9.2 ỨNG DỤNG TÍNH DIỆN TÍCH CÓ ĐỒ THỊ ĐẠO HÀM VÀ ỨNG DỤNG THỰC TẾ 10.1 ỨNG DỤNG TÍNH THỂ TÍCH GIỚI HẠN BỞI CÁC ĐƯỜNG7. 10.2 ỨNG DỤNG THỰC TẾ THỂ TÍCH BỞI CÁC ĐƯỜNG VÀ ỨNG DỤNG THỰC TẾ 11[r]
(1)(2)MỤC LỤC
1.1 NGUYÊN HÀM ĐỊNH NGHĨA, TÍNH CHẤT VÀ NG.H CƠ BẢN 1.2 NGUYÊN HÀM ĐỊNH NGHĨA, TÍNH CHẤT VÀ NG.H CƠ BẢN 2 NGUYÊN HÀM ĐỔI BIẾN
3 NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN
4 TÍCH PHÂN ĐỊNH NGHĨA, TÍNH CHẤT VÀ TP CƠ BẢN 5 TÍCH PHÂN ĐỔI BIẾN
6 TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN
7 GTLN, GTNN – BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN 8.1 TÍCH PHÂN HÀM ẨN ÁP DỤNG TÍNH CHẤT 8.2 TÍCH PHÂN HÀM ẨN ÁP DỤNG ĐỔI BIẾN 8.3 TÍCH PHÂN HÀM ẨN ÁP DỤNG TỪNG PHẦN
9.1 ỨNG DỤNG TÍNH DIỆN TÍCH GIỚI HẠN BỞI CÁC ĐƯỜNG
9.2 ỨNG DỤNG TÍNH DIỆN TÍCH CĨ ĐỒ THỊ ĐẠO HÀM VÀ ỨNG DỤNG THỰC TẾ 10.1 ỨNG DỤNG TÍNH THỂ TÍCH GIỚI HẠN BỞI CÁC ĐƯỜNG
(3)NGUYÊN HÀM CƠ BẢN A - KIẾN THỨC CƠ BẢN
1 Nguyên hàm
Định nghĩa:Cho hàm số f x
xác định K (K khoảng, đoạn hay nửa khoảng) Hàm số
F x gọi nguyên hàm hàm số f x
K F'
x f x
với xK Định lí:1) Nếu F x
nguyên hàm hàm số f x
K với số C, hàm số
G x F x C nguyên hàm f x
K2) Nếu F x
nguyên hàm hàm số f x
K nguyên hàm f x
K có dạng F x
C, với C sốDo F x
C C, họ tất nguyên hàm f x
K Ký hiệu
x
f x d F x C
2 Tính chất nguyên hàm
Tính chất 1:
f x d
x
f x
f '
x dx f x
CTính chất 2:
kf x d
xk f x d
x với k số khácTính chất 3:
f x
g x
dx
f x d
x
g x d
x3 Sự tồn nguyên hàm
Định lí: Mọi hàm số f x
liên tục K có nguyên hàm K4 Bảng nguyên hàm số hàm số sơ cấp
Nguyên hàm hàm số sơ cấp Nguyên hàm hàm số hợp
uu x
x
d xC
duuC
1
1
x
1
x d x C
u d u 11u C
1
1 x lnd x C
x
u lnd u Cu
x
x x
e d e C
e du ueu C
x 0,
ln x
x a
a d C a a
a
u ln
0, 1
u
u a
a d C a a
a
(4)sin dxx cos xC
sin duu cosuCcos xdx sin xC
cosudu sin uC2
1 x tan
cos xd x C
1 u tan
cos ud uC
2
1 x cot
sin xd x C
1 u cot
sin ud uC
B - BÀI TẬP
DẠNG 1:SỬ DỤNG LÍ THUYẾT
Câu Trong khẳng định đây, có khẳng định đúng? (1): Mọi hàm số liên tục
a b;
có đạo hàm
a b;
(2): Mọi hàm số liên tục
a b;
có nguyên hàm
a b;
(3): Mọi hàm số đạo hàm
a b;
có nguyên hàm
a b;
(4): Mọi hàm số liên tục
a b;
có giá trị lớn giá trị nhỏ
a b;
A. B. C. D.
Câu Cho hai hàm số f x
, g x
liên tục Trong mệnh đề sau, mệnh đề sai? A.
f x
g x
dx
f x
dx
g x
dxB.
f x g x
dx
f x
d x g x
dxC.
f x
g x
dx
f x
dx
g x
dxD.
kf x
dxk f x
dx
k0;k
Câu Cho f x
, g x
hàm số xác định liên tục Trong mệnh đề sau, mệnhđề sai?
A.
f x g x
dx
f x
d x g x
dx B.
2f x
dx2
f x
dxC.
f x
g x
dx
f x
dx
g x
dx. D.
d
d
df x g x x f x x g x x
Câu Khẳng định sau khẳng định sai?
A.
kf x
dxk f x
dx với kB.
f x
g x
dx
f x
dx
g x
dx với f x
; g x
liên tục C. d 1
1
x x x
với 1D
f x
dx
f x
Câu Cho hai hàm số f x
, g x
hàm số liên tục, có F x
, G x
nguyên hàmcủa f x
, g x
Xét mệnh đề sau:
I F x
G x
nguyên hàm f x
g x
II k F x
nguyên hàm k f x
với k (5)A.
II
III
B.Cả mệnh đề C.
I
III
D.
I
II Câu Mệnh đề sau sai?A.
f x
g x
dx
f x dx
g x dx
, với hàm số f x
,g x
liên tục B.
f
x dx f x
C với hàm số f x
có đạo hàm C.
f x
g x
dx
f x dx
g x dx
, với hàm số f x
,g x
liên tục D.
kf x dx
k
f x dx
với số k với hàm số f x
liên tục Câu Cho hàm số f x
xác định K F x
nguyên hàm f x
K Khẳngđịnh đúng?
A. f
x F x
, x K B. F x
f x
, x K C. F x
f x
, x K D. F x
f
x , x K Câu Cho hàm số f x
xác định K Khẳng định sau sai?A. Nếu hàm số F x
nguyên hàm f x
K với số C, hàm số
G x F x C nguyên hàm f x
KB.Nếu f x
liên tục K có ngun hàm KC.Hàm số F x
gọi nguyên hàm f x
K F x
f x
với xKD.Nếu hàm số F x
nguyên hàm f x
K hàm số F
x
nguyênhàm f x
KDẠNG 2: ÁP DỤNG TRỰC TIẾP BẢNG NGUYÊN HÀM Câu Cho
2
f x x
, chọn mệnh đề sai mệnh đề sau:
A. Trên
2;
, nguyên hàm hàm số f x
F x
ln
x2
C1; khoảng
; 2
, nguyên hàm hàm số f x
F x
ln
x 2
C2 (C C1, 2 số) B.Trên khoảng
; 2
, nguyên hàm hàm số f x
G x
ln
x 3
C. Trên
2;
, nguyên hàm hàm số f x
F x
ln
x2
D. Nếu F x
G x
hai nguyên hàm của f x
chúng sai khácsố
Câu 10 Khẳng định sai?
A.
cos dx x sinxC B. d lnx x Cx
C. 2 d
x xx C
D.
e dx xexCCâu 11 Tìm mệnh đề sai mệnh đề sau
A 3d
4
x C
x x
B. d lnx x Cx
C.
sin dx xCcosx D.
2e dx x2 e
xC
Câu 12 Trong khẳng định sau, khẳng định sai?
A.
dxx2C (C số). B1
d
1 n
n x
x x C
n
(6)Câu 13 Tìm nguyên hàm F x
2dxA. F x
2x C B. F x
2x CC.
3
3
F x C D.
2
2
x F x C Câu 14 Họ nguyên hàm hàm số
e cosx 2018f x x
A.
e sinx 2018F x x x C B. F x
e sinx x2018x CC.
e sinx 2018F x x x D. F x
e sinx x2018CCâu 15 Nguyên hàm hàm số f x
2x39 là:A 1 9
2x x C B. 4x49xC C.
4x C D. 4x39x C
Câu 16 Họ nguyên hàm hàm số f x
e.xe4A 101376 B e 2 e
x C C
e
4 e
x
x C
D.
e
e 4
e
x
x C
Câu 17 Họ nguyên hàm hàm số f x
5x46x21A. 20x312x C . B. x52x3 x C.
C. 20 12
x x x C D
4
2
4
x
x x C
Câu 18 Khẳng định sau sai?
A.
0dxC B5 4d
5
x x x C
C d lnx x Cx
D
e dx xexCCâu 19 Nguyên hàm hàm số y x2 3x
x
A 3 ln
3
x x
x C
B
3
2
3
3
x x
C x
C 3 ln
3
x x
x C
D
3 3
ln
3
x x
x C
Câu 20 Cho hàm số f x
a2 bx x
, với a, b số hữu tỉ thỏa điều kiện
1
1
d 3ln
f x x
Tính T a bA. T 1 B. T 2 C. T 2 D. T 0
Câu 21 Họ nguyên hàm hàm số f x
3x22x5làA. F x
x3x25 B. F x
x3 x C C. F x
x3x25x C D. F x
x3x2CCâu 22 Hàm số sau nguyên hàm hàm số f x( )
3 1x
5? A.
6
3 18
x
F x B.
6
3 18
x
F x
C.
6
3 18
x
F x D.
6
3
x
(7)Câu 23 Họ nguyên hàm hàm số
123
f x x
x
A
3
x x
C x
B. 22 x C x
C
4 3
3
x x
C x
D
3 1
3
x x
C x
Câu 24 Họ nguyên hàm hàm số f x
7x6 12x x
A. ln 2
x x x
x
B. x7 ln x 2x C
x
C. x7 lnx 2x C
x
D. x7 ln x 2x C
x
Câu 25 Nguyên hàm f x
x3x22 x là:A. 4
4x x 3 x C B. 3
1
4x 3x 3 x C
C 1 3
4x x 3 x C D. 3
1
4x 3x 3 x C
Câu 26 Họ nguyên hàm hàm số f x
3 xx2018làA 2019
673
x
x C B
2019
2
2019
x
x C C. 2019
673
x
C
x D.
2017
1 6054
2 x x C
Câu 27 Hàm số ( ) x tan
F x e x C nguyên hàm hàm số f(x)
A ( ) 12 sin
x
f x e
x
B ( ) 12
sin
x
f x e
x
C ( ) 2 cos
x
x e
f x e
x
D.
1 cos
x
f x e
x
Câu 28 Nếu f x
dx ln 2x C x
với x
0;
hàm số f x
A. f x
1 2x x
B.
2
f x x
x
C. f x
ln 2
x x D.
122
f x
x x
Câu 29 Tìm họ nguyên hàm hàm số
2 1
1
x x f x
x
A.
1
x C
x
B
21
1 C
x
C
2
ln
2
x
x C
D x2ln x 1 C Câu 30 Nguyên hàm F x
hàm số
12sin
f x
x
A. F x
3xtanx C B. F x
3xtanx CC. F x
3xcotx C D. F x
3xcotx CCâu 31 Tìm nguyên hàm hàm số f x
3cosx 12 x
0;
(8)Câu 32 Họ nguyên hàm hàm số f x
3x2sinx A. cosx x C B. x3sinxC C. x3cosxC D. 3x3sinxC
Câu 33 Tìm nguyên hàm hàm số ( ) 3 8sin
f x x x
A.
f x
dx6x8cosx C B.
f x
dx6x8cosxCC.
f x
dxx38cosx C D.
f x
dxx38cosx CCâu 34 Tìm nguyên hàm hàm số f x
cos2 2x A.
f x
dxxsinxC B.
f x
dxxsinxCC.
d 1sin2
x
f x x x C
D.
f x
dx2 2x1sinx CCâu 35 Tìm họ nguyên hàm hàm số f x
x cosx A.
2
d sin
2
x
f x x x C
B.
f x
dx 1 sinxCC.
f x
dxxsinxcosxC D.
2
d sin
2
x
f x x x C
Câu 36
2 3
x x dx
có dạng 3ax3b4x4C, a b, hai số hữu tỉ Giá trị a bằng:A. B.1 C. D. 32
Câu 37 3
3x x dx
có dạng 12a x46bx6C, a b, hai số hữu tỉ Giá trị a bằng:A 1 B 12 C 36 3
5 D. Không tồn
Câu 38
2 1a
x3bx2
dx, a b, hai số hữu tỉ Biết
2 1 2
4
a x bx dx x x C
Giá trị a b, bằng:A. 1; B. 3; C ;
8
D
1 sin 2 1cos 2
4x x2 x
Câu 39 Tìm nguyên hàm hàm số f x
thỏa mãn điều kiện:
3cos ,2
f x x x F
A ( ) 3sin 6
4
F x x x B
2
( ) 3sin
4
F x x x
C ( ) 3sin
4
F x x x D
2
( ) 3sin
4
F x x x
Câu 40 Một nguyên hàm F(x) hàm số ( ) 12 sin
f x x
x
thỏa mãn F( )
4
là:
A F( ) ot 2
16
x c xx B
2
F( ) ot
16
x c xx
C. F( ) ot
x c xx D
2
(9)Câu 41 Nếu ( ) x sin2
f x dxe x C
f x( ) hàm nào?A x cos2
e x B exsin 2x C. excos 2x D. exsin 2x
Câu 42 Tìm nguyên hàm F(x) f x( ) x3 21
x
biết F(1) =
A ( ) 1
2
x F x
x
B
2 1 3
( )
2
x F x
x
C ( ) 1
2
x F x
x
D
2 1 3
(x)
2
x F
x
Câu 43 Họ nguyên hàm hàm số f x( )
x x
:
A. x3ln x C B. x3ln x C
C.
4 x
3ln x C
D. 16 x3ln x C
Câu 44 Tính
3
( x )dx x
A 33 4ln
5 x x C
B. 33 4ln
5 x x C
C. 53 4ln
3 x x C D.
3 4ln
5 x x C
Câu 45 Nguyên hàm F(x) hàm số ( ) 4 3 2 2
f x x x x thỏa mãn F(1) 9 là:
A. F( ) 2
x x x x B. F( )x x4x3x210
C. F( ) 2
x x x x x D. F( )x x4x3x22 10x
Câu 46 Họ nguyên hàm hàm số (2 1)5
y x là:
A (2 1)6
12 x C B. (2 1)6 x 6C
C. (2 1)6
2 x C D.
4
10(2 1)x C
Câu 47 Nguyên hàm F x
hàm số f x
2x2x34 thỏa mãn điều kiện F
0 0A 2 4
x x B
4
2 4
3
x
x x C. x3x42x D.Đáp án khác
Câu 48 Tìm hàm số F(x) biết F x’
4 – 3x3 x22 F
1 3A. F x
x4 –x32x3 B. F x
x4 –x3+2x3C. F x
x4 –x32x3 D. F x
x4x32x3Câu 49 Hàm số f x
xác định, liên tục có đạo hàm f
x x1 Biết
0f Tính f
2 f
4 ?A. 10 B.12 C. D. 11
Câu 50 Cho hàm số f x
thỏa mãn đồng thời điều kiện f
x x sinx f
0 1 Tìm
f x . A.
2
cos
2
x
f x x B.
2
cos
2
x
f x x
(10)Câu 51 Cho hàm số f x
thỏa mãn f
x 3 5cosx f
0 5 Mệnh đề đúng?A. f x
3 5sinx x2 B. f x
3 5sinx x5C. f x
3 5sinx x5 D. f x
3 5sinx x5Câu 52 Biết F x
nguyên hàm của hàm số f x
sinx đồ thị hàm số yF x
qua điểm M
0;1
Tính2
F
A.
2
F
B. F
C. F
D. F
Câu 53 Cho F x
nguyên hàm hàm số f x
x22x3 thỏa mãn F
0 2, giá trịcủa F
1A 4 B 13
3 C. D.
11
Câu 54 Tìm nguyên hàmF x
của hàm số f x
ax b2
x 0
x , biết F
1 1 ,
1F , f
1 0A.
2
3
4
x F x
x
B.
2
3
4
x F x
x
C.
2
3
2 4
x F x
x
D.
2
3
2 2
x F x
x
Câu 55 Biết hàm số y f x
có f
x 3x2 2x m 1, f
2 1 đồ thị hàm số
y f x cắt trục tung điểm có tung độ 5 Hàm số f x
A. 3 5x x x B. x32x25x5. C 2x3x27x5. D x3x24x5
Câu 56 Gọi F x
nguyên hàm hàm số f x
2x3
2 thỏa mãn
0F Giá trị biểu
thức log 22 F
F
A. 10 B. 4 C. D.
Câu 57 Gọi F x
nguyên hàm hàm số f x
4x32
m1
xm5, với m tham sốthực Một nguyên hàm f x
biết F
1 8 F
0 1 là:A. F x
x42x26 1x B. F x
x4 6 1x (11)C – HƯỚNG DẪN GIẢI
DẠNG 1:SỬ DỤNG LÍ THUYẾT
Câu Trong khẳng định đây, có khẳng định đúng? (1): Mọi hàm số liên tục
a b;
có đạo hàm
a b;
(2): Mọi hàm số liên tục
a b;
có nguyên hàm
a b;
(3): Mọi hàm số đạo hàm
a b;
có nguyên hàm
a b;
(4): Mọi hàm số liên tục
a b;
có giá trị lớn giá trị nhỏ
a b;
A. B. C. D.
Hướng dẫn giải
Chọn B
Khẳng định (1): Sai, hàm số y x liện tục
1;1
khơng có đạo hàm x0nên khơng thể có đạo hàm
1;1
Khẳng định (2): hàm số liêntục
a b;
có nguyênhàm
a b;
Khẳng định (3): Đúng hàm số có đạohàm
a b;
liên tục
a b;
nênđều có nguyênhàm
a b;
Khẳng định (4): Đúng hàm số liên tục
a b;
có giá trị lớn giá trị nhỏnhất
a b;
Câu Cho hai hàm số f x
, g x
liên tục Trong mệnh đề sau, mệnh đề sai? A.
f x
g x
dx
f x
dx
g x
dxB.
f x g x
dx
f x
d x g x
dxC.
f x
g x
dx
f x
dx
g x
dxD.
kf x
dxk f x
dx
k0;k
Hướng dẫn giải
Chọn B
Câu Cho f x
, g x
hàm số xác định liên tục Trong mệnh đề sau, mệnhđề sai?
A.
f x g x
dx
f x
d x g x
dx B.
2f x
dx2
f x
dxC.
f x
g x
dx
f x
dx
g x
dx. D.
d
d
df x g x x f x x g x x
Hướng dẫn giải
Chọn A
Ngun hàm khơng có tính chất ngun hàm tích tích nguyên hàm Hoặc B, C, D tính chất ngun hàm nên A sai
Câu Khẳng định sau khẳng định sai?
A.
kf x
dxk f x
dx với kB.
f x
g x
dx
f x
dx
g x
dx với f x
; g x
liên tục C. d 1
1
x x x
(12)Hướng dẫn giải
Chọn A
Ta có
kf x
dxk f x
dx với k sai tính chất k\ 0
Câu Cho hai hàm số f x
, g x
hàm số liên tục, có F x
, G x
nguyên hàmcủa f x
, g x
Xét mệnh đề sau:
I F x
G x
nguyên hàm f x
g x
II k F x
nguyên hàm k f x
với k
III
F x G x
nguyên hàm f x g x
Các mệnh đề
A.
II
III
B.Cả mệnh đề C.
I
III
D.
I
IIHướng dẫn giải
Chọn D
Theo tính chất ngun hàm
I
II đúng,
III
sai Câu Mệnh đề sau sai?A.
f x
g x
dx
f x dx
g x dx
, với hàm số f x
, g x
liên tục B.
f
x dx f x
C với hàm số f x
có đạo hàm C.
f x
g x
dx
f x dx
g x dx
, với hàm số f x
, g x
liên tục D.
kf x dx
k
f x dx
với số k với hàm số f x
liên tục Hướng dẫn giải
Chọn D
Mệnh đề:
kf x dx
k
f x dx
với số k với hàm số f x
liên tục mệnh đề sai k0
kf x dx
k f x dx
Câu Cho hàm số f x
xác định K F x
nguyên hàm f x
K Khẳng định đúng?A. f
x F x
, x K B. F x
f x
, x K C. F x
f x
, x K D. F x
f
x , x KHướng dẫn giải
Chọn B
Ta có F x
f x
dx, x K F x
f x
, x K Câu Cho hàm số f x
xác định K Khẳng định sau sai?A. Nếu hàm số F x
nguyên hàm f x
K với số C, hàm số
G x F x C nguyên hàm f x
KB.Nếu f x
liên tục K có nguyên hàm KC.Hàm số F x
gọi nguyên hàm f x
K F x
f x
với xKD.Nếu hàm số F x
nguyên hàm f x
K hàm số F
x
nguyênhàm f x
KHướng dẫn giải
(13)(14)DẠNG 2: ÁP DỤNG TRỰC TIẾP BẢNG NGUYÊN HÀM Câu Cho
2
f x x
, chọn mệnh đề sai mệnh đề sau:
A. Trên
2;
, nguyên hàm hàm số f x
F x
ln
x2
C1; khoảng
; 2
, nguyên hàm hàm số f x
F x
ln
x 2
C2 (C C1, 2 số) B.Trên khoảng
; 2
, nguyên hàm hàm số f x
G x
ln
x 3
C. Trên
2;
, nguyên hàm hàm số f x
F x
ln
x2
D. Nếu F x
G x
hai nguyên hàm của f x
chúng sai khácsố
Hướng dẫn giải
Chọn D
D sai F x
ln
x2
G x
ln
x 3
nguyên hàm hàm số f x
nhưng khoảng khác khác
Câu 10 Khẳng định sai?
A.
cos dx x sinxC B. d lnx x Cx
C. 2 d
x xx C
D.
e dx xexCHướng dẫn giải
Chọn A
Ta có
cos dx xsinx C A saiCâu 11 Tìm mệnh đề sai mệnh đề sau
A 3d
4
x C
x x
B. d lnx x Cx
C.
sin dx xCcosx D. 2e dx e
x
x C
Hướng dẫn giải
Chọn B
Ta có d lnx x C
x
Câu 12 Trong khẳng định sau, khẳng định sai?
A.
dxx2C (C số). B1
d
1 n
n x
x x C
n
(C số; n)C.
0dxC(C số). D.
e dx xexC(C số).Hướng dẫn giải
Chọn B
Đáp án B sai cơng thức bổ sung thêm điều kiện n 1
Câu 13 Tìm nguyên hàm F x
2dxA. F x
2x C B. F x
2x CC.
3
3
F x C D.
2
2
x F x C
Hướng dẫn giải
Chọn A
(15)A.
e sinx 2018F x x x C B.
e sinx 2018F x x x C
C.
e sinx 2018F x x x D. F x
e sinx x2018CHướng dẫn giải
Chọn A
Câu 15 Nguyên hàm hàm số f x
2x39 là:A. 9
2x x C B. 4x4 9xC C.
4x C D. 4x39x C
Hướng dẫn giải
Chọn A
2x39 d
x
4
2
4
x
x C
4
9
x
x C
Câu 16 Họ nguyên hàm hàm số f x
e.xe4A. 101376 B. e 2 e
x C C
e
4 e
x
x C
D.
e
e 4
e
x
x C
Hướng dẫn giải
Chọn D
Ta có
e
e e
d e d
e
x
f x x x x x C
Câu 17 Họ nguyên hàm hàm số f x
5x46x21A. 20 12
x x C B. x52x3 x C
C. 20 12
x x x C D
4
2
4
x
x x C
Hướng dẫn giải
Chọn B
Ta có
5x46x21 d
xx52x3 x C
Câu 18 Khẳng định sau sai?
A.
0dxC B5 4d
5
x x x C
C d lnx x Cx
D
e dx xexCHướng dẫn giải
Chọn C
Ta có: d lnx x C
x
C saiCâu 19 Nguyên hàm hàm số 3
y x x
x
A 3 ln
3
x x
x C
B
3
2
3
3
x x
C x
C 3 ln
3
x x
x C
D
3 3
ln
3
x x
x C
Hướng dẫn giải
Chọn D
Áp dụng cơng thức ngun hàm ta có 3 d 3 ln
3
x x
x x x x C
x
(16)Câu 20 Cho hàm số f x
a2 bx x
, với a, b số hữu tỉ thỏa điều kiện
1
1
d 3ln
f x x
Tính T a bA. T 1 B. T 2 C. T 2 D. T 0
Hướng dẫn giải
Chọn C
Ta có
1
1
d
f x x
1 2
2 d
a b
x
x x
1
1
ln
a
b x x
x
a 1 bln
Theo giả thiết, ta có 3ln 2 a 1 bln Từ suy a1, b 3
Vậy T a b
Câu 21 Họ nguyên hàm hàm số f x
3x22x5làA. F x
x3x25 B. F x
x3 x C C. F x
x3x25x C D. F x
x3x2CHướng dẫn giải
Chọn C
Nguyên hàm hàm số f x
3x22x5 F x
x3x25x CCâu 22 Hàm số sau nguyên hàm hàm số f x( )
3 1x
5? A.
6
3 18
x
F x B.
6
3 18
x
F x
C.
6
3 18
x
F x D
6
3
x
F x
Hướng dẫn giải
Chọn D
Áp dụng
1
1 d
1
ax b
ax b x C
a
với 1 C sốVậy hàm số phương án D thỏa yêu cầu đề
Câu 23 Họ nguyên hàm hàm số
123
f x x
x
A
3
x x
C x
B 22 x C x
C
4 3
3
x x
C x
D
3 1
3
x x
C x
Hướng dẫn giải
Chọn D
Ta có
2
1 1 d
3
x x
x
x2x21 d3 x
3
1
3
x x
C x
Câu 24 Họ nguyên hàm hàm số f x
7x6 12x x
A. ln 2
(17)C. ln 2
x x x C
x
D. x7 ln x 2x C
x
Hướng dẫn giải
Chọn D
df x x
x7 ln x 2x Cx
Câu 25 Nguyên hàm f x
x3x22 x là:A. 4
4x x 3 x C B. 3
1
4x 3x 3 x C
C. 3
4x x 3 x C D. 3
1
4x 3x 3 x C
Hướng dẫn giải
Ta có:
2
44 3
x x x dx x x x C
Chọn A
Câu 26 Họ nguyên hàm hàm số f x
3 xx2018làA 2019
673
x
x C B
2019
2
2019
x
x C C. 2019
673
x
C
x D.
2017
1 6054
2 x x C
Hướng dẫn giải
Chọn B
Ta có:
3 2018
dxx x
1 2018
3x x dx
3
2019
3 2019
x x
C
2019
2
2019
x
x C
Câu 27 Hàm số ( ) x tan
F x e x C nguyên hàm hàm số f(x)
A ( ) 12 sin
x
f x e
x
B ( ) 12
sin
x
f x e
x
C ( ) 2 cos
x
x e
f x e
x
D.
1 cos
x
f x e
x
Hướng dẫn giải
Ta có:
tan
12cos
x x
e x C e
x
Chọn D
Câu 28 Nếu f x
dx ln 2x C x
với x
0;
hàm số f x
A. f x
1 2x x
B.
2
f x x
x
C. f x
ln 2
x x D
122
f x
x x
Hướng dẫn giải
(18)Do
2
1 ln 2 ln 2 1
2
x
f x x x
x x x x x x
với x
0;
Câu 29 Tìm họ nguyên hàm hàm số
2 1
1
x x f x
x
A.
1
x C
x
B
21
1 C
x
C
2
ln
2
x
x C
D x2ln x 1 C
Hướng dẫn giải
Chọn C
Ta có
2 1 1
1
x x
f x x
x x
2
d ln
2
x
f x x x C
Câu 30 Nguyên hàm F x
hàm số
12sin
f x
x
A. F x
3xtanx C B. F x
3xtanx CC. F x
3xcotx C D. F x
3xcotx CHướng dẫn giải
Chọn C
Nguyên hàm hàm số
12sin
f x
x
F x
3xcotx CCâu 31 Tìm nguyên hàm hàm số f x
3cosx 12 x
0;
A 3sinx C x
B. 3sinx C
x
C. 3cosx C
x
D. 3cosxlnx C
Hướng dẫn giải
Chọn B
Ta có
d 3cos 12 d 3sinb
a
f x x x x x C
x x
Câu 32 Họ nguyên hàm hàm số f x
3x2sinx A. cosx x C B. x3sinxC C. x3cosxC D. 3x3sinxC
Hướng dẫn giải
Chọn C
Họ nguyên hàm hàm số f x
3x2sinx x3cosxCCâu 33 Tìm nguyên hàm hàm số ( ) 3 8sin
f x x x
A.
f x
dx6x8cosx C B.
f x
dx6x8cosxCC.
f x
dxx38cosx C D.
f x
dxx38cosx CHướng dẫn giải
Chọn C
Ta có:
f x
dx
3x28sin dx
x x38cosxCCâu 34 Tìm nguyên hàm hàm số
cos22
x f x
(19)C.
d 1sin2
x
f x x x C
D.
f x
dx2 2x1sinx CLời giải
Chọn C
Ta có f x
dx 1 cos 2 xdx2 2x1sinx C
Câu 35 Tìm họ nguyên hàm hàm số f x
x cosx A.
2
d sin
2
x
f x x x C
B.
f x
dx 1 sinxCC.
f x
dxxsinxcosxC D.
2
d sin
2
x
f x x x C
Hướng dẫn giải
Chọn A
2
d cos d sin
2
x
f x x x x x x C
Câu 36
x22x3
dx
có dạng 3ax3b4x4 C, a b, hai số hữu tỉ Giá trị a bằng:A. B.1 C. D. 32
Hướng dẫn giải
Cách 1:
Theo đề, ta cần tìm
2 3
x x dx
Sau đó, ta xác định giá trị aTa có:
2 3
3
x x dx x x C
Suy để
x2 x3
dx
có dạng a3x34bx4C a1,b2Chọn B
Cách 2:Dùng phương pháp loại trừ
Ta thay giá trị a đáp án vào
3
a b
x x C Sau đó, với a đáp án ta
lấy đạo hàm
3
a b
x x C
Ví dụ:
A.Thay a2 vào
3
a b
x x C ta
3
b
x x C Lấy đạo hàm
3
b
x x C
:
3
2 2
3
b
x x C x bx
, khơng tồn số hữu tỉ
b cho
2 2 2 3,
x x x bx x nên ta loại
đáp án A
B.Thay a1 vào
3
a b
x x C ta
3
b
x x C Lấy đạo hàm
3
b
x x C
:
3
1
3
b
x x C x bx
(20)C. Thay a9 vào
3
a b
x x C ta 3
4
b
x x C Lấy đạo hàm 3
4
b
x x C:
3
3
4
b
x x C x bx
, khơng tồn số hữu tỉ
b cho
2 3
9x 2x 2x bx , x nên ta loại
đáp án C
D. Thay a32 vào
3
a b
x x C ta 32
3
b
x x C Lấy đạo hàm
3
32
3
b
x x C:
3
32 32
3
b
x x C x bx
, khơng tồn số hữu tỉ
b cho
2 3
32x 2x 2x bx , x nên ta loại
đáp án D
Chú ý:
Ta cần so sánh hệ số
x vế đẳng thức x22x32x2bx3;
2 3
9x 2x 2x bx ;
2 3
32x 2x 2x bx loại nhanh đáp án A, C, D
Sai lầm thường gặp: A. Đáp án A sai
Một số học sinh không đọc kĩ đề nên tìm giá trị b Nên khoanh đáp ánA C. Đáp án C sai
Một số học sinh sai lầm chỗ nhớ sai công thức nguyên hàm sau:
2 3
3 8x x dx x x C
Vì thế, a9 để
x22x3
dx3x38x4C có dạng3
a b
x x C
Học sinh khoanh đáp án C sai lầm
D. Đáp án D sai
Một số học sinh sai lầm chỗ nhớ sai công thức nguyên hàm sau:
2 3
3 8x x dx x x C
Học sinh không đọc kĩ yêu cầu đề nên tìm giá trị b
Để
2 3
x x dx
có dạng 3ax34bx4C b32Thế là, học sinh khoanh đáp án D sai lầm
Câu 37 3
3x x dx
có dạng 12a x46bx6C, a b, hai số hữu tỉ Giá trị a bằng:A. B.12 C. 36 3
5 D. Không tồn
Hướng dẫn giải
Cách 1:
Theo đề, ta cần tìm 3
3x x dx
Sau đó, ta xác định giá trị a (21)3
1 1
3x x dx 12x 30 x C
Suy để 3
3x x dx
có dạng 12a x46bx6 C ,5
a b
Chọn D
Cách 2: Dùng phương pháp loại trừ
Ta thay giá trị a đáp án vào
12
a b
x x C Sau đó, với a đáp án ta
lấy đạo hàm
12
a b
x x C
Ví dụ:
A. Thay a1 vào
12
a b
x x C ta
12
b
x x C Lấy đạo hàm
4
1
12
b
x x C:
4
1
12
b
x x C x bx
, khơng tồn số hữu tỉ
b cho
3 5
1 ,
3x x 3x bx x
nên ta
loại đáp ánA
B.Thay a12 vào
12
a b
x x C ta
6
b
x x C Lấy đạo hàm
6
b
x x C:
4 4
6
b
x x C x bx
, khơng tồn số hữu tỉ b cho
3 5
1 4 ,
3x x x bx x
nên ta loại đáp án B
C. Loại đáp án C
Ta loại nhanh đáp án C 36 3
5 a
Vậy đáp án xác đáp án D Sai lầm thường gặp:
A. Đáp án A sai
Một số học sinh không đọc kĩ đề nên sau tìm giá trị a ( khơng tìm giá trị b
).Học sinh khoanh đáp án A sai lầm
B.Đáp án B sai
Một số học sinh sai lầm chỗ nhớ sai công thức nguyên hàm tìm giá trị a sau:
3 6
1 3 6
3x x dx 3x x C x x C
Vì thế, a12 để 3 1
3
3x x dx x x C
có dạng 12a x46bx6CThế là, học sinh khoanh đáp án B sai lầm
C. Đáp án C sai
(22)
3 6
1 3 6
3x x dx 3x x C x x C
Vì thế, 36 3
5
b để 3 1
3
3x x dx x x C
có dạng4
12
a b
x x C
Thế là, học sinh khoanh đáp án C sai lầm
Câu 38
2 1a
x3bx2
dx, a b, hai số hữu tỉ Biết
2 1 2
4
a x bx dx x x C
Giá trị a b, bằng:A. 1; B. 3; C ;
8
D
1 sin 2 1cos 2
4x x2 x
Hướng dẫn giải
Cách 1:
Ta cần tìm
2 1a
x3bx2
dx Ta có:
2
1
2 1
4
a x bx dx a x bx C
Vì ta có giả thiết
2 1
2
4
a x bx dx x x C
nên 14
2 1a
x4 13bx3C có dạng4
3
4x x C
Để 1
2 1
4 a x 3bx C có dạng
4
3
4x x C
1 2 1
4
1 1
3
a b
, nghĩa
3
a b
Vậy đáp án xác đáp ánA
Cách 2:
Ta loại nhanh đáp án C giá trị a đáp án C không thỏa điều kiện a
Tiếp theo, ta thay giá trị a b, đáp án A, B vào
2 1a
x3bx2
dx tìm
2 1 2
a x bx dx
Ta có:
3 3 2
4
x x dx x x C
nên đáp án xác đáp ánAChú ý:
Giả sử giá trị a b, đáp án A, B, C khơng thỏa u cầu tốn đáp án xác
là Chọn D
Sai lầm thường gặp: B.Đáp án B sai
Một số học sinh không ý đến thứ tự xếp nên học sinh khoanh đáp án B sai lầm
C. Đáp án C sai
(23)
2a1 x3bx2
dx
2a1
x4bx3C
Vì ta có giả thiết
2 1
2
4
a x bx dx x x C
nên
2 1a
x4bx3C có dạng4
3
4x x C
Để 1
2 1
4 a x 3bx C có dạng
3
4x x C
2 1
341
a b
,
nghĩa 18
1
a
b
Câu 39 Tìm nguyên hàm hàm số f x
thỏa mãn điều kiện:
3cos ,2
f x x x F
A ( ) 3sin 6
4
F x x x B
2
( ) 3sin
4
F x x x
C ( ) 3sin
4
F x x x D
2
( ) 3sin
4
F x x x
Hướng dẫn giải
Ta có: F x
2x3cosx dx
x23sinx C2 2
3 3sin
2 2
F C C
Vậy ( ) 3sin 6
4
F x x x
Chọn D
Câu 40 Một nguyên hàm F(x) hàm số ( ) 12 sin
f x x
x
thỏa mãn F( )
4
là:
A F( ) ot 2
16
x c xx B
2
F( ) ot
16
x c xx
C. F( ) ot
x c xx D
2
F( ) ot
16
x c xx
Hướng dẫn giải
Ta có:
21
2 cot
sin
F x x dx x x C
x
2 2
1 cot
4 4 16
F C C
Vậy F( ) ot 2
16
x c xx
Chọn A
Câu 41 Nếu ( ) x sin2
f x dxe x C
f x( ) hàm nào?A. x cos2
e x B. exsin 2x C. excos 2x D. exsin 2x
Hướng dẫn giải
Ta có:
x sin2
x sin 2 (24)Câu 42 Tìm nguyên hàm F(x) f x( ) x3 21
x
biết F(1) =
A ( ) 1
2
x F x
x
B
2 1 3
( )
2
x F x
x
C ( ) 1
2
x F x
x
D
2 1 3
(x)
2
x F
x
Hướng dẫn giải
Ta có:
3
2
1 1
2
x x
F x dx x dx C
x x x
2
1
1 0
2
F C C
Vậy (x)
2
x F
x
Chọn D
Câu 43 Họ nguyên hàm hàm số f x( )
x x
:
A. x3ln x C B. x3ln x C
C.
4 x
3ln x C
D. 16 x3ln x C
Hướng dẫn giải
Ta có: dx x 3ln x C
x x
Chọn A
Câu 44 Tính (3 x2 4)dx
x
A 33 4ln
5 x x C
B. 33 4ln
5 x x C
C. 53 4ln
3 x x C D.
