Một số bài toán về kỳ dị họ hàm

Một số toán kỳ dị họ hàm mở đầu Tổng quan tình hình nghiên cứu thuộc lĩnh vực đề tài Xét họ hàm f : T × X → Y , xem T tập tham số, đó: X,Y,T tập không gian vector thực hay phức Các đối tượng mầm hàm hay hàm thuộc lớp: đại số, giải tích, semi-đại số, sub- giải tích, định nghĩa cấu trúc o-tối tiểu (xem [D] hay [S]), Dưới số toán kỳ dị họ hàm trên: Bài toán 1: Nghiên cứu tập điểm trơn liên quan tới f Chẳng hạn: Tập điểm trơn thớ Tập điểm trơn f Các kết liên quan: Các kết Tamm, Kurdyka [K] tập điểm trơn hàm sub-giải tích Kết Shiota-Koike [S-K] tập điểm trơn thớ hàm semiđại số Bài toán 2: Nghiên cứu tồn tập T’ T lớp đối tượng, dim T’< dim T, cho T T’ hàm họ tương đương Nếu kết khẳng định, số lớp tương đương họ hàm hữu hạn Nếu ngược lại, xảy ‘moduli’ Điều phụ thuộc vào quan hệ tương đương Các quan hệ tương đương quan tâm: Tương đương topo Tương đương khả vi liên tục đến cấp k Tương đương bi-Lipschitz Tương đương nổ giải tích theo định nghĩa Kuo [Kuo] Các kết liên quan: Các kết Whitney, Thom, Mather, Varchenko, Fukuda, Loi, Shiota, Coste, (xem [G] hay [S]) cho câu trả lời khẳng định Y=R, f định nghĩa cấu trúc o-tối tiểu, với quan hệ tương đương topo Một số toán kỳ dị họ hàm Các kết Mostowski [M], Parusinski [P] tồn tương đương bcho họ tập sub-giải tích Các phản ví dụ Henry-Parusinski [H-P] cho câu trả lời phủ định cho mầm hàm đại số với quan hệ tương đương bi-Lipschtz Bài toán 3: Tìm bất biến để hàm tương đương theo quan hệ xét Các kết liên quan: Các kết Tráng-Ramanujam [T-R], Timouran họ có số Milnor tương đương topo Koike-Paunesku [K-P] chứng minh chiều hướng tập sub-giải tích bất biến bi-Lipschitz Các bất biến đưa Henry-Parusinski [H-P] Các bất biến để phân loại kỳ dị ánh xạ khả vi Thom, Arnold, (xem [A]) Bài toán 4: Nghiên cứu dạng định lượng toán nêu Chẳng hạn: Các liệu đánh giá thông qua độ phức tạp đối tượng tham gia (e.g số biến, bậc, ) Các đánh giá tường minh để áp dụng Giải tích số Các kết liên quan: Các kết định lượng lý thuyết Kỳ dị Yomdin [Y] hay [Y-C] Đề tài cấp B2007-14-09, T.L.Lợi chủ nhiệm Danh mục công trình liên quan a) Của chủ nhiệm đề tài người tham gia thực đề tài Ta Lê Loi: (2002) Stratification of families of Functions Definable in O-minimal Structures, Acta Mathematica Vietnamica Vol.27-2 Một số toán kỳ dị họ hàm (2003) Tame Topology and Tarski - type Systems, Vietnam Journal of Mathematics 31:2 (2004) Genericity of aF and wF regularity conditions and equisingularity of functions in a family of functions definable in o-minimal structures, Proceedings of the National conferences of Vietnam, 2002 (2006) Density of Morse functions on sets definable in o-minimal structures, Annales Polonici mathematici, 89.3 (2008) Transversality theorem in o-minimal structures, Compositio Mathematics 144 (2009) Một số toán định lượng Giải tích vi phân, Đề tài cấp B2007-14-09 b) Của người khác: [A] Arnold V.I, Goryunov V.V, Lyashko O.V Vasil’ev V.A (1998), Singularity Theory I, Springer [D] van den Dries L (1996) Tame topology and o-minimal structures, London Mathematical Society Lecture Note Series 248 [G] Gibson C.G et al (1976) Topological Stability of Smooth mappings, LNM 552 [H − P ] Henry J-P Parusinski A (2004) Invariants of bi-Lipschitz equivalence of real analyitic functions, Banach center Publ Vol 65 [K] Kurdyka K (1988) Points reguliers d’un