10 DE THI THU DAI HOC MON TOAN KHOI A 2012

Gọi I là tâm mặt cầu nội tiếp hình nón (mặt cầu bên trong hình nón, tiếp xúc với tất cả các đường sinh và đường tròn đáy của nón gọi là mặt cầu nội tiếp hình nón).. Giả sử độ dài đường[r]

PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7 điểm): Câu I: (2 điểm) Cho hàm số

2

1 x y

x  

 (C) Khảo sát hàm số

2 Tìm m để đường thẳng d: y = 2x + m cắt đồ thị (C) điểm phân biệt A, B cho AB = Câu II: (2 điểm)

1 Giải phương trình: cos cos 3x xsinx cos8x , (x  R)

2 Giải hệ phương trình:

2

5

x y x y y

x y

    

 

 



 (x, y R)

Câu III: (1 điểm) Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường y  ex 1 ,trục hoành, x = ln3 x = ln8

Câu IV: (1 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi ; hai đường chéo AC = 3a, BD = 2a cắt O; hai mặt phẳng (SAC) (SBD) vng góc với mặt phẳng (ABCD) Biết khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (SAB)

3 a

, tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a Câu V: (1 điểm) Cho x,y  R x, y > Tìm giá trị nhỏ



3

 

2



( 1)( 1)

x y x y

P

x y

  



 

PHẦN RIÊNG (3 điểm) : Thí sinh làm hai phần ( phần A B) A Theo chương trình Chuẩn

Câu VI.a (2 điểm)

1 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): x2 + y2 - 2x - 2my + m2 - 24 = có tâm I

và đường thẳng : mx + 4y = Tìm m biết đường thẳng  cắt đường tròn (C) hai điểm phân biệt A,B thỏa mãn diện tích tam giác IAB 12

2 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1:

1 1

2 1

x y z

 

 ; d2:

1

1

x y z

 

mặt phẳng (P): x - y - 2z + = Viết phương trình tắc đường thẳng , biết  nằm mặt phẳng (P)  cắt hai đường thẳng d1 , d2

Câu VII.a (1 điểm) Giải bất phương trình

2 log 2log

2 2x x x  20 0 B Theo chương trình Nâng cao

Câu VI.b (2 điểm)

1 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có phương trình cạnh AB: x - y - = 0, phương trình cạnh AC: x + 2y - = Biết trọng tâm tam giác G(3; 2) Viết phương trình cạnh BC

3 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng  :

1

1

x y z

 

điểm M(0 ; - ; 0) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua điểm M song song với đường thẳng  đồng thời khoảng cách đường thẳng  mặt phẳng (P)

Câu VII.b (1 điểm) Giải phương trình nghiệm phức : 25

8

z i

z

Câu I: (2,0 điểm) Cho hàm số

2

4

( )

1

x

y

C

x







.

1 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số

2 Gọi M điểm đồ thị (C), tiếp tuyến M cắt tiệm cận (C) A, B CMR diện tích tam giác ABI (I giao hai tiệm cận) khơng phụ thuộc vào vị trí M Câu II: (3,0 điểm)

1 Giải hệ phương trình: 2

2

2

1

xy

x

y

x y

x y

x

y

























2 Giải phương trình:

2

2sin

2sin

t anx

4

x



x



















.

3

Giải bất phương trình:









2

1

3

log log

x

 

1

x



log log

x

 

1

x

Câu III: (2,0 điểm) Tính tích phân:

2

1

ln

2 ln

e

x

x

I

dx

x







2 Cho tập

A





0;1;2;3;4;5



, từ A lập số tự nhiên gồm chữ số khác nhau, thiết phải có chữ số

Câu IV: (2,0 điểm)

1 Viết phương trình đường trịn qua hai điểm A(2; 5), B(4;1) tiếp xúc với đường thẳng có phương trình 3x – y + =

2 Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ với A’.ABC hình chóp tam giác cạnh đáy AB = a; cạnh bên AA’ = b Gọi



góc hai mp(ABC) mp(A’BC) Tính

tan



thể tích chóp A’.BCC’B’

Câu V: (1,0 điểm)

Cho

x



0,

y



0,

x y





1

Tìm giá trị nhỏ biểu thức

1

1

x

y

T

x

y





PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) Câu I:(2 điểm)

Cho hàm số : y=− x+1

2x+1 (C) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số

2 Viết phương trình tiếp tuyến với (C), biết tiếp tuyến qua giao điểm đường tiệm cận trục Ox Câu II:(2 điểm)

1 Giải phương trình:

sin 2

cos 2

cot

cos

sin

x

x

tgx

x

x



x





2 Giải phương trình:

(

2−log3x

)

log9x3−

4

1−log3x=1

Câu III: (2 im)

