Công thức - bài tập chương hệ thức lượng trong tam giác vuông

[r]

c b

a B

A

C

c b

a h B

A

C H

Ngày so n :ạ ……… /………./ 2009

Ngày gi ng:ả …… /……… / 2009 H TH C LỆ Ứ ƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNGCH Đ 1:Ủ Ề I./ M c tiêu:ụ

* Giúp h c sinh c ng c ki n th c c b n v h th c tam giác vuông, cácọ ủ ố ế ứ ả ề ệ ứ t s lỉ ố ượng giác

* Rèn luy n kĩ v hình, t tính tốn thơng qua cá t p c b n phát tri nệ ẽ ậ ả ể nâng cao

* Giáo d c tinh th n t giác h c t p, lao đ ng, t đ c l p sáng t o.ụ ầ ự ọ ậ ộ ộ ậ II/ N i dung:ộ

I Ki n th c c b nế ứ ả :

1) Các h th c v c nh đệ ứ ề ường cao tam giác vng - Đ nh lí 1: bị 2 = a c’ ; c2 = a c’

- Đ nh lí 2: hị 2 = b’ c’

- Đ nh lí 3: b.c = a.hị ` - Đ nh lí 4: ị 12

h =

1

b +

1

c

2) Các h th c v c nh góc tam giác vngệ ứ ề b = a.SinB = a.CosC

c = a.SinC = a.CosB b= c.TgB= c.CotgC c = b.TgC = b.CotgB

- N u bi t góc nh n ế ế ọ α góc cịn l i 90ạ 0 - α

- N u bi t c nh tìm t s LG c a góc ế ế ỉ ố ủ ⇒ Tìm góc b ng cách tra b ngằ ả - Dùng h th c gi a c nh góc tam giác vuônệ ứ ữ

- T h th c :ừ ệ ứ

b = a.SinB = a CosC ⇒ a =

SinB b

=

CosC b

c = a SinC = a CosB ⇒ a =

SinC C

=

CosB C

30 Ví d minh hoụ Ví d 1ụ :

Cho ∆ vng v i c nh góc vng có đ dài Khi đ dài c nh huy ộ ộ ề

A B C D m t gía tr khácộ ị Ví d 2ụ :

V i đ nh t p k đớ ề ậ ẻ ường cao ng v i c nh huy n Khi đ dài đứ ề ộ ườ ng cao

H B

A

C

25 16

B

A

C H

3

B

A

C H

A ( 2,3,4) B ( 6,9,10) C ( 7,24,25) D ( 3,5,6 ) Ví d 4:ụ Cho ∆ABC (Aˆ = 1v), AH ⊥ BC ; AB = 6, AC =

Tính AH = ? HB = ? HC = ? Theo pi ta go : ∆ ABC ( Aˆ = 1v)

BC = AB2 +AC2 = 62 +82 = 100 = 10

- T đ/lí 3: AH BC = AB AC ⇒ AH =

BC AC AB.

=

10

= 4,8 T đ/lí 1:ừ

AB2 = BC HB

⇒ HB =

BC AB2

=

10 62

= 3,6 AC2 = BC HC

⇒ HC =

BC AC2

=

10 82

= 6,4 Ví d 5:ụ

∆ABC( Aˆ= 1v) ; AH ⊥ BC

GT AH = 16 ; HC = 25

KL AB = ? ; AC = ? ; BC = ? ; HB = ? Hướng D nẫ

- Pi ta go ∆ AHC ( Hˆ = 1v)

AC = AH2 +HC2 = 162 +252 = 881 = 29,68 T đ/lí 1: ACừ 2 = BC.HC

BC =

HC AC2

=

25 ) 68 , 29

(

≈ 35,24 Pi ta go ∆ ABC ( Aˆ= 1v)

AB = BC2 −AC2 = 35,242 −29,682 ≈ 18,99 T đ/lí 2: AHừ 2 = HB.HC

⇒ HB =

HC AH2

=

25 162

= 10,24 Ví d 6: ụ

Cho ∆ ABC ( Aˆ = 1v) ; AB = ; AC =

a) Tính t s lỉ ố ượng giác c a ủ Cˆ

b) T KQ ( a) ⇒ t s lỉ ố ượng giác c a góc Bủ Hướng D nẫ a Theo Pi ta go ∆ ABC ( Aˆ = 1v)

