 ln3

P  a b  

0

2

3

2

x x

I dx

x x 

 



 



ln 2

 ln 1 ln4

2

ln3



0

2

3

2

x x

I dx

x x 

 



 



  

  

0

2

0

0 2

1 1

3

2

1 2 2 2 6 9

4 6ln 6ln

1 2 2

x x

I dx

x x

x x x x x x

dx dx x dx x x

x x x x



   

 



 

        

             

       



  

2

1 2ln ln

3 5

ax

I dx

x x



  

 



1

a

5

a

5

a

5

a

2

1 2ln ln

3 5

ax

I dx

x x



  

 



2 2

2 2

1 1

1

3 3

ax x

I dx a dx dx

x x x x x x



  

     

  

 

 

2 2

1 1

1

2 2ln 2 ln 1

3 2

4

2ln 3ln ln 2 ln ln

3

x

I a dx a dx a x x

x x x x

a a a

 

        

     

    

 

 

2 2

2

1 ln 1 ln 2 ln4 ln2

3 3

Theo đề bài:

Chọn D

Câu 83 Tích phân Giá trị a là:

A B. C. D.

Hướng dẫn giải

Tích phân Giá trị a là:

Ta có:

, với

Theo đề bài:

Chọn B

Câu 84 Biết , Tính giá trị biểu thức

A B. C. D.

Hướng dẫn giải:

Chọn C

Nên:

Vậy , Vậy

Câu 85 Biết , hai số nguyên dương phân số tối giản Tính ta kết

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải

Chọn D

Đặt Đổi cận:

   

1 2 ln43 ln23

I I I a a

      

3 2ln ln

5 5

I   a

2

1 7ln

3

a

x

I dx

x x



 





1

a a2 a3 a4

2

1 7ln

3

a

x

I dx

x x



 





 

3

3

3

2 3

3 4

1

1 1 ln 1ln

3 3

a a a

a a

x a a

I dx dt t

x x t





 

   



  tx33x

  

3

3

1ln 7ln 3 14 0 2 2 7 0 2

3

a a

a a a a a a



           

  

1 d .ln 1 .ln 2

1

x

x a x b x C

x x



    

 

 a b,  a b

1

a b  a b 5 a b  1 a b  5

  

1

1 2

x A B

x x x x

 

 

   

   

1

x A x B x

      

1

2

A B A

A B B

   

 

 

     

 

  

1 d d

1 2

x

x x

x x x x

  

   

     

 

2ln x 3ln x C

    

2

a b 3 a b  1

1

3 d 3ln

6

x a

x

x x b



 

 

 a b, a

b ab

5

ab  ab27 ab6 ab12

 

1

2

0

3 d d

6

x x

x x

x x x

 



  

 

3 ;

t  x dtdx x t

0 3;

Câu 86 Biết với , , Tính

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải

Chọn A

, suy

Vậy

Câu 87 Giả sử Khi giá trị là:

A. 30. B.40. C.50. D.60.

Hướng dẫn giải

Chọn B

Ta có

Câu 88 Biết Mệnh đề sau đúng?

A. B.

C. D.

Hướng dẫn giải:

Chọn D

Vậy

Câu 89 Nếu giá trị

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải

Chọn C

Ta có

 

 

1 4

2 2

0 3

4

3

3 d dt 10 dt 3ln 10

3

t x

K x t

t t t t

x

 

    

        

   



  

5

3ln 3ln3 3ln 4, 12

6 a b a b

         

3 2

3 2 d ln 7 ln 3

1

x x

x a b c

x x

 

  

 

 a b c T  a 2b23c3

4

T  T 6 T 3 T 5

 

3 3

2

2 2

2

3 2d 1 d ln 1 ln ln 1

1

x x x

x x x x x

x x x x

    

           

     

 

1 1

a b c

   

    

2

2

T  a b  c 

0

1

3 .ln2

2

x x

I dx a b

x 

 

  



 a2b

0 0

1

0

3 1d 3 11 21 d 11 21ln 2 21ln2 19

1

2 2

x x x

I x x x x x

x  x



 

   

            



     

 

5

3 d ln 5 ln 2

3 x a b

x  x  

 a b, 

2

a b 2a b 0

0

a b  a b 0

5

2

1

3 d 1 d

3 x x

x x x x

 

   

   

 

ln | | ln |x x 3|15 ln ln

    

1,

a b 

3 2

2 d ln 5 ln 3ln 2

2

x

x a b

x x



  

 

 a b,  P2a b

1

P P7 15

2

P  15

2

Do , ,

Câu 90 Cho , với , , số hữu tỉ Tính

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải

Chọn A

Ta có

Câu 91 Biết với , , Hỏi giá trị thuộc khoảng sau đây?

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải

Chọn D

Ta có: ,

Câu 92 Biết với số nguyên Tính

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải

3 2

2 d

2

x x x x     3 2 2

1 d 11 d

4

x

x x

x x x x

              3 2 2

1 d 2 3 1 11 d

4 2x 1x x x x 1x x

          3 2

1ln 2 3 1 11 d

4 x x x 1x x

              3 2

1ln 2 3 1 11ln

4

x x x x        

1 ln10 ln 3 11 ln2 ln1

4

 

     

 

1 10 11 6ln ln

4

  1ln5 ln ln3 11ln ln3 ln5

4

      5ln5 5ln3 3ln

2

   

5

a 

2

b 15

2

P 

3

3 d ln ln ln

3

x

x m n p

x x



  

 

 m n p

2

S m  n p

6

S  S 4 S 3 S 5

3 d x x x x        3 d x x x x        

2

d x x x x x             

2 d

2

x x

x

x x x x

               3 1

2 d d

1 x x

x x

 

 

  2lnx113lnx213 2ln ln ln ln 3   

4

2ln ln ln

 

   

  2ln ln3 ln5 

2 1 m n p         

 2

2

2 1

S       2 d ln x

x a b

x  

 a b b0 2a b

8;10 6;8 4;6 2;4

2

2 2

0 0

1

d d ln ln

1

x x

x x x x x

x x

 

 

          

     

  a0 b3

2a b

  

4

dx ln 2 ln 3 ln 5

I a b c

x x

   



 a b c, , S   a b c

6

Cách 1:

Suy

Cách 2:

Ta có:

Suy

Câu 93 Biết , với , số nguyên thuộc khoảng nghiệm phương trình sau đây?

