Giữa kì 2 toán 9 archimedes 1819

Thầy Dũng 0972026205 ĐC: Ngõ 13, Khuất Duy Tiến ĐỀ THI GIỮA HỌC KÌ II THCS ARCHIMEDES ACADEMY Ngày thi: 02/03/2019 Thời gian: 90 phút Bài 1: ( điểm) Cho biểu thức A  x x 4x x 1   B  với x  0; x  x 3 x 3 x9 x a) Tính giá trị biểu thức A x  16 b) Rút gọn biểu thức B c) Cho M  A.B , so sánh M M ( với điều kiện M có nghĩa) Bài 2: ( điểm) Giải tốn cách lập phương trình hệ phương trình Hai vịi chảy vào bể khơng chứa nước sau 40 phút đầy Nếu chảy vịi thứ hai chảy đầy bể nhanh vòi thứ Hỏi vịi chảy sau đầy bể? Bài 3: ( điểm) 6 x   x  y  1) Giải hệ phương trình   x y  x2   2) Cho đường thẳng  d  : y  2mx  m  2m parabol  P  : y  x a) Tìm m để đường thẳng  d  cắt parabol  P  hai điểm phân biệt b) Giả sử đường thẳng  d  cắt parabol  P  hai điểm A  x1 ; y1  B  x2 ; y2  Tìm m để: y1 y2  10 x1 x2  Bài 4: ( 3,5 điểm) Cho đường tròn tâm O đường kính AB Điểm C nửa  O  ( C khác A ; C khác B ) Kẻ đường kính CD  O  Tiếp tuyến B  O  cắt tia AC; AD M N 1) Chứng minh tứ giác CDNM nội tiếp 2) Gọi H trung điểm BN , chứng minh O trực tâm tam giác MAH 3) Kéo dài MO cắt AH K Chứng minh: a) OK OM  OA2 b) K thuộc đường trịn qua điểm MCDN Tính tỉ số EF AB Bài 5: ( 0,5 điểm) Cho ba số thực a, b, c thỏa mãn đồng thời điều kiện a  b  c, a  b  c  6, ab  bc  ca  a) Chứng minh a, c hai nghiệm phương trình bậc hai x    b  x    b   b) Chứng minh  a   b   c  76 Thầy Dũng 0972026205 ĐC: Ngõ 13, Khuất Duy Tiến HƯỚNG DẪN Bài 1: ( điểm) Cho biểu thức A  x x 4x x 1   B  với x  0; x  x 3 x 3 x9 x a) Tính giá trị biểu thức A x  16 b) Rút gọn biểu thức B c) Cho M  A.B , so sánh M M ( với điều kiện M có nghĩa) Hướng dẫn a) Tính giá trị biểu thức A x  16 Thay x  16 ( thỏa mãn điều kiện) vào A  16  2.4  x 1   , ta được: A  4 16 x b) Rút gọn biểu thức B B B B x x 4x   với x  0; x  x 3 x 3 x9 x  x 3 x 9 x   x x 3  x   4x x 3  x x 9    4x x 9 x 9 2x  x  x  x  4x x  x B  x 9 x 9 x (3  x )  x B  ( x  3)( x  3) x 3 c) Cho M  A.B , so sánh M M  A.B  Vì M ( với điều kiện M có nghĩa)  x x 1  x  x 3 x x 3 M có nghĩa nên, ta xét: M  M  2 Đánh giá: x   x   x   mà Xét x    x   x 1 x   x 3  x   0, x Vậy M  M x     2 Bài 2: ( điểm) Giải toán cách lập phương trình hệ phương trình 77 Thầy Dũng 0972026205 ĐC: Ngõ 13, Khuất Duy Tiến Hai vòi chảy vào bể khơng chứa nước sau 40 phút đầy Nếu chảy vòi thứ hai chảy đầy bể nhanh vòi thứ Hỏi vịi chảy sau đầy bể? Hướng dẫn