Một số chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán 7

Do đó khi dạy về tỷ lệ thức cần yêu cầu học sinh khá, giỏi hiÓu vµ chøng minh ®­îc c¸c tÝnh chÊt cña tû lÖ thøc vµ tÝnh chÊt cña dÉy tû sè b»ng nhau.. Giáo viên định hướng cho học sinh c[r]

Chuyên đề I: C¸c bµi to¸n vÒ tû lÖ thøc A.KiÕn thøc c¬ b¶n Học sinh nắm vững định nghĩa, tính chất tỷ lệ thức, tính chất dẫy tỷ lệ thøc b»ng Bæ xung: e a c = = =K f b d NÕu: K a  K c  K e K K b  K d  K f Th× B.C¸c bµi to¸n D¹ng 1: T×m thµnh phÇn ch­a biÕt cña tû lÖ thøc (hoÆc dÉy tû sè b»ng nhau) VÝ dô 1: T×m c¸c sè x,y,z biÕt 5.x=8.y=20.z vµ x – y - z=3 **Có thể định hướng học sinh giải theo cách *§Ó t×m ®­îc sè x, y, z cÇn sö dông tÝnh chÊt cña tû lÖ thøc, tÝnh chÊt cña dÉy tû sè b»ng Muèn vËy cÇn sö dông gi¶ thiÕt cña bµi to¸n, ®i tõ gi¶ thiÕt cña bµi to¸n, biến đổi để xuất các tỷ lệ thức, các tỷ số C¸ch V× 5x = 8y  x y = (1) 8y = 20z  y z = 20   x = Tõ (1) vµ (2) y y = z (2) z = *Sử dụng tính chất dẫy số biến đổi để sử dụng điều kiện còn lại bµi to¸n C¸ch 2: V× 5.x = 8.y = 20.z x y z    1 20  C¸ch 3: 5x=8y=20z Cïng chia c¸c tÝch trªn cho BCNN ( 5, 8, 20 ) lµ 40 ta ®­îc x y 20 z   40 40 40  x = y = Lop7.net z =… Trong các cách giải trên:Cách đơn giản, dễ hiểu dài Cách 2: Ngắn song bước biến đổi lại phức tạp ( Cộng phân số khác mẫu) C¸ch 3:§èi víi häc sinh kh¸, giái phï hîp h¬n VÝ dô 2: T×m x, y biÕt 2x  3y  2x  3y    6x *Hướng dẫn học sinh nhận xét mối quan hệ các biểu thức tỷ số từ đó có c¸ch lµm hîp lý: Mét sè bµi to¸n: Bµi T×m sè x, y, z biÕt   x 1 y  z  vµ x.y.z = 12 Bµi T×m x, y biÕt y2  x2 x2  y2  vµ x10 y10 = 1024 Bài Tìm tỷ lệ cạnh tam giác biết cộng độ dài hai đượng cao tam giác đó thì tỷ lệ các kết là 5:7:8 D¹ng Chøng minh tû lÖ thøc Từ tỷ lệ thức có thể chuyển thành đẳng thức đúng hai tích Học sinh nắm vững phương pháp chứng minh tỷ lệ thức, sau này có thể giải tốt dạng toán chứng minh đẳng thức các lớp trên Do đó dạy tỷ lệ thức cần yêu cầu học sinh khá, giỏi hiÓu vµ chøng minh ®­îc c¸c tÝnh chÊt cña tû lÖ thøc vµ tÝnh chÊt cña dÉy tû sè b»ng VÝ du 1: Cho tû lÖ thøc Chøng minh r»ng : a c  b d  Víi ab cd  a c Giáo viên định hướng cho học sinh các cách chứng minh C¸ch Dùa vµo tÝnh chÊt cña tû lÖ thøc a c = b d  a.d = b.c Lop7.net a, b, c, d  §Ó cã ®­îc tû lÖ thøc ( §iÒu cÇn chøng minh ) cÇn cã hai tÝch b»ng Ta biÕn đổi tích thứ để có kết tích thứ hai XÐt tÝch (a-b) c = a.c - b.c = a.c - a.d = a.(c-d) VËy (a-b).c = a.