sous-analytiques, Ann.Inst.Fourier, 33 [Kuo] Kuo T.C (1985) On classification of real singularities, Invent.Math 82 [K − P ] Koike S Paunesku L (2009) The directional dimension of subanalytic sets is invariant under bi-Lipschitz homeomorphism, Ann.Inst.Fourier [K − S] Koike S.và Shiota M (2007) Nonsmooth points set of fibers of a semialgebraic mapping, J.Math.Soc.Japan Vol.5, No.4 [M ] Mostowski T (1985) Lipschitz equisingularity, Dissertationes Math 243 Một số toán kỳ dị họ hàm [P ] Parusinski A (1994) Lipschitz stratifications of subanalytic sets, Ann.Sci.École Norm.Sup 27 [S] Shiota M (1997) Geometry of subanalytic and semialgebraic sets, Progress in Mathematics 150 [T − R] Tráng L.D Ramanujam C.P (1973) The invariance of Milnor numbers implies the invariance of topological type, Amer.J.Math 98 [Y ] Yomdin Y (2005) Some quatitative results in singularity theory, Ann Polinici mathematici 87 [Y − C] Yomdin Y Comte G (2004) Tame Geometry with Applications in Smooth Analysis, LNM 1834 Tính cấp thiết đề tài - Với tổng quan trên, có kết giải số toán họ hàm phụ thuộc tham số hiểu biết nhiều khiếm khuyết Đề tài nhằm bổ sung, giải số kết hữu ích mà nhà toán học mong muốn (đặc biệt lý thuyết Kỳ dị) - Đào tạo hướng dẫn nghiên cứu sinh Tập trung số thành viên làm toán Đại học Đà Lạt vào hướng nghiên cứu nêu Mục tiêu đề tài Hai mục tiêu đề tài là: - Nghiên cứu toán nêu nhằm đưa kết mở rộng số kết có cho trường hợp o-tối tiểu Nêu số áp dụng kết vào số lĩnh vực khác - Một mục đích khác đề tài tạo điều kiện cho số nghiên cứu sinh thực việc nghiên cứu có kết tốt Cách tiếp cận, phương pháp nghiên cứu, phạm vi nghiên cứu Một số toán kỳ dị họ hàm Nghiên cứu kết có Sử dụng công cụ Giải tích vi phân, Hình học giải tích thực (chủ yếu Hình học semi-đại số), tích phân hình học, Nghiên cứu mở rộng số toán lý thuyết Kỳ dị có đưa số kết kì dị họ hàm Nội dung nghiên cứu - Thu thập tài liệu - Đọc kết - Tổ chức seminar - Nêu số vấn đề cần giải - Dự hội thảo - Trao đổi chuyên môn với chuyên viên nơi khác - Nghiên cứu viết báo khoa học gởi đăng Tổng quan kết nghiên cứu trình bày Chương 1, Chương trình bày giảng công bố, Chương trình bày công trình công bố Một số toán kỳ dị họ hàm Chương tổng quan kết nghiên cứu đạt 1.1 Quá trình thực Các công việc làm: • Seminar thường kỳ (1 lần/tuần): giới thiệu, tìm hiểu, trao đổi kết liên quan đến đề tài giới, nước thành viên Một số chuyên đề trình bày seminar nhóm để phục vụ cho hướng nghiên cứu: - Giới thiệu số kết toán kỳ dị họ hàm - Hình học giải tích thực - Lý thuyết Morse - Các bất biến bi-Lipschitz - Tập điểm không trơn thớ ánh xạ semi-đại số - Định lý hàm ngược hàm ẩn định lượng với số biến ≤ - Một số kết định lý hàm ngược, hàm ẩn Lipschitz - Định lý Morse định lý Sard định lượng • Tham dự, báo cáo Hội nghị: Hội nghị quốc tế Việt - Nhật Tô pô kỳ dị vấn đề liên quan (lần 1), Viện Toán Học Hà Nội, tháng 3/2010 Hội nghị quốc tế Việt - Nhật Tô pô kỳ dị vấn đề liên quan (lần 2), Sendai - Japan, tháng 1/2011 Một số toán kỳ dị họ hàm Hội nghị toàn quốc Đại số - Tôpô - Hình học, Đại học Thái Nguyên 3-5/11/2011 Hội nghị quốc tế Toán học áp dụng, Đại học Mahidol, Bangkok, 17-19/12/2011 Hội nghị quốc tế Việt Nhật Tô pô kỳ dị vấn đề liên quan (lần 3), Đại học Đà Lạt, tháng 3/2012 • Hướng dẫn, trao đổi với nghiên cứu sinh học viên cao học để hoàn thành luận văn 1.2 Kết đạt 1.2.1 Các báo giảng đăng Đã hoàn