day them tich phan

Bài tập về nguyên hàm & tích phân Thầy: Hồ Ngọc Vinh NGUYÊN HÀM I) Đònh nghóa nguyên hàm : Cho 2 hàm số F(x) và f(x) xác đònh trên tập D. F(x) gọi là 1 nguyên hàm của f(x) ⇔ F’(x) = f(x), ∀x∈D II) Đònh nghóa tích phân không xác đònh : Ta biết rằng 1 hàm số y = f(x) có nhiều nguyên hàm. Những nguyên hàm này sai khác nhau 1 hằng số. Tập hợp các nguyên hàm này lại với nhau được gọi là tích phân không xác đònh của hàm f(x). Ký hiệu : ( ) ( ) f x dx F x C= + ∫ . (Họ các nguyên hàm) III) Bảng các nguyên hàm : dx x C= + ∫ ( ) 1 x x dx C 1 1 α+ α = + α ≠ − α + ∫ dx ln x C x = + ∫ x x e dx e C= + ∫ x x a a dx C lna = + ∫ cos xdx sin x C= + ∫ sin xdx cosx C= − + ∫ = + ∫ 2 dx tan x C cos x = − + ∫ 2 dx cotx C sin x kdx kx C= + ∫ ( ) ( ) ( ) α+ α + + = + α ≠ − ≠ α + ∫ 1 ax b 1 ax b dx C; 1,a 0 a 1 ( ) = + + ≠ + ∫ dx 1 ln ax b C; a 0 ax b a ax b ax b 1 e dx e C a + + = + ∫ ( ) ( ) 1 cos ax b dx sin ax b C a + = + + ∫ ( ) ( ) 1 sin ax b dx cos ax b C a + = − + + ∫ ( ) ( ) = + + + ∫ 2 dx 1 tan ax b C a cos ax b ( ) ( ) = − + + + ∫ 2 dx 1 cot ax b C a sin ax b TÍCH PHÂN I) Đònh nghóa tích phân xác đònh : Giả sử hàm số f(x) liên tục trên tập K; a,b là 2 phần tử thuộc tập K F(x) là 1 nguyên hàm của f(x) trên K Hiệu số F(b) – F(a) được gọi là tích phân xác đònh của f(x) trên [a;b] Ký hiệu : ( ) b a f x dx ∫ Ta có : ( ) ( ) ( ) ( ) b b a a f x dx F x F b F a = = −    ∫ Biểu thức f(x)dx được gọi là biểu thức dưới dấu tích phân, f(x) là hàm số dưới dấu tích phân, f(x)dx được gọi là vi phân của mọi nguyên hàm f(x) a là cận trên, b là cận dưới, x là biến số lấy tích phân II) Tính chất : Giả sử f(x), g(x) liên tục trên K; a,b ∈ K 1) ( ) a a f x dx 0= ∫ 2) ( ) ( ) b a a b f x dx f x dx= − ∫ ∫ Bài tập về nguyên hàm & tích phân Thầy: Hồ Ngọc Vinh 3) 4) ( ) ( ) b b a a kf x dx k f x dx= ∫ ∫ 5) ( ) ( ) ( ) ( ) b b b a a a f x g x dx f x dx g x dx± = ±    ∫ ∫ ∫ 6) ( ) ( ) ( ) ( ) b c b a a c f x dx f x dx f x dx c a;b= + ∈    ∫ ∫ ∫ 7) ( ) [ ] ( ) b a f x 0, x a;b f x dx 0≥ ∀ ∈ ⇒ ≥ ∫ 8) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) b b a a f x g x , x a;b f x dx g x dx≥ ∀ ∈ ⇒ ≥ ∫ ∫ 9) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) b a m f x M, x a;b m b a f x dx M b a≤ ≤ ∀ ∈ ⇒ − ≤ ≤ − ∫ 10) [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) t a t biến thiên trên đoạn a; b G t f x dx là 1 nguyên hàm của f t và G a 0⇒ = = ∫ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN 1) Diện tích hình phẳng : Diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2 đường cong: y 1 = f 1 (x), y 2 = f 2 (x) và 2 đường thẳng x = a, x = b, trong đó y 1 , y 2 là 2 hàm số liên tục trên [a;b] được tính bởi công thức sau : ( ) ( ) b 1 2 a S f x f x dx = − ∫ 2) Thể tích vật thể tròn xoay : • Cho đường cong (C) : y = f(x) liên tục trên [a;b] có đồ thò là (C). Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi (C), Ox, x = a, x = b. Cho hình phẳng (H) quay tròn xoay 1 vòng quanh Ox ta được 1 vật thể tròn xoay có thể tích là : ( ) 2 b b 2 Ox a a V y dx f x dx = π =π     ∫ ∫ • Cho đường cong (C) : x = g(y) liên tục trên [a;b] có đồ thò là (C). Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi (C), Ox, y = a, y = b. Cho hình phẳng (H) quay tròn xoay 1 vòng quanh Oy ta được 1 vật thể tròn xoay có thể tích là : ( ) 2 b b 2 Oy a a V x dy g y dy = π = π     ∫ ∫ (Dành cho ban nâng cao!) Bài tập về nguyên hàm & tích phân Thầy: Hồ Ngọc Vinh Chủ đề III : BÀI TẬP NGUN HÀM I. Tìm ngun hàm bằng định nghĩa và các tính chất 1/ Tìm ngun hàm của các hàm số. 1. f(x) = 2 4 32 x x + ĐS. F(x) = C x x +− 3 3 2 3 2. f(x) = 2 22 )1( x x − ĐS. F(x) = C x x x ++− 1 2 3 3 3. f(x) = 3 21 xx − ĐS. F(x) = Cxx +− 3 2 32 4. f(x) = 2 sin2 2 x ĐS. F(x) = x – sinx + C 5. f(x) = (tanx – cotx) 2 ĐS. F(x) = tanx - cotx – 4x + C 6. 14. f(x) = xx x 22 cos.sin 2cos ĐS. F(x) = - cotx – tanx + C 7. f(x) = 2sin3xcos2x ĐS. F(x) = Cxx +−− cos5cos 5 1 8. f(x) = e x (2 + ) cos 2 x e x − ĐS. F(x) = 2e x + tanx + C 9. f(x) = 2a x + 3 x ĐS. F(x) = C a a xx ++ 3ln 3 ln 2 10. 2 2 f(x) 1 x = - 11/ 2 5 f(x) x 3x 2 = - + ; 12/ f(x) sin 7x cos 5x cos x= 13/ 2 17x f(x) 10x 13x 3 = + - 14. f(x) = 4 3 xxx ++ ĐS. F(x) = C xxx +++ 5 4 4 3 3 2 4 5 3 4 2 3 15. f(x) = 2 2 ( 1)x x − 16. f(x) = 3 1 x x − ĐS. F(x) = Cxx +− 3 2 3 5 17. f(x) = tan 2 x ĐS. F(x) = tanx – x + C 18. f(x) = cos 2 x ĐS. F(x) = Cxx ++ 2sin 4 1 2 1 19. f(x) = xx 22 cos.sin 1 ĐS. F(x) = tanx - cotx + C 20. f(x) = sin3x ĐS. F(x) = Cx +− 3cos 3 1 21. f(x) = 2sin3xcos2x ĐS. F(x) = Cxx +−− cos5cos 5 1 22. f(x) = e x (e x – 1) ĐS. F(x) = Cee xx +− 2 2 1 23. f(x) = e 3x+1 ĐS. F(x) = Ce x + + 13 3 1 2/ Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x), thoả mãn điều kiện ? 1. f(x) = 2 – x 2 và F(2) = 7/3 ĐS. F(x) = 1 3 2 3 +− x x 2. f(x) = 4 xx − và F(4) = 0 ĐS. F(x) = 3 40 23 8 2 −− xxx 3. f (x) = 4x 3 – 3x 2 + 2 và F(-1) = 3 ĐS. F(x) = x 4 – x 3 + 2x + 3 Bài tập về nguyên hàm & tích phân Thầy: Hồ Ngọc Vinh 4. 1x2x 1x3x3x )x(f 2 23 ++ −++ = , 3 1 F(1) = ĐS ? II. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUN HÀM 1.Phương pháp đổi biến số. Tính I = ∫ dxxuxuf )(')].([ bằng cách đặt U = u(x) Đặt U = u(x) '( )dU u x dx⇒ = I = [ ( )]. '( ) ( )f u x u x dx f U dU= ∫ ∫ Tìm ngun hàm của các hàm số sau: 1. ∫ + xdxx 72 )12( ; 2. ∫ + dxxx 243 )5( ; 3. xdxx .1 2 ∫ + ; 4. ∫ + dx x x 5 2 ; 5a. ∫ + dx x x 3 2 25 3 ; b. ∫ + 1 x e dx 6. ∫ + 2 )1( xx dx ; 7. dx x x ∫ 3 ln ; 8. ∫ + dxex x 1 2 . ; 9. ∫ dx x x 5 cos sin ; 10. ∫ gxdxcot ; 11. ∫ x tgxdx 2 cos ;12. ∫ x dx sin ; 13. ∫ x dx cos ; 14. ∫ dx x e x ; 15. ∫ − 3 x x e dxe ; 16. ∫ dx x e tgx 2 cos ; 17. ∫ xdxx 23 sincos ; 18. dxxx .1 ∫ − ; Cố gắng các em nhé ! 2. Phương pháp lấy ngun hàm từng phần. Nếu u(x) , v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên K thì ∫ ∫ −= dxxuxvxvxudxxvxu )(').()().()(').( Hay ∫ ∫ −= vduuvudv ( với du = u’(x)dx, dv = v’(x)dx) Tìm ngun hàm của các hàm số sau: 19. ∫ + xdxx sin)5( 2 ; 20. ∫ ++ xdxxx cos)32( 2 ; 21. ∫ xdxx 2sin ; 22. ∫ xdxx 2cos ; 23. ∫ dxex x . ; 24. ∫ xdxln 25 ∫ xdxx ln ; 26. dxx ∫ 2 ln ; 27. ∫ x xdxln ; 28. ∫ dx x x 2 cos ; 29. ∫ dxxsin ; 30. ∫ + dxx )1ln( 2 ; 31. ∫ xdxe x cos. ; 32. ∫ dxex x 2 3 ; 33. ∫ + dxxx )1ln( 2 ; 34. ∫ xdx x 2 ; 35. ∫ xdxxlg ; 36. ∫ + dxxx )1ln(2 ; 37. ∫ + dx x x 2 )1ln( ; 38. ∫ xdxx 2cos 2 TÍCH PHÂN VÀ ÚNG DỤNG. DẠNG 1 : Tính tích phân bằng đònh nghóa PP : Biến đổi hàm số dưới dấu tích phân về dạng tổng hiếu các hàm số có nguyên hàm Bài 1 : Tính các tích phân : 1/ dxxx )1( 2 1 0 + ∫ ; 2/ dxxxx )1( 2 16 1 − ∫ ; 3/ dx x xx ∫ +− 8 1 3 2 35 ; 4/ dx xx x ∫ − 4 1 3 )1( Bài 2 : Tính các tích phân : 1/ dx x ∫ − 2 1 35 3 ; 2/ dx x x ∫ − − 2 1 21 12 ; 3/ dx x xx ∫ − +− 5 4 2 3 52 ; 4/ dx xx x ∫ +− − 5 4 2 23 32 ; 5/ dx xx ∫ +− 5 4 2 23 1 6/ dx xx x ∫ +− − 4 3 2 23 3 ; 7/ dx xx ∫ +− 5 4 2 96 3 ; 8/ dx xx x ∫ +− − 5 4 2 96 12 ; 9/ dx x x 2 2 1 3 1 ∫       − + ; 10/ dx x x ∫ + 1 0 2 3 1 Bài 3 : Tính các tích phân : Bài tập về nguyên hàm & tích phân Thầy: Hồ Ngọc Vinh 1/ ∫ 2 0 cos3cos π xdxx ; 2/ ∫ 2 0 sin2sin π xdxx ; 3/ ∫ 2 0 3sincos π xdxx ; 4/ ∫ 2 0 5cos2sin π xdxx 5/ ∫ 2 0 4 cos π xdx ; 6/ ∫ 3 6 22 cossin 1 π π dx xx ; 7/ ∫ 3 6 22 cossin 2cos π π dx xx x ; 8/ dx x e e x x ) cos 3( 4 0 2 ∫ − + π DẠNG 2 : Phương pháp đổi biến dạng 2 * p dụng cho những tích phân có dạng ∫ b a dxxuxuf )(')].