Dãy số đơn điệu và dãy số có giới hạn - Lê Phúc Lữ

Ý tưởng này có thể vận dụng để giải nhiều bài toán giới hạn dãy số từ dễ đến khó.. Bài tập vận dụng, rèn luyện..[r]

Chủ đề

DÃY SỐ ĐƠN ĐIỆU VÀ DÃY SỐ CÓ GIỚI HẠN A Kiến thức cần nhớ

Xét dãy số thực (un) đơn điệu tăng (trường hợp giảm tương tự) Ta biết rằng:

- Nếu dãy bị chặn hội tụ, tức có giới hạn hữu hạn

- Nếu dãy khơng bị chặn có limun  , tức có giới hạn giới hạn vô cực

Điều cho thấy dãy tăng ln có giới hạn Ý tưởng vận dụng để giải nhiều tốn giới hạn dãy số từ dễ đến khó

* Một kết quan trọng: 1) Tổng 1 1

1

n s

n

      

Thật vậy, xét hiệu 4 2 1 1; 8 4 1 1 1,

3

s    s s      s tương tự 2 2 1

k k

s s  

nên số tổng tăng thêm gấp đôi tổng tăng thêm 1

2 đơn vị; giá trị không

nhiều đủ làm cho sn tới vơ cực

2) Tổng 12 12 12 12

1

n v

n

     bị chặn

Thật vậy, 1 2

1 2 ( 1) n

v

n n n

      

     Từ thấy hội tụ

3) Tổng cấp số nhân lùi vơ hạn:

Cấp số nhân có cơng bội q ( 1;1) lim . n

u S

q





B Bài tập vận dụng, rèn luyện Bài Cho dãy số (un) thỏa mãn

1 2

2016 2018, 2017, n n n

u u u u u

n

 

     với n1

1 2

1

1

1, n ,

n

u u n

u u u



  

   với n1

Chứng minh un hội tụ tính limun

Bài Cho dãy Fibonacci (Fn) xác định F1F2 1,Fn2Fn1Fn Xét dãy số sau

1

1

2 2

n

n n

F F F

u     Tính limun

Bài Cho dãy số (an) thỏa mãn

1

1

1

1, n n ,

n

a a a n

a a a



   

   Chứng minh liman  

Bài Cho dãy số (an) thỏa mãn

2

3,

4 n n n 4, a

a a a n

  

    



Chứng minh liman  tính

1

2

2 lim

1

n n n

n n n

a a a

a a a

 



 

 

Bài Cho dãy số (an) thỏa mãn

1

1

2

1, 2,

3

,

n n

n

a a

a a

a n

n

 

  



 

   



a) Đặt 1

n n n

a

b a   , chứng minh bn bị chặn

b) Chứng minh (an) hội tụ

Bài Cho dãy số (un) thỏa mãn

2

1

2018

,

2017 n n n n n

u u u u

u



    với n1

a) Thử thay u11 để công thức tổng quát un, từ dự đốn khoảng giá trị (un) tính  u2018

b) Chứng minh

1

1 1

n

n a

u u u

    hội tụ

c) Chứng minh

1

1

n

n n b

u u u

Bài 8* Cho dãy số (xn) thỏa mãn x1 a x, n 1 xn x2n n



   Chứng minh (xn) hội tụ

Bài 9* Cho a0a b, 0b với a b, 0 Xét dãy số (an),( )bn thỏa mãn

1 1

1

,

2017 2018

n n n n n

n n

a a b a b

a b

       với n0

a) Chứng minh tồn k để ak2018 b) Chứng minh limbn 

c) Chứng minh dãy số (an) hội tụ

Bài 10* Với số nguyên dương n, xét f n( ) tích chữ số n Xét dãy số

1

u  a  un1un f u( n)