3 4ln
5 x x C
Hướng dẫn giải
Ta có: 33 4ln
5
x
x dx x C
x
Chọn D
Câu 45 Nguyên hàm F(x) hàm số ( ) 4 3 2 2
f x x x x thỏa mãn F(1) 9 là:
A. F( ) 2
x x x x B. F( )x x4x3x210
C. F( ) 2
x x x x x D. F( )x x4x3x22 10x
Hướng dẫn giải
Ta có: F x
4x33x22x2
dxx4x3x22xC
1 1 2.14 10 F( ) 2 10F C C x x x x x
Chọn D
Câu 46 Họ nguyên hàm hàm số y(2 1)x 5 là:
A. (2 1)6
(25)C. (2 1)6
2 x C D. 10(2 1)x C
Hướng dẫn giải
Ta có:
6
5 1
2
2 12
x
x dx x C
Chọn A
Câu 47 Nguyên hàm F x
hàm số f x
2x2x34 thỏa mãn điều kiện F
0 0A. 2 4
x x B
4
2 4
3
x
x x C x3x42x D.Đáp án khác
Hướng dẫn giải
Ta có:
3
2
2 4
3
x x
F x
x x dx x C
3 4
3
2.0
0 0
3 4
x
F C C F x x x Chọn D
Câu 48 Tìm hàm số F(x) biết F x’
4 – 3x3 x22 F
1 3A. F x
x4 –x32x3 B. F x
x4 –x3+2x3C. F x
x4 –x32x3 D. F x
x4x32x3Hướng dẫn giải
Ta có: F x
F x d
x
4x 3x3 2 x
d x4x32xC
1
1
1 1
3F C C
Vậy F x
x4 –x3+2x3Chọn B
Câu 49 Hàm số f x
xác định, liên tục có đạo hàm f
x x1 Biết rằng
0f
Tính f
2 f
4 ?A. 10 B. 12 C. D. 11
Hướng dẫn giải
Chọn B
Ta có
1
1
x x
f x
x x
Khi x1
2
1
1 d
x
f x
x x x CKhi x1
2
2
1 d
2
x
f x x x xC
Theo đề ta có f
0 3 nên C2 3
2
3
x
f x x
x1.
Mặt khác hàm số f x
liên tục x1 nên
1
lim lim
x f x x f x f
2
1
1
lim lim
2
x x
x x
x x C
1 1 3 1
2 C
C14
(26)Câu 50 Cho hàm số f x
thỏa mãn đồng thời điều kiện f
x x sinx f
0 1 Tìm
f x . A.
2
cos
2
x
f x x B.
2
cos
2
x
f x x
C.
2
cos
x
f x x D.
2 1
cos
2
x
f x x
Hướng dẫn giải
Chọn A
Ta có f
x x sinx
2
cos
x
f x x C
; f
0 1 1 C1C2Vậy
2
cos
2
x
f x x
Câu 51 Cho hàm số f x
thỏa mãn f
x 3 5cosx f
0 5 Mệnh đề đúng?A. f x
3 5sinx x2 B. f x
3 5sinx x5C. f x
3 5sinx x5 D. f x
3 5sinx x5Hướng dẫn giải
Chọn C
Ta có f x
3 5cos d x
x3x5sinxCLại có: f
0 5 3.0 5sin 0 C 5 C5 Vậy f x
3 5sinx x5Câu 52 Biết F x
nguyên hàm của hàm số f x
sinx đồ thị hàm số yF x
qua điểm M
0;1
Tính2
F
A. 2
F
B. F
C. F
D. F
Hướng dẫn giải
Chọn A
* Ta có F x
cosx C , với C số tùy ý* Đồ thị hàm số yF x
qua điểm M
0;1
nên1 cos0C C2F x
cosx2 Do2
F
Câu 53 Cho F x
nguyên hàm hàm số f x
x22x3 thỏa mãn F
0 2, giá trịcủa F
1A. B. 13
3 C. D.
11
Hướng dẫn giải
Chọn B
Ta có: 2 3d 3
3
x
x x x x x C
F x nguyên hàm hàm số f x
có F
0 2C2Vậy
3
2 3 2
3
x
F x x x
1 13F
(27)Câu 54 Tìm nguyên hàmF x
của hàm số f x
ax b2
x 0
x , biết F
1 1 ,
1F , f
1 0A.
2
3
4
x F x
x
B.
2
3
4
x F x
x
C.
2
3
2 4
x F x
x
D.
2
3
2 2
x F x
x
Hướng dẫn giải
Chọn A
2
2
d d d
2
b ax bx ax b
F x f x x ax x ax bx x C C
x x
Ta có:
3
2
1
3
1 4
2
1 0 7
4
a
b C a
F
a
F b C b
f a b
C
Vậy
2
3
4
x F x
x
Câu 55 Biết hàm số y f x
có f
x 3x22x m 1, f
2 1 đồ thị hàm số
y f x cắt trục tung điểm có tung độ 5 Hàm số f x
A. 3 5x x x B. x32x25x5. C 2x3x27x5. D x3x24x5
Hướng dẫn giải
Chọn A
Ta có f x
3x22xm1 d
xx3x2
1m x C
Theo đề bài, ta có
2 12
3
5
0 5
f m C m
f x x x x
C
f C
Câu 56 Gọi F x
nguyên hàm hàm số f x
2x3
2 thỏa mãn
0F Giá trị biểu
thức log 22 F
F
A. 10 B. 4 C. D.
Hướng dẫn giải
Chọn D
Ta có:
3 2F F 3F
1 F
2 F
2 F
0 F
0
1
2
1
3 d d
3
f x x f x x
4
2
log 2F F log
Câu 57 Gọi F x
nguyên hàm hàm số f x
4x32
m1
xm5, với m tham số (28)C. F x
x42x21 D.Đáp án A và BHướng dẫn giải
Ta có:
3
4x m x m dx x m x m x C
Lại có:
0 1
1
1
F C C
m m C m
F
Vậy F x
x46 1xChọn B
Câu 58 Tìm 2 3
1
2! 3! !
n
n x
T dx
x x x
x
n
?A ! !ln
2! !
n
x x
T x n n x C
n
B ! !ln
2! !
n
x x
T x n n x C
n
C !ln
2! !
n
x x
T n x C
n
D !ln !
2! !
n n
x x
T n x x n C
n
Hướng dẫn giải
Đặt
2
1
2! 3! 4! ! 2! 3! !
n n
x x x x x x x
g x x g x x
n n
Ta có:
!
! n
n
x
g x g x x n g x g x
n
2
!
! ! !ln ! !ln
2! !
n
n g x g g x x x
T dx n dx n x n n x n x C
g x g x n
(29)DẠNG 3:NGUYÊN HÀM CÁC PHÂN THỨC HỮU TỈ f(x) hàm hữu tỉ: ( ) ( )
( )
P x f x
Q x
– Nếu bậc P(x) bậc Q(x) ta thực phép chia đa thức.
– Nếu bậc P(x) < bậc Q(x) Q(x) có dạng tích nhiều nhân tử ta phân tích f(x) thành tổng nhiều phân thức (bằng phương pháp hệ số bất định).
Chẳng hạn:
( )( )
A B
x a x b x a x b
2
2
1 , 4 0
( )( )
A Bx C
với b ac
x m ax bx c x m ax bx c
2 2
1
( ) ( ) ( ) ( )
A B C D
x a x b x a x a x b x b
BÀI TẬP
Câu 59 Cho hàm số f x( ) 22x4x
Khi đó:
A. ( )
x
f x dx C
x
B. f x dx( ) 2x3 Cx
C. ( )3
x
f x dx C
x
D3
2
2
( ) 5ln
3
x
f x dx x C
Câu 60 Nguyên hàm F x( ) hàm số
2 1
( ) x
f x
x
hàm số hàm số sau?
A ( ) 3
x
F x x C
x
B
3 1
( )
3
x
F x x C
x
C
3
2
3 ( )
2
x x
F x C
x
D
3
2
3 ( )
2
x x
F x C
x
Câu 61 Nguyên hàm hàm số y 2x42 x
là:
A. 3
3
x
C x
B 3x3 C
x
C.
3
2
3
x
C x
D
3 3
3
x
C x
Câu 62 Tính nguyên hàm d
2x x
A. ln
2 x C B. ln 32
x
C. C 2ln 2x3 C D ln 2x3C.Câu 63 Nguyên hàm F x
hàm số
2
f x x
, biết
e
2
F
là:
A.
2ln 12
F x x B. F x
2ln 2x 1C. F x
1 ln 12 x D.
ln 12
(30)Câu 64 Biết F x
nguyên hàm hàm số
1
f x x
F
2 1 Tính F
3A. F
3 ln 1 B. F
3 ln 1 C
32
F D.
34
F
Câu 65 Biết F x
nguyên hàm
1
f x x
F
0 2 F
1A. ln B. ln 2 C. D.
Câu 66 Họ nguyên hàm hàm số ( ) 3 (3 2x)
f x
:
A
21
2 2x C
B
1
4 2 x C C.
22
3 2 x C D
21
2 2 x C
Câu 67 Hàm số không nguyên hàm hàm số ( ) (2 2) ( 1)
x x
f x x
A
1
x x x
B
2 1
1
x x x
C
2 1
1
x x x
D
2
1
x x
Câu 68 Tính
( 3)dx
x x
A. ln
3
x C
x B
1ln
3
x
C x
C. ln
3
x C
x D.
1ln
3
x
C x
Câu 69 F x
nguyên hàm hàm số
2
f x x
x
Biết F
0 0,
1 lnb
F a
c
trong a, b, c số nguyên dương b
c phân số tối giản Khi giá trị biểu thức a b c
A. B. C. D. 12
Câu 70 Hàm số sau không nguyên hàm hàm số
2
2
x x
f x x
A.
2
1 1
x x F x
x
B
2
2 1
x x F x
x
C
2
3 1
x x F x
x
D
2
4 1
x F x
x
Câu 71 Cho biết 13 d ln ln
( 1)( 2)
x
x a x b x C
x x
Mệnh đề sau đúng?A. a2b8 B. a b 8 C. 2a b 8 D. a b 8
Câu 72 Cho F x
nguyên hàm hàm số
2
x f x
x
thỏa mãn F(2) 3 Tìm F x
:
A. F x( ) x 4ln 2x3 1 B. F x( ) x 2ln(2 3) 1x .
C. F x( )x2ln 2x3 1 D. F x( ) x 2ln | 3| 1x .
Câu 73 Tích phân
2
2
1
d ln
1
x
I x a b c
x
, a, b, c số ngun Tính giá trịbiểu thức a b c ?
A. B. C. D.
Câu 74 Tính 2
4 3dx
(31)A. 1ln x C x
B.
1ln
2 x C x
C.
2
ln x 4x3C. D ln x C x
Câu 75 Nguyên hàm 2
7 6dx
x x
là:A. 1ln
5 x C x
B.
1ln
5 x C x
C. ln 7 6
5 x x C D 1 ln5 x2 7x6C
Câu 76 Cho F x
nguyên hàm hàm số
2
f x x
, biết F
0 1 Giá trị F
2
bằng
A. 1ln
B.1 1ln
2
C. ln 3 D. 1 ln3
2
Câu 77 Tìm nguyên hàm d 2 I x x
A. 1ln2 x I C x B.
1ln .
2 x I C x
C. 1ln
4 x I C x D.
1ln .
4 x I C x
Câu 78 Tìm nguyên hàm 2 d
3 x x x x
A 2 d 2ln ln
3
x
x x x C
x x
B 2 d 2ln ln
3
x
x x x C
x x
C 2 d 2ln ln
3
x
x x x C
x x
D 33 d ln 2ln 22
x
x x x C
x x
Câu 79 Nguyên hàm 26
3
x x x
dx
x x
là:A. ln
2 x x C x
B.
2
1 ln
2 x x C x
C. ln
2 x x C x
D.
2 ln
1 x x C x
Câu 80 Nguyên hàm 32 x dx x x
là:A. 2ln x 1 ln x2C B. 2ln x 1 ln x2 C
C. 2ln x 1 ln x2 C D. 2ln x 1 ln x2 C
Câu 81 Nguyên hàm hàm số ( ) 23
x x x
f x
x x
biết
1
3
F
A.
2 2
13
2
x
F x x
x
B.
2 2
13
2
x
F x x
x
(32)C.
2
2
2
x
F x x
x
D.
2 2
2
x
F x x C
x
Câu 82 Biết ln có hai số a b để
4
ax b F x
x
4a b 0
nguyên hàm hàm số f x
và thỏa mãn: 2f2
x F x
1 f
x Khẳng định đầy đủ nhất?A. a1, b4 B. a1, b 1 C. a1, b\ 4
. D a, bDẠNG 4: NGUYÊN HÀM HÀM SỐ VÔ TỈ Câu 83 Họ nguyên hàm hàm số ( ) 3
f x x x x :
A 2
4
x x x x C
B.
3 2
5 27
3
x x x x
C
C.
3
x x x x
C
D.
3 2
2
3
x x x x
C
Câu 84 Nguyên hàm f x
32x x
là:
A 2 33 3
x x xC B. 43
3
x x x C
C. 33 3
2 x x x C D.
1 3
2 x3 x x C
Câu 85 Tính
dx x
thu kết là:A
1
C x
B 2 1xC C.
2
1x C D 1xC
Câu 86 Gọi F x
nguyên hàm hàm số f x
x 12 x Nguyên hàm f x
biết
3F là:
A
1
3 13
F x x
x
B.
1
3 13
F x x
x
C. F x
23
x 1
3 13 x D.
1
3 13
F x x
x
Câu 87 Cho (x 2) (x 1)
2
dx
a x b x C
x x
Khiđó 3a b bằng:A.
3
B.
3 C.
4
3 D
2
Câu 88 Tìm
1
x
Q dx
x
?A. Q x2 1 ln x x2 1 C. B. Q x2 1 ln x x2 1 C.
(33)Câu 89 Biết F x
nguyên hàm hàm số
12
f x m
x
thỏa mãn F
0 0
3F Khi đó, giá trị tham số m
A. 2 B. C. 3 D.
Câu 90 Hàm số F x
ax b
1x (a b, số thực) nguyên hàm
124
x f x
x
Tính a b
A. B.1 C 2 D 3
Câu 91 Biết F x
ax2bxc
2x3
a b c, ,
nguyên hàm hàm số
2
20 30 11
2
x x
f x
x
khoảng 32;
Tính T a b c
A. T 8 B. T 5 C. T 6 D. T 7
DẠNG 5: NGUYÊN HÀM HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Câu 92 Họ nguyên hàm hàm số f x
2cos 2xA. 2sin 2x C B. sin 2x C C. 2sin 2x C D. sin 2x C
Câu 93 Họ nguyên hàm hàm số f x
sin 5x2A. 5cos5x C B cos5
5 x x C
C 1 cos5
5 x x C D cos5x2x C
Câu 94 Họ nguyên hàm hàm số f x
2xsin 2xA. cos2
2
x x C B cos2
2
x x C C x22cos2x C D x22cos2x C
Câu 95 Họ nguyên hàm hàm số ( ) cos 22
f x x là:
A 1 cos
2
x C
B cos
2
x x
C
C. cos4
2
x C
D. cos
2
x x
C
Câu 96 Tìm nguyên hàm hàm số
cos6
f x x
A.
d 3sin6
f x x x C
B. f x
dx 31sin 3 x6C
C.
d 6sin6
f x x x C
D. f x
dx31sin 3 x6C
Câu 97 Cho F x
cos 2xsinx C nguyên hàm hàm số f x
Tính f
πA. f
π 3 B. f
π 1 C. f
π 1 D. f
π 0Câu 98 Tính: cos
dx x
A. tan2
x C
B. tan
2
x C
C. tan
2
x C
D. tan
4
x C
Câu 99 Tìm nguyên hàm F x
hàm số f x
6xsin 3x, biết
0F
A.
cos33
x
F x x B.
cos33
(34)C
cos33
x
F x x D.
cos33
x F x x
Câu 100 Họ nguyên hàm hàm số ( ) tan2
f x x là:
A. cotx x C B. tanx x C C. cotx x C D. tanx x C Câu 101 Cho F x
nguyên hàm hàm số 12cos
y
x
F
0 1 Khi đó, ta có F x
là:A tanx B. tanx1 C. tanx1 D. tanx1
Câu 102 Cho hàm số f x
sin 24 x Khi đó:A.
sin 1sin88
f x dx x x xC
B f x dx
183xcos4x81sin8xC
C.
cos 1sin88
f x dx x x xC
D f x dx
183 sin 4x x81sin8xC
Câu 103 Biết F x
nguyên hàm hàm số f x
sin 2
x
thỏa mãn 1F
Mệnh đề sau đúng?
A F x
12cos 2
x
23 B. F x
cos
x
C. F x
cos 2
x
1 D.
1cos 2
2
F x x
Câu 104 Nguyên hàm
sin 2xcosx dx
là:A 1 cos2 sin
2 x x C B cos2xsinx C
C cos2 sin
2 x x C
D. cos 2xsinx C
Câu 105 Nguyên hàm
sin 2
x3 cos 2
x
dx là:A. 2cos 2
x3 2sin 2
x
C B. 2cos 2
x3 2sin 2
x
CC. 2cos 2
x3 2sin 2
x
C D. 2cos 2
x3 2sin 2
x
CCâu 106 Nguyên hàm
sin cos2
x
x dx là:A 12x3sin 6
x2 sin
x C B. x3sin 6
x2 sin
x CC. 12x3sin sin
x
x C D. 3sin 6
sin
2x x x C
Câu 107 Kết nguyên hàm
sin3 cos3
x x dx
?A. 3cos sinx x3sin cosx x C . B. sin2 sin cos
2 x x x C
C. sin sin
x x C
D. sin cos sinx x x C
Câu 108 Cho hàm số f x
cos3 cosx x Một nguyên hàm hàm số f x
x0 là:A. 3sin3 sinx x B. sin sin
8
x x
C. sin sin
2
x x
D. cos4 cos
8
x x
(35)Câu 109 Họ nguyên hàm F x
hàm số f x
cot2x là:A. cotx x C B. cotx x C C. cotx x C D. tanx x C Câu 110 Cho F x
nguyên hàm hàm số
sin 421 cos
x f x
x
thỏa mãn F
Tính F
0A. F
0 4 6ln 2. B F
0 4 6ln 2. C F
0 4 6ln 2 D F
0 4 6ln 2Câu 111 Biết F x
nguyên hàm hàm số f x
tan2 xF
Tính F
A
4
F
B. F
C F
D. F
Câu 112 Tìm nguyên hàm F x
hàm số f x
sin x
2 biết2
F
A.
2cos 1sin2
F x x x x B.
2cos 1sin2
F x x x x
C. F x
32x2cosx41sin x D.
2cos 1sin2
F x x x x
Câu 113 Tìm họ nguyên hàm hàm số
3sin 2cos35sin cos3
x x
f x
x x
A 17 ln 5sin3 cos3
26x 78 x x C
B 17 ln 5sin3 cos3
26x 78 x x C
C. 17 ln 5sin3 cos3
26x78 x x C D.
17 7 ln 5sin3 cos3 .
26x78 x x C
Câu 114 Biết
sin 2x cos2x
2dx x acos4x C b
, với a, b số nguyên dương, ab phân
số tối giản C Giá trị a b
A. B. C. D.
Câu 115 Tính I
8sin cos dx x xacos4xbcos 2x C Khi đó, a bA. B. 1 C. D.
Câu 116 F x
nguyên hàm hàm số y2sin cos3x x F
0 0,A F x
cos 4xcos 2x B
cos2 cos44 8
x x
F x
C. F x
cos 22 xcos44 x14 D.
cos cos24
x x
F x
Câu 117 Cho Hàm số sau nguyên hàm hàm số f x
sinxA. F x1
cosx B. 2
2sin 2 sin 2x x
F x
C. 3
2sin 2 sin 2x x
F x
D. 4
2cos sinx x
F x
Câu 118 Tìm họ nguyên hàm hàm số f x
tan 22 x12A. tan 22 d 2 tan 2 2
2
x x x x C
B. tan 22 x21dxtan 2x2xC
C. tan 22 d tan 2
2
x x x x C
D. tan 22 x12dxtan 22 x2xC
(36)Câu 119 Hàm số F x
ln sinx3cosx nguyên hàm hàm số hàm số sau đây?A.
sin 3coscos 3sin
x x
f x
x x
B.
cos 3sin
sin 3cos
x x
f x
x x
C.
cos 3sinsin 3cos
x x
f x
x x
D. f x
cosx3sinxCâu 120 Hàm số
7cos 4sincos sin
x x
f x
x x
có nguyên hàm F x
thỏa mãn3
4
F
Giá trị
2
F
bằng?
A. 11ln
4
B.
4
C.
8
D. ln
4
Câu 121 Tìm
sin
sin cos
x
I dx
x x
?A. 1
ln sin cos
2
I x x x C B. I xln sinxcosx C
C. I xln sinxcosx C D. 1
ln sin cos
I x x x C Câu 14 Biết sinx cos sinx
cos sinx cos sinx
x
I dx A B dx
x x
Kết A, BA.
2
AB B.
2
AB C. 1,
2
A B D. 1,
2
A B
Câu 122 Tìm
4
4
cos
sin cos
x
I dx
x x
?A. 1 ln sin
2 2 sin
x
I x C
x
B. ln sin
2 2 sin
x
I x C
x
C. 1 ln sin
2 2 sin
x
I x C
x
D. ln sin
2 2 sin
x
I x C
x
Câu 123 Họ nguyên hàm hàm số
3sin 2cos exf x x x
A. 6cos2 2sin ex
x x C
B. 6cos 2x2sinxexC
C. cos2 2sin e
2
x
x x C D. cos2 2sin e
2
x
x x C Câu 124 Cho hàm số y f x
liên tục đoạn
0; \
2
thỏa mãn f
x tanx,5
; \
4
x
, f
0 0, f
1 Tỉ số2
f
f
bằng:
A 2 log e 1
B. C
1 ln 2 ln
D 2 log e
DẠNG 6: NGUYÊN HÀM HÀM SỐ MŨ LÔGARIT Câu 125 Tìm họ nguyên hàm hàm số
52x (37)A. 5 d2x x
2
5
ln5 x
C
B. d2x
x
2ln525x
C
C. 5 d2x x
2.5 ln 52x C D. d2xx
1
25 x
C x
Câu 126 Tìm họ nguyên hàm hàm số f x
e2018xA
2018
1
d e
2018 x
f x x C
. B.
d e2018xf x x C
.C.
f x
dx2018e2018xC D.
f x
dxe2018xln 2018CCâu 127 Tìm nguyên hàm F x
hàm số f x
e2x, biết F
0 1A.
e2xF x B.
2
e
2
x
F x C
2e2xF x D F x
exCâu 128 Cho F x
là nguyên hàm
e3xf x thỏa mãn F
0 1 Mệnh đề sauđúng?
A.
1e33
x
F x B.
e33 x
F x
C.
e 133 x
F x D.
1e33
x
F x
Câu 129 Cho F x
nguyên hàm hàm số f x
ex2x thỏa mãn
0F Tìm F x
A.
ex 52F x x B.
2e2 x
F x x
C.
ex 32F x x D.
e2 x
F x x
Câu 130 Cho hàm số f x
thỏa mãn f
x 2018 ln 2018 cosx x f
0 2 Phát biểu sauđúng?
A.
2018 sinxf x x B.
2018 sinln 2018 x
f x x
C.
2018 sinln 2018 x
f x x D.
2018 sinxf x x
Câu 131 Tính
(2e3x)2dxA. 3
3
x x
x e e C B. 4
3
x x
x e e C C. 4
3
x x
x e e C D. 4
3
x x
x e e C Câu 132 Nếu F x
nguyên hàm ( ) (1 )x x
f x e e (0) 3F ( )F x là? A. x
e x B. ex x C. ex x C D. ex x Câu 133 Họ nguyên hàm hàm số ( ) x x
f x e e : A. x x
e e C B. x x
e e C C. x x
e e C
D. exexC
Câu 134 Hàm số ( ) x x
(38)A. ( ) x x
f x e e B. ( )
2
x x
f x e e x C. ( ) x x
f x e e D. ( )
2
x x
f x e e x Câu 135 Họ nguyên hàm hàm số ( ) 2x 3x
f x e e : A
3
x x
e e
C
B
2
2
x x
e e
C
C 3
2
x x
e e
C
D
2
3
x x
e e
C
Câu 136 Họ nguyên hàm hàm số ( ) 32x 2 3x
f x :
A. 32
2.ln3 3.ln
x x
C
B.
2
3
2.ln3 3.ln
x x
C
C. 23
2.ln3 3.ln
x x
C
D.
2
3
2.ln3 3.ln
x x
C
Câu 137 Hàm số y f x( ) có nguyên hàm
e2xF x Tìm nguyên hàm hàm số ( )
ex
f x
A. ( ) 1d e e
e
x x
x
f x
x C
B. ( ) 1d 2e eex x xf x
x C
C. ( ) 1d 2e e
e
x x
x
f x
x C
D. ( ) 1ex d 12e ex xf x
x C
Câu 138 Tìm nguyên hàm hàm số
e ex
x
f x
A.
d e xf x x C
B.
f x
dxex x CC.
d e ex xf x x C
D.
f x
dxexCCâu 139 F x
nguyên hàm hàm số yxex2 Hàm số sau F x
?A.
22 x
F x e B
1
5
2 x
F x e
C.
2 x
F x e C D.
2
2
2 x
F x e Câu 140 Tìm nguyên hàm F x
hàm số
224
x x
x
x f x
A.
12ln12
x
x x
F x C B. F x
12xx xC C.
2
2
ln ln
x x
x
x x F x
D.
2
2 ln
ln ln
x x
x
x x F x
Câu 141 Tính nguyên hàm hàm số
e 2017 2018e5x x
f x
x
A.
d 2017ex 20184f x x C
x
B.
504,5
d 2017ex
f x x C
x
C.
504,5
d 2017ex
f x x C
x
D.
2018
d 2017ex
f x x C
x
(39)Câu 142 Tính
2 72x x xdxA 84
ln84 x
C
B.
2
2 ln 4.ln3.ln
x x x
C
C 84xC D. 84 ln84x C Câu 143 Nguyên hàm 13x
x
e
dx e
là:A 5 13
3
x x
e e C B 5 13
3
x x
e e C C 5 13
3
x x
e e C D 5 13
3
x x
e e C Câu 144 Cho F x
nguyên hàm hàm số
3 x
f x e
1
0 ln
3
F Tập nghiệm S
phương trình
ln
x 3
F x e
A. S
2 . B. S
2;2
. C. S
1;2 . D. S
2;1
.Câu 145 Hàm số
e 24 173 1
27 x
F x x x C nguyên hàm hàm số
A.
2 e
1xf x x x B. f x
x22 ex
1xC.
2 e
1xf x x x D.
2 e
1xf x x x
Câu 146 Cho hai hàm số
xF x x ax b e
6
xf x x x e
Tìm a b để
F x nguyên hàm hàm số f x
A. a1,b 7 B. a 1,b 7 C. a 1,b7 D. a1,b7
Câu 147 Tìm F
x e dxn x ?A x n n
1
n ! 1
n ! 1
n nF e x nx n n x n xn x C
B x n n
1
n ! 1
n ! 1
nF e x nx n n x n x n C
C. ! x
F n e C
D. n n
1
n ! 1
n ! 1
n xF x nx n n x n xn e C
Câu 148 Giả sử 2x(2 5 2 4) ( ) 2x
e x x x dx ax bx cxd e C
Khi a b c d A. -2 B.3 C.2 D.5
Câu 149 Tính nguyên hàm hàm số
e 2017 2018e5x x
f x
x
A.
2018
d 2017ex
f x x C
x
B.
504,5
d 2017ex
f x x C
x
C
d 2017ex 504,54f x x C
x
D
2018
d 2017ex
f x x C
x
Câu 150 Giả sử 2x(2 5 2 4) ( ) 2x
e x x x dx ax bx cxd e C
Khi a b c d A. -2 B.3 C.2 D.5
Câu 151 Cho
e2xF x ax bx c làmột nguyên hàm hàm số
2018 e
2xf x x x
trên khoảng
;
Tính T a 2b4c (40)Câu 152 Biết
xF x ax bxc e nguyên hàm hàm số f x
2x25x2
ex Tính giá trị biểu thức f F
0 A.
e
B. 20e2 C. 9e D. 3e
Câu 153 Gọi F x
nguyên hàm hàm số f x
2x, thỏa mãn
0ln
F Tính giá trị
biểu thức T F
0 F
1 F
2 F
2017
A 1009.22017
ln
T B T 22017.2018 C
2017
2
ln
T D
2018
2
ln
(41)HƯỚNG DẪN GIẢI
Câu 59 Cho hàm số f x( ) 22x4x
Khi đó:
A. ( )
x
f x dx C
x
B. f x dx( ) 2x3 Cx
C. ( )
x
f x dx C
x
D.3
2
2
( ) 5ln
3
x
f x dx x C
Hướng dẫn giải
Ta có:
2
5 2
3
x x
dx x dx C
x x x
Chọn A
Câu 60 Nguyên hàm F x( ) hàm số
2 1
( ) x
f x
x
hàm số hàm số sau?
A ( ) 3
x
F x x C
x
B.
3 1
( )
3
x
F x x C
x
C.
3
2
3 ( )
2
x x
F x C
x
D.
3
2
3 ( )
2
x x
F x C
x
Hướng dẫn giải
Ta có:
2
2
2
2
1 2x x 2 2x
3
x x x
dx d x C
x x x x
Chọn A
Câu 61 Nguyên hàm hàm số y 2x42 x
là:
A. 23x3 C x
B. 3x3 C
x
C.
3
2
3
x
C x
D.
3 3
3
x
C x
Hướng dẫn giải
Ta có:
2
2 2 3
3
x x
dx x dx C
x x x
Chọn A
Câu 62 Tính nguyên hàm d
2x x
A. ln2 x C B. ln 32
x
C. C. 2ln 2x3C D. ln 2x3C.Hướng dẫn giải
Chọn A
Ta có: d 1 d 2
3
1ln2x x 2x x x C
Câu 63 Nguyên hàm F x
hàm số
2
f x x
, biết
e
2
F
là:
A.
2ln 12
(42)C.
ln 12
F x x D
ln 12
F x x
Hướng dẫn giải
Chọn C
Áp dụng công thức nguyên hàm mở rộng
d2
F x x
x
1 ln 12 x CMà e
2
F
1ln 2 e 1
2 C
C1
Câu 64 Biết F x
nguyên hàm hàm số
1
f x x
F
2 1 Tính F
3A. F
3 ln 1 B. F
3 ln 1 C
3F D.
34
F
Hướng dẫn giải
Chọn B
Ta có: ( ) d ln
1
F x x x C
x
Theo đề F
2 1 ln1C 1 C1Vậy F
3 ln 1 Câu 65 Biết F x
nguyên hàm
1
f x x
F
0 2 F
1A. ln B. ln 2 C. D.
Hướng dẫn giải
Chọn B
d ln1
F x x x C
x
mà F
0 2 nên F x
ln x 1Do F
1 ln 2 Câu 66 Họ nguyên hàm hàm số ( ) 3 (3 2x)
f x
:
A
21
2 2x C
B.
1
4 2 x C C.
22
3 2 x C D.
21
2 2 x C
Hướng dẫn giải
Ta có:
3
22
3 2 x dx 2 x C
Chọn D
Câu 67 Hàm số không nguyên hàm hàm số ( ) (2 2) ( 1)
x x
f x x
A
1
x x x
B.
2 1
1
x x x
C.
2 1
1
x x x
D.
2
1
x x
Hướng dẫn giải
Ta có:
2
2
2
1 1 1
2
0 1 1
1 2
1 1
x x
x x x x
x x x
(43)Câu 68 Tính
( 3)dx
x x
A. ln
3
x C
x B.
1ln
3
x
C x
C. ln
3
x C
x D.
1ln
3
x
C x
Hướng dẫn giải
Ta có:
1 1 1.ln
3 3
x
dx dx C
x x x x x
Chọn D
Câu 69 F x
nguyên hàm hàm số
2
f x x
x
Biết F
0 0 ,
1 blnF a
c
a, b, c số nguyên dương b
c phân số tối giản Khi giá trị biểu thức a b c
A. B. C. D. 12
Hướng dẫn giải
Chọn A
Ta có F x
3x2 2 11 dx x
x31 ln 12 x C Do F
0 0 C 0
ln2
F x x x
Vậy
1 1ln2
F a1; b1; c2 a b c 4
Câu 70 Hàm số sau không nguyên hàm hàm số
2
2
x x
f x x
A.
2
1 1
x x F x
x
B
2
2 1
x x F x
x
C
2
3 1
x x F x
x
D
2
4 1
x F x
x
Hướng dẫn giải
Chọn C
2
1 22
1
x x
F x
x
, đáp án A nguyên hàm
f x
2
2 22
1
x x
F x
x
, đáp án B nguyên hàm
f x
2
3
2
x x
F x
x
, đáp án C nguyên hàm
f x
2
4
2
x x
F x
x
, đáp án D nguyên hàm f x
Câu 71 Cho biết 13 d ln ln
( 1)( 2)
x
x a x b x C
x x
Mệnh đề sau đúng?A. a2b8 B. a b 8 C. 2a b 8 D. a b 8
Hướng dẫn giải
Chọn D
(44)2 13 d
( 1)( 2)
x
x
x x
51 d2 xx x
11d 3x 11dxx x
5ln x 1 3ln x2 CVậy
3
a b
a b
Câu 72 Cho F x
nguyên hàm hàm số
2
x f x
x
thỏa mãn F(2) 3 Tìm F x
:
A. F x( ) x 4ln 1x B. F x( ) x 2ln(2x3) 1 .
C. F x( ) x 2ln 2x 3 1 D. F x( )x2ln | 2x3 | 1 .
Hướng dẫn giải
Chọn C
Ta có
d2
x
F x x
x
2 3 dx x 2ln 2x Cx
Lại có F(2) 3 2 2ln 1C3C1
Câu 73 Tích phân
2
2
1
d ln
1
x
I x a b c
x
, a, b, c số nguyên Tính giá trịbiểu thức a b c ?
A. B. C. D.
Hướng dẫn giải
Chọn D
21
1 d
x
I x
x
1
2
1 d
1
x x x
1
0
ln 1 ln
x x
Khi a 1, b2, c1
Vậy a b c 2
Câu 74 Tính 2
4 3dx
x x
, kết là:A. 1ln
2
x
C x
B.
1ln
2
x
C x
C.
2
ln x 4x3C. D. ln
x
C x
Hướng dẫn giải
Ta có:
2
1 1 1ln
4 3
dx dx x
dx C
x x x x x x x
Chọn B
Câu 75 Nguyên hàm 2
7 6dx
x x
là:A. 1ln
5
x
C x
B.
1ln
5
x
C x
C. ln 7 6
5 x x C D. 1 ln5 x27x6 C
Hướng dẫn giải
Ta có:
2
1 1 1 ln 6 ln 1 1ln
7 6 5
x
dx dx dx x x C C
x x x x x x x
(45)Chọn B
Câu 76 Cho F x
nguyên hàm hàm số
2
f x x
, biết F
0 1 Giá trị
2F
A. 1ln
B.1 1ln
2
C. ln3 D. 1 ln3
2
Hướng dẫn giải
Chọn A
Ta có
d d 1ln2
x
F x f x x x C
x
0 1ln1 1
1ln 1
1
1ln2 2
F C C F x x F
Câu 77 Tìm nguyên hàm d 2
4
I x
x
A. 1ln
2
x
I C
x
B.
1ln .
2
x
I C
x
C. 1ln
4
x
I C
x
D.
1ln .
4
x
I C
x
Hướng dẫn giải
Chọn D
Ta có
1 d 1 d 1ln .
2 2
x
I x x C
x x x x x
Câu 78 Tìm nguyên hàm 2 d
3
x
x
x x
A. 2 d 2ln ln
3
x
x x x C
x x
B. 2 d 2ln ln
3
x
x x x C
x x
C. 2 d 2ln ln
3
x
x x x C
x x
D. 2 d ln 2ln
3
x
x x x C
x x
Hướng dẫn giải
Chọn B
Ta có
2
3 d d d
3 2
x x
x x x
x x x x x x
2ln x 1 ln x2 CCâu 79 Nguyên hàm 26
3
x x x
dx
x x
là:A. ln
2
x
x C
x
B.
2
1 ln
2
x
x C
x
C. ln
2
x
x C
x
D.
2 ln
1
x
x C
x
Hướng dẫn giải
(46)3
2
2
2 2 2 1 ln
3 2 1
x x x x
dx x dx x dx x C
x x x x x x x
Chọn D
Câu 80 Nguyên hàm 32
2
x
dx
x x
là:A. 2ln x 1 ln x2 C B. 2ln x 1 ln x2 C C. 2ln x 1 ln x2 C D. 2ln x 1 ln x2 C
Hướng dẫn giải
Ta có:
2
3 3 2ln 1 ln 2
2 2
x x
dx dx dx x x C
x x x x x x
Chọn B
Câu 81 Nguyên hàm hàm số ( ) 23
x x x
f x
x x
biết
1
3
F
A.
2 2
13
2
x
F x x
x
B.
2 2
13
2
x
F x x
x
C.
2
2
2
x
F x x
x
D.
2 2
2
x
F x x C
x
Hướng dẫn giải
Chọn A
Ta có 23 1d 2 d 2 ( )
2 ( 1)
x x x x
x x x x C F x
x x x x
Mà
1 1 1 133
F C C nên
2 2
13
2
x
F x x
x
Câu 82 Biết ln có hai số a b để
4
ax b F x
x
4a b 0
nguyên hàm hàm số f x
và thỏa mãn: 2f2
x F x
1 f
x Khẳng định đầy đủ nhất?A. a1, b4 B. a1, b 1 C. a1, b\ 4
. D. a, bHướng dẫn giải
Chọn C
Ta có
4
ax b F x
x
nguyên hàm f x
nên
24
a b
f x F x
x
32
b a
f x
x
Do đó: 2f2
x
F x
1
f
x
2
4
2 1
4
4
a b ax b b a
x
x x
4a b ax b x
x4 1
a
0a1 (do x 4 0)Với a1 mà 4a b 0 nên b4
Vậy a1, b\ 4
(47)+ Vì 4a b 0 nên loại phương án A: a1, b4 phương án D: a, b
+ Để kiểm tra hai phương án lại, ta lấy b0, a1 Khi đó, ta có
4
x F x
x
,
24
f x x
,
38
f x
x
(48)DẠNG 4: NGUYÊN HÀM HÀM SỐ VÔ TỈ Câu 83 Họ nguyên hàm hàm số ( ) 3
f x x x x :
A 2
4
x x x x C
B.
3 2
5 27
3
x x x x
C
C.
3
x x x x
C
D.
3 2
2
3
x x x x
C
Hướng dẫn giải
Ta có:
3 2
3.33 233 8
x x x x x x
x x x dx C C
Chọn D
Câu 84 Nguyên hàm f x
32x x
là:
A. 2 x33 x2 3x C . B. 2 3
3
x x x C
C. 33 3
2 x x x C D.
1 3
2 x3 x x C
Hướng dẫn giải
Ta có:
1
1
3
3
2
3
1 2 3 2 3 2 3 3 2 3 3
dx x x dx x x x C x x x C
x x
Chọn A Câu 85 Tính
1
dx x
thu kết là:A.
1
C x
B. 2 1 x C C.
2
1x C D. 1 x C
Hướng dẫn giải
Ta có:
1
dx
x C x
Chọn BCâu 86 Gọi F x
nguyên hàm hàm số f x
x 12 x Nguyên hàm f x
biết
3 F là:A.
1
3 13
F x x
x
B.