6 α

C A

B

C D

A B

H K

SinC =

BC AB

=

5

; CosC =

BC AC

=

5

; tgC =

AC AB

= ;

4

CotgC =

AB AC

=

3

Do Bˆ Cˆ hai góc ph ụ

SinB = cosC =

5

; cosB = sinC =

4

gB = cotgC =

3

; cotgB = tgC =

4

Ví d 7: ụ Cho ∆ ABC ( Aˆ= 1v) ; AB = ; Bˆ= α tgα = 125 Tính

a) AC = ? b) BC = ? a tgα =

AB AC

=

12

⇒ AC =

AC AB

=

12

= 2,5 (cm) b) Pi ta go ∆ABC ( Aˆ= 1v)

BC = AB2 +AC2 = 62 +(2,5)2 = 42,25 = 6,5 (cm) Bài t p v nhà : Đ n gi n bi u th cậ ề ả ể ứ

1) – Sin2 α = ?

2) (1 - cosα).(1+ cosα) = ? 3) 1+ sin2 α + cos2α = ?

4) sinα - sinα cos2α = ?

5) sin4 α + cos4 α + 2sin2 α .cos2 α = ?

6).Không dùng b ng s máy tinh Hãy so sánh t s LG theo th t t l n đ nả ố ỉ ố ứ ự ế nh : Cotg25ỏ 0 ; tg320 ; cotg180 ; tg440 ; cotg620

G i ýợ

a) sin2 α + cos2 α = thay vào thu g n Đs : cosọ 2α

b) Dùng A2-B2 g i ý ph n a) Đs : = sinợ ầ α

c) Đs : =

d) đ t th a s chung Đs : sinặ ố 3α

e) HĐT : ( A+B ) 2 Đs: = 1

Ví d 8: ụ Tính S hình thang cân Bi t hai c nh đáy 12cm 18cm góc đáy b ng 75ế ằ

Hướng D nẫ K AH ; BK ẻ ⊥ CD

Ta có : AB = KH = 12 (cm)

⇒ DH + KC = DC – HK = 18 – 12 =

DH =

2

= (cm)

60

C B

A

P

60

C B

A

P

H SABCD =

2 ) (AB+DC AH

=

2

196 , 11 ) 18 12 ( +

= 167,94 (cm)

Ví d 9: ụ Cho∆ ABC có góc A = 200 ;

Bˆ= 300 ; AB = 60cm Đường cao k t C đ n AB c tẻ ế ắ

AB t i P ( hình v ) Hãy tìm ẽ a) AP ? ; BP ?

b) CP ?

Hướng D nẫ a) K AH ẻ ⊥ BC ; ∆ AHB ⊥ t i Hạ

⇒ AH = AB SinB = 60.Sin300 = 60.

2

= 30 ∆ AHC ( Hˆ = 1v)

AH = AC Cos400

⇒ AC = 0

40

Cos AH

= 0,766030 = 39,164 ∆ APC có ( Pˆ= 1v)

AP = AC.Cos 200

= 39,164 0,9397 = 36,802 PB = AB – AP

= 60 – 36,802 = 23, 198 b) ∆ APC ( Pˆ= 1v)

CP = AC Sin200

x ?

9 20

H C

B

A

x 2x

8cm 60°

H C

B

A

10 cm 1cm

D C B

A

H TH C LỆ Ứ ƯỢNG

CÁC BÀI TOÁN HAY GI I B NG PHẢ Ằ ƯƠNG PHÁP Đ I SẠ Ố

(Đ s u t m t vũng thi Olypic đ u tiên- l p 9)ề ầ ừ ầ ớ

Bài 1:Cho tam giác ABC vuông A, đở ương cao AH Bi t AB = 20cm, HC = 9cm.ế Tính đ dài AH.ộ

L i gi i s lờ ả ượ :c

Đ t BH = x Áp d ng h th c lặ ụ ệ ứ ượng tam giác ABC vng A, có đở ường cao AH ta được:

AB2 = BH BC hay 202 = x(x + 9).

