TÍCH PHÂN HAY

Bảng các tích phân cơ bản ở đây chỉ viết cho hàm y = f(x) còn hàm y = f(u) làm tương tự Hàm Cơ Bản Hàm Hợp 1 1 n n x x dx C n + = + + ∫ ( n ≠ -1 ) 1 lndx x C x = + ∫ x x e dx e C = + ∫ ln x x a a dx C a = + ∫ sin . osx dx c x C = − + ∫ os . sinc x dx x C = + ∫ 2 tan os dx x C c x = + ∫ 2 cot sin dx x C x = − + ∫ 1 1 n n u u du C n + = + + ∫ ( n ≠ -1 ) 1 lndu u C u = + ∫ u u e du e C = + ∫ ln u u a a du C a = + ∫ sin . osu du c u C = − + ∫ os . sinc u du u C = + ∫ ( ) 2 2 1 t an tan os du u du x C c u = + = + ∫ ∫ ( ) 2 2 1 cot cot sin du u du x C u = − + = − + ∫ ∫ Những công thức sau đây muốn sử dụng phải chứng minh: 1. 2 ln tan sin x dx C x = + ∫ Chưng minh: Đặt 2 2 1 1 tan . 1 tan 2 2 2 2 os 2 x x t dt dx dx x c   = ⇒ = = +  ÷   ( ) 2 1 . 1 2 dt t dx = + Ta có công thức lượng giác sau: 2 2 2 2 2sin . os 2tan 2 2 2 2 sin , sin 1 sin os 1 tan 2 2 2 x x x c t x vi x t x x x c    ÷  ÷ = = =  ÷ +       + +  ÷  ÷  ÷  ÷         ( ) 2 2 2 2 1 ln ln tan 2 sin 1 x dt t dx dt t C C t x t t + = = = + = + + ∫ ∫ ∫ 2. ( ) 2 4 ln tan os x dx C c x π = + + ∫ Chứng minh: Ta có os sin 2 c x x π   = +  ÷   Làm tương tự bài trên: Đặt 2 2 1 1 tan . 1 tan 2 4 2 2 4 2 os 2 4 x x t dt dx dx x c π π π       = + ⇒ = = + +  ÷  ÷  ÷         +  ÷   ( ) 2 1 . 1 2 dt t dx = + ( ) 2 2 2 1 ln ln tan 2 os 2 4 1 dt t dx dt x t C C t c x t t π +   = = = + = + +  ÷   + ∫ ∫ ∫ 3. 2 2 1 ln 2a dx a x C a x a x + = + − − ∫ ( a ≠ 0 ) Chứng minh: ( ) ( ) ( ) 2 2 1 1 1 2a 1 1 ln ln ln 2a 2a dx dx a x a x a x a x a x a x C a x   = −  ÷ − + −   +   = + − − = +  ÷ −   ∫ ∫ 4. 2 2 1 ln 2a dx x a C x a x a − = + − + ∫ ( a ≠ 0 ) Chứng minh: ( ) ( ) ( ) 2 2 1 1 1 2a 1 1 ln ln ln 2a 2a dx dx x a x a x a x a x a x a C x a   = −  ÷ − − +   − = − − + = + + ∫ ∫ 5 . 2 2 2 2 ln , 0 dx x x a C a x a = + + + ≠ + ∫ Chứng minh: Đặt 2 2 u x x a = + + 2 2 2 2 2 2 1 x x x a du d dx x a x a     + + = + =  ÷  ÷  ÷ + +     2 2 du dx u x a = + 2 2 2 2 ln ln dx du u x x a C u x a ⇒ = = = + + + + ∫ ∫ 6. 2 2 2 2 ln , 0 dx x x a C x a x a = + − + > > − ∫ Chứng minh: Đặt 2 2 u x x a = + − 2 2 2 2 2 2 1 x x x a du d dx x a x a     + − = + =  ÷  ÷  ÷ + −     2 2 du dx u x a = − 2 2 2 2 ln ln dx du u x x a C u x a ⇒ = = = + − + − ∫ ∫ 7. 2 2 2 ln 2 2 x A x Adx x A x x A C + = + + + + + ∫ Chứng minh: Đặt 2 2 , , x u x A dv dx du v x x A = + = ⇒ = = + 2 2 2 2 x x Adx x x A dx x A + = + − + ∫ ∫ 2 2 2 x A A x x A dx x A + − = + − + ∫ 2 2 2 dx x x A x Adx A x A = + − + + + ∫ ∫ 2 2 2 2 lnx Adx x x A A x x A C + = + + + + + ∫ 2 2 2 ln 2 2 x A x Adx x A x x A C + = + + + + + ∫ Các phương pháp tính tích phân: Phương pháp đổi biến: có hai phương pháp đổi biến Đổi biến dưới dấu tích phân Cần tính tích phân ( )f x dx ∫ . Giả sử có thể tìm được hàm khả vi ( )u x ϕ = và hàm g(u) sao cho biểu thức dưới dấu tích phân ( )f x dx ∫ có thể viết dưới dạng: [ ] ' ( ) ( ) ( ) . ( ) ( ) u x f x dx g f x x dx g u du ϕ ϕ = = = ∫ ∫ ∫ Phép biến đổi này thường được gọi là phương pháp đổi biến ( )u x ϕ = dưới dấu tích phân, tức là biến x thay bằng biến mới ( )u x ϕ = . Nhận xét: Mục đích của phương pháp đổi biến ( )u x ϕ = là việc tính tích phân ( )f x dx ∫ được đưa đến tí ch phân ( )g u du ∫ , thường đơn giản hơn tích phân ban đầu. Sau này khi lấy tích phân, ta phải thế ( )u x ϕ = vào kết quả tìm được. Phương pháp tính tích phân từng phần: Nếu u(x) và v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn [ a ; b ] thì công thức tính tích phân từng phần sau đây được thỏa mãn. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ' ' b b b a a a u x v x dx u x v x u x v x dx = −    ∫ ∫ Hay . b b b a a a udv u v vdu = − ∫ ∫ Giải thích: Ta có: ' dv v dx = , ' du u dx = Một sô cách tính hay biến đổi tích phân Biến đổi lượng giác. Nếu tích phân có chứa căn thức 2 2 a x − thì đặt x = asint, do đó 2 2 a cosa x t − = , cos ddx a t t = Nếu tích phân có chứa căn thức 2 2 x a + thì đặt x = atant, do đó 2 2 cos a x a a t + = , 2 . os a dt dx c t = . + ∫ Các phương pháp tính tích phân: Phương pháp đổi biến: có hai phương pháp đổi biến Đổi biến dưới dấu tích phân Cần tính tích phân ( )f x dx ∫ . Giả sử. ch phân ( )g u du ∫ , thường đơn giản hơn tích phân ban đầu. Sau này khi lấy tích phân, ta phải thế ( )u x ϕ = vào kết quả tìm được. Phương pháp tính tích