1
3 13
F x x
x
C.
1
3 13
F x x
x
D.
1
3 13
F x x
x
Hướng dẫn giải
Ta có:
32
1
1
3
x dx x C
x x
Theo đề bài, ta lại có:
3
3 1
33 3
F C C
1
3 13
F x x
x
(49)
Câu 87 Cho (x 2) (x 1)
2
dx
a x b x C
x x
Khiđó 3a b bằng:A.
3
B.
3 C.
4
3 D.
2
Hướng dẫn giải
Chọn C
2
( 1)dx (x 2) (x 1)
3
2
dx
x x x x C
x x
2;
3
a b
4
3
a b
Câu 88 Tìm
1
x
Q dx
x
?A. Q x2 1 ln x x2 1 C. B. Q x2 1 ln x x2 1 C.
C. ln 1 1
Q x x x C D.Cả đáp án B,C
Hướng dẫn giải
Điều kiện: 1
1
x x
x x
Trường hợp 1: Nếu x1
2
2 2
1 1 1 ln 1
1 1 1 1
x x x
Q dx dx dx dx x x x C
x x x x
Trường hợp 2: Nếu x 1
2
2 2
1 1 ln 1 1
1 1 1 1
x x x
Q dx dx dx dx x x x C
x x x x
Chọn D
Câu 89 Biết F x
nguyên hàm hàm số
12
f x m
x
thỏa mãn F
0 0
3F Khi đó, giá trị tham số m
A. 2 B. C. 3 D.
Hướng dẫn giải
Chọn B
Ta có F x
1 d2 x m x
x 1
m1
x CTheo giả thiết, ta có
0
3
F F
1
3
C
C m
1
C m
Vậy F x
x 1 1xCâu 90 Hàm số F x
axb
1x (a b, số thực) nguyên hàm
124
x f x
x
(50)A. B. C. D.
Hướng dẫn giải
Chọn B
Ta có
4
x
F x a x ax b
x
6
4
ax a b x
Để F x
nguyên hàm f x
124
ax a b x
x x
6 12
2
a a
a b b
Do a b 1
Câu 91 Biết F x
ax2bxc
2x3
a b c, ,
nguyên hàm hàm số
2
20 30 11
2
x x
f x
x
khoảng ;2
Tính T a b c
A. T 8 B. T 5 C. T 6 D. T 7
Hướng dẫn giải
Chọn D
Ta có F x
f x
Tính
2
2 3
.2
F x ax b x ax bx c
x
2
2 3
2
ax b x ax bx c
x
2
5
2
ax b a x b c
x
Do
3
2
ax b a x b c
x
2
20 30 11
2
x x
x
2
5ax 6b a x 3b c 20x 30 11x
5 20
3 30
3 11
a b a
b c
4
a b c
7
T
(51)DẠNG 5: NGUYÊN HÀM HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Câu 92 Họ nguyên hàm hàm số f x
2cos2xA. 2sin 2x C B. sin 2x C C. 2sin 2x C D. sin 2x C
Hướng dẫn giải
Chọn B
Ta có
f x
dx
2cos2 dx x sin 21 sin2 x C x C
Câu 93 Họ nguyên hàm hàm số f x
sin 5x2A. 5cos5x C B cos5
5 x x C
C 1 cos5
5 x x C D cos5x2x C
Hướng dẫn giải
Chọn B
Ta có
d
sin d
1cos55
f x x x x x x C
Câu 94 Họ nguyên hàm hàm số f x
2xsin 2x A. cos22
x x C B cos2
x x C C x22cos 2x C D x22cos 2xC
Hướng dẫn giải
Chọn A
Ta có
f x x
d
2xsin dx x
cos22
x x C
Câu 95 Họ nguyên hàm hàm số ( ) cos 22
f x x là: A. cos4
2
x C
B. cos4
2
x x
C
C. cos
2
x C
D. cos4
2
x x
C
Hướng dẫn giải
Ta có: cos 2 cos sin
2
x x x
x dx dx C
Chọn D
Câu 96 Tìm nguyên hàm hàm số
cos6
f x x
A. f x
dx3sin 3 x6C
B. f x
dx 31sin 3 x6C
C.
d 6sin6
f x x x C
D. f x
dx31sin 3 x6C
Hướng dẫn giải
Chọn D
Áp dụng công thức: cos
ax b
dx 1sin
ax b
C a
.Câu 97 Cho F x
cos2xsinx C nguyên hàm hàm số f x
Tính f
πA. f
π 3 B. f
π 1 C. f
π 1 D. f
π 0Hướng dẫn giải
Chọn B
Ta có: f x
F x
f x
2sin 2xcosx (52)Câu 98 Tính: cos dx
x
A. tan
x C
B. tan
2
x C
C. tan
2
x C
D. tan
4
x C
Hướng dẫn giải
Ta có:
2 tan
1 cos 2cos
2
dx dx x
C x
x
Chọn B
Câu 99 Tìm nguyên hàm F x
hàm số f x
6xsin 3x, biết
03
F
A.
cos33
x
F x x B.
cos33
x
F x x
C.
cos33
x
F x x D
cos33
x
F x x
Hướng dẫn giải
Chọn D
Ta có:
d
6 sin d
cos3
3
x
f x x x x x x CF x
03
F 1.1
3 C
C1
Vậy
cos33
x
F x x
Câu 100 Họ nguyên hàm hàm số ( ) tan2
f x x là:
A. cotx x C B. tanx x C C. cotx x C D. tanx x C
Hướng dẫn giải
Ta có: tan2 xdx
tan2x 1 1
dxtanx x C
Chọn B
Câu 101 Cho F x
nguyên hàm hàm số 12cos
y
x
F
0 1 Khi đó, ta có F x
là: A. tanx B. tanx1 C. tanx1 D. tanx1Hướng dẫn giải
Ta có:
2 tancos
dx
F x x C
x
Mà F
0 1 tan 0C 1 C1Vậy F x
tanx1Chọn B
Câu 102 Cho hàm số f x
sin 24 x Khi đó:A.
sin 1sin88
f x dx x x xC
B. f x dx
183 cos 4x x81sin8xC
C. f x dx
183xcos4x81sin8xC
D. f x dx
183 sin 4x x81sin8xC
(53)
Ta có: sin 2x x4
1 cos4x
2
1 2cos4 cos 42
4
d dx x x dx
1 3 4cos 4 cos8 3 sin 4 1sin8
8 x x dx x x x C
Chọn D
Câu 103 Biết F x
nguyên hàm hàm số f x
sin 2
x
thỏa mãn 12
F
Mệnh đề sau đúng?
A.
1cos 2
2
F x x B. F x
cos
x
C. F x
cos 2
x
1 D.
1cos 2
2
F x x
Hướng dẫn giải
Chọn D
d sin d
cos 2
1cos 2
2
F x
f x x
x x x C x CMà F 21 1 12cos 2. 12C 1 21C 1 C 12F x
12cos 2
x
21
Câu 104 Nguyên hàm
sin 2xcosx dx
là: A. cos2 sin2 x x C B. cos2xsinx C
C. cos2 sin
2 x x C
D. cos2xsinx C
Hướng dẫn giải
Ta có:
sin cos
1cos sin2
x x dx x x C
Chọn C
Câu 105 Nguyên hàm
sin 2
x3 cos 2
x
dx là:A. 2cos 2
x3 2sin 2
x
C B. 2cos 2
x3 2sin 2
x
C C. 2cos 2
x3 2sin 2
x
C D. 2cos 2
x3 2sin 2
x
CHướng dẫn giải
Ta có:
sin 2x3 cos 2 x dx 2cos 2x3 2sin 2 x C
Chọn A
Câu 106 Nguyên hàm
sin cos2
x
x dx là:A. 3sin 6
sin
2x x x C B. x3sin 6
x2 sin
x CC. 3sin sin
2x x x C D.
1 3sin 6 2 sin
2x x x C
Hướng dẫn giải
(54)
2 cos 1
sin cos cos cos cos
2 2
1 3sin 6 2 sin
2
x
x x dx x dx x x dx
x x x C
Chọn A
Câu 107 Kết nguyên hàm
sin3 cos3
x x dx
?A. 3cos sin2 3sin cos2
x x x x C B. sin2 sin cos
2 x x x C
C. sin sin
x x C
D. sin cos sinx x x C
Hướng dẫn giải
Ta có:
3 2
sin cos 3cos sin 3sin cos
3sin sin cos 2sin sin
2
x x dx x x x x C
x x x C x x C
Chọn C
Câu 108 Cho hàm số f x
cos3 cosx x Một nguyên hàm hàm số f x
x0 là:A. 3sin3xsinx B. sin sin
8
x x
C. sin sin
2
x x
D. cos cos
8
x x
Hướng dẫn giải
Ta có:
cos3 cos
cos2
1sin 1sin2
F x
x dx
x cos x dx x x C
0 1sin 1sin 08
F C C
Vậy
cos cos8
x x
F x
Chọn D
Câu 109 Họ nguyên hàm F x
hàm số f x
cot2x là:A. cotx x C B. cotx x C C. cotx x C D. tanx x C
Hướng dẫn giải
Ta có: cot2xdx
cot2x 1 1
dx cotx x C
Chọn B
Câu 110 Cho F x
nguyên hàm hàm số
sin 421 cos
x f x
x
thỏa mãn F
Tính F
0A. F
0 4 6ln 2. B. F
0 4 6ln 2. C. F
0 4 6ln 2. D. F
0 4 6lnHướng dẫn giải
Chọn A Cách
Ta có F x
f x
dx
'
2.cos cos
sin d 2sin cos d 4sin cos d d
1 cos
1 cos 1 cos cos2
2
x x
x x x x x
F x x x x x
x
x x x
(55)
3 cos2 3
2 d cos2 d cos
3 cos2 cos2
x
x x
x x
2 cos2x 6ln cos2x C
Do F20 2 cos
6ln cos C0C 4 6ln
0 cos0 6ln cos0 6ln 2
6lnF
Cách 2:
2
2
2
0
sin d 0
1 cos
x
x F x F F F
x
2
2
sin
0 d 0,15888
1 cos
x
F x
x
Câu 111 Biết F x
nguyên hàm hàm số f x
tan2x4
F
Tính F
A.
4
F
B. F
C. F
D. F
Hướng dẫn giải
Chọn B
2
tan dx x tan x1 d xtanx x C
Do tan
4 4
F C C
Vậy tan
4 4
F
Câu 112 Tìm nguyên hàm F x
hàm số f x
sin x
2 biết2
F
A.
2cos 1sin2
F x x x x B.
2cos 1sin2
F x x x x
C.
2cos 1sin2
F x x x x D.
2cos 1sin2
F x x x x
Hướng dẫn giải
Chọn B
Ta có
1 sin
2
1 2sin sin2
1 2sin cos2
x
x dx x x dx x dx
3 2cos 1sin 2
2x x x c
3 2cos 1sin 0
2 2 4
F c c
Vậy
2cos 1sin2
F x x x x
Câu 113 Tìm họ nguyên hàm hàm số
3sin 2cos35sin cos3
x x
f x
x x
(56)A. 17 ln 5sin3 cos3
26x 78 x x C
B. 17 ln 5sin3 cos3
26x 78 x x C
C. 17 ln 5sin3 cos3
26x78 x x C D.
17 7 ln 5sin3 cos3 .
26x78 x x C
Hướng dẫn giải
Chọn A
3sin 2cos3 5sin cos3 15cos3 3sin
17
5 3 26
15
78
x x A x x B x x
A
A B
A B
B
Câu 114 Biết
sin 2x cos2x
2dx x acos4x C b
, với a, b số nguyên dương, ab phân số tối giản C Giá trị a b
A. B. C. D.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Ta có
sin 2xcos2x
2dx
1 2sin cos2 d x x
x
1 sin d x
x cos44
x x C
Mà
sin 2x cos2x
2dx x acos4x C b
nên ba14
a b
Câu 115 Tính I
8sin cos dx x xacos4xbcos 2x C Khi đó, a bA. B. 1 C. D.
Hướng dẫn giải
Chọn C
8sin cos d
I
x x x 4 sin 4
xsin dx
x cos 4x2cos2x C a 1,b 2Câu 116 F x
nguyên hàm hàm số y2sin cos3x x F
0 0 ,A. F x
cos 4xcos2x B.
cos2 cos44 8
x x
F x
C.
cos cos42 4
x x
F x D
cos cos24
x x
F x
Hướng dẫn giải
Chọn C
Ta có ysin 4xsin 2x
cos cos4
x x
F x C
, F
0 0 nên4
C
Nên
cos cos42 4
x x
F x
Câu 117 Cho Hàm số sau nguyên hàm hàm số f x
sinx A. F x1
cosx B. 2
2sin 2 sin 2x x
F x
C. 3
2sin 2 sin 2x x
F x
D. 4
2cos sinx x
F x
Hướng dẫn giải
(57)Ta có
sin dx x cosx C Đáp án A nguyên hàm hàm số f x
sinx2sin sin cos cos
2
x x
x
Đáp án B nguyên hàm hàm số f x
sinx
2sin sin cos cos
2
x x
x
Đáp án C nguyên hàm hàm số
sin f x x2cos sin sin sin
2
x x
x
Đáp án D nguyên hàm hàm số
sin f x xCâu 118 Tìm họ nguyên hàm hàm số
tan 222
f x x
A. tan 22 d 2tan 2 2
2
x x x x C
B. tan 22 x21dxtan 2x2xC
C. tan 22 d tan 2
2
x x x x C
D. tan 22 x12dxtan 22 x2xC
Hướng dẫn giải
Chọn D
Ta có:
2
1 1 tan
tan d d
2 cos 2 2
x x
x x x C
x
Câu 119 Hàm số F x
ln sinx3cosx nguyên hàm hàm số hàm số sauđây?
A.
sin 3coscos 3sin
x x
f x
x x
B.
cos 3sin sin 3cos
x x
f x
x x
C.
cos 3sinsin 3cos
x x
f x
x x
D. f x
cosx3sinxHướng dẫn giải
Chọn C
Ta có
Câu 120 Hàm số
7cos 4sincos sin
x x
f x
x x
có nguyên hàm F x
thỏa mãn3
4
F
Giá trị
2
F
bằng?
A. 11ln
4
B.
4
C.
8
D. ln
4
Hướng dẫn giải
Chọn A
Ta có
3 sin cos 11 sin cos
2
cos sin
x x x x
f x
x x
3 11 sin. cos
2 cos sin
x x
x x
dF x f x x
11 sin cos d2 cos sin
x x
x
x x
32x 11 sin2 cos x sincosxdxx x
3 11 d cos sin
2x cos sin x x
11ln cos sin2x x x C
ln sin 3cos
cos 3sinsin 3cos
x x
f x F x x x
x x
(58)Mà
4
F
3 11ln 2
8 C
11ln2
4
C
Do 3 11ln2
2 4
F C
Câu 121 Tìm
sin sin cos
x
I dx
x x
?A. 1
ln sin cos
2
I x x x C B. I x ln sinxcosx C
C. I x ln sinxcosx C D. 1
ln sin cos
2
I x x x C
Hướng dẫn giải
Đặt: cos
sin cos
x
T dx
x x
1
sin cos sin cos 1
sin cos sin cos sin cos
x x x x
I T dx dx dx x C
x x x x x x
Ta lại có:
2
sin cos sin cos
sin cos sin cos sin cos
sin cos
ln sin cos
sin cos
x x x x
I T dx dx dx
x x x x x x
d x x
I T x x C
x x
Từ
1 ; ta có hệ:
1
2
1 ln sin cos
2
ln sin cos ln sin cos
2
I x x x C
I T x C
I T x x C
T x x x C
Chọn D
Câu 14 Biết sinx cos sinx
cos sinx cos sinx
x
I dx A B dx
x x
Kết A, BA.
2
AB B.
2
AB C. 1,
2
A B D. 1,
2
A B
Hướng dẫn giải Chọn D
Ta có:
cos sin cos sin
sin cos sin
cos sin cos sin cos sin
sin = cos sin cos sin ( )cos ( )sin
A x x B x x
x x x
A B
x x x x x x
x A x x B x x A B x A B x
Do đó:
1
0 2
1
2
A A B
A B
B
Câu 122 Tìm
4
4
cos
sin cos
x
I dx
x x
?A. 1 ln sin
2
x
I x C B. I x ln sin 2x C
(59)C. 1 ln sin
2 2 sin
x
I x C
x
D. ln sin
2 2 sin
x
I x C
x
Hướng dẫn giải
Đặt: 4sin4 4
sin cos
x
T dx
x x
4 4
1
4 4 4
cos sin sin cos 1
sin cos sin cos sin cos
x x x x
I T dx dx dx x C
x x x x x x
Mặt khác:
4 4
4 4 4
2
2
2
2
cos sin cos sin
sin cos sin cos sin cos
cos sin cos
1
1 2sin cos 1 sin
2
2cos2 ln sin 2
2 sin 2 2 sin
x x x x
I T dx dx dx
x x x x x x
x x x
I T dx dx
x x
x
x x
I T dx C
x x
Từ
1 ; ta có hệ:1
2
1 ln sin
2 2 sin
1 ln sin
1 sin
2 2 sin ln
2 2 sin
x
I x C
I T x C
x x
I T C x
x T x C
x
Chọn C
Câu 123 Họ nguyên hàm hàm số
3sin 2cos exf x x x
A. 6cos 2sin ex
x x C
B. 6cos 2x2sinxexC
C. cos2 2sin e
2
x
x x C D. cos2 2sin e
2
x
x x C
Hướng dẫn giải
Chọn D
3sin 2cos e d
3cos 2sin ex x
x x x x x C
Câu 124 Cho hàm số y f x
liên tục đoạn
0; \
2
thỏa mãn f
x tanx ,
5
; \
4
x
, f
0 0, f
1 Tỉ số2
f
f
bằng:
A. log e 1
B. C.
1 ln 2 ln
D. log e
Hướng dẫn giải
Chọn A
Ta có
1
2
ln cos
2
tan d ln cos
ln cos
2
x C x
f x x x x C
x C x
(60)Khi
ln cos
2
ln cos
2
x x
f x
x x
Suy f 23
ln 1
f ln22
(61)DẠNG 6: NGUYÊN HÀM HÀM SỐ MŨ LÔGARIT Câu 125 Tìm họ nguyên hàm hàm số
52xf x
A. 5 d2x x
2
5
ln5 x
C
B. d2x
x
2ln525x
C
C. 5 d2x x
2.5 ln 52x C D.
5 d2x x1
25 x
C x
Hướng dẫn giải
Chọn B
Ta có 5 d2x x
25 dx x 25ln 25 x
C
25
2ln5 x
C
Câu 126 Tìm họ nguyên hàm hàm số f x
e2018xA
2018
1
d e
2018
x
f x x C
. B.
d e2018xf x x C
.C.
f x
dx2018e2018xC D.
f x
dxe2018xln 2018CHướng dẫn giải
Chọn A
Theo công thức nguyên hàm mở rộng
Câu 127 Tìm nguyên hàm F x
hàm số f x
e2x, biết F
0 1A.
e2xF x B.
2
e
2
x
F x C F x
2e2x1. D F x
exHướng dẫn giải
Chọn B
Ta có:
d e d2 1e22
x x
F x
f x x
x CTheo giả thiết:
0 12
F C Vậy
2
e
2
x
F x
Câu 128 Cho F x
là nguyên hàm f x
e3x thỏa mãn F
0 1 Mệnh đề sauđúng?
A.
1e33
x
F x B.
e33
x
F x
C.
e 133
x
F x D
1e33
x
F x
Hướng dẫn giải
Chọn A
Ta có
e d3 1e33
x x
F x
x CLại có
0 13
F C C
Câu 129 Cho F x
nguyên hàm hàm số f x
e 2x x thỏa mãn
02
F Tìm F x
A.
e2
x
F x x B.
2e2
x
F x x
C.
e2
x
F x x D.
e2
x
(62)Hướng dẫn giải
Chọn D
ex d
exF x
x x x C
02
F e0
2
C
2
C
e2
x
F x x
Câu 130 Cho hàm số f x
thỏa mãn f
x 2018 ln 2018 cosx x f
0 2 Phát biểu sauđúng?
A.
2018 sinxf x x B.
2018 sinln 2018 x
f x x
C.
2018 sinln 2018 x
f x x D. f x
2018 sinx x1Hướng dẫn giải
Chọn D
Ta có
2018 ln 2018 cos dx
f x
x x 2018 sinxx C
Mà f
0 2 2018 sin 00 C2C1Vậy
2018 sinxf x x
Câu 131 Tính
(2e3x)2dxA. 3
3
x x
x e e C B. 4
3
x x
x e e C
C. 4
3
x x
x e e C D. 4
3
x x
x e e C
Hướng dẫn giải
Ta có:
2 3x
2
4 4e3x 6x
x 4x 4e3 6x3
x
e
e dx e d C
Chọn D
Câu 132 Nếu F x
nguyên hàm ( ) (1 )x x
f x e e F(0) 3 F x( ) là?
A. x
e x B. ex x C. ex x C D. ex x
Hướng dẫn giải
Ta có:
x 1
x
x 1
xF x
e e dx
e dxe x C
0 0F e C C
Vậy
xF x e x Chọn B
Câu 133 Họ nguyên hàm hàm số ( ) x x
f x e e : A. x x
e e C B. exexC
C. x x
e e C
D. exexC
Hướng dẫn giải
Ta có:
x x
x xe e dxe e C
Chọn A
Câu 134 Hàm số ( ) x x
(63)A. ( ) x x
f x e e B. ( )
2
x x
f x e e x
C. ( ) x x
f x e e D. ( )
2
x x
f x e e x
Hướng dẫn giải
Ta có:
x x 1
x xe e dxe e x C
Chọn C
Câu 135 Họ nguyên hàm hàm số ( ) 2x 3x
f x e e : A
3
x x
e e
C
B.
2
2
x x
e e
C
C. e23x e23x C
D.
2
3
x x
e e
C
Hướng dẫn giải
Ta có:
2
x x
x x e e
e e dx C
Chọn B
Câu 136 Họ nguyên hàm hàm số ( ) 32x 2 3x
f x :
A. 32
2.ln3 3.ln
x x
C
B.
2
3
2.ln3 3.ln
x x
C
C. 23
2.ln3 3.ln
x x
C
D.
2
3
2.ln3 3.ln
x x
C
Hướng dẫn giải
Ta có:
32 2
322.ln3 3.ln
x x
x x
dx C
Chọn A
Câu 137 Hàm số y f x( ) có nguyên hàm F x
e2x Tìm nguyên hàm hàm số ( ) exf x
A. ( ) 1d e e
e
x x
x f x
x C
B. ( ) 1d 2e ee x xx f x
x C
C. ( ) 1d 2e e
e
x x
x f x
x C
D. ( ) 1ex d 12e ex xf x
x C
Hướng dẫn giải
Chọn B
Vì hàm số y f x( ) có nguyên hàm F x
e2x nên ta có:
2e2xf x F x
Khi đó: ( ) 1d 2e2 1d
e e
x
x x
f x
x x
2e ex x
dx
2e ex xC Câu 138 Tìm nguyên hàm hàm số
e ex
x
f x
A.
d e xf x x C
B.
f x
dxex x CC.
d ex e xf x x C
D.
d exf x x C
Hướng dẫn giải
Chọn B
Ta có
d
e dx
exf x x x x C
(64)Câu 139 F x
nguyên hàm hàm số yxex2 Hàm số sau F x
? A.
22
x
F x e B
1
5
2
x
F x e
C.
2
x
F x e C D
2
2
2
x
F x e
Hướng dẫn giải
Chọn C
Ta thấy đáp án C 2
2
x x x
e C xe xe
nên hàm số đáp án C không
nguyên hàm hàm x2
yxe
Câu 140 Tìm nguyên hàm F x
hàm số
324
x x
x
x f x
A.
12ln12
x
x x
F x C B.
12xF x x xC
C.
2
2
ln ln
x x
x
x x F x
D.
2
2 ln
ln ln
x x
x
x x F x
Hướng dẫn giải
Chọn A
Ta có
32 124
x x x
x
x
f x x
Nên
12
d ln1212 3x
x x x
F x
x x CCâu 141 Tính nguyên hàm hàm số
e 2017 2018e5x x
f x
x
A.
d 2017ex 20184f x x C
x
B.
504,5 d 2017ex
f x x C
x
C.
d 2017ex 504,54f x x C
x
D.
d 2017ex 20184f x x C
x
Hướng dẫn giải
Chọn B
d
2017e 2018x 5
d 2017ex 504,54f x x x x C
x
Câu 142 Tính
2 72x x xdxA. 84
ln84 x
C
B.
2
2 ln 4.ln3.ln
x x x
C
C. 84x C
D. 84 ln84x C
Hướng dẫn giải
Ta có: 2 72 84 84
ln84 x
x x x x
dx dx C
Chọn A
Câu 143 Nguyên hàm 1x3 x
e
dx e
(65)A. 5 13
3
x x
e e C B. 5 13
3
x x
e e C C. 5 13
3
x x
e e C D. 5 13
3
x x
e e C
Hướng dẫn giải
Ta có:
5
2 2 1 1 1
3 3 3
3
3
2 2 2
3
x x x x
x x
x x x
x x
x
e e
dx dx e e dx e e dx e e C
e e e
Chọn D
Câu 144 Cho F x
nguyên hàm hàm số
3
x f x
e
0 ln
3
F Tập nghiệm S
phương trình
ln
x 3
F x e
A. S
2 . B. S
2;2
. C. S
1;2 . D. S
2;1
.Hướng dẫn giải
Ta có:
d 1 d 1
ln
3
3 3
x
x
x x
x e
F x x x e C
e e
Do
0 1ln3
F nên C0 Vậy
1
ln
3
3
x
F x x e
Do đó:
ln
x 3
2F x e x
Chọn A
Câu 145 Hàm số
e 24 173 1
27
x
F x x x C nguyên hàm hàm số
A.
2 e
1xf x x x B. f x
x22 ex
1xC.
2 e
1xf x x x D. f x
x2 2 ex
1xHướng dẫn giải
Chọn C
e3 1
9 24 17
3.e3 1
9 24 17 e
1
9 24 17
27 27
x x x
F x x x x x x x
3 3
1 3.e 9 24 17 e 18 24 e 27 54 27 e 2 1
27 27
x x x x
x x x x x x x
Câu 146 Cho hai hàm số
xF x x axb e
6
xf x x x e Tìm a b để
F x nguyên hàm hàm số f x
A. a1,b 7 B. a 1,b 7 C. a 1,b7 D. a1,b7
Hướng dẫn giải
Chọn B
Ta có
2
x
F x x a x a b e f x nên
6
a a
a b b
Câu 147 Tìm F
x e dxn x ?A. x n n
1
n ! 1
n ! 1
n n (66)B. x n n
1
n ! 1
n ! 1
nF e x nx n n x n xn C
C. ! x F n e C
D. n n
1
n ! 1
n ! 1
n xF x nx n n x n xn e C
Hướng dẫn giải
Lưu ý: ta ln có điều sau x
x
x
x
e f x e f x e f x C e f x f x C
1
1 2
1
1
1 ! 1 !
1 ! !
n n
x n n n n n n
n n
x n n n
F e x n x n x n x n n x n x n x n dx
F e x nx n n x n x n
Chọn B
Câu 148 Giả sử 2x(2 5 2 4) ( ) 2x
e x x x dx ax bx cxd e C
Khi a b c d A. -2 B.3 C.2 D.
Hướng dẫn giải
Chọn B
Ta có 2x(2 5 2 4) ( ) 2x
e x x x dx ax bx cxd e C
nên
3 2 2
3 2
3 2
( ) ' (3 ) ( )
2 (3 ) (2 )
(2 4)
x x x
x
x
ax bx cx d e C ax bx c e e ax bx cx d
ax a b x b c x c d e
x x x e
Do
2
3
2 2
2
a a
a b b
b c c
c d d
Vậy a b c d 3
Câu 149 Tính nguyên hàm hàm số
e 2017 2018e5x x
f x
x
A.
d 2017ex 20184f x x C
x
B.
504,5 d 2017ex
f x x C
x
C.
d 2017ex 504,54f x x C
x
D.
2018 d 2017ex
f x x C
x
Hướng dẫn giải
Chọn B
d
2017e 2018x 5
d 2017ex 504,54f x x x x C
x
Câu 150 Giả sử 2x(2 5 2 4) ( ) 2x
e x x x dx ax bx cxd e C
Khi a b c d A -2 B 3 C 2 D 5
Hướng dẫn giải
Chọn B
Ta có 2x(2 5 2 4) ( ) 2x
e x x x dx ax bx cxd e C
nên
3 2 2
3 2
3 2
( ) ' (3 ) ( )
2 (3 ) (2 )
(2 4)
x x x
x
x
ax bx cx d e C ax bx c e e ax bx cx d
ax a b x b c x c d e
x x x e
(67)Do
2
3
2 2
2
a a
a b b
b c c
c d d
Vậy a b c d 3
Câu 151 Cho
e2xF x ax bxc làmột nguyên hàm hàm số f x
2018x23 ex
2xtrên khoảng
;
Tính T a 4b cA. T 3035 B.T 1007 C. T 5053 D. T 1011
Hướng dẫn giải
Chọn A
Vì
e2xF x ax bxc làmột nguyên hàm hàm số
2018 e
2xf x x x
khoảng
;
nên ta có:
F x
f x
, với x
;
2 2 2 2
e2x
2018 3 e
2xax x b a c b x x
, với x
;
2 2018
2
2
a
b a
c b
1009 2021
2 2023
4
a
b
c
Vậy T a 4b c 1009 2021 2023
2
3035
Câu 152 Biết
xF x ax bxc e nguyên hàm hàm số
2 2
xf x x x e
Tính giá trị biểu thức f F
0 A. e1
B. 20e2 C. 9e D. 3e
Hướng dẫn giải
Chọn C
Ta có
x
x
2
x
xF x ax bxc e ax bxc e ax b e ax bxc e
2
xF x ax a b x b c e
Vì
xF x ax bxc e nguyên hàm hàm số f x
2x2 5x2
ex nên:
,
2
x
2 2
x,F x f x x ax a b x b c e x x e x
2
2
2
a a
a b b
b c c
Như
2 1
x
0
2.0 12
F x x x e F e
Bởi f F
0 f
1
2.1 5.1 22
e9eCâu 153 Gọi F x
nguyên hàm hàm số f x
2x, thỏa mãn
0 lnF Tính giá trị
(68)A. 1009.22017 ln
T B. T 22017.2018 C.
2017
2
ln
T D.
2018
2
ln
T
Hướng dẫn giải
Chọn D
Ta có:
d dln x x
F x
f x x
x CMà
0ln
F 1
ln ln ln
x
C C F x
Khi đó:
0
1
2
2017
T F F F F
0 2017 2018 2018
2 2 1 2.
ln ln ln ln ln 2 ln
(69)PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN
BÀI TẬP
PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM BẰNG CÁCH ĐƯA VÀO VI PHÂN
Câu Cho hàm số
221
x f x
x
Khi đó:
A.
f x dx
2ln 1
x2
C B.
f x dx
3ln 1
x2
CC.
f x dx
4ln 1
x2
C D.
f x dx
ln 1
x2
CCâu Cho hàm số f x
x x
21
4 Biết F(x) nguyên hàm f x( )đồ thị hàm số yF x
đi qua điểm M
1;6
Khi F(x) là: A
4 1
2
4
x
F x B
5 1
15
10
x
F x
C
5 1
15
10
x
F x D
1
5 1410
F x x
Câu Tính 2
1
x dx x
thu kết là:A.
1
x C x
B 1
x C x
C.
1xC D.
2
ln 1x C
Câu Họ nguyên hàm hàm số ( ) 22
x f x
x x
là:
A. 2ln 4
x x C B. ln x2 x C
C
2
ln
2
x x
C
D. 4ln x2 x C
Câu Họ nguyên hàm hàm số ( ) 2
4
x f x
x x
:
A. ln 4 4
2 x x C B. ln x24x4 C
C. 2ln x24x4 C. D. 4ln x24x4 C
Câu Họ nguyên hàm hàm số ( ) 22
x f x
x
là:
A. 2ln 4
x C B
2
ln
2
x
C
C. ln x24C D. 4ln x24 C
Câu Họ nguyên hàm hàm số ( ) 33
x f x
x
(70)C. ln 4
x C D. ln x34C
Câu Một nguyên hàm ( ) 2
x f x
x
là:
A. ln
2 x B. 2ln
x21
C. ln( 1)2 x2 D.2
ln(x 1)
Câu Tính
3
( )
1
x
F x dx
x
A. F x( ) ln x4 1 C B. ( ) 1ln 1
4
F x x C
C. ( ) 1ln 1
2
F x x C D. ( ) 1ln
3
F x x C
Câu 10 Họ nguyên hàm hàm số ( ) sin
cos
x f x
x
là:
A. ln cosx 3 C B. 2ln cosx 3 C
C ln cos
2
x
C
D. 4ln cosx 3 C
Câu 11 Biết F x
nguyên hàm hàm số
sin1 3cos
x f x
x
F 2
Tính F
0A.
0 1ln 23
F B
0 2ln 2F C
0 2ln 2F D
0 1ln 23
F
Câu 12 Nguyên hàm hàm số: .
ysin x cos x là: A. 1sin3 1sin5
3 x5 x C B
1sin 1sin
3 x x C
C. sin3 sin5
x xC D. sin3xsin5xC
Câu 13 Nguyên hàm hàm số: .
ysin x cosx là: A. cos4
4 x C B. sin4 4x C C. sin3 3x C D. cos2x C
Câu 14 Tính
cos sin x 2x dxA 3sin sin
12
x x
C
B. 3cos cos3
12
x x
C
C. sin3
3
x C
D. sinx.cos2x C
Câu 15 Họ nguyên hàm hàm số
sin
f x
x
là:
A. ln cot
x C
B. ln tan
2
x C
C. ln tan
2
x C
D. ln sinx C
Câu 16 Họ nguyên hàm hàm số f x
tanx là: (71)C. tan2
2
x C
D. ln cos
x
CCâu 17 Tìm nguyên hàm hàm số
2
2
1 2sin 2sin
4
x f x
x
A.
f x
dxln sinxcosx C B.
d 1ln sin cos2
f x x x x C
C.
f x
dxln sin 2 x C D.
d 1ln sin2
f x x x C
Câu 18 Họ nguyên hàm hàm số ( )
3 x x
e f x
e
là:
A. x
e C
B. 3ex 9 C
C. 2ln x
e C
D. ln x
e C
Câu 19 Họ nguyên hàm hàm số
( ) 2x
f x x là: A
1
ln 2.2x C B.
2
1 ln
x C
C
ln
2x C D
2
ln 2.2x
C
Câu 20 Họ nguyên hàm hàm số
( ) x
f x xe là:
A 2ex C B
2
2 x
e C
C. x
e C
D. ex2 C
Câu 21 Tính
2 1
x
x e dx
A. x2 1
e C B.
2
x
e C
C. 1
2
x
e C D.
2
x
e C
Câu 22 Tìm nguyên hàm hàm số f x
lnxx
A.
f x
dxln2x C B.
d 1ln2f x x x C
C.
f x
dxlnxC D.
d xf x xe C
Câu 23 Họ nguyên hàm hàm số f x( ) ln 2x
x
:
A. ln 2x C B. ln2xC
C. ln 22
2
x C
D. ln
2
x C
Câu 24 Nguyên hàm ln dx x x
0
x
A. ln2 ln
2 x x C B xln2xC C. ln2 xlnx C D. x1 ln2 2x C
Câu 25 Tính ( )
2ln
dx F x
x x
(72)C. ( ) 2ln
F x x C D. ( ) 2ln
2
F x x C
Câu 26 Họ nguyên hàm hàm số f x( ) lnx
x
là:
A. ln2
xC B. lnx C C.
2
ln
x C
D. ln
2
x C
Câu 27 Họ nguyên hàm hàm số 2
2
( ) ln( 1)
1
x
f x x
x
là:
A. ln ( 1) C2
2 x B.
2
ln(x 1) C
C. ln ( 1) C2
2 x D.
2
1 ln ( 1) C
2 x
Câu 28 Tính
.ln
dx
x x
A. lnx C B. ln | |x C
C. ln(lnx) C D. ln | lnx | C
Câu 29 Tìm nguyên hàm F x
của hàm số
2
f x
x
thỏa mãnF
5 7A. F x
2 1x B. F x
2 1x C. F x
4x D. F x
10x Câu 30 Họ nguyên hàm .3 1d
x x x
A. ( 1)
8 x C B. 83 ( 1) x2 C C. 83 ( 1)3 x2 C. D 81 ( 1)3 x2 C
Câu 31 Biết
f x
dx2 ln 1x
x
C với 1;x
Tìm khẳng định khẳng định sau
A.
f
3 dx x2 ln 1x
x
C B.
f
3 dx x6 ln 1x
x
CC.
f
3 dx x6 ln 1x
x
C D.
f
3 dx x3 ln 1x
x
CPHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM BẰNG CÁCH ĐỔI BIẾN SỐ HÀM ĐA THỨC, PHÂN THỨC
Câu 32 Cho
f x dx( ) F x( )C Khi với a 0, ta có
f(axb dx) bằng:A (a ) C
2aF x b B. a F (ax b ) C
C. (aF x b) C
a D. F(axb) C
Câu 33 Hàm số f x( )x(1 )x 10 có nguyên hàm là:
A. ( ) ( 1)12 ( 1)11
12 11
x x
F x C B.
12 11
( 1) ( 1)
( )
12 11
x x
F x C
11 10
(73)Câu 34 Tính x2
(1 )
d x x
thu kết là:A. ln
1
x x C B. ln x 1x2 C
C ln 2
x
C x
D
2
1.ln
x C x
Câu 35 Tính
x x
1
3dx : A.
5
1
5
x x
C
B.
5
1
5
x x
C
C
5
x x x
x C
D
5
3
3
5
x x x
x C
Câu 36 Tìm nguyên hàm ( 7) d15
x x x
A 1
7
162 x C B
16
1 7
32 x C
C
7
1616 x C. D
16
1 7
32 x C
Câu 37 Xét I x3
4x43 d
5 x
Bằng cách đặt: u4x43, khẳng định sau đúng?A. 5d
16
I
u u B 5d12
I
u u C I
u u5d D. 5d4
I
u uCâu 38 Cho
2 dx
x
6 x A
3 2x
8B
3 2x
7C với A, B C Giá trịbiểu thức 12A7B A 23
252 B.
241
252 C.
52
9 D.
7
Câu 39 Giả sử
1
2017d
1
1
a b
x x
x x x C
a b
với a b, số nguyên dương Tính2a b bằng:
A. 2017. B. 2018. C. 2019. D. 2020. Câu 40 Nguyên hàm 2
1
x dx
x
là:A. lnt C, với tx21 B. lnt C, với tx21
C. ln
2 t C, với tx21 D 1 ln2 t C, với t x21
Câu 41 Tính
42 d
9
x x x
là:A
51
5 x C
B
31
3 x C
C
54
9 C
x
D
31
9 C
x
Câu 42 Hàm số sau nguyên hàm
2017 2019
7
x
K dx
x
?A
2018
1 .7 1x . B 18162 1
x
2018
7 1x
2018 (74)C.