Thu g n ta đọ ược phương tr nh : xỡ 2 + 9x – 400 = 0

Gi i phả ương tr nh ta đỡ ược x1 = 16; x2 = –25 (lo i)ạ

Dùng đ nh lý Pitago tính đị ược AH = 12cm

L u ý : Gi i PT b c n n d ng m y t nh đ gi i cho nhanh.ư ả ậ ự ỏ ể ả

Thu c m t s b ba s Pitago t t đ mau chóng ghi k t quộ ộ ố ộ ố ố ể ế Bài 2: Cho tam gi c ABC , ỏ µ

60

B= , BC = 8cm; AB + AC = 12cm Tính đ dài c nhộ AB

L i gi i s lờ ả ượ :c

K AH ẻ ⊥ BC Đ t AB = 2x T tính đặ ược BH = x AH = x ; HC = – x

Áp d ng đ nh lí Pitago ta cho tam giác AHC vng t i Hụ ị

Ta cú: AC = ( )2 ( )2

3

x + −x = 4x2−16x+64

Do AB + AC = 12 n n 2x + 4x2−16x+64 = 12

Gi i PT ta đả ược : x = 2,5 AB = 2.2,5 = 5cm

Chú ý: Ta tính chu vi tam giác ABC = 20cm Di n t ch tam gi c ABC = ệ ỏ 10 3cm

Bài 3: Cho tam gi c ABC vu ng t i A cú BD phõn gi c Bi t r ng AD = 1cm;ỏ ụ ỏ ế ằ BD = 10cm Tính đ dài c nh BC (nh p k t qu dộ ậ ế ả ướ ại d ng s th pố ậ phân)

Bài gi i s lả ược

Áp d ng đ nh lí Pitago tính đụ ị ược AB = 3cm Đ t BC = x , dùng Pitago tính đặ ược AC = x2−9

Do AD = n n DC = x2−9 – x

x 10

4

D C B

A

10cm X

X

H K

D C

B A

2x 12

15,6

// //

K

H C

B

A

AB AD

BC = DC hay

3

9

x = x − − T ta đừ ược phương tr nh 8xỡ – 6x – 90 =

X d ng m y t nh t m đử ụ ỏ ỡ ược x = 3,75cm Tr l i : ả BC = 3,75cm

Bài 4: Cho tam gi c ABC vu ng t i A; BD phõn gi c Bi t AD = 4cm;ỏ ụ ỏ ế BD = 10cm T nh di n t ch tam gi c ABC.ớ ệ ỏ

(Nh p k t qu dậ ế ả ướ ại d ng phân s ) ố - Hướng d n: Gi i gi ng nh Chú ý nh p k t qu ẫ ả ố ậ ế ả theo y u c u ầ

Bài 5: Cho h nh thang cõn ABCD, đáy l n CD = 10cm, đáy nh b ng đỡ ỏ ằ ường cao, đường chéo vng góc v i c nh bên Tính đ dài đớ ộ ườ ng cao c a ủ

h nh thang cõn đó.ỡ

Bài gi i s lả ượ :c

K AH ẻ ⊥ CD ; BK ⊥ CD Đ t AH = AB = x ặ ⇒ HK = x ∆AHD = ∆BKC (c nh huy n- gúc nh n) ề ọ

Suy : DH = CK = 10

2

x

−

V y HC = HK + CK = x + ậ 10

2

x

−

= 10

2

x+

Áp d ng h th c lụ ệ ứ ượng cho tam giác ADC vng A có đở ường cao AH Ta cú : AH2 = DH CH hay 10 .10

2

x x

x = − + ⇔5x2 = 100

Gi i phả ương tr nh tr n ta đỡ ược x = x = – 5(lo i)ạ V y : AH = ậ

Bài 6: Cho tam giác ABC cân t i A, đạ ường cao ng v i c nh đáy có đ dài ứ ộ

15,6cm, đường cao ng v i c nh bên dài 12cm Tính đ dài c nhứ ộ đáy BC

Bài gi i s lả ượ :c

Đ t BC = 2x, t tính ch t c a tam giác cân ta suy CH = xặ ấ ủ Áp d ng đ nh lí Pitago tính đụ ị ược AC = 15,62+x2