thành báo giảng, chi tiết báo giảng trình bày Chương Chương Sau nội dung báo giảng: Bài báo 1: Một quan sát đồng phôi Bi-Lipschitz định nghĩa Tạ Lê Lợi Vietnam Journal of Mathematics 38:3(2010) 281-286 Tóm tắt Bài báo đưa quan sát đạo hàm theo hướng đồng phôi bi-Lipschitz định nghĩa được, số chiều tập hướng tập định nghĩa bất biến qua ánh xạ đồng phôi bi-Lipschitz Cho A ⊂ Rn cho ∈ A Ký hiệu Sn−1 mặt cầu đơn vị tâm gốc Rn Tập hướng A ký hiệu xác định { } xk n−1 D(A) = a ∈ S : ∃(xk ) ⊂ A \ {0}, xk → 0, → a, k → ∞ ∥xk ∥ Một số toán kỳ dị họ hàm Cho h : (Rn , 0) → (Rn , 0) đồng phôi đồng phôi bi-Lipschitz Ta xét quan hệ D(A) D(h(A)) Định lý Cho h : (Rn , 0) → (Rn , 0) mầm đồng phôi bi-Lipschitz định nghĩa Định nghĩa h : Sn−1 → Sn−1 xác định h(a) = lim+ t→0 h(ta) ∥h(ta)∥ Khi (i) h định nghĩa đắn phụ thuộc vào hướng đường cong theo nghĩa γ : (0, 1) → Rn đường cong định nghĩa γ(t) h(γ(t)) với lim+ γ(t) = lim+ = a lim+ = h(a) t→0 t→0 ∥γ(t)∥ t→0 ∥h(γ(t))∥ (ii) h đồng phôi bi-Lipschitz định nghĩa Mệnh đề Nếu A mầm Rn , D(A) = D(A) tập đóng Sn−1 Hệ Cho A, B mầm tập định nghĩa Rn cho ∈ A ∩ B Cho h : (Rn , 0) → (Rn , 0) đồng phôi bi-Lipschitz định nghĩa Khi h : (Sn−1 , D(A)) → (Sn−1 , D(h(A))) đồng phôi bi-Lipschitz định nghĩa Đặc biệt dim(D(h(A)) ∩ D(h(B)) = dim(D(A) ∩ D(B)) Một số toán kỳ dị họ hàm Bài báo 2: Một số kết định lượng định lý hàm ngược, hàm ẩn Lipschitz Phan Phiến East-West Journal of Mathematics, Vol 13, No (2011), pp 7-22 Tóm tắt Trong báo phát biểu dạng định lượng định lý hàm ngược Clarke, đồng thời chứng minh định lý hàm ẩn định lượng cho ánh xạ Lipschitz Hơn chứng minh được: lớp ánh xạ Lipschitz thỏa định lý hàm ngược Clarke mở không gian ánh xạ lipschitz Ký hiệu Mm×n không gian ma trận thực cấp m × n, Bn cầu đơn vị mở Rn , Bnr cầu mở bán kính r, tâm ∈ Rn , Bnr (x0 ) cầu mở bán kính r, tâm x0 ∈ Rn , Sn−1 mặt cầu đơn vị Rn , Bm×n cầu đơn vị mở Mm×n Chuẩn không gian trên: ∥x∥ = (|x1 |2 + · · · + |xn |2 ) , với x = (x1 , , xn ) ∈ Rn ∥A∥ = max ∥Ax∥, với A ∈ Mm×n ∥x∥=1 ∥A∥max = max |aij |, với A = (aij )m×n ∈ Mm×n i,j Định nghĩa Ánh xạ f : Rm → Rn gọi Lipschitz lân cận điểm x0 ∈ Rm tồn số K > cho với x y gần x0 , ta có ∥f (x) − f (y)∥ ≤ K∥x − y∥ Khi f gọi K-Lipschitz x0 f gọi K-Lipschitz Rm f K-Lipschitz x Định nghĩa Jacobi suy rộng f x0 , ký hiệu ∂f (x0 ), bao lồi ma trận M dạng M = lim Jf (xi ), i→∞ Một số toán kỳ dị họ hàm 10 f khả vi xi , xi hội tụ đến x0 Jf (xi ) Jacobi f xi , với i Khi n = ∂f (x) gọi gradient suy rộng f x Định nghĩa Cho f : Rm → Rn Lipschitz lân cận điểm x0 ∈ Rm ∂f (x0 ) gọi có hạng cực đại M ∈ ∂f (x0 ) có hạng min{m, n} Định nghĩa (Không gian ánh xạ Lipschitz) Cho f : Rm → Rn Ta gọi { L(f ) = sup } ∥f (x) − f (y)∥ , x ̸= y , ∥x − y∥ hệ số Lipschitz f Chú ý f Lipschitz L(f ) < ∞ Đặt Lip(Rm , Rn ) = {f : Rm → Rn : L(f ) < +∞} Cho f, g ∈ Lip(Rm , Rn ) α ∈ R, ta có tính chất sau: (i) f + g, αf ∈ Lip(Rm , Rn ) (ii) L(f ) ≥ (iii) L(f + g) ≤ L(f ) + L(g) (iv) L(αf ) = αL(f ) (v) L(f ) = ⇔ f = constant Với x0 ∈ Rm , đặt { } Lipx0 (Rm , Rn ) = f : f Lipschitz f (x0 ) = Khi L(f ) = ⇔ f ≡ 0, với f ∈ Lipx0 (Rm , Rn ) Một số toán kỳ dị họ hàm 11 Như Lipx0 (Rm , Rn ) không gian vector định chuẩn với chuẩn L(·) Các kết chính: Định lý Cho f : Rn → Rn ánh xạ K-Lipschitz lân cận x0 Giả sử ∂f (x0 ) có hạng cực đại, δ= 1 inf M0 ∈∂f (x0 ) ∥M0−1 ∥ Chọn r cho f K-Lipschitz Bnr (x0 )và ∂f (x) ⊂ ∂f (x0 ) + δBn×n , x ∈ Bnr (x0 ) Khi f khả nghịch Bnrδ (x0 ) tồn ánh xạ 2K ngược g : Bnrδ (f (x0 )) → Rn , g(f (x0 )) = x0 ; g 1δ -Lipschitz Nhận xét Khi f thuộc lớp C , ∂f (x0 ) Jf (x0 ), hàm g thuộc lớp C Do ta nhận dạng định lượng định lý hàm ngược cổ điển Nhận xét Cho A = U × V tập mở Rm × Rn Khi F : A → Rn ánh xạ Lipschitz lân cận (x0 , y0 ) ∈ A Jacobi suy rộng F (x0 , y0 ) thỏa ∂F (x0 , y0 ) ⊂ {( M1 M2 ) } : M1 ∈ ∂1 F (x0 , y0 ), M2 ∈ ∂2 F (x0 , y0 ) , ∂1 F (x0 , y0 ) ∂2 F (x0 , y0 ) Jacobi suy rộng F (·, y0 ) : U → Rn F (x0 , ·) : V → Rn x0 y0 tương ứng Định lý Cho A = U × V tập mở Rm × Rn F : A → Rn ánh xạ K-Lipschitz lân cận (x0 , y0 ) ∈ A Giả sử ∂2 F (x0 , y0 ) có hạng cực đại F (x0 , y0 ) = Đặt δ= 1 inf M2 ∈∂2 F (x0 ,y0 ) (1 + (1 + K)2 ∥M2−1 ∥2 ) 21 Một số toán kỳ dị họ hàm 12 Lấy r > cho F thỏa điều kiện K-Lipschitz ∂F (x, y) ⊂ ∂F ((x0 , y0 )) + δBn×(m+n) Bm+n ((x0 , y0 )) Khi tồn lân cận U0 = Bm rδ r (x0 ) 2(K+1) x0 tồn ánh xạ Lipschitz g : U0 → V cho g(x0 ) = y0 F (x, g(x)) = với x ∈ U0 Hơn nữa, số Lipschitz g L(g) ≤ 2K sup (1 + (K + 1)2 ∥M2−1 ∥2 ) M2 ∈∂2 F (x0 ,y0 ) Nhận xét Khi F C , ∂2 F (x0 , y0 ) J2 F (x0 , y0 ), g ánh xạ lớp C Do ta nhận dạng định lượng định lý hàm ẩn cổ điển Hệ Với giả thiết Định lý 2.4, F thuộc lớp C k ∥F ∥C k ≤ L ánh xạ g thuộc lớp C k tồn số M (L) > cho ∥g∥C k ≤ M (L) Định lý Cho f0 : Rn → Rn ánh xạ Lipschitz lân cận x0 ∈ Rn thỏa K∥x − y∥ ≤ ∥f0 (x) − f0 (y)∥ ≤ K ′ ∥x − y∥, K, K ′ > Giả sử ∂f0 (x0 ) có hạng cực đại Cho f = f0 + h, với h : Rn → Rn ánh xạ L-Lipschitz cho L < K Đặt δ= 1 inf M0 ∈∂f (x0 ) ∥M0−1 ∥ Lấy r > cho f thỏa điều kiện Lipschitz ∂f (x) ⊂ ∂f (x0 ) + δBn×n Bnr (x0 ) Khi tồn lân cận U = Bn rδ 2(K ′ +L) (x0 ) V = Bnrδ (f (x0 )) tương ứng x0 f (x0 ), tồn ánh xạ ngược Lipschitz g : V → Rn Một số toán kỳ dị họ hàm 13 (i) g(f (u)) = u với u ∈ U , (ii) f (g(v)) = v với v ∈ V Hơn nữa, L(g) = 1δ Hệ Lớp ánh xạ Lipschitz thỏa định lý hàm ngược Clarke mở không gian Lipx0 (Rn , Rn ) Bài báo 3: Định lý Morse định lượng Tạ Lê Lợi Phan Phiến International Journal of Mathematics Analysis, Vol 6, No 10 (2012), pp 481-491 Tóm tắt Trong báo đưa chứng minh chi tiết Định lý Morse định lượng Yomdin phát biểu vào năm 2005 n Định lý Cố định k ≥ Giả sử f0 : B → R hàm khả vi thuộc n lớp C k tập mở chứa B với tất đạo hàm đến cấp k bị chặn K Khi với ε > 0, tìm h với ∥h∥C k ≤ ε hàm dương ψ1 , N, ψ2 , ψ3 , M, η phụ thuộc vào K ε, cho f = f0 + h thỏa điều kiện sau: (i) Tại điểm tới hạn xi f , trị tuyệt đối nhỏ giá trị riêng Hessian Hf (xi ) không bé ψ1 (K, ε) (ii) Với xi xj hai điểm tới hạn khác f , ta có ∥xi −xj ∥ ≥ d(K, ε) Do vậy, số điểm tới hạn không vượt N (K, ε) (iii) Với xi xj hai điểm tới hạn khác f , |f (xi ) − f (xj )| ≥ ψ2 (K, ε) Một số toán kỳ dị họ hàm 14 (iv) Cho δ = ψ3 (K, ε) > Với điểm tới hạn xi f , tồn phép n biến đổi tọa độ φ : Bδ (xi ) → Rn ∈ C r cho f ◦ φ(y1 , , yn ) = y12 + · · · + yl2 − yl+1 − · · · − yn2 + const ∥φ∥C k−1 ≤ M (K, ε) n (v) Nếu ∥gradf (x)∥ ≤ η(K, ε) x ∈ Bδ (xi ), với xi điểm tới hạn f Bài báo 4: Một số tính chất hướng tập định nghĩa cấu trúc o-tối tiểu Satoshi Koike, Tạ Lê Lợi, Laurentiu Paunescu and Mashiro Shiota Sumitted 2011 Tóm tắt Bài báo tổng quát hóa số kết tập hướng Rn số chiều chúng lên không gian tập định nghĩa cấu trúc o-tối tiểu Định lý mô tả chi tiết tính chất hướng trường hợp trường thực đóng Archimed, đồng thời cho