Thầy Dũng UBND QUẬN BẮC TỪ LIÊM 0972026205 ĐC: Ngõ 13, Khuất Duy Tiến ĐỀ KIỂM TRA CHẤT LƯỢNG GIỮA HỌC KỲ PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO II NĂM HỌC 2017 – 2018 - MƠN: TỐN Thời gian 120 phút (không kể thời gian giao đề) Bài (2,0 điểm): Cho hai biểu thức A x 1) Tính giá trị biểu thức B x x x 11 B x với x 0; x 9 16 2) Rút gọn biểu thức M A.B 3) Tìm giá trị lớn biểu thức M Bài (2,0 điểm): Giải tốn cách lập hệ phương trình: Hai vịi nước chảy vào bể khơng có nước sau 12 đầy bể Nếu mở vịi I chảy khóa lại mở tiếp vịi II chảy bể Hỏi 10 vịi chảy sau đầy bể? Bài (2,0 điểm): 1) Cho hệ phương trình: x my 2x 4y a) Giải hệ phương trình m b) Tìm m để hệ có nghiệm x; y thỏa mãn điều kiện x y hai số đối 2) Cho hàm số y x có đồ thị parabol P hàm số y x – có đồ thị đường thẳng Gọi A B giao điểm (d) với (P) Tính diện tích tam giác OAB Bài (3,5 điểm): Cho nửa đường trịn O , đường kính AB K điểm cung AB Trên cung KB lấy điểm M (khác K , B ) Trên tia AM lấy điểm N cho AN BM Kẻ dây BP / / KM Gọi Q giao điểm đường thẳng AP BM ; E giao điểm PB AM Chứng minh rằng: Tứ giác PQME nội tiếp đường tròn 1) Chứng minh: AKN BKM 2) Chứng minh: AM BE AN AQ 3) Gọi R, S giao điểm thứ hai QA, QB với đường tròn ngoại tiếp OMP Chứng minh M di động cung KB trung điểm I RS nằm đường cố định Bài (0.5 điểm): Cho x 0, tìm GTNN biểu thức A Hết x2 3x x Thầy Dũng 0972026205 ĐC: Ngõ 13, Khuất Duy Tiến HƯỚNG DẪN Bài (2,0 điểm): Cho hai biểu thức A x 1) Tính giá trị biểu thức B x x x 11 B x với x 0; x 9 16 2) Rút gọn biểu thức M A.B 3) Tìm giá trị lớn biểu thức M Hướng dẫn 1) Thay x 3 12 3 3 9 4 (thỏa mãn điều kiện) vào B ta được: B 16 2 16 x 11 x 2) M A.B x x 3 x 3 x 14 x 7 x 3 x 11 ( x 3) ( x 3) ( x 3)( x 3) ( x 3)( x 3) 3) M Vì x 7 1 ( x 3) ( x 3) x nên Vậy Max M x suy ra: 4 4 1 1 M 3 x 3 x 3 x0 Bài (2,0 điểm): Giải toán cách lập hệ phương trình: Hai vịi nước chảy vào bể khơng có nước sau 12 đầy bể Nếu mở vòi I chảy khóa lại mở tiếp vịi II chảy bể Hỏi 10 vịi chảy sau đầy bể? 18 Thầy Dũng 0972026205 ĐC: Ngõ 13, Khuất Duy Tiến Hướng dẫn Gọi x y thời gian vịi I vịi II chảy đầy bể vòi I chảy được: x, y 12 , 1 (bể); vòi II chảy được: (bể), vòi chảy được: y 12 x (bể) Theo đề ta có phương trình: vịi I chảy 1 x y 12 3 (bể); vòi II chảy (bể) nên ta có: x y 10 y x 1 1 3 1 x y 12 x y 1 Ta có hệ: 4 2 x y 10 x y 10 (1) + (2) ta được: 1 1 1 nên nên x 20; y 30 y 12 20 30 x 10 20 Vậy: Vòi I chảy đầy bể 20 (giờ), vịi II chảy đầy bể 30 (giờ) Bài (2,0 điểm): 1) Cho hệ phương trình: x my 2x 4y a) Giải hệ phương trình m b) Tìm m để hệ có nghiệm x; y thỏa mãn điều kiện x y hai số đối 2) Cho hàm số y x có đồ thị parabol P hàm số y x – có đồ thị đường thẳng Gọi A B giao điểm (d) với (P) Tính diện tích tam giác OAB Hướng dẫn 1) x 3y a) Thay m vào hệ ta được: 2x 4y 2x 6y 2x 4y 2x x 3y x y 2 Nên hệ có