T hai tam giác vuông KBC HAC đ ng d ng ta đừ ược: BC KB

AC = AH hay 2

2 12

15,6 15,6

x

x =

+

Đ a v phư ề ương tr nh 15,6ỡ 2 + x2 = 6,76x2

Gi i phả ương tr nh tr n ta đỡ ược nghi m dệ ương x = 6,5 V y BC = 2.6,5 = 13(cm)ậ

Bài 7: T nh gi tr c a bi u th c :ớ ỏ ị ủ ể ứ

A = cos2 10 + cos2 20 + cos2 30 + + cos2 870 + cos2 880 + cos2 890 – 1

y x

108 cm108cm22

D C

B A

Hướng d n: ẫ α + β = 900 ⇒ sinα = cosβ; cosα = sinβ; cos450 =

2 ta được:

A = cos2 10 + cos2 20 + cos2 30 + + cos2 870 + cos2 880 + cos2 890 – 1

2

= (cos2 10 + cos2890) + (cos220 + cos2880) + +(cos2 440 + cos2460)+cos2450 – 1

2

= (cos2 10 + sin210) + (cos2 20 + sin220) + + (cos2 440 + sin2440) +

2

2

   ÷  ÷   –

1

= 1.44 = 44

Bài t p tậ ương tự: T nh gi tr c c bi u th c sau: ớ ỏ ị ỏ ể ứ

a) B = sin2 10 + sin2 20 + sin2 30 + + sin2 870 + sin2 880 + sin2 890 – 1

2

b) C = tg210 tg220 tg230 tg2870 tg2880 tg2890

c) D = (tg2 10 : cotg2 890) + (tg2 20 : cotg2 880) + + (tg2 440 : cotg2 460) + tg2

450

Bài 8: Cho h nh ch nh t ABCD cú di n t ch 108cmỡ ữ ậ ệ 2 Bi t AB – BC = 3cm T nhế ớ

chu vi

c a h nh ch nh t ABCD ?ủ ỡ ữ ậ

Hướng d n: Đ t AB = x (cm) BC = y(cm) v i x >y Tính x y r i suy ẫ ặ chu vi c a h nh ch nh t b ng 2(x + y)ủ ỡ ữ ậ ằ

C ch 1ỏ : Ta cú SABCD = x.y hay x.y = 108

T x – y = Suy (x – y)ừ 2 = hay (x + y)2 – 4xy = (1)

Thay xy = 108 vào (1) ta (x + y)2 = 441 ⇒ x + y = 21

K t h p v i gi thi t x – y = ta đế ợ ả ế ược k t qu x = 12 y = 9ế ả V y chu vi c a h nh ch nh t 2(12 + 9) = 42 cmậ ủ ỡ ữ ậ

C ch 2ỏ : T x – y = ⇒ y = x – thay vào đ ng th c x y = 108 ta đẳ ứ ượ c phương tr nh:ỡ

x (x – 3) = 108 ⇔x2 – 3x – 108 = (1)

⇔x2 – 12x + 9x – 108 = 0

⇔( x – 12)(x + 9) =

Nghi m dệ ương c a phủ ương tr nh x = T t m y tr l i k t qu ỡ ỡ ả ế ả L u ý: Gi i phư ả ương tr nh (1) tr n m y t nh đ đ a k t qu nhanh h n.ỡ ỏ ể ế ả Bài t p tậ ương tự: Cho tam gi c ABC vu ng t i A cú di n t ch 504 dmỏ ụ ệ 2.

Bi t AB – AC = 47dm.ế

Tính đ dài AB AC.ộ

Hướng d n: AB = x ; AC = y ta có: x – y = 47 x.y = 1008 T ta đẫ ược phươ ng tr nh:ỡ

x2 – 47x – 1008 = Nghi m dệ ương máy tính x = 63

Tr l i: AB = 63 cm ; AC = 16cmả

Bài 9: Cho tam gi c ABC vu ng t i A, BC = ỏ ụ 5cm H nh vu ng ADEF c nh b ngỡ ụ ằ cm cú

D ∈ AB , E ∈ BC , F ∈ AC Bi t AB > AC ế

9

ADEF ABC

= = //

//

F E

D C

B A

b c

a // //

2 1

M D I

C B

A

A

/ /

9

N

Hướng d n: Đ t AB = x , AC = y( x > y > 0) Ta có xẫ ặ 2 + y2 = ( )3 5 2= 45 (1)