chứng minh trường hợp trường thực đóng tổng quát Hơn nữa, liên quan đến kết chính, tồn đa diện đặc biệt vài không gian Euclid, minh họa tương đương bi-Lipschitz luôn kéo theo tồn tương đương định nghĩa Định lý Cho R trường thực đóng Archimed, cho A, B mầm tập định nghĩa cấu trúc o-tối tiểu R cho ∈ A ∩ B Cho h : (Rn , 0) → (Rn , 0) đồng phôi bi-Lipschitz Giả sử h(A), h(B) định nghĩa Khi ta có dim(D(h(A)) ∩ D(h(B))) = dim(D(A) ∩ D(B)) Một số toán kỳ dị họ hàm 15 Bài giảng 1: Cấu trúc o-tối tiểu Tạ Lê Lợi Proceedings of The Centre for Mathematics and Its Applications Australian National University, Volum 43 (2010), 19-30 Bài giảng giới thiệu số tính chất quan trọng cấu trúc o-tối tiểu đưa ý kiến gợi ý việc xây dựng phàm trù hình học giải tích tương ứng với cấu trúc o-tối tiểu Các kết trình bày: - Định lý Phân hoạch tế bào - Định lý tính trơn lớp C p - Định lý phần bù - Định lý chọn - Bổ đề chọn đường cong - Định lý chiều tập định nghĩa Bài giảng 2: Phân tầng cấu trúc o-tối tiểu Tạ Lê Lợi Proceedings of The Centre for Mathematics and Its Applications Australian National University, Volum 43 (2010), 31-39 Bài giảng giới thiệu số kết phân tầng cấu trúc o-tối tiểu, bao gồm: - Phân tầng tập định nghĩa - Phân tầng Verdier - Phân tầng Whitney - Phân tầng tương thích tập định nghĩa Một số toán kỳ dị họ hàm 16 - Phân tầng thỏa điều kiện af - Phân tầng thỏa điều kiện wf Bài giảng 3: Ba định lý lý thuyết kỳ dị cấu trúc o-tối tiểu Tạ Lê Lợi Proceedings of The Centre for Mathematics and Its Applications Australian National University, Volum 43 (2010), 41-54 Bài giảng trình bày ba định lý Lý thuyết Kì dị cấu trúc o-tối tiểu, bao gồm: - Định lý Morse-Sard theorem - Tính trù mật hàm Morse - Định lý Hoành 1.2.2 Các luận văn thạc sĩ hướng dẫn bảo vệ thành công Các định lý ánh xạ ngược cho hàm không trơn Nguyễn Thị Thúy Hằng, Cao học Toán K16 Một số chứng minh định lý Tarski Seindenberg Hồ Hoàng Hùng, Cao học Toán K17 Một số bất biến Bi-Lipschitz Nguyễn Xuân Việt Nhân, Cao học Toán K17 1.2.3 Hướng dẫn nghiên cứu sinh Đã hướng dẫn nghiên cứu sinh Phan Phiến bảo vệ luận án cấp sở vào ngày 12/12/2011 với công trình liên quan: Một số toán kỳ dị họ hàm 17 [L-P1] Ta Le Loi and Phan Phien, Bound of Hausdorff measures of tame sets, Proceedings of the International Conference on Topology, Geometry, Algebra & Arithmetics, December 22-24, 2008, Unviersity of Dalat, Dalat, Vietnam (2009), pp 156-169 (Submitted) [P1] Phan Phien, Betti numbers and Hausdorff measures of basic semi-algebraic sets, Journal of Science University of Dalat, Volume (2011), pp 13-22 (Vietnamese) [P2] Phan Phien, Some quantitative results on Lipschitz inverse and implicit functions theorems, East-West Journal of Mathematics, Vol 13, No (2011), pp 7-22 [L-P2] Ta Le Loi and Phan Phien, The Quantitative Morse Theorem, International Journal of Mathematical Analysis, Vol 6, No 10 (2012), pp 481-491 [L-P3] Ta Le Loi and Phan Phien, Some quantitative results on singularities of differentiable mappings, (2012) (Preprint) Một số toán kỳ dị họ hàm 18 Chương giảng Chương trình bày chi tiết giảng đăng, bao gồm: [1] Ta Le Loi, O-minimal Structure, Proceedings of The Centre for Mathematics and Its Applications Australian National University, Volume 43 (2010), 19-30 [2] Ta Le Loi, Stratifications in o-minimal structures, Proceedings of The Centre for Mathematics and Its