2018 2018
2018
18162
18162
x x
x
D.
2018 2018
2018
18162
18162
x x
x
Câu 43 Với phương pháp đổi biến số
xt
, nguyên hàm 211dx
x
bằng:A 1
2t C B
1
2tC C. t2C D. tC
Câu 44 Giả sử
2 d
1
x x
C
x x x x g x
(C số)Tính tổng nghiệm phương trình g x
0A. 1 B.1 C. D. 3
HÀM CHỨA CĂN THỨC
Câu 45 Tìm họ nguyên hàm hàm số f x
2x3A.
d 23
f x x x x C
B.
f x
dx13
2x3 2
x 3 CC.
d 2
2 2
3
f x x x x C
D.
f x
dx 2x 3 CCâu 46 Hàm số F x
nguyên hàm hàm số y x1?A
4
3 1
8
F x x C
B.
43
1
43
F x x C
C.
3
1
34
F x x x C D.
34
1
34
F x x C
Câu 47 Tìm hàm số F x
biết F x
nguyên hàm hàm số f x
x F
1 1A.
3
F x x x B.
3
F x x x
C.
12 2
F x
x
D
3
F x x x
Câu 48 Tìm họ nguyên hàm hàm số
2
f x
x
A
d2
f x x x C
B.
f x x
d 1x CC
f x x
d 2 1x C D.
1 d
2
f x x C
x x
Câu 49 Một nguyên hàm hàm số: ( ) 1
f x x x là:
A. ( ) 1
1 2
33
F x x B.
2
1
( )
3
F x x
C. ( ) 2
1 2
22
x
F x x D.
2
1
( )
2
F x x
Câu 50 Họ nguyên hàm hàm số ( ) 2 1
f x x x là:
3
(75)C
x21
3 C D
1
33 x C
Câu 51 Họ nguyên hàm hàm số ( ) 1
f x x x là:
A 1 1
2
33 x C B
3
1 x C
C 2 1
x2
3 C D 1
2
33 x C
Câu 52 Họ nguyên hàm hàm số f x( ) x33 1x là:
A. 3
3 1
7 3
3 1
521 x 15 x C B.
6
3
1 3 1 3 1
18 x 12 x C
C. 13
3 3
3 1
9 x x C D.
4
3
1 3 1 3 1
12 x 3 x C
Câu 53 Họ nguyên hàm hàm số f x( ) 2 x3 x là:
A
3
3
3
6 12
x x
C
B
4
3
3
8 14
x x
C
C
3
3
3
6 12
x x
C
D
4
3
3
8 14
x x
C
Câu 54 Cho 5d
I
x x x, đặt u x25 viết I theo u du ta A. ( 5 )d 2I
u u u B I
u2d u C. I
(u45 )d u3 u D.4
( )d
I
u u uCâu 55 Cho
0
1 d
I
x x x u 1x Mệnh đề sai?A. 2
1 1 d
2
I
x x x B.
3 2
1 d
I
u u u C3
5
1
1
2
u u
I
D.
3 2
1 1 d
2
I
u u u Câu 56 Khi tính nguyên hàm d1
x x x
, cách đặt u x1 ta nguyên hàm nào?A. 2
4 d
u u u
B.
u24 d
u C.
2
u24 d
u D.
u23 d
uCâu 57 Cho
2
( )
1
x
f x x
x
, biết
F x nguyên hàm hàm số f x
thỏa
0F Tính
4
F
A. 125
16 . B.
126
16 . C.
123
16 . D.
127 16 .
Câu 58 Tính tích phân:
1
d
x I
x x
kết I aln3bln Tổng a bA. B. C. 1 D.
Câu 59 Họ nguyên hàm hàm số
3
1
x
(76)A. 1
2 1
3 x x C B
1 1 1
3 x x C
C. 1
1 1
3 x x C D
1 2 1
3 x x C
Câu 60 Họ nguyên hàm hàm số ( ) 22
x f x
x
là:
A x2 1 C B
2
1
2 x C
C 2 1
x C D. x2 1 C
Câu 61 Họ nguyên hàm hàm số ( ) 2
x f x
x
là:
A. 2 4x2 C. B. 4 4x2 C.
C.
2
x C
D. 4 4x2 C
Câu 62 Với phương pháp đổi biến số
xt
, nguyên hàm2
1
2
I dx
x x
bằng:A. sintC B. t C C. costC D. tC Câu 63 Biết khoảng ;
2
, hàm số
2
20 30
2
x x
f x
x
có nguyên hàm
F x ax bxc x (a, b, c số nguyên) Tổng S a b c
A. B. C. D.
Câu 64
2
1
1
2
x x dx
x
có dạng a4x4 1 2 x b3
x 1
3 Cx
, a b,
là hai số hữu tỉ Giá trị b a, bằng:
A. 2; B.1; C. a b, D. 1;
Câu 65 Tìm
1
1 n n n
dx T
x
?
A
1
1 n
n
T C
x
B
1
1 n
n
T C
x
C
n 1
1nT x C D
1
1
n n
T x C Câu 66 Tìm 22
2
x
R dx
x x
?A. tan 1 sin 2ln
2 sin
t t
R C
t
với arctan2
x t
B. tan 1 sin 2ln
2 sin
t t
R C
t
với arctan2
x t
C. tan 1 sin 2ln
2 sin
t t
R C
t
với arctan2
x t
(77)HÀM LƯỢNG GIÁC
Câu 67 Theo phương pháp đổi biến số với tcos ,x usinx, nguyên hàm
tan cot
I
x x dx là:A. lnt lnu C B. lnt lnu C C. lnt lnu C D. lnt lnu C
Câu 68 Biết F x
nguyên hàm hàm số f x
sin cos3x x F
0 Tính F .
A F
. B
2
F
C.
1
2
F
D
1
2
F
Câu 69 Tìm nguyên hàm sin 2 d sin
x x x
KếtA. sin2
2
x C
B sin xC C. sin 2xC. D 2 sin xC Câu 70 Nguyên hàm F x
hàm số f x
sin cos 22 x x thỏa4
F
A
1sin 23 sin 256 10 15
F x x x B.
1sin 23 sin 256 10 15
F x x x
C
1sin 23 sin 256 10 15
F x x x D.
1sin 23 sin 256 10 15
F x x x
Câu 71 Tìm họ nguyên hàm hàm số f x
tan5 x. A
d 1tan4 1tan2 ln cos4
f x x x x x C
B
d 1tan4 1tan2 ln cos4
f x x x x x C
C
d 1tan4 1tan2 ln cos4
f x x x x x C
D
d 1tan4 1tan2 ln cos4
f x x x x x C
Câu 72 Theo phương pháp đổi biến số
xt
, nguyên hàm 2sin3 2cos1 sin
x x
I dx
x
là:A 23tC. B 63tC. C 33 tC. D. 123tC
HÀM MŨ –LÔGARIT
Câu 73 Tìm họ nguyên hàm hàm số
x3f x x e
A 2 d ln
4
t t t t t t C
t
B
f x
dx3ex31C C.
d3
x
f x x e C
D
3
d
x
x
f x x e C
(78)A. ln x
I x e C B. I xln 1ex C
C. ln x
I x e C D. ln x
I x e C
Câu 75 Cho F x
nguyên hàm hàm số
2e 3x
f x
thỏa mãn F
0 10 Tìm F x
A.
1
ln 2e 3
10 ln3
x
F x x B.
1
10 ln 2e 3
3
x
F x x
C.
ln e 10 ln ln3
x
F x x
D
ln e 10 ln ln3
x
F x x
Câu 76 Với phương pháp đổi biến số
xt
, nguyên hàm ln 2xdx x
bằng:A 1
2t C B. t2C C. 2t2C D. 4t2C
Câu 77 Hàm số nguyên hàm hàm số 2sinx cosx
cos sin
y x x ?
A. y2sin cosx xC. B. 2sin cos
ln
x x
y C. yln 2.2sin cosx x. D.
sin cos
2 ln
x x
y C
Câu 78 Cho hàm số ( ) x ln
f x
x
Hàm số không là nguyên hàm hàm số f x( )?
A. ( ) x
F x C B. ( ) 2
x 1
F x C
C. ( ) 2
x 1
F x C D. F x( ) 2 x1C
Câu 79 Nguyên hàm
ln.ln
x f x
x x
A. ln d ln ln
.ln
x
x x C
x x
B. ln d ln ln.ln x x x2 x Cx x
C. ln d ln ln
.ln
x
x x x C
x x
D. ln d ln ln.ln x x x x Cx x
Câu 80
1
x2 4x 3x cos2
x e e x dx
có dạng 2
1 sin 2
6
x
a b
e x C , a b, hai số hữu tỉ Giá trị a b, bằng:
A. 3; B.1; C. 3; D. 6;
Câu 81 Tìm
3
1 1
x x
e x x
I dx
x e x
?A. ln
x 1
I x e x C B. I xln
ex x 1 1
CC. ln
x 1
I e x C D. I ln
ex x 1 1
CCâu 82 Tìm nguyên hàm hàm số
2
1
ln x 2017
x x
(79)A. ln
x21 1008ln ln
x21 1
B. ln
x21 2016ln ln
x21 1
C. ln
1 2016ln ln
1 1
2 x x
D. ln
1 1008ln ln
1 1
2 x x
Câu 83 Tìm
2
2
2 2ln ln
ln
x x x x
G dx
x x x
?A 1
ln
G C
x x x
B
1
ln
G C
x x x
C 1
ln
G C
x x x
D
1
ln
G C
x x x
Câu 84 Hàm số sau nguyên hàm
1
1 ln ln ln
n n n
x h x
x x x x
?
A 1ln 1ln n lnn 2016
x x x
n n B.
1ln 1ln n lnn 2016
x x x
n n
C 1ln 1ln n lnn 2016
x x x
n n
D 1ln 1ln n lnn 2016
x x x
n n
(80)HƯỚNG DẪN GIẢI
PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM BẰNG CÁCH ĐƯA VÀO VI PHÂN Câu 1. Cho hàm số
221
x f x
x
Khi đó:
A.
f x dx
2ln 1
x2
C B.
f x dx
3ln 1
x2
CC.
f x dx
4ln 1
x2
C D.
f x dx
ln 1
x2
CHướng dẫn giải
Ta có:
2
2
2
1
2x ln 1
1
d x dx
x C
x x
Chọn D
Câu 2. Cho hàm số f x
x x
21
4 Biết F(x) nguyên hàm f x( )đồ thị hàm số yF x
đi qua điểm M
1;6
Khi F(x) là: A
4 1
2
4
x
F x B.
5 1
15
10
x
F x
C.
5 1
15
10
x
F x D.
1
5 1410
F x x
Hướng dẫn giải
Ta có
1
4
1
4 1
1
52 10
F x
x x dx
x d x x C
1;6 ( ) :
( )
1 1
5 14
1
5 1410 10
M C yF x CC F x x
Chọn D Câu 3. Tính 2
1
x dx x
thu kết là:A.
1
x C x
B.
x C x
C.
1xC D.
2
ln 1x C
Hướng dẫn giải
Ta có:
2
2
2
1
2 ln 1
1
d x
x dx
x C
x x
Chọn D
Câu 4. Họ nguyên hàm hàm số ( ) 22
x f x
x x
là:
A. 2ln x2 x 4C. B. ln x2 x 4 C.
C.
2
ln
2
x x
C
D. 4ln x2 x C
Hướng dẫn giải
Ta có:
2
2
2
4
2 ln 4
4
d x x x
dx x x C
x x x x
(81)Câu 5. Họ nguyên hàm hàm số ( ) 2
4
x f x
x x
:
A. ln 4 4
2 x x C B. ln x24x4 C
C. 2ln 4 4
x x C D. 4ln x24x4 C
Hướng dẫn giải
Ta có:
2
2
2
4
2 1. 1.ln 4 4
4 4
d x x
x
dx x x C
x x x x
Chọn A
Câu 6. Họ nguyên hàm hàm số ( ) 22
x f x
x
là:
A. 2ln 4
x C B.
2
ln
2
x
C
C. ln x24C D. 4ln x24 C
Hướng dẫn giải
Ta có:
2
2
2
4
2 ln 4
4
d x x
x C
x x
Chọn C
Câu 7. Họ nguyên hàm hàm số ( ) 33
x f x
x
là:
A. 3ln 4
x C B. 3ln x34C
C. ln x34 C D. ln x34 C
Hướng dẫn giải
Ta có:
3
3
3
4
3 ln 4
4
d x x dx
x C
x x
Chọn C
Câu 8. Một nguyên hàm ( ) 2
x f x
x
là:
A. ln
2 x B. 2ln
x21
C. ln( 1)2 x2 D.2
ln(x 1)
Hướng dẫn giải
Ta có:
2
2
2
1
1 ln 1
1 2
d x x dx
x
x x
Chọn C
Câu 9. Tính ( ) 4
x
F x dx
x
A. ( ) ln 1F x x C B. ( ) 1ln
4
F x x C
C. ( ) 1ln 1
2
F x x C D. ( ) 1ln
3
F x x C
Ta có: 4
4
1 ( 1) ln 1
1 4
x d x
dx x C
x x
(82)Ta có: 4
4 1 14 (4 11) ln4
x d x
dx x C
x x
Chọn B
Câu 10. Họ nguyên hàm hàm số ( ) sin
cos
x f x
x
là:
A. ln cosx 3 C B. 2ln cosx 3 C
C. ln cos
2
x
C
D. 4ln cosx 3 C
Hướng dẫn giải
Ta có: sin
cos 3
ln coscos cos
d x
x
dx x C
x x
Chọn A
Câu 11. Biết F x
nguyên hàm hàm số
sin1 3cos
x f x
x
F 2
Tính F
0A.
0 1ln 23
F B.
0 2ln 2F C.
0 2ln 2F D.
0 1ln 23
F
Hướng dẫn giải
Chọn B
Ta có: sin d d 3cos
1ln 3cos1 3cos 3cos
x x
x x C
x x
Do 2
0 2ln 22
F C F
Câu 12. Nguyên hàm hàm số: .
ysin x cos x là: A. 1sin3 1sin5
3 x5 x C B.
1sin 1sin
3 x x C
C. sin3 sin5
x xC D. sin3xsin5xC
Hướng dẫn giải
Ta có: sin cos 2x dx
sin x2 sin4 x
.cos x dx
3
2 sin4 sin sin sin
3
x x
sin x x d x C
Chọn A
Câu 13. Nguyên hàm hàm số: .
ysin x cosx là: A. cos4
4 x C B. sin4 4x C C. sin3 3x C D. cos2x C
Hướng dẫn giải
Ta có:
4
3 sin
sin cos sin sin
4
x
x x dx x d x C
Chọn B
Câu 14. Tính
cos sin x 2x dxA. 3sin sin
12
x x
C
B. 3cos cos3
12
x x
C
3
(83)Hướng dẫn giải
Ta có:
3
2 sin
cos sin sin sin
3
x
x x dx x d x C
Chọn C
Câu 15. Họ nguyên hàm hàm số
sin
f x
x
là:
A. ln cot
x C
B. ln tan
2
x C
C. ln tan
2
x C
D. ln sinx C
Hướng dẫn giải
Ta có: sin 2 sin 2
cos2
1ln cossin cos cos cos cos
d x
dx x dx x dx x
C
x x x x x
Chọn B
Câu 16. Họ nguyên hàm hàm số f x
tanx là:A. ln cosx C B. ln cosx C
C. tan2
2
x C
D. ln cos
x
CHướng dẫn giải
Ta có: tan sin
ln coscos cos
d cosx x dx
x dx x C
x x
Chọn B
Câu 17. Tìm nguyên hàm hàm số
2
2
1 2sin 2sin
4
x f x
x
A.
f x
dxln sinxcosx C B.
d 1ln sin cos2
f x x x x C
C.
f x
dxln sin 2 x C D.
d 1ln sin2
f x x x C
Hướng dẫn giải
Chọn A
Áp dụng công thức 1 2sin 2xcos 2xcos2xsin2 x 2sin2
sin cos
24
x x x
Hàm số rút gọn thành
cos sinsin cos
x x
f x
x x
Nguyên hàm f x
dx d sin
sin x coscosx
x x
=ln sinxcosx CCâu 18. Họ nguyên hàm hàm số ( )
3 x x
e f x
e
là:
A. x
e C
B. 3ex 9 C
C. 2ln x
e C
D. ln ex3C
Hướng dẫn giải
Ta có:
3
lnx x
x
d e e
dx e C
(84)Câu 19. Họ nguyên hàm hàm số
( ) 2x
f x x là:
A.
1
ln 2.2x C B.
2
1 ln
x C
C. ln 22
2x C D.
2
ln 2.2x
C
Hướng dẫn giải
Ta có: 2
22 2 ln 2
ln ln ln
x x x x
x dx x d C
Chọn B
Câu 20. Họ nguyên hàm hàm số
( ) x
f x xe là: A
2 x
e C
B.
2
2 x
e C
C. x
e C
D. ex2C
Hướng dẫn giải
Ta có:
22 x x x
x e dx d e e C
Chọn D Câu 21. Tính
2 1
x
x e dx
A. x2 1
e C B.
2
x
e C
C. 1
2
x
e C D.
2
x
e C
Hướng dẫn giải
Ta có: 1 1 1
( )
2
x x x
I
xe dx
d e e CChọn C
Câu 22. Tìm nguyên hàm hàm số f x
lnxx
A.
f x
dxln2x C B.
d 1ln2f x x x C
C.
f x
dxlnxC D.
d xf x xe C
Hướng dẫn giải
Chọn B
Ta có
f x
dx
ln d lnx
x
ln22 x C
Câu 23. Họ nguyên hàm hàm số f x( ) ln 2x
x
:
A. ln 2x C B. ln2xC
C. ln 22
2
x C
D. ln
2
x C
Hướng dẫn giải
Ta có:
2
ln ln ln 2 ln
2
x x
dx x d x C
x
Chọn C
Câu 24. Nguyên hàm ln dx x x
0
x
(85)Hướng dẫn giải
Chọn A
Ta có lnxdx 1dx lnxdx
x x x
1d ln d ln
ln 1ln22
x x x x x C
x
Câu 25. Tính ( ) 2ln
dx F x
x x
A. F x( ) 2ln x 1 C B. F x( ) 2lnx 1 C
C. ( ) 2ln
F x x C D. ( ) 2ln
2
F x x C
Hướng dẫn giải
Ta có: F x( )
d( 2lnx1) 2lnx 1 CChọn B
Câu 26. Họ nguyên hàm hàm số f x( ) lnx
x
là:
A. ln2xC B. lnx C C. ln2
2
x C
D. ln
2
x C
Hướng dẫn giải
Ta có:
2
ln ln lnx ln
2
x x
dx x d C
x
Chọn C
Câu 27. Họ nguyên hàm hàm số 2
2
( ) ln( 1)
1
x
f x x
x
là:
A. ln ( 1) C2
2 x B.
2
ln(x 1) C
C. ln ( 1) C2
2 x D. ln ( 1) C2 x2
Hướng dẫn giải
Ta có: 2 2
2
2 ln( 1) ln( 1)d(ln( 1)) 1ln ( 1) C
1
x
x dx x x x
x
Chọn D Câu 28. Tính
.ln
dx
x x
A. lnx C B. ln | |x C
C. ln(lnx) C D. ln | lnx | C
Hướng dẫn giải
Ta có:
ln
ln ln.ln ln
d x
dx
x C
x x x
Chọn D
Câu 29. Tìm nguyên hàm F x
của hàm số
2
f x
x
thỏa mãnF
5 7A. F x
2 1x B. F x
2 1x C. F x
4x D. F x
10x Hướng dẫn giải
Chọn B
(86)Do F
5 7 nên 6C7 C1Câu 30. Họ nguyên hàm x.3 x21dx
A. ( 1) 3
8 x C B.
2
3 ( 1)
8 x C C.
2
3
3 ( 1)
8 x C D.
2
3
1 ( 1)
8 x C
Hướng dẫn giải
Chọn C
Ta có .3 1d
x x x
1
2 3
1 1 d 1
2 x x
4
2 3
3 1
8 x C
33
1
48 x C
Câu 31. Biết
f x
dx2 ln 1x
x
C với 1;x
Tìm khẳng định khẳng định sau
A.
f
3 dx x2 ln 1x
x
C B.
f
3 dx x6 ln 1x
x
CC.
f
3 dx x6 ln 1x
x
C D.
f
3 dx x3 ln 1x
x
C Lởi giảiChọn A
Cách 1:
d ln 1
f x x x x C
f
3 dx x
3 d3 f x x
ln 3.3 1
3 x x C
2 ln 1x x C
Cách 2:
Ta có
f x
dx2 ln 1x
x
C f x
2 ln 1x
x
C
2ln 1
3
x x
x
Khi
3 2ln 1
189
x
f x x
x
3 df x x
2ln 1
x
9 118x dxx
ln d
x
x 9 12 dxx
2 9 ln 9 2 2ln 1
9 x x x x x C
(87)PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM BẰNG CÁCH ĐỔI BIẾN SỐ
Nếu
f x
dxF x
C
f u x
'u x
dxF u x
CGiả sử ta cần tìm họ nguyên hàm I
f x
dx, ta phân tích
'
f x g u x u x ta thực phép đổi biến số tu x
, suy dtu x'
dxKhi ta nguyên hàm:
g t
dt G t
CG u x
CChú ý: Sau tìm họ nguyên hàm theo t ta phải thay tu x
HÀM ĐA THỨC, PHÂN THỨCCâu 32. Cho
f x dx( ) F x( )C Khi với a 0, ta có
f(axb dx) bằng:A. (a ) C
2aF x b B. a F (ax b ) C
C. (aF x b) C
a D. F(axb) C
Hướng dẫn giải
Ta có: I
f ax b dx
Đặt: t ax b dt adx 1dt dx
a
Khi đó: I f t dt
1F t
Ca a
Suy ra: I 1F ax b
Ca
Chọn C
Câu 33. Hàm số ( ) (1 )10
f x x x có nguyên hàm là:
A. ( ) ( 1)12 ( 1)11
12 11
x x
F x C B.
12 11
( 1) ( 1)
( )
12 11
x x
F x C C. ( 1)11 ( 1)10
11 10
x x
C
D.
11 10
( 1) ( 1)
( )
11 10
x x
F x C
Hướng dẫn giải
Ta có: I
x 1
x
10.dx Đăt: t 1 x dtdx x, 1 tKhi
10 (11 10) 12 1112 11
I
t t dt
t t dt t t cSuy
1
12
1
1112 11
I x x C
Chọn A Câu 34. Tính x2
(1 )
d x x
thu kết là:A. ln
1
x x C B. ln x 1x2 C
C. ln 2
x
C
D.
2
1.ln
x C x
(88)Ta có: x2 2x 2
(1 ) (1 )
d xd
x x x x
Đặt: t 1 x212dtx dx x , tKhi đó:
2
1. 1.ln 1ln .
2 2
t x
I dt C I C
t t t x
Chọn D Câu 35. Tính
3
1
x x dx
:A.
5
1
5
x x
C
B.
5
1
5
x x
C
C.
5
x x x
x C
D.
5
3
3
5
x x x
x C
Hướng dẫn giải
Ta có: I
x x
1
3dxĐặt: tx 1 dtdx x, t
Khi đó:
5
3
1
5
t t
I t t dt t t dt C
Suy ra:
5
1
5
x x
I C
Chọn B
Câu 36. Tìm nguyên hàm ( 7) d15
x x x
A. 1
7
162 x C B.
16
1 7
32 x C
C.
7
1616 x C. D.
16
1 7
32 x C
Hướng dẫn giải
Chọn D
Đặt 7 d d d 1d
2
tx t x xx x t
Ta có ( 7) d15 15d 1. 16
7
162 16 32
t
x x x t t C x C
Câu 37. Xét 3
4 3 d
5I
x x x Bằng cách đặt: u4x43, khẳng định sau đúng?A. 5d
16
I
u u B. 5d12
I
u u C. I
u u5d D. 5d4
I
u uHướng dẫn giải
Chọn A
4 3
4 d 16 d d d
16
u x u x x ux x
5
1 d
16
I u u
Câu 38. Cho
2 dx
x
6 xA
3 2x
8B
3 2x
7C với A, B C Giá trị biểuthức 12A7B A. 23
252 B.
241
252 C.
52
9 D.
7
(89)Đặt t3x2
3
t
x
d d
3 t x
Ta có: 2 d6
3
t
t t
29
t7+2 dt6
t8
2. 4.
9
t t
C
3
2
8 3
2
736 x 63 x C
Suy
36
A ,
63
B , 12 7
36 63 9
Câu 39. Giả sử
1
2017d
1
1
a b
x x
x x x C
a b
với a b, số nguyên dương Tính 2a bbằng:
A. 2017. B. 2018. C. 2019. D. 2020.
Hướng dẫn giải
Tacó:
2018 2019
2017 2017 2017 2018 1
1 d 1 d 1 d
2018 2019
x x
x x x x x x x x x C
Vậy a2019,b20182a b 2020
Chọn D
Câu 40. Nguyên hàm 2
1
x dx
x
là:A. lnt C, với tx21 B. lnt C, với tx21
C. ln
2 t C, với tx21 D. 1 ln2 t C, với t x21
Hướng dẫn giải
Đặt 1 2
tx dt xdx
2
1 1
ln
1 2
x
dx dt t C
x t
Chọn C
Câu 41. Tính
4
2 d
9
x x x
là:
A.
51
5 x C
B.
31
3 x C
C.
54
9 C
x
D.
31
9 C
x
Hướng dẫn giải
Ta có:
42 d
9
x
I x
x
Đặt: 9 2
tx dt x dx
Khi đó: I
4
1
3
dt
t dt C
t t
Suy ra:
1
3
I C
x
Chọn B
Câu 42. Hàm số sau nguyên hàm
2017
7 1x
(90)A. 2018 18162
x x
B.
2018 2018
2018
18162
18162
x x
x
C.
2018 2018
2018
18162
18162
x x
x
D.
2018 2018
2018
18162
18162
x x
x
Hướng dẫn giải
Ta có:
2017 2017
2019
7 .
2
2
x x
K dx dx
x
x x
Đặt
2
27
2 98
x dt
t dt dx dx
x x x
2018 2018
2017
1 .
9 18162 18162
t x
K t dt C C
x
Chọn D
Câu 43. Với phương pháp đổi biến số
xt
, nguyên hàm 211dx
x
bằng:A.
2t C B.
1
2tC C. t2C D. tC
Hướng dẫn giải
Ta đặt: tan , ; 12
2 cos
x t t dx dt
t
2
1
1dx dt t C
x
Chọn D
Câu 44. Giả sử
2 d
1
x x
C
x x x x g x
(C số)Tính tổng nghiệm phương trình g x
0A. 1 B.1 C. D. 3
Hướng dẫn giải
Chọn D
Ta có x x
1
x2
x3 1
x23x
x23x2 1
x23x
12
Đặt 3
tx x, dt
2x3 d
xTích phân ban đầu trở thành
2d
1
t
C t
t
Trở lại biến x, ta có
2 d
1 3
x x
C
x x x x x x
Vậy g x
x23 1x
32
g x x x x
2
x
(91)HÀM CHỨA CĂN THỨC
Câu 45. Tìm họ nguyên hàm hàm số f x
2x3A.
d 23
f x x x x C
B.
d 1
2 2
3
f x x x x C
C.
d 2
2 2
3
f x x x x C
D.
f x
dx 2x 3 CHướng dẫn giải
Chọn B
Xét I
2x3 d
xĐặt 2x 3 t t2 2x3 2 d 2dt t x
2
d t d
I
t t t
t3t C
3
33 x C
d 1
2 2
3
f x x x x C
Câu 46. Hàm số F x
nguyên hàm hàm số y x1?A.
4
3 1
8
F x x C
B.
43
1
43
F x x C
C.
3
1
34
F x x x C D.
34
1
34
F x x C
Hướng dẫn giải
Chọn C
Ta có: I x1dx
Đặt: t x1 1
t x
3 dt2 tdx
2
.3 d
I t t t
3 dt t34t C
33
1
44 x C
3
1
34 x x C
Vậy
3
1
34
F x x x C
Câu 47. Tìm hàm số F x
biết F x
nguyên hàm hàm số f x
x F
1 1A.
3
F x x x B.
3
F x x x
C.
122
F x
x
D.
3
F x x x
Hướng dẫn giải
Chọn B
Ta có: F x
x xdĐặt t x suy t2 x dx2dt Khi d
3
I
t t t t C3
I x x C
Vì F
1 1 nênC Vậy
3
F x x x
Câu 48. Tìm họ nguyên hàm hàm số
2
f x
x
A.
d2
f x x x C
(92)C.
f x x
d 2 1x C D.
1 d
2
f x x C
x x
Hướng dẫn giải
Chọn A
Đặt 1x t 2 1x t2 dxtdt
Khi ta có 1d
2 x x
1 dt2
tt dt2
2t C
2 x C
Câu 49. Một nguyên hàm hàm số: f x( )x 1x2 là:
A. ( ) 1
1 2
33
F x x B.
2
1
( )
3
F x x
C. ( ) 2
1 2
22
x
F x x D.
2
1
( )
2
F x x
Hướng dẫn giải
Ta có: 1
I
x x dxĐặt: 1 2 1 . .
t x t x t dt x dx Khi đó: I
3
3
t t t dt t dt C
Suy ra: I 1
2
33 x C
Chọn A
Câu 50. Họ nguyên hàm hàm số f x( ) 2 x x2 1 là:
A.
1
33 x C B.
3
2 x C
C.
1
3x C D.
1
33 x C
Hướng dẫn giải
Ta có: 2 1
I
x x dxĐặt: t x2 1 t2 x2 1 2tdt2xdx
Khi đó: I .2 2 2
3
t
t t dt t dt C
Suy ra: I
1
33 x C
Chọn A
Câu 51. Họ nguyên hàm hàm số ( ) 1
f x x x là:
A. 1
2
33 x C B.
3
1 x C
C. 2 1
2
3x C
D. 1
2
33 x C
Hướng dẫn giải
Ta có: I 2 1x x dx2
Đặt: 1 2 1 2 2
t x t x tdt xdx
Khi đó: I
3
2
3
t
t t dt t dt K
(93)Suy ra: I 1
2
33 x C
Chọn D
Câu 52. Họ nguyên hàm hàm số f x( ) x33 1x là:
A. 3
3 1
7 3
3 1
521 x 15 x C B.
6
3
1 3 1 3 1
18 x 12 x C
C. 13
3 3
3 1
9 x x C D.
4
3
1 3 1 3 1
12 x 3 x C
Hướng dẫn giải
Ta có: I x33 1x dx
Đặt: t 33 1x t3 3 1x t dt2 dxKhi đó: 1 .2
4
3 3
t t t
I t t dt t t dt C
Suy 13
3 1
7 13
3 1
53
I x x C
Chọn A
Câu 53. Họ nguyên hàm hàm số f x( ) 2 x3 x là:
A.
3
3
3
6 12
x x
C
B.
4
3
3
8 14
x x
C
C.
3
3
3
6 12
x x
C
D.
4
3
3
8 14
x x
C
Hướng dẫn giải
Ta có: I 2 2x3 xdx
Đặt: 31 2 1 2 2.
2
t xt x t dtdx
Mặt khác: 2 1
x t
Khi đó: I (1 3) 2. (t3 6)
2 2
t t
t t t dt t dt C
Suy ra: I
4
3 1 2 1 2
3
2
x x
C
Chọn B
Câu 54. Cho I x3 x25dx
, đặt u x25 viết I theo u du ta A. ( 5 )d 2I
u u u B. I
u2d u C. I
(u45 )d u3 u D.4
( )d
I
u u uHướng dẫn giải
Chọn A
Đặt u x25 2 5 d d
u x u u x x
Khi đó:I x3 x25dx
x x2 x25dx
u25 d
u u u
u45u2
duCâu 55. Cho
0
1 d
(94)A. 2
1 1 d
2
I
x x x B.
3 2
1 d
I
u u u C.3
5
1
1
2
u u
I
D. 2
1
1 1 d
2
I
u u uHướng dẫn giải
Chọn B
4
0
1 d
I
x x xĐặt u 1x 1
1
2
x u
dxu ud , đổi cận: x 0 u1, x4u3
Khi 3
1
1 1 d
2
I
u u u Câu 56. Khi tính nguyên hàm d1
x x x
, cách đặt u x1 ta nguyên hàm nào?A. 2
4 d
u u u
B.
u24 d
u C.
2
u24 d
u D.
u23 d
uHướng dẫn giải
Chọn C
Đặt u x1, u0 nên u2 x1 d d2
x u u
x u
Khi d
1
x x x
2
1 3.2 d
u
u u u
2
u24 d
uCâu 57. Cho
2
( )
1
x
f x x
x
, biết
F x nguyên hàm hàm số f x
thỏa
0F Tính
4
F
A. 125
16 . B.
126
16 . C.
123
16 . D.
127 16 .
Hướng dẫn giải
Chọn A
Đặt 1 d d
t x t tx x
2
( )d d
1
x
f x x x x
x
2 dt
tt25tC
x21 5
x2 1 C(0)
F C
Vậy 125
4 16
F
Câu 58. Tính tích phân:
1
d
x I
x x
kết I aln3bln Tổng a bA. B. C. 1 D.
Hướng dẫn giải
Chọn D
5
3
dx I
x x
(95)Đặt u 1x
2 1
3
u
x
3
dx udu
Đổi cận: x 1 u2 x 5 u4
Vậy
4
4
2
2
2
1
2 ln ln3 ln1 2ln ln 5
1 1
u u u
I du du
u u u u
Do a2; b 1 a b Câu 59. Họ nguyên hàm hàm số
3
1
x f x
x
là:
A. 1
2 1
3 x x C B.
1 1 1
3 x x C
C. 1
1 1
3 x x C D.
2
1 2 1
3 x x C
Hướng dẫn giải
Ta có :
2
1
x
I dx
x
Đặt t 1x2 t2 1 x2 tdtxdx
Khi đó: (1 2) ( 1)
3
t t
I tdt t dt t C
t
Thay t 1x2 ta ( 3) 1 1
2 1
3
x
I x C x x C Chọn D
Câu 60. Họ nguyên hàm hàm số ( ) 22
x f x
x
là:
A. 1
x C B.
2
1
2 x C
C. 2 x2 1 C D. 4 x2 1 C
Hướng dẫn giải
Ta có: 22
1
x
I dx
x
Đặt: t x2 1 t2 x2 1 t dt2 x dx
Khi đó: I t dt 2t C t
Suy ra: I 2 x2 1 C
Chọn C
Câu 61. Họ nguyên hàm hàm số
2
4 ( )
4
x f x
x
là:
A. 2 4x2 C. B. 4 4x2 C.
C.
2
x C
D. 4 4x2 C
Hướng dẫn giải
Ta có: 2
4
x
(96)Khi đó: 4tdt 4 4 4
I t C I x C
t
Chọn D
Câu 62. Với phương pháp đổi biến số
xt
, nguyên hàm2
1
2
I dx
x x
bằng:A. sintC B. t C C. costC D. tC
Hướng dẫn giải
Ta biến đổi:
21
4
I dx
x
Đặt 2sin , , 2cos
2
x t t dx tdt
I dt t C
Chọn D
Câu 63. Biết khoảng ;
, hàm số
2
20 30
2
x x
f x
x
có nguyên hàm
F x ax bxc x (a, b, c số nguyên) Tổng S a b c
A. B. C. D.
Hướng dẫn giải
Chọn B
Đặt 2 3 2 d d
t x t x xt t
Khi 20 30 d
2
x x
x x
2
2 3 3
20 30
2
d
t t
t t t
5t415t27 d
t5 5 7
t t t C
2x3
5 5 2
x3
3 7 2x 3 C
2x 3
2 2x 2
x 2
x 2x C
4x22 2x
x 3 CVậy F x
4x22 2x
x3 Suy S a b c Câu 64.2
1
1
2
x x dx
x
có dạng a4x4 1 2 3x b3
x 1
3 Cx
, a b,
là hai số hữu tỉ Giá trị b a, bằng:
A. 2; B.1; C. a b, D. 1;
Hướng dẫn giải
Cách 1:
Theo đề, ta cần tìm
2
1
1
2
x x dx
x
Sau đó, ta xác định giá trị aTa có:
3
2
1 1
1
2
x x dx x dx x dx
x x
Để tìm
2x x2 1 xlnx dx
ta đặt1
2
I x dx
x
I2
x1dx tìm,
(97)*Tìm
1
1
2
I x dx
x
3
1
1 1
2
I x dx x x C
x x
, C1 số*Tìm I2
x1dx Dùng phương pháp đổi biếnĐặt t x1,t0 ta t2 x 1, 2tdtdx
Suy
32 23 23
I
x dx
t dt t C x C
33 4
1 2
2
1 1 1
1 1
2 4
x x dx I I x x C x C x x x C
x x x
Suy để
2
1
1
2
x x dx
x
có dạng a4x4 1 2 x 3b
x 1
3 Cx
1 ,
a b
Vậy đáp án xác đáp án D Cách 2:Dùng phương pháp loại trừ
Ta thay giá trị a b, đáp án vào 1
1
34
a b
x x x C
x
Sau đó, với
mỗi a b, đáp án A, B, D ta lấy đạo hàm
3
2 1 2ln
3
a b
x x x x C
Sai lầm thường gặp: A. Đáp án A sai
Một số học sinh không ý đến thứ tự b a, nên học sinh khoanh đáp án A sai lầm
B.Đáp án B sai
Một số học sinh sai lầm sau: *Tìm I2
x1dxDùng phương pháp đổi biến
Đặt t x1,t0 ta t2 x 1,tdtdx
Suy
32 13 13
I
x dx
t dt t C x C
33 4
1 2
2
1 1 1 1
1 1
2 4
x x dx I I x x C x C x x x C
x x x
Suy để
2
1
1
2
x x dx
x
có dạng a4x4 1 2 x 3b
x 1
3 Cx
1 ,
a b
Thế là, học sinh khoanh đáp án B sai lầm
C. Đáp án C sai
Một số học sinh sai lầm sau: *Tìm I2
x1dx (98)Suy
2
1
1
2
x x dx
x
khơng thể có dạng
34 1 1
4
a b
x x x C
x
, với a b,
Nên không tồn a b, thỏa yêu cầu toán
Thế là, học sinh khoanh đáp án C sai lầm
Câu 65. Tìm
1 n n n dx T x
? A.1 n
n T C x
B.
1
1 n
n T C x
C.
n 1
1nT x C D.
