Dưới đây là một sốbài toán về kỳ dị của họ hàm trên: Bài toán 1: Nghiên cứu tập các điểm trơn liên quan tới f.. Các kết quả liên quan: Các kết quả của Tamm, Kurdyka [K] về tập các điểm t
Trang 1mở đầu
1 Tổng quan tình hình nghiên cứu thuộc lĩnh vực của đề tài.
Xét họ hàm f : T × X → Y , xem T là tập tham số, trong đó: X,Y,T là các
tập con trong các không gian vector thực hay phức Các đối tượng có thể làmầm hàm hay hàm thuộc lớp: đại số, giải tích, semi-đại số, sub- giải tích, địnhnghĩa được trong cấu trúc o-tối tiểu (xem [D] hay [S]), Dưới đây là một sốbài toán về kỳ dị của họ hàm trên:
Bài toán 1: Nghiên cứu tập các điểm trơn liên quan tới f.
Chẳng hạn:
Tập các điểm trơn của thớ
Tập các điểm trơn của f
Các kết quả liên quan:
Các kết quả của Tamm, Kurdyka [K] về tập các điểm trơn của hàm sub-giảitích Kết quả của Shiota-Koike [S-K] về tập các điểm trơn của thớ hàm semi-đại số
Bài toán 2: Nghiên cứu sự tồn tại tập T’ T cùng lớp đối tượng, dim T’< dim T, sao cho trên T T’ các hàm của họ là tương đương.
Nếu kết quả là khẳng định, thì số lớp tương đương trong họ hàm là hữu hạn.Nếu ngược lại, thì xảy ra ‘moduli’ Điều này phụ thuộc vào quan hệ tươngđương Các quan hệ tương đương đang được quan tâm:
Tương đương topo
Tương đương khả vi liên tục đến cấp k
Tương đương bi-Lipschitz
Tương đương nổ giải tích theo định nghĩa của Kuo [Kuo]
Các kết quả liên quan:
Các kết quả của Whitney, Thom, Mather, Varchenko, Fukuda, Loi, Shiota,Coste, (xem [G] hay [S]) cho câu trả lời khẳng định khi Y=R, f định nghĩađược trong cấu trúc o-tối tiểu, với quan hệ tương đương topo
Trang 2Các kết quả của Mostowski [M], Parusinski [P] về tồn tại tương đương bcho
Các kết quả liên quan:
Các kết quả của Tráng-Ramanujam [T-R], Timouran về họ có số Milnor hằng
là tương đương topo
Koike-Paunesku [K-P] chứng minh chiều của hướng của một tập sub-giải tích
là bất biến bi-Lipschitz
Các bất biến được đưa ra bởi Henry-Parusinski [H-P]
Các bất biến để phân loại kỳ dị ánh xạ khả vi của Thom, Arnold, (xem[A])
Bài toán 4: Nghiên cứu dạng định lượng của các bài toán nêu trên.
Chẳng hạn:
Các dữ liệu được đánh giá thông qua độ phức tạp của các đối tượng tham gia(e.g số biến, bậc, )
Các đánh giá tường minh để có thể áp dụng trong Giải tích số
Các kết quả liên quan:
Các kết quả định lượng trong lý thuyết Kỳ dị của Yomdin [Y] hay [Y-C]
Đề tài cấp bộ B2007-14-09, T.L.Lợi chủ nhiệm
Danh mục các công trình liên quan
a) Của chủ nhiệm đề tài và những người tham gia thực hiện đề tài
Ta Lê Loi:
(2002) Stratification of families of Functions Definable in O-minimal tures, Acta Mathematica Vietnamica Vol.27-2
Trang 3Struc-(2003) Tame Topology and Tarski - type Systems, Vietnam Journal of ematics 31:2
Math-(2004) Genericity of aF and wF regularity conditions and equisingularity offunctions in a family of functions definable in o-minimal structures, Proceed-ings of the National conferences of Vietnam, 2002
(2006) Density of Morse functions on sets definable in o-minimal structures,Annales Polonici mathematici, 89.3
(2008) Transversality theorem in o-minimal structures, Compositio ics 144
Mathemat-(2009) Một số bài toán định lượng trong Giải tích vi phân, Đề tài cấp bộB2007-14-09
b) Của những người khác:
[A] Arnold V.I, Goryunov V.V, Lyashko O.V và Vasil’ev V.A (1998),
Singu-larity Theory I, Springer
[D] van den Dries L (1996) Tame topology and o-minimal structures, London
Mathematical Society Lecture Note Series 248
[G] Gibson C.G et al (1976) Topological Stability of Smooth mappings, LNM
552
[H − P ] Henry J-P và Parusinski A (2004) Invariants of bi-Lipschitz
equiva-lence of real analyitic functions, Banach center Publ Vol 65
[K] Kurdyka K (1988) Points reguliers d’un sous-analytiques, Ann.Inst.Fourier,
33
[Kuo] Kuo T.C (1985) On classification of real singularities, Invent.Math 82 [K − P ] Koike S và Paunesku L (2009) The directional dimension of suban-
alytic sets is invariant under bi-Lipschitz homeomorphism, Ann.Inst.Fourier
[K − S] Koike S.và Shiota M (2007) Nonsmooth points set of fibers of a
semi-algebraic mapping, J.Math.Soc.Japan Vol.5, No.4
[M ] Mostowski T (1985) Lipschitz equisingularity, Dissertationes Math 243.
