Tich phan

CHỦ ĐỀ 1: NGUYÊN HÀM 1.ĐỊNH NGHĨA: Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng (a;b) nếu với mọi x ∈ (a;b),ta có: F ’ (x) = f(x) *Nếu thay khoảng (a;b) là đoạn [a;b] thì ta phải thêm F ’ (a + )=f(a) và F ’ (b - )=f(b) 2.ĐỊNH LÍ: F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên (a;b) thì F(x) + C là họ nguyên hàm của f(x) trên (a;b) Ta viết : ( ) ( )f x dx F x C= + ⇔ ∫ f(x)= F ’ (x) 3.CÁC TÍNH CHẤT CỦA NGUYÊN HÀM : a) ( ) ' ( ) ( )f x dx f x= ∫ b) ( ) ( )af x dx a f x dx= ∫ ∫ ,(a ≠ 0) c) ∫ [f(x)+g(x)]dx= ∫ f(x)dx+ ∫ g(x)dx d) ∫ f(t)dt= F(t) + C ⇒ ∫ f(u)du= F(u) +C 4.SỰ TỒN TẠI NGUYÊN HÀM : ĐỊNH LÍ :Mọi hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a ;b] đều có nguyên hàm trên đoạn đó 5.BẢNG CÁC NGUYÊN HÀM Nguyên hàm của các hàm số sơ cấp Nguyên hàm của các hàm số hợp 1. ∫ dx= x+C 2. ∫ 1 1 x x dx α α α + = + +C 3. ∫ dx x = ln x +C 4. ∫ e x dx= e x + C 5. ∫ a x dx = ln x a a +C , (0 < a ≠ 1) 6. ∫ cosx dx= sinx +C 7. ∫ sinxdx = -cosx +C 8. 2 cos dx x ∫ = tgx +C 9. 2 sin dx x ∫ =-cotgx+C 10. ln sin 2 dx x tg x = ∫ +C 11. ln ( cos 2 4 dx x tg x π = + ∫ +C 1. ∫ du= u+C 2. ∫ 1 1 u u du α α α + = + +C 3. ∫ du u = ln u +C 4. ∫ e u du= e u + C 5. ∫ a u du = ln u a a +C , (0 < a ≠ 1) 6. ∫ cosudu= sinu +C 7. ∫ sinudu = -cosu +C 8. 2 cos du u ∫ = tgu +C 9. 2 sin du u ∫ =-cotgu+C 10. ln sin 2 du u tg u = ∫ +C 11. ln ( cos 2 4 du u tg u π = + ∫ +C Trang 1 12. ∫ tgxdx= -ln cos x +C 13. ∫ cotgxdx= ln sin x +C 14. 2 2 1 ln 2 dx x a x a a x a − = − + ∫ +C 15. 2 2 2 2 ln dx x x a x a = + ± ± ∫ +C 16. 2 2 2 2 2 x x a dx x a± = ± ± ∫ 2 2 2 ln 2 a x x a± + ± +C 17. 2 2 arcsin dx x C a a x = + − ∫ 18. 2 2 1dx x arctg C a x a a = + + ∫ 19. 2 2 2 2 2 x a x dx a x− = − + ∫ 2 arcsin 2 a x C a + + 12. ∫ tgudu= -ln cosu +C 13. ∫ cotgudu= ln sin u +C 14. 2 2 1 ln 2 du u a u a a u a − = − + ∫ +C 15. 2 2 2 2 ln du u u a u a = + ± ± ∫ +C 16. 2 2 2 2 2 u u a du u a± = ± ± ∫ 2 2 2 ln 2 a u u a± + ± +C 17. 2 2 arcsin du u C a a u = + − ∫ 18. 2 2 1du u arctg C a u a a = + + ∫ 19. 2 2 2 2 2 u a u du a u− = − + ∫ 2 arcsin 2 a u C a + + Chứng minh một số công thức cơ bản : 10. ln sin 2 dx x tg x = ∫ +C 11. ln ( cos 2 4 dx x tg x π = + ∫ +C Chứng minh : 10. Ta có : 2 2 sin cos sin cos 1 1 2 2 2 2 sin 2sin cos 2sin cos 2cos 2sin 2 2 2 2 2 2 x x x x x x x x x x x + = = = + sin cos (cos ) (sin ) 1 1 2 2 2 2 2 2 cos sin cos sin 2 2 2 2 ln cos ln sin ln 2 2 2 x x x x d d I dx dx x x x x x x x C tg C ⇒ = + = − + = − + + = + ∫ ∫ ∫ ∫ 11.Ta có :cosx= sin(x+ 2 π )= 2sin( ) cos( ) 2 4 2 4 x x π π + + ⇒ kết quả 14. 