Câu 3 4 điểm: Trên các cạnh BC, CA, AB và về phía ngoài tam giác ABC ta dựng các hình vuông BCMN, ACPQ, ABEF.. Chứng minh rằng là lập phương của một số nguyên.. Mỗi điểm trong M được tô
Trang 1HỘI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN
KHU VỰC DH & ĐB BẮC BỘ
KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI KHU VỰC MỞ RỘNG
NĂM HỌC 2011- 2012
MÔN THI: TOÁN LỚP 10 Ngày thi: 21 tháng 4 năm 2012
(Thời gian làm bài 180 phút không kể thời gian giao đề)
Đề thi gồm 1 trang
Câu 1 ( 4 điểm): Giải hệ phương trình sau:
Câu 2 (4 điểm): Cho là các số
thực dương thỏa mãn Chứng minh bất đẳng thức:
Câu 3 (4 điểm): Trên các
cạnh BC, CA, AB và về
phía ngoài tam giác ABC ta dựng các hình vuông BCMN, ACPQ, ABEF Gọi G là
trọng tâm tam giác ABC Kí hiệu A1 là giao điểm của AG và FQ; B1 là giao điểm
của BG và NE; C1 là giao điểm của CG và MP Ta xác định các điểm A2, B2, C2
sao cho AGC2F, BGA2N, CGB2P là các hình bình hành Chứng minh rằng các
đường thẳng đi qua A2, B2, C2 tương ứng vuông góc với B1C1, C1A1, A1B1 đồng
quy
Câu 4 (4 điểm): Giả sử là các
số tự nhiên thỏa mãn: Chứng minh rằng là lập phương của một số nguyên
Câu 5 (4 điểm): Trên mặt phẳng toạ độ Oxy, xét tập hợp M các điểm có toạ độ
(x; y) với x, y ∈ R* và x ≤ 12; y ≤ 12 Mỗi điểm trong M được tô bởi một trong ba
màu: màu đỏ, màu trắng hoặc màu xanh Chứng minh rằng tồn tại một hình chữ
nhật có các cạnh song song với các trục toạ độ mà tất cả các đỉnh của nó thuộc M và
được tô cùng màu
……… HẾT ………
4
xy yz zx+x y z, ,+ =3
m, n
4m + =m 12nm n− +n
ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 2HƯỚNG DẪN CHẤM Môn: Toán 10
0,5 0,5
Thế vào phương trình (2) ta
thu được:
0,5
0,5
Với
Vậy phương
trình có hai nghiệm:
;
0,5
thỏa mãn
Chứng minh bất
đẳng thức:
4 điểm
Theo bất đẳng thức Cauchy cho các số thực dương ta có:
Tương tự, ta
cũng có
1,0
0,5
( ) ( )
2
2y +9y+ =6 0
4
4
y y
=
⇔
=
3
y= − − ⇒ = +x − − = −
3
y= − + ⇒ = +x − + = +
, ,
xy yz zx+ + =
2 3
2 6 8
x
− + +
;
Trang 3Từ đó suy ra:
(1)
0,5
Mặt khác, theo bất đẳng thức Cauchy - Schwarz :
(2)
1,0
Ta chứng minh:
Thật vậy:
Ta có:
0,5
Nên
Mặt khác, do x, y, z
là các số dương nên ta có:
Mà nên bất đẳng thức
(3) đúng
Từ (1), (2) và (3), ta có đpcm
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ
khi
0,5
hình vuông BCMN, ACPQ, ABEF Gọi G là trọng tâm tam giác ABC.
Kí hiệu A 1 là giao điểm của AG và FQ; B 1 là giao điểm của BG và NE;
C 1 là giao điểm của CG và MP Ta xác định các điểm A 2 , B 2 , C 2 sao cho
đường thẳng đi qua A 2 , B 2 , C 2 tương ứng vuông góc với B 1 C 1 , C 1 A 1 , A 1 B 1
đồng quy.
