Đang tải... (xem toàn văn)
Sau khi thi xong, thầy giáo nhận thấy với mỗi câu hỏi, mỗi học sinh chọn đúng 1 phương án trả lời và hai học sinh bất kì có nhiều nhất 1 câu hỏi có phương án trả lời giống nhau.. B[r]
(1)PHẦN ĐẾM BẰNG HAI CÁCH TRONG GIẢI TOÁN TỔ HỢP
Ta biết đại lượng S đếm theo hai cách hai kết thu phải giống nhau Ngoài ra, đếm theo cách thứ S a, cịn theo cách thứ hai Sb, ta có ab. Từ ý tưởng này, ta giải nhiều tốn tổ hợp liên quan đến số mối liên hệ hai đối tượng (chẳng hạn học sinh – giáo viên, học sinh - CLB, …), một dạng toán phổ biến tổ hợp
Bài 5.1.(chọn đội tuyển PTNK TPHCM) Một trường phổ thơng có n học sinh Các học sinh
tham gia vào tổng cộng m câu lạc A A1, 2,,Am
a) Chứng minh câu lạc có học sinh hai học sinh tham gia chung nhiều câu lạc ( 1)
12 n n
m
b) Giả sử tồn k0 cho hai câu lạc có chung k thành viên tồn câu lạc At có k thành viên Chứng minh mn
Lời giải
a) Gọi S số ({ , }, )A B C mà học sinh A B, tham gia vào CLB C Cách Chọn CLB trước, có m cách, chọn cặp học sinh tham gia vào có
4
C
cách nên S6 m
Cách Chọn cặp học sinh trước, có n
C cách, chọn CLB mà hai học sinh tham gia, có khơng q cách nên
n SC Từ suy 6 ( 1).
12 n
n n
mC m
b) Xét CLB X có k thành viên Xét m1 CLB cịn lại theo giả thiết, rõ ràng CLB có chứa k thành viên CLB X Từ suy m1 CLB cịn lại đơi khơng có thành viên chung
Xét nk học sinh lại trường rõ ràng học sinh thuộc tối đa CLB (trong số CLB lại), suy số CLB cịn lại khơng vượt q nk nên suy m n k n
Bài 5.2 (Lào Cai) Trên mặt phẳng cho tập A gồm n điểm phân biệt với *
n tập B gồm 14 đường thẳng phân biệt Biết đường thẳng tập B qua 14 điểm tập A a) Gọi tất điểm tập A P P1, 2,,Pn Với điểm Pi giả sử có ai đường thẳng tập B qua Pi Chứng minh
1
196 n
i i
a
(2)a) Ta gọi S số ( , )P l thỏa mãn PA lB l qua A.Đếm theo P ta có n i i S a Đếm theo l ta có
14 196 S nên
1 196 n i i a
b) Gọi T số ( , , )P l l1 2 thỏa mãn PA l l1, 2B P giao điểm l1 l2 Vì đường thẳng có nhiều giao điểm chung Đếm theo l l1, 2 ta có
14 T C Đếm theo P ta có
2
1 i n n i i a i i a a T C
Ta đánh giá tiếp sau: 2 1 196 196
2 2 2
n n
i i
n
i
i i i
i a a a a n n Suy 2 14 196 196
2n C nên giải n102
Nhận xét Thực đoạn đánh giá
1 n i i a
chưa thật chặt nên đánh giá n102 chưa chặt Ta làm mạnh BĐT sau:
(ai1)(ai2)0 nên
3
i i
a a
1
3 196
n n i i i i
a a n n
Từ ta có
2 14
3 196 196
105
2
n
C n
Bài 5.3 (chọn đội tuyển chuyên ĐH Vinh) Có 16 học sinh tham gia làm thi trắc nghiệm
Đề thi chung cho tất học sinh có n câu hỏi, câu hỏi có phương án trả lời Sau thi xong, thầy giáo nhận thấy với câu hỏi, học sinh chọn phương án trả lời hai học sinh có nhiều câu hỏi có phương án trả lời giống
a) Với n2, ví dụ phương án trả lời câu hỏi 16 học sinh b) Chứng minh n5
Lời giải a) Đánh số học sinh 1, 2, , 16 gọi phương án trả lời câu hỏi A,
(3)HS
Câu 10 11 12 13 14 15 16 A B C D A A A B B B C C C D D D A B C D B C D A C D A B D A B C b) Xét bảng tương tự câu a) với n câu hỏi
Ta đếm số lần chọn phương án trả lời câu hỏi giống cặp học sinh, kí hiệu N Đếm theo cột, hai học sinh có tối đa câu hỏi chọn chung phương án trả lời nên
N không vượt số cặp học sinh, hay