Gọi thời gian vịi chảy đầy bể là: x  h  , x  20 Gọi thời gian vịi chảy đầy bể là: y  h  , y  20 Như vậy, suất vòi 1, vòi là: 1 ; (bể/h) x y Khi hai vòi chảy vào bể khơng chứa nước sau 6h40 p  20  h  đầy bể, nên ta có: 1   (1) x y 20 Khi chảy riêng: Do vòi thứ chảy đầy bể nhanh vòi thứ nên ta có: x  y  (2)   y  12(t / m) 1   x  15     Từ (1),(2) ta có hệ phương trình:  x y 20    y   (l )   ( h)  y  12 x  y     x  y  Vậy thời gian để vòi 1, vòi chảy đầy bể là: 15  h  12  h  Bài 3: ( điểm) 6 x   x  y  1) Giải hệ phương trình   x y  x2   Hướng dẫn 6 x   x  y  , ĐK: x  2; x   y     x y x2   a  x  Đặt (I):  ,  a, b   , ta HPT tương đương HPT cho, sau: b  x  y   6 a  b a   (t / m) 3   b  30  b  a  78 Thầy Dũng 0972026205 ĐC: Ngõ 13, Khuất Duy Tiến   x   25  x  23  x2 5 Thay  a; b    5;30  vào (I), ta được:    (t / m) x  y  900 y  877 x  y  30     Vậy nghiệm HPT là:  x; y    23;877  2) Cho đường thẳng  d  : y  2mx  m  2m parabol  P  :y  x a) Tìm m để đường thẳng  d  cắt parabol  P  hai điểm phân biệt b) Giả sử đường thẳng  d  cắt parabol  P  hai điểm A  x1 ; y1  B  x2 ; y2  Tìm m để: y1 y2  10 x1 x2  Hướng dẫn a) Xét phương trình hồnh độ giao điểm  P   d  : x  2mx  m  2m  x  2mx  m  2m  Xét  '  b '2  ac  m2  (m2  2m)  2m Để đường thẳng  d  cắt parabol  P  hai điểm phân biệt   '   2m   m  Vậy m  đường thẳng  d  cắt parabol  P  hai điểm phân biệt b) Vì đường thẳng  d  cắt parabol  P  hai điểm A  x1 ; y1  B  x2 ; y2  , nên phương trình x  2mx  m2  2m  có nghiệm phân biệt  x1  x2  2m Theo Vi-et, ta có:  (1)  x1.x2  m  2m Đường thẳng  d  cắt parabol  P  hai điểm A  x1 ; x12  B  x2 ; x22  Thay vào y1 y2  10 x1 x2  , ta được:  x12 x22  10 x1 x2    x1 x2   10 x1 x2   x x  1   x1 x2   10 x1 x2     (2) x x     m2  2m  1 m2  2m   Từ (1) (2), ta có:    m  1(t / m)  m  2m  9 m  2m   0(v / ly) Vậy m  thỏa mãn u cầu tốn Bài 4: ( 3,5 điểm) Cho đường trịn tâm O đường kính AB Điểm C nửa  O  ( C khác A ; C khác B ) Kẻ đường kính CD  O  Tiếp tuyến B  O  cắt tia AC; AD M N 79 Thầy Dũng 0972026205 ĐC: Ngõ 13, Khuất Duy Tiến 1) Chứng minh tứ giác CDNM nội tiếp 2) Gọi H trung điểm BN , chứng minh O trực tâm tam giác MAH 3) Kéo dài MO cắt AH K Chứng minh: a) OK OM  OA2 b) K thuộc đường tròn qua điểm MCDN Tính tỉ số EF AB Hướng dẫn 1) Chứng minh tứ giác CDNM nội tiếp Chứng minh M  D1 ( phụ hai góc nhau) (1) Mặt khác: D1  D2  1800 ( AND góc bẹt) (2) Từ (1) (2)  M  