Tuyển tập một số bài toán tổ hợp ôn thi HSG toán

TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TỐN HỌC p ậ t n ể Tuy i b ố s p ợ h ổ t toán Sưu tầm Latex Hướng tới kỳ thi VMO 2021 Phát hành blog lovetoan.wordpress.com Tuyển tập số toán tổ hợp Tạp chí tư liệu tốn học Lời giới thiệu Tổ hợp vấn đề khó tốn sơ cấp nói chung kì thi tốn cấp chủ đề ln có chỗ đứng định Các tốn tổ hợp đơi khơng cần biến đổi tốn học phức tạp mà địi hỏi tư nhạy bén người làm bài, việc luyện tập với nhiều toán giúp luyện thêm kiến thức kĩ xử lý toán Với mong muốn tạo tài liệu giúp bạn học sinh ôn luyện chủ đề khó nhằn này, fanpage cố gắng tổng hợp nhiều sưu tầm thành tuyển tập nho nhỏ giúp bạn luyện tập chuẩn bị cho kì thi olympic tốn tới mà bạn tham dự Tài liệu kết hợp nhiều nguồn, nhiều tài liệu khác lại nhằm mang tới cho bạn đọc toán thú vị Trong không đề cập tới phương pháp như: đếm hai cách, truy hồi, song ánh, hàm sinh, Các bạn tìm đọc chúng tài liệu khác Hy vọng công cụ đắc lực bạn Mọi ý kiến đóng góp thắc mắc vui lòng gửi địa Tạp chí tư liệu tốn học https://www.facebook.com/OlympiadMathematical Tuyển tập số tốn tổ hợp Tạp chí tư liệu toán học Chương Lý thuyết tổ hợp 1.1 Các quy tắc tổ hợp Định nghĩa Tập không rỗng A tập hữu hạn tồn số nguyên dương n song ánh f : 1, 2, , n → A Trong tập tập A bao gồm n phần tử, nói A tập hợp n Số số phần tử tập hợp A đặt |A| Tập rỗng ∅ hữu hạn định nghĩa |∅| = Một tập hợp gọi vơ hạn khơng hữu hạn Một tập hợp k A tập A bao gồm k phần tử Quy tắc song ánh Hai tập hợp khơng rỗng A B có số số phần tử tồn song ánh f : A → B Mặc dù quy tắc song ánh hiển nhiên đề lý sau Đơi người ta nên xác định biến với tính chất đưa nên suy tập A tất biến Nếu B tập hợp với số phần tử k tồn song ánh f : A → B có số phần tử k Quy tắc nhân Để A B hai tập hợp hữu hạn f : A → B hàm số phần tử b ∈ B tồn xác k phần tử từ tập A mà có ảnh B Sau |A| = k |B| Chúng ta thường sử dụng quy tắc để phân biệt số phần tử kết xếp không xếp chọn phần tử từ tập cho Quy tắc cộng Nếu A tập hữu hạn A = A1 ∪ A2 ∪ ∪ An Ai ∩ Aj = ∅ với tất I khác j, |A| = |A1 | + |A2 | + + |An | Chúng ta sử dụng quy tắc cộng xét câu hỏi tổ hợp để đếm số phần tử tập A Đơi tự nhiên dễ dàng để phân chia tập hợp A thành tập con.