Giữa kì 2 toán 9 ngô sĩ liên 1819

Thầy Dũng 0972026205 ĐC: Ngõ 13, Khuất Duy Tiến ĐỀ KIỂM TRA GIỮA HỌC KÌ II TRƯỜNG THCS NGƠ SĨ LIÊN MƠN TỐN LỚP Thời gian làm bài: 90 phút Bài (2 điểm) Cho hai biểu thức A x x x B 20 x với x x 25 0, x 25 a) Tính giá trị biểu thức A x x c) Tìm tất giá trị x để A b) Chứng minh B B x Bài (2 điểm) Hai vòi nước chảy chung vào bể sau 48 phút đầy bể Biết lượng nước vịi I chảy một 20 phút lượng nước vòi II chảy 30 phút thêm bể Hỏi vịi chảy riêng đầy bể Bài (2 điểm) 1) Giải hệ phương trình 2 2) Cho Parabol ( P) : y y y x x x2 đường thẳng d : y mx a) Chứng tỏ d cắt P hai điểm phân biệt Tính diện b) Tìm tọa độ giao điểm A, B Parabol P đường thẳng d m tích AOB c) Gọi giao điểm d P C D Tìm m để độ dài đoạn thẳng CD nhỏ Bài (3,5 điểm) Cho O đường kính AB, M điểm cố định tiếp tuyến A O Vẽ tiếp tuyến MC cát tuyến MHK (H nằm M K ; tia MK nằm hai tia MB, MO) Các đường thẳng BH , BK cắt đường thẳng MO E F a) Chứng minh tứ giác AMCO, tứ giác MGKC tứ giác MCHE nội tiếp b) Qua A kẻ đường thẳng song song với MK , cắt O I , CI cắt MK N Chứng minh NH NK c) OE  OF Bài (0,5 điểm) Cho a, b, c dương thỏa mãn a b c Tìm GTNN A a 1 b 1 c 57 Thầy Dũng 0972026205 ĐC: Ngõ 13, Khuất Duy Tiến HƯỚNG DẪN Bài (2 điểm) x x Cho hai biểu thức A B x 20 x với x x 25 0, x 25 a) Tính giá trị biểu thức A x x b) Chứng minh B c) Tìm tất giá trị x để A B x Hướng dẫn a) Tính giá trị biểu thức A x 9 (thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức A ta được: Thay x 9 A 5 Vậy: …………………… x b) Chứng minh B x B x B 15 20 x x 20 x x 25 x x x x x x x x x x x Vậy x 9; x 5 x x x x suy điều phải chứng minh x 5 25 x x x 4 x x 2 x x x x 0 x x tm 1 A 20 x B x (do x x x x với x  0, x B x x c) Tìm tất giá trị x để A Để A x B x 0, x 0) 58 Thầy Dũng 0972026205 ĐC: Ngõ 13, Khuất Duy Tiến Bài (2 điểm) Hai vịi nước chảy chung vào bể sau 48 phút đầy bể Biết lượng nước vịi I chảy một 20 phút lượng nước vịi II chảy 30 phút thêm bể Hỏi vòi chảy riêng đầy bể Hướng dẫn Đổi 48 phút = 4,8 giờ; 20 phút  giờ; 30 phút  Gọi thời gian vịi chảy đầy bể x (giờ), điều kiện x  4,8 thời gian vịi hai chảy đầy bể y (giờ), điều kiện y  4,8 vòi chảy vòi hai chảy (bể) x (bể) y hai vòi chảy (bể)  4,8 24 1 Theo ta có phương trình:   x y 24 Trong 20 phút vòi chảy Trong 30 phút vòi hai chảy Theo ta có phương trình: 1 (bể) 3x (bể) 2y 1   3x y  2 1  x  y  24  Từ (1) (2) ta có hệ phương trình:    1   3x y 1 Đặt a  ; b  Khi hệ phương trình có dạng: x y    a  b  24  a   x 8    tm    y  12 4 a  b  b    12 Vậy thời gian vòi chảy đầy bể (giờ) thời gian vịi hai chảy đầy bể 12 (giờ) Bài (2 điểm) 59 Thầy Dũng 0972026205 ĐC: Ngõ 13, Khuất Duy Tiến 2  y  x   1) Giải hệ phương trình    y  x   5 2) Cho Parabol ( P) : y  x đường thẳng  d  : y  mx  a) Chứng tỏ  d  cắt  P  hai điểm phân biệt b) Tìm tọa độ giao điểm A, B Parabol  P  