Đếm bằng hai cách trong các bài toán Tổ hợp - Lê Phúc Lữ

Sau khi thi xong, thầy giáo nhận thấy với mỗi câu hỏi, mỗi học sinh chọn đúng 1 phương án trả lời và hai học sinh bất kì có nhiều nhất 1 câu hỏi có phương án trả lời giống nhau.. B[r]

PHẦN ĐẾM BẰNG HAI CÁCH TRONG GIẢI TOÁN TỔ HỢP

Ta biết đại lượng S đếm theo hai cách hai kết thu phải giống nhau Ngoài ra, đếm theo cách thứ S a, cịn theo cách thứ hai Sb, ta có ab. Từ ý tưởng này, ta giải nhiều tốn tổ hợp liên quan đến số mối liên hệ hai đối tượng (chẳng hạn học sinh – giáo viên, học sinh - CLB, …), một dạng toán phổ biến tổ hợp

Bài 5.1.(chọn đội tuyển PTNK TPHCM) Một trường phổ thơng có n học sinh Các học sinh

tham gia vào tổng cộng m câu lạc A A1, 2,,Am

a) Chứng minh câu lạc có học sinh hai học sinh tham gia chung nhiều câu lạc ( 1)

12 n n

m 

b) Giả sử tồn k0 cho hai câu lạc có chung k thành viên tồn câu lạc At có k thành viên Chứng minh mn

Lời giải

a) Gọi S số ({ , }, )A B C mà học sinh A B, tham gia vào CLB C  Cách Chọn CLB trước, có m cách, chọn cặp học sinh tham gia vào có

4

C 

cách nên S6 m

 Cách Chọn cặp học sinh trước, có n

C cách, chọn CLB mà hai học sinh tham gia, có khơng q cách nên

n SC Từ suy 6 ( 1).

12 n

n n

mC  m 

b) Xét CLB X có k thành viên Xét m1 CLB cịn lại theo giả thiết, rõ ràng CLB có chứa k thành viên CLB X Từ suy m1 CLB cịn lại đơi khơng có thành viên chung

Xét nk học sinh lại trường rõ ràng học sinh thuộc tối đa CLB (trong số CLB lại), suy số CLB cịn lại khơng vượt q nk nên suy m   n k n

Bài 5.2 (Lào Cai) Trên mặt phẳng cho tập A gồm n điểm phân biệt với *

n tập B gồm 14 đường thẳng phân biệt Biết đường thẳng tập B qua 14 điểm tập A a) Gọi tất điểm tập A P P1, 2,,Pn Với điểm Pi giả sử có ai đường thẳng tập B qua Pi Chứng minh

1

196 n

i i

a 



a) Ta gọi S số ( , )P l thỏa mãn PA lB l qua A.Đếm theo P ta có n i i S a   Đếm theo l ta có

14 196 S   nên

1 196 n i i a   

b) Gọi T số ( , , )P l l1 2 thỏa mãn PA l l1, 2B P giao điểm l1 l2 Vì đường thẳng có nhiều giao điểm chung Đếm theo l l1, 2 ta có

14 T C Đếm theo P ta có

2

1 i n n i i a i i a a T C   

  Ta đánh giá tiếp sau: 2 1 196 196

2 2 2

n n

i i

n

i

i i i

i a a a a n n                  Suy 2 14 196 196

2n  C nên giải n102

Nhận xét Thực đoạn đánh giá

1 n i i a 

 chưa thật chặt nên đánh giá n102 chưa chặt Ta làm mạnh BĐT sau:

(ai1)(ai2)0 nên

3

i i

a  a 

1

3 196

n n i i i i

a a n n

 

    

  Từ ta có

2 14

3 196 196

105

2

n

C     n

Bài 5.3 (chọn đội tuyển chuyên ĐH Vinh) Có 16 học sinh tham gia làm thi trắc nghiệm

Đề thi chung cho tất học sinh có n câu hỏi, câu hỏi có phương án trả lời Sau thi xong, thầy giáo nhận thấy với câu hỏi, học sinh chọn phương án trả lời hai học sinh có nhiều câu hỏi có phương án trả lời giống

a) Với n2, ví dụ phương án trả lời câu hỏi 16 học sinh b) Chứng minh n5

Lời giải a) Đánh số học sinh 1, 2, , 16 gọi phương án trả lời câu hỏi A,

HS

Câu 10 11 12 13 14 15 16 A B C D A A A B B B C C C D D D A B C D B C D A C D A B D A B C b) Xét bảng tương tự câu a) với n câu hỏi

Ta đếm số lần chọn phương án trả lời câu hỏi giống cặp học sinh, kí hiệu N Đếm theo cột, hai học sinh có tối đa câu hỏi chọn chung phương án trả lời nên