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải

Chọn B

Ta có

Suy , nghiệm phương trình

Câu 94 Biết với , số nguyên Tính

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải

Chọn C

Ta có

Vậy , Suy

Câu 95 Biết , Giá trị biểu thức

bằng

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải

Chọn D

Khi đó:

Câu 96 Tìm giá trị để

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải:

 

4

4

2

3

3

1 d d ln ln4 ln3 4ln ln ln 5

1

x

I x x

x x x x x

       

  

 

4,

a b  c S 2

 

4 4

2

3 3

1 d d 1d d ln ln ln ln 4ln ln ln 5

1

I x x x x

x x x x x x

          

  

   

4,

a b  c S 2

2

d 1

4

x

x  x  ab

 a b 7;3 a b

2

2x   x x24 12 0x  x25 0x  x2 9

 

2

2

1

d d

4 2 1

x x

x  x  x

     

2

2

1 d

2 x x



   

2

1

1

2 1x

   

1

   1

6

 



6

a b

   

 

2

a b

  

  

a b x24 12 0x 

5

3

1d ln

1

x x b

x a

x

 

 



 a b S a2b

2

S   S5 S2 S 10

5

5

2

3 3

1d d ln 1 25 ln 6 ln ln3

1 2 2

x x

x x x x x

x x

     

             

     

 

8

a b3 S  a 2b 8 2.3 2

  

3

0

d ln 2 ln 5 ln 7

2

x

a b c

x x   

 a b c, ,  2a3b c

5

  

3

0

d

2

x

x x



3

0

1 1 d

2 x x x

 

   

 

 

  ln ln 42 x  x 30

1ln5 1ln7 1ln 2

2 2

  

2a3b c 2.1 3.1

2 2

   

a

  

4

3

1 d ln

1 x a

x x 



12

3

1

Câu 97 Cho với , số nguyên Mệnh đề ?

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải

Chọn D

Ta có:

Do ,

Vậy

Câu 98 Biết Tính

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải

Chọn D

Ta có:

Nên

Vậy

Câu 99 Cho với , , số nguyên Mệnh đề đúng?

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải

Chọn C

Ta có:

Vậy

Câu 100 Biết Tính

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải

Chọn D

  

4

3

1 d 1 d

1 x x

x x x x

             

2 2

ln ln ln ln ln ln

1 3

x a x              a  

1 ln 2 ln 3

1 dx a b

x x           

 a b

2

a b  a2b0 a b  2 a2b0

1

0

1

ln ln

0

dx

x

x   



1

0

1

ln ln ln

2

dx

x

x    



 

1

0

1 ln ln ln 2 2ln ln 3

1 dx

x x              

 a2 b 1

2

a b

3 2

5 12 d ln ln ln

5

x

x a b c

x x



  

 

 S 3a2b c

3 14 2 11

2 12 x x x       12 x x x  

 

A B x x      

A B x A B

x x

  



 

5

3 12

A B A

A B B

             2

5 12 d

5 x x x x     3 2

2 d d

2 x x

x x

 

 

  2ln x2 323ln x332

3ln ln5 2ln

    4ln ln5 3ln 6  S 3a2b c  11

2

1 d ln 2 ln 3 ln 5

5 x a b c

x  x   

 a b c

4

a b c   a b c   3 a b c  2 a b c  6

 

2 2

2 1

1

1 d 1 d ln 2 ln 3

5 x x x x

x x x x



 

       

     

 

ln ln 5 ln ln 4 2ln ln ln 4ln ln ln

         

   

4 1

a    b c   

     

2

3

1 d ln 1 2 3

6 11

m n p

x

x x x x C

x x x



    

  

 4mnp

Ta có:

Suy

Vậy

Câu 101 Cho với , số nguyên Mệnh đề sau đúng?

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải

Chọn B

Ta có

Suy

Câu 102 Biết tìm giá trị để

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải

Chọn B

Ta có:

Mà

Mặt khác ta có

Vậy để

   

2

3 6 11 61 1 21 3 1 2 3

x x A B C

x x x x x x x x x

                               

2 1 2 3 1 3 1 2

1 3

A x x B x x C x x

x

x x x x x x

       



 

     

        

2 1 2 3 1 3 1 2

x A x x B x x C x x

          

1

5

6

A B C A

A B C B

A B C C

                       

1 d d 5 d 5 d

6 11

x

x x x x

x x x x x x



  

     

   

   5 5

ln x x  x C

    

 

4 m n p 4

3 2

8 d ln ln

2

x

x a b

x x



 

 

 a b

3

a b  a2b11 a b 5 a2b11

3

2

2

8 d d

2

x

x x

x x x x

  

   

     

  3ln x1322ln x2 23 7ln 2ln5

7 a b       11 a b   

1

0

2 3d ln3

2 x x x b x a     

 a b, 0 k

  2017 d lim 2018 ab x k x x x      

k k0 k0 k

1

2

0

2 3d d

2

x x

x x x

x x              

1 3ln 2 3ln3

3x x

     3 a b       8

d d

ab

x x

   

  2017 d lim 2018 ab x k x x x        

2 1 2017

1 lim 2018 x k x x      

 

2 2017 lim 2018 x k x k x      

  2017 d lim 2018 ab x k x x x     

TÍCH PHÂN HÀM VƠ TỈ Câu 103 Tính tích phân

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải

Chọn B

Ta có

Câu 104 Biết Giá trị là:

A. – 1 B.– 2 C.– 3 D. – 4

Hướng dẫn giải

Biết Giá trị là:

Ta có:

Chọn B

Câu 105 Tích phân

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải

Chọn D

Ta có:

Câu 106 Cho , Tính

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải

Chọn B

Ta có

Do , ,

Câu 107 Biết tích phân với , số thực Tính tổng

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải

2

0

4 d

I  x x

13 13

3

4

2

0

4 d

I  x x  

2 1

2

4 dx x

   

2

1 2 1

4 x

  13

3



 

1

0

1

6

a

I  x x dx b

4

a b

 

1

0

1

6

a

I  x x dx b

4

a b

   

1

1

3

0 0

2 4

1 1,

2 3

x

I  x x dx  x     a  b a b 

 



2

0

1

2

I dx

x





 1

2

I   I 2 2

2

I   I  2

2 2

0

1 2 2 2

2

I dx x

x

    





1

0

d

3

2

x

a b a

x  x   

 a b, * a2b

2

a b a2b8 a2b 1 a2b5

1

0

d

2

x

x  x

  

1

0

2 d

x x x

         

1

3

0

2 2 1

3 x x

   

8

2

3

  

2

a b3 a2b8

1

0

3 d

9

3

x a b

x

x x

 

  

 a b T a b

10

Ta có

Câu 108 Tích phân có giá trị là:

A B.