đường thẳng  d  m  Tính diện tích AOB c) Gọi giao điểm  d   P  C D Tìm m để độ dài đoạn thẳng CD nhỏ Hướng dẫn 2  y  x   1) Giải hệ phương trình    y  x   5 Điều kiện: y  2; x  1 Đặt a   y ; b  x  điều kiện: a, b  Hệ phương trình trở  2a  b   2a  b   2a  b  7b  14 b      thành   tm  a  3b  5 a  3b  5 2a  6b  10 2a  6b  10 a  Với a    y   y  1 tm  Với b   x    x   tm  Vậy hệ có nghiệm  x; y   1;3 2) Cho Parabol ( P) : y  x đường thẳng  d  : y  mx  a) Chứng tỏ  d  cắt  P  hai điểm phân biệt Phương trình hồnh độ giao điểm: x  mx   x  mx   1   m2  12  0, m Phương trình ln có hai nghiệm phân biệt hay d cắt P hai điểm phân biệt Vậy d cắt P hai điểm phân biệt với m b) Tìm tọa độ giao điểm A, B Parabol P đường thẳng d m Tính diện tích AOB Với m  thay vào đường thẳng  d  ta có: y  x  Khi phương trình hồnh độ giao điểm  d   P  là: 60 Thầy Dũng 0972026205 ĐC: Ngõ 13, Khuất Duy Tiến  x  1 x  x     x  1 x  3     x3 Với x  1  y   A  1;1 Với x   y   B  3;9  Gọi C, D hình chiếu B, A Ox suy C  3;0  , D  1;0  Ta có: AD  1; BC  9; OD  1; OC  3; CD  1 OAD vuông D  SOAD  OD AD  1.1  (đvdt) 2 1 27 (đvdt) OBC vuông C  SOBC  OC.BC  3.9  2 Hình thang vng ABCD  AD / / BC   S ABCD   AD  BC  CD  1  9  20 2 (đvdt) 27 Vậy SOAB  S ABCD  SOAD  SOBC  20    (đvdt) 2 c) Gọi giao điểm d P C D Tìm m để độ dài đoạn thẳng CD nhỏ Theo câu a, ta có d ln cắt P hai điểm phân biệt C D với m Gọi tọa độ C D x1 ; y1 x2 ; y2 Các điểm C D thuộc đường thẳng  d  : y  mx  nên y1  mx1  3; y2  mx2  Ta có CD   x2  x1    y2  y1  2 Do C D giao điểm  d   P  nên x1 , x2 nghiệm phương trình: x  mx   x  mx   1 61 Thầy Dũng 0972026205 ĐC: Ngõ 13, Khuất Duy Tiến Có   m2  12  , m Giả sử x1  x2 x1  m  m2  12 m  m2  12 ; x2  2 Khi x2  x1  m2  12; y2  y1  m  x2  x1   m m2  12 Suy CD  m  12  m  m  12   m  13m  12  12, m Do CDmin   m  Bài (3,5 điểm) Cho O đường kính AB, M điểm cố định tiếp tuyến A O Vẽ tiếp tuyến MC cát tuyến MHK (H nằm M K ; tia MK nằm hai tia MB, MO) Các đường thẳng BH , BK cắt đường thẳng MO E F a) Chứng minh tứ giác AMCO, tứ giác MGKC tứ giác MCHE nội tiếp b) Qua A kẻ đường thẳng song song với MK , cắt O I , CI cắt MK N Chứng minh NH NK c) OE  OF Hướng dẫn M E H C N A O B K I F a) Chứng minh tứ giác AMCO, tứ giác MGKC tứ giác MCHE nội tiếp *) Chứng minh tứ giác AMCO nội tiếp Vì MA tiếp tuyến  O  (gt) nên MA  AO  MAO  90 Vì MC tiếp tuyến  O  (gt) nên MC  CO  MCO  90 Xét tứ giác AMCO có MAO  MCO  90  90 =180 62 Thầy Dũng 0972026205 ĐC: Ngõ 13, Khuất Duy Tiến Mà hai góc ở vị trí đối Suy tứ giác AMCO nội tiếp đường trịn đường kính MO *) Chứng minh tứ giác MFKC nội tiếp Ta có BKC góc nội tiếp chắn cung BC  O  nên BKC = sđ BC COB góc ở tâm chắn cung BC (O) nên COB  sđ BC  COB  BKC 1 Vì MA, MC hai tiếp tuyến cắt M  O   COM  AOM (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) Mà AOM  BOF (đối đỉnh)  COM  