Đang tải... (xem toàn văn)
Tiếp tuyến của (O) tại C cắt AB tại D.Qua O vẽ đường thẳng vuông góc với phân giác góc ODC, đường này cắt CD tại M.. Chứng minh rằng đường thẳng d qua M song song với AB luôn tiếp xúc [r]
(1)Δ H
O
CHỦ ĐỀ 5: VỊ TRÍ TƢƠNG ĐỐI CỦA ĐƢỜNG THẲNG VÀ ĐƢỜNG TRÒN TIẾP TUYẾN CỦA ĐƢỜNG TRÒN
A/ LÝ THUYẾT
Gọi khoảng cách từ tâm O đến đƣờng thẳng OH
1 Đƣờng thẳng cắt đƣờng tròn hai điểm phân biệt:
đường thẳng có hai điểm chung A, B với đường trịn (O) OH < R 2 Đƣờng thẳng đƣờng trịn (O) khơng giao
Đường thẳng đường trịn (O) khơng có điểm chung OH R
3 Đƣờng thẳng tiếp xúc với đƣờng trịn
đường thẳng có điểm chung Hvới đường tròn (O) OH = R
O H
M
B A
O
H Δ
4 Tiếp tuyến đƣờng tròn
tiếp tuyến đường tròn (O) điểm H ∆ tiếp xúc với đường tròn H Điểm H gọi tiếp điểm tiếp tuyến với đường trịn (O) Ta có OH R
* Nếu tiếp tuyến (O) vng góc với bán kính qua tiếp điểm * Nếu hai tiếp tuyến đường tròn cắt điểm
+ Điểm cách hai tiếp điểm
+ Tia kẻ từ điểm đến tâm O tia phân giác góc tạo tiếp tuyến
(2)+ Tia kẻ từ tâm qua điểm vng góc với đoạn thẳng nối hai tiếp điểm trung điểm đoạn thẳng
4 Đƣờng trịn nội tiếp tam giác
+ đường tròn tiếp xúc với cạnh tam giác
+ có tâm giao điểm đường phân giác tam giác 5 Đƣờng tròn bàng tiếp tam giác
+ đường tròn tiếp xúc với cạnh tam giác phần kéo dài hai cạnh
+ Đường tròn bàng tiếp tam giác góc A có tâm giao điểm hai đường phân giác ngồi góc B góc C
+ Mỗi tam giác có đường trịn bàng tiếp
Đường trịn bàng tiếp góc A Đường trịn nội tiếp ΔABC
O
O B
C A
P
N M
F
E D
C B
A
B/ BÀI TẬP VỀ TIẾP TUYẾN
I/ Phƣơng pháp: Xét (O, R) đƣờng thẳng d
* Bài toán khoảng cách OH từ tâm O tới đƣờng thẳng d d cắt (O) hai điểm Xét OHABOH R,HA HB R2OH2 Theo định lý Pitago ta có: OH2 MO2MH2 Mặt khác ta có: OH2R2AH2
=> MO2MH2 R2AH2 MH2AH2MO2R2 2
(MH AH) MH AH MO R
H
M B
A
O
H O
B A
M
CÁC KẾT QUẢ THU ĐƢỢC
(3)H
N
M E
D C
B A
+ Nếu Mnằm đoạn AB MA.MB R 2MO2 + Mối liên hệ khoảng cách dây cung:
2
2 AB
R OH
4
* Để chứng minh đƣờng thẳng d tiếp tuyến (tiếp xúc) với đƣờng tròn (O, R):
+ Cách 1: Chứng minh khoảng cách từ O đến d R Hay nói cách khác ta vẽ OH d, chứng minh OH = R
+ Cách 2: Nếu biết d (O) có giao điểm A, ta cần chứng minh OA d
+ Cách 3: Sử dụng phương pháp trùng khít (Cách đề cập phần góc nội tiếp và góc tạo tiếp tuyến dây)
II/ BÀI TẬP MẪU
Ví dụ Cho hình thang vng ABCD (A B 90 )0 có O trung điểm AB góc COD 90 Chứng minh CD tiếp tuyến đường trịn đường kính AB
Giải
Kéo dài OC cắt BD E COD 90 suy EOD 90 Vì COD nên xét ∆vngCOD ∆vngEOD ta có
OD chung
OC OA
1 OC OD
OD OB
COD EOD => DC DE => ∆ECD cân D Kẻ OHCD OBD OHDOH OB
mà OB OA OH OB OA hay A,H, B thuộc đường tròn (O) Do CD tiếp tuyến đường trịn đường kính AB
Ví dụ Cho hình vng ABCD có cạnh a Gọi M, N hai điểm cạnh AB,AD cho chu vi tam giác AMN 2a Chứng minh đường thẳng MN tiếp xúc với 1 đường tròn cố định
Giải Trên tia đối BA ta lấy điểm E cho BE ND Ta có BCE DCNCN CE
Theo giả thiết ta có:
MN AM AN AB AD AM MB AN DN AM AN MB BE
Suy MN MB BE ME
Từ ta suy MNC MECCMN CMB Kẻ CHMN CH CB CD a
E
H
D C
O
(4)Vậy D,H,B thuộc đường tròn tâm C bán kính CB a suy MN ln tiếp xúc với đường trịn tâm C bán kính a