C. D.

Hướng dẫn giải

Tích phân có giá trị là:

Ta có:

Chọn B

Câu 109 Tích phân có giá trị là:

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải

Tích phân có giá trị là:

Ta có:

Chọn A

Câu 110 Biết Với , , số nguyên dương Tính

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải

Chọn A

Ta có

 

 

1 1

0 0

3

d d d

3

x x x

x

x x x x x

x

x x

  

    

  

  

       

1

1 1 1 3 3

2 2

0

2

3 d

9

x x x x x

   

          

   



16 3 17 3 17

9 9



   

       

   

0

1

a

I x x dx

 5  3

2 4

5 15

a a

I         

5

2 4

5 15

a a

I     

 5  3

2 4

5 15

a a

I         

5

2 4

5 15

a a

I     

0

1

a

I x x dx

     

       

3

2

0 0 0

5 5 3

2

0

1 1 1

2 2

= 1 = 1

5 15

a a a a a

a a

I x x dx x x dx x dx x dx x dx

x x x x

          

   

      

   

   

    

1

1 1

x

I dx

x 



 



4 2

I   2

3

I  

3

I  

3

I  

1

1 1

x

I dx

x 



 



   

1

1 3

2

1 1

2

1 1 1

3

1 1

x x

x I dx x dx x x

x  x  

 

             

       

4

3

2 d

2

x x a b

I x

c

x x

  

 

 

 a b c a b c 

39 27 33 41

   

4

4 2 2 3 25 25 8

d d

2 6

2

x x x

x x x x x

x x

 

   

        

   

Câu 111 Biết với số nguyên dương Tính

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải

Chọn B

Ta có

Vậy ; ; nên

Câu 112 Biết với , , số nguyên dương Tính

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải

Chọn D

Ta có: , nên:

Mà nên Suy ra:

TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC Câu 113 Tính tích phân

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải

Chọn D

Ta có

Câu 114 Tính tích phân

 

2

d

2

x

a b c

x x  x x   

 a b c, ,

P  a b c

2

P P8 P46 P22

 

2

d

2

x

x x  x x

 12  

d

2

x

x x x x



  

 12 

2

d

2

x x

x x x

 







2

1 d

2 x x x

 

   



 

  

2

2

x x

    2 3

2

a b3 c3 Pa b c  8

 

2

1

d

1

x

I a b c

x x x x

   

  

 a b c

P  a b c

24

P P12 P18 P46

1

x  x  x 1;2

 

2

1

d

1

x I

x x x x



  

   

2

1

d

1

x

x x x x



  



 

   

2

1

1 d

1 1

x x x

x x x x x x

  

    

   

2

1

1 d

1

x x x

x x

  





2

1

1 d

1 x

x x

 

   



 

  

2

2 x x

   4 2 2   32 12 2

I  a bc

32 12

a b c

  

    

32 12 46

P   a b c   

0

sin dx x





3



3

2



3

0

1

sin d cos3

3

x x x





 

 1 1

3

    

2

0

sin d

4

I x x

 

 

   

 

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải

Chọn C

Câu 115 Tích phân bằng?

A B. C. D.

Hướng dẫn giải

Chọn C

Ta có

Câu 116 Biết , với , số hữu tỉ Tính

A. B. C D.

Hướng dẫn giải

Chọn B

Ta có: Vậy

Câu 117 Số số nguyên thỏa mãn

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải

Chọn B

Ta có

Vì

Vì có tất số nguyên

Câu 118 Tích phân có giá trị là:

A. B. C. D. Cả A, B, C

sai

Hướng dẫn giải

4

I  I  1 I 0 I 1

2

0

sin d

4

I x x

 

 

   

 



2

0

cos

4 x

 

 

   

  cos cos

 

   

    

   

3

d sin

x I

x 





cot cot

3

 

 cot cot

3

 

 cot cot

3

 

  cot cot

3

 

 

3

d sin

x I

x 





3

4

cotx





 

2

3

cosxdx a b





 

 a b T 2a6b

3

T  T  1 T  4 T 2

2

3

cosxdx 



2

sinx  



2

  2a6b   2

cot cot

3

 

  

0

cos x d

m

x



643 1284 1285 642

0

1

cos x sin sin sin 2 ,

0

2 2

m

m k

dx  x   m  m  mk m  k

 

0;2017 k2 2017 4043 1284,06

m  k



       

k 1284 m

2

0

sin

I xdx





Tích phân có giá trị là:

Cách 1:

Chọn A

Cách 2: Dùng máy tính cầm tay

Câu 119 Có số thực thuộc khoảng cho ?

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải

Chọn C

Ta có:

Do đó, có số thực thỏa mãn yêu cầu tốn

Câu 120 Tích phân có giá trị là:

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải

Tích phân có giá trị là:

Cách :

Chọn C

Cách 2: Dùng máy tính cầm tay

Câu 121 Tích phân có giá trị là:

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải

Tích phân có giá trị là:

Cách 1:

2

0

sin

I xdx





 

2

2 0

sin cos

I xdx x





   

b ;3 4cos d

b

x x







8

4cos d

b

x x





 2sin 2x b 1 sin

2

b

  12

5 12

b k

b k

  





 

  

  



b

 

2

2

sin cos

I x x dx



 

  

1

I  I 2 I  2 I  1

 

2

2

sin cos

I x x dx



 

  

0;2017

m    

2

2 2

sin cos cos sin

I x x dx x x



 

 



       

 

6

2

sin cos3

I x x dx



 

  

2

I 

4

I 

4

I  

3

I  

 

6

2

sin cos3

I x x dx



 

  

 

6 1 1 6 3

sin cos3 cos2 sin

2

I x x dx x x

 



 

 

       

 

Cách 2: Dùng máy tính cầm tay

Câu 122 Kết tích phân viết dạng , Khẳng định sau sai?

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải

Chọn B

Vậy , Suy Vậy B sai

Câu 123 Cho tích phân với Tính

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải

Chọn D

Vậy

Câu 124 Cho tích phân , Tính

A. 3 B. C. 2 D.

3

Hướng dẫn giải

Chọn B

Ta có 2   2

0

1

4 cos d sin

2

x x x x x x





  

        

 



Suy a2, b2, c1 nên a b c  1

Câu 125 Biết 6 

3

3 4sin d

6

a c

x x

b





  

 , a,b nguyên dương a

b tối giản Tính a b c 

A. B.16 C. 12. D. 14

 

2

0

2 sin dx x x 

 

 a b

2

a b a b 5 2a3b2 a b 2

   

2

2

0

1

2 sin d cos 1

4

x x x x x x





  

 

           

 



4

a b2 a b 6

2

0

cos2 d sin

x

x a b x





  

 a, b P 1 a3b2

9

P P29 P11 P 25

2

0

cos2 d sin

x x x 





2

0

1 2sin d sin

x x x 

 





2

0

1

2sin d

1 sin

x x

x 

 

    



 



2

0

1

2sin d

1 cos

x x

x 



 

 

 

   

 

   

 

 

 

 

  

2

2

1

2cos d

2cos

2

x x x

x 





  

 



 

 



1

2 tan

2 2 0

x  

  

      

    3 

3,

a  b

3

1 25

P a b  

 

2

0

1

4 cos dx x x c

a b 

  

     

 

Chọn D

Ta có:

   

6

2

0

3 4sin x dx cos 2x dx

 

 

     

   

6

0

5 2cos dx x



 

5 3

6



 

Suy a5, b6, c3

Vậy a b c  14

Câu 126 Cho giá trị tích phân  

3

2

sin cos

I x x dx a



 

