BIỆNLUẬNSỐNGHIỆMVÀNHẬNDẠNGĐỒTHỊCÁCHÀMSỐCÓTRỊTUYỆTĐỐIBIÊN SOẠN: PHẠMNGỌCTÍNH– NHĨM CASIOTUDUY LUYỆN THI THPT QUỐC GIA TP.TUY HÒA – 01698160150 I Hàmsố y ax bx cx d , a Ta quan sát hình dạng sau rút quy luật y x3 x y= x x x3 x (hình 2) (hình 1) y x x 1 y x3 x (hình 3) Cách đọc: Đối với hàm y f x : lấy đối xứng phần đồthị trục hồnh lên phía trục hồnh Đối với hàm y f x : bỏ hết phần đồthị bên trái trục tung, lấy đối xứng phần đồthị bên phải trục tung qua trục tung Đối với loại này, x2 x kí hiệu: 3 x x Đối với hàm y f x ta vẽ hàm y f x (h2) trước (hình 4) hình trước, sau vẽ đồthịhàm y f x Kết hình Các hình dáng lại thao tác tương tự Ngồi ra, ta cóhàmdạng h x g x f x Trong chương trình học thi tại, g x ax b xét hàm f x cx dx e , c Khi h x g x f x hàmsố bậc ba Muốn vẽ đồthịhàmsố h x ta phải xét hai trường hợp bỏ dấu tuyệtđối g x Ta quan sát ví dụ Luyện Thi THPT QG TP.Tuy Hòa Page Thầy Tính - 01698160150 Ví dụ (Đề minh họa lần Bộ GD-ĐT) y x x 1 y x x 1 (hình 1) y x x 1 (hình 2) (hình 3) y x 1 x 3 y x 1 x 3 y x x 3 (hình 1) (hình 2) (hình 3) y x 1 x x 3 y x 1 x x 3 y x x x 3 (hình 1) (hình 2) (hình 3) Ví dụ Ta tiếp tục quan sát đồthịhàmsố sau: Ví dụ Ta tiếp tục quan sát hàmsố sau: Ta xét ví dụ Bây bắt đầu phân tích tìm tính chất Ở ví dụ trên, hình lấy ngược lại so với đồthị hình Và điều giống hình 3, đồthị giống hình từ trái sang phải, trừ đoạn đồthị cong sang phải Và vấn đề mà ta cần quan tâm cong lên phía hay xuống phía Luyện Thi THPT QG TP.Tuy Hòa Page Thầy Tính - 01698160150 Ở ví dụ ví dụ Ta thấy códạng y x x (chỉ nói riêng cho ví dụ 2) Ở ví dụ có , ta giữ nguyên phần cong đồthị hình lấy nhánh lại lên phía Ở ví dụ có , ta lấy đối xứng phần cong đồthị hình xuống phía lấy nhánh lại lên phía (Ví dụ vấn đề giải thích tổng quát giảng lớp off) Ta làm tập mẫu sau: y x x x 3 y x x x 3 y x x x 3 y x x 1 y x x 1 y x x 1 y x x 3 y x x 3 y x x 3 Luyện Thi THPT QG TP.Tuy Hòa Page Thầy Tính - 01698160150 y x 1 x 1 y x 1 x 1 y x x 1 y x 3 2 x 3x 1 y x 3 2 x 3x 1 y x 2 x 3x 1 II Hàmsố y ax bx c, a x4 x Vì hàmsố ta học hàmsố trùng phương nên ta có 2 x x Ta quan sát ví dụ sau y x4 2x2 1 x4 x2 y x4 2x2 1 x4 x2 Về vấn đề hàm bậc trùng phương ta không đề cập đến nhiều mà nhớ dạng bên Luyện Thi THPT QG TP.Tuy Hòa Page Thầy Tính - 01698160150 ax b c 0, ad bc cx d Ta quan sát ví dụ sau x 1 y x 1 III Hàmsố y y y x 1 x 1 x 1 x 1 2x 1 x 1 y y 2x 1 x 1 y Luyện Thi THPT QG TP.Tuy Hòa x 1 x 1 x 1 x 1 Page x 1 x 1 x 1 x 1 Ngoài ra, ta cần để ý đến điều kiện a Ví dụ hàmsố y y y 2x 1 x 1 y x 1 x 1 y x 1 x 1 x 1 x 1 Thầy Tính - 01698160150 MỘT SỐTÍNH CHẤT ĐẶC BIỆT CẦN LƯU Ý I VỀ ĐIỂM UỐN CỦA HÀMSỐ BẬC Tính lồi lõm đồthị Đạo hàm bậc hai: y 6ax0 2b x0 thịhàmsố