CHỦ ĐỀ 1: NGUYÊN HÀM 1.ĐỊNH NGHĨA:
Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng (a;b) nếu với mọi x
∈(a;b),ta có: F’(x) = f(x)
*Nếu thay khoảng (a;b) là đoạn [a;b] thì ta phải thêm F’(a+)=f(a) và F’(b-)=f(b)
2.ĐỊNH LÍ:
F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên (a;b) thì F(x) + C là họ nguyên hàm của f(x) trên (a;b)
Ta viết :∫ f x dx F x( ) = ( )+ ⇔C f(x)= F’(x)
3.CÁC TÍNH CHẤT CỦA NGUYÊN HÀM :
a) ( )'
( ) ( )
∫ b) ∫af x dx a f x dx( ) = ∫ ( ) ,(a≠0)
c) ∫ [f(x)+g(x)]dx= ∫ f(x)dx+∫ g(x)dx
d) ∫ f(t)dt= F(t) + C⇒ ∫ f(u)du= F(u) +C
4.SỰ TỒN TẠI NGUYÊN HÀM :
ĐỊNH LÍ :Mọi hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a ;b] đều có nguyên hàm trên đoạn đó 5.BẢNG CÁC NGUYÊN HÀM
Nguyên hàm của các hàm số sơ cấp Nguyên hàm của các hàm số hợp
1.∫ dx= x+C
2 ∫ x dx x 11
α α
α
+
=
+ +C
3 ∫ dx x = ln x +C
4 ∫ exdx= ex+ C
5 ∫ axdx =
ln
x
a
a +C , (0 < a≠1)
6 ∫ cosx dx= sinx +C
7 ∫ sinxdx = -cosx +C
8 2
cos
dx
x
∫ = tgx +C
9 2
sin
dx
x
∫ =-cotgx+C
tg
x=
11 dx =lntg(x+π
1.∫ du= u+C
2 ∫ u du u 11
α α
α
+
= + +C
3 ∫ du u = ln u +C
4 ∫ eudu= eu+ C
5 ∫ audu =
ln
u
a
a +C , (0 < a≠1)
6 ∫ cosudu= sinu +C
7 ∫ sinudu = -cosu +C
8 2 cos
du u
∫ = tgu +C
9 2 sin
du u
∫ =-cotgu+C
tg
11 du =lntg(u+π
Trang 212 ∫ tgxdx= -ln cos x +C
13 ∫ cotgxdx= ln sin x +C
14 2 2
1 ln 2
−
=
15 2dx 2 ln x x2 a2
±
2
x
∫
2 ln 2 2
2
a
17 2dx 2 arcsinx C
a
−
∫
+
∫
2
x
∫
2 arcsin 2
C a
12 ∫ tgudu= -ln cosu +C
13 ∫ cotgudu= ln sin u +C
14 2 2
1 ln 2
−
=
15 2du 2 lnu u2 a2
±
2
u
∫
2 ln 2 2
2
a
17 2du 2 arcsinu C
a
−
∫
+
∫
2
u
∫
2 arcsin 2
C a
Chứng minh một số công thức cơ bản :
tg
x =
tg x
π
Chứng minh :
10 Ta có :
sin cos sin cos
sin 2sin cos 2sin cos 2cos 2sin
x
+
ln cos ln sin ln
11.Ta có :cosx= sin(x+
2
π )=2sin( ) cos( )
kết quả
14 2 2
1 ln 2
−
=
Trang 3Ta có : 2 2
Do đó :I= 1 ( ) ( ) 1 ln
C
15 2dx 2 ln x x2 a2
±
Ta đặt :
2 2
2
2 2
+
2
x
2
a
Ta đặt:
xdx du
=
= + ⇒
+
=
+ −
2
ln
ln
dx
+
VẤN ĐỀ 1 :TÍNH NGUYÊN HÀM BẰNG CÁCH PHÂN TÍCH
DẠNG 1 :
I=∫x ax b dx a( + )α ;( ≠0)
( )
2
,( 0)
x dx
+
∫
*Sử dụng đồng nhất thức :x=1ax 1[(ax b) b]
Hoặc :
Trang 4VD1 :Tính I= ( )2002
1
∫
Cách 1 :Sử dụng cách đồng nhất thức :x=1-(1-x)
(1 ) (1 ) 1 (1 ) (1 ) (1 ) (1 )
Cách 2 :Đổi biến số :
Đặt t=1-x
1
(1 )
⇒ = − ⇒ = −
VD2 :Tính J= ( )2005
1
∫
Tương tự :
VD3 : Tính K= 2
4 3
dx
∫
HD :
Ta có :
2
4 3 ( 1)( 3) 2 ( 1)( 3) 2 3 1
ln 3 ln 1 ln
Cách 2 :
Ta có :
( )2 2
ln
−
VD4 : Tính J = ( )3
