[r]
(1)1 Bộ giáo dục đào tạo Đáp án - Thang điểm
đề thi tuyển sinh đại học, cao đẳng năm 2004
§Ị chÝnh thøc Môn: Toán, Khối A (Đáp án - thang điểm có trang)
Câu ý Néi dung §iĨm
I 2,0
I.1 (1,0 ®iĨm)
( 1)
2
3
2
− − + − =
x x x
y =
( )
1
x
2 x
− + −
−
a) Tập xác định: R \ 1{ } b) Sự biến thiên:
y ' x(2 x)2 2(x 1)
− =
− ; y '= ⇔ =0 x 0, x 2= 0,25
yC§ = y(2) =
− , yCT = y(0) =
3 Đ−ờng thẳng x = tiệm cận đứng Đ−ờng thẳngy 1x
2
= + tiệm cận xiên 0,25
Bảng biến thiên:
x −∞ 1 2 +∞
y' − + + −
y +∞ +∞
2 −
2 −∞ −∞
0,25
c) Đồ thị:
0,25
(2)2 I.2 (1,0 ®iĨm)
Ph−ơng trình hoành độ giao điểm đồ thị hàm số với đ−ờng thẳng y = m :
(x ) m
x x
= −
− + −
1
3
2
x2 +(2m3)x+32m=0 (*) 0,25 Phơng trình (*) có hai nghiệm phân biệt khi:
0 >
∆ ⇔ 4m2−4m 0− > ⇔ m
2
> hc m
< − (**) 0,25 Với điều kiện (**), đ−ờng thẳng y = m cắt đồ thị hàm số hai điểm A, B có hồnh độ x1 , x2 nghiệm ph−ơng trình (*)
AB = ⇔ x1 − x2 =1 ⇔ x1−x2 = ⇔ ( 2)
2
1
x +x −4x x =1
0,25 ⇔ (2m−3)2 −4(3−2m)=1 ⇔ m
2 ±
= (tho¶ m·n (**)) 0,25
II 2,0
II.1 (1,0 điểm)
Điều kiÖn : x≥ 0,25
Bất ph−ơng trình cho t−ơng đ−ơng với bất ph−ơng trình:
2
2(x −16) x x+ − > − ⇔ 2(x −16) 10 2x> − 0,25
+ Nếu x > bất phơng trình đợc thoả mÃn, vế trái dơng, vế phải âm 0,25 + NÕu x 5≤ ≤ th× hai vÕ cđa bất phơng trình không âm Bình phơng hai vế ta ®−ỵc: x( 2−16)>(10 2x− )2 ⇔x2−20x 66 0+ < ⇔ −10 34 x 10< < + 34
Kết hợp với điều kiện x ta có: 10 34 x 5< Đáp số: x 10> − 34 0,25 II.2 (1,0 ®iĨm)
Điều kiện: y > x y > log ( ) log4 1
4
1 − − =
y x
y ⇔ −log4( − )−log4 =1
y x
y 0,25
⇔
y x
log
y −
− = ⇔
4 3y
x= . 0,25
Thế vào phơng trình x2 + y2 = 25 ta cã:
2
3y
y 25 y
4
⎛ ⎞ + = ⇔ = ±
⎜ ⎟
0,25
So sánh với điều kiện , ta đợc y = 4, suy x= (tháa m·n y > x)
VËy nghiƯm cđa hệ phơng trình (3; 4) 0,25
III 3,0
III.1 (1,0 ®iĨm)
+ Đờng thẳng qua O, vuông góc với BA( ; 3)JJJG có phơng trình 3x+3y 0= Đờng thẳng qua B, vuông góc với OA(0; 2)JJJG có phơng trình y =
( Đờng thẳng qua A, vuông góc với BO( ; 1) JJJG
có phơng trình 3x+ − = ) y
0,25 Gi¶i hệ hai (trong ba) phơng trình ta đợc trực tâm H( ; 1) 0,25 + Đờng trung trực cạnh OA có phơng trình y =