([ ( trong đó u(x) là hàm số biến x) *Phương pháp: + Đặt U = u(x) ⇒ dU = u’(x)dx + Đổi cận : Khi x = a ⇒ U = u(a), khi x = b ⇒ U= u(b) + Thay thế : Khi đó ∫ b a dxxuxuf )(')].([ = ( ) ( ) ( ) u b u a f U dU ∫ . *Chú ý : Thường đặt u là căn, mũ, mẫu, . Bài 1 :Tính các tích phân : 1/ ∫ + 8 3 1 dx x x ; 2/ ∫ + 1 0 815 1 dxxx ; 3/ ∫ + 1 0 1 dx x x ; 4/ ∫ − 2ln 0 1dxe x ; 5/ ∫ + 2 1 2 1 xx dx ; 6/ ∫ − 2 3 21 2 1 xx dx Bài 2 : Tính các tích phân : 1/ xdxe x ∫ +− 1 0 2 2 ; 2/ xdxe x cos 2 0 sin21 ∫ + π ; 3/ dxee xe x ∫ 1 0 ; 4/ ∫ e x x dxe 1 ln ; 5/ dx x e tgx ∫ 2 0 2 cos π ; 6/ dx x e tgx ∫ 2 0 2 cos π Bài 3 :Tính các tích phân : 1/ dx x x ∫ + 2 0 cos21 sin π ; 2/ dx xx e e ∫ 2 ln 1 ; 3/ ∫ 1 0 sin dxee xx ; 4/ ∫ − + 1 0 dx ee e xx x ; 5/ ∫ + 27 1 3 )1( dx xx dx ; 6/ ∫ π 0 4 cos xdx 7/ ∫ − + 2ln 0 xx ee dx ; 8/ ∫ 2 6 3 sin cos π x dx x x ; 9/ ∫ − 2ln2 2ln 1 x e dx ; 10/ ∫ + 2 0 33 3 cossin sin π dx xx x ; 11/ 3 2 3 3 0 cos sin cos x dx x x π + ∫ DẠNG 3 : Phương pháp tích phân từng phần * p dụng cho những tích phân có dạng ∫ b a dxxvxu )(').( ( trong đó u(x), v’(x) là những hàm số biến x) *Phương pháp: Bài tập về nguyên hàm & tích phân Thầy: Hồ Ngọc Vinh + Đặt    = = dxxvdv xuu )(' )( ta có    = = )( )(' xvv dxxudu Khi đó ∫ b a dxxvxu )(').( = b a xvxu )()( - ∫ b a dxxvxu )().(' *Chú ý : - Đặt u theo thứ tự ưu tiên : Logarit(lôcNêpe), đa thức, … . - Sau khi đặt u, toàn bộ phần còn lại là dv( cụ thể Thầy đã dạy ở phần lý thuyết) Bài tập : Tính các tích phân sau : 1/ ∫ 2 0 cos π xdxe x ; 2/ ∫ 2 4 2 sin π π dx x x ; 3/ ∫ π 0 2 cos sin dx x xx ; 4/ ∫ + 1 0 2 )1ln( dxxx ; 5/ ∫ e dxx 0 2 )(ln ; 6/ ∫ + + 2 6 cos1 sin π π dx x xx 7/ ∫ 2 0 2 sin π xdxx ; 8/ ∫ − e dxx 1 2 )ln1( ; 9/ ∫ e e dxx 1 ln ; 10/ ∫ 2 0 sin π xdxe x ;11/ ∫ + 1 0 )1ln( dxxx ; 12/ dx x x e e ∫       − 2 ln 1 ln 1 2 DẠNG 3 : Phương pháp đổi biến dạng 1 * p dụng cho những tích phân có chứa các biểu thức 22 xa − , 22 1 xa + mà không thể tính bằng các phương đã học . *Phương pháp: + Đặt biến mới -Dạng chứa 22 xa − : Đặt x = asint, t       −∈ 2 ; 2 ππ - Dạng chứa 22 1 xa + : Đặt x = atant, t       −∈ 2 ; 2 ππ + Các bước tiếp theo : đổi cận, thay thế tương tự như phương pháp đổi biến dạng 2 Bài tập : Tính các tích phân sau : 1/ ∫ − a dxxax 0 222 ( a > 0 ) 2/ dx x x ∫ − 1 22 2 2 1 3/ ∫ − e xx dx 1 2 ln4 4/ dxxx ∫ ++− 1 0 2 32 5/ ∫ + 3 0 2 9 1 dx x 6/ ∫ − ++ 1 1 2 52 1 dx xx 7/ ∫ − 3 1 22 4 1 dx xx 8/ ∫ − 1 0 22 1 dxxx 9/ ∫ + 2 1 22 4 1 dx xx ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN BÀI TOÁN 1 : Cho hàm số ( ) y f x= liên tục trên [ ] ;a b . Khi đó diện tích hình phẳng (D) giới hạn bởi (Chỉ Thầy Trò ta ký hiệu thế này thôi nhé !!!  ) - Đồ thò hàm số ( ) y f x= - Trục Ox : ( 0y = ) - Hai đường thẳng ;x a x b= = Được xác đònh bởi công thức : ( ) b D a S f x dx= ∫ 1) Tính ? D S = , biết D giới hạn bởi đồ thò: 2 2y x x= − , 1, 2x x= − = và trục Ox . 2) Tính ? D S = , biết { } , 0, 1, 2 x D y xe y x x= = = = − = 3) Tính ? D S = với { } 2 4 , 1, 3D y x x x x= = − − = − = − Bài tập về nguyên hàm & tích phân Thầy: Hồ Ngọc Vinh 4) Tính ? D S = , với , 0, , 0 3 D y tgx x x y π   = = = = =     5) Tính ? D S = , 2 ln , 0, 1, 2 x D y y x x x   = = = = =     6) Tính ? D S = , ln 1, , 0, 2 x D x x e y y x   = = = = =     7) Tính ? D S = 2 3 1 , 0, 1, 0 1 x x D y x x y x   + + = = = = =   +   8) Tính ? D S = , 2 3 sin cos , 0, 0, 2 D y x x y x x π   = = = = =     BÀI TOÁN 2 : Diện tích hình phẳng giới hạn bởi… : (Xem kỷ lại lý thuyết Thầy đã dạy) + ( ) ( ) 1 :C y f x= , ( ) ( ) 2 :C y g x= + đường thẳng ,x a x b= = Được xác đònh bởi công thức: ( ) ( ) b a S f x g x dx= − ∫ PP giải: B1: Giải phương trình : ( ) ( ) f x g x= tìm nghiệm ( ) 1 2 , , ., ; n x x x a b∈ ( ) 1 2 . n x x x< < < B2: Tính ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 1 . , ., n n x x b a x x x b a x S f x g x dx f x g x dx f x g x dx f x g x dx f x g x dx = − + − + + − = − + + − ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 1) Tính ? D S = , ( ) { } 5 1 , , 0, 1 x D y x y e x x= = + = = = 2)Tính ? D S = , 2 2 1 1 , , , sin cos 6 3 D y y x x x x π π   = = = = =     3) Tính ? D S = , [ ] { } 2 2 sin , 1 cos , 0;D y x y x x π = = + = + ∈ 4) Tìm b sao cho diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thò ( ) 2 2 : 1 x C y x = + và các đường thẳng 1, 0,y x x b= = = bằng 4 π BÀI TOÁN 3: Hình phẳng (D) giới hạn bởi đồ thò: ( ) ( ) , ,y f x y g x x a= = = . Khi đó diện tích ( ) ( ) ( ) 0 x a S f x g x dx= − ∫ với 0 x là nghiệm duy nhất của phương trình ( ) ( ) f x g x= . 