1
1
n n
T x C
Hướng dẫn giải
Ta có:
1 11 1
1
1 1
1 . 1 1
n n n n n n n n n n n n n
dx dx x
T dx x dx
x x x x x
Đặt:
1
1 n
n n
n
t dt nx
x x 1 1
1 1 1 n
n n
n
T t dt t C C
n x
Chọn A Câu 66. Tìm1 2 x R dx x x
?A. tan 1 sin 2ln
2 sin
t t
R C
t
với arctan2
x t
B. tan 1 sin 2ln
2 sin
t t
R C
t
với arctan2
x t
C. tan 1 sin 2ln
2 sin
t t
R C
t
với arctan2
x t
D. tan 1 sin 2ln
2 sin
t t
R C
t
với arctan2
x t
Hướng dẫn giải
Đặt x2cos 2t với 0;
t
Ta có:
2
4sin
2 2sin 4sin sin
2 2cos2 4cos cos
dx t dt
x t t t
x t t t
2 2
1 .sin .4sin 2sin cos
4cos cos cos cos
1 tan 1 sin
t t t
R t dt dt dt
t t t t
(99)Chọn A
HÀM LƯỢNG GIÁC
Câu 67. Theo phương pháp đổi biến số với t cos ,x usinx, nguyên hàm I
tanxcotx dx
là:A. lnt lnu C B. lnt lnu C C. lnt lnu C D. lnt lnu C
Hướng dẫn giải
Ta có:
tan cot
sin coscos sin
x x
x x dx dx dx
x x
Xét 1 sin
cos
x
I dx
x
Đặt t cosx dt sinxdx I1 1dt lnt C1t
Xét 2 cos
sin
x
I dx
x
Đặt u sinx du cosxdx I2 1du lnu C2u
1 ln ln
I I I t u C
Chọn A
Câu 68. Biết F x
nguyên hàm hàm số f x
sin cos3x x F
0 Tính F
.
A. F
. B.
2
F
C.
1
2
F
D.
1
2
F
Hướng dẫn giải
Chọn D
Đặt tsinxd cos dt x x
dF x
f x x
sin cos d3x x x
t t3d4
4
t C
4
sin
x C
0 F 4
sin
4 C
C
4
sin
x
F x
4
sin
2
F
1
Câu 69. Tìm nguyên hàm
2
sin d
1 sin
x x x
KếtA. sin2
2
x C
B. sin xC C. sin 2xC. D. sin xC
Hướng dẫn giải
Chọn D
Đặt t 1 sin x
2 1 sin2 2 d sin d
t x t t x x
2
sin d d
1 sin
x t
x t
t x
2
2dt 2t C sin x C
(100)A.
1sin 23 sin 256 10 15
F x x x B.
1sin 23 sin 256 10 15
F x x x
C.
1sin 23 sin 256 10 15
F x x x D.
1sin 23 sin 256 10 15
F x x x
Hướng dẫn giải
Chọn C
Đặt tsin 2x d 2.cos dt x x d cos2 d
2 t x x
Ta có:
sin cos d2F x
x x x 1
2
d2 t t t
4
d2 t t t
6t 10t C
3
1sin 2 sin 2
6 x 10 x C
0
F
3
1sin sin 0
6 10 C
15
C
Vậy
1sin 23 sin 256 10 15
F x x x
Câu 71. Tìm họ nguyên hàm hàm số f x
tan5 x. A.
d 1tan4 1tan2 ln cos4
f x x x x x C
B.
d 1tan4 1tan2 ln cos4
f x x x x x C
C.
d 1tan4 1tan2 ln cos4
f x x x x x C
D.
d 1tan4 1tan2 ln cos4
f x x x x x C
Hướng dẫn giải
ChọnD
5
5
sin
d tan d d
cos
x
I f x x x x x
x
2
5
1 os os sinx
sin sin sinx d d
cos cos
c x c x
x
x x
x x
Đặt tcosxdt sin dx x
2 2 4
5
1 1 2
d d
t t t t
I t t
t t
5
1 dt
t t t
t 2t dt 14t t lnt C t
4
4
1cos cos ln cos 1. 1 ln cos
4 x x x C cosx cosx x C
2
1 tan tan ln cos
4 x x x C
1 tan tan tan ln cos
4 x x x x C
4
1tan 1tan ln cos
4 x x x C
(101)Câu 72. Theo phương pháp đổi biến số
xt
, nguyên hàm3
2sin 2cos
1 sin
x x
I dx
x
là:A. 23tC. B. 63tC. C. 33 tC. D. 123tC
Hướng dẫn giải
Ta có:
3 3
2 sin cos 2sin 2cos
1 sin sin cos
x x
x x
I dx dx
x x x
Đặt tsinxcosxdt
sinxcosx dx
1
3
3
2 2. 6
2
3
I dt t C t C
t
Chọn B
HÀM MŨ –LƠGARIT
Câu 73. Tìm họ ngun hàm hàm số
x3f x x e
A. 2 d ln
4
t t t t t t C
t
B.
f x
dx3ex31C C.
d3
x
f x x e C
D.
3
d
x
x
f x x e C
Hướng dẫn giải
ChọnC
Đặt 1 d d2
tx t x x
Do đó, ta có
d 1d d1 13 3
x t t x
f x x x e x e t e C e C
.Vậy
d3
x
f x x e C
Câu 74. Tìm nguyên hàm d
1 x
x I
e
A. ln x
I x e C B. I xln 1ex C
C. ln x
I x e C D. ln x
I x e C
Hướng dẫn giải
Chọn D
d d
1
x
x x x
x e x
I
e e e
Đặt x x
te dt e dx
d 1 ln ln 1 ln ln 1 ln 1
(1 )
1
x
x x x
x x
e x dt
I t t C e e C x e C
t t t t
e e
Câu 75. Cho F x
nguyên hàm hàm số
2e 3x
f x
thỏa mãn F
0 10 Tìm F x
(102)C.
ln e 10 ln ln3
x
F x x
D.
ln e 10 ln ln3
x
F x x
Hướng dẫn giải
Chọn A
1 e
d d d
2e 2e e
x
x x x
F x f x x x x
Đặt ex d e dx
t t x Suy
1 d 1ln 1ln e ln 2e 3
2 3 3 2e 3
x
x x
t
F x t C C x C
t t t
Vì F
0 10 nên 10 1
0 ln 5
10 ln3 C C
Vậy
1
ln 2e 3
10 ln3
x
F x x
Câu 76. Với phương pháp đổi biến số
xt
, nguyên hàm ln 2xdx x
bằng:A.
2t C B. t2C C. 2t2C D. 4t2C
Hướng dẫn giải
Đặt ln 2 1
2
t x dt dx dt dx
x x
2
ln
2
x
dx tdt t C
x
Chọn A
Câu 77. Hàm số nguyên hàm hàm số 2sinx cosx
cos sin
y x x ?
A. y2sin cosx xC. B. 2sin cos
ln
x x
y C. ln 2.2sin cosx x
y D.
sin cos
2 ln
x x
y C
Hướng dẫn giải
Chọn B
Ta có: 2sinx cosx
cos sin d
I
x x x 2sin cosx x
cos sin d
x x x
Đặt: tsinxcosx dt
cosxsin dx
x2 d
ln t t
I t C
sin cos
2 ln
x x
C
sin cos
2 ln
x x
C
Vậy hàm số cho có nguyên hàm hàm số: 2sin cos ln
x x
y
Câu 78. Cho hàm số ( ) x ln
f x
x
Hàm số không là nguyên hàm hàm số f x( )?
A. ( ) x
F x C B. ( ) 2
x 1
F x C
C. ( ) 2
x 1
(103)Chọn A
Cách 1: Đặt t x 2dt dx x
2 ln
( ) ( ) x 2.ln 2t 2.2t 2.2 x
F x f x dx dx dt C C
x
nên A saiNgoài ra:
+ D ( ) 2.2 x
F x C
+ Bđúng ( ) 2.2 x 2.2 x
F x C C
+ C ( ) 2.2 x 2.2 x
F x C C
Cách 2: Ta thấy B, C, D khác số nên theo định nghĩa nguyên hàm chúng phải nguyên hàm hàm số Chỉ cịn A “ lẻ loi” nên chắn sai A sai thơi
Cách 3: Lấy phương án A, B, C, D đạo hàm tìm A sai
Câu 79. Nguyên hàm
1 ln ln
x f x
x x
A. ln d ln ln
.ln
x
x x C
x x
B. ln d ln ln.ln x x x2 x Cx x
C. ln d ln ln
.ln
x
x x x C
x x
D. ln d ln ln.ln x x x x Cx x
Hướng dẫn giải
Chọn D
Ta có
d ln d.ln
x
I f x x x
x x
Đặt xlnxt
lnx1 d
xdt Khi ta có ln d.ln
x
I x
x x
1dtt
lnt Cln lnx x C
Câu 80.
1
x2 4x 3x cos2
x e e x dx
có dạng 6aex12 b2sin 2x C , a b, hai số hữutỉ Giá trị a b, bằng:
A. 3; B.1; C. 3; D. 6;
Hướng dẫn giải
Cách 1:
Theo đề, ta cần tìm
1
2x 1 cos
x e x dx
Sau đó, ta xác định giá trị aTa có:
1 x2 4x 3x cos 2
1
x2 4x 7 3x cos 2
1
x12 cos 2x e e x dx x e x dx x e dx x dx
Để tìm
1
x2 4x 3x cosx e e x dx
ta đặt I1
x 1
ex12dx
I2
cos 2x dx tìm I I1, 2*Tìm I1
x1
ex12dxĐặt t
x1 ;
2 dt2
x1
x1
dx2
x1
dx 12 1 12
1 x x
(104)*Tìm I2
cos 2x dx2 cos2 12sin 2
I
x dx x C
12 121 1 1
1 cos sin sin
2 2
x x
x x x
x e e x dxI I e C x C e x C
Suy để
1
x2 4x 3x cos2
x e e x dx
có dạng 6aex12 b2sin 2x C3 ,
a b
Chọn A Cách 2:
Sử dụng phương pháp loại trừ cách thay giá trị a b, đáp án vào
12 sin 2
6
x
a b
e x C lấy đạo hàm chúng
Sai lầm thường gặp B.Đáp án B sai
Một số học sinh sai lầm chỗ không để ý đến thứ tự xếp b a, nên khoanh đáp án B
sai lầm
C. Đáp án C sai
Một số học sinh sai lầm chỗ: Tìm I2
cos 2x dx2 cos sin 2
I
x dx xC
12 121 1
1 cos2 sin sin
2
x x
x x x
x e e x dx I I e C x C e x C
Suy để
1
x2 4x 3x cos2
x e e x dx
có dạng 6aex12 b2sin 2x C3 ,
a b
D. Đáp án D sai
Một số học sinh sai lầm chỗ:
Tìm
1
12x
I
x e dxĐặt t
x1 ;
2 dt
x1
x1
dx
x1
dx
12 121 x t t x
I
x e dx
e dt e C e C , C1 sốHọc sinh tìm 2 sin2 2
2
I x C nên ta được:
12 121 1
1 cos2 sin sin
2
x x
x x x
x e e x dxI I e C x C e x C
Suy để
1
x2 4x 3x cos2
x e e x dx
có dạng 2
1 sin 2
6
x
a b
e x C
6 ,
a b
Câu 81. Tìm
3
1 1
x x
e x x
I dx
x e x
?
A. ln
x 1
(105)Hướng dẫn giải
1 1
3 2
1 1 1 1
x x
x x
x x x
x e x e x
e x x e x
I dx dx dx dx
x e x x e x x e x
Đặt: 1
2 1
2
x x
x e x e x
t e x dt e x dx dx
x x
Vậy
2 1 ln ln . 1 1
1 1
x
x x
e x
I dx dx x dt x t C x e x C
t
x e x
Chọn A
Câu 82. Tìm nguyên hàm hàm số
2
1
ln 2017
ln
x
x
x x
f x
e x e
?
A. ln
x21 1008ln ln
x21 1
B. ln
x21 2016ln ln
x21 1
C. ln
1 2016ln ln
1 1
2 x x
D. ln
1 1008ln ln
1 1
2 x x
Hướng dẫn giải
Đặt
21
ln 2017
ln
x
x
x x
I dx
e x e
+Ta có:
2
2
2 2
1
ln 2017
ln 2017 ln 2017
1 ln lne ln 1
ln
x
x
x x
x x x x x
I dx dx dx
x x x x
e x e
+ Đặt:
2
2
2
ln 1
1
x
t x dt dx
x
2016 1 2016 1008ln C
2 2
1ln 1 1008ln ln 1 1 1ln 1 1008ln ln 1 1
2 2
t
I dt dt t t
t t
I x x C x x C
Chọn D
Câu 83. Tìm
2
2
2 2ln ln
ln
x x x x
G dx
x x x
?
A. 1
ln
G C
x x x
B.
1
ln
G C
x x x
(106)Ta có:
2
2 2
2
2 2 2
2
2 2
2
2 ln ln
2 2ln ln ln
ln ln
ln
1 1 1
ln ln ln
x x x x x x
x x x x x x x x
G dx dx dx
x x x x x x
x x x
x x x
G dx dx J J dx
x x x x x x x x x x x x
Xét nguyên hàm:
21 ln
x
J dx
x x x
+ Đặt: t x lnx dt 1 x
x x
2
1 1
ln
J dt C C
t t x x
Do đó: 1
ln
G J C
x x x x
Chọn A
Câu 84. Hàm số sau nguyên hàm
1
1 ln ln ln
n n n
x h x
x x x x
?
A. 1ln 1ln n lnn 2016
x x x
n n B.
1ln 1ln n lnn 2016
x x x
n n
C. 1ln 1ln n lnn 2016
x x x
n n
D. 1ln x 1ln xn lnn x 2016
n n
Hướng dẫn giải
Ta có:
1
1 ln ln . 1 ln .
ln ln
.ln ln ln ln 1 n
n n n n n n
n
x x x
L dx dx dx
x x x x
x x x x x x x x
x x
Đặt: t lnx dt ln2 xdx
x x
1
1
n
n n n
dt t dt
L
t t t t
+ Đặt n 1 . n
ut dun t dt
1 1 1 ln 1 ln 1.ln
1
ln
1.ln 1.ln 1.ln ln
ln
1 1 ln
n
n n n
n
n n n
n
du u
L du u u C C
n u u n u u n n u
x
t x x
L C C C
x
n t n n x x
x
(107)PHƯƠNG PHÁP NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN
Cho hai hàm số u v liên tục đoạn
a b;
có đạo hàm liên tục đoạn
a b;
Khi đó:
u vd uv
v ud
*Để tính nguyên hàm
f x
dx phần ta làm sau:Bước Chọn u v, cho f x
dxu vd (chú ý dvv x'
dx)Sau tính v
dv duu'.dxBước Thay vào cơng thức
* tính
v udChú ý. Cần phải lựa chọn dv hợp lí cho ta dễ dàng tìm v tích phân
v ud dễ tínhd
u v
Ta thường gặp dạng sau●Dạng 1.
sin dcos
x
I P x x
x
, P x
đa thức.uVới dạng này, ta đặt
sin
d d
cos
u P x
x
v x
x
●Dạng
ax bdI
P x e x, trong P x
đa thứcVới dạng này, ta đặt
d ax bd
u P x v e x
●Dạng I
P x
ln mxn
dx, P x
đa thứcVới dạng này, ta đặt
ln
d d
u mx n
v P x x
●Dạng 4. sin d
cos x
x
I e x
x
.Với dạng này, ta đặt
sin cos
d xd
x u
x
v e x
BÀI TẬP
DẠNG
Câu Tìm
xsin 2xdx ta thu kết sau đây?A. xsinxcosx C B. sin 1cos
4x x2 x C
C. xsinxcosx D. sin 1cos
4x x2 x
(108)C. F x
xcosxsinx C D. F x
xcosxsinx CCâu Biết
xcos dx xaxsin 2xbcos 2x C với a, b số hữu tỉ Tính tích ab? A8
ab B
4
ab C
8
ab D
4
ab
Câu Cho biết
3
F x x x
x
nguyên hàm
2
2
x a
f x
x
Tìm nguyên hàm
của g x
xcosaxA. xsinxcosx C B. sin 1cos
2x x4 x C
C. xsinxcosx C D. sin 1cos2
2x x4 x C
Câu Nguyên hàm I xsin2xdx
là:A 1 2
sin 2 cos 2
8 x x x x C B.
1cos2 sin 2
8 x4 x x x C
C. cos2 sin 2
4 x x x x C
D.Đáp án A C
Câu Tìm nguyên hàm I
x1 sin d
x xA
1 cos 2
sin2
x x x
I C B
2 cos sin 2
2
x x x
I C
C
1 cos 2
sin4
x x x
I C D
2 cos sin 2
4
x x x
I C
Câu Tìm nguyên hàm
sin x xdA sin d cos
2
x x x C
x
B.
sin x xd cos xCC
sin x xd cos xC D.
sin x xd 2 xcos x2sin xCCâu Nguyên hàm I xsin cosx 2xdx
là:A 3
1 cos 13 , sin
I x x t t C t x B. 1 cos3 , sin
3
I x x t t C t x
C. 3
1 cos 13 , sin
I x x t t C t x D. 1 cos3 , sin
3
I x x t t C t x
Câu Một nguyên hàm
2cos
x f x
x
:
A. xtanxln cos x B. xtanxln cos x
C. xtanxln cos x D. xtanxln sinx
Câu 10 Một nguyên hàm
2sin
x f x
x
:
A. xcotxln sinx B. xcotxln sin
x
(109)Câu 11 Cho
2cos
x f x
x
;
2
F x
nguyên hàm xf
x thỏa mãn
0F Biết ;
2
a
thỏa mãn tana3 Tính
2
10
F a a a A ln10
2
B ln10
4
C. ln10
2 D ln10
DẠNG
Câu 12 Họ nguyên hàm x
1
e x dx
là:A. x x
I e xe C B.
2
x x
I e xe C
C.
2
x x
I e xe C D. x x
I e xe C
Câu 13 Biết 2xd 2x 2x ,
xe xaxe be C a b
Tính tích abA
4
ab B
4
ab C
8
ab D
8
ab
Câu 14 Cho biết e d2x
x x
1 e4 2x
ax b
C, a b, C số Mệnh đềnào
A. a2b0 B. ba C. ab D. 2a b 0
Câu 15 Biết
xF x ax b e lànguyênhàmcủahàmsố y
2x3
ex.Khiđó a bA. B.3 C.4 D.5
Câu 16 Biết
2xd 2x
2
x e x e x n C
m
, với m n, Tính S m2n2A. S 10 B. S5 C. S65 D. S 41
Câu 17 Tìm nguyên hàm
2 1
xdI x e x
A.
2 1
xI x e C B. I
2 1x
exC C.
2 3
xI x e C D. I
2x3
exCCâu 18 Cho F x( )là nguyên hàm hàm số f x
ex
x F
0 3 TínhF
1 A. F
1 11e 3 B. F
1 e 3 C. F
1 e 7 D. F
1 e 2 Câu 19 Cho hàm số f x
3x
ex Nếu F x
mxn e
x
m n,
nguyên hàm
f x hiệu
mn
A. B. C. 1. D.
Câu 20 Cho F x
nguyên hàm hàm số f x
e3x F
0 2 Hãy tính F
1A. 15 e
B. 10
e
C. 15
e D.
10 e
DẠNG
Câu 21 Kết
lnxdx là:A. xlnx x C B.Đáp án khác
(110)A ln
x
x
xdx C B2 1
ln
2
x
x
xdx CC. 2ln
2
x x
xdx C D. x2lnx
xdx CCâu 23 Tìm nguyên hàm hàm số f x
xln
x2
A.
2 4
d ln
2
x x x
f x x x C
B.
2 4 4
d ln
2
x x x
f x x x C
C.
2 4
d ln
2
x x x
f x x x C
D.
2 4 4
d ln
2
x x x
f x x x C
Câu 24 Hàm số sau nguyên hàm
2ln
x g x
x
?
A. ln ln ln 1999
1
x x x
x x
B.
ln ln 1998
1
x x
x x
C. ln ln 2016
1
x x
x x D.
ln ln 2017
1
x x
x x
Câu 25 Họ nguyên hàm ln cos
2
sinx
I dx
x
là:A. cot ln cosx
x
x C B. cot ln cosx
x
x CC. cot ln cosx
x
x C D. cot ln cosx
x
x CCâu 26 Tìm nguyên hàm hàm số f x
xlnxA.
3
1
d 3ln
9
f x x x x C
B.
3
2
d 3ln
3
f x x x x C
C.
3
2
d 3ln
9
f x x x x C
D.
3
2
d 3ln
9
f x x x x C
Câu 27 Giả sử F x
nguyên hàm f x
ln
x2 3
x
cho F
2 F
1 0 Giá trịcủa F
1 F
2 A. 10ln 5ln3 6 B. C. ln23 D.
2ln 2 3ln 5
3 6
Câu 28 Tìm nguyên hàm hàm số
2
2
4 ln
4
x
f x x
x
?
A 2
2
4
ln
4
x
x x
x
B
4
2
16 ln 2
4
x x
x x
C 2
2
4
ln
4
x
x x
x
D 2
2
16 ln 2
4
x x
x x
(111)
A.
tancos sin cos
x
H x C
x x x x
B.
tancos sin cos
x
H x C
x x x x
C.
tancos sin cos
x
H x C
x x x x
D.
tancos sin cos
x
H x C
x x x x
Câu 30
2 1 ln
x x x x dx
có dạng
3
2 1 2ln
3
a b
x x x x C, a b, hai số
hữu tỉ Giá trị a bằng:
A. B. C. D.Không tồn
Câu 31 Cho ( ) 12
F x x
nguyên hàm hàm số f x( )
x Tính
e
1
( )ln d
f x x x
bằng:A e 32 2
2e
I B
2
2 e e
I C
2
e e
I D
2
3 e 2e
I
Câu 32 Cho F x
a
lnx b
x
nguyên hàm hàm số f x
ln2 xx
, a, b
Tính Sa b
A. S 2 B. S1 C. S2 D. S 0
Câu 33 Cho số thực a, b khác không Xét hàm số
1
3 ex a
f x bx
x
với x khác 1
Biết f
0 22
1
0
d
f x x
Tính a b ?A. 19 B. C. D. 10
Câu 34 Cho a số thực dương Biết F x
nguyên hàm hàm số
e lnx
f x ax
x
thỏa mãn
1 0
F a
2018
2018 e
F Mệnh đề sau
đúng?
A. ;1
2018
a
B.
1 0;
2018
a
C. a
1;2018
D. a
2018;
DẠNG 4:
Câu 35 Phát biểu sau đúng?
A. e sin dx e cosx e cos d x
x x x x x
B.
e sin dx x x e cosx x
e cos d x x xC. e sin dx e cosx e cos d x
x x x x x
D.
e sin dx x x e cosx x
e cos d x x xCâu 36 Tìm J
ex.sinxdx?A.
cos sin
2 x
e
J x x C B.
sin cos
2 x
e
J x x C C.
sin cos
x
e
J x x C D.
sin cos 1
x
e
(112)HƯỚNG DẪN GIẢI
DẠNGCâu Tìm
xsin 2xdx ta thu kết sau đây?A. xsinxcosx C B. sin 1cos
4x x2 x C
C. xsinxcosx D 1 sin 1cos
4x x2 x
Hướng dẫn giải
Ta có: I
xsin 2xdxĐặt: 1
sin cos
2
du dx u x
dv xdx v x
Khi đó: cos2 cos cos 1sin
2 2
I uv
vdu x x
xdx x x x CChọn B
Câu Nguyên hàm hàm số f x
xsinx là:A. F x
xcosxsinx C B. F x
xcosxsinx CC. F x
xcosxsinx C D. F x
xcosxsinx CHướng dẫn giải
Chọn C
Ta có: I
f x
dx
xsin dx x Đặtd sin d
u x
v x x
Ta có d d
cos
u x
v x
d sin d cos cos d cos sinI
f x x
x x x x x
x x x x x CCâu Biết
xcos dx xaxsin 2xbcos 2x C với a, b số hữu tỉ Tính tích ab? A8
ab B
4
ab C
8
ab D
4
ab
Hướng dẫn giải
Chọn A
Đặt d 1d
d cos d sin
2
u x
u x
v x x v x
Khi cos2 d sin sin d
2
x x x x x x x
12xsin 2x14cos 2x C1
a
,
4
b
Vậy
8
ab
Câu Cho biết
3
F x x x
x
nguyên hàm
2
2
x a
f x
x
(113)A. xsinxcosx C B. sin 1cos 2x x4 x C
C. xsinxcosx C D 1 sin 1cos2
2x x4 x C
Hướng dẫn giải
Chọn C
Ta có
2 2
2
1
2 x a
F x x
x x
Suy a1
Khi
g x
dx
xcos dx x
xd sinxx.sinx
sin dx xx.sinxcosx CCâu Nguyên hàm sin2
I
x xdx là:A 1 2
sin 2 cos 2
8 x x x x C B
1cos2 sin 2
8 x4 x x x C
C. cos2 sin 2
4 x x x x C
D.Đáp án A C
Hướng dẫn giải
Ta biến đổi:
1
2
1
1 cos 1 1
sin cos cos
2 2
I x
I x xdx x dx xdx x xdx x x xdx C
1 cos
I
x xdx.Đặt 1
cos sin
2
du dx u x
dv x v x
1 cos2 12 sin 12 sin 12 sin 14cos2
I x xdx x x xdx x x x C
2
2
1 1cos2 sin 2 2 2 sin 2 cos 2
4
1cos 2 sin 2
8
I x x x x C x x x x C
x x x x C
Chọn C
Câu Tìm nguyên hàm I
x1 sin d
x xA I
1 cos 2 x
2 xsin 2xC B
2 cos sin 2
2
x x x
I C
C I
1 cos 2 x
4 xsin 2xC D
2 cos sin 2
4
x x x
I C
Hướng dẫn giải
Chọn D
Đặt d d1
d sin d cos
2
u x
u x
v x x v x
Khi
sin d
1
cos2
cos d 1
cos2
1sin2 2
(114)A. sin d cos
x x x C
x
B.
sin x xd cos xCC.
sin x xd cos xC D.
sin x xd 2 xcos x2sin xCHướng dẫn giải
Chọn D
Đặt t x, ta có
sin x xd
2 sin dt t tĐặt
d sin d
u t
v t t
ta có
d 2d
cos
u t
v t
2 sin dt t t 2 cost t 2cos dt t 2 cost t2sintC 2 xcos x2sin xC
Câu Nguyên hàm I xsin cosx 2xdx
là:A 3
1 cos 13 , sin
I x x t t C t x B 1 cos3 , sin
3
I x x t t C t x
C. 3
1 cos 13 , sin
I x x t t C t x D. 1 cos3 , sin
3
I x x t t C t x
Hướng dẫn giải
Ta đặt:
2
sin cos cos
u x du dx
du x x u xdx
1
2 3
1
sin cos cos cos
I
I x x xdx x x xdx C
Xét
1 cos cos sin
I
xdx
x x dxĐặt tsinxdtcosxdx
2
1 13
I t dt t t C
3 3
1
cos cos
3
I x x I x x t t C
Chọn A
Câu Một nguyên hàm
2cos
x f x
x
:
A. xtanxln cos x B. xtanxln cos x
C. xtanxln cos x D. xtanxln sinx
Hướng dẫn giải
Ta có: 2
cos
x
I dx
x
Đặt:
2
1 tan
cos
u x
du dx
v x
dv dx
x
Khi đó: I uv
vduxtanx
tanxdxxtanxln cosx CChọn C
Câu 10 Một nguyên hàm
2sin
x f x
x
:
(115)C. xtanxln cos x D. xtanxln sinx
Hướng dẫn giải
Ta có: 2
sin
x
I dx
x
Đặt:
2
1 cot
sin
u x
du dx
v x
dv dx
x
Khi đó: I uv
vdu xcotx
cotxdx xcotxln sinx CChọn B
Câu 11 Cho
2cos
x f x
x
;
2
F x
nguyên hàm xf
x thỏa mãn
0F Biết ;
2
a
thỏa mãn tana3 Tính
2
10
F a a a A ln10
2
B. ln10
4
C. ln10
2 D. ln10
Hướng dẫn giải
Chọn C
Ta có: F x
xf
x dx
x f xd
xf x
f x
dxTa lại có:
d 2 dcos
x
f x x x
x
= d tan
x
x
xtanx
tan dx x tan sin dcos
x
x x x
x
1
tan d cos
cos
x x x
x
xtanxln cosx C F x
xf x
xtanxln cosx CLại có: F
0 0 C 0, đó: F x
xf x
xtanxln cosx
tan ln cosF a af a a a a
Khi
2cos
a f a
a
a
1 tan 2a
10a 12 tan2cos a a 10
2
cos
10
a
1 cos
10
a
Vậy F a
10a23a 10 ln 1010
a a a a
ln10
2
DẠNG
Câu 12 Họ nguyên hàm x
1
e x dx
là:A. x x
I e xe C B.
2
x x
I e xe C
C.
2
x x
I e xe C D. x x
I e xe C
Hướng dẫn giải
Ta có:
1
1
1
x x x x x
I I
e x dx
e dx
e xdxe C
xe dx
Xét 1 x
I
e xdx (116)1 x x 12 x
I xe xe dx I xe C
1
x x
I e xe C
Chọn B
Câu 13 Biết 2xd 2x 2x ,
xe xaxe be C a b
Tính tích abA
4
ab B
4
ab C
8
ab D
8
ab
Hướng dẫn giải
Chọn C
Đặt 2 d 1d2
d d
2 x x
u x
u x
v e
v e x
Suy ra: d 2 d
2
x x x
xe x xe e x
12 2x 14 2xxe e C
Vậy: 1; 1
2
a b ab
Câu 14 Cho biết e d2x
x x
e2
4
x
ax b C
, a b, C số Mệnh đề
nào
A. a2b0 B. ba C. ab D. 2a b 0
Hướng dẫn giải
Chọn A
Đặt uxdudx,
2
2 e
d e d
2 x x
v x v
Ta có e d2x
x x
2
e e d
2
x x
x
x
2
e e
2
x x
x
C
2
e
x
x C
Suy a2, b 1
Câu 15 Biết
xF x ax b e nguyênhàmcủahàmsố y
2x3
ex.Khiđó a bA. B.3 C.4 D.
Hướng dẫn giải
Tacó:
2x+3 d
x
ax+b
xe x e
, nghĩalà:
ax+b
x '
2x+3
xe e
x x ax = 2x+3 x
a e e b e
ax
= 2x+3
x x
e a b e
Đồngnhấthệsốtađược:a=2vàb=1 Vậy a b 3
Chọn B
Câu 16 Biết
2xd 2x
2
x e x e x n C
m
, với m n, Tính S m2n2A. S 10 B. S5 C. S 65 D. S 41
Hướng dẫn giải
Chọn C
Đặt d d
u x
u x
(117)Khi
d
3
d2
x x x
x e x e x e x
21.e2x
x3
41e2xC
2
1 2 6 1 2 7
4
x x
e x C e x C
m4;n7
2 65.
S m n
Câu 17 Tìm nguyên hàm
2 1
xdI
x e xA.
2 1
xI x e C B. I
2 1x
exC C.
2 3
xI x e C D. I
2x3
exCHướng dẫn giải
Chọn A
Đặt d 2d
d
x x
u x u x
dv e x v e
Ta có
2 1
x dx
2 1
x x
2 1
xI x e
e x x e e C x e CCâu 18 Cho F x( )là nguyên hàm hàm số f x
ex
x F
0 3 TínhF
1 A. F
1 11e 3 B. F
1 e 3 C. F
1 e 7 D. F
1 e 2 Hướng dẫn giải
Chọn C
Ta có
5 e d
xF x
x xĐặt
d e dx
u x
v x
d 5d
ex
u x
v
5 e
x 5e dxF x x
x
5 e 5ex
x xC
5x4 e
xCMặt khác F
0 3 4 C3C7
5 e 7
xF x x
Vậy F
1 e 7 Câu 19 Cho hàm số
2 3
xf x x e Nếu F x
mxn e
x
m n,
nguyên hàm
f xhiệu mn
A. B. C. 1. D.
Hướng dẫn giải:
Chọn A
Tính
2 d
xx e x
Đặt d 2d ; d xd x
u x u x ve x v e Suy ra:
2 d
x
2 3
x xdx e x x e e x C
2 3x
ex2exC
2x5
exCSuy ra: m2; n 5 Vậy m n 7
Câu 20 Cho F x
nguyên hàm hàm số
e3xf x F
0 2 Hãy tính F
1A. 15 e
B. 10
e
C. 15
e D.
10 e
Hướng dẫn giải
(118)Đặt x t xt3 d 3 d2
x t t
I
e d3x x3 e d
tt t2Đặt 2 d d
e
e d dt t
t t u t u
v t v
2
3 et e dt
I t t t
3ett26 e d
tt t Tính e dtt t
Đặt d d
e dt d et
t u t u
t v v
e dt et e dt e et t
t t t t t
Vậy 3et 6 e
t et
I t t C
3e3x3 e
3x3 e3x
F x x x C
Theo giả thiết ta có F
0 2C 4
3e3x3 e
3x3 e3x
F x x x
1 15e
F
DẠNG
Câu 21 Kết
lnxdx là:A. xlnx x C B.Đáp án khác
C. xlnx C D. xlnx x C
Hướng dẫn giải
Ta có: I
lnxdxĐặt: ln
dx
u x du
x
dv dx
v x
Khi đó: I uv
vduxlnx
dx xlnx x CChọn D
Câu 22 Nguyên hàm I
xlnxdx với:A ln
x
x
xdx C B2 1
ln
2
x
x
xdx CC. 2ln
2
x x
xdx C D. x2lnx
xdx CHướng dẫn giải
Ta đặt:
2
1 ln
2
du dx
u x x
dv xdx x
v
2 1
ln ln
2
x
I x xdx x xdx
Chọn B
Câu 23 Tìm nguyên hàm hàm số f x
xln
x2
A.
2 4
d ln
2
x x x
f x x x C
B.
2 4 4
d ln
2
x x x
f x x x C
(119)C.
2 4
d ln
2
x x x
f x x x C
D.
2 4 4
d ln
2
x x x
f x x x C
Hướng dẫn giải
Chọn B
Đặt
2d d
ln 2
d d
2
x u
u x x
x v x x
v
suy
2 1
d ln d ln d
2 2
x x
f x x x x x x x
x
2 1 4 4 4
ln 2 d ln
2 2 2
x x x x
x x x x C
x
Câu 24 Hàm số sau nguyên hàm
2ln
x g x
x
?
A. ln ln ln 1999
1
x x x
x x
B.
ln ln 1998
1
x x
x x
C. ln ln 2016
1
x x
x x D.
ln ln 2017
1
x x
x x
Hướng dẫn giải
Đặt
21 ln
1
1
1
u x du dx
x
dv dx
v x
x
ln ln 1 lnx
1 1 1
ln ln ln 1 ln ln
1 1
x x dx
S dx dx dx
x x x x x x x x x
x x x
S x x C C
x x x
Chọn A
Câu 25 Họ nguyên hàm ln cos
2
sinx
I dx
x
là:A. cot ln cosx
x
x C B. cot ln cosx
x
x CC. cot ln cosx
x
x C D. cot ln cosx
x
x CHướng dẫn giải
Ta đặt:
2
ln cos tan
cot sin
u x
du xdx
dx
v x
dv
x
cot ln cos cot ln cos
I x x dx x x x C
Chọn B
(120)A.
3
1
d 3ln
9
f x x x x C
B.
3
2
d 3ln
3
f x x x x C
C.
3
2
d 3ln
9
f x x x x C
D.
3
2
d 3ln
9
f x x x x C
Hướng dẫn giải
Chọn A
d ln dI
f x x
x x xĐặt: d d d d
2
t x t x t t x
x
2 2
2 ln d ln d
I t t t t t t
Đặt: 2 3
1
d d
ln
d d
3
u t
u t t
v t t t
v
3 3
1 1
2 ln d ln 3ln
3 3 9
I t t t t t t t C t t C
3
2 3ln 1
9x x C
3
1 3ln 2
9x x C
Câu 27 Giả sử F x
nguyên hàm f x
ln
x2 3
x
cho F
2 F
1 0 Giá trịcủa F
1 F
2 A. 10ln 5ln3 6 B. C. ln23 D.
2ln 2 3ln 5
3 6
Hướng dẫn giải
Chọn A
Cách1: Ta có hàm số f x
liên tục khoảng
3;0
0;
Tính ln
x2 3
dx x
Đặt
2
1
ln d d
3
d 1 1 3
d
3
u x u x
x x
x v
v x
x x
(Chọn
3
C )
Suy ra:
ln
2 3
d 3ln
3
d3
x x
F x x x x
x x x
3ln
3
1ln3
x
x x C
x
Xét khoảng
3;0
, ta có:
2 1ln 1F C ;
1 2ln 13
F C
Xét khoảng
0;
, ta có:
1 43ln 83ln 2F C C ;
2 5ln 1ln 26
F C
(121)Do đó:
2
1 ln ln5 ln
3
F F C C
2ln 2 5ln 5 1ln 2 7ln 2 10ln 2 5ln 5
3 3
Cách2: (Tận dụng máy tính)
Xét khoảng
3;0
, ta có:
1
2
2
ln
1 d x d 0,231
F F f x x x A
x
(lưu vào A)
1Xét khoảng
0;
, ta có:
2
2
1
ln
2 d x d 0,738
F F f x x x B
x
(lưu vào A)
2Lấy
1 cộng
2 theo vế ta được:
1
2
2
1
1
2 0,969F F F F A B F F A B
So phương án ta
Chọn A
Câu 28 Tìm nguyên hàm hàm số
2
2
4 ln
4
x
f x x
x
?