Trang 4[P ] Parusinski A (1994) Lipschitz stratifications of subanalytic sets, Ann.Sci.École
Norm.Sup 27
[S] Shiota M (1997) Geometry of subanalytic and semialgebraic sets, Progress
in Mathematics 150
[T − R] Tráng L.D và Ramanujam C.P (1973) The invariance of Milnor
num-bers implies the invariance of topological type, Amer.J.Math 98
[Y ] Yomdin Y (2005) Some quatitative results in singularity theory, Ann.
Polinici mathematici 87
[Y − C] Yomdin Y và Comte G (2004) Tame Geometry with Applications in
Smooth Analysis, LNM 1834
2 Tính cấp thiết của đề tài.
- Với tổng quan như trên, tuy có những kết quả giải quyết một số bài toán
về họ hàm phụ thuộc tham số nhưng sự hiểu biết vẫn còn nhiều khiếmkhuyết Đề tài này nhằm bổ sung, giải quyết một số kết quả hữu ích màcác nhà toán học mong muốn (đặc biệt là trong lý thuyết Kỳ dị)
- Đào tạo và hướng dẫn nghiên cứu sinh Tập trung một số thành viênlàm toán ở Đại học Đà Lạt vào hướng nghiên cứu nêu trên
3 Mục tiêu của đề tài.
Hai mục tiêu chính của đề tài là:
- Nghiên cứu các bài toán nêu trên nhằm đưa ra các kết quả mới hoặc mởrộng một số kết quả đã có cho trường hợp o-tối tiểu Nêu một số áp dụngcủa các kết quả vào một số lĩnh vực khác
- Một mục đích khác của đề tài là tạo điều kiện cho một số nghiên cứusinh thực hiện việc nghiên cứu của mình có kết quả tốt
4 Cách tiếp cận, phương pháp nghiên cứu, phạm vi nghiên cứu.
Trang 5Nghiên cứu các kết quả đã có Sử dụng các công cụ của Giải tích vi phân,Hình học giải tích thực (chủ yếu Hình học semi-đại số), tích phân hình học, .Nghiên cứu mở rộng một số bài toán trong lý thuyết Kỳ dị đã có hoặc đưa ramột số kết quả mới về kì dị họ hàm.
5 Nội dung nghiên cứu.
- Thu thập tài liệu
- Đọc các kết quả
- Tổ chức các seminar
- Nêu một số vấn đề cần giải quyết
- Dự các hội thảo
- Trao đổi chuyên môn với các chuyên viên ở nơi khác
- Nghiên cứu viết các bài báo khoa học gởi đăng
Tổng quan về kết quả nghiên cứu được trình bày trong Chương 1, Chương 2trình bày các bài giảng đã công bố, Chương 3 trình bày các công trình đã côngbố
Trang 6• Seminar thường kỳ (1 lần/tuần): giới thiệu, tìm hiểu, trao đổi các kết quả
liên quan đến đề tài của thế giới, trong nước và các thành viên Một số trongcác chuyên đề đã được trình bày trong các seminar của nhóm để phục vụ chohướng nghiên cứu:
- Giới thiệu một số kết bài toán về kỳ dị họ hàm
- Hình học giải tích thực
- Lý thuyết Morse
- Các bất biến bi-Lipschitz
- Tập các điểm không trơn của thớ của ánh xạ semi-đại số
- Định lý hàm ngược hàm ẩn định lượng với số biến≤ 2.
