STT 24 ĐỀ TUYỂN SINH VÀO 10 THÀNH PHỐ HÀ NỘI NĂM HỌC 2017 - 2018 Bài 1: (2,0 điểm) Cho hai biểu thức A x 2 x 5 B x 5 20 x với x ; x # 25 x 25 1) Tính giá trị biểu thức A x 2) Chứng minh B x 5 3) Tìm tất giá trị x để A B x Bài 2: Bài 3: (2,0 điểm)Giải toán sau cách lập phương trình hệ phương trình Một xe ô tô xe máy khởi hành từ A để đến B với vận tốc xe khơng đổi tồn qng đường AB dài 120km Do vận tốc xe ô tô lớn vận tốc xe máy 10km/h nên xe ô tô đến B sớm xe máy 36 phút Tính vận tốc xe (2,0 điểm) x 2 y 1 1) Giải hệ phương trình x y a) Chứng minh đường thẳng d qua điểm A 0;5 với giá trị m b) Tìm tất giá trị m để đường thẳng d cắt parabol P : y x hai điểm phân 2) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường thẳng d : y mx biệt có hoành độ x 1, x (với x1 x ) cho x1 x Bài 4: (3,5 điểm) Cho đường tròn O ngoại tiếp tam giác nhọn ABC Gọi M N điểm cung nhỏ AB cung nhỏ BC Hai dây AN CM cắt điểm I Dây MN cắt cạnh AB BC điểm H K 1) Chứng minh bốn điểm C , N , K, I thuộc đường tròn 2) Chứng minh NB NK NM 3) Chứng minh tứ giác BHIK hình thoi 4) Gọi P, Q tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MBK , tam giác MCK E trung điểm đoạn PQ Vẽ đường kính ND đường tròn O Chứng minh ba Bài 5: điểm D, E, K thẳng hàng (0,5 điểm) Cho số thực a,b, c thay đổi thỏa mãn: a 1,b 1, c ab bc ca Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn biểu thức P a b c STT 24 LỜI GIẢI ĐỀ TUYỂN SINH VÀO 10 THÀNH PHỐ HÀ NỘI NĂM HỌC 2017 - 2018 ( 2,0 điểm) Bài 1: Cho hai biểu thức A x 2 B x 5 x 5 1) Tính giá trị biểu thức A x 2) Chứng minh B x 5 3) Tìm tất giá trị x để A B x 20 x với x ; x # 25 x 25 Lời giải 1) Thay x (tmđk) vào A A 5 Với x ; x # 25 20 x x ( x 5)( x 5) B 3( x 5) 20 x x 5 ( x 5)( x 5) ( x 5)( x 5) x 5 Vậy : Với x 0, x 25 B x 5 2) Với x 0, x 25 A B x x x T.H x 2 x4 x x 6 x 3(t / m) x 2(loai ) x9 T.H x 2 4 x x x 2 x 1(t / m) x 2(loai ) x 1 Vậy: x x A B x Bài 2: (2,0 điểm)Giải toán sau cách lập phương trình hệ phương trình Một xe tơ xe máy khởi hành từ A để đến B với vận tốc xe không đổi toàn quãng đường AB dài 120km Do vận tốc xe ô tô lớn vận tốc xe máy 10km/h nên xe ô tô đến B sớm xe máy 36 phút Tính vận tốc xe Lời giải Gọi vận tốc xe máy x ( Đơn vị km / h , x ) Đổi 36 phút Vận tốc ô tô x 10 km / h Thời gian xe máy hết quãng đường AB Thời gian ô tô hết quãng đường AB 120 ( ) x 120 ( ) x 10 Lập luận để có PT: 120 120 x x 10 x 10 x 2000 x 50(loai ) x 40(t / m) Vậy: Vận tốc xe máy 40 km / h vậ tốc ô tô 50 km / h Bài 3: (2,0 điểm) x 2 y 1 1) Giải hệ phương trình x y a) Chứng minh đường thẳng d qua điểm A 0;5 với giá trị m b) Tìm tất giá trị m để đường thẳng d cắt parabol P : y x hai điểm phân 2) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường thẳng d : y mx biệt có hoành độ x 1, x (với x1 x ) cho x1 x Lời giải 1) ĐKXĐ: x y Ta có hệ: x y 1 4(5 y 1) y y y 1 Giải được: ( t / m) x x x 1 Vậy hpt có nghiệm là: y 2) a) Thay tọa độ A (0;5) vào y mx ta có: m.0 ( với m ) Vậy (d ) qua A (0;5) với m b) PT hoành độ giao điểm: x2 mx (1) Lập luận PT (1) có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 với m Lập luận có: x1 x2 nên x1 x2 x1 x2 Áp dụng định lí viet, thay x1 x2 m Ta có: Bài 4: x1 x2 m (3,5 điểm) Cho đường tròn O ngoại tiếp tam giác nhọn ABC Gọi M , N điểm cung nhỏ AB cung nhỏ BC Hai dây AN CM cắt điểm I Dây MN cắt cạnh AB BC điểm H K a) Chứng minh bốn điểm C , N , K , I thuộc đường tròn b) Chứng minh NB2 NK NM c) Chứng minh tứ giác BHIK hình thoi