Applications Australian National University, Volume 43 (2010), 31-39 [3] Ta Le Loi, Three fundamental theorems of Singularity theory in o-minimal structures, Proceedings of The Centre for Mathematics and Its Applications Australian National University, Volume 43 (2010), 41-54 Một số toán kỳ dị họ hàm 19 Chương công trình khoa học Chương trình bày chi tiết công trình công bố, bao gồm: [1] Ta Le Loi, An Observation on Definable Bi-Lipschitz Homeomorphism, Vietnam Journal of Mathematics 38:3(2010) 281-286 [2] Phan Phien, Some Quantitative results on Lipschitz inverse and implicit functions theorems, East-West Journal of Mathematics, Vol 13, No (2011), pp 7-22 [3] Ta Le Loi and Phan Phien, The Quantitative Morse Theorem, International Journal of Mathemaitics Analysis, Vol 6, No 10 (2012), pp 481-491 [4] Satoshi Koike, Ta Le Loi, Laurentiu Paunescu and Masahiro Shiota, Directional Properties of Sets Definable in o-minimal Structures (sumitted) Một số toán kỳ dị họ hàm 20 kết luận kiến nghị Đề tài hoàn thành mục tiêu nghiên cứu đề ra, bao gồm: - Nghiên cứu toán kì dị họ hàm nhằm đưa kết mở rộng số kết có cho trường hợp o-tối tiểu Nêu số áp dụng kết vào số lĩnh vực khác - Một mục đích khác đề tài tạo điều kiện cho số nghiên cứu sinh thực việc nghiên cứu có kết tốt Đã hoàn thành báo giảng theo hướng nghiên cứu, hướng dẫn thạc sĩ nghiên cứu sinh Các kết đề tài áp dụng số lĩnh vực Topo vi phân, Hình học vi phân, Giải tích số phi tuyến, Lý thuyết kỳ dị, đánh giá độ phức tạp thuật toán, Đề tài tiếp tục để nghiên cứu phát triển số kết lý thuyết kỳ dị cấu trúc o-tối tiểu, từ đưa kết định lượng Trên sở đề tài, tiếp tục đào tạo nghiên cứu sinh học viên cao học theo hướng nghiên cứu đạt Chúng xin trân trọng cảm ơn lãnh đạo Bộ Giáo Dục - Đào Tạo Trường Đại học Đà Lạt cho phép thực đề tài Xin trân trọng cảm ơn Khoa Toán Tin học - Đại học Đà Lạt, Khoa Sau Đại Học - Đại học Đà Lạt, Viện Toán Học Hà Nội phối hợp giúp đỡ hoàn thành đề tài nghiên cứu Xin cảm ơn đồng nghiệp gần xa động viên góp nhiều ý kiến để hoàn thành nghiên cứu Đà lạt, 5/2012—Chủ nhiệm đề tài- PGS.TS Tạ Lê Lợi Một số toán kỳ dị họ hàm 21 Tài liệu Các tài liệu tham khảo chính: [B] S.Basu On bounds the Betti numbers and computing the Euler characterstics of semi-algebraic sets, Discrete and Comput Geom., 22, 1999, 1-18 [C] M.Coste, Finitude du nombre de types topologiques dans une définissable de fonctions, preprint(1996) [D1] L.van den Dries, A generalization of the Tarski-Seidenberg theorem and some nondefinability results, Bull Amer Math Soc (N.S.) 15(1986), 189-193 [D2] L.van den Dries, Tame Topology and o-minimal Structures, London Math Soc Lecture Note Ser 248, Cambridge Univ Press (1997) [DM1] L.van den Dries and C.Miller, On the real exponential field with restricted analytic functions, Israel J Math 85(1994), 19-56 [DM2] L.van den Dries and C.Miller, Geometric Categories and o-minimal Structures, Duke Math J 84, No 2(1996), 497-540 [D-K] D D’Acunto and K Kurdyka, Bounds for gradient trajectories of definable functions with applications to robotics and semi-algebraic geometry, Preprint 2003 [D-S] L.van den Dries and P Speissegger, The field of Reals with Geverey functions and the exponential function, Preprint (1997) [Fe] H.Federer, Geometric measures theory, Springer-Verlag, 1969 Một số toán kỳ dị họ hàm [Fu] 22 T.Fukuda, Types topologiques