UBND QUẬN NAM TỪ LIÊM PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ KIỂM TRA HỌC KỲ II NĂM HỌC 2018 – 2019 ĐỀ CHÍNH THỨC Mơn kiểm tra: Tốn (Đề gồm: 01 trang) Thời gian làm bài: 90 phút Đề số Ngày kiểm tra: 12 tháng năm 2019 Bài I (2 điểm) Giải phương trình, hệ phương trình sau: 1) 3x2 – 14x + = −1 x −1 + y = 2) −2= x − y Bài II (2 điểm) Giải toán cách lập phương trình hệ phương trình: Một ca nơ chạy xi dịng khúc sơng dài 132km, sau chạy ngược dịng 104km khúc sơng Tính vận tốc ca nơ nước n lặng, biết vận tốc dòng nước 4km/h thời gian ca nơ chạy xi dịng thời gian chạy ngược dòng Bài III (2 điểm) Cho phương trình: x2 – 2mx – = (x ẩn; m tham số) (1) 1) Chứng minh phương trình (1) ln có nghiệm phân biệt với m 2) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm x1 x2 thỏa mãn: x12 + x22 = - 3x1x2 Bài IV (3,5 điểm) Cho đường tròn (O;R), dây MN cố định (MN < 2R) Kẻ đường kính AB vng góc với dây MN E Lấy điểm C thuộc dây MN (C khác M, N, E), BC cắt đường tròn (O) điểm K (K khác B) 1) Chứng minh: Tứ giác AKCE nội tiếp đường tròn 2) Chứng minh: BM2 = BK.BC 3) Gọi I giao điểm AK MN; D giao điểm AC BI a) Chứng minh: D thuộc (O;R) b) Chứng minh điểm C cách ba cạnh ∆DEK 4) Xác định vị trí điểm C dây MN để khoảng cách từ E đến tâm đường tròn ngoại tiếp ∆MCK nhỏ Bài V (0,5 điểm) Cho x, y dương thỏa mãn x + y = Tìm giá trị nhỏ biết P = x y + 1− x 1− y UBND QUẬN NAM TỪ LIÊM HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ BIỂU ĐIỂM PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ II NĂM HỌC 2018 – 2019 – MƠN: TỐN A Hướng dẫn chung - Nếu học sinh giải theo cách khác mà đủ bước giám khảo cho điểm tối đa - Trong bài, bước bị sai bước sau có liên quan khơng điểm - Bài hình học bắt buộc phải vẽ hình chấm điểm, khơng có hình vẽ phần giám khảo khơng cho điểm phần lời giải liên quan đến hình phần - Điểm tồn tổng điểm ý, câu, tính đến 0,25 điểm khơng làm tròn B Đáp án thang điểm Bài Ý Đáp án Điểm 3x2 – 14x + = (1đ) ∆’ = (-7)2 – 3.8 = 49 – 24 = 25 > ⇒ ∆=' 25 = 0,5 Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt: = x1 + 12 7−5 = = 4; x= = 3 3 0,5 + −1 x −1 y = ĐK: x ≠ 1; y ≠ −2= x − y = a Đặt I 1 = ;b x −1 y Khi đó, ta có hệ phương trình: (2đ) 0,5 a + b =−1 2a + 2b =−2 5a =5 a = ⇔ ⇔ ⇔ 3a − 2b =7 3a − 2b =7 a + b =−1 a + b =−1 (1đ) = a 1= a ⇔ ⇔ 1 + b =−1 b =−2 x −1 = x 2(TM ) x − = = ⇔ Suy −1 ⇔ −1 y = y (TM ) = −= 2 y 0,25 −1 Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x, y ) = 2; 0,25 Gọi vận tốc ca nô nước yên lặng x (km/h) (x > 4) Vận tốc ca nơ xi dịng là: x + (km/h) 0,25 Vận tốc ca nô ngược dòng là: x – (km/h) Thời gian ca nơ xi dịng khúc sơng dài 132km là: 0,25 132 (h) x+4 Thời gian ca nô ngược dịng khúc sơng dài 104km là: 104 x−4 0,25 0,25 (h) Vì thời gian ca nơ chạy xi dịng thời gian chạy ngược II dòng nên ta có phương trình: (2đ) 132 104 +1 = x+4 x−4 ⇔ 0,25 132( x − 4) + ( x + 4)( x − 4) 104( x + 4) = ( x + 4)( x − 4) ( x + 4)( x − 4) ⇒ 132x – 528 + x2 – 16 = 104x + 416 ⇔ x2 + 28x – 960 = 0,5 ⇔ (x – 20)(x + 48) = 20 = x −= x 20(TM ) ⇔ ⇔ x = −48( KTM ) x + 48 = Vậy vận tốc ca nô nước yên lặng 20 (km/h) Phương trình: x2 – 2mx – = có hệ số a = ≠ => (1) phương trình bậc hai (1đ) 0,25 Vì 4m2 ≥ 0, ∀m => 4m2 + 16 > 0, ∀m => ∆ > 0, ∀m 0,25 (đpcm) III Do phương trình (1) ln có hai nghiệm phân biệt với m 2đ) (cmt) (1đ) 0,25 Xét ∆ = (2m)2 – 4.1.