lượng giảng dạy của giáo viên, và chất lượng học tập của học sinh nhằm chuyển tải kiến thức cho học sinh một cách tích cực và tự nhiên để học sinh vận dụng một cách linh hoạt. tự tìm [r]
(1)
ĐỔI MỚI PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC
(2)
CHUYÊN ĐỀ
KHAI THÁC BÀI TOÁN
QUA TIẾT LUYỆN TẬP ; ÔN TẬP
(3)NỘI DUNG :
1/ Mở đầu
2/ Giải tốn ? 3/ Tìm phương án khác 4/ Sai lầm đâu ?
5/ Kết hợp với số học; lượng giác, đại số; hình học 6/ toán thực tế
(4)I/ Mở đầu:
• Đổi phương pháp dạy học nhằm nâng cao chất
lượng giảng dạy giáo viên, chất lượng học tập của học sinh nhằm chuyển tải kiến thức cho học sinh một cách tích cực tự nhiên để học sinh vận dụng một cách linh hoạt tự tìm tịi; độc lập sáng tạo.
• Một số ví dụ minh hoạ tiết luyện tập; ơn tập tuỳ
theo đối tượng học sinh nên tốn khai
(5)II/Giải toán nào?:
Bài toán 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử x2 - 4x +
( 57a /sgk/ trang 25 - L8)
Cách 1: Tách số hạng cuối ( = -1 )
x2 -4x +3 = x2 – 4x + 4 -1 = (x2 -1) – (4x -4)
= (x-1)(x+1) -4(x-1) = (x-1)(x-3)
Cách 2: Tách số hạng (- 4x = -x -3x ) x2 -4x + = x2 –x - 3x +3 =
(6)Cách 3: tách số hạng đầu (x2 = 4x2 – 3x2 )
x2 - 4x +3 = 4x2 – 3x2 -4x +3 = (4x2 -4x) –(3x2 –3)
= 4x(x-1) - 3(x2 -1)
= 4x(x-1) - 3(x-1)(x+1)
= (x-1)(4x-3x-3) = (x-1)(x-3)
Cách 4: thêm , bớt ( ;- 4)
x2 -4x +4 - 4 +3 = (x2 -4x +4) –
(7)Bài toán2: Cho tam giác ABC nhọn có AB <AC và đường cao BH; CK Chứng minh: BH < CK
Cách1: Tam giác ABH vuông nên BH = AB sinA Tam giác ACK vuông nên CK = AC sinA
Suy BH : CK = AB:AC < ( AB <AC ) Vậy BH < CK
Cách 2: Tam giác BHC vuông nên BH = BC sinC Tam giác BKC vuông nên CK = BC sinB
Mà AB < AC nên góc C < góc B sinC < sinB Vậy BH < CK
A
B C
(8)Cách 3: ∆ABH ∞ ∆ACK (g-g)
Suy BH : CK = AB:AC < ( AB <AC ) Vậy BH < CK
Cách 4: S = 1/2 BH.AC = ½ CK.AB Hay BH.AC = CK.AB
(9)Bài tốn 3: Tìm chữ số x, y để số ( I ) Cách 1:
1234xy 72
1234 123400 72 123336 64 72 64 72 ( 123336 72; 99
64 64 163
64 72 ;144 64 72
64 72 08
64 144 80
xy xy xy
xy vi xy
(10)Cách 2: Ta có
(I)
*Từ (1) (2) suy
72 8.9 ; (8;9) 1234 4 8
1 1234 xy xy x y xy
* 400 8
08;16; 24;32; 40; 48;64;72;80; (1)
Khi xy xy xy
xy
* 9
8
17 ( ; ; ; ) (2)
Khi x y
x y x y
x y vi x y x y N
(11)III/ Tìm phương án khác
Phương án1: Nếu O O’ nằm khác phía AB
Gọi (O;13cm) (O’;15cm) dây chung AB = 24cm;
AB cắt OO’ H
Ta có AB OO ’ ;
Nên HA = HB = 24 :2= 12 (đ/lí ) Xét tam giác vng HAO HAO’ Có OA = 13; HA = 12 nên OH =5 Và O’A = 15; HA = 12 nên O’H = 9 Do OO’= 5+9 = 14(cm)
Bài tốn1: Hai đường trịn cắt có bán kính 13cm và 15cm ; có dây chung 24cm Tính khoảng cách giữa hai tâm ? ( SBT lớp 9//tr 137/tập 1)
H B A O
O'
(12)-Phương án 2: Nếu O O’ nằm phía AB
Tương tự Tính OH = ; O’H = Do OO’ = - = (cm)
Vậy toán có kết : 14 (cm); (cm)
B A
O' O
H
(13)Phương án Phương án
A Ô
O O'
O' B
A B
-Hình1 : Ta có AB = OB – OA = - =
Nên bán kính (O’) O’B = O’A = (cm
-Hình2 : Ta có AB = OB + OA = + =14
(14)Bài toán 3: Cho tam giác ABC vuông A; đường cao AH và, Tính
Phương án : Nếu AB <AC
Vẽ trung tuyến AM ; ta có AM = BC/2 ; AH2 = 3/16 BC2
Xét tam giác AHM vuông
Do tam giác MAB ( MA=MB )
Vậy 2 16 AH
BC ABC ?
