STT 23 ĐỀ TUYỂN SINH VÀO 10 TỈNH HÀ NAM NĂM HỌC 2017 – 2018 Câu 1: x − x + = a) Giải phương trình: b) Giải hệ phương trình Câu 2: Trong mặt phẳng tọa độ 2 x + y = x + 3y = Oxy cho parabol ( P) y= có phương trình − x2 đường thẳng ( d ) : y = x + m ( P) −8 M thuộc parabol biết điểm có tung độ ( d) ( P) A, B m b) Tìm để đường thẳng ln cắt parabol hai điểm phân biệt với 33 ( x1 + y1 ) ( x2 + y2 ) = A ( x1; y1 ) , B ( x2 ; y2 ) cho a) Tìm tọa độ điểm Câu 3: Rút gọn biểu thức Cho biểu thức M A = 12 − 75 + + B= + x +1 x −1 ÷ ÷ x − x ÷ với < x ≠ 1 B≥ Câu 4: x B Rút gọn biểu thức tìm nguyên dương khác để ( O) ( O) M MA Cho đường tròn , từ điểm nằm ngồi đường trịn kẻ hai tiếp tuyến MB F đường tròn ( A, B hai tiếp điểm) Kẻ đường kính ME giao điểm thứ hai đường thẳng đường tròn MO N MO AB H điểm Gọi giao điểm MAOB Chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn AE //MO Chứng minh MN = NF NA Chứng minh BE ( O) đường tròn Đường thẳng ( O) AF Gọi cắt Chứng minh Câu 5: MN = NH ab + bc + ca = c ≤ a số thực không âm thỏa mãn điều kiện P= + + 2 ( a + 1) ( b + 1) ( c + 1) Tìm giá trị nhỏ biểu thức Cho a, b, c STT 23 LỜI GIẢI ĐỀ TUYỂN SINH VÀO 10 TỈNH HÀ NAM NĂM HỌC 2017 – 2018 Câu 1: a) Giải phương trình: x − x + = 2 x + y = x + 3y = b) Giải hệ phương trình Lời giải a) Ta có x2 − x + = ⇔ ( x − 1) ( x − 3) = x −1 = x =1 ⇔ ⇔ x − = x = S = { 1;3} Vậy tập nghiệm phương trình b) Ta có x = x + y = ⇔ 1− x 1− y= = = −2 3 x + 3y = Vậy nghiệm hệ phương trình Câu 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy ( x; y ) = ( 7; −2 ) cho parabol ( P) y= có phương trình − x2 đường thẳng ( d ) : y = x + m ( P) −8 M thuộc parabol biết điểm có tung độ (d) ( P) A, B m b) Tìm để đường thẳng cắt parabol hai điểm phân biệt với 33 ( x1 + y1 ) ( x2 + y2 ) = A ( x1; y1 ) , B ( x2 ; y2 ) cho a) Tìm tọa độ điểm M Lời giải a) Với y = −8 ⇒ − x2 = −8 ⇔ x = 16 ⇔ x = ±4 Vậy tìm hai điểm M ( ±4; −8 ) b) Phương trình hồnh độ giao điểm ( P) ( d) là: −x = x+m ⇔ x + x + 2m = 2 ∆′ = − 2m Để đường thẳng ( d) cắt parabol ⇔ ∆′ = − 2m > ⇔ m < Theo định lý Viet ta có y1 = x1 + m y2 = x2 + m Lại có ( x1 + y1 ) ( x2 + y2 ) = Từ x1 + x2 = −2 x1.x2 = 2m 33 ⇔ ( x1 + x1 + m ) ( x2 + x2 + m ) = ⇔ ( x1 + m ) ( x2 + m ) = 33 ⇔ x1 x2 + 2m ( x1 + x2 ) + m = ⇔ 8m − m + m = ⇔ m + 4m − 33 33 =0 33 33 ( P) hai điểm phân biệt m = ⇔ m = −11 m= Vậy Câu 3: ( L) −11 ( TM ) Rút gọn biểu thức Cho biểu thức A = 12 − 75 + + x −1 B= + ÷ ÷ x − x ÷ x +1 Rút gọn biểu thức B tìm x < x ≠ với nguyên dương khác Lời giải để A = 12 − 75 + + = − + Ta có A = Vậy Ta có x −1 B= + ÷ ÷ x − x ÷ x +1 B= B= B= B≥ Vì ( ( x −1+ x +1 )( x +1 x )( x +1 ) x −1 x ) x −1 x x −1 x −1 B≥ ( + 3) x +1 ⇔ 2 ≥ x + ⇔ x + ≤ ⇔ x ≤ ⇒ x ≤ x ẻ Ơ , x > x ẻ { 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9} ( ) = −3 + + = Câu 4: Cho đường tròn MB ( O) , từ điểm đường tròn ( A, B M nằm ngồi đường trịn hai tiếp điểm) Kẻ đường kính F ME giao điểm thứ hai đường thẳng đường tròn MO N MO AB H điểm Gọi giao điểm MAOB Chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn AE //MO Chứng minh MN = NF NA Chứng minh MN = NH Chứng minh ( O) BE ( O) kẻ hai tiếp tuyến đường tròn Đường thẳng MA ( O) AF Ta có MAOB · · · · MAO = MBO = 90° ⇒ MAO + MBO = 180° Mà hai góc đối nên tứ giác nội tiếp Ta có tam giác Ta lại có AOE cân O nên ·AEO = OAE · ·AEO = MAB · = sd »AB = ·AOM ( 1) ( 2) Gọi cắt Lời giải Từ ( 1) ( 2) suy ·AEO = ·AOM ⇒ AE //OM ∆MNF Xét hao tam giác ∆ANM có: · MNF = ·ANM · · FMN = ·AEF = MAN ⇒ ⇒ ∆MNF ∽ ∆ANM Ta có ⇒ MO MA = MB (g.g) NA MN = MN NF ⇒ NM = NF NA (tính chất tiếp tuyến cắt nhau) đường trung trực ⇒ AH ⊥ MO ∆MAF ·AME (góc so le trong, góc tạo tia tiếp tuyến dây dung) và ∆MEA OA = OB = R AB HA = HB có: chung µ µ A1 = E ⇒ ∆MAF ∽ ∆MEA ⇒ (g.g) MA MF = ME MA ⇒ MA2 = MF ME Áp dụng hệ thức lượng vào tam giác vng Do ME.MF = MH MO ⇒ ∆MFH ∽ ∆MOE ¶ =E ¶ ⇒H (c.g.c) ⇒ ME MO = MH MF MAO , ta có MA2 = HO.MH Vì · BAE góc vng nội tiếp ( O) nên E , O, B thẳng hàng » ¶ =A ả = sd EB ữ E 2 ¶ =A ¶ ⇒H ¶ +H ¶ =N ¶ +A ¶ = 90° ⇒N ⇒ HF ⊥ NA 1 Áp dụng hệ thức lượng vào tam giác vuông NHA NH = NF NA ta có ⇒ NM = NH ⇒ MN = NH Câu 5: Cho a, b, c số thực không âm thỏa mãn điều kiện P= Tìm giá trị nhỏ biểu thức ( a + 1) + ( b + 1) ab + bc + ca = + ( c + 1) Lời giải Cách 1: Theo đề ab + bc + ca = Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có = ab + bc + ac ≥ 3 a 2b2 c ⇒ abc ≤ 1, ( 1) ( a + b + c) ( 2) Từ ( 1) x= Đặt ≥ ( ab + bc + ac ) = ⇒ a + b + c ≥ 3, ( 2) ⇒ a + b + c ≥ 3abc 1 ; y= ; z= a +1 b +1 c + ( ⇒ x, y, z > 0; z ≥ x ) ⇒ P = x2 + y + 3z = x + z + y + z ≥ ( x2 + y + z ) ⇒ P ≥ ( x + y + z ) ≥ ( xy + yz + xz ) ( *) c ≤ a Ta tìm giá trị nhỏ xy + yz + xz = xy + yz + xz + + ( a + 1) ( b + 1) ( c + 1) ( b + 1) ( a + 1) ( c + 1) ⇔ xy + yz + xz = a+b+c+3 a+b+c+3 = ( a + 1) ( b + 1) ( c + 1) abc + a + b + c + ⇔ xy + yz + xz = ( a + b + c + 3) a +b+c+3 = abc + a + b + c + 3abc + ( a + b + c ) + 12 ⇔ xy + yz + xz = ( a + b + c + 3) ( a + b + c + 3) ≥ = 3abc + ( a + b + c ) + 12 ( a + b + c ) + ( a + b + c ) + 12 3 ⇒ P ≥ = Dấu xảy x = y = z ⇒ a = b = c = Vậy giá trị nhỏ Cách 2: Vì ⇒P≥ ⇒P= a≥c ( a + 1) + ( b + 1) P= ( a + 1) + ( x + 1) + ( y + 1) ≥ + ( b + 1) + ( c + 1) ≥ ( c + 1) Ta chứng minh đẳng thức với 2 x, y không âm 1 + xy ⇔ ( + xy ) ( x + y + x + y + ) − ( xy + x + y + 1) ≥ ( a + 1) + ( b + 1) + ( c + 1) + ( a + 1) ⇔ ( + xy ) ( x + y − xy + xy + x + y + ) − ( xy + x + y + 1) ≥ ⇔ ( + xy ) ( x − y ) + ( + xy ) ( xy + x + y + 1) − ( xy + x + y + 1) ≥ 2 ⇔ ( + xy ) ( x − y ) + ( xy − x − y + 1) ( xy + x + y + 1) ≥ ⇔ xy ( x − y ) + ( x − y ) + ( xy + 1) − ( x + y ) ≥ 2 2 ⇔ xy ( x − y ) + ( xy − 1) ≥ 2 Luôn đúng, dấu ⇒P= ⇒P≥ ( a + 1) + + ( a + 1) "=" xảy ( b + 1) + + ( b + 1) x = y = ( c + 1) ≥ + ( b + 1) + + ( a + 1) ( c + 1) ( b + 1) + ≥ ( a + 1) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho số khơng âm ta có 1 1 1 + + ÷≥ ⇒ + + ≥ x y z x+ y+ z x y z ( x + y + z) ⇒P≥ 1 9 + + ≥ = = + ab + bc + ac + ab + bc + ac P= Vậy GTNN a = b = c = ( c + 1) + ( a + 1) 1 + + + ab + bc + ac ... + 1) ( c + 1) Tìm giá trị nhỏ biểu thức Cho a, b, c STT 23 LỜI GIẢI ĐỀ TUYỂN SINH VÀO 10 TỈNH HÀ NAM NĂM HỌC 2017 – 2018 Câu 1: a) Giải phương trình: x − x + = 2 x + y = x + 3y = b) Giải... (c.g.c) ⇒ ME MO = MH MF MAO , ta có MA2 = HO.MH Vì · BAE góc vng nội tiếp ( O) nên E , O, B thẳng hàng » ¶ =A ¶ = sd EB ÷ ⇒E 2 ¶ =A ¶ ⇒H ¶ +H ¶ =N ¶ +A ¶ = 90° ⇒N ⇒ HF ⊥ NA 1 Áp dụng hệ