nghiệm 1, 2 x 2my (2m 4) y x my b) x my 2 x y 2 x y Để hệ có nghiệm 2m m (1) hệ phương trình có nghiệm: 19 Thầy Dũng 0972026205 ĐC: Ngõ 13, Khuất Duy Tiến 3m y 2m x 2m x m y 2m 2m 3m y 2m x 2m x y hai số đối nên x m y 2m 2m Từ (1) (2) suy ra: m 2 2) PT hoành độ giao điểm (P) (d) : x1 y1 1 x2 x x2 x a b c x2 2 y2 4 nên A(2; 4) B(1; 1) Gọi C giao điểm (d) trục Oy, ta có C (0; 2) S AOB SOBC S AOC S AOB BH OC AK OC xB | 2 | 2 |1| | 2 | | 2 | | 2 | 3 2 Bài (3,5 điểm): Cho nửa đường tròn O , đường kính AB K điểm cung AB Trên cung KB lấy điểm M (khác K , B ) Trên tia AM lấy điểm N cho AN BM Kẻ dây BP / / KM Gọi Q giao điểm đường thẳng AP BM ; E giao điểm PB AM Chứng minh rằng: Tứ giác PQME nội tiếp đường tròn 1) Chứng minh: AKN BKM 20 Thầy Dũng 0972026205 ĐC: Ngõ 13, Khuất Duy Tiến 2) Chứng minh: AM BE AN AQ 3) Gọi R, S giao điểm thứ hai QA, QB với đường tròn ngoại tiếp OMP Chứng minh M di động cung KB trung điểm I RS nằm đường cố định Hướng dẫn Q I R K S M P N E A B O 1) Chứng minh rằng: Tứ giác PQME nội tiếp đường trịn Xét (O), đường kính AB có: APB 900 ; AMB 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) Nên QPB 900 ; QMA 900 ( kề bù) Suy ra: QPE QME 1800 nên tứ giác PQME nội tiếp đường tròn 2) Chứng minh: AKN BKM K điểm cung AB nên sđ KA = sđ KB AK KB (liên hệ cung dây) Xét AKN BKM ta có: AK KB (chứng minh trên); KAN KBM (chắn cung KM ); AN BM (gt) nên AKN BKM 3) Chứng minh: AM BE AN AQ 21 Thầy Dũng 0972026205 ĐC: Ngõ 13, Khuất Duy Tiến AMQ đồng dạng với BME (g –g), suy ra: AM AQ , BM EB mà AN BM (gt) nên AM BE AN AQ a QA, QB với đường tròn ngoại tiếp 4) Gọi R, S giao điểm thứ hai củ OMP Chứng minh M di động cung KB trung điểm I RS ln nằm đường cố định OPM vuông cân O nên sđ PM 900 PQB vuông cân nên Q 450 Mà OSB OPM 450 Q OSB 45 SO //QA hay SO //AR(1) Ta có: QRS SMP (tứ giác PRSM nội tiếp) QRS QAB RS //AB (2) Từ (1) (2) suy ra: tứ giác ARSO hình bình hành Lấy điểm I , C , D trung điểm RS , AO OB C , D điểm cố định Chứng minh dễ dàng tứ giác ARIC, BSID hình bình hành AQB CID 450 I ln nhìn CD cố định góc 45o ⇒ I nằm cung chứa góc 45o vẽ đoạn CD cố định Vậy điểm I nằm cung tròn cố định (đpcm) Bài (0.5 điểm): Cho x 0, tìm GTNN biểu thức A x2 3x x Hướng dẫn 1 1 1 1 Ta có: A x x x x x 4 x 2 x 1 Ta thấy: x , dấu “=” xảy x 2 Áp dụng bất đẳng thức Cosi cho hai số dương: x Dấu “=” xảy x Vậy: Min y 4 x 1 15 , dấu “=” xảy x x Nên A x 15 x 22 ... m y 2m 2m Từ (1) (2) suy ra: m 2? ?? 2) PT hoành độ giao điểm (P) (d) : x1 y1 1 x2 x x2 x a b c x2 ? ?2 y2 4 nên A(? ?2; 4) B(1; 1)... phương trình có nghiệm: 19 Thầy Dũng 09 720 2 620 5 ĐC: Ngõ 13, Khuất Duy Tiến 3m y 2m x 2m x m y 2m 2m 3m y 2m x 2m x y hai số đối... vào hệ ta được: 2x 4y 2x 6y 2x 4y 2x x 3y x y 2 Nên hệ có nghiệm 1, ? ?2 x 2my (2m 4) y x my b) x my ? ?2 x y ? ?2 x y Để hệ có nghiệm 2m m (1) hệ