Đờng trung trực cạnh OB có phơng trình 3x+ + = y
( §−êng trung trực cạnh AB có phơng trình 3x 3y+ = ) 0,25
(3)3 Gi¶i hƯ hai (trong ba) phơng trình ta đợc tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác
OAB I( ; 1) 0,25
III.2.a (1,0 ®iĨm)
+ Ta cã: C 2; 0; 0(− ), D 0;( −1; 0), M(−1;0; 2) ,
SA=(2;0;−2 2), BMJJJJG= − −( 1; 1; 2) 0,25 Gäi α lµ gãc SA BM
Ta đợc: ( )
SA.BM 3
cos cos SA, BM
2 SA BM
α = = =
JJJG JJJJG JJJG JJJJG
JJJG JJJJG ⇒ α = °30
0,25 + Ta cã: ⎡⎣SA, BMJJJG JJJJG⎤ = −⎦ ( 2; 0; 2− ), ABJJJG= −( 2; 1; 0) 0,25 VËy:
( ) SA, BM AB
d SA, BM
3 SA, BM
⎡ ⎤ ⋅
⎣ ⎦
= =
⎡ ⎤
⎣ ⎦
JJJG JJJJG JJJG
JJJG JJJJG 0,25
III.2.b (1,0 ®iĨm)
Ta cã MN // AB // CD ⇒ N trung điểm SD
⎝ ⎛
− ;
2 ;
N
0,25
( )
SAJJJG= 2; 0; −2 ,SM=(−1;0;− 2), SB=(0;1;−2 2), SN 0; 1; 2
⎛ ⎞
=⎜ − − ⎟
⎝ ⎠
JJJG
( )
SA, SM 0; 2;
⎡ ⎤
⇒⎣JJJG JJJG⎦= 0,25
S.ABM
1 2
V SA,SM SB
6 ⎡ ⎤
= ⎣JJJG JJJG JJG⎦⋅ = 0,25
S.AMN
1
V SA,SM SN
6 ⎡ ⎤
= ⎣JJJG JJJG JJJG⎦⋅ = ⇒ VS.ABMN =VS.ABM +VS.AMN = 0,25
IV 2,0
IV.1 (1,0 ®iĨm)
2
1
x
I dx
1 x
=
+ −
∫ Đặt: t= x1 x= t2+1 dx 2= tdt
x=1⇒t =0, x=2⇒t =1 0,25
(4)4 Ta cã:
1
2
0 0
t t t
I 2t dt dt t t dt
1 t t t
+ + ⎛ ⎞ = = = ⎜ − + − ⎟ + + ⎝ + ⎠ ∫ ∫ ∫ 0,25 I 1
2 t t 2t 2ln t
3
⎡ ⎤
= ⎢ − + − + ⎥
⎣ ⎦ 0,25
1 11
I 2 2ln 4ln
3
⎡ ⎤
= ⎢ − + − ⎥= −
⎣ ⎦ 0,25
IV.2 (1, ®iĨm)
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
8
2 2
8 8 8
5
5 10 12 14 16
8 8
x x C C x x C x x C x x C x x
C x x C x x C x x C x x
⎡ + − ⎤ = + − + − + − + −
⎣ ⎦
+ − + − + − + − 0,25
BËc cña x số hạng đầu nhỏ 8, bậc x số hạng cuối lớn 0,25 Vậy x8 có số hạng thứ t, thứ năm, với hệ số tơng ứng là:
C C , C C38 23 48 04 0,25
Suy a8=168 70 238+ = 0,25
V 1,0
Gäi M=cos2A+2 2cosB+2 2cosC−3
cos cos 2 cos
2 − + ⋅ + ⋅ − −
= A B C B C 0,25
Do
2
sinA > ,
2
cosB− C ≤ nªn M 2cos A sin2 A
≤ + − 0,25
MỈt khác tam giác ABC không tù nên cosA0, cos2A cos A Suy ra: sin cos
2 + −
≤ A A
M sin sin
2 ⎟+ −
⎠ ⎞ ⎜
⎝ ⎛ −
= A A
2 sin sin
4 + −
−
= A A
2 sin 2 ≤ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − −
= A VËy M≤0 0,25
Theo gi¶ thiÕt: M = ⇔ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = = − = 2 sin cos cos cos2 A C B A A
⇔ A 90 B C 45