Ví dụ Cho tam giác ABC cân A đường cao BH Trên nửa mặt phẳng chứa C bờ AB vẽ BxBA
cắt đường tròn tâm B bán kính BH D Chứng minh CD tiếp tuyến (B) Giải
Vì tam giác ABC cân A nên ta có: B C Vì BxBAB2 900
Mặt khác ta có B1 900B1B2
Hai tam giác BHC BDC có BC chung, B1B2, BH BD R suy BHC BDC(c.g.c) suy BHC BDC 90 0
Nói cách khác CD tiếp tuyến đường trịn (B)
Ví dụ Cho tam giác ABC vuông A (AB AC) đường cao AH Gọi E điểm đối xứng với B qua
H Đường trịn tâm O đường kính ECcắt AC K Chứng minh HK tiếp tuyến đường trịn (O)
Giải
Vì tam giác EKC có cạnh EC đường kính (O) nên
EKC 90
Kẻ HIACBA / /HI / /EK suy AI IK từ ta có tam giác
AHK cân H
Do K1B (cùng phụ với góc hai góc BAH,IHK) Mặt khác ta có: K2 C3 (do tam giác KOC cân O)
Mà B C 3900K1K2900 suy HKO 90 0 hay HK tiếp tuyến (O) Ví dụ Cho tam giác ABCvuông Ađường cao AH Vẽ đường trịn
tâm A bán kính AH kẻ tiếp tuyến BD,CE với (A) (D,E tiếp điểm khác H) Chứng minh DE tiếp xúc với đường tròn đường kính BC
Giải
Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhu có: DAB HAB,CAH CAE Suy DAB CAE HAB CAH BAC 90 0
hay DAB CAE HAB CAH 180 0D,A,Ethẳng hàng
α
1
x D
H
C B
A
3
1
I K
O E
H C
B A
C O
H D
E
(5)Gọi O trung điểm BC O tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC Mặt khác AD AE nên OA đường trung bình hình thang vng BDEC
Suy OADE A Nói cách khác DE tiếp tuyến đường trịn (O) Đường kính BC
III/ LUYỆN TẬP
Bài 1: Cho đường tròn (O) đường kính AB C điểm thay đổi đường tròn (O) Tiếp tuyến (O) C cắt AB D.Qua O vẽ đường thẳng vng góc với phân giác góc ODC, đường cắt CD M Chứng minh đường thẳng d qua M song song với AB tiếp xúc với (O) C thay đổi
Bài 2: Cho tam giác ABC nhọn Vẽ đường trịn tâm O đường kính BC cắt AB, AC E F BF CE cắt I Gọi M trung điểm AI Chứng minh: MF tiếp tuyến (O)
Bài 3: Cho đường trịn (O;R) có đường kính BC, lấy điểm A thuộc (O) cho AB = R a Chứng minh tam giác ABC vuông tính độ dài BC theo R
b Tiếp tuyến A (O) cắt đường thẳng BC M Trên (O) lấy điểm D cho MD = MA (D khác A) Chứng minh MD tiếp tuyến (O)
Bài 4: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), AB = 4 Đường kính AD cắt BC H
Đường thẳng BO cắt tiếp tuyến A đường tròn (O) điểm E
a Chứng minh AH vng góc với BC, tính độ dài AH bán kính đường tròn (O) b Chứng minh EC tiếp tuyến (O) tứ giác ABCE hình thoi
Bài 5: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R Trên nửa đường trịn lấy điểm C (C khác A B) Gọi D giao điểm đường thẳng BC với tiếp tuyến A nửa đường tròn tâm O I trung điểm AD
a Chứng minh BC.BD = 4R2
b Chứng minh IC tiếp tuyến nửa đường tròn tâm O
Bài Cho tam giác ABC nhọn, đường cao BD CE cắt nhai H Gọi I trung điểm BC Chứng minh ID, IE tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE
Bài 7: Cho đường trịn (O) đường kính AB Ax, By tia tiếp tuyến (O) (Ax, By nửa mặt phẳng bở đường thẳng AB) Trên Ax lấy điểm C, By lấy điểm D cho góc COD 90^0 Chứng minh rằng: CD tiếp xúc với đường tròn (O)
Bài Cho đường tròn tâm O đường kính AB Một nửa đường thẳng qua A cắt đường kính CD vng góc với AB M cắt (O) N
a Chứng minh AM.AN = AC2