Trong đề thi chọn đội tuyển để chuẩn bị cho kì thi VMO 2020 của tỉnh Phú Thọ có một bài hình đơn giản và đẹp. Qua bài viết này tác giả muốn khai thác và mở rộng một số tính chất của bài [r]
(1)KHAI THÁC BÀI TỐN HÌNH HỌC CHỌN ĐỘI TUYỂN PHÚ THỌ 2019 - 2020
Nguyễn Đăng Khoa - THPT Chuyên Hùng Vương SEPTEMBER 2019
1 Giới thiệu
Trong đề thi chọn đội tuyển để chuẩn bị cho kì thi VMO 2020 tỉnh Phú Thọ có hình đơn giản đẹp Cụ thể đề thi tác giả gõ lại đăng [1] Qua viết tác giả muốn khai thác mở rộng số tính chất tốn hình học Mong bạn đọc tiếp tục tìm tịi phát triển thêm cho tốn
2 Bài toán
Bài toán Cho tam giác ABC thỏa mãn AB = AC > BC Gọi I tâm đường tròn nội tiếp tam giác BI cắt AC D, lấy điểm J đối xứng với I qua AC Đường tròn ngoại tiếp tam giác BDJ cắt đoạn AI E
a) Chứng minh EDkIJ b) Chứng minh AE
AI ≥
K
E J
I
(2)Chứng minh a) Ta định nghĩa lại điểm E giao điểm AI đường thẳng qua D song song vớiIJ Lấy K giao điểm IJ với AC, M trung điểm BC
Do AB > BC nên ta có ∠IDC <90◦ hay ta thu D nằm đoạn AK Từ E nằm đoạn AI, ta chứng minh E nằm (BDJ) điểm E ta định nghĩa lại trùng với điểm E giả thiết ban đầu hay ta có đpcm
Trước hết ta có ∠EDJ =∠EDC+∠CDJ = 90◦+∠IDC = 90◦+∠BAC+ 12∠ABC Và ∠BIJ =∠BIC+∠CIJ = 180◦−∠ABC+ (90◦−
2∠ABC) = 90 ◦+
∠BAC+ 12∠ABC Suy ∠BIJ =∠EDJ
Ta chứng minh tỉ số ED DJ =
IB
IJ Thật vậy, ta có ED
DJ = DE
DI =
sin∠AID sin∠AED =
sin∠BIM sin∠AED =
cos∠ACB2 sin∠ACB =
1
2 sin∠ACB2 = IC 2IK =
IB IJ Suy 4EDJ ∼ 4BIJ ⇒∠DEJ =∠DBJ nên từ ta có E nằm (BDJ) (đpcm) b) Do DE kIJ nên ta có tỉ số AE
AI = AD AK
Ta đặt độ dài cạnh AB =AC =b, BC =a Ta có AD DC = AB BC = b a nên AD AC = b
a+b ⇒AD= b2
a+b AK =
AB+AC−BC
2 =
2b−a Vậy ta viết bất đẳng thức lại thành
b2
(a+b)(2b−a) ≥
9 ⇔(b−2a) ≥
0 Vậy ta hoàn tất phép chứng minh
Cách (cho phần a)
Ta có 12∠BEJ = 12∠BDJ =∠BDC =∠BAC+12∠ABC = 180◦−∠BCJ
Mặt khác ED =EC E nằm khác phía với C so với đường thẳng BJ nên E tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCJ
Khi ta có
∠DEJ =∠DBJ =∠IBC−∠J BC =∠KCJ−1
2∠J EC = 90 ◦−
∠KJ C−
2∠J EC =∠EJ I Suy ED kIJ
Bình luận Đây tốn đẹp, nhẹ nhàng mà lại có nhiều tính chất hay Câu hỏi đặt thay tâm nội tiếp thành tâm bàng tiếp Kết cho ta toán
(3)3 Một số tính chất
Chúng ta khai thác số tính chất thú vị từ toán
N
L F
E
K J I
D
M
B C
A
Tính chất Lấy F giao điểm khác E AI với (BDJ) Khi ta có F, C, J thẳng hàng
Chứng minh Ta biết E tâm (BCJ) nên từ ta có EB = EJ Kết hợp F nằm trung trực BC nên ta có ∠EF J =∠BF M =∠M F C Suy F, C, J thẳng hàng
Tính chất AC cắt (BDJ) L khác D Khi EL, BJ, IC đồng quy tạiN
Chứng minh Ta biết ED ⊥AC nên suy EL đường kính (BDJ) mà EB =EJ nên EL qua trung điểm BJ
(4)Tính chất DF chia đôi IC
Chứng minh DF chia đôiIC tương đương với sin∠DF J sin∠EF D =
F I F C hay
DJ DE =
F I F C Chú ý ta có hai tam giác 4J DE ∼ 4J IB nên DJ
DE = IJ IB Nên ta chứng minh IJ
IB = IF F C ⇔
