Thầy Dũng 0972026205 ĐC: Ngõ 13, Khuất Duy Tiến ĐỀ KIỂM TRA GIỮA HỌC KÌ II TRƯỜNG THCS NGƠ SĨ LIÊN MƠN TỐN LỚP Thời gian làm bài: 90 phút Bài (2 điểm) Cho hai biểu thức A x x x B 20 x với x x 25 0, x 25 a) Tính giá trị biểu thức A x x c) Tìm tất giá trị x để A b) Chứng minh B B x Bài (2 điểm) Hai vòi nước chảy chung vào bể sau 48 phút đầy bể Biết lượng nước vịi I chảy một 20 phút lượng nước vòi II chảy 30 phút thêm bể Hỏi vịi chảy riêng đầy bể Bài (2 điểm) 1) Giải hệ phương trình 2 2) Cho Parabol ( P) : y y y x x x2 đường thẳng d : y mx a) Chứng tỏ d cắt P hai điểm phân biệt Tính diện b) Tìm tọa độ giao điểm A, B Parabol P đường thẳng d m tích AOB c) Gọi giao điểm d P C D Tìm m để độ dài đoạn thẳng CD nhỏ Bài (3,5 điểm) Cho O đường kính AB, M điểm cố định tiếp tuyến A O Vẽ tiếp tuyến MC cát tuyến MHK (H nằm M K ; tia MK nằm hai tia MB, MO) Các đường thẳng BH , BK cắt đường thẳng MO E F a) Chứng minh tứ giác AMCO, tứ giác MGKC tứ giác MCHE nội tiếp b) Qua A kẻ đường thẳng song song với MK , cắt O I , CI cắt MK N Chứng minh NH NK c) OE OF Bài (0,5 điểm) Cho a, b, c dương thỏa mãn a b c Tìm GTNN A a 1 b 1 c 57 Thầy Dũng 0972026205 ĐC: Ngõ 13, Khuất Duy Tiến HƯỚNG DẪN Bài (2 điểm) x x Cho hai biểu thức A B x 20 x với x x 25 0, x 25 a) Tính giá trị biểu thức A x x b) Chứng minh B c) Tìm tất giá trị x để A B x Hướng dẫn a) Tính giá trị biểu thức A x 9 (thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức A ta được: Thay x 9 A 5 Vậy: …………………… x b) Chứng minh B x B x B 15 20 x x 20 x x 25 x x x x x x x x x x x Vậy x 9; x 5 x x x x suy điều phải chứng minh x 5 25 x x x 4 x x 2 x x x x 0 x x tm 1 A 20 x B x (do x x x x với x 0, x B x x c) Tìm tất giá trị x để A Để A x B x 0, x 0) 58 Thầy Dũng 0972026205 ĐC: Ngõ 13, Khuất Duy Tiến Bài (2 điểm) Hai vịi nước chảy chung vào bể sau 48 phút đầy bể Biết lượng nước vịi I chảy một 20 phút lượng nước vịi II chảy 30 phút thêm bể Hỏi vòi chảy riêng đầy bể Hướng dẫn Đổi 48 phút = 4,8 giờ; 20 phút giờ; 30 phút Gọi thời gian vịi chảy đầy bể x (giờ), điều kiện x 4,8 thời gian vịi hai chảy đầy bể y (giờ), điều kiện y 4,8 vòi chảy vòi hai chảy (bể) x (bể) y hai vòi chảy (bể) 4,8 24 1 Theo ta có phương trình: x y 24 Trong 20 phút vòi chảy Trong 30 phút vòi hai chảy Theo ta có phương trình: 1 (bể) 3x (bể) 2y 1 3x y 2 1 x y 24 Từ (1) (2) ta có hệ phương trình: 1 3x y 1 Đặt a ; b Khi hệ phương trình có dạng: x y a b 24 a x 8 tm y 12 4 a b b 12 Vậy thời gian vòi chảy đầy bể (giờ) thời gian vịi hai chảy đầy bể 12 (giờ) Bài (2 điểm) 59 Thầy Dũng 0972026205 ĐC: Ngõ 13, Khuất Duy Tiến 2 y x 1) Giải hệ phương trình y x 5 2) Cho Parabol ( P) : y x đường