Chứng minh tồn số hạng dãy mà chữ số có chữ số

Gợi ý cho

Bài Dễ thấy u3u1 nên 4 3 2 2016 2 1 2016 3

2

u  u  u  u  u u , quy nạp dãy giảm Mà dãy bị chặn nên hội tụ, đặt limun  L 0, thay vào có L2

Bài Dễ thấy 1 2 2 2 2 2 2

1 2

1

n n

n n

u u

u u u u u u





  

      nên dãy giảm, bị chặn

bởi nên hội tụ Đặt limun  L Viết 1 2 2 2 3

1

1

1 1

n n

n n

n n

u u

u u u u u

u

   

     nên suy

ra

1

n n n n

u u u u Đến thay L vào để có lim0

Bài Nhắc lại công thức tổng quát dãy 1 5

2

5

n n

n F

    

      

   

       

 

nên dễ thấy un

tổng hai cấp số nhân có cơng bội

1 5

,

4

q   q   lùi vô hạn

Suy

1

1

lim

1

5 n

q q

u

q q

 

 

    



 

Bài Rõ ràng dãy cho tăng Nếu bị chặn, đặt chặn C unC,n

Ta có

1

n n

a a

nC

   , suy 1

1 1

1 n

a a

C n



 



       , mâu thuẫn

Bài Ta có an1an nên dãy tăng Nếu dãy bị chặn có liman L 0, thay vào thấy vơ

lý Chú ý 4 n 5 3 1 lim n 2

n n n

a a

a a a

 

      , biểu thức cho, chia tử mẫu cho

n

a tính giới hạn Bài a) Ta có

2 2

4

2

n n

n n n n

a a

a a b b

n n



          nên dễ thấy ( )bn bị chặn

b) Ta có dãy an tăng

n n

a

a   C với n, suy 1

1

2

n n n

n

a a a

C a C

 





   

Bài a) Dự đoán 2 ( 1) n

n u  n Chứng minh quy nạp

Chú ý 2

1 2 ( 1) 2( 1) ( 2)

n

n n n

u

u u u n n n

n

   

2 2

1 2

2

( 1) n 1

n n n n

n u

u n u n u n u n

n u n n

                        

Dễ dàng có  u2018  2018 b) Ước lượng với 12 12

1 2  c) Ước lượng với 1 1 2 

Bài a) Giả sử ngược lại ak2018,k bn1bn nên với n bnb

Do 1 0

2017 2018 2017 2018

n n

n

a a a

b b

           , mâu thuẫn

b) Xét vị trí k để ak2018, đặt 2018

k a

q  bk1qbk

2

2 1

2018 2018

k k

k k k k

a a

b   b  b q b nên tương tự có n k n k

b q b Suy limbn  

c) Ta có k 2 k 1 k

a a

qb

    nên 1

1 1 1

1

k n k n k

k k

a a a

b q q q b q

   

 



        



   Dãy an

bị chặn nên hội tụ (vì rõ ràng dãy tăng) Bài Chỉ cần chứng minh (xn) bị chặn Ta có

2

1

1

4

n

n n n

x

x x x

n n n



 



     

 nên

1 2 n n x x n

   , tính tổng thấy 1 2

1 1

1 2

n

x x x

n



 



        Bài 10 Rõ ràng un có chứa chữ số f u( n)0 dãy trở thành Ngược lại số hạng dãy tăng tiến tới vô cực Chú ý

, ( ) lim m m f m m   

vì đặt

1 10

k k

ma a a  a  ,

1

( ) k 9k

f m a a a  a  nên

1 ( )

0 10 k f m m         Do dãy un   nên với k



 , có số hạng có k chữ số Gọi nk số số hạng 1

k

n

u  có không k1 chữ số nên 1 10

k

k n

u   

Hai chữ số bắt đầu

k

n

u nhỏ 11 (không thể 10) nên 11 10

k

k n

u    suy

1

1

1 ( ) 1

( ) 10

10

k

k k k

k

n k

n n n

n f u

f u u u

u          

Tuy nhiên, điều mâu thuẫn với nhận xét lim f m( )