2 2 1 ln 2 dx x a x a a x a − = − + ∫ +C Trang 2 Ta có : 2 2 1 1 1 ( ) ( ) 1 1 1 ( )( ) 2 ( )( ) 2 x a x a x a x a x a a x a x a a x a x a   + − −   = = −     − − + − + − +     Do đó :I= 1 ( ) ( ) 1 ln 2 2 d x a d x a x a C a x a x a a x a − + +   − = +   − + −   ∫ ∫ 15. 2 2 2 2 ln dx x x a x a = + ± ± ∫ +C Ta đặt : 2 2 2 2 2 2 2 (1 ) ln ln x x x a t x x a dt dx dx x a x a x a dx dt dt dx dt I t C x x a C t t t x a   + + = + + ⇒ = + =  ÷  ÷ + +   + ⇒ = ⇒ = ⇒ = = + = + + + + ∫ 16. 2 2 2 2 2 x x a dx x a± = ± ± ∫ 2 2 2 ln 2 a x x a+ ± +C Ta đặt: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) xdx du u x a x a dv dx v x x dx x a a dx I x x a x x a x a x a  =    = + ⇒ +   =    =  + − ⇒ = + − = + − + + ∫ ∫ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ln ln 2 2 dx x x a x a dx a x a x x a I a x x a x a I x a x x a C = + − + + + = + − + + + ⇒ = + + + + + ∫ ∫ VẤN ĐỀ 1 :TÍNH NGUYÊN HÀM BẰNG CÁCH PHÂN TÍCH DẠNG 1 : I= ( ) ;( 0)x ax b dx a α + ≠ ∫ ( ) 2 ,( 0) x dx K a ax b α = ≠ + ∫ *Sử dụng đồng nhất thức :x= [ ] 1 1 ( )ax ax b b a a = + − Hoặc : * [ ] 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 ( ) ( ) 2 ( )x a x ax b b ax b b ax b b a a a   = = + − = + − + +   Trang 3 VD1 :Tính I= ( ) 2002 1x x dx− ∫ Cách 1 :Sử dụng cách đồng nhất thức :x=1-(1-x) [ ] 2002 2002 2002 2002 2003 (1 ) (1 ) 1 (1 ) (1 ) (1 ) (1 )x x x x x x x⇒ − − = − − − = − − − ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2002 2003 2002 2003 2003 2004 1 1 1 (1 ) 1 1 1 1 1 2003 2004 I x dx x dx x d x x dx x x C ⇒ = − − − = − − − + − = − − + − + ∫ ∫ ∫ ∫ Cách 2 :Đổi biến số : Đặt t=1-x ( ) ( ) 2002 2002 2003 2003 2004 2003 2004 1 (1 ) 1 1 1 1 1 1 2003 2004 2003 2004 x t dx dt I t t dt t dt t dt t t C x x C ⇒ = − ⇒ = − ⇒ = − − = − + = − + + = − − + − + ∫ ∫ ∫ VD2 :Tính J= ( ) 2005 1x x dx+ ∫ Tương tự : VD3 : Tính K= 2 4 3 dx x x− + ∫ HD : Ta có : 2 1 1 1 ( 1) ( 3) 1 1 1 4 3 ( 1)( 3) 2 ( 1)( 3) 2 3 1 1 ( 3) 1 ( 1) 1 1 1 3 ln 3 ln 1 ln 2 3 2 1 2 2 2 1 x x x x x x x x x x d x d x x K x x C x x x   − − −   = = = −     − + − − − − − −     − − − ⇒ = − = − − − = + − − − ∫ ∫ Cách 2 : Ta có : ( ) 2 2 1 3 ln 4 3 2 1 2 1 dx dx x K C x x x x − = = = + − + − − − ∫ ∫ VD4 : Tính J = ( ) 3 1 3 xdx x+ ∫ HD : Sử dụng đồng nhất thức : x= ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 1 3 1 1 1 1 3 