Đang tải... (xem toàn văn)
Điều này trái với giả thiết vì đèn ánh sáng trắng có 671 bóng, đèn ánh sáng vàng nhạt có 673 bóng, đèn ánh sáng đỏ có 675 bóng tức là hiệu số bóng đèn giữa 2 bóng bất kì là 2 hoặc 4. Suy[r]
(1)HƯỚNG DẪN ĐỀ THI TUYỂN SINH THPT
CHUN HÙNG VƯƠNG MƠN TỐN 2018-2019
Nguyễn Đăng Khoa - Học sinh khóa 2014-2018 THCS Lâm Thao - Lâm Thao - Phú Thọ Ngày tháng năm 2018
Câu (2,0 điểm)
a, Cho a, b, clà số thực đôi khác thỏa mãn a+1
b =b+
1
c =c+
1
a =x (x∈R)
TínhP =x.abc
b, Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn x+y+z =
x +
1
y +
1
z = Tìm giá trị nhỏ
biểu thức T =x3+y3+z3 + 3xyz
Hướng dẫn
a, Ta có:a+
b =b+
1
c ⇔a−b = b−c
bc
Tương tự:b−c= c−a
ca ;c−a= a−b
ab
Nhân biểu thức với ta thu được:a2b2c2 = 1⇔abc= abc =−1
Nếuabc= giả thiết tương đương với:a+ac=b+ba=c+cb=x
Suy x3 =abc(a+ 1)(b+ 1)(c+ 1) =abc+ab+bc+ca+a+b+c+ =ab+bc+ca+a+ +b+c+
Mặt khác:a+ac=b+ba=c+cb=x→3x=a+b+c+ab+bc+ca
Suy x3 = 3x+ nên x= x=−1 Từ đóP nhận hai giá trị -1 Nếua+
b =b+
1
c =c+
1
a =
ab+
b =b+ab= 2⇔a=b= (loại)
Vậy P =−1
(2)1
x +
1
y+
1
z ≥
9
x+y+z =
Đẳng thức xảy khix=y=z =
Khi giá trị nhỏ P đồng thời giá trị làP = 162
Nhận xét:Bài tốn đề tính giá trị biểu thức cực trị đại số Câu 2(2,0 điểm) Cho a số nguyên dương Giả sử x1 < x2 < x3 ba nghiệm phương trình
x3 −3x2+ (2−a)x+a= 0
a, Chứng minh A= 4(x1+x2)−x12+x22+x23 không đổi a thay đổi
b, Đặt Sn =xn1 +xn2 +xn3 Chứng minh Sn số nguyên lẻ với n∈N
Hướng dẫn
a, Ta viết lại phương trình dạng:
(x−1)(x2−2x−a) = 0 nên phương trình có nghiệm x= 1;x= +√a+ 1;x= 1−√1 +a
Vìa số nguyên dương nên 1−√1 +a <1<1 +√1 +a
Suy x1 = 1−
√
1 +a;x2 = 1;x3 = +
√
1 +a x1+x3 = 2;x1.x3 =−a
Vìx1 x3 nghiệm phương trình x2−2x−a= nên ta có: x21 = 2x1+a x23 = 2x3+a
Suy P = + 4x1−x21+x23 = + 4x1−2x1 −a+ 2x3+a=
Vậy ta có điều phải chứng minh
b, Ta đặtQn=xn1 +xn3 Với n= n = Q0 =Q1 = số chẵn
Ta lại có:Qn+2 =xn1+2+x3n+2 = (x1+x3)(xn1+1+xn3)−x1x3(x1n+xn3) = 2.Qn+1+a.Qn
Theo ngun lí quy nạp thìQn số chẵn với số tự nhiên n
Suy Sn =xn1 +xn2 +xn3 = +Qn số lẻ
Vậy ta hoàn tất chứng minh Câu 3(2,0 điểm)
a, Tìm nghiệm nguyên dương phương trình x2(y+ 3) =y(x2−3)2.
