Tìm hàm số có đồ thị đối xứng qua một điểm

I. Đặt vấn đề Trong chơng trình Toán THPT những bài toán về hàm số rất đa dạng và phong phú, đã có nhiều cuốn sách viết về các chuyên đề xung quanh hàm số. Tuy nhiên, với chuyên đề Tìm hàm số có đồ thị đối xứng với đồ thị hàm số cho trớc qua một điểm, qua một đờng thẳng thì không đợc trình bày trong sách giáo khoa, ở rải rác các sách tham khảo, một số tác giả đã viết một số bài tập với lời giải dựa trên công thức đổi trục toạ độ, với phơng pháp này học sinh phải nhớ công thức đổi trục toạ độ, nhớ đợc tính chất của hai hàm số đối xứng nhau qua gốc toạ độ, qua trục hoành, qua trục tung. Với chuyên đề Tìm hàm số có đồ thị đối xứng với đồ thị hàm số cho trớc qua một điểm, qua một đờng thẳng. Nếu chỉ dừng lại ở cách giải thông thờng nhờ phơng pháp đổi trục toạ độ thì đó là điều bình thờng. ở đây ta hãy nhìn vấn đề dới góc độ khác, cách giải quyết khác để giải quyết bài toán hiệu quả hơn và có thể mở rộng sang các bài toán phức tạp hơn. Trong bài viết này, tôi muốn trao đổi cùng các bạn đồng nghiệp về Sử dụng tính chất trung điểm để tìm hàm số có đồ thị đối xứng với đồ thị hàm số đã cho qua một điểm, một đờng thẳng. Tôi hy vọng phơng pháp này sẽ giúp các em học sinh giải quyết tốt các bài tập cùng dạng trong các kỳ thi vào Đại học, Cao đẳng và khích lệ tinh thần say mê sáng tạo trong học tập của các em, góp phần nâng cao chất lợng cho học sinh Tỉnh nhà. II. Nội dung 1/ Lý thuyết: Xét trong hệ trục toạ độ Oxy. + Hai điểm: A(x 1 ; y 1 ) và B(x 2 ; y 2 ) đối xứng nhau qua I(x 0 ; y 0 ) I là trung điểm của AB. =+ =+ 021 021 y2yy x2xx + Hai điểm: A(x 1 ; y 1 ) và B(x 2 ; y 2 ) đối xứng nhau qua đờng thẳng x = a I là trung điểm của AB; với I(a; y 1 ) = =+ 21 21 yy a2xx + Hai điểm: A(x 1 ; y 1 ) và B(x 2 ; y 2 ) đối xứng nhau qua đờng thẳng y = b I là trung điểm của AB; I(x 1 ; b) 2 =+ = b2yy xx 21 21 + Hai điểm: A(x 1 ; y 1 ) và B(x 2 ; y 2 ) đối xứng nhau qua đờng thẳng (d): y = ax + b (a 0) I là trung điểm của AB; I(x 0 ; y 0 ) là hình chiếu của A trên đờng thẳng (d). =+ =+ 021 021 y2yy x2xx 2/ Các bài toán. Bài toán 1: Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C). Tìm hàm số mà đồ thị của nó đối xứng với (C) qua điểm I(x 1 ; y 1 ). Bài giải : Gọi A(x 0 ; y 0 ) là điểm bất kỳ trên (C). B(x; y) là điểm đối xứng với A qua điểm I I là trung điểm của AB =+ =+ 10 10 y2yy x2xx = = yy2y xx2x 10 10 )yy2;xx2(A 11 Mà A (C) 2y 1 y = f(2x 1 x) y = g(x) Kết luận: y = g(x) là hàm số cần tìm. Ví dụ 1: Cho y = x 3 3x + 1 (C) Tìm hàm số mà đồ thị của nó đối xứng