16 120
NC
Đếm theo hàng, xét câu hỏi 1, gọi a b c d, , , số học sinh trả lời phương án A B C D, , , Khi a b c d 16 2 2
24( a b c d) N C C C C Theo BĐT AM-GM
2
( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( )
24
2 2
a a b b c c d d a b c d a b c d
N
Từ đánh giá trên, ta có 24n120 hay n5, đpcm
Bài 5.4 (Hải Phòng) Trong phịng họp có n người Mỗi người quen không
quen Biết rằng:
Một người quen 30 người khác
Một cặp quen có 19 người khác quen với hai người
Một cặp khơng quen có 20 người khác quen với hai người Tìm tất giá trị có n
Lời giải
Để tìm n, ta thực đếm hai cách số lượng S gồm có thứ tự ( , , )A B C mà C quen A, B A, B lại không quen
* Cách
(4)nên có 30 19 10 người quen C mà không quen A, đặt người B Suy S 300 n Do đó, ta có 20 (n n31)300nn46
Bài 5.5 (Cần Thơ) Trong trung tâm văn hóa tỉnh, có 501 học sinh tổ chức CLB (một
học sinh tham gia nhiều CLB) Các CLB phối hợp với để tổ chức hoạt động xã hội Biết có k hoạt động xã hội thỏa mãn điều kiện:
- Mỗi cặp học sinh thuộc CLB
- Với học sinh hoạt động xã hội, học sinh thuộc CLB hoạt động xã hội tương ứng
- Mỗi CLB có số lẻ thành viên số thành viên 2m1 số hoạt động xã hội m Tính tất giá trị có k
Lời giải Trước hết, ta đếm số S có dạng ( , , )A B C với A tham gia vào CLB B nằm
hoạt động xã hội C
- Đếm theo hoạt động xã hội học sinh, ta có S501k
- Đếm theo CLB hoạt động xã hội Gọi t số CLB a a1, 2, ,at số thành viên CLB Ta biết CLB có ai thành viên thuộc
1
i a
hoạt động xã hội Thêm nữa, theo điều kiện thứ ta có
1
( 1)
t i i i
a a
S
Do đó, ta có đẳng thức
1
( 1) 501
2 t
i i i
a a k
Ta xét thêm bước đếm hai cách với số T có dạng ( , , )D E F mà học sinh ,
D E thuộc CLB F
- Đếm theo CLB, ta có
i t
a i
T C
- Đếm theo học sinh, ta có
501 T C
Do
501
2
t i i
a
(5)501 501
2 k
hay k 250
Bài 5.6 (Bến Tre) Sắp xếp 1650 học sinh (cả nam nữ) thành 22 hàng ngang 75 hàng
dọc Biết với hai hàng dọc bất kì, số lần xảy hai học sinh hàng ngang có giới tính khơng vượt q 11 Chứng minh số học sinh nam không vượt 928
Lời giải
Gọi R R1, 2,,R75 tập hợp học sinh theo hàng C C1, 2,,C22 tập hợp học sinh theo cột Theo giả thiết CiCj 11, i j
Do đó,
75
11 11 75 37 i j
i j
T C C C
Ta tính T theo cách khác Trên hàng thứ k gọi x yk, k số nam, nữ số cặp học sinh giới tính hàng
2 2
22 22 22 22
2 2
1 1
( ) (75 ) 75
( 75 75 37)
2
k k
k k k k k k
x y k k
k k k k
x y x y x x
T C C x x
Gọi a tổng số nam 22
1 k k
a x
từ đánh giá a928 đề bài, ta ước lượng {42, 43}
k
x nên (xk42)(xk43)0,xk nên
85 42 43 k k
x x Suy 22
1
(10 k 75 37 42 43) 10 22 75 37 22 43 42 k
T x a
Vậy nên 10a22 43 42 11 75 37 a920 Ta đánh giá chặt kết đề
Nhận xét Bài toán thú vị liên quan đến kỹ thuật đếm hai cách, nhiên
điều kiện không dùng máy tính, nên đưa số nhỏ để dễ xử lý Nếu ta thay ước lượng thành (xk41)(xk 42)0 có a919
Một tốn khác từ kỳ thi chọn đội tuyển Bến Tre
Bài 5.7 (Bến Tre) Cho n k, số nguyên dương Xét S tập hợp n điểm mặt phẳng
sao cho điểm khơng thẳng hàng điểm P tùy ý có k điểm phân biệt cách P khoảng Chứng minh
2
k n
Gợi ý Ta đếm số ({ , }, )A B C CACB Chú ý từ giả thiết, ta thấy ứng
với C, có k