SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH BÀ RỊA – VŨNG TÀU KÌ THI TUYỂN SINH THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ĐƠN NĂM HỌC 2019- 2020 MƠN: TỐN (Chun) Thời gian: 150 phút Ngày thi: 31 tháng năm 2019 ĐỀ CHÍNH THỨC Câu 1: (3 điểm) a Rút gọn biểu thức A= x + x +1 1 + + x+ x - x -1 x +2 với x �0, x � x2 + ( b Giải phương trình 9x2 x - 3) =40 2 � �x - y =- � x - y =2 y - x � c Giải hệ phương trình � Câu 2( điểm) a Cho số thực a,b thỏa mãn a +b �2 Chứng minh phương trình ax +bx - 2a +2 =0 ln có nghiệm b Tìm tất cặp số nguyên dương (m;n) thỏa mãn phương trình 2m.m2 = 9n2 -12n +19 Câu 3: (1 điểm) 1 + + �3 Cho số thực dương a,b,c thỏa mãn a b c Tìm giá trị nhỏ biểu thức P= 2 a - ab +3b +1 + 2 b - bc +3c +1 + c - ca +3a +1 Câu (3 điểm) Cho đường tròn (O) ngoại tiếp tam giác nhọn ABC với AB< AC Gọi I trung điểm BC Đường thẳng AI cắt đường tròn (O) J khác A Đường tròn ngoại tiếp tam giác IBJ cắt đường thẳng AB M khác B đường tròn ngoại tiếp tam giác ICJ cắt đường thẳng AC N khác C � � a Chứng minh BJM =CJN ba điểm M,I,N thẳng hàng � b Chứng minh JA tia phân giác góc BJN OA vng góc với MN � � c Tia phân giác góc BAC cắt MN E Tia phân giác góc BME � CNE cắt BE,CE P,Q Chứng minh PB.QE=PE.QC Bài (1 điểm) Trên mặt phẳng cho 17 điểm phân biệt, khơng có ba điểm thẳng hàng Giữa hai điểm ba điểm cho ta nối đoạn thẳng đoạn thẳng ghi số nguyên dươn (các số ghi đoạn thẳng số nguyên dương khác nhau) Chứng minh tồn tam giác có cạnh đoạn thẳng nối mà tổng số ghi ba cạnh tam giác chia hết cho HẾT SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI TUYỂN SINH THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN TỈNH BÀ RỊA – VŨNG TÀU NĂM HỌC 2019- 2020 HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC MƠN THI: TỐN CHUN (Hướng dẫn chấm có 07 trang) Nội dung Câu Điểm Ý Câu A= a Rút gọn biểu thức (3 điểm) x + x +1 1 + + x+ x - x-1 x +2 với x �0, x � x2 + b Giải phương trình ( x2 x - 3) =40 2 � �x - y =- � x - y =2 y - x � c Giải hệ phương trình � a A= = x + x +1 1 + + x+ x - x-1 x +2 x +3 x +2 ( )( x-1 ( =( b )( x - 1) ( ) =( x +2) ( Đặt x +2 x2 ( x - 3) t= 0,25 ) x +2 x +1 x2 + 0,25 ) x - 1) x +1 � 3x � x2 =40 � � �- 40 =0 � �x + � � x - 3� x - 0,25 x2 2 � x2 � � �- x - 40 =0 �x - � x- � � x2 � x - ta có phương trình t2 – 6t -40 =0 � t =10 � � t =- � 0,25 0,25 x2 =10 � x - 10 x +30 =0 t =10 � x - vô nghiệm c x2 =- � x +4 x - 12 =0 � t =- � x - � x =2 � � x =- � Vậy tập nghiệm phương trình S ={ - 2; 6} 0,25 0,25 2 � �x - y =- (1) � � x - y =2 y - x (2) � � x - y =( x - y )( x - y ) � x +2 x y +2 xy - y =0 0,25 � x =y � ( x - y) x +3xy +5 y =0 � �2 � x +3xy +5 y =0 � 0,25 TH1: x=y, thay vào phương trình (1) ta x=y= �1 0,25 ( ) TH2: � � � �x + y =0 11 x +3 xy +5 y =0 � � � x =y =0 �x + y � �+ y =0 � � �y =0 � � � 2 0,25 Thử lại , ta thấy x=y=0 không nghiệm hệ phương trình cho Vậy hệ phương trình có hai nghiệm (1;1), (-1;-1) Câu a Cho số thực a,b thỏa mãn a +b �2 Chứng minh phương trình (2 điểm) ax +bx - 2a +2 =0 ln có nghiệm b Tìm tất cặp số nguyên dương (m;n) thỏa mãn phương trình 2m.m2 = 9n2 -12n +19 a Nếu a=0 b �2 phương trình có nghiệm Nếu a� D=b +8a(a - 1) x =- b 0,25 0,25 � a 0 ta có 0,25 � 1� P ��� + � � � �a +b +2 4b � 1�1 � �1 � 3 �� � + � � �+� � �� �� � + � �a +b � �a � a Đẳng thức xảy a=b=c=1 Vậy max P= Lưu ý: Có thể dùng bất đẳng thức Cauchy- Schwart để chứng minh (*) sau: 0,25 2 � � � b� � 11 � 11 � � � b � 11 � � � a- � + +1��� � � �+ b +1�� �a - � �+ b +1� � � � � � 4 2 � � � � � � � � � a - ab +3b +1 � (a +5b +2) Câu (3 điểm) Cho đường tròn (O) ngoại tiếp tam giác nhọn ABC với AB< AC Gọi I trung điểm BC Đường thẳng AI cắt đường tròn (O) J khác A Đường tròn ngoại tiếp tam giác IBJ cắt đường thẳng AB M khác B đường tròn ngoại tiếp tam giác ICJ cắt đường thẳng AC N khác C � � a Chứng minh BJM =CJN ba điểm M,I,N thẳng hàng � b Chứng minh JA tia phân giác góc BJN OA vng góc với MN � c Tia phân giác góc BAC cắt MN E Tia phân giác góc � � BME CNE cắt BE,CE P,Q Chứng minh PB.QE=PE.QC � � Tứ giác ABJC nội tiếp nên JCN =MBJ � � Tứ giác MBIJ nội tiếp nên BMJ =JIC a � � � � Tứ giác NCJI nội tiếp nên JIC =JNC � JNC =BMJ � � Do DBJM ~ DCJN � BJM =CJN � � � � � � Ta lại có BIM =BJM ; CIN =CJN � BIM =CIN 0,25 0,25 0,25 0,25 Suy M,I,N thẳng hàng b � � � � � ABJC CNIJ tứ giác nội tiếp nên AJB =ACB =NCI ; NCI =NJI 0,25 � � � Suy AJB =AJN � JA tia phân giác góc BJN 0,25 � � Kẻ tiếp tuyến Ax đường tròn (O) Suy AJB =BAx � � � � Ta lại có AJB =BMN BAx =BMN nên MN//Ax 0,25 0,25 Vậy AO vng góc với MN Vì DBJM ~ DCJN � SDBJM MB = SDCJN CN 0,25 Vì I trung điểm BC nên SDABJ =SDACJ Suy c 1= SDABJ SDABJ SDCJN AB MB NC AB.MB = = = SDACJ SDBJM SDACJ MB NC AC AC CN 0,25 Ta lại có MNIJ, NCJI nội tiếp nên AB.AM=AI.AJ=AN.AC MB AC AM EM MB NC = = = � = ME NE Suy NC AB AN EN 0,25 Áp dụng tính chất đường phân giác ta có MB PB QC NC = ; = ME PE QE NE PB QC � = � PB.QE =PE.QC PE QE Bài (1 điểm) 0,25 Trên mặt phẳng cho 17 điểm phân biệt, khơng có ba điểm thẳng hàng Giữa hai điểm ba điểm cho ta nối đoạn thẳng đoạn thẳng ghi số nguyên dươn (các số ghi đoạn thẳng số nguyên dương khác nhau) Chứng minh tồn tam giác có cạnh đoạn thẳng nối mà tổng số ghi ba cạnh tam giác chia hết cho Ta tô màu đoạn thẳng ba màu đỏ, xanh, vàng Ta chứng minh tồn tam giác có ba cạnh tơ màu Gọi A điểm cho, nối A với 16 điểm lại ta 16 đoạn thẳng Ta có 16=3.5+1 nên theo định lí Dirichlet tồn đoạn thẳng tô màu 0,25 Giả sử đoạn thẳng AB, AC, AD, AE, AF, AG có màu đỏ Xét đoạn thẳng nối cặp điểm điểm B,C,D,E,F,G xảy trường hợp sau 0,25 TH1: tồn đoạn thẳng tô màu đỏ, chẳng hạn BC tam giác ABC có ba cạnh màu đỏ TH2: tất đoạn thẳng nối B,C,D,E,F,G có màu xanh vàng Ta xét đoạn thẳng BC,BD,BE,BF,BG tơ hai màu theo ngun lí Dirichlet tồn đoạn thẳng có màu Giả sử BC,BD,BE có màu xanh + Nếu ba đoạn thẳng CD,CE,DE có đoạn tơ màu xanh, chẳng hạn CD tam giác BCD có ba cạnh màu xanh + Nếu ba đoạn thẳng CD,CE,DE khơng có đoạn tơ màu xanh, tam giác CDE có ba cạnh màu vàng 0,25 Do tồn tam giác có ba cạnh tô màu Lấy số nguyên dương đoạn thẳng chia cho ta số dư 0,1,2 Tơ màu đoạn thẳng có số dư 0,1,2 tương ứng với ba màu đỏ, xanh, vàng Theo kết ln tồn tam giác có ba cạnh tơ màu, tức ba số ghi cạnh tam giác có số dư r chia cho 3, chẳng hạn 3h+r, 3k+r, 3q+r Khi 3h+r +3k+r +3q+r =3(h+h+q+r) số chia hết cho 0,25 ... màu xanh + Nếu ba đoạn thẳng CD,CE,DE có đoạn tơ màu xanh, chẳng hạn CD tam giác BCD có ba cạnh màu xanh + Nếu ba đoạn thẳng CD,CE,DE khơng có đoạn tơ màu xanh, tam giác CDE có ba cạnh màu vàng... có ba cạnh tô màu Lấy số nguyên dương đoạn thẳng chia cho ta số dư 0,1,2 Tô màu đoạn thẳng có số dư 0,1,2 tương ứng với ba màu đỏ, xanh, vàng Theo kết ln tồn tam giác có ba cạnh tơ màu, tức ba. .. tam giác có cạnh đoạn thẳng nối mà tổng số ghi ba cạnh tam giác chia hết cho Ta tơ màu đoạn thẳng ba màu đỏ, xanh, vàng Ta chứng minh tồn tam giác có ba cạnh tô màu Gọi A điểm cho, nối A với 16