với đồ thị (C) qua điểm I(1; 1) Bài giải: Gọi A(x 0 ; y 0 ) là điểm bất kỳ trên (C). B(x; y) là điểm đối xứng với A qua điểm I I là trung điểm của AB 3 ==+ ==+ 2y2yy 2x2xx I0 I0 = = y2y x2x 0 0 )y2;x2(A Do A (C) 2 y = (2 x) 3 3(2 x) + 1 y = x 3 6x 2 + 9x - 1 Kết luận: Hàm số cần tìm là y = x 3 6x 2 + 9x 1. Ví dụ 2: Cho y = 1x 1x2 + (C) Tìm hàm số mà đồ thị của nó đối xứng với (C) qua điểm I(2; 1) Bài giải: Gọi A(x 0 ; y 0 ) là điểm bất kỳ trên (C). B(x; y) là điểm đối xứng với A qua điểm I I là trung điểm của AB ==+ ==+ 2y2yy 4x2xx I0 I0 = = y2y x4x 0 0 )y2;x4(A Do A (C) 2 y = 1x4 )x4(2 y = 3x 3 Kết luận: Hàm số cần tìm là y = 3x 3 * Ngay cả với những đờng cong không là đồ thị của một hàm số, ta cũng giải quyết bài toán dễ dàng nhờ công thức trung điểm; Ta xét ví dụ sau: Ví dụ 3: Cho (E): 4 y 9 x 22 + = 1 Tìm phơng trình của đờng cong (C) mà (C) đối xứng với (E) qua điểm I(3;2). Bài giải: Gọi A(x 0 ; y 0 ) là điểm bất kỳ trên (E). B(x; y) là điểm đối xứng với A qua điểm I I là trung điểm của AB 4 =+ =+ 4yy 6xx 0 0 = = y4y x6x 0 0 )y4;x6(A Do A (E) 1 4 )y4( 9 )x6( 22 = + Kết luận: Đờng cong cần tìm có phơng trình 1 4 )4y( 9 )6x( 22 = + Bài toán 2: Cho hàm số y = f(x), (C) Tìm hàm số mà đồ thị của nó đối xứng với đồ thị (C) qua đờng thẳng y = b. Bài giải: Gọi A(x 0 ; y 0 ) là điểm bất kỳ trên (C). I(x 0 ; b) B(x; y) là điểm đối xứng với A qua đờng thẳng y = b. I là trung điểm của AB =+ = b2yy xx 0 0 = = yb2y xx 0 0 )yb2;x(A Mà A (C) 2b y = f(x) y = g(x) Kết luận: y = g(x) là hàm số cần tìm. Ví dụ 1: Cho hàm số y = x 3 3x 2 + 2 (C). Tìm hàm số mà đồ thị của nó đối xứng với đồ thị (C) qua đờng thẳng y = 1. Bài giải: Gọi A(x 0 ; y 0 ) là điểm bất kỳ trên (C). I(x 0 ; 1) B(x; y) là điểm đối xứng với A qua đờng thẳng y = 1. I là trung điểm của AB =+ = 2yy xx 0 0 = = y2y xx 0 0 )y2;x(A Mà A (C) 2 y = x 3 3x 2 + 2 y = -x 3 + 3x 2 5 Kết luận: Hàm số cần tìm là y = -x 3 + 3x 2 . Ví dụ 2: (Học viện kỹ thuật quân sự 1999). Cho hàm số y = 2x 2xx 2 + (C) Tìm hàm số mà đồ thị của nó đối xứng với (C) qua đờng thẳng y = 2. Bài giải: Gọi A(x 0 ; y 0 ) là điểm bất kỳ trên (C). I(x 0 ; 2) B(x; y) là điểm đối xứng với A qua đờng thẳng y = 2. I là trung điểm của AB =+ = 4yy xx 0 0 = = y4y xx 0 0 )y4;x(A Mà A (C) 4 y = 2x 2xx 2 + y = x2 6x3x 2 + Kết luận: Hàm số cần tìm là y = x2 6x3x 2 + . Bài toán 3: Cho hàm số y = f(x); (C) Tìm hàm số mà đồ thị của nó đối xứng với đồ thị (C) qua đờng thẳng x = a. Bài giải: Gọi A(x 0 ; y 0 ) là điểm bất kỳ trên (C). I(a; y 0 ) B(x; y) là điểm đối xứng với A qua đờng thẳng x = a. I là trung điểm của AB = =+ yy a2xx 0 0 = = yy xa2x 0 0 )y;xa2(A Mà A (C) y = f(2a-x) y = g(x). Kết luận: y = g(x) là hàm số cần tìm. 6 Ví dụ 1: Cho hàm số y = x 3 3x 2 + 2 (C) Tìm hàm số mà đồ thị của nó đối xứng với đồ thị (C) qua đờng thẳng x=-1. Bài giải: Gọi A(x 0 ; y 0 ) là điểm bất kỳ trên (C). I(-1; y 0 ) B(x; y) là điểm đối xứng với A qua đờng thẳng x = -1. I là trung điểm của AB = =+ yy 2xx 0 0 = = yy x2x 0 0 )y;x2(A Mà A (C) y = (-2 x) 3 3(-2 x) 2 + 2 y = -x 3 9x 2 24x - 18 Kết luận: Hàm số cần tìm là y = -x 3 9x 2 24x - 18. Ví dụ 2: Cho hàm số y = 2x 1x2 + (C) Tìm hàm số mà đồ thị của nó đối xứng với đồ thị (C) qua đờng thẳng x = 1. Bài giải: Gọi A(x 0 ; y 0 ) là điểm bất kỳ trên (C). I(1; y 0 ) B(x; y) là điểm đối xứng với A qua đờng thẳng x = 1. I là trung điểm của AB = =+ yy 2xx 0 0 = = yy x2x 0 0 )y;x2(A Mà A (C) y = 2x2 1)x2(2 + y = x 5x2 . Kết luận: Hàm số cần tìm là y = x 5x2 . Bài toán 4: Cho hàm số y = f(x); (C) Tìm hàm số mà đồ thị của nó đối xứng với đồ thị (C) qua đờng thẳng (d): y = ax + b. (a 0). 7 Bài giải: + Gọi A(x 0 ; y 0 ) là điểm bất kỳ trên (C). + Viết phơng trình đờng thẳng () qua A và vuông góc với (d). y = a 1 (x x 0 ) + y 0 () + Tọa độ giao điểm I của () và (d) là nghiệm của hệ: + = += 00 y)xx( a 1 y baxy = = I I y x + B(x; y) đối xứng với A qua đờng thẳng (d) I là trung điểm của AB. =+ =+ I0 I0 y2yy x2xx = = yy2y xx2x I0 I0 A(2x I x; 2y I y). + Do A (C) 2y I y = f(2x I x). y = g(x) Kết luận: y = g(x) là hàm số cần tìm. Ví dụ 1: (Đại học lâm nghiệp 2001). Cho hàm số y = 3x 1x3 + (C) Tìm hàm số mà đồ thị của nó đối xứng với (C) qua đờng thẳng (d): x + y 3 = 0. Bài giải: + Gọi A(x 0 ; y 0 ) là điểm bất kỳ trên (C). + Phơng trình đờng thẳng () qua A và vuông góc với (d) là: y = (x x 0 ) + y 0 () + Tọa độ giao điểm I của () và (d) là nghiệm của hệ: 8 += += 00 yxxy 3xy + = + = 2 yx3 y 2 yx3 x 00 I 00 I + B(x; y) đối xứng với A qua đờng thẳng (d) I là trung điểm của AB. +==+ +==+ 00I0 00I0 yx3y2yy yx3x2xx = = x3y y3x 0 0 A(3-y; 3-x). + Do A (C) 3 - x = 3 y 10 3y3 1)y3(3 + = + y = x 10 Kết luận: Hàm số cần tìm là y = x 10 . Ví dụ 2: Cho hàm số y = x 2 + 2x + 3 (C). Tìm phơng trình của đờng cong (P) mà (P) đối xứng với (C) qua đờng thẳng (d): y = x 1. Bài giải: + Gọi A(x 0 ; y 0 ) là điểm bất kỳ trên (C). + Phơng trình đờng thẳng () qua A và vuông góc với (d) là: y = - (x x 0 ) + y 0 () + Tọa độ giao điểm I của () và (d) là nghiệm của hệ: ++= = 00 yxxy 1xy ++ = ++ = 2 yx1 y 2 yx1 x 00 I 00 I + B(x; y) đối xứng với A qua đờng thẳng (d) I là trung điểm của AB. 9 ++==+ ++==+ 00I0 00I0 yx1y2yy yx1x2xx = += 1xy 1yx 0 0 A(y + 1; x - 1). + Do A (C) x - 1 = (y + 1) 2 + 2(y + 1) + 3 x = y 2 + 4y + 6. Kết luận: Đờng cong cần tìm có phơng trình x = y 2 + 4y + 6 (P) * (C) là Parabol có đỉnh tại điểm M(-1; 2) và có trục đối xứng là đờng thẳng x = -1; (P) là Parabol có đỉnh tại điểm N(2; -2) và có trục đối xứng là đờng thẳng y = -2. Chú ý: Các bài toán 1, 2, 3 đều có thể giải đợc bằng phơng pháp đổi trục toạ độ; Ta lấy một ví dụ: (Học viện kỹ thuật quân sự 1999). Cho hàm số y = 2x 2xx 2 + (C) Tìm hàm số mà đồ thị của nó đối xứng với (C) qua đờng thẳng y = 2. Bài giải: + Đổi hệ trục Oxy về hệ trục IXY gốc I(0; 2) theo công thức: += = Y2y Xx + Hàm số đã cho trở thành 2 + Y = 2X 2XX 2 + Y = 2X 2XX 2 + = F(X). + Do hàm số cần tìm đối xứng với (C) qua đờng thẳng y = 2 (trục hoành đối với hệ IXY) nên hàm số cần tìm có dạng: Y = - F(X) Y = - 2X 2XX 2 + y 2 = - 2x 2xx 2 + y = x2 6x3x 2 + Kết luận: Hàm số cần tìm là: y = x2 6x3x 2 + . 10 Nhận xét 1: Bạn đọc tự so sánh cách giải này với cách giải dùng tính chất trung điểm (Bài toán 2 ví dụ 2) để thấy đợc tính ngắn gọn trong việc trình bày; sử dụng tính chất trung điểm, học sinh không phải dùng đến các tính chất khác của hàm số. Nhận xét 2: Sử dụng phơng pháp đổi trục toạ độ còn có hạn chế thứ 2 đó là: chỉ giải quyết đợc khi (C) là đồ thị của hàm số; khi đờng cong đã cho không là đồ thị của một hàm số mà muốn sử dụng phơng pháp đổi trục toạ độ ta phải tách đờng cong ra từng phần sao cho đờng cong trong mỗi phần đó ứng với một hàm số xác định sau đó mới áp dụng công thức đổi trục. Ta xét một ví dụ: (E) 4 y 9 x 22 + = 1 (1) Rõ ràng đơng cong (E) không là đồ thị của hàm số (vì tồn tại đờng thẳng song song với Oy mà cắt (E) tại hai điểm). Để tìm một đờng cong đối xứng với (E) qua một điểm hay qua một đờng thẳng theo phơng pháp đổi trục toạ độ ta phải làm nh sau: + (1) y = 2 x436 3 1 Khi đó ta có hai hàm số: y = f(x) = 2 x436 3 1 y = g(x) = 2 x436 3 1 Sau đó ta áp dụng công thức đổi trục toạ độ cho từng hàm số, cuối cùng hợp lại ta đợc đờng cong cần tìm. Vậy phơng pháp đổi trục toạ độ đối với những đờng cong không là hàm số thì lời giải rõ ràng dài dòng và phức tạp. Trong khi đó nếu sử dụng tính chất trung điểm ta có lời giải quá ngắn gọn và hiệu quả (xem bài toán 1 ví dụ 3). 3/ Bài tập luyện tập. Bài 1: Cho hàm số y = x 2 + 2x 5 (P) 1, Tìm hàm số mà đồ thị của nó đối xứng với đồ thị (P) qua điểm I(-1; 1). 2, Tìm hàm số mà đồ thị của nó đối xứng với đồ thị (P) qua đờng thẳng x=3. 