(c-d) (V× a c   a.d = b.c b d §Æt thõa sè chung) ab cd  a c  C¸ch §Ó chøng minh tû lÖ thøc ( Hai tû sè b»ng ) ta chøng minh hai tû sè đó tỷ số thứ §Æt a c  =K b d NÕu cã: a  b.K  c  d K a  b b.K  b b( K  1) K     a b.K b.K K (1) c  d d K  d d ( K  1) K     c d K d K K (2)  Tõ (1) vµ (2)  ab cd  a c **GV hình thành cho học sinh cách chứng minh đẳng thức có thể biến đổi hai vế để chúng có cùng giá trị C¸ch V× a c  b d  b d  a c  ab cd  a c  1- b d  1 a c *Hướng dẫn học sinh giải bài toán nhiều cách khác nhau, cho học sinh nhận xÐt c¸c c¸ch gi¶i Gi¸o viªn chèt l¹i c¸ch nµo hay vËn dông vµ gi¶i quyÕt ®­îc nhiÒu bµi to¸n nhÊt Tuú theo tõng bµi mµ cã c¸ch gi¶i hîp lý VÝ dô Cho CMR: a c  b d d ) ( c   5a  3b 5a  3b  5c  3d 5c  3d C¸ch Sö dông tÝnh chÊt cña dÉy sè b»ng Lop7.net C¸ch Chøng minh tû sè cã cïng gi¸ trÞ a c  b d §Æt = K Khi đó hai tỷ số cùng b d C¸c bµi to¸n: Bµi Cho b2 = a.c Bµi Cho a c  b d Chøng minh r»ng a2  b2 a  b2  c2 c   vµ c  CM r»ng: a.b  ab    c.d cd  Bµi CM r»ng nÕu ta cã dÉy tû sè b»ng a a1 a a3     2005 a a3 a a 2006 Th× cã thÓ suy ®­îc biÓu thøc  a  a  a3   a 2005 a1   a 2006  a  a3  a   a 2006    2005 D¹ng TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc Sao cho a + b + c + d  VÝ dô 1: Cho bèn sè a, b, c, d; bcd cd a d ab abc    K a b c d BiÕt TÝnh gi¸ trÞ cña K C¸ch ¸p dông tÝnh chÊt cña dÉy tû sè b»ng ta ®­îc 3(a  b  c  d ) K abcd  K = C¸ch Céng thªm vµo mçi tû sè  a = b = c = d  K=3 C¸c bµi to¸n: Bµi 1: BiÕt a b c  ,  , 4 , a b c TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc Vµ P = a, + 3b, - 2c,  a  3b  2c a ,  3b ,  2c , Lop7.net Bµi Cho M= x  y  3z x  y  3z TÝnh gi¸ trÞ cña M biÕt c¸c sè x, y, z tû lÖ víi 5; 4; Bµi Cho c¸c sè A, B, C tû lÖ víi c¸c sè a, b, c Chøng minh r»ng gi¸ trÞ cña biÓu thøc Q = A.x  B y  C ax  by  c Kh«ng phô thuéc vµo gi¸ trÞ cña x,y Chuyên đề II: Phương pháp tam giác Đối với học sinh lớp bước đầu làm quen với bài toán chứng minh hình học Chứng minh đoạn thẳng nhau, góc Cách làm thông thường là cách làm coi là đó là: Gắn vào các tam giác, chứng minh các tam giác chứa các yếu tố cần chứng minh đó Các tam giác đó có thể là các tam giác có sẵn phải t¹o b»ng c¸ch vÏ thªm ®­êng phô §­êng phô cã thÓ lµ ®o¹n th¼ng nèi hai trung ®iÓm, h¹ ®­êng vu«ng gãc, song song,vÏ tia ph©n gi¸c… VÝ du1: Cho  ABC VÏ vÒ phÝa ngoµi tam gi¸c nµy c¸c tam gi¸c vu«ng c©n t¹i A lµ ABE vµ ACF a.CM r»ng BF = CE vµ BF  CE b.Gäi M lµ trung ®iÓm cña BC CM r»ng AM = EF Câu a GV hướng dẫn học sinh định hướng ban đầu Thường đặt hệ thống câu hỏi theo sơ đồ phân tích lên Gióp häc sinh thÊy ®­îc mèi liªn hÖ gi÷a kÕt luËn vµ giả thiết bài toán Những câu hỏi đó học sinh rèn, tập dượt nhiều lần Sau này đó chính là suy nghĩ, tư cña häc sinh lµm to¸n Lop7.net Sơ đồ phân tích lên: BE = CE ABF = AEC BAF = EAC AB = AE AF = AC ( = 90 o + BAC) (gt) (gt) Câu b: Học sinh vẽ tách riêng hình, định hướng cho học sinh cách chứng minh thường lµ c¸ch: Cách 1: Gấp đôi đoạn thẳng nhỏ đoạn thẳng CM đoạn đó đoạn thẳng lín Cách 2: Chia đôi đoạn thẳng lớn CM mét nöa cña nã b»ng ®o¹n th¼ng nhá Víi bµi to¸n lµm theo c¸ch ( H×nh vÏ ) Khai th¸c bµi to¸n: VÏ thªm ®­êng cao AH cña  ABC ( H  BC ) Chøng minh ®­êng th¼ng AH ®i qua trung ®iÓm EF Gọi I, K là trung điểm BE, CF Tính các góc MIK C¸c bµi to¸n: Bµi 1: Cho ABC vu«ng c©n t¹i A, trung tuyÕn AM Trªn c¹nh AB lÊy ®iÓm E, trªn c¹nh AC lÊy ®iÓm F cho  EMF = 90 o Chøng minh AE = AC Bµi 2: Cho ABC cã ®­êng cao AH vµ ®­êng trung tuyÕn AM chia gãc A thµnh gãc b»ng LÊy ®iÓm E thuéc c¹nh AC cho AE = AH a CM r»ng ME = BC b TÝnh c¸c gãc cña EMC Lop7.net c BiÕt AB = 4cm TÝnh AC Bài Cho tam giác ABC Gọi H, G, O là trực tâm, trọng tâm, giao điểm các đường trung trực tam giác đó Chứng minh a AH hai lần khoảng cách từ O đến BC b Ba ®iÓm H, G, O th¼ng hµng Chuyên đề III Phương pháp tam giác *Phương pháp tam giác thể cách vẽ hình phụ nhằm tạo thêm hình vÏ c¸c c¹nh b»ng nhau, c¸c gãc b»ng Gióp cho viÖc gi¶i bµi to¸n ®­îc thuËn lîi NhÊt lµ d¹ng to¸n tÝnh sè ®o cña gãc VÝ dô: Cho tam gi¸c ABC c©n ë A, A = 80o Gäi O lµ mét ®iÓm ë tam gi¸c cho OBC = 30o ,  OCB=100 TÝnh  COA *Hướng dẫn học sinh dựa vào mối quan hệ góc ABC c©n t¹i A, A=800  B = C = 500 *Liên quan đến góc tam giác 500 + 100 = 600 Vậy để dựng tam giác đều: Như hình vẽ Nèi D víi A :  CBO =  CDA (c.g.c)  CA=CO *Giáo viên có thể nhấn mạnh cho học sinh thấy rõ góc cần tìm số đo thường là góc đặc biệt góc gắn vào tam giác đặc biệt (  Cân, Vuông cân, nửa  đều…) gắn vào tam giác đã biết số đo các góc nó C¸c bµi to¸n Bµi Cho ABC c©n t¹i A, A=1000 Gäi O lµ mét ®iÓm trªn tia ph©n gi¸c cña C Sao cho CBO = 300 TÝnh  CAO Bµi Cho ABC C©n t¹i A, A=1000 Trªn tia AC lÊy ®iÓm D Sao cho AD = BC TÝnh  CBD Bµi Cho ABC C©n t¹i A, A=800 Trªn c¹nh BC lÊy ®iÓm I cho BAI =500 Trªn c¹nh AC lÊy ®iÓm K cho ABK=300 Hai ®o¹n th¼ng AI vµ BK c¾t t¹i H : CM r»ng  HIK C©n Lop7.net Lop7.net