(-4) = 4m2 + 16 Vậy phương trình (1) ln có hai nghiệm phân biệt với m 0,25 2m x1 + x2 = Áp dụng hệ thức Vi – et ta được: (2) x1 x2 = −4 Theo ra, ta có: x12 + x22 + 3x1x2 = ⇔ (x1 + x2)2 + x1x2 = Thay x1 + x2 = 2m x1x2 = - vào (2) ta được: (2m)2 – = ⇔ 4m = ⇔ m = ⇔ m = ±1 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Vậy m = ±1 Vẽ hình đến câu a A K 0,25 O (1đ) M C E N B Xét (O) có: AKB = 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) 0,25 = 900 Ta có AB ⊥ MN E (gt) ⇒ AEM = BEM 0,25 Xét tứ giác AKCE có: AKC + AEC = 900 + 900 = 1800 IV (3,5đ) Tứ giác AKCE nội tiếp đường trịn (dhnb) 0,25 +) Xét (O) có: AB đ/kính > BM = MN dây BN => B điểm MN = AB ⊥ MN ( gt ) 0,25 = NMB (2 góc nội tiếp chắn hai cung MKB (1đ) nhau) +) Xét ∆BMC ∆BKM có: : chung B => ∆BMC ∽ ∆BKM ( g g ) = CMB (cmt ) MKB 0,25 BM BC = > = BK BM 0,25 => BM2 = BK.BC (T/c TLT) (đpcm) 0,25 A K O I C M 3a E N DB (0,5đ) Xét ∆AIB có BK, IE hai đường cao Mà BK ∩ IE = {C} => C trực tâm ∆AIB 0,25 AC đường cao ∆AIB => AC ⊥ IB hay AD ⊥ IB => ADB = 900 0,25 => D thuộc đường trịn đường kính AB Hay D thuộc (O;R) +) Chứng minh tứ giác BDCE nội tiếp = CDE (2 góc nội tiếp chắn CE ) => CBE = KBA (2 góc nội tiếp chắn +) Chứng minh KDA AK 3b (0,5đ) 0,25 (O)) = CDE => DC tia phân giác KDE => KDC (HS ghi + Chứng minh tương tự: KC phân giác DKE chứng minh tương tự GV không trừ điểm) 0,25 + Chứng minh C tâm đường tròn nội tiếp ∆DKE Suy điểm C cách cạnh tam giác ∆DKE A K O' (0,5đ) O H I M C D E N B +) Chứng minh MB tiếp tuyến ∆MCK 0,25 +) Gọi O’ tâm đường tròn ngoại tiếp ∆MCK MB ⊥ MO’ (1) +) Xét (O) có AMB = 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn) Từ (1) (2) => O’ ∈ AM Vì B, A, M cố định => O’ thuộc đường thẳng cố định AM +) Kẻ EH ⊥ AM => H cố định (vì E cố định, AM cố định) +) Xét ∆O’EH có O ' HE = 900 O’E ≥ HE (qhệ đường vng góc, đường xiên) MinO’E = HE ⇔ O’ ≡ H Mà ta ln có O’ thuộc đường trung trực MC 0,25 O’C = O’M Vậy khoảng cách O’E nhỏ O’ ≡ H => C giao điểm thứ hai (H;HM) với dây MN H chân đường vng góc E AM y = Ta có x = 1− x > 1− y > 1− y 1− x 1 + = + − y x x y P= (0,5đ) x+ y ) 1 x+ y Lại có xy ≤ ≥ 4( x, y > 0) ⇒ ≥2 = ≥ xy xy V ( 1 ⇒ + ≥2 x y ( Mặt khác x + y Nên ≥2 xy ) ≤ (1 + 1)( x + y ) x+ y≤ Dấu “=” xảy x = y = 0,5 Vậy MinP = 0,25 ⇔ x= y= 0,5 0,25 ... ta có: x 12 + x 22 + 3x1x2 = ⇔ (x1 + x2 )2 + x1x2 = Thay x1 + x2 = 2m x1x2 = - vào (2) ta được: (2m )2 – = ⇔ 4m = ⇔ m = ⇔ m = ±1 0 ,25 0 ,25 0 ,25 0 ,25 0 ,25 Vậy m = ±1 Vẽ hình đến câu a A K 0 ,25 O (1đ)... x−4 ⇔ 0 ,25 1 32( x − 4) + ( x + 4)( x − 4) 104( x + 4) = ( x + 4)( x − 4) ( x + 4)( x − 4) ⇒ 132x – 528 + x2 – 16 = 104x + 416 ⇔ x2 + 28 x – 96 0 = 0,5 ⇔ (x – 20 )(x + 48) = 20 = x −= x 20 (TM )...UBND QUẬN NAM TỪ LIÊM HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ BIỂU ĐIỂM PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ II NĂM HỌC 20 18 – 20 19 – MƠN: TOÁN A Hướng dẫn chung - Nếu học sinh giải theo cách