[r]
(1)1 Truy cập trang http://Tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa – GDCD tốt nhất!
PHƢƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC CƠ BẢN DẠNG I PHƢƠNG PHÁP CHUNG
Với hệ phương trình sin sin
cos cos
tan tan
cot cot
x y m
x y
x y m
x y
x y m
x y
x y m
x y
Ta chuyển tổng f x f y m thành tích công thức
sin sin sin cos
2
sin sin cos sin
2
cos cos cos cos
2
cos cos sin sin
2
sin tan tan
cos cos
x y x y
x y
x y x y
x y
x y x y
x y
x y x y
x y
x y
x y
x y
Chú ý: Phương pháp chung biết tổng x y tìm hiệu xy thay ngược lại, công thức biến đổi, tức là:
- Ta biến đổi phương trình f x f y m g x1 y g 2 xym1 * - Từ thay phương trình x y vào (*) để tìm biểu thức cịn lại
Ví dụ 1: Cho hệ phƣơng trình:
cos cos
2
x y m
x y
a) Giải hệ phƣơng trình với
2
m b) Tìm m để hệ có nghiệm
Giải:
(2)2 Truy cập trang http://Tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa – GDCD tốt nhất!
cos cos
2
2 cos cos
2
cos
2
x y x y
m x y
m x y
m
a) Với
m , ta được: 3 cos 2 4
2 2 3
x y x y
k x y k
Do hệ phương trình tương đương với
4
2
2
2
3
4
4
3
2
3
x y k
x k
x y y k
k Z
x y k x k
y k
x y
b) Hệ có nghiệm 3 có nghiệm m 1
Ví dụ 2: Giải hệ phƣơng trình
2
sin cos
2
x y
x y
Giải
Biến đổi (1) dạng
sin sin
2
2
2 sin cos
2 4
2
sin cos
8
x x
x y x y
x y
Ta có
2
2
2 2
cos 2sin sin
2 8
2
2 cos cos
8
(3)
3 Truy cập trang http://Tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa – GDCD tốt nhất!
2
3 cos cos
2 2 2 2
2
2
3 4
4
x y x y
k
x y k
x y k
Do hệ phương trình tương đương với
3
2
4
2
4
2 4
x y k
x k
x y
y k
k Z
x k
x y k
y k
x y
Ví dụ 3: Cho hệ phƣơng trình
tan tan
3
2
x y m
x y
a) Giải hệ phƣơng trình với m2 b) Tìm m để hệ có nghiệm
Giải
Điều kiện: cos ;
cos
2
x k
x
k l Z y
y l
Biến đổi (1) dạng
sin
sin cos cos
cos cos
2
2sin cos
2
x y m
m x y x y x y
x y
m
x y m x y
(4)4 Truy cập trang http://Tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa – GDCD tốt nhất!
3 sin cos
2 2 sin
4
1 sin
4
2
4 12
7 17
2
4 12
x y x y
x y x y
x y k x y k
x y k x y k
Do hệ phương trình tương đương với
5
12 12
3
3
17 13
2
12 12
3
4
x k
x y k
y k
x y
k Z
x y k x k
x y y k
b) Hệ có nghiệm (3) có nghiệm
2
2 2
4
2
m
a b c m
2
8 m
ln Vậy hệ có nghiệm với m
Ví dụ 4: Cho hệ phƣơng trình
2
1
2sin cos 2
x y
x y m
a) Giải hệ với m0 b) Tìm m hệ có nghiệm Giải
Biến đổi (2) dạng
1 cos cos 2 cos cos 2
2 sin sin
2 sin sin
2
sin
2
x y m
x y m
x y x y m
x y m
m x y
(5)5 Truy cập trang http://Tuyensinh247.com/ để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa – GDCD tốt nhất!
a) Với m0, hệ có dạng
4
4
2 3
1
sin 4
5
2
2
x k x y
y k
x y
k Z
x y k
x k
x y
x y k
y k
Vậy với m0 hệ có hai cặp họ nghiệm b) Hệ có nghiệm khi:
3 có nghiệm 1 2
2
2
m
m
Vậy hệ có nghiệm 2
2 m
BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Bài 1: Giải hệ phƣơng trình:
2 cos cos
) 2
3
2 sin sin
) 2
3 tan tan )
4 cot cot )
2
x y
a
x y
x y
b
x y
x y
c
x y
x y
d
x y
Bài 2: Cho hệ phƣơng trình
sin sin
x y m
x y
a) Giải hệ với m1 b) Tìm m để hệ có nghiệm
Bài 3: Cho hệ phƣơng trình
tan tan
x y a
x y b
(6)6 Truy cập trang http://Tuyensinh247.com/ để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa – GDCD tốt nhất!
a) Giải hệ với 12
a b2
b) Tìm điều kiện a b để hệ có nghiệm
Bài 4: Cho hệ phƣơng trình
2
3
cos cos
x y
x y m
a) Giải hệ phương trình
8
m b) Xác định m để hệ có nghiệm
Bài 5: Giải biện luận hệ phƣơng trình:
2
2
2
2
sin sin )
cos cos )
2
sin sin cos )
)
2 sin sin sin
x y m
a
x y
x y m
b
x y
x y
c
x y
x y a
d
x y a