1.Tính nguyên hàm:

sin 2

( )

3 4sin

2

xdx

F x

x cos x







2.Giải bất phơng trình:

x

1

x

2



x



3

Câu IV: (1 điểm)

Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC có trọng tâm G(2, 0) biết phương trình cạnh AB, AC theo thứ tự

là 4x + y + 14 = 0; 2x+5y −2=0 Tìm tọa độ đỉnh A, B, C PHẦN RIÊNG (3 điểm)

Chú ý:Thí sinh đợc chọn làm phần làm hai không đợc chấm

A Theo chương trình chuẩn Câu Va :

1 Tìm hệ số x8 khai triển (x2 + 2)n, biết: A

n

3

−8Cn2+Cn1=49 Cho đường tròn (C): x2 + y2 – 2x + 4y + =

Viết phương trình đường trịn (C') tâm M(5, 1) biết (C') cắt (C) điểm A, B cho AB=

√

3 B Theo chương trình Nâng cao

Câu Vb:

1 Giải phương trình : log3(x −1)2+log√3(2x −1)=2

2 Cho hỡnh chúp SABCD cú đỏy ABCD hỡnh vuụng tõm O, SA vuụng gúc với đáy hỡnh chúp

Cho AB = a, SA = a

√

2 Gọi H K hình chiếu vu«ng gãc A lên SB, SD

I.Phần chung cho tất thí sinh (7 điểm)

Câu I (2 điểm) Cho hàm sè y=2x+1

x+2 có đồ thị (C) 1.Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số

2.Chứng minh đờng thẳng d: y = -x + m luôn cắt đồ thị (C) hai điểm phân biệt A, B Tìm m để đoạn AB cú di nh nht

Câu II (2 điểm)

1.Giải phơng trình 9sinx + 6cosx 3sin2x + cos2x =

2.Giải bất phơng trình

log22x log2x23>

5(log4x23) Câu III (1 điểm) Tìm nguyên hàm I=

dx

sin3x cos5x

Câu IV (1 điểm) Cho lăng trụ tam giác ABC.A1B1C1 có tất cạnh a, góc tạo cạnh bên mặt

phng ỏy bng 300 Hình chiếu H điểm A mặt phẳng (A

1B1C1) thuộc đờng thẳng B1C1 Tính khoảng

cách hai đờng thẳng AA1 B1C1 theo a

Câu V (1 điểm) Cho a, b, c0 v a2b2c2 3

Tìm giá trị nhỏ biểu thức

3 3

2 2

1 1

a b c

P

b c a

  

II.Phần riêng (3 điểm)

1.Theo chơng trình chuẩn Câu VIa (2 điểm)

1.Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đờng tròn (C) có phơng trình (x-1)2 + (y+2)2 = đờng thẳng

d: x + y + m = Tìm m để đờng thẳng d có điểm A mà từ kẻ đợc hai tiếp tuyến AB, AC tới đờng tròn (C) (B, C hai tiếp điểm) cho tam giác ABC vuông

2.Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(10; 2; -1) đờng thẳng d có phơng trình

¿ x=1+2t

y=t

z=1+3t ¿{ {

Lập phơng trình mặt phẳng (P) qua A, song song với d khoảng cách từ d tới (P) lớn

Câu VIIa (1 điểm) Có số tự nhiên có chữ số khác khác mà số luôn có mặt hai chữ số chẵn hai chữ số lẻ

2.Theo chơng trình nâng cao (3 điểm)

Câu VIb (2 điểm)

1.Trong mt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đờng tròn (C): x2 + y2 - 2x + 4y - = đờng thẳng d có

ph-ơng trình x + y + m = Tìm m để đờng thẳng d có điểm A mà từ kẻ đợc hai tiếp tuyến AB, AC tới đờng tròn (C) (B, C hai tiếp điểm) cho tam giác ABC vuông

2.Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(10; 2; -1) đờng thẳng d có phơng trình

x −1 =

y

1=

z −1

3 Lập phơng trình mặt phẳng (P) qua A, song song với d khoảng cách từ d tíi (P) lµ lín

nhÊt

PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7.0 điểm)

Câu I (2.0 điểm)

Cho hàm số y = (C)

Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (C)

Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C), biết khoảng cách từ tâm đối xứng đồ thị (C) đến tiếp tuyến lớn

Câu II (2.0 điểm)