b, Giải phương trình x2−2√2x−1 = 13x
2−28x+ 24
2x+
Hướng dẫn
(3)a, Ta có:x2(y+ 3) =y(x2−3)2 ⇔ y+
y =
x2−3
x
2 ⇔1 +
y =x
2+
x2 −6
Xét trường hợp x= y = 1, x= khơng thỏa mãn Nếux≥3 ⇔
y =x
2+
x2 −7> x
2−7≥2
⇒2y <3 nên y= từ suy x=
Kết luận nghiệm(x, y)∈ {(1,1); (3,1)} b, Quy đồng lên ta có phương trình:
x2(2x+ 1)−2(2x+ 1)√2x−1 = 13x2 −28x+ 24
⇔2(x−2)3+ 4(x−2) = 2(√2x−1)3+ 4√2x−1
Từ suy rax−2 = √2x−1⇒x=
Vậy S={5}
Câu 4(3,0 điểm) Cho nửa đường trịn tâm (O) đường kính AB = 2R, H điểm cố định đoạn OA Đường thẳng qua H vng góc với AB cắt nửa đường tròn cho C Gọi E điểm thay đổi cung
AC,F điểm thay đổi cung BC cho EHCd =F HCd a, Chứng minh tứ giác EHOF nội tiếp
b, Gọi R0 bán kính đường trịn ngoại tiếp tứ giác EHOF TínhEHFd R=R0 c, Chứng minh đường thẳngEF qua điểm cố định
(4)a, QuaE kẻ dây cungED vng góc với AB H thuộc trung trực ED Suy AHDd =EHAd =F HBd nên D, H, F thẳng hàng
Ta có: EF Od = 90◦− d
EOF
2 = 90
◦−
d
EDF =AHDd =EHAd Suy tứ giácEHOF nội tiếp
b, Gọi I tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác EHOF Vì R =R0 nên IO = IE = IF = EO =OF suy 4IEO 4IOF tam giác Suy EHFd =EOFd = 120◦
c, Kéo dàiF E cắt BA J Ta chứng minh J cố định
Ta có: 4OHF ∼ 4OF J(g.g) suy OH.OJ =OF2 =OC2 suy ra CJ là tiếp tuyến (O).
VìC cố định nên J cố định suy đpcm
Câu (1,0 điểm) Trung tâm thành phố Việt Trì có tất 2019 bóng đèn chiếu sáng đô thị, bao gồm loại: Đèn ánh sáng trắng có 671 bóng, đèn ánh sáng vàng nhạt có 673 bóng, đèn ánh sáng đỏ có 675 bóng Vào dịp giỗ tổ Hùng Vương, người ta thực việc thay bóng đèn theo quy luật sau: Mỗi lần tháo bỏ hai bóng đèn khác loại thay vào bóng đèn thuộc loại cịn lại Hỏi đến lúc tất bóng đèn trung tâm thành phố loại không?
Hướng dẫn
Giả sử ta thắp tồn thành phố loại bóng đèn A, hai loại cịn lại bóng loại B C Khi số bóng B C 0, tức hiệu số bóng đèn B C
(5)Nếu lần thay trước ta thay bóng A, B thành bóng C hiệu số bóng đèn B C tăng giảm bóng
Tương tự thay bóng A, C thành bóng đèn B hiệu số bóng đèn B C tăng giảm bóng
Nếu thay hai bóng đèn B, C thành hai bóng đèn loại A hiệu số giữ ngun khơng đổi Vậy hiệu số bóng B C là3k (k ∈N)
Điều trái với giả thiết đèn ánh sáng trắng có 671 bóng, đèn ánh sáng vàng nhạt có 673 bóng, đèn ánh sáng đỏ có 675 bóng tức hiệu số bóng đèn bóng
Suy điều giả sử sai nên ta thắp sáng tồn thành phố bóng đèn màu