thẳng d : y mx a) Chứng tỏ d cắt P hai điểm phân biệt b) Tìm tọa độ giao điểm A, B Parabol P đường thẳng d m Tính diện tích AOB c) Gọi giao điểm d P C D Tìm m để độ dài đoạn thẳng CD nhỏ Hướng dẫn 2 y x 1) Giải hệ phương trình y x 5 Điều kiện: y 2; x 1 Đặt a y ; b x điều kiện: a, b Hệ phương trình trở 2a b 2a b 2a b 7b 14 b thành tm a 3b 5 a 3b 5 2a 6b 10 2a 6b 10 a Với a y y 1 tm Với b x x tm Vậy hệ có nghiệm x; y 1;3 2) Cho Parabol ( P) : y x đường thẳng d : y mx a) Chứng tỏ d cắt P hai điểm phân biệt Phương trình hồnh độ giao điểm: x mx x mx 1 m2 12 0, m Phương trình ln có hai nghiệm phân biệt hay d cắt P hai điểm phân biệt Vậy d cắt P hai điểm phân biệt với m b) Tìm tọa độ giao điểm A, B Parabol P đường thẳng d m Tính diện tích AOB Với m thay vào đường thẳng d ta có: y x Khi phương trình hồnh độ giao điểm d P là: 60 Thầy Dũng 0972026205 ĐC: Ngõ 13, Khuất Duy Tiến x 1 x x x 1 x 3 x3 Với x 1 y A 1;1 Với x y B 3;9 Gọi C, D hình chiếu B, A Ox suy C 3;0 , D 1;0 Ta có: AD 1; BC 9; OD 1; OC 3; CD 1 OAD vuông D SOAD OD AD 1.1 (đvdt) 2 1 27 (đvdt) OBC vuông C SOBC OC.BC 3.9 2 Hình thang vng ABCD AD / / BC S ABCD AD BC CD 1 9 20 2 (đvdt) 27 Vậy SOAB S ABCD SOAD SOBC 20 (đvdt) 2 c) Gọi giao điểm d P C D Tìm m để độ dài đoạn thẳng CD nhỏ Theo câu a, ta có d ln cắt P hai điểm phân biệt C D với m Gọi tọa độ C D x1 ; y1 x2 ; y2 Các điểm C D thuộc đường thẳng d : y mx nên y1 mx1 3; y2 mx2 Ta có CD x2 x1 y2 y1 2 Do C D giao điểm d P nên x1 , x2 nghiệm phương trình: x mx x mx 1 61 Thầy Dũng 0972026205 ĐC: Ngõ 13, Khuất Duy Tiến Có m2 12 , m Giả sử x1 x2 x1 m m2 12 m m2 12 ; x2 2 Khi x2 x1 m2 12; y2 y1 m x2 x1 m m2 12 Suy CD m 12 m m 12 m 13m 12 12, m Do CDmin m Bài (3,5 điểm) Cho O đường kính AB, M điểm cố định tiếp tuyến A O Vẽ tiếp tuyến MC cát tuyến MHK (H nằm M K ; tia MK nằm hai tia MB, MO) Các đường thẳng BH , BK cắt đường thẳng MO E F a) Chứng minh tứ giác AMCO, tứ giác MGKC tứ giác MCHE nội tiếp b) Qua A kẻ đường thẳng song song với MK , cắt O I , CI cắt MK N Chứng minh NH NK c) OE OF Hướng dẫn M E H C N A O B K I F a) Chứng minh tứ giác AMCO, tứ giác MGKC tứ giác MCHE nội tiếp *) Chứng minh tứ giác AMCO nội tiếp Vì MA tiếp tuyến O (gt) nên MA AO MAO 90 Vì MC tiếp tuyến O (gt) nên MC CO MCO 90 Xét tứ giác AMCO có MAO MCO 90 90 =180 62 Thầy Dũng 0972026205 ĐC: Ngõ 13, Khuất Duy Tiến Mà hai góc ở vị trí đối Suy tứ giác AMCO nội tiếp đường trịn đường kính MO *) Chứng minh tứ giác MFKC nội tiếp Ta có BKC góc nội tiếp chắn cung BC O nên BKC = sđ BC COB góc ở tâm chắn cung BC (O) nên COB sđ BC COB BKC 1 Vì MA, MC hai tiếp tuyến cắt M O COM AOM (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) Mà