Giải phương trình os6x+2cos4x- os2x = sin2x+ 3c c

Giải hệ phương trình

2

1

2

2

x x

y y y x y 

  

 

   



Câu III (1.0 điểm)

Tính tích phân

2

0

( sin

)

1

x

x

x

dx

x







Câu IV (1.0 điểm)

Cho x, y, z số thực dương lớn thoả mãn điều kiện

1 1 x yz  Tìm giá trị lớn biểu thức A = (x - 1)(y - 1)(z - 1)

Câu V (1.0 điểm)

Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD hình thoi SA = x (0 < x < ) cạnh cịn lại Tính thể tích hình chóp S.ABCD theo x

PHẦN RIÊNG ( 3.0 điểm)

Thí sinh làm hai phần A B (Nếu thí sinh làm hai phần không dược chấm điểm)

A Theo chương trình nâng cao Câu VIa (2.0 điểm)

1 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai đường thẳng (d1) : 4x - 3y - 12 = (d2): 4x + 3y - 12 =

Tìm toạ độ tâm bán kính đường trịn nội tiếp tam giác có cạnh nằm (d1), (d2), trục Oy

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’có cạnh Gọi M trung điểm đoạn AD, N tâm hình vng CC’D’D Tính bán kính mặt cầu qua điểm B, C’, M, N

Câu VIIa (1.0 điểm)

Giải bất phương trình

2

3

2

log ( 1) log ( 1)

5

x x

x x

  



 

B Theo chương trình chuẩn Câu VIb (2.0 điểm)

Cho điểm A(-1 ;0), B(1 ;2) đường thẳng (d): x - y - = Lập phương trình đường tròn qua điểm A, B tiếp xúc với đường thẳng (d)

Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho điểm A(1 ;0 ; 1), B(2 ; ; 2) mặt phẳng (Q): x + 2y + 3z + = Lập phương trình mặt phẳng (P) qua A, B vng góc với (Q)

Câu VIIb (1.0 điểm)

Giải phương trình 2 23

x x x x

x x x x

C C  C  C 



A.PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7 điểm):

Câu I (2 điểm): Cho hàm số y x 3 3mx23(m21)x m 3m (1) 1.Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) ứng với m=1

2.Tìm m để hàm số (1) có cực trị đồng thời khoảng cách từ điểm cực đại đồ thị hàm số đến góc tọa độ O

√

2 lần khoảng cách từ điểm cực tiểu đồ thị hàm số đến góc tọa độ O Câu II (2 điểm):

Giải phương trình :

2

2 os3x.cosx+ 3(1 sin2x)=2 os (2 )

c  c x

Giải phương trình :

2

1 2 2 2

2

log (5 ) log (5 ).log x   x x(5 ) log (2 x  x 5) log (2x1).log (5 ) x

Câu III (1 điểm): Tính tích phân :

tan( ) os2x

x

I dx

c

 

 



Câu IV (1 điểm): Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a , SA vng góc với đáy SA=a Gọi M,N trung điểm SB SD;I giao điểm SD mặt phẳng (AMN) Chứng minh SD vng góc với AI tính thể tích khối chóp MBAI

Câu V (1 điểm): Cho x,y,z ba số thực dương có tổng 3.Tìm giá trị nhỏ biểu thức P3(x2y2z2) 2 xyz

B PHẦN TỰ CHỌN (3 điểm): Thí sinh chọn hai phàn (phần 2)

1.Theo chương trình chuẩn: Câu VIa (2 điểm):

Trong mặt phẳng với hệ toạ đ ộ Oxy cho điểm C(2;-5 ) đường thẳng : 3x 4y 4 Tìm  hai điểm A B đối xứng qua I(2;5/2) cho diện tích tam giác ABC bằng15

Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho mặt cầu ( ) :S x2y2z2 2x6y 4z 0 Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với giá véc tơ v(1;6; 2)



, vng góc với mặt phẳng( ) : x4y z 11 0 tiếp xúc với (S)

Câu VIIa(1 điểm): Tìm hệ số x4trong khai triển Niutơn biểu thức : P (1 2x3 )x2 10 2.Theo chương trình nâng cao:

Câu VIb (2 điểm):

1.Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho elíp

2

( ) :

9

x y

E  

hai điểm A(3;-2) , B(-3;2) Tìm (E) điểm C có hồnh độ tung độ dương cho tam giác ABC có diện tích lớn 2.Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz cho mặt cầu ( ) :S x2y2z2 2x6y 4z 0 Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với giá véc tơ v(1;6; 2)