d) Gọi P , Q tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MBK , tam giác MCK E trung điểm đoạn PQ Vẽ đường kính ND đường tròn O Chứng minh ba điểm D , E , K thẳng hàng Lời giải: a) Chứng minh bốn điểm C , N , K , I thuộc đường tròn Vì M điểm cung nhỏ AB O (giả thiết) sd AM sd MB ANM BCM (hai góc nội tiếp chắn hai cung nhau) Xét tứ giác CNKI ta có: INK ICK (vì ANM BCM ) CNKI tứ giác nội tiếp (tứ giác có đỉnh kề nhìn cạnh hai góc nhau) C , N , K , I thuộc đường tròn b) Chứng minh NB2 NK NM Vì N điểm cung nhỏ BC O (giả thiết) sd BN sd NC BMN NBC (hai góc nội tiếp chắn hai cung nhau) Xét BMN KBN ta có: - BNM góc chung - BMN NBK (vì BMN NBC ) BMN KBN g-g NB NM NB2 NK NM NK NB c) Chứng minh tứ giác BHIK hình thoi + Chứng minh BHIK hình bình hành Gọi J giao điểm AN BC Ta có: sd AM sd MB (cmt) ACM BCM (hai góc nội tiếp chắn hai cung nhau) CM phân giác ACB CI phân giác CAJ IA CA IJ CJ (1) Ta có: sd AM sd MB (cmt) ANM BNM (hai góc nội tiếp chắn hai cung nhau) NM phân giác ANB NH phân giác NAB HA NA HB NB (2) Ta có: sd BN sd NC BAN CAN (hai góc nội tiếp chắn hai cung nhau) Xét CAJ NAB ta có: - ACJ ANB (hai góc nội tiếp chắn AB ) - BAN CAJ (cmt) CAJ NAB g-g CA CJ CA NA NA NB CJ NB Từ (1), (2), (3) suy (3) IA HA IJ HB HI BJ (định lí Thales đảo) hay HI BK (4) Chứng tương tự ý trên, ta KI BH (5) Từ (4) (5) suy BHIK hình bình hành + Chứng minh BH BK Ta có : KBN BMN (cmt) BK BN BM BN BK BM MN MN Chứng minh tương tự câu b) ta có: HMB (6) BMN g-g BH BM BM BN BH BN MN MN Từ (6) (7) suy BH BK Mà BHIK hình bình hành nên BHIK hình thoi (7) d) Gọi P , Q tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MBK , tam giác MCK E trung điểm đoạn PQ Vẽ đường kính ND đường tròn O Chứng minh ba điểm D , E , K thẳng hàng Ta có: NBK BMK (cmt) BN tiếp tuyến B P BN BP Mà BN BD (vì DBN 90o : góc nội tiếp chắn nửa đường tròn tâm O) nên B , P , D thằng hàng Ta có: PBK cân P ( PB PK ) BPK 180o PBK (8) NB NC sd NB sd NC ON đường trung trực đoạn BC Ta có: OB OC DB DC ( D thuộc đường thẳng ON ) DBC cân D BDC 180o DBC (9) Từ (8) (9) suy BPK BDC Mà hai góc vị trí đồng vị nên PK DC PK DQ (10) Chứng minh tương tự ta có: C , Q , D thẳng hàng QK DP (11) Từ (10) (11) suy DPKQ hình bình hành Mà E trung điểm đường chéo PQ nên E trung điểm đường chéo DK D , E , K thẳng hàng Bài 5: (0,5 điểm) Cho số thực a , b , c thay đổi thỏa mãn: a , b , c ab bc ca Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn biểu thức P a2 b2 c2 Lời giải: + Tìm giá trị nhỏ Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho số dương ta có: a b 2ab 2 2 b c 2bc a b c ab bc ca c a 2ca P a2 b2 c2 ab bc ca a b c 1 Dấu ‘=’ xảy a b c ab bc ca + Tìm giá trị lớn a a 1 b 1 ab a b Vì b b 1 c 1 bc b c c c 1 a 1 ca c a ab bc ca a b c 3 abc ab bc ca 6 a b c 36 a b2 c2 ab bc ca 36 P 36 ab bc ca 18 a 4, b c Dấu ‘=’ xảy b 4, c a c 4, a b Vậy GTNN P , xảy a b c a 4, b c GTLN P 18 , xảy b 4, c a c 4, a b ... ACM BCM (hai góc nội tiếp chắn hai cung nhau) CM phân giác ACB CI phân giác CAJ IA CA IJ CJ (1) Ta có: sd AM sd MB (cmt) ANM BNM (hai góc nội tiếp chắn hai cung nhau) NM phân... sd MB ANM BCM (hai góc nội tiếp chắn hai cung nhau) Xét tứ giác CNKI ta có: INK ICK (vì ANM BCM ) CNKI tứ giác nội tiếp (tứ giác có đỉnh kề nhìn cạnh hai góc nhau) C , N , K , I... phân giác ANB NH phân giác NAB HA NA HB NB (2) Ta có: sd BN sd NC BAN CAN (hai góc nội tiếp chắn hai cung nhau) Xét CAJ NAB ta có: - ACJ ANB (hai góc nội tiếp chắn AB ) - BAN