2
2 2
4 16 16
4
BC BC
HM MA AH BC BC AM
HM
600
2
HM
cos AMB AMB
AM
ABC 600
M A
(15)Phương án : Nếu AB >AC
Ta chứng minh tương tự
nên tam giác MAC
C 600 ABC 300
2
2
1
2
BC M H AH
AH AH BC BC
M A
B H C
Phương án : Nếu AB = AC
Thì tam giác ABC vng cân
M A
C H B
(16)III/ Sai lầm đâu ?
- Đặt y2 = x2 nên A = y2 + 2y + = (y+1)2 + > 0
Vậy đa thức cho khơng thể phân tích thành tích đa thức có bậc nhỏ 4
-Nhận xét : sai tam thức bậc hai (ẩn y )khơng thể phân tích thành nhị thửc bậc (ẩn y) ( tam thức khơng có
nghiệm thực)
- Giải : A = x4 +2x2 +9 = x4 + 6x2 +9 – 4x2
= (x2 +3)2 – (2x)2 = (x2 +2x+3)(x2 -2x +3)
Bài tốn1: Phân tích đa thức thành nhân tử
(17)Bài toán2: Gọi O trung điểm đoạn thẳng AB, Vẽ tia Ax, By vng góc với AB hai phía AB; Lấy điểm M tia Ax điểm N tia By cho AM = BN
Chứng minh O trung điểm MN
H/S: Xét tam giác AMO tam giác BNO có OA=OB (gt);
AM=BN (gt) (cgc) Suy OM = ON
Do O trung điểm MN
Nhận xét: Chưa chứng minh : điểm M;O;N thẳng hàng
A B 900
AMO BNO
x
y
//
// O
A B
M
(18)Bài tốn3: Cho đường trịn tâm O đường kính AB; gọi S trung điểm OA; vẽ (S;SA) cát tuyến AMN đường tròn ( M thuộc (S); N thuộc (0) ) Chứng minh SM // ON
- Học sinh giải : đường trịn tiếp xúc A Và SA=SM =1/2 OA = 1/2ON
Do
-Nhận xét : Lời giải dụng ý vận dụng
định lý đảo định lý Ta létvà đường trung bình tam giác ;nhưng cách vận dụng không
-Vi dụ: cho tam giác ABC; có EF đường trung bình nên EF//BC
Lấy điểm D cạnh AC cho ED=EF (D khác F ) Ta có
1
/ /
SA SM
SM ON OA ON
1
AE EF
AB BC
(19)IV/ Kết hợp hình học, đại số; lượng giác;và số học
Bài toán 1: Vừa gà vừa chó Bó lại cho tròn Ba mươi sáu con
Một trăm chân chẵn Hỏi có gà ? chó ?
a/ Giải số học : Dùng phương pháp giả thiết tạm
Giả sử 36 gà;
số chân 36 = 72 (chân ) Nên số chân thiếu 100 – 72 = 28 (chân) Là có số chó Nếu lấy gà
thay chó vào số chân tăng lên – = (chân) Nên số chó 28 :2 = 14 (con chó)
(20)b/ Đại số:
1/ Lập phương trình :
Nếu gọi x số gà ta lập phương trình 2x + (36-x) = 100
Giải ta x = 22 (gà) ; số chó 36-22 = 14 (con) 2/ lập hệ phương trình :
Nếu gọi x số gà
y số chó ( x; y nguyên dương ) Ta lập hệ PT
Vậy số chó 14 (con);
36 22
2 100 14
x y x
x y y
(21)Bài toán 2: Cho tam giác ABC nhọn; đường cao AH; BI; CK cho
Chứng minh : Tam giác ABC
Giải kiến thức hình học
Vẽ KG IM vng góc với BC
Vì S(BKH) = S(CHI) nên KG.BH = IM.HC (1) Ta có KG//AH nên (2) Và IM // AH nên (3) Từ 1;2;3 suy BG = MC (4) Các tam giác BIC BKC vuông ; áp dụng định lý Của tam giác vuông IC2 = MC.BC
BK2 = BG.BC
Suy IC =BK (5) nên Do
Tương tự
AIK BHK CHI
S S S
KG BG
KG BH AH BG
AH BH
MI MC
MI HC AH MC AH HC
BGK CMI
B C
A C A B C ABC
A
B C
K I
H
(22)- Dùng kiến thức lượng giác
2
2
.sin
cos cos sin / : ; AIK ABC CHI BHK ABC ABC
S AI AK A AI AK
A A cos A
S AB AC A AB AC
S S
T T cos B cos C
S S
AIK BHK CHI
S S S
2 2
cos A cos B cos C
A B C K I H G M
cos A cos B cosC A B C
(23)Bài tốn 3: Cho hình vuông ABCD; gọi M;N thứ tự trung điểm CD DA E giao điểm
BM CN Chứng minh Ta có : (cgc) Suy
BM CN
BCM CDN
0 1 1
0 1
; 90
90
B C B M C M
(24)Giải phương pháp đại số
Trên hệ toạ độ Oxy ( hình vẽ) với m >
Lấy điểm A(o;o) ; B(o;m) ; C(m;m) ; D(m;o) ;M(m; m/2) ; N(m/2; o) phương trình đường thẳng BM có dạng y=ax+b
Khi qua điểm B(o;m) b = m
Khi qua điểm M (m;m/2) m/2 = a.m +m Suy a = -1/2
Vậy PT đường thẳng BM (1) Tương tự PT đường thẳng CN (2) Ta thấy a.a’ =-1/2 = -1
Vậy
1
y x m
2
y x m
BM CN
(25)V/ CÁC BÀI TOÁN THỰC TẾ
Bài toán 1: Trong bữa tiệc nhóm bạn , họ gặp tay bắt mặt mừng; đếm tất 28 bắt tay Hỏi có người ?
