Chứng minh rằng tồn tại một hình chữ nhật có các cạnh song song với các trục toạ độ mà tất cả các đỉnh của nó thuộc M và được tô cùng màu.. ĐỀ CHÍNH THỨC..[r]
(1)HỘI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DH & ĐB BẮC BỘ
KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI KHU VỰC MỞ RỘNG NĂM HỌC 2011- 2012
MƠN THI: TỐN LỚP 10 Ngày thi: 21 tháng năm 2012
(Thời gian làm 180 phút không kể thời gian giao đề) Đề thi gồm trang
Câu ( điểm): Giải hệ phương trình sau:
3
2
3
4
x y y
x y x y
, ,
x y z xy yz zx 3Câu (4 điểm): Cho số thực dương thỏa mãn Chứng minh bất đẳng thức:
2 2
3 8 8 8
x y z
x y z .
Câu (4 điểm): Trên cạnh BC, CA, AB phía ngồi tam giác ABC ta dựng hình vng BCMN, ACPQ, ABEF Gọi G trọng tâm tam giác ABC Kí hiệu A1 giao điểm AG FQ; B1 giao điểm BG NE; C1 giao điểm CG MP Ta xác định điểm A2, B2, C2 cho AGC2F, BGA2N, CGB2P hình bình hành Chứng minh đường thẳng qua A2, B2, C2 tương ứng vng góc với B1C1, C1A1, A1B1 đồng quy
m, n 4m3 m 12n3 n
m n Câu (4 điểm): Giả sử số tự nhiên thỏa
mãn: Chứng minh lập phương số nguyên
Câu (4 điểm): Trên mặt phẳng toạ độ Oxy, xét tập hợp M điểm có toạ độ (x; y) với x, y R* x 12; y 12 Mỗi điểm M tô trong ba màu: màu đỏ, màu trắng màu xanh Chứng minh tồn hình chữ nhật có cạnh song song với trục toạ độ mà tất đỉnh thuộc M tô màu
(2)HƯỚNG DẪN CHẤM Mơn: Tốn 10
Câu Nội dung Điểm
1
3
2
3
4
x y y
x y x y
Giải hệ phương trình:
4 điểm
Hệ phương trình tương đương:
3
2
3
3
x y y
x y x y
x3 y3 3y2 3(x2 y2) 3( x )y
1,0
3 3 3 1 6 12 8
x x x y y y
0,5
3
(x 1) (y 2) x y x y
0,5
2
2y 9y 6 0Thế vào phương trình (2) ta thu được: 0,5 33 33 y y 0,5
9 33 33 33
3
4 4
y x
Với
0,5
9 33 33 33
3
4 4
y x
Với Vậy phương trình có hai nghiệm:
; 33; 33
4
x y
; 33; 33
4
x y
;
0,5
2 x y z, , xy yz zx 3Cho số thực dương thỏa mãn
2 2
3 8 8 8
x y z
x y z Chứng minh bất đẳng thức:
4 điểm
Theo bất đẳng thức Cauchy cho số thực dương ta có:
2
3
2
2
( 2) ( 4)
8 ( 2)( 4)
2
2
x x x x x
x x x x
(3)2 2
2
3
2
;
6
8
y y z z
y y z z
y z
Tương tự, ta có Từ suy ra:
2 2 2
2 2
3 3
2 2
6 6
8 8
x y z x y z
x x y y z z
x y z
(1)
0,5
Mặt khác, theo bất đẳng thức Cauchy - Schwarz :
2 2
2 2 2
2 2 2( )
6 6 ( ) 18
x y z x y z
x x y y z z x y z x y z
(2)
1,0 Ta chứng minh:
2
2 2
2( )
1
( ) 18
x y z
x y z x y z
Thật vậy: Ta có:
2 2
2
2
( ) 18
2 18
12
x y z x y z
x y z x y z xy yz zx
x y z x y z
0,5
3 2(x y z )2 x2 y2 z2 (x y z ) 18 Nên
2 2 6
x y z x y z
Mặt khác, x, y, z số dương nên ta có:
2 2
3( )
x y z xy yz zx
x y z xy yz zx
3
xy yz zx Mà nên bất đẳng thức (3) Từ (1), (2) (3), ta có đpcm
1
x y z Đẳng thức xảy
0,5
3 Trên cạnh BC, CA, AB phía ngồi tam giác ABC ta dựng các hình vng BCMN, ACPQ, ABEF Gọi G trọng tâm tam giác ABC. Kí hiệu A1 giao điểm AG FQ; B1 giao điểm BG NE;
C1 giao điểm CG MP Ta xác định điểm A2, B2, C2 cho
AGC2F, BGA2N, CGB2P hình bình hành Chứng minh các
đường thẳng qua A2, B2, C2 tương ứng vuông góc với B1C1, C1A1, A1B1
(4)Gọi I trung điểm BC Ta có:
1
FQ.AI= FA+AQ AB+AC = FA.AB+FA.AC+AQ.AB+AQ.AC
2
0,5
1
= 0-AF.AC+AQ.AB+0 = -AF.AC.cosFAC+AQ.AB.cosQAB =
2
Do AF = AC, AQ = AB, FAC=QAB=90 +A
1
FQ AI hay FQ A 1G
.