    ,  

3

3

cos2 sin

I x x dx b



 

    Giá trị

của a + b là: A. 3

4

P  B. 3

4

P  C. 3

4

P  D. 3

4

P 

Hướng dẫn giải

Cho giá trị tích phân  

3

2

sin cos

I x x dx a



 

    ,  

3

3

cos2 sin

I x x dx b



 

    Giá trị

của a + b là: Cách 1: Ta có:

 

3 3

1

2

1 3 3

sin cos cos2 sin

2 4

I x x dx x x a

 



 



 

          

 



 

3 3

2

3

1 3

cos2 sin sin cos

2 2

I x x dx x x b

 



 



 

       

 



3 3

4

P a b

    

Chọn A

Cách 2: Dùng máy tính cầm tay giá trị quen thuộc học sinh nhận

Câu 127 Cho giá trị tích phân  

2

3

sin3 cos3

I x x dx a



 

    ,

2

2

1 1

1

e

e

I dx b

x x x

 

     



 

 Giá

trịa.b gần với giá trị sau đây?

A. B.16 C. 10. D.

Ta có:

 

2 2

3 3

1

3

1 2

sin3 cos3 cos3 sin3

3 3

I x x dx x x a

 



 



 

          

 

   

   

2

2

1 1 ln ln 1 ln 2 1 ln ln 1

1

1 ln2 ln ln

e e

e e

I dx x x e e

x x x x e e

b e e

e e

   

                



   

        



0,2198

a b

  

Chọn D

Câu 128 Tích phân  

2

2

sin cos

I ax ax dx



 

   , với a0 có giá trị là:

A. sin sin

2 4

I a a

a

   

    

       

   

 

B. sin sin

2 4

I a a

a

   

    

       

   

 

C. sin sin

2 4

I a a

a

   

    

       

   

 

D. sin sin

2 4

I a a

a

   

    

       

   

 

Hướng dẫn giải

Tích phân  

2

2

sin cos

I ax ax dx



 

   có giá trị là:

Ta có:

 

2

2 2

2 2

2

1

sin cos cos sin sin

4

2 sin sin

2 4

I ax ax dx ax ax ax

a a a

a a

a



 

 





   

 



 

   

         

    

    

       

   

 



Chọn B Câu 129 Biết

π

3

2

0

cos sin d π

1 cos

x x x x b

I x

x a c

 

  



 Trong a, b, c số nguyên dương, phân số

b

c tối giản Tính

2 2

T a b c

A. T 16 B.T 59 C. T 69 D. T 50

Hướng dẫn giải

Chọn C

Ta có

0

cos sin d

1 cos

x x x x

I x

x



 







3

0

sin d

1 cos

x

x x

x



 

   



 



 

2

0

d cos sin d

x x x x x

 

  

2 2

2

1

cos cos

8 x x



  

   

 

2 1

8



Câu 130 Cho hàm số f x asin 2x b cos2x thỏa mãn '

2

f   

 

b

a

adx

 Tính tổng a b

bằng:

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải

Chọn C  

' cos2 sin

f x  a x b x

' 2

2

f      a   a

 

1

d d 3

b b

a

a x x b  b

 

Vậy a b   1

Câu 131 Cho tích phân

3

cos cos4 dx x x a b

 

 

 , a, b số hữu tỉ Tính

2

e loga

b



A. 2 B. 3 C 1

8 D.

Hướng dẫn giải

Chọn A

Ta có:

3

cos2 cos dx x x 



   

3

1 cos6 cos d

2  x x x

 



0

3

1 1sin 6 1sin 2

2 x x 



 

   

  1 38

Do ta có a0,

8

b  Vậy ealog2 b e0 log21

8

 2

Câu 132 Cho F x  nguyên hàm hàm số

1 sin

y

x



 với x \ k ,k

 



 

     

 

  , biết

 0

F  ; F( ) 0  Tính 11

12 12

PF F  

   

A. P2 B. P0 C.Không tồn P D. P1

Hướng dẫn giải

Chọn D

Ta có 11  0   11  0  

12 12 12 12

PFF   F F F  F  F F 

         

0

11

12 12

1 d d 1

1 sin 2x x sin 2x x



 



   

 

 

Ta có

 2

1 1

1 sin sin cos 2cos

4

x x x

x 

 

    

 

 

 

0

12 12

1 d 1tan 1 3

1 sin 2x x x 



  

 

      

  

 ;

 

11 11

12 12

1 d 1tan 1 3

1 sin 2x x x

 

 



 

      

  



Vậy P1

Câu 133 Cho M , N số thực, xét hàm số f x M.sin πxN.cos πx thỏa mãn f  1 3

 

1

0

1 d

π

f x x 

 Giá trị f  14

 

A. 5π

2 B. 5π 2 C. π 2 D.

π 2

Hướng dẫn giải

Chọn A

Ta có f  1 3 M.sin πN.cos π 3 N  3

Mặt khác  

1

0

1 d

π

f x x 

  

1

0

1 sin π 3.cos π d

π

M x x x

    

1

0

3

cos π sin π

π π π

M

x x

 

     

 

3

π π π

M

     M 2

Vậy f x 2sin π 3cos πx x nên f x 2πcos π 3πsin πx x 5π

4

f 

  

 

Câu 134 Tích phân  

2

2

cos cos

I x xdx



  có giá trị là:

A.

4

I   B.

4

I    C.

4

I   D.

4

I   

Hướng dẫn giải

Tích phân  

2

2

cos cos

I x xdx



  có giá trị là:

Ta biến đổi:

   

1

2 2 2

2 2

0 0 0

1

cos cos cos sin cos sin

3 2

t

I x xdx x x dx xdx t x x

   



   

             

 

 

  

, với t sinx Chọn D

Câu 135 Biết tích phân

sin

I xdx a





  Giá trị

1

2

1 ln 2 ln5

a x

I dx b c

x x



  



 Thương số b

và c là:

A. – 2 B.– 4 C.2 D.4

Biết tích phân

sin

I xdx a





  Giá trị

1

2

1 ln 2 ln5

a x

I dx b c

x x



  



 Thương số b

và c là: Ta có:   2 3 sin cos

I xdx x

        

1 2 2

5

2 3

8

2

1 1 ln 4ln 2 1ln 5 4, 4

3 3 3

a

x x b

I dx dx t b c

x x x x c

 

            

 

 

Chọn B

Câu 136 Cho    

3

2 6

0

sin cos cos3 sin sin

I x x dx a x bx c x





     Giá trị 3a2b4c là:

A. – 1 B.1 C.– 2 D. 2

Hướng dẫn giải

Cho    

3

2 6

0

sin cos cos3 sin sin

I x x dx a x bx c x





     Giá trị 3a2b4c là:

Ta có:

 

3 3

2

0 0

1 cos 1

sin cos sin cos3 sin

2

1, 1, 3 2 4 1

3

x

I x x dx x dx x x x

a b c a c c

                                  Chọn B

Câu 137 Cho tan dn n

I  x x với n Khi I0I12I2I3 I8I9I10 A.  