H nh vu ng ADEF cú c nh b ng n n ỡ ụ ằ SADEF =4

Mà

9

ADEF ABC

S = S n n Sờ ABC = 9.Do đó: x.y = 18 hay 2xy =36(2)

T (1) (2) suy ra: (x + y)ừ 2 = 81 (x – y)2 =

Do x > y > n n x + y = x – y =

V y x = y = ậ Tr l iả : AB = (cm) AC = (cm)

Bài 10: Cho tam giác ABC vuông A, AB < AC; G i I giao m đở ọ ể ường phân giác ,

M trung m BC Cho bi t ể ế ·BIM =900

T nh BC : AC : AB ?ớ

Hướng d nẫ : Chỳ ý ·BIM =900; I giao m để ường phân giác

ta tính đượ ·c DIC=450, t ch ng minh đừ ứ ược BC = 2CD

và AB = 2AD X d ng tính ch t đử ụ ấ ường phân giác BD

k t h p v i đ nh lý pitago ta t m đế ợ ị ỡ ược m i quan h gi a ố ệ ữ ba c nh tam gi c.ạ ỏ

L i gi iờ ả : Đ t BC = a ; AC = b ; AB =c ; D = BI ặ I AC µI2 = +µB1 Cµ1 (gúc ngồi tam gi c BIC)ỏ

= 1(· · )

2 ABC ACB+ =

0

1

.90 45

2 = (do BI CI phõn gi c c a c c gúc B C ỏ ủ ỏ ∆ABC vu ng A); k t h p v i gi thi t ụ ế ợ ả ế ·

90

BIM = ta đượ µc I1=450 V y ậ ∆CIM = ∆CID (g.c.g)

Do : CM = CD mà BC = 2CM nên BC = 2CD hay a = 2CD (1) BD phõn gi c c a tam gi c ABC n n ỏ ủ ỏ AB AD

BC = DC hay

AB BC

AD =CD=

V y AB = 2AD hay c = 2AD (2)ậ

T (1) (2) ta đừ ược a + c = 2CD + 2AD = 2(CD + AD) = 2AC = 2b (3) Mà a2 – c2 = b2 hay (a – c)(a + c) = b2 k t h p v i a + c = 2b ta đế ợ ớ ược a – c =

2

b

(4) C ng (3) (4) v theo v ta độ ế ế ược 2a =

2

b

V y a = ậ

b

Do c =

b

V y a : b : c = ậ : :3

4

b b

b = 5:1:3

4 = (

.4

4 ): (1.4) : (

4.4) = : :

Tr l i: BC : AC : AB = : : 3ả

L u ý: Bài to n đư ỏ ược trích t Quy n “Nâng cao phát tri n Toán 9- Vũ H u B nh” cú s aừ ể ể ữ ỡ đ i đ phù h p v i đ thi tr c nghi m ổ ể ợ ề ắ ệ

Bài 11: Tính đ dài c nh AB c a tam giác ABC vuông t i A có hai độ ủ ường trung n AM vàế BN l n lầ ượ ằt b ng cm cm

Hướng d nẫ : Đ t AB = x ; AN = y ặ ⇒ AC = 2y

Áp d ng tính ch t đụ ấ ường trung n tam giác vuông ng v i c nh huy n ta đế ứ ề ược BC = 2AM = 2.6 = 12 cm

Dùng đ nh lí Pitago cho hai tam giác vng ABC ABN vuông t i Aị Ta được: x2 + 4y2 = 144 (1) x2 + y2 = 81 ⇔ y2 = 81 – x2 (2)

// //

10 13

K

H C

B

A

x2 + 4( 81 – x2 ) = 144

Thu g n phọ ương tr nh tr n ta đỡ ược phương tr nh : 3xỡ 2 = 180

Nghi m dệ ương c a phủ ương tr nh : x = ỡ Tr l i: AB = ả cm

Bài 12: Cho tam gi c ABC cõn t i A cú AB = AC = 13cm ; BC = 10cm T nh cos A ỏ Hướng d nẫ : K đẻ ường cao AH BK T tính ch t c a tam giác cân ấ ủ đ nh lí Pi ta go ta tính đị ược CH = 5cm ; AH = 12 cm