F C CI =
F I IJ Điều hiển nhiên 4F CI ∼ 4F IJ (c.g.c) Vậy ta kết thúc phép chứng minh
Tính chất Giả sử đường tròn (BDJ) cắt lại (ABC) ởX Lấy P giao điểm ED với CX, Qlà giao điểm BD CJ Khi P Qđi qua A
Chứng minh Trước hết ta có∠QBC+∠QCB = 2∠ABC nênQ điểm cung nhỏAC đường trịn (ABC)
Bằng cộng góc đơn giản ta có ∠QXL=∠BXQ+∠BXL=∠BCQ+∠BDC = 180◦ nên ta thu Q, X, Lthẳng hàng
P N F X L R E Q K J I D M B C A
Ta định nghĩa lại điểm P giao củaCX với AQ Ta chứng minh E,D, P thẳng hàng Giả sử AX cắt DQ R Khi ta có
∠XRQ =∠ACB +∠XBQ=∠ACB+∠XLD=∠ALF +∠XLD=∠XLF =∠XJ Q ∠QP X =∠AQC−∠QCX = 180◦−∠ACB−∠QBX = 180◦−∠QRX
Vậy ta có năm điểm Q, R, J,X, P đồng viên
Suy ∠RJ Q=∠RXQ= 12∠ABC =∠RBC nên R thuộc (BJ C)do ER =EJ (1) Mà ta dễ có ∠J RP =∠J QP =∠ABC =∠AXP =∠RJ P nên P R=P J (2)
(5)Mặt khác ∠RJ Q = 12∠ABC = ∠ACQ nên RJ k AC hay ta có EP ⊥ AC, tức E, D, P thẳng hàng
Kết thúc phép chứng minh
Tính chất LấyY giao điểm BX IJ Khi Y Q vng góc với AM
Q'
J'
P
Y
X
A'
L F
Q
E
K
J I
D
M
B C
A
Chứng minh Bằng cộng góc ta có tam giác QAI cân Q
Ta định nghĩa lại điểm Y giao điểm trung trực AI với IJ Ta chứng minh B, X, Y thẳng hàng
Trung trực AI cắt (ABC) điểm thứ hai Q0 khácQ, IJ cắt lại (BDJ)tại J0 khácJ Ta có EDkJ J0 mà DI =DJ nên tứ giác EDIJ0 hình bình hành
Ta có Q0A = Q0I = Q0B J0B = J0I DI = DJ, từ Q0J0 trung trực BI hay Q0J0 ⊥BI
Mà J0B =J0I =ED nên J0EDB hình thang cân, suy ∠Q0J0E = 90◦ Ta có ∠EJ0J +∠Q0QJ =∠EF J+∠Q0QJ = 90◦ suy ∠Q0QJ+∠Q0J0J = 180◦
Vậy ta có tứ giácQ0QJ J0 nội tiếp Từ áp dụng định lý trục đẳng phương cho ba đường tròn (QQ0J), (BDJ) (ABC) ta có ngayBX qua Y
Vậy ta có đpcm
(6)Tính chất Bốn điểmE, I, C, X nằm đường tròn
B' C' R T P
X
F L
E
Q
K
J I
D
M
B C
A
Chứng minh Ta lấy lại điểm R giao AX với BQ Ta có R, Q, P, X, J nằm đường tròn
Suy ∠ICA = ∠CAQ nên AP k IC từ ta có ∠RIC = 180◦ −∠RQP = ∠RXP hay IRXC nội tiếp (1)
Để ý ta có ∠AEP =∠AXP =∠ABC nên tứ giácAEXP tứ giác nội tiếp Suy ∠AIQ =∠AP E =∠EXR nên tứ giác EIXRlà tứ giác nội tiếp (2) Từ (1) (2) ta có E, I, C,X đồng viên
Nhận xét Ta lấy T giao điểm củaEP CQthì T nằm (EIC) Giả sử RP cắt AC AB tạiC0 B0 C0 ∈(CIE)và B0 ∈(AXP) (Bạn đọc tự chứng minh)
Tính chất LấyZ giao điểm BX với DE Khi ZA tiếp tuyến của(ABC)
(7)Tính chất BJ, DF, M K đồng quy
W Q'
U
V
L X
F
K E
Q
J D
I
M
B C
A
Chứng minh Ta biếtBF,CI cắt tạiQ0 trung điểm cungAB của(ABC).DJ cắt CQ0, BF W V IJ cắt BC U
Áp dụng định lý Desargues cho hai tam giác BM F DKJ điều cần chứng minh tương đương với ba điểm A, V, U thẳng hàng Ta có tam giác CAU cân C nên CQ0 vng góc với AU
Do I, J đối xứng qua AC nên Q, W đối xứng qua AC từ AW = AQ= AQ0 từ AU trung trực Q0W
Mặt khác ta có ∠V W Q0 =∠CW D =∠CQD=∠BQ0C =∠V Q0W Suy V nằm trung trực Q0W A, U, V thẳng hàng (đpcm)
(8)4 Bài toán mở rộng tương tự