, vng góc với mặt phẳng( ) : x4y z 11 0 tiếp xúc với (S)

Câu VIIb (1 điểm):

Tìm số nguyên dương n cho thoả mãn

2

0 2 121

2 1

n n

n n n n

C C C C

n n

    

Phần chung cho tất thí sinh(7,0 điểm)

Câu I(2 điểm) Cho hàm số

2

1 x y

x  



1 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số cho

2 Tìm (C) điểm có tổng khoảng cách đến hai tiệm cận (C) nhỏ

C©u II(2 điểm)

1 Giải hệ phơng trình:

1

6

x y

x y

    



2 Giải phơng tr×nh:

1 2(cos sin )

tan cot cot

x x

x x x

Câu III(1 điểm)

Trong mặt phẳng (P) cho đờng tròn (C) tâm O đờng kính AB = 2R.Trên đờng thẳng vng góc với (P) O lấy điểm S cho OS = R I điểm thuộc đoạn OS với SI =

2 R

M điểm thuộc (C) H hình chiếu I SM Tìm vị trí M (C) để tứ diện ABHM tích lớn nhất.Tìm giá tr ln nht ú

Câu IV(1 điểm)

TÝnh tÝch ph©n: I =

1

2 11

dx

x x







Câu V(1 điểm) Cho x, y, z số thực dơng thỏa mÃn xyz=1 Chứng minh r»ng

1 1

1

1 1

x y   y z  z x  

Phần riêng (3,0 điểm).Thí sinh đợc làm hai phần (phần A B) A.Theo chơng trình Chuẩn

C©u VI.a(1 điểm) Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC biÕt A(2; - 3), B(3; - 2), cã diÖn tÝch b»ng

2 trọng tâm thuộc đờng thẳng : 3x – y – = Tìm tọa độ đỉnh C.

Câu VII.a (1 điểm) Từ chữ số 0,1,2,3,6,7,8,9 lập đợc số tự nhiên có chữ số đơi khác ( chữ số phải khác 0) phải có chữ số

Câu VIII.a(1 điểm) Tìm a để bất phơng trình sau có nghiệm:

2

1

3

log x log (ax a )

B.Theo chơng trình Nâng cao

Câu VI.b(1 điểm) Trong mặt phẳng Oxy cho elip (E):

2

4

x y

 

đờng thẳng :3x + 4y =12 Từ điểm M  kẻ tới (E) tiếp tuyến MA, MB Chứng minh đờng thẳng AB qua im c nh

Câu VII.b(1 điểm) Cho hàm số

2 4 3

x x

y x

 



 có đồ thị (C).Giả sử đờng thẳng y = kx + cắt (C) 2 điểm phân biệt A, B Tìm tập hợp trung điểm I AB k thay i

Câu VIII.b(1 điểm) Giải phơng trình:







2

2

log log

Câu I (2 điểm) Cho hàm số

2

1

x y

x

 

 (1). 1) Khảo sát vẽ đồ thị (C) hàm số (1)

2) Tìm điểm M thuộc đồ thị (C) để tiếp tuyến (C) M với đường thẳng qua M giao điểm hai đường tiệm cận có tích hệ số góc -

Câu II. (2 điểm)

1) Giải phương trình sau:

1

1

2

2

x





x



2) Giải phương trình lượng giác:

4

4

sin os

os

tan( ).tan( )

4

x c x

c x

x x

 





 

Câu III (1 điểm) Tính giới hạn sau:

3

2

ln(2

os2 )

1

lim

x

e e c

x

x

L

x











Câu IV. (2 điểm)

Cho hình nón đỉnh S có độ dài đường sinh l, bán kính đường trịn đáy r Gọi I tâm mặt cầu nội tiếp hình nón (mặt cầu bên hình nón, tiếp xúc với tất đường sinh đường trịn đáy nón gọi mặt cầu nội tiếp hình nón)

1 Tính theo r, l diện tích mặt cầu tâm I;

2 Giả sử độ dài đường sinh nón khơng đổi Với điều kiện bán kính đáy diện tích mặt cầu tâm I đạt giá trị lớn nhất?

Câu V (1 điểm) Cho số thực x, y, z thỏa mãn: x2 + y2 + z2 =

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức: P = x3 + y3 + z3 – 3xyz.

