Một số tính chất của hai đường đẳng giác hai điểm liên hợp đẳng giác và ứng dụng Nguyễn Duy Khương-chuyên Toán khoá 1518-THPT chuyên Hà Nội Amsterdam Tóm tắt nội dung: Trong các đề thi H[r]
(1)Một số tính chất hai đường đẳng giác hai điểm liên hợp đẳng giác ứng dụng Nguyễn Duy Khương-chuyên Toán khoá 1518-THPT chuyên Hà Nội Amsterdam Tóm tắt nội dung: Trong đề thi HSG khái niệm đường đẳng giác khơng cịn lạ lẫm xong sử dụng thành thục tốn cơng cụ khó nhiều thời gian Ở tơi xin nêu số tính chất nêu số toán hay chủ đề
I) Một số định nghĩa tính chất bản:
Định nghĩa hai đường đẳng giác: Cho tam giác ABC, hai đường Ax, Ay gọi đẳng giác góc∠BAC chúng đối xứng qua phân giác góc ∠BAC Từ định nghĩa ta suy số tính chất sau:
Tính chất 1: Cho tam giác ABC hai đường Ax, Ay đẳng giác góc ∠BAC Khi đó∠xAB =∠yAC
Tính chất 2: Cho góc ∠xOy, hai đường OA, OB đẳng giác góc ∠xOy Kẻ BH ⊥Ox(H ∈Ox), BK ⊥Oy(K ∈Oy) Chứng minh rằng: HK ⊥OA
Tính chất 3: Cho góc ∠xOy, hai đường OA, OB đẳng giác góc ∠xOy Kẻ BH ⊥ Ox(H ∈ Ox), BK ⊥ Oy(K ∈ Oy) Qua A kẻ AE, AF vng góc Ox, Oy điểm E, F Khi E, H, F, K đồng viên(chú ý chiều đảo đúng)
Tính chất 4: Cho góc ∠xOy điểm A, B nằm miền góc ∠xOy Qua A kẻ AXkOy(X ∈ Ox), AYkOx(Y ∈ Ox), BZkOy(Z ∈ Ox),BTkOx(T ∈ Oy) Khi X, Y, Z, T đồng viên⇔ OA, OB đẳng giác gócxOy
Tính chất 5: Cho tam giácABC có đường đẳng giácAE, AF(E, F ∈BC) Chứng minh rằng: BE
EC BF F C =
AB2
AC2
Tính chất 6: Cho tam giácABC có đường đẳng giácAE, AF(E, F ∈BC) Chứng minh rằng: (AEF) tiếp xúc (ABC)
Chứng minh: Ở xin chứng minh tính chất 4,5,6 Các tính chất 1,2,3 đơn giản cần định nghĩa phép biến đổi góc xin nhường lại cho bạn đọc
(2)Gọi ZB ∩AY = K Ta nhận thấy được: ZKAX, OZKY, Y T BK hình bình hành đó: ∠XAY =∠KY T =∠ZBT
Vậy mà: ∠xOB = ∠OZB ∠yOA = ∠OAY ∠OAX = ∠OBT Vậy 4OAX ∼ 4OBT Do OX
OT = AX
BT OZ.OX =OY.OT(đpcm) Điều ngược lại hiển nhiên
Tính chất 5(Bạn đọc tự vẽ hình):
Gọi L, H hình chiếu E, F lên AB, K, M hình chiếu E, F lên AC Ta thấy rằng: VT= SABE
SACE SABF
SACF
= EH.AB
EK.AC
F L.AB
EM.AC Do đpcm ⇔ EH EK = F M
F L(đúng ta thấy hai tam giác đồng dạng tương ứng)
Tính chất 6(Bạn đọc tự vẽ hình): Qua A kẻ tiếp tuyến Ax với (ABC) Ta có: ∠xAB +∠BAE = ∠C +∠F AC = ∠AF E Ax tiếp xúc (AEF)
(ABC) tiếp xúc(AEF)
(3)Tiếp tục đề cập tới khái niệm điểm liên hợp đẳng giác tam giác Định nghĩa hai điểm liên hợp đẳng giác: Hai điểm gọi liên hợp đẳng giác chúng đẳng giác với trong(ngồi) hai góc tam giác