1 3 3 1 3 1 3 x x x x x   + − + − ⇒ = =   + +     2 2 2 3 2 3 1 2 1 1 1 3 (1 3 ) (1 3 ) 1 (1 3 ) 1 (1 3 ) 1 1 (1 3 ) (1 3 ) (1 3 ) (1 3 ) 9 (1 3 ) 9 (1 3 ) 9 9 1 1 (1 3 ) (1 3 ) 9 18 x x d x d x I x d x x d x x x x x C − − − −   −   + +   + + ⇒ = − = + + − + + + + = − + + + + ∫ ∫ ∫ ∫ Trang 4 VD 5 :Tính K= 2 2 dx x x− − ∫ HD : Sử dụng đồng nhất thức : 2 1 1 1 ( 1) ( 2) 1 1 1 2 ( 1)( 2) 3 ( 1)( 2) 3 2 1 1 1 1 1 1 2 ln 3 2 3 1 3 1 x x x x x x x x x x x K dx dx C x x x   + − −   = = = −     − − + − + − − +     − ⇒ = − = + − + + ∫ ∫ VD 6 : Tính H = 4 2 4 3 dx x x+ + ∫ HD : Sử dụng đồng nhất thức : 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 ( 3) ( 1) 1 1 1 ( 1)( 3) 2 ( 1)( 3) 2 ( 1) ( 3) 1 1 2 1 2 3 x x x x x x x x dx dx H x x     + − + = = −     + + + + + +     ⇒ = − + + ∫ ∫ ( đã về dạng công thức ; nếu tích phân xác đònh thì ta đặt x= tgt với x thoả đk .) VD 7 : Tính A= 3 10 ( 1) x dx x − ∫ HD : Cách 1 :Sử dụng đồng nhất thức :x 3 = ((x-1)+1) 3 =(x-1) 3 -3(x-1) 2 +3(x-1)-1 3 10 7 8 9 10 7 8 9 10 6 7 8 9 1 3 3 1 ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) 3 3 ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) 1 1 3 1 3 1 1 1 6 ( 1) 7 ( 1) 8 ( 1) 9 ( 1) x x x x x x dx dx dx dx A x x x x C x x x x ⇒ = − + − − − − − − ⇒ = − + − − − − − = − + − + + − − − − ∫ ∫ ∫ ∫ Cách 2 : Dặt t= x-1 ta có : x= t+1 nên dx= dt ( ) 3 3 2 7 8 9 10 10 10 1 ( 3 3 1) 3 3 t dt t t t dt A t dt t dt t dt t dt t t − − − − + + + + = = = + + + ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 6 7 8 9 1 1 3 1 3 1 1 1 6 ( 1) 7 ( 1) 8 ( 1) 9 ( 1) C x x x x = − + − + + − − − − VD8 : Tính B= ( ) 2 39 1 x dx x− ∫ HD : Cách 1 :Sử dụng đông nhất thức : x 2 = [(1-x)-1] 2 =(1-x) 2 -2(1-x)+1 Trang 5 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 39 39 37 38 39 1 2(1 ) 1 1 2 1 1 1 1 1 1 x x x x x x x x − − − + ⇒ = = − + − − − − − ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 37 38 39 36 37 38 1 1 1 2 1 1 1 1 1 2 1 1 1 36 37 38 1 1 1 B dx dx dx x x x C x x x = − + − − − = + − + + − − − ∫ ∫ ∫ Cách 2 : Đặt : t= 1-x ( ) 2 39 39 38 37 38 37 36 1 1 1 1 1 2 1 1 2 1 1 1 38 37 36 x t dx dt t dt B dt dt dt t t t t C t t t ⇒ = − ⇒ = − − ⇒ = − = − + − = − + + ∫ ∫ ∫ ∫ VD 9 :Tính C = 5 3 dx x x+ ∫ HD : Cách 1 :Sử dụng dồng nhất thức :1= x 2 +1-x 2 ( ) 2 2 2 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 2 3 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 ( 1) ( 1) ( 1) 1 1 1 1 1 1 1 ln ln 