1 3
xdx x
+
∫
HD :
Sử dụng đồng nhất thức : x= ( ) ( )3 ( ( )3)
1 3 1
1 3 1
x x
x
+ −
3 (1 3 ) (1 3 )
(1 3 ) (1 3 ) (1 3 ) (1 3 )
(1 3 ) (1 3 )
Trang 5VD 5 :Tính K= 2
2
dx
∫
HD :
Sử dụng đồng nhất thức :
2
2 ( 1)( 2) 3 ( 1)( 2) 3 2 1
ln
x
−
VD 6 : Tính H = 4 2
dx
∫
HD :
Sử dụng đồng nhất thức :
( 1)( 3) 2 ( 1)( 3) 2 ( 1) ( 3)
H
( đã về dạng công thức ; nếu tích phân xác định thì ta đặt x= tgt với x thoả đk )
VD 7 : Tính A= 3 10
( 1)
x dx
x−
∫
HD :
Cách 1 :Sử dụng đồng nhất thức :x3= ((x-1)+1)3=(x-1)3-3(x-1)2+3(x-1)-1
3
( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)
( 1) ( 1) ( 1) ( 1)
6 ( 1) 7 ( 1) 8 ( 1) 9 ( 1)
x
A
C
Cách 2 : Dặt t= x-1 ta có : x= t+1 nên dx= dt
( )3 3 2
6 (x 1) 7 (x 1) 8 (x 1) 9 (x 1) C
VD8 : Tính B= ( )
2 39 1
x dx x
−
∫
HD :
Cách 1 :Sử dụng đông nhất thức : x2= [(1-x)-1]2=(1-x)2-2(1-x)+1
Trang 6( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2
x
2
C
Cách 2 :
Đặt : t= 1-x
( )2
1
2
1 1 2 1 1 1
t dt
C
⇒ = − ⇒ = −
−
VD 9 :Tính C = 5dx 3
∫
HD :
Cách 1 :Sử dụng dồng nhất thức :1= x2+1-x2
( )
3 2
2
1
x x
x
+
+
VD 10 : Tính D= 7dx 5
∫
HD :
Sử dụng dồng nhất thức :1= x2+1-x2
( )
5 2
2
1
x x
x
+
+ −
+
VD 11 : Tính E = ( )
2001 1002
2 1
x
dx
∫
HD :
Ta phân tích :
Trang 7( ) ( ) ( ) ( )
1000
x
Đặt : t= 2 2
1
x
( 2 )2
2
1
x
x
⇒ =
+
∫
VẤN ĐỀ 2 :NGUYÊN HÀM CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
DẠNG 1 :
sin( )sin( )
dx I
=
∫
Cách giải :
Bước 1 :Đồng nhất thức :
sin ( ) ( )
a b
+ − +
−
Bước 2 :Biến đổi đưa về kết quả
°Lưu ý :Dạng
1 cos( ) cos( )
=
∫
Ta sử dụng :
sin ( ) ( )
a b
+ − +
−
1 sin( ) cos( )
=
∫
Ta sử dụng :
a b
+ − +
−
VD
1 : Tính sin cos( )
4
dx I
=
+
∫
HD :
Cách 1 : Ta có
Trang 84
2 cos
sin( )
2 sin
x x
x
π π
π
π
+ −
cos( )
π
π
Cách 2 : Dựa vào đặt thù của hàm số đã cho ta có :
2
(cot 1)
sin (cos sin ) sin (cot 1) cot 1
−
DẠNG 2 :
sin sin
dx
I
=
+
∫
Cách giải :-Sử dụng công thức :sinx +sinα = 2sin cos
-Đưa về dạng 1 để giải
°Lưu ý :Dạng
1
;( 1) sin
cos cos cos
dx
x m
+
∫
Làm tương tự
VD 1 : Tính
2sin 1
dx A
x
=
+
∫
HD :
Ta có :
2sin 1 2(sin ) 2(sin sin ) 4sin cos )
Sử dụng đồng nhất thức :
6
cos
6
π
Trang 96 6
ln sin ln cos
C
VD 2 : Tính K=
2 cos 1
dx
x+
∫
HD :
Ta có :
2cos 1 2(cos ) 2(cos cos ) 4(cos cos )
Do :
3
sin
3
π
x
x
3 sin
3
6
x
x
π
π
+
DẠNG 3 :
( )
α
∫
∫
∫
Cách giải :
Ta biến đổi :
sin sin( ) cos cos( ) sin sin( )
cos cos( ) cos cos( )
tgxtg x
α
Trang 10Đưa về dạng 1 để giải.