(khối) để xác địn số lượng phần tử khối để tính số phần tử thu Quy tắc tích số Cho A1 , A2 , An tập hợp hữu hạn mà chứa k1 , k2 , , kn phần tử tích Cartesian A1 × A2 × × An tập hợp chứa k1 k2 .kn phần tử |A1 × A2 × × An | = |A1 | |A2 | |An | (1) Đặc biệt, A tập hợp chứa m phần tử An tập hợp chứa mn phần tử |An | = |A|n Chứng minh Ta chứng minh đẳng thức (1) quy nạp Với n = đẳng thức (1) trở thành |A1 | = k1 Cho đẳng thức (1) với tập hợp chứa n − phần tử Bây xét tập hợp chứa n phần tử |Ai | = ki với i ∈ {1, 2, 3, , n} An = {x1 , x2 , , xkn } Theo giả thiết quy nạp ta có |A1 A2 .An−1 | = k1 k2 kn−1 (2) Với i ∈ {k1 , k2 , ., kn }, đặt Si = {a1 , a2 , ., an , xi |a1 ∈ A1 , a2 ∈ A2 , ., an−1 ∈ An−1 } (3) CHƯƠNG LÝ THUYẾT VỀ TỔ HỢP 1.2 CHỈNH HỢP LẶP Đó hiển nhiên ánh xạ Si A1 × A2 × × An cho (a1 , a2 , ., an−1 , xi ) → (a1 , a2 , ., an−1 ) Do |Si | = k1 × k2 × × kn−1 , i ∈ {1, 2, , kn } (4) Lưu ý tập hợp S1 , S2 , , Skn tập hợp tách rời nhau, A1 × A2 × × An = S1 ∪ S2 ∪ ∪ Skn Sử dụng quy tắc cộng ta |A1 × A2 × × An | = |S1 | + |S2 | + + |Sn | = k1 k2 kn Định lý chứng minh 1.2 Chỉnh hợp lặp Định nghĩa Cho A = {a1 , a2 , , am } tập hợp thứ tự tuyến tính a1 < a2 < < am , cho k1 , k2 , , km số nguyên không âm cho n = k1 + k2 + + km > Mỗi phần tử v ∈ An , cho với i ∈ {1, 2, , m} phần tử xuất v ki lần, gọi n− chỉnh hợp phần tử tập A loại (k1 , k2 , , km ) Định lý Cho điều kiện định nghĩa thỏa mãn, Số n− chỉnh hợp loại (k1 , k2 , , km ) n! k1 !k2 ! km ! Số loại n− chỉnh hợp phần tử m− tập A n+m−1 n Chứng minh Cho tập B = a11 , a21 , , ak11 , , a1m , a2m , , akmm Gọi S1 tập tất hoán vị tập B, S2 tập n− chỉnh hợp phần tử A loại (k1 , k2 , , km ) Tập S1 bao gồm (k1 + k2 + + km )! = n! phần tử Ta định nghĩa hàm f : S1 → S2 sau: hoán vị p ∈ S1 tương ứng với n− chỉnh hợp v ∈ S2 thu từ p cách xóa số Tập S1 bao gồm k k1 !k2 ! km ! hốn vị B, với j ∈ {1, 2, , m}, phần tử a1j , a2j , , aj j chiếm kj vị trí cố định Vì phần tử v ∈ S2 có k1 !k2 ! km ! phần tử u ∈ S1 cho f (u) = v n! |S1 | = |S2 | = k1 !k2 ! km ! k1 !k2 ! km ! Cho A = {1, 2, , m} S tập tất (n + m − 1) − chỉnh hợp phần tử tập {0, 1, 2, , m} có dạng sau v = 11 22 0 mm m k1 k2 km Kí hiệu T tập tất loại n− chỉnh hợp phần tử A Khi đó, chỉnh hợp v ∈ S chứa m − số xác định cách vị trí chúng Vì vậy, m+n−1 |S| = Hàm số f : S → T , xác định f (v) = (k1 , k2 , , km ) song ánh Do m−1 ta có m+n−1 n+m−1 = |T | = |S| = m−1 n Vậy định lý chứng minh Ví dụ Có số nguyên dương có chữ số, số xuất ba lần, số xuất hai lần biểu diễn thập phân? Lời giải Tuyển tập số toán tổ hợp Tạp chí tư liệu tốn học CHƯƠNG LÝ THUYẾT VỀ TỔ HỢP 1.3 TỔ HỢP LẶP Các số nguyên dương thỏa mãn tính chất 7− chỉnh hợp loại (3, 2, 2) Như ta có 7! = 210 3!2!2! số nguyên dương Ví dụ Có từ khác thu từ việc hoán vị chữ từ COMBINATORICS? Lời giải Các chữ C, I O xuất hai lần, chữ M, B, N, A, T, R, S xuất lần từ COMBINATORICS Vì vậy, số từ phân biệt thu từ việc hốn vị chữ 13! = 778377600 2!2!2! 