Giải: Gọi x số người tham dự (x> nguyên) người bắt tay với (x-1) người lại Có x người có tất x.(x-1) bắt tay, A;B bắt tay tính lần Do số bắt tay x (x-1) /2 = 28
hay x.(x-1) = 56 ( tích số tự nhiên liên tiếp ) x.(x-1) = 8.7 nên x =
(26)Bài toán 2: Một nhà buôn đồ cổ mua đồng hồ cũ giá 100 đồng ông ta bán lại giá 120 đồng Rồi sau mua lại giá 140 đồng , bán giá 160 đồng Hỏi ông mua bán có lãi khơng ?
Bạn A tính - Mua 100 đ bán 120 đ lãi +20 đ
- Rồi lại mua vào 140 đ lỗ - 20 đ - Rồi lại bán 160 đ lãi +20 đ Vậy sau vụ mua bán lãi 20 đồng
Bạn B tính:
Lợi nhuận = Phần thu – phần chi
= ( 120+ 160) – (100 + 140) = 40 đ Vậy sau vụ mua bán lãi 40 đồng
(27)Bài toán 3: Một chai rượi giá 70000 đồng, rượu chai giá chai không 60000 đồng Vậy chai không giá ?
Giải : Gọi x giá tiền chai không Giá tiền rượu (60000 + x)
Ta có Pt (60000 + x) + x = 70000 nên x= 5000 Vậy chai không 5000 đồng
Bài tốn 4: Có trồng 10 hàng, hàng Hỏi trồng ?
E
F D
B
(28)Bài toán 5 Một thùng đầy dầu lít; hai thùng khơng lít lít Tìm cách sang để có lít dầu ? ( dùng thùng đó)
Cách 1
Thùng Lúc đầu Lần Lần Lần Lần Lần (lít) 1
5 (lít) (lít)
Cách
(29)VI/ CÁC BÀI TOÁN Và CÁC NHÀ TOÁN HỌC:
1/ Bài tốn Gauss: Tính tổng 1+2+3+… +98+99+100
2/ Dãy số Fibonaxi ; ; ; ; ; ; 13 ; 21 …
3/ Bài toán Platon 33 + 43 + 53 = 63
4/ Bài toán Boglanov-Belski : Tính nhẩm 102 11 122 13 142
365
(30)5/ Bài tốn Gơnbach - Ơle ( bài155/ SBT/ tập 1) 6/ Bài toán Papus ( 39/ sgk/tr 116/ tập1)
7/ Phân số Ai Cập Tính tổng
8/ Bài tốn Pascal : Một thùng đầy dầu lít; hai
thùng khơng lít lít Tìm cách sang để có lít dầu ?( dùng thùng đó)
Lớp 7
1 1 1 1
1.2 2.3 3.4 (n 1).n
9/Bài tốn Hê-rơng (bài 49 /sgk/ tr77 62/SBT/tr31)
(31)11/ Đường thẳng Ơle (Sgk / tr 84/T2 )
12/ Tam giác Ai cập; Tam giác pitago;
Lớp 8
13/ Tam giác vàng; Hình chữ nhật vàng 14/ Tam giác Hê-rông; Tam giác pascal
15/ Bài toán Sophie-Germain: x4 + (bài 57/sgk/tr125/tập1)
16/ Bất đẳng thức Côsi: (sgk/ tr 40/ tập2)
(32)Lớp 9
18/ Đường thẳng Símon ; Đường thẳng Steiner… 19 / Đường trịn Ơ le: Đường trịn Apollonius…
24/ Bài tốn Napơlêơng :
Cho tam giác vẽ bên ngồi tam giác có cạnh
cạnh tam giác cho Chứng minh tâm đường tròn ngoại
20/ Bài toán Apollonius : ( TT 40/sgk/tr 123/tập1 )
21/ Bài toán Napôlêông (TTbài 10b/sgk/ tr 71/tập 2)
22/ Bất đẳng thức Côsi: cho ba số không âm (SBT/tr17/T1)