Bài toán mở rộng Cho tam giác ABC nội tiếp đường trịn (O) có tâm đường trịn nội tiếp (I) BI cắt AC D Qua D kẻ đường thẳng vng góc với AC cắt OI E Lấy J đối xứng với I qua AC Chứng minh (BDJ)đi qua E
Phân tích Bài tốn cố gắng hai tam giác đồng dạng mắc chỗ tính tỉ số hai cạnh Do ta cần có bổ đề quen thuộc sau
Bổ đề Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) ngoại tiếp đường tròn(I) Đường tròn (I) tiếp xúc với ba cạnh tam giác D, E, F Khi OI đường thẳng Euler tam giác DEF
Chứng minh Bổ đề quen thuộc xuất nhiều nên bạn đọc tự chứng minh Ta quay lại toán ban đầu
E
K H P
M
N
J D
I O
C A
B
Chứng minh Ta gọi tiếp điểm (I) với ba cạnh BC, CA, AB M, N P Lấy H trực tâm tam giác M N P K trung điểm M P
Theo bổ đề ta có H, I, O thẳng hàng cộng góc đơn giản ta có ∠J DE =∠J IB Chú ý tam giác 4HIN ∼ 4IED (các cặp cạnh tương ứng song song) nên
J D DE =
ID ED =
HN IN
Mặt khác ta cóHN = 2IK nênHN·IB= 2IK·IB= 2IN2 từ suy ra HN IN =
2IN IB =
(9)Ngoài cách thay tâm nội tiếp thành tâm bàng tiếp tác giả sử dụng phép nghịch đảo để thu toán sau
Bài toán tương tự Cho tam giác ABC cân A có tâm đường trịn bàng tiếp góc A Ia Lấy J điểm đối xứng với Ia qua AC Trên tiaAC lấy D cho IaD=IaC Gọi E hình chiếu Dlên AI Chứng minh bốn điểm B, D, E,J đồng viên
E'
D'
E D
J J'
Ia
I
M A
C B
Chứng minh LấyI tâm đường tròn nội tiếp tam giácABC.BI cắtAC tạiD0, qua D0 kẻ đường vng góc với AC cắt AI E0 Lấy J0 đối xứng với I quaAC
Ta có ∠AID0 = 90◦−
2∠ACB =∠IaCD =∠IaDC suy AI·AIa =AD·AD 0. Xét phép nghịch đảo tâm A phương tích AB2 thì
I ↔Ia, D↔D0, J ↔J0, B ↔B
Theo toán ban đầu B,E0,D0,J0 nằm đường trịn nên suy raB, D,E,J nằm đường tròn
(10)Cách
J
E D
Ia
M A
C B
Chứng minh Gọi M trung điểm BC, ta chứng minh 4BDJ ∼ 4EM B
Do tam giác ABC cân A nên ta có CB = CD từ ∠BDJ = ∠BDC + ∠CDJ = ∠IaCD+∠BDC = 90◦ =∠EM B
Ta có BM DJ =
BM IaB
= sin∠BIaM = sin∠DBC = M E
BD hay BM M E =
DJ DB
Suy hai tam giác 4BM E ∼ 4J DB nên ∠BJ D =∠EBM = 180◦−∠BED Từ ta có BEDJ nội tiếp (đpcm)
Nhận xét.Bài tốn có tính chấtCIa chia đơi đoạn BJ (gần giống tính chất 2), từ suy tâm đường trịn (BDJ) nằm IaC Bạn đọc tự chứng minh tính chất
Bài toán tương tự Cho tam giác ABC cân A có tâm đường trịn nội tiếp I Dựng hình thoi ICJ D cho D nằm AC Gọi E hình chiếu D lên AI Chứng minh bốn điểm B, D, E,J nằm đường tròn
Lời kết Mong bạn đọc tìm thấy điều thú vị mẻ tốn thơng qua viết Mọi ý kiến trao đổi xin gửi địa khoanguyen17112003@gmail.com
(11)Tài liệu tham khảo
[1] Đề thi chọn đội tuyển tỉnh Phú Thọ 2019 - 2020
https://drive.google.com/file/d/1R7Vqczp1VTCJJIZiYC84Uq06D41p4Qp7/view
[2] Group Hướng tới VMO - TST
https://www.facebook.com/groups/vmo.tst/
[3] Blog Toán học Khoa Nguyễn
Đề thi chọn đội tuyển tỉnh Phú Thọ 2019 - 2020https://drive.google.com/file/d/1R7Vqczp1VTCJJIZiYC84Uq06D41p4Qp7/view Group Hướng tới VMO - TSThttps://www.facebook.com/groups/vmo.tst/ Blog Toán học Khoa Nguyễnhttp://khoalinhmathematics.blogspot.com/