- Một số kết quả về định lý hàm ngược, hàm ẩn Lipschitz
- Định lý Morse và định lý Sard định lượng
• Tham dự, báo cáo tại các Hội nghị:
1 Hội nghị quốc tế Việt - Nhật về Tô pô của các kỳ dị và các vấn đề liênquan (lần 1), Viện Toán Học Hà Nội, tháng 3/2010
2 Hội nghị quốc tế Việt - Nhật về Tô pô của các kỳ dị và các vấn đề liênquan (lần 2), Sendai - Japan, tháng 1/2011
Trang 73 Hội nghị toàn quốc về Đại số - Tôpô - Hình học, Đại học Thái Nguyên3-5/11/2011.
4 Hội nghị quốc tế về Toán học và áp dụng, Đại học Mahidol, Bangkok,17-19/12/2011
5 Hội nghị quốc tế Việt Nhật về Tô pô của các kỳ dị và các vấn đề liênquan (lần 3), Đại học Đà Lạt, tháng 3/2012
• Hướng dẫn, trao đổi với nghiên cứu sinh và các học viên cao học để hoàn
thành luận văn
1.2 Kết quả đạt được.
1.2.1 Các bài báo và các bài giảng được đăng.
Đã hoàn thành 4 bài báo và 3 bài giảng, chi tiết các bài báo và bài giảngđược trình bày ở Chương 2 và Chương 3 Sau đây là nội dung chính các bàibáo và các bài giảng:
Bài báo 1:
Một quan sát về đồng phôi Bi-Lipschitz
định nghĩa được
Tạ Lê Lợi
Vietnam Journal of Mathematics 38:3(2010) 281-286
Tóm tắt Bài báo này đưa ra một quan sát về đạo hàm theo hướng của đồng
phôi bi-Lipschitz định nghĩa được, và khi đó số chiều của các tập hướng củacác tập định nghĩa được là bất biến qua ánh xạ đồng phôi bi-Lipschitz
Cho A ⊂ R n sao cho 0∈ A Ký hiệu S n −1 là mặt cầu đơn vị tâm tại gốc trong
Rn Tập hướng của A tại 0 được ký hiệu và xác định
Trang 8Cho h : (Rn , 0) → (R n , 0) là một đồng phôi hoặc một đồng phôi bi-Lipschitz.
Ta xét quan hệ giữa D(A) và D(h(A)).
Định lý Cho h : (Rn , 0) → (R n , 0) là một mầm đồng phôi bi-Lipschitz định
nghĩa được Định nghĩa h : S n −1 → S n −1 được xác định bởi
h(a) = lim
t →0+
h(ta)
∥h(ta)∥ . Khi đó
(i) h là được định nghĩa đúng đắn và chỉ phụ thuộc vào hướng của các đường cong theo nghĩa nếu γ : (0, 1) → R n là một đường cong định nghĩa được với lim
(ii) h là một đồng phôi bi-Lipschitz định nghĩa được.
Mệnh đề Nếu A là một mầm tại 0 trong Rn , thì D(A) = D(A) là một tập
con đóng trong S n −1 .
Hệ quả Cho A, B là các mầm tập định nghĩa được tại 0 trong Rn sao cho
0 ∈ A ∩ B Cho h : (R n , 0) → (R n , 0) là một đồng phôi bi-Lipschitz định
nghĩa được Khi đó h : (S n −1 , D(A)) → (S n −1 , D(h(A))) là một đồng phôi
bi-Lipschitz định nghĩa được Đặc biệt
dim(D(h(A)) ∩ D(h(B)) = dim(D(A) ∩ D(B)).
Trang 9Bài báo 2:
Một số kết quả định lượng
về định lý hàm ngược, hàm ẩn Lipschitz
Phan Phiến
East-West Journal of Mathematics, Vol 13, No 1 (2011), pp 7-22
Tóm tắt Trong bài báo này chúng tôi phát biểu một dạng định lượng của
định lý hàm ngược Clarke, đồng thời chứng minh định lý hàm ẩn định lượngcho ánh xạ Lipschitz Hơn nữa chúng tôi cũng chứng minh được: lớp các ánh
xạ Lipschitz thỏa định lý hàm ngược Clarke là mở trong không gian các ánh
xạ lipschitz
Ký hiệu Mm ×n là không gian các ma trận thực cấp m × n, B n là quả cầu đơn
vị mở trong Rn, Bn r là quả cầu mở bán kính r, tâm tại 0 ∈ R n, Bn r (x0) là quả
cầu mở bán kính r, tâm tại x0 ∈ R n, Sn −1 là mặt cầu đơn vị trong Rn, và
B m ×n là quả cầu đơn vị mở trong Mm ×n Chuẩn trong các không gian trên:
Định nghĩa 1 Ánh xạ f :Rm → R n được gọi là Lipschitz trong lân cận của
điểm x0 ∈ R m nếu tồn tại hằng số K > 0 sao cho với mọi x và y gần x0, ta có
∥f(x) − f(y)∥ ≤ K∥x − y∥.