1) Tính ? H S = , với { } , , 1 x x H y e y e x − = = = = 2) Tính ? H S = , { } 2 1 , , 1H y x x Ox x= = + = 3) Tính ? D S = 3 1 , , 1 x D y Ox Oy x − −   = =   −   4) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi : 2 ; 3 ; 0 x y y x x= = − = 5) Tính ? H S = , { } , 2 0, 0H x y x y y= = + − = = BÀI TOÁN 4: Tính diện tích hình phẳng ( ) D giới hạn bởi đồ thò hai hàm số: ( ) ( ) ;y f x y g x= = PP giải: B1 : Giải phương trình ( ) ( ) 0f x g x− = có nghiệm 1 2 . n x x x< < < B2: Ta có diện tích hình ( ) D : ( ) ( ) 1 n x D x S f x g x dx= − ∫ Bài tập về nguyên hàm & tích phân Thầy: Hồ Ngọc Vinh 1) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: 2 2y x x= − ; 2 4y x x= − + 2) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: 2 2y x x= − + và 3y x= − 3) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: 2 2 0y y x− + = và 0x y+ = 4) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: 2 5 0y x+ − = và 3 0x y+ − = 5) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: 2 4 3y x x= − + và 3y x= + 6) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2 4 4 x y = − và 2 4 2 x y = :ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍNH THỂ TÍCH BÀI TOÁN I: “Tính thể tích của vật thể tròn xoay khi quay miền D giới hạn bởi các đường: ( ) y f x= ; 0y = ; ( ) ; ;x a x b a b= = < xung quanh trục Ox ”. PP giải: Ta áp dụng công thức ( ) 2 2 b b Ox a a V y dx f x dx π π = = ∫ ∫ Chú ý: “Tính thể tích của vật thể tròn xoay khi quay miền D giới hạn bởi các đường: ( ) x f y= ; 0x = ; ( ) ; ;y a y b a b= = < xung quanh trục Oy ”. PP giải: Ta áp dụng công thức ( ) 2 2 b b Oy a a V x dy f y dy π π = = ∫ ∫ 1) Cho hình phẳng D giới hạn bởi : , 0, 0, 3 D y tgx y x x π   = = = = =     a) Tính diện tích hình phẳng D b) Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra khi D quay quanh trục Ox 2) Cho hình phẳng ( ) D giới hạn bởi ( ) 2 : 8P y x= và đường thẳng 2x = . Tính thể tích khối tròn xoay khi lần lượt quay hình phẳng ( ) D quanh trục Ox . BÀI TOÁN II : “Tính thể tích của vật thể tròn xoay khi quay miền D giới hạn bởi các đường: ( ) y f x= ; ( ) y g x= ; ( ) ; ;x a x b a b= = < xung quanh trục Ox ”. PP giải: Ta áp dụng công thức ( ) ( ) 2 2 b Ox a V f x g x dx π = − ∫ 1) Tính thể tích khối tròn xoay khi quay quanh Ox hình phẳng D giới hạn bởi các đường: 2 1 1; 2; ;x x y y x x = = = = 2) Cho hình phẳng D giới hạn bởi 2 2 4 ; 2y x y x= − = + . Quay D xung quanh Ox ta được một vật thể, tính thể tích của vật thể này. BÀI TẬP 1) Tính Ox V biết: { } ln , 0, 1,D y x x y x x e= = = = = 2) Cho D là miền giới hạn bởi đồ thò 2 ; 0; 0; 4 y tg x y x x π = = = = a) Tính diện tích miền phẳng D b) Cho D quay quanh Ox , tính thể tích vật thể tròn xoay được tạo thành. 