1,0
Ta có CGB2P hình bình hành nên GB2 song song CP nên GB2 song song AQ, suy AQB2G hình bình hành, có QB2 song song AG Suy QB2 song song FC2, nên FQB2C2 hình bình hành, hay FQ song song với B2C2 (2)
1 2
A GB C Từ (1) (2) suy
1,0
1 2 2
(5)Vậy đường thẳng qua A1, B1, C1 tương ứng vng góc với
2 2 2
B C ,C A ,A B B C ,C A ,A B1 1 1 1 1 1 đồng quy G nên theo hệ định
lí Cácnơ ta có đường thẳng qua A2, B2, C2 tương ứng vng góc với đồng quy
1,0
4 m, n 4m3 m 12n3 n
Giả sử số tự nhiên thỏa mãn:
m n Chứng minh lập phương số nguyên.
4 điểm
3 3 3
4m m 12n n m n m n 8n Ta có:
m n 4m 4mn 4n2 1 8n 13
1,0 m n 4m2 4mn 4n 1Giả sử p ước nguyên tố chung
2
4m 4mn 4n 1Do số lẻ nên p số lẻ.
0,5
3
8n p n p m p Từ (1) suy mà p số nguyên tố lẻ 0,5
2
4m 4mn 4n 1 p 1 Mặt khác p ước (vơ lí) 0,5
m n 4m2 4mn 4n 1
2
m n,4m 4mn 4n 1 1do và
khơng có ước ngun tố chung, suy 0,5
3
3
8n 2n Do , suy m – n lập phương số nguyên. 1,0
5 *
Trên mặt phẳng toạ độ Oxy, xét tập hợp M điểm có toạ độ (x; y) với x, y x 12; y 12 Mỗi điểm M tô ba màu:
màu đỏ, màu trắng màu xanh Chứng minh tồn hình chữ nhật có cạnh song song với trục toạ độ mà tất đỉnh thuộc M tô màu.
4 điểm
144 48
3 Tập M có 144 điểm tơ màu nên tồn màu tô
tơ khơng điểm
0,5 12
i i
a 48
Ta chọn điểm M 48 điểm tô màu Chia điểm M thành 12 hàng (các điểm có tung độ) 12
cột (các điểm có hồnh độ) Gọi (i = 1,…,12) số điểm 48
điểm chọn có cột thứ i suy ra:
0,5
i i a (a 1)
2
Khi đó, số cặp điểm chọn cột thứ i là:
12 i i a a
(6)
2 12
i
12 12 12 12
2 i
i i
i i i
i i i i
a
a a 1
a a a 72
2 2 12
Ta có:
1,0
Vì cặp chọn cột tương ứng với cặp hàng điểm hàng có tung độ
2 12
C 66Số cặp hàng khác là:
1,0
Vì 72 > 66 nên ln tìm hai cặp điểm nằm cặp hàng
Vậy tồn hình chữ nhật có cạnh song song với trục toạ độ có đỉnh tô màu