Tính chất 7: Cho P, Q liên hợp đẳng giác tam giác ABC Khi chân đường vng góc hạ xuống từP, Qnằm đường tròn(Đường trònP edal)
Chứng minh: Áp dụng tính chất số ba lần ta có đpcm
Tính chất 8: Cho tam giác ABC điểm liên hợp đẳng giác tam giác ABC Gọi AP ∩(O) =M, A, gọi M Q∩BC =E Chứng minh rằng: P EkAQ
Chứng minh:
Gọi AQ cắt lại (O) N cắt BC F Ta lại có P, Q liên hợp đẳng giác tam giác ABC đó: ∠P CM = ∠P CB +∠BCM = ∠QCA+∠QAC = ∠CQN mà ∠P M C = ∠QN C nên ta có: 4P M C ∼ 4CN Q(g.g) P M
CN = CM N Q Hồn tồn tương tự thì: M A
N C = M C
N F Do với ý M NkEF ta có: P M
M A = CM N Q :
M C N F =
N F N Q =
M E
M Q ta có P EkAQ(đpcm)
(4)là Phan Anh Quân diễn đàn Aops II) Một số tốn ứng dụng
Để cụ thể hố lí thuyết quan sát số lời giải tập từ tơi hi vọng bạn làm chủ kiến thức
Bài toán 1(Nguyễn Xuân Hùng-THTT số 471):Cho tam giácABC cóI tâm nội tiếp Một đường thẳng d qua I vng góc AI Lấy điểm E,F thuộc d cho∠EBA =∠F CA= 90◦ Các điểmM, N nằm BC choM E kN F kAI Chứng minh rằng: (ABC) tiếp xúc (AM N)
Lời giải(Nguyễn Duy Khương):Trước tiên xin nhắc lại bổ đề quen thuộc không chứng minh: "Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) có X, Y thuộc BC cho AX, AY đẳng giác Khi tam giác (AXY)tiếp xúc (ABC)."
Quay trở lại toán:
Trường hợp 1(AB = AC) Khi ta có: 4IAB = 4IAC đồng thời thấy rằng: EF M N hình chữ nhật từ hiển nhiên ta có: AM, AN đẳng giác tam giác ABC biến đổi góc đơn giản Do theo bổ đề ta có đpcm
(5)(AIB) điểmK, LkhácI Từ (∗)(∗∗)ta thu hình chữ nhật AIEL AIF K Lại có: M E k N F k AI nên thu được: L, E, M thẳng hàng K, F, N thẳng hàng Ta ý AB6=AC nên LK không song song BC
Hiển nhiên từ hình chữ nhật ta thấy rằng: ∠LAI = ∠KAI = 90◦ LAK ⊥ AI Gọi AD đường phân giác góc BAC, gọi LK cắt BC điểm J mà LAK ⊥AI nên AJ phân giác ngồi góc BAC
Ta thấy rằng: AD, BK, CL đồng quy I Do áp dụng tính chất hàng điểm điều hồ (J ALK) = (J DBC) = −1 Kẻ AH vng góc BC điểm H Ta thấy rằng: H(J ALK) = −1 mà HA ⊥ HJ HA phân giác góc LHK Vậy mà lại có: A, L, M, K đồng viên vàA, H, N, K đồng viên(lần lượt thuộc đường trịn đường kính AM AN) nên ta có: (M L, M A) ≡ (HL, HA) ≡ (HK, HA) ≡
(N K, N A)(modπ) ý M E k N F k AI AI phân giác góc M AN hay làAM, AN đẳng giác tam giác ABC Áp dụng bổ đề ta có(AM N)
tiếp xúc (ABC)(đpcm)
Bài toán 2: Cho tam giác ABC nội tiếp (O)có AP, AQ đẳng giác tam giác, AP cắt lại (O)tại điểm thứ haiX Chứng minh đường thẳng Simsonsứng với X tam giác ABC vng góc AQ
(6)M XN A nội tiếp suy ra∠AN M =∠AXM, gọi AQ∩M N =S ýAP, AQ đẳng giác 4AM X ∼ 4ASN ∠ASN = 90◦ vậyAQ⊥M N(đpcm)
Bài tốn 3(Nguyễn Văn Linh): Cho tam giác ABC có AD đường đối trung tam giác ABC Lấy E, F AB, AC cho DE =DF K trực tâm tam giác AEF Gọi H trực tâm tam giác ABC.Chứng minh (AK) tiếp xúc (O)
và (BHC)
Lời giải: Để chứng minh (AK) tiếp xúc (O) khơng khó ta cần chứng minh AK AH đẳng giác ổn Gọi M trung điểm BC ta có: AD trung tuyến tam giácAEF lại đối trung tam giác ABC nên ta có: 4AEF ∼ 4ACB(c.g.c)do ta thấy là: AH, AK đẳng giác(chúng trực tâm tam giác đồng dạng trung đỉnh) Gọi T hình chiếu H lên AM Khi H, T, K thẳng hàng dĩ nhiên
(AK) tiếp xúc (O)(tính chất vị tự) HK đường thẳng Steiner tứ giác tồn phần AEDF BC KH song song với đường thẳng Steiner ứng với điểm M iquel tứ giác toàn phần này, điểm X giao AD (O) Ta thấy rằng: ∠BXD=∠C=∠AEF(chứng minh trên) tứ giácBDXE nội tiếp hiển nhiên X điểm M iquel tứ giác toàn phần AEDF BC Vậy ta quy toán vềbài toán số thấy điều phải chứng minh
Nhận xét: Bài toán đề cập tới mảng thú vị trường hợp đặc biệt hai đường đẳng giác đường trung tuyến đường đối trung
(7)Lời giải: Gọi A0 đối xứng A qua M Dĩ nhiên ta thấy A0H0 vng góc BC H0 Gọi K, L hình chiếu P lên AB, AC Ta để ý rằng: P B đối song mà A0BkAC nênBP, BA0 đẳng giác Do đóP, A0liên hợp đẳng giác Do theo tính chất đường trịnpedalthì K, M, H0, Lđồng viên Ta quy tốn biến đổi góc định hướng Ta có: (BP, F P) ≡ (KP, F P)−(KP, BP) ≡ (F H0, KH0)−(M K, BM) ≡
(F H0, KH0)−(H0L, KL) ≡ (CP, P L)−(EP, EL) ≡ (CP, EP)(modπ) ta có đpcm
(8)Lời giải(Phan Anh Quân): Gọi DQ∩BC = R Ta có: P RkAQ Lấy T ∈ DN cho P TkAN Theo định lí T hales DR
DQ = DP DQ =
DT
DN RTkQN Vậy 4AQN ∼ 4P RT Do ∠BM D = ∠M CD +∠M DC = ∠BAD +∠CAN =
∠QAC + ∠CAN = ∠QAN = ∠RP T P T M R nội tiếp suy ∠P M B =
∠P T R=∠AN Q(đpcm)
Như tơi giới thiệu số tốn ứng dụng kiến thức đường đẳng giác hai điểm liên hợp đẳng giác Cuối để kết thúc viết xin đề nghị hai tốn khó để bạn luyện tập
Bài toán 6(Nguyễn Văn Linh): Cho tam giácABC nội tiếp đường tròn (O) P điểm phân giác góc A tam giác ABC CP, BP cắt (ABP),(ACP)
lần lượt điểm R, S 6=P E, F điểm cung AC, AB (O)
tương ứng không chứa B, C AE, AF cắt lại (AP C),(AP B) điểm Z, Y 6=A ZR, SY cắt BC điểm M, N Chứng minh (AM N) tiếp xúc
(O)