3, Tìm hàm số mà đồ thị của nó đối xứng với đồ thị (P) qua đờng thẳng y = -1. 4, Tìm phơng trình đờng cong đối xứng với đồ thị (P) qua đờng thẳng x + y + 2 = 0. Bài 2: Cho y = x + 1x 1 (C) 1, Tìm hàm số mà đồ thị của nó đối xứng với (C) qua điểm I(2; 1). 2, Tìm hàm số mà đồ thị của nó đối xứng với (C) qua đờng thẳng x = -1. 11 [...]...3, Tìm hàm số mà đồ thị của nó đối xứng với (C) qua đờng thẳng y = 2 4, Tìm hàm số mà đồ thị của nó đối xứng với (C) qua đờng thẳng y = x + 3 Bài 3: Cho (E) x2 y2 + =1 16 9 Tìm phơng trình các đờng cong (E1), (E2), (E3), (E4) sao cho 1, (E1) đối xứng với (E) qua điểm I(4; 5) 2, (E2) đối xứng với (E) qua đờng thẳng x = 5 3, (E3) đối xứng với (E) qua đờng thẳng y = -3 4, (E4) đối xứng với (E) qua đờng... là 4 bài toán riêng biệt: Đối xứng qua gốc toạ độ, đối xứng qua trục hoành, đối xứng qua trục tung (xét trong hệ toạ độ mới) Xong nếu sử dụng tính chất trung điểm thì bốn bài toán trên đợc xem nh là một, nh vậy tính chất trung điểm đã là phơng pháp chung cho cả bốn bài toán đó, học sinh vận dụng dẽ dàng và đạt hiệu quả tốt trong quá trình làm bài Hơn nữa phơng pháp trung điểm còn khắc phục đợc những... trình làm bài Hơn nữa phơng pháp trung điểm còn khắc phục đợc những khó khăn của phơng pháp đổi trục toạ độ đối với các đờng cong cha là đồ thị của hàm số + Trong quá trình giảng dạy ngoài việc đổi mới phơng pháp giảng dạy, giáo viên cũng phải thờng xuyên làm giàu thêm chi thức của mình thông qua các hoạt động chuyên đề, dự giờ v.v Mỗi nét thông minh sáng tạo của học trò, những lời giải hay, những câu... nh nội dung để kết quả giảng dạy ngày một cao hơn + Chuyên đề này tôi đã áp dụng giảng dạy trong nhiều năm, nhất là các em học sinh lớp 12, các em tỏ ra rất hào hứng tiếp thu vận dụng tốt và giải quyết có hiệu quả các bài tập dạng này; Tuy nhiên tôi không bỏ qua việc giới thiệu phơng pháp đổi trục toạ độ để kiến thức của các em hoàn chỉnh hơn ở mọi phơng diện; qua đó các em cũng thấy đợc tính t duy... các em hoàn chỉnh hơn ở mọi phơng diện; qua đó các em cũng thấy đợc tính t duy mềm dẻo và sáng tạo trong toán học là điều rất cần thiết và tăng thêm tính say mê, tìm tòi, sáng tạo trong học tập của các em + Tôi xin chân thành cảm ơn các bạn đồng nghiệp đã đọc và góp ý cho chuyên đề này 12 . hai hàm số đối xứng nhau qua gốc toạ độ, qua trục hoành, qua trục tung. Với chuyên đề Tìm hàm số có đồ thị đối xứng với đồ thị hàm số cho trớc qua một điểm, . đồ thị của nó đối xứng với đồ thị (P) qua điểm I(-1; 1). 2, Tìm hàm số mà đồ thị của nó đối xứng với đồ thị (P) qua đờng thẳng x=3. 3, Tìm hàm số mà đồ thị