A 2
2
4
ln
4
x
x x
x
B 2
2
16 ln 2
4
x x
x x
C 2
2
4
ln
4
x
x x
x
D 2
2
16 ln 2
4
x x
x x
Hướng dẫn giải
Đặt:
2
4
4
3
16
ln 16
4
16
4
x
x du
u x
x
x x
v dv x dx
2 4
4
2 2
4 16 16
ln ln ln
4 4 4
x x x x x
x dx xdx x C
x x x
Chọn B Câu 29 Tìm
2
2
sin cos
x dx H
x x x
?A.
tancos sin cos
x
H x C
x x x x
B.
tancos sin cos
x
H x C
x x x x
C.
tancos sin cos
x
H x C
x x x x
D.
tancos sin cos
x
H x C
x x x x
(122)Ta có:
2
2
cos .
cos
sin cos sin cos
x x x x
H dx dx
x
x x x x x x
Đặt
2
2
sin cos
cos cos
sin cos
cos 1
sin cos sin cos sin cos
x x x x
u du dx
x x
d x x x
x x
dv dx v
x x x x x x x x x
2
1
tan
cos x sin cos cos cos sin cos
x x
H dx x C
x x x x x x x x
Chọn C
Câu 30
2x x2 1 xlnx dx
có dạng
3
2 1 2ln
3
a b
x x x x C, a b, hai số
hữu tỉ Giá trị a bằng:
A. B. C. D. Không tồn
Hướng dẫn giải
Cách 1:
Theo đề, ta cần tìm
2x x2 1 xlnx dx
Sau đó, ta xác định giá trị aTa có:
2x x2 1 xlnx dx
2x x21dx xlnx dx
Để tìm
2x x2 1 xlnx dx
ta đặt I1
2x x21dx I2
xlnx dx tìm I I1,*
1
I
x x dxDùng phương pháp đổi biến
Đặt 1, 1
t x t ta t2 x21, xdxtdt
Suy ra:
32
1 2 23 23 1
I
x x dx
t dt t C x C , C1 số*I2
xlnx dxDùng phương pháp nguyên hàm phần Đặt
2
1 ln
1
du dx
u x x
dv xdx
v x
, ta được:
2
2 2 2
2
ln
1 ln 1 ln 1 ln
2 2 2
I x x dx udv uv vdu
x x x dx x x xdx x x x C
x
3
2 2
1 2
3
2 2
2 1
2 ln ln
3
2 1 ln
3
x x x x dx I I x C x x x C
x x x x C
Suy để
2 1 ln
x x x x dx
có dạng
3
2 1 2ln
3
a b
x x x x C
(123)Cách 2:Dùng phương pháp loại trừ
Ta thay giá trị a đáp án vào
3
2 1 2ln
3
a b
x x x x C Sau đó, với a
của đáp án ta lấy đạo hàm
1
3 2ln3
a b
x x x x C
Khơng khuyến khích cách việc tìm đạo hàm hàm hợp phức tạp có đáp án nên việc tìm đạo hàm trở nên khó khăn
Sai lầm thường gặp: A. Đáp án A sai
Một số học sinh không đọc kĩ đề nên tìm giá trị b Học sinh khoanh đáp án A
sai lầm
C. Đáp án C sai
Một số học sinh sai lầm sau:
*
1
I
x x dxDùng phương pháp đổi biến
Đặt 1, 1
t x t ta t2 x21,tdt2xdx
Suy ra:
32
1 13 13 1
I
x x dx
t dt t C x C , C1 sốHọc sinh tìm 2
2 12 ln 14
I x x x C theo phân tích
3
2 2
1 2
3
2 2
1 1
2 ln ln
3
1 1 ln
3
x x x x dx I I x C x x x C
x x x x C
Suy để
2 1 ln
x x x x dx
có dạng
3
2 1 2ln
3
a b
x x x x C a1,b3
Thế là, học sinh khoanh đáp án C sai lầm
D. Đáp án D sai
Một số học sinh sai lầm sau:
*
1
I
x x dxDùng phương pháp đổi biến
Đặt t x2 1,t1 ta 2 1, 2
t x tdt xdx
Suy ra:
32
1 13 13 1
I
x x dx
t dt t C x C , C1 sốHọc sinh tìm 2
2 12 ln 14
I x x x C theo phân tích
3
2 2
1 2
3
2 2
1 1
2 ln ln
3
1 1 ln
3
x x x x dx I I x C x x x C
x x x x C
Suy để
2x x2 1 xlnx dx
có dạng
3
2 1 2ln
3
a b
x x x x C
(124)Thế là, học sinh khoanh đáp án D sai lầm tính sai giá trị b Câu 31 Cho ( ) 12
2
F x x
nguyên hàm hàm số f x( )
x Tính
e
1
( )ln d
f x x x
bằng:A e 32 2
2e
I B
2
2 e e
I C
2
e e
I D
2
3 e 2e
I
Hướng dẫn giải
Chọn A
Do ( ) 12
2
F x x
nguyên hàm hàm số f x( )
x nên
( )
2 f x x x
1
f x x
Tính e
1
( )ln d
I
f x x x Đặt
1
ln d d
d d
x u x u
x f x x v
f x v
Khi
e e
1
.ln f x d
I f x x x
x
e e 2 11 .ln
2 x x x 2 e 2e
Câu 32 Cho F x
a
lnx b
x
nguyên hàm hàm số f x
ln2 xx
, a, b
Tính S a b
A. S 2 B. S 1 C. S 2 D. S 0
Hướng dẫn giải
Chọn B
Ta có
1 ln
d x d
I f x x x
x
Đặt ln d dx u x v x
1 d d x u x v x
21 1 ln d
I x x
x x
1
1 lnx
Cx x
ln 2
x
Cx
a 1;b2
Vậy S a b
Câu 33 Cho số thực a, b khác không Xét hàm số
1
3 ex a
f x bx
x
với x khác 1
Biết f
0 22
1
0
d
f x x
Tính a b ?A. 19 B. C. D. 10
Hướng dẫn giải
Chọn D
Ta có
43 e e
1
x x
a
f x b bx
x
nên
0 22f a b
1
1
3
0
d e d
1
x a
f x x bx x
x
1 0d e d
1
x x
a b x x aI bJ
x
Tính
d x I x
21
1
0 x
(125)Tính
0
e dx
J
x x Đặt d dd e dx ex
u x u x
v x v
Khi
0
1
e e d e e
0
x x x x
J x
x Suy8a b
2Từ
1
2 ta có3 22
3 5
8
a b a
b
8
a b
Vậy 10
a b
Câu 34 Cho a số thực dương Biết F x
nguyên hàm hàm số
e lnx
f x ax
x
thỏa mãn
1 0
F a
2018
2018 e
F Mệnh đề sau
đúng?
A. ;1
2018
a
B.
1 0;
2018
a
C. a
1;2018
D. a
2018;
Hướng dẫn giải
Chọn A
ee lnx d e lnx d xd
I ax x ax x x
x x
(1)Tính e lnx
dax x
:Đặt
1
ln d d
d e dx e
x
u ax u x
x
v x
v
ee lnx d e lnx xd
ax x ax x
x
Thay vào (1), ta được:
e lnx
F x ax C
Với
20181 0
2018 e
F a F
1
2018 2018
e ln1
e ln 2018 e
a C
a C
0
ln 2018
C a
e
2018
a
Vậy ;1
2018
a
DẠNG 4:
Câu 35 Phát biểu sau đúng?
A. e sin dx e cosx e cos d x
x x x x x
B.
e sin dx x x e cosx x
e cos d x x xC. e sin dx e cosx e cos d x
x x x x x
D.
e sin dx x x e cosx x
e cos d x x xHướng dẫn giải
Chọn B
Đặt
e d sin d
x u
v x x
d cos
x
du e x
v x
e sin dx e cosx e cos d x
x x x x x
Câu 36 Tìm J
ex.sinxdx?A.
cos sin
2 x
e
J x x C B.
sin cos
2 x
e
(126)C.
sin cos
2 x
e
J x x C D.
sin cos 1
2 x
e
J x x C
Hướng dẫn giải
Đặt: 1
1
sin dx cos
x x
u e du e dx
dv x v x
cos cos cos cos
x x x x
J e x e xdx e x T T e xdx
Tính x.cos
T
e xdx:
sin sin sin
cos sin sin cos sin cos
2
x x x
x
x x x
T e x e xdx e x J
e
J e x e x J J e x x J x x C
(127)TÍCH PHÂN
A KIẾN THỨC CƠ BẢN1.Định nghĩa
Cho f hàm số liên tục đoạn [ ; ].a b Giả sử F nguyên hàm f [ ; ].a b Hiệu số
( ) ( )
F b F a gọi tích phân từ a đến b (hay tích phân xác định đoạn [ ; ]a b hàm số f x( ), kí hiệu b ( )
a
f x dx
Ta dùng kí hiệu ( )b ( ) ( )
a
F x F b F a để hiệu số F b( )F a( ) Vậy
( ) ( ) ( ) ( )
b
b a a
f x dxF x F b F a
Nhận xét:Tích phân hàm số f từ a đến b kí hiệu ( )
b
a
f x dx
hay ( )b
a f t dt
Tích phânđó phụ thuộc vào f cận a, b mà không phụ thuộc vào cách ghi biến số
Ý nghĩa hình học tích phân: Nếu hàm số f liên tục không âm đoạn [ ; ]a b tích phân
( )
b
a
f x dx
diện tích S hình thang cong giới hạn đồ thị hàm số y f x( ), trục Ox hai đườngthẳng xa x, b Vậy ( )
b
a
S
f x dx2.Tính chất tích phân
1 a ( )
a
f x dx
( ) ( )b a
a b
f x dx f x dx
3 b ( ) c ( ) c ( )
a b a
f x dx f x dx f x dx
(abc)4 ( ) ( ) ( )b b
a a
k f x dx k f x dx k
5 b[ ( ) ( )] b ( ) b ( )
a a a
f x g x dx f x dx g x dx
B BÀI TẬP
ÁP DỤNG ĐỊNH NGHĨA, TÍNH CHẤT VÀ BẢNG NGUYÊN HÀM
Câu 1: Cho hàm số , liên tục số thực tùy ý Trong khẳng định sau, khẳng định sai?
A
B
C.
D
y f x yg x
a b;
k
d
db a
a b
f x x f x x
d
db b
a a
xf x xx f x x
da
a
kf x x
d
d
db b b
a a a
f x g x x f x x g x x
(128)A B
C D
Câu 3: Cho hai hàm số liên tục , Khẳng định sau khẳng định sai?
A B
C D
Câu 4: Cho hai số thực , tùy ý, nguyên hàm hàm số tập Mệnh đề đúng?
A B
C D
Câu 5: Cho hàm số liên tục đoạn Tìm mệnh đề đúng mệnh đề sau
A B
C D
Câu 6: Cho hàm số liên tục khoảng Mệnh đề sau sai?
A B
C D
Câu 7: Cho hàm số liên tục , nguyên hàm Chọn khẳng định sai khẳng định sau
A B
C D
d
d
db b b
a a a
f x g x x f x x g x x
d
d
db b c
a c a
f x x f x x f x x
d
db a
a b
x
f x f x x
d
db b
a a
x
f x f t t
f x g x
K a b, K
d
d
db b b
a a a
f x g x x f x x g x x
d
db b
a a
kf x xk f x x
d
d
db b b
a a a
f x g x x f x x g x x
d
d
db b b
a a a
f x g x x f x x g x x
a b F x
f x
d
b
a
f x x f b f a
d
b
a
f x xF b F a
d
b
a
f x xF a F b
d
b
a
f x xF b F a
f x
a b;
c
a b;
d
d
dc b a
a c b
f x x f x x f x x
d
d
db c b
a a c
f x x f x x f x x
d
d
db c c
a a c
f x x f x x f x x
d
d
db a b
a c c
f x x f x x f x x
y f x K a b c, , K
d
d
db b c
a c a
f x x f x x f x x
d
dtb b
a a
f x x f t
d
db a
a b
f x x f x x
da
a
f x x
f t K a b, K F t
f t
K
db
a
F a F b
f t t
d
b
b a a
f t tF t
d
db
b
d
d (129)Câu 8: Cho hàm số liên tục đoạn Mệnh đề sai?
A
B
C. ,
D ,
Câu 9: Giả sử hàm số liên tục khoảng ba số khoảng Khẳng định sau sai?
A. B
C D
Câu 10: Cho hàm số liên tục đoạn Mệnh đề sai?
A B ,
C D
Câu 11: Cho nguyên hàm hàm số Khi hiệu số
A B C. D
Câu 12: Cho hàm số liên tục , có đồ thị hình vẽ sau:
Mệnh đề đúng?
A. diện tích hình thang B dộ dài đoạn
y f x
a b;
d
db b
a a
f x x f t t
d
db a
a b
f x x f x x
d
b
a
k xk a b
k
d
d
db c b
a a c
f x x f x x f x x
c
a b;
f K a b c, , K
a
a
f x dx
b a
a b
f x dx f x dx
,
;
c b b
a c a
f x dx f x dx f x dx c a b
b b
a a
f x dx f t dt
y f x
a b;
d
db a
a b
f x x f x x
d
d
db c b
a a c
f x x f x x f x x
c
d
db b
a a
f x x f t t
da
a
f x x
F x f x
F
0 F
1
1
0
d
f x x
1
0
d
F x x
1
0
d
F x x
1
0
d
f x x
y f x
a b;
y f
x
db
a
f x x
ABMN
db
a
f x x
(130)C. dộ dài đoạn D. dộ dài đoạn cong
Câu 13: Cho hai tích phân Giá trị tích phân là:
A B C D. Không thể xác
định
Câu 14: Cho tích phân Tích phân có giá trị là:
A B C D. Không thể xác
định
Câu 15: Tích phân phân tích thành:
A B
C. D.
Câu 16: Cho Tính tích phân
A B C D
Câu 17: Cho hàm có đạo hàm liên tục đồng thời , Tính
A B C D
Câu 18: Cho Khi
A B C D
Câu 19: Cho hàm số có đạo hàm liên tục đoạn , Tính
A B C D
Câu 20: Cho hàm số liên tục Tính tích phân
A B. C. D.
db
a
f x x
MN
db
a
f x x
AB
a
a
f x dx m
a
a
g x dx n
a
a
f x g x dx
mn nm mn
1
b
a
I
f x dxm 2
a
c
I
f x dxn
b
c
I
f x dxmn mn mn
b
a
f x dx
b a
c c
f x f x dx
b a
c c
f x f x dx
b a
c c
f x f x dx
b a
c c
f x f x dx
1
2
d
f x x
1
2
2 d
I f x x
9
3
f x
2;3
f
2 2 f
3 5
3
2
d
f x x
3
10
db
a f x x
f b
5 f a
12 2
f x
a b;
f a
2 f b
4
db
a
T
f x xT T 2 T 6 T 2
f x
0;1
f
1 f
0 2
1
0
d
f x x
1
(131)Câu 21: Cho hàm số y f x( ) thoả mãn điều kiện f(1) 12 , ( )f x liên tục
1 f ( )dx x 17
Khi f(4)A. B. 29 C. 19 D.
Câu 22: Cho hàm số có đạo hàm liên tục đoạn thỏa mãn ;
Giá trị
A B C D.
Câu 23: Cho hàm số , với , số hữu tỉ thỏa điều kiện
Tính
A B C D
Câu 24: Tính tích phân
A. B. C. D.
Câu 25: Tính tích phân
A. B. C. C.
Câu 26: Tính
A B C D
Câu 27: Tính tích phân
A. B. C. D.
Câu 28: Cho hàm số Tính tích phân
A. B C. D.
Câu 29: Cho hàm số Tính tích phân
A B C D
f x
1;3
f
1 4 f
3 7
3
1
5 d
I f x x
20
I I 3 I 10 I 15
2a b f x
x x
a b
1
1
d 3ln
f x x
T a b
T T 2 T 2 T 0
3
0
d
x I
x
45815000
I log5
2
I ln5
2
I 21
100
I
2018
2
1
dx I
x
2018.ln
I I 22018 I 2018.ln I 2018
1
0
1 3 d
2
I x x
x
2 ln 3 ln3 ln3 ln 3
1 2018
1 d
I
x x x1
2018 2019
I 1
2020 2021
I 1
2019 2020
I 1
2017 2018
I
2
3
4
x x
y f x
x x
2
0
d
f x x
2
5
3
2 khi 0 1
1
2
x
y f x x
x x
3
0
d
f x x
(132)Câu 30: Cho hàm số Tính
A. B C. D.
Câu 31: Cho hàm số Hỏi có tất số
nguyên để ?
A . B C D
Câu 32: Biết Khẳng định sau đúng?
A B C D
Câu 33: Đặt ( tham số thực) Tìm để
A B C D
Câu 34: Cho , Khi bằng:
A B . C D
Câu 35: Giá trị để ?
A B C D
Câu 36: Có giá trị thực để có
A B C D. Vô số
Câu 37: Xác định số thực dương để tích phân có giá trị lớn
A B C D
Câu 38: Cho số thực thỏa mãn Giá trị biểu thức
A B C D
Câu 39: Tích phân có giá trị là:
A.I = B.I =2 C. I = 3 D. I = 4 Câu 40: Tích phân có giá trị là:
2
3
4
x x
y f x
x x
2
0
f x dx
7
2
5
3
2
6
x x
y f x
a a x x
4
1
d
I f x x
a I22 0
2
2 d
b
a
x x
b a a2b2 a b b2a2 b a a b 1
2
1
2 d
I
mx x m m I 41
m m 2 m1 m2
3
0
( )d
f x xa
3
2
( )d
f x xb
2
0
( )d
f x x
a b
b a a b a b
b
1
2 d
b
x x
0
b b3 b0 b1 b5 b0 b1 b5
AD
0
2 d
a
x xa
1
m
2
0
d
m
xx x
m m2 m3 m4
a a 2
2
2 d
a
x x
1a30
2
1
2
I
x dx
1
3
I x x dx
(133)Câu 41: Cho gá trị tích phân , Giá trị là:
A. B. C. D.
Câu 42: Tích phân có giá trị là:
A. B. C. D.
Câu 43: Tích phân có giá trị là:
A B. C. D.
Câu 44: Tích phân có giá trị là:
A. B. C. D.
Câu 45: Tích phân có giá trị là:
A. B. C. D.
Câu 46: Tích phân có giá trị là:
A. B. C. D.
Câu 47: Tích phân có giá trị là:
A. B. C. D.
Câu 48: Tích phân có giá trị là:
A. B. C. D.
Câu 49: Tích phân có giá trị là:
A. B. C. D.
1I x x dx a
2I x x dx b
ab
4 65
P 12
65
P 12
65
P
65 P
I x ax dx
7
a
I
4
a
I
4
a
I
4
a I
1
I
ax bx dx2
a b I
3
a b I
2
a b I
3
a b I
2
1 a
I x dx
x
1 I a a
2
I a
a
2
I a
a
2 I a a 2
I x x dx
3
I
6
I
2
I
6
I
1
3
1
I x x x dx
4
I
2
I
3
I
2
I
3 x x I dx x
I 17
6
I
6
I 17
6
I
2 2 x x I dx x
2ln3I I 2ln3 I 3 2ln I 3 3ln
1
1
I ax dx
x
15 ln 2
16
a
I 15 ln
16
a
I 15 ln
16
a
I 15 ln
16
(134)Câu 50: Biết tích phân Giá trị là:
A. B C. D.
Câu 51: Cho tích phân Khẳng định khơng đúng?
A B
C D.Chỉ có A C
Câu 52: Số nghiệm nguyên âm phương trình: với là:
A. B.1 C.2 D.
Câu 53: Số nghiệm dương phương trình: , với , a và b là số hữu tỉ
là:
A. B.1 C.2 D.
Câu 54: Tìm tất giá trị thực tham số để có \
A B C D
Câu 55: Cho nguyên hàm hàm số tập thỏa mãn
Tính tổng
A B C D
Câu 56: Có giá trị nguyên dương thỏa mãn ?
A B C D
Câu 57: Cho hàm số Hàm số có đồ thị hình vẽ
1
0
2
I
xdxa
2
2
a
I
x x dx2 173
I 2 19
3
I 2 16
3
I 2 13
3
I
1
b
a
I
x dx
1
b b b
a a a
I
x dx
x dx
dx
ba
I x x
3
1
3
I b b a a
3 2 0
x ax
3
1
1 e
a dx
x
3 2 0
x ax
1
0
2
a
xdxk
0
1
2 d 4lim
k
x x
x x
x
k k
1
k k
1
k k
1
k k
F x f x
1 x 1 x
1F F
0 F
2 F
38 12 14 10
n
2
2
0
1 n d
n x x x nx x
1
(135)Biết diện tích hình phẳng giới hạn trục đồ thị hàm số đoạn
và Cho Giá trị biểu thức
A B C D
Câu 58: Cho Tìm điều kiện để
A B C D
Câu 59: Biết hàm số thỏa mãn ,
(với , , ) Tính giá trị biểu thức
A B. C. D.
TÍCH PHÂN HỮU TỈ
Câu 60: Biết với , số thực Mệnh đề đúng?
A B C D
Câu 61: Tích phân Giá trị a là:
A B C D
Câu 62: Cho Giá trị a + b là:
A. B. C. D.
Câu 63: Biết Gọi , giá trị thuộc khoảng sau đây?
A B C D
Câu 64: Tích phân có giá trị là:
A. B. C D
Ox y f
x
2;1
1;4
12 f
1 3 f
2
f
421
2
2 d
I
x x m x
1
2 d
J
x mx x m I J3
m m2 m1 m0
f x ax bxc
1
0
7 d
2
f x x
2
0
d
f x x
3
0
13 d
2
f x x
a b c P a b c3
P
3
P
3
P
4
P
1
1
5 d ln
2
x
x a b
x
a b8 81
ab
24
a b
8
ab
10
a b
1
0
2 ln 2
1
ax
I dx
x
ln lna
ln 2 2ln
a
ln ln
a
ln 2 2ln
a
1
2
1 ln 2 ln 3
3
I dx a b b
x x
1
1
1
2
0
d ln ,
1
x
x a b a b
x
S 2a b S
8;10
6;8
4;6
2;4
2
1
x
I x dx
x
10 ln2 ln3
I 10 ln2 ln3
3
I 10 ln2 ln3
3
I
10 ln2 ln3
(136)Câu 65: Nhận xét: Không thể dùng máy tính để tính kết mà ta dùng để kiểm
tra mà Tích phân có giá trị là:
A. B. C. D.
Câu 66: Tích phân có giá trị là:
A B C. D.
Câu 67: Tích phân ,với có giá trị là:
A B.
C D.
Câu 68: Tích phân có giá trị nhỏ số thực dương a có giá trị là:
A B. C. D
Câu 69: Tích phân có giá trị là:
A. B C. D.
Câu 70: Tích phân có giá trị là:
A. B. C. D.
Câu 71: Tích phân có giá trị là:
A. B. C. D.
Câu 72: Giá trị tích phân Biểu thức có giá trị là:
A B. C D
Câu 73: Giá trị tích phân Biểu thức có giá trị là:
2
1
I x dx
x
5
I
2
I
2
I 11
2
I
1
0
2
ax
I ax dx
x
lnI a I 2ln I 2ln I aln
1
a
a x
I dx
x a
a02 1
ln
2
a I a a
a
2 1
ln
a I a a
a
2 1
ln
2
a I a a
a
2 1
ln
a I a a
a
3 2
2
2
a x x
I dx
ax
2
5
1
5
2
b
I ax dx
x
7 ln 2
3
I a b I 3a b ln ln
3
I a b I 3a b ln
1
1
b
I ax dx
x
ln
I b ln3
2
a
I b ln3
2
a
I b I bln3
2
2
1 e
e
x
I dx
x
2
1 1
I
e e
I 1 12
e e
I 1 12
e e
I 1 12
e e
1
0
x
I dx a
x
P2 1a1 ln
P P2 2ln 2 P 1 2ln P2 ln 2
2 2
1
e
e
x x
I dx a
x
P a (137)C D
Câu 74: Biết , với Tính giá trị
A B C D
Câu 75: Tính tích phân:
A. B. C. D.
Câu 76: Tính tích phân
A B C. D
Câu 77: Biết với số nguyên Tính
A . B . C D
Câu 78: Biết Mệnh đề sau đúng?
A B C D
Câu 79: Giả sử Tính
A B. C. D.
Câu 80: Cho giá trị tích phân , Giá trị biểu
thức là:
A. B.
C. D.
Câu 81: Giá trị tích phân gần với gái trị sau đây?
A B C. D
Câu 82: Tích phân Giá trị a là:
2
1
2
P e e e
2
P e e e
0
1
3 1d ln2
2
x x
I x a b
x
a b, a2b30 40 50 60
2
1
1d
x
I x
x
lnI I 2ln I 1 ln
4
I
1
d
x I
x
1ln6
I 1ln
6
I ln2
6
I I ln 26
4
dx ln 2 ln 3 ln 5,
I a b c
x x
a b c, , S a b c6
S S2 S 2 S 0
5
3 d ln ln ,
3 x a b a b Z
x x
2
a b 2a b 0 a b 0 a b 0
2
1 d ln ln 3; ,
4
x
x a b a b
x x
Pab8
P P 6 P 4 P 5
2,
a b
2
1
2
x x
I dx a
x
2
2
e
e
I dx b
x
Pa b
7 ln2 ln3
P ln2 ln3
2
P
5 ln2 ln3
P ln2 ln3
2
P
0
2
3
2
x x
I dx
x x
ln 2
ln 1 ln4
2
ln3
2
1 2ln ln
3 5
ax
I dx
x x
(138)Câu 83: Tích phân Giá trị a là:
A B C D
Câu 84: Biết , Tính giá trị biểu thức
A B C D
Câu 85: Biết , hai số nguyên dương phân số tối giản Tính ta kết
A B C D
Câu 86: Biết với , , Tính
A B C D
Câu 87: Giả sử Khi giá trị là:
A. 30. B.40. C.50. D. 60.
Câu 88: Biết Mệnh đề sau đúng?
A B
C D
Câu 89: Nếu giá trị
A. B. C. D.
Câu 90: Cho , với , , số hữu tỉ Tính
A B C D
Câu 91: Biết với , , Hỏi giá trị thuộc khoảng sau đây?
A B C D
Câu 92: Biết với số nguyên Tính
2
1 7ln
3
a
x
I dx
x x
1
a a2 a3 a4
1 d .ln 1 .ln 2
1
x
x a x b x C
x x
a b, a b1
a b a b 5 a b 1 a b 5
1
3 d 3ln
6
x a
x
x x b
a b, ab ab
5
ab ab27 ab6 ab12
3 2
3 2 d ln 7 ln 3
1
x x
x a b c
x x
a b c T a 2b2 3c34
T T 6 T 3 T 5
0
1
3 .ln2
2
x x
I dx a b
x
a2b5
3 d ln 5 ln 2
3 x a b
x x
a b,
2
a b 2a b 0
0
a b a b 0
3 2
2 d ln5 ln 3ln 2
2
x
x a b
x x
a b,
P2a b1
P P7 15
2
P 15
2
P
3
3 d ln ln ln
3
x
x m n p
x x
m n p2
S m n p
6
S S 4 S 3 S 5
2
0
d ln
1
x
x a b
x
a b b0 2a b
8;10
6;8
4;6
2;4
4
dx ln 2 ln 3 ln 5
I a b c
x x
(139)Câu 93: Biết , với , số nguyên thuộc khoảng nghiệm phương trình sau đây?
A B C D.
Câu 94: Biết với , số nguyên Tính
A B C D
Câu 95: Biết , Giá trị biểu thức
bằng
A B C D
Câu 96: Tìm giá trị để
A B. C. D.
Câu 97: Cho với , số nguyên Mệnh đề ?
A B C D
Câu 98: Biết Tính
A B C D
Câu 99: Cho với , , số nguyên Mệnh đề đúng?
A B C D
Câu 100: Biết Tính
A B C D
Câu 101: Cho với , số nguyên Mệnh đề sau đúng?
A B C D
Câu 102: Biết tìm giá trị để
2
d 1
4
x
x x ab
a b
7;3
a b2
2x x x24 12 0x x25 0x x2 9
5
3
1d ln
1
x x b
x a
x
a b S a2b2
S S5 S2 S 10
3
0
d ln 2 ln 5 ln 7
2
x
a b c
x x
a b c, ,
2a3b c5
a
4
3
1 d ln
1 x a
x x
12
3
1
3
1
0
1 ln 2 ln 3
1 dx a b
x x
a b2
a b a2b0 a b 2 a2b0
3 2
5 12 d ln ln ln
5
x
x a b c
x x
S3a2b c3 14 2 11
2
1 d ln 2 ln 3 ln 5
5 x a b c
x x
a b c4
a b c a b c 3 a b c 2 a b c 6
2
3
1 d ln 1 2 3
6 11
m n p
x
x x x x C
x x x
4
mn p
5
3 2
8 d ln ln
2
x
x a b
x x
a b3
a b a2b11 a b 5 a2b11
1
0
2 3d ln3
2
x x
x b
x a
a b, 0
k
1
2017d lim
ab k x
x
(140)A B C D
TÍCH PHÂN HÀM VƠ TỈ Câu 103: Tính tích phân
A B C D.
Câu 104: Biết Giá trị là:
A. – 1 B.– 2 C.– 3 D. – 4
Câu 105: Tích phân
A. B C D
Câu 106: Cho , Tính
A B C D
Câu 107: Biết tích phân với , số thực Tính tổng
A B C D
Câu 108: Tích phân có giá trị là:
A B
C D
Câu 109: Tích phân có giá trị là:
A. B. C. D.
Câu 110: Biết Với , , số nguyên dương Tính
A B C D
0
k k0 k0 k
2
0
4 d
I
x x13 13
3
4
1
0
1
6
a
I
x x dx b4
a b
2
0
1
2
I dx
x
12
I I 2 2
2
I I 2
1
0
d
3
2
x
a b a
x x
a b, *
a2b2
a b a2b8 a2b 1 a2b5
1
0
3 d
9
3
x a b
x
x x
a b T a b10
T T 4 T 15 T 8
0
1
a
I
x x dx
5
32 4
5 15
a a
I
5
2 4
5 15
a a
I
5
32 4
5 15
a a
I
5
2 4
5 15
a a
I
1
1 1
x
I dx
x
4 2
I 2
3
I
3
I
3
I
4
3
2 d
2
x x a b
I x
c
x x
a b c a b c (141)Câu 111: Biết với số nguyên dương Tính
A. B. C D
Câu 112: Biết với , , số nguyên dương Tính
A B C. D.
TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC Câu 113: Tính tích phân
A B. C D.
Câu 114: Tính tích phân
A. B. C. D.
Câu 115: Tích phân bằng?
A B C D
Câu 116: Biết , với , số hữu tỉ Tính
A B C D
Câu 117: Số số nguyên thỏa mãn
A B C D
Câu 118: Tích phân có giá trị là:
A B. C. D. Cả A, B, C
sai
Câu 119: Có số thực thuộc khoảng cho ?
2
d
2
x
a b c
x x x x
a b c, ,P a b c
2
P P8 P46 P22
2
1
d
1
x
I a b c
x x x x
a b cP a b c
24
P P12 P18 P46
0
sin dx x
3
3
2
3
2
0
sin d
4
I x x
4
I I 1 I 0 I 1
3
d sin
x I
x
cot cot
3
cot cot
3
cot cot
3
cot cot
3
2
3
cosxdx a b
a b T 2a6b3
T T 1 T 4 T 2
cot cot
3
0
cos x d
m
x
643 1284 1285 642
2
0
sin
I xdx
I I 0 I 1
b
;3
4cos db
x x
(142)Câu 120: Tích phân có giá trị là:
A. B. C. D.
Câu 121: Tích phân có giá trị là:
A. B. C. D.
Câu 122: Kết tích phân viết dạng , Khẳng định sau sai?
A B C D
Câu 123: Cho tích phân với Tính
A B. C. D.
Câu 124: Cho tích phân , Tính
A. 3 B.1 C. 2 D.
3
Câu 125: Biết 6
3
3 4sin d
6
a c
x x
b
, a,b nguyên dương ab tối giản Tính a b c
A. B.16 C. 12. D. 14
Câu 126: Cho giá trị tích phân
3
2
sin cos
I x x dx a
,
3
3
cos2 sin
I x x dx b
Giá trịcủa a + b là:
A. 3
4
P B. 3
4
P C. 3
4
P D. 3
4
P
Câu 127: Cho giá trị tích phân
2
3
sin3 cos3
I x x dx a
,2
2
1 1
1
e
e
I dx b
x x x
Giátrịa.b gần với giá trị sau đây?
A. B.16 C. 10. D.
2
2
sin cos
I x x dx
1
I I 2 I 2 I 1
6
2
sin cos3
I x x dx
2
I
4
I
4
I
3
I
2
0
2 sin dx x x
a b2
a b a b 5 2a3b2 a b 2
2
0
cos2 d sin
x
x a b x
a, b P 1 a3b29
P P29 P11 P 25
2
0
1
4 cos dx x x c
a b
(143)Câu 128: Tích phân
2
2
sin cos
I ax ax dx
, với a0 có giá trị là:A. sin sin
2 4
I a a
a
B. sin sin
2 4
I a a
a
C. sin sin
2 4
I a a
a
D. sin sin
2 4
I a a
a
Câu 129: Biết
π
3
2
0
cos sin d π
1 cos
x x x x b
I x
x a c
Trong a, b, c số nguyên dương, phân sốb
c tối giản Tính
2 2
T a b c
A. T 16 B.T 59 C. T 69 D. T 50
Câu 130: Cho hàm số f x
asin 2x b cos2x thỏa mãn '2
f
b
a
adx
Tính tổng a bbằng:
A. B. C. D.
Câu 131: Cho tích phân
3
cos cos4 dx x x a b
, a, b số hữu tỉ Tính2
e loga
b
A. 2 B. 3 C.
8 D.
Câu 132: Cho F x
nguyên hàm hàm số1 sin
y
x
với x \ k ,k
, biết
0F ; F( ) 0 Tính 11
12 12
PF F
A P2 B P0 C Không tồn P. D P1
Câu 133: Cho M , N số thực, xét hàm số f x
M.sin πxN.cos πx thỏa mãn f
1 3
1
0
1 d
π
f x x
Giá trị f 14
A. 5π
2 B
5π 2
C π
2
D. π
(144)Câu 134: Tích phân
2
2
cos cos
I x xdx
có giá trị là:A.
4
I B.
4
I C.
4
I D.
4
I
Câu 135: Biết tích phân
sin
I xdx a
Giá trị1
2
1 ln 2 ln5
a x
I dx b c
x x
Thương số bvà c là:
A. – 2 B.– 4 C.2 D. 4
Câu 136: Cho
3
2 6
0
sin cos cos3 sin sin
I x x dx a x bx c x
Giá trị 3a2b4c là:A. – 1 B.1 C.– 2 D. 2
Câu 137: Cho tan dn n
I
x x với n Khi I0I12
I2I3 I8
I9I10 A
1
tan r r
x C r
B
1
1
tan
r
r
x
C r
C. 10
1
tan r r
x C r
D.
1 10
1
tan
r
r
x
C r
TÍCH PHÂN HÀM MŨ – LƠGARIT Câu 138: Tích phân
0
e dx x
A. e 1 B. 1
e C. e 1e
. D.
e
Câu 139: Tích phân 2018
0
2 d
xI x
A. 22018 1
B.
2018
2
ln
C. 22018
ln D.
2018
2
Câu 140: Biết
1
1 ( )d
2
f x x
0
1
1 ( )d
2
f x x
Tính tích phân4
4e x ( ) d
I
f x xA. 2e8
I . B. I 4e 28 . C. I 4e8. D. I 2e 48 .
Câu 141: Cho
2
0
e d x
t
F x
t Tính F
2A. F
2 4e4 B. F
2 8e16 C. F
2 4e16 D. F
2 e4Câu 142: Cho hàm số
1 d ln x
x
g x t
t
với x0 Đạo hàm g x
(145)Câu 143:
3
3
d
f x x
Gọi S tập hợp tất số nguyên dương k thỏa mãn2
1
2018.e 2018
e dkx k
x
k
Số phần tử tập hợp SA. B. C.Vô số D.
Câu 144: Cho
0
e d
1 e
nx
n x
I x
với nĐặt un 1.
I1I2
2
I2I3
3
I3I4
n I
nIn1
nBiết limun L Mệnh đề sau đúng?
(146)C HƯỚNG DẪN GIẢI
ÁP DỤNG ĐỊNH NGHĨA, TÍNH CHẤT VÀ BẢNG NGUYÊN HÀM
Câu Cho hàm số , liên tục số thực tùy ý Trong khẳng định sau, khẳng định sai?
A.
B.
C.
D.
Hướng dẫn giải
Chọn B
Dựa vào tính chất tích phân, A, C, D nên B sai
Câu Khẳng định sau sai?
A. B.
C. D.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Câu Cho hai hàm số liên tục , Khẳng định sau khẳng định sai?
A B.
C. D.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Câu Cho hai số thực , tùy ý, nguyên hàm hàm số tập Mệnh đề đúng?
A. B.
C. D.
Hướng dẫn giải
Chọn B
y f x yg x
a b;
k
d
db a
a b
f x x f x x
d
db b
a a
xf x xx f x x
da
a
kf x x
d
d
db b b
a a a
f x g x x f x x g x x
d
d
db b b
a a a
f x g x x f x x g x x
d
d
db b c
a c a
f x x f x x f x x
d
db a
a b
x
f x f x x
d
db b
a a
x
f x f t t
f x g x
K a b, K
d
d
db b b
a a a
f x g x x f x x g x x
d
db b
a a
kf x xk f x x
d
d
db b b
a a a
f x g x x f x x g x x
d
d
db b b
a a a
f x g x x f x x g x x
a b F x
f x
d
b
a
f x x f b f a
d
b
a
f x xF b F a
d
b
a
f x xF a F b
d
b
a
f x xF b F a
(147)Theo định nghĩa, ta có
Câu Cho hàm số liên tục đoạn Tìm mệnh đề đúng mệnh đề sau
A. B.
C. D.
Hướng dẫn giải
Chọn D
Câu Cho hàm số liên tục khoảng Mệnh đề sau sai?
A. B.
C. D.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Mệnh đề là:
Câu Cho hàm số liên tục , nguyên hàm Chọn khẳng định sai khẳng định sau
A. B.
C. D.
Bài giải
Chọn A
Theo định nghĩa ta có: Suy phương án A sai
Câu Cho hàm số liên tục đoạn Mệnh đề sai?
A.
B.
C. ,
D. ,
d
b
a
f x xF b F a
f x
a b;
c
a b;
d
d
dc b a
a c b
f x x f x x f x x
d
d
db c b
a a c
f x x f x x f x x
d
d
db c c
a a c
f x x f x x f x x
d
d
db a b
a c c
f x x f x x f x x
d
d
b a
a c
f x x f x xF b F a F a F c
F b
F c
db
c
f x x
y f x K a b c, , K
d
d
db b c
a c a
f x x f x x f x x
d
dtb b
a a
f x x f t
d
db a
a b
f x x f x x
da
a
f x x
d
d
db c c
a b a
f x x f x x f x x
f t K a b, K F t
f t
K
db
a
F a F b
f t t
d
b
b a a
f t t F t
d
db b
a a
f t t f t t
d
db b
a a
f x x f t t
d
b
b a a
f t tF t
F b
F a
y f x
a b;
d
db b
a a
f x x f t t
d
db a
a b
f x x f x x
d
b
a
k xk a b
k d d d
b c b
(148)Hướng dẫn giải
Chọn C
Ta có:
Câu Giả sử hàm số liên tục khoảng ba số khoảng Khẳng định sau sai?
A. B.
C. D.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Ta có:
Câu 10 Cho hàm số liên tục đoạn Mệnh đề sai?
A. B. ,
C. D.
Câu 11 Cho nguyên hàm hàm số Khi hiệu số
A. B. C. D.
Hướng dẫn giải
Chọn D
Ta có:
Câu 12 Cho hàm số liên tục , có đồ thị hình vẽ sau:
Mệnh đề đúng?