1 1 2 2 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x C dx dx dx x x C x x x x + − + − ⇒ = = − = − = − + + + + + + = − + = − − + + + + ∫ ∫ ∫ VD 10 : Tính D= 7 5 dx x x+ ∫ HD : Sử dụng dồng nhất thức :1= x 2 +1-x 2 ( ) 2 2 2 2 5 2 5 3 2 5 3 2 5 3 2 5 2 2 2 5 3 2 5 3 2 2 5 3 2 4 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) 1 1 1 1 1 1 1 ( 1) ( 1) 1 1 1 1 1 1 1 ln ln 1 1 4 2 2 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x D dx dx dx dx x x C x x x x x x + − + − ⇒ = = − = − = − + + + + + + + − = − + = − + − + + ⇒ = − + − = − + + − + + + ∫ ∫ ∫ ∫ VD 11 : Tính E = ( ) 2001 1002 2 1 x dx x + ∫ HD : Ta phân tích : Trang 6 ( ) ( ) ( ) ( ) 1000 2001 2000 2 1002 1000 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 x x x x x x x x x x   = =  ÷ +   + + + + Đặt : t= 2 2 1 x x + ( ) 2 2 1000 1001 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 1 1 2002 1 x dt dx x x x x E d C x x x ⇒ = +       ⇒ = = +  ÷  ÷  ÷ + + +       ∫ VẤN ĐỀ 2 :NGUYÊN HÀM CÁC HÀM SỐ LƯNG GIÁC DẠNG 1 : sin( ) sin( ) dx I x a x b = + + ∫ Cách giải : Bước 1 :Đồng nhất thức : [ ] [ ] sin ( ) ( ) sin( ) 1 1 sin( ) cos( ) cos( ) sin( ) sin( ) sin( ) sin( ) x a x b a b a x b x a x b x a b a b a b + − + − = = = + + − + + − − − Bước 2 :Biến đổi đưa về kết quả °Lưu ý :Dạng 1 cos( ) cos( ) I dx x a x b = + + ∫ Ta sử dụng : [ ] [ ] sin ( ) ( ) sin( ) 1 1 sin( ) cos( ) cos( ) sin( ) sin( ) sin( ) sin( ) x a x b a b a x b x a x b x a b a b a b + − + − = = = + + − + + − − − 1 sin( ) cos( ) K dx x a x b = + + ∫ Ta sử dụng : [ ] [ ] cos ( ) ( ) cos( ) 1 1 cos( ) cos( ) sin( )sin( ) cos( ) cos( ) cos( ) x a x b a b a x b x a x b x a b a b a b + − + − = = = + + + + + − − − VD 1 : Tính sin cos( ) 4 dx I x x π = + ∫ HD : Cách 1 : Ta có Trang 7 cos cos 4 4 1 2 cos 2[cos( ) cos sin( )sin ] 4 4 4 2 cos 4 2 sin( ) 1 cos 4 2 sin sin cos( ) cos( ) 4 4 x x x x x x x x x x x x x x π π π π π π π π π     + −  ÷           = = = + − = + + +  ÷         +  ÷ ⇒ = +  ÷  ÷ + +   cos( ) (sin ) sin 4 2 2 2 ln sin 2 ln cos( ) 2 ln sin 4 cos( ) cos( ) 4 4 d x d x x I x x C x x x π π π π   +  ÷   ⇒ = − = − + = + + + ∫ ∫ Cách 2 : Dựa vào đặt thù của hàm số đã cho ta có : 2 (cot 1) 2 2 2 2 ln cot 1 sin (cos sin ) sin (cot 1) cot 1 dx dx d gx I gx C x x x x gx gx − = = = = − − + − − − ∫ ∫ ∫ DẠNG 2 : sin sin dx I x α = + ∫ Cách giải :-Sử dụng công thức :sinx +sin α = 2sin cos 2 2 x x α α + − -Đưa về dạng 1 để giải °Lưu ý :Dạng 1 2 