D2  1800 ( góc ở vị trí đối diện)  CDNM nội tiếp (đpcm) 2) Gọi H trung điểm BN , chứng minh O trực tâm tam giác MAH Vì CD đường kính (O) (gt) nên DAC  900  AN  AC M Ta có: C  OA  OB  gt   OH đường trung bình tam giác BAN    BH  HB  gt  A  OH / / AN (t/c đường trung bình) O B Mặt khác: AN  AC (cmt ) K  OH  AC ( quan hệ từ vng góc tới song song) D  AB  MH ( gt )   O trực tâm tam giác MAH (đpcm) Như vậy: OH  AC OH  AB  O    H 3) Kéo dài MO cắt AH K Chứng minh: N a) Chứng minh: OAK ∽ OMB( g.g )  OA OK   OAOB  OK OM  OA2  OK OM (đpcm) OM OB b) Đề sai Bài 5: ( 0,5 điểm) Cho ba số thực a, b, c thỏa mãn đồng thời điều kiện a  b  c, a  b  c  6, ab  bc  ca  a) Chứng minh a, c hai nghiệm phương trình bậc hai x    b  x    b   Hướng dẫn Giả sử a,c nghiệm phương trình bậc hai x    b  x    b   80 Thầy Dũng 0972026205 ĐC: Ngõ 13, Khuất Duy Tiến Ta thay a, c vào phương trình trên: a  (6  b)a  (3  b)2  0(1) c  (6  b)c  (3  b)2  0(2) Lấy 1    a  b  c, a  b  c  , ta  c  a   ( ln đúng) Như vậy, a,c nghiệm phương trình bậc hai x    b  x    b   (đpcm) b) Chứng minh  a   b   c  Hướng dẫn Ta có: a  b  c, a  b  c  6, ab  bc  ca  Xét:  a  b  c   36  a  b  c  18  Chứng minh: a, b, c  , ta có: ab  bc  ca  a(b  c)  (b  c)2 (6  a)2 3a  a(6  a)    3a    a    a  b  c 4 Mà a  b2  c  ac  bc  c  c(a  b  c)  6c  c   Chứng minh: Giả sử: c   c  4c ( a  b) (6  c ) c2  4c   4c   2c    c  2 2  a  b2  c  Do đó, giả sử sai nên c   Chứng minh a  1: Giả sử:  a  b  c  (a  1)(a  4)  (1)  Như vậy: (b  1)(b  4)  (2) , (c  1)(c  4)  (3)  Lấy 1      3 , ta được: a  b2  c  5(a  b  c)  12  18  5.6  12  18(v / ly) Do đó, giả sử sai nên a  Ta có: a  1; c  nên b   a  c      Chứng minh b  : Giả sử: b  , ta có:  b  3 c  3   bc  3(b  c)   3(6  a )    3a   ab  bc  ca  a (b  c)  bc  a (b  c)   3a  a (b  c  3)  Mà a  0, b  c  đó, giả sử sai nên b  Từ chứng minh ta suy ra:  a   b   c   đpcm  81 ...  x2  2m Theo Vi-et, ta có:  (1)  x1.x2  m  2m Đường thẳng  d  cắt parabol  P  hai điểm A  x1 ; x 12  B  x2 ; x 22  Thay vào y1 y2  10 x1 x2  , ta được:  x 12 x 22  10 x1 x2 ... x1 x2    x1 x2   10 x1 x2   x x  1   x1 x2   10 x1 x2     (2) x x     m2  2m  1 m2  2m   Từ (1) (2) , ta có:    m  1(t / m)  m  2m  ? ?9 m  2m   0(v / ly)...  Tìm m để: y1 y2  10 x1 x2  Hướng dẫn a) Xét phương trình hoành độ giao điểm  P   d  : x  2mx  m  2m  x  2mx  m  2m  Xét  '  b '2  ac  m2  (m2  2m)  2m Để đường thẳng