VD 1 : Tính ( )
4
I = tgxtg x+π
∫
HD :
Cách 1 :
Ta có :
sin sin( ) cos cos( ) sin sin( ) cos( )
1
2 cos cos( )
4
tgxtg x
π
π
+ Khi đó xét :
cos cos( )
4
dx
K
=
+
∫
Sử dụng đồng nhất thức :
sin
4
1 2 sin ( ) 2 sin( ) cos cos( )sin
sin
4
π
1
2 ( ) 2 ( )
4 cos cos( )
4
2 ( ) 2 2 ln cos( ) 2 ln cos
π π
+
cos
2 ln
cos( )
4
x
+ Cách 2 :
2
cos (cos sin ) cos (1 ) cos cos( )
4 (1 )
1
2 ln 1
K
tgx C tgx
π
+
−
−
∫
DẠNG 4 :
Trang 11sin cos
dx
∫
Cách giải :
Sử dụng công thức : asinx +bcosx= 2 2 sin( ) 2 2 2sin( ) cos( )
( ( ))
ln ( )
2
x
d tg
α
α
+
+
Cách 2 : Ta có
2 2
ln cos( ) 1 2
I
x
C x
α α
+
Cách 3 : Có thể sử dụng phương pháp đại số hoá đặt :t= tgx/2
VD
1 : Tính 2
3 sin cos
dx I
=
+
∫
HD :
Ta có : 3 sin cos 2sin( ) 4sin 6 cos 6
π + ÷ + ÷
2
6
2
ln
x
d tg
x dx
π
π
+
sin cos sin cos
+
=
+
∫
Cách giải :
Sử dụng đồng nhất thức :a1sinx+b1cosx= A(a2sinx+b2cosx)+B(a2cosx+b2sinx)
Để ý :a2sinx+b2cosx= 2 2
2 2 sin( )
Kết hợp dạng 3-4 để giải
2 3 sin 2 cos 2
x
=
∫
Trang 12( )
2
2 3 sin 2 cos 2 1 3 sin 2 (1 cos 2 ) 3sin 2 3 sin cos cos
8cos
3 sin cos
x
=
+
Phân tích :
8cosx A= ( 3 sinx+cos )x +B( 3 cosx−sin ) (x = A 3−B)sinx+(A B+ 3) cosx
Đồng nhất đẳng thức :
2
2 3
3 8
A
B
A B
2
3 sin cos
π
−
+
VD 2: Tính sin
1 sin 2
x
x
= +
∫
HD:
1 sin 2 sin cos
Đồng nhất thức :sinx= A(sinx+cosx)+B(cosx-sinx)= (A-B)sinx+(A+B)cosx
1
2
A
A B
A B
B
=
− =
+ =
sin (sin cos ) (cos sin )
2(sin cos ) 2
2 (sin cos ) 2
−
+
+
+
ln
2 sin cos 2 8 2 sin cos
4
d x
x
x
π
π π
+
∫
DẠNG 6 :
Trang 13I= sin cos
dx
∫
HD :
TH1 : c= a2+b2
Ta biến đổi :
2
x
x d
α α
α
α
−
−
TH2 : c= − a2+b2
Ta biến đổi :
2
x
x d
α α
α
α
−
−
TH3 : c2 ≠a2+b2
Ta thực hiện phép đặt :
2
x
t tg=
2
−
Sau đó thực hiện tính nguyên hàm bằng các biểu thức đại số
2sin cos 1
dx I
=
∫
HD :
Ta thấy : c2 ≠a2+b2(vì : 12 ≠22+12)
Đặt :
2
x
t tg=
2
−
Trang 14( )2 2
2
x tg
x
+
VD 2 : Tính
sin cos 2
dx K
=
∫
HD :
Ta thấy : c= a2+b2 (vì : 2= 12+12 )
Ta biến đổi :
2
sin cos 2 2 1 cos 2 2 sin
2 8 4
2 8
x
x d
π π
π
π
+
VD3 : Tính
sin cos 2
dx K
=
∫
HD :Tương tự VD2
DẠNG 7 :
sin cos
sin cos
dx
∫
Cách giải :
Biến đổi :a1sinx+b1cosx+c1= A(a2sinx+b2cosx+c2)+B(a2cosx-b2sinx)+c Sau đó đưa về dạng quen thuộc để giải
2sin cos 1
x
=
∫
HD:
Ta phân tích :5sinx= A(2sinx-cosx+1)+B(2cosx+sinx)+C
=(2A+B)sinx+(2B-A)cosx+A+C
⇒ − = ⇒ =
2 2sin cos 1 2sin cos 1 2sin cos 1
(2sin cos 1)
2sin cos 1 2sin cos 1