1.3 Tổ hợp lặp Định nghĩa Định nghĩa Đặt A = {a1 ; a2 ; ; am } tập thứ tự nghiêm ngặt a1 < a2 < < am Một tổ hợp gồm n phần tử tập A cho phép lặp lại phần tử tổ hợp lặp chập n (f (1), f (2), , f (n)), f : {1, 2, , n} → A hàm không giảm tức f (1) f (2) f (n) Định lý Số tổ hợp lặp chập n m phần tử tập A n+m−1 n Chứng minh Đặt A = {a1 ; a2 ; ; am } giả sử rẳng a1 < a2 < < am Đặt K tập tổ hợp lặp chập n m phần tử A, T tập hợp chỉnh hợp chập n m phần tử A Xét hàm f : T → K, thỏa mãn với (k1 ; k2 ; ; km ) ∈ T f ((k1 ; k2 ; ; km )) = a1 a1 a1 a2 a2 a2 am am am ∈ K k1 k2 km lần n+m−1 n Ví dụ 3.1 Đặt A = {a, b, c} a < b < c ta có mười tổ hợp lặp chập 10 phần tử A Rõ ràng hàm f toàn ánh Như ta |K| = |T | = aaa, bbb, ccc, aab, aac, abb, acc, bbc, bcc, abc Định lí 3.2 Số tổ hợp lặp chập n m phần tử tập A, thỏa mãn phần tử a ∈ A xuất n−1 lần m−1 Chứng minh Đặt K tổ hợp lặp chập n phần tử A = {a1 , a2 , , am } thỏa mãn phần tử a ∈ A xuất lần, V tập gồm chỉnh hợp chập n tập A ∪ {0} Xét hàm f : K → V xác định bởi, với u = a1 a1 a1 a2 a2 a2 am am am ∈ K, k1 k2 km lần Đặt f (u) = a1 a1 a1 a2 a2 a2 0 am−1 am−1 am−1 am am am k1 −1 k2 −1 km−1 −1 km lần Như định lý chứng minh 1.4 Nguyên lý bao hàm - loại trừ Việc đếm số phần tử hợp vài tập hợp hữu hạn thường xuất tốn tổ hợp Ta xét hai ví dụ sau Tuyển tập số toán tổ hợp Tạp chí tư liệu tốn học CHƯƠNG LÝ THUYẾT VỀ TỔ HỢP 1.4 NGUYÊN LÝ BAO HÀM - LOẠI TRỪ Ví dụ Có 10 học sinh đạt điểm cao mơn Tốn, 12 học sinh đạt điểm cao môn Lý học sinh đạt điểm cao hai mơn Tốn Lý Hỏi có học sinh đạt điểm cao trong hai môn này? Lời giải Gọi A B tập hợp học sinh đạt điểm cao mơn Tốn Lý u cầu tốn xác định số phần tử tập hợp A ∪ B Những học sinh đạt điểm cao hai mơn Tốn Lý đếm hai lần phép tính |A| + |B| Do |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B| Cuối cùng, ta có |A ∪ B| = 10 + 12 − = 15 Ví dụ Có số nguyên dương tập hợp S = {1, 2, , 1000} chia hết cho số 2, 5? Lời giải Gọi A, B C tập S chứa phần tử chia hết cho 2, Ta cần tìm số phần tử tập hợp A ∪ B ∪ C Xét tổng |A| + |B| + |C| Những phần tử thuộc hai ba tập hợp A, B C đếm hai lần, phần tử thuộc ba tập đếm ba lần Vì |A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |B ∩ C| − |C ∩ A| + |A ∩ B ∩ C| (*) Chú ý tập hợp A ∩ B, A ∩ C, B ∩ C A ∩ B ∩ C chứa số S chia hết cho 6, 10, 15 30 Vì vậy, |A| = 500, |B| = 333, |C| = 200, |A ∩ B| = 166, |A ∩ C| = 100, |B ∩ C| = 66 |A ∩ B ∩ C| = 33 Từ (∗) ta |A ∪ B ∪ C| = 734 Định lý Cho A1 , A2 , , An tập tập hữu hạn S Khi n |A1 ∪ A2 ∪ ∪ An | = |Ai | − i=1 |Ai ∩ Aj | + i