Khi đó f được gọi là K-Lipschitz tại x0
f được gọi là K-Lipschitz trên Rm nếu f là K-Lipschitz tại mọi x.
Định nghĩa 2 Jacobi suy rộng của f tại x0, ký hiệu ∂f (x0), là bao lồi
của các ma trận M dạng
M = lim
i →∞ J f (x i ),
Trang 10f là khả vi tại x i , x i hội tụ đến x0 và J f (x i ) là Jacobi của f tại x i , với mỗi i.
Khi n = 1 thì ∂f (x) được gọi là gradient suy rộng của f tại x.
Định nghĩa 3 Cho f : Rm → R n là Lipschitz trong lân cận của điểm
x0 ∈ R m ∂f (x0) được gọi là có hạng cực đại nếu mọi M ∈ ∂f(x0) có hạng
Trang 11Như vậy Lipx0(Rm ,Rn) là một không gian vector định chuẩn với chuẩn là L(·).
g : B n rδ
2
(f (x0))→ R n , g(f (x0)) = x0;
g là 1δ -Lipschitz.
Nhận xét 1 Khi f thuộc lớp C1, ∂f (x0) chính là J f (x0), và hàm g thuộc lớp
C1 Do vậy ta nhận được dạng định lượng của định lý hàm ngược cổ điển.
Nhận xét 2 Cho A = U × V là tập con mở của R m × R n Khi đó nếu
F : A → R n là một ánh xạ Lipschitz trong một lân cận của (x0, y0) ∈ A thì Jacobi suy rộng của F tại (x0, y0) thỏa
Trang 12Lấy r > 0 sao cho F thỏa điều kiện K-Lipschitz và ∂F (x, y) ⊂ ∂F ((x0, y0)) +
δ B n ×(m+n) trong B m+n r ((x0, y0)) Khi đó tồn tại lân cận U0 = Bm rδ
2(K+1)
(x0) của
x0 và tồn tại duy nhất ánh xạ Lipschitz g : U0 → V sao cho g(x0) = y0 và
F (x, g(x)) = 0 với mọi x ∈ U0 Hơn nữa, hằng số Lipschitz của g
Hệ quả 1 Với giả thiết của Định lý 2.4, khi F thuộc lớp C k và ∥F ∥ C k ≤ L thì ánh xạ g cũng thuộc lớp C k và tồn tại một hằng số M (L) > 0 sao cho
∥g∥ C k ≤ M(L).
Định lý 3 Cho f0 :Rn → R n là ánh xạ Lipschitz trong lân cận của x0 ∈ R n
và thỏa
K ∥x − y∥ ≤ ∥f0(x) − f0(y) ∥ ≤ K ′ ∥x − y∥, K, K ′ > 0.
Giả sử ∂f0(x0) có hạng cực đại Cho f = f0+ h, với h : Rn → R n là ánh xạ L-Lipschitz sao cho
Bn r (x0) Khi đó tồn tại các lân cận U = B n rδ
2(K′+L)
(x0) và V = B n rδ
2
(f (x0)) tương ứng của x0 và f (x0), và tồn tại duy nhất ánh xạ ngược Lipschitz g : V → R n
Trang 13để cho
(i) g(f (u)) = u với mọi u ∈ U,
(ii) f (g(v)) = v với mọi v ∈ V
Hơn nữa, L(g) = 1δ
Hệ quả 2 Lớp các ánh xạ Lipschitz thỏa định lý hàm ngược Clarke là mở
trong không gian Lip x0(Rn ,Rn ).
Bài báo 3:
Định lý Morse định lượng
Tạ Lê Lợi và Phan Phiến
International Journal of Mathematics Analysis, Vol 6, No 10 (2012), pp 481-491
Tóm tắt Trong bài báo này chúng tôi đưa ra một chứng minh chi tiết của
Định lý Morse định lượng được Yomdin phát biểu vào năm 2005
Định lý chính Cố định k ≥ 3 Giả sử f0 : Bn → R là một hàm khả vi thuộc lớp C k trong một tập mở chứa B n với tất cả các đạo hàm đến cấp k bị chặn đều bởi K Khi đó với mọi ε > 0, có thể tìm h với ∥h∥ C k ≤ ε và các hàm dương ψ1, N, ψ2, ψ3, M, η phụ thuộc vào K và ε, sao cho f = f0+ h thỏa các điều kiện sau:
(i) Tại mỗi điểm tới hạn x i của f , trị tuyệt đối nhỏ nhất của các giá trị riêng của Hessian Hf (x i ) không bé hơn ψ1(K, ε).