4 điểm
Gọi I là trung điểm của BC Ta có:
0,5
+ +
( )
2
1 3
x y z
2
2
12 0
( )3 ⇔2(x y z+ + )2 ≥x2 + y2 + − + + +z2 (x y z) 18
+ + ≥xy yz zx+ + +=3 +
1
x y z= = =
FQ.AI= FA+AQ AB+AC = FA.AB+FA.AC+AQ.AB+AQ.AC
uuuruur uuur uuur uuur uuur uuuruuur uuuruuur uuur uuur uuur uuur
Trang 41,0
Ta có CGB2P là hình bình hành nên GB2 song song và bằng CP nên GB2
song song và bằng AQ, suy ra AQB2G là hình bình hành, vậy có QB2
song song và bằng AG Suy ra QB2 song song và bằng FC2, nên FQB2C2
là hình bình hành, hay FQ song song với B2C2 (2)
Từ (1) và (2) suy ra
1,0
Vậy các đường thẳng đi qua A1, B1, C1 tương ứng vuông góc với
đồng quy tại G nên theo hệ
quả của định lí Cácnô ta có
các đường thẳng đi qua A2, B2, C2 tương ứng vuông góc với cũng đồng
quy
1,0
thỏa mãn:
4 điểm
Ta có:
1,0
Giả sử p là một ước nguyên
tố chung của và
Do là số lẻ nên p là số lẻ.
0,5
Từ (1) suy ra mà p là số nguyên tố
Mặt khác p là ước của
(vô lí)
0,5
do đó và không có
ước nguyên tố
chung, suy ra
0,5
Do , suy ra m – n là lập phương
5 Trên mặt phẳng toạ độ Oxy, xét tập hợp M các điểm có toạ độ (x; y) với
x, y ∈ và x ≤ 12; y ≤ 12 Mỗi điểm trong M được tô bởi một trong ba
màu: màu đỏ, màu trắng hoặc màu xanh Chứng minh rằng tồn tại một hình
chữ nhật có các cạnh song song với các trục toạ độ mà tất cả các đỉnh của nó
thuộc M và được tô cùng màu.
4 điểm
Tập M có 144 điểm được tô bằng
3 màu nên tồn tại 1 màu tô được
tô ở không ít hơn điểm.
0,5
= 0-AF.AC+AQ.AB+0 = -AF.AC.cosFAC+AQ.AB.cosQAB = 0
Do AF = AC, AQ = AB, FAC=QAB=90 +A
uuuruuur uuur uuur
( )
1
FQ AI hay FQ A 1G
A G ⊥ B C
B G ⊥ A C , C G ⊥ A B
B C ,C A ,A B B C ,C A ,A B1 1 1 1 1 1
m, n
4m + =m 12n +n
m n−
4m + =m 12n + ⇔n 4 m −n + m n− =8n
(m n 4m) ( 2 4mn 4n2 1) 8n 13 ( )
m n−
4m +4mn 4n+ +1
4m +4mn 4n+ +1
3 8n pn pM
⇒m pM
4m +⇒ =4mn 4np 1+ +1
m n−
4m +4mn 4n+ +1
(m n,4m− 2 +4mn 4n+ 2 + =1) 1
( )3 3
8n = 2n
*
¥
144
48
3 =
Trang 5Ta chọn trong các điểm của M
đúng 48 điểm được tô cùng một
màu Chia các điểm của M thành 12 hàng (các điểm có cùng tung độ) và 12
cột (các điểm có cùng hoành độ) Gọi a i (i = 1,…,12) là số điểm trong 48
điểm được chọn có trong một cột thứ i suy ra:
0,5
Khi đó, số cặp điểm được chọn
trong cột thứ i là:
số cặp điểm có hoành độ trùng
nhau là:
0,5
Ta có:
1,0
Vì mỗi cặp được chọn trong cùng một cột tương ứng với một cặp hàng trong
đó các điểm trong một hàng có cùng tung độ.
Vì 72 > 66 nên luôn tìm được hai cặp điểm nằm trên 1 cặp hàng.
Vậy luôn tồn tại một hình chữ nhật có các cạnh song song với các trục toạ độ
và có 4 đỉnh tô cùng một màu.
0,5
Mọi cách giải khác nếu đúng kết quả và lập luận chặt chẽ đều cho điểm tương đương.
12 i
i 1
a 48
=
=
∑
i i
a (a 1) 2
−
12
i i
i 1
2
=
−
∑
2 12 i
i i
a
=
∑
2 12
C =66