Trong bài viết này tác giả muốn giới thiệu tới bạn đọc một bài hình mà trong quá trình học đội tuyển tác giả đã phát hiện ra.. Nội dung bài toán như sau:.[r]
(1)Từ tính chất đường trịn Mixtilinear đến hình thú vị
Nguyễn Đăng Khoa - THPT chuyên Hùng Vương
1 Giới thiệu
Trong viết tác giả muốn giới thiệu tới bạn đọc hình mà trình học đội tuyển tác giả phát Nội dung toán sau:
Bài toán Cho tam giác ABC nội tiếp đường trịn (O) có đường trịn nội tiếp là(I) Đường tròn (I)tiếp xúc với BC D TiaADcắt (O)tại E Giả sử DI =DE, chứng minh đường trịn đường kính AE tiếp xúc với đường trịn A-mixtilinear tam giác ABC
E D
I
O
C A
B
2 Lời giải
Trước đến với lời giải toán ta nhắc lại tính chất đường trịn Mixtilinear sau:
Tính chất.Cho tam giác ABC nội tiếp đường trịn (O)có tâm đường trịn nội tiếp I Đường tròn A-mixtillinear tiếp xúc với (O) tiếp xúc với hai cạnh AC, AB E F Khi I
là trung điểm EF
Do tính đường trịn A-mixtillinear (trong) nên ta có hệ sau
Hệ Cho tam giác ABC nội tiếp đường trịn (O) có tâm đường tròn nội tiếp I Giả sử (J) đường tròn tiếp xúc với AC, AB E F Khi E, F, I thẳng hàng ta có (J) tiếp xúc với đường trịn (O)
(2)F
J E I
C A
B
Bây ta chứng minh nhận xét sau:
Nhận xét Nếu gọi M trung điểm củaAE IM kBC
M
X E D
I
C A
B
Chứng minh Ta gọi X giao điểm AI với BC Lần lượt đặt độ dài ba cạnh tam giác BC,
CA, AB a,b, cvà bán kính ID=r Để có IM kBC ta cần chứng minh AD
AM = AX
AI
Ta có AX
AI = IX
AI + =
BC
AB+AC + =
a+b+c b+c
và AD·DE =DB ·DC ⇒AD= a+c−b
2 ·
a+b−c
2 ·
1
r (1)
Khi tỉ số AD
AM =
2AD AE =
2AD AD+r
Chú ý r(a+b+c) = 2SABC =
1
p
(a+b+c)(b+c−a)(c+a−b)(c+b−a) Suy r2 = (b+c−a)(c+a−b)(a+b−c)
4(a+b+c) (2)
Từ (1) (2) thay vào biến đổi ta có điều phải chứng minh
Bây ta quay lại toán ban đầu
(3)H
S T
U V
R D'
Z Y
M
P
Q E
D I
O
C A
B
Chứng minh Ta gọiP,Qlà hình chiếu củaE lênAC vàAB Theo tính chất hệ đường trịn Mixtilinear ta cần chứng minh (I)là đường tròn nội tiếp tam giácAP Q hayP Qtiếp xúc với (I)
Lấy Y, Z hình chiếu củaA lên IE E lên AI DI cắt Y Z D0
Theo nhận xét ta có IM k BC nên IM ⊥DD0 từ áp dụng định lý bướm ta có ID=ID0 hay DD0 đường kính (I)
Ta gọi T giao điểm thứ hai Y Z với (I), ta chứng minhP Q tiếp xúc với (I) T Ta dựng hình bình hành IDES, ID=DE nên tứ giác IDES đồng thời hình thoi Lấy
ES cắt BC, Y Z R, U cắt lại (I) V
Trước hết ta có ba điểm P, Q, R thẳng hàng theo đường thẳng Simson (3) Ta có
∠EIZ =∠IEA+∠IAE =∠DIE+∠IY D0 =∠D0IY +∠IY D0 =∠DD0T =∠EU Z Từ ta có tứ giácIU ZE nội tiếp nên∠IU E = 90◦ suy U trung điểm SV
Ta có D0(T D, SV) = D0(U D, SV) =−1 nên tứ giác DST V tứ giác điều hòa suy RT tiếp tuyến (I) (4)
Ta kẻ đường cao AH tam giác AP Q AH,AD đối xứng qua AI Để ý ∠EIZ =∠DD0T =
2∠DIT mà IS, ID đối xứng qua IE nên IS IT đối xứng qua IZ
Do IS kAD nên IT kAH hay IT ⊥P Q (5)
Từ (3), (4) (5) ta có P Q tiếp xúc với (I)tại T (đpcm)
Lời kết Đây toán phát biểu gọn đẹp lại khó Tác giả nhiều thời gian phải sử dụng phần mềm vẽ hình để dự đốn tính chất để có lời giải Câu hỏi đặt để dựng hình thỏa mãn giả thiết DI = DE ? Mong bạn đọc tiếp tục nghĩ trao đổi thêm với tác giả
Email khoanguyen17112003@gmail.com