Biện luận số nghiệm và nhận dạng đồ thị các hàm số có trị tuyệt đối – Phạm Ngọc Tính

BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM VÀ NHẬN DẠNG ĐỒ THỊ CÁC HÀM SỐ CÓ TRỊ TUYỆT ĐỐI BIÊN SOẠN: PHẠM NGỌC TÍNH – NHĨM CASIOTUDUY LUYỆN THI THPT QUỐC GIA TP.TUY HÒA – 01698160150 I Hàm số y  ax  bx  cx  d ,  a   Ta quan sát hình dạng sau rút quy luật y  x3  x  y= x  x   x3  x  (hình 2) (hình 1) y  x  x 1 y  x3  x  (hình 3) Cách đọc:  Đối với hàm y  f  x  : lấy đối xứng phần đồ thị trục hồnh lên phía trục hồnh  Đối với hàm y  f  x  : bỏ hết phần đồ thị bên trái trục tung, lấy đối xứng phần đồ thị bên phải trục tung qua trục tung Đối với loại này,  x2  x  kí hiệu:  3  x  x  Đối với hàm y  f  x  ta vẽ hàm y  f  x  (h2) trước (hình 4) hình trước, sau vẽ đồ thị hàm y  f  x  Kết hình Các hình dáng lại thao tác tương tự Ngồi ra, ta có hàm dạng h  x   g  x  f  x  Trong chương trình học thi tại,   g  x   ax  b xét hàm  f x  cx  dx  e , c        Khi h  x   g  x  f  x  hàm số bậc ba Muốn vẽ đồ thị hàm số h  x  ta phải xét hai trường hợp bỏ dấu tuyệt đối g  x  Ta quan sát ví dụ Luyện Thi THPT QG TP.Tuy Hòa Page Thầy Tính - 01698160150 Ví dụ (Đề minh họa lần Bộ GD-ĐT) y   x    x  1 y    x    x  1 (hình 1) y  x   x  1 (hình 2) (hình 3) y   x  1  x  3 y    x  1  x  3 y  x   x  3 (hình 1) (hình 2) (hình 3) y   x  1  x  x  3 y    x  1  x  x  3 y  x   x  x  3 (hình 1) (hình 2) (hình 3) Ví dụ Ta tiếp tục quan sát đồ thị hàm số sau: Ví dụ Ta tiếp tục quan sát hàm số sau: Ta xét ví dụ Bây bắt đầu phân tích tìm tính chất  Ở ví dụ trên, hình lấy ngược lại so với đồ thị hình Và điều giống hình 3, đồ thị giống hình từ trái sang phải, trừ đoạn đồ thị cong sang phải Và vấn đề mà ta cần quan tâm cong lên phía hay xuống phía Luyện Thi THPT QG TP.Tuy Hòa Page Thầy Tính - 01698160150    Ở ví dụ ví dụ Ta thấy có dạng y  x   x   (chỉ nói riêng cho ví dụ 2)  Ở ví dụ có    , ta giữ nguyên phần cong đồ thị hình lấy nhánh lại lên phía  Ở ví dụ có    , ta lấy đối xứng phần cong đồ thị hình xuống phía lấy nhánh lại lên phía (Ví dụ vấn đề giải thích tổng quát giảng lớp off) Ta làm tập mẫu sau: y   x    x  x  3 y    x    x  x  3 y  x   x  x  3 y    x     x  1 y     x     x  1 y   x    x  1 y  x  x  3 y   x  x  3 y  x  x  3 Luyện Thi THPT QG TP.Tuy Hòa Page Thầy Tính - 01698160150 y   x  1  x  1 y    x  1  x  1 y  x   x  1 y   x  3  2 x  3x  1 y    x  3  2 x  3x  1 y  x   2 x  3x  1 II Hàm số y  ax  bx  c,  a    x4  x  Vì hàm số ta học hàm số trùng phương nên ta có  2 x  x   Ta quan sát ví dụ sau y  x4  2x2 1  x4  x2  y  x4  2x2 1  x4  x2  Về vấn đề hàm bậc trùng phương ta không đề cập đến nhiều mà nhớ dạng bên Luyện Thi THPT QG TP.Tuy Hòa Page Thầy Tính - 01698160150 ax  b  c  0, ad  bc   cx  d Ta quan sát ví dụ sau x 1 y x 1 III Hàm số y  y y x 1 x 1 x 1 x 1  2x 1 x 1 y y 2x 1 x 1 y Luyện Thi THPT QG TP.Tuy Hòa x 1 x 1 x 1 x 1 Page x 1 x 1 x 1 x 1 Ngoài ra, ta cần để ý đến điều kiện a  Ví dụ hàm số y  y y 2x 1 x 1 y x 1 x 1 y  x 1 x 1 x 1 x 1 Thầy Tính - 01698160150 MỘT SỐ TÍNH CHẤT ĐẶC BIỆT CẦN