1 tan r r x C r  

 B.  

1 tan r r x C r    

 C.  

10 tan r r x C r  

 D.  

1 10 tan r r x C r     

Hướng dẫn giải

Chọn A

2

tann tan d

n

I   x x x tan 12 d

cos n x x x         

 tann 2x tan x dx In

     tan n n x I C n       tan 1

n

n n

x

I I C

n         

0 2 10

I I  I I  I I I =I10I8  I9I7 I3I1  I2I0

9

tan tan tan tan

9

x x x

x C       tanr r x C r   

TÍCH PHÂN HÀM MŨ – LƠGARIT Câu 138 Tích phân 1e dx

x



A. e 1 B. 1

e C.

e e

 . D.

e

Hướng dẫn giải

Chọn C

Ta có:

0

1 e

e d e

0 e e

x x

x

    

     

 



Câu 139 Tích phân 2018

0

2 d

  x

I x

A. 220181. B. 22018

ln 

C. 22018

ln D. 2018

Hướng dẫn giải

Chọn D

2018

2018 2018

0

2

2 d

ln ln



   

x x

I x

Câu 140 Biết

1

1 ( )d

2

f x x







0

1

1 ( )d

2

f x x



 

 Tính tích phân

4

4e x ( ) d

I   f x  x

A. 2e8

I  . B. I 4e 28 . C. I 4e8. D. I 2e 48 .

Hướng dẫn giải

Chọn A

Ta có    

4

2

0

4 e

4e ( ) d d d

0

x x

I f x x f x x f x x





 

       

  1

2 e 2 2.e

2

I

     

Câu 141 Cho  

2

0

e d x

t

F x   t Tính F 2

A. F 2 4e4 B. F 2 8e16 C. F 2 4e16 D. F 2 e4

Hướng dẫn giải

Chọn C

Gọi G x  nguyên hàm hàm số et2

   2  0

F x G x G

  

   2 F x x G x

  ex4

x



 2 4.e16 F

 

Câu 142 Cho hàm số  

1 d ln x

x

g x t

t

  với x0 Đạo hàm g x  A.  

ln

x g x

x



  B.  

ln

x g x

x



  C.  

ln

g x

x

  D. g x lnx

Hướng dẫn giải

Chọn A

Giả sử F t  nguyên hàm hàm số

lnt

Ta có  

1 d ln x

x

g x t

t

  F x 2 F x 

Suy g x F x 2 F x  F x 2 F x  12.2 lnx x lnx

 

ln

x x





Chú ý: ta có công thức  

   

       

v x

u x

f t dt v x f v x u x f u x



 

 

      

 

  

Câu 143  

3

3

d

f x x 

 

   Gọi S tập hợp tất số nguyên dương k thỏa mãn

2

1

2018.e 2018

e dkx x k

k

 

 Số phần tử tập hợp S

A. B. C.Vô số D.

Hướng dẫn giải

Chọn A

Ta có:

2

1

1

e dkx ekx

x k

 

  

 



2

e k ek k





2

1

2018.e 2018

e dkx k

x

k

 



2

e k ek 2018.e 2018k

k k

 

 

   

e e 2018 e 1k k k

    (do k nguyên dương)

e ek  k 2018

    ek 2018

   0k ln 2018 7.6

Do k nguyên dương nên ta chọn kS (với S 1;2;3;4;5;6;7)

Suy số phần tử S Câu 144 Cho

0

e d

1 e

nx

n x

I x

 

 

 với n

Đặt un 1.I1I22I2I33I3I4 n I nIn1n

Biết limun L Mệnh đề sau đúng?

A. L  1;0 B. L   2; 1 C. L0;1 D. L1;2

Hướng dẫn giải

Chọn A

Với n,

 

1

1

e d

1 e

n x

n x

I x

    





1

0

e e d e

nx x

x x

  

 



1

0

e

e d d

1 e

nx nx

x

x x

 



 



 

1

0

e dnx n

x I



 

1

0

e dnx

n n

I   x I

   1 1 e n

n n

I I

n

 

   

Do 1 e 1 1 e 2 1 e 3 e n n

u     n

         

1

e e e e n

n

u    

      

Ta thấy un tổng n số hạng đầu cấp số nhân lùi vô hạn với

1

1 e

u    e

q , nên

1

e

limu 1







e

L 

TÍCH PHÂN ĐỔI BIẾN SỐ PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN ĐỔI BIẾN SỐ DẠNG

Cho hàm số y f x  liên tục đoạn [ ; ].a b Giả sử hàm số uu x( ) có đạo hàm liên tục

trên đoạn [ ; ]a b u x( ) Giả sử viết f x( )g u x u x x( ( )) '( ), [ ; ],a b với g liên tục đoạn [ ; ].  Khi đó, ta có

( )

( )

( ) u b ( )

b

a u a

I f x dx  g u du

Dấu hiệu nhận biết cách tính tính phân

Dấu hiệu Có thể đặt Ví dụ

1 Có f x( ) t f x( )

3

0 1

x dx I

x 



 Đặt t x1

2 Có ( )n

ax b t axb 2016

0 ( 1)

I x x dx Đặt t x1

3 Có f x( )

a t f x( )

tan

2

0 cos

x e

I dx

x

 

 Đặt t tanx3

4 Có dx vàlnx x

ln

t x hoặc biểu thức

chứa lnx

ln (ln 1)

e xdx

I

x x





 Đặt t lnx1

5 Có x

e dx

x

te hoặc biểu thức

chứa x

e

ln 2

0

x x

I  e e  dx Đặt t 3ex1

6 Có sinxdx tcosx

0 sin cos

I x xdx



 Đặt tsinx

7 Có cosxdx t sinxdx

3

sin 2cos

x

I dx

x







 Đặt t2cosx1

8 Có 2

cos dx

x ttanx

2

4

4

0

1 (1 tan )

cos cos

I dx x dx

x x

 

  

Đặt ttanx

9 Có 2

sin dx

x tcotx

cot cot

4

2 cos2 2sin

x x

e e

I dx dx

x x

 

 



  Đặt tcotx

BÀI TẬP

Câu 1: Cho hàm số y f x  liên tục a b,  Giả sử hàm số uu x  có đạo hàm liên tục

a b,  u x  ,  x a b, , f u  liên tục đoạn  , 

Mệnh đề sau đúng?xa A.    d  d

b b

a a

f u x u x x f u u

  B.    

   

 

d d

u b b

u a a

f u x u x x f u u

 

C.      

   

d d

u b b

a u a

f u x u x x f u u

  D.    d  d

b b

a a

f u x u x x f x u

 

HÀM ĐA THỨC VÀ HÀM HỮU TỈ Câu 2: Tínhtíchphân  

3

1000

1

A. 2003.2 1002

1003002

I  B.

