Học kì 1 toán 9 đống đa 1819

ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ I PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NĂM HỌC 2018 − 2019 QUẬN ĐỐNG ĐA MƠN: TỐN Thời gian làm bài: 90 phút Bài (2,0 điểm) 1) Tính giá trị biểu thức: M = 2) Giải phương trình: ( 1− ) − 12 + 33 11 +1 9x − − = x − Bài (2,0 điểm) Cho biểu thức A = x −1 x −3 B = 2x + x + x với x ≥ 0; x ≠ − x −9 x +3 1) Tính giá trị A x = 25 2) Rút gọn biểu thức B 3) Cho P = A Tìm giá trị nhỏ P B Bài (2,0 điểm) Cho hàm số bậc y = (m − 1)x − (d ) (m ≠ 1) 1) Vẽ đồ thị hàm số m = 2) Tìm m để (d ) song song với đồ thị hàm số y = −3x + (d1 ) 3) Tìm m để (d ) cắt đồ thị hàm số y = x − (d2 ) điểm nằm bên trái trục tung HDedu - Page Bài (3,5 điểm) Cho đường trịn (O;R) đường kính AB Vẽ tiếp tuyến Bx (O ) Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa Bx , lấy điểm M thuộc (O ) ( M khác A B ) cho MA > MB Tia AM cắt Bx C Từ C kẻ tiếp tuyến thứ hai CD với (O ) ( D tiếp điểm) 1) Chứng minh OC ⊥ BD 2) Chứng minh bốn điểm O, B,C , D thuộc đường tròn 3) Chứng minh CMD = CDA 4) Kẻ MH vng góc với AB H Tìm vị trí M để chu vi tam giác OMH đạt giá trị lớn Bài (0,5 điểm) Cho x , y, z số dương thay đổi thỏa mãn: xy + yz + zx = Tìm giá trị nhỏ biểu thứcT = 3x + 3y + z HDedu - Page HƯỚNG DẪN GIẢI Bài (2,0 điểm) 1) Tính giá trị biểu thức: M = M= (1 − ) − 12 + M = − − 4.3 + 33 11 ( 1− ) − 12 + 33 11 +1 +1 33 +1 11 M = − − 3.2 + + M = −1− + +1 M = −4 2) Giải phương trình: 9x − − = x − Lời giải 9x − ≥ 9x ≥ Điều kiện:  ⇔ ⇔ x ≥1 x − ≥ x ≥   9x − − = x − ⇔ 9(x − 1) − = x − ⇔ x −1 −1 = x −1 ⇔ x −1 − x −1 = ⇔ x − = ⇔ 4(x − 1) = ⇔ 4x − = ⇔ 4x = ⇔ x = (thỏa điều kiện x ≥ ) Vậy phương trình có nghiệm x = HDedu - Page Bài (2,0 điểm) Cho biểu thức A = x −1 x −3 B = 2x + x + x với x ≥ 0; x ≠ − x −9 x +3 1) Tính giá trị A x = 25 2) Rút gọn biểu thức B 3) Cho P = A Tìm giá trị nhỏ P B Lời giải 1) Với x = 25 (thỏa mãn điều kiện), thay vào A , ta có: A= A= 25 − 25 − 2.5 − 10 − = = 5−3 2 2) Rút gọn biểu thức B B= B= B= 2x + x + x − x −9 x +3 ( 2x + x + x +3 )( x −3 − ) ( x x +3 2x + x + − x + x ( ) ( x − 3) x + 3) ( B= = ( x + 3) ( x − 3) x +3 ( = ( x −3 )( ) x −3 ) x +6 x +9 x +3 )( x −3 ) x +3 x −3 HDedu - Page 3) Tìm giá trị nhỏ P P= P= A x −1 x + = : B x −3 x −3 x −1 x −3 ⋅ x −3 x +3 x − 1) ( x − ) x − ( P= = ( x − 3) ( x + 3) x + 2( x + 3) − 2( x + 3) P= = + x +3 x +3 Ta có: x ≥ ⇔ x + ≥ ⇒ ⇒P =2+ ⇒P ≥ −7 x +3 ≥2+ −7 x +3 −7 x +3 ≥ =2+ −7 x +3 −7 −7 −1 Vậy MinP = − x = HDedu - Page Bài (2,0 điểm) Cho hàm số bậc y = (m − 1)x − (d ) (m ≠ 1) 1) Vẽ đồ thị hàm số m = 2) Tìm m để (d ) song song với đồ thị hàm số y = −3x + (d1 ) 3) Tìm m để (d ) cắt đồ thị hàm số y = x − (d2 ) điểm nằm bên trái trục tung Lời giải 1) Thay m = , ta được: y = x − (d ) Đồ thị hàm số y = x − (d ) đường thẳng qua điểm (0; −4) điểm (4;0) y y = x-4 O -2 -1 x -1 -2 -3 -4 -5 HDedu - Page m − = −3 2) (d )/ /(d1 ) ⇔  ⇔ m = −2 −4 ≠ Vậy (d )/ /(d1 ) m = −2 3) Phương trình hồnh độ giao điểm (d ) (d2 ) : (m − 1)x − = x − ⇔ mx − x − = x − ⇔ mx − x − x = −7 + ⇔ x (m − 2) = −3 ⇔x = −3 (m ≠ 2) m −2 Vì giao điểm (d ) (d2 ) nằm bên trái trục tung nên ta có: x= −3 ⇔m >2 Vậy m > (d ) cắt (d2 ) điểm nằm bên trái trục tung HDedu - Page Bài (3,5 điểm) Cho đường tròn (O;R) đường kính AB Vẽ tiếp tuyến Bx (O ) Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa Bx , lấy điểm M thuộc (O ) ( M khác A B ) cho MA > MB Tia AM cắt Bx C Từ C kẻ tiếp tuyến thứ hai CD với (O ) ( D tiếp điểm) 1) Chứng minh OC ⊥ BD 2) Chứng minh bốn điểm O, B,C , D thuộc đường tròn 3) Chứng minh CMD = CDA 4) Kẻ MH vng góc với AB H Tìm vị trí M để chu vi tam giác OMH đạt giá trị lớn Lời giải 1) Chứng minh OC ⊥ BD x C D A M O H B Ta có: CD,CB hai tiếp tuyến (O ) ⇒ CD = CB (Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) Mà OD = OB = R ⇒ OC đường trung trực đoạn thẳng DB ⇒ OC ⊥ DB HDedu - Page 2) Chứng minh bốn điểm O, B,C , D thuộc đường tròn x C D A M O H B Ta có: OB ⊥ BC (vì BC tiếp tuyến (O ) ) ⇒ ∆OBC nội tiếp đường tròn đường kính OC ⇒ O, B,C thuộc đường trịn đường kính OC (1) Tương tự, ta có: OD ⊥ DC (vì DC tiếp tuyến (O ) ) ⇒ ∆ODC nội tiếp đường trịn đường kính OC ⇒ O, D,C thuộc đường trịn đường kính OC (2) Từ (1) (2) suy ra: bốn điểm O, B,C , D thuộc đường trịn đường kính OC HDedu - Page 3) Chứng minh CMD = CDA x C D A M O H B Ta có: AMB = 900 (vì ∆AMB nội tiếp đường trịn đường kính AB ) ⇒ BM ⊥ AC Xét ∆ABC vng B có BM ⊥ AC Theo hệ thức lượng tam giác vng, ta có: CM AC = CB Mà CD = CB(cmt ) nên CM AC = CD ⇒ CM CD = CD AC Xét ∆CMD ∆CDA có: CM CD = (cmt ) CD AC ACD góc chung Do đó: ∆CMD ∽ ∆CDA(c.g c) ⇒ CMD = CDA HDedu - Page 10 4) Tìm vị trí M để chu vi tam giác OMH đạt giá trị lớn x C D A M O B H Chu vi ∆OMH = R + OH + MH Ta có: (OH + MH )2 = OH + 2OH MH + MH (Hằng đẳng thức) (OH + MH )2 = (OH + MH ) + 2OH MH (OH + MH )2 = R + 2OH MH (Định lý Pitago cho ∆OHM vuông H ) Ta lại có: R = OH + HM ≥ 2OH OM (Bất đẳng thức Cauchy) Do đó: (OH + MH )2 = R + 2OH MH ≤ 2R ⇒ OH + MH ≤ 2R ( ) ⇒ Chu vi ∆OMH = R + OH + MH ≤ R + 2R = + R ( ) Suy ra: chu vi ∆OMH đạt giá trị lớn + R OH = MH ⇒ ∆OMH vuông cân H ⇒ HOM = 450 ( ) Vậy chu vi ∆OMH đạt giá trị lớn + R điểm M thuộc đường tròn (O ) thỏa mãn HOM = 450 HDedu - Page 11 Bài (0,5 điểm) Cho x , y, z số dương thay đổi thỏa mãn: xy + yz + zx = Tìm giá trị nhỏ biểu thức T = 3x + 3y + z Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho số dương: x y , ta được: x + y ≥ x 2y = 2xy (vì x ,y số dương) (1) z2 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho số dương 2x , ta được: 2 z2 z 2x + ≥ 2x ⋅ = 2xz (vì x , z số dương) (2) 2 z2 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho số dương 2y , ta được: 2 z2 z 2y + ≥ 2y ⋅ = 2yz (vì y, z số dương) (3) 2 Từ (1), (2) (3) suy ra: T = 3x + 3y + z ≥ 2xy + 2xz + 2yz ⇒ T ≥ 2(xy + xz + yz ) ⇒ T ≥ 10 z2 Dấu " = " xảy x = y 2x = 2 2 ⇒ x = y z = 2x (vì x ,y, z số dương) Thay x = y z = 2x vào xy + yz + zx = , ta được: 5x = ⇔ x = ⇔ x = (vì x > ) ⇒ y = x = 1; z = 2x = Vậy giá trị nhỏ T 10 x = y = 1; z = HDedu - Page 12 ... điểm) 1) Tính giá trị biểu thức: M = M= (1 − ) − 12 + M = − − 4.3 + 33 11 ( 1? ?? ) − 12 + 33 11 +1 +1 33 +1 11 M = − − 3.2 + + M = ? ?1? ?? + +1 M = −4 2) Giải phương trình: 9x − − = x − Lời giải 9x −... trình: 9x − − = x − Lời giải 9x − ≥ 9x ≥ Điều kiện:  ⇔ ⇔ x ? ?1 x − ≥ x ≥   9x − − = x − ⇔ 9( x − 1) − = x − ⇔ x ? ?1 ? ?1 = x ? ?1 ⇔ x ? ?1 − x ? ?1 = ⇔ x − = ⇔ 4(x − 1) = ⇔ 4x − = ⇔ 4x = ⇔ x = (thỏa điều... +3 −7 −7 ? ?1 Vậy MinP = − x = HDedu - Page Bài (2,0 điểm) Cho hàm số bậc y = (m − 1) x − (d ) (m ≠ 1) 1) Vẽ đồ thị hàm số m = 2) Tìm m để (d ) song song với đồ thị hàm số y = −3x + (d1 ) 3) Tìm