BOF Vì MCO vuông O  CMO  COM  90  CMO  COM  180 Hay 2CMO  COM  BOF  180 Lại có COM  BOC  BOF  180  BOC  2CMO  2 Từ (1) (2)  BKC  CMO Mà BKC  CKF  180 (hai góc kề bù)  CMO  CKF  180 Xét tứ giác MFKC có CMO  CKF  180 (cmt) Mà hai góc ở vị trí đối ⇒ Tứ giác MFKC nội tiếp *) Chứng minh tứ giác tứ giác MCHE nội tiếp Ta có CMO  BKC  cmt   CME  BKC Lại có CHB  BKC (hai góc nội tiếp chắn cung BC (O))  CME  CHB Mà CHB  CHE  180 (hai góc kề bù)  CME  CHE  180 Xét tứ giác MCHE có CME  CHE  180  cmt  Mà hai góc ở vị trí đối ⇒ Tứ giác MCHE nội tiếp b) Qua A kẻ đường thẳng song song với MK , cắt  O  I , CI cắt MK N Chứng minh NH  NK Vì AI / / MK  gt   AIC  HNC (đồng vị) 63 Thầy Dũng 0972026205 Mà AIC  sđ AC (góc nội tiếp chắn cung AC )  HNC  sđ AC ĐC: Ngõ 13, Khuất Duy Tiến Vì MA, MC hai tiếp tuyến cắt M  O  nên OM phân giác AOC  MOC  1 AOC  sđ AC 2 Mà HNC  sđ AC  cmt   MOC  HNC Xét tứ giác MCNO có MOC  HNC  cmt  Mà hai góc hai góc đỉnh kề nhìn cạnh MC tứ giác MCNO ⇒ Tứ giác MCNO nội tiếp Lại có MCO  90  cmt   Tứ giác MCNO nội tiếp đường trịn đường kính MO  MNO  90 (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn đường kính MO ) hay ON  HK  NH  NK (quan hệ đường kính vng góc với dây cung  O  c) OE = OF Xét tứ giác AMNO có MAO  MNO  90  90  180 Mà hai góc ở vị trí đối ⇒ Tứ giác AMNO nội tiếp  AOM  ANH (hai góc nội tiếp chắn cung AM ) Mà AOM  BOF (đối đỉnh)  ANH  BOF Xét HNA BOF có: ANH  BOF  cmt  ; AHN  OBF (hai góc nội tiếp chắn cung AK (O) )  HNA ∽ BOF  g.g   AN OF  3 HN OB Có BEO  EMH  EHM (góc ngồi MEH ) Mà EHM  BHK (đối đỉnh)  BEO  EMH  BHK * Có OAN  EMH (hai góc nội tiếp chắn cung ON )  NAK  NAO  OAK  EMH  BHK (do OAK  BHK hai góc nội tiếp chắn cung BK ) (**) Từ (*) (**)  BEO  NAK 64 Thầy Dũng 0972026205 ĐC: Ngõ 13, Khuất Duy Tiến Xét BEO KAN có: BEO  NAK  cmt  ; EBO  NKA (hai góc nội tiếp chắn cung AH )  BEO ∽ KAN  g g   Mà NH  NK  cmt   Từ (3) (4)  OE AN  OB NK OE AN   4 OB NH OF OE   OE  OF (đpcm) OB OB Bài (0,5 điểm) Cho a, b, c dương thỏa mãn a  b  c  Tìm GTNN A  1   a 1 b 1 c 1 Hướng dẫn Áp dụng BĐT Cô si dạng hai số: x  y  x y Dấu “=” xảy  x  y Ta có a2   a2 a2 a2 a       1 2 a 1 a 1 a 1 2a Tương tự, ta có: b  1 b 1 2 c  1 c 1 2 Cộng theo vế ba BĐT ta được: A  3 3 a  b  c    2  a2    b  Dấu “=” xảy ⇔  c  a  b  c    a, b, c  Vậy Amin   a  b  c  65 ... Dũng 09 720 2 620 5 ĐC: Ngõ 13, Khuất Duy Tiến Có   m2  12  , m Giả sử x1  x2 x1  m  m2  12 m  m2  12 ; x2  2 Khi x2  x1  m2  12; y2  y1  m  x2  x1   m m2  12 Suy CD  m  12 ... a  b  24  a   x 8    tm    y  12 4 a  b  b    12 Vậy thời gian vịi chảy đầy bể (giờ) thời gian vịi hai chảy đầy bể 12 (giờ) Bài (2 điểm) 59 Thầy Dũng 09 720 2 620 5 ĐC: Ngõ... xảy  x  y Ta có a2   a2 a2 a2 a       1 2 a 1 a 1 a 1 2a Tương tự, ta có: b  1 b 1 2 c  1 c 1 2 Cộng theo vế ba BĐT ta được: A  3 3 a  b  c    2  a2    b  Dấu