1001

1502.2 501501

I  C.

1002

3005.2 .

1003002

I  D.

1001

2003.2 501501

I 

Câu 3: Giá trị tích phân    

100

0

1 100 d

x x x x



A. B.1 C. 100 D.một giá trị khác

Câu 4: Tích phân 2

0

d

x x

x 



A. 1log7

2 B.

7 ln

3 C.

1 7ln

2 D.

1 3ln

Câu 5: Cho tích phân 5 3

1

5 ln

8

dx

I a b

x x

  



 Khi a2b

A.

2 B.

5

4 C.

5

8 D.

5 16

Câu 6: Tích phân

 

1

3

x dx I

x

 

 kết I aln 2b Giá trị a+b là:

A.

16 B.

13

16 C.

14

17 D.

4 17

Câu 7: Tích phân 2

1

2

x

I dx

x 

 

 có giá trị là:

A. I ln3 B. I  ln C. I  ln3 D. I ln

Câu 8: Cho 32

0

1 ln

1

x

dx a

x  

 ,a là số hữu tỉ Giá trị a là:

A. B.3 C.4 D.5

Câu 9: Tích phân 2

1

ax

I dx

ax 





 ,với a 2 có giá trị là:

A ln ln

2

a

I    B ln ln 2

a

I   

C ln ln

2

a

I    D ln ln 2

a

I    

Câu 10: Giả sử 2

3

d  ln5 ln3 ln 2.( , ,  )



 x a b c a b c 

x x

5

ln5 ln3 ln

dx

a b c

x x   

 Tính giá trị

biểu thức 2 3 2

S   a b c

A. S 3 B. S6 C. S0 D. S  2

Câu 11: Biết 22

0

2 3 d ln

2

x x

x a b

x x

 

 

 

 với a, b số nguyên dương Tính Pa2b2

Câu 12: Tính

 

2 d

b

a

a x

I x

a x

 



 (với a, b số thực dương cho trước)

A I 22b 2

a b



 B

b I

a b



 C

  

 2 

1

1

a b

I

a b a

 



  D

b I

a b





Câu 13: Cho hàm số f x  liên tục  tích phân  

0

tan d

f x x





  

2

2

d

x f x x

x  



Tính tích phân  

1

0

d

I  f x x

A. I 6. B. I 2 C. I 3. D. I1

Câu 14: Cho hàm số y f x  có đạo hàm liên tục  có đồ thị hình bên Tính tích phân

 

2

1

2 d

I  f x x

A. I  2 B. I  1 C. I 1 D. I HÀM VƠ TỈ

Câu 15: Cho tích phân 13

1 dx x

 , với cách đặt t31x tích phân cho với tích phân sau đây?

A

0

3 dt t B

1

d

t t

 C

1

3t dt D

1

3 dt t

Câu 16: Trongcáctíchphânsau,tíchphânnàocócùnggiátrịvới

1

I  x x  dx A 1 12

2 t t dt B

4

1 t t1dt

 C. 03t21t dt2 D  

3 2 2

1 x 1 x dx



Câu 17: Nếu

0

( )

1

x

dx f t dt

x 

 

  , với t 1x f t( ) hàm số hàm số

đây ?

A. f t( ) 2 t22t B. f t( )t2t C. f t( )t2t D. f t( ) 2 t22t

4

2

2 -1

-1

3

Câu 18: Kết

0

1 d

2 1x x



A. B. C. D.

Câu 19: Tích phân

0

d

x x



A.

3 B.

3

2 C

1

3 D.

2

Câu 20: Cho

0

d ln ln

3

4

x a

x b c

x   

 

 với a, b, c số nguyên Giá trị a b c 

bằng

A. B. C. D.

Câu 21: Biết

0

1 d ln 2

2

I x a b

x

  

 

 với a b, số nguyên Tính S a b

A. S 3 B. S  3 C S 5. D S 7.

Câu 22: Tính tích phân

1

d

x x x

 kết I aln3bln5 Giá trị a2ab3b2

A. B. C. D.

Câu 23: Cho tích phân

0

d ln2

3

3

x

I a b

x

  

 

 với a b,  Mệnh đề sau đúng?

A. a b 3 B. a b 5 C a b 5 D a b 3

Câu 24: Biết  

2 1d

3

x x  x a b

 , với a b, số nguyên dương Mệnh đề sau

A. a2b B. ab C. ab D. a3b

Câu 25: Cho  

2

d 5ln , 5

4

a x

I a

x x

  



 Khi giá trị số thực alà

A. B 2 C 3 D 2

Câu 26: Cho

2

2

x

I dx a b

x

  



 Giá trịa.b là:

A. – 1 B.– 2 C.1 D.2

Câu 27: Với a b c, , R Đặt

2

1

4 x lnb

I dx a

x c



   Giá trị tính abc :

A B. 2 C 2 D. 

Câu 28: Cho

1

1 ln

x c d

dx a b

x e

 

  

 với c nguyên dương a, b, c, d, e số

A. 14 B.17 C 10 D. 24

Câu 29: Giá trị

3

0

d

x x I

x





 viết dạng phân số tối giản ab (a, b số nguyên

dương) Khi giá trị a7b

A. B.1 C. D. 1

Câu 30: Giả sử 64 3

1

d ln2

3

x

I a b

x x

  



 với a b, số nguyên Tính giá trị ab

A. 17 B. C. 5 D. 17

Câu 31: Giả sử 4

1

1 x d b

x a a b

x c b c

  

   



 

 với a b c, , ; 1a b c, , 9 Tính giá trị biểu

thức C2b aa c

 

A. 165 B. 715 C. 5456 D. 35

Câu 32: Tập hợp nghiệm bất phương trình 2

0

d

x t

t t

 

 (ẩn x) là:

A.  ;  B. ;0 C.  ;   \ D 0;

Câu 33: Cho biết

3

0

d

1 

 x x m

n

x với

m

n phân số tối giản Tính m7n

A. B.1 C. D. 91

Câu 34: Biết

2

d 35

3

x

x a b c

x x

  

 

 với a, b, c số hữu tỷ, tính P a 2b c 7

A

9

 B. 86

27 C. 2 D.

67 27

Câu 35: Biết

 

2

1

d

1

x

a b c

x x  x x   

 với a, b, c số nguyên dương Tính

P  a b c.