(ii) Với x i và x j là hai điểm tới hạn khác nhau bất kỳ của f , ta có ∥x i −x j ∥ ≥ d(K, ε) Do vậy, số các điểm tới hạn không vượt quá N (K, ε).
(iii) Với x i và x j là hai điểm tới hạn khác nhau của f , |f(x i)− f(x j)| ≥
ψ2(K, ε).
Trang 14(iv) Cho δ = ψ3(K, ε) > 0 Với mỗi điểm tới hạn x i của f , tồn tại một phép
biến đổi tọa độ φ : B n δ (x i)→ R n ∈ C r sao cho
Một số tính chất về hướng của các tập định nghĩa được
trong cấu trúc o-tối tiểu
Satoshi Koike, Tạ Lê Lợi, Laurentiu Paunescu and Mashiro Shiota
Sumitted 2011
Tóm tắt Bài báo này tổng quát hóa một số kết quả về tập hướng trongRnvà
số chiều của chúng lên không gian các tập định nghĩa được trong một cấu trúco-tối tiểu Định lý chính đầu tiên mô tả chi tiết tính chất hướng trong trườnghợp trường thực đóng Archimed, đồng thời cho một chứng minh trong trườnghợp trường thực đóng tổng quát Hơn nữa, liên quan đến kết quả chính, chúngtôi chỉ ra rằng tồn tại các đa diện đặc biệt trong một vài không gian Euclid,minh họa rằng một tương đương bi-Lipschitz không phải luôn luôn kéo theo
sự tồn tại của một tương đương định nghĩa được
Định lý chính Cho R là một trường thực đóng Archimed, và cho A, B là
các mầm tập định nghĩa được trong một cấu trúc o-tối tiểu trên R sao cho
0 ∈ A ∩ B Cho h : (R n , 0) → (R n , 0) là một đồng phôi bi-Lipschitz Giả sử rằng h(A), h(B) cũng là định nghĩa được Khi đó ta có
dim(D(h(A)) ∩ D(h(B))) = dim(D(A) ∩ D(B)).
Trang 15Bài giảng 1:
Cấu trúc o-tối tiểu
Tạ Lê Lợi
Proceedings of The Centre for Mathematics and Its Applications Australian
National University, Volum 43 (2010), 19-30
Bài giảng này giới thiệu một số tính chất quan trọng của cấu trúc o-tối tiểu
và đưa ra các ý kiến gợi ý về việc xây dựng một phàm trù hình học giải tíchtương ứng với một cấu trúc o-tối tiểu
Các kết quả được trình bày:
- Định lý Phân hoạch tế bào
Proceedings of The Centre for Mathematics and Its Applications Australian
National University, Volum 43 (2010), 31-39
Bài giảng này giới thiệu một số kết quả về phân tầng trong cấu trúc o-tối tiểu,bao gồm:
- Phân tầng các tập định nghĩa được
- Phân tầng Verdier
- Phân tầng Whitney
- Phân tầng tương thích các tập định nghĩa được
Trang 16- Phân tầng thỏa điều kiện a f.
- Phân tầng thỏa điều kiện w f
Bài giảng 3:
Ba định lý cơ bản của lý thuyết kỳ dị trong cấu trúc
o-tối tiểu
Tạ Lê Lợi
Proceedings of The Centre for Mathematics and Its Applications Australian
National University, Volum 43 (2010), 41-54
Bài giảng này trình bày ba định lý cơ bản của Lý thuyết Kì dị trong cấu trúco-tối tiểu, bao gồm:
- Định lý Morse-Sard theorem
- Tính trù mật của hàm Morse
- Định lý Hoành
1.2.2 Các luận văn thạc sĩ đã được hướng dẫn và bảo vệ thành công.
1 Các định lý ánh xạ ngược cho hàm không trơn.
Nguyễn Thị Thúy Hằng, Cao học Toán K16
2 Một số chứng minh của định lý Tarski Seindenberg.
Hồ Hoàng Hùng, Cao học Toán K17
3 Một số bất biến Bi-Lipschitz.
Nguyễn Xuân Việt Nhân, Cao học Toán K17
1.2.3 Hướng dẫn nghiên cứu sinh.
Đã hướng dẫn nghiên cứu sinh Phan Phiến bảo vệ luận án cấp cơ sở vào ngày12/12/2011 với các công trình liên quan: