Thầy Dũng TRƯỜNG THCS ĐỐNG ĐA 0972026205 ĐC: Ngõ 13, Khuất Duy Tiến ĐỀ KIỂM TRA GIỮA HỌC KÌ II NĂM HỌC 2018 – 2019 MƠN: TỐN Thời gian 90 phút (không kể thời gian giao đề) a 2 Bài (2 điểm): Cho biểu thức: P (a 0; a 4) a 2 a a 2 a) Rút gọn P b) Tìm giá trị a để P c) Tìm tất giá trị a để Q P có giá trị nguyên Bài (2.0 điểm): Giải tốn sau cách lập phương trình hệ phương trình: Một trường A có tổng số giáo viên 80, tuổi trung bình giáo viên 35 Trong đó, tuổi trung bình giáo viên nữ 32 tuổi trung bình giáo viên nam 38 Hỏi trường học A có giáo viên nữ giáo viên nam? Bài (2.0 điểm): 3 x y 8 1) Giải hệ phương trình: 2 x y 2) Cho parabol ( P) : y x đường thẳng (d ) : y x a) Tìm tọa độ tiếp điểm ( d ) ( P) b) Viết phương trình đường thẳng (d ') có hệ số góc m qua điểm A(1, 2) Chứng minh (d ') cắt ( P) hai điểm phân biệt với m Bài (3,5 điểm): Cho đường tròn (O ) điểm M nằm ngồi đường trịn , kẻ tiếp tuyến MA ( A tiếp điểm) Kẻ đường kính AOC dây cung AB vng góc với OM H a) Chứng minh BC OM tứ giác AOBM nội tiếp đường tròn b) Kẻ dây CN đường tròn (O ) qua H Tia MN cắt (O ) điểm thứ hai D Chứng minh MA2 MN MD c) Giả sử AOB 120 Tính độ dài cung nhỏ AB diện tích hình quạt tròn AOB d) Chứng minh ba điểm B, O, D thẳng hàng Bài (0.5 điểm): Cho số thực dương x, y thỏa mãn: ( x y 1)2 xy Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P xy 1 xy x y x y Thầy Dũng 0972026205 ĐC: Ngõ 13, Khuất Duy Tiến HƯỚNG DẪN a 2 Bài (2 điểm): Cho biểu thức: P , (a 0; a 4) a 2 a a 2 a) Rút gọn P b) Tìm giá trị a để P c) Tìm tất giá trị a để Q P có giá trị nguyên Hướng dẫn a) Với a 0; a ta có: a 2 a 2 a 2 a 2 P a 2 a ( a 2)( a 2) a a 2 a a 2 ( a 2)( a 2) a a 2 98 Thầy Dũng 0972026205 Vậy P a 2 b) Để P ĐC: Ngõ 13, Khuất Duy Tiến 2 6 a 2 4 a 0 0 0 a 2 a 2 3.( a 2) 3.( a 2) Vì 3.( a 2) a a a 16 Vậy để P a 16; a 9 c) Ta có Q P Q 4 a 2 a 4 Để Q nguyên (2 a 4) mà a a a a Vậy để Q nguyên a 25 a 25 Bài (2.0 điểm): Giải toán sau cách lập phương trình hệ phương trình: Một trường A có tổng số giáo viên 80, tuổi trung bình giáo viên 35 Trong đó, tuổi trung bình giáo viên nữ 32 tuổi trung bình giáo viên nam 38 Hỏi trường học A có giáo viên nữ giáo viên nam? Hướng dẫn Gọi số giáo viên nam trường A x người ( x 80 ) Gọi số giáo viên nữ trường A y người ( y 80 ) Theo ta có hệ phương trình x y 80 x y 80 38 x 38 y 3040 x.38 y.32 35 38 x 32 y 2800 38 x 32 y 2800 80 6 y 240 y 40 y 40 ( thỏa mãn) 38 x 32 y 2800 38 x 32.40 2800 x 40 Vậy trường A có 40 giáo viên nam 40 giáo viên nữ Bài (2.0 điểm): 3 x y 8 1) Giải hệ phương trình: 2 x y 2) Cho parabol ( P) : y x đường thẳng (d ) : y x a) Tìm tọa độ tiếp điểm ( d ) ( P) b) Viết phương trình đường thẳng (d ') có hệ số góc m qua điểm A(1, 2) Chứng minh (d ') cắt ( P) hai điểm phân biệt với m 99 Thầy Dũng 0972026205 ĐC: Ngõ 13, Khuất Duy Tiến Hướng dẫn 1) Ta có với x 0; y 3 x y 8 6 x y 16 11 y 22 y y ( thỏa mãn) x y x y 6 x y x x Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x, y) (0, 4) 2) a) Ta có phương trình hồnh độ giao điểm ( d ) ( P) x x x x 2.