de polynômes, Inst Hautes Étudees Sci Publ Math 46(1976), 87-106 [H] R.Hardt, Semi-algebraic local triviality in semi-algebraic mappings, Amer J Math 102(1980), 291-302 [K] A.G.Khovanski, Fewnomials, Translations of mathematical monographs 88, AMS, Providence RI, 1991 [Kh] A.G.Khovanskii, Fewnomials, Trans Math Monographs AMS Vol.88(1991) [Ku] K.Kurdyka, On gradients of functions definable in o-minimal structures, preprint(1997) [L1] T.L.Loi, On the global Lojasiewicz inequalities for the class of logarithmic-exponential functions, C R Acad Sci Paris, (Série I) 318(1994), 543-548 [L2] T.L.Loi, Lojasiewicz Inequalities for Sets Definable in the Structure Rexp , Ann Inst Fourier 45,4(1995), 951-971 [L3] T.L.Loi, Whitney Stratification of Sets Definable in the Structure Rexp , Banach Center Publications, Vol 33(1996), 401-409 [L4] T.L.Loi, Thom stratifications for functions definable in o-minimal structures on (R, +, ·), C R Acad Sci., Paris, Série I, 324 (1997), 1391-1394 [L5] T.L.Loi, Verdier and Strict Thom Stratifications in o–minimal structures, Illinois J.Math., Vol 42, No.2 (1998), 347-356 [L6] T.L.Loi, Stratifications of families of functions definable in o-minimal structures, Acta Math Vietnam., Vol 27, No.2 (2002) , 239-244 [L7] T.L.Loi, Tame topology and Tarski-type systems, Vietnam Journal of Math 31:2 (2003), 127-136 Một số toán kỳ dị họ hàm [L8] 23 T.L.Loi, Genericcity of aF and wF regularity conditions and equisingularity of functions in a family of functions definable in o-minimal structures, Proceedings of the National conferences of Vietnam 2002 (2004), 183-189 [L9] T.L.Loi, Density of Morse Functions On Sets Definable in O-minimal Structures, Ann Polon Math 89.3 (2006) , 289-299 [M] C.Miller, Expansion of the real field with power functions, Ann Pure Appl Logic 68(1994), 79-94 [S] M.Shiota, Geometry of subanalytic and semianalytic sets, Progress in Math Vol 150, Birkh¨auser, Boston (1997) [W1] A.Wilkie, Model completeness results for expansions of the ordered field of real numbers by restricted Pfaffian functions and the exponential function, J Amer Math Soc 9(1996),1051-1094 [W2] A.Wilkie, A general theorem of the complement and some new o-minimal structures, manuscript (1996) [Wh] H.Whitney, A Function not Constant on Connected Set of Critical Points, Duke Math.J 1, 1935, 514-517 [Y-C] Y.Yomdin and G.Comte, Tame Geometry with Application in Smooth Analysis, LNM vol 1834, 2004 [Z] T.Zell, Quantitative study of semi-Pfaffian sets, School of Mathematics, Georgia Institue of Technology, 2003 Một số toán kỳ dị họ hàm 24 phụ lục số trang minh chứng cho kết nghiên cứu 1.1 Minh chứng cho giảng 1.2 Minh chứng cho báo thuyết minh đề tài phê duyệt [...]... Structures (sumitted) Một số bài toán về kỳ dị họ hàm 20 kết luận và kiến nghị Đề tài đã hoàn thành mục tiêu nghiên cứu như đã đề ra, bao gồm: - Nghiên cứu các bài toán về kì dị họ hàm nhằm đưa ra các kết quả mới hoặc mở rộng một số kết quả đã có cho trường hợp o-tối tiểu Nêu một số áp dụng của các kết quả vào một số lĩnh vực khác - Một mục đích khác của đề tài là tạo điều kiện cho một số nghiên cứu sinh... Volum 43 (2010), 31-39 Bài giảng này giới thiệu một số kết quả về phân tầng trong cấu trúc o-tối tiểu, bao gồm: - Phân tầng các tập định nghĩa được - Phân tầng Verdier - Phân tầng Whitney - Phân tầng tương thích các tập định nghĩa