A. diện tích hình thang B. dộ dài đoạn
C. dộ dài đoạn D. dộ dài đoạn cong
d
b
b a a
k xkx
kb ka k b
a
f K a b c, , K
a
a
f x dx
b a
a b
f x dx f x dx
,
;
c b b
a c a
f x dx f x dx f x dx c a b
b b
a a
f x dx f t dt
a
a
f x dxF a F a
y f x
a b;
d
db a
a b
f x x f x x
d
d
db c b
a a c
f x x f x x f x x
c
d
db b
a a
f x x f t t
da
a
f x x
F x f x
F
0 F
1
1
0
d
f x x
1
0
d
F x x
1
0
d
F x x
1
0
d
f x x
1
0
1 d
0
f x x F x
F
1 F
0 F
0 F
1
y f x
a b;
y f
x
db
a
f x x
ABMN
db
a
f x x
BP
db
a
f x x
MN
db
a
f x x
(149)Chọn B
Câu 13 Cho hai tích phân Giá trị tích phân là:
A B. C. D. Không thể xác
định
Hướng dẫn giải
Cho hai tích phân Giá trị tích phân
là:
Ta có kết quả:
Chọn A
Câu 14 Cho tích phân Tích phân có giá trị là:
A B. C. D. Không thể xác
định
Hướng dẫn giải
Cho tích phân Tích phân có giá trị
là:
Quy tắc “nối đuôi” cho ta:
Chọn A
Câu 15 Tích phân phân tích thành:
A B.
C. D.
Hướng dẫn giải
Tích phân phân tích thành:
Ta có:
Chọn A
Câu 16 Cho Tính tích phân
db
a
f x x
f x
ba f b
f a
BM PM BP
a
a
f x dx m
a
a
g x dx n
a
a
f x g x dx
mn nm mn
a
a
f x dx m
a
a
g x dx n
a
a
f x g x dx
a a a
a a a
f x g x dx f x dx g x dx m n
1
b
a
I
f x dxm 2
a
c
I
f x dxn
b
c
I
f x dxmn mn mn
1
b
a
I
f x dxm 2
a
c
I
f x dxn
b
c
I
f x dx
b b a
c a c
I
f x dx
f x dx
f x dxmn
b
a
f x dx
b a
c c
f x f x dx
b a
c c
f x f x dx
b a
c c
f x f x dx
b a
c c
f x f x dx
b
a
f x dx
b b c b a
a c a c c
f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx
1
2
d
f x x
1
2
2 d
I f x x
(150)Chọn C
Ta có
Câu 17 Cho hàm có đạo hàm liên tục đồng thời , Tính
A. B. C. D.
Hướng dẫn giải
Chọn D
Ta có
Câu 18 Cho Khi
A. B. C D.
Hướng dẫn giải
Chọn D
Câu 19 Cho hàm số có đạo hàm liên tục đoạn , Tính
A. B. C. D.
Hướng dẫn giải
Chọn D
Ta có:
Câu 20 Cho hàm số liên tục Tính tích phân
A. B. C. D.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Ta có:
Câu 21 Cho hàm số thoả mãn điều kiện , liên tục
Khi
A. B. C. D.
Hướng dẫn giải
Chọn B
Ta có
Câu 22 Cho hàm số có đạo hàm liên tục đoạn thỏa mãn ;
Giá trị
1
2
2 d
I f x x
1
2
2 f x dx dx
6 x12 3
f x
2;3
f
2 2 f
3 5
3
2
d
f x x
3
10
3
2
3
d
f x x f x
f
3 f
2 3
db
a f x x
f b
5 f a
12 2
db
a f x x
f b
f a
7 f a
f b
7 2
f x
a b;
f a
2 f b
4
db
a
T
f x xT T 2 T 6 T 2
db
a
T
f x x f x
ab f b
f a
2
f x
0;1
f
1 f
0 2
1
0
d
f x x
1
I I 1 I 2 I 0
1
0
1
d
0
f x x f x f f
y f x f
1 12 f
x
4
1
d 17
f x x
f
45 29 19
4
1
d 17
f x x
f x
14 17 f
4 f
1 17 f
4 29
f x
1;3
f
1 4 f
3 7
3
5 d
(151)A. B. C. D.
Hướng dẫn giải
Chọn D
Câu 23 Cho hàm số , với , số hữu tỉ thỏa điều kiện
Tính
A. B. C. D.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Ta có
Theo giả thiết, ta có Từ suy ,
Vậy
Câu 24 Tính tích phân
A. B. C. D.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Ta có:
Câu 25 Tính tích phân
A. B. C. C.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Ta có:
Câu 26 Tính
A. B. C. D.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Ta có
Câu 27 Tính tích phân
20
I I 3 I 10 I 15
3
1
5 d
I f x x
31
5f x
5 5f
f
1 5.7 5.4 15
2a b f x
x x
a b
1
1
d 3ln
f x x
T a b
T T 2 T 2 T 0
1
1
d
f x x
1 2
2 d
a b
x
x x
1
1
ln
a
b x x
x
a bln
2 3ln 2 a 1 bln a1 b 3
2
T a b
3
0
d
x I
x
45815000
I log5
2
I ln5
2
I 21
100
I
3
0
d
x I
x
3
0
5
ln ln
2
x
2018
2
1
dx I
x
2018.ln
I I 22018 I 2018.ln I 2018
2018
2
ln
I x ln 2
2018
ln12018.ln1
0
1 3 d
2
I x x
x
2 ln 3 ln3 ln3 ln 3
1
0
1 3 d
2
I x x
x
1
0
1 d d
2 1x x x x
1
0
1ln 1 3.2
2 x 3x x
ln3
2
ln 2
1 2018
1 d
(152)A. B. C. D.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Ta có:
Câu 28 Cho hàm số Tính tích phân
A. B. C. D.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Ta có
Câu 29 Cho hàm số Tính tích phân
A. B. C. D.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Ta có:
Câu 30 Cho hàm số Tính
A. B. C. D.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Ta có,
Câu 31 Cho hàm số Hỏi có tất số
nguyên để ?
A. . B. C. D.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Ta có
1
2018 2019
I 1
2020 2021
I 1
2019 2020
I 1
2017 2018
I
1 2018
1 d
I
x x x
1
2018 2019
d
x x x
1 2019 2020
0
1
2019 2020 2019 2020
x x
3
4
x x
y f x
x x
df x x
df x x
1
0
d d
f x x f x x
1
2
0
3x dx x dx
2 1 4 x x x
2 khi 0 1
1
2
x
y f x x
x x
df x x
6 ln 4 ln 4 ln 2 2ln 2
3
0
d d d
f x x f x x f x x
1
0
2 d d
1 x x x
x
31 2
0
2ln x x x
ln 6
2
3
4
x x
y f x
x x
f x dx
1 2
2
0 1
1
3 4
0 2
x
f x dx f x dx x dx x dxx x
2
6
x x
y f x
a a x x
dI f x x
a I22 0
2
4
0 4 0 2
2
(153)Vậy có giá trị nguyên thỏa mãn
Câu 32 Biết Khẳng định sau đúng?
A. B. C. D.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Ta có:
Mà
Câu 33 Đặt ( tham số thực) Tìm để
A. B. C. D.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Ta có
Câu 34 Cho , Khi bằng:
A. B. . C. D.
Hướng dẫn giải
Chọn D
Do
Câu 35 Giá trị để ?
A. B. C. D.
Hướng dẫn giải
Chọn D
Ta có
Theo ra, có
Câu 36 Có giá trị thực để có
A. B. C. D.Vơ số
Hướng dẫn giải
Chọn A
Ta có 22
I 2 8a a222 0 2a2 a
2 a
a
1;0;1;2
a
4 a
2 d
b
a
x x
b a a2 b2 a b b2a2 b a a b 1
2 d
b
b a a
x x x x
b2 b
a2a
2 d
b
a
x x
b2 b a2 a 1b2a2 b a
2
1
2 d
I
mx x m m I41
m m 2 m1 m2
2
1
2 d
I
mx x
21
mx x
4m2
m1
3m1I 3m 1 4m1
3
0
( )d
f x xa
3
2
( )d
f x xb
2
0
( )d
f x x
a b
b a a b a b
3
0
( )d ( )d ( )d
f x x f x x f x x
2 3
0
( )d ( )d ( )d
f x x f x x f x x
2
0
( )d
f x x a b
b
1
2 d
b
x x
0
b b3 b0 b1 b5 b0 b1 b5
1
2 d 6 6
b
b
x x x x b b b b
2 6 5 0
5
b
b b
b
AD
0
2 d
a
x xa
1
2 d
a
(154)Câu 37 Xác định số thực dương để tích phân có giá trị lớn
A. B. C. D.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Đặt
Lập bảng biến thiên
Vậy đạt GTLN
Câu 38 Cho số thực thỏa mãn Giá trị biểu thức
A. B. C. D.
Hướng dẫn giải
Chọn B
Ta có: Theo đề:
Vậy
Câu 39 Tích phân có giá trị là:
A. I = B.I =2 C.I = 3 D. I = 4
Hướng dẫn giải
Tích phân có giá trị là:
Cách 1:
Chọn C
Cách 2: Kiểm tra máy tính, dễ dàng thu kết cách
Câu 40 Tích phân có giá trị là:
A. I = B.I = C.I = D. I =
Hướng dẫn giải
Tích phân có giá trị là:
Cách 1:
m
2
0
d
m
xx x
m m2 m3 m4
2
d
m
P
xx x2
0
2
m
x x
2
2
m m
2
2
m m
f m f
m mm2 f
m 0m0 m1
f m m1
a a 2
2
2 d
a
x x
1a30
2
2 d
a
x x
x2x
a2 6 a2a2
1
6
a
a
a a
3
1a 2
2
1
2
I
x dx2
1
2
I
x dx2
2 2
1 1
2
2
x I x dx x dx
1
3
I x x dx
1
3
I x x dx
1
3 3 2 1 2 4
(155)Chọn D
Cách 2: Dùng máy tính cầm tay
Câu 41 Cho gá trị tích phân , Giá trị là:
A. B. C. D.
Hướng dẫn giải
Cho gá trị tích phân , Giá trị là:
Ta có:
Chọn C
Câu 42 Tích phân có giá trị là:
A. B. C. D.
Hướng dẫn giải
Tích phân có giá trị là:
Chọn A
Câu 43 Tích phân có giá trị là:
A. B. C. D.
Hướng dẫn giải
Tích phân có giá trị là:
Ta có:
Chọn D
Câu 44 Tích phân có giá trị là:
A. B. C. D.
1I x x dx a
2I x x dx b
ab
4 65
P 12
65
P 12
65
P
65 P
1I x x dx a
2I x x dx b
ab
1
4
1
1
1 2
2
5 5
I x x dx x x a
12
2
2
1 13 13
3
3 6
I x x dx x x b
12 65 a P b
I x ax dx
7
a
I
4
a
I
4
a
I
4
a I
0
2
I x ax dx
0
3
1
1
2
4
a a
I x ax dx x x x
I
ax bx dxa b I
3
a b I
2
a b I
3
a b I
1
I
ax bx dx
1
2
0 3
a b a b
I ax bx dx x x
2 aI x dx
x
1I a
2
I a
2
I a
2
(156)Tích phân , với có giá trị là: Ta có:
Chọn D
Câu 45 Tích phân có giá trị là:
A. B. C. D.
Hướng dẫn giải
Tích phân có giá trị là:
Ta có:
Từ bảng xét dấu ta được:
Chọn A
Câu 46 Tích phân có giá trị là:
A. B. C. D.
Hướng dẫn giải
Tích phân có giá trị là:
Ta có:
Từ bảng xét dấu ta được:
Chọn A
Câu 47 Tích phân có giá trị là:
A. B. C. D.
Hướng dẫn giải
Tích phân có giá trị là:
Ta có:
2
1 a
I x dx
x
a02
2
2
1 2 1
2
a a
I x dx x a
x x a
2
I x x dx
3
I
6
I
2
I
6
I
2
I x x dx
2 0
f x
x x x x
0
2
2 2 3
1 1
1 1
3 2
I x x dx x x dx x x dx x x x x
1
3
1
I x x x dx
4
I
2
I
3
I
2
I
1
3
1
I x x x dx
23 1 0 1 1 0 1 1
f x
x x x x x x x
1
1
3
1 1
1 1
1
4 3
I x x x dx x x x dx x x x x
3
2
3
1
x x
I dx
x
I 17
6
I
6
I 17
6
I
3
2
3
1
x x
I dx
x
(157)Từ bảng xét dấu ta được:
Chọn C
Câu 48 Tích phân có giá trị là:
A. B. C. D.
Hướng dẫn giải
Tích phân có giá trị là:
Ta có:
Từ bảng xét dấu ta được:
Chọn A
Câu 49 Tích phân có giá trị là:
A. B. C. D.
Hướng dẫn giải
Tích phân có giá trị là:
Ta có:
Chọn C
Câu 50 Biết tích phân Giá trị là:
A. B. C. D.
Hướng dẫn giải
2
3 3 2 0 1 2 0 1 2
f x
x x x x x x
1
1
2
2 2
3 2 1 2
1
x x
I dx x x dx x x x
x
2 2 x x I dx x
2ln3I I 2ln3 I 3 2ln I 3 3ln
0 2 x x I dx x
20
1
x x
f x f x x x x
x
0 2
2
2 2
1 1
x x x x x x
I dx dx dx
x x x
1 2
1
2 2
2 2ln 1 2ln 2ln 3
1 2
x x x
I dx x dx x
x x
0 2
2
1 1
2 2ln 1 2ln 2
1 2
x x x
I dx x
x
1 2ln
I I I
2
I ax dx
x
15 ln 2
16
a
I 15 ln
16
a
I 15 ln
16
a
I 15 ln
16
a I
1
1
I ax dx
x
1 2 152 ln ln
2 16
a a
I ax dx x x
x
1I
xdxa
2
2
a
I
x x dx2 173
I 2 19
3
I 2 16
3
I 2 13
3
(158)Biết tích phân Giá trị là: Ta có:
Chọn C
Câu 51 Cho tích phân Khẳng định không đúng?
A B.
C. D.Chỉ có A C
Hướng dẫn giải
Cho tích phân Khẳng định khơng đúng?
Ta có:
Phát biểu (A):
Phát biểu (B): sai Phát biểu (C): Phát biểu (D):
Chọn B
Câu 52 Số nghiệm nguyên âm phương trình: với là:
A. B.1 C.2 D.
Hướng dẫn giải
Số nghiệm nguyên âm phương trình: với là:
Ta có:
Chọn B
Câu 53 Số nghiệm dương phương trình: , với , a và b là số hữu tỉ
là:
A. B.1 C.2 D.
Hướng dẫn giải
Số nghiệm dương phương trình: , với là:
Ta có:
Chọn B
1
0
2
I
xdxa
2
2
a
I
x x dx
2
1 1 2
2 2
1 0
0 1
1 16
2 2
3
a
I xdx x I x x dx x x dx x x
1
b
a
I
x dx
1
b b b
a a a
I
x dx
x dx
dx
ba
I x x
3
1
3
I b b a a
1
b
a
I
x dx
1
33 3
b b
a a
I x dx x x b b a a
3 2 0
x ax
3
1
1 e
a dx
x
3 2 0
x ax
3
1
1 e
a dx
x
3 3
2
1
1 ln 3 3 2 0 1 2 0 1 2
e
e
a dx x x x x x x x
x
3 2 0
x ax
1
0
2
a
xdx3 2 0
x ax
1
0
2
a
xdx
1 1
2
0
2 2
(159)Câu 54 Tìm tất giá trị thực tham số để có \
A. B. C. D.
Hướng dẫn giải
Chọn D
Ta có: Mà Khi đó:
Câu 55 Cho nguyên hàm hàm số tập thỏa mãn
Tính tổng
A. B. C. D.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Bảng khử dấu giá trị tuyệt đối:
Ta có: mà nên
mà nên
mà nên
mà nên
Vậy
Câu 56 Có giá trị nguyên dương thỏa mãn ?
A. B. C. D.
Hướng dẫn giải
k
0
1
2 d 4lim
k x x x x x
k k k k k k k k
21 1
2
1
2 d d
2 4
k
k k
x k
x x x x
0 0
1 1
1 1
4lim 4lim 4lim
1 1
x x x
x x
x
x x x x
01
1
2 d 4lim
k x x x x x
22 1
2
1 k k k k
F x f x
1 x 1 x
1F F
0 F
2 F
38 12 14 10
2
1
d 2
f x xF F F
2
1
d 2d
f x x x
F
2 5
1
0
d
f x xF F F
1
2
0
d d
f x x x xx
F
0 2
0
1
d
f x x F F F
0 1d d
f x x x x x
1F
1
3
d 3
f x x F F F
1 3d 2d
f x x x
F
3 7
0
2
3
14F F F
n
2
2
0
1 n d
n x x x nx x
1
|
|
x 1
1x
1x
(160)Ta có:
Thử với giá trị không thỏa mãn
Với , ta chứng minh Dễ thấy
Giả sử với với , Khi
Khi đó:
Do với Theo nguyên lý quy nạp
Vậy khơng tồn số nguyên
Câu 57 Cho hàm số Hàm số có đồ thị hình vẽ
Biết diện tích hình phẳng giới hạn trục đồ thị hàm số đoạn
và Cho Giá trị biểu thức
A. B C D
Hướng dẫn giải
Chọn C
Theo giả thiết ta có
Dựa vào đồ thị ta có:
Tương tự ta có
Như
Câu 58 Cho Tìm điều kiện để
A. B. C. D.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Ta có
2
2
0
1 n d
n x x x nx x
2
n
x n x x x x x
2
2 2 2 2n
n
2 22 n
n
2
2 1n n 2n n
1;2;3;4
n
n n5 2n n22
1 n5
1
1 nk k k5 2k 2k
1 2
2k 2 2
k k k
k22k 1 2
k1
22
1 n k
1n
y f x y f
xOx y f
x
2;1
1;4
12 f
1 3 f
2
f
421
1
2
d
f x x
4
1
d 12
f x x
1
1
2
d d
f x x f x x f x f f
1
2
f f
4
1 12f f
1
2
4
1f f f f
f
2
f
4 1 f
3
2
4f f
f
2
f
4 3
2
2 d
I
x x m x
1
2 d
J
x mx x m I J3
m m2 m1 m0
2
2 d
I
x x m x2
3
2x x
mx
(161)Do
Câu 59 Biết hàm số thỏa mãn ,
(với , , ) Tính giá trị biểu thức
A. B. C. D.
Hướng dẫn giải
Chọn B
Ta có
Do đó: Vậy
TÍCH PHÂN HỮU TỈ
Câu 60 Biết với , số thực Mệnh đề đúng?
A B. C. D.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Ta có:
Vậy
Câu 61 Tích phân Giá trị a là:
A B. C. D.
Hướng dẫn giải
Tích phân Giá trị a là:
Ta có:
2 dJ
x mx x1 3 x mx m
I J 10
3 m m
m3
f x ax bxc
1
0
7 d
2
f x x
2
0
d
f x x
13 df x x
a b c P a b c3
P
3
P
3
P
4
P
30
d
3
d d
a b a b
f x x x x cx d d cd
d d 13 df x x
f x x
f x x
3 2
8 2 2 2
3 13 2 a b c
a b c
a b c
16 a b c
P a b c
1
1
5 d ln
2
x
x a b
x
a b8 81
ab
24
a b
8
ab
10
a b
1 d 2 x x x
11 1 d
2 x x
11 6ln 1
2 x x
1 6ln 6ln4
2 3
1 ln
3 27
8
3 27 81
ab
1
0
2 ln 2
1 ax I dx x
ln lna
ln 2 2ln
a
ln ln
a
ln 2 2ln
a
1
0
2 ln 2
(162)
Mà
Chọn B
Câu 62 Cho Giá trị a + b là:
A. B. C. D.
Hướng dẫn giải
Cho Giá trị a + b là:
Ta có:
Chọn B
Câu 63 Biết Gọi , giá trị thuộc khoảng sau
?
A. B. C. D.
Hướng dẫn giải
Chọn D
Ta có
Vậy
Câu 64 Tích phân có giá trị là:
A. B. C. D.
Hướng dẫn giải
Tích phân có giá trị là:
Ta có:
1 1
0
0
2 2 1 2 ln 1 2 ln 2
1
ax
I dx a dx a x x a
x x
lnln 2 ln ln
2 2ln
I a a
1
2
1 ln 2 ln 3
3
I dx a b b
x x
1
1
1
1
2
1 ln 2 ln 3
3
I dx a b b
x x
1 1
2 0
0
1
1 4 4 ln 1 ln 3 1ln 3 1
3 4
I dx x x a b a b
x x x x
2
0
d ln ,
1
x
x a b a b
x
S 2a b S
8;10
6;8
4;6
2;4
2
2 2
0 0
0
d d ln ln ln
3
1
a
x x
x x x x x a b S
b
x x
2;4
S
2
1
x
I x dx
x
10 ln2 ln3
I 10 ln2 ln3
3
I 10 ln2 ln3
3
I
10 ln2 ln3
I
2
1
x
I x dx
x
2
2
2
1 1
1
1 ln
1
8 2 ln 3 1 ln 2 10 ln ln 3
3 3
x x
I x dx x dx x x
x x
(163)Câu 65 Nhận xét: Khơng thể dùng máy tính để tính kết mà ta dùng để kiểm
tra mà Tích phân có giá trị là:
A. B. C. D.
Hướng dẫn giải
Tích phân có giá trị là:
Cách 1:
Chọn B
Cách 2: DÙng máy tính cầm tay
Câu 66 Tích phân có giá trị là:
A. B. C. D.
Hướng dẫn giải
Tích phân có giá trị là:
Chọn A
Câu 67 Tích phân ,với có giá trị là:
A B.
C. D.
Hướng dẫn giải
Tích phân , với có giá trị là:
Ta có:
Chọn C
Câu 68 Tích phân có giá trị nhỏ số thực dương a có giá trị là:
A B. C. D.
Hướng dẫn giải
Tích phân có giá trị nhỏ số thực dương a có giá trị là:
2
1
I x dx
x
5
I
2
I
2
I 11
2
I
2
1
I x dx
x
2
2
1
1 2
2
I x dx x
x x
1
0
2
ax
I ax dx
x
lnI a I 2ln I 2ln I aln
1
0
2
ax
I ax dx
x
1 1 1 1
2
0
0 0
2 ln 1 ln ln
1
ax x
I ax dx a dx a xdx a x x a x a a a
x x
1
a
a x
I dx
x a
a02 1
ln
2
a
I a a
a
2 1
ln
a
I a a
a
2 1
ln
2
a I a a
a
2 1
ln
a I a a
a
1
a
a x
I dx
x a
a02
1
1
ln ln ln
2 2
a a
a x x a a
I dx a x a a a a
x a a a a
3 2
2
2
a x x
I dx
ax
2
5
1
5
3 a x2 2x
(164)Vì a số thực dương nên
Chọn A
Câu 69 Tích phân có giá trị là:
A. B. C. D.
Hướng dẫn giải
Tích phân có giá trị là:
Ta có:
Chọn C
Câu 70 Tích phân có giá trị là:
A. B. C. D.
Hướng dẫn giải
Tích phân có giá trị là:
Ta có:
Chọn D
Câu 71 Tích phân có giá trị là:
A. B. C. D.
Hướng dẫn giải
Tích phân có giá trị là:
Chọn D
Câu 72 Giá trị tích phân Biểu thức có giá trị là:
A. B. C. D.
Hướng dẫn giải
3
3 2
2
2 2
2 2
2
a x x a a
I dx ax dx x x
ax a a a
5 2 2. 2 5
2
a a
I
a a
2
b
I ax dx
x
7 ln 2
3
I a b I 3a b ln ln
3
I a b I 3a b ln
2
b
I ax dx
x
2
2
1
7
ln ln
3
b a a
I ax dx x b x b
x
1
1
b
I ax dx
x
ln
I b ln3
2
a
I b ln3
2
a
I b I bln3
1
1
b
I ax dx
x
1
3
1
ln ln
2
b a
I ax dx x b x b
x
2
2
1
e
e x
I dx
x
2
1 1
I
e e
I 1 12
e e
I 1 12
e e
I 1 12
e e
2
2
1
e
e x
I dx
x
2
2
2 2
1 1 ln e 1 1
e e
e e e
x
I dx dx x
x x x x e e
1
0
x
I dx a
x
P2 1a1 ln
(165)Giá trị tích phân Biểu thức có giá trị là: Tacó:
Chọn C
Câu 73 Giá trị tích phân Biểu thức có giá trị là:
A. B.
C. D.
Hướng dẫn giải
Giá trị tích phân Biểu thức có giá trị là:
Ta có:
Chọn B
Câu 74 Biết , với Tính giá trị
A. B. C. D.
Hướng dẫn giải
Chọn B
Ta có:
Vậy
Câu 75 Tính tích phân:
A. B. C. D.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Ta có
Câu 76 Tính tích phân
1
0
x
I dx a
x
P2 1a
1 1
0
0
1
1 ln 1 ln ln 2 1 2ln
1
x
I dx dx x x a P a
x x
2 2
1 e
e
x x
I dx a
x
Pa12
1
2
P e e e
2
P e e e
2
1
2
P e e e
2
P e e e
2 2
1
e
e
x x
I dx a
x
P a2
2 2 2 2 4
1 1 1 ln 1
2 2
e
e e
e e e
x x x e e
I dx x dx x x e
x x
2 4
1
2 2 2
e e e e e e
a e a e P e
0
1
3 1d ln2
2
x x
I x a b
x
a b, a2b30 40 50 60
0
0 2
1 1
3 1d 3 11 21 d 11 21ln 2 21.ln2 19.
2 2
x x x
I x x x x x
x x
2 40
a b
2
1
1d
x
I x
x
lnI I 2ln I 1 ln
4
I
2
1
1d
x
I x
x
2
1
1
1 dx
x
xlnx
12 1 ln2
d
x I
x
(166)A. B. C. D.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Ta có:
Câu 77 Biết với số nguyên Tính
A. . B. . C. D.
Hướng dẫn giải
Chọn B
Ta có: Khi đó:
Suy ra: Vậy
Câu 78 Biết Mệnh đề sau đúng?
A. B. C. D.
Hướng dẫn giải
Chọn D
Ta có:
Câu 79 Giả sử Tính
A. B. C. D.
Hướng dẫn giải
Chọn B
BN M
Suy ra: Do đó:
Câu 80 Cho giá trị tích phân , Giá trị biểu
thức là:
A. B.
C. D.
Hướng dẫn giải
1 1ln
I 1ln
6
I ln2
6
I I ln 26
1
d
x I
x
1
0
1 1 d
6 3
I x
x x
1
0
1ln
6
x x
1 ln1 ln1 1ln
6
4
dx ln 2 ln 3 ln 5,
I a b c
x x
a b c, , S a b c6
S S 2 S 2 S 0
4
dx I
x x
1 1 1
( 1)
x x x x x x
4
4
3
d 1 d ln ln( 1) | (ln4 ln5) (ln3 ln4) 4ln2 ln3 ln5.
1
x
I x x x
x x x x
4, 1,
a b c S 2
5
3 d ln ln ,
3 x a b a b Z
x x
2
a b 2a b 0 a b 0 a b 0
5 5
2 1
1
3 d 1 d ln ln 3 ln ln 2
3 x x x x
x x x x
a1 b 10
a b
2
1 d ln ln 3; ,
4
x
x a b a b
x x
Pab8
P P 6 P 4 P 5
2 2
2
0 0
2
1 d d d ln 1 2ln 3 2ln 3ln 3
0
4 3
x x
x x x x x
x x x x x x
6
Pab
2,
a b
2
1
2
x x
I dx a
x
2
2
e
e
I dx b
x
Pa b
7 ln2 ln3
P ln2 ln3
2
P
5 ln2 ln3
P ln2 ln3
2
(167)Cho giá trị tích phân , Giá trị biểu thức có giá trị là:
Ta có:
Chọn B
Câu 81 Giá trị tích phân gần với gái trị sau đây?
A B. C. D.
Hướng dẫn giải
Giá trị tích phân gần với gái trị sau đây?
Ta có:
Chọn A
Câu 82 Tích phân Giá trị a là:
A B. C. D.
Hướng dẫn giải
Tích phân Giá trị a là:
Ta có:
Xét
Xét
2
1
2
x x
I dx a
x
2
2
e
e
I dx b
x
Pa b2
2 2
1
1 1
2 1 ln 1 ln ln 3 ln ln 3
1 2
x x x
I dx x dx x x a
x x
2
2 ln 1
e e
e e
I dx x b
x
3 ln2 ln3
P a b
0
2
3
2
x x
I dx
x x
ln 2
ln 1 ln4
2
ln3
0
2
3
2
x x
I dx
x x
0
2
0
0 2
1 1
3
2
1 2 2 2 6 9
4 6ln 6ln
1 2 2
x x
I dx
x x
x x x x x x
dx dx x dx x x
x x x x
2
1 2ln ln
3 5
ax
I dx
x x
1
a
5
a
5
a
5
a
2
1 2ln ln
3 5
ax
I dx
x x
2 2
2 2
1 1
1
3 3
ax x
I dx a dx dx
x x x x x x
2 2
1 1
1
2 2ln 2 ln 1
3 2
4
2ln 3ln ln 2 ln ln
3
x
I a dx a dx a x x
x x x x
a a a
2 2
2
1 ln 1 ln 2 ln4 ln2
3 3
(168)Theo đề bài:
Chọn D
Câu 83 Tích phân Giá trị a là:
A B. C. D.
Hướng dẫn giải
Tích phân Giá trị a là:
Ta có:
, với
Theo đề bài:
Chọn B
Câu 84 Biết , Tính giá trị biểu thức
A B. C. D.
Hướng dẫn giải:
Chọn C
Nên:
Vậy , Vậy
Câu 85 Biết , hai số nguyên dương phân số tối giản Tính ta kết
A. B. C. D.
Hướng dẫn giải
Chọn D
Đặt Đổi cận:
1 2 ln43 ln23
I I I a a
3 2ln ln
5 5
I a
2
1 7ln
3
a
x
I dx
x x
1
a a2 a3 a4
2
1 7ln
3
a
x
I dx
x x
3
3
3
2 3
3 4
1
1 1 ln 1ln
3 3
a a a
a a
x a a
I dx dt t
x x t
tx33x
3
3
1ln 7ln 3 14 0 2 2 7 0 2
3
a a
a a a a a a
1 d .ln 1 .ln 2
1
x
x a x b x C
x x
a b, a b1
a b a b 5 a b 1 a b 5
1
1 2
x A B
x x x x
1
x A x B x
1
2
A B A
A B B
1 d d
1 2
x
x x
x x x x
2ln x 3ln x C
2
a b 3 a b 1
1
3 d 3ln
6
x a
x
x x b
a b, ab ab
5
ab ab27 ab6 ab12
1
2
0
3 d d
6
x x
x x
x x x
3 ;
t x dtdx x t
0 3;
(169)
Câu 86 Biết với , , Tính
A. B. C. D.
Hướng dẫn giải
Chọn A
, suy
Vậy
Câu 87 Giả sử Khi giá trị là:
A. 30. B.40. C.50. D.60.
Hướng dẫn giải
Chọn B
Ta có
Câu 88 Biết Mệnh đề sau đúng?
A. B.
C. D.
Hướng dẫn giải:
Chọn D
Vậy
Câu 89 Nếu giá trị
A. B. C. D.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Ta có
1 4
2 2
0 3
4
3
3 d dt 10 dt 3ln 10
3
t x
K x t
t t t t
x
5
3ln 3ln3 3ln 4, 12
6 a b a b
3 2
3 2 d ln 7 ln 3
1
x x
x a b c
x x
a b c T a 2b23c34
T T 6 T 3 T 5
3 3
2
2 2
2
3 2d 1 d ln 1 ln ln 1
1
x x x
x x x x x
x x x x
1 1
a b c
2
2
T a b c
0
1
3 .ln2
2
x x
I dx a b
x
a2b0 0
1
0
3 1d 3 11 21 d 11 21ln 2 21ln2 19
1
2 2
x x x
I x x x x x
x x
5
3 d ln 5 ln 2
3 x a b
x x
a b,
2
a b 2a b 0
0
a b a b 0
5
2
1
3 d 1 d
3 x x
x x x x
ln | | ln |x x 3|
15 ln ln
1,
a b
3 2
2 d ln 5 ln 3ln 2
2
x
x a b
x x
a b,
P2a b1
P P7 15
2
P 15
2
(170)
Do , ,
Câu 90 Cho , với , , số hữu tỉ Tính
A. B. C. D.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Ta có
Câu 91 Biết với , , Hỏi giá trị thuộc khoảng sau đây?
A. B. C. D.
Hướng dẫn giải
Chọn D
Ta có: ,
Câu 92 Biết với số nguyên Tính
A. B. C. D.
Hướng dẫn giải
3 2
2 d
2
x x x x
3 2 21 d 11 d
4
x
x x
x x x x
3 2 21 d 2 3 1 11 d
4 2x 1x x x x 1x x
3 21ln 2 3 1 11 d
4 x x x 1x x
3 21ln 2 3 1 11ln
4
x x x x
1 ln10 ln 3 11 ln2 ln1
4
1 10 11 6ln ln
4
1
ln5 ln ln3
11
ln ln3 ln5
4
5ln5 5ln3 3ln
2
5
a
2
b 15
2
P
3
3 d ln ln ln
3
x
x m n p
x x
m n p2
S m n p
6
S S 4 S 3 S 5
3 d x x x x
3 d x x x x
2
d x x x x x
2 d
2
x x
x
x x x x
3 12 d d
1 x x
x x
2ln
x1
13ln
x2
13 2ln ln ln ln 3
4
2ln ln ln
2ln ln3 ln5
2 1 m n p
22
2 1
S 2 d ln x
x a b
x
a b b0 2a b
8;10
6;8
4;6
2;4
2
2 2
0 0
1
d d ln ln
1
x x
x x x x x
x x
a0 b32a b
4
dx ln 2 ln 3 ln 5
I a b c
x x
a b c, , S a b c6
(171)Cách 1:
Suy
Cách 2:
Ta có:
Suy
Câu 93 Biết , với , số nguyên thuộc khoảng nghiệm phương trình sau đây?
A. B. C. D.
Hướng dẫn giải
Chọn B
Ta có
Suy , nghiệm phương trình
Câu 94 Biết với , số nguyên Tính
A. B. C. D.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Ta có
Vậy , Suy
Câu 95 Biết , Giá trị biểu thức
bằng
A. B. C. D.
Hướng dẫn giải
Chọn D
Khi đó:
Câu 96 Tìm giá trị để
A. B. C. D.
Hướng dẫn giải:
4
4
2
3
3
1 d d ln ln4 ln3 4ln ln ln 5
1
x
I x x
x x x x x
4,
a b c S 2
4 4
2
3 3
1 d d 1d d ln ln ln ln 4ln ln ln 5
1
I x x x x
x x x x x x
4,
a b c S 2
2
d 1
4
x
x x ab
a b
7;3
a b2
2x x x24 12 0x x25 0x x2 9
2
2
1
d d
4 2 1
x x
x x x
2
2
1 d
2 x x
2
1
1
2 1x
1
1
6
6
a b
2
a b
a b x24 12 0x
5
3
1d ln
1
x x b
x a
x
a b S a2b2
S S5 S2 S 10
5
5
2
3 3
1d d ln 1 25 ln 6 ln ln3
1 2 2
x x
x x x x x
x x
8
a b3 S a 2b 8 2.3 2
3
0
d ln 2 ln 5 ln 7
2
x
a b c
x x
a b c, ,
2a3b c5
3
0
d
2
x
x x
3
0
1 1 d
2 x x x
ln ln 42
x x
301ln5 1ln7 1ln 2
2 2
2a3b c 2.1 3.1
2 2
a
4
3
1 d ln
1 x a
x x
12
3
1
(172)Câu 97 Cho với , số nguyên Mệnh đề ?
A. B. C. D.
Hướng dẫn giải
Chọn D
Ta có:
Do ,
Vậy
Câu 98 Biết Tính
A. B. C. D.
Hướng dẫn giải
Chọn D
Ta có:
Nên
Vậy
Câu 99 Cho với , , số nguyên Mệnh đề đúng?
A. B. C. D.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Ta có:
Vậy
Câu 100 Biết Tính
A. B. C. D.
Hướng dẫn giải
Chọn D
4
3
1 d 1 d
1 x x
x x x x
2 2
ln ln ln ln ln ln
1 3
x a x a
1 ln 2 ln 3
1 dx a b
x x
a b2
a b a2b0 a b 2 a2b0
1
0
1
ln ln
0
dx
x
x
1
0
1
ln ln ln
2
dx
x
x
1
0
1 ln ln ln 2 2ln ln 3
1 dx
x x
a2 b 12
a b
3 2
5 12 d ln ln ln
5
x
x a b c
x x
S 3a2b c3 14 2 11
2 12 x x x
12 x x x
A B x x
A B x A B
x x
5
3 12
A B A
A B B
2
5 12 d
5 x x x x
3 22 d d
2 x x
x x
2ln x2 323ln x3323ln ln5 2ln
4ln ln5 3ln 6 S 3a2b c 11
2
1 d ln 2 ln 3 ln 5
5 x a b c
x x
a b c4
a b c a b c 3 a b c 2 a b c 6
2 2
2 1
1
1 d 1 d ln 2 ln 3
5 x x x x
x x x x
ln ln 5
ln ln 4
2ln ln ln 4ln ln ln
4 1
a b c
2
3
1 d ln 1 2 3
6 11
m n p
x
x x x x C
x x x
4
mnp
(173)Ta có:
Suy
Vậy
Câu 101 Cho với , số nguyên Mệnh đề sau đúng?
A. B. C. D.
Hướng dẫn giải
Chọn B
Ta có
Suy
Câu 102 Biết tìm giá trị để
A. B. C. D.
Hướng dẫn giải
Chọn B
Ta có:
Mà
Mặt khác ta có
Vậy để
2
3 6 11 61 1 21 3 1 2 3
x x A B C
x x x x x x x x x
2 1 2 3 1 3 1 2
1 3
A x x B x x C x x
x
x x x x x x
2 1 2 3 1 3 1 2
x A x x B x x C x x
1
5
6
A B C A
A B C B
A B C C
1 d d 5 d 5 d
6 11
x
x x x x
x x x x x x
5
5ln x x x C
4 m n p 4
3 2
8 d ln ln
2
x
x a b
x x
a b3
a b a2b11 a b 5 a2b11
3
2
2
8 d d
2
x
x x
x x x x
3ln x1322ln x2 23 7ln 2ln57 a b 11 a b
1
0
2 3d ln3
2 x x x b x a
a b, 0
k
2017 d lim 2018 ab x k x x x
k k0 k0 k
1
2
0
2 3d d
2
x x
x x x
x x
1 3ln 2 3ln3
3x x
3 a b 8
d d
ab
x x
2017 d lim 2018 ab x k x x x
2 1 2017
1 lim 2018 x k x x
2 2017 lim 2018 x k x k x
2017 d lim 2018 ab x k x x x (174)TÍCH PHÂN HÀM VƠ TỈ Câu 103 Tính tích phân
A. B. C. D.
Hướng dẫn giải
Chọn B
Ta có
Câu 104 Biết Giá trị là:
A. – 1 B.– 2 C.– 3 D. – 4
Hướng dẫn giải
Biết Giá trị là:
Ta có:
Chọn B
Câu 105 Tích phân
A. B. C. D.
Hướng dẫn giải
Chọn D
Ta có:
Câu 106 Cho , Tính
A. B. C. D.
Hướng dẫn giải
Chọn B
Ta có
Do , ,
Câu 107 Biết tích phân với , số thực Tính tổng
A. B. C. D.
Hướng dẫn giải
2
0
4 d
I
x x13 13
3
4
2
0
4 d
I
x x
2 1
2
4 dx x
2
1 2 1
4 x
13
3
1
0
1
6
a
I
x x dx b4
a b
1
0
1
6
a
I
x x dx b4
a b
1
1
3
0 0
2 4
1 1,
2 3
x
I x x dx x a b a b
2
0
1
2
I dx
x
12
I I 2 2
2
I I 2
2 2
0
1 2 2 2
2
I dx x
x
1
0
d
3
2
x
a b a
x x
a b, *
a2b2
a b a2b8 a2b 1 a2b5
1
0
d
2
x
x x
1
0
2 d
x x x
1
3
0
2 2 1
3 x x
8
2
3
2
a b3 a2b8
1
0
3 d
9
3
x a b
x
x x
a b T a b10
(175)Ta có
Câu 108 Tích phân có giá trị là:
A B.
C. D.
Hướng dẫn giải
Tích phân có giá trị là:
Ta có:
Chọn B
Câu 109 Tích phân có giá trị là:
A. B. C. D.
Hướng dẫn giải
Tích phân có giá trị là:
Ta có:
Chọn A
Câu 110 Biết Với , , số nguyên dương Tính
A. B. C. D.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Ta có
1 1
0 0
3
d d d
3
x x x
x
x x x x x
x
x x
1
1 1 1 3 3
2 2
0
2
3 d
9
x x x x x
16 3 17 3 17
9 9
0
1
a
I
x x dx
5
32 4
5 15
a a
I
5
2 4
5 15
a a
I
5
32 4
5 15
a a
I
5
2 4
5 15
a a
I
0
1
a
I
x x dx
3
2
0 0 0
5 5 3
2
0
1 1 1
2 2
= 1 = 1
5 15
a a a a a
a a
I x x dx x x dx x dx x dx x dx
x x x x
1
1 1
x
I dx
x
4 2
I 2
3
I
3
I
3
I
1
1 1
x
I dx
x
1
1 3
2
1 1
2
1 1 1
3
1 1
x x
x I dx x dx x x
x x
4
3
2 d
2
x x a b
I x
c
x x
a b c a b c 39 27 33 41
4
4 2 2 3 25 25 8
d d
2 6
2
x x x
x x x x x
x x
(176)Câu 111 Biết với số nguyên dương Tính
A. B. C. D.
Hướng dẫn giải
Chọn B
Ta có
Vậy ; ; nên
Câu 112 Biết với , , số nguyên dương Tính
A. B. C. D.
Hướng dẫn giải
Chọn D
Ta có: , nên:
Mà nên Suy ra:
TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC Câu 113 Tính tích phân
A. B. C. D.
Hướng dẫn giải
Chọn D
Ta có
Câu 114 Tính tích phân
2
d
2
x
a b c
x x x x
a b c, ,P a b c
2
P P8 P46 P22
2
d
2
x
x x x x
12
d
2
x
x x x x
12
2
d
2
x x
x x x
2
1 d
2 x x x
2
2
x x
2 3
2
a b3 c3 Pa b c 8
2
1
d
1
x
I a b c
x x x x
a b cP a b c
24
P P12 P18 P46
1
x x x
1;2
2
1
d
1
x I
x x x x
2
1
d
1
x
x x x x
2
1
1 d
1 1
x x x
x x x x x x
2
1
1 d
1
x x x
x x
2
1
1 d
1 x
x x
2
2 x x
4 2 2 32 12 2
I a bc
32 12
a b c
32 12 46
P a b c
0
sin dx x
3
3
2
3
0
1
sin d cos3
3
x x x
1
1
3
2
0
sin d
4
I x x
(177)A. B. C. D.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Câu 115 Tích phân bằng?
A B. C. D.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Ta có
Câu 116 Biết , với , số hữu tỉ Tính
A. B. C D.
Hướng dẫn giải
Chọn B
Ta có: Vậy
Câu 117 Số số nguyên thỏa mãn
A. B. C. D.
Hướng dẫn giải
Chọn B
Ta có
Vì
Vì có tất số nguyên
Câu 118 Tích phân có giá trị là:
A. B. C. D. Cả A, B, C
sai
Hướng dẫn giải
4
I I 1 I 0 I 1
2
0
sin d
4
I x x
2
0
cos
4 x
cos cos
3
d sin
x I
x
cot cot
3
cot cot
3
cot cot
3
cot cot
3
3
d sin
x I
x
3
4
cotx
2
3
cosxdx a b
a b T 2a6b3
T T 1 T 4 T 2
2
3
cosxdx
2
sinx
2
2a6b 2
cot cot
3
0
cos x d
m
x
643 1284 1285 642
0
1
cos x sin sin sin 2 ,
0
2 2
m
m k
dx x m m mk m k
0;2017
k2 2017 4043 1284,06m k
k 1284 m
2
0
sin
I xdx
(178)Tích phân có giá trị là:
Cách 1:
Chọn A
Cách 2: Dùng máy tính cầm tay
Câu 119 Có số thực thuộc khoảng cho ?
A. B. C. D.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Ta có:
Do đó, có số thực thỏa mãn yêu cầu tốn
Câu 120 Tích phân có giá trị là:
A. B. C. D.
Hướng dẫn giải
Tích phân có giá trị là:
Cách :
Chọn C
Cách 2: Dùng máy tính cầm tay
Câu 121 Tích phân có giá trị là:
A. B. C. D.
Hướng dẫn giải
Tích phân có giá trị là:
Cách 1:
2
0
sin
I xdx
2
2 0
sin cos
I xdx x
b
;3
4cos db
x x
8
4cos d
b
x x
2sin 2x b 1 sin2
b
12
5 12
b k
b k
b
2
2
sin cos
I x x dx
1
I I 2 I 2 I 1
2
2
sin cos
I x x dx
0;2017
m
2
2 2
sin cos cos sin
I x x dx x x
6
2
sin cos3
I x x dx
2
I
4
I
4
I
3
I
6
2
sin cos3
I x x dx
6 1 1 6 3
sin cos3 cos2 sin
2
I x x dx x x
(179)Cách 2: Dùng máy tính cầm tay
Câu 122 Kết tích phân viết dạng , Khẳng định sau sai?
A. B. C. D.
Hướng dẫn giải
Chọn B
Vậy , Suy Vậy B sai
Câu 123 Cho tích phân với Tính
A. B. C. D.
Hướng dẫn giải
Chọn D
Vậy
Câu 124 Cho tích phân , Tính
A. 3 B. C. 2 D.
3
Hướng dẫn giải
Chọn B
Ta có 2
20
1
4 cos d sin
2
x x x x x x
Suy a2, b2, c1 nên a b c 1
Câu 125 Biết 6
3
3 4sin d
6
a c
x x
b
, a,b nguyên dương ab tối giản Tính a b c
A. B.16 C. 12. D. 14
2
0
2 sin dx x x
a b2
a b a b 5 2a3b2 a b 2
2
2
0
1
2 sin d cos 1
4
x x x x x x
4
a b2 a b 6
2
0
cos2 d sin
x
x a b x
a, b P 1 a3b29
P P29 P11 P 25
2
0
cos2 d sin
x x x
2
0
1 2sin d sin
x x x
2
0
1
2sin d
1 sin
x x
x
2
0
1
2sin d
1 cos
x x
x
2
2
1
2cos d
2cos
2
x x x
x
1
2 tan
2 2 0
x
3
3,
a b
3
1 25
P a b
2
0
1
4 cos dx x x c
a b
(180)Chọn D
Ta có:
6
2
0
3 4sin x dx cos 2x dx
6
0
5 2cos dx x
5 3
6
Suy a5, b6, c3
Vậy a b c 14
Câu 126 Cho giá trị tích phân
3
2
sin cos
I x x dx a
,
3
3
cos2 sin
I x x dx b
Giá trịcủa a + b là: A. 3
4
P B. 3
4
P C. 3
4
P D. 3
4
P
Hướng dẫn giải
Cho giá trị tích phân
3
2
sin cos
I x x dx a
,
3
3
cos2 sin
I x x dx b
Giá trịcủa a + b là: Cách 1: Ta có:
3 3
1
2
1 3 3
sin cos cos2 sin
2 4
I x x dx x x a
3 3
2
3
1 3
cos2 sin sin cos
2 2
I x x dx x x b
3 3
4
P a b
Chọn A
Cách 2: Dùng máy tính cầm tay giá trị quen thuộc học sinh nhận
Câu 127 Cho giá trị tích phân
2
3
sin3 cos3
I x x dx a
,2
2
1 1
1
e
e
I dx b
x x x
Giátrịa.b gần với giá trị sau đây?
A. B.16 C. 10. D.
Ta có:
2 2
3 3
1
3
1 2
sin3 cos3 cos3 sin3
3 3
I x x dx x x a
(181)
2
2
1 1 ln ln 1 ln 2 1 ln ln 1
1
1 ln2 ln ln
e e
e e
I dx x x e e
x x x x e e
b e e
e e
0,2198
a b
Chọn D
Câu 128 Tích phân
2
2
sin cos
I ax ax dx
, với a0 có giá trị là:A. sin sin
2 4
I a a
a
B. sin sin
2 4
I a a
a
C. sin sin
2 4
I a a
a
D. sin sin
2 4
I a a
a
Hướng dẫn giải
Tích phân
2
2
sin cos
I ax ax dx
có giá trị là:Ta có:
2
2 2
2 2
2
1
sin cos cos sin sin
4
2 sin sin
2 4
I ax ax dx ax ax ax
a a a
a a
a
Chọn B Câu 129 Biết
π
3
2
0
cos sin d π
1 cos
x x x x b
I x
x a c
Trong a, b, c số nguyên dương, phân sốb
c tối giản Tính
2 2
T a b c
A. T 16 B.T 59 C. T 69 D. T 50
Hướng dẫn giải
Chọn C
Ta có
0
cos sin d
1 cos
x x x x
I x
x
3
0
sin d
1 cos
x
x x
x
2
0
d cos sin d
x x x x x
2 2
2
1
cos cos
8 x x
2 1
8
(182)Câu 130 Cho hàm số f x
asin 2x b cos2x thỏa mãn '2
f
b
a
adx
Tính tổng a bbằng:
A. B. C. D.
Hướng dẫn giải
Chọn C
' cos2 sin
f x a x b x
' 2
2
f a a
1
d d 3
b b
a
a x x b b
Vậy a b 1
Câu 131 Cho tích phân
3
cos cos4 dx x x a b
, a, b số hữu tỉ Tính2
e loga
b
A. 2 B. 3 C 1
8 D.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Ta có:
3
cos2 cos dx x x
3
1 cos6 cos d
2 x x x
0
3
1 1sin 6 1sin 2
2 x x
1 38Do ta có a0,
8
b Vậy ealog2 b
e0 log218
2Câu 132 Cho F x
nguyên hàm hàm số1 sin
y
x
với x \ k ,k
, biết
0F ; F( ) 0 Tính 11
12 12
PF F
A. P2 B. P0 C.Không tồn P D. P1
Hướng dẫn giải
Chọn D
Ta có 11
0
11
0
12 12 12 12
PFF F F F F F F
0
11
12 12
1 d d 1
1 sin 2x x sin 2x x
Ta có
21 1
1 sin sin cos 2cos
4
x x x
x
(183)
0
12 12
1 d 1tan 1 3
1 sin 2x x x
;
11 11
12 12
1 d 1tan 1 3
1 sin 2x x x
Vậy P1
Câu 133 Cho M , N số thực, xét hàm số f x
M.sin πxN.cos πx thỏa mãn f
1 3
1
0
1 d
π
f x x
Giá trị f 14
A. 5π
2 B. 5π 2 C. π 2 D.
π 2
Hướng dẫn giải
Chọn A
Ta có f
1 3 M.sin πN.cos π 3 N 3Mặt khác
1
0
1 d
π
f x x
1
0
1 sin π 3.cos π d
π
M x x x
1
0
3
cos π sin π
π π π
M
x x
3
π π π
M
M 2
Vậy f x
2sin π 3cos πx x nên f
x 2πcos π 3πsin πx x 5π4
f
Câu 134 Tích phân
2
2
cos cos
I x xdx
có giá trị là:A.
4
I B.
4
I C.
4
I D.
4
I
Hướng dẫn giải
Tích phân
2
2
cos cos
I x xdx
có giá trị là:Ta biến đổi:
1
2 2 2
2 2
0 0 0
1
cos cos cos sin cos sin
3 2
t
I x xdx x x dx xdx t x x
, với t sinx Chọn D
Câu 135 Biết tích phân
sin
I xdx a
Giá trị1
2
1 ln 2 ln5
a x
I dx b c
x x
Thương số bvà c là:
A. – 2 B.– 4 C.2 D.4
(184)Biết tích phân
sin
I xdx a
Giá trị1
2
1 ln 2 ln5
a x
I dx b c
x x
Thương số bvà c là: Ta có:
2 3 sin cosI xdx x
1 2 2
5
2 3
8
2
1 1 ln 4ln 2 1ln 5 4, 4
3 3 3
a
x x b
I dx dx t b c
x x x x c
Chọn B
Câu 136 Cho
3
2 6
0
sin cos cos3 sin sin
I x x dx a x bx c x
Giá trị 3a2b4c là:A. – 1 B.1 C.– 2 D. 2
Hướng dẫn giải
Cho
3
2 6
0
sin cos cos3 sin sin
I x x dx a x bx c x
Giá trị 3a2b4c là:Ta có:
3 3
2
0 0
1 cos 1
sin cos sin cos3 sin
2
1, 1, 3 2 4 1
3
x
I x x dx x dx x x x
a b c a c c
Chọn BCâu 137 Cho tan dn n
I
x x với n Khi I0I12
I2I3 I8
I9I10 A.
1 tan r r x C r
B.
1 tan r r x C r
C.
10 tan r r x C r
D.
1 10 tan r r x C r
Hướng dẫn giải
Chọn A
2
tann tan d
n
I
x x x tan 12 dcos n x x x
tann 2x tan
x
dx In
tan n n x I C n tan 1n
n n
x
I I C
n
0 2 10
I I I I I I I =
I10I8
I9I7
I3I1
I2I0
9
tan tan tan tan
9
x x x
x C tanr r x C r
TÍCH PHÂN HÀM MŨ – LƠGARIT Câu 138 Tích phân 1e dx
x
(185)A. e 1 B. 1
e C.
e e
. D.
e
Hướng dẫn giải
Chọn C
Ta có:
0
1 e
e d e
0 e e
x x
x
Câu 139 Tích phân 2018
0
2 d
xI x
A. 220181. B. 22018
ln
C. 22018
ln D. 2018
Hướng dẫn giải
Chọn D
2018
2018 2018
0
2
2 d
ln ln
x x
I x
Câu 140 Biết
1
1 ( )d
2
f x x
0
1
1 ( )d
2
f x x
Tính tích phân4
4e x ( ) d
I
f x xA. 2e8
I . B. I 4e 28 . C. I 4e8. D. I 2e 48 .
Hướng dẫn giải
Chọn A
Ta có
4
2
0
4 e
4e ( ) d d d
0
x x
I f x x f x x f x x
12 e 2 2.e
2
I
Câu 141 Cho
2
0
e d x
t
F x
t Tính F
2A. F
2 4e4 B. F
2 8e16 C. F
2 4e16 D. F
2 e4Hướng dẫn giải
Chọn C
Gọi G x
nguyên hàm hàm số et2
2
0F x G x G
2 F x x G x ex4
x
2 4.e16 F
Câu 142 Cho hàm số
1 d ln x
x
g x t
t
với x0 Đạo hàm g x
A.
ln
x g x
x
B.
ln
x g x
x
C.
ln
g x
x
D. g x
lnxHướng dẫn giải
Chọn A
Giả sử F t
nguyên hàm hàm sốlnt
(186)Ta có
1 d ln x
x
g x t
t
F x
2 F x
Suy g x
F x
2 F x
F x
2 F x
12.2 lnx x lnx
ln
x x
Chú ý: ta có công thức
v x
u x
f t dt v x f v x u x f u x
Câu 143
3
3
d
f x x
Gọi S tập hợp tất số nguyên dương k thỏa mãn2
1
2018.e 2018
e dkx x k
k
Số phần tử tập hợp SA. B. C.Vô số D.
Hướng dẫn giải
Chọn A
Ta có:
2
1
1
e dkx ekx
x k
2
e k ek k
2
1
2018.e 2018
e dkx k
x
k
2
e k ek 2018.e 2018k
k k
e e 2018 e 1k k k
(do k nguyên dương)
e ek
k 2018
ek 2018
0k ln 2018 7.6
Do k nguyên dương nên ta chọn kS (với S
1;2;3;4;5;6;7
)Suy số phần tử S Câu 144 Cho
0
e d
1 e
nx
n x
I x
với nĐặt un 1.
I1I2
2
I2I3
3
I3I4
n I
nIn1
nBiết limun L Mệnh đề sau đúng?
A. L
1;0
B. L
2; 1
C. L
0;1
D. L
1;2
Hướng dẫn giải
Chọn A
Với n,
1
1
e d
1 e
n x
n x
I x
1
0
e e d e
nx x
x x
1
0
e
e d d
1 e
nx nx
x
x x
1
0
e dnx n
x I
1
0
e dnx
n n
I x I
1 1 e
n
n n
I I
n
Do
1 e 1
1 e 2
1 e 3
e
n
nu n
1
e e e e n
n
u
Ta thấy un tổng n số hạng đầu cấp số nhân lùi vô hạn với
1
1 e
u e
q , nên
1
e
limu 1
e
L
(187)(188)TÍCH PHÂN ĐỔI BIẾN SỐ
PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN ĐỔI BIẾN SỐ DẠNGCho hàm số y f x
liên tục đoạn [ ; ].a b Giả sử hàm số uu x( ) có đạo hàm liên tụctrên đoạn [ ; ]a b u x( ) Giả sử viết f x( )g u x u x x( ( )) '( ), [ ; ],a b với g liên tục đoạn [ ; ]. Khi đó, ta có
( )
( )
( ) u b ( )
b
a u a
I
f x dx
g u duDấu hiệu nhận biết cách tính tính phân
Dấu hiệu Có thể đặt Ví dụ
1 Có f x( ) t f x( )
3
0 1
x dx I
x
Đặt t x12 Có ( )n
ax b t axb 2016
0 ( 1)
I
x x dx Đặt t x13 Có f x( )
a t f x( )
tan
2
0 cos
x e
I dx
x
Đặt t tanx34 Có dx vàlnx x
ln
t x hoặc biểu thức
chứa lnx
ln (ln 1)
e xdx
I
x x
Đặt t lnx15 Có x
e dx
x
te hoặc biểu thức
chứa x
e
ln 2
0
x x
I
e e dx Đặt t 3ex16 Có sinxdx tcosx
0 sin cos
I x xdx
Đặt tsinx7 Có cosxdx t sinxdx
3
sin 2cos
x
I dx
x
Đặt t2cosx18 Có 2
cos dx
x ttanx
2
4
4
0
1 (1 tan )
cos cos
I dx x dx
x x
Đặt ttanx
9 Có 2
sin dx
x tcotx
cot cot
4
2 cos2 2sin
x x
e e
I dx dx
x x
Đặt tcotxBÀI TẬP
Câu 1: Cho hàm số y f x
liên tục
a b,
Giả sử hàm số uu x
có đạo hàm liên tục
a b,
u x
,
x
a b,
, f u
liên tục đoạn
,
Mệnh đề sau đúng?xa A.
d
db b
a a
f u x u x x f u u
B.
d d
u b b
u a a
f u x u x x f u u
C.
d d
u b b
a u a
f u x u x x f u u
D.
d
db b
a a
f u x u x x f x u
HÀM ĐA THỨC VÀ HÀM HỮU TỈ Câu 2: Tínhtíchphân
3
1000
1
(189)A. 2003.2 1002
1003002
I B.
1001
1502.2 501501
I C.
1002
3005.2 .
1003002
I D.
1001
2003.2 501501
I
Câu 3: Giá trị tích phân
100
0
1 100 d
x x x x
A. B.1 C. 100 D.một giá trị khác
Câu 4: Tích phân 2
0
d
x x
x
A. 1log7
2 B.
7 ln
3 C.
1 7ln
2 D.
1 3ln
Câu 5: Cho tích phân 5 3
1
5 ln
8
dx
I a b
x x
Khi a2bA.
2 B.
5
4 C.
5
8 D.
5 16
Câu 6: Tích phân
1
3
x dx I
x
kết I aln 2b Giá trị a+b là:A.
16 B.
13
16 C.
14
17 D.
4 17
Câu 7: Tích phân 2
1
2
x
I dx
x
có giá trị là:A. I ln3 B. I ln C. I ln3 D. I ln
Câu 8: Cho 32
0
1 ln
1
x
dx a
x
,a là số hữu tỉ Giá trị a là:A. B.3 C.4 D.5
Câu 9: Tích phân 2
1
ax
I dx
ax
,với a 2 có giá trị là:A ln ln
2
a
I B ln ln 2
a
I
C ln ln
2
a
I D ln ln 2
a
I
Câu 10: Giả sử 2
3
d ln5 ln3 ln 2.( , , )
x a b c a b c x x
5
ln5 ln3 ln
dx
a b c
x x
Tính giá trịbiểu thức 2 3 2
S a b c
A. S 3 B. S6 C. S0 D. S 2
Câu 11: Biết 22
0
2 3 d ln
2
x x
x a b
x x
với a, b số nguyên dương Tính Pa2b2 (190)Câu 12: Tính
2 d
b
a
a x
I x
a x
(với a, b số thực dương cho trước)A I 22b 2
a b
B
b I
a b
C
2
1
1
a b
I
a b a
D
b I
a b
Câu 13: Cho hàm số f x
liên tục tích phân
0
tan d
f x x
2
2
d
x f x x
x
Tính tích phân
1
0
d
I
f x xA. I 6. B. I 2 C. I 3. D. I1
Câu 14: Cho hàm số y f x
có đạo hàm liên tục có đồ thị hình bên Tính tích phân
2
1
2 d
I
f x xA. I 2 B. I 1 C. I 1 D. I HÀM VƠ TỈ
Câu 15: Cho tích phân 13
1 dx x
, với cách đặtt
31
x
tích phân cho với tích phân sau đây?A
0
3 d
t t B1
d
t t
C1
3
t dt D1
3 d
t tCâu 16: Trongcáctíchphânsau,tíchphânnàocócùnggiátrịvới
1
I
x x dx A 1 122
t t dt B4
1 t t1dt
C.
03
t21
t dt2 D
3 2 2
1 x 1 x dx
Câu 17: Nếu
0
( )
1
x
dx f t dt
x
, với t 1x f t( ) hàm số hàm sốđây ?
A. f t( ) 2 t22t B. f t( )t2t C. f t( )t2t D. f t( ) 2 t22t
4
2
2 -1
-1
3
(191)Câu 18: Kết
0
1 d
2 1x x
A. B. C. D.
Câu 19: Tích phân
0
d
x x
A.
3 B.
3
2 C
1
3 D.
2
Câu 20: Cho
0
d ln ln
3
4
x a
x b c
x
với a, b, c số nguyên Giá trị a b c bằng
A. B. C. D.
Câu 21: Biết
0
1 d ln 2
2
I x a b
x
với a b, số nguyên Tính S a bA. S 3 B. S 3 C S 5. D S 7.
Câu 22: Tính tích phân
1
d
x x x
kết I aln3bln5 Giá trị a2ab3b2A. B. C. D.
Câu 23: Cho tích phân
0
d ln2
3
3
x
I a b
x
với a b, Mệnh đề sau đúng?A. a b 3 B. a b 5 C a b 5 D a b 3
Câu 24: Biết
2 1d
3
x x x a b
, với a b, số nguyên dương Mệnh đề sauA. a2b B. ab C. ab D. a3b
Câu 25: Cho
2
d 5ln , 5
4
a x
I a
x x
Khi giá trị số thực alàA. B 2 C 3 D 2
Câu 26: Cho
2
2
x
I dx a b
x
Giá trịa.b là:A. – 1 B.– 2 C.1 D.2
Câu 27: Với a b c, , R Đặt
2
1
4 x lnb
I dx a
x c
Giá trị tính abc :A B. 2 C 2 D.
Câu 28: Cho
1
1 ln
x c d
dx a b
x e
với c nguyên dương a, b, c, d, e số (192)A. 14 B.17 C 10 D. 24
Câu 29: Giá trị
3
0
d
x x I
x
viết dạng phân số tối giản ab (a, b số nguyêndương) Khi giá trị a7b
A. B.1 C. D. 1
Câu 30: Giả sử 64 3
1
d ln2
3
x
I a b
x x
với a b, số nguyên Tính giá trị abA. 17 B. C. 5 D. 17
Câu 31: Giả sử 4
1
1 x d b
x a a b
x c b c
với a b c, , ; 1a b c, , 9 Tính giá trị biểuthức C2b aa c
A. 165 B. 715 C. 5456 D. 35
Câu 32: Tập hợp nghiệm bất phương trình 2
0
d
x t
t t
(ẩn x) là:A.
;
B.
;0
C.
;
\ D
0;
Câu 33: Cho biết
3
0
d
1
x x mn
x với
m
n phân số tối giản Tính m7n
A. B.1 C. D. 91
Câu 34: Biết
2
d 35
3
x
x a b c
x x
với a, b, c số hữu tỷ, tính P a 2b c 7
A
9
B. 86
27 C. 2 D.
67 27
Câu 35: Biết
2
1
d
1
x
a b c
x x x x
với a, b, c số nguyên dương TínhP a b c.
A. P 44 B. P 42 C. P46 D. P48
Câu 36: Giả sử a, b, c số nguyên thỏa mãn
4
0
2 1d
2
x x
x x
3
4
1
1 d
2 au bu c u
,đó u 1x Tính giá trị S a b c
A. S 3 B. S 0 C. S1 D. S 2
Câu 37: Tích phân
2
0
a x ax
I dx
ax
, với a0 có giá trị là:A.
2
4
a a
I B.
2
2
a a
I C.
2
4
a a
I D.
2
2
a a
(193)Câu 38: Tích phân
2
1
I dx
x
có giá trị là:A. ln3
3
I B. ln 3
3
I C ln3
3
I D. ln 3
3
I
Câu 39: Tích phân
2
0 12
a
I dx
x
có giá trị là:A ln
a
I B. ln1
2
a
I
C. ln
2
a
I D ln
2
a
I
Câu 40: Tích phân
2
2 2 1
4
ax
I dx
ax x
Giá trị nguyên a là:A. a5 B. a6 C a7 D. a8
Câu 41: Cho
2
1 ln2
1
a dx
b x
,a và b là số hữu tỉ Giá trị ab là: A.
5 B.
5
2 C.
2
3 D.
3
Câu 42: Tích phân
37 5
3
0
3
x
I dx
x
có gái trị là:A. 87
5
I B. 67
5
I C. 77
5
I D. 57
5
I
Câu 43: Biết
4
0
2 1d ln 2 ln5 , ,
3
2 3
x x
a b c a b c
x x
Tính T 2a b c A. T B. T 2 C. T 1 D. T 3
Câu 44: Biết 2
1
d 3 2 1ln 3
2
1
x
a b c
x x
với a, b, c số hữu tỷ TínhP a b c A
2
P B. P 1. C
2
P D
2
P
Câu 45: Biết
1
d 2ln
1
4
x a
b
x x
với a, b số nguyên dương Giá trị a b
bằng
(194)Câu 46: Biết 3 3
2 11
1
1 2 1 d a
x x c
x x x b
, với a b c, , nguyên dương, ab tối giản ca Tính
S a b c
A. S 51 B. S67 C. S39 D. S 75
Câu 47: Cho số thực dương k 0 thỏa
2
ln
dx
x k
Mệnh đề sau đúng?A
2
k B.
2
k
C. 1
2 k D.
3
2
k
HÀM LƯỢNG GIÁC
Câu 48: Tìm khẳng định khẳng định sau
A.
1
0
sin 1x dx sin dx x
B.
1
0
cos 1x dx cos dx x
C
0
cos d cos d
2
x
x x x
D2
0
sin d sin d
2
x
x x x
Câu 49: Tính tích phân
π
3
sin d cos
x
I x
x
A.
2
I B.
2
I C. π
3 20
I D.
4
I
Câu 50: Cho
sin tan ln
8
b
I x xdx a
Chọn mệnh đề đúng:A. a b B. a b C. ab6 D. b
a
Câu 51: Biết
1 cos
I dx a
x
0
3
1
3
2
4
I x dx b
, a và b là số hữu tỉ Thươngsố a b có giá trị là: A 1
2 B.
1
3 C.
3
4 D.
2
Câu 52: Cho a
0
cos 2x
I dx ln
1 2sin 2x
Tìm giá trị a là:A. B.2 C.4 D.
Câu 53: Biết 4
0
1 tan
I x dx a
1
1
2 3
2
0 0
I x x dxbx cx
, a và b là số hữu tỉ Giátrị a + b + c là:
(195)Câu 54: Tích phân
0
sin
cos cos3
x
I dx
x x
có giá trị là:A. ln 2 ln
2 2 2
I
B. ln 2 ln
2 2 2
I
C. ln 2 ln
2 2 2
I
D. ln 2 ln
2 2 2
I
Câu 55: Tích phân 2
4
2 cos
sin
x x
I dx
x x
có giá trị là:A ln ln 2
4 16
I
B ln ln 2
4 16
I
C ln ln 2
4 16
I
D ln ln 2
4 16
I
Câu 56: Cho
4
0
sin ln tanx x dx
abln 2c với a, b , c số hữu tỉ Tính T 1 ca b
A. T 2 B. T 4 C. T 6 D. T 4
Câu 57: Xét tích phân
0
sin d cos
x
I x
x
Nếu đặtt
1 cos
x
, khẳng định đúng?A
2
d 4t 4t
I t
t
B1
2
d 4t 4t
I t
t
C
2
4 d
I
t t D.
2
4 d
I
t tCâu 58: Cho
0
1 sin cos d
64
n
x x x n
Tìm giá trị n
A. n3 B. n4 C. n5 D. n6
Câu 59: Cho tích phân
3
sin d ln5 ln 2
cos
x
x a b
x
với a b, Mệnh đề đúng?A. 2a b 0 B. a2b0 C. 2a b 0 D. a2b0
Câu 60: Tích phân
2
3
cos sin
cos cos
x
x x
I dx
e x x
(196)A
3
2
2 ln
2
e e I
e
. B
3
2
2 ln
2
e e I
e
C
3
2
2 ln
2
e e I
e
. D
3
2
2 ln
2
e e I
e
Câu 61: Tích phân
3
sin cos
x
I dx
x
có giá trị là:A. 19 17
2
I B.
4
19 17
I C. 19 17
2
I D.
4
19 17
I
Câu 62: Tích phân
3
2
sin
cos sin
x
I dx
x x
có gái trị là:A. 3ln 3
16
I
B. 3ln 3
8
I
C. 3ln 3
8
I
D. 3ln 3
16
I
Câu 63: Tích phân 2 2
0
1
9cos sin
I dx
x x
có giá trị là:A. ln2
3
I B. ln2
2
I C. ln2
6
I D. I ln
Câu 64: Tích phân
20
sin cos
1
sin cos
a
x x
I dx
x x
Giá trị alà:A
2
a B
4
a C
3
a D
6
a
Câu 65: Tích phân
3
sin
sin cos
x
I dx
x x
có giá trị là:A. ln 1
12
I B ln
12
(197)C
3 ln
2
12
I
.D.
3 ln
12
I
Câu 66: Chobiết
0
cos ln 2
sin cos
x
dx a b
x x
với a b làcácsốhữutỉ.Khiđó ab bằng:
A.
4 B.
3
8 C.
1
2 D.
3
Câu 67: Biết 2018 2018 2018
0
sin d
sin cos
a
x x
x
x x b
a, b số nguyên dương Tính P2a bA. P8. B. P10. C.P6. D. P12.
Câu 68: Cho tích phân
2
sin cos
xdx I
x
(với 1) giá trị I bằng:A. B 2 C. 2 D
Câu 69: Có giá trị tham số m khoảng
0; 6
thỏa mãnsin d
5 4cos
m
x x
x
?A. B.12 C. D.
Câu 70: Cho 2
0
cos d ln4 ,
sin 5sin
x
x a b
x x c
tính tổng S a b cA. S1 B. S4 C. S3 D. S 0
Câu 71: Cho tích phân 2
0
2 cos cos sin
d ln
cos
x x x x x c
I x a b
x x
với a, b, c sốhữu tỉ Tính giá trị biểu thức .
Pac b
A P3 B
P C.
2
P D. P 2
Câu 72: Cho
2
2
sin d ln4
cos 5cos
x
x a b
c
x x
, với a, b số hữu tỉ, c0 Tính tổngS a b c.
A. S 3 B. S0 C. S1 D S 4
Câu 73: Cho
2
0
4cos 2x 3sin ln cosx x 2sin dx x cln a
b
, a, b, c*, ab phânsố tối giản Tính T a b c.
(198)Câu 74: Biết 6 3
3
sin d 3
1
x
x c d
a b
x x
với a b c d, , , số nguyên Tínha b c d
A. a b c d 28. B a b c d 16. C a b c d 14. D.
22
a b c d
Câu 75: Biết
2
cos d
1
x x
x a
b c
x x
với a, b, c, d số nguyên Tính M a b cA. M 35 B. M 41 C. M 37 D. M 35
Câu 76: Cho
1
0
d 2018
f x x
Tính
12
0
cos sin dx f x x
A 1009
2
I B. I 1009 C. I 4036 D. I 2018
Câu 77: Cho f hàm số liên tục thỏa
1
0
d
f x x
Tính
2
0
cos sin d
I x f x x
A. B. C. D.
Câu 78: Cho hàm số f x
liên tục
1
1
d 12
f x x
,
2
3
2cos sin d
f x x x
A. 12 B.12 C. D. 6.
Câu 79: Cho hàm số y f x
liên tục thỏa mãn
9
1
4
f x dx
x
/2
0
sin cos
f x xdx
Tích phân
3
0
I
f x dxbằngA. I 2 B. I 6 C. I 4 D. I 10
HÀM MŨ – LÔGARIT Câu 80: Cho 1
0
d x
I
xe x.Biết2
ae b
I Khiđó, a b
A. B. C. D.
Câu 81: Nguyên hàm
2
sin
sin e x
f x x
A. 2 sin2 1
sin e x
x C B.
sin
e
sin
x C x
C.
2
sin
e x
C
D
2
sin
e
sin
x C x
Câu 82: Biết
1
1
3 d , ,
5
x a b
e x e e c a b c
(199)A. T 6 B. T 9 C. T 10 D. T 5
Câu 83: Tích phân ln12
ln5
4
x
I
e dx có giá trị là:A. I 2 ln3 ln5 B I 2 2ln3 2ln5
C. I 2 2ln3 ln5 D I 2 ln3 2ln5
Câu 84: Tìm tất giá trị dương tham số m cho 500
0 e d e
m x m
x x
A. 2250 2500 2
m B m 210001 C m2250 25002. D m 210001
Câu 85: Cho
d
e e e
1
x x
a b c
x
Với a, b, c số nguyên Tính S a b cA. S1 B. S2 C. S0 D. S 4
Câu 86: Cho tích phân sin2
sin cos d x
I e x x x
Nếu đổi biến số tsin2 x thì:A 1
0
1 d d
2
t t
I e t te t
B 1
0
1 d d
2
t t
I e t te t
C 1
0
2 td td
I e t te t
. D 1
0
2 td td
I e t te t
Câu 87: Tính
1 d
lim
n
x x
n x
e
A. 1 B.1 C. e D.
Câu 88: Tính tích phân 2016
2
d x
x
I x
e
A. I0 B.2018
2 2017
I C
2017
2 2017
I D
2018
2 2018
I
Câu 89: Cho biết
1 2
d
2 x
x e a
x e c
b
x
với a, c số nguyên, b số nguyên dương ab
phân số tối giản Tính a b c
A. B. C. D 3
Câu 90: Biết tích phân ln
0
e d ln 2 ln 3
1 e
x
x xab c
, với a, b, c số nguyên TínhT a b c.
A. T 1 B. T 0 C. T 2 D. T 1 Câu 91: Giá trị
3
3
3
9
cos
2
1
sin e x d
(200)A. 0,046 B. 0,036 C. 0,037 D. 0,038
Câu 92: Cho
2
0
e
d e ln e
e
x x
x x
x a b c
x
với a, b, c Tính P a 2b cA. P1 B. P 1 C. P0 D. P 2 Câu 93: Biết 1
0
5 e e
d e ln
2 e
x x
x x a c
x a b
x với a, b, c số nguyên e số
logarit tự nhiên Tính S 2a b c
A. S10 B. S 0 C. S 5 D. S 9
Câu 94: 3
0
2 e d 1 ln e
e.2 eln e
x x
x
x x
x p
m n
với m, n, p số nguyên dương Tínhtổng Sm n p
A. S 6 B. S 5 C. S 7 D. S 8
Câu 95: Cho tam thức bậc hai f x
ax2bx c , , ,
a b c,a0
có hai nghiệm thực phân biệt1,
x x Tính tích phân 2
1 d
x ax bx c
x
I
ax b e xA I x1x2 B 14
x x
I C. I 0 D.
2
x x I
Câu 96: Với cách đổi biến u 3ln x tích phân
1
ln d
1 3ln e
x x
x x
trở thànhA. 2
2 1 d
3
u u B.
2
2 1 d
9
u u C.
2
2
u 1 du D2
1
2 1d
9
u
u u
Câu 97: Biết e
1
1 ln 2d .e ln e
1 ln e
x x
x a b
x x
a, b số nguyên Khi tỉ số ab
A.
2 B.1 C. D.
Câu 98: Tính tích phân e
1
1 3ln dx
I x
x
cách đặt t 3ln x, mệnh đề sai?A.
2
I t B
2
2 d
I
t t C2
2 d
3
I
t t D. 149
I
Câu 99: Biết
2
1
3 d ln ln
3 ln
x b
x a
x x x c
với a, b, c số nguyên dương c4 Tổnga b c bằng
A. B. C. D.
Câu 100: Biết
e
1
ln d ln3 , ,
ln 2
x
I x a b a b Q
x x