( x x 1) 2( x 1) x x Tung độ giao điểm là: y 4.1 Tọa độ giao điểm ( d ) ( P) là: (1, 2) b) Gọi phương trình đường thẳng (d ') : y mx b Vì (d ') qua A(1, 2) nên: m.1 b b m Đường thẳng (d ') : y mx m Phương trình hồnh độ giao điểm (d ') ( P) là: mx m x x mx m (1) m2 4.2.(m 2) m2 8m 16 (m 4)2 Ta thấy với m nên phương trình (1) ln có nghiệm phân biệt Vì với m (d ') cắt ( P) hai điểm phân biệt Bài (3,5 điểm): Cho đường tròn (O ) điểm M nằm ngồi đường trịn , kẻ tiếp tuyến MA ( A tiếp điểm) Kẻ đường kính AOC dây cung AB vng góc với OM H a) Chứng minh BC OM tứ giác AOBM nội tiếp đường tròn b) Kẻ dây CN đường tròn (O ) qua H Tia MN cắt (O ) điểm thứ hai D Chứng minh MA2 MN MD c) Giả sử AOB 120 Tính độ dài cung nhỏ AB diện tích hình quạt trịn AOB d) Chứng minh ba điểm B, O, D thẳng hàng Hướng dẫn 100 Thầy Dũng 0972026205 ĐC: Ngõ 13, Khuất Duy Tiến M B H C N A O D a) Xét ABC có BO OA OC AC nên ABC vuông B ABC 90 BC AB Mà AB OM OM BC + Vì OM AB H nên HA HB Xét AOB có OA OB R AOB cân O mà OH AB AOH BOH AOH BOH MOA MOB 90 OB MB Xét AOM BOM có OA OB OM chung Xét tứ giác AOBM có OBM OAM 90 90 180 (tổng góc đối) Vì AOBM tứ giác nội tiếp AMD chung b) Xét MAN MAD có MAN MDA (= sdAN ) MAN ∽ MDA (g - g) MA MD MA2 MN MD MN MA c) Độ dài cung nhỏ AB là: l R.120 80 Diện tích hình quạt tròn AOB là: S 2 R lR 2 R R d) + Tứ giác NADB nội tiếp (O ) nên AND ABD (cùng chắn cung AD ) (1) + MO BC MHN BCN (2 góc đồng vị) Mà MBN BCN (cùng số đo cung BN ) MBN MHN Nên tứ giác MNHB tứ giác nội tiếp MBH HND ( tính chất tứ giác nội tiếp) 101 Thầy Dũng 0972026205 ĐC: Ngõ 13, Khuất Duy Tiến AND ABD MBA CND (2) Từ (1) (2) ta có: MBA ABD CND DNA MBD CNA 90 MB BD Mà MB BO B, O, D thẳng hàng Bài (0.5 điểm): Cho số thực dương x, y thỏa mãn: ( x y 1)2 xy Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P xy 1 xy x y x y Hướng dẫn Áp dụng bất đẳng thức cơsi ta có: ( x y)2 ( x y)2 ( x y 1) 4( x y ) 8( x y ) ( x y ) 4 3( x y ) 8( x y ) ( x y 2)(3(x y) 2) x y xy Với x y ta có: P xy xy xy 1 1 1 2 xy x y x y xy x y 2 xy x y xy xy 1 2 2 ( x y) xy 2 Lại có: xy xy x y 1 2 P 11 Vậy giá trị nhỏ P x y 102 ... a ? ?2 a ? ?2? ?? a ? ?2 a ? ?2 P a ? ?2? ?? a ( a 2) ( a 2) a a ? ?2 a a ? ?2 ( a 2) ( a 2) a a ? ?2 98 Thầy Dũng 09 720 2 620 5 Vậy P a ? ?2 b) Để P ĐC: Ngõ 13, Khuất Duy Tiến 2 6 a ? ?2 4... 3040 x.38 y. 32 35 38 x 32 y 28 00 38 x 32 y 28 00 80 6 y 24 0 y 40 y 40 ( thỏa mãn) 38 x 32 y 28 00 38 x 32. 40 28 00 x 40 Vậy trường A... A(1, 2) Chứng minh (d ') cắt ( P) hai điểm phân biệt với m 99 Thầy Dũng 09 720 2 620 5 ĐC: Ngõ 13, Khuất Duy Tiến Hướng dẫn 1) Ta có với x 0; y 3 x y 8 6 x y 16 11 y 22