AOM BOF (đối đỉnh) COM BOF Vì MCO vuông O CMO COM 90 CMO COM 180 Hay 2CMO COM BOF 180 Lại có COM BOC BOF 180 BOC 2CMO 2 Từ (1) (2) BKC CMO Mà BKC CKF 180 (hai góc kề bù) CMO CKF 180 Xét tứ giác MFKC có CMO CKF 180 (cmt) Mà hai góc ở vị trí đối ⇒ Tứ giác MFKC nội tiếp *) Chứng minh tứ giác tứ giác MCHE nội tiếp Ta có CMO BKC cmt CME BKC Lại có CHB BKC (hai góc nội tiếp chắn cung BC (O)) CME CHB Mà CHB CHE 180 (hai góc kề bù) CME CHE 180 Xét tứ giác MCHE có CME CHE 180 cmt Mà hai góc ở vị trí đối ⇒ Tứ giác MCHE nội tiếp b) Qua A kẻ đường thẳng song song với MK , cắt O I , CI cắt MK N Chứng minh NH NK Vì AI / / MK gt AIC HNC (đồng vị) 63 Thầy Dũng 0972026205 Mà AIC sđ AC (góc nội tiếp chắn cung AC ) HNC sđ AC ĐC: Ngõ 13, Khuất Duy Tiến Vì MA, MC hai tiếp tuyến cắt M O nên OM phân giác AOC MOC 1 AOC sđ AC 2 Mà HNC sđ AC cmt MOC HNC Xét tứ giác MCNO có MOC HNC cmt Mà hai góc hai góc đỉnh kề nhìn cạnh MC tứ giác MCNO ⇒ Tứ giác MCNO nội tiếp Lại có MCO 90 cmt Tứ giác MCNO nội tiếp đường trịn đường kính MO MNO 90 (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn đường kính MO ) hay ON HK NH NK (quan hệ đường kính vng góc với dây cung O c) OE = OF Xét tứ giác AMNO có MAO MNO 90 90 180 Mà hai góc ở vị trí đối ⇒ Tứ giác AMNO nội tiếp AOM ANH (hai góc nội tiếp chắn cung AM ) Mà AOM BOF (đối đỉnh) ANH BOF Xét HNA BOF có: ANH BOF cmt ; AHN OBF (hai góc nội tiếp chắn cung AK (O) ) HNA ∽ BOF g.g AN OF 3 HN OB Có BEO EMH EHM (góc ngồi MEH ) Mà EHM BHK (đối đỉnh) BEO EMH BHK * Có OAN EMH (hai góc nội tiếp chắn cung ON ) NAK NAO OAK EMH BHK (do OAK BHK hai góc nội tiếp chắn cung BK ) (**) Từ (*) (**) BEO NAK 64 Thầy Dũng 0972026205 ĐC: Ngõ 13, Khuất Duy Tiến Xét BEO KAN có: BEO NAK cmt ; EBO NKA (hai góc nội tiếp chắn cung AH ) BEO ∽ KAN g g Mà NH NK cmt Từ (3) (4) OE AN OB NK OE AN 4 OB NH OF OE OE OF (đpcm) OB OB Bài (0,5 điểm) Cho a, b, c dương thỏa mãn a b c Tìm GTNN A 1 a 1 b 1 c 1 Hướng dẫn Áp dụng BĐT Cô si dạng hai số: x y x y Dấu “=” xảy x y Ta có a2 a2 a2 a2 a 1 2 a 1 a 1 a 1 2a Tương tự, ta có: b 1 b 1 2 c 1 c 1 2 Cộng theo vế ba BĐT ta được: A 3 3 a b c 2 a2 b Dấu “=” xảy ⇔ c a b c a, b, c Vậy Amin a b c 65 ... Dũng 09 720 2 620 5 ĐC: Ngõ 13, Khuất Duy Tiến Có m2 12 , m Giả sử x1 x2 x1 m m2 12 m m2 12 ; x2 2 Khi x2 x1 m2 12; y2 y1 m x2 x1 m m2 12 Suy CD m 12 ... a b 24 a x 8 tm y 12 4 a b b 12 Vậy thời gian vịi chảy đầy bể (giờ) thời gian vịi hai chảy đầy bể 12 (giờ) Bài (2 điểm) 59 Thầy Dũng 09 720 2 620 5 ĐC: Ngõ... xảy x y Ta có a2 a2 a2 a2 a 1 2 a 1 a 1 a 1 2a Tương tự, ta có: b 1 b 1 2 c 1 c 1 2 Cộng theo vế ba BĐT ta được: A 3 3 a b c 2 a2 b Dấu