Đề thi thử Olympic môn Toán lớp 11 năm 2018 THPT Phú Xuân - Lần 3 có đáp án | Toán học, Lớp 11 - Ôn Luyện

[r]

(1)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH ĐẮK LẮK ĐƠN VỊ:TRƯỜNG THPT PHÚ XUÂN

KỲ THI OLYMPIC 10-3 LẦN THỨ III, NĂM 2018 ĐỀ THI ĐỀ NGHỊ MƠN:TỐN-LỚP: 11

(2)

ĐỀ THI VÀ ĐÁP ÁN Câu 1:Giải phương trình:sin sin 2x xsin 3x6cos3x

Đáp án câu 1:

1)Giải phương trình:sin sin 2x xsin 3x6 cos3x

3 3

sin sin 2x xsin 3x6 cos x 2sin cosx x3sinx 4sin x6 cos x Nhận xét cosx=0 không nghiệm,chia vế phương trình cho cos3x Ta có:2 tan2x3tan (1 tan ) tanx  2x  3x6

Đặt t=tanx

3 2 3 6 0

3 t

t t t

t         



 .Từ suy x Câu 2:Giải hệ phương trình: , (0 <a < 1).

Đáp án câu 2:

Giả sử x max x y z { , , } z2 max x y z{ , , }2 2

Nếu

1

0 { , , }

2

z  z max x y z  x   y z a

Nếu z 0 x0, x 0 z2  a z a  a y2 0(mâu thuẫn).

2

0

y x y z x y a z a y x y

             

1

2

x y z a

     

Vậy hệ phương trình có nghiệm

Câu 3: Cho tam giác ABC có: a.tanA+b.tanB=(a+b).tan A B

(với BC=a;AC=b).Hỏi tam giác ABC có đặc biệt

Đáp án câu 3:Cho ABC có:a.tanA+b.tanB=(a+b).tan A B

(với BC=a;AC=b).Hỏi ABC có đặc biệt

+Theo định lý hàm số sin,ta có:a=2R.sinA;b=2R.sinB

Do đó:a.tanA+b.tanB=(a+b).tan

A B

 2R.sinA.tanA+2R.sinB.tanB=(2R.sinA+2R.sinB) tan

A B

(3)

sin tan sin tan (sin sin ).tan A B

A A B B A B 

    

sin (tan tan ) sin (tan tan )

2

sin sin

2

sin sin

cos cos cos cos

2

A B A B

A A B B

A B B A

A B

A B A B

A B              

sin sin sin sin

2 0

cos cos

A B A B

A B

 

  

in sin (tan tan )

2 tan tan 0

A B s

A B A B A B

A B               

Vậy tam giác ABC cân C

Câu 4:Cho dãy số { }un , với

2

1

1, ,

2

n n n

u  u   u  n N

Tìm limun.

Đáp án câu 4:Do

2

1

2

n n n n

u   u  u   n

nên { }un dãy số tăng.

Mặt khác

1 2 2              

 n n n n n n

n u u u

u

Vì ta nhận 1 1

1 1

2 2

n n

u  u      u 

Suy  un dãy số bị chặn.

Lại có un un n un n n u n 2n

1 2 2 2 2 1 2

1               



Nên

limun  2 limun 

Câu 5: Cho lục giác ABCDEF nội tiếp đường tròn (O , R) cho AB = CD = EF = R Gọi I, J, K theo thứ tự trung điểm BC, DE, FA; P, Q trung điểm DC AD

a) Xác định phép biến hình biến AC



thành BD tính góc    , AC BD                            

Chứng minh tam giác IPQ tam giác

b) Chứng minh: Tam giác IJK tam giác

Đáp án câu 5: + Ta có tam giác OAB, OCD, OEF tam giác (có cạnh R).

Phép quay QO,600 :A B C;  D, nên:

   



0

,60 : ; , 60

O

Q AC BD AC BD AC BD                

+ Ta có: ;

BD AC

IP QP  IP QP

(4)

   300

DC PIC DBC  

OI BC (đường kính qua trung điểm dây BC), đó: QIP 600. Vậy tam giác IPQ tam giác IPQ cân có góc 600

Suy ra: QI,600 :P Q

+ Tương tự:    



0

,60 : ; ; , 60

O

Q C D E F CE DF CE DF                

Mà:

1

;

2

PJ  CE QK DF

                                                       

, đó: PJ QK    

 0

, , 60

PJ QK  CE DF 

   

Giả sử: QI,600 :J  K', ta có: QI,600 :P Q, nên: PJ QK'và PJ QK, '600

                           

Suy ra: K K'

Do đó:    



0

,60 : ; , 60

I

Q J  K  IJ IK IJ IK                 IJK

tam giác

Ghi chú:Góc lượng giác 600 thay góc 600 thứ tự đỉnh A, B, C, D, E (O, R) Ví dụ

Câu 6: Chứng minh

   

 2  2

1

,

1

a b ab

a b

a b

 

 

 

Đáp án câu 6: Đặt atan , btan với

, ;

2  

   

 

   

tan tan tan tan

tan tan

a b ab

a b

   

 

   

 

   

1

1 1  

sin sin sin

cos cos

cos cos cos cos

   

 

   

  

   

 

2 1

     

sin cos sin 2

2

     

     

ngược chiều lượng giác. Hết