2 ln 2sin cos 1 2
+
Trang 15Tính :
2sin cos 1
dx K
=
∫
Đặt :
2
x
t tg=
2
−
( )2 2
2
x tg
x
+
Vậy :
2
2 ln 2sin cos 1 ln
2 2
x tg
x tg
+
DẠNG 8 :
I=
sin sin cos cos
sin cos
dx
+
∫
HD :
Biến đổi :a1sin2x+b1cosxsinx+c1cos2x= (Asinx+Bcosx)(a2sinx+b2cosx)+c(sin2x+cos2x) Đưa về dạng quen thuộc để giải
VD 1:Tính
2 4sin 1
3 sin cos
x
+
=
+
∫
HD:
Ta phân tích :4sin2x+1= 5sin2x+cos2x=
( sin cos )( 3 sin cos ) (sin cos )
( 3 )sin ( 3)sin cos ( ) cos
⇒ + = ⇒ = −
Trang 162
3 sin cos
3 cos sin
*
2
3 sin cos
sin cos
6 2 1
2
x
dx
x
d tg dx
π
+
6 ln
2
x
π
+
÷
÷
6
3 cos sin ln
2
x
π
+
VD2 : Tính I= cos2
sin 3 cos
x dx
∫
HD :
Ta phaân tích :cos2x= (Asinx+Bcosx)(sinx+ 3 cosx)+C(sin2x+cos2x)= = ( 3 B+C)cos2x+(B+ 3 A)sinxcosx+(A+C)sin2x
1 4
3
3 0
4
4
A
B C
A C
C
= −
⇒ + = ⇒ =
2
sin cos
cos sin
x
dx
+
∫
Tính :
sin 3 cos
dx K
=
+
∫
Trang 171 1
ln
2 sin( ) 2 2 6
3
cos sin ln
x
x
π π
π
+
∫
DẠNG 9 :
sin sin cos cos
dx
∫
Cách giải :
Biến đổi :
I= cos (2 2 )
dx
x atg x btgx c+ +
∫
Đặt : t=tgx 12
cos
x
⇒ =
2
dt
I
⇒ =
+ +
∫
Dạng quen thuộc giải được
3sin 2sin cos cos
dx
∫
HD :
Ta có : 3sin2x-2sinxcosx-cos2x = cos2x(3tg2x-2tgx-1)
cos (3 2 1)
dx I
⇒ =
∫
Đặt :t=tgx 12
cos
x
⇒ =
2
1
3 2 1 3( 1)( )
3
Ta phân tích :
1 ( ) ( 1)
t
+ − −
−
−
Vậy : 1ln 3 3
tgx
tgx
−
+
Trang 18( 2 2 2 2 )
sin cos
sin cos
=
+
∫
Cách giải :
Để ý rằng :
2 2
1
−
TH
1 : α =1
ln sin cos
+
TH2 :α ≠1
sin cos
α
− +
VD
1 :Tính sin cos2 2
2sin cos
=
+
∫
HD :
Ta phân tích : 1 ( 2 2 )
sin cos 2sin cos
2
( 2 2 )
2sin cos
ln 2sin cos
+
+
∫
VD
2 :Tính sin cos2 2
2sin 3cos
=
+
∫
HD :
Ta phân tích : 1 ( 2 2 )
sin cos 2sin 3cos
2
2
2sin 3cos
2 2sin 3cos 4 2sin 3cos
+
∫
DẠNG 11 :
SỬ DỤNG CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI KHÁC NHAU RỒI MỚI ĐỔI BIẾN SỐ
VD 1 :Tính I sin 3 sin 4xcot 2x dx
=
+
∫
HD :
Ta biến đổi :
sin cos 2 sin 2 sin cos 2 cos cos 1 cot 2
cos sin 2 sin 2 cos sin 2 cos sin 2
+
sin 4 sin 3 sin 2 cos cos 7 sin 2
+
sin 2 cos sin 2 cos 7 sin 3 sin sin 9 sin 5
Trang 19( )
sin 3 sin sin 9 sin 5 cos3 cos cos9 cos5
VD2 : Tính cos sin cos
2 sin
x
+
=
+
∫
HD :
Ta biến đổi : cos sin cos
2 sin
x
+
=
+
2 sin
dx x
+ +
∫
Đặt : t=sinx ⇒dt= cosxdx
ln 2 sin ln sin 2
sin cos
dx A
=∫
HD :
Ta biến đổi : 3
sin cos
dx A
dx
∫
Đặt : t= tgx 12
cos
x
⇒ =
2
+
VD3 :Tính 4 3 8
cos
dx B
=∫
HD :
Ta biến đổi : 4 3 8
cos
dx B
dx
x tg x
=∫
Đặt : t= tgx 12
cos
x
⇒ =
3
4
3
4
dt
t
−