Câu VI. (1 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có tâm

1 ( ;0)

2 I

Đường thẳng AB có phương trình: x – 2y + = 0, AB = 2AD hồnh độ điểm A âm Tìm tọa độ đỉnh hình chữ nhật

Câu VII. (1 điểm) Giải hệ phương trình :

2 2

2

3

2010 2009

2010

3log ( 6) 2log ( 2)

y x x

y

x y x y



 

 

 



     

PHẦN A : DÀNH CHO TẤT CẢ CÁC THI SINH

Câu I (2,0 điểm) 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số : y = x3 – 3x2 +

2) Biện luận theo m số nghiệm phương trình :

2

2

1

m

x x

x

   

Câu II (2,0 điểm ) 1) Giải phương trình :

5

2 os sin

12

c    x x

 

2) Giải hệ phương trình:

2

2 2

log 3log ( 2)

1

x y x y

x y x y

    

 

    



 .

Câu III(1,0 điểm ) Tính tích phân:

/4

2 /4

sin

1

x

I

dx

x

x



 









Câu IV ( 1,0 điểm ) : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AB = a , AD = 2a Cạnh SA vng góc với mặt phẳng đáy , cạnh bên SB tạo với mặt phắng đáy góc 600 Trên cạnh SA lấy điểm M

sao cho AM =

3

a

, mặt phẳng ( BCM) cắt cạnh SD N Tính thể tích khối chóp S.BCNM Câu V (1,0 điểm ) Cho x , y , z ba số thực thỏa mãn : 5-x

+ 5

-y

+5

-z

=

.Chứng minh

  











25

25

25

25

5

5

5

5

5

x y z

x y z y z x z x y







5

5

5

4

x y z

PHẦN B ( THÍ SINH CHỈ ĐƯỢC LÀM MỘT TRONG HAI PHẦN ( PHẦN HOẶC PHẦN 2) PHẦN ( Dành cho học sinh học theo chương trình chuẩn )

Câu VI.a 1.( 1,0 điểm ) Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC với A(1; -2), đường cao CH x y:   1 0, phân giác BN: 2x y  5 0.Tìm toạ độ đỉnh B,C tính diện tích tam giác ABC

2.( 1,0 điểm ) Trong không gian với hệ tọa độ 0xyz cho đường thẳng d

2

4

x y z

 

  hai điểm A(1;-1;2) ,B(3 ;- 4;-2).Tìm điểm I đường thẳng d cho IA +IB đạt giá trị nhỏ

Câu VII.a (1 điểm): Giải phương trình sau tập số phức C:

2

4 1 0

2 z

z  z    z

PHẦN 2 ( Dành cho học sinh học chương trình nâng cao )

Câu VI.b 1. (1.0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có diện tích 12, tâm I giao điểm đường thẳng d1 :x y 30

0 :

2 xy 

d Trung điểm cạnh giao điểm d

1 với trục Ox Tìm toạ độ

đỉnh hình chữ nhật

(1,0điểm) Trong không gian với hệ tọa độ 0xyz cho hai đường thẳng :

D1 :

2

1

x y z

 

 , D2 :

2

x t

y

z t

   

    

Câu (2.0 điểm): Cho hàm số

y x



3



3

mx

2



4

m

3 (m tham số) có đồ thị (Cm) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số m =

2 Xác định m để (Cm) có điểm cực đại cực tiểu đối xứng qua đường thẳng y = x

Câu (2.0 điểm ) :

1 Giải phương trình:

3

4 2sin 2

2 2(cotg

1)

sin 2

cos

x

x

x

x











2 Tìm m để hệ phương trình:

3

2 2

3

3

2 0

1

3 2

0

x

y

y

x

x

x

y y

m

































có nghiệm thực.

Câu (2.0 điểm): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) đường thẳng (d) có phương trình:

(P): 2xy 2z = 0; (d):

1

2

1

2

1

x

y



z









1 Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc đường thẳng (d), cách mặt phẳng (P) khoảng cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến đường trịn có bán kính

2 Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa đường thẳng (d) tạo với mặt phẳng (P) góc nhỏ

Câu (2.0 điểm):

1 Cho parabol (P): y = x2 Gọi (d) tiếp tuyến (P) điểm có hồnh độ x = Gọi (H) hình giới hạn bởi

(P), (d) trục hồnh Tính thể tích vật thể trịn xoay sinh hình (H) quay quanh trục Ox

2 Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn: x2 + y2 + z2  Tìm giá trị nhỏ biểu thức:

1

1

1

1

1

1

P

xy

yz

zx













Câu (2.0 điểm):

1 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, lập phương trình tiếp tuyến chung elip (E):

2

1

8

6

x

y





parabol (P): y2 = 12x

2 Tìm hệ số số hạng chứa x8 khai triển Newton:

12

1

1

x

x