3 ;( 1) sin ; ;( 1) cos cos cos dx I m x m dx dx I I m x x m α = ≤ + = = ≤ + + ∫ ∫ ∫ Làm tương tự. VD 1 : Tính 2sin 1 dx A x = + ∫ HD : Ta có : 1 1 1 1 1 6 6 2sin 1 2(sin ) 2(sin sin ) 4sin cos ) 2 6 12 12 x x x x x π π π = = = + − + + + Sử dụng đồng nhất thức : cos 2 6 6 2 6 6 6 6 6 1 cos cos cos sin sin 12 12 12 12 12 12 3 3 cos 6 x x x x x x π π π π π π π π     + − + − + −             = = − = +  ÷  ÷  ÷  ÷  ÷  ÷                     Trang 8 6 6 cos sin 1 1 12 12 6 6 2 3 2 3 sin cos 12 12 6 6 sin cos 12 12 1 1 1 6 1 6 ln sin ln cos 6 6 12 12 3 3 3 3 sin cos 12 12 x x A dx dx x x x x d d x x C x x π π π π π π π π π π + −      ÷  ÷     ⇒ = + + −      ÷  ÷         + −      ÷  ÷  ÷  ÷ + −             = − = − +  ÷  ÷ + −          ÷  ÷     ∫ ∫ ∫ ∫ VD 2 : Tính K= 2 cos 1 dx x + ∫ HD : Ta có : 1 1 1 1 1 3 3 2cos 1 2(cos ) 2(cos cos ) 4(cos cos ) 2 3 6 6 x x x x x π π π = = = + − + + + Do : sin 2 2 3 3 2 3 3 3 3 3 1 sin sin sin cos cos sin 3 6 6 6 6 6 6 3 3 3 sin 3 x x x x x x π π π π π π π π π + − + − + −     = = = − = +         1 1 3 1 3 cot t 2cos 6 6 2 3 2 3 1 1 3 1 3 cot t 2 cos 1 6 6 2 3 2 3 x x g g x x x K dx g dx g dx x π π π π + −     ⇒ = −  ÷  ÷     + −     ⇒ = = −  ÷  ÷ +     ∫ ∫ ∫ 3 sin 1 3 1 3 1 6 ln sin ln cos ln 3 6 6 3 3 3 cos 6 x x x K C C x π π π π + + − = − + = + − DẠNG 3 : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) I tgxtg x dx K tg x cotg x dx H cotg x cotg x dx α α β α β = + = + + = + + ∫ ∫ ∫ Cách giải : Ta biến đổi : sin sin( ) cos cos( ) sin sin( ) ( ) 1 cos cos( ) cos cos( ) x x x x x x tgxtg x x x x x α α α α α α + + + + + = = − + + Trang 9 Đưa về dạng 1 để giải. VD 1 : Tính ( ) 4 I tgxtg x π = + ∫ HD : Cách 1 : Ta có : sin sin( ) cos cos( ) sin sin( ) cos( ) 4 4 4 4 ( ) 1 1 4 cos cos( ) cos cos( ) cos cos( ) 4 4 4 2 1 1 2 cos cos( ) 4 x x x x x x tgxtg x x x x x x x x x π π π π π π π π π + + + + − + = = − = − + + + = − + Khi đó xét : cos cos( ) 4 dx K x x π = + ∫ Sử dụng đồng nhất thức : sin 4 1 2 sin ( ) 2 sin( ) cos cos( )sin 4 4 4 sin 4 x x x x x x π π π π π     = = + − = + − +         1 2 ( ) 2 ( ) 4 cos cos( ) 4 2 ( ) 2 2 ln cos( ) 2 ln cos 4 4 tg x tg x x x K tg x dx tgxdx x x C π π π π ⇒ = + − + = + + = − + + + ∫ ∫ cos 2 ln cos( ) 4 x I x C x π ⇒ = − + + Cách 2 : 2 2 2 cos (cos sin ) cos (1 ) cos cos( ) 4 (1 ) 2 2 ln 1 1 2 ln 1 dx dx dx K x x x x tgx x x d tgx tgx C tgx I tgx x C π = = = − − + − = − = − − + − ⇒ = − − − + ∫ ∫ ∫ ∫ DẠNG 4 : Trang 10