LƯU Ý I VỀ ĐIỂM UỐN CỦA HÀM SỐ BẬC Tính lồi lõm đồ thị Đạo hàm bậc hai: y  6ax0  2b   x0   thị hàm số  b y  yCT  U   ; CD   3a  b Như ta có nhanh tọa độ điểm uốn đồ 3a  b U  ; f  3a  b      3a   Từ dạng đồ thị hàm bậc 3, ta có nhận xét đáng nhớ sau:  Đồ thị hàm bậc cắt trục hồnh điểm phân biệt  Đồ thị cắt trục hoành điểm phân biệt có cực đại cực tiểu hai phía trục Ox hay nói cách khác chúng trái dấu  Đồ thị cắt trục Ox điểm phân biệt cách điểm uốn nằm trục hồnh có giá trị cực đại giá trị cực tiểu trái dấu  Nói chung hàm số bậc ba y  ax3  bx2  cx  d , hệ số góc tiếp tuyến điểm uốn nhỏ a  lớn a  Bài tốn đặc biệt với hàm bậc 3:”Tìm điều kiện tham số để đồ thị hàm số cắt trục hoành ba điểm phân biệt tạo thành cấp số cộng” Ta có cách giải sau  Cách 1: Thực bước sau: Bước 1: Thiết lập phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị với trục hoành là: ax3  bx  cx  d  1 Bước 2: Để đồ thị hàm số cắt Ox ba điểm phân biệt với hoành độ lập thành cấp số cộng phương trình 1 có ba nghiệm x0   , x0 , x0   Khi ax3  bx  cx  d  a  x   x0     x  x0   x   x0      x  x0   x  x0        ax3  3ax0 x  a  3x02    x  a.x03  a. x0 Suy b  3ax0  2 c  a  3x0     x0 ,  tham số  d  a.x0  a. x0 Luyện Thi THPT QG TP.Tuy Hòa Page Thầy Tính - 01698160150  Cách 2: Sử dụng kết định lí:”Nếu đồ thị hàm số y  x3  ax2  bx  c cắt trục hoành điểm cách điểm uốn nằm trục hồnh” Đi chứng minh định lí cho ta công thức giải nhanh Ta quan sát chứng minh Phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị hàm số với trục Ox : f  x   x  ax  bx  c  1  Đồ thị hàm số cắt trục hoành ba điểm A, B, C cách 1 có ba nghiệm phân biệt x1  x2  x3 thỏa mãn: x1  x3  x2  x1  x3  x2  2  Theo định lí Vi-ét ta có: x1  x2  x3  a  3 Từ    3 ta có: a  a f  x2    f      3 a Ta có: y  3x  2ax  y  x  2a   x    a Đó hồnh độ điểm uốn U đồ thị hàm số, mà f     nên U  Ox  3 x2    a Vậy ta có cơng thức nhớ nhanh f      3  Cách 3: Sử dụng định lí Vi-ét thực theo bước sau Bước 1: Thiết lập phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị với trục hoành là: ax3  bx  cx  d  1 Bước 2: Điều kiện cần  Giả sử phương trình có ba nghiệm phân biệt thỏa mãn x1  x2  x3 Khi đó: b   x1  x2  x3   a  c   x1 x2  x2 x3  x1 x3  a  d    x1 x2 x3 a   Để phương trình có ba nghiệm phân biệt với hoành độ lập thành cấp số cộng b b x1  x3  x2  3x2    x2   a 3a  Với x2  b / 3a thay vào phương trình 1 ta tìm tham số m Bước 3: Điều kiện đủ: ta thay m lại phương trình 1 Luyện Thi THPT QG TP.Tuy Hòa Page Thầy Tính - 01698160150 Phương pháp áp dụng cho toán:”Xác định tham số để đồ thị hàm số  C  : y  ax3  bx  cx  d cắt trục hoành ba điểm tạo thành cấp số nhân” Ta quan sát ví dụ Ví dụ Cho hàm số y  x3  3x2  9x  m Xác định m để đồ thị hàm số cắt trục hoành ba điểm phân biệt với hoành độ lập thành cấp số cộng Ví dụ Cho hàm số y  x3  ax  b Hỏi có đường thẳng cắt đồ thị hàm số ba điểm phân biệt với hoành độ tạo thành cấp số nhân Giải Xét đường thẳng  d  : y  kx  m Phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị với  d  là: x3  ax  b  kx  m  x   a  k  