b y yCT U ; CD 3a b Như ta có nhanh tọa độ điểm uốn đồ 3a b U ; f 3a b 3a Từ dạngđồthịhàm bậc 3, ta cónhận xét đáng nhớ sau: Đồthịhàm bậc cắt trục hồnh điểm phân biệt Đồthị cắt trục hoành điểm phân biệt có cực đại cực tiểu hai phía trục Ox hay nói cách khác chúng trái dấu Đồthị cắt trục Ox điểm phân biệt cách điểm uốn nằm trục hồnh có giá trị cực đại giá trị cực tiểu trái dấu Nói chung hàmsố bậc ba y ax3 bx2 cx d , hệ số góc tiếp tuyến điểm uốn nhỏ a lớn a Bài tốn đặc biệt với hàm bậc 3:”Tìm điều kiện tham số để đồthịhàmsố cắt trục hoành ba điểm phân biệt tạo thành cấp số cộng” Ta có cách giải sau Cách 1: Thực bước sau: Bước 1: Thiết lập phương trình hồnh độ giao điểm đồthị với trục hoành là: ax3 bx cx d 1 Bước 2: Để đồthịhàmsố cắt Ox ba điểm phân biệt với hoành độ lập thành cấp số cộng phương trình 1 có ba nghiệm x0 , x0 , x0 Khi ax3 bx cx d a x x0 x x0 x x0 x x0 x x0 ax3 3ax0 x a 3x02 x a.x03 a. x0 Suy b 3ax0 2 c a 3x0 x0 , tham số d a.x0 a. x0 Luyện Thi THPT QG TP.Tuy Hòa Page Thầy Tính - 01698160150 Cách 2: Sử dụng kết định lí:”Nếu đồthịhàmsố y x3 ax2 bx c cắt trục hoành điểm cách điểm uốn nằm trục hồnh” Đi chứng minh định lí cho ta công thức giải nhanh Ta quan sát chứng minh Phương trình hồnh độ giao điểm đồthịhàmsố với trục Ox : f x x ax bx c 1 Đồthịhàmsố cắt trục hoành ba điểm A, B, C cách 1 có ba nghiệm phân biệt x1 x2 x3 thỏa mãn: x1 x3 x2 x1 x3 x2 2 Theo định lí Vi-ét ta có: x1 x2 x3 a 3 Từ 3 ta có: a a f x2 f 3 a Ta có: y 3x 2ax y x 2a x a Đó hồnh độ điểm uốn U đồthịhàm số, mà f nên U Ox 3 x2 a Vậy ta có cơng thức nhớ nhanh f 3 Cách 3: Sử dụng định lí Vi-ét thực theo bước sau Bước 1: Thiết lập phương trình hồnh độ giao điểm đồthị với trục hoành là: ax3 bx cx d 1 Bước 2: Điều kiện cần Giả sử phương trình có ba nghiệm phân biệt thỏa mãn x1 x2 x3 Khi đó: b x1 x2 x3 a c x1 x2 x2 x3 x1 x3 a d x1 x2 x3 a Để phương trình có ba nghiệm phân biệt với hoành độ lập thành cấp số cộng b b x1 x3 x2 3x2 x2 a 3a Với x2 b / 3a thay vào phương trình 1 ta tìm tham số m Bước 3: Điều kiện đủ: ta thay m lại phương trình 1 Luyện Thi THPT QG TP.Tuy Hòa Page Thầy Tính - 01698160150 Phương pháp áp dụng cho toán:”Xác định tham số để đồthịhàmsố C : y ax3 bx cx d cắt trục hoành ba điểm tạo thành cấp số nhân” Ta quan sát ví dụ Ví dụ Cho hàmsố y x3 3x2 9x m Xác định m để đồthịhàmsố cắt trục hoành ba điểm phân biệt với hoành độ lập thành cấp số cộng Ví dụ Cho hàmsố y x3 ax b Hỏi có đường thẳng cắt đồthịhàmsố ba điểm phân biệt với hoành độ tạo thành cấp sốnhân Giải Xét đường thẳng d : y kx m Phương trình hồnh độ giao điểm đồthị với d là: x3 ax b kx m x a k x b m 1 Giả sử d cắt đồthị ba điểm phân biệt có hồnh độ lập thành cấp sốnhân phương trình 