X d ng c p tam giác đ ng d ng KCB HCA ta tính đử ụ ặ ược CK = 50

13 ⇒ AK = 119

13 V y cos A = ậ

AK AB =

119

13 : 13 = 119 169 Tr l i: cos A = ả 119

169

CHUYÊN Đ T CH N NÂNG CAO HèNH 9Ề Ự Ọ

CH ĐỦ Ề : H TH C LỆ Ứ ƯỢNG TRONG TAM GIÁC VNG

• H th c lệ ứ ượng tam giác vuông A- Nh c l i l thuy t :ắ ớ ế

Cho tam gi c ABC cú Â = 90ỏ 0, g i AB = c , AC = b , BC = a Ta có m t s công th c nh sau:ọ ộ ố ứ ư

c b

c' h

b'

b2 = ab'

c2 = ac '

bc = ah h2 = b' c '

1 h2=

1 b2+

1 c2

H

B C

A

B- M t s t p p d ng:ộ ố ậ ỏ ụ

BT1 : ( SBT Toán T p )C nh huy n c a m t tam giác vuông l n h n m t c nh góc vngậ ề ủ ộ ộ cm t ng c a hai c nh góc vng l n h n c nh huy n 4cm Hóy t nh c c c nh gúcổ ủ ề ỏ c a tam gi c này?ủ ỏ

HD:

b a

c

c - 1=a; a+b- c =4; a2+b2=c2

Suy r a b =5 ; Thay a = c - & b =5

→ ( c - 1)2+52=c2

A B

C

T có c = 13cm a = 12 cmừ

BT 2: Cho tam giác ABC vuông t i A, v đạ ẽ ường cao AH Chu vi c a tam giác ABH 30 cmủ chu vi tam giác ACH 40 cm Tính chu vi tam giác ABC

F E

H B

C A

AHB ∼ CHA → p1 p2=

AB AC=

3

4= = BC

5 Suy r a AB

3 = AC

4 = BC

5 & AHB ∼ CHA ∼ CAB

H

B C

A

T tính đừ ược chu vi ∆ABC b ng 50 cm.ằ

BT 3: Cho tam gi c ABC vu ng t i A có dỏ ụ ường phân giác AF Bi t BD = 3cm, DC = 4ế cm T nh c c c nh c a tam gi c ABC ?ớ ỏ ủ ỏ

HD: Theo tính ch t c a đấ ủ ường phõn gi c thỏ ỡ

2 2

3 49

4 16 25 25

AB DB AB AC AB AC BC

suyra

AC = DC = = = = = = T tính đừ ược AB, BC, AC

Đáp số AB = 4,2cm; AC = 5,6 cm; BC = cm

BT 4: Cho tam giác ABC vuông t i A Trên AB l y m D, AC l y m E Ch ngạ ấ ể ấ ể ứ minh: CD2 + BE2 = CB2 + DE2 .

HD: Áp d ng Pytago cho c c tam gi c ADC, ABEụ ỏ ỏ

CD2=AD2+AC2 & BE2= AB2+AE2

CD2+BE2=AD2+ AC2+AB2+AE2

ma AC2+AB2=BC2& AD2+AE2=DE2

C

A B

E

D

BT : Cho tam giác ABC vuông t i A Đạ ường cao AH, k HE, HF l n lẻ ầ ượt vng góc v iớ AB, AC Ch ng minh r ng:ứ ằ

a)

3

FB AB FC AC

 

=  ÷

b) BC BE CF = AH3

HD: H nh v b n ỡ ẽ

a) Trong AHB∆ cú HB2 = BE BA (1) ; AHC∆ cú HC2 = CF CA (2 ) T (1) (2) cú : HB22 BE AB

HC = FC AC Trong ABC∆ cú :AB2 = BH BC AC2 = HC BC

suy

2

2

HB AB HB AB

HC AC HC AC

   

= ⇔ ÷ = ÷

   

V y ậ

3

EB AB FC AC

 

=  ÷

b) ABC EBH BE BH BA BC

∆ : ∆ → = Thay

2

2

AB AB

BH BE

BC BC