Gọi I là tâm mặt cầu nội tiếp hình nón (mặt cầu bên trong hình nón, tiếp xúc với tất cả các đường sinh và đường tròn đáy của nón gọi là mặt cầu nội tiếp hình nón).. Giả sử độ dài đường[r]
(1)ONTHIONLINE.NET
Equation Chapter Section
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2011
Mơn: Tốn Khối A, B.
Thời gian làm bài: 180 phút (Không kể thời gian giao đề)
Câu I (2 điểm) Cho hàm số
2
1 x y
x
(1) 1) Khảo sát vẽ đồ thị (C) hàm số (1)
2) Tìm điểm M thuộc đồ thị (C) để tiếp tuyến (C) M với đường thẳng qua M giao điểm hai đường tiệm cận có tích hệ số góc -
Câu II. (2 điểm)
1) Giải phương trình sau:
1
2
x x
2) Giải phương trình lượng giác:
4
4
sin os os 4
tan( ).tan( )
4
x c x c x
x x
Câu III (1 điểm) Tính giới hạn sau:
3 2
2
ln(2 os2 )
lim x
e e c x x
L
x
Câu IV. (2 điểm)
Cho hình nón đỉnh S có độ dài đường sinh l, bán kính đường tròn đáy r Gọi I tâm mặt cầu nội tiếp hình nón (mặt cầu bên hình nón, tiếp xúc với tất đường sinh đường trịn đáy nón gọi mặt cầu nội tiếp hình nón)
1 Tính theo r, l diện tích mặt cầu tâm I;
2 Giả sử độ dài đường sinh nón khơng đổi Với điều kiện bán kính đáy diện tích mặt cầu tâm I đạt giá trị lớn nhất?
Câu V (1 điểm) Cho số thực x, y, z thỏa mãn: x2 + y2 + z2 =
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức: P = x3 + y3 + z3 – 3xyz. Câu VI. (1 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có tâm
1 ( ;0)
2
I Đường thẳng AB có phương trình: x – 2y + = 0, AB = 2AD hồnh độ điểm A âm Tìm tọa độ đỉnh hình chữ nhật
Câu VII. (1 điểm) Giải hệ phương trình :
2 2
2
3
2010 2009
2010
3log ( 6) 2log ( 2)
y x x
y
x y x y
HẾT
-Ghi chú: - Thí sinh khơng sử dụng tài liệu gì!
- Cán coi thi khơng giải thích thêm!
(2)(3)HƯỚNG DẪN
CÂU NỘI DUNG ĐIỂM
I.1
Hàm số:
2
2
1
x y
x x
+) Giới hạn, tiệm cận: ( 1) ( 1)
2; 2; ;
lim
lim
lim
lim
x x x x
y
y
y
y
- TC đứng: x = -1; TCN: y =
+)
2
3
' 0,
1
y x D
x
+) BBT:
x - - +
y' + || +
y 2
||
+) ĐT:
1 điểm
I.2
+) Ta có I(- 1; 2) Gọi 0
3
( ) ( ; )
1 ( 1)
M I IM
M I
y y
M C M x k
x x x x
+) Hệ số góc tiếp tuyến M:
0
0
3 '( )
1
M
k y x
x
+) ycbtk kM IM 9
+) Giải x0 = 0; x0 = -2 Suy có điểm M thỏa mãn: M(0; - 3), M(- 2; 5)
1 điểm
II.1 +) ĐK: x ( 2; 2) \{0}
+) Đặt y 2 x2,y0Ta có hệ: 2
2
x y xy
x y
+) Giải hệ đx ta x = y =
1 3
2 ;
1 3
2
x x
y y
+) Kết hợp điều kiện ta được: x =
1
2 x
1 điểm
II.2
+) ĐK: x k 2,k Z
4 2
4
) tan( ) tan( ) tan( ) cot( )
4 4
1 1
sin os sin os
2 2
2 cos os
x x x x
x c x x c x
pt x c x
+) Giải pt cos24x = cos8x = x k4
cos24x = -1/2 (VN)
+) Kết hợp ĐK ta nghiệm phương trình x k 2,k Z
1 điểm
8
6
4
2
-2
-4
-6
(4)III 3
2
0
3
2 2
2 2 2
0 2 2
2
ln(2 os2 ) ln(1 os2 ) 1
lim lim
ln(1 2sin ) 1 ln(1 2sin )
lim lim
(1 ) 1
2sin 2sin 2sin 2sin 3 x x x x
e e c x x c x x
L
x x
x x x
x x x x x
x x x x 1 điểm IV.1
+) Gọi rC bán kính mặt cầu nội tiếp nón, bán kính đường trịn nội tiếp tam
giác SAB Ta có: 2 ( ) 2 2( )
SAB C C
C
S pr l r r SM AB
l r r l r
r r
l r l r
+) Scầu =
2
4 r C r l r l r
1 điểm
IV.2 +) Đặt :
2
2
2
( ) ,0
5
2 ( )
) '( )
( ) 5 1
2
lr r
y r r l
l r
r l
r r rl l
y r l r r l +) BBT: r l
l
y'(r)y(r) ymax
+) Ta có max Scầu đạt y(r) đạt max
5 r l
1 điểm
V +) Ta có
2 2
2 2
2 2
2
( )( )
( )
( )
2
2 ( ) ( )
( ) ( )
2
P x y z x y z xy yz zx
x y z x y z
P x y z x y z
x y z x y z
P x y z x y z
+) Đặt x +y + z = t, t 6(Bunhiacovxki), ta được:
3
1 ( )
2 P t t t
+) P t'( ) 0 t 2, P( 6) = 0; (P 2)2 ; P( 2) 2
+) KL: M Pax 2 2;MinP2
1 điểm VI +) ( , )
d I AB
AD = AB = 2 BD = 5.
+) PT đường tròn ĐK BD: (x - 1/2)2 + y2 = 25/4
(5)+) Tọa độ A, B nghiệm hệ:
2
2
1 25 2
( )
( 2;0), (2; 2)
2
2 2
0
x y
x y
A B
x
x y
y
(3;0), ( 1; 2)
C D
VII 2 2
2
3
2010
2009 (1)
2010
3log ( 6) 2log ( 2) 1(2)
y x x
y
x y x y
+) ĐK: x + 2y = > x + y + > +) Lấy loga số 2009 đưa pt:
2 2
2009 2009
log ( 2010) log ( 2010)
x x y y
+) Xét CM HS f t( ) t log2009(t2010),t0 đồng biến,
từ suy x2 = y2
x= y, x = - y
+) Với x = y vào (2) đưa pt: 3log3(x +2) = 2log2(x + 1) = 6t
Đưa pt dạng
1
1
9
t t
, cm pt có nghiệm t =
x = y =7
+) Với x = - y vào (2) pt: log3(y + 6) = y = - x = Ghi chú:
- Các cách giải khác với cách giải đáp án mà đúng, đủ cho điểm tối đa.