N không vượt số cặp học sinh, hay

16 120

NC 

Đếm theo hàng, xét câu hỏi 1, gọi a b c d, , , số học sinh trả lời phương án A B C D, , , Khi a   b c d 16 2 2

24( a b c d) N  C C C C Theo BĐT AM-GM

2

( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( )

24

2 2

a a b b c c d d a b c d a b c d

N                 

Từ đánh giá trên, ta có 24n120 hay n5, đpcm

Bài 5.4 (Hải Phòng) Trong phịng họp có n người Mỗi người quen không

quen Biết rằng:

 Một người quen 30 người khác

 Một cặp quen có 19 người khác quen với hai người

 Một cặp khơng quen có 20 người khác quen với hai người Tìm tất giá trị có n

Lời giải

Để tìm n, ta thực đếm hai cách số lượng S gồm có thứ tự ( , , )A B C mà C quen A, B A, B lại không quen

* Cách

nên có 30 19  10 người quen C mà không quen A, đặt người B Suy S 300 n Do đó, ta có 20 (n n31)300nn46

Bài 5.5 (Cần Thơ) Trong trung tâm văn hóa tỉnh, có 501 học sinh tổ chức CLB (một

học sinh tham gia nhiều CLB) Các CLB phối hợp với để tổ chức hoạt động xã hội Biết có k hoạt động xã hội thỏa mãn điều kiện:

- Mỗi cặp học sinh thuộc CLB

- Với học sinh hoạt động xã hội, học sinh thuộc CLB hoạt động xã hội tương ứng

- Mỗi CLB có số lẻ thành viên số thành viên 2m1 số hoạt động xã hội m Tính tất giá trị có k

Lời giải Trước hết, ta đếm số S có dạng ( , , )A B C với A tham gia vào CLB B nằm

hoạt động xã hội C

- Đếm theo hoạt động xã hội học sinh, ta có S501k

- Đếm theo CLB hoạt động xã hội Gọi t số CLB a a1, 2, ,at số thành viên CLB Ta biết CLB có ai thành viên thuộc

1

 i a

hoạt động xã hội Thêm nữa, theo điều kiện thứ ta có

1

( 1) 

 

t i i i

a a

S

Do đó, ta có đẳng thức

1

( 1) 501

2 t

i i i

a a k







Ta xét thêm bước đếm hai cách với số T có dạng ( , , )D E F mà học sinh ,

D E thuộc CLB F

- Đếm theo CLB, ta có

i t

a i

T C

  - Đếm theo học sinh, ta có

501 T C

Do

501

2

t i i

a 

            

501 501

2 k  

 

hay k 250

Bài 5.6 (Bến Tre) Sắp xếp 1650 học sinh (cả nam nữ) thành 22 hàng ngang 75 hàng

dọc Biết với hai hàng dọc bất kì, số lần xảy hai học sinh hàng ngang có giới tính khơng vượt q 11 Chứng minh số học sinh nam không vượt 928

Lời giải

Gọi R R1, 2,,R75 tập hợp học sinh theo hàng C C1, 2,,C22 tập hợp học sinh theo cột Theo giả thiết CiCj 11, i j

Do đó,

75

11 11 75 37 i j

i j

T C C C



      

Ta tính T theo cách khác Trên hàng thứ k gọi x yk, k số nam, nữ số cặp học sinh giới tính hàng

  2 2

22 22 22 22

2 2

1 1

( ) (75 ) 75

( 75 75 37)

2

k k

k k k k k k

x y k k

k k k k

x y x y x x

T C C x x

   

     

       

Gọi a tổng số nam 22

1 k k

a x



 từ đánh giá a928 đề bài, ta ước lượng {42, 43}

k

x  nên (xk42)(xk43)0,xk nên

85 42 43 k k

x  x   Suy 22

1

(10 k 75 37 42 43) 10 22 75 37 22 43 42 k

T x a



           

Vậy nên 10a22 43 42 11 75 37     a920 Ta đánh giá chặt kết đề

Nhận xét Bài toán thú vị liên quan đến kỹ thuật đếm hai cách, nhiên

điều kiện không dùng máy tính, nên đưa số nhỏ để dễ xử lý Nếu ta thay ước lượng thành (xk41)(xk 42)0 có a919

Một tốn khác từ kỳ thi chọn đội tuyển Bến Tre

Bài 5.7 (Bến Tre) Cho n k, số nguyên dương Xét S tập hợp n điểm mặt phẳng

sao cho điểm khơng thẳng hàng điểm P tùy ý có k điểm phân biệt cách P khoảng Chứng minh

2  

k n

Gợi ý Ta đếm số ({ , }, )A B C CACB Chú ý từ giả thiết, ta thấy ứng

với C, có k