được Một số bài toán về kỳ dị họ hàm 16 - Phân tầng thỏa điều kiện af - Phân tầng thỏa điều kiện wf Bài giảng 3: Ba định lý cơ bản của lý thuyết kỳ dị trong cấu trúc o-tối... (2010), 19-30 Bài giảng này giới thiệu một số tính chất quan trọng của cấu trúc o-tối tiểu và đưa ra các ý kiến gợi ý về việc xây dựng một phàm trù hình học giải tích tương ứng với một cấu trúc o-tối tiểu Các kết quả được trình bày: - Định lý Phân hoạch tế bào - Định lý về tính trơn lớp C p - Định lý về phần bù - Định lý chọn - Bổ đề chọn đường cong - Định lý về chiều của tập định nghĩa được Bài giảng... số chứng minh của định lý Tarski Seindenberg Hồ Hoàng Hùng, Cao học Toán K17 3 Một số bất biến Bi-Lipschitz Nguyễn Xuân Việt Nhân, Cao học Toán K17 1.2.3 Hướng dẫn nghiên cứu sinh Đã hướng dẫn nghiên cứu sinh Phan Phiến bảo vệ luận án cấp cơ sở vào ngày 12/12/2011 với các công trình liên quan: Một số bài toán về kỳ dị họ hàm 17 [L-P1] Ta Le Loi and Phan Phien, Bound of Hausdorff measures of tame sets,... kết quả tốt Đã hoàn thành 4 bài báo và 3 bài giảng theo hướng nghiên cứu, hướng dẫn 3 thạc sĩ và 1 nghiên cứu sinh Các kết quả của đề tài có thể được áp dụng trong một số lĩnh vực như Topo vi phân, Hình học vi phân, Giải tích số phi tuyến, Lý thuyết kỳ dị, đánh giá độ phức tạp thuật toán, Đề tài sẽ được tiếp tục để nghiên cứu phát triển một số kết quả của lý thuyết kỳ dị trong cấu trúc o-tối tiểu,... 1834, 2004 [Z] T.Zell, Quantitative study of semi-Pfaffian sets, School of Mathematics, Georgia Institue of Technology, 2003 Một số bài toán về kỳ dị họ hàm 24 phụ lục 1 một số trang minh chứng cho các kết quả nghiên cứu 1.1 Minh chứng cho các bài giảng 1.2 Minh chứng cho các bài báo 2 bản sao thuyết minh đề tài đã được phê duyệt ... : V → Rn Một số bài toán về kỳ dị họ hàm 13 để cho (i) g(f (u)) = u với mọi u ∈ U , (ii) f (g(v)) = v với mọi v ∈ V Hơn nữa, L(g) = 1δ Hệ quả 2 Lớp các ánh xạ Lipschitz thỏa định lý hàm ngược Clarke là mở trong không gian Lipx0 (Rn , Rn ) Bài báo 3: Định lý Morse định lượng Tạ Lê Lợi và Phan Phiến International Journal of Mathematics Analysis, Vol 6, No 10 (2012), pp 481-491 Tóm tắt Trong bài báo... ψ1 (K, ε) (ii) Với xi và xj là hai điểm tới hạn khác nhau bất kỳ của f , ta có ∥xi −xj ∥ ≥ d(K, ε) Do vậy, số các điểm tới hạn không vượt quá N (K, ε) (iii) Với xi và xj là hai điểm tới hạn khác nhau của f , |f (xi ) − f (xj )| ≥ ψ2 (K, ε) Một số bài toán về kỳ dị họ hàm 14 (iv) Cho δ = ψ3 (K, ε) > 0 Với mỗi điểm tới hạn xi của f , tồn tại một phép n biến đổi tọa độ φ : Bδ (xi ) → Rn ∈ C r sao cho 2... một trường thực đóng Archimed, và cho A, B là các mầm tập định nghĩa được trong một cấu trúc o-tối tiểu trên R sao cho 0 ∈ A ∩ B Cho h : (Rn , 0) → (Rn , 0) là một đồng phôi bi-Lipschitz Giả sử rằng h(A), h(B) cũng là định nghĩa được Khi đó ta có dim(D(h(A)) ∩ D(h(B))) = dim(D(A) ∩ D(B)) Một số bài toán về kỳ dị họ hàm 15 Bài giảng 1: Cấu trúc o-tối tiểu Tạ Lê Lợi Proceedings of The Centre for Mathematics... Vol 6, No 10 (2012), pp 481-491 [L-P3] Ta Le Loi and Phan Phien, Some quantitative results on singularities of differentiable mappings, (2012) (Preprint) Một số bài toán về kỳ dị họ hàm 18 Chương 2 các bài giảng Chương này trình bày chi tiết các bài giảng được đăng, bao gồm: [1] Ta Le Loi, O-minimal Structure, Proceedings of The Centre for Mathematics and Its Applications Australian National University,