1 có ba nghiệm x1 , x2 , x3 thỏa mãn: x1 x2 x3 x x x x x x a k 2 3 mb x1 x2 x3 x2 x x Từ hệ suy x12 x22 x32 x1 x2 x3 Điều mẫu thuẫn với giả thuyết x1 , x2 , x3 phân biệt Vậy khơng có đường thẳng cắt đồthị C ba điểm phân biệt lập thành cấp sốnhân Ví dụ Cho hàmsố y x3 mx m2 1 x Gọi S tập hợp tất giá trị thực tham số m để đồthịhàmsốcó hai điểm cực trị A, B cho A, B nằm khác phía cách đường thẳng y x Tích phần tử tập S có giá trị Giải Ta có y x2 2mx m2 1 cónghiệm x1 m 1, x2 m 1 Xét y x 2m x m y m m3 m Vậy ta có điểm uốn U m; m3 m y x Khi đó: m1 1 m m m m2 1 m1.m2 m3 4 3 m3 Luyện Thi THPT QG TP.Tuy Hòa Page Thầy Tính - 01698160150 II VẤN ĐỀ VỀ HÀMSỐ BẬC Đầu tiên, ta xét ví dụ sau Ví dụ Cho hàmsố y x4 2mx2 m Gọi S tập giá trị nguyên tham số m để đồthịhàmsố cắt trục hoành bốn điểm phân biệt có hồnh độ thỏa mãn x1 x2 x3 x4 Khi đó, tích phần tử thuộc S có giá trị Giải Phương trình hồnh độ giao điểm đồthi với trục Ox là: x 2mx m 1 Đặt t x , t Khi đó, phương trình 1 có dạng: f t t 2mt m 2 Phương trình 1 có bốn nghiệm phân biệt có hai nghiệm thỏa mãn t1 t2 Khi đó, bốn nghiệm phương trình 1 t2 , t1 , t1 , t2 Theo giả thuyết ta có: x1 x2 x3 x4 t2 t1 t1 t2 t1 t2 Vậy để phương trình có bốn nghiệm phân biệt x1 x2 x3 x4 điều kiện là: a f m a f 1 1 2m m 3 m m 2; 1 16 8m m a f Vấn đề lại tốn:”Tìm điều kiện tham số m để đồthịhàmsố cắt trục hoành bốn điểm phân biệt lập thành cấp số cộng” Đối với toán này, ta ý cơng thức giải nhanh sau: Xét phương trình f x ax bx c f t at bt c, t Ta ý b t1 t2 a c t t a Điều suy từ ý rằng: b t2 9t1 t1 b 10a 100 a.c Có điểm cực trị cách trục hoành: b2 8ac Ví dụ Cho hàmsố y x m 1 x 2m Xác định m để đồthịhàmsố cắt trục hồnh bốn điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng “Hãy thay đổi trước muộn Vì nhìn lại, ta khơng thời gian để thành cơng” GV PhạmNgọcTính Luyện Thi THPT QG TP.Tuy Hòa Page Thầy Tính - 01698160150 BẢNG TỔNG KẾT PHÉP BIẾNĐỔIĐỒTHỊCƠ BẢN Đối xứng qua Ox Đối xứng qua Oy Tịnh tiến theo Ox a đơn vị Tịnh tiến theo Oy b Đối xứng gốc O Theo v a; b Đối xứng qua Ox Tịnh tiến theo Ox Đối xứng qua Oy Luyện Thi THPT QG TP.Tuy Hòa đơn vị Page 10 Theo Oy b đơn vị a đơn vị Thầy Tính - 01698160150 ... có đường thẳng cắt đồ thị C ba điểm phân biệt lập thành cấp số nhân Ví dụ Cho hàm số y x3 mx m2 1 x Gọi S tập hợp tất giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị. .. hàm số y x3 3x2 9x m Xác định m để đồ thị hàm số cắt trục hoành ba điểm phân biệt với hồnh độ lập thành cấp số cộng Ví dụ Cho hàm số y x3 ax b Hỏi có đường thẳng cắt đồ thị hàm số. .. thị hàm số b y yCT U ; CD 3a b Như ta có nhanh tọa độ điểm uốn đồ 3a b U ; f 3a b 3a Từ dạng đồ thị hàm bậc 3, ta có nhận xét đáng nhớ sau: Đồ thị