x  b  m  1 Giả sử  d  cắt đồ thị ba điểm phân biệt có hồnh độ lập thành cấp số nhân phương trình 1 có ba nghiệm x1 , x2 , x3 thỏa mãn:  x1  x2  x3  x x  x x  x x  a  k  2 3   mb  x1 x2 x3  x2  x x  Từ hệ suy x12  x22  x32   x1  x2  x3  Điều mẫu thuẫn với giả thuyết x1 , x2 , x3 phân biệt Vậy khơng có đường thẳng cắt đồ thị  C  ba điểm phân biệt lập thành cấp số nhân Ví dụ Cho hàm số y  x3  mx   m2  1 x Gọi S tập hợp tất giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A, B cho A, B nằm khác phía cách đường thẳng y  x  Tích phần tử tập S có giá trị Giải Ta có y  x2  2mx  m2 1 có nghiệm x1  m 1, x2  m  1 Xét y  x  2m   x  m  y  m   m3  m   Vậy ta có điểm uốn U  m; m3  m   y  x  Khi đó:    m1  1   m  m  m    m2  1   m1.m2 m3  4 3   m3  Luyện Thi THPT QG TP.Tuy Hòa Page Thầy Tính - 01698160150 II VẤN ĐỀ VỀ HÀM SỐ BẬC Đầu tiên, ta xét ví dụ sau Ví dụ Cho hàm số y  x4  2mx2  m  Gọi S tập giá trị nguyên tham số m để đồ thị hàm số cắt trục hoành bốn điểm phân biệt có hồnh độ thỏa mãn x1  x2  x3    x4 Khi đó, tích phần tử thuộc S có giá trị Giải Phương trình hồnh độ giao điểm đồ thi với trục Ox là: x  2mx  m   1 Đặt t  x ,  t   Khi đó, phương trình 1 có dạng: f  t   t  2mt  m    2 Phương trình 1 có bốn nghiệm phân biệt   có hai nghiệm thỏa mãn  t1  t2 Khi đó, bốn nghiệm phương trình 1  t2 ,  t1 , t1 , t2 Theo giả thuyết ta có: x1  x2  x3    x4   t2   t1  t1    t2   t1    t2 Vậy để phương trình có bốn nghiệm phân biệt x1  x2  x3    x4 điều kiện là: a f    m     a f 1   1  2m  m    3  m    m  2; 1   16  8m  m   a f    Vấn đề lại tốn:”Tìm điều kiện tham số m để đồ thị hàm số cắt trục hoành bốn điểm phân biệt lập thành cấp số cộng” Đối với toán này, ta ý cơng thức giải nhanh sau: Xét phương trình f  x   ax  bx  c  f  t   at  bt  c,  t   Ta ý  b  t1  t2   a  c t t   a  Điều suy từ ý rằng: b    t2  9t1  t1   b 10a 100 a.c Có điểm cực trị cách trục hoành: b2  8ac Ví dụ Cho hàm số y  x   m  1 x  2m  Xác định m để đồ thị hàm số cắt trục hồnh bốn điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng “Hãy thay đổi trước muộn Vì nhìn lại, ta khơng thời gian để thành cơng” GV Phạm Ngọc Tính Luyện Thi THPT QG TP.Tuy Hòa Page Thầy Tính - 01698160150 BẢNG TỔNG KẾT PHÉP BIẾN ĐỔI ĐỒ THỊ CƠ BẢN Đối xứng qua Ox Đối xứng qua Oy Tịnh tiến theo Ox a đơn vị Tịnh tiến theo Oy b Đối xứng gốc O Theo v  a; b  Đối xứng qua Ox Tịnh tiến theo Ox Đối xứng qua Oy Luyện Thi THPT QG TP.Tuy Hòa đơn vị Page 10 Theo Oy b đơn vị a đơn vị Thầy Tính - 01698160150 ... có đường thẳng cắt đồ thị  C  ba điểm phân biệt lập thành cấp số nhân Ví dụ Cho hàm số y  x3  mx   m2  1 x Gọi S tập hợp tất giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị. .. hàm số y  x3  3x2  9x  m Xác định m để đồ thị hàm số cắt trục hoành ba điểm phân biệt với hồnh độ lập thành cấp số cộng Ví dụ Cho hàm số y  x3  ax  b Hỏi có đường thẳng cắt đồ thị hàm số. ..  thị hàm số  b y  yCT  U   ; CD   3a  b Như ta có nhanh tọa độ điểm uốn đồ 3a  b U  ; f  3a  b      3a   Từ dạng đồ thị hàm bậc 3, ta có nhận xét đáng nhớ sau:  Đồ thị