3) Tính Ox V biết: 3 2 , 3 x D y y x   = = =     4) Tính Ox V biết: 4 4 0; 1 sin cos ; 0, 2 D y y x x x x π   = = = + + = =     5) Tính Ox V biết: { } 2 5 0; 3 0D x y x y= + − = + − = Bài tập về nguyên hàm & tích phân Thầy: Hồ Ngọc Vinh 6) Tính Ox V biết: { } 2 2 ; 2 4D y x y x= = = + 7) Tính Ox V biết: { } 2 2 4 6; 2 6D y x x y x x= = − + = − − + 8) Tính Ox V biết: { } 2 ;D y x y x= = = CÁC BÀI TẬP DỄ VÀ HAY! 1. x exy = , trục Ox, x=1, x = 2 ; 2. y = lnx , x =1 , x = 2 và trục Ox. 3.y = x 3 + 1, Ox, Oy và x = 1. ; 4. y = 1 – x 2 , y = 0. 5.y = cosx, y = 0, x = 0 và x = π .; 6. y = tanx , y = 0, x = 0 và x = 4 π . 7.y 2 = x 3 , y = 0, x = 1 y = sin 2 x; 8. y = 0, x = 0 và x = π . 9.y = 2 x xe , y = 0, x = 0, x = 1 ; 10. y = -x 2 + 2x, trục hoành. Bài tập tích phân từng phần 1. 3 3 1 ln e x dx x ∫ 2. 1 ln e x xdx ∫ 3. 1 2 0 ln( 1)x x dx + ∫ 4. 2 1 ln e x xdx ∫ 5. 3 3 1 ln e x dx x ∫ 6. 1 ln e x xdx ∫ 7. 1 2 0 ln( 1)x x dx + ∫ 8. 2 1 ln e x xdx ∫ 9. 2 0 ( osx)sinxx c dx π + ∫ 10. 1 1 ( )ln e x xdx x + ∫ 11. 2 2 1 ln( )x x dx + ∫ 12. 3 2 4 tanx xdx π π ∫ 13. 2 5 1 ln x dx x ∫ 14. 2 0 cosx xdx π ∫ 15. 1 0 x xe dx ∫ 16. 2 0 cos x e xdx π ∫ Tính các tích phân sau 1) ∫ 1 0 3 . dxex x 2) ∫ − 2 0 cos)1( π xdxx 3) ∫ − 6 0 3sin)2( π xdxx 4) ∫ 2 0 2sin. π xdxx 5) ∫ e xdxx 1 ln 6) ∫ − e dxxx 1 2 .ln).1( 7) ∫ 3 1 .ln.4 dxxx 8) ∫ + 1 0 2 ).3ln(. dxxx 9) ∫ + 2 1 2 .).1( dxex x 10) ∫ π 0 .cos. dxxx 11) ∫ 2 0 2 .cos. π dxxx 12) ∫ + 2 0 2 .sin).2( π dxxxx 13) 2 5 1 ln x dx x ∫ 14) 2 2 0 x cos xdx π ∫ 15) 1 x 0 e sin xdx ∫ 16) 2 0 sin xdx π ∫ 17) e 2 1 x ln xdx ∫ 18) 3 2 0 x sinx dx cos x π + ∫ 19) 2 0 xsin x cos xdx π ∫ 20) 4 2 0 x(2cos x 1)dx π − ∫ 21) 2 2 1 ln(1 x) dx x + ∫ 22) 1 2 2x 0 (x 1) e dx+ ∫ 23) e 2 1 (x ln x) dx ∫ 24) 2 0 cos x.ln(1 cos x)dx π + ∫ Bài tập về nguyên hàm & tích phân Thầy: Hồ Ngọc Vinh 25) 2 1 ln ( 1) e e x dx x + ∫ 26) 1 2 0 xtg xdx ∫ 27) ∫ − 1 0 2 )2( dxex x 28) ∫ + 1 0 2 )1ln( dxxx 29) ∫ e dx x x 1 ln 30) ∫ + 2 0 3 sin)cos( π xdxxx 31) ∫ ++ 2 0 )1ln()72( dxxx 32) ∫ − 3 2 2 )ln( dxxx