A. P 44 B. P  42 C. P46 D. P48

Câu 36: Giả sử a, b, c số nguyên thỏa mãn

4

0

2 1d

2

x x

x x

 



  

3

4

1

1 d

2 au bu c u

    ,

đó u 1x Tính giá trị S   a b c

A. S 3 B. S 0 C. S1 D. S 2

Câu 37: Tích phân

2

0

a x ax

I dx

ax

 



 , với a0 có giá trị là:

A.  2

4

a a

I   B.  2

2

a a

I   C.  2

4

a a

I   D.  2

2

a a

Câu 38: Tích phân

2

1

I dx

x





 có giá trị là:

A. ln3

3

I    B. ln 3

3

I     C ln3

3

I   D. ln 3

3

I   

Câu 39: Tích phân

2

0 12

a

I dx

x





 có giá trị là:

A ln

a

I   B. ln1

2

a

I   

C. ln

2

a

I    D ln

2

a

I  

Câu 40: Tích phân

2

2 2 1

4

ax

I dx

ax x



  



 Giá trị nguyên a là:

A. a5 B. a6 C a7 D. a8

Câu 41: Cho

2

1 ln2

1

a dx

b x

 

 

 ,a và b là số hữu tỉ Giá trị a

b là: A.

5 B.

5

2 C.

2

3 D.

3

Câu 42: Tích phân

37 5

3

0

3

x

I dx

x





 có gái trị là:

A. 87

5

I  B. 67

5

I  C. 77

5

I  D. 57

5

I 

Câu 43: Biết  

4

0

2 1d ln 2 ln5 , ,

3

2 3

x x

a b c a b c

x x



   

  

  Tính T 2a b c 

A. T  B. T 2 C. T 1 D. T 3

Câu 44: Biết 2  

1

d 3 2 1ln 3

2

1

x

a b c

x x

    

  

 với a, b, c số hữu tỷ Tính

P  a b c A

2

P B. P 1. C

2

P  D

2

P

Câu 45: Biết

1

d 2ln

1

4

x a

b

x x

  

  

  

   



với a, b số nguyên dương Giá trị a b

bằng

Câu 46: Biết 3 3

2 11

1

1 2 1 d a

x x c

x x x b

 

   

 

 

 

 , với a b c, , nguyên dương, a

b tối giản ca Tính

  

S a b c

A. S 51 B. S67 C. S39 D. S 75

Câu 47: Cho số thực dương k 0 thỏa  

2

ln

dx

x k

 



 Mệnh đề sau đúng?

A

2

k  B.

2

k

  C. 1

2 k D.

3

2

k

 

HÀM LƯỢNG GIÁC

Câu 48: Tìm khẳng định khẳng định sau

A.  

1

0

sin 1x dx sin dx x

  B.  

1

0

cos 1x dx  cos dx x

 

C

0

cos d cos d

2

x

x x x

 



  D

2

0

sin d sin d

2

x

x x x

 



 

Câu 49: Tính tích phân

π

3

sin d cos

x

I x

x



A.

2

I  B.

2

I  C. π

3 20

I   D.

4

I 

Câu 50: Cho

sin tan ln

8

b

I x xdx a



   Chọn mệnh đề đúng:

A. a b B. a b C. ab6 D. b

a 

Câu 51: Biết

1 cos

I dx a

x 



 





0

3

1

3

2

4

I x dx b



    , a và b là số hữu tỉ Thương

số a b có giá trị là: A 1

2 B.

1

3 C.

3

4 D.

2

Câu 52: Cho a

0

cos 2x

I dx ln

1 2sin 2x



 



 Tìm giá trị a là:

A. B.2 C.4 D.

Câu 53: Biết 4 

0

1 tan

I x dx a



    

1

1

2 3

2

0 0

I  x  x dxbx cx 

 

 , a và b là số hữu tỉ Giá

trị a + b + c là:

Câu 54: Tích phân

0

sin

cos cos3

x

I dx

x x







 có giá trị là:

A. ln 2 ln

2 2 2

I      

   

 

B. ln 2 ln

2 2 2

I      

   

 

C. ln 2 ln

2 2 2

I      

 

 

D. ln 2 ln

2 2 2

I      

 

 

Câu 55: Tích phân 2

4

2 cos

sin

x x

I dx

x x





 



 có giá trị là:

A ln ln 2

4 16

I       

 

   

B ln ln 2

4 16

I       

 

   

C ln ln 2

4 16

I       

 

   

D ln ln 2

4 16

I       

 

   

Câu 56: Cho  

4

0

sin ln tanx x dx





 abln 2c với a, b , c số hữu tỉ Tính T 1 c

a b

  

A. T 2 B. T 4 C. T 6 D. T  4

Câu 57: Xét tích phân

0

sin d cos

x

I x

x 

 

 Nếu đặt t 1 cos x, khẳng định đúng?

A

2

d 4t 4t

I t

t 

  B

1

2

d 4t 4t

I t

t  

  C  

2

4 d

I   t  t D.

 

2

4 d

I    t  t

Câu 58: Cho  

0

1 sin cos d

64

n

x x x n

 



Tìm giá trị n

A. n3 B. n4 C. n5 D. n6

Câu 59: Cho tích phân

3

sin d ln5 ln 2

cos

x

x a b

x 



 



 với a b,  Mệnh đề đúng?

A. 2a b 0 B. a2b0 C. 2a b 0 D. a2b0

Câu 60: Tích phân

 

2

3

cos sin

cos cos

x

x x

I dx

e x x





 



A

3

2

2 ln

2

e e I

e

 



 



 

 





. B

3

2

2 ln

2

e e I

e

 



 



 

 





C

3

2

2 ln

2

e e I

e

 



 



 

 





. D

3

2

2 ln

2

e e I

e

 



 



 

 





Câu 61: Tích phân

3

sin cos

x

I dx

x 



 có giá trị là:

A. 19 17

2

I   B.

4

19 17

I   C. 19 17

2

I   D.

4

19 17

I  

Câu 62: Tích phân

 

3

2

sin

cos sin

x

I dx

x x



 





 có gái trị là:

A. 3ln 3

16

I    

 

 

B. 3ln 3

8

I    

 

 

C. 3ln 3

8

I     

 

 

D. 3ln 3

16

I     

 

 

Câu 63: Tích phân 2 2

0

1

9cos sin

I dx

x x







 có giá trị là:

A. ln2

3

I  B. ln2

2

I  C. ln2

6

I  D. I ln

Câu 64: Tích phân

 2

0

sin cos

1

sin cos

a

x x

I dx

x x

 

 

 

 Giá trị alà:

A

2

a  B

4

a  C

3

a D

6

a

Câu 65: Tích phân

3

sin

sin cos

x

I dx

x x









 có giá trị là:

A. ln 1 

12

I     B ln

12

C

3 ln

2

12

I 

  

 

 

 

.D.

3 ln

12

I    

Câu 66: Chobiết

0

cos ln 2

sin cos

x

dx a b

x x





 



 với a b làcácsốhữutỉ.Khiđó a

b bằng:

A.

4 B.

3

8 C.

1

2 D.

3

Câu 67: Biết 2018 2018 2018

0

sin d

sin cos

a

x x

x

x x b





 

 a, b số nguyên dương Tính P2a b

A. P8. B. P10. C.P6. D. P12.

Câu 68: Cho tích phân

2

sin cos

xdx I

x



 



 

 (với  1) giá trị I bằng:

A. B 2 C. 2 D



Câu 69: Có giá trị tham số m khoảng 0; 6 thỏa mãn

sin d

5 4cos

m

x x

x 



 ?

A. B.12 C. D.

Câu 70: Cho 2

0

cos d ln4 ,

sin 5sin

x

x a b

x x c



 

 

 tính tổng S  a b c

A. S1 B. S4 C. S3 D. S 0

Câu 71: Cho tích phân 2  

0

2 cos cos sin

d ln

cos

x x x x x c

I x a b

x x







   

   



 với a, b, c số

hữu tỉ Tính giá trị biểu thức .

Pac b

A P3 B

P C.

2

P D. P 2

Câu 72: Cho

 

2

2

sin d ln4

cos 5cos

x

x a b

c

x x



 

 

 , với a, b số hữu tỉ, c0 Tính tổng

S   a b c.

A. S 3 B. S0 C. S1 D S 4

Câu 73: Cho    

2

0

4cos 2x 3sin ln cosx x 2sin dx x cln a

b 

   

 , a, b, c*, ab phân

số tối giản Tính T   a b c.

Câu 74: Biết 6 3

3

sin d 3

1

x

x c d

a b

x x 



 

 

   

 

 với a b c d, , , số nguyên Tính

a b c d  

A. a b c d   28. B a b c d   16. C a b c d   14. D.

22

a b c d   

Câu 75: Biết

2

cos d

1

x x

x a

b c

x x





 



  

 

 với a, b, c, d số nguyên Tính M   a b c

A. M 35 B. M 41 C. M  37 D. M  35

Câu 76: Cho

 

1

0

d 2018

f x x



Tính

 

12

0

cos sin dx f x x 



A 1009

2

I  B. I 1009 C. I 4036 D. I 2018

Câu 77: Cho f hàm số liên tục thỏa  

1

0

d

f x x

 Tính  

2

0

cos sin d

I x f x x





A. B. C. D.

Câu 78: Cho hàm số f x  liên tục   

1

1

d 12

f x x 



 ,  

2

3

2cos sin d

f x x x







A. 12 B.12 C. D. 6.

Câu 79: Cho hàm số y f x  liên tục  thỏa mãn  

9

1

4

f x dx

x 

  

/2

0

sin cos

f x xdx







Tích phân  

3

0

I  f x dxbằng

A. I 2 B. I 6 C. I 4 D. I 10

HÀM MŨ – LÔGARIT Câu 80: Cho 1

0

d x

I xe x.Biết

2

ae b

I   Khiđó, a b

A. B. C. D.

Câu 81: Nguyên hàm  

2

sin

sin e x

f x  x

A. 2 sin2 1

sin e x

x  C B.

sin

e

sin

x C x





 C.

2

sin

e x

C

 D

2

sin

e

sin

x C x







Câu 82: Biết  

1

1

3 d , ,

5

x a b

e  x e  e c a b c 

A. T 6 B. T 9 C. T 10 D. T 5

Câu 83: Tích phân ln12

ln5

4

x

I   e  dx có giá trị là:

A. I  2 ln3 ln5 B I  2 2ln3 2ln5

C. I  2 2ln3 ln5 D I  2 ln3 2ln5

Câu 84: Tìm tất giá trị dương tham số m cho 500

0 e d e

m x m

x  x 



A. 2250 2500 2

m  B m 210001 C m2250 25002. D m 210001

Câu 85: Cho

d

e e e

1

x x

a b c

x



  



 Với a, b, c số nguyên Tính S   a b c

A. S1 B. S2 C. S0 D. S 4

Câu 86: Cho tích phân sin2

sin cos d x

I e x x x



 Nếu đổi biến số tsin2 x thì:

A 1

0

1 d d

2

t t

I   e t te t

  

B 1

0

1 d d

2

t t

I   e t te t

  

C 1

0

2 td td

I   e t te t

  

. D 1

0

2 td td

I   e t te t

  

Câu 87: Tính

1 d

lim

n

x x

n x

e



  

A. 1 B.1 C. e D.

Câu 88: Tính tích phân 2016

2

d x

x

I x

e 

 

 A. I0 B.

2018

2 2017

I  C

2017

2 2017

I  D

2018

2 2018

I 

Câu 89: Cho biết

 

1 2

d

2 x

x e a

x e c

b

x  

 với a, c số nguyên, b số nguyên dương a

b

phân số tối giản Tính a b c 

A. B. C. D 3

Câu 90: Biết tích phân ln

0

e d ln 2 ln 3

1 e

x

x xab c

 

 , với a, b, c số nguyên Tính

T   a b c.

A. T  1 B. T 0 C. T 2 D. T 1 Câu 91: Giá trị    

3

3

3

9

cos

2

1

sin e x d

A. 0,046 B. 0,036 C. 0,037 D. 0,038

Câu 92: Cho    

2

0

e

d e ln e

e

x x

x x

x a b c

x 



  



 với a, b, c Tính P a 2b c

A. P1 B. P  1 C. P0 D. P 2 Câu 93: Biết 1 

0

5 e e

d e ln

2 e

  

  

 



x x

x x a c

x a b

x với a, b, c số nguyên e số

logarit tự nhiên Tính S 2a b c 

A. S10 B. S 0 C. S 5 D. S 9

Câu 94: 3

0

2 e d 1 ln e

e.2 eln e

x x

x

x x

x p

m n



 

   

    

   

 với m, n, p số nguyên dương Tính

tổng Sm n p

A. S 6 B. S 5 C. S 7 D. S 8

Câu 95: Cho tam thức bậc hai f x ax2bx c , , ,a b c,a0 có hai nghiệm thực phân biệt

1,

x x Tính tích phân 2 

1 d

x ax bx c

x

I  ax b e   x

A I x1x2 B 14

x x

I   C. I 0 D.

2

x x I  

Câu 96: Với cách đổi biến u 3ln x tích phân

1

ln d

1 3ln e

x x

x  x

 trở thành

A. 2 

2 1 d

3 u  u B.  

2

2 1 d

9 u  u C.  

2

2 u 1 du D

2

1

2 1d

9

u

u u





Câu 97: Biết e 

1

1 ln 2d .e ln e

1 ln e

x x

x a b

x x

    

   

  

 a, b số nguyên Khi tỉ số a

b

A.

2 B.1 C. D.

Câu 98: Tính tích phân e

1

1 3ln dx

I x

x



 cách đặt t 3ln x, mệnh đề sai?

A.

2

I  t B

2

2 d

I  t t C

2

2 d

3

I  t t D. 14

9

I 

Câu 99: Biết 2 

1

3 d ln ln

3 ln

x b

x a

x x x c

  

   

  

 với a, b, c số nguyên dương c4 Tổng

a b c  bằng

A. B. C. D.

